i
i
“444-Milosevic-Petek” — 2010/5/26 — 8:11 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 7 (1979/1980)
Številka 4
Strani 224–225
Dragoljub M. Milošević, prevod Peter Petek:
PLOSČINA PRAVILNEGA OSEMKOTNIKA
Ključne besede: matematika, geometrija, ploščina, osemkotnik.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/7/444-Milosevic-Petek.pdf
c© 1980 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
PLOščINA PRAVILNEGA OSEMKOTNIKA
Po ka ~imo, ka ko lah ko izračunamo ploščino pravi lnega ose mkotn i-
ka, č e poznamo njeg ovo stranic o !
1. na č in
Na s l i ki 1 imamo pravi lni osemkotn ik s stran ico a . Poteg nemo
daljice" AF , BE , CH in DG in dobimo kvadrat MN PQ , katere -
ga s t r a ni ca je enaka stranici osemkotnika . Očitno so enakokra -
ki pravo kotni t r i kot ni ki AQH, BMC , DNE in FPG medse bojno skl~
dni . Ke r je nj i hova hipotenu za obenem tudi stranic a osemkotni-
ka , bo njih ka t e t a po Pitag or ovem izre ku enaka faTT2 = a l2/ 2
Torej je pr av i l ni osemkot nik ABCDEFG H s e s t avlj e n i z kvadr a ta
str ani ce a in š t i r i h pravokotnih trapezov z osnovnicama
a + a l2/ 2 i n a ter v išino al2/ 2 . Za t o je p loščina enaka
2 . način
P
P
1
a 2 + 4 . "2 (( a + a l2/2 ) + a ) .al2/2
2a 2 (1 + 12 )
Prav i lni osemkotnik je s e s ta vlj e n iz osmi h sk l adnih ena kokr a-
ki h t r ik ot nik ov z osn ovn i co a in kr ak om R . (Glej s li ko 2) . Pri
tem je a stranica pravilnega osemkotni ka in R polmer temu osem
kotni ku oč rtanega kroga. Trikotn ik AOH je eden takih trikotni-
kov . Konstru iramo vi šino HP na krak AO. Ker je 1AOH = 360 0 :
: 8 = 450 i n kot pr i P pravi, je tu di 1PHO = 45 0 . Naspro ti
enakim kotom leže enake stra nice, za t o je HP OP . Označimo
dolžino da lj ice OP s črko x ; potem je AP = R - x . Po Pitago-
rov em i zreku za trikotni k HPO je seveda
x = RI2/ 2
Nadalje je
AP = R - RI2/ 2 = ~ (2 - 12)
Iz trikot nika APH pa po Pitago rove m izrek u dob imo
224
A
S1. 1
G
c
G
AQ-- >--- ---4)
c
Slo 2
AH2 = Ap 2 + PH2
R 2 R 2
a 2 lf (2 - 1 2 ) 2 + ~
R2 )
a 2 II (4 - 412 + 1 + 2) = R2 ( 2 - 12
R2 a 2 / ( 2 - 12) ( a 2 / 2 ) ( 2 + 12) (1)
Ploščina t rikotni ka AOH je enaka (1/2) . AO. PH (1 / 2). R . RI2/2
= R 2 2 /4 , plo ščina osemkotn ika je osemkrat večja
( 2 )
Iz enakost i (1) i n (2) s l ed i
a 2 )p = 2. Z ( 2 + /2) .2 = 2a
2( 1 + 12
Rezu ltat je seveda ist i, kot smo ga dob i l i na prvi nač in.
NALOGI
1 . Izraz i - brez upor a be tr igonome tr ije - p lošči no pravi lnega
osemkotni ka s po lme rom t emu osemkotni ku v č r t a n e g a kr oga.
2 . Doka ž i , da je ploščina pravilnega osemko tnika ena ka produ k-
tu njegov e najk rajše in najdaljše diag ona le!
Drago l j ub M. Mi lo še v i6
prevedel Pete r Pe tek
22 5