i
i
“1101-Mastnak-Felda-0” — 2010/7/13 — 10:49 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 19 (1991/1992)
Številka 6
Strani 331–333
Mitja Mastnak, prir. Darjo Felda:
VSOTA n-TIH POTENC PRVIHm ŠTEVIL
Ključne besede: matematika, vsota števil.
Elektronska verzija:
http://www.presek.si/19/1101-Mastnak-Felda.pdf
c© 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
1i)1-'-'-li)I-'-" ~I-''" ICI" 1".",
VSOTA n-TIH POTENC PRVIH m ŠTEVIL
Predpost avimo, da za vsako naravno število nobstaja n + 1 fun kcij
rk: R. ----+ R., k = 0,1, . . . , n, tako da velja
za vsako naravno število m. Označimo z Ak vrednost i, ki jih funkcije rk
dosežejo v n in s temi oznaka mi zapišimo vsoto n-tih potenc prvih m št evil
in vsoto n-tih potenc prvih m + 1 št evil:
1n+2n+ 3n+ .. .+(m+1t = Ao( m + 1t +1+A1(m+1t+ · · .+An(m+1) .
Odštejmo prvo ena kost od druge : (m + l)n = Ao((m + 1)n+1 - mn+I ) +
+A1 (( m + 1t - mn)+A2(( m + 1t - 1- m n- 1)+..'+A n((m+1)- m). Le
upoštevamo , da je (m + l)k = 1+ ( ~ ) m+ (~) m2 + .. .+ (k~l) mk- 1+ mk,
kjer je (7) = (k _k~) ! I! ' lah ko dobljeno ena kost zapišemo
ali
+ ... + m n ( (n : 1) Ao _1) =O.
Konstante Ak niso odvisne od m , zato je leva stran te enač b e pri vsakem
naravnem n polinom (naravne) spremenljivke m. Ta bo identično enak nič ,
če bodo vsi koeficient i ena ki ni č :
332
.Aa + .Al + ... + .An - 1 = O.
Izrazimo po vrsti iz vsake enačbe .Ak z najvišjim indeksom , ki v njej
nastopa , in upoštevajmo, da je Ak pomnožen z izrazom oblike ('11) , ki je
enak' + 1:
Ta sistem lahko podamo tudi takole :
1
.Aa = --,
n + 1
( n~ k) - ( (~~D Aa + ( n~ k) .A 1 +
n-k+1
( n ) _I: (n + 1 - ') A,n-k n-k
'=0
n -k +1
(n- k+2) , )... + n-k "'k - 1
Najprej izračunamo Al , ker poznamo .Ao, nato izraču namo .A2' ..., vsak
.Ak lahko i z r a ču n amo , ko poznamo vse pred njim . Le izraze oblike (n~k)
. p!
zam enj am o z ( ) ( ) ter števec in imenovalec pomn ožimo zp-n+k! n -k !
(n - k) !, dobimo še drugo obliko
333
k-1
n! ,(n+ l-I)!
kf- L (k+l_/)!AI
1=0
(n -k+l)!
m n
l.e so vsa sklepanja pravilna , velja torej formula ~ r n =~ Akmn+1-k,
r=1 k=O
kjer so Ak zgornje konstante .
O pravilnosti tega rezultata pa se lahko prav hitro prepričamo z indukcijo.
Naj bo najprej m = 1. Tedaj nam formula pove
kar je res pri vsakem n glede na našo izbiro konstant Ak.
Denimo, da formula velja pri nekem m (za vsak n):
1n+2 n+3 n+ . . ·+mn = Aom n+1+A1 mn+A2mn-1 +. . .+An_1m2+Anm.
Oglejmo si 1n+2n+3n+ ...+ mn+(m+l)n . Vsoto 1n+2n+3n+ .. .+
-l-rn" zamenjajmo z zgornjo desno stranjo, člen (m + It pa z izrazom
ki smo ga že srečali v tem sestavku . Tako imamo
kar potrjuje, da res velja zveza
m n
~ r n = ~ Ak mn+1- k,
r=1 k=O
k-1
~ _ , (n + 1 - /)! A
k! L (k + 1 _ /)! 1
1=0
(n-k+l)!
k. '"\ 1."\Jer Je AO = -n-+-l ln Ak = ---..,...----..,...---
Mitja Mastnak . prir. Darjo Fe/da