IZ RAZREDA 23 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 23 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 Razvijanje in spremljanje problemskih znanj v povezavi s pojmi krivulja, funkcija, premica in stožnica Sonja Ivančič Gimnazija in ekonomska šola Šolski center Srečka Kosovela Sežana Povzetek V prispevku je predstavljen primer razvoja in spremljanja problemskih znanj pri dijakih na primeru obrav- nave stožnic. Dijaki spoznavajo matematiko kot proces, znajo postavljati ključna vprašanja, ki so vezana na raziskovanje matematičnih problemov, razvijajo ustvarjalnost ter zaupajo v lastne matematične sposobnosti, spoznavajo in uporabljajo informacijsko-komunikacijsko tehnologijo ter pripomočke iz vsakdanjega življenja kot pomoč za učinkovitejše učenje in reševanje problemov ter povezujejo znanje znotraj matematike in tudi širše (medpredmetno s fiziko). Ključne besede: stožnice, problemska znanja, IKT, povezovanje znanj Developing and Monitoring Problem-Solving Knowledge Relating to the Terms Curve, Function, Line and Conic Section Abstract The article presents an example of developing and monitoring problem-solving knowledge among secondary school students on the example of a discussion of conic sections. The students learn about mathematics as a process; are able to ask the key questions related to the investigation of mathematical problems; develop creativity and trust in their own mathematical abilities; get to know and use information and communication technology and tools from everyday life in order to learn more efficiently and to solve problems; integrate their knowledge within Mathematics and broader (cross-curricularly with Physics). Keywords: conic sections, problem-solving knowledge, ICT, knowledge integration Uvod V današnji družbi je pomembno, da znamo znanje uporabiti v novih problemskih situacijah. Dijakom problemske učne zmož- nosti niso dane same po sebi, temveč jih je treba nenehno in sistematično razvijati. Kot za vsako učno dejavnost je priprava učencev za ustvarjalno problemsko učenje odvisna od njihove samopodobe, razvojne stopnje ter motiviranosti. Zato moramo pri izbiri nalog izhajati iz izkušenj, učnih zmožnosti, interesov in potreb dijakov. Tako delo zahteva več časa za učiteljevo pri- pravo, delo v razredu poteka počasneje od frontalnega pouka. Problemski pouk je uspešnejši, če je v razredu manj dijakov, da lahko učitelj pouk tudi diferencira in individualizira. Pri obravnavi učne teme stožnice lahko na zanimiv način razvi- jamo in spremljamo razvoj problemskih znanj v povezavi z dru- gimi pojmi, kot so npr. krivulja, funkcija in premica. Obravnavo stožnic povežemo z vsakdanjim življenjem, kar pri dijakih poveča motivacijo. Tako pridobljeno znanje je trajnejše in bolj prenoslji- vo na druga področja, kar pa je tudi eden pomembnejših ciljev pouka matematike. Večina dijakov je zadovoljna s takim nači- nom dela. Manj zadovoljni so tisti, ki želijo v delo pri pouku vlo- žiti čim manj truda. Pri takih se mora učitelj še posebej potruditi z motivacijo. Pozoren mora biti tudi na učno šibkejše dijake, da jih s pravo mero pomoči vodi skozi reševanje problemov, da se na poti ne izgubijo in obupajo ter da do nekaterih ugotovitev vseeno pridejo sami. Tako izkusijo uspešnost pri pouku matematike, kar pa je tako dijakom kot tudi učitelju v pomoč pri nadaljnjem delu. Učitelj ima s takim načinom poučevanja in ob prevelikem številu dijakov v razredu polne roke dela. Tema in učni načrt Z razvijanjem problemskega znanja sledimo osnovnemu vodilu učnega načrta za matematiko za razvoj matematične kompeten- ce, ki med drugim vključuje sposobnost uporabe matematičnega IZ RAZREDA 24 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 načina razmišljanja za reševanje matematičnih in interdiscipli- narnih problemov, sklepanje, posploševanje, abstrahiranje in re- flektiranje na konkretni in splošni ravni, raziskovanje, uporabo informacijsko-komunikacijske tehnologije pri usvajanju novih matematičnih pojmov, preiskovanju in reševanju matematičnih problemov. Učitelj naj bi v skladu s tem razvoj in spremljanje problemskega znanja pri dijakih premišljeno načrtoval. Pri učni temi stožnice o obravnavanih primerih v učnem načr- tu za gimnazije najdemo spodaj zapisane predloge, ki jih lahko obravnavamo tako, da razvijamo problemsko znanje pri dijakih: • Pokažite, da ni vsaka krivulja graf neke funkcije. • Obravnavajte posamezne primere presečišč ravnine s stožcem(a) in razložite izvor imena stožnic. • Izvedite vrtnarsko konstrukcijo elipse tudi v praksi. • Poleg običajnih geometrijskih konstrukcij stožnic pokažite še konstrukcije s prepogibanjem papirja. • Obravnavo in izvedbo ure lahko načrtujete medpredmetno s fiziko. 1. Stožnice kot preseki dvojne stožčaste ploskve z ravnino Cilji: Dijaki samostojno pridejo do razlage izvora imena stožni- ca, poiščejo modele iz realnega življenja, s katerimi lahko pona- zorimo stožnice. Kdaj lahko uporabimo aktivnost: Aktivnost uporabimo na za- četku obravnave učne teme stožnice, da razložimo ime stožnica in dijake usmerimo v ustvarjanje in iskanje modelov za ponazo- ritev stožnic. Zastavitev problema Dijakom damo nekaj minut, da narišejo različne krivulje. Potem jim razdelimo delovne liste, na katerih so narisani (dvoj- ni) krožni stožci. Dijaki raziskujejo preseke plašča (dvojnega) krožnega stožca z različnimi ravninami pod različnimi naklon- skimi koti. Postavljajo hipoteze, kaj so preseki ravnine s stožcem, in posplošujejo. Uspešnejši dijaki lahko na slike stožcev skicirajo preseke stožcev z ravninami. Da bodo uspešni tudi dijaki s slabšo prostorsko predstavo, jim predlagamo, da k uri prinesejo stožce, izdelane iz plastelina. Na razpolago pa imajo tudi modele lese- nih stožcev, ki prikazujejo preseke stožcev z ravninami (modele lahko izdelajo dijaki). Pravilnost postavljenih hipotez, narisanih krivulj in posplošitev dijaki preverijo z ogledom filma http:// www.youtube.com/watch?NR=1&v=GDHNoQHQmtQ. Potem jim ponudimo različne pripomočke: lesen svinčnik z mnogokotnim prerezom, svetilko, stožčast kozarec in zaprto stožčasto steklenico. Dijaki sami raziskujejo, s katerimi pripo- močki, kdaj in na kakšen način lahko dobimo posamezne stož- nice (elipso, krožnico, hiperbolo in parabolo). Razvoj aktivnosti Dijaki narišejo različne krivulje. Spodbujamo jih, da povedo de- finicijo funkcije in se spomnijo, da ni vsaka krivulja graf neke funkcije. Narišejo še premice in parabole, ki niso grafi funkcij. Usmerjamo jih k risanju čim bolj različnih krivulj, sklenjenih in nesklenjenih. Usmerjanje dijakov pri risanju presekov Upoštevamo predznanje dijakov o osnem preseku stožca. Začne- mo s preseki plašča stožca: • z ravnino, ki vsebuje os stožca, • z ravnino, ki je pravokotna na os stožca. Dijake pri risanju presečnih krivulj plašča dvojnega stožca z rav- nino usmerjamo od lažjih k težjim primerom. Dijaki narišejo: • preseke plašča dvojnega stožca z ravnino, ki ne gre skozi vrh stožca in je pravokotna na os stožca. (Slika 2); • preseke plašča dvojnega stožca z ravnino, ki gre skozi vrh stožca (Slika 6, Slika 7); • preseke plašča dvojnega stožca z ravnino, ki ne gre skozi vrh stožca in ni pravokotna na os dvojnega stožca (Slika 3, Slika 4, Slika 5). Spodbujamo jih, naj raziščejo, kako so od naklonskega kota pre- sečne ravnine odvisni preseki ravnine s plaščem dvojnega stožca. Dijaki, ki imajo težave, si pomagajo z lesenimi modeli presekov stožcev (Slika 1) ali z modeli stožcev iz plastelina. Slika 1: Leseni modeli presekov stožcev. Ogled filma Po uvodnih dejavnostih si dijaki ogledajo film, ki prikazuje pre- seke stožca z različnimi ravninami, in na ta način preverijo pra- vilnost postavljenih hipotez in posplošitev. Slika 2: Presek je krožnica. IZ RAZREDA 25 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 Slika 3: Presek je elipsa. Slika 4: Presek je parabola. Slika 5: Presek je hiperbola. Slika 6: Presek je točka. Slika 7: Presek sta dve premici. Vir: http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=GDHNoQHQmtQ (5. 11. 2019) Raziskovanje z modeli iz realnega življenja Dijake razdelimo v skupine. Vsaka skupina dobi različne mo- dele: lesen svinčnik z mnogokotnim prerezom, svetilko, stožčast kozarec in zaprto stožčasto steklenico (Slika 8). Skupine raziskujejo, s katerimi modeli in na kakšen način dobi- mo posamezne stožnice: elipso, krožnico, hiperbolo in parabolo. Slika 8: Različni pripomočki. Na koncu ure skupine poročajo. Nekateri rezultati so prikazani na slikah (Slika 9, Slika 10, Slika 11, Slika 12). Slika 9: Svetilka – rob sence je hiperbola. IZ RAZREDA 26 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 Slika 10: Svinčnik z mnogokotnim prerezom – robovi so hiperbole. Slika 11: Zaprta stožčasta steklenica – rob gladine tekočine je parabola. Slika 12: Stožčast kozarec – rob gladine tekočine je elipsa. Vprašanja za razvoj aktivnosti • Kaj je krivulja? Katere krivulje smo že spoznali? • Ali je krog krivulja? • Ali je krožnica krivulja? • Narišite graf funkcije f(x) = x –1 . Ali je graf funkcije f(x) = x –1 krivulja? Ali je vsaka krivulja graf neke funkcije? • Kaj je osni presek stožca? • Kaj je presek plašča stožca z ravnino, ki je pravokotna na os stožca? • Kaj je presek plašča stožca z ravnino, ki vsebuje os stožca? • Kaj je presek plašča neskončnega (dvojnega) stožca z ravnino, ki gre skozi vrh stožca in vsebuje os stožca? • Kako se spreminjajo preseki plašča neskončnega (dvojnega) stožca v odvisnosti od naklonskega kota presečne ravnine? • Ali z vsakim modelom, ki ga imate na razpolago, lahko dobite samo eno stožnico ali jih lahko dobite več? • Opiši, s katerim modelom dobimo katere stožnice in kako. Dijake usmerjamo k risanju različnih krivulj, sklenjenih in ne- sklenjenih. Pričakujemo, da bodo nekateri dijaki narisali tudi elipso, krožnico, parabolo ali hiperbolo. Sprotno spremljanje dejavnosti in dosežkov Dijaki so različno spretni pri reševanju danih nalog. Nekateri di- jaki zelo hitro postavijo hipoteze o obliki presečnih krivulj. Pri dijakih spremljamo, ali so postavili hipoteze in ali so te pra- vilne, ali so izbrali ustrezno metodo za reševanje problema, ali je predstavljena rešitev ustrezna, ali so našli vse rešitve in kako znajo svoje ugotovitve argumentirati. Razumevanje dijakov preverjamo in vodimo z različnimi vpraša- nji: Ali so presečne krivulje sklenjene ali nesklenjene? Kako je to odvisno od naklonskega kota ravnine? Kdaj je presečna krivulja ena premica? Kdaj sta v preseku dve premici? Razumevanje pre- verjamo tudi s pozornim poslušanjem komentarjev in vprašanj dijakov. Nekateri dijaki si zelo sistematično zapisujejo ugotovitve in tudi napovedujejo rezultate, ki jih ustrezno argumentirajo. Pri nalogah, ki jih dijaki rešujejo v skupinah z danimi modeli, preverimo, na kateri stopnji razumevanja so posamezni dija- ki. Najnižjo stopnjo dosežejo tisti, ki ne znajo postaviti nobene hipoteze in ne izberejo ustrezne metode reševanja ter z danimi modeli ne najdejo nobene stožnice, najvišjo stopnjo pa dosežejo tisti, ki povežejo in razumejo razne vidike problema ter jih pre- nesejo na druge situacije, saj razumejo zakonitosti na abstraktni ravni. Dosežki dijakov pri ugotovljenem in predpostavljenem predznanju Dijaki samostojno in s pomočjo učitelja dosežejo zastavljene cil- je. Povezujejo obstoječe znanje o presekih stožca z ravninami z novim znanjem. T o nadgradijo s samostojnim odkrivanjem stož- IZ RAZREDA 27 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 nic v novih situacijah z različnimi pripomočki. Dijaki z vsakim pripomočkom najdejo vsaj eno stožnico. Vir: http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=GDHNoQHQmtQ (5. 11. 2019) 2. Geometrijska definicija stožnic Cilji: Dijaki izvajajo matematična preiskovanja z uporabo IKT, samostojno izpeljejo geometrijske definicije stožnic z uporabo programa GeoGebra; samostojno raziščejo potek konstrukcij stožnic, rešijo problemsko nalogo v nematematičnem kontekstu − valovanje pri fiziki. Kdaj lahko uporabimo aktivnost: Aktivnost uporabimo po uvodnem spoznavanju stožnic. Zastavitev problema Dijaki naj z raziskovanjem z uporabo IKT pridejo do geometrij- skih definicij stožnic. S programom GeoGebra narišejo različne stožnice: krožnico, elipso, hiperbolo in parabolo. Vsako od teh krivulj lahko poljubno spreminjajo. Najprej opazujejo krožnico. Geometrijsko definicijo krožnice že poznajo. Spodbudimo jih, da jo zapišejo. Spomnijo se, da je krožnica množica točk v ravni- ni, ki zadoščajo nekemu pogoju. Ali lahko najdemo tak pogoj, kateremu bodo zadoščale vse toč- ke, ki ležijo na elipsi? Če je potrebno, jih pri raziskovanju usmerjamo, kaj naj pri posa- mezni krivulji opazujejo. Na koncu najuspešnejši dijaki sami pridejo do geometrijskih de- finicij stožnic, ostalim dijakom pomagamo z dodatnimi namigi in nasveti. Razvoj aktivnosti Dijaki delajo v parih. Spodbudimo jih, da zapišejo geometrijsko definicijo krožnice (to že poznajo). Raziskovanje z uporabo matematičnega programa GeoGebra poteka vodeno: S programom GeoGebra narišite elipso. Za krožnico velja, da so vse točke, ki ležijo na krožnici, enako oddaljene od središča krož- nice. Pri elipsi imamo dve točki – gorišči. Kaj bi lahko opazovali za točke na elipsi? Dijakom damo nekaj minut časa, da raziskuje- jo s programom GeoGebra. Najuspešnejši dijaki hitro postavijo hipotezo, ki jo z različnimi primeri elips potrdijo. Ostalim dijakom pomagamo z namigi: Izberite več različnih točk na elipsi. Za vsako točko izračunaj- te vsoto razdalj do gorišč F 1 in F 2 elipse (Slika 13). Kaj opazite? Dobljeno vsoto primerjajte z dolžino daljice AB, kjer sta temeni elipse, ki ležita na nosilki daljice F 1 F 2 . Kaj opazite? Postopek ponovite za različne elipse. Slika 13: Geometrijska definicija elipse. Pri hiperboli in paraboli spodbujamo učno šibkejše dijake, da tudi oni postavijo hipoteze. Če niso uspešni, jim z dodatnimi na- migi pomagajo dijaki, ki so nalogo rešili. Na koncu na podlagi ugotovitev dijakov zapišemo geometrijske definicije stožnic. Vprašanja za razvoj aktivnosti • S čim je krožnica natanko določena? • Katere tri točke v programu GeoGebra morate izbrati, da na- riše elipso? Ali ste že slišali za gorišče? Kje in v povezavi s čim? • S čim je elipsa natanko določena? • Kaj naj opazujemo za točke na elipsi? Kateremu pogoju mo- rajo zadoščati? • Primerjajte in . Kaj opazite? Svojo hipotezo dokažite. • Katere tri točke v programu GeoGebra morate izbrati, da na- rišete hiperbolo? • Kaj naj opazujemo pri točkah na hiperboli? Kateremu pogoju morajo zadoščati? • Primerjajte in , A in B sta temeni hiperbole. Kaj opazite? Svojo hipotezo dokažite. • Kaj morate izbrati v programu GeoGebra, da narišete para- bolo? • Kaj naj opazujemo za točke na paraboli? Kateremu pogoju morajo zadoščati? Možne razširitve aktivnosti 1. Nekateri dijaki za domačo nalogo izdelajo mehanske pripo- močke za načrtovanje stožnic (Slika 14). Slika 14: Mehanski pripomoček za vrtnarsko konstrukcijo elipse. IZ RAZREDA 28 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 Slika 15: Vrtnarska konstrukcija elipse. 2. Dijaki doma konstruirajo stožnice s prepogibanjem papirja (Slika 16) in konstrukcije stožnic utemeljijo. Svojo nalogo pri učni uri predstavijo sošolcem in kritično analizirajo svoje delo. Slika 16: Parabola s prepogibanjem papirja. 3. Z učenci se dogovorimo, da naredijo nekaj fotografij objektov iz realnega življenja, kjer predpostavljajo, da nastopajo stož- nice. Te fotografije uvozimo v program GeoGebra in potem s programom poiščemo ustrezne stožnice (Slika 17). Spremljanje dosežkov Vprašanja za spremljanje: Kako bi narisali mejo vrta v obliki elipse? Kako s šestilom in ravnilom konstruiramo točke, ki ležijo na pa- raboli? Kako s šestilom konstruiramo točke, ki ležijo na hiperboli? Dosežke dijakov lahko spremljamo tudi z dodatno nalogo (učni list UL_Valovanje in stožnice). S to nalogo obravnavano snov povežemo tudi z valovanjem pri fiziki. Dijaki dobijo učni list, na katerem sta narisani dve družini kon- centričnih krožnic z enakomerno naraščajočimi polmeri kro- žnic. Na slikah poiščejo hiperbole in elipse, na katerih ležijo pre- sečišča krožnic. Tako spremljamo, na kateri stopnji razumevanja obravnavane učne snovi so posamezni dijaki in na kateri stopnji razvoja problemskih znanj so. Dosežki učencev pri ugotovljenem in predpostavljenem predznanju Dijaki samostojno ali vodeno pridejo do geometrijske definicije stožnic. Pridobljeno znanje večina dijakov zna uporabiti v novi situaciji, ko rešujejo nalogo iz učnega lista. Gradivo Učni list: Valovanje in stožnice Rešitev učnega lista: Valovanje in stožnice 3. Višinska točka trikotnika in parabola Cilji: Dijaki raziščejo, katero krivuljo opiše višinska točka tri- kotnika ABC z negibno stranico AB, ko oglišče C premikamo po negibni premici p, ki je vzporedna s stranico AB. Zapišejo enačbo krivulje (parabole), ki jo opiše višinska točka, koordinati gorišča in enačbo premice vodnice parabole. Kdaj lahko uporabimo aktivnost: Aktivnost uporabimo po analitični in geometrijski definiciji stožnic; lahko jo uporabimo kadarkoli po predelanem sklopu stožnice za utrjevanje in pove- zovanje vsebinskih znanj skozi reševanje problemov. Zastavitev problema Dijaki raziskujejo s programom GeoGebra. Navodila za delo do- bijo na učnem listu. UL_Geometrijsko mesto višinske točke trikotnika Učitelj spremlja in vodi delo dijakov, z majhnimi namigi pomaga le tistim, ki se jim na določeni stopnji delo ustavi. Čim več aktiv- nosti, odkritij in sklepov pustimo dijakom. Naloga Podan je trikotnik ABC z višinsko točko V. Točki A in B sta negibni. Razišči, po kateri krivulji se giblje višinska točka V, če oglišče C premikamo po negibni premici p, ki je vzporedna daljici AB. Slika 17: Elipsa skozi pet izbranih točk (modra barva) na oboku vrat. IZ RAZREDA 29 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 Reševanje naloge poteka v več fazah: • Izberemo konkreten primer: oglišča trikotnika A(0, 0), B(6, 0), C(x, 4) in premico p: y = 4 ter narišemo trikotnik ABC s programom Geogebra. • Dijaki raziskujejo s programom GeoGebra in postavijo hi- potezo. • Konkreten primer rešijo še analitično. • Rešujejo splošen primer, najprej s programom Geogebra in nato še analitično. Razvoj aktivnosti: Dijaki delajo v parih. Dobijo učni list z nalogo in navodili za delo. Le-ta so skromna z namenom, da dijakom z navodili ne sugeriramo preveč vmesnih korakov pri reševanju zastavljenega problema. Če je v navodilih zapisanih preveč vmesnih korakov, potem to ni več problemska naloga. S programom GeoGebra konstruirajo trikotnik ABC: A(0, 0), B(6, 0), C(t, 4), t je parameter, višinsko točko V in premico y = 4. Potem raziskujejo, katero krivuljo opiše višinska točka trikotni- ka – vklopijo funkcijo Sled (Slika 18). Do enačbe nastale krivu- lje pridejo z uporabo ukaza PolinomskaTrendnaČrta. Pri kon- strukciji s programom GeoGebra učitelj opozarja manj spretne dijake na pravilen vrstni red konstrukcijskih korakov, da bodo potem lahko izvedli ustrezno animacijo. Sami si izberejo še druge primere trikotnikov in premice p. Ugo- tovijo, da je geometrijsko mesto višinske točke vedno parabola (Slika 19). Slika 18: Geometrijsko mesto višinske točke. Potem nalogo rešijo še analitično. Zapišejo enačbi nosilk višine na npr. stranico in stranico ter izračunajo njuno presečišče. Tako dobijo koordinati točke in s tem tudi enačbo parabole. Izračunajo še teme, gorišče in enačbo premice vodnice parabole. Slika 19: Geometrijsko mesto višinske točke. Vprašanja za razvoj aktivnosti: • Katere znamenite točke trikotnika poznaš? • Kaj je višina trikotnika? • Opredeli pojem višinske točke trikotnika? • Kakšna je lega višinske točke glede na različne trikotnike? • Po kateri krivulji se po tvojem mnenju giblje višinska točka, ko točko C premikamo po premici p? • Kako izračunamo smerni koeficient premice? • Kako izračunamo smerni koeficient pravokotnice? • Kakšno enačbo ima premica, ki je pravokotna na abscisno os? • Kako izračunamo koordinati gorišča? • Kakšna je temenska oblika enačbe parabole? Možne razširitve aktivnosti Dijaki lahko s programom GeoGebra raziskujejo, katere krivulje opiše višinska točka, če spremenimo lego premice p, po kateri premikamo točko C (npr. premica p je pravokotna na stranico AB, stranico AB seka pod kotom, ki ni 90°). Sprotno spremljanje dejavnosti in dosežkov Predpostavimo, da v vseh primerih stranica AB trikotnika ABC leži na eni izmed koordinatnih osi. Vprašanja za spremljanje: • Ali je višinska točka trikotnika presečišče višin trikotnika? • Ali znaš napovedati lego parabole, če leži premica p pod stra- nico AB, AB pa leži na abscisni osi? • Ali znaš napovedati lego parabole, če leži stranica AB na or- dinatni osi, premica p pa ima enačbo x = d, d < 0? • Primerjaj lego temena parabole glede na točko C (je nad, je pod) v odvisnosti od oblike trikotnika ABC oz. velikosti kota γ ? IZ RAZREDA 30 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 • Naj za oglišča trikotnika ABC velja: A (0, 0), B(b, 0), C(t, d), d > 0, t je parameter, premica p pa ima enačbo y = d. Zapiši pogoje za d, da bo teme ležalo nad, na oz. pod premico y = d. • V katerem primeru je točka C lahko teme parabole? Gradivo UL_Geometrijsko mesto višinske točke trikotnika RUL_Geometrijsko mesto višinske točke trikotnika Pri pouku smo poleg opisanih aktivnosti izvedli še naslednje pri- mere [Ivančič, 6, str. 45]: Primer 1: Učenci so na primeru biljardne mize v obliki elipse ugotavljali odbojno lastnost elipse (Slika 20). Slika 20: Biljardna miza v obliki elipse. Primer 2 (Domača naloga): Učenci so poiskali primere, kjer se v vsakdanjem življenju uporabljajo predmeti, ki izkoriščajo od- bojno lastnost elipse in parabole. Primer 3 (Utrjevanje in preverjanje znanja): Na delovnih listih so bile zapisane različne enačbe, formule, točke, narisane krivu- lje … Dijaki so sestavili čim več različnih problemov in nalog na osnovi danih podatkov. Po omejenem časovnem obdobju so predstavili svoje naloge še ostalim sošolcem. Primeri iz delovnega lista: • • • Primer 4 (Matematična preiskovanja z uporabo IKT): Učen- ci so z matematičnim programom Geogebra raziskovali, katere množice točk v ravnini lahko predstavljajo enačbe z delovnega lista. Zapisali so tudi ustrezne pogoje za parametre, ki so nasto- pali v enačbah. Primeri enačb iz delovnega lista: • • • . Končno spremljanje Po predelani učni temi stožnice je sledilo pisno preverjanje zna- nja, kjer je bilo približno 10 % točk namenjenih preverjanju pro- blemskih znanj. Zaključek Med izvajanjem pouka sem spremljala predvsem didaktične vidike učnega procesa: motiviranost za delo, medsebojno sodelovanje, osmišljanje matematičnih vsebin, reševanje problemskih situacij in aktivno učenje. Znanje dijakov je bolj trajno in uporabno, če je pridobljeno z aktivnim sodelovanjem, ter če lahko pridobljeno znanje povežejo s primeri iz vsakdanjega življenja in medpredmetno. Vsi dijaki niso navdušeni nad takim načinom učenja. Pri marsikom mora učitelj vložiti veliko energije v njegovo motivacijo in aktivno sodelovanje pri pouku. Trud je poplačan ob pogledu na zadovoljne in ponosne dijake, ko so sami rešili problem. Primer naloge Dana je enačba elipse 9x 2 + 25y 2 = 225 in točka T(2, 1). a) Zapiši polosi in gorišči elipse. b) Skiciraj elipso. c) Parabola ima teme v točki T, gorišče pa v desnem gorišču elipse. Skiciraj parabolo, tako da narišeš teme in konstruiraš še dve točki na paraboli. Zapiši enačbo premice vodnice te parabole. Pri vprašanju c) je treba pokazati razumevanje definicije parabo- le v novi situaciji. Pri dijakih sem zaznala velik napredek v osmišljanju matematič- nih vsebin, postavljanju ključnih vprašanj za rešitev problema, razumevanju problemskih situacij in zaupanju v lastne matema- tične sposobnosti. Načrtovanje Aktivnosti pod točko 1. in 2. načrtujemo na začetku obravnave učne teme stožnice, aktivnosti pod točko 3. pa na koncu učne teme. Aktivnosti pod točko 3. lahko načrtujemo tudi v četrtem letniku, kot lep primer povezovanja in ponovitve različnih mate- matičnih učnih vsebin. IZ RAZREDA 31 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 Viri Legiša, P . (2002). Matematika. Učbenik za 3. letnik gimnazij. Ljubljana: DZS. Razpet, N. (1996/97): Višinska točka trikotnika in stožnice, Revija Presek II, str. 74−77, Založništvo DMFA, dostopno na http://www. presek.si/24/1295-Razpet.pdf (24. 10. 2019). Rugelj, M., Šparovec, J., Kavka, D., Pavlič, G. (2004). Prostor: matematika za 3. letnik gimnazij. Ljubljana: Modrijan. Žakelj, A. (2003). Kako poučevati matematiko: teoretična zasnova modela in njegova didaktična izpeljava. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Žakelj, A. in drugi (2008). Učni načrt. Matematika: gimnazija: splošna, klasična in strokovna gimnazija: obvezni predmet in matura (560 ur). Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Avsec A. [et al.]. Zbornik prispevkov konference NAMA 2012 (2012), Ljubljana, MIZKŠ, http://www.zrss.si/pdf/Zbornik-prispevkov- NAMA2012.pdf Iz digitalne bralnice ZRSŠ V digitalni bralnici lahko prelistate najrazličnejše strokovne publikacije: monografije in priročnike, ter druge publikacije, ki so izšle na Zavodu RS za šolstvo in so vam BREZPLAČNO dosegljive tudi v PDF obliki. www.zrss.si/strokovne-resitve/digitalna-bralnica 32 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 UČNI LIST Valovanje in stožnice Na učnem listu sta na vsaki sliki narisani dve družini koncentričnih krožnic z enakomerno naraščajočimi polmeri krožnic. Ponazarjata sočasno nihajoča točkasta izvora. Označi vsa presečišča krožnic. Upoštevaj geometrijske definicije stožnic in na vsaki sliki poišči eno družino stožnic, na katerih ležijo presečišča krožnic. Svojo ugotovitev utemelji. Obravnavani primer poveži z znanjem fizike. Kakšno vlogo imata pri nastalih krivuljah točki, ki ponazarjata izvora valovanja? Primer 1 Odgovori: UČNI LIST 33 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 Primer 2 Odgovori: 34 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 UČNI LIST Geometrijsko mesto višinske točke trikotnika Podan je trikotnik ABC z višinsko točko V. Razišči, po kateri krivulji se giblje višinska točka V, če oglišče C premikamo po premici p, ki je vzporedna daljici AB, točki A in B pa sta negibni. 1. Reši zastavljeni problem za naslednje podatke A(0, 0), B(6, 0), C(x, 4), premica p: y = 4. i) Reševanje problema z uporabo programa GeoGebra Ko boš rešil primer za dano premic y = 4, izberi še druge premice, ki so vzporedne daljici AB in za vsak primer posebej opazuj geometrijsko mesto višinskih točk. Kaj opaziš? ii) Analitično reševanje problema Izračunaj koordinati višinske točke V. Razloži, po kateri krivulji se giblje višinska točka. To krivuljo analitično obravnavaj. 2. Analitično reševanje splošnega problema Brez škode za splošnost si lahko izberemo koordinatni sistem, tako da je A(0, 0), B(b, 0), C(t, d), t je parameter, enačba premice p je y = d, d ≠ 0. Za tako izbran koordinatni sistem izračunaj koordinati višinske točke V. Nalogo rešuj na podoben način kot 1.ii). REŠENI UČNI LIST 35 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 Valovanje in stožnice Na učnem listu sta na vsaki sliki narisani dve družini koncentričnih krožnic z enakomerno naraščajočimi polmeri krožnic. Ponazarjata sočasno nihajoča točkasta izvora. Označi vsa presečišča krožnic. Upoštevaj geometrijske definicije stožnic in na vsaki sliki poišči eno družino stožnic, na katerih ležijo presečišča krožnic. Svojo ugotovitev utemelji. Obravnavani primer poveži z znanjem fizike. Kakšno vlogo imata pri nastalih krivuljah točki, ki ponazarjata izvora valovanja? Primer 1 Slika 1: Presečišča krožnic ležijo na hiperbolah Ugotovitev: Presečišča krožnic ležijo na hiperbolah, razen tistih presečišč, ki ležijo na simetrali daljice AB. Točki A in B, ki ponazarjata izvora valovanja, sta gorišči hiperbol. Utemeljitev: Izberemo točke, za katere iz slike sklepamo, da ležijo na isti hiperboli. Potem pokažemo, da za vse izbrane točke velja |r 2 – r 1 | = konstanta. Upoštevamo, da polmeri krožnic enakomerno naraščajo. Hiperbole predstavljajo interferenčne pasove valovanja. REŠENI UČNI LIST 36 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 Primer 2 Slika 2: Presečišča krožnic ležijo na elipsah. Ugotovitev: Presečišča krožnic ležijo na elipsah. Točki A in B, ki ponazarjata izvora valovanja, sta gorišči elips. Utemeljitev: Izberemo točke, za katere iz slike sklepamo, da ležijo na isti elipsi. Potem pokažemo, da za vse izbrane točke velja r 1 + r 2 = konstanta. Upoštevamo, da polmeri krožnic enakomerno naraščajo. REŠENI UČNI LIST 37 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 Geometrijsko mesto višinske točke trikotnika Podan je trikotnik ABC z višinsko točko V. Razišči, po kateri krivulji se giblje višinska točka V, če oglišče C premikamo po premici p, ki je vzporedna daljici AB, točki A in B pa sta negibni. 1. Reši zastavljeni problem za naslednje podatke: A(0, 0), B(6, 0), C(x, 4), premica p: y = 4. i) Reševanje problema z uporabo programa GeoGebra Ko boš rešil primer za dano premic y = 4, izberi še druge premice, ki so vzporedne daljici AB in za vsak primer posebej opazuj geometrijsko mesto višinskih točk. Kaj opaziš? Rešitev: • V orodni vrstici programa GeoGebra izberi ukaz Pogled in v meniju izberi Osi, Koordinatna mreža, Algebrsko okno. • Nariši točke A, B in C. • Nariši daljice AB, BC in AC. • Nariši točko (0, 4) in vzporednico k daljici AB. To je premica p • Točko C pripni na premico p z zaporedjem izbir , . • Konstruiraj višinsko točko V (je presečišče nosilk višin). • Za točko V klopi SLED. • Točko C premikaj po premici p. • Sled točke V je parabola. • Na krivulji si izberi tri točke npr. A(0, 0), B(6, 0), D(4, 2). • V vnosno vrstico programa zapiši: PolinomskaTrendnaČrta [{(0, 0), (6, 0), (4, 2)}, 2]. • S pritiskom na tipko Enter se ti v algebrskem oknu izpiše enačba funkcije, katere graf je parabola – sled višinske točke: . ii) Analitično reševanje problema Izračunaj koordinati višinske točke V. Razloži, po kateri krivulji se giblje višinska točka. To krivuljo analitično obravnavaj. Rešitev: Nosilka višine na stranico c je premica z enačbo x = t. Nosilka višine na stranico a je premica z enačbo . Presečišče premic je višinska točka . Ko parameter t teče po realnih številih (točka C se giblje po premici p), se višinska točka giblje po paraboli z enačbo oz. (Slika 1). Iz enačbe razberemo, da je teme v točki . Izračunamo, da je gorišče v točki in enačba premice vodnice je 38 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 REŠENI UČNI LIST Slika 1: Geometrijsko mesto višinske točke. 2. Analitično reševanje splošnega problema Koordinatni sistem izberimo tako, da je A(0, 0), B(b, 0), C(t, d), t je parameter, enačba premice p je y = d, d ≠ 0. Za tako izbrani koordinatni sistem izračunaj koordinate višinske točke V in izračunaj še ostale količine po vzoru naloge 1.ii). Rešitev: Nosilka višine na stranico c je premica z enačbo x = t. Nosilka stranice a ima smerni koeficient . Nosilka višine na stranico a je zato premica z enačbo . Presečišče premic x = t in je višinska točka . Ko parameter t teče po realnih številih (točka C se giblje po premici p), se višinska točka giblje po paraboli z enačbo Iz enačbe razberemo, da je teme v točki . Izračunamo, da je gorišče v točki in enačba premice vodnice je