Separatabdruck aus ilem Programm des k. k. Ober-Gymnasiums zu Laibach fiir 1879. ISTeiO-e IMTetlxocIe fiir dio Berechnung* der Sonnen- und Mondesparallaxe aus Planetenvoriiberyanyen und Sonnenfinsternissen. Von M. Yodusek, k. k. Gymnasialprofessor. Die Yoriibergange der Venus vor der Sonnenscheibe galten bis auf die neueste Zeit als das geeignetste Mittel fur die Bestimmung der Sonnen- parallaxe und mithin der Entfernung der Erde und der ubrigen Planeten von der Sonne. Die Idee riihrt von Halley her und beruht auf der ganz ricbtigen Ansicht, dass man aus den verschiedenen Stellungen, welche die Venus wah- rend eines Voruberganges, von verschiedenen Orten der Erdoberflache zu glei- cher Zeit betrachtet, an der Sonnenscheibe einnimmt, einen Schluss auf die Grosse der Sonnenparallaxe selbst machen konne. Allein die Methode, die uns Halley zur Kealisirung seiner Idee hinterlassen hat, ist sehr unvollkommen, wie es bei dem damaligen Zustande der mathematischen Wissenschaften nicht anders moglich war. Um nichts besser, im Gegenteile noch viel verwickelter ist ein von Delisle angegebenes Yerfahren, welches aus der Beobachtung eines einzelneu Contactmomentes die Sonnenparallaxe ableiten will und so das von Halley aufgestellte richtige Princip fahren lasst. Eine bessere Methode wurde seither nicht gefunden, und so kann es nicht Wunder nehmen, dass nicht ein einziger der bisher stattgefundenen Venusvoriibergange mit dem gewiinschten Erfolge beobaclitet werden konnte und die Sonnenparallaxe, diese fur unser Planetensystem so wichtige Grosse, noch heute nicht genau festgestellt ist. Ich will mich hier nicht naher einlassen, sondern bemerke nur, dass in einer der vom 16. bis 19. April 1878 abgehaltenen Sitzungen der amerikanischen Akademie der Wissenschaften in Washington iiber die Venus der Stab gebrochen und erneute Messungen der Geschwindigkeit des Lichtes als kiinftige Grund- lage der Parallaxenbestimmung vorgeschlagen wurden* Mit nichten. Die Venusvoriibergange sind und bleiben das vorziiglichste Mittel zur Eruirung der Sonnenparallaxe. Dies darzutun und zugleich eine neue, sehr einfache Methode an die Stelle der zwei unbrauchbaren zu setzen, ist die Aufgabe der vorliegenden Abhandlung. Dieselbe diirfte um so zeitgemasser erscheinen, als sie dem fiir den 6. Dezember 1882 bevorstehenden Venusvoriibergange, dent dann erst in 122 Jahren wieder einer nachfolgt, noch zu Gute kommen kann. * Einen kurzon Boriclit iiber diese Sitzungen bringt die Zoitsclirift „Ga)a“ vom Jalire 1878, 1>. 377 ff. 1 * 4 Die Einfachheit der hier entwickelten Formeln und des darauf gegriin- deten Verfahrens ist mir Biirge, dass der vorgezeichnete Weg der richtige und dass schwerlick je ein besserer zu finden sein wird. Wakrend icb mich aber mit den Venusvoriibergangen beschaftigte, drangte sich mir immer mehr und mehr der Gedanke auf, dass auf diesem Wege auch fur die Mondesparallaxe sich wird etwas tun lassen; deshalb brack icli die urspriinglich rein differentiell angelegte Entwickelung ab und suclite nacli einer neuen Grundlage fur alle von der Parallaxe abhangigen Rechnungen. Nachdem icli so gliicklick war, dieselbe zu finden und eine neue Theorie der Sonnenfinsternisse aufzustellen, war es mir auch moglich, fur die Bestimmung der Mondesparallaxe aus Sonnenfinsternissen eine Formel zu entwickeln, die man im Vergleich zu dem bisherigen Verfahren sekr vorteilhaft wird nennen miissen. Die teilweise elementare Ableitung verbreitete aber auch viel Liclit auf die Differentialformeln und niitzte so auch dem ersten Problem. Dass die Theorie der Sonnenfinsternisse nicht nacli alien Seiten liin erortert und mit einem Beispiele versehen werden konnte, daran tragt der fur ein Gym- nasialprogramm kurz bemessene Raum, dann wol auch der Mangel an Zeit, woran der Verfasser in diesem Schuljahre besouders litt, die Schuld; derselbe hofft aber hei einer anderen Gelegenheit das hier Versaumte nachzuholen, und behalf sich alle Rechte vor. sin 1 1 2 m sin 1 j i ( M v + M s ) — sin Vs (a — A) cos Vs (d + D) sin Vs m cos V 2 (M v M s ) = cos J / 2 (a — A) sin 1 / 3 (d — D) cos V 2 m sin V* (M« — M) = sin Vs (« — R) sin V 2 (d + IJ) cos Vs m cos Vs Mv — M) —[cos Vs ( a — -4) cos V 2 (d — D) Zur Zeit des Yoruberganges eines Gestirnes vor dem anderen sind Vs m , Vs (d — D) und Vs (« — M) sehr klein, so dass man die Sinuse davon gleich den Bogen , die Cosinuse aber gleich der Einkeit setzen kann; ebenso ist M v von M s nur urn eine Kleinigkeit verschieden, so dass man hie und da M v = M s angenommen findet; wir wollen der Genauigkeit wegen dieser An- nahme nicht folgen, sondern setzen Vs (M + M) — M dem Gesagten gemass P I. Vorausberechnung fiir den Erdmittelpunkt. Im spharischen Dreiecke VPS sei P der Pol des Aequators, in V und S befinden sich zwei Gestirne, wovon wenigstens eines mit Eigenbewegung, die Entfernung der Mittel- punkte derselben sei m— VS; M„ und M, sind dann die entsprechenden Positionswinkel; wenn ferner «, d die Rectascension und Decli¬ nation des Gestirnes V, A und I) die Recta¬ scension und Declination des Gestirnes S be- deuten, so ist VP =90 — d, SP = 90 — 1) und der Winkel VPS — a — A; vermoge der Gaussischen Formeln ist nun ist nun m sin M— (a — A) cos I / 2 (d + D) \ mcos M = d — D 1 !•) 5 Weil die Vorzeicken von a — A und d — D zur Bestimmung des Qua- dranten von M dienen, so bleibt m immer und unter alien Umstanden positiv und es kann mithin keine negativen Distanzen geben. Im Augenblicke der Conjunction in Rectascension ist a — A — 0, daher aucb sin M = 0, hin- gegen ist cosM— + 1, je nachdem d— D positiv Oder negativ ausfallt. Im Augenblicke der Conjunction, welcke Zeit wir mit T bezeichnen wollen, ist demnacb M — 0° oder 180", je nacbdem der zu dieser Zeit stattlindende Declinationsunterscbied d ~ D, welche Grosse wir kurz mit c bezeichnen, positives Oder negatives Vorzeichen hat. Die zur Zeit T stattfindende Distanz ist aber m = S — D, wenn d>D, oder m — D — d, wenn D>-d, so dass m positiv bleibt. Die beiden Grossen m und c diirfen mithin nickt verwecbselt werden. T und c miissen aus den Ephemeriden berechnet werden, und zwar ist T die mittlere Zeit des Meridians, fur welchen die Ephemeriden gelten (London, Paris, Berlin), wir werden ihn kurz Hauptmeridian nennen. Fur einen anderen Meridian, der vom obengenannten um t gegen Osten zu liegt, ist diese Zeit TA-l h . Bedeuten dann ^ ( “ , —— und —— ■ — die relative stiindliche Bewe- ax ax gung in Rectascension und Declination der beiden Gestirne, und setzt man n sin N — ^ cos 1 U ip + D) , r d (d — Z>) n cos Jy — — - - ax 2 .) so bedeutet n sin N die stiindliche Bewegung in ostwestlicher und ncosN iii nordsiidlicher Richtung; dabei ist n wie oben m immer positiv.* Zur Zeit 2 T +z-, in welcker die Distanz der beiden Gestirne allgemein wie in 1.) m betragen mag und wo % Stunden mittlerer Zeit bedeutet, ist dann m sin M — nr sin N — (a — A) cos x / 2 (d + D) | q ^ m cos M — c-\- m cos N — 6 — D i . ' Multiplicirt man mit Ausschluss der dritten Teile die erste Zeile mit cos N, die zweite mit sin N, so erkalt man m sin (N — M) — c sin N .4.) Multiplicirt man liingegen die erste Zeile mit sin N, die zweite mit cos N, so erscheint ,, 7 7 , m cos (N — M) = nr + ccos N .5.) Aus 5.) ergibt sick sofort t = — ° cos N + m cos (N — M), daher n n T+ t = T- c cos N+ - cos (IV — M) n n a) Fur die Zeit einer ausseren Randerberiihrung ist m = B + r, fiir die Zeit einer inneren m — R — r, wo R und r die scheinbaren Radien der beiden Gestirne bedeuten, und zwar moge R immer der grossere Radius sein. * Als Argument fiir die Berochnung der stiindlicken Bowogung und der Grosso 1 /a (d + D) nimmt man zuerst die Conjunctionszeit T, dann, wenn man genauor sein will, die Zeit der Mitto des Voruberganges. 6 Aus 4.) erkiilt man sin (JV — M) sammt seinem Vorzeieken; iiker das Zeichen von cos (JV — M) entsckeidet aber, da sonst nickts nakeres vorliegt, die Natur der Aufgabe, und zwar wird dasselbe fiir Zeiten vor der Mitte des Durchganges als negativ, kingegen fiir Zeiten naek dieser Mitte als positiv gelten miissen. Quadrirt und addirt man die Gleickungen 4.) und 5.) und lost die neue Gleickung naek t auf, so erkiilt man in der Tat fiir cos (JV — M) ein doppeltes Vorzeieken, welckes im ebenerwaknten Sinne der Aufgabe zu deuten ist. Bekiilt man dies im Gedacbtnisse, so kann man die Gleickung a) als die allgemeinere gelten lassen. Man erkiilt somit fiir die vier verschie- denen Beriihrungszeiten und fur einen Ort, der vom Hauptmeridian um l h gegen Osten zu liegt, die allgemeine Formel: T+l + r= T+l — -cosN+^^cos(N—M) . ft) n n Aus der Gleickung 4.), der wir auck die Form m c sin JV geben sin ( JV — M) konnen, siekt man, dass fiir sin (JV — M) — + 1 die Distanz m zu einem Minimum wird; damit niimlick m positiv bleibt, miissen Zaliler und Nenner ikes Bruckes gleick bezeicknet sein; ist also die fiir einen Vorubergang eon- stante Grosse c sin JV positiv, so ist fiir das Minimum in m der Nenner sin(N — M) = 1 oder JV— M — 90°, ist kingegen csinN negativ, so ist iV— M — 270°. Weil nun zur Zeit des Minimums in der Distanz cos (JV — M) = 0 ist, so ist diese Zeit ausgedriickt durck T —- cos JV. Dieser Ausdruck gibt n aber, wie man okne weiteres siekt, die Zeit der Mitte des Voriiberganges an; dass dem so ist, gekt auck aus dem bekannten geometrisclien Satze ker- vor, dass niimlick der auf der Sekne eines Kreises senkreckt stehende Radius dieselbe kalbirt. Die Grosse der Verfinsterung wird gewoknlick in Zollen (Zwolfteln) des Durckmessers angegeben, das keisst, man teilt den Durck- messer der Sonne in zwolf Teile, Zolle genannt, ein und gibt an, wie viele Zolle vom Monde bedeckt werden. Ein Zoll betragt daker - des Sonnen- o durckmessers. Bei einer ^-zolligen Finsternis erscheint demnach — des C Durckmessers bedeckt; die Grosse dieser Bedeckung ist aber auck aus¬ gedriickt durck II + r — m, mithin sU R-\-r — m, und g = G (l + r -■&—) Ii 6.) ^ / V _ 7)1 Teilt man z durck 12, also — = 1 j t (l -) - - ^—), so hat man die Grosse der Verfinsterung in Teilen des Durchmessers, wie man sie hie und da auck anzugeben pflegt. Je kleiner m ist, desto bedeutender wird z; da nun das Minimum von m zur Zeit der Mitte des Voriiberganges stattfindet, so ist die zu dieser Zeit stattfindende Grosse der Verfinsterung ein Maximum, welches sick aus 6.) leicht berechnen lasst, man brauckt nur fiir m die kiirzeste Distanz lc = c sin JV, welcke Grosse, als Distanz betracktet, immer positiv zu nekrnen ist, einzusetzen. Wird B + r < 7c, so ist, wie man aus 4.) ersiekt, sin (JV — M) unmoglich , das keisst , das Phanomen ist fur den Erdmittelpunkt nickt sichtbar. 7 Als Beispiel bringen wir die Vorausberechnung des nachsten Venusvor- xiberganges am 6. Dezember 1882. Im Nautical Almanac ftlr das Jahr 1882 findet man fiir den mittleren Mittag des Greenwieber Meridians folgende Venus- und Sonnenorter: Venus a 8 Sonne A D Der Sonnenhalbmesser B = 16' 13", der Venushalbmesser r — 31-4", die Sternzeit im mittleren Greenwieber Mittage des 6. Dezember © 0 = = 17 7i 0“ 40-53*. Auf Grundlage dieser Daten findet man mit Hilfe der Newton’schen Interpolationsformel und mit Beriicksichtigung noch der fiinften Differenzen folgende Reiben, in denen x Stunden bedeutet und der mittlere Greenwieber Mittag des G. Dezember 1882 als Ausgangsepoche dient: (a — A) x — 1114-65"— 257-134167"* + 0-000477516"+ 0 000189887''* s . . . a) */» (a + A) x = 253° 8' 14 • 175" + 35 • 3076" * + 0 ■ 007042" a: 2 + 0 • 0000954" * s . b) (d — DR = — 956-4"+66 96" « — 0-013252" — 0 00007173" x 3 . e) J /» (d + D) x = — 22" 39' 47-9" + 15-7334''* + 0 016587"a; 2 — O'00004159 " . ... d) Daraus ergibt sich die stiindliche Bewegung: ~ ^ = — 257 ■ 134167" + 0 000955" x + 0 • 00056966" x* . e) < 1(8 — 1 )) _ + 60 . 9g „ _ Q . 0265or X _ Q . 00021519" x 2. f ) Die bier gegebenen Reiben sicbern bis gegen die zehnte Stunde des 6. Dezember bin, wo das Phanomen langst geschwunden sein wird, eine Genauigkeit in der dritten Decimalstelle; man wird daher aus denselben fur eine jede beliebige Zeit des Voriiberganges mit Zuhilfenabme der Gleiebungen in 1.) die Grossen m und M mit hinlanglicber Sicherheit bereebnen konnen. Setzt man a — A — 0, so bat man aus a) die Gleicbung 0-000189887 x 3 + O'000477516 a; 2 — 257-134167 x+ 1114-65 = 0, aus welclier man x — T— 4*335 A die Zeit der Conjunction erbalt. Gelit man mit diesem Werte von x in die Reihen c) , d), e) , f) ein, so hat man fur die Zeit der Conjunction d — D = c — — 666-381", */ 2 (d D) — — — 22° 38' 39-5", = _ 257-123", (/ (() ~ . J)) — + 66-841". ’ dx dx Die Gleiehungen in 2.) geben nun l d(cc_A) = 2 -4101409„ " dec Igcos y 2 (d + ii) = 9'“ 9651606 IgnsinN = 2*3753015 ra IgncosN = 1-8250429 IgtgN ~ = O'5502586« N = — 74° 16'8-5"= 285° 43'51’5" Ig n sin N = 2- 3753015„ IgsinN =9'9834272„ Ifn = 2*3918743 8 Nun rechnen wir die Zeit der Mitte und die kiirzeste Distanz k Igc Ig cos N : 2'8237227„ 9-4331628 Ign 2"2568855m 2-3918743 T= 4-335* cos N = 0-73284* 9" 8650112„ = Ig — 0" 73284 T ~ n cos N — 5 '06784 7 ' Zeit d. Mitte, 7c = 641 "43"= 10' 41 ‘43" Igc — 2-8237227m Ig sin N = 9 - 9834272„ Iglc = 2-8071499 = Ig 641'43" kiirzeste Distanz. N — il/ = 90" zur Zeit d. Mitte, N = 285°43' 51 -5" — 195° 43'51 "5" der Po- . 1 / Mit deni Werte x d (a — A) dx — 257-1147" d(d sitionswinkel zur Zeit der Mitte. 5 - 06784* bekommt man nun fur die Zeit der Mitte - ' I)) — = + 66 • 82", Vs (d+I)) = — 22" 38' 27 • 74". dx Bereclinet man mit diesen Daten die Grossen n und N nochmals, so erhalt man fur die Zeit der Mitte N = — 74" 16'25" oder 285" 43' 35", M — = 195" 43'35", 7^ w = 2-3918670. Ig sin (N — M) = 9 * 8052469 Fiir die Zeit einer ausseren Beruhrung ist m — R -\-r = 1004-4”; der zu dieser Distanz gekorige Winkel N — M ergibt sich aus 4.): Igc =2'8237227„ N — M a = 39° 41’ 22” fiir den Austritt, Ig sin N _ = 9 - 983430 9 ,, N — M, = 180"— 39" 41' 22"= 140" 18' 38" Igc sin N = 2-8071536 fiir den Eintritt. hi (R -\-r) = 3-0019067 Daraus ergibt sicb, wenn man denlndex e fiir den Eintritt und a fiir den Austritt setzt, M e = 145" 24' 57", M a = 246" 2' 13”. Die Zablung des Positionswinkels M beginnt, wie dies aus der Figur ersiebtlicb ist, am Nordpunkte der Sonnenscheibe oder in der Figur beim Punkte P und gebt dann in ostlicber Ricbtung, also nacli links weiter. Um nun aucb die Zeiten der ausseren Beriihrung beim Ein- und Austritte zu berechnen, so ist lg{B + r) = 3-0019067 Igcos (N — M) = 9-8862183^ 2 ‘ 8881250pm lgn= 2-3918670 5-06784* Zeit d. Mitte (Greeinv.) + 3 1 13515* x e = 1 -93269* erste ) iiussere x a = 8 • 20299* letzte / Beruhrung. 0-49C2580„ ty + 3-13515 Zur Zeit einer inneren Beriihrung ist m = It — r = 941-6”; der zu dieser Distanz gekorige Winkel N — M findet sich wieder aus 4.): Igc sin N = 2-8071536 N—M a = 42° 56'20", lg(H — r) =29738664 N— i/ e =180°— 42"56'20"=137"3'40", daher Me = 148" 39' 55", M a = 242" 47' 15". 5-06784* Zeit der Mitte, + 2-79613* x e = 2-27171* erste \ innere x a = 7-86397* letzte ( Beriihrung. 0-4405576m,, = ?<7± 2*79613 Ig sin (N — M) = 9-8332872 Ig (It — r) = 2-9738664 Ig cos (N — M) = 9 • 8645582^ 2'8384246 p „ Ign = 2-3918670 9 II. Voraiisbereclmung fur einen Tbestimmten Ort der Erdoberflache. Die Formel ft) in der friiheren Nummer gibt die Zeit einer Rander- beriihrung an, wie sie fur einen im Erdmittelpunkte befindlichen Beobachter eintreffen wiirde; es ist nun die Frage, wie man die Zeit der Erscheinung einer Phase fur einen beliebigen Ort der Erdoberflache vorausberecbnen kann. Denn liier wird infolge der Veranderungen, welche der geanderte Standpunkt Oder die Parallaxe nach sicli zielit, die Sache ein wenig anders sicli gestalten; die Distanz der Mittelpunkte der beiden Gestirne wird in ebendemselben absoluten Augenblicke von einem Punkte der Erdoberflache aus gesehen anders sicli ausnehmen, als wie sie vom Erdmittelpunkte aus betraclitet erscheint, und es werden daher auch ebendieselben Beriihrungen an beiden Orten zu verschiedenen Zeiten stattfinden. Um die Sache ganz allgemein zu bebandeln und alio Falle parallaktischer Verscbiebung wahrend eines Voriiberganges zu umfassen, nehmen wir ausser den geocentrischen Grossen m, 31, a, A, S, D die in ebendemselben Augenblicke an irgend einem Orte der Erdoberflache beobachteten Grossen m, 31', a, A', d', 1/ an. Fiir die Dauer des Yoriiberganges ist daher wie oben m sin 31 = (a — A) cos 1 j 2 (d D) m"sin 31' — (a — A') cos 1 / i () — ( — daher ist a* ? = “V; :cp cos tp' cos (cp — cp') Uj cp' = [9-9969894] tg cp, und tg cp = [0-0030106] tg cp\ woboi die eingoklammorten Zahlen Logarithmen sind. Bezoichnet man dann dio Grosso q : a oder don in Toilen des Aequatorealhalbmessers der Erde ausgedruekten Erdradius fur don betreffenden Ort mit p„, so ist ,-- p = \ / CQS V “ 0 V cos cp' cos (cp — cp') ' 11 wenn man erwagt, class s = © — « ist, wo 0 die Stenizeit der Beobaektung und a die Iiectascension des Gestirnes bedeuten, so erhalt man die bekann- ten Gleicbungen sinh —sin cp'sindcos cp'cos d cos (Q — a)"! cos h sin C=coscp'sins\ sin <)' = sin . 7.) cos d sin s = cosh sin or, . 8.) sin cp —sin h sin d -{-cosh cos d cos C ) cos (p's in a> = cos d sin G I Differencirt man die ersten zwei Gleicbungen in 7.), indem man ausser cp' und 0 alles als veranderlich annimmt, so kommt dh — cos C dd -j- cos d sin C da dd = cos C dh + cos h sin C dw Da es sich in unserem Falle um die Aenderungen handelt, welche die Parallaxe bewirkt, so bedeutet dh augenfallig nicbts anderes als die Hciken- parallaxe, also ist dh — n cos h\ wo n die momentane, auf den Ort reducirte Horizontalparallaxe des Gestirnes und li die an der Erdoberflache gemessene Hoke desselben bedeutet. Dabei erlauben wir uns die Erde als voll'kommene Kugel anzunebmen, und setzen daker aucb do = 0. In Beriicksicbtigung alles dessen geheh aus den beiden Differentialformeln fiir die Parallaxe in Declination und Rectascension die Ausdriicke kervor: dd — jv cos h' cos C da n cos h' sin C cos d Bezeiclmet man dann, um die bier entwickelten Formeln auf unseren Fall anzuwenden, die Horizontalparallaxe des der Erde nakeren Gestirnes mifc Tc m die des entfernteren mit sind ferner G v und G, die beiden paral- laktiscken Winkel und hj, hj die entsprechenden an der Erdoberflache be- obachteten Hoken der beiden Gestirne, so ist dd = d da — a — d' = 7t v cos hj cos C v , _ 7c v cos hj sin C v cos d dD — D — I)' — 7 c s cos hj cos C s 7 c, cos h' sin C, dA A’: cos 1> Weil zur Zeit eines Voriiberganges die Hoken sowol als aucb die paral- laktiscken Winkel der beiden Gestirne um eine Kleinigkeit von einander ver- sckieden sind, so konnen wir, um nur mit einer beiden Gestirnen gemeinsamen Hoke und einem einzigen parallaktiscken Winkel zu tun zu kaben, setzen Vs (K'~h K') — . Vs {C V A~ C s ) — C, V2 + V) — d 0 dd — dD — {tt v — rv s ) cos C cos h’ da — dA — (tv v — n a ) und sagen sin C cos h' cos I Indem wir so verfahren, kandeln wir ganz im Sinne des Positionswinkels A/ = Vs M s ). Demnack ist, weil der Untersckied zwiscken d'u und Vs (<3 0 -f- <3 0 ') vernacblassiget werden kann a — a — (jt v — 7c s ) sin C cos h' b — V = (rc„ — rc s ) cos C cos h'. Ftihrt man nun die kier gefundenen Werte von (a — a') und (b — b') in die Gleicbungen C), D), E) ein und setzt in der letzteren der Kiirze halber 1 l i ( M + M') ■ - p, so erhalt man: m sin (M — M') = (n v — n s ) sin ( C — ill') cos h' ^ m'sin (M — M') = (n v — 7 t') sin (C — M) cos h! > ‘ * * (m — in’) cos Vs — A7') = (n v — n s ) cos (C — p) cos h’ . . . 9.) . . 10 .) 12 ‘ Um das Ganze noeli mehr zu beleuchten, wollen wir auch reine Ditfe- rentialformeln, die den Einfiuss der Parallaxe auf die Distanz und den Posi- tionswinkel veranschaulichen, ableiten; dabei konnen wir den Ausdruck, der die Zeit enthalt. mitnehmen. Zu diesem Ende difi'erenziren wir die liier zu Grunde gelegten Gleicbungen 3.), namlich m sin M — nx sin N = (a — A) cos d 0 m cos M — c + n% cos N — d — I) Man bekonimt sofort nack bekannten Regeln des Differenzirens sin M dm + m cos M dM = n sin N dr = cos d 0 d (a — A) cos M dm — m sin M dM = n cos N d% — d(d — D ) Multiplicirt man die erste Zeile mit cos M, die zweite mit sin M, so erkiilt man durcb Subtraction mdM=nsin(N — M)dr — cosd 0 cosMd(a — A) — sinMd(d — D) . . F) Multiplicirt man liingegen die erste Zeile mit sin M, die zweite mit cosM, so bekommt man durcb Addition dm — ncos[N — M)dx — cosd^sinMd{a — A) + cosMd (d — Z>) . . . G) Sind nun d(a — A) und d (d — D) diejenigen Aenderungen, welcbe die Parallaxe bewirkt, so mussen wir d(a — A) = da — clA und ebenso d(d- — U) = = dd — dl) in dieser Hinsicht bestimmen. Dies baben wir oben schon getan und wir braucben die dafiir gefundenen Ausdriicke in F) und G) einfach zu substituiren. So bekommen wir allsogleicb m dM — n sin (N — M) dx = {n v — n- s ) sin (C — M) cos h' \ ,, v dm — n cos (N — M) dx = ( tc v — tt') cos (C — M) cos h' I ' ‘ Daraus sieht man vor allem, dass fur Orte, an denen h’ = 90" ist Oder welcbe die beiden Gestirne zur Zeit des Voriiberganges im Zenitb zu beob- acbten in der Lage sind, sowol dm als auch dM zur Nulle werden, das lieisst, die Distanz sow r ol als aucb der Positionswinkel werden durcb die Parallaxe in nicbts geandert, die Orte seben das Phanomen gerade so, wie aus dem Erdmittelpunkte. Da das Zenitb im Meridian liegt, so setze man h’ = 90" in die Meridiangleichung 90 — h' — cp’ — d 0 , und man bekommt Die Aufgabe, die hier gestellt werden kann, ist nun in der Hauptsache eine doppelte. Man kann namlich fur C— M und h‘ bestimmte selbst- gewahlte Werte annehmen und fragen, in welcher Zeit die eine Oder die andere Randerberiihrung unter der gegebenen Annahme an der Erdoberflache ein- treffen wird, und welcher der Ort ist, der eine solche Randerberiihrung zur betreffenden Zeit sieht; zweitens kann man um die Zeit fragen, in welcher ein bestimmter Ort der Erdoberflache, der in den Grenzen der Sichtbarkeit liegt, die eine Oder die andere Randerberiihrung sielit. Die Bestimmung der Grenzen der Sichtbarkeit ist ein Teil der ersten Aufgabe, dalier wir dieselbe vor alien kurz erledigen. Nimmt man fiir C — M und h‘ bestimmte selbstgewahlte Werte an, und ist m‘—R‘ + r\ so ergibt sich fiir eine aussere Oder innere Rander¬ beriihrung an einem Orte der Erdoberflache vor allem der Winkel M — M‘ aus der Gleichung in 9.): sin (M — M‘) — ^Tqr~r s ^ n — Af) cosh 1 .14.) Da nun C — ft = C — — M‘), so findet man aus 13.) die einer an der Erdoberflache stattfindenden Randerberiihrung entsprechende geocentrische Distanz m, womit man dann in die Gleichungen 4.) und a) der Nr. I eingeht und den zu dieser Distanz gehorigen Positionswinkel M und ebenso die Zeit berechnet, in der dieselbe statthat, wodurch dann zugleich die Zeit der Randerberiihrung an der Erdoberflache gegeben ist. Man bekommt aber, weil cos (N — M) in a) positiv und negativ zu nehmen 14 ist, zwei Positionswinkel und zwei Zeiten, wovon die eine nacb und die andere vor der Mitte des Voriiberganges liegt. Man kann nun weiters auch den Ort ermitteln, an dem eine Randerberiihrung zu der so berecbneten Zeit und unter der gegebenen Bedingung zu sehen ist. Denn es seien 0 — M= a und h‘ gegebene Grossen, so ist sin C = sin (« + AOi cos C — cos (a + M), und man bat aus 7.) und 8.): sincp'=sinhsind 0 -\-coshcosd 0 cos(a-\-M), coscp‘sins=coshsin(a-j-M) \ r . und ausserdem sin h = sin cp‘ sin d 0 + cos cp' cos S 0 coss J ' •' Aus der ersten dieser drei Gleicliungen erhalt man sofort cp‘ die geo- centrische Breite des fraglicben Ortes, aus der zweiten ergibt sicb dann s = 0 -f- £ — 1 j 2 (a + M), wo 0 die in Sternzeit verwandelte, fiir den Haupt- meridian geltende Zeit T ist, die man aus a) gefunden, und l die nacli Osten positiv gezahlte Langendifferenz vom Hauptmeridian bedeutet. Dm liber den Quadranten von s zu entsebeiden, bestimme man das Zeicben von cos s aus der dritten Gleicbung. Ist s gefunden, so bat man dann l = = s -p Vs (« + A) — 0. Hiebei ist der Unterschied von h‘ und h vernach- lassiget, wollte man ibn beriicksichtigen, so ist h = h 1 + 1 / 2 ( n v + n,) cos h‘. Darnacb lassen sicb nun leicbt die Grenzen in Distanz, Zeit und Ort festsetzen. Nimmt man namlicb C — 180° an, so ist vermoge 14.) M — Jyi 1 ==z 0, das beisst, der an der Erdoberffaebe gemessene Positions- winkel fallt mit dem aus dem Erdmittelpunkte beobacbteten vollig zusammen. Infolge dessen wil’d G — M — G — a — 0' J , 180° und man erbalt aus 13.) m ----- IV + r‘ + (tv v — 3T S ) cos h‘. Liisst man dabei aucb h‘ = 0 werden, so bat man als Grenzwert m = E + r+ (rt„ — tc s ). Ist eines der beiden Gestirne der Mond, so ist E r < tt u — 7r s , daber kann in diesem Falle, weil m stets positiv bleiben muss, nur der Grenzwert m = B + r + n v — n, zulassig sein, wobei, wie schon bemerkt, K stets den grosseren Halbmesser bedeuten moge. Bei Sonnenfinsternissen und Sternbedeckungen durcb den Mond kbnnen also nie gleicbzeitig C —11=180° und h‘ — 0° sein, wol aber ist es bei den Voriibergangen der Venus und des Mercur vor der Sonnenscheibe dem Winkel C — M gestattet, unter Beibebaltung des Wertes h‘ = 0 den ganzen Kreis- bogen zu durcblaufen, wodurcb die Curve der Sicbtbarkeit eine gewisse Ab- rundung erbalt. Befindet sicb allgemein der Winkel C — p im ersten oder vierten Qua¬ dranten, so ist, wie aus 13.) ersichtlicb ist, die Correction positiv und es ist m )> B + r, daber wird , weil m und % gleicbzeitig wacbsen und abnebmen, in Hinsicht auf die fiir den Erdmittelpunkt berecbneten Zeiten der Eintritt fur die Erdoberflacbe bescbleuniget, bingegen der Austritt verzogert; das Gegenteil wird sicb ereignen, wenn C — u im zweiten oder dritten Quadran¬ ten liegt, der Eintritt wird spater, der Austritt bingegen fruber erfolgen als im Erdmittelpunkte. Ist daber C — Jf=0°, h‘ - 0°, so bekommt man m 1 = R + r + n v — n s und damit aus den Gleichungen 4.) und a) die Zeiten des friibesten Anfanges und spatesten Endes des Voriiberganges fiir die Erd¬ oberflacbe sammt den zwei betreffenden Positionswinkeln, welcbe, da wegen C — M — 0" aucb M — M‘ = 0 wird, ebenso gut der Erdoberfiiicbe als dem Erdmittelpunkte angehoren. Gerade so erhalt man mit dem Grenzwerte m 2 — R — r -j- n v — die Zeit einer friibesten ersten und spatesten zweiten inneren Beriihrung. Setzt man andererseits 0 — M = 180°, h‘ — 0", so bekommt man mit dem Grenzwerte m 8 — R + r — (Vr„ — ft s ) die Zeit des spatesten Anfanges und friihesten Endes des Voriiberganges fiir die Erdober- 15 flache, unci mit dein Grenzwerte m A — R — r — (n v — n s ) die Zeit einer spatesten ersten und friihesten zweiten inneren Beriihrung. Dass m 3 und «? 4 bei Sonnenfinsternissen und Sternbedeckungen durch den Mond unmoglich sind, geht aus dem friiher Gesagten hervor. Sind nun die Zeiten und ent- sprechenden Positionswinkel gefunden, so ergeben sicb die Oerter aus den Gleiehungen in 15.), welehe fiir C— M— a = 0°, 180° und h‘ = 0° also fiir die Bestimmung der Grenzorter in folgende drei iibergehen: sin cp‘ = +cos d 0 cos M, cos cp 1 2 * * * * sin s = + sin M, cos s — — tg • n v — n s . k + r so wird bei der Iibhe h‘ — 0" der Winkel 0 — M den ganzen Kreisbogen durchmessen kbnnen; derselbe wird also bei Vorubergangen der Venus und des Mercur vor der Sonnenscheibe iiber + 90° in den zweiten und dritten Quadranten treten diirfen, wo dann Orte zum Vorschein kommen, an denen der Eintritt verzogert, der Austritt beschleuniget wird. 1st liingegen R + r < n v — 7c s , welcher Fall bei Sonnenfinsternissen und Sternbedeckungen durch den Mond eintritt, so wird es unter der Bedingung, dass h' -■= 0 ist, ftir C — M eine Grenze geben, die nicht iiberschritten werden darf, wenn sin (M — M‘) liberhaupt moglich sein soli. Das Maximum, welches C — M unter solchen Umstanden erreichen kann, ist ausgedriickt in der Formel 15. ). sin (C — M) = ± ( h‘ = 0", M — M‘ = ± 90") 7V v IV a welche man erkiilt, wenn in 14.) ausser h‘ — 0" auch M — M‘ — + 90" gesetzt wird. Lasst man nun auch h‘ von 0" an fortschreiten, so kann C — M dann allerdings jenes Maximum uberschreiteu; sollen aber C — M und h‘ Grenzwerte liefern, so muss stets sein 16. ). cosh'sin(C — M) = + (M — M‘ — + 90°) wobei dann immer M — M‘ = + 90" bleibt. Man kann aber der Gleicluing 13.) auch die Form 17 m = R' + r'+ ( n v — n s ) [cos (C — M) — sin (C — M) tg „ ^ ] cos h' geben, welche fiir M — M'~ + 90° tibergebt in 17. ) . . . m — R' + r + (rr v — rv s ) sin (45°—C+ M). Y2 . cos h', in welcher Form el — 45° zu nelimen ist, falls C — M negativ ist. Auf diese Art erkalt man bei Sonnenfinsternissen und Sternbedeckungen durch den Mond liocli andere Grenzen in Distanz, Zeit und Ort, wo aber eine Randerberiihrung nicht mehr im Horizonte, sondern schon in einer gewissen Holie der beiden Gestirne gesehen wird. Dabei wird m burner kleiner. Es gibt aber eine Grenze, welche m bei seinem Abnehmen unter keiner Bedingung iiberscbreiten darf; diese Grenze ist die kurzeste Distanz, die wir oben mit k bezeiebnet haben. Denn offenbar muss eine jede Phase an der Erdoberflache, die auf eine noeh kurzere geocentriscbe Distanz liin- deuten wiirde, zur Unmogliclikeit werden. Man bat also als Grenze fiir m die Gleichung 18. ) k — R' +r + (it v — jc s ) sin (45° — C-\- M ). Y 2 . cos li (M — M'=+ 90°). Lost man diese und die Gleichung 16.) nack cosh’ auf und setzt nack der Coinparationsmetbode die beiden Werte einander gleicb, so bat man 19.) tg (C — M) — ± R'±r' k ’ cos h’- \jk* + (R' + r'Y (M—M' = ± 90"). Wenn R' + r'^>k ist, so kann C — M uber +45° binauskoinmen, ist hingegen It' + r'<^k, so muss C — M unter + 45" verbleiben. Die kurzeste Distanz tritt bekanntlicb zur Zeit der Mitte ein, wo N —> iff = + 90" ist, wie in Nr. 1 gezeigt wurde; somit sirid fiir die Bereclmung des betrefi'enden Grenzortes alle notwendigen Grossen gegeben. Das bier inbetreff von C — M Gesagte gilt natUrlicb nur fiir die Grenzbestimmung, denn aus 14.) ist er- sichtlicli, dass C — M recht liocli hinaufgeben kann, man braucbt nur eine bedeuterule Hohe einzufubren, aber der entsprechende Ort ist keine Grenze und M — 31' wird weniger betragen als 90°. Es ist von selbst einleuchtend, dasS fiir k > R + r + n v — n s eine Verfinsterung unmoglicb wird. Wir wollen uns mit diesen allgemeinen Andeutungen begniigen und geben an die Ldsung der zweiten Aufgabe, wie man namlich fur einen be- stimmten Ort der Erdoberflache den Verlauf eines Voriiberganges voraus- berecbnen kann. Hier ist die Sacbe weniger einfach; denn da siud C — M und h' Grossen, die nicht unserer beliebigen Annahme anbeimgestellt werden, sondern dieselben baben fur einen bestimmten Ort und fiir eine bestimmte Zeit einen gewissen Wert, den man durch Recknung finden muss. Eine der- artige Bereclmung setzt aber die Kenntnis der Zeit sclion voraus, in der eine Phase an dem betreft'enden Orte zu seben ist, daber die Losung dieser Aufgabe nack den in dieser Nummer entwickelten Formeln nur eine indirecte sein kann, und zwar wird man folgendermassen vorgehen. Man nehme die fur den Erdmittelpunkt berechnete Zeit einer Phase als erste hypothetische Zeit aucli fur den Ort der Erdoberflache an und reckne mit deni Stunden- winkel s = & -\-l — 1 l i (a -R A) und der geocentrischen Polbobe cp' des Ortes vor allem h aus der Gleichung sin h — sin cp sin d„ + cos cp' cos d 0 cos s. 2 18 Den Winkel C findet man dann aus den beiden Gleichungen cos cp sin s — cosh sin C, sin cp' = sin h sin d 0 -f- cos h cos d 0 cos C, wovon die letztere nur zur Festsetzung des Quadranten von C dient. Nimmt man nun aucli M, wie die Redlining fur den Mittelpunkt es gegeben bat, als eine Naherung an, so bat man fur C — M und h genaherte Werte, wo- mit man dann aus 14.) den Winkel M — M\ weiters aus 13.) die geoeen- trische Distanz m, aus 4.) und a) in Nr. I eine verbesserte Zeit sammt dem dazu gehorigen Positionswinkel M findet. Die Reebnung kann dann bebufs Erzielung eines genauen Resultates wiederholt werden. Vermittelst dieser Methode wird man die Planetenvoriibergange fur jeden Ort der Erdoberflache mit beliebiger Genauigkeit berecbnen konnen; nicht so die Sonnenfinsternisse und Sternbedeckungen durcb den Mond. Denn der Winkel C involvirt nur das erste, freilich bedeutendste Glied in der Reibenentwickelung fill' die Parallaxe in Declination und Rectascension; da aber in Hinsicbt auf den Mond selbst nocb das dritte Glied einen nicht zu vernachlassigenden Betrag enthalten kann , so muss die Berechnung der Sonnenfinsternisse und Stern¬ bedeckungen durcb den Mond nach dieser Metbode im allgemeinen minder genau ausfallen und nur angenaberte Zeiten geben, die urn eine oder viel- leicbt aucb um zwei Minuten falscb sein konnen. Es bliebe demnacb nichts anderes iibrig, als dass man a — a' — m sin M — m sin M' — (a — A) cos 6 0 — (a’ — A') cos = 9-8743922„ Ig sin d 0 = 9'5856623™ 9-4600545“ + 0-2884393 — 0-107444 sin h =“+• 0-18099537 lg cos cp — 9 ’ 8213402 lgcosd 0 = 9-9651274 lg cos s = 9 - 2447148™ 9-0311824™ lg sin h — 9-2576673 h = 10° 25'40" lg sin s = 9-9931927 lg cos cp' — 9-8213402 9-8145329 Igcosh == 9-9927672 Igsin C = 9-8217657 C— 138° 26’29" Me = 145° 24'57" C—M = —6" 58’28" lg 7t v — it s = 1-3891661 lgcos(C— M) = 9-9967744 Igcosh = 9-9927672 1-3787077 T+x— 1-93269'* = 1^55™ 57-68 s Ign — 2-3918670 l = 69° 2' 9" = 4'‘36” 1 8-6* lgcos(N — M) = 9‘8862183™ dx — — O' 12607 7 ' =-0 ft 7’"33'86 s ^2780853~ t — T+l+x+dx= 6 , ‘24" l 32*4' ^^ = 9-1006224™ = der Ortszeit in H8,vre de Noel fiir die —lg — 0-12607 erste aussere Beriihrung (6. Dez. 1882). III. Bestimmimg der Parallaxe aus Voriibergangen. Wird t, die Zeit einer ..Randerberiihrung an der Erdoberflacke, der Beobachtung entnommen, so lasst sich mit Hilfe der bisher entwickelten Formeln vor alien die Grosse n v — n s bestimmen. Um aber diejenigen Glieder, die sick auf den Erdmittelpunkt bezieken, zu eliminiren und iiber- kaupt diese Berecknung den Fehlern der Ephemeriden moglichst zu ent- 20 ziehen, wollen wir die Beobachtungen ein und derselben Phase, wie sie an zwei verschiedenen Orten der Erdoberflache gemacht wurden, combiniren. Sind namlich t t und t. 2 diese Beobachtungszeiten, l s und l s die gegen Osten positiv gezahlten Distanzen vom Hauptmeridian, cp\ und cp’ 2 die geocentri- schen Polhohen der beiden Beobachtungsorte, C x und C 2 die parallaktischen Winkel, h\ und li\ die beiden Hohen, in denen ein und dieselbe Rander- beriilirung an zwei verschiedenen Orten beobachtet wurde, so ist gemass der Formel y) t x csT+k — - C0SN+ —cos (N— M) + (nr, — « 7b 7b cos (G'j — M) cos h\ n cos (N — M) t 2 — T -f- 4 c , B + r ,-. T - cos N -\ -=— cos (N - n n M) + (nr, — ir s ) cos (C 2 — M) cos 1%\ n cos (N — M) Durch Subtraction ergibt sich cos (C x — M) cos h\ — cos ( C 2 — M) cos h\ und daraus (nr, — jt s ) == ' ■ ' n cos (N — M) (G — t 2 -\-l 2 — ij) n cos (N — M) cos (C 1 — M) cos h\ — cos (C s — M) cos h\ . . . 20 .) Uni zu erfakren, ,wie beschaffen die Beobachtungen sein und an welchen Orten der Erdoberflache sie gemacht werden sollen, damit Felder in den Beobachtungszeiten und in der Langendifferenz der beiden Orte einen mog- lichst geringen Einfluss auf n v — ausiiben, wollen wir die vorstehende Gleichung ditt'erenziren. Bezeichnet man der Kiirze balber den Nenner des Bruches mit B und setzt — t g + l 2 — l x — u, so ist, wenn du Sekunden der Zeit bedeuten soli, d(* n cos (N — M) 3600 B du fur 20.) Man sieht, wie ausserordentlich giinstig sich die Dinge fiir die Berech- nung von n v — n s gestalten kdnnen. Dabei muss aber der Nenner B = = cos {G l — M) cos h\ — cos (C 2 — M) cos h\ zu einem Maximum werden. Dieses Maximum kann nun offenbar den Wert von 2 nicht Ubersteigen; wenn dieser Wert erreicht werden soil, so miissen beide Hohen = 0°, C x — M — 0°, C 2 — M— 180° sein, das heisst, es miissen Beobachtungen zweier Orte combinirt werden, von denen an einem die Randerberiihrung mit der grosst- moglichen Beschleunigung, an dem anderen mit der grosstmoglichen Verzoge- rung eintrifft, ausserdem soil die Randerberiihrung im Horizonte erfolgen. Ob die letztere Bedingung bei den Planetenvoriibergangen, von denen bier allein die Rede sein kann, sich wird erfiillen lassen oder nicht, daruber kann der Yerfasser kein entscheidendes Urteil fallen, dennoch will es ihn bediinken, dass die Sonnenriinder auch im Horizonte genug scharf abgegranzt sind, um das Eindringen eines fremden Kbrpers genau wahrnehmen zu konnen. Die Refraction kann bier nur niitzen, da sie die beiden Gestirne iiber den Horizont ein wenig hebt. Nach der Ansicht des Verfassers soli jedenfalls iiber 5" Hohe nicht hinausgegangen werden. Die Bedingung C x — M= 0, C 2 — M = 180" wird sich leichter erfiillen lassen, da man, wie es sich zeigen wird, auch von Schiffen aus derartige Beobachtungen anstellen kann, ohne dem Gewichte des Resultates irgend welchen Abbruch zu tun. 21 Um die Oerter zu ermitteln, an denen der Bedingung C 1 — M— 0, C 2 — M— 180° Geniige gesehieht, verfahre man ganz in der oben ange- gebenen Weise. Zur Bestimmung von m hat man die Gleichung m = R' + r + [n v — jv s ) cos Ti'. Mit Zugrundelegung dieser Distanz bekommt man dann aus 4.) und a) den Positionswinkel M und die entsprechende Zeit des Ein- Oder Austrittes, womit zuletzt aus 15.) die geocentrisclie Polhohe und Langendifferenz vom Hauptmeridian gerechnet wird; es iibergehen aber die erwahnten Gleichungen fur C — M— a = 0°, 180° in die folgenden sin eft' =. sin h sin d 0 + cos h cos 8 0 cos M, cos cp' sin s = + cosh sin M, ausserdem hat man zur Bestimmung der Quadranten von s die Gleichung sin h = sin cp' sin 8 0 + cos cp’cos d 0 cos s zur Verfiigung. Wollte man z. B. fur den nachsten Venusvortibergang den Ort ausfindig machen, an welchem unter der Bedingung C — M = 0" der Eintritt (erste aussere Beriihrung) in einer Hohe von 5° erfolgt, so hat man nachstehende Rechnung: (jt v — n s ) cos 5" = 24 • 41", rnithin IgcsinN =2'8071536 N— lgm t =3-0123352 N— Ig sin(N—M) — 9-7948184 N lgm 1 = 3-0123352 Ig cos (N — M) — 9" 8931201j, ra 2-9054553,™ lgn = 2-3918670 0-5135883^ =lg± m 1=== B + r + 24*41"= 1028-81” M a = 38° 34'13” M a = 247° 9'22" M e = 141“ 25'47" Me = 144°17'48" = 285° 43'35” 5-06784' 1 Greenw. Zeit derMitte + 3-26278 ^ 1 • 80506'* erste -j aussere Beriihrung 8 - 3 3 0 6 2 7 * letzte / Greenw. Zeit. 3-26278 Mit dem Werte x— 1-80506 7 * bekommt man aus den Reihen l) und d) fiir die erste aussere Beriihrung die Daten V 2 (a + A) — 253° 9' 17-95”, d 0 = — 22“ 39' 19"5”, ausserdem ist & = 282° 19'7-35”, h = 5° 0' 16-2”, Ig sin h — 8"9631712 Ig sin 8 = 9 ■ 5856729 ?l 8" 5488441,) Ig — 0-035387 Ig sin M— 9-7661008 Ig cos h = 9" 9981595 “9-7642603 Ig cos cp’ = 9-7950190 Ig sin s = 9"9692413 Igcosh = 9-9981595 lgcosd 0 = 9-9651255 Ig cos M e — 9 ‘ 9095856,, ” 9-8728706* Ig — 0-746227 s = 111"18'43"5" a + A ~ 2 “ 253" 9'17-9" "364"28’ 1-4" © = 282" 19' 7-3" l— 82" 8’ 54 • 1 ” — 0-035387 _ —0-74622 7 sin cp' = — 0’781614 Ig sin cp' — 9 ’ 8929923* cp' = —51" 24'31” cp = —51" 36' 7 -5” l = 5 4 28“35-6 s 1-80506*= 1 7 ‘ 48“ 18-2 s Ortszeit == Y 7 * 16“ 53 • 8 4 " Der Ort liegt also 82" 8-9' ostlich von Greenwich und 51°36"1' siidlich vom Aequator. Nimmt man dann unter Beibehaltung von G — M = 0 ", 180" noch mehrere Hohen an und verbindet die so berechneten Orte auf der Karte mit einer Linie, so erha.lt man eine Gtinstigkeitscurve. Da es wiihrend eines 22 Voriiberganges vier Randerberiihrungen gibt, zwei beim Eintritte und ebenso- viele beim Austritte, und die Beobachtung jeder derselben zwei Orte in Anspruch nimmt, einen der grbsstmoglichen Beschleunigung, den andern der grbsstmbgliehen Verzogerung, so kommen im ganzen acht Orte zur Bestim- mung, und dies bei einer einzigen Hohe; legt man dann eine andere Hohe zu Grunde, so kommen acht weitere Orte zum Vorschein, und so kann die Anzahl derselben beliebig vergrossert werden. Es gibt demnach acht solcher Curven. Die gunstigsten Orte darunter sind aber, wie gesagt, diejenigen, an welchen li = 0 ist oder die die Beriihrung im Horizonte sehen. Dies sind die Grenzorte, von denen wir schon oben gesprochen und die wir in einer Tabelle zusammengestellt haben; dieselben sollen jedenfalls besetzt werden. Nebenbei werden sich aber auch solche Orte als Beobachtungsstationen empfehlen, an denen der Bedingung C — M— 0°, 180° Geniige geschieht, die Hohen aber von 0" etwas verschieden sind. Befindet sich in der Niihe der berechneten Station trockenes Land, so wird man dasselbe offenbar der See vorziehen, des festen und leicht wieder zu findenden Standpunktes halber, denn der schwierigste Teil der ganzen Aufgabe wird immer eine genaue Langenbestimmung bleiben. Fiir die Beobachtung der ersten beschleunigten ausseren und inneren Beriihrung mochte der Verfasser die Kergueleninsel jedenfalls empfehlen, welche fur den nachsten Venusvoriibergang eine viel grossere Bedeutung hat, als fur den im Jahre 1874. Es ware im Interesse der Wissenschaft sehr zu wiinschen, dass die Astronomen aller Nationen die gemeinschaftliche Arbeit unter einander auf geeignete Weise verteilen, und class alle Separatbestrebungen dabei bei Seite gesetzt werden mochten, denn die Aufgabe ist gross und kann unmoglich von einer einzigen Nation bewal- tigt werden. So ware die Bestimmung derjenigen Orte, an denen ein Venus- oder Mercurvoriibergang mit dem bestmoglichen Erfolge beobachtet werden kann, erlediget; es eriibrigt noch, tiber das bei diesen Beobachtungen einzuhaltende Verfahren und tiber die Ermittelung der in Rechnung kommenden Grossen Einiges zu sagen. Vor allem ist zu bemerken, dass von der Genauigkeit der Differenz u = (t 1 — ?i) — (t a — lg) das meiste abhangt, daher man auf diesen Punkt die grosste Sorgfalt zu verwenden hat. Nun sind t 1 — \ und t 2 — l 2 nichts anderes, als die auf den Hauptmeridian reducirten Zeiten, und u demnach der absolute Zeitunterschied der beiden Beobachtungen. Stiinden daher die beiden Beobachter in directem telegraphischen Verkehre und wiirde jeder den Augenblick der eigenen Beobachtung nicht nur fiir sich notiren, sondern auch dem anderen signalisiren, so ware dieser absolute Zeitunterschied zwei- mal gegeben, woraus man dann nur das arithmetische Mittel zu nehmen hatte, urn ein u zu erhalten, das iiber eine jede andere Bestimmung spottet. Eine derartige, bis an die Grenze der Wahrheit reichende Bestimmung dieses Zeitunterschiedes ist aber leider heutzutage noch nicht moglich und wird wahrscheinlich auch in 125 Jaliren, wo dann der nachste Venusvoriiber¬ gang stattfindet, nicht moglich sein, deshalb ist eine genaue Langen- und Zeitbestimmung am Beobachtungsorte eine unerlassliche Bedingung. Zu Lande wird dies leichter und zu wiederholten malen geschehen konnen, zur See wird man aber den Stand und Gang des Chronometers an einer nahe ge- legenen Landstation mit bekannter geographischer Lange sowol vor als nach der Beobachtung priifen und sich mit einer genauen Zeit- und Breiten- messung am Beobachtungsorte selbst, entweder vor oder nach geschehener 23 Beobachtung des Contactmomentes, begniigen, um alsbald zur erwahnten Station zuruckkehren zu konnen. Doth wollen wir tiber Dinge nicht weiter sprechen, die den Astronomen me hi' als gelaufig sind. Die Grossen n und N werden aus den Ephemeriden berechnet, auf welche man sieh in der Hinsicht wol verlassen darf; doch gibt es aucb Mittel, die Declinations- und Rectascensions- unterscbiede flir verschiedene Zeiten des Voriiberganges aus Beobachtungen zu bestimmen, woraus sicli dann die stiindliche relative Bewegung leicht her- leiten lasst. Ein solclies Mittel ware, um es kurz anzudeuten, die Aufstel- lung von Zwischenstationen, an denen beide Gestirne wahrend des Voruber- ganges in correspodirenden Hdhen beobachtet werden konnen; die geogra- phische Breite soldier Stationen soli aber von 1 / 2 (8 -f- D) nicht stark abweicben, damit der Einfluss der Parallaxe auf die beobachteten Hdhen moglichst schwinde. (Uebrigens vergleiche man des Verfassers Schrift „Be- stimmung der Zeit, des Meridians u. s. w., bei Ig. v. Kleinmayr & Fed. Bamberg, Laibach 1878,“ III. Abschn., Nr. 13.) Es wird aber die eine Oder andere in- zwischenliegende Sternwarte mitarbeiten, ihr vorzuglich wird die Bestimmung einer absoluten Rectascension und Declination zufallen, da man auch ^(d + D) und V* (« + H) benotiget. Auf diese Art wird n, N und auch M unabhangig von den Ephemeriden berechnet werden konnen. Die Hdhe und den paral- laktischen Winkel C lindet man dann aus den schon mehrmals angefiihrten Gleichungen sin h — sin cp' sin d„ -f- cos cp' cos d 0 cos s, cos cp' sin s — cos h sin C, ausserdem hat man zur Bestimmung des Quadranten von G die Gleichung sin cp' — sin /»sin d 0 -f- cos h cos ') = 1 setzen kann, so wird fiir li — 0 die Ilohen- parallaxe dh = tv, also gerade so, wie bei spharischer Gastalt der Erde. Zuletzt spricht fiir die Beobachtung in niederen Hohen noch der Um- stand, dass fiir h — 0° der Radius eines Gestirnes durch die Parallaxe nicht vergrossert wird, vielmehr so erscheint, wie aus dem Mittelpunkte der Erde, ein Umstand, der nicht zu unterschatzen ist, namentlich in Hinsicht auf den Mond, dessen Parallaxe sich aus Sonnenfinsternissen bestimmen lasst, wie wir alsbald sehen werden. Nimmt man namlich C — M— 0° an, so ist, wie oben gezeigt wurde, in sammtlichen Fallen parallaktischer Verschiebung zweier Gestirne wahrend eines Voriiberganges m = R' + r +• (n- v — ic s ) cos h'. Dieser Grenzwert gilt also nicht nur fiir die Planetenvoriibergange vor der Sonne, sondern er ist auch fiir Sonnenfinsternisse und Sternbedeckungen durch den Mond in aller Strenge richtig. Wird dabei auch h’ — 0°, wie dies aus den vorher angefiihrten triftigen Griinden wirklich der Fall sein soli, so ist m = It + r +- (tc v — tt s ). Gemass der Formel a) in I hat man aber fiir zwei verschiedene Orte, an deren einem der Iiintritt, an dem anderen hingegen der Austritt bei ein und 26 t derselben geocentrischen Distanz m beobachtet wurde, die mittlere Ortszeit, und zwar fur den C. ))? Eintritt t e — T-\-l e - cos N - cos (N — M), n n C Ml Austritt t a = T+l a - cos N + cos (N — M), wobei das Vorzeichen von cos (N — M) schon beriicksichtiget ist und N—M nun einen Winkel im ersten oder vierten Quadranten bedeutet. Subtrabirt man die erste Gleichung von der zweiten, so erhalt man 2 iw t e —l a — L H - cos (N — M) und daraus n ( t a — t c — l a -)- l e ) n 2 cos (N — M) 23.) Ist nun m = R + r - f- n v — it ,, oder hat man den Ein- und Austritt an Orten beobachtet, die der Bedingung C — M = 0° entsprechen, und ist die Randerberiihrung im Horizonte geschehen, also bei h! = 0, so gibt die Combination beider Beobachtungen entweder m x = B + r + rc v — n s oder m 2 = R — r + n v — tc,, je nachdem die aussere oder inn ere Randerberiih- rung beobachtet wurde. Sind beide Beriihrungen beobachtet worden, so findet man dann durch Addition und Subtraction R+tc v — n s = V 2 («b -R »h) r = 1 / 2 (m, — m 2 ) .... 24.) Bei ringformigen Sonnenfinsternissen ist R der Sonnenhalbmesser; da nun letzterer und die Sonnenparallaxe n s genau oder wenigstens viel genauer bekannt sind, als die Mondesparallaxe n v , so erhalt man nach dieser Methode, die man die Methode correspondirender Distanzen nennen konnte, einen ziemlich genauen Wert fiir tc v ; ausserdem bekommt man auch r, den schein- baren Mondhalbmesser, und ist dadurch im Stande, auch den waliren zu berechnen. Differenzirt man die Gleichung 23.) in Hinsicht auf m und t a — t c — l a ~\- le — m , so ist, wenn clu Sekunden der Zeit bedeuten soli, j _ n clu dm ~~ 7200 cosjN—^M) fur 23.) Daraus erhellt, wie vorteilhaft es ist, die Mondesparallaxe nach dieser Methode zu bestimmen. Iliebei muss aber N — M nahe an 0° sein; je cen- traler dalier der Voriibergang oder je kleiner die kiirzeste Distanz ausfallt, desto gunstiger werden die Dinge sich gestalten. Fiir die niichste Sonnen- finsternis z. B., welche auf den 19. Juli d. J. fallt und ringformig sein wird, ist fiir die aussere Beriihrung N — M a = — 5° 20' 28" und k = 8' 9 ’26", Ig n — 3'2565592, mithin dm = O' 2518 da ; wiirde also in u ein Fehler von 4 s gemacht werden, so wiirde dies eine Aenderung von 1" in in hervorbringen, ein immerhin giinstiges Verhaltnis, wenn man bedenkt, dass bei Sonnenfinster¬ nissen wegen der raschen Rectascensionsbewegung des Mondes die eine oder die andere Randerberiihrung mit der grossten Scharfe sich wahrnehmen lasst. Die Grossen n und N andern sich zwar wahrend der Dauer des Phanomens, rechnet man aber dieselben fiir die Zeit der Mitte und nimmt fiir N—M das arithmetische Mittel aus N— M a und 180°—(A r — M e ), also N — 31 — = 90 — V 2 (M a — M f ) oder 90 — 1 j t (M e — M a ), wenn M e i>M a sein sollte, so kommt aus der Formel 23.) ein m zum Vorschein, welches der Zeit der 27 Mitte des Voriiberganges so genau als moglich angepasst ist. Der Formel 23.) kann man also auch die Gestalt ( fa % 4 ~ 7 ) n 2 sm 7s (-3£» — -3^e) 25.) geben, wobei aber dann Jp immer den grosseren Positionswinkel bedeuten mag. Daraus sieht man, dass je eher der Positionswinkel vom Bin- bis zum Austritte einen Bogen von 180° durehlauft, Oder je centraler der Yoriibergang ist, desto gunstiger die Berechnung von m sein wird. Ist der Bedingung C — M = 0° zwar Geniige geschehen, sind aber die Hoben, in denen die eine oder die andere Phase bei einer ringfbr- migen Sonnenfinsternis beobachtet wurde , etwas von 0° verschieden, so wird man aus 25.) erhalten m 1 — B + r\ + {n v — n s ) eos h\ und m s = = R — r\ + (Vr„ — tv s ) cos h' 2 , denn die Vergrosserung des Sonnenhalbmessers durch die Parallaxe kann namentlich bei niederen Holien vernachlassiget werden. Da nun r’ = r (1 4 ~ sin n sin h), so hat man m 1 — R -f- r (1 + sin n sin 7q) + (rt v — rc a ) cos li\ = B — r (1 -|- sin tc sin h s ) -(- (rc v — it s ) cos TV.. TV, Daraus ergibt sich _7a Ox + «a) B r sin n v tg 1 j s Qi t cos 7g (h' s + fe'i) Va Q 1 ' a — h 'i) 7a («*i -— nu) — (n v — tf,) sin 7a (BL + h\) sin 7a (fe' 2 ' ^ 2 ) -6'i) 1 + sm jv v sin 1 / 2 + h 2 ) cos 7a (77 —• /« 2 ) 26.) Man sieht, dass die Randerbertthrungen, wenn schon nicht im Horizonte, so doch sehr nahe an demselben beobachtet werden miissen, damit die Corree- tionen moglichst klein ausfallen ; auch soli man darauf bedacht sein, dass die beiden Holien gleich sind, denn dann wird einfach n _ n __ 7a («h + .«?g) — B r _ 7a (nil — >»a) cos li 1 1 + sin n v sin ti Man darf aber nicht iibersehen, dass die Formel 26.) die Gleichheit der beiden Hoben, in denen eine Randerberiihrung beobachtet wurde, schon stillschweigend voraussetzt und man also hier auf eine neue Schwierigkeit stosst, wenn verscliiedene Hoben angenommen werden. Aus dem Ganzen geht liervor, dass man in alien Fallen die Beobachtungen im Horizonte vor- ziehen wird. Die so gefundene Differenz tt v — tt s wird dann auf den Aequator redu- cirt, was durch die Division mit einem q 0 geschehen wird, dessen Argument das arithmetische Mittel aus den Polhohen der vier Beobachtungsorte ist. Bedeutet nun P die der Ephemeridenrechnung zu Grunde gelegte, hingegen n die gesuchte mittlere Horizontal-Aequatoreal-Parallaxe des Mondes, ferner p die fiir die Zeit der Mitte der Finsternis aus den Ephemeriden berechnete, hingegen it die aus der Beobachtung fur eben diese Zeit gefundene, auf den Aequator reducirte Horizontalparallaxe des Mondes, so besteht die Proportion P: IT = p : n. daher IT = — rt P 27 .) 28 Bei totalen Sonnenfinsternissen ist R tier scheinbare Mondhalbmesser; da derselbe eine von der Parallaxe abhangige Grosse ist, so kann man setzen R — e n m wo dann e eine Constante bedeutet; mithin ist aus 24.) e 7t v + (rt v — 7t s ) Q 0 = */» (»?! + »« a ), r = J / 2 (iHj — m 2 ), entspricht wie friiher einer aus dem arithmetischen Mittel aller vier Beob- achtungstationen abgeleiteten Polhobe. Daraus erkalt man Vs (Ph + »?s) + Co ^ Co + e — s und IT = P Vs 0»i + »h) + Co ^ Co + e 28.) Einen solchen Ausdruck fiir JI bekommt man nun aus der Beobachtung einer jeden totalen Finsternis und ist durch Gleichsetzung von nur zweien derselben im Stande, die Constante e zu berechnen; da man jedesmal aueh den Sonnenhalbmesser erhalt, so bat man darin zugleich einen Priifstein fur die Giite der Beobacbtung. Bei Planetenvoriibergangen bekommt man ausser m x und m s aucb m 3 = R-\- r — (tv v — 7t s ) und — R — r — (n v — 7t a ), woraus sich dann R, r, n„—7t s abgesondert ergeben; dock ist die Sicberbeit der Bereehnung von 7V„ — n s aus der Formel 25.) 1 mal geringer als aus 21.), wie cos (N — M) die betreft'enden Differentialformeln es dartun. Bei den Vorubergangen Mercurs vor der Sonnenscheibe kann es sich indessen ereignen, dass die Formel 25.) mebr Vorteile bietet, man wird also diese Phanomene, wenn schon nicbt fiir die Bestimmung der Sonnenparallaxe , so doch des Sonnenhalbmessers, als sehr geeignet halten miissen. Ob sich aus den Sternbedeckungen die Mondes- parallaxe wird bestinunen lassen, daruber wagt der Verfasser nichts zu ent- scheiden; die Erfahrung wird diese Frage am besten losen. Laibach, Ende Mai 1879. NflRODNfl IN UNIVERZITETNfl KNJI2NICR 00000500808