G-■
cs ■
I 62/3 I	V	GEODETSKI VESTNIK |
1 deformacijska analiza po postopku München
/ Vol. 621 st. / No. 31	Vi
deformation analysis: the München approach
Jure Soldo, Tomaž Ambrožič
UDK: 528.3
Klasifikacija prispevka po COBISS.SI: 1.02 Prispelo: 7. 3. 2018 Sprejeto: 10. 8. 2018
DOI: https://doi.org/10.15292/geodetski-vestnik.2018.03.392-414 REVIEW ARTICLE Received: 7. 3. 2018 Accepted: 10. 8. 2018
_ IZVLEČEK
V članku je opisan postopek München, ki je eden izmed postopkov deformacijske analize. Njegove značilnosti so testiranje skladnosti oziroma kongruence geodetske mreže, testiranje preoblikovanja geodetske mreže, izračun deformacijskih parametrov in določitev stabilnosti točk geodetske mreže. V članku je najprej podano teoretično ozadje postopka, nato je uporabljen na primeru simuliranih meritev v dveh terminskih izmerah. Rezultati postopka München na obravnavanem primeru niso bistveno odstopali od rezultatov postopkov Fredericton, Delft, Karlsruhe in Hannover.
ABSTRACT _
In this article the München approach to deformation analysis is presented. The main characteristics of this process are testing of congruence of the geodetic network, testing of affinity of the geodetic network, calculation of deformation parameters and determination of the stability of points. First, the theoretical background of the approach is described. Then it is applied to simulated observations in two epochs. In the example presented, the results of the München approach differ only slightly from the results obtainedfrom the Fredericton, Delft, Karlsruhe and Hannover approaches.
KLJUČNE BESEDE KEY WORDS
deformacijska analiza, postopek München, računski primer deformation analysis, München approach, numerical
example
Jure Soldo, Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS: THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
I 392 |
GEODETSKI VESTNIK
I 62/3 |
1	uvod
Postopek München je razvil W. Welsch na Inštitutu za geodezijo Visoke vojaške šole v Münchnu v Nemčiji (Welsch, 1982; Welsch, 1983; Welsch in Zhang, 1983; Mihailovic in Aleksic, 1994). Bistvo postopka München je analiza deformacij trikotnikov, ki imajo v ogliščih točke geodetske mreže (Sušic et al., 2016b). Parametri, ki opisujejo homogene deformacije objekta (homogene so tiste, ki predpostavljajo, da so na obravnavanem objektu deformacije in zasuki konstantni), so enaki parametrom afine transformacije, ki transformira telo iz deformiranega modela v originalni (Mihailovic in Aleksic, 1994; Ašanin, 1986). Homogeno deformacijo objekta opišemo z elementi afine transformacije koordinat točk geodetske mreže, ki so se premaknile. Deformacijo objekta izračunamo na podlagi velikosti spremembe kotov in dolžin (obojni so neodvisni od koordinatnega sistema) in elipse deformacij (poznane tudi kot Tissotova indikatrisa). Za analizo imamo dve možnosti.
—	Metoda X temelji na primerjanju koordinat točk geodetske mreže dveh terminskih izmer, ki so pod vplivom geodetskega datuma. Vpliv datuma izločimo z datumskimi transformacijami ali transformacijo S.
—	Metoda L se izogne težavam geodetskega datuma. Bistvo je v primerjavi količin, ki so neodvisne od geodetskega datuma, to so smeri oziroma koti in dolžine.
Celoten postopek München lahko razdelimo na šest korakov, ki so v nadaljevanju tudi podrobneje opisani (Ašanin, 1986):
1.	izravnava geodetske mreže kot proste mreže za vsako terminsko izmero posebej in odkrivanje morebitnih grobih pogreškov med meritvami,
2.	transformacija terminskih izmer v isti geodetski datum, če uporabimo metodo X,
3.	testiranje skladnosti geodetske mreže,
4.	testiranje preoblikovanja (nem. Affinität, angl. strain analysis) geodetske mreže,
5.	izračun drugih deformacijskih parametrov in
6.	analiza posamezne točke.
2	teoretično ozadje
2.1 izravnava geodetske mreže kot proste mreže za vsako terminsko izmero posebej in odkrivanje morebitnih grobih pogreškov med meritvami
Najprej moramo zagotoviti, da natančnosti meritev v terminskih izmerah nista statistično značilno različni. Tako moramo uskladiti natančnost kotnih in dolžinskih meritev (Ambrožič, 2004). Nato moramo iz meritev izločiti grobo pogrešena merjenja. V tem koraku uporabimo splošno poznane postopke določanja grobo pogrešenih meritev, kot so Baardova, Popeova, danska ali ustrezna druga metoda (Grigillo in Stopar, 2003; Caspary, 1988). Meritve vsake terminske izmere izravnamo kot prosto mrežo z minimalno sledjo matrike kofaktorjev neznank, kot velja za druge postopke deformacijske analize (Ambrožič, 2001). Seveda moramo orientacijske neznanke odstraniti z redukcijo neznank v enačbah popravkov, prav tako moramo reducirati morebitno neznanko zaradi faktorja merila mreže (Van Mierlo, 1978). Če se število točk mreže v terminski izmeri t razlikuje od terminske izmere t2, izločimo koordinatne neznanke nei-dentičnih točk s transformacijo S — razloženo v podpoglavju 2.2 v nadaljevanju.
Jure Soldo,Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS:THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
I 62/3 |
GEODETSKI VESTNIK
Rezultat prvega koraka so: ocenjena vektorja izravnanih koordinat točk x, s pripadajočima matrikama kofaktorjev koordinatnih neznank Q, ,,, referenčni varianci a posteriori enote uteži ct2 = s2 za posamezno izmero (oznako s^ uporabimo v nadaljevanju članka), števili nadštevilnih meritev oziroma pripadajoči prostostni stopnjif in defekt datuma d za pravilno sestavo datumske matrike H.
2.2 Transformacija terminskih izmer v isti datum, če uporabimo metodo X
Če geodetsko mrežo izmerimo v več terminskih izmerah, lahko med seboj primerjamo le identične točke. V obravnavanih izmerah moramo zato neidentične točke izločiti. V prosti mreži določajo geodetski datum vse v izravnavo vključene točke. Če te niso identične v izmerah, se rezultati izravnave posamezne izmere nanašajo na različne geodetske datume. Ker lahko primerjamo med seboj le izmere, ki se nanašajo na isti geodetski datum (pogoj, če uporabimo metodo X), moramo rezultate izmer, ki se nanašajo na drugi geodetski datum, preračunati tako, da datum določajo le identične točke (Ambrožič, 1996).
Za reševanje navedenih nalog lahko uporabimo transformacijo S, saj je uporabno matematično orodje za transformacijo rezultatov izravnave izmere geodetske mreže iz enega v drugi geodetski datum. Enačbe transformacije iz enega v drugi enolično določen datum so Van Mierlo (1978); Marjetič in Stopar (2007); Caspary (1988); Sušic et al. (2017):
xi = S, xj in	(1)
Q- - = S.Q- - ST ,	(2)
i x i	i x j x j i '	y '
kjer so:
x i in x j ... vektorja izravnanih koordinat točk v geodetskem datumu i in j,
s,. = I — H (HTE;H) HTE; ... matrika transformacije S velikosti 2m x 2m (m je število točk v geodetskem datumu i), ki transformira rešitev iz geodetskega datuma j v rešitev v geodetskem datumu i, Q x x in Q,. ... matriki kofaktorjev koordinatnih neznank v geodetskem datumu i in j, I ... enotska matrika velikosti 2m x 2m,
H ... datumska matrika velikosti 2m x d (dje defekt datuma) — njeno sestavo glej v Marjetič in Stopar (2007); Marjetič et al. (2012),
E. ... matrika velikosti 2m x 2m, ki ima izvendiagonalne elemente enake 0, na diagonali pa so vrednosti 1 samo na tistih mestih, ki pripadajo posamezni koordinatni komponenti točke v geodetskem datumu i, sicer so druge vrednosti tudi na diagonali tudi 0.
Ko imamo vse terminske izmere izravnane v istem geodetskem datumu, nadaljujemo deformacijsko analizo s testiranjem homogenosti natančnosti meritev obravnavanih izmer, kar naredimo s testiranjem hipoteze o homogenosti natančnosti meritev v dveh izmerah, kar je opisano v literaturi (Ambrožič, 2001; Ašanin, 1986; Mihailovic in Aleksic, 1994; Sušic et al., 2015; Sušic et al., 2016a; Vrce, 2011). Po testiranju izračunamo novo oceno za referenčno varianco a posteriori (enotno vrednost iz obravnavanih terminskih izmer) z izrazom:
Jure Soldo, Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS: THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
| 394 |
GEODETSKI VESTNIK | 62/3 |
r1 PU,+ vTPll2 v2_ f 1 + f2s2
f + f f
kjer so:
(3)
Yj in v2 ... vektorja popravkov meritev po izravnavi predhodne in tekoče terminske izmere v trenutkih tx in t2,
Pu in Pu ... matriki uteži meritev v izravnavi predhodne in tekoče terminske izmere, f in f ... števili nadštevilnih meritev v predhodni in tekoči terminski izmeri, s j2 in s22 ... referenčni varianci a posteriori po izravnavi predhodne in tekoče terminske izmere, f = f + f ... skupno število nadštevilnosti meritev v obeh izmerah.
Rezultat drugega koraka so: ocenjena vektorja izravnanih koordinat identičnih točk X; s pripadajočima matrikama kofaktorjev koordinatnih neznank Qx x, ki se nanašata na isti geodetski datum, in ocena za referenčno varianco a posteriori s2.
2.3 Testiranje skladnosti geodetske mreže
S testiranjem skladnosti oziroma kongruence geodetske mreže med obravnavanima terminskima izmerama poskušamo ugotoviti, ali je prišlo do premikov in deformacij objekta. Primerjani geodetski mreži sta skladni/kongruenčni, če lahko ob sicer identični geometriji mreže pojasnimo koordinatne razlike samo z upoštevanjem mej natančnosti geodetskih meritev. Testiranje skladnosti opravimo s testi matematične statistike (Ašanin, 1986; Mihailovic in Aleksic, 1994).
Sestavimo ničelno in alternativno hipotezo, ki sta enaki pri metodah X in L (Welsch, 1983; Welsch in Zhang, 1983; Ašanin, 1986):
H0 : E(Xj) = E(x;2) oz. E(u) = 0 ... koordinate vseh točk v mreži se med dvema terminskima izmerama
niso spremenile oziroma se geodetska mreža, v obeh izmerah sestavljena iz identičnih točk, ujema v obeh izmerah in	(4)
Ha : E(Xj) ^ E(X2) oz. E(u) ^ 0 ... mreža, opisana v H0, je spremenila geometrijo in nastale so deformacije.
Metoda X
Z globalnim testom stabilnosti točk mreže (avtor metode imenuje ta test testiranje skladnosti) primerjamo varianco razlik koordinat točk su2 z oceno za referenčno varianco a posteriori s2. Tvorimo kvadratno formo (Welsch, 1983; Welsch in Zhang, 1983):
qu = u tQu u.	(5)
Varianco razlik koordinat točk mreže izračunamo z enačbo:
r = 4u _ uTQuu
2 _ 1u _ " V_u"	(6)
u fu rang Qu
Jure Soldo,Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS:THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
I 395 |
I 62/3 |
GEODETSKI VESTNIK
kjer so:
u = X2 — Xj ... vektor razlik izravnanih koordinat točk oziroma vektor premikov točk, Qu = Qx x + Qx x ... matriki kofaktorjev koordinatnih razlik, JU = rang Q = u — d ... število linearno neodvisnih elementov v vektorju u, u = 2m ... število koordinatnih neznank (m je število točk v geodetski mreži). Sestavimo testno statistiko:
2
s
T = ^ •	(7)
s
Testna statistika se porazdeljuje po Fisherjevi porazdelitvi z izbrano stopnjo zaupanja 1 — a, z f in f prostostnimi stopnjami. Če je vrednost testne statistike manjša ali enaka kritični vrednosti J^2 < Ff 1—a, potem ničelne hipoteze H0 (4) ne moremo zavrniti in lahko trdimo z verjetnostjo 1 — a, da se niso pojavile statistično značilne deformacije v mreži. Če je vrednost testne statistike večja od kritične vrednosti, potem ničelno hipotezo zavrnemo in lahko trdimo z verjetnostjo 1 — a, da so se v mreži pojavile deformacije.
Metoda L
Dolžine in smeri oziroma koti so od geodetskega datuma neodvisne količine. Ta pristop je zasnovan na spremembah vrednosti meritev, ki jih izračunamo iz izravnanih koordinat točk predhodne in tekoče terminske izmere.
Spremembo vrednosti meritev lahko zapišemo kot (Welsch, 1983; Welsch in Zhang, 1983; Mihailovic in Aleksic, 1994):
dl = I2 — I1,	(8)
kjer sta:
l1 in l2 ... vrednosti meritev, izračunane iz izravnanih koordinat točk predhodne in tekoče terminske izmere v trenutkih t1 in tT
To spremembo (8) lahko zapišemo tudi kot funkcijo premikov točk:
dl = L • u,	(9)
s pripadajočo matriko kofaktorjev:
Qd!=^^	(10)
kjer je:
L =
neznankah.
matrika parcialnih odvodov meritev (iz izravnanih koordinat točk) po koordinatnih
Vrednosti elementov v matriki L so odvisne od vrste meritve.
Jure Soldo, Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS: THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
| 396 |
GEODETSKI VESTNIK	I 62/3 |
a) Če v mreži obravnavamo samo dolžine, so elementi matrike L in vektorja dl oblike:
L = L dD =
dD.. dD.. dD.. dD..
•j	v v	v
dy , dx, dyj dxj
—sint.. — cost.. sint.. cost.. . . . .
vrstica v matriki L, ki se nanaša na dolžino D.., lega navedenih elementov v tej vrstici je določena z vrstnim redom pripadajočih elementov v matriki Q ter	(11)
d = dldD =
D.. — D..
•J2 j
... en element v vektorju dl, ki se nanaša na dolžino D...
(12)
kje
t.. = (t.. + t.. )/2 ... srednja vrednost smernega kota,
'J 'J1 .2	'	°
t- = arctan
jl
y. — y. y. — y j • * ----* — j ... smerna kota iz izravnanih koordinat med točkama P in
in t.. = arctan-
j2
P. v predhodni in tekoči terminski izmeri,
D = a( v. - v. ) +(x. - x. ) in D =<( v. - v ) +(x. - x. ) ... dolžini iz izravnanih koordinat
ji \ v j 1 ' V ji h ) hi \ v j 2 ' \ ji '2 )
med točkama P. in P v predhodni in tekoči terminski izmeri.
b) Če v mreži obravnavamo samo kote, so elementi matrike L in vektorja dl oblike:
L = L da =
da. •j	da. •j	da. •j	da. •j	da. •j	da. •j
	dxi	dy-	dx.	dyk	dxk
costk + costj Dk D.
• k	ij J
( .
smt k sin t j
D D...
cos t j
D--
V v J
''sint,. ^
D
^ cos t. ^
V D ik J
^ sin t.,^
V Dik J
... ena vrstica v matriki L, ki se nanaša na kot a., lega navedenih elementov v tej vrstici je določena z vrstnim redom pripadajočih elementov v matriki Q ter	(13)
d = dlda =
aijk2 aijki
... en element v vektorju dl, ki se nanaša na kot a..,
(14)
kje
t.. = (t.. + t.. )/2 in t., = (t., + t., )/2 ... srednji vrednosti smernih kotov,
ij * iji	¿J2	ik * iki	1^2	'
t., in t., ter t., in t., ... smerni koti iz izravnanih koordinat med točkama P. in P. ter P. in P, v predhodni
i.1 iki i.2 ik2	i J	1 ki
in tekoči terminski izmeri,
D.. =
= (D + D )/2 in t = (D + D )/2 . srednji vrednosti dolžin,
* Ji	..2	'k * 'ki	'¿2	'
D., in D., ter D., in D.. ... dolžine iz izravnanih koordinat med točkama P. in P. ter P. in P, v predhodni
•Ji	'¿i	J2	'¿2	'J	•	ki
Jure Soldo,Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS:THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
I 397 |
| 62/3 | GEODETSKI VESTNIK
^ in tekoči terminski izmeri,
a... = t., - t.. in a, = t., - t.....kota na točki P v predhodni in tekoči terminski izmeri.
g jki iki iji jk2 j2 1
s c) Če v mreži obravnavamo dolžine in kote, so elementi matrike L in vektorja dl oblike:
L=
dl =
dD L da dl
dD
dl
da
(15)
(16)
Tvorimo kvadratno formo:
= dl Q - dL	(17)
Če v kvadratno formo (17) vstavimo enačbi (9) in (10), dobimo:
qA = uTLt (LQuLT Lu.	(18)
Če matriko L razcepimo s singularnim razcepom SVD na L mxn = U mx„£mn V nnn in jo vstavimo v enačbo (18), lahko zapišemo:
qdl = uT (USVT)T (USV Q (USVT)- USV u,
qd l = uT V^TUT (USV Qu V^TUT)- USV u,
qd l = uT VSTUT UT-ST-V-Qu V^U- USV u in končno
i = uT Q u = qa,	(19)
kjer so:
U in V ... ortogonalni kvadratni matriki velikosti m x m oziroma n x n,
mxm	nxn	O
-, ••• 0

CT
O O O
. pravokotna diagonalna matrika singularnih vrednosti matrike L velikosti m x n,
ki ima inverzno matriko =
1/ct
O — 1/ct — O
velikosti n x m in
velja: UTUT- = I, STST- = I, VV- = I, U-U = I, S-S = I in VT-VT = I.
Iz enačbe (19) vidimo, da dobimo enako vrednost za qd l in qu, kvadratni formi (5) in (19) sta neodvisni od datuma mreže (Mihailovic in Aleksic, 1994).
j 398 j
Jure Soldo, Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PC
MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS
APPROACH j 392-414 j
GEODETSKI VESTNIK
I 62/3 |
Analogno kot pri metodi X tudi pri metodi L primerjamo varianco spremembe vrednosti meritev s2 z oceno za referenčno varianco a posteriori s2 z globalnim testom. Varianco spremembe vrednosti meritev v mreži izračunamo z enačbo (Welsch, 1983; Welsch in Zhang, 1983):
si=q-=A T Q -*.	(20)
A rangQ d
Sestavimo testno statistiko:
2
T = -f-.	(21)
s2
Testna statistika se porazdeljuje po Fisherjevi porazdelitvi z izbrano stopnjo zaupanja 1 — a, z f in fdl, prostostnimi stopnjami. Če je vrednost testne statistike manjša ali enaka kritični vrednosti J^2 < Ff, f 1—a potem ničelne hipoteze H0 (4) ne moremo zavrniti in lahko trdimo z verjetnostjo 1 — a, da se niso pojavile statistično značilne deformacije v mreži. Če je vrednost testne statistike večja od kritične vrednosti, potem ničelno hipotezo zavrnemo in lahko trdimo z verjetnostjo 1 — a, da so se pojavile deformacije v mreži.
Testirane skladnosti geodetskih mrež v metodi München je popolnoma enako kot globalni test stabilnosti točk mreže v dveh izmerah v metodi Hannover (Ambrožič, 2001; Ašanin, 1986; Mihailovic in Aleksic, 1994; Sušic et al., 2015; Sušic et al., 2016a; Sušic et al., 2017; Vrce, 2011) in je enako, če uporabimo metodo X ali metodo L.
Če v tem koraku ugotovimo, da so nastale statistično značilne deformacije, lahko preidemo na naslednji korak deformacijske analize, sicer analizo končamo.
2.4 Testiranje preoblikovanja geodetske mreže
Za boljši vpogled v nastale deformacije moramo geodetsko mrežo deliti na trikotnike. Za testiranje preoblikovanja posameznega trikotnika (nem. Affinität, ang. strain analysis) uporabimo tehniko deformacijske analize (Ašanin, 1986). Primerjani geodetski mreži sta afini, ko lahko ob sicer identični konfiguraciji mreže pojasnimo koordinatne razlike samo z afinim preoblikovanjem mreže.
Sestavimo ničelno in alternativno hipotezo, ki sta enaki pri metodah X in L (Ašanin, 1986; Welsch in Zhang, 1983):
H0: E(u — Hup) = 0 ... trikotnik ni spremenil oblike med obravnavanima izmerama in	(22)
H' : E(u — Hup) ^ 0 ... oblika trikotnika se je med obravnavanima izmerama spremenila.
Metoda X
V skladu s teorijo homogenih deformacij za majhne premike in deformacije zapišemo linearno zvezo med koordinatami točk mreže iz dveh terminskih izmer kot (Welsch, 1983; Mihailovic in Aleksic, 1994; Sušic et al., 2016b):
x2 = F • Xj +1,	(23)
kjer so:
Jure Soldo,Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS:THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
| 399
I 62/3 |
GEODETSKI VESTNIK
x1 in x2 ... vektorja izravnanih koordinat točk iz izravnave predhodne in tekoče izmere,
F =
t =
Sx,
Sx2 Sx2
dh dh. a^i dfi
... odvodi koordinat točk tekoče izmere glede na predhodno izmero,
... vektor komponent translacije togega telesa (objekta) v smereh koordinatnih osi.
Če od zgornje enačbe odštejemo vektor xp dobimo vektor premikov točk: u = x2 - x1 = (F -1) • x1 +1 in u = dF • x, +1,
kjer je:
dF = ( F -1 ) =
du
Sx1
du x dux
du du
y y
... deformacijska matrika (gradient premikov).
(24)
(25)
Gradient premikov d F je nesimetrična matrika, ki jo razstavimo na vsoto matrik E in d R:
dF = 1 (dF + dFT )+1 (dF - dFT ) in
d F = E + d R, kjer sta:
(26)
E =
du x dx1
1 (du du,
1 (du du y
dR =
2 l 5y1 SX1 0
1 (duv du
2 l 3y1 dx1
du
_y_
dX1 _
1	(du y du x
2	l dX1 dx1
0
. simetrična deformacijska matrika,
... antisimetrična matrika rotacije.
2 l SX1 5y1 Zgornji matriki lahko zapišemo tudi drugače:
E=
dR =
0 -a a 0
Če vstavimo enačbo (26) v enačbo (24), dobimo (Welsch, 1983; Welsch in Zhang, 1983; Labant et al., 2014):
Jure Soldo, Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS: THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
| 400 |
u = ( E + dR )• x1 +1 1
GEODETSKI VESTNIK | 62/3 |
(27) S
Ux	f	e e xx xy		" 0	-a		x1		tx
			+		0			+	
_uy _	\	e e _ •y yy _		a			_ yi _		t y _
Komponenti premikov posamezne točke lahko zapišemo tudi kot:
Ux = X1 ■ exx + yi ■ exy	-yi + fx in
U, =	X1 ■ ey + A ■ + X1 *f
Te enačbe lahko zapišemo v matrični obliki:
u = H • p,
u i
kjer so:
H =
0 -
7i
0 • yi
1 0 0 1
p = H-1 • u.
Tvorimo kvadratno formo:
i = uTQuu.
Varianco razlik koordinat točk trikotnika izračunamo z enačbo
2
s =
u
qu
u tQ-u u T Q-u
fu rang Qu	n
Jure Soldo, Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PC
(33)
(34)
(35)
MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS
APPROACH| 392-414|
(28) g
(29)
(30)
... matrika deformacijskega modela, ki povezuje deformacijske
parametre s premiki točk,	(31)
pT = [e e e (Q t t] ... vektor deformacijskih parametrov,	(32)
A	xx xy yy	x y	'	i	* '
e in e . normalni deformaciji v smeri koordinatne osi x in y,
xx yy	'
e ... strižna deformacija (= e ),
xy	yx
co ... kot rotacije,
tx in t' . translaciji v smeri koordinatne osi x in y. Ko obravnavamo sistem (30), imamo tri možnosti:
a)	Ko obravnavamo eno točko, imamo dve enačbi, torej (28) in (29) — (dve vrstici v Hu v (31)), in šest neznank (deformacijskih parametrov v enačbi (32)). Takšen sistem (30) nima rešitve.
b)	Ko obravnavamo trikotnik, imamo šest enačb (tri enačbe (28) in tri enačbe (29)) s šestimi neznankami in eno rešitev. Iz enačbe (30) izračunamo neznanke, torej deformacijske parametre, z naslednjo enačbo:
| 401 |
I 62/3 |
GEODETSKI VESTNIK
kjer je:
n ... število stranic v trikotniku (= 3).
Sestavimo testno statistiko:
2
T2 = %,	(36)
s
Testna statistika se porazdeljuje po Fisherjevi porazdelitvi z izbrano stopnjo zaupanja 1 — a, z f in n prostostnimi stopnjami. Če je vrednost testne statistike manjša ali enaka kritični vrednosti T22 < F^ n 1-a ,
potem ničelne hipoteze H0 (22) ne moremo zavrniti in lahko trdimo z verjetnostjo 1 — a, da trikotnik statistično ni spremenil oblike. Če je vrednost testne statistike večja od kritične vrednosti, potem ničelno hipotezo zavrnemo in lahko trdimo z verjetnostjo 1 — a, da so se pojavile deformacije v trikotniku.
c) Ko obravnavamo večkotnik, imamo merjenih več količin (ki jih izračunamo iz izravnanih koordinat točk), kot je nujno potrebno (na primer vse dolžine in kote v večkotniku), potem imamo več enačb, kot je neznank. Rešitev dobimo z metodo najmanjših kvadratov (Welsch, 1983; Welsch in Zhang, 1983; Mihailovic in Aleksic, 1994):
u + vu = Hu • u s pripadajočo Pu,	(37)
kjer sta:
vu . vektor popravkov koordinatnih razlik točk, P = Q— ... matrika uteži koordinatnih razlik točk. Iz izravnave dobimo:
p = (HT P H)- • HT P u.	(38)
u u u	u u
Tvorimo kvadratno formo po naslednji enačbi:
fu+vu = (u + Vu)TQu (u + Vu)	(39)
in ne po enačbi qv = vj Pu vu, ki jo zapišejo Welsch (1983) - enačba (19), Welsch in Zhang (1983) -enačba (3-8) in Mihailovic in Aleksic (1994) - enačba (10.2.24), ter varianco popravljenih koordinatnih razlik točk:
=	= ( u+vu )T	u+vu)	(40)
P fp	rangQu
Sestavimo testno statistiko:
2
T2 = -P-.	(41)
1 21 2 y ' S
Testna statistika se porazdeljuje po Fisherjevi porazdelitvi z izbrano stopnjo zaupanja 1 — a, z f in f prostostnimi stopnjami. Če je vrednost testne statistike manjša ali enaka kritični vrednosti^ ^ F^^ 1-a ,
potem ničelne hipoteze H0 (22) ne moremo zavrniti in lahko trdimo z verjetnostjo 1 — a, da večkotnik
Jure Soldo,Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS:THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
I 402 |
GEODETSKI VESTNIK
I 62/3 I
statistično ni spremenil oblike. Če je vrednost testne statistike večja od kritične vrednosti, potem ničelno hipotezo zavrnemo in lahko trdimo z verjetnostjo 1 — a, da so se pojavile deformacije v večkotniku.
Metoda L
Uporabimo povezavo med dolžinskimi deformacijami e, kotnimi spremembami da in deformacijskimi parametri (Welsch, 1983; Welsch in Zhang, 1983; Mihailovic in Aleksic, 1994; Acar, 2010; Deniz in Ozener, 2010):
e.. = e cos2t.. + e sin2t.. + e sin21.. in
ij xx	ij xy	ij yy	ij
da..,= e (cos2t.. -cos2t..)+1 (e — e )(sin2t., -sin2t..),
ijk xy y 'k j j i yy xx 'k j '
kjer so:
D. -D.
—--— ... dolžinska deformacija (specifična sprememba dolžine),
da... = a.., - a.., ... kotna sprememba,
i]k	ijk2	i]K1	i
(42)
(43)
(44)
(45)
D =
\¡( y, -y hf +( xh - x', )2 in D'j2 =\j( yj2 — y'2 )2 +( xj2 — x'2 )2. dolžini iz izravnanih koordinat
med točkama P. in P. v predhodni in tekoči terminski izmeri,
a.., = t., — t.. in a.., = t., — t.....kota na točki P. v predhodni in tekoči terminski izmeri,
ijki iki iji	ijk2	¿J2	1
t., in t., ter t., in t., ... smerni koti iz izravnanih koordinat med točkama P. in P. ter P. in P, v predhodni
¿Ji iki ij2 1^2	1 J	1 k 1
in tekoči terminski izmeri,
Enačbe (42) in (43) lahko zapišemo v matrični obliki:
e = H • Pi
s pripadajočo matriko kofaktorjev:
Q = LQuLT = o,
kjer so:
e = e. =
e = e , =
... en element v vektorju dolžinskih deformacij, če obravnavamo dolžine,
da.
... en element v vektorju kotnih sprememb, če obravnavamo kote,
(46)
(47)
(48)
(49)
H = H =
ena vrstica v matriki deformacijskega modela, ki povezuje
deformacijske parametre z dolžinskimi deformacijami, če obravnavamo dolžine, H = H = 2 (-sin2t k + Sin2t -) (cos2t.k - cos2ti-) 2 (s'm2t.k - sin2t.j)
(5G)
. ena vrstica v matriki
Jure Soldo, Tomaž Ambrožič j DEFORMACIJSKA ANALIZA PO
MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS: THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
j 403 j
e
j
I 62/3 |
GEODETSKI VESTNIK
deformacijskega modela, ki povezuje deformacijske parametre s kotnimi spremembami, če obravnavamo kote,	(51)
p ,T = [e e e 1 ... vektor deformacijskih parametrov.	(52)
I 1 L xx xy yy*	/T	v '
Ko obravnavamo sistem (46), imamo tri možnosti:
a) Ko obravnavamo eno dolžinsko deformacijo (44) ali eno kotno spremembo (45), imamo eno vrstico v matriki deformacijskega modela (50) oziroma (51). Takšen sistem (46) nima rešitve.
b1) Ko obravnavamo dolžinske deformacije v trikotniku, imamo tri vrstice v matriki deformacijskega modela (saj imamo tri neodvisne dolžine v trikotniku) in eno rešitev sistema (46), ki jo izračunamo z naslednjo enačbo:
Pi = H-1 • e.	(53)
Tvorimo kvadratno formo:
qe = dlTQ-dl (ki je enaka kvadratni formi qA — enačba (17))	(54)
in varianco dolžinskih in kotnih sprememb
2 qe dlTQ-dl dlTQ-dl ,, . . ,	, , . . 02 v,
s = — =-—— =-—— (ki je enaka varianci spremembe vrednosti meritev sdl — enačba
e /e rang Qe	n
(20)),	(55)
kjer je:
n ... število stranic v trikotniku (= 3). Sestavimo testno statistiko:
S 2
T22 = -2 (ki je enaka testni statistiki T2 — enačba (21)).	(56)
Testna statistika se porazdeljuje po Fisherjevi porazdelitvi z izbrano stopnjo zaupanja 1 — a, z f in n prostostnimi stopnjami. Če je vrednost testne statistike manjša ali enaka kritični vrednosti T^ Ff,n 1 — a, potem ničelne hipoteze Ho (22) ne moremo zavrniti in lahko trdimo z verjetnostjo 1 — a, da trikotnik statistično ni spremenil oblike. Če je vrednost testne statistike večja od kritične vrednosti, potem ničelno hipotezo zavrnemo in lahko trdimo z verjetnostjo 1 — a, da so se pojavile deformacije v trikotniku.
b2) Ko obravnavamo kotne spremembe v trikotniku, imamo samo dva neodvisna kota — tretji je od njiju odvisen, potem lahko za posamezen trikotnik zapišemo le dve enačbi (43) in sistem (46) še vedno nima rešitve. Matrika He je singularna, njen rang He = 2 .
c) Če imamo več dolžinskih deformacij in kotnih sprememb, kot je nujno potrebno (na primer tri dolžinske deformacije in tri kotne sprememb v trikotniku), potem imamo več enačb, kot je neznank. Rešitev dobimo z metodo najmanjših kvadratov (Welsch, 1983; Welsch in Zhang, 1983; Mihailovic in Aleksic, 1994)
e + ve = He • p1 s pripadajočo Pe,	(57)
Jure Soldo, Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS: THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
| 404 |
GEODETSKI VESTNIK
I 62/3 |
kjer sta:
ve ... vektor popravkov dolžinskih deformacij in kotnih sprememb, Pe = Q- ... matrika uteži dolžinskih deformacij in kotnih sprememb. Iz izravnave dobimo:
p, = (HTP H )"• HTPe.	(58)
Tvorimo kvadratno formo po naslednji enačbi:
qe+ve = d lTQ;d 1 = qu+vu	(59)
in ne po enačbi qv = vj( Qd1 vd1 = vjj P vd1= qv , ki jo zapišejo Welsch (1983) - enačba (32), Welsch in Zhang (1983) - enačba (3-13) ter Mihailovic "in Aleksic (1994) - enačba med (10.3.17) in (10.3.18), ter varianco popravljenih dolžinskih in kotnih sprememb:
^ 2 = ^e+v. = d T	(60)
^ /p, rang Qe . Sestavimo testno statistiko:
2
T2 = ^P-.	(61)
1 22 2 S
Testna statistika se porazdeljuje po Fisherjevi porazdelitvi z izbrano stopnjo zaupanja 1 — a, z f in fp prostostnimi stopnjami. Če je vrednost testne statistike manjša ali enaka kritični vrednosti ^ Ff 1 — a, potem ničelne hipoteze H0(22) ne moremo zavrniti in lahko trdimo z verjetnostjo 1 — a, da trikotnik statistično ni spremenil oblike. Če je vrednost testne statistike večja od kritične vrednosti, potem ničelno hipotezo zavrnemo in lahko trdimo z verjetnostjo 1 — a, da so se pojavile deformacije v trikotniku.
Rezultati, izračunani z metodo L, naj bi bili identični rezultatom, izračunanim z metodo X.
V	tem koraku izračunamo osnovne deformacijske parametre v posameznem trikotniku. V tem koraku tudi ugotovimo, ali so nastale statistično značilne deformacije v trikotniku. Nato spremenimo oblike trikotnikov in ponovimo ta korak (testiranje preoblikovanja geodetske mreže). Tako lahko izračunamo osnovne deformacijske parametre za nekaj različnih oblik trikotnikov v obravnavani geodetski mreži. Na koncu za izbrano geometrijo geodetske mreže izračunamo še druge deformacijske parametre, ki so naslednji korak postopka München.
2.5 izračun drugih deformacijskih parametrov
Druge deformacijske parametre izračunamo na podlagi osnovnih parametrov z naslednjimi enačbami Welsch (1983); Mihailovic in Aleksic (1994); Ašanin (1986); Acar (2010); Labant et al. (2014):
Y	= e — e ... čista strižna deformacija,
'1 yy xx	'
Y2 = 2ey ... inženirska strižna deformacija,
A = e + e ... dilatacija, xx yy
Jure Soldo,Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS:THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
I 405 |
I 62/3 |	GEODETSKI VESTNIK
	Yi		-1	0	1
oz.	Y2	=	0	2	0
	A		1	0	1
aü P2 = H2 • Pi in
(62)
Y = VY2 + • • • skupna strižna deformacija,
e = — (e^ + + ee) = — (A + y) • • • maksimalna normalna deformacija, ^ = — (e + e — ee) = — (A — y) • • • minimalna normalna deformacija,
ee2 =(exx - eyy ) + 4V
tan25 = -
Y
2Y 2Y
— — 0
1
2 1 2
ali p3 = H, • p2 ter
Y_ Y
Zl 2y
-h. 2y
—-— = Y _ smerni kot maksimalne normalne deformacije,
(63)
-yy Yl
T = 3 + 45° ... smerni kot maksimalne strižne deformacije.
Po analizi trikotnikov in izračunanih vseh deformacijskih parametrih opravimo za izbrano obliko trikotnikov še zadnji korak postopka München, to je analizo morebitne spremembe položaja posamezne točke v geodetski mreži.
2.5 Analiza posamezne točke
S testiranjem preoblikovanja geodetske mreže, ki jo razdelimo na trikotnike, ugotovimo, kateri trikotniki so statistično značilno spremenili obliko, medtem ko o samih točkah ne vemo veliko. Za odkrivanje točk, ki so se statistično značilno premaknile, testiramo točko po točko glede na preostale n — 1 točke geodetske mreže. Testiranje izvedemo s testiranjem sprememb vseh n — 1 (datumsko neodvisnih) dolžin, ki povezujejo posamezno točko s sosednjimi točkami (Ašanin, 1986).
Sestavimo ničelno in alternativno hipotezo (Welsch, 1982; Ašanin, 1986):
H0: identična točka v obeh izmerah ni spremenila položaja med dvema izmerama in	(64)
H' : identična točka v obeh izmerah je spremenila položaj med dvema izmerama. Sestavimo testno statistiko (Welsch, 1982; Ašanin, 1986):
T2 =
1 23
dl tQ
(65)
(n -1) i2
kjer so:
dl ... vektor razlik dolžin med izbrano točko in preostalimi n — 1 točkami geodetske mreže — enačba (12),
Jure Soldo, Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS: THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
| 406 |
GEODETSKI VESTNIK	I 62/3 |
Q^ = LQuLT ... pripadajoča matriko kofaktorjev - enačba (10),
L =
ba (11).
... matrika parcialnih odvodov meritev po koordinatnih neznankah z n — 1 vrsticami — enač-
Testna statistika se porazdeljuje po Fisherjevi porazdelitvi z izbrano stopnjo zaupanja 1 — a, z fin n — 1 prostostnimi stopnjami. Če je vrednost testne statistike manjša ali enaka kritični vrednosti T^ ^ 1—a potem ničelne hipoteze H0 (64) ne moremo zavrniti in lahko trdimo z verjetnostjo 1 — a, da obravnavana točka ni spremenila položaja med dvema izmerama. Če je vrednost testne statistike večja od kritične vrednosti, potem ničelno hipotezo zavrnemo in lahko trdimo z verjetnostjo 1 — a, da je obravnavana točka spremenila položaj med dvema izmerama.
3 RAČUNSKI PRIMER
Postopek München uporabimo na podatkih iz literature (Mihailovic in Aleksic, 1994). Na istih podatkih smo že preizkusili postopke Hannover (Ambrožič, 2001), Karlsruhe (Ambrožič, 2004), Delft (Marjetič et al., 2012) in Fredericton (Vrečko in Ambrožič, 2013), zato skice mreže, vhodnih podatkov za izravnavi ter izravnanih koordinat točk predhodne in tekoče izmere ne podajamo ponovno. Pri vseh testih izberemo stopnjo značilnosti testa a = 0,05.
V prvem koraku postopka München moramo izravnati geodetski mreži kot prosti mreži za vsako terminsko izmero posebej in odkriti morebitno prisotne grobo pogrešene meritve. V preglednici 1 podajamo nekaj rezultatov izravnave, drugi so v Ambrožič (2001), Ambrožič (2004) in Marjetič et al. (2012). Ker smo uporabili simulirane meritve, nimamo prisotnih grobo pogrešenih meritev (glej tudi Marjetič et al., 2012).
Preglednica 1: Rezultati prvega koraka postopka München.
	Predhodna izmera		Tekoča izmera
	i = 1		i = 2
	5 mm		5 mm
CT 1" 1"			
II .	0,9699		1,1562
n.	48		48
u.	14 + 7		14 + 7
d.	3		3
f	30		30
s2; enačba (3)		1,1387	
f; enačba (3)		60	
Drugega koraka ne uporabimo, saj transformacija terminskih izmer v isti geodetski datum ni potrebna, ker primerjamo med seboj geodetski mreži z identičnimi točkami in izmeri, ki se nanašata na isti geodetski datum.
Postopek München nadaljujemo s testiranjem skladnosti obravnavane geodetske mreže, kar je tretji korak postopka. Testiranje skladnosti naredimo z metodama X in L.
Jure Soldo,Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU 
MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS:THE MÜNCHEN 
APPROACH | 392-414 |
I 407 |
|62/3|
GEODETSKI VESTNIK
^ Z metodo X izračunamo po enačbi (7) velikost testne statistike T^2 = 141,29. Ker je testna statistika večja ¡= od kritične vrednosti pri izbrani stopnji značilnosti testa (F60 11 095 = 1,95), zavrnemo ničelno hipotezo ¡s (4) in trdimo, da je mreža spremenila geometrijo med dvema terminskima izmerama.
ss Z metodo L izračunamo velikost testne statistike T12 po enačbi (21) na nekaj načinov: Ü — v mreži upoštevamo samo dolžine: matriko LdD, velikosti 12 x 14 (saj imamo v mreži 12 dolžin),
sestavimo po enačbi (11), vektor dlD, velikosti 12 x 1, sestavimo po enačbi (12), s — v mreži upoštevamo samo kote: matriko La, velikosti 18 x 14 (saj imamo v mreži 18 kotov), sestavimo po enačbi (13), vektor dlda, velikosti 18 x 1, sestavimo po enačbi (14), - v mreži upoštevamo dolžine in kote: matriko L, velikosti 30 x 14 (saj imamo v mreži 12 dolžin in
18 kotov), sestavimo po enačbi (15), vektor dl, velikosti 30 x 1, sestavimo po enačbi (16), in dobimo po vseh treh načinih enak rezultat T12 = 141,29 kot z metodo X. Ničelno hipotezo (4) seveda zavrnemo in trdimo, da je mreža spremenila geometrijo med dvema terminskima izmerama. Testna statistika T12 je enaka globalnemu testu stabilnosti točk mreže v dveh izmerah v metodi Hannover (Ambrožič, 2001).
V četrtem koraku postopka München testiramo preoblikovanje geodetske mreže, izračunamo torej deformacije. Geodetsko mrežo razdelimo na trikotnike in testiramo vsakega zase.
^ Za izračun deformacij z metodo X tvorimo matriko Hu — enačba (31) velikosti 6 x 6 (saj imamo v trikotniku tri točke s šestimi koordinatami), z njo izračunamo najprej deformacijske parametre po enačbi (33) in nato testno statistiko po enačbi (36). Rezultate obravnave prve geometrije trikotnikov podajamo v preglednici 2, sliko prve geometrije trikotnikov pa na sliki 1. Izračunamo tudi kritično vrednost F60 3 0 95 = 2,76 in jo primerjamo s testnimi statistikami. Ker so vrednosti testnih statistik v vseh trikotnikih večje od kritične vrednosti, ničelno hipotezo (22) zavrnemo in trdimo, da so se pojavile deformacije v vseh trikotnikih.
Preglednica 2: Deformacijski parametri, testna statistika in odločitev o zavrnitvi ničelne hipoteze (22) z uporabo metode X, ko obravnavamo prvo geometrijo trikotnikov.
A 1	A 2	A 3	A 4	A 5	A 6
ex [10-6]	46,19	— 54,19	20,50	— 57,46	— 39,65	86,78
e [10-6]
xy
e []
yy
a ["
76,48
- 0,77
- 57,18
17,02
11,85
33,96
e [10-6] yy	— 18,70	— 8,92	0, 71	— 1,65	25,68	13,46
- 4,0
13,2
3,0
- 4,8
- 8,7
0,6
tx [m]	— 0,186	0,235	0,111	0,135	0,031	— 0,162
t [m]	— 0,049	— 0,075	0,102	0,101	0,041	— 0,061
T2 21	336,48	62,03	116,79	95,96	56,68	229,98
zavrnjena	zavrnjena	zavrnjena	zavrnjena	zavrnjena	zavrnjena
Ho
Jure Soldo,Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS:THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
408 |
GEODETSKI VESTNIK
I 62/3 |
i_i—i—>—i
O 40 O m
Slika 1: Razpored trikotnikov v prvi geometriji geodetske mreže.
Enake vrednosti deformacijskih parametrov izračunamo, če uporabimo enačbo (38). Testna statistika ^ po (41) je enaka testni statistiki (36).
Izračun deformacij z metodo L naredimo na več načinov:
—	v trikotniku upoštevamo samo dolžinske deformacije: deformacijske parametre p1 v enačbi (52) izračunamo z enačbo (53), tako da matriko He = He velikosti 3 x 3 (saj imamo v trikotniku tri dolžine) sestavimo po enačbi (50), vektor e = e velikosti 3 x 1 sestavimo po enačbi (48), testno statistiko r222 pa po enačbi (56) — za posamezen trikotnik izračunamo deformacijske parametre in testno statistiko enake vrednosti kot z metodo X, kar prikazujemo v preglednici 2,
—	v trikotniku upoštevamo samo kotne spremembe: treh deformacijskih parametrov p1 za posamezen trikotnik ne moremo izračunati, saj imamo v trikotniku samo dve neodvisni kotni spremembi v enačbi (49),
—	v trikotniku upoštevamo dolžinske deformacije in kotne spremembe: če sestavimo matriko He iz obeh delov H (50) in H (51), je H = [H H ]T velikosti 6 x 3 (saj imamo v trikotniku tri dolžine in
ee	eda	e	ee eda
tri kote), vektor e prav tako iz obeh delov e? (48) in eda (49), izračunamo deformacijske parametre z enačbo (58), testno statistiko pa po enačbi (61) — za posamezen trikotnik izračunamo deformacijske parametre in testno statistiko enake vrednosti kot z metodo X, kar prikazujemo v preglednici 2. Trikotnike v geodetski mreži tvorimo še na več različnih načinov, v nadaljevanju prikazujemo na sliki 2 le dve geometriji trikotnikov, rezultate obravnave druge in tretje geometrije trikotnikov podajamo v preglednici 3. Ker sta trikotnika 1 in 6 v drugi geometriji enaka trikotnikoma 6 in 3 v prvi geometriji ter trikotnika 1 in 6 v tretji geometriji enaka trikotnikoma 1 in 4 v prvi geometriji, rezultatov ponavljajočih se trikotnikov v preglednici 3 ne prikazujemo.
Jure Soldo,Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS:THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
| 409
I 62/3 |
GEODETSKI VESTNIK
Preglednica 3: Deformacijski parametri, testna statistika in odločitev o zavrnitvi ničelne hipoteze (22) z metodo X, ko obravnavamo drugo in tretjo geometrijo trikotnikov.
Druga geometrija	Tretja geometrija
A 2	A 3	A 4	A 5	A 2	A 3	A 4	A 5
	158,66	- 161,27	- 5,80	- 140,75	- 28,08	- 14,58	26,76	2,38
e [10-6] xy	- 16,92	82,79	0,43	- 4,02	1,59	- 58,59	- 12,01	79,05
e [10-6] yy	- 7,75	- 18,70	1,32	34,79	- 68,24	75,42	- 18,44	85,25
m ["]	13,8	- 2,7	- 2,3	- 15,7	5,1	13,5	3,5	- 17,9
tx [m]	- 0,119 0,021	- 0,006	0,186 0,126	0,315 -0,042 - 0,212
t [m]	- 0,053 - 0,062	0,020	0,118 0,081 - 0,187 0,003 - 0,088
y
T222	278,24	286,17	0,37	98,21	110,69	136,29	33,96	249,07
H0	zavrnjena	zavrnjena	NI zavrnjena	zavrnjena	zavrnjena	zavrnjena	zavrnjena	zavrnjena
6 40 0
Slika 2: Razpored trikotnikov v drugi in tretji geometriji geodetske mreže.
Na podlagi rezultatov, podanih v preglednicah 2 in 3, lahko ugotovimo, da četrti trikotnik v drugi geometriji geodetske mreže statistično ni spremenil oblike med obravnavanima izmerama.
Preglednica 4: Drugi deformacijski parametri za drugo geometrijo geodetske mreže.
A 1	A 2	A 3	A 4	A 5	A 6
Y [10-6]	- 73,32	- 166,41	142,57	7,12	175,54	- 19,79
Y2 [10-6]	67,91	- 33,84	165,59	0,86	- 8,05	- 114,36
A [10-6]	100,24	150,92	- 179,97	- 4,47	- 105,95	21,21
Y[10-6]	99,94	169,82	218,51	7,17	175,72	116,06
et [10-6]	100,09	160,37	19,27	1,35	34,89	68,63
e2 [10-6]	0,15	- 9,45	- 199,24	- 5,82	- 140,84	- 47,42
» [°]	159	5	24	3	179	40
| 410 |
T [°]	24	50	69	48	44	85
V naslednjem, petem, koraku postopka München izračunamo še druge deformacijske parametre za drugo
Jure Soldo, Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS: THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
GEODETSKI VESTNIK	I 62/3 |
geometrijo geodetske mreže, ki jih podajamo v preglednici 4.
Na sliki 3 grafično prikazujemo normalne deformacije za drugo geometrijo geodetske mreže (Talich, 2007). V trikotnikih, kjer se je oblika med obravnavanima izmerama statistično značilno spremenila, smo narisali piko - tako je trikotnike označil tudi avtor postopka (Welsch, 1982; Welsch, 1983; Welsch in Zhang, 1983).
t 2
Slika 3: Normalne deformacije v drugi geometriji geodetske mreže.
V zadnjem koraku opravimo analizo posamezne točke tako, da ugotovimo, ali se je točka statistično značilno premaknila. Izračunamo testne statistike (65) za posamezno točko glede na preostale n - 1 točke (izračunamo torej toliko testnih statistik, kolikor dolžin lahko izračunamo do posamezne točke). Za posamezen izračun testnih statistik imamo v vektorju cH in matriki L le eno vrstico. Zapišemo jih v preglednico 5.
t2
Preglednica 5: Testna statistika T 23 - enačba (65) med dvema točkama.
Točka	1	2	3	4	5	6	7
1	-	19,89	49,38	87,04	64,84	10,05	689,26
2	19,89	-	109,74	84,02	163,39	113,96	113,61
3	49,38	109,74	-	124,81	62,37	10,41	9,20
4	87,04	84,02	124,81	-	0,08	0,01	186,39
5	64,84	163,39	62,37	0,08	-	0,63	83,12
6	10,05	113,96	10,41	0,01	0,63	-	77,68
7	689,26	113,61	9,20	186,39	83,12	77,68	-
Testna statistika je med točko i in j enaka testni statistiki med j in i. Izračunamo tudi kritično vrednost F601095 = 4,00 in jo primerjamo s testnimi statistikami v preglednici 5. Ker so le tri testne statistike manjše od kritične vrednosti (to so tiste, ki jih izračunamo med točkama 4 in 5, 4 in 6 ter 5 in 6), ne moremo zavrniti ničelne hipoteze (64) in trdimo, da te tri točke 4, 5 in 6 niso spremenile položaja med obravnavanima izmerama.
Jure Soldo,Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS:THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
| 411
| 62/3 | GEODETSKI VESTNIK
^	Če nadaljujemo analizo posameznih točk in izračunamo testne statistike (65) med točkami 5 1 6, 5 2 6, 5 3 6,
¡=	5 4 6 in 5 7 6 (za posamezen izračun testnih statistik imamo v vektorju dl in matriki L le dve vrstici), dobimo
¡s	za vse kombinacije testne statistike, večje od kritične vrednosti F60 2 0 95 = 3,15, le za kombinacijo med točkami
s	5 4 6 izračunamo T,32 = 0,34, kar je manj od kritične vrednosti. Le za to kombinacijo točk ne moremo zavrniti f^ ničelne hipoteze (64) in trdimo, da tri točke 4, 5 in 6 niso spremenile položaja med obravnavanima izmerama.
i 4 primerjava rezultatov postopka München z rezultati drugih postopkov
== Obravnavan računski primer primerjamo tudi z drugimi postopki deformacijske analize. Rezultate podajamo v preglednici 6, ki je povzeta po Vrečko in Ambrožič (2013). Dodajamo rezultate postopka München.
Preglednica 6: Rezultati deformacijske analize po postopkih Hannover, Karlsruhe, Delft, Fredericton in München.
Točka	1	2	3	4 5	6	7
d [mm]	- 20,0	- 30,0	25,0	0,0 0,0	0,0	25,0
0	y
J dx [mm]	- 34,6	52,0	- 43,3	0,0 0,0	0,0	43,3
1	d [mm]	40,0	60,0	50,0	0,0 0,0	0,0	50,0 u[°]	210	330	150	- -	-	30 dy [mm]	- 19,6	- 38,7	20,6	- 4,0	- 6,4	3,3	23,6
jÖ dx [mm]	- 38,0	49,0	- 44,3	5,1	- 7,1	- 10,6	42,9
1	d [mm]	42,8	62,4	48,9	6,5	10,0	11,1	49,0 £ u [°]	207	322	155	322	222	163	29
Premik	da	da	da	ne ne	ne	da
dy [mm]	- 19,7	- 38,8	20,6	- -	-	23,6
JS dx [mm]	- 38,0	49,0	- 44,4	- -	-	42,9
j» d [mm]	42,8	62,5	48,9	- -	-	49,0
^ u [°]	207	322	155	- -	-	29
Premik	da	da	da	ne ne	ne	da
d [mm]	- 19,4	- 38,1	21,4	0,7	- 0,8	0,0	24,0
dx [mm]	- 37,5	49,5	- 43,5	1,0	- 2,3	1,3	42,9
g d [mm]	42,2	62,5	48,5	1,2 2,4	1,3	49,2
u [°]	207	322	154	35 199	0	29
Premik	da	da	da	ne ne	ne	da
dy [mm]	- 19,6	- 38,7	20,6	- -	-	23,6
o dx [mm]	- 38,0	49,0	- 44,3	- -	-	42,9
u
'13 d [mm]	42,8	62,5	48,9	- -	-	48,9 ■n
,1 u [°]	207	322	155	- -	-	29
Premik	da	da	da	ne ne	ne	da
dy [mm]	- 19,5	- 38,2	21,4	0,7	- 0,8	0,0	24,0
¡g dx [mm]	- 37,6	49,5	- 43,6	1,0	- 2,2	1,4	42,9
ä d [mm]	42,4	62,5	48,6	1,2 2,3	1,4	49,2 ¡3
2	u [°]	207	322	154	35	200	0	29 Premik	da	da	da	ne ne	ne	da
Jure Soldo, Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPEN MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS: THE MÜNCHEN APPROACH | 392-414 |
412 |
GEODETSKI VESTNIK
I 62/3 |
Rezultate postopka München izračunamo tako, da obe izmeri transformiramo s transformacijo S v isti geodetski datum, ki ga določajo točke 4, 5 in 6 (saj smo v četrtem koraku ugotovili, da četrti trikotnik v drugi geometriji geodetske mreže, ki ga sestavljajo točke 4, 5 in 6, statistično ni spremenil oblike med obravnavanima izmerama in v šestem koraku potrdili, da te tri točke niso spremenile položaja med obravnavanima izmerama) ter izračunamo premike točk. Iz preglednice 6 vidimo, da so premiki, določeni po vseh postopkih, zelo podobni. Razlike med njimi so reda velikosti nekaj desetink milimetra za posamezno koordinatno komponento.
5 SKLEP
Deformacijska analiza po postopku München zaokrožuje serijo petih postopkov, ki jih je predlagala skupina za poenotenje postopkov, ustanovljena v okviru 6. komisije na II. kongresu deformacijskih merjenj v sklopu FIG v Bonnu (Chrzanowski et al., 1986). V članku podrobno opisujemo postopek deformacijske analize po postopku München, ki vsebuje izravnavo geodetske mreže z odkrivanjem grobih pogreškov, transformacijo terminskih izmer v isti datum, testiranje skladnosti in nato preoblikovanje trikotnikov po obeh pristopih — metodi X in metodi L med obravnavanima izmerama, izračun deformacijskih parametrov in določitev stabilnosti točk geodetske mreže. V članku obravnavano skladnost in deformacije posameznih trikotnikov, ki jih sestavljajo geodetske točke. V literaturi (Welsch in Zhang, 1983; Mihailovic in Aleksic, 1994) sicer obravnavajo in izračunajo deformacijske parametre vseh trikotnikov hkrati, vendar morajo pri sestavljanju enačb uporabiti določene pogoje, kar se nam zdi nepraktično (kot pogojna izravnava nadštevilnih meritev).
Rezultati petih postopkov, ki jih medsebojno primerjamo v poglavju 4 na simuliranem primeru, se le nekoliko razlikujejo med seboj. Predvidevamo, da bi večje razlike med rezultati postopkov nastale, če bi obravnavali realne premike točk geodetskih mrež, pri katerih bi imeli tako manjše kot večje premike točk med obravnavanimi izmerami.
Literatura in viri:
Acar, M. (2010). Determination of strain accumulation in landslide areas with
GPS measurements. Scientific Research and Essays, 5 (8), 763-768. Ambrožič, T. (1996). Ocena stabilnosti točk v geodetski mreži. Magistrska naloga. Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in
Ambrožič,T. (2001). Deformacijska analiza po postopku Hannover. Geodetski vestnik, 45 (1-2), 38-53.
Ambrožič,T. (2004). Deformacijska analiza po postopku Karlsruhe. Geodetski vestnik, 48 (3), 315-331.
Ašanin, S. (1986). Prilog obradi i analizi geodetskih merenja za odredjivanje pomeranja i deformacija objekta i tla. Doktorska disertacija. Beograd: Univerzitet u Beogradu, Gradjevinski fakultet, Institut za geodeziju.
Caspary, W. F. (1988). Concepts of Network and Deformation Analysis. Kensington: The University of New South Wales, School of Surveying.
Chrzanowski, A., Chen, Y. Q., Secord, J. M. (1986). Geometrical analysis of
deformation surveys. V: Y. Bock (ur.), Proceedings of the Deformation Measurements Workshop, 31 October-1 November, Boston (str. 170-206). Boston: Massachusetts Institute ofTechnology.
Deniz, I., Ozener, H. (2010). Estimation of strain accumulation of densification network in Northern Marmara Region. Natural Hazards and Earth System Sciences, 10, 2135-2143. DOI: https://doi.org/10.5194/ nhess-10-2135-2010, 2010
Grigillo, D., Stopar, B. (2003). Metode odkrivanja grobih pogreškov v geodetskih opazovanjih. Geodetski vestnik, 47 (4), 387-403.
Labant, S., Weiss, G., Zuzik, J., Baran, M. (2014). Graphical interpretation deformation analysis of stability area using of strain analysis. Acta Montanistica Slovaca, 19 (1), 31-40.
Marjetič, A., Stopar, B. (2007). Geodetski datum in S-transformacija. Geodetski vestnik, 51 (3), 549-564.
Marjetič, A., Zemljak, M., Ambrožič, T. (2012). Deformacijska analiza po
Jure Soldo,Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU 
MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS:THE MÜNCHEN 
APPROACH | 392-414 |
I 413 |
I 62/3 |	GEODETSKI VESTNIK
postopku Delft. Geodetski vestnik, 56 (1), 9-26. DOI: https://doi. org/10.15292/geodetski-vestnik.2012.01.009-026 Van Mierlo, J. (1978). A testing procedure for analysing geodetic deformation measurements.V: L. Hallermann (ur.), Proceedings of the II. International Symposium on Deformation Measurements by Geodetic Methods, Bonn, Germany (str. 321-353). Stuttgart: Konrad Wittwer. Mihailovic, K., Aleksic, I. (1994). Deformaciona analiza geodetskih mreža. Beograd: Univerzitet u Beogradu, Gradevinski fakultet, Institut za geodeziju.
Plestenjak, B. (2015). Razširjen uvod v numerične metode. Ljubljana:
DFMA - založništvo. Sušic, Z., Batilovic, M., Ninkov,T., Aleksic, I., Bulatovic, V. (2015). Identification of movements using different geodetic methods of deformation analysis (Identifikacija premikov z uporabo različnih geodetskih metod deformacijske analize). Geodetski vestnik, 59 (3), 537-553. DOI: https:// doi.org/10.15292/geodetski-vestnik.2015.03.537-553 Sušic, Z.,Toljic, M., Bulatovic,V., Ninkov,T., Stojadinovic, U. (2016a). Present-day horizontal mobility in the Serbian part of the Pannonian basin; Inferences from the geometric analysis of deformations. Acta Geophysica, 64 (5), 1626-1654. DOI: https://doi.org/10.1515/acgeo-2016-0074 Sušic, Z., Ninkov,T., Batilovic, M., Bulatovic,V. (2016b). Primena geometrijske analize deformacionih merenja u pracenju geodinamičkih procesa.V: R. Folic (ur.), 5. medunarodno naučno-stručno savetovanje„Zemljotresno inženjerstvo i inženjerska seizmologija", Sremski Karlovci (str. 471-478 ). Beograd: Savez gradevinskih inženjera Srbije.
Sušic, Z., Batilovic, M., Ninkov, T., Bulatovic V., Aleksic, I. Nikolic, G. (2017). Geometric deformation analysis in free geodetic networks: case study for Fruška Gora in Serbia. Acta Geodynamica et Geomaterialia, 14 (3), 341-355. DOI: https://doi.org/10.13168/AGG.2017.0017 Talich, M. (2007). Geometrical analysis of deformation measurement using continuum mechanics by web application. V: Strategic Integration of Surveying Services. The XXX FIG General Assembly and Working Week 2007, Hong Kong SAR, China (str. 1-13). Vrce, E. (2011). Deformacijska analiza mikrotriangulacijske mreže. Geodetski
glasnik, 45 (40), 14-27. Vrečko, A., Ambrožič, T. (2013). Deformacijska analiza po postopku Fredericton. Geodetski vestnik, 57 (3), 479-497. DOI: https://doi. org/10.15292/geodetski-vestnik.2013.03.479-497 Welsch, W. (1982). Einige Erweiterungen der Deformationsermitlung in geodätischen Netzen durch Methoden der Strainanlyse. V: I. Joo (ur.), A. Detreköi (ur.), Proceedings of the 3rd International Symposium on Deformation Measurements by Geodetic Methods, Budapest (str. 83-97). Budapest: Akademiai Kiado. Welsch, W. (1983). Finite element analysis of strain patterns from geodetic
observations across a plate margin. Tectonophysics, 97, 57-71. Welsch,W., Zhang,Y. (1983). Einige Methoden zur Untersuchung kongruenter und affiner Beziehungen in geodätischen Überwachungsnetzen zur Ermittlung von Deformationen.V:W.Welsch (ur.), Deformationsanalysen '83, Geometrische Analyse und Interpretation von Deformationen Geodätischer Netze. Beiträge zum Geodätischen Seminar 22. April 1983,
Soldo J., Ambrožič T. (2018). Deformacijska analiza po postopku München, 62 (3), 392-414. DOI: https://doi.org/10.15292/geodetski-vestnik.2018.03.392-414
Jure Soldo, univ. dipl. inž. geod.
Javno podjetje Komunala Slovenj Gradec d.o.o. Pameče 177a, SI-2380 Slovenj Gradec e-naslov: jure.soldo@komusg.si
Izr. prof. dr. Tomaž Ambrožič, univ. dipl. inž. geod., univ. dipl. inž. rud.
Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Jamova cesta 2, SI-1000 Ljubljana e-naslov: tomaz.ambrozic@fgg.uni-lj.si
Jure Soldo, Tomaž Ambrožič | DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU 
MÜNCHEN | DEFORMATION ANALYSIS: THE MÜNCHEN 
APPROACH | 392-414 |
| 414 |