α Matematika v šoli ∞ XIX. [2013] ∞ 19-28 Σ Povzetek V prispevku je predstavljen primer uporabe programa za dina- mično geometrijo pri delu z nadarjenimi učenci. Ti učenci so s programom GeoGebra raziskovali geometrijsko mesto točk. Opisani primeri uporabe so namenjeni delu in raziskovanju z učenci v osnovni šoli. Informacijsko-komunikacijsko tehnolo- gijo (IKT) sem izkoristila kot motivacijsko sredstvo za učence. Vemo, da IKT vedno bolj prodira na številna področja, tudi v izobraževanje. Učitelj naj bi bil tisti, ki zna presoditi o smiselni uporabi IKT. Poleg pravilne presoje o uporabi mora učitelj IKT v pouk tudi smiselno vpeljati. V članku zato navajam tudi raz- loge za uporabo IKT pri pouku matematike. Iz učnega načrta sem izpisala sklope, pri katerih naj bi bila uporaba IKT smisel- na. Kot sem že omenila, so z GeoGebro raziskovali nadarjeni učenci, zato sem nekaj besed namenila tudi njim. Predvsem sem se osredotočila na matematično nadarjene učence.. Ključne besede: računalnik, dinamična geometrija, nadarjeni učenci, geometrijsko mesto točk, informacijsko-komunikacij- ska tehnologija. Geometrijsko mesto to čk s programom dinami čne geometrije Mojca Pev Osnovna šola Draga Bajca Vipava Finding the geometric locus of points using a dynamic geometry programme Σ Abstract The paper presents an example of how to use the programme for dynamic geometry at work with gifted students. These students examined the geometric locus of points with the GeoGebra pro- gram. The cases of usage described are designed for work and re- Geometrijsko mesto to čk s programom dinami čne geometrije 20 search with pupils in elementary school. As a motivational tool for pupils, I took Information and communication technology (ICT). We know that ICT is increasingly penetrating many are- as, including education. The teacher should be the one to judge what constitutes appropriate use of ICT. In addition to a proper assessment of what constitutes the appropriate use of ICT, the teacher must be also able to reasonably incorporate the ICT into instructions. This is why I also give the reasons why we must use ICT in teaching mathematics in this article. I’ve also outlined the topics from the curriculum in treating of which the use of ICT would be sensible. I've already mentioned the explorations performed with GeoGebra by gifted pupils, who are the also fo- cus of my article, which is why I conclude by dedicating a few words to them. Key words: computer, dynamic geometry, gifted pupils, geome- tric locus of points, Information and communications techno- logy α Uvod Živimo v času, v katerem je še kako pomembno, da posameznik pozna in pravilno uporablja določeno programsko opremo. Brez nje si resnično ne moremo več zamisliti vsakdana. Tehnologija nas spremlja tako rekoč povsod (v trgovini, na bankomatu, pri telefoniranju …) in ravno zaradi potrebe po normalnem funkcioniranju v družbi in opravljanju določenega poklica je človek hote ali nehote prisiljen uporabljati IKT. V prispevku bom opisala raziskovalno delo z nadarjenimi učenci s pomočjo IKT . V skupini je bilo 10 nadarjenih devetošol- cev. Učenci so si dejavnosti izbirali glede na njihova zanimanja. Torej v skupini niso bili samo učenci, nadarjeni izključno le na matematičnem področju. Prav prepletanje raziskovanja z omen- jeno tehnologijo je po mojem mnenju ključna sestavina dela z nadarjenimi učenci. Uporabo IKT spodbuja tudi prenovljeni Učni načrt za matematiko (2011). V njem je navedeno, da naj pouk matematike učence usposobi za uporabo tehnologije. Učitelj lahko IKT uporabi kot pripomoček pri predstavi ge- ometrijskih pojmov ter kot demonstracijsko in raziskovalno orodje. Ker Učni načrt za matematiko (2011) pri določenih vse- binah predvideva uporabo sodobne tehnologije, učitelj nima več 21 možnosti izbire. V prispevku se bom osredo- točila na uporabo programa dinamične geo- metrije pri matematiki. Za tretje vzgojno-izobraževalno obdobje navajam sklope, pri katerih lahko uporabi- mo program dinamične geometrije. Sklopi (Učni načrt za matematiko v osnovni šoli, 2011): • geometrijski pojmi, • transformacije, • funkcija, • matematični problemi in problemi z ži v l j en jskimi si t u aci ja mi , • izkušnje s slučajnimi dogodki. Poleg naštetega lahko učitelj uporabi pro- gram dinamične geometrije tudi pri drugih vsebinah, kjer je dinamičnost nekoliko manj izražena (npr. demonstracija seštevanja in odštevanja celih števil). Mislim, da je uporaba IKT smiselna ta- krat, ko pri učencih dosežemo boljše rezul- tate, vizualiziramo zakonitosti in izreke ter motiviramo učence za nadaljnje delo. Zelo si želim, da bi čim več učiteljev izkusilo smisel- nost uporabe IKT in jo v pouk tudi pravilno vpeljalo. Skoraj zagotovo sodi GeoGebra med naj- pogosteje uporabljane programe pri pouku matematike. Uvrščamo jo med programe za dinamično geometrijo. Ti nam omogo- čajo konstrukcijo geometrijskih elementov, manipulacija z njimi pa jim doda dinamični pridih. Manipulacijo dosežemo: • s premikanjem elementov po risalni po- vršini, • s spreminjanjem dolžin daljic, obsegov, • preverimo vsoto notranjih kotov v tri- kotniku, • preverimo uporabnost Pitagorovega iz- reka v različnih trikotnikih in • raziskujemo geometrijska mesta točk. Če poučujemo samo s kredo in tablo (sta- tično poučevanje), omenjene dinamičnosti ne moremo doseči. Manipulacijo objektov in dinamičnost nam omogoča prav uporaba IKT. Uporabnost programa GeoGebra vidim prav v možnosti spreminjanja in preobliko- vanja konstrukcij. Pri pouku velikokrat po- stavim vprašanja, kot so: • Kaj se zgodi, če pri konstrukciji spreme- nim določen parameter? • Kolikokrat se spremeni obseg kvadrata, če stranico n-krat povečamo? Koliko- krat se spremeni ploščina? Zanimivo je ugotavljati, ali se vsota notran jih kotov spremeni, če spremenimo obliko trikotnika. Med pomembnejše stvari, ki jih lahko počnemo s programom dinamične geomet- rije, je določanje geometrijskega mesta točk. T o je množica točk, ki zadoščajo nekemu po- goju. Tudi sama sem se odločila, da bom z nadarjenimi učenci raziskovala geometrijsko mesto točk. Pri omenjenih nalogah ne upo- rabljamo matematičnih dokazov, temveč le vizualne prikaze. β Nadarjeni u čenci in matema- tika Nadarjeni učenci so bili prvič opredelje- ni v 11. členu Zakona o osnovni šoli (2006). Oktobra 2011 je prišlo do sprememb Zakona o osnovni šoli (2006). V Zakonu o osnovni šoli (2011) nadarjeni učenci ne sodijo več med učence s posebnimi potrebami. Opre- deljeni so kot učenci, ki izkazujejo nadpov- prečne sposobnosti in izjemne dosežke na posameznih učnih ali drugih področjih. Šola jim mora prilagoditi vsebine, metode in obli- ke dela. Sem mnenja, da je nova utemeljitev primernejša, saj nadarjenih otrok ne more- 22 Geometrijsko mesto to čk s programom dinami čne geometrije mo obravnavati enako kot otroke z učnimi težavami. Nagel (1987) navaja značilnosti nadarje- nih učencev. Povzela sem le tiste značilnosti, ki veljajo za matematično nadarjene učence. Značilnosti matematično nadarjenih učen cev lahko razdelimo po naslednjih pod- ročjih: • učne značilnosti: hitro spoznajo načela, na katerih temeljijo stvari, mislijo jasno in precizno, kritično presojajo podatke in dokaze, hitro si zapomnijo dejstva, iščejo skupne značilnosti in razlike, hi- tro analizirajo različne vsebine in pro- bleme; • motivacija: prizadevajo si, da bi nalogo vedno rešili, radi delajo neodvisno, do- ločenim problemom se povsem preda- jo, ob rutinskih nalogah se dolgočasijo, če jih naloga zanima, ne potrebujejo nobene zunanje motivacije; • ustvarjalnost: veliko sprašujejo o različ- nih stvareh, svoje mnenje jasno izrazijo, pri reševanju problemov tudi tvegajo, imajo veliko idej in problemskih rešitev. (Nagel, 1987) Tako kot vsako nadarjenost je treba tudi matematično nadarjenost negovati in raz- vijati. Učitelj naj bi matematično nadarjene učence prepoznal že v otroštvu. Poleg že prej naštetih lastnosti matematično nadarjeni učenci radi merijo, opazujejo ter povezujejo določene pojave, urejajo po velikosti ter gru- pirajo. Koncept  odkrivanja in  dela z nadarje- nimi učenci v devetletni osnovni (1999) in Učni načrt za matematiko (2011) sta edina dokumenta na ravni države, ki opredeljujeta nadarjene učence. V Učnem načrtu za mate- matiko (2011) je pod točko 5. 2 opredeljeno, da moramo učitelji prilagoditi pouk glede na zmožnost in druge posebnosti učenca. Pri- lagoditve izvajamo v vseh fazah vzgojno-iz- obraževalnega procesa. Posebno pozornost namenimo specifičnim skupinam, med kate- re spadajo tudi nadarjeni učenci. Zato mora vsak učitelj obstoječi program spremeniti v tolikšni meri, da bo ustrezal potrebam na- darjenega učenca. Na šoli delo z nadarjenimi učenci poteka v obliki obogatitvenega programa. Učitelji v okviru aktiva pripravijo vsebine za delavnice. Nadarjeni učenci izbirajo delavnice glede na svoje želje in potrebe. Aktiv matematike iz- vaja delavnico Interaktivna matematike, kjer se učenci podrobno srečajo s programom GeoGebra. Pri delu z nadarjenimi učenci se trudimo uporabljati nekoliko drugačne oblike in metode dela kot pri rednem pouku. Stremimo k samostojnemu in raziskovalne- mu delu. Učitelj je mentor, ki učencem poda uvodno znanje, jih med delom usmerja in jim pomaga, ko se jim pri delu zatakne. De- lavnice, ki jih izvajamo, potekajo po pouku 6. in 7. šolsko uro. Števila ur nimamo vnaprej določenega. Največkrat je število ur odvisno od zanimanja in interesa vsakega nadarjene- ga učenca. Zak aj g eog ebr a Za delo z dinamično geometrijo imamo na razpolago precej programov (Ravnilo in šes- tilo, Cabri 3D, Cabri II plus, The Geometer‘s Sketchpad, GeoGebra …). Nekateri med nji- mi so zelo zmogljivi programi, a žal plačljivi. Sama sem se odločila za GeoGebro. Navajam nekaj razlogov: • prostodostopen in odprtokodni program, • širok razpon uporabnosti (od osnovne šole do univerze), 23 23 [Slika 1] Okno programa GeoGebra 4.2 [Slika 2] Konstrukcija simetrale daljice z geomet- rijskim orodjem • je v slovenskem jeziku, • z njim lahko rešujemo geometrijske probleme, rišemo grafe, simbolno raču- namo, tabeliramo, izdelujemo dinamič- ne delovne liste, • konstrukcijo lahko prikažemo po kora- kih, • možnost simbolnega računanja (od vključno verzije 4.2 naprej), • enostavna uporaba. Prav enostavna uporaba ter podpora di- namični geometriji (sledenje točk, možnost animacije geometrijskega elementa in upo- raba drsnika) so trije ključni dejavniki, ki so me prepričali v pravilnost izbire. Opis delavnic z nadarjenimi u čenci GeoGebro največkrat uporabljam pri re- dnem pouku za demonstracijo oziroma pri- kaz določenih zakonitosti. Ker za raziskova- nje potrebujemo več časa in manjšo skupino učencev, ostale možnosti GeoGebre odkriva- mo v delavnicah z nadarjenimi učenci. V okviru obogatitvenega programa učen- cem vsako leto ponudimo delavnico Inte- raktivna matematika, kjer raziskujemo di- namičnost programa. Zadnja delavnica je bila na temo geometrijskega mesta točk. Z nadarjenimi učenci se dobimo nekajkrat na leto. Delo poteka v računalniški učilnici. Že prej sem omenila nekaj prednosti dinamič- nega poučevanja pred statičnim poučeva- njem. Učenec pri prvem primeru postane raziskovalec. Za doseganje njegovih rezulta- tov je odgovoren sam. Delavnice sem izvedla z nadarjenimi de- vetošolci. Želela sem, da imajo učenci do- volj predznanja, potrebnega za raziskovanje. Uvodno srečanje je bilo namenjeno spozna- vanju programa. Naučili smo se uporabljati orodja v orodni vrstici, konstruirati osnov- ne geometrijske pojme, zrcaliti geometrijske objekte, vstavljati besedilo, skrivati objekte ipd. Pravilnost konstrukcije smo preverili s premikanjem geometrijskih objektov (npr. lege točke). Če konstrukcija po premika- nju ostane nespremenjena, je le-ta pravilna (npr. trikotnik je tudi po premikanju oglišč še vedno trikotnik in ne razpade na dalji- 24 [Slika 3] Klasična konstrukcija simetrale daljice v GeoGebri [Slika 4] Delo v računalnici Geometrijsko mesto to čk s programom dinami čne geometrije ce). Razložila sem razliko med brisanjem in skrivanjem objektov. Pri brisanju objekta se izbrišejo tudi objekti, ki so odvisni od izbra- nega objekta. Na drugem srečanju smo spo- znali lastnost geometrijskih objektov, vnašali besedilo, uporabljali drsnike in raziskovali ostale možnosti programa. Kmalu so učenci ugotovili, da je pri reševanju matematičnih nalog nujno poznati določene matematične vsebine. Zato sem mnenja, da je GeoGebra le eden od pripomočkov pri doseganju zasta- vljenega cilja. Za boljše razumevanje pojma statičnost in dinamičnost smo simetralo daljice najprej konstruirali s šestilom in ravnilom. Konstrukcija simetrale daljice z geogebro Klasično konstrukcijo simetrale daljice so učenci izvedli tudi s pomočjo GeoGebre. Si- metralo so konstruirali sami, predhodno so se lahko o izbiri ukaznih gumbov pogovorili s sosedom. Klasični način konstrukcije sime- trale daljice v GeoGebri se nekoliko razliku- je od klasične konstrukcije na papirju, zato bom opisala korake konstrukcije. 1. Narišemo daljico. 2. Izmerimo dolžino daljice. 3. Dolžino daljice razpolovimo. Pomaga- mo si lahko s simbolnim računanjem. 4. V krajiščih daljice narišemo krožni- ci s polmerom večjim od polovice dolžine daljice. 5. Označimo presečišči krožnic. 6. Skozi presečišči krožnic narišemo premico. Primeri raziskovanja Na simetrali daljice AB si izberi točko C. Ugotovi, v kakšnem razmerju sta dolžini |AC| : |BC| Hitro so ugotovili, da je iskanje neznane- ga razmerja z merjenjem zamudno. Zato so se dela lotili z GeoGebro. Imeli so že dovolj predznanja, da so do rešitve prišli le z upo- rabo programa. Nad možnostjo hkratnega spreminjanja lege točke in merjenja razdalje so bili navdušeni. Ugotovili so, da sta razdalji enaki, torej v razmerju Na naslednjih dveh 25 [Slika 5] Raziskovanje z GeoGebro [Slika 6] Prvi algoritem za iskanje geometrijskega mesta točk [Slika 7] Drugi algoritem za iskanje geometrijske- ga mesta točk [Slika 8] Krožnica vzelo nekoliko več časa. Mislim, da je bistve- no bolj pomembna priprava načrta reševanja (vključuje tudi komunikacijo s sošolci) kot sama konstrukcija. Pred pričetkom izdelave konstrukcije so učenci na papir pripravili na- črt za izdelavo konstrukcije. Opazimo lahko, da različne poti pripelje- jo do istega cilja. Koraki reševanja se pri raz- ličnih algoritmih razlikujejo. Oba načina sta pravilna, saj je rešitev pri obeh enaka. delavnicah smo raziskovali geometrijsko mesto točk. Ker pojma geometrijskega mesta točk pri pouku ne uporabljam, sem ga najprej razložila. Učencem sem zastavila vprašanje: Kateri geometrijski pojem dobimo, če izbra- no točko zavrtimo za polni kot okrog dane točke? Učenci so poznali odgovor, dobimo krož nico. Zato je krožnica geometrijsko mes to točk, ki jih vrtimo za polni kot okrog središča vrtenja. Zaradi možnosti komuniciranja (iskan- ja različnih poti do rešitve in usklajevanje mnenj) sem dovolila, da so učenci naloge reševali v paru. Pri reševanju so imeli na raz- polago GeoGebro, svinčnik, papir, besedilo naloge, pomoč soseda in učitelja. 1. Primer: Kaj je geometrijsko mesto točk, ki so od izbrane točke oddaljene za natanko določeno razdaljo? Ko učencem postane jasno, kaj morajo storiti, je postopek konstruiranja s progra- mom precej enostaven in hiter. Ker so učenci morali sami ugotoviti, kaj vse je treba klikni- ti, da pridemo do rešitve, je reševanje naloge 26 Geometrijsko mesto to čk s programom dinami čne geometrije [Slika 9] Notranjost kroga [Slika 10] Krog 2. Primer: Kaj je geometrijsko mesto točk, ki so od iz- brane točke oddaljene največ za izbrano raz- daljo (polmer)? Na podlagi izkušenj, ki so jih učenci pri- dobili pri prvem primeru, so nekateri hitreje, drugi počasneje ugotovili, da če vrtimo in animiramo točko, dobimo kot geometrijsko mesto točk krožnico. Zato je tu treba vrteti in animirati daljico. Edino kar je učence motilo, je bilo, da se krog ni nikoli v celoti pobarval. Kot razlog so navedli prehitro potovanje da- ljice, kar je tudi res. Zato so malo pobrskali med nastavitvami drsnika ter upočasnili hi- trost vrtenja. Izkazalo se je, da je treba tudi pri uporabi programa razmišljati. Saj v pri- meru, da ne bi popravili hitrosti, geometrij- sko mesto točk ne bi bila notranjost kroga, ampak skupek daljic z istim krajiščem. Nekateri učenci so popravili konstrukci- jo tako, da je geometrijsko mesto točk krog. Vključili so še sledenje končne točke daljice. Navajam še opis enostavnejše rešitve za geometrijsko mesto točk, katere rešitev je krožnica. Omenjenega primere se ni spomnil noben učenec. Konstruiramo poljubno toč- ko. Iz te točke narišemo daljico z dano dol- žino. Nato vključimo sledenje drugega kraji- šča daljice. Z orodjem za premikanje vrtimo drugo krajišče. Točka pušča za sabo sled, ki jo imenujemo krožnica. Če bi želeli pokazati, da je geometrijsko mesto točk krog, bi poleg točke vključili še sledenje daljice. 3. Primer: Opiši geometrijsko mesto točk, ki ga do- bimo, če nosilke stranic kvadrata zavrtimo okrog presečišča diagonal kvadrata. Omenjeni primer se je učencem zdel naj- bolj fascinanten. Pa ne toliko zaradi matema- tičnega ozadja, temveč zaradi dobljene rešitve. Med reševanjem sem jim namignila, da bo re- šitev lepša, če bodo vsako zasukano premico pobarvali z drugačno barvo. Pri rešitvi je bilo nekaj polemik. Nekateri so trdili, da je geome- trijsko mesto krog, drugi pa ravnina, iz katere je izrezan krog. Pri tem je bila potrebna učite- ljeva usmeritev. Torej, če je bilo pri prejšnjih primerih geometrijsko mesto točk pobarvani del, je tako tudi v tem primeru. Po tej enostav- ni razlagi jim je bilo jasno, da je geometrijsko mesto točk ravnina, iz katere je izrezan krog. 27 [Slika 11] Geometrijsko mesto točk nosilk stranic kvadrata, ki so zavrtene okrog presečišč diagonal kvadrata [Slika 12] Geometrijsko mesto točk nosilk pravilne- ga šestkotnika zavrtenega okrog presečišča diago- nal pravilnega šestkotnika [Slika 13] Geometrijsko mesto točk nosilk šestkot- nika, zavrtenega okrog presečišča diagonal šestkot- nika Tudi tu so učenci ugotovili, da lahko zad- nji primer spremenimo. Tako so nekateri kot rešitev dobili ravnino brez krožnice. Enemu učencu se je porodila misel, da bi po iskal geometrijsko mesto točk nosilk stranic pra- vilnega šestkotnika, ki so zavrtene okrog presečišča diagonal za polni kot. Po pravilno narejeni konstrukciji in zagnani animaciji je ugotovil, da je rešitev enaka kot pri kvadratu. Istega učenca je zanimalo, kako je z ge- ometrijskim mestom točk, če začetni lik ni pravilni lik. ϕ Zaklju ček V današnjem času ima učitelj na voljo do- volj interaktivnih pripomočkov, s pomoč jo katerih lahko obogati pouk in pritegne učen- čevo pozornost ter ga s tem stimulira za na- daljnje delo. Vendar moramo pred tem dob- ro premisliti, kdaj in na kakšen način bomo uvedli IKT v pouk matematike. Učencem se je opisani način dela zdel zelo zanimiv. Iz- razili so željo, da bi se podoben način dela večkrat izvajal tudi med poukom. Veseli so bili, da so lahko spoznali tudi drugačno plat včasih njim kar preveč dolgočasnega pred- meta. Prav zato sem se odločila, da bom pri- dih interaktivnega raziskovanja vpeljala tudi v redni pouk. Od opisanega bi lahko učitelj pri rednem pouku uporabil konstrukcijo simetrale da- ljice in opisani prvi primer raziskovanja. Si- metralo daljice lahko uporabimo v sedmem razredu, raziskovanje geometrijskega mesta 28 Geometrijsko mesto to čk s programom dinami čne geometrije δ Viri in literatura: 1. Učni načrt za matematiko, http://www.mizs.gov.si/ fileadmin/mizs.gov.si/pageuploads/podrocje/os/pre- novljeni_UN/UN_matematika.pdf, (12. 7. 2013). 2. GeoGebra, http://www.geogebra.org/cms/sl/, (12. 7. 2013). 3. W. Nagel (1987), Spodbujanje in odkrivanje nadarje- nih otrok, Ljubljana, Državna založba Slovenije. 4. Zakon o osnovni šoli, http://www.uradni-list.si/1/ob- java.jsp?urlid=200681&stevilka=3535, (12. 7. 2013). 5. Zakon o spremembah in dopolnitvah zakona o osnovni šoli, http://www.uradni-list.si/1/objava. jsp?urlid=201187&stevilka=3727, (12. 7. 1013). 6. Odkrivanje in delo z nadarjenimi učenci v devetletni osnovni šoli, http://www.zrss.si/pdf/210911135740_ ssd_nadarjeni20koncepto%C5%A1.pdf, (12. 7. 2013). točk (1. in 2. primer) pa v šestem razredu. Geometrijsko mesto točk lahko učitelj upo- rabi pri rednem pouku kot demonstracijo. Učenci so bili pri delu zelo motivirani. Prvič zato, ker so delavnice izbrali sami, in drugič zato, ker jim je bil način dela všeč. Povedali so, da radi raziskujejo in so zadovoljni, ko do rešitve pridejo sami. Delo z računalnikom jih motivira, ne zdi pa se jim smiselno, da bi bile ure rednega pouka v celoti namenjene delu z njim. V delavnicah učenci niso bili časovno omejeni. Najbolj pomembno se mi zdi, da so raziskovali, iskali poti do rešitve in se medsebojno usklajevali. Za izpeljavo omenjenih delavnic je poleg programske opreme potrebno tudi učiteljevo poznavanje posameznih orodij in komaj ča- kam, da bom lahko omenjene primere pre- izkusila tudi na drugačnih interaktivnih na- pravah, ne le na računalnikih.