Elektrotehniški vestnik 80(4): 184-188, 2013 Izvirni znanstveni članek
Modalni in statistični pristop pri opisu zvočnega polja v prostoru
Rok Prislan
Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko, Jadranska 19, 1000 Ljubljana, Slovenija E-pošta: rok.prislan@gmail.com
Povzetek. Predstavljena sta dva najpogosteje uporabljena pristopa pri opisu zvočnega polja v prostoru: modalni in statistični. Modalni pristop je uporaben pri niZjih frekvencah, medtem ko je uporaba statističnega pristopa upravičena pri višjih frekvencah. Pristopa sta si komplementarna in uporabljena glede na obravnavan frekvenčni reZim. V članku je na podlagi meritve izmerjenega zvočnega polja v prostoru predstavljen pojav naravnih načinov, na katerem temelji modalni opis. Ta je izpeljan iz valovne enačbe, ki vodi do ugotovitve, daje iskanje naravnih načinov matematično ekvivalentno iskanju lastnih funkčij pri danih robnih pogojih. Robni pogoji in numeričšne metode resševanja, ki so za prostorsko akustiko relevantni, so predstavljeni. V drugem delu je na podlagi prekrivanja resonanč utemeljen statistični opis zvočnega polja. Tako sta uvedena Sčhroederjeva frekvenča in končept difuznega zvočšnega polja, katerega uporabnost je predstavljena na izpeljavi zveze med izsevano močšjo zvočšnega vira, zvočšnim tlakom v prostoru in absorpčijo na mejnih povrsšinah.
Ključne besede: modalni opis zvočnega polja, statistični opis zvočnega polja, difuzno zvočno polje, Sčhroederjeva frekvenča
A modal and a statistical description of the sound field in a room
There are two widely used approaches to describing the sound field in a room: the modal and the statistical approach. As the modal approach is used at lower and the statistical approach at higher frequencies, the two approaches can be used comple-mentaryly depending on the frequency range of our interest. The paper describes a sound field in a room and describes the observable natural modes. The modal description is derived from the wave equation. It is shown that the process of finding the natural modes is the same as finding eigenfunctions for a given set of boundary conditions. The boundary conditions for the acoustic case are presented. The statistical approach is explained by introducing the modal overlap which leads to the Schroeder frequency. The concept of the diffused sound field is presented together with the relation between the power of the sound source, sound pressure and sound absorption. Examples are given of using the concept of the diffuse sound field in technical acoustics.
1 UVOD
Cilj prostorske akustike je projektiranje akustike prostora, ki ustreza njegovi funkciji. Proces projektiranja je izrazito multilateralen, saj so potrebni razumevanje interakcije zvočnega polja z uporabljenimi materiali, poznavanje lastnosti zvocnih izvorov in razumevanje clovekove percepcije akustike prostora. Vkljucevanje cloveka je se posebej zahtevno, saj ne gre zgolj za optimiziranje parametrov akustike prostora, temvec je treba upoštevati tako psiho-akusticne vidike, kot tudi
elemente tradičije, kulturnega okolja in ne nazadnje oblikovne zahteve za prostor [1].
Kljub omenjenemu pa je za uspešno napovedovanje akustičnih lastnosti prostora* ključno razumevanje osnovnih fizikalnih mehanizmov, prek katerih se zvočno polje v prostoru vzpostavi. To je pomembno ne glede na to, da je mogočše matematičšno opisati zgolj redke geometrije oz. nekatere idealne primere, ki v realnosti nikoli niso dosezšeni. Razumevanje osnovnih končeptov je namreč ključ do razumevanja tudi bolj kompleksnih primerov, ki so tudi prečej manj intuitivni.
Članek predstavlja dva pristopa, ki se v praksi pogosto uporabljata: modalni pristop in statistični pristop [2]. Čš lanek ni zastavljen kot čelovit pregled nad področšjem, temvečš poskusša predvsem zdruzšeno opisati končepte, ki se sičer razsajajo prek večš strok.
2 Modalni opis zvočnega polja
Ob opazovanju frekvenčnega odziva zvočnega polja v prostoru (glej sliko 1) postane očitno, da je odziv pri nekaterih frekvenčah izjemno močan. Ta efekt je še posebej izrazit, če je v prostoru malo zvočne absorpčije.
Frekvenče, pri katerih prihaja do močnega odziva, so resonancne frekvence in oblika zvočnega polja (tj. prostorska porazdelitev zvočnega tlaka) pri resonančnih frekvenčah se imenuje naravni nacin (ang. natural mode).
Modalni opis zvočšnega polja v prostoru temelji na izračunu resonančnih frekvenč in naravnih načinov za
Prejet 23. september, 2013 Odobren 18. oktober, 2013
* Projektiranje akustike prostora je v svojem bistvu njeno napovedovanje.
1 d2 ,
V2 + C2 PM
0.
(1)
Enačba je homogena in ne upošteva izvorov, zato je njena desna stran nič.
Ob separaciji časovnega in krajevnega dela z nastavkom p(r,t) = P (r) T (t) se obe odvisnosti v valovni enačbi lahko zapišeta ločeno:
V2P (r) = 1 d2 T (t) P (r) c2T (t) dt2 '	()
Enačaj v enačbi (2) velja za vsako točko v prostoru in ob vseh časih le, če je vsaka stran konstantna. Tako enačba razpade na krajevno in časovno Helmholtzovo enačbo
(V2 + k2) P (r) =0,
( d2
V c2dt2
+ k2 T (t)
0.
(3)
(4)
Za časovni del so rešitev harmonski valovi
T (t) = T0 exp(-iwt),
z valovnim vektorjem k = w/c. Nasprotno, za krajevni del resšitev ni vnaprej znana in je treba poiskati lastne funkčije operatorja V2 za dano geometrijo in robne pogoje.
2.2 Lastne funkcije krajevne Helmholtzove enačbe Rešiti je treba krajevno Helmholtzovo enačbo (3)
(V2 + k2) V(r) = 0,
kar je ekvivalentno iskanju lastnih funkčij in lastnih vrednosti An operatorja V2
VV„(r) = A„^„(r) = -k£ V>n(r).
(5)
80 100 120 140 160 180 200 frequency [Hz]
Slika 1: Izmerjen frekvenčni odziv pravokotnega prostora dimenzij 328 cm x 438 cm x 295 cm. Območja visokega zvočnega tlaka predstavljajo resonančne frekvence, ki pa niso nujno vse vidne, ce je zvocni izvor ali mikrofon postavljen v vozel naravnega nacina. Meritev je vzeta iz [3].
dano geometrijo prostora in dane robne pogoje. V nadaljevanju so predstavljeni postopki, ki ob uporabi ustreznih matematičšnih orodij pripeljejo do naravnih načinov in resonančnih frekvenč. Ker nanje vplivajo tudi robni pogoji, so prestavljeni tisti robni pogoji, ki se v akustiki najpogosteje srečajo.
2.1 Helmholtzova enacba
Temeljna enačba propagačije zvoka je valovna enacba, ki ima v neskončnem prostoru obliko [4]:
Pri tem mora biti uporabljena pravilna oblika operatorja V2, ki je odvisna od koordinatnega sistema, v katerem se iščejo rešitve.
Rešitev je dana v obliki druzine funkčij, ki morajo biti ustrezno normirane, tako da za vsako velja
(r)dr = 1.
(6)
IV
Iskanje lastnih funkčij in lastnih vrednosti je ustaljen postopek v matematiki, zato je zainteresiran braleč napoten na literaturo s področšja matematičšne analize.
2.3 Robni pogoji
Določitev konstant, ki popolnoma definirajo rešitev iz druzšine funkčij (glej 2.2), poteka z uposštevanjem robnih pogojev (RP). Ti so definirani z mejno geometrijo prostora (S) in obliko interakčije zvoka z njo. RP je mogoče razdeliti v tri skupine [5] glede na njihov matematični zapis*: I.
1)	tip RP (Dirichlet) - predpisana je vrednost zvočšnega tlaka
p(r G S) = C
Ta RP v akustiki nima praktičšnega pomena.
2)	tip RP (Neumann) - predpisana je vrednost krajevnega odvoda tlaka
dp(r)
d n
= C,
r es
3)
kjer je n enotski vektor, pravokoten na S. Ta RP velja npr. za rigidno steno (C = 0), na kateri ni absorpčije, in prihaja do popolnega odboja zvočšnega valovanja. Ta robni pogoj se uporablja v vseh sšolskih primerih izračšuna naravnih načšinov v prostoru.
tip RP (Robin) - kombinačija RP prvega in drugega tipa
Ap(r) + B
dp(r) dn
C.
res
Ta RP se imenuje tudi impedancni, saj je tedaj, ko je C = 0, spečifična impedanča p/u = B/Aiwp. To postane očitno ob upoštevanju zveze med zvočšnim tlakom in hitrostjo
du
+ Vp
0
(7)
*Za obsezen pregled robnih pogojev v akustiki je bralec napoten na [6].
oz. ob predpostavki ravnih valov
dp
-tupu^ + — = 0. d n
2.4 Omejitve modalnega pristopa
Za nekatere geometrije in robne pogoje je analitično iskanje lastnih vrednosti in lastnih funkcij relativno preprosto [5]. Zal pa analitične rešitev niso znane za splošen primer, temveč zgolj za nekatere geometrije (npr. kvader, sfera in cilinder) in robne pogoje prvega ali drugega tipa. Obe omejitvi naredita celoten pristop neuporaben za prostore, ki jih srecšamo v realnosti, saj so tako uporabljeni materiali kot tudi oblika prostorov veliko bolj kompleksni.
Alternativno je mogoče za poljubno geometrijo prostora naravne načine in resonančne frekvence izračunati z valovnimi računalniškimi metodami. Mednje spadajo metoda končnih razlik [7], metoda končnih elementov [8] in metoda robnih elementov [9] - skupno jim je to, da diskretizirajo geometrijo prostora. Zahtevana finost te diskretizacije je ključno povezana z njihovo uporabnostjo; zelena valovna dolzina modeliranja zvočnega polja je namreč direktno povezana z velikostjo elementa diskretizacije [10]. Izkaze se, da so z računsko močjo, ki je trenutno na voljo, valovne metode v praksi omejene na uporabnost izključšno pri nizkih frekvenčah, ko so valovne dolzine velike [11]. Izkaže se tudi, da so tako čšasovne, kot tudi pomnilnisške zahtevnosti valovnih metod taksšne, da omejitve ne bodo odpravljene v doglednem času razvoja strojne opreme.
3 Statistični opis zvočnega polja
Upravičenost uporabe statističnega opisa zvočnega polja je predstavljena s pomočjo prekrivanja resonanc. Uvedena sta Schroederjeva frekvenca in koncept difuznega zvočnega polja. Primer uporabe koncepta difuznega zvočnega polja je predstavljen z izpeljavo zveze med močjo zvočnega izvora, zvočnim tlakom in absorpcijsko površino. Ta primer je predstavljen, ker nazorno prikaze uporabnost pristopa, sicer pa so podrobne izpeljave opuščene, saj razumevanje statističnega pristopa zajema napredno znanje statistike. Zainteresiran bralec je napoten na osnovno literaturo s področja (npr. [12]).
3.1 Schroederjeva frekvenca in difuzno zvočno polje
Kot je predstavljeno v poglavju 2.4, je modalni pristop omejen na nizke frekvence. Tako se pri višjih frekvencah uporablja statistični pristop, ki izkorišča dejstvo, da se gostota resonanc viša kot kvadratna funkcija frekvence [2]:
)
4nV
-f 2.
(8)
Da se število resonanc veča s frekvenco, je razvidno tudi iz slike 1.
Poleg gostote resonanc pa je ključno tudi njihovo prekrivanje, kar je v svojem temeljnem članku [13]
obravnaval M. Schroeder. Ključna Schroederjeva ugotovitev je, daje prekrivanje resonanc (ang. modal overlap) priblizno 3 pri frekvenci
(9)
fsch = 2000 y -f
V gornji enačbi je fSch Schroederjeva frekvenca v Hz, Teo odmevni čas v s, V pa volumen v m3.
V prostorski akustiki velja, da je nad Schroederjevo frekvenco statistični pristop upravičen. Takrat namreč k zvočnemu polju pri dani frekvenci bistveno prispeva veliko število naravnih načinov, tako da obravnavanje posameznih resonanc ločeno nima pomena. Uporaba statističnih metod je priročna, saj vodi do preprostih relacij med fizikalnimi količinami, ki so sicer povezane na veliko bolj zapletene načine. Najlepši primer tega je Sabinova reverberacijska teorija [1] in vsem poznana Sabinova enačba za odmevni čas, ki se izračuna zgolj s pomočjo površine prostora, njegovega volumna in količine absorpcije v njem
0.16V
Te o = --a—,	(10)
kjer je Teo odmevni čas v s, V volumen v m3, A pa absorpcija prostora v enotah m2.
Pomembno idealizirano zvočno polje, ki temelji na statističnem opisu, je difuzno zvočno polje. Njegovo temeljenje na statističnem pristopu je očitno ze iz njegove definicije, kije po akustičnem slovarju [14]: "Difuzno zvocno polje je sestavljeno iz neskončno mnogo nekoreliranih ravnih valov, ki imajo enakomerno smerno porazdeljeno intenziteto. Skupna intenziteta je torej nič."
3.2 Izsevana moč zvočnega izvora izvora
Kot primer aplikacije koncepta difuznega zvočnega polja je izpeljana zveza med izsevano močjo zvočnega vira, zvočnim tlakom in absorpcijsko površino v prostoru* .
Zvočno polje je zapisano v obliki ravnih valov
C
P(°, f) = —^ exP («M - kxX - ky y - kz z)), (11)
pri čemer se komponente valovnih vektorjev v sfernih koordinatah zapišejo kot:
kx = k sin 0 cos f, ky = k sin 0 sin f, kz = k cos 0.
(12)
Ker so skladno z definicijo difuznega zvočnega polja valovi nekorelirani, med njimi ni interference. Tako je rms vrednost zvočnega tlaka v poljubni točki v prostoru izračunana kot prostorski integral kvadrata zvočnega tlaka iz enačbe 11
Pr
ICi2
8n
c2n
df
sin 0d0
C 2
(13)
* Izpeljava je povzeta po [2].
3
c
n
2
o
—n
Ob upoštevanju zveze med zvočnim tlakom in hitrostjo iz enačbe (7) ter enačbe (11) je mogoče zapisati z-komponento zvočšne hitrosti
- /n \ C cos 0
uz(0, p) = -== exp (i(wt — kxx — kyy — kzz)).
pc\/4n
(14)
Pri tem je p gostota zraka, c pa hitrost propagačije zvoka. Tako je mogoče na podlagi enačbe (11) in (14) zapisati tudi z-komponenta zvočšne intenzitete
1	ICI2
Iz(0,p) = -Re [p(0,p)UZ(0,p)] = i-L cos 0. (15)
2	8 npc
Skladno z definičijo difuznega zvočnega polja je integračija intenzitete po čelotnem prostorskem kotu enaka nič. Drugače je na mejnih površinah prostora, kjer integračija poteka zgolj po poloviči prostorskega kota. Tako je na mejni površini z normalo v smeri z-koordinate vpadla intenziteta
Iv
2
prms
4pc '
(16)
To je mogočše interpretirati kot vpadlo zvočšno močš na enoto površine. Zato je smiselno uvesti skupno absorp-čijo v prostoru kot
A = si a
(17)
ki pomeni delezš vse zvočšne energije, ki se absorbira ob odboju zvoka na mejnih površinah. V enačbi (17) je zapisna vsota produktov koefičientov absorpčije zvoka1" a, [1, str. 46-49] in pripadajočih površin. Tako je iskana zveza med izsevano močjo, zvočnim tlakom in absorp-čijo
Piz
Pa
abs
2
Iv A = A.
4pc
(18)
Ta uposšteva energijsko bilančo, tako da je izsevana energija izvora enaka absorbirani energiji na mejnih površinah, tj. obravnavamo stačionarno zvočno polje. Zveza (18) upošteva tudi, daje zvočno polje izotropno, kar pomeni, da je zvočšna intenziteta enaka neodvisno od orientačije mejnih površin.
3.3 Uporabnost difuznega zvočnega polja v tehniški akustiki
V tehnisški akustiki je končept difuznega zvočšnega polja še posebej razširjen in na njem temelji veliko standardiziranih akustičnih meritev (npr. ISO 140, ISO 354, ISO 3382 [15]). Tako se s pomočjo enačbe 18 določa hrupnost zvočnih izvorov (ISO 3747), kjer je absorpčija A določena s pomočjo Sabinove enačbe (10), torej s pomočjo meritve odmevnega časa.
Za vse meritve, ki temeljijo na difuznem zvočšnem polju, pa obstajajo zahteve, ki nekoliko omejijo njihovo uporabnost. Tako je pristop neuporaben izpod
t Koefičienti absorpčije zavzemajo vrednosti med 0 in 1 in predstavljajo delez energije, ki se ob vpadu zvočnega vala na površino absorbira.
Schroederjeve frekvence, izvori zvoka pa morajo biti ustrezno širokega spektra, sicer ni zadoščeno zahtevi o nekoreliranosti zvočnih valov difuznega zvočnega polja.
Da je koncept difuznega zvočnega polja pomemben, dokazuje tudi trajajoca razprava v strokovni javnosti. Kljucni predmet diskurza je dejstvo, da ne obstaja kvantitativno merilo za difuznost zvocnega polja[16], ki bi bilo tudi sširoko sprejeto. Tako je prisotnost difuznega zvocšnega polja za vecšino prakticšnih potreb kar predpostavljena.
4 Sklepi
Pokazano je bilo, da je modalni pristop, ki temelji na osnovni enacbi propagacije zvoka, tj. valovni enacbi, v matematicnem pogledu ekvivalenten iskanju lastnih vrednosti in lastnih funkcij diferencialnega operatorja ob danih robnih pogojih. Robni pogoji so bili obdelani loceno. Zal je pristop kot analiticna metoda omejen na geometrije in robne pogoje, ki se v realnosti le redko pojavijo. V tem smislu je analiticen modalni pristop pomemben zgolj za razumevanje temeljnih konceptov akustike prostora.
Drugacše je z valovnimi numericšnimi metodami, ki ne poznajo omejitev glede geometrije in robnih pogojev. To naredi modalni pristop uporaben tudi v praksi, a zal ne v vseh primerih. Tudi racunalniške metode imajo namrec omejitve, ki so vezane na racunsko in prostorsko zmogljivost, ki postane omejujoca pri visokih frekvencah.
Tako postane pri višjih frekvencah upravicen stati-sticni pristop, za katerega se privzame Schroederjeva frekvenca kot najnizšja frekvenca uporabnosti. V praksi so statisticšne metode sširoko v rabi v tehnisški akustiki ter so podlaga za reverberacijsko teorijo. Koncept difuznega zvocnega polja namrec prinese poenostavljene zveze med fizikalnimi kolicinami, kar naredi koncept zelo prirocen.
Literatura
[1]	H. Kuttruff, Room acoustics, 2nd ed. Applied Science Publishers London, 1979.
[2]	F. Jacobsen, The sound field in a reverberation room - no. 31261, Technical University of Denmark, January 2010.
[3]	R. Prislan, "Aspects of room acoustic modeling," Master's thesis, Technical University of Denmark, Department of Electrical Engineering, Danska, 2011.
[4]	-, "Ikonalni pristop k akusticnem modeliranju,"
Master's thesis, Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani, Slovenia, 2009.
[5]	I. Kušcer, A. Kodre, H. Neunzert, M. Razpet, and B. Golli, Matematika v fiziki in tehniki. DMFA -zalozništvo, 1994.
[6]	T. Cox and P. D'Antonio, Acoustic Absorbers and
Diffusers: Theory, Design and Application. Taylor & Francis, 2009.
[7]	K. Kowalczyk and M. van Walstijn, "Virtual room acoustics using finite difference methods. how to model and analyse frequency-dependent boundaries?" ISCCSP, pp. 1504-1509, March 2008.
[8]	V. Easwaran and A. Craggs, "On Further Validation and use of the Finite-Element Method to Room Acoustics," Journal of Sound and Vibration, vol. 187, no. 2, pp. 195-212, October 26 1995.
[9]	Y. Kawai, "Boundary element method for computing transient acoustic waves in a room," Technology Reports of Kansai University, pp. 69-77, 2007.
[10]	S. Marburg and B. Nolte, Computational Acoustics of Noise Propagation in Fluids: Finite and Boundary Element Methods. Springer London, 2008.
[11]	I. Harari and T. J. R. Hughes, "A cost comparison of boundary element and finite element methods for problems of time-harmonic acoustics," Comput. Methods Appl. Mech. Eng., vol. 97, no. 1, pp. 77102, May 1992.
[12]	A. D. Pierce, Acoustics - An Introduction to Its Physical Principles and Applications. Melville, NY, USA: Acoustical Society of America (ASA), 1989.
[13]	M. Schroeder, "Die statistischen parameter der frequenzkurven von grossen raumen," Acustica, no. 4, pp. 594-600, 1954.
[14]	C. Morfey, The Dictionary of Acoustics. London, UK: Academic Press, 2001.
[15]	I. O. for Standardization, "iso," 2013. [Online]. Available: http://www.iso.org/
[16]	T. J. Schultz, "Diffusion in reverberation rooms," JSV, vol. 16, no. 1, pp. 17-28, 1971.
Rok Prislan je leta 2009 diplomiral iz področja matematične fizike na Univerzi v Ljubljani. Leta 2011 je na Danski Tehniški Univerzi magistriral iz področja Engineering Acoustics in je trenutno doktorski študent fizike na Univerzi v Ljubljani. Njegovo področje raziskovanja obsega področja numeričnih simulacij akustike prostora, modeliranje akustičnih elementov, meritev akustičnih parametrov prostora, uklona zvoka in senzitivnosti zvočšnega polja v prostoru.