ISSN 0351-6652 Letnik 28 (2000/2001) Številka 5 Strani 264-268
Dragan Marušic in Tomaž Pisanski:
MOBIUS-KANTORJEVA KONFIGURACIJA V POLITIKI
Ključne besede: matematika, kombinatorika, konfiguracije, aplikacije, politika.
Elektronska verzija:
http://www.presek.si/28/ 1452-Marusic-Pisanski.pdf
© 2001 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
MOBIUS-KANTORJEVA KONFIGURACIJA V POLITIKI
Zna.no je, da morajo v predvolilni tekmi v politiki veljati stroga pravila, sicer lahko pride do zlorab političnih nasprotnikov, ki poskušajo na vse načine izboljšati položaj svojega kandidata na račun tekmecev. Zato si tudi mediji prizadevajo enako pozornost namenjati vsem kandidatom. Tako včasih do sekunde natančno omejujejo čas, ki ga. ima na razpolago posamezni kandidat.
Včasih pa brez znanja matematike ne gre. Oglejmo si konkretni primer, ki se je zgodil v Sloveniji pred leti, natančneje jeseni leta 1997 pred volitvami predsednika Republike Slovenije. TV se je odločila, da. bo v osmih oddajali predstavila 8 kandidatov tako, da so v vsaki oddaji nastopali po trije kandidati in je vsak kandidat prišel trikrat na vrsto. Oddaje so se vrstile v dveh tednih, od ponedeljka do četrtka. S stališča gledalca in potencialnega volilca bi bilo zanimivo čimbolj pestro soočanje, tako da bi se vsak kandidat pojavil vsakič z drugimi tekmeci. V idealnih razmerah se lahko en kandidat sreča z največ šestimi tekmeci (na vsaki od treh oddaj s po dvema). Ce se dva kandidata srečata dvakrat., se tako nujno zmanjša, pestrost srečanj, saj se potemtakem vsak od njiju sreča največ s petimi kandidati.
Leta 1997 so bili kandidati za predsednika republike naslednji: Marjan Poljšak, Janez Podobnik, Bogomir Kovač, Milan Kučan, Tone Peršak, Franc Miklavčič, Marjan Cerar in Jože Bernik. V konkretnem primeru se voditeljem TV žal ni posrečilo najti prave rešitve, čeprav obstaja. Tako sta se npr. Janez Podobnik in Milan Kučan soočila dvakrat. Poglejmo, kaj bi morali narediti televizijci, če bi znali dovolj matematike.
Recimo, da imamo 8 kandidatov, začasno jih označimo kar takole:
A, C, D, K. F, G, M.
Oglejmo si vse tri pojavitve kandidata A: AX\X2, AX-^X4, Če se noben par kandidatov ne sooči dvakrat, so kandidati A, X\,	,
X4,X^,X6 vsi različni. Manjka natančno eden, s katerim se kandidat A ne sooči. Označimo ga z A'. Seznam kandidatov lahko zdaj brez škode za splošnost preimenujemo takole: A, B, C, D, A', B', C", D'.
Dokažimo naslednjo trditev:
Če se sooči/o kandidati XYZ, se soočijo tudi kandidati X'Y'Z'.
Pri tem razumemo, daje za vsakega kandidata X" — X. To pomeni, da. npr. trdimo, da ob soočanju ABD' pride tudi do soočanja A'B'D.
Takole razmišljamo za poljubno soočanje XYZ in poljubnega kandidata X te pojavitve: Iz XYZ izhaja XY'VV in XZ'W'. Če ta razmislek ponovimo za soočanje XY'W in kandidata Y\ dobimo ali (Y'X'Z in Y'W'Z') ali CY'X'Z' ill Y'W'Z). Prva možnost odpade, saj bi se kandidata Z' in W srečala dvakrat.
Brez škode za splošnost lahko pri vzamem o, da se soočijo kandidati ABC. Od tod sklepamo na AC D in AB'D'. Pri tem bi lahko še zamenjali D in D', vendar bi to pomenilo le drugačno poimenovanje kandidatov, na rešitev pa. ne bi vplivalo. Od tod dobimo oh zgornji trditvi šest pojavitev:
ABC, A'B'C\ AC'D, A'C D', AB'D',A'BD .
Manjkata le še dve soočanji, ki sta enolično določeni, in sicer BCD' in B'CD.
Soočenja lahko zapišemo v preglednico. Vsak stolpec ustreza soočanju. V okrajšani obliki dobimo tole razporeditev:
A	B	C	D	A'	B'	C	D'
B	C'	D	A'	B'	C	D'	A
C	D'	A	B	C	D	A!	B'
Kot vidimo, se vsak kandidat pojavi trikrat, vsakič v eni od treh vrstic. To pomeni, da ga vsakič lahko posedejo na drug stol in da odgovarja enkrat prvi, drugič drugi in tretjič tretji. Tako so možnosti kandidatov resnično izenačene.
odgovarja		po I	to 1	sr I	če I	po II	to II	sr II	če II
1.		A	B	C'	D	A'	B'	C	D'
2.		B	C'	D	A1	B'	C	D'	A
3.		C	D'	A	B	C'	D	A'	B'
Tabela 1. Pravilni razpored TV soočanj osniili predsedniških kandidatov
Geometri L9. stoletja so se veliko ukvarjali s ti. t!a konfiguracijami. To so matematične strukture v točk in v premic, tako da potekajo skozi vsako točko tri premice in ležijo na vsaki premici po tri točke konfiguracije. Seveda se lahko dve premici konfiguracije sekata največ v eni skupni točki. Izkaže se, da je najmanjši t), pri katerem obstaja takšna konfiguracija, v = = 7. Obstaja ena sama 7;j konfiguracija, imenuje se Fanova konfiguracija. Če jo želimo prikazati v običajni ravnini, moramo eno od premic modelirati s krožnico. V tem prispevku smo pokazali, da obstaja tudi ena sama 83 konfiguiracija. Imenuje se Mobius-Kantorjeva konfiguracija. Tudi tu
moramo eno od premic modelirati s krožnico. Z naraščajoč i in v pa se število konfiguracij hitro veča. Pred kratkim so z računalnikom izračunali število 113 konfiguracij za 7 < v < 18.
v	štev. t/3 konfiguracij
7	1
8	1
9	3
10	10
11	31
12	229
13	2,036
14	21.399
15	245,342
16	3,004,881
17	38,904,499
18	530,452,205
Tabela 2, ŠleviJo U3 konfiguracij
To pomeni, da bi lahko pri večjem številu kandidatov problem rešili na več različnih načinov. Oglejmo si preprost recept, ki nam za vsak v > 7 daje rešitev. Zaplšimo najprej podatek za Fanovo konfiguracijo:
"12 3 4 5 6 7" 2 3 4 5 6 7 1 4 5 6 7 12 3
Slika 2. Mobius-Kantorjeva. konfiguracija, ki je rešitev naše naloge, je edina 83 konfiguracija
Če preoznačimo kandidate Mobius-Kantorjeve konfiguracije, dobimo naslednjo preglednico. Od zgornje se loči le po tem, dajo podaljšamo za eno mesto.
1	2 3 4 5 6 7 8
2	3 4 5 6 7 8 1 4 5 C 7 8 1 2 3
Slika M6 bi lis-K antorje v graf ima S črnili in 8 belili vozlišč. Črna vozlišča ustrezajo točkam kandidatom, bela pa premicam - soočanjem. Prikazan je na dva načina.
Za devet kandidatov, bi dobili takole reštev:
1 23456789 234567891 456789123
Slika 5. Vsaki konfiguraciji lahko priredimo dvodelen graf, ti. Levijev graf konfignracije, Crna vozlišča pripadajo točkam, bela pa premicam konfiguracije. Vozlišči sta sosednji, če in samo če leži točka na premici. Na sliki vidimo Levijev graf Fanove konfiguracije.
Bralcu pa prepuščamo razmislek za splošno vrednost v. Študij konfiguracij sodi dandanes v kombinatoriko. Matematika pa ni uporabna le v politiki. Večkrat jo skrito srečamo v športu, ko moramo znati razporejati najrazličnejše turnirje, od nogometnih, teniških, šahovskih, do speedwaya. A to je žc druga zgodba, ki bi zahtevala poseben prispevek.
Dragan Marušič in Tomaž Pisanski