Močnikovo razštevanje. (Spisal prof. L. Lavtar.) WMŁ er v rabi izraza -razštevanje" nismo dosledni, je treba, da izpregovorim nekoliko besedi o njem, preden se podara h glavni nalogi. Močnik piše v svoji nemški računici: MEine Zahl durch eine andere messen oder theilen, heifit dividieren," kar je v njegovi poslovenjeni računici prav dobro izraženo z besedami: ,,Število s številorn meriti ali deliti, se pravi razštevati". Reči morara, da se zadnjeinu izrazu dolgo časa nisem mogel privaditi, in vendar je izvrsten, a ne samo za silo dober. Ako n. pr. hočeni pozvedeti, «) kolikokrat je 4 v 12, ali />) koliko je xl-s od 12, nioram število 12 razstaviti na enake dele (12 = 4 —{— 4 —|— 4) ter dolooiti u) število takih delov, ali b) kolikost enega dela, kakoršno raz stavljanje se najlaglje vrši v obliki množenja (naštevanja) na vprašanje a) kolikokrat 4 je I _!, ali b) 3 krat koliko je 12. Število 12 je torej »razšteti", ako ga imamo a) meriti, ali pa b) deliti. — Merjenje radi prevajajo na ponavljano odštevanje, kar pa prav za prav spet le namerava, da se število 12 razšteje. Poprimimo se torej sploh izraza Brazštevati" za tuji ,dividieren". Iz enakega vzroka se poslužujino za ^iimltiplicieren" izraza Mnaštevati". Vse štiri računske vršitve bi iinele potem imena: Seštevanje, odštevanje, naštevanje in razštevanje. Razštevanje je a) ustno in l>) pismeno. Zadnje, kakor ga obravnava Močnik, mi že dolgo časa ne da miru, in zdi se mi skrajni čas, da ga natanoneje prerešetamo. Hočem se torej v tem spisu osobito s čistim pismenim razštevanjem pečati, ustno in uporabno razštevanje pa le raimogrede oraenjati, kjer se mi to zdi potrebno. Moonik piše (navod str. 129): »Pisineno razštevanje se le malo razloči od ustnega merjenja ali deljenja. Deliti se ima posamezna mesta*) začenši pri najvišem; ako se deli stotice, se dobi stotice; ako se deli desetice, se dobi desetice; ako se deli ednice, se dobi ednice." *) Prav za prav mest ne inoremo deliti, ampak le število enot na vsakeni teh inest. Pis. Te misli so jako dobre, ako bi jih razvijal in osvetlil Močnik na primerih n. pr. tako, kakor hočem v tem spisu na primernem mestu pokazati. Močnik piše dalje: ,,Najprej obravnavamo naloge, pri katerih se nima prehajati na drug red. N. pr. Naj se deli 96 s 3. I) E D E 96:3 = 32 9- 6 Z začetka se more zaradi lažjega vzora dekadični pomen posameznih številk s črkami nad njimi zaznačiti. 1. V zmislu merjenja. Kolikokrat je 3 v 96? 3 je v 9 E 3 krat, v 9 I) torej 30 krat; napišemo torej za ednačajem 3 D. Zdaj se pa hočerao prepričati, ali je 3 v 9 I) natančno 30 krat; 30 krat 3 je 90 ali 9 D, te napišemo pod 9 D in odštevamo. Ali kaj ostane? Torej je 3 v 9 D natančno 30 krat. — Zdaj pa poišeimo, kolikokrat je 3 v 6 E\ zato napišemo 6 E doli, 3 je v 6 E 2 krat; ti 2 E napišeino za 3 I); 2 krat 3 je 6; ako napišemo te 6 pod 6 E in odštevamo, ne ostane nič. 3 je torej v 96 30 krat in 2 krat t. j. 32 krat. 2. V zmislu deljenja: Koliko je 3. del od 96? Ako 9 D na 3 enake dele razdelimo, pridejo na 1 del 3 D; te napišemo na desni. Razdeljene so torej 3 krat 3 I) ali 9 D; te napišemo pod 9 D in odštevamo. Nobena I) ne ostane. — Deliti irnamo še 6 E, postavimo jih doli. Ako delimo 6 E na 3 enake dele, prideta na 1 del 2 E; te postavimo na desno. Delili smo torej 3 krat 2 E ali 6 E; 6 E od 6 E ne ostane nič. Tretji del od 96 so torej 3 D in 2 E, t. j. 32. Tu smo 96 s 3 merili in delili. Število z drugim meribi ali deliti, se pravi razštevati. Število 96, katero merimo ali delimo, se irnenuje deljenec; število 3, s katerim merimo ali delimo, delitelj; število 32, katero pri merjenju ali deljenju dobinio, količnik." Takjsto postopa Močnik za slučaje: „426: 2, 78 : 2, 347 : 4" samo da pri enem pritneru meri, pri drugem pa deli. Postopanje pri primeru „24867 : 81" je prejšnjemu podobno in zaradi krajšega tega ne navajam, vendar je pa dobro, če čitatelj raojega spisa to postopanje prebere v navodu str. 159, da moje sledeče besede do čistega razurae. Močnik sarn pristavi besede: Aus dieser urnstandlich gehaltenen Entwicklung ersehen die Schiiler i. t. d. Ako si ogledaš taka dolga razvijanja, si prisiljen, da se vprašaš, ali je otrok zares zmožen, da jih prenaša in prebavi. Izrazim celo prepričanje, da večina učiteljev ne razvija teh pravil po Močnikovem načinu, če pa to že enkrat za silo stori, da pozneje vendarle v m e h a n iškem razšt.evanju uri, katero so stari učencem kar naravnost pokazali, ne da bi jih poprej z dolgimi razpravami begali. Mehanizma pa, ki ga učenci ne razumejo, vendar ne moremo in ne smemo odobravati. Vsiljuje se nam torej vprašanje: Ali je mogoce pouk iz računstva takourediti, da se učitelj vsakemu dolgemu razpravljanju ogiblje ter učenca le vodi, vse drugo pa njegoverau razumu prepušča? Na to vprašanje sera odgovoril že s svojim načrtom za pouk iz računstva na enorazrednicah, ki sem ga priobčil v »Popotnikii". Prosim pa pri tej priložnosti, da vsak ta načrt, kdor se ž njim peča, s pomislekom prebira od konca do kraja, ne le tu pa tam, in naj si zvezo posameznih olenov dobro ogleda, če hooe dospeti do veljavne razsodbe o njem. Na to vprašanje pa hočem tudi v tem spisu odgovoriti z ozirom na učenca v prvem šolskem letu, osobito pa z ozirom na pismeno razštevanje. Pri pouku iz računstva se premalo oziramo na svojost uoenca in na svojost predmeta, in od tod izvirajo marsikatere težave. Preden torej preidem k svoji nalogi, hočera na tri težke poraote opozoriti, ki jih zagrešimo pri pouku iz računstva. 1. pomota: Raounska snov že od začetka ni prav urejena. O tein sem že mnogo govoril in pisal, in ravno o tej točki se pedagogi največ pričkajo. Pri nas v Avstriji, to je v Močnikovih računicah, nahajamo še zmerom vsestransko obravnavanje števil, katero so nani zanesli od tam, kjer kujejo za nas zveličalne ideje. Malokomu pa pride na misel, da je Nemčija jela popušeati to metodo, da so ji celo oni dali slovo, kateri so jo navadno zastopali, ker so spoznali pri pouku, da so na napačnem poti. Ali se to pravi računati, oe otroci gledajo na sliko in ž nje bero, da je: 3*4-3 = 6-, 6 — 3 = 3, 2X3 = 6, 3 v 6 = 2, V* od 6 = 3? Nehoie rni prido na misel knjiga: nDas Rechnon im ersten Schuljahre. (Zahlenraum 1—20.) Von Josef Gaubyu, ki je v Gradcu zagledala beli dan. Po svoje je izvrstno sestavljena in kaže na spretnega učitelja, ki hooe obrabljeno idejo z vso silo rešiti, vendar se pa bistveno ne razloči od Močnikovib knjig. V nji se vidi, kako se otroci z vso silo pripravljajo, da bi za vsestransko obravnavanje števil —t. j. za prisvojitev neprebavljive tvarine — postali zraožni. V to svrho se pečajo v številnem prostoru 1—5 s štenjem, s številno podobo, s številko, kar je drugače prav lepo obravnavano, spoznavajo posamezna števila, se bavijo z razstavljanjern*) teh števil na dva dela, s prištevanjem, z odštevanjem najprej z vsakim zase in potem z obojima v zvezi, z dopolnjevanjem in primerjanjern števil, s pojrni ,,enkrat", Mdvakrat", »trikrat" . . . da se pripravljajo na nadaljevano razstavljanje števil tudi na več kot 2 dela in na naštevanje, končno se pečajo z naštevanjem in merjenjem števil. Kolikovrstna snov za raalo glavico! V številnem prostoru 1—10 postopa Gauby kakor Močnik. ,,Von 5 aufwarts bis 10 ist dann der von Močnik eingeschlagene Weg am Platze", so Gaubyjeve lastne besede), pri katerem postopanju pa vendar polreba skozi vsa okna gleda, da je le dobro, ako se kolikor mogooe poslužujemo štetja in da ločimo prištevanje, odštevanje, naštevanje in merjenje drugo od drugega, če tudi le pri vsakem posameznem številu, kakor to stori Gauby. V številnem prostoru do 20 se Gaubyjevo postopanje razloči od Močnikovega — na jeziku mi leži beseda »navidezno" — ker obravnava vse vrste raounov drugo poleg drugega, četudi postopa ves čas po celera prostoru. ^Auch von 10 aufwarts noch von einer Zahl zur anderen vorzu- *) Ko si učence izuril v prištevanju in odštevanju, razstavljajo otroci števila samostojno, po tem poti pa mora učitelj staviti vprašanje na vprašanje, da doseže svoj zrnoter. Pis. schreiten, wie Močnik es macht, konnen wir nicht gutheissen. Das Zerlegen iiber 1 2 hinaus wird ermiidend, ist zeitraubend und fiir das vveitere Portschreiten des Unterrichts ganz und gar unnothig . . . Nachdem man die Zahlen von 10—20 vorgefiihrt und die Schliler mit der Anschrift derselben vertraut gemacht hat, gruppiere man die Uebungen fiir das Zu- und Wegzahlen, Vervielfachen und Messen derart, dass sich die Schiiler fortwahrend im ganzen Zahlengebiete (1—20) zu bevvegen haben . . ." Prepričan sem, da doseže Gauby po novi skrpani raetodi za svoje prvo šolsko leto boljše uspehe kakor poprej — celo take, da ga kratkogledi občudujejo, vendar pa on ne pripravlja za prihodnji ponk iz računstva. Tudi njegovo postopanje ni nič drugega kot branje zneskov iz številnih podob, katere ali napiše na tablo, ali pa sestavlja iz kroglic na raeunskem stroju ali iz palčic i. t. d. On ne raouna, t. j. on ne vadi učencev, da bi iskali število iz danih števil po spoznanem zakonu, kar se pa lahko od začetka že zgodi. Recirao, da srao otroka že seznamli s števili do 10 in z vsem drugim potrebnim gradivora, kakor je to razvideti iz moje prve računice, recimo da otroci znajo šteti in da tudi vedo, kako se od števila za 1, 2, 3 ... dalje šteje, potem jim že lahko damo nalogo: »Katero število dobiš, ako od 3 za 2 dalje šteješ?" — Kakor ta primer, tako preprosto se mora vsa snov prvega šolskega leta obravnavati; pri tem postopa učenec samostojno in se vadi v računanju, v nazornem računanju in ne v nazornem branju zneskov. Gaubyjevo nasprotje, v katero se sam postavi, hočem še osvetliti na primeru za uporabno računanja, katero tudi on ne ve s pravega stališča ocenjevati. ,,Koliko zvezkov moreš iz 15 pol popirja narediti, ako vzameš za vsak zvezek 3 pole?" To nalogo obravnava Gauby tako-le: a) Učitelj izreka nalogo glasno in jasno. b) Koliko pol vzameš za en zvezek ?(3) Kaj moramo izračunati? (Koliko zvezkov moremo narediti iz 15 pol.) Postopanje do tod moram le popolnoma odobravati. c) in d) Koliko zvezkov moreš iz 3 pol narediti? (1 zv.) Iz 3 pol + 3 pol ali iz 2 X 3 pol? (2 zv.) Koliko zvezkov iz 3 X 3 pol? — Iz 4 X 3 pol? — Iz 6 X 3 pol? — Mi pa moramo izraounati, koliko zvezkov morerao iz 15 pol narediti. Ko bi le vedeli, kolikokrat 3 pole je to? Učenec: 15 pol je 5 X 3 pole. Koliko zvezkov moremo torej iz 15 pol narediti? (5 zv.) Učitelj: Pozneje boste rekli: Iz 15 pol popirja morerao toliko zvezkov narediti, kolikokrat so 3 pole v 15 polah. 3 pole so v 15 polah 5 krat. Iz 15 pol morerao torej 5 pol narediti. Nazorovanje. Učitelj položi 15 pol popirja na mizo. Učenci se prepričajo, da je 15 pol. (Šteti.) Potem učitelj 3 pole proč vzaine. Te 3 pol.e dado prvi zvezek. Vzarae spet 3 pole proč. Te 3 pole dado drugi zvezek i. t. d. S tem se učenci prepričajo, da se more dejansko iz 15 pol narediti toliko zvezkov, kolikorkrat so 3 pole v 15 polah. e) Ponavljaj nalogo, N.! (Stori.) — Odgovori in začni z besedo »ako", J.! (Stori.)" Tako obravnava Gauby uporabno merjenje (str. 102.), pa tudi po Moenikovem ne raoreš drugače postopati. Ubogi učenček! To je huje, kakor da bi te križali! V tem obravnavanju pa je tudi vsa obsodba Gaubyjevega postopanja. Gauby s tako reŠitvijo namreč sam prizna, da niora učenec prištevanje, oziroma naštevanje razumeti, če hoee merjenje pretnagati; Gauby sam prizna, da mora učencu staviti vprašanje na vprašanje, če ga hoce privesti do rešitve te naloge; on sam prizna, da raora v vprašanje že rešitev naloge pokladati, on torej sam prizna, da tu o samostoj n os ti učenčevi še govora ni. Gauby se ne ozira na svojost učencev, kateri ne morejo v tem letu razumeti merjenja. — Isto velja tudi o Moonikovem postopanju. Koliko drugačen je pouk, če razne vršitve računov dosledno ločimo, to je, če prehajamo na naštevanje, ko si je učenec že prisvojil predstave za prištevanje, če prehajamo na razštevanje, ko si je učenec že prisvojil predstave za naštevanje, kar se pa ne zgodi v 1. šolskem letu, kakor nas uoi večletna izkušnja. Koliko drugačen je torej pouk, če v 1. šolskem letu osobito prištevanje in odštevanje izurimo, na naštevanje in razštevanje pa le pripravljamo, če prepustimo torej naštevanje in razštevanje drugemu šolskemu letu, za kateri vršitvi je prostor 1—20 tako preozek, ee se z razštevanjem šele peeamo, ko je naštevanje ucencem prešlo v kri in meso itd. itd. Navedeni prirner bi potemtakein šele v drugein šolskem letu in sicer najprej za one slučaje, pri katerih je količnik 2 ali 3, po naslednjih stopnjah obravnavali. Mislimo si, da učenci naštevanje že popolnoma razuraejo in sicer tudi pri uporabnem računu, potem mu stavimo navedeno nalogo glasno in jasno in zahtevamo celo od njega, da jo še enkrat sarn pove. Zdaj pa prepustimo njemu odgovor, kateri se, kakor nas uči izkušnja, navadno glasi: „5". Učitelj: Dobro si izračunal, reci pa boljše „5 zvezkov." — Kako si pa to izračunal? — Učenec odgovori: Ker je 5 krat 3 15. — Dobro! Reci pa boljše: Ker je 5 krat 3 zvezki 15 zvezkov". To je l.stopnja za rešitev takih nalog, in na tak način rešujerao naloge več časa (več tednov), toliko časa, da si učenci prisvoje zvezo takih predstav. Ko se je ta prisvojitev dosegla, pride 2. stopnja na vrsto, pri kateri se učenec najprej vpraša: »Kolikokrat 3 pole je 15 pol?" — 5 krat 3 pole je 15 pol; torej morein iz 15 pol 5 zvezkov narediti. — Na tak način rešujejo učenci naloge več časa, in šele potem, ko si morejo sami z vprašanji pomagati, preidemo na 3. stopnjo, pri kateri rešujemo nalogo v obliki razštevanja in ne v obliki naštevanja. Te misli sem le na kratko načrtal, upam pa, da me razume vsak blagovoljni čitatelj, ter da smem preiti na pogovor o drugi težki poraoti, katero zagrešimo pri pouku iz računstva. O Gaubyjevi metodi sera pa tudi zato govoril, da odgovorim onim Slovencera, kateri so Gaubyjevo knjigo dobili v roko, jo pregledali in že tudi raznesli njeno hvalo raed slovenski učiteljski svet. U2. poraota: Na podrobne stop nj e se ozi ramo prem alo. Oglejmo si take stopnje za ustno razštevanje in sicer tudi one, s katerimi na tako razštevanje pripravljamo. Omeniti moram tudi, da otroci že znajo števila razstavljati, prištevati in naštevati, ko začnem prevajati na ustno razštevanje. 1. stopnja. Razstavljanje števil na 2 (v prost. 1—20), na 3 (1—30) a) neenake, b) enake dele. N. pr. «) 6 ¦= 4 + 2, b) 6 = 3 -4- 3. 2. stopnja. Razstavljanje števil na 2 in 3 enake dele v zvezi z naštevanjem. N. pr. 2 = 1 + 1 ali 2 = 2 X K 3 = 1 -f 1 + 1 ali 3 = 3X1- 3. stopnja. Obrat druge stopnje. N. pr. 2 = • XI- 4. stopnja. Prevod tretje stopnje na razštevanje. N. pr. ,'x 1 = 2, 1 v 2= . Do tod si mislimo, da število enakih delov ni veče od 2 ali 3; od zdaj zanaprej je pa to število tudi lahko veče. N. pr. . X 2 = 8, 2 v 8 = . 5. stopnja. Merjenje samo zase. N. pr. 5 v 10 = . Gotovo je, da vse te stopnje ne pridejo v 1 uri na vrsto; učenec mora imeti časa, da si vsako prisvoji. Kolikor stopenj, toliko vrst nalog, katere učenci prav lahko pri posrednem pouku samostojno rešujejo. (Primerjaj ?,Načrt za enorazr.") Ce torej učiteJj učencem da odduška od ure do ure za vsako podrobno stopnjo, potem mu morajo tudi oni slediti, ki imajo tršo glavo. Moj načrt za enorazrednice je v tem zmislu sestavljen ter olajša učitelju in učencera delo; ta načrt se pa da tudi za šole, ki imajo vec razredov, z ozirom na ureditev snovi po stopnjah porabiti. Računstvo snierao primerjati s poslopjem, sestavljenira iz predstav, ki segajo druga v drugo. Kdor torej postavlja tako poslopje, raora zaporedoma predstavo predstavi pridevati, ne da bi katero preskočil, in te predstave trdno drugo z drugo zvezati. Zato pa je potreba mnogokratnega ponavljanja, da pridobivamo cele slike posameznih delov in celo sliko vsega poslopja. Tako n. pr. bi za gornji primer vselej, kadar preidemo na novo stopnjo, vse prejšnje stopnje zaporedoma na kratko ponavljali in temu ponavljanju pridjali novo stopnjo. 3. pomota: Pri pouku iz računstva premalo skrbimo za izdatno prisvojitev dekadične sestave števil. (Dalje prih.)