9 / /0351 n n 5 i i i 9770351665111 9770351665111 MATEMATIČNI TRENUTKI K O L O F O N N ačrtovanje letal nU vU NU -> Kljub temu, da znanstveniki preučujejo pretok zraka in vode že več kot sto let, šele v zadnjem času bolje razumejo zapletene pojave turbulenc, ki so pomemben del aerodinamike. S pomočjo matematike in sodobnih računalnikov se lahko pri oblikovanju letal velikokrat izognemo uporabi vetrovnikov. Pretok tekočine opisujejo Navier-Stokesove enačbe. To so parčialne diferenčialne enačbe, ki jih žal ne znamo natančno rešiti. Z naraščajočo hitrostjo toka se v enačbah povečujejo tudi nelinearni členi, ki zelo otežijo numerično iskanje rešitev enačb. Zato je težko razumeti turbulenče, ki vplivajo na let letala. Kos jim niso niti današnji superračunalniki. Nujna so nova teoretična dognanja, ki bi ta problem poenostavila do te mere, da bi bil rešljiv z dostopno tehnologijo. Matematiki trenutno preverjajo Ričhardso-nove in Kolmogorove zakone, hipoteze, ki poskušajo pojasniti turbulenče. Več si lahko preberete v tretjem delu knjige What's happening in Mathematical Sciences, ki ga je napisal Barry Cipra. _ XXX Pojasnilo: Gornji prispevek je prevod iz rubrike »The Mathematical Moments«, ki jo objavlja Ameriško matematično društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments. 2 PRESEK 41 (2013/2014)1 -> Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 41, šolsko leto 2013/2014, številka 1 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2013/2014 je za posamezne naročnike 18,00 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 15,75 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI5603100100 0018 787. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 2000 izvodov (g) 2013 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1905 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. MATEMATIČNI TRENUTKI 2 Načrtovanje letal 4-7 10-13 14-15,18 19-24 27-29 MATEMATIKA Geometrijski dokazi nekaterih trigonometrijskih enakosti (Alija Muminagic) Naloga (Marko Razpet) FIZIKA Dodati ali odvzeti, to je zdaj vprašanje (Tine Golež) Poizkuševalnica doma - Zakaj se pločevinka stisne? - Komentar naloge in nekaj številk v opozorilo bodočim eksperimentatorjem (Iztok Tiselj) ASTRONOMIJA Prihaja Veliki komet stoletja (Bojan Kambic) RAČUNALNIŠTVO Korensko urejanje (Damjan Strnad) Slika na naslovnici: Kolikšna je filotaksa sončničnega cveta? Odgovor lahko poiščete v prejšnji številki Preseka. 9 16-17 31 7-9 24-26 priloga RAZVEDRILO Barvni sudoku Nagradna križanka (Marko Bokalic) Križne vsote Rešitev nagradne križanke Presek 40/6 (Marko Bokalic) Naravoslovna fotografija - Meteorski roj (Aleš Mohoric) TEKMOVANJA 49. tekmovanje za zlato Vegovo priznanje (Klavdija Cof Mlinšek) Slovenči želi izjemen uspeh na Mednarodni olimpijadi iz astronomije in astrofizike (Andrej Guštin) 56. področno matematično tekmovanje srednješolčev Slovenije 56. državno matematično tekmovanje srednješolčev Slovenije 12. področno tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol 12. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol 12. področno tekmovanje v znanju matematike za dijake pokličnih šol 12. državno tekmovanje v znanju matematike za dijake pokličnih šol O/ 9 Geometrijski dokazi nekaterih trigonometrijskih enakosti Alija Muminacič -> V tem članku bomo predstavili geometrijske dokaze za nekatere trigonometrijske enakosti. Naloga 1. Dokaži, da velja enakost ■ cos20° ■cos40°■cos80° = 1. 8 Dokaz. Naj bo trikotnik AABC enakokraki, AB = AC = 1 in Poenostavi število 5 = 50 + 67375 27 50 - 67375 27 XXX www.dmfa-zaloznistvo.si www.presek.si www.dmfa.si Barvni sudoku •J/ •i' Np V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati zacetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil. O v O □ O m > a < 00 > m a 5 1 6 6 4 7 4 8 3 6 4 7 2 3 8 4 7 6 5 17 5 Z L 6 8 L E E 7 9 8 L 17 Z S 9 L 4 S 8 L 3 Z 2 8 7 E 4 S 6 L L 3 8 9 S Z 4 7 L 4 S Z E 6 L 8 8 6 E L Z 1 S 17 5 Z L 17 L E 8 9 XXX + Dodati ali odvzeti, to je zdaj vprašanje nU NU NU Tine Golež -> Nobena skrivnost ni, da vecina kozarcev lepo zveni. In kako se spreminja višina tona (v glasbenem smislu, fizikalno bi temu rekli zven), Ce v kozarec nalijemo vodo? Odgovora sta pravzaprav dva in si nasprotujeta. Med samim vlivanjem vode slišimo vse višji ton, torej vse veCjo frekvenco. Podrobno je pojav opisal Ivo Verovnik [1]. Ce pa kozarec uporabljamo kot neke vrste tolkalo, pa trkanje z žlicko po kozarcu povzroči višji ton, ko je kozarec prazen, nižjega pa tedaj, ko je poln. Enaka frekvenca se namesto s trkanjem pojavi, ce s prstom drsamo po robu kozarca. Tako nekateri ljudje iz množice kozarcev ustvarijo »stekleno harfo« in igrajo zahtevne melodije. Ravno obratno torej kot sprememba zvena, ki ga slišimo ob nalivanju vode ali pihanju v razlicno napolnjene, sicer enake steklenice. Nalivanje vode in pihanje v steklenico (kdor igra prečno flavto, to vsekakor dobro obvlada) povzroča šum, ki posebej izdatno resonira s frekvenčo, ki ustreza lastni frekvenči zraka v kozarču (ali stekleniči). Ta je tem višja, čim bolj poln je kozareč. V prvem približku lahko rečemo, da gre za skrajševanje na eni strani zaprte piščali. Pri polnjenju kozarča ali udarjanju po kozarču (ali drsanju z vlažnim prstom po robu kozarča) pa glasbilo ni padajoča voda, ki povzroča šum (ali šum pri pihanju v stekleničo), in zrak nad njo, pač pa sam kozareč. Ker slišimo nižji ton, sklepamo, da nihajo v bolj polnem kozarču stene kozarča zaradi dolite vodo bolj ovirano in s tem z nižjo frekvenčo. Preden torej odgovorimo, kaj moramo storiti za znižanje tona, moramo vedeti, na kateri način bomo ton povzročali. Dolivanje vode tako lahko frekvenčo zniža ali zviša, odvisno od vrste rabe tega preprostega glasbila. Iz trgovine Ko sem se pred dnevi odpravil v trgovino le po izdelek a in sem imel kmalu v vozičku še nenaročene izdelke b, c in d, me je pritegnil zvok kovinskih zvončkov ali metalofona. Preprosto glasbilo je preizkušala nakupovalka. Presenečen sem bil, saj je bil inštrument vrhunsko uglašen, kar pri čenenih glasbilih ni prav pogost pojav. Zvončki niso stali niti 20 evrov, zato so postali izdelek e in tako dopolnili moj nakup. Bralči gotovo vedo, da struna, ki jo skrajšamo na polovičo s pritiskom ob ubiralko, zveni natančno z dvakratno frekvenčo. Glasbeno temu pravimo, da zveni za oktavo višji ton. Prav, pa poglejmo sedaj zvončke. Ploščiča, ki zveni kot nižji č, je dolga 16,7 čm, medtem ko je ploščiča za oktavo višji č, dolga le 11,85 čm. Kvočient teh dveh števil je 1,41. Zlahka posumimo, da gre za razmerje dolžin a/2, medtem ko je razmerje frekvenč 2. Dodajmo še, da sta tako debelina kot širina vseh ploščič enaki. Pred nami je že prvi izziv, prva meritev. Kako niha ravnilo, ki je na eni strani vpeto? Ga je res treba skrajšati le za faktor 1,41 in ne za 2, če želimo podvojiti frekvenčo? Ravnilo vpnemo tako, da je nihajoči del dolg npr. 20,6 čentimetrov. Vključimo SLIKA 1. Zvončki; dolžine ploščic, ki zvenijo kot oktava, so v razmerju 1: V2. program za snemanje zvoka, zanihamo ravnilo in se ga na rahlo dotaknemo s tršim predmetom. Snemal-nik posname »trke« ravnila in predmeta, iz katerih dokaj natančno preberemo nihajni cas. (Sam še vedno uporabljam CoolEdit.) Potem nihajoči del ravnila skrajšamo na 16,6 cm in izmerimo, da se je frekvenca podvojila. OCitno so transverzalna nihanja palic drugaCna od nihanja strune. A Ce palico udarimo s kladivom na koncu v smeri simetrijske osi palice, hkrati pa jo držimo na sredini, bomo dobili longitudinalno (lastno) nihanje. Takrat pa je frekvenca nihanja obratnosorazmerna z dolžino palice, pa tudi višjeharmonske frekvence so ce-loštevilski veckratniki osnovne frekvence. Premislimo še, kako je frekvenca osnovnega transverzalnega valovanja odvisna od preseka palice, ki je vpeta na enem krajišcu, kot je bilo vpeto ravnilo na sliki 2. Naj ima palica presek v obliki pravokotnika, da nekoliko spominja na dešcico. Ce presekamo palico po dolžini, bo sila, ki je potrebna za upogib vsakega kosa palice, le polovico tolikšna, kot je bila pri nerazrezani palici. A tudi masa, ki jo mora polovicna sila vrniti v zacetno lego (in pri tem opravi cetrt nihaja), je le polovicna, zato pricakujemo, da se nihajni cas ne spremeni. Nihajni cas ni odvisen od širine palice. Drugacna zgodba pa je pri debelini. Ce razrezano palico zlepimo v debelejšo (ali jo preprosto nadomestimo z debelejšo in ožjo), smo ohranili maso palice. Sila, ki je sedaj potrebna za upogib, je ve-cja. Prav zato se tej vecji sili posreci enako masivno palico vrniti do prvotne (ravnovesne) lege v krajšem casu; prva cetrtina nihajnega casa (ter vse ostale ce-trtine) in s tem nihajni cas je krajši. Frekvenca je kar SLIKA 2. Ravnilo je vpeto na mizo; geotrikotnik le pomaga sponi. Med nihanjem ravnilo rahlo zadeva pisalo, ki ga sicer držimo kakih 5 cm od prostega roba ravnila tik nad ravnilom. premosorazmerna z debelino. Da gre res za premo-sorazmernost, lahko sami izmerimo z razlicno debelimi palicami ali pa uporabimo diferencialne enacbe. Povzemimo: frekvenca transverzalnega nihanja palice (ali podolgovate plošcice oz. jezicka) je sorazmerna z debelino in obratnosorazmerna z dolžino palice na kvadrat; od širine palice pa ni odvisna. Ce koga zanima še kaj vec, bo pogledal, kaj je o tem napisal Iztok Kukman [2]. Iz kuhinjske omare Ena izmed manj škodljivih posledic sladkosnednosti so tudi prazne skodelice razlicnih cokoladnih namazov. Že nekaj casa sta v naši kuhinjski omari dve. Ko sem ju prestavljal, se nista razbili, kot bi morda pricakoval bralec, pac pa le zazveneli. Prav to pa me je presenetilo; ceprav sta na prvi pogled enaki, je bil zven ene bistveno nižji od zvena druge. Naj se izrazim v glasbenem jeziku: prva je zvenela s tonom c, druga pa z (višjim) tonom f. Za nepoznavalce notnega zapisa povejmo, da je tolikšna razlika v frekvencah pri prvih dveh tonih slovenske himne. Oci-tno gre za nekaj vec kot le majhno razliko, ki bi bila posledica nakljucja pri izdelavi. SLIKA 3. Prva skupina udarcev nihajočega ravnila ob pisalo je bila premočna, druga skupina pa dovolj nežna, da nihanja nismo znatno motili. Cas štirih udarcev je bil 0,155 s, kar pomeni, da je nihajni cas 0,155 s/3 = 0,05167 s (prvi udarec je udarec nic!) in frekvenca 19,4 Hz. Pri daljšem nihajocem delu ravnila (206 mm) pa je bila izmerjena frekvenca 9,4 Hz. Triodstotno odstopanje je povsem sprejemljivo za to preprosto meritev. SLIKA 4. Osnovna palica oz. jeziček, prerezani jeziček, iz katerega sta nastala dva (vsak zahteva polovično silo za upogib), in zlepljeni polovici. V zadnjem primeru je sila, ki je potrebna za enak upogib kot upogib prvotnega jezička, večja. Ni narisano, da so vsi jezički pritrjeni na levi strani tako, kot je pritrjeno ravnilo na sliki 2. Ko sem skodelici ponovno vzel v roke, sem imel občutek, da nista obe enako težki. Kuhinjska tehtnica je potrdila mojo domnevo; pri eni je pokazala 222 g, pri drugi pa 274 g. Hm, katera je torej masiv-nejša? Ce pomislimo na strune, bi rekli, da bo tista, ki ima večjo maso, zvenela z nižjim tonom. Na kitari, godalih in tudi v klavirju so strune za nižje tone (za manjše frekvence, da povemo še s fizikalnim izrazom) vidno debelejše. A dva udarca po skodelicah razkrijeta, da z nižjim tonom zveni skodelica, ki ima manjšo maso. Po vsej verjetnosti ne gre za razlicno surovino, iz katere sta skodelici izdelani, pac pa za razlicno debelino. Pogled proti svetlobi potrdi domnevo, saj je skodelica z manjšo maso nekoliko prosojnejša. Skodelica je neke vrste zvon. Vprašajmo se, kako bi opisali frekvence zvona. Kaj se zgodi z okroglo luknjo v kovinski plošci. Bo zaradi segrevanja plo-šce vecja ali manjša? Plošco si predstavljamo sestavljeno iz obrocev. Vsak obroc lahko obravnavamo kot palico, ki se zaradi segrevanja raztegne. S tem je obseg vsakega obroca vecji, kar pomeni, da je luknja vecja. Nekaj podobnega naredimo (v mislih) tudi z zvonom ali našo skodelico. Predstavljajmo si, da je sestavljena iz obrocev. Ko udarimo po zvonu ali skode- SLIKA 5. Skodeliči sta fotografirani proti svetlobi, zato je slika sičer fotografsko skromna, fizikalno pa kaže, da je desna skodeliča tanjša, saj svetloba bistveno bolj proseva. lici, povzrocimo lastno nihanje vsakega obroca. To pomeni, da moramo prouciti nihanje palice, saj ob-roc ni nic drugega kot ustrezno zakrivljena palica oz. kovinski trak ali jezicek. Toda prav to smo že storili! Ugotovili smo, da debelejše palice nihajo z vecjo frekvenco oz. manjšim nihajnim casom. Zato se še vprašamo, ali naše ugotovitve pomenijo, da zvonove uglašujejo »navzdol« z odvzemanjem materiala oz. brušenjem. »Dr. Google« potrdi to domnevo, do katere nas je pripeljalo premikanje skodelic in nekaj dodatnih poskusov. Zvon, ki ga po notranji strani nekoliko obrusijo, zveni z nižjim (osnovnim) tonom. Iz omare upokojene profesorice glasbe Da smem brskati po njeni omari, je krivo sorodstveno razmerje; sem namrec njen sin in nekatere njene omare lahko odprem. V eni izmed njih sem našel preprost ksilofon, ki je po sili razmer nastal pred pol stoletja. Na prvi pogled naj bi šlo za malomarno izdelano glasbilo, ki bi moralo biti še razglašeno, saj je ena dešcica ocitno prekratka. Uporaba pa prica, daje inštrument odlicen, saj je dobro uglašen. Kako je torej mogoce, da je dešcica za ton h krajša od tiste za sosednji ton c? Les - posebno cenene vrste -pac ni zelo homogen. Prav spremenjena gostota bi bila lahko vzrok; lahko pa gre za razlicno debelino. Meritev potrdi, da je dešcica za ton h malo tanjša in zato navkljub manjši dožini uspe zveneti s pravo frekvenco. Po racunu sodec pa nekaj prispeva tudi sestava lesa, saj ta ni dovolj tanek, da bi le z debelino dosegel ustrezno nizko frekvenco. Ocitno je, da je bil glavni razsodnik pri izdelavi natancno uho; merilni trak je služil le kot približno vodilo. Po pricakovanju pa sta dolžini dešcic, ki zvenita v razmiku oktave (c1 - c2, d1 - d2, ...), prakticno pri vseh drugih tonih skoraj natancno v razmerju 1,41: 1. Za konec spet k zvončkom Še dve stvari izdajmo. Najprej moramo povedati, da v nasprotju z alikvotnimi toni, ki so pri strunah in pišcalih celoštevilski veckratniki osnovne frekvence (1, 2, 3,4,... oz. 1, 3, 5,... pri pišcalih, ki so na eni strani zaprte), take urejenosti in harmonije pri transverzalnem nihanju palic ni. Prav zato so alikvotni toni, ki bi zveneli, moteci, saj pomenijo tisto, kar imenujemo razglašenost. Pri zvonckih to težavo ob-idemo tako, da je plošcica podprta tam, kje sta vozla osnovnega lastnega nihanja. Taka podpora osnovnega lastnega nihanja ne moti, medtem ko znatno ovira naslednje alikvotne tone oz. višjeharmonska nihanja, katerih frekvence niso celoštevilski veckratniki osnovne frekvence, pac pa 2,76 kratnik, 5,40 kratnik... Teoreticna izpeljava teh frekvenc presega zahtevnost clanka. Na koncu poglejmo, kako so zvoncke uglasili. So tako zelo natancno odrezali plošcice? Ne, zadnje uglaševanje je skrito pod plošcico. Ko zvoncke obrnemo, opazimo, da so v nekaterih plošcicah zvrtane vdolbine. Prav s temi vdolbinami je mogoce zelo na- tancno popraviti frekvenco. V katero smer pa? Ali frekvenco zvišamo ali znižamo? Ce po branju pricu-jocega clanka odgovor ni povsem razkrit, preverite kar sami. Kovinsko plošcico, ki jo dobite kot ostanek v trgovini z barvnimi kovinami, najprej podprite na ustreznih mestih, posnemite zvok, izmerite frekvenco in nato še plošcico malo navrtajte. Ce uho ne izve, pa CoolEdit pove, v katero smer se je spremenila frekvenca. Na delo! Literatura [1] I. Verovnik in L. Mathelitsch, Kaj slišiš, ko točiš vino v kozareč, Fizika v šoli, 1998, 18-24. [2] I. Kukman, Nihanje jezičkov, Fizika v šoli, 2010, 9-15. [3] https://ccrma.stanford.edu/CCRMA/ Courses/152/percussion.html (uporabljeno 12. 2. 2013). SLIKA 6. Preprost ksilofon. Le za izdelavo deščice h je bil uporabljen malo drugačen les. SLIKA 7. Zvrtane vdolbine, ki služijo za uglasitev zvončkov. XXX Zakaj se pločevinka stisne? komentar naloge in nekaj številk v opozorilo bodožim preizkuševalcem Iztok Tiselj V 4. številki lanskega Preseka smo brali o plo-cevinki polni pare, ki jo navzdol obrnjeno potopimo v hladno vodo. Hitra kondenzacija pare v stiku z mrzlo vodo plocevinko v hipu stisne. V 5. številki Preseka, je bil eksperiment ponovljen še s stekleno posodo. Fotografije potrjujejo varen in uspešen zakljucek poskusa. Kljub ugodnemu izidu poskusa na fotografijah, pa me je malo zaskrbelo za morebitne nadobudne preizkuševalce, ki bi se morebiti lotili ponovitve poskusa. V industriji je namrec vroca para v stiku s hladno kapljevino zanesljiv recept za težave. Naj gre za vodo v jedrski elektrarni, za amonijak v hladilnem krogu tovarne sladoleda ali za kakšen drug stroj in snov: vroca para in mrzla kapljevina se ne smeta znajti na istem mestu. Srecanja takšne vrste imenujemo »vodni udar«, škoda, ki nastane ob takšnih pojavih, pa se lahko meri z velikimi vsotami denarja, vcasih pa tudi s smrtnimi žrtvami. Poskusimo s številkami pokazati, zakaj je potrebno opozorilo. Začnimo s poenostavljenim opisom poskusa, v katerem navpično cev polno pare (slika 1) spravimo v stik s hladno kapljevino. Poskus, ki so ga poimenovali Water-cannon experiment (verjamem, da prevod ni potreben), skiciran na sliki 1, so izvedli leta 1976. Cev dolga 70 centimetrov, s premerom 3,8 centimetre, je bila na vrhu zaprta, spodaj pa odprta in delno potopljena v vecjo posodo s hla- dno vodo. V čev, ki je bila na začetku polna vode, so v najvišji točki skozi drobno čevko (ni narisana na sliki 1) dovajali vročo paro. Para je najprej konden-zirala in počasi segrevala zgornjo plast vode. Para se je na vrhu čevi začela nabirati, ko je temperatura ka-pljevine tam dosegla temperaturo vrelišča vode pri tlaku 1 bar, ki jo poznamo kot temperaturo 100 °C. Sledilo je izrivanje kapljevine proti spodnjemu odprtemu konču čevi. Zanimiv del poskusa se je začel v trenutku, ko je para dosegla spodnji rob navpične čevi, odrinila plast vroče kapljevine in prišla v stik s hladno vodo v večji spodnji posodi. Ta trenutek prikazuje slika 1, kjer rumena barva predstavlja paro, modra pa kapljevino. Para v čevi ob stiku s hladno kapljevino zelo hitro kondenzira, kar povzroči pod-tlak. Ta podtlak v posodo potegne kapljevino, ki se PD = 1 bar Td = 100 °C m SLIKA 1. zaleti v zgornji, zaprti koneč čevi in povzroči močan porast tlaka v čevi. Vse skupaj se zgodi v nekaj de-setinkah sekunde. Največja neznanka v opisanem poskusu je hitrost kondenzačije pare. Očenjevanje hitrosti kondenza-čije pare je pravzaprav še danes glavni čilj večine poskusov in teoretičnih raziskav. Zato se bomo pri naših očenah, ki jih želimo obdržati na nivoju osnovnošolske fizike, poslužili na videz neobičajne predpostavke, ki pravi, da para ob stiku s hladno kaplje-vino kondenzira neskončno hitro. Veljavnost takšne poenostavitve bomo preverili in komentirali naknadno. Ce para v stiku s hladno vodo kondenzira neskončno hitro, to pomeni, da tlak v navpični čevi v trenutku pade z 1 bara na praktično 0 barov. (Srednje-šolči višjih letnikov v resniči vedo, da tlak ne more pasti na 0 barov ampak samo do tlaka nasičenja, ki ustreza vrelišču vode pri temperaturi 18 °C. Iz tabel z lastnostmi vode razberemo, da voda pri temperaturi 18 °C zavre pri tlaku približno 0,02 bara, kar pa je za našo očeno približno enako 0 barom.) Prva obremenitev, s katero se mora spoprijeti navpična čev, je torej nastanek podtlaka v notranjosti čevi, ki čev lahko stisne, če so njene stene dovolj tanke (npr. stene pločevinke). Ce so stene čevi dovolj močne, čev ohrani obliko. To predpostavimo tudi v našem računu, s katerim želimo očeniti, kakšen tlačni sunek se pojavi v čevi, ko podtlak v čev potegne hladno kapljevino. Najprej očenimo hitrost, s katero bo kapljevina zadela zgornji zaprti koneč čevi. Predpostavimo, da bo v čev potegnilo stolpeč kapljevine, ki je na sliki označen s črtkano črto. S tem smo naredili približek, s katerim smo zanemarili vse mešanje vode med občrta-nim stolpčem kapljevine in kapljevino zunaj stolpča. Hitrost stolpča izračunamo z drugim Newtonovim zakonom, ki ga zapišemo za označeni stolpeč ka-pljevine v navpični smeri. Maso stolpča kapljevine izračunamo iz njegovega volumna V, ki je enak volumnu navpične čevi: ■ m = pV = phS. Poznamo gostoto kapljevine p = 1000 kg/m3, presek čevi smo označili z S, njeno višino pa s h. Najpomembnejše sile, ki delujejo na stolpeč ka-pljevine, so sile tlaka. Tlačne sile vedno delujejo pravokotno na površino, zato na gibanje stolpča v nav- pični smeri vplivata samo sili na spodnjo in zgornjo ploskev stolpča. Sile na zgornji ploskvi ni, saj smo tam predpostavili tlak 0 barov. Sila na spodnjo ploskev, ki je na sliki označena s puščičami, pa je ■ Fp = pS. Stolpeč kapljevine se sičer ne premika brez upora, ki ga povzroča viskoznost, a te sile zanemarimo. Upoštevamo še silo teže in zapišemo drugi Newtonov zakon za stolpeč kapljevine: ■ Fp - Fg = ma ■ pS - phSg = phSa. Od tod izračunamo, da se stolpeč v navpični smeri giblje s pospeškom p _ 105 Pa a = ph - g = 0,7 m • 103 kg m-3 « 130 m/s2. - 10 m/s2 Iz številk je razvidno, de je prispevek sile teže pre-čej manjši od tlačnih sil. Izračunajmo še hitrost, s katero stolpeč zadene zaprti koneč čevi. Uporabimo znano enačbo, ki popiše odvisnost med hitrostjo, potjo in pospeškom pri enakomerno pospešenem gibanju: ■ v = V 2ah. Upoštevamo zgornji izraz za pospešek in dobimo hitrost v =1 — - gh « 14 m/s. p Še ena enačba, »enačba Žukovskega«, je potrebna, da očenimo tlačni sunek, ki ga povzroči stolpeč vode, ki trči v zaprt koneč čevi. Enačba je enostavna in razumljiva ■ Sp ~ pvc. Enačba Žukovskega pravi, da je prirastek tlaka sorazmeren z gostoto kapljevine p, s hitrostjo kapljevine pred trkom v in z zvočno hitrostjo v kapljevini c, ki je za vodo pri 18 °C približno 1470 m/s. Ce vstavimo številke, izračunamo tlačni sunek približno 200 barov! PRESEK 41 (2013/2014) 1 15 Kritični bralec se seveda mora vprašati, kakšen čuden rezultat je sploh to. Ali nismo morda nekoliko pretiravali z našimi približki in zanemaritvami? Tlak 200 barov lahko polomi tudi zelo močne cevi, kaj šele stekleno posodo iz prejšnje številke Preseka. Preden komentiramo natančnost svojih računov, zapišimo tlačni sunek, ki so ga izmerili v poskusu Water-čannon: pri večkratnih ponovitvah poskusa so dosegli tlačne sunke okoli 70 barov ± 30 %, kar je približno trikrat manj od naše močno poenostavljene očene. Še vedno pa gre za zelo visok tlak, ki ga zdržijo dovolj močne jeklene čevi, običajna steklena posoda pa prav gotovo ne. Izkaže se, da z našim poenostavljenim modelom lahko približno napovemo največji teoretično dosegljiv tlačni sunek, ki se lahko pojavi v obravnavani čevi. Za previsoko očeno je kriva predpostavka o neskončno hitri kondenzačiji pare, zanemarjena pa sta tudi mešanje vode in viskozni upor ob premikanju stolpča vodev navpično čev. V Water-čannon eksperimentu so tako izmerili, da tlak v čevi takoj po hitri kondenzačiji pare ne pade na 0 barov, kot smo predpostavili, ampak na približno 0,5 bara. Maksimalna izmerjena hitrost kapljevine pa ni 14 m/s, kot smo očenili v našem računu, ampak okoli 6 m/s. Kakšnih 10 % k previsoki napovedi tlaka prispeva tudi enačba Žukovskega, v kateri je za natančnejšo očeno potrebno upoštevati zmanjšanje efektivne zvočne hitrosti, ki je poslediča elastičnosti same čevi. Ob zgornjih številkah in rezultatih Water-čannon eksperimenta pa še vedno ostaja nepojasnjeno dogajanje v stekleni erlenmajeriči iz prejšnje številke Preseka, ki je poskus preživela kljub črnim napovedim. Malo zaslug ima oblika erlenmajeriče, ključen za njeno »preživetje« pa je bil zrak, ki ga para pri vrenju kapljevine ni povsem izrinila iz posode. Ob potopitvi erlenmajeriče v mrzlo kapljevino je para kondenzirala, zrak pa je ostal v plinastem stanju in deloval kot vzmet, ki je močno ublažila trk stolpča kapljevine ob dno erlenmajeriče. Na podoben način delujejo tudi nekateri varovalni sistemi, ki čevovode varujejo pred vodnim udarom. Ob pojavu podtlaka v čeveh iz varovalnega sistema priteče zrak in ublaži tlačne sunke, ki običajno sledijo podtlaku. Več zraka pomeni bolj prožno vzmet in manjši tlačni sunek, manj zraka pa bolj trdo vzmet in večji tlačni sunek ob vodnem udaru. Vsekakor tistim, ki bodo raziskovali vodni udar v steklenih ali kovinskih posodah svetujem razmislek o primerni zaščiti. Praktično nemogoče je namreč ugotoviti, ali je v naši pari dovolj zraka, da nas bo obvaroval pred neprijetnostmi. »Hitro in odločno« izveden eksperiment v posodah, ki niso ravno pločevinke za pijačo, se lahko slabo konča! Literatura [1] J. A. Bločk, P. H. Rothe, C. J. Crowley in G. B. Wallis, An Evaluation ofPWR Steam Generator water hammer, NUREG-0291, 1976. _ XXX Križne vsote vU -> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne. 9 7 8 3 14 3 9 218 2 14 11 \ 2 7 XXX www.presek.si Prihaja Veliki komet stoletja -i' -i' -i' Bojan Kambič Lovci na komete so tista podvrsta ljubiteljskih astronomov, ki najbolj uživajo, ko išcejo in opazujejo šibke, komaj vidne pikice ali lise svetlobe, za katerimi se morda vlece še šibkejša sled repa. Žal je veČina kometov, ki zaidejo v notranje predele Osončja, prav takih. A mati narava nas enkrat ali dvakrat na stoletje preseneti s kakšnim kometom, ki na našem nebu pripravi nepozabno predstavo s svojim visokim sijem in lepim, pahljačastim repom, ki se vije za njim. In prav takšen naj bi bil po napovedih komet C/2012 S1 (ISON), ki naj bi na našem nebu blestel proti koncu tega in v začetku prihodnjega leta. Odkritje Komet, ki je dobil ime C/2012 S1 (ISON), sta 21. septembra 2012 na ruskem observatoriju International Scientific Optical Network (ISON) s 40-centimetrskim teleskopom odkrila Vitalij Nevski in Artjom Novico-nok. Na posnetkih istega predela neba, posnetih v razmiku nekaj dni, sta našla šibko pikico 19. magnitude, ki je v tem casu nekoliko spremenila svojo lego med zvezdami. Odkritje sta sporočila v Center za komete in male planete (MPC) in kmalu se je izkazalo -prva potrditev odkritja je prišla iz italijanskega observatorija Remanzacco - da gre za doslej še neznan komet. Strokovnjake je presenetilo, da komet na tako veliki oddaljenosti od Sonca že kaže prve znake aktivnosti. Iz tega so sklepali, da je komet še »svež« in da je to verjetno njegovo prvo potovanje k Soncu. V opazovanja so vpregli celo vesoljski teleskop Hubble, ki se ponavadi z opazovanjem »vesoljskih smeti«, kot astronomi v šali recejo kometom in astero- idom, ne ukvarja. Ugotovili so, da je jedro kometa veliko od 5 do 6,5 kilometra. Ce so meritve pravilne (komet je bil v casu meritev še zelo dalec od nas), gre torej za manjši komet. Ko je bilo zbranih dovolj opazovalnih podatkov, so lahko izracunali njegovo orbito in tudi gibanje po našem nebu. Komet bo do perihelija, ko bo najbliže Soncu, vseskozi pospeševal in 28. novembra 2013 švignil mimo naše zvezde na oddaljenosti vsega 1,2 milijona kilometrov nad njenim površjem. To se sliši za naše zemeljske razmere veliko, a v resnici ni (naj-vecje protuberance na Soncu se dvignejo do 600.000 kilometrov visoko nad njegovo površje). Kaj lahko se zgodi, da ga bo mocno Soncevo sevanje tako segrelo, da bo razpadel na vec kosov ali v najslabšem primeru popolnoma izparel. A ne prepustimo se malo-dušju in bodimo optimisti! Na svoji poti proti Soncu se ISON 1. oktobra sreca s planetom Mars, mimo katerega bo letel na oddaljenosti 10,8 milijona kilometrov. Že po obletu Sonca se bo Zemlji najbolj približal 26. decembra. Mimo nas bo letel na spoštljivi oddaljenosti 64 milijonov kilometrov. Ne glede na to, ali bo komet preživel bližnje sre-canje s Soncem ali ne, pa se moramo opazovalci na njegov prihod dobro pripraviti. Tu je nekaj koristnih nasvetov, ki vam bodo morda prišli prav. Kdaj in kje bomo komet najlepše videli iz naših krajev Ker ne vemo zagotovo, ali se bo komet po perihe-liju spet prikazal izza Sonca ali ne, je najbolje, da se ga nagledamo že prej. Po trenutnih napovedih (cla-nek je nastal konec julija) naj bi bil komet s prostim ocesom viden od sredine novembra 2013 pa vse do sredine januarja 2014. Najsvetlejši naj bi bil okoli perihelija, a takrat bo žal tudi najbliže Soncu in se bo skrival v njegovi svetlobi. Najdaljši rep, po najbolj optimisticnih napovedih dolg kar 30 stopinj in vec, naj bi imel okoli 5. decembra. Najbolj primerno obdobje za opazovanje bo torej med 4. in 14. de- SLIKA 1. Lahko iz tako majhnega zrase zares veliko in nepozabno? Ena izmed zgodnjih fotografij kometa C/201 2 SI (ISON), ki je nastala 1 3. aprila 2013 ob 20.21 UT na Prežganju z 20-centimetrskim f/3,7 teleskopom in CCD kamero G2-1 600. Komet se je nahajal v ozvezdju Voznik, njegov sij pa je bil okrog 1 5,3 magnitude. Foto: Matej Mihelcic. cembrom. Takrat naj bi bil še vedno zelo svetel, imel naj bi najdaljši rep, od Sonca pa bo že toliko odmaknjen, da bomo za opazovanja imeli na voljo dobro uro astronomske noci. Toliko o c ešnji na torti, zdaj pa pojdimo lepo po vrsti. Kometovo pot po našem nebu od konca avgusta 2013 do sredine marca 2014 si lahko ogledate na karti, ki smo si jo sposodili iz astronomske revije Spika. Pike prikazujejo njegovo približno lego ob zraven zapisanih datumih. Komet bomo lahko na našem nebu vse tja do druge polovice decembra opazovali na jutranjem nebu. Septembra je v ozvezdju Rak, ki sredi meseca vzhaja okoli 3. ure in 30 minut. Za opazovanje imamo torej na voljo dobro uro in pol astronomske noci. Vendar pa komet v tem obdobju ni kakšen blestec nebesni objekt, saj bo z napovedano 10. do 11. magnitudo sodil med težje zalogaje za majhne, pa tudi srednjevelike amaterske teleskope. Na sreco pa se bodo razmere iz noci v noc izboljševale v naš prid. Komet bo vsak dan sicer bliže Soncu, a bo tudi vse svetlejši. V oktobru se komet pomika skozi pomladno ozvezdje Lev. V dneh okoli 15. oktobra je le nekaj stopinj severno od svetlega Regula (Alfa Leva), nekaj dni kasneje pa le dobro stopinjo severno od Marsa. Sredi oktobra vzhaja Regul okoli 3. ure in 30 minut, konec astronomske no ci je približno ob 5. uri in 30 minut, Sonce pa vzide ob 7. uri in 20 minut. Vse ure so v poletnem casu. Novembra bo komet potoval cez ozvezdje Device. 20 PRESEK 41 (2013/2014)1 \ 2J/2' • Vd II '......<: V 'J00L " • / eb8ao fe......•.......' O f t o m • o 2 j 2 * i V.^ > £ co m > • Air ..." \ m V «T ' / ......... \ \ •••u > ^ "V \ f i i , * CO \ • V ;.,-•• ••S < ^ C m " 5 >• P' > •••• X o. *x \\ ^ v \ ^ \ ' W \ \ to.io.m. 22.10.* / ^ * * v %K > w •24.09 . * >5 -6vojčka SLIKA 2. Pot kometa po našem nebu od septembra 2013 do marca 2014. -> 18. novembra bo le 20 locnih minut vzhodno od svetle Spike (Alfa Device), ki je dala ime tudi naši astronomski reviji. To je tudi datum, ko lahko komet poišcete tudi tisti opazovalci, ki niste najbolj vešci pri rokovanju s teleskopi in iskanju ne prav svetlih objektov. Spika 18. novembra vzide ob 5. uri in 40 minut, konec astronomske noci je ob 5. uri in 25 minut, Sonce pa vzide okoli 7. ure. Komet bo torej treba poiskati nizko nad vzhodno-jugovzhodnim obzorjem v jutranji zarji, a ce se bodo napovedi uresničile, bo dovolj svetel, da to ne bo težko. Do konca novembra, to je do perihelija, se bo komet Soncu vse bolj približeval in postajal vse svetlejši, a žal se bo tudi vse bolj izgubljal v jutranji zarji. Ko bo v periheliju, bo v ozvezdju Tehtnice in nekaj casa ne bo viden. V tem casu naj bi se mu sij povecal tako, da bo dosegel negativno magnitudo. Kakšna bo, pa bomo videli. Tu so napovedi najbolj negotove. Po periheliju se bo komet hitro pomikal proti severu in se zavihtel visoko na zahodno-severozahod-no nebo. To bo tudi cas, kot smo že omenili, ko bomo komet iz naših geografskih širin najlepše videli. Viden bo zvecer takoj po zahodu Sonca v za-cetku še nizko, nato pa vedno više nad severozahodnim obzorjem. Še vedno naj bi bil zelo svetel in imel naj bi dolg, velicasten rep. Cez ozvezdja Kaca, Severna krona in Herkul se bo pomaknil v ozvezdje Zmaj in v drugi polovici decembra postal cirkumpo-laren. To pomeni, da bo za opazovalce naših geografskih širin vseskozi nad obzorjem in viden vso noc. Seveda pa v teh dneh ne smemo zamuditi no- bene priložnosti za opazovanje, saj bo komet brzel proč od Sonča in bo zato z vsakim dnem vse šibkejši. Okoli novega leta bo komet med ozvezdjema Zmaj in Mali medved, 8. januarja 2014 pa bo potoval le dobri 2 stopinji od Severniče (Alfa Malega medveda). Sredi januarja ga bomo našli v Žirafi, februarja in marča pa v ozvezdju Voznik. A takrat bo ISON že na poti proti domu v zunanjih območjih Osončja, od koder je tudi prišel. Opazovanje Ce bo komet dosegel napovedani sij in velikost, potem ga bomo brez težav videli že s prostim očesom. Za opazovanje podrobnosti v komi in repu pridejo prav kakršnikoli daljnogledi z večjim zornim poljem, ki jih imamo skoraj zagotovo vsi doma. Z daljnogledi z do 10-kratnimi povečavami lahko brez težav opazujemo kar iz roke, a več podrobnosti bomo videli, če daljnoglede postavimo na trdno fotografsko stojalo. Samo poseben nastavek, ki ni drag, moramo dokupiti. Oktobra in novembra, kasneje pa februarja in marča bomo za opazovanje potrebovali vsaj manjši amaterski teleskop, ki zbere več svetlobe in omogoča večje povečave. Enostavno fotografiranje Zadnji zares svetel komet na našem nebu je bil Hale-Bopp, ki nas je razveseljeval spomladi leta 1997. To je bil dogodek, ki ga tisti, ki smo ga doživeli, ne bomo nikoli pozabili. Komet je bil dovolj svetel, da ga je vsak, ki je imel kakršenkoli fotoaparat, lahko posnel in sliko shranil za spomin. Takrat še ni bilo digitalnih fotoaparatov oz. so ravno začeli svoj osvajalski pohod. Zato je danes vse skupaj še mnogo bolj enostavno. Za dokumentarno fotografijo je praktično dober čisto vsak digitalni fotoaparat. Dobro je, če omogoča poljubno dolge čase osvetlitve in spreminjanje občutljivosti (spreminjanje vrednosti ISO), ni pa nujno. Kdor pa bo hotel posneti malo boljšo, kakovostnejšo fotografijo s podrobnostmi v komi in repu kometa, se bo moral malo bolj potruditi. Pri daljših časih osvetlitve moramo fotoaparat nujno postaviti na trdno stojalo, da slika ni stresena. Namesto proženja fotoaparata s prstom moramo uporabiti daljinski prožileč ali pa slikati s časovnim zamikom. Ce hočemo na sliki kometa ujeti največ podrobnosti, mo- ramo goriščno razdaljo objektiva fotoaparata izbrati tako, da bo komet skupaj z repom zavzel čelotno zorno polje. Pri še daljših časih osvetlitve (več kot 10 minut) pa moramo nujno slediti gibanju kometa, če hočemo, da bo slika ostra. To najlaže storimo tako, da fotoaparat pritrdimo na teleskop in oba usmerimo proti kometu. S fotoaparatom slikamo, skozi teleskop pa pri čim večji povečavi sledimo kometu tako, da ga imamo ves čas v središču zornega polja. Za ta namen se dobijo posebni okularji z vgravira-nim nitnim križem. Casa za priprave in testiranje opreme je več kot dovolj. SLIKA 4. Komet Hale-Bopp v času največje aktivnosti aprila 1997, posnet na observatoriju Črni Vrh z 19-centimetrsko f/4 Schmidt-Cassegrain kamero z ravnim poljem na film Kodak Ektacolor ProGold 1 000. Zorno polje je okoli 4 x 4 stopinje. Foto: H. Mi-kuž in B. Kambič. Nasvet: Ce kometa s prostim očesom na nebu ne morete najti, si pomagajte s fotoaparatom. Slikajte nebo približno v smeri kometa. Sliko si oglejte na zaslonu fotoaparata; komet bo zagotovo viden. Nato —^ primerjajte njegovo lego z opaznejšimi objekti na obzorju in ga nato poskusite poiskati še na nebu. Gotovo vam uspe. Za konec Kaj naj recemo za konec? V prejšnjem stoletju so astronomi odkrili kar nekaj kometov, ki so dalec od Sonca še obetali veliko, spektakularno predstavo, ko pa so prišli v njegovo bližino, niso vec upoštevali napovedi in se kot sive miške neopazno vrnili tja, od koder so prišli. Žal lahko z veliko natancnostjo izra-cunamo le tirnico vsakega odkritega kometa in njegovo pot po našem nebu, kaj pa se bo dogajalo z njim, ko ga bo ogrela Sonceva svetloba, pa ne. Poca-kajmo torej še teh nekaj mesecev in bodimo optimisti! Slovenci želi izjemen uspeh na mednarodni olimpijadi iz astronomije in astrofizike SLIKA 5. Vidnost kometa ISON v decembru 201 3 približno pol ure pred vzidom Sonca. Ilustracija: Sky&Telescope. _ XXX nU vU NU Andrej Guštin Čeprav se je slovenska ekipa dijakov prvič udeležila Mednarodne olimpijade iz astronomije in astrofizike (IOAA), ki je bila letos med 27. julijem in 5. avgustom v grškem Volusu, je domov prinesla dve srebrni medalji in dve pohvali. Tako so se naši mladi astronomi takoj zavihteli v prvo ligo med vrstniki iz vsega sveta. Uspeh je še toliko večji, če upoštevamo nekatera dejstva. IOAA ni nekakšno »vaško« tekmovanje, saj je na njem sodelovalo 36 držav, in to predvsem tistih, kjer je astronomija tradičionalno zelo močna in so vlaganja v to znanost in v mlade perspektivne dijake velika. Državno tekmovanje iz znanja astronomije v Sloveniji poteka šele štiri leta, zato se je morda zdelo, da še nismo dovolj zreli za tovrstno mednarodno tekmovanje. Poleg tega se je ekipa, predvsem vodja Andrej Guštin, ubadala s financnimi omejitvami, zaradi katerih smo se olimpijade udeležili le s štirimi in ne petimi dijaki ter z enim spremljevalcem - men- SLIKA 1. Logotip 7. olimpijade iz astronomije in astrofizike. torjem, pa tudi priprave so bile sorazmerno kratkotrajne. Morda velja omeniti še to, da je IOAA organizirana tako, da dijaki samostojno tekmujejo v treh disciplinah. Teoretični del obsega 15 krajših in tri daljše astronomske in predvsem astrofizikalne naloge, ki jih dijaki rešujejo pet ur. Drugi del predstavljajo naloge iz obdelave astronomskih podatkov. Tretji del individualnega tekmovanja pa so astronomska opazovanja oz. praktična uporaba teleskopa. Prav zaradi tega lahko dober rezultat na olimpijadi dosežejo le dijaki, ki imajo zelo široko paleto astronomskega znanja in tudi izkušnje z astronomskimi opazovanj in meritvami. SLIKA 2. Slovenska ekipa na otvoritveni slovesnosti. Od leve proti desni: Michel Adamič, Jernej Černigoj, Krištof Skok, Žan Kokalj, Andrej Guštin. Dijaki že desetletja tekmujejo na matematičnih in fizikalnih olimpijadah, Ce omenimo le dve naravos-lovno-matematiCni panogi. Mednarodna tekmovanja iz znanja astronomije so nekoliko mlajša. Glavna razloga sta, da astronomija skoraj nikjer ni del rednega srednješolskega programa, kot sta to matematika in fizika, in le v manjšem številu držav potekajo državna tekmovanja iz astronomije. Prvo velja tudi za Slovenijo, medtem ko imamo državno tekmovanje »že« štiri leta. Letos smo se pri DMFA Slovenije kot organizatorju tekmovanja odloČili, da je dozorel Cas za sestavo prve astronomske reprezentance, ki nas je zastopala na 7. mednarodni olimpijadi iz astronomije in astrofizike v grškem Volosu. SLIKA 3. Krištof in Žan s srebrnima medaljama in oljčnim vencem na zaključni slovesnosti. —^ Na priprave in dodatni izbor za olimpijsko ekipo smo povabili osem, na državnem tekmovanju iz znanja astronomije najbolje uvršcenih srednješolcev. To so: Michel Adamic, Jan Rozman, Jakob Robnik, Gimnazija Bežigrad, mentor Sebastjan Zamuda; Jernej Cernigoj, Srednja šola Veno Pilon Ajdovšcina, mentor Andrej Rutar; Krištof Skok, I. gimnazija v Celju, mentor Roman Ocvirk; Žan Kokalj, II. gimnazija Maribor, mentor Gorazd Žiberna; Andrej Nabergoj, ŠC Srecka Kosovela Sežana, Gimnazija in ekonomska šola, mentorica Sonja Ivancic; Darko Kolar, Gimnazija Murska Sobota, mentor Renato Lukac. Tridnevne priprave, ki sta jih vodila Dunja Fabjan (FMF Ljubljana) in Andrej Guštin, smo aprila organizirali v Plemljevi vili na Bledu. Povabljeni dijaki so tam spoznavali predvsem osnove in tudi težja poglavja astrofizike, ki sicer (še) niso del državnega tekmovanja, a je to znanje na olimpijadi zahtevano. Ob koncu priprav so dijaki dobili »domaco nalogo« z naslovom Ocena starosti razsutih in kroglastih zvezdnih kopic, katere ocena je štela kot del ocene pri izboru za reprezentanco. Izborni teoreticni del za uvrstitev v olimpijsko ekipo je bil 15. maja na Fakulteti za matematiko in fiziko v Ljubljani. Pri pripravi nalog sta sodelovala Dunja Fabjan in Andrej Guštin, pri ocenjevanju izdelkov pa še Andreja Gomboc (FMF Ljubljana). Vseh osem udeležencev izbora je pokazalo izjemno astronomsko in astrofizikalno znanje in so za uvrstitev SLIKA4. Dva srebra in dve pohvali! Krištof in Michel. Od leve proti desni: Žan, Jernej, v reprezentanco odlocale le malenkosti. Pri izboru smo upoštevali tocke, dosežene na državnem tekmovanju iz astronomije, tocke za domaco prakticno nalogo in tocke iz teoreticnih nalog izbirnega tekmovanja. v reprezentanco so se tako uvrstili Michel Adamic, Jernej Cernigoj, Žan Kokalj in Krištof Skok. Med 20. in 23. julijem smo na Kovku nad Ajdo-všcino za udeležence olimpijade organizirali priprave, ki sta jih vodila Dunja Fabjan in Andrej Guštin. Pri organizaciji priprav je imel pomembno vlogo Andrej Rutar iz Srednje šole Veno Pilon Ajdovšcina, saj nam je dobrohotno odstopil dom na Kovku in pomagal pri opazovalnem delu priprav. Rezultat tega je bil izjemen uspeh na 7. olimpijadi iz astronomije in astrofizike. Žan Kokalj in Krištof Skok sta osvojila srebrni medalji, Michel Adamic in Jernej Cernigoj pa pohvali. Dijake je na olimpijadi spremljal Andrej Guštin, ki je kot vodja ekipe tudi sodeloval pri strokovni razpravi o nalogah in pripravil prevode vseh nalog. Organizatorji tekmovanja se zahvaljujemo vsem tekmovalcem, njihovim mentorjem, šolam, staršem in vsem drugim, ki so kakorkoli prispevali za prvi slovenski pohod proti astronomskemu Olimpu. Za konec morda še ena zanimivost. Izbirnega tekmovanja za astronomsko olimpijsko reprezentanco, ne državnega tekmovanja (!), se je v Indiji udeležilo 50 000 dijakov. Za ekipo so jih izbrali pet. www.ioaa2013.gr www.dmfa.si www.po rtalvvesolje.si Ena od kratkih teoretičnih nalog iz 7. olimpijade iz astronomije in astrofizike: Nedavno je bila v Londonu takšna megla, da je bila navidezna vizualna magnituda Sonca na nebu enaka magnitudi polne Lune v popolnoma jasni noci. Predpostavi, da se gostota svetlobnega toka pri prehodu skozi meglo zmanjšuje eksponentno in izracunaj eksponentni koeficient t , ki mu navadno pravimo op-ticna globina. XXX RACUNALNlS TVO Korensko urejanje -i' -i' -i' Damjan Strnad O tem, kako pomembna operacija je urejanje zaporedja števil, besed in drugih elementov v praksi, prica izjemno število obstoječih algoritmov urejanja. Ko govorimo o slednjih, najprej pomislimo na mehurčno urejanje, hitro urejanje ali urejanje s kopico. Skupna lastnost teh algoritmov je, da izvajajo neposredno primerjavo elementov zaporedja in izmenjujejo njihove položaje. Obstaja pa tudi drugačen način urejanja, ki namesto na primerjavi temelji na preštevanju elementov in ima teoretično celo ugodnejšo časovno zahtevnost od primerjalnih algoritmov. Enega izmed takšnih pre-števalnih algoritmov urejanja bomo opisali v tem članku. Imenuje se korensko urejanje (angl. radix sort). Takoj na zacetku naj povemo, da bomo opis omejili samo na eno izmed možnih implementacij korenskega urejanja. Njeno delovanje bomo demonstrirali na urejanju seznama celih števil v narašcajoce zaporedje. Ime korenskega urejanja izhaja iz predpostavke, da so elementi zapisani z znaki v dolocenem skupnem korenu oz. osnovi. Desetiška števila so, denimo, zapisana v številskem sistemu z osnovo 10 kot nizi števk med 0 in 9. Vrstni red števk je definiran in zato vemo, da število 5 v urejenem seznamu nastopi prej kot število 8. Primerjavo vecjih števil lahko prevedemo na primerjavo istoležnih števk v njihovem znakovnem zapisu, pri cemer zacnemo na levi strani in se pomikamo proti desni. Kot zgled vzemimo števili 1254 in 1281. Primerjava prve in druge števke, ki sta enaki v obeh zapisih, še ne da odlocitve o vrstnem redu števil. Šele ob primerjavi tretje števke ugotovimo, da pride število 1254 pred številom 1282. Ce želimo na tak nacin primerjati števila, ki imajo razlicno dolge znakovne zapise, je potrebno te najprej izenaciti na najvecjo skupno dolžino. Tako je npr. potrebno seznam števil {12, 3,156, 78,42} najprej zapisati kot {012,003,156,078,042}. Seveda to velja samo za prikaz rocnega reševanja, v racunalniku so števila na tak nacin dejansko že predstavljena. Predpostavimo, da imamo seznam 100 števil, ki so zapisana kot enako dolgi nizi števk. Vemo, da bodo vsa števila, ki imajo na prvem mestu niclo (za-pišimo jih kot 0*) v urejenem seznamu pred števili, ki imajo na prvem mestu enico (zapišimo jih kot 1 *). Ce torej v (neurejenem) seznamu obstaja osem števil oblike 0*, bodo po urejanju ta števila zasedala prvih osem mest urejenega seznama, števila oblike 1 * pa jim bodo sledila od devetega mesta dalje. Prav tako bodo vsa števila oblike 0* in 1* pred števili oblike 2*, t.j. števili, ki se pricnejo z dvojko. Ce je števil oblike 1* v zacetnem seznamu sedem, bodo po urejanju ta zasedala položaje 9 do 15, števila oblike 2* pa mesta od 16-tega naprej. S podobnim sklepanjem lahko zatrdimo, da bodo štiri števila oblike 9* po urejanju zasedala zadnja štiri mesta, t.j. položaje od 97 do 100. Vrstni red med števili, ki imajo na prvem mestu isto števko, je dolocen s števko na drugem mestu. Pri številih z enakima prvima števkama o vrstnem redu odloca tretja in tako naprej. Za ljudi je opisani postopek bolj naraven, ce ga izvajamo z zaporedno primerjavo števk od leve proti desni. V nadaljevanju bomo opisali razlicico korenskega urejanja, ki števila pregleduje od desne proti levi. V literaturi se ta algoritem imenuje korensko urejanje z najmanj pomembno števko (angl. least significant digit (LSD) radix sort). Osnovna ideja korenskega urejanja je v preštevanju elementov, ki imajo na dolocenem mestu v zapisu enak znak oz. števko. Ko je število elementov s posameznimi znaki znano, jih prepišemo na ustrezna mesta v pomožnem seznamu enake velikosti, kot bo opisano v nadaljevanju. Pri tem je kljucnega pomena, da ohranjamo ob-stojeci vrstni red med elementi, ki imajo na opazova- RAČU N A L NIŠTVO —^ nem mestu isti znak in so bili pred tem že urejeni po števki desno od trenutno opazovane. Ce opisani postopek ponavljamo s pregledovanjem števk od najbolj desne do najbolj leve, pri čemer vlogi osnovnega in pomožnega seznama izmenjujemo, bomo kot rezultat dobili urejen seznam števil. Naj nt označuje število elementov s števko i na opazovanem mestu, kjer je i G {0,..., 9} v primeru desetiških števil. Potem bodo v novem seznamu števila z opazovano števko j zasedala nj mest od pj do Pj + nj - 1, kjer je: Urejati pričnemo s preštevanjem posameznih števk na položaju enic. Ugotovimo naslednje: Pj = 1; j = o j-i 1 + S nk; j + 0. k=0 (1) n0 =0 n1 =4 (0541,0221,1231,1041) n2 =2 (0522,0092) n3 =1 (0303) n4 =2 (0034,0594) n5 =1 (0705) n6 =0 n7 =1 (0087) n8 =0 n9 =1 (0829) Opazimo lahko, da za j > 0 velja pj = pj-1 + nj-1. Celotni algoritem lahko zapišemo v naslednjih korakih: 1. Postavi opazovani položaj na skrajno desno (t.j. položaj enic). 2. Sprehodi se skozi glavni seznam in preštej elemente, ki imajo na opazovanem položaju posamezno števko. 3. S pomočjo enačbe (1) doloci nove začetne položaje elementov s posamezno števko. 4. S ponovnim prehodom skozi glavni seznam prepiši elemente na ustrezna mesta v pomožnem seznamu. 5. Zamenjaj vlogi glavnega in pomožnega seznama. 6. Ce trenutni opazovani položaj ni skrajno levi, ga premakni za eno mesto v levo in pojdi na korak 2, sicer končaj. Za zgled delovanja algoritma uporabimo seznam števil {87, 541, 303, 221, 34,1231,829, 705,1041, 522, 92, 594}. V nadaljevanju bomo opazovani položaj v zapisih števil označevali s podčrtanim tiskom. Za ročno izvedbo moramo najprej števila zapisati z nizi enake dolžine, ki je v našem primeru 4. To nam da naslednji začetni seznam števil: ■ 0087,0541,0303,0221,0034,1231, 0829,0705,1041,0522,0092,0594. Z uporabo enačbe (1) izračunamo naslednje začetne položaje: P0 = 1 p2 = 1 + 4 = 5 p4 = 7 + 1 = 8 p6 = 10 + 1 = 11 p8 = 11 + 1 = 12 p1 = 1 + 0 = 1 p3 = 5 + 2 = 7 p5 = 8 + 2 = 10 p7 = 11 + 0 = 11 p9 = 12 + 0 = 12 Sedaj izvedemo ponoven prehod skozi seznam in števila sproti prepisujemo na ustrezna mesta v pomožnem seznamu. Algoritmično to najlažje naredimo tako, da število z najdeno števko j zapišemo na položaj pj in vrednost pj povečamo za 1. Po prvem prepisovanju je vsebina seznama naslednja: ■ 0541,0221,1231,1041,0522,0092, 0303,0034,0594,0705,0087,0829. Vidimo lahko, da je relativni vrstni red števil, ki imajo na zadnjem mestu enako števko, ostal nespremenjen. Urejanju, ki ohranja takšno lastnost, pravimo stabilno urejanje (angl. stable sort). V naslednjem koraku preštevamo števke na položaju desetič in dobimo: ■ n0 = 2 (0303,0705) n1 = 0 n2 = 3 (0221,0522,0829) n3 = 2 (1231,0034) n4 = 2 (0541,1041) RACUNALNIŠ TVO n = 0 ne = 0 n7 = 0 n8 = 1 (0087) n9 = 2 (0092,0594) Novi začetni položaji so: ■ P0 = 1 p2 = 3 + 0 = 3 p 4 = e + 2 = 8 pe = 10 + 0 = 10 p8 = 10 + 0 = 10 p1 = 1 + 2 = 3 p3 = 3 + 3 = e ps = 8 + 2 = 10 p7 = 10 + 0 = 10 p9 = 10 + 1 = 11 Rezultat prepisovanja je seznam: ■ 0303,0705,0221,0522,0829,1231, 0034,0541,1041,0087,0092,0594. V tretjem koraku s preštevanjem stotic dobimo: n0 =4 (0034,1041,0087,0092) n1 =0 n2 =2 (0221,1231) n3 =1 (0303) n4 =0 n5 =3 (0522,0541,0594) ne =0 n7 =1 (0705) n8 =1 (0829) n9 =0 Izračunani začetni položaji so tokrat: p0 = 1 p2 = 5 + 0 = 5 p4 = 7 + 1 = 8 pe = 8 + 3 = 11 p8 = 11 + 1 = 12 p1 = 1 + 4 = 5 p3 = 5 + 2 = 7 p5 = 8 + 0 = 8 p7 = 11 + 0 = 11 p9 = 12 + 1 = 13 S prepisovanjem pred zadnjim korakom dobimo seznam: ■ 0034,1041,0087,0092,0221,1231, 0303,0522,0541,0594,0705,0829. V zadnjem koraku s preštevanjem tisočič dobimo: ■ n0 = 10 (0034,0087,0092,0221,0303, 0522,0541,0594,0705,0829) m = 2 (1041,1231) n2 = 0 n3 = 0 n4 = 0 n5 = 0 ne = 0 n7 = 0 n8 = 0 n9 = 0 Ugotovimo še, da bomo števila s tisočico 0 zapisovali od položaja p0 = 1, števili s tisočico 1 pa od položaja p1 = 11 naprej, kar nam da končni urejen seznam: ■ 0034,0087,0092,0221,0303,0522, 0541,0594,0705,0829,1041,1231. Predstavljeni postopek je mogoče optimizirati tako, da elemente najprej grupiramo po dolžinah zapisa in ločeno uredimo elemente z eno, dvema, tremi ali štirimi števkami. Urejene podsezname na konču združimo. Časovna zahtevnost takšnega korenskega urejanja je O(kN), kjer je k povprečno število števk, N pa število elementov seznama. Teoretično to pomeni, da je korensko urejanje učinkovitejše od najboljših algoritmov urejanja na podlagi primerjav elementov, katerih časovna zahtevnost je O(N log N). V praksi se korensko urejanje izkaže pri velikem številu elementov, medtem ko se pri urejanju krajših seznamov števil bolje obnesejo drugi algoritmi. Ena od omejitev korenskega urejanja je tudi ta, da ga ne moremo uporabiti v kombinačiji s poljubnim kriterijem urejanja, ki ga lahko pri klasičnih algoritmih definiramo s primerjalno funkčijo. Je pa mogoče vse korake v tem članku opisanega postopka urejanja učinkovito paralelizirati, kar je v zadnjem času zelo zaželena lastnost algoritmov. Literatura [1] T. H. Čormen, Č. E. Leiserson, R. L. Rivest in Č. Stein, Introduction to Algorithms, 3. izdaja, The MIT Press, 2009. _XXX Knjižnica Sigma Že od leta 1959 nam Knjižniča Sigma prinaša poljudna in strokovna besedila za popularizačijo področij matematike, fizike, astronomije in računalništva. Vključuje tako zbirke nalog z različnih tekmovanj, dopolnilne učbenike, priročnike in drugo zanimivo branje domačih avtorjev, kot tudi nekaj prevodov tujih avtorjev. John A. Adam MATEMATIČNI SPREHODI V NARAVO 280 strani format 14 x 20 čm mehka vezava 27,31 EUR Poleg omenjenih lahko v Knjižnici Sigma najdete še precej drugih del. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naroČite: http://www.knjižnica-sigma.si/ Individualni naročniki revije Presek, Člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naroČilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553. Stephen Senn KOCKANJE S SMRTJO Slučajnost, tveganje in zdravje 296 strani format 14 x 20 cm mehka vezava 29,99 EUR sU vU nU RESITEV NAGRADNE KRIŽ ANKE presek 40/6 -» Pravilna rešitev nagradne križanke iz šeste številke 40. letnika Preseka je Častitljivi jubilej. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Miha Šušteršic iz Postojne, Neda Tompa iz Odrančev in Marijana Marinšek iz Celja, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX M e t e o r s k i ro j in«*». tirnica kometa z izparelimi delci vU sU vU Aleš Mohoriš -> Na nočnem nebu lahko opazimo kratkotrajen svetlobni pojav, ki ga imenujemo utrinek. Videti je, kot da bi se utrnila zvezda. Utrinek se lahko zgodi kjerkoli na nebu. Če smo vztrajni, lahko vsako uro opazimo nekaj utrinkov. Pojav nastane, ko iz vesolja prileti v ozračje majhno nebesno telo in v njem zaradi velike hitrosti in trenja z ozračjem izgori. Nebesna telesa prihajajo iz Osončja. Osončje je območje, kjer Sonče s svojo težnostjo veže druga telesa, da se gibljejo po tirničah okoli njega. Od teh teles je najbolj znanih osem planetov. Poleg planetov so v Osončju še naravni sateliti (približno 160), ki krožijo okoli planetov, planetoidi, asteroidi, kometi, meteoroidi in medzvezdni prah. Meteoroidi so lahko veliki od nekaj mikrometrov do nekaj metrov. meteorski roj """""--^Zemlja Sonce Zemljina tirnica Vecinoma so ostanki kometov in asteroidov ali pa so nastali pri trku teh z vecjimi telesi - Luno ali Marsom. Po Osoncju jih je polno in vsak dan jih nekaj tisoc trci z ozracjem. Vecina jih je velikih kot riževo zrno ali še manjših. Vsak dan jih je nekaj velikih kot teniška žogica, redkeje pa so veliki kot košarkaška žoga. Približno enkrat na teden na Zemljo pade me-teoroid velikosti avtomobila, enkrat na nekaj mesecev pa velikosti hiše. Ko meteoroid vstopi v ozracje, se zaradi trenja segreje in zažari. Take meteoroide imenujemo meteorji, po domace utrinki. Ce je meteor dovolj majhen, izgori v ozracju, dovolj veliki pa preživijo to pot, padejo na površje in ti so meteoriti. Kometi med potovanjem okoli Sonca za seboj pu-šcajo sled delcev. Ce se Zemljina tirnica seka s to sledjo, se pri vsakem potovanju Zemlje skozi ta pas delcev poveca število utrinkov, ki navidez izvirajo iz iste tocke na nebu. Takrat opazujemo meteorski roj ali dež. Takrat je dobro vidnih tudi vec deset utrinkov na uro. Na fotografiji je utrinek, posnet avgusta 2013 med meteorskim rojem Perzeidov. Meteorski roj dobi ime po ozvezdju, iz katerega na videz izvira. Utrinek je viden ob dvojni zvezdi Dubhe asterizma Veliki voz, ki je del ozvezdja Veliki medved. V desnem spodnjem kotu posnetka je vidna tudi sled letala, ki je v casu osvetljevanja letelo skozi kader. _ XXX n Zgodovina znanosti v stripu Sredi decembra 2012 je Center za mladinsko književnost in knjižničarstvo pri Mestni knjižnici Ljubljana že tretjič podelil priznanja Zlata hruška. Z njimi so tokrat odlikovali kakovostno najboljših deset odstotkov otroške in mladinske književnosti, ki je izšla v letu 2011. DMFA-založništvo je priznanje prejelo za strip Življenja Marie Curie. Švicarski avtor Raphaël Fiammingo, s kratkim umetniškim imenom Fiami, v tem stripu večjega formata duhovito predstavlja nekaj izsekov iz zgodovine kemije, od Aristotela do današnjega Casa. V vsakem razdelku nastopa dekle ali ženska, katere ime je razliCica imena Marija, v Cast veliki znanstvenici Marie Curie. Zgodbice ilustrirajo tudi vlogo žensk v raznih zgodovinskih obdobjih. Predvsem pa so zabavne in obenem poucne, saj zvemo marsikakšno zanimivo podrobnost o nastanku znanstvenih odkritij. Med najbolj posrecenimi je zgodbica o Mendeljejevu in njegovem sestavljanju periodnega sistema elementov. Tudi druge pripovedi ne zaostajajo. Knjigo je odlicno prevedel prof. dr. Alojz Kodre. 7,68 EUR 7,68 EUR 8,31 EUR Pri DMFA-založništvo sta v Presekovi knjižnici izšli še dve knjigi istega avtorja • Galilejeva življenja, z zgodbami iz zgodovine astronomije, od Babiloncev do danes, ter • Einsteinova življenja, z zgodbami iz zgodovine fizike, vse od Sokrata do danes. Ta dva stripa je prav tako izvrstno prevedel Alojz Kodre. Sta enako zanimiva, zabavna in poucna in bosta bralcu brez dvoma polepšala dan. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematicna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite: http://www.dmfa-za1ozni stvo.si/ Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553. ■is ■i' ■i' Nagradna križanka exsec i i i i —M grafično oblikovanje. matevž bokauc vrsta dvoživke, J pripradnik severno-britanskega naroda oblika imena petka (tudi priimek) svetle sledi na nočnem nebu, meteorji glavno mesto tajske edvard žitnik franc. ime reke rone okrasni grm keltsko ljudstvo, po katerem se imenuje pogorje na avs.-ital. meji naša pokojna metalka kopja (nataša) 12 obuka zapisa necelega števila filozof in matematik descartes strqpo vzdrzen človek baletnk otrin st. vzdevek naše pesnice berte bojetu 14 andrej pečenko mestu na nizozemskem republika slovenija namestitev na koničast predmet 15 POJOČA TRAVNIŠKA ŽUŽELKA ugotav-uavec istovetnosti južnoameriška država računski znak za množenje sibirsko mesto buzu istoimen. jezera sedni prevod besedne zveze grški dog smrti in kraljestvo mrtvih središče iot. otoka začetno poglavje ali odstavek absolutna, relativna, barvna, srčna, osebna? snovna likovna stvaritev čas vrtljaja planeta okou lastne osi inhalator zevajoča cevasta odprtina nasprotje soprana norveški dramatik (henrik) kratko-noga zver gr. črka fizikalni sistem z vrvico ali 18 tunizu. turistič. igralka kidman samo. všečnež kraljica športov 10 nauk o svetlobi del telesa žuželk svetovna vele5ila H hafnii obmejni kraipod črnim kalom igralka krajnc grm, kida. je barvo za lase tla pod vodo mali am. nošah medved 11 norman hunter uničeno mesto pogube ob mrtvem lovska družina naše vladno letalo prvi, glavni naslov v časopisu izmaelit. narodnost. skupina nabuž. vzhodu raztegljivi del fotoaparata STARORIM. drobna luknjica v snovi polzaie-davska rastlina na drevesih 17 vključitev v igro po zapiku 13 pisan ptič, ki sodi med žolne nevtkal za množenje jadranski otok 3. oseba množine NADLOGA enaki črki velika skupina otoču v tihem oceanu 16 hribovita pokrajina vzahodni grčiji AVTOR MARKO BOKALIč NAGRADNI RAZPIS -> Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 15. oktobra 2013, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli skromno knjižno nagrado. _ XXX