i
i
“2-3-Repovs-Naloga” — 2010/9/3 — 9:42 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 2 (1974/1975)
Številka 3
Stran 119
Dušan Repovš:
NALOGA Z MEDNARODNE MATEMATIČNE OLIM-
PIADE
Ključne besede: matematika, srednješolski pouk, teorija števil.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/2/2-3-Repovs-naloga.pdf
c© 1975 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
NALOGA Z MEDNARODNE MATEMATiČNE OLIMP IADE
21n+4
Doka ž i t e , da u lomka 14n+ 3 ne moremo okraj šati za no beno na-
ravno š t e v i l o n .
Prva rešitev: Na j bo d (d~l) največji s kupni de l i t e l j š t e vc a in
i menovalca d a nega ulomka. Torej je 21n+4 =sd in 14n+ 3=t d , k jer sta
t in s naravni š t e v i l i . Potem lahko nastavimo si s tem :
4 2n+ 8=2sd
4 2n+ 9=3td
(1)
(2) odš t e j e mo (1) ~ d ( 2)
1 =(3t - 2s) d
1 / d= 3t- 2s
delimo enačbo z d
ker je desni i ~raz celo število (razlika dveh naravnih števil) ,
je tudi leva s tran'enačbe celo š t ev i l o . Torej je d=l . Ke r pa je
d po definiciji največji s k upni delit e l j , sta si š t e ve c i n i meno-
valec danega ulo mka tuji števili z a vse n in ulomka zato ne mo r e -
mo okrajšati.
Druga rešitev: Upo r a b i mo Evklidov algoritem :
21n +4 =( 14n +3 ) ' 1 + 7n+l
14n+ 3=( 7n+l)' 2 + 1
Torej je največji s kupni delitelj š t evc a in imenovalca 1. Nada l j -
ni sklep je analogen prejšnjemu.
Opomba : Ta n a l o ga je b i l a n a 1. mednarodni matematični olimpiadi.
Orga n i z i r a l i s o jo Romun i v juliju 195 9 . Ud e l e ž i l o se je j e sedem
d r ž av : Bolga ri j a , Romu n i j a , NDR , CSSR , SSSR , Madž a r ska in Poljska.
Med posamezniki j e zmagal B. Di v iš ( CSSR), ekipno pa Romu ni j a .
Dušan Repovš
"Mednarodna matematična oLimpiada je te kmovanje , na katerem s e
v sako l e t o s re čaj o najboljši ml a di matematiki iz vs e h k o n ce v
sveta . Tekmo v an j e traja dva dni. Vs ak dan r e š u j e j o dijaki po
tri na Log e. Sn o v naLog obsega vso sre dnješoLs ko matemati ko,
zahteva pa predvsem veLiko me ro iznajdLjivost i in kanček b is -
troumnosti. Naši s rednješoLci že od Leta 1963 z uspehom te kmu -
jejo na te h pomembnih p riredi tvah . Leta 1967 je biZa 9 . medna-
rodna matematičnaoLimpiadap ri nas v Cetinju.
119