i
i
“Kozak” — 2016/8/31 — 10:58 — page 72 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Bor Plestenjak, Razširjen uvod v numerične metode, DMFA –
založnǐstvo, 2015, 420 strani.
V zbirki univerzitetnih učbenikov
in monografij Matematika–Fizika
založbe DMFA–založnǐstvo je v
septembru preteklega leta pod za-
poredno številko 52 izšla knjiga
Razširjen uvod v numerične me-
tode avtorja Bora Plestenjaka. Po
besedah avtorja je knjiga nastala
po zapiskih, ki jih je vrsto let upo-
rabljal in posodabljal ob predava-
njih različnih predmetov s podro-
čja numerične matematike na Uni-
verzi v Ljubljani.
Knjigo sestavlja štirinajst po-
glavij, ki jim sledi zgledno sesta-
vljeno stvarno kazalo, skupaj 420
strani. K razumevanju besedila
nam pomaga 84 slik in 26 tabel,
spoznamo 50 samostojno zapisa-
nih algoritmov. Citiranih je 56 virov. Besedilo je podprto s številnimi
numeričnimi primeri, ki osvetljujejo teoretične izpeljave. Poglavja so zasno-
vana po enotnem ključu. Predstavljenemu gradivu sledi razdelek Matlab,
v katerem je kratek, vsebini poglavja prirejen nabor ukazov jezika Matlab.
Ti ponujajo programsko rešitev problemov, ki jih poglavje opisuje. Sledi
razdelek, ki poudari vire za dodatno branje, v pomoč bralcu, ki bi želel snov
poglavja še razširiti. Poglavje sklene razdelek Naloge, ki ga bodo s pridom
uporabljali študenti pri utrjevanju snovi in pripravah na izpite. Med prebi-
ranjem knjige bo bralec vesel tudi številnih opomb, v katerih dobimo kratko
biografsko pojasnilo o avtorju, ki ga zgodovinsko povezujejo z danim delom
zapisane snovi. Polistajmo bežno po vsebini knjige.
V prvem poglavju avtor pojasni predstavitev števil v računalniku in
opǐse standard IEEE, ki ga uporablja večina noveǰsih računalnikov. Tu spo-
znamo vrste napak, ki jih srečujemo pri numeričnem računanju, ter pojme,
72 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kozak” — 2016/8/31 — 10:58 — page 73 — #2 i
i
i
i
i
i
Razširjen uvod v numerične metode
kot so občutljivost problema, stabilnost metode, analiza zaokrožitvenih na-
pak ipd. Dodani poučni primeri: računanje števila π, izračun ex iz Taylor-
jeve vrste, reševanje kvadratne enačbe, . . . nas zgovorno opozorijo na poseb-
nost računanja z v računalniku predstavljivimi števili.
Drugo poglavje razgrne nabor postopkov za iskanje ničel funkcij ene
spremenljivke. Srečamo bisekcijo, navadno iteracijo, tangentno, sekantno in
Müllerjevo metodo, inverzno interpolacijo ter sestavljene metode. V drugem
delu poglavja so opisane metode, namenjene iskanju ničel polinomov.
V tretjem poglavju avtor predstavi algoritme za reševanje sistemov li-
nearnih enačb, vpelje občutljivost problema in analizira vpliv napak, ki pri
reševanju lahko nastanejo. Poglavje naniza najprej osnovna orodja pri oce-
njevanju napak, vektorske in matrične norme. Sledi podroben opis korakov
in analiza osnovnega algoritma eliminacije. Poglavje sklenejo postopki, pri-
rejeni reševanju linearnih sistemov posebne oblike, ko je pripadajoča matrika
npr. simetrična, tridiagonalna, kompleksna ali razpršena.
Kraǰse četrto poglavje je namenjeno reševanju sistemov nelinearnih ena-
čb. Spoznamo Jacobijevo iteracijo, več besed je namenjenih Newtonovi
metodi in izpeljankam, omenjene so tudi variacijske metode.
V petem poglavju avtor osvetli reševanje predoločenih sistemov linear-
nih enačb, torej aproksimacijo po metodi najmanǰsih kvadratov, ki temelji
na diskretnem skalarnem produktu. Najprej spoznamo osnovni QR raz-
cep, nato avtor vpelje tudi v naslednjih poglavjih nepogrešljive ortogonalne
matrične transformacije, Givensove rotacije in Householderjeva zrcaljenja.
Sledita razširjeni QR in singularni razcep ter zahtevneǰsa razlaga in analiza
nedoločenih problemov in problemov defektnega ranga. Poglavje končujejo
posplošitve metode najmanǰsih kvadratov.
Šesto poglavje podrobno predstavi in analizira nesimetrični problem la-
stnih vrednosti. Najprej srečamo opis problema in nekaj splošnih izrekov,
ki pomagajo pri ocenjevanju napak, in spoznamo pomen Schurove forme pri
stabilnem preoblikovanju prvotnega problema. Med metodami so najprej
na vrsti potenčna metoda in njene izpeljanke, kot je npr. inverzna iteracija.
Sledi izpeljava ortogonalne in QR iteracije ter obširna razlaga prijemov,
ki pospešijo osnovni QR algoritem, redukcija na Hessenbergovo obliko in
premiki. Poglavje konča izpeljava končne oblike algoritma, implicitne QR
iteracije.
Naslednje poglavje avtor namenja reševanju problema lastnih vrednosti
simetričnih matrik. Uvodnemu delu in opisu Rayleighove iteracije sledi pet
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2 73
i
i
“Kozak” — 2016/8/31 — 10:58 — page 74 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
metod, ki vse najdejo svoje mesto v praktični uporabi: QR iteracija za
simetrični problem lastnih vrednosti, bisekcija in Sturmovo zaporedje, deli
in vladaj, Jacobijeva metoda in relativno robustne reprezentacije. Poglavje
se konča z nekaj besedami o tem, za kakšne vrste problemov je kakšna od
metod primerneǰsa od drugih.
Osmo poglavje je namenjeno reševanju posplošitev problema lastnih vre-
dnosti in računanju singularnega razcepa. Avtor najprej vpelje matrični šop
in problem lastnih vrednosti za to posplošitev ter razloži QZ algoritem. Sle-
dijo nelinearni problemi lastnih vrednosti in opis osnovnih metod. Zadnji
del poglavja obravnava numerično računanje singularnega razcepa, ki je bil
vpeljan že v petem poglavju. Predstavljene so metode: QR iteracija za
singularni razcep, dqds in Jacobijeva metoda za singularni razcep.
Deveto poglavje obravnava aproksimacijo funkcij ene spremenljivke, po-
drobneje pa enakomerno aproksimacijo s polinomi in bližnjico, ekonomiza-
cijo Čebǐseva.
Deseto poglavje je avtor namenil polinomski in odsekoma polinomski in-
terpolaciji. Avtor izpelje izražavo interpolacijskega polinoma v Lagrangeevi
in Newtonovi obliki in pojasni nekaj pomembnih lastnosti deljenih diferenc.
Sledita razdelka o zlepkih in Bézierovih krivuljah.
Enajsto poglavje govori o numeričnem odvajanju in predvsem integri-
ranju. Med integracijskimi pravili spoznamo najprej Newton-Cotesove for-
mule in njihovo nadgradnjo, sestavljena pravila. Sledijo adaptivne metode
in Rombergova metoda kot ekstrapolacija sestavljenih pravil. V drugem
delu so predstavljene Gaussove kvadraturne formule. Poglavje sklenejo raz-
delki o računanju izlimitiranih integralov in integriranju v več prostorskih
razsežnostih.
V dvanajstem poglavju je obravnavano numerično reševanje navadnih
diferencialnih enačb, v večjem delu začetnih problemov. Začetek govori o
obstoju rešitve, občutljivosti problema in stabilnosti metod. Sledi prvi ra-
zred numeričnih metod, enočlenske metode. Spoznamo preproste metode,
npr. Eulerjevo, in praktično zelo pomembne metode Runge-Kutta. Razlagi
metod je dodana beseda o stabilnosti in konvergenci enočlenskih metod. Sle-
dijo razdelki, ki obravnavajo linearne veččlenske metode in opozarjajo na
možne težave pri njihovi uporabi, kot je npr. inherentna nestabilnost ipd.
Avtor omeni tudi začetne probleme vǐsjega reda, implicitno podane diferen-
cialne enačbe in metodo zveznega nadaljevanja. Poglavje končuje reševanje
robnih problemov drugega reda, v linearnem in nelinearnem primeru.
74 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kozak” — 2016/8/31 — 10:58 — page 75 — #4 i
i
i
i
i
i
Razširjen uvod v numerične metode
Reševanju parcialnih diferencialnih enačb je namenjeno trinajsto po-
glavje. Začenja ga reševanje paraboličnih parcialnih diferencialnih enačb.
Spoznamo eksplicitno, implicitno in Crank-Nicolsonovo shemo. Sledi elip-
tični tip in diferenčna metoda za reševanje Poissonove enačbe. Predstavnik
hiperboličnega tipa enačb je valovna enačba. Avtor predstavi običajno pet-
točkovno diferenčno metodo in hiperbolični tip sklene s splošneje uporabno
metodo karakteristik. Na koncu omeni še metodo končnih elementov kot
pogosto uporabljan način pri reševanju eliptičnih problemov.
V zadnjem poglavju avtor naniza iterativne metode za reševanje sis-
temov linearnih enačb. Jacobijeva in Gauss-Seidelova metoda, SOR ter
izpeljanke sodijo v klasični nabor metod, ki jih uporabljamo pri reševanju
sistemov linearnih enačb, ki jih dobimo z diskretizacijo parcialnih diferen-
cialnih enačb eliptičnega tipa. Zajeten del poglavja sestavljajo metode, ki
temeljijo na podprostorih Krilova. Tu se predpostavi le, da algoritem zna
izračunati produkt matrike sistema enačb in poljubnega vektorja. Avtor
predstavi Arnoldijev in Lanczosev algoritem ter GMRES – posplošeni mi-
nimalni ostanek. Poglavje konča opis metode konjugiranih gradientov.
Knjiga Razširjen uvod v numerične metode je pisana strokovno korek-
tno, razumljivo in lahko berljivo. Tako po pestrosti numeričnih primerov
kot po primerno uravnoteženem matematičnem upravičevanju predstavlje-
nih metod je zgleden obširen uvod v numerično računanje. Zato jo kot
učbenik toplo priporočam študentom pri numeričnih predmetih, ki se pod
tem ali drugim imenom predavajo na prvi stopnji univerzitetnega študija.
A knjige ne sprejmimo le kot učbenik. Je dobro berilo za vse bralce, ki želijo
na čim širšem naboru matematičnih problemov spoznati korake v njihovo
numerično reševanje.
Peto poglavje, še posebej pa tri poglavja, ki sledijo, obravnavano snov na
osnovnem nivoju bistveno in podrobno nadgradijo tako z naborom metod
kot s strogo matematično analizo, ki sežeta do najsodobneǰsih spoznanj.
Našteta poglavja so zato nedvomno izvrstno učno gradivo za posamezne
izbirne predmete s področja numerične linearne algebre, ki se predavajo na
vǐsjih stopnjah študija.
Knjigo lahko kupite pri DMFA – založnǐstvu po članski ceni 22,40 EUR.
Jernej Kozak
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2 75