Zaključno poročilo o rezultatih raziskovalnega projekta Oznaka poročila: ARRS_ZV_RPROJ_ZP_2008/119 ZAKLJUČNO POROČILO O REZULTATIH RAZISKOVALNEGA PROJEKTA A. PODATKI O RAZISKOVALNEM PROJEKTU 1. Osnovni podatki o raziskovalnem projektu Šifra projekta Z2-9744 Naslov projekta Numerična simulacija turboletnega toka s hitrostno vrtinčno simulacijo velikih vrtin z metodo robnih elementov Vodja projekta 24331 Jure Ravnik Tip projekta Zt Podoktorski projekt - temeljni Obseg raziskovalnih ur 3.400 Cenovni razred B Trajanje projekta 01.2007 - 12.2008 Nosilna raziskovalna organizacija 795 Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo Raziskovalne organizacije -soizvajalke Družbenoekonomski cilj 11 Neusmerjene raziskave (temeljne) 2. Sofinancerjil 1. Naziv Naslov 2. Naziv Naslov 3. Naziv Naslov B. REZULTATI IN DOSEŽKI RAZISKOVALNEGA PROJEKTA 3. Poročilo o realizaciji programa raziskovalnega projekta2 V podoktorskem projektu smo se ukvarjali z razvojem novega numeričnega algoritma za simulacijo toka viskozne tekočine v treh dimenzijah. Navier-Stokesove enačbe, ki opisujejo tok viskozne tekočine, opisujejo zakon o ohranitvi gibalne količine. V klasičnem zapisu povezujejo hitrostno in tlačno polje v tekočini. V hitrostno vrtinčni formulaciji, ki smo jo uporabili v podoktorskem projektu, je neznanka vrtinčnost (rotor hitrostnega polja). Vrtinčnost se tvori na trdnih stenah in se z difuzijo in Projekt Z2-9744 Stran 1 od 17 Zaključno poročilo o rezultatih raziskovalnega projekta advekcijo odvede v tok. Prenosna enačba za vrtinčnost vsebuje difuzijski in advektiven člen ter člen odgovoren za raztegovanje in vrtenje vrtinčnega polja. Slednji je odgovoren za nastajanje prečnih in vzdolžnih vrtincev in nazorno kaže na tri-dimenzionalen značaj toka. Da dobimo zaprt sistem enačb, je zakon o ohranitvi gibalne količine potrebno dopolniti z zakonoma o ohranitvi mase in energije. Reševanje enačb za neznana hitrostno in vrtinčno polje pomeni, da sta neznanki hitrost in njen odvod, ker ju rešujemo hkrati, nam to omogoči doseganje natančnih rezultatov. Razvit numerični algoritem rešuje nelinearni sistem desetih medsebojno povezanih skalarnih enačb. Iz zakona o ohranitvi mase izpeljemo vektorsko enačbo kinematike. Enačba kinematike je parcialna diferencialna enačbe Poissonovega tipa. Iz nje zapišemo tri skalarne enačbe za tri komponente hitrostnega polja. Enačbo lahko preoblikujemo, v t.i. normalno obliko, s katero lahko izračunamo tri komponente vrtinčnega polja na robu območja. Zakon o ohranitvi energije zapišemo s temperaturo kot neznanko in dobimo parcialno diferencialno enačbo difuzivno-advektivnega tipa. Temperaturno polje botruje vzgonu, ki se odraža kot izvorni člen v prenosni enačbi za vrtinčno polje. Ker je vrtinčnost vektor, tudi lahko zapišemo tri skalarne parcialno diferencialne enačbe difuzijsko-advektivnega tipa za tri komponente vrtinčnega polja. Časovne odvode v enačbah smo diskretizirali z končnimi razlikami. Robni pogoji, ki jih zahteva algoritem so lahko Dirichlejevi ali Neumannovi: znane hitrosti in temperature oziroma njuni odvodi po robu območja. Algoritem reševanja enačb je sledeč: 1. začetek časovne zanke 2. začetek nelinearne zanke 3. izračunaj robne vrednosti vrtinčnosti iz enačbe kinematike (uporabi enoobmočno metode robnih elementov) 4. izračunaj vrednosti hitrosti po območju z rešitvijo enačbe kinematike (uporabi večobmočno metodo robnih elementov) 5. izračunaj vrednosti temperature po območju z rešitvijo zakona o ohranitve energije (uporabi večobmočno metodo robnih elementov) 6. izračunaj vrednosti vrtinčnosti po območju z rešitvijo prenosne enačbe za vrtinčnost (uporabi večobmočno metodo robnih elementov) 7. polja primerno podrelaksiraj in preveri konvergenco. Če konvergenčni kriterij ni izpolnjen, se vrni na začetek nelinearne zanke. 8. konec nelinearne zanke 9. izpis rezultatov za časovni korak 10. konec časovne zanke Cilj podoktorskega projekta je bil razviti metodo, ki bo delovala na podlagi hitrostno-vrtinčne formulacije Navier-Stokesovih enačb, ki bodo rešene s pomočjo metode robnih elementov. Glaven izziv podoktorskega projekta je bila nadgradnja metode robnih elementov v takšni smeri, da zahteva čim manjšo porabo pomnilnika in računskega časa. Klasična metoda robnih elementov ni primerna za uporabo za reševanje Poissonovih in difuzivno-advektivnih parcialnih diferencialnih enačb. Težava nastopi pri dejstvu, da pri zapisu v integralsko obliko ni mogoče najti primerne osnovne rešitve, kar ima za posledico, da imajo enačbe v integralskem zapisu poleg robnih tudi območne integrale. Območni integrali se po diskretizaciji prelevijo v polne matrike. Te zahtevajo veliko pomnilnika za shranjevanje in veliko računskega časa za računanje matrično vektorskih produktov. V podoktorskem projektu smo raziskali možnosti nadgradnje metode robnih elementov z različnimi pristopi: a) večobmočna metoda robnih elementov Ena možnost izogibanja polnih matrik v algoritmu in s tem povezanih težav s Projekt Z2-9744 Stran 2 od 17 Zaključno poročilo o rezultatih raziskovalnega projekta pomnilnikom in računskim časom je uporaba metode robnih elementov na manjših območjih. Računsko območje razdelimo na podobmočja na katerih metodo robnih elementov uporabimo nespremenjeno. Robove podobmočij povežemo med seboj s pomočjo kompatibilitetnih robnih pogojev: predpišemo zveznost funkcij in odvodov. S tem dobimo veliko majhnih polnik matrik, ki so med seboj povezane z robnimi pogoji. Ko jih povežemo v en enoten velik sistem enačb, je le ta predoločen – število enačb je večje od števila neznank. Vodilna matrika pa je prazna. Prazno matriko zapišemo s pomočjo zapisa strnjenih matrik in s tem prihranimo pomnilnik. Za reševanje predoločenega sistema linearnih enačb smo uporabili algoritem, ki deluje na principu metode najmanjših kvadratov. Ta metoda je primerna za reševanje prenosnih enačb in enačbe kinematike za neznana hitrostno, temperaturno in vrtinčno polje. Metodo smo poskusili uporabiti tudi za določitev robnih vrtinčnosti iz normalne oblike enačbe kinematike, vendar smo ugotovili, da tako razvit algoritem ne ohranja mase. V prvi fazi smo za določitev robnih vrtinčnosti uporabili nespremenjeno osnovno metodo robnih elementov in algoritem preverili na preverjenih rešitvah drugih avtorjev in na rezultatih komercilanih paketov. Ugotovili smo odlično ujemanje in rezultate objavili v izvirnem znanstvenem članku [1]. Nadalje smo preverili obnašanje metode na vezanih problemih toka tekočin in prenosa toplote. Obravnavali smo naravno konvekcijo na nagnjenih geometrijah. Rezultate te raziskave smo objavili v [2]. b) metode namenjene praznjenju polne matrike Ozko grlo algoritma, ki smo ga razvili, je bil izračun robnih vrtinčnosti z enoobmočno metodo robnih elementov. V drugem letu podoktorskega projekta smo se ukvarajali z uporabo naprednih matematičnim algoritmov za aproksimacijo polnih matrik s praznimi. Podrobno smo preučili predvsem valčno transformacijo in metodo hitrih multipolov (fast multipole method). Obe metodi izvirata iz devetdesetih let prejšnjega stoletja in omogočata kompresijo podatkov. Metoda hitrih multipolov je osnovana na razvoju integralskega jedra v vrsto po sferičnih harmonikih. Za valčno transformacijo smo uporabili Haarove valčne in spremenljivo mejo za zanemarjanje. Obe metodi smo uporabili pri reševanju skalarne Poissonove enačbe in vektorske enačbe kinematike. Rezultati za obe metodi kažejo na primerljivo natančnost izračuna pri enaki velikosti približka polne matrike. Valčna transformacija je malo boljša pri majhnih in velikih razmerjih med količino podatkov v približku polne matrike in količino podatkov v polni matriki. Metoda hitrih multipolov pa deluje najbolje za srednja razmerja. Glede vgradnje obeh algoritmov v obstoječ paket za simulacijo ima prednost valčna transformacija, ki jo je mogoče brez težav prilagoditi, medtem ko metoda hitrih multipolov zahteva drugačen razvoj za vsako integralsko jedro. Prve rezultate smo objavili kot primerjavo valčne transformacije in metode hitrih multipolov za izračun podatkovno izpraznjenih približkov robno-območnih integralskih enačb: Poissonove in enačbe kinematike v [3]. Nadalje smo metodo hitrih multipolov uporabili v algoritmu za simulacijo toka tekočin in prenosa toplote, ki je v kombinaciji z večobmočno metodo robnih elementov, vseboval samo prazne matrike. Tak, hiter algoritem, smo predstavili v izvirnem znanstvenem članku [4]. Zaradi uporabe izključno praznih matrik algoritem ni spominsko potraten in je računsko učinkovit. Ugotovili smo da se uporaba metode hitrih multipolov se izplača samo pri velikih primerih, saj stopnja kompresijske podatkov, ki jo dosežemo, raste z velikostjo polne matrike. Po drugi strani pa je glavna slabost aproksimativnih metod njihova občutljivost na nelinearnost problema. V primerih simulacije močnejše nelinearnih problemov je potrebno stopnjo kompresije zmanjšati. Nadalje smo se ukvarjali z uporabo metod SVD (singular value decomposition) in ACA (adaptive cross approximation) za izdelavo izpraznjenega približka polne matrike. Metoda SVD preko izračuna lastni vrednosti polne matrike omogoči zanemarjanje majhnih lastnih vrednosti in s tem stiskanje matrike. SVD je znana že dalj časa, njena glavna slabost je zelo dolg računski čas, zaradi katerega je neprimerna za uporabo. Pred Projekt Z2-9744 Stran 3 od 17 Zaključno poročilo o rezultatih raziskovalnega projekta nekaj leti razvita metoda ACA je izpeljanka metode SVD, ki sicer ne dosega optimalne stopnje stiskanja, a je računsko zelo učinkovita. Članek o uporabnosti SVD in ACA za pohitritev metode robnih elementov je trenutno v pripravi. Poleg razvoja numerične metode smo razširjali tudi nabor fizikalnih problemov, ki jih metoda lahko simulira. Dodali smo modul za reševanje večfaznih tokov z Lagrangeovim sledenjem delcev upoštevajoč širok nabor sil, ki vplivajo na delec. Trenutno vgrajujemo tudi modul za simulacijo turbulentnih tokov. Objave rezultatov tega dela načrtujemo v prihodnjem letu. Glavne rezultate podoktorskega projekta smo objavili v štirih izvirnih znanstvenih člankih: [1] RAVNIK, Jure, ŠKERGET, Leopold, ŽUNIČ, Zoran. Combined single domain and subdomain BEM for 3D laminar viscous flow. Eng. anal. bound. elem.. [Print ed.], mar. 2009, vol. 33, no. 3, str. 420-424. doi: 10.1016/j.enganabound.2008.06.006 [2] RAVNIK, Jure, ŠKERGET, Leopold, ŽUNIČ, Zoran. Velocity-vorticity formulation for 3D natural convection in an inclined enclosure by BEM. Int. j. heat mass transfer. [Print ed.], Aug. 2008, vol. 51, iss. 17/18, str. 4517-4527. doi: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2008.01.018 [3] RAVNIK, Jure, ŠKERGET, Leopold, ŽUNIČ, Zoran. Comparison between wavelet and fast multipole data sparse approximations for Poisson and kinematics boundary - domain integral equations. Comput. methods appl. mech. eng.. [Print ed.], Apr. 2009, vol. 198, iss. 17/20, str. 1473-1485. doi: 10.1016/j.cma.2008.12.012 [4] RAVNIK, Jure, ŠKERGET, Leopold, ŽUNIČ, Zoran. Fast single domain-subdomain BEM algorithm for 3D incompressible fluid flow and heat transfer. Int. j. numer. methods eng., 2009, vol. 77, iss. 12, str. 1627-1645. doi: 10.1002/nme.2467. 4. Ocena stopnje realizacije zastavljenih raziskovalnih ciljev3 Cilj podoktorskega projekta je bil razvoj algoritma za simulacijo toka tekočin in prenosa toplote v treh dimenzijah na podlagi reševanja hitrostno vrtinčne formulacije Navier-Stokesovih enačb in metode robnih elementov. Tak algoritem smo razvili in njegovo delovanje preverili s primerjavo rezultatov simulacij toka s preverjenimi rešitvami drugih avtorjev. Nadalje smo si zadali nalogo izboljšati učinkovitost algoritma s pomočjo naprednih matematičnih prijemov. Raziskali smo uporabo valčne trasformacije, metode podobmočij in metode hitrih multipolov. Ugotovili smo, da metoda podobmočij omogoča natančno in učinkovito reševanje prenosnih enačb. Rešitev enačbe kinematike, ki jo uporabimo za določitev robnih vrtinčnosti, pa smo uporabili enoobmočno metodo robnih elementov. Polne matrike smo aproksimirali z valčno transformacijo in metodo hitrih multipolov. Ugotovili smo, da obe metodi dajeta približno enako natančne rezultate pri enaki stopnji razpršenosti matrike. V končni verziji algoritma smo uporabili kombinacijo eno in večobmočne metode robnih elementov v navezavi z metodo hitrih multipolov. Trenutno prilagajamo algoritem za simulacijo turbulentnih tokov. 5. Utemeljitev morebitnih sprememb programa raziskovalnega projekta4 Ni sprememb 6. Najpomembnejši znanstveni rezultati projektne skupine5 Znanstveni rezultat 1. Naslov SLO Hitrostno vrtinčna formulacija za 3D naravno konvekcijo in nagnjeni kotanji z metodo robnih elementov Projekt Z2-9744 Stran 4 od 17 Zaključno poročilo o rezultatih raziskovalnega projekta ANG Velocity-vorticity formulation for 3D natural convection in an inclined enclosure by BEM Opis SLO ANG Obravnavamo pojav naravne konvekcije v kotanjah oblike kocke in kvadra, ki sta nagnjeni stran do smeri težnega pospeška. V tem znanstvenem članku poročamo o razvoju novega algoritma za simulacijo toka viskozne tekočine in prenosa toplote. Algoritem temelji na kombinaciji eno-območne in več-območne metode robnih elementov. Algoritem rešuje hitrostno vrtinčno formulacijo Navier-Stokesovih enačb, ki so sklopljene z energijsko enačbo. Rezultati simulacij so primerjani z rezultati drugih avtorjev za Rayleighova števila med 10^3