i
i
“Luksic” — 2021/8/24 — 13:43 — page 41 — #1 i
i
i
i
i
i
UČINKOVITOST MOBILNE APLIKACIJE #OSTANIZDRAV
PRIMOŽ LUKŠIČ
Abelium, d. o. o., Ljubljana
Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko, Ljubljana
Math. Subj. Class. (2010): 92D30
Mobilna aplikacija #OstaniZdrav predstavlja del prizadevanj za obvladovanje epide-
mije virusa SARS-CoV-2. Namenjena je beleženju stikov med ljudmi s ciljem anonimnega
opozarjanja uporabnikov, ki so bili izpostavljeni rizičnim stikom. Ker pa je uporaba apli-
kacije prostovoljna, se pojavljajo dvomi o njeni učinkovitosti. Kljub kompleksnosti procesa
širjenja okužb lahko ob določenih predpostavkah izračunamo, s kolikšno verjetnostjo bo
aplikacija okuženo osebo obvestila o povečanem tveganju za okužbo in kolikšno verjetnost
za okužbo imajo uporabniki, ki jih aplikacija obvesti o majhnem tveganju za okužbo, v
primerjavi z osebami, ki aplikacije ne uporabljajo. Na podlagi dobljenih rezultatov pa
nato ocenimo potreben delež uporabe aplikacije, ki bi imel resen vpliv na epidemijo, pod
pogojem, da bi se vse osebe, ki jih aplikacija obvesti o povečanem tveganju za okužbo,
samoizolirale.
THE EFFECTIVENESS OF #OSTANIZDRAV MOBILE APPLICATION
The #OstaniZdrav (#StayHealthy) mobile application is part of an effort to control
the SARS-CoV-2 virus epidemic. Its purpose is to record contacts among people with
the goal of anonymously alerting users who have been in contact with an infected per-
son. However, as the use of the application is voluntary, doubts have arisen about its
effectiveness. Although the process of infection spreading is complex, we can calculate,
under certain assumptions, how likely it is that the app warns an infected person about
an increased risk of infection, and how high is the probability of infection for app users
who receive a message indicating a lower risk of infection compared to non-users. Based
on the obtained results, we then estimate the required share of application use that would
have a serious impact on the epidemic, provided that all persons who were warned about
an increased risk of infection self-isolate themselves.
Eden od ukrepov za zajezitev širjenja virusa SARS-CoV-2 je tudi mo-
bilna aplikacija #OstaniZdrav, ki sta jo pripravila Nacionalni inštitut za
javno zdravje (NIJZ) in Ministrstvo za javno upravo. Namenjena je bele-
ženju stikov med osebami za potrebe obveščanja o tveganju za okužbo z
virusom. Naprave z nameščeno (in vklopljeno) aplikacijo z uporabo tehno-
logije Bluetooth neprestano oddajajo naključno ustvarjene oddajne kode in
hkrati sprejemajo tovrstne kode od drugih naprav v bližini. Prejete kode se
hranijo 14 dni, skupaj s podatkom o trajanju stika in oceno razdalje med
napravama med trajanjem stika. Oseba, ki ji potrdijo okužbo s koronavi-
rusom, prejme od NIJZ t. i. kodo TAN, ki jo lahko vnese v aplikacijo. S
tem sporoči svojo okuženost v osrednji strežnik, ta pa informacijo posreduje
naprej drugim uporabnikom aplikacije. Če uporabnik hrani oddajne kode
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 2 41
i
i
“Luksic” — 2021/8/24 — 13:43 — page 42 — #2 i
i
i
i
i
i
Primož Lukšič
okužene osebe, mu aplikacija na podlagi dolžine trajanja stika, razdalje med
napravama in števila pretečenih dni od stika izračuna tveganje za okužbo
(majhno ali večje). Gre sicer za poenostavljen opis za potrebe prispevka,
delovanje aplikacije je podrobneje opisano v [1, 2, 5, 8].
Osnovni namen aplikacije je torej obveščanje o povečanem tveganju za
okužbo, hkrati pa nudi tudi dodaten občutek varnosti, če nas obvesti, da je
naše tveganje za okužbo majhno. Ker pa je število uporabnikov aplikacije
precej nizko,1 se zastavlja vprašanje, koliko nam prejete informacije sploh
koristijo.
V prispevku zato odgovorimo na naslednja vprašanja:
1. Kolikšna je verjetnost za okužbo ob stiku z naključnimi osebami (če ne
uporabljamo aplikacije)?
2. Za koliko se verjetnost okužbe zmanǰsa zaradi uporabe aplikacije, če nas
ta obvesti o majhnem tveganju za okužbo?
3. Kolikšen del okužene populacije aplikacija prepozna (tj., ga obvesti o
povečanem tveganju za okužbo) in kolikšen vpliv na epidemijo bi imela
samoizolacija teh oseb?
Verjetnost okužbe
Na verjetnost okužbe z virusom, kot je SARS-CoV-2, vpliva veliko dejavni-
kov, npr. s koliko osebami smo bili v stiku, v kakšnih prostorih, koliko časa,
ali smo uporabljali zaščitna sredstva, ali so bili naši stiki okuženi, kako do-
vzetni smo za okužbo, kužnost samega virusa idr. Posledično je dinamika
širjenja okužb precej kompleksna, zato bomo za namen lažjega izračuna
privzeli nekaj poenostavitev.
Najprej privzemimo, da so srečanja s posameznimi osebami (z vidika
prenosa okužbe) med seboj neodvisna in da je verjetnost za prenos okužbe
ob stiku z okuženo osebo vedno enaka. Slednje seveda na splošno ne drži,
če pa se omejimo na tvegane stike (tj., brez uporabe zaščitnih sredstev na
razdalji manj kot 1,5 metra za vsaj 15 minut), je lahko verjetnost prenosa
precej podobna.
Privzemimo tudi, da so okužene osebe enakomerno porazdeljene po po-
pulaciji. Posledično je verjetnost, da je naključna oseba okužena, enaka
deležu trenutno okuženih oseb v populaciji.
1Do 28. 7. 2021 beležijo cca. 384 tisoč prenosov aplikacije [5], a je pričakovati, da se
na redni osnovi uporablja v precej manǰsem obsegu zaradi namestitev iz radovednosti in
nedosledne uporabe.
42 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 2
i
i
“Luksic” — 2021/8/24 — 13:43 — page 43 — #3 i
i
i
i
i
i
Učinkovitost mobilne aplikacije #OstaniZdrav
In zadnje, osredotočili se bomo na stike v preteklih 14 dneh, saj študije
kažejo, da kužnost po tem obdobju v večini primerov preneha [3], prav tako
pa se na tej podlagi izračunata število trenutno okuženih oseb [4] kot tudi
obdobje tveganih stikov v aplikaciji [1, 2].
Iz navedenih predpostavk sledi, da je verjetnost okužbe odvisna od treh
dejavnikov:
• števila stikov, ki smo jih imeli v preteklih 14 dneh (označimo ga z n),
• verjetnosti, da je bila oseba, s katero smo bili v stiku, okužena (označi-
mo jo s p), in
• verjetnosti za prenos okužbe ob stiku z okuženo osebo (označimo jo z
x).
Dogodek, da se ob stiku s posamezno osebo okužimo, se zgodi, kadar je
bila ta oseba okužena in je hkrati prǐslo do prenosa okužbe, za kar je ver-
jetnost xp. Verjetnost nasprotnega dogodka, tj. da se ob stiku z naključno
osebo ne okužimo, je zato enaka 1 − xp. Ker smo privzeli, da so dogajanja,
ki se nanašajo na srečanje s posamezno osebo, med seboj neodvisna, je ver-
jetnost, da se ne okužimo ob stiku z n osebami, enaka (1−xp)n. Verjetnost
okužbe ob stiku z n osebami je tako enaka
P (Poz) = 1 − (1 − xp)n . (1)
Kot je razvidno iz formule (1), parametra x in p enakovredno vplivata
na prenos okužbe, zato polovica manǰsa verjetnost za prenos okužbe pomeni
enako kot polovica manǰsa verjetnost, da srečamo okuženo osebo. Po drugi
strani pa se v primeru večjega deleža okužb v populaciji (p) z večanjem
števila stikov (n) hitro povečuje tudi verjetnost, da se okužimo.
Primer 1. Denimo, da se ob stiku z okuženo osebo vedno okužimo (x = 1).
Na sliki 1 je prikazano, kako se z večanjem števila stikov povečuje verjetnost
okužbe glede na različen delež okuženih oseb v populaciji.
Vrednosti parametra p niso izbrane naključno, saj je bilo v Sloveniji
na vrhuncu epidemije v začetku 2021 uradno povprečno odstotek okuženih
oseb. Po drugi strani pa je bilo stanje okužb po občinah precej različno.
Nekatere so imele v določenem obdobju tudi več kot 4 % okuženih prebi-
valcev (Kuzma, Velika Polana, Kobilje), medtem ko so imele druge tudi v
najslabših razmerah manj kot odstotek okuženih prebivalcev, v povprečju
pa okoli 0,3 % (Piran, Kobarid) [6].
Če ste se v obdobju 14 dni srečali s 17 naključnimi osebami v občinah,
ki so imele 4 % okuženih prebivalcev, ste s tem prevzeli 50 % tveganje, da
41–51 43
i
i
“Luksic” — 2021/8/24 — 13:43 — page 44 — #4 i
i
i
i
i
i
Primož Lukšič
0 20 40 60 80 100
0
20
40
60
80
100
Število stikov
V
er
je
tn
os
t
ok
už
be
(v%)
4 % okužene populacije
1 % okužene populacije
0,3 % okužene populacije
Slika 1. Verjetnost za okužbo v odvisnosti od števila stikov glede na različne deleže
okuženosti populacije, pri čemer privzamemo, da se ob stiku z okuženo osebo vedno
okužimo.
se okužite (bi si upali vreči kovanec, kjer bi cifra pomenila, da se prosto-
voljno okužite?). Po drugi strani pa bi v občinah z 0,3 % okuženih pre-
bivalcev tolikšno verjetnost okužbe dosegli šele ob srečanju z 230 osebami.
Število potrebnih srečanj je namreč približno obratno sorazmerno z dele-
žem okuženih oseb, kar sledi iz rešitve enačbe 1 − (1 − xp)n = 1/2, ki znaša
n = − ln(2)/ ln(1−xp) in je za majhne vrednosti produkta xp približno enaka
ln(2)/xp.
Predpostavka, da se okužba ob stiku z okuženo osebo vedno prenese, v
resnici ni tako problematična. Ocenjuje se namreč, da je dejansko okuženih
oseb dva do trikrat toliko, kot je uradno potrjenih [4]. Ker smo upoštevali
uradne številke, bi dobili enak rezultat, če bi vzeli npr. x = 0,5 in dvakrat
večjo vrednost parametra p.
Vpliv uporabe aplikacije na zmanǰsanje verjetnosti za okužbo
Aplikacija #OstaniZdrav prikaže uporabnikom dve možni tveganji za oku-
žbo z virusom SARS-CoV-2:
• Če uporabnik ni bil v stiku z nobeno od oseb, ki so v preteklih 14 dneh
sporočile okužbo v aplikacijo, bo njegovo tveganje označeno kot majhno.
• Če je bil uporabnik v stiku z osebami, ki so v preteklih 14 dneh sporočile
okužbo v aplikacijo, vendar so bili vsi stiki na večji razdalji oziroma
kratkotrajni,2 bo njegovo tveganje še vedno označeno kot majhno.
2Aplikacija izračuna tveganje tako, da obdobje od stika, razdaljo med stikom in čas
44 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 2
i
i
“Luksic” — 2021/8/24 — 13:43 — page 45 — #5 i
i
i
i
i
i
Učinkovitost mobilne aplikacije #OstaniZdrav
• Če pa je bil uporabnik v stiku z vsaj eno osebo, ki je v preteklih 14
dneh sporočila okužbo v aplikacijo, in je ta stik trajal dlje časa ter bil
na manǰsi razdalji, bo njegovo tveganje označeno kot večje.
Zaradi poenostavitve izračuna privzemimo, da so vsi stiki tvegani (tj.,
da trajajo dlje časa in so na manǰsi razdalji) in da so osebe, ki so sporočile
okužbo v aplikacijo, imele to ves čas vklopljeno ter so enakomerno porazde-
ljene po populaciji. Oglejmo si, kolikšna je (pogojna) verjetnost, da smo se
okužili, čeprav nam aplikacija kaže majhno tveganje za okužbo.
Da lahko to izračunamo, moramo najprej ugotoviti verjetnost, da nas
aplikacija obvesti o majhnem tveganju za okužbo. Definirajmo parameter
a, ki naj predstavlja verjetnost, da naključna oseba s potrjeno okužbo to
informacijo sporoči v aplikacijo.3 Zaradi privzete enakomerne porazdelitve
ga lahko izračunamo kot kvocient števila vnesenih kod TAN v aplikacijo
in števila novookuženih v določenem obdobju. Dogodek, da nas po stiku
s posamezno osebo aplikacija obvesti o povečanem tveganju za okužbo, se
zgodi, kadar je bila ta oseba okužena in je okužbo sporočila v aplikacijo, za
kar je verjetnost ap. Po analogiji izračuna verjetnosti iz preǰsnjega razdelka
(le da namesto okužbe posamezniki prenašajo informacijo o okuženosti) do-
bimo verjetnost, da nas aplikacija po stiku z n osebami obvesti o majhnem
tveganju za okužbo:
P (Aneg) = (1 − ap)
n.
Potrebovali bomo tudi verjetnost, da se ne okužimo ob stiku z n osebami,
hkrati pa nas aplikacija obvesti o majhnem tveganju za okužbo. Dogodek,
da se ob stiku s posamezno osebo ne okužimo, aplikacija pa nas obvesti
o majhnem tveganju za okužbo, se zgodi, če oseba bodisi ni bila okužena
bodisi je bila okužena, a tega ni sporočila v aplikacijo, hkrati pa se okužba ni
prenesla. Verjetnost za ta dogodek je enaka (1−p)+(1−a)(1−x)p = 1−(a+x−
ax)p, saj je smiselno privzeti, da je prenos okužbe neodvisen od poročanja
okužbe v aplikacijo.4 Podobno kot zgoraj upoštevamo neodvisnost srečanj
z osebami, zato je iskana verjetnost enaka
P (Neg ∩Aneg) = (1 − (a + x − ax)p)
n
.
trajanja stika razdeli na intervale, vsakemu od njih dodeli utež, nato pa te uteži zmnoži
in preveri, ali rezultat preseže določeno vrednost.
3To sugerira, da bi okužena oseba morala imeti nameščeno aplikacijo. Vendar je za
izračun ekvivalentno, če oseba aplikacije ne uporablja, kot če bi jo uporabljala, a vanjo ne
bi vnesla kode TAN, ki jo dobi po potrditvi okužbe.
4Točneje je reči, da sta dogodek, da se je okužba prenesla od posamezne osebe, in
dogodek, da je ta oseba okužbo sporočila v aplikacijo, pogojno neodvisna glede na dogodek,
da je ta oseba okužena.
41–51 45
i
i
“Luksic” — 2021/8/24 — 13:43 — page 46 — #6 i
i
i
i
i
i
Primož Lukšič
Sedaj lahko izračunamo verjetnost okužbe pod pogojem, da nam apli-
kacija kaže majhno tveganje za okužbo:
P (Poz ∣ Aneg) = 1 − P (Neg ∣ Aneg) = 1 −
P (Neg ∩Aneg)
P (Aneg)
= 1 − (
1 − (a + x − ax)p
1 − ap
)
n
= 1 − (1 −
(1 − a)xp
1 − ap
)
n
. (2)
Pri tem izpustimo primer, kjer gornji izraz ni definiran (a = p = 1 in n > 0),
saj nas tedaj aplikacija vedno obvesti o povečanem tveganju.
Za primerjavo formul (1) in (2) uporabimo binomsko aproksimacijo, ki
pravi, da je izraz (1+y)n približno enak 1+yn, pod pogojem, da je ∣yn∣≪ 1.
Tako za majhne vrednosti produkta xpn sledi
P (Poz ∣ Aneg) ≈
(1 − a)xpn
1 − ap
in P (Poz) ≈ xpn,
iz tega pa
P (Poz ∣ Aneg) ≈
1 − a
1 − ap
P (Poz).
Pri tem opazimo, da približne formule predstavljajo posplošitev eksaktnih
formul, ki veljajo v primeru n = 1.
Kadar je tudi produkt ap majhen, je razmerje med pogojno in brezpo-
gojno verjetnostjo za okužbo približno enako 1 − a. To pomeni, da se pri
enakem številu stikov pogojna verjetnost okužbe zmanǰsa za približno toliko
odstotkov, kot znaša delež sporočenih okužb v aplikacijo.
Primer 2. Zopet bomo privzeli, da se okužba ob stiku vedno prenese,5 oku-
žene pa naj bo 4 % populacije. Oglejmo si (pogojne) verjetnosti okužbe za
različne vrednosti parametra a, kadar aplikacija vrne majhno tveganje za
okužbo, v primerjavi z verjetnostjo okužbe pri neuporabi aplikacije (slika 2).
Najbolj zanimivo vrednost parametra a predstavlja dejanski delež okuženih
oseb, ki sporočijo okužbo v aplikacijo. Trenutno je ta okoli 4,4 % ([4, 9];
podatki med 7. 4. 2021 in 18. 7. 2021).
5Če v formuli (2) zmanǰsamo x in hkrati za enak faktor povečamo p, izraz sicer ne
ostane enak, kot se zgodi v formuli (1), vendar je sprememba kvocienta 1 − ap v 1 − 2ap
dovolj majhna, da nima večjega vpliva na rezultat.
46 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 2
i
i
“Luksic” — 2021/8/24 — 13:43 — page 47 — #7 i
i
i
i
i
i
Učinkovitost mobilne aplikacije #OstaniZdrav
0 20 40 60 80 100
0
20
40
60
80
100
Število stikov
V
er
je
tn
os
t
ok
už
be
(v%)
brez uporabe aplikacije
4,4 % sporočenih okužb
30 % sporočenih okužb
60 % sporočenih okužb
90 % sporočenih okužb
Slika 2. Verjetnost za okužbo v primeru neuporabe aplikacije v primerjavi s (pogojnimi)
verjetnostmi okužbe pri uporabi aplikacije, kadar nas ta obvesti o majhnem tveganju za
okužbo, glede na različne deleže sporočenih okužb v aplikacijo (p = 0,04 in x = 1).
Vpliv uporabe aplikacije na zmanǰsanje števila okužb
V tem razdelku si oglejmo, kako lahko uporaba aplikacije koristi, če se
osebe, ki jih obvesti o povečanem tveganju za okužbo, samoizolirajo in s
tem preprečijo širjenje okužb. Najprej nas zanima, koliko okuženih oseb
bo aplikacija obvestila o povečanem tveganju za okužbo, kar po analogiji z
diagnostičnimi testi imenujemo tudi občutljivost.
P (Apoz ∣ Poz) = 1 − P (Aneg ∣ Poz) = 1 −
P (Aneg ∩Poz)
P (Poz)
= 1 −
P (Aneg) − P (Aneg ∩Neg)
P (Poz)
= 1 −
(1 − ap)n − (1 − (a + x − ax)p)n
1 − (1 − xp)n
. (3)
Pri tem izpustimo posebne primere x = 0, p = 0 ali n = 0, saj tedaj ni
možnosti za prenos okužbe.
Pri n = 1 opazimo, da je občutljivost aplikacije kar enaka a. Pri manǰsem
številu stikov pa si lahko, podobno kot v preǰsnjem razdelku, pomagamo z
aproksimacijo:
P (Apoz ∣ Poz) ≈ 1 −
1 − apn − (1 − (a + x − ax)pn)
xpn
= a.
To pomeni, da je (pogojna) verjetnost, da okužena oseba prejme obve-
stilo o povečanem tveganju, približno enaka (pogojni) verjetnosti, da oseba
41–51 47
i
i
“Luksic” — 2021/8/24 — 13:43 — page 48 — #8 i
i
i
i
i
i
Primož Lukšič
s potrjeno okužbo to sporoči v aplikacijo. Torej je neodvisna od deleža
okužene populacije in verjetnosti za prenos okužbe, če le velja xpn ≪ 1 in
apn≪ 1.
Obnašanje občutljivosti pri večjem številu stikov pa si je najlažje ogledati
na primeru x = 1, ko postane formula (3) enaka
1−(1−ap)n
1−(1−p)n . Ta izraz se z
večanjem števila stikov bliža vrednosti 1, hitrost približevanja pa je odvisna
od parametra p.
Primer 3. Primerjajmo občutljivost aplikacije v odvisnosti od števila stikov
in deleža sporočenih okužb v aplikacijo (slika 3), pri čemer naj bo okužene
4 % populacije, okužba naj se ob stiku vedno prenese.
0 20 40 60 80 100
0
20
40
60
80
100
Število stikov
O
bč
ut
lji
vo
st
ap
lik
ac
ije
(v%)
90 % sporočenih okužb
60 % sporočenih okužb
30 % sporočenih okužb
4,4 % sporočenih okužb
Slika 3. Primerjava občutljivosti aplikacije v odvisnosti od števila stikov glede na različne
deleže sporočenih okužb v aplikacijo (p = 0,04 in x = 1).
Poglejmo, kako bi lahko vplivali na razvoj epidemije, če bi se vse osebe, ki
bi jih aplikacija obvestila o povečanem tveganju, samoizolirale in s tem pre-
prečile širjenje okužbe. Pri tem moramo upoštevati, da rezultat iz formule
(3) velja le za uporabnike aplikacije. Označimo, da je delež teh v populaciji
enak d, hkrati pa privzemimo, da so uporabniki aplikacije tako okužene kot
neokužene osebe (v enakem razmerju kot v populaciji). Verjetnost, da oku-
žena oseba uporablja aplikacijo in prejme obvestilo o povečanem tveganju,
je tako enaka dP (Apoz ∣ Poz).
Vpeljimo preprost model rasti, pri katerem je število novih okužb po k
generacijah prenosov enako N(k) = N(0)Rk0 , kjer je N(0) število okuženih
oseb na začetku in R0 reprodukcijsko število (tj. povprečno število ljudi, ki
jih ena oseba okuži v času svoje kužnosti). Če se osebe, ki dobijo obvestilo
48 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 2
i
i
“Luksic” — 2021/8/24 — 13:43 — page 49 — #9 i
i
i
i
i
i
Učinkovitost mobilne aplikacije #OstaniZdrav
o povečanem tveganju, samoizolirajo, ne prenesejo okužbe naprej in s tem
vplivajo na zmanǰsanje reprodukcijskega števila, ki postane enako
R̃0 = (1 − dP (Apoz ∣ Poz))R0.
Za upad širjenja bolezni je potrebno, da je R̃0 < 1, vendar je treba upo-
števati, da se aplikacija že uporablja, zato ravnanja uporabnikov vplivajo
na trenutno vrednost R0. Denimo, da vse osebe, ki dobijo obvestilo o po-
večanem tveganju, ravnajo odgovorno in se samoizolirajo. Naj bodo a∗, d∗
in R∗0 trenutni delež sporočenih okužb v aplikacijo, trenutni delež uporabe
aplikacije in trenutno reprodukcijsko število. Če je n dovolj majhen, da
lahko P (Apoz ∣ Poz) aproksimiramo z a
∗, velja R∗0 ≈ (1 − d
∗a∗)R0. Zato je
pogoj za upad širjenja bolezni, upoštevajoč trenutne podatke, enak
(1 − da)
R∗0
1 − d∗a∗
< 1, oziroma da > 1 −
1 − d∗a∗
R∗0
. (4)
Primer 4. Tako trenutni podatki (z dne 12. 7. 2021) kot podatki iz začetka
oktobra 2020 (tik preden je epidemija dobila zagon), ocenjujejo reproduk-
cijsko število na približno 1,3, medtem ko je najvǐsjo vrednost 2,2 doseglo
konec oktobra 2020 [7]. Vzemimo ti dve vrednosti za R∗0 , a
∗ naj bo 4,4 % in
privzemimo, da je P (Apoz ∣ Poz) ≈ a
∗ (oziroma približno a v prihodnosti).
Za uporabo neenakosti (4) je treba ugotoviti še trenutni delež uporabnikov
aplikacije. Zanj vzemimo kar zgornjo oceno, izhajajočo iz števila vseh pre-
nosov aplikacije (tj. d∗ = 0,18 [5]). S tem dobimo malo strožje pogoje, a
tudi če bi člen d∗a∗ v neenakosti (4) zanemarili, bi rezultati glede na izbrani
vrednosti R∗0 odstopali za največ dve odstotni točki.
S slike 4 je razvidno, da bi bila v trenutnih razmerah potrebna vsaj
50-odstotna uporaba aplikacije in podoben odstotek sporočenih okužb v
aplikacijo, da bi dosegli zmanǰsanje širjenja okužb. Pozneje, ko epidemija
dobi zagon, pa se potreben odstotek uporabe občutno poveča.
Zavajajoči učinki aplikacije
Do zdaj smo navajali le pozitivne učinke aplikacije, zato omenimo še po-
tencialno negativne posledice njene uporabe. Kot prvo, določenega deleža
okuženih oseb, ki uporabljajo aplikacijo, ne opozori o povečanem tveganju
za okužbo. Gre za komplement verjetnosti iz formule (3):
P (Aneg ∣ Poz) = 1 − P (Apoz ∣ Poz) =
(1 − ap)n − (1 − (a + x − ax)p)n
1 − (1 − xp)n
.
41–51 49
i
i
“Luksic” — 2021/8/24 — 13:43 — page 50 — #10 i
i
i
i
i
i
Primož Lukšič
0 20 40 60 80 100
0
20
40
60
80
100
Delež sporočenih okužb v aplikacijo (v %)P
ot
re
be
n
de
le
ž
up
or
ab
e
ap
lik
ac
ije
(v%)
R0
* = 2,2
R0
* = 1,3
Slika 4. Primerjava potrebnega deleža uporabe aplikacije, ki bi povzročila upad števila no-
vih okužb, v odvisnosti od deleža sporočenih okužb v aplikacijo glede na različne vrednosti
R∗0 (a
∗ = 0,044, d∗ = 0,18, P (Apoz ∣ Poz) ≈ a∗).
Pri majhnem deležu sporočenih okužb v aplikacijo je lahko ta verjetnost
precej visoka (celo do 1 − a). Po drugi strani pa aplikacija ne predstavlja
nadomestka za diagnostični test, zato se ne pričakuje, da bi ji uporabniki
slepo zaupali, ampak bi se v primeru znakov okužbe samoizolirali in testirali.
Drugi potencialno zavajajoči učinek aplikacije pa je, da lahko o pove-
čanem tveganju za okužbo obvesti tudi neokužene osebe. Čeprav je pripo-
ročljivo, da osebe, ki jih aplikacija obvesti o povečanem tveganju, izvedejo
diagnostični test in s tem zmanǰsajo morebiten zavajajoči učinek aplikacije,
vseeno preverimo, kolikšna je verjetnost za ta dogodek. Dobimo jo lahko iz
formule (2), če med seboj zamenjamo dogodek, da nas oseba ob stiku okuži,
in dogodek, da oseba svojo okužbo sporoči v aplikacijo (tj. a⇆ x). Zato je
P (Apoz ∣ Neg) = 1 − (1 −
(1 − x)ap
1 − xp
)
n
.
Zaključek
V prispevku smo pokazali, da uporaba aplikacije #OstaniZdrav pomaga
tako pri zmanǰsanju verjetnosti za okužbo kot pri identifikaciji okuženih
oseb, a je v obeh primerih učinkovitost aplikacije neposredno povezana z
deležem sporočenih okužb v aplikacijo.
Uporaba aplikacije sicer pripomore tudi k zmanǰsanju novih okužb, a re-
sni učinki, ki bi lahko obrnili smer epidemije, nastopijo šele z redno uporabo
50 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 2
i
i
“Luksic” — 2021/8/24 — 13:43 — page 51 — #11 i
i
i
i
i
i
Učinkovitost mobilne aplikacije #OstaniZdrav
s strani vsaj polovice populacije, in to že v začetni fazi epidemije. Zaradi
določenih poenostavitev procesa širjenja okužb in drugih posebnosti epide-
mije (npr. asimptomatskih prenašalcev okužbe), pa se lahko zgodi, da tudi
upoštevanje izračunanih pogojev ne bi nujno privedlo do želenih rezultatov.
K sreči pa aplikacija ni edino orodje v boju proti koronavirusu, ampak
služi kot pomoč, ki ob pravilni uporabi predvsem zmanǰsuje tveganje za
prenos okužbe na druge.
LITERATURA
[1] Aplikacija #OstaniZdrav, Sledilnik.org, dostopno na covid-19.sledilnik.org/sl/
ostanizdrav, ogled 28. 5. 2021.
[2] Corona-Warn-App: Documentation, Deutsche Telekom AG in SAP SE, dostopno na
github.com/corona-warn-app/cwa-documentation, ogled 28. 5. 2021.
[3] Coronavirus disease 2019 (COVID-19) in the EU/EEA and the UK –
ninth update, European Centre for Disease Prevention and Control, 23.
4. 2020, dostopno na www.ecdc.europa.eu/en/publications-data/rapid-
risk-assessment-coronavirus-disease-2019-covid-19-pandemic-ninth-update,
ogled 28. 5. 2021.
[4] Dnevno spremljanje okužb s SARS-CoV-2 (COVID-19), Nacionalni inšti-
tut za javno zdravje, dostopno na www.nijz.si/sl/dnevno-spremljanje-
okuzb-s-sars-cov-2-covid-19, ogled 19. 7. 2021.
[5] Mobilna aplikacija #OstaniZdrav, Urad Vlade Republike Slovenije za ko-
municiranje, dostopno na www.gov.si/teme/koronavirus-sars-cov-2/
mobilna-aplikacija-ostanizdrav, ogled 28. 7. 2021.
[6] Podatki, Sledilnik.org, dostopno na covid-19.sledilnik.org/sl/data, ogled 25. 5.
2021.
[7] Projekcije širjenja COVID-19 v Sloveniji, Institut Jožef Stefan, Odsek za reaktorsko
tehniko, dostopno na r4.ijs.si/COVID19, ogled 15. 7. 2021.
[8] Skrivnosti aplikacije #OstaniZdrav, Sledilnik.org, 28. 10. 2020, dostopno na medium.
com/sledilnik/vse-kar-ste-si-vedno-%C5%BEeleli-vedeti-o-aplikaciji-
ostanizdrav-in-%C5%A1e-malo-ve%C4%8D-82352674e9ad, ogled 28. 5. 2021.
[9] Statistični podatki aplikacije #OstaniZdrav, Nacionalni inštitut za javno zdravje,
dostopno na podatki.gov.si/dataset/statisticni-podatki-aplikacije-
ostanizdrav, ogled 19. 7. 2021.
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
41–51 51