MATEMATIKA Neskončni Hilbertov hotel Niko Tratnik Kaj je neskončnost? Vsakdo se je verjetno že kdaj vprašal, kaj je neskončnost. Označujemo jo s simbolom oo, na preprost način pa bi jo lahko opisali kot koncept, ki opisuje nekaj, kar nima meje oziroma je večje od kateregakoli števila. Vendar pa neskončnost ne more biti običajno naravno število, saj bi takšna predpostavka pripeljala do očitnih protislovij. Ce bi takšnemu številu npr. prišteli ena, bi dobili strogo večje število, ki pa bi bilo še vedno neskončno. Prav tako pa se ne bi mogli opredeliti, ali bi bilo takšno število sodo ali liho. Podobnih navideznih paradoksov, ki so povezani z neskončnostjo, je še veliko. Beseda neskončnost je latinskega izvora in izhaja iz besede infinitas, kar pomeni nevezan oz. brezkončen. Pojem neskončnosti je zaradi svoje nepredsta-vljivosti vedno vznemirjal človeka. Zgodovinsko gledano se je prvič pojavil v stari Grčiji, eden izmed prvih ljudi, ki so ta pojem raziskovali, pa je bil Zenon (starogrški filozof in matematik, okoli 450 pr.n. št.), ki je znan po svojih paradoksih, povezanih z neskončnostjo. Neskončnost pa je razburjala in sprožala številne debate v filozofiji in matematiki tudi v nadaljnjih stoletjih. Kljub temu pa je končept neskončnosti našel svojo uporabo v sodobni matematiki, pa tudi v fiziki in v ostalih znanostih. V matematiki zasledimo uporabo neskončnosti na področjih, kot so analiza (limita, zaporedja, vrste, posplošeni integral), teorija množič (neskončne množiče), geometrija, topologija. Hilbertov hotel Prva resna teorija o neskončnosti je nastala koneč 19. stoletja, ko je nemški matematik Georg Cantor odkrival začetke teorije množič, ki je danes ena izmed temeljnih matematičnih disčiplin. Zanimale so ga predvsem neskončne množiče, npr. množiča naravnih števil in množiča vseh točk na premiči (mno-žiča realnih števil). Dokazal je, da so nekatere ne- skončnosti večje kot druge in da obstaja neskončno različnih neskončnosti. Za tisti čas je bila njegova teorija veliko presenečenje in je sprožila veliko ne-odobravanja med različnimi matematiki. Henri Po-inčare je njegove ideje označil za bolezen, Leopold Kronečker pa ga je opisal kot znanstvenega šarlatana. Po drugi strani pa je nemški matematik David Hilbert, ki je bil v tistem času eden izmed najvplivnejših matematikov, Cantorjeve ideje sprejel z navdušenjem. David Hilbert je za ponazoritev Cantor-jeve nenavadne teorije pogosto uporabljal zgodbo o neskončnem hotelu, ki je danes znan kot Hilbertov hotel. Hilbertov hotel si lahko zamišljamo kot zelo velik hotel, ki nima samo več tisoč sob, ampak jih ima neskončno. Sobe v njem so označene z naravnimi števili, torej 1, 2, 3,... Rečimo, da je hotel popolnoma poln in v rečepčijo pride nov gost. Rečeptor lahko premakne gosta iz sobe 1 v sobo 2, gosta iz sobe 2 v sobo 3, gosta iz sobe 3 v sobo 4 in tako naprej. Na ta način sprosti sobo 1 za novega gosta. V hotelu je torej vedno prostor še vsaj za enega gosta. Zato v Hilbertovem hotelu velja, da izjavi hotel je popolnoma zaseden in v hotelu ni prostora za novega gosta nista ekvivalentni. Kaj pa se zgodi, če v hotel prispe avtobus z neskončno gosti (ki jih je toliko, kot je naravnih števil)? V tem primeru lahko rečeptor prestavi gosta iz sobe 1 v sobo 2, gosta iz sobe 2 v sobo 4, gosta iz sobe 3 v sobo 6 in tako naprej. Na ta način sprosti vse lihe sobe in dobi neskončno prostih sob. Prispele goste nato po vrsti razvrsti v sobe 1, 3, 5,... in tako bo vsak prišel do svoje sobe, (glej sliko 1). SLIKA 1. Prerazporejanje gostov v sode sobe. 10 PRESEK 44 (2016/2017)4 MATEMATIKA avtobus 1 11 12 13 14 avtobus 2 21 22 23 24 avtobusi 31 32 33 34 SLIKA 2. Situacija, ko v Hilbertov hotel prispe neskončno avtobusov. avtobus 1 avtobus 2 avtobusi 11- >12 / 13* >14 / * 21 I / 22 * * 23 / 24 i ' 31 * 32 33 34 predstavljamo kot ulomek m, smo to z opisanim postopkom že naredili. Nazadnje razmislimo še, kaj se zgodi, ce v recepcijo prispe toliko ljudi, kot je števil na odprtem intervalu (0,1). Recimo, da goste, ki jih bomo označevali kar z realnimi števili med 0 in 1, receptor nekako razporedi v sobe hotela. Dobi torej seznam sob in gostov, ki zgleda nekako takole: soba 1 0,3488657857... soba 2 0,1284768311... soba 3 0,6745213657... soba 4 0,1188446782... SLIKA 3. Razporejanje gostov po diagonalnem postopku. Naslednji dan pa v hotel prispe neskoncno avtobusov. Da je situacija še hujša, je na vsakem izmed avtobusov neskoncno gostov. Ali bo lahko hotel sprejel vse te goste? Da bomo problem lažje razumeli, bomo oznacili goste iz avtobusa 1 kot 11,12,13,..., goste iz avtobusa 2 kot 21, 22, 23,... in tako naprej (glej sliko 2). Receptor podobno kot prej prestavi goste, ki so že v hotelu, in sprosti vse lihe sobe v hotelu. Nato se loti razvršcanja ljudi v sobe in zacne po vrsti razporejati ljudi iz avtobusa 1. Hitro pa ugotovi, da na ta nacin ne bo šlo, saj gosti iz avtobusa 2 ne bodo nikoli prišli na vrsto, ker je že gostov na avtobusu 1 neskoncno. Zato se spomni drugacnega trika in zacne ljudi razporejati na drug nacin. Gosta 11 razporedi v sobo 1, gosta 12 v sobo 3, gosta 21 v sobo 5, gosta 31 v sobo 7, gosta 22 v sobo 9, gosta 13 v sobo 11, gosta 14 v sobo 13, gosta 23 v sobo 15 in tako naprej (glej sliko 3). S tem diagonalnim postopkom bo cisto vsak prispeli gost prišel na vrsto in dobil svojo sobo v hotelu. Zelo podoben diagonalni postopek v teoriji množic uporabimo za dokaz, daje vseh racionalnih števil enako število kot naravnih. Vse, kar moramo narediti, je, da ulomke razporedimo v sobe Hilbertovega hotela. Ce si gosta, ki smo ga zgoraj oznacili kot mn, V tem seznamu morajo biti zajete vse sobe hotela in vsa realna števila med 0 in 1. Razmisliti moramo, ali je to sploh možno. Najprej z jemanjem števk po diagonali tvorimo novo število (števke, ki so ozna-cene krepko v spodnji tabeli): soba 1 0,3488657857... soba 2 0,1284768311... soba 3 0,6745213657... soba 4 0,1188446782... Na ta nacin torej dobimo število 0,3248... Na koncu vsako števko tega novega števila nadomestimo z neko drugo števko med 1 in 8. Števko 3 lahko npr. zamenjamo z 2, 2 lahko zamenjamo s 5, 4 lahko zamenjamo s 7, 8 lahko zamenjamo s 3. Na ta nacin bomo dobili število med 0 in 1, ki ne bo spadalo k nobeni izmed sob, saj se bo od vsakega števila razlikovalo v vsaj eni števki. To pomeni, da gosta, ki je oznacen s tem številom, nismo razporedili v nobeno izmed sob hotela. Kakorkoli že receptor razporedi prispele goste, ne more zagotoviti sob za vse. S tem smo dokazali, da je števil na intervalu (0,1) strogo vec kot naravnih števil. To seveda pomeni, da je tudi vseh realnih števil vec kot naravnih. S tem smo preverili, da obstaja vec kot samo ena neskončnost. Pravzaprav je Cantor pokazal še vec, obstaja namrec neskoncno razlicnih neskoncnosti. _XXX 10 PRESEK 44 (2016/2017)4