PRESEK LETNIK 113) ŠTEVILKA 5 L — « • RAČUNANJE TOČNIH VREDNOSTI TRIGONOMETRIČNIH FUNKCIJ •PROSTO PADANJE - NEKDAJ •POSTANI LOVEC NA GALAKSIJE TUDI TI •JE VRAČANJE KOVANCEV RES PREPROSTO? ISSN 0351-6652 9 770B51 66505 9770351665050 0210690174040609080406016810690108040001080769017410 MATEMATIČNI TRENUTK KQLOFON Napovedovanje kriminalnih dejanj £h 1' r « 2 • Čeprav ni mogoče napovedati, kdo bo zagrešil kaznivo dejanje, si v nekaterih ameriških mestih z matematiko pomagajo določiti območja, kjer za pojavnost kriminalnih dejanj obstaja največja verjetnost. Policija nato na teh območjih poveča pogostnost patrulj in tako skuša preprečiti morebitne težave. Nova praksa predvidevanja neljubih dejanj temelji na veliki količini že zbranih podatkov o preteklih kaznivih dejanjih. Možna rizična območja določijo s pomočjo algoritmov, podobnim tistim, ki jih uporabljajo za predvidevanja popotresnih sunkov po večjih potresih. Tako kot se popotresni sunki bolj verjetno pojavijo v okoliči epičentra, se tudi kriminalna dejanja zelo pogosto ponovno dogodijo na območjih, ki so blizu mest preteklih kaznivih dejanj. V mestih, ki uporabljajo takšen način predvidevanja težav, so že opazili upad kriminalnih dejanj. Pravkar potekajo raziskave o tem, v kolikšni meri k temu pripomore opisana praksa. Raziskovalči so že ugotovili naravo rizičnih območij. S pomočjo dife-renčialnih enačb in teorije bifurkačij so uspeli določiti dva tipa območij, ki se različno odzoveta na povečano število patrulj. V enem primeru se kriminal preseli na druga območja mesta, v drugem primeru pa popolnoma izgine. Zaenkrat še ni mogoče vnaprej določiti, katerega tipa je posamezno območje, zato se matematiki in drugi znanstveniki trudijo pomagati poličiji pri razločevanju območij in ji tako omogočiti, da razporedi svoje sile na najboljši možni način. Več informačij o temi najdete v članku The Santa Cruz Experiment, ki ga je objavila Kalee Thompson v reviji Popular Science oktobra 2011. XXX PRESEK 40 (2012/2013) 5 Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 40, šolsko leto 2012/2013, številka 5 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik. Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, 4232 460, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2012/2013 je za posamezne naročnike 16,69 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 14,61 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, iban: SI56 0310 0100 0018 787. Založilo DMFA-založništvo Tehnična urednica Tadeja Šekoranja Oblikovanje in ilustracija Polona Šterk Košir Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 1400 izvodov © 2013 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1893 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana navodila sodelavcem Preseka za oddajo prispevkov Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu recenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. 4-6 7-10 11 12 13-14 14-15,18 MATEMATIČNI TRENUTKI Napovedovanje kriminalnih dejanj MATEMATIKA Računanje točnih vrednosti trigonometričnih funkcij (Marko Razpet) FIZIKA Prosto padanje - nekdaj (Janez Strnad) Razmisli in poskusi (Mitja Rosina) Poizkuševalnica ob sončnem dnevu -Kakšne oblike so zajčki (Mojca Čepič) Poizkuševalnica v kuhinji - Zakaj se pločevinka stisne? - Odgovor naloge (Mojca Čepič) Poizkuševalnica v kuhinji - Snežne kepe pri nizkih temperaturah - Odgovor naloge (Mojca Čepič) 19-25 ASTRONOMIJA Postani lovec na galaksije tudi ti (in poišči tri najsvetlejše galaksije pomladnega neba) (Bojan Kambič) vreme in se je prva priložnost za njegov ogled ponudila šele 19. marca, ko tudi nad obzorjem ni bilo več oblakov. Komet ni bil zelo velik in svetel, zato ga je bilo brez daljnogleda skoraj nemogoče najti na nebu. Kljub majhnemu kontrastu z večerno zarjo neba, pa ga je bilo mogoče fotogra firati. Komet PANSTARRS pa je bil le nekakšno astronomsko ogrevanje in vaja, saj bo konec leta viden še en velik komet C/2012 S1 ISON, ki naj bi po napovedih bil zelo svetel, nekaj dni celo kot polna Luna. Fotografija je bila posneta v Ljubljani, 19.3.2013, ob 19.24. (Foto: Andrej Guštin) priloga priloga RAČUNALNIŠTVO Je vračanje kovancev res preprosto? (Andrej Taranenko) RAZVEDRILO Naravoslovna fotografija -Venec (Aleš Mohorič) Nagradna križanka (Marko Bokalič) Rešitev nagradne križanke Presek 40/4 (Marko Bokalič) Barvni sudoku Futošiki Poišči mine Križne vsote TEKMOVANJA 33. mednarodno matematično tekmovanje mest - pomladanski krog 2011/12 (Gregor Cigler) 32. tekmovanje iz fizike za bronasto Štefanovo priznanje - šolsko tekmovanje Slika na naslovnici: leto kometov Potem, ko je komet C/2011 L4 (PANSTARRS) 10. marca letel najbližje Soncu, je postal viden iz naših krajev. Na nebu se je nahajal nizko nad zahodnim obzorjem in je zahajal dobro uro za Soncem. Žal pa je v tem času nagajalo Računanje točnih vrednosti trigonometričnih funkcij ^ ^ ^ marko razpet • Iz znanih vrednosti sin0° = 0, sin 30° = |, sin45° = - sin60° = ' sin 90^ 1, coS0° = 1, coS30° = ^, cos45° = ^, coS60° = 1, coS90° = 0 lahko z osnovnimi štirimi aritmetičnimi operacijami in s kvadratnimi korenjenji izrazimo sinuse in kosmuse Ivotov, ki so celi mnogokratniki kota 15°. Z adiciijslsimi izreki dobimo, razen za zgoraj navedene kote, ki so sicer celi mnogokratniki kota 15°, še: ■ Sin 15° = Sin(45° - 30°) = sin45° cos30° - coS45° sin 30° = V2). Na enak nacin oz. s formulo sinx = cos(90° - x) dobimo tudi ■ cos 15° = 4(V6 + V2), sin75° = 1 (V6 + v2), cos 75° = 1(V6 -V2). Ali lahko samo s prej omenjenimi računskimi operacijami irrarimo tudi vrednosti funkcij sinus in kosinus ra cele mnogokratnike kakšnega manjšega kota, izraženega v stopinjah r naravnim številom? Izkaže se, da je najmanjši tak kot 3°. Da bi lahko izrazili sin 3° in cos 3°, moramo najti 4 presek 40 (2012/2013)5 vrednoitiifunkrijsmus m kosinus Icakšneganai^E^1^-n^g^a^ lo^nogol^i^E^l^i^ikEik^E^ 360,š4°,g2°1. g)o sezulaaSabomoprišli jDoivmku^ lrv8dratno enačbo. Naj°rej ^euatao 36° u 90°-54šod. 18° + s8° u 10ion V8j. Zato je ■ sin(18° + 18°) = sin(90° - (18° + 18° + 18°)) = nus((in° + in°) + in°). Po adicijskih izrekih lahko zapišemo: ■ 2 sin in° nus in° = nus(in° + in°) cus in°- sin(inj + inj) sin iS j Z ■ (nus2inj- sin2 inj) nusinj- 2 sin inj nus inj sin inj. Pu šegjšinjo s ggštuejem nus inj Z 0 in z opušteni-njem usnunne enišusti sin2 a + nus2 a z i duOimu ■ 2 sin inj z i - 4 sin2 inj. Turnej je sininj ouzitinng eešiten šnideitne eninOe 4%2 + 2% - i z 0: sin 18° = a/5-1 Iz tega rezultata ni težko izraziti ■ c0s18° = Vi - sin2 18° = 1 . Opazimo, da shajamo z osnovnimi štirimi aritmetičnimi operacijami in s kvadratnimi korenjenji. Sedaj pa takoj vidimo, da je ■ sin3° = sin(18° - 15°) = sin 18° cos 15° - cos 18° sin 15°. Z znanimi vrednostmi dobimo ■ sin 3° = 16 ((Vš - 1)(Vš + V2) - (V6 - V2)V 10 + 2Vš) . V decimalni obliki pa je ■ sin3° = 0.052 335 956 242 943 83 ... Tako bi lahko izrazili tudi cos 3° in sestavili tabelo sinusov in kosinusov kotov 0°, 3°, 6°,..., 42°, 45°. Vec pa zaradi znanih zvez ni potrebno. Vse vrednosti izrazimo le z osnovnimi štirimi aritmetičnimi operacijami in s kvadratnimi koreni. Tako tabelo je sestavil in objavil že baron Jurij Vega (1754-1802). Zakaj poleg štirih aritmetičnih operacij toliko poudarjamo kvadratne korene? Zato, ker daljico, katere dolžina se izraža s temi operacijami, lahko geometrijsko konstruiramo samo z ravnilom in šestilom. Pomagamo si s sorazmerji in podobnimi trikotniki ter s Pitagorovim izrekom, ki posledicno v pravokotnem trikotniku eno stranico izraža s preostalima dvema ravno s kvadratnim korenom. Kaj pa je s sin 1°? Kakorkoli obracamo znane enakosti in dobljene enacbe, nikoli ne pridemo do kvadratne enacbe, ampak do kubicne. Korene kubicne enacbe v splošnem primeru lahko natancno izrazimo s t. i. Cardanovimi formulami, ki pa so zapletene in poleg kvadratnega korena vsebujejo tudi tretji koren. Poleg tega Cardanove formule navadno vsebujejo ravno kote, katerih vrednosti trigonometricnih funkcij ne znamo tocno izraziti. Dolžine daljice, ki se izraža s tretjim korenom, na splošno ne moremo konstruirati samo z ravnilom in šestilom. Kot 3° torej lahko konstruiramo le z ravnilom in šestilom, kota 1° pa ne. Ker pa je nacrtovanje kota enakovredno konstrukciji primernega pravokotnega trikotnika, to na splošno ne gre samo z ravnilom in šestilom, ce se vrednost ene od kotnih funkcij tega kota izraža s kubic-nim korenom. Za sin 1° so na tako voljo le še približni izracuni. Podobno, kot smo racunali prej, zlahka zapišemo: ■ sin 3° = 3sin1°- 4sin31°. Število 5 = sin1° je torej pozitivna rešitev kubicne enacbe ■ 4x3 - 3x + a = 0, pri čemer je a = sin 3° znano število. Ker je kot 3° majhen, je sin1° približno enak a/3. V prvi polovici 15. stoletja je Al-Kaši že znal izračunati število 5 poljubno natančno z iteracijo. Zgornjo kubično enačbo prepišemo v obliko PRESEK 40 (2012/2013) 5 5 x = (4x3 + a)/3 . SLIKA 1. Najmanrša pozitivna abscka jre sebišč obeh kriv ulj je sin I' Tri rsšikve dobimo Irot presečišče krivulj y = x in y = f(x) = i4x3 + o.e/3>. Najmanjša pozitivna rešitev je ravno 5. Za začetni približek so števila 5 vza-rrvemo kae a/3, nkto pa izrazunamo naslednji, boljši približek sn = /kso). Iz tega dobimo še bkljši prabli-žak s j = f (sn). Ta postopek nad aljujemo in števila tn = Sn-e j se približajk številu s tako blizrič, kakor želimo. n S n 0 0.017 445 318 747 647 94 1 0.017 452 397 805 531 90 2 0.017 452 406 426 767 05 3 0.017 452 406 437 270 70 4 0.017 452 406 437 283 49 5 0.017 452 406 437 283 51 TABTLA1. Računanje pnj^ližk^v ■ sin1° = 0.017 452 406 437 284. Zanimivo bi bilo odgovoriti na vprašanje, zakaj vrednosti funkcij sinus in kosinus za nekatere kote lahko izrazimo le z osnovnimi štirimi aritmetičnimi operacijami in s kvadratni korenjenji, drugih pa ne. V prvem primeru lahko kot načrtamo samo z ravnilom in šestilom, v drugem pa ne. Izkaže se, da je problem enakovreden problemu, kdaj lahko krogu včr-tamo pravilni n-kotnik samo z ravnilom in šestilom. To gre npr. za n = 3,4, 5,6, za n = 7 pa ne. Kdaj pravilni n-kotnik lahko načrtamo samo z ravnilom in šestilom? Odgovor na to vprašanje imamo, izrazimo pa ga s t. i. Fermatovimi števili (Pierre de Fermat, 1601-1665, francoski matematik). O tem je dosti napisanega v matematični literaturi, nekaj tudi v Preseku. _ XXX Barvni sudoku 4, ^ ^ • V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8, tako da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil. 2 7 7 6 4 8 6 3 8 5 7 3 4 7 4 8 5 1 6 Tosej je zaokroženo na 15 darirxalk: XXX 6 PRESEK 40 (2012/2013) 5 Prosto padanje -nekdaj ^ ^ ^ janez strnad •Galileo Galilei je ugotovil, da je prosto padanje enakomerno pospešeno gibanje. Podrobno je raziskal tudi enakomerno pospešeno gibanje kroglic pri kotaljenju po položnem klancu. Ni moge1 meriti kratkih časov, zato je pospešek zmanjiia1 približno v razmerju vdšine in dolžine klanca. Ne enega ne drugega pospeška m izmeril, pospešek prostega padanja je le zeto površino ocenil (Galilei in pospešek, Presek 38 (2010/2011) (1) 12-15). Kdo je torej prvd izmeri1 pospešelc prostega padanja? Na vprašanja o tem, kdo je kaj naredil prvi, je vedno potrebno odgovarjati previdno. Zato recimo, da je bil Giovanni Battista Riccioli med prvimi. Nekateri sp cer trdijo, da je bil prvi prav on. Njegovo delo je tako zanimivo, da ga je vredno spoznati nekoliko ppoobblliižžee.. Riccioli se je kot jezuit po navodilu reda začel ukvarjati z astronomijo. Njegovo najpomembnejše delo Novi Almagest z več kot tisoč petsto stranmi veUlcega formata je izšlo teta 1751 (Ailmagest je bilo najpomembnejše Ptolemajevo delo). V njem si je Rkrioti prizadeval prenovrti astronomijo. Opustil je Ptotemajevo sliko, da se Sonce in planeti gibljejo oko-ti Zemlje, in m sprejel KKojp^i^n^lco^^, da se Zemlja kot planet z drugnni planeti giblje oJkoli Sonca. Odločb se je za vmesno sliko Tycha Braheja, da se Sonce giMje okoti Z?emlljj^, planeti pa okoli Sonca. TaJko raz- PRESEK 40 (2012/2013) 5 7 lago so sprejeli tudi jezuiti. Riccioli je navedel kar 77 razlogov proti gibanju Zemlje okoli Sonca, a tudi 49 razlogov za takšno gibanje. Riccioli se je lotil tudi številnih fizikalnih vprašanj. Veliko dela je vložil v merjenje pospeška prostega padanja. Med pripravami je ugotovil, da je zvok, ki ga povzroči lesena kroglica, ko pade z višine dvajsetih metrov in udari na tla, veliko mocnejši, kot ce pade s polovicne višine. Žogo, ki pade z višine treh metrov, ujamemo, ne da bi zabolelo, ce pade s precej vecje višine, pa zaboli. Ljudje, ki padejo z majhne višine, se ne poškodujejo, pri padcu z vecje višine pa se. Lesena krogla, ki pade z velike višine v vodo, se pod gladino vode potopi veliko bolj, kot ce pade z majhne višine. Žoga iz trdega usnja, ki pade z velike višine, se na trdih tleh odbije veliko bolj, kot ce pade z majhne višine. Vse to ga je prepricalo, da hitrost padajocega telesa narašca z višino, s katere pade. Leta 1640 se je v Bologni resno lotil merjenja. Pomagal mu je 18 let mlajši jezuit Francesco Maria Gri-maldi, ki je pozneje odkril uklon svetlobe, in še jezuit Cassiani. Čas so merili s kratkim nitnim niha-lom, katerega polovicni nihaj je trajal 1/6 sekunde. S tako hitrim nihalom je zelo težko meriti. Kaže pa, da so merilci z vajo postali dokaj spretni. Zgledovali so se po merjenjih, ki jih je leta 1634 v Ferrari opravil jezuit Niccolo Cabeo z manj kot 30 m visokega zvonika. Riccioli le ni prvi meril pospeška prostega padanja, meril pa je temeljiteje kot Cabeo. Približne dolžine smo navedli a metsih, merske podatke pa t)omo naavdli a čevljih. Za stari rimski čeaelj, pes ali pedis, večinoma navajajo 0,296 m. Naletimo tudi na druge arednosti, čelo na 1/3 m. NeOaj podatOoa goaori za to, da oe Ricčiolijea čeaelj meril č,301 m. Negotoaost oteaOoča primerjaao. Riččiolijeao OratOo nihala le bilo dolgo 1,15/12 če-alja. Temu po praem podatku ustreza 2,84 cm, po zadnjem pa 2,88 čm. Gdlilei je ugotoail, da oe nihajni čas sorazmeren s Oaadratnim korenom iz dol-žone. Enačbe za nihajni čas T = 2n^llg pa še niso poznali. Z njo s pospeioOom prostega padanja a Bolo-jpsi 93,806 m/s2 dobimo za nihalo z nihdjnim časom 1/3 sekunde dolžino 2,76 čm. Pel štetju eižajev so si pomagali s netjbm glasbenih lestvic ali z glaseim eltmlCelm štotjem. Keoglz so spuščali z okna stavbe, v kateri so prebivali, in z različnih cerkvenih zvonikov v Bologni. Glavni del merjenj pa so opravili s stolpa, ki ga je v 12. stoletju začela graditi družina Asinelli in ki stoji sredi Bologne kot ena od njenih znamenitosti. Za njegovo današnjo višino navajajo 98,4 m. Po Ricciolijevem mnenju je bil stolp tako pripraven za merjenje, kot bi ga zgradili prav s tem namenom. Iz različnih točk stolpa so spustili svinčnico in z njo izmerili višino. Pripravili so glinaste krogle z maso po 219 g in jih spuščali z različnih višin. Z večkratnim merjenjem so ugotovili, da v šest enojnih nihajih v eni sekundi, pade telo z višine 15 čevljev, v dveh sekundah z višine 60 čevljev, v treh sekundah z višine 135 čevljev, v štirih sekundah z višine 240 čevljev in nazadnje v 4,33 sekunde z višine 280 čevljev, to je z vrha stolpa. Višine, za katere je krogla padla v zaporednih sekundah 15,60-15 = 45,135 -60 = 75 in 240 - 135 = 105, vse v čevljih, so v razmerju lihih števil 1:3:5:7. Prav to je napovedal Galilei. Riccioli spočetka tej napovedi ni verjel. Pričakoval je, da hitrost pri padanju v zaporednih sekundah narašča hitreje, v geometrijskem zaporedju 1:3:9:27, danes bi rekli eksponentno. (Tako bi bilo, če bi bila hitrost in pospešek sorazmerna s potjo.) Izposloval si je dovoljenje, daje prebral prepovedani Galileijev Dialog. Ricciolijevi naravoslovni poštenosti v prid govori dejstvo, da je dal v tem pogledu Galileiju prav, čeprav je prej v svojem delu celo ponatisnil Galileijevo obsodbo. Z Grimaldijem sta obiskala bolnega Galileije-vega učenca jezuita Bonaventuro Cavallierija, ki ga je njuno obvestilo razveselilo. Riccioli pospeška prostega padanja ni navedel. Iz dobljenih podatkov pa bi lahko izračunal 29,8 čevlja/s2. Zagotovil je, da se za določeno točko merski izidi med seboj v nobenem primeru niso razlikovali za več kot za polovico nihaja. Če za stari rimski čevelj vzamemo 0,296 cm, da to pospešek 8,82 m/s2; če vzamemo 0,301 m, pa 81,997 m/s2. Riccioli je nekatere korake pri merjenju opisal podrobno, nekaterih pa sploh ni opisal. Tako ostaja nepojasnjeno kako so se med merjenjem sporazumevali, kako so uskladili nihanje nihala v spodnji tocki s trenutkom, ko so v zgornji tocki spustili kroglo. Riccioli je posvetil veliko skrb merjenje casa z nitnim nihalom. Kaže, da je tako ravnal, še preden je opazoval prosto padanje. Omenil je umerjeno nihalo, kar najbrž pomeni, da je emeril daljše nihalo in za krajše nihalo uporabil sorazmernost s kvadra- 8 PRESEK 40 (2012/2013)5 nega upora. Zelo verjetno se je v merjenja prikradla sistematična napaka in je natančnost merjenj precenil. SLIKA 1. GiovanniBattistaRiccioli (1598-1671) tnim korenom iz dolžine. Merjenj z nihali se je lotil zelo velikopotezno. Prizadeval si je narediti sekundno nihalo, katerega polovica nihaja bi trajala eno sekundo. Pri prvi vrsti poskusov so šteli nihaje šest ur in ugotovili, da je nihalo za 2,1 ■ 10~3 odstopalo od sekundenega nihala. Pri tem so našteli vec kot 20 000 nihajev. Nihalo je bilo treba od casa do casa pognali, ne da bi zmotili casovni potek nihanja, ker je zaradi zracnega upora nihalo dušeno. Ob tem je Riccioli podvomil v sončno uro, s katero je izmeril šest ur. Zato so pri naslednjem merjenju leta 1642 šteli nihaje med zaporednima prehodoma Sonca čez krajevni poldnevnik. Odstopanje od sekundnega nihala je naneslo 1,5 ■ 10~2. Pri poskusu je sodelovalo devet jezuitov. Pri naslednjem poskusu so šteli nihaje med zaporednima prehodoma zvezde cez krajevni poldnevnik. (Zvezdni dan je za 3,9 minut krajši od Soncevega.) Nihalo z dolžino 3,35 ce-vlja je od sekundnega nihala odstopalo za 6,9 ■ 10~3. Poskusi, pri katerih so prešteli vec kot 86 000 nihajev, so bili tako naporni, da so sodelavci odnehali. Poleg Grimaldija je odtlej pri merjenju sodeloval le še en pomocnik. Leta 1645 so uporabili krajše nihalo z dolžino 3,23 cevlja. Izbrali so tudi krajši interval med prehodoma dveh razlicnih zvezd cez krajevni poldnevnik. Tako je bilo treba prešteti le nekaj vec kot 3 000 nihajev. Merili pa so trikrat. To kaže, da so se zavedali napak pri merjenju. Nihalo je za 0,9 ■ 10~3 odstopalo od sekundnega nihala. Za omenjeni nihali dobimo dolžino 0,992 m ali 1,01 metra in 0,956 m ali 0,972 m, medtem ko da enacba 0,993 m. Riccioli je menil, da nihalo ni popolna naprava za merjenje casa, a je veliko zanesljivejša kot druge. Pri vseh merjenjih je naštel prevec nihajev. Odstopanja niso narašcala z višino, kakor bi pricakovali, ce bi šlo za vpliv zrac- 1 2 3 4 5 6 6 1 36 15 15 1 12 2 144 60 45 3 18 3 324 135 75 5 24 ni 4as 576 240 105 7 26 43 676 280 40 8 6 Ricciojijeva preglednica za enega od treh nizev merjenj vsebuje (j) število polovičnih nihajev nihala, (2) ustrezni čas v sekundah, (3) kvadrat števila nihajev, (4) višino, za katero so padle krogle, (5) pot krogel v zaporednih sekundah, (6) razmerje poti. Današnjemu fiziku se zdijo s kratkim nihalom dobljeni podatki kar prevec urejeni. Preglednici za druga dva niza sta samo malo manj urejeni. SLIKA2. Stolp Asinelli v Bologni po risbiiz NovegaAlma-gesta (levo) in na razglednici (desno). Razdalje medtočkamiH, p, K, L, M, Nustrezajorazdaljam medtočkamiO,C, Q,R, S,T, izkaterihso spuščali glinaste krogle. Če si mis limovrvicoin na njej vtočkahN,M, L,K, p inNpritrjene drobneuteži, bi uteži zadevaletlavenakih časovnih razmikih,kobivrvicospustili. Tak poskusšedanesvčasihpokažejovšoli. Riccioli je spozna 1, da telesa padajo s konstantnim pospeškom, pospešek pa se nekotiko spreminja z velikostjo in s težo teles. Težje telo z večjo ali enako postoto pa da nekoliko hrtreje. Od en ako velikih teles gostejše pada hitreje. Primerjal jepadanje krogel z maso 70 g iz sviuca in lesa. Medtem ko je psva padla presek 40 (2012/2013) 5 9 za 280 čevljev, je druga padla za 240 čevljev. Navedel je podatke za 21 takih dvojic. Razliko je pripisal zračnemu uporu in zagotovil, da je treba upoštevati tudi gostoto zraka. Nasprotoval je Galileijevi trditvi, da telesa z enako težo padajo enako, a pripomnil, da je Galilei morda opazoval padanje enako velikih teles z različno gostoto, pri katerih so razlike majhne. Ovrgel je Galileijevo trditev, da pade 33 kg težka železna krogla z višine 44 m v 5 s, saj je glinasta krogla z večje višine 83 m padla v 4,33 s. Riččioli je opazil, da nihajni čas z naraščajočo am-plitudo narašča. Pri merjenju pospeška s kratkimi nihali so bile amplitude dokaj velike, kar je utegnilo poslabšati natančnost pri merjenju. Medtem je Galilei še mislil, da nihajni čas ni odvisen od amplitude. V opisane poskuse so Riččioli in njegovi sodelavči vložili ogromno truda. Današnji fizik njihovo ravnanje težko razume. Vsekakor ti poskusi tudi opozarjajo, kako pomemben je bil razvoj merilne tehnike. Merjenje časa so izrazito izboljšali po letu 1656, ko je Christiaan Huygens patentiral uro na nihalo. vrvicispustil istočasno kot telo, ki je prostopadalo.Želelje doseči, kabitelooavaviei naepienooviro čaOelosakasaaOet paOajoččtelotlain bi oOčačks zasliSoiakrati.Ni naooasl siedvočmnegarezultatOo Mislilje,aa oihatničos nioOoiien odsmplitude.ČeoeOiupoSteoaliznaenegk ooora,bidočiii zo razbiOjjemeda¡š¡nooadč iti doleina pihala )j//=1f2 (sin2 2 z amplitudo in polnim eliptičnim integralom prve vrste £(sin21 ^0). Če bi vzeli, da nihajni čas ne bi bil odvisen oOčrnplitude, bi za 0 dobili y/l = in2 = 1,2337. Riccioli in Grimaldi sta za Novi Almagest narisala zelo podroben zemljevid Luninega površja. Njun na-cin poimenovanja je v rabi še danes. Veliko tvorb na Luninem površju nosi njuna imena. Riccioli je mislil, da bi se izstrelki, ki bi jih izstrelili proti severu, odklonili proti vzhodu, ce bi se Zemlja vrtela. Po tem, da tedaj odklona niso zaznali, je sklepal, da se Zemlja ne vrti. Danes vemo, da se izstrelki na vrteči se Zemlji odklonijo. To je Coriolisov pojav, ki je pomemben tudi za vreme. Ime ima po Gaspardu de Coriolisu, kije leta 1835 raziskoval zakon gibanja v vrtecem se koordinatnem sistemu. Odkloni se tudi izstrelek, izstreljen proti vzhodu. Riccioli je zmotno mislil, da se v tem primeru izstrelek ne bi odklonil. _ XXX REŠITEV BARVNI SUDOKU S strani 6 SLiKA 3. Duhovnik in redovnik Marin Mersenne (1588-1648), znan po tem, da je širil naravoslovna spoznanja, je tudi raziskoval prosto padanje in nihanje nitnih nihal. Pri poskusu je telo na 4 2 6 8 3 1 5 7 3 1 5 6 4 8 2 7 8 3 2 6 4 1 4 2 7 5 3 8 5 3 7 4 1 8 2 6 2 6 8 1 5 3 7 4 6 7 4 3 8 2 1 8 5 1 2 4 7 6 3 XXX 10 PRESEK 40 (2012/2013) 5 FIZIKA Razmisli in poskusi mItja rosIna 52. Geometrijsko središče Slovenije Preveri, ali je geometrijsko središče Slovenije res pri Slivni nad Vačami. Prilepi zemljevid Slovenije na primeren karton in ga pazljivo izreži po mej ni črti. Od spodaj ga podpri z bučko, talco da se ne prevrne. Tako podporno točko poiščeš s poskueanjem. Dobil si geometrijsko središče, ki je hkrati tudi težišče. Pri ravai gladki ploskvi (ukrivljenost Zamlje, gore in podzemlje zanemarim.) lahko vpeljemo težišče (geometriesko središče) na tri enakovredne načine. (a) Kot točko, ki zagotavlja stabilno lego ploskve, če jo tam pielpremo z bučko (naš poskus). Fizikalno to pomeni, da no v tem primeru navori, ki jih prispevajo posamezne točke na ploekvi, uravnovešeni. To lahko ponazorimo s končtrukčijo, v kakeri nadome-otimo vooto sil leže iz posamezmh enakomerno po-jazdeljenih točk na ploskvi zrozultantoj ki prijemlje v težišču. Ker prijemlje rezultanta v žežišču, ima ro-čičo nio jn jo navor nič, zemljevid se ne prekučne. (b) Kot točko, katere koordinate (X, Y) so povprečje koordinat vseh točk: 1 N 1 N ■ X = -llLx ne ^ = ni- 1=1 r=ii ic) Kot točko, de katere je vsota kvadratov rradrlj najmanjša: N ■ m [(*(*) " X)2 + (y(i) -Y)2] = mie. i=t Kje (Dci je teži2če Evrope? To pv (e žč tčžji primer. Ngjprej se mcevroo aogovoriti, kje jč meja mčd avropo ia Azijo. Rerimc>,aa (č ov razvodju naUralu jim Kaikazu. Potem piimoraieio) ič upoštevali, da (č Zčmljei ojljrojgla m da za lEvrtggpo eč velja vel približek ram plo okvčr Zato ješirčč ni na ploskvi, temvčč oč- kje pod zemljo. Kljub temu pa lahko definiramo geometrijsko središče na sami ploskvi na vse tri načine. Vendar dobimo tri različna „središča". Mi se bomo držali prvega načina, izrezali bomo „Evropo" iz globusa in jo podprli z bučko. Ker je globusa škoda, bomo raje zemljevid prerisali na staro žogo ali kroglo iz zlepljenega papirja. Laže je iskati ustrezno podporno točko od spodaj, tako da je „Evropa" izbokla navzgor. V tem primeru dobimo čelo področje podpornih točk, ki dajo stabilno ravnovesje. Vendar moramo izbrati točko tako, da je tan-genčialna ravnina v tako določenem geometrijskem središču vodoravna. Sičer nam „Evropa" zdrsne, prekučne se pa ne. Ta točka je hkrati projekčija težišča naše lupine na lupino samo (ta točka, težišče izrezane lupine in središče Zemlje ležijo na isti premiči). Razmisli! Pri drugi definičiji poiščemo povprečje geografske dolžine in geografske širine množiče enakomerno porazdeljenih točk. Pri tretji definičiji pa poiščemo točko, ki ima najmanjši povprečni kvadrat oddaljenosti od množiče točk. Oddaljenosti vpeljemo kot dolžine najkrajših poti po površini krogle, torej dolžine lokov velikih krogov. Ta dva pristopa sta primerna za računalniško obdelavo, če imamo numerične podatke o konturi Evrope. XXX F ut ošiki 4, si, ^ • V n x n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n, tako da bo v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu nastopalo vseh n števil ter, da bodo izpolnjene vse relacije. REŠITEV ■ ■ ■ ■ > 2 ■ > ■ <■> < 6 5 ■ > ■ <■< ■ 6 3 ■ ■ ■ ■ 1 ■ > 2 ■ ■ ■ < ■ <■ ■ E Z 9 S t7 L S E Z 9 L t7 L V S Z E 9 17 9 E L Z S 9 L 17 E S Z Z S L t7 9 E presek 40 (2012/2013)5 11 Kakšne oblike so zajčki? v ^ mojca čepič • Ko so pomladni sončni dnevi tu, me vedno premaga želja po igranju s svetlobo. Gotovo ste se tudi vi že kdaj igrali z zajčki. Ste kdaj razjezili koga, ko ske mu z arcalom odbili svetlobo v oči? Poigrajmo se danes z zajčki tudi mi! Potrebujemo (slika): zrcalo, kbr papirja, škarje, lepilni trak, kos tnšega papirja za zaslon, sončen dan. slikai . Potrebščine za izvedbo poskusa. Če želite opazovati zajčke različnih oblik zrcala, si pripravite več šablon za pokrivanje zrcala. Na tla položite trši papir (zaslon) ali pa ga prislonite ob steno. Pri prvem poskusu ostanite na soncu. Z zrcalom naredite zajčka, ki skače po zaslonu. Zrcalo naj bo blizu zaslona. Kam morate postaviti zrcalo in kako ga morate obrniti, da na papirju vidite zajčka? Kakšno obliko ima zajček? Potem zrcalo oddaljujte od zaslona in opazujte, kako se z oddaljenostjo zrcala od zaslona spreminja oblika zajčka. Ko se oddaljenost zrcala od zaslona veča, postane enostavneje, če zaslon postavite v senco ali pa obliko zajčka opazujete na senčni steni. Kako se spreminja oblika zajčka? Privoščite si še zadnji poskus. Z zrcala odstranite papir in naredite zajčka na oddaljeni steni, npr. na sosednjem bloku (in ne jezite ljudi). Kakšno obliko ima oddaljeni zajček? _ XXX Kes pdpirja prilagvdite velikosti brcala. V papir ierr-žitrr nekaj odprtin s premerom od nekaj milimetrov de enega centimetra, kot kaže slika. Odprtine naj oe bodo okrogle, vendao na,j bodo enake oMike. jZe želite pogledati, kaj se dogaca e eajcki, nastalimi ea-radi odboja na majhnih ercalcih drugačnih oblik, ni pripravite nov papir. Papir e odprtinami nalepite na ercalo in pojdite na sonce. www.presek.si www.dmfa.si www.dmfa-zaloznistvo.si 12 pREsEK 40 (2012/2013) 5 Zakaj se pločevinka stisne? ODGOVOR NALOGE ^ ^ ^ mojcačepič • V pločevinko nalijemo malo vode, jo postavimo na grelnik in počakamo, da voda zavre. S krpo primemo pločevinko in iz nje izlijemo vrelo vodo. Ptocievinkoz odffftino navzcM postavimo v Madno ■vodo. Ptocievinlia se s pokom stisne (stika 1). Zalcaj lako? V pločevinki, na dnu katere je vrela voda, je vodna para skoraj v ceioti tepio^mUa zrak. Ko smo pločevinko postavin v liladno vodo, so ste stene pZoiie-vinke, ki so tan]^ sluoraerj v hipu oMadtfe. °hladil se j^ tudi plin v pločevin]ie in para je v zelo kratkem ciasu kondonznrata. ICondenznana voda zavzema približno 1,Z1000 prostornme vodne pare. Zajo se v pk>-čevmkc zgodi nasteolnje: del vode ob stiku s liladnej-šinii stenarm kindenoirEi in zavzamo manjšo prostornino, kot jo je zavz emala para. 1z ven p^ocidvnZie le tl_Eik približjno 1 hta^ v njen pa se v zelo kcatkem času zniža za nekej desetink t>Eir^. !Zaeadi razfike tia-kov v pločevmko zacine paritekati voda, hkrati pa na stene pločevinke zaradi istega razloga delujejo sile. Žal odprtina posode ni dovolj velika, da bi voda dotekata v zadostnih količinah m bi se tlak v ^orevmki izenačeval z zunanjim. Sile, delujoče na steno pločevinke, tako pločevinko zverižijo. Psago lago saaaZo pri pasčnsn na aiZima. Zola sma noiaZiii ša paZaban pasčns, ia pasaZo, či sma jo nparoOiii, ja Oiio praeamo, Zo sma Zagojonja a njaj iohča apoeaaoii- PosoZo ja Oiio tuZi baij liZno čoI pioCaainčo, Zo ja iohča aOZjZoio saojo aOiiča- P proeomo, slačieniCči poZoOno posoZo, či m o eo poskusa npojoOijojo čamniči, ajlanmojajico, smo noiili SLILAI. klika zverižeseiločivrnkepoposkusu. za slak psst vode. Postavili smo jo na ploščo in počakali, da je voda zavrela (slika 2a). Vodo smo nato odlili v korito, stekleničko pa z vratom navzdol postavili v posodo z vodo (slika 2k). Voda se je v steklenički začela dvigati in je napolnila posodo skoraj v čeloti (slika 2č). Vrat stekleničke je kil namreč dovolj širok, da je voda v notranjost dotekala dovolj pitro in so se tlačne razlike izenačevale. Stene so kile dovolj trdne, da posoda ni počila. Sedaj vidimo, da je kila razlaga poskusa, čeprav je temeljila zgolj na poznavanju fizikalni. zakonitosti, in dogajanja v pločevinki nismo mogli spremljati neposredno, smiselna. presek 40 (2012/2013)5 13 SLIKA 2. (a) Voda v steklenički vre. (b) Stekleničko potopimo z vratom navzdol v vodo, voda se v stekleničko dviguje, ko para kon-denzira. (c) Ko je vsa para kondenzirana, je skoraj celotno prostornino stekleničke napolnila voda. _ XXX Snežene kepe pri nizkih temperaturah ODGOVOR NALOGE ^ ^ ^ mojca čepič • Če bo letošnja zima snežena, se lahko poigramo s snegom. Verjetno ste si pozimi že večkrat oddahnili, ker so bile napovedane temperature nizke, vreme pa sončno, čceš sneg bo ostaL A glej ga zlomka, čeprav se čez dan ni sneg prav nič talil, so se ob tanki snežni odeji pojavile lise zemlje in snežna odeja se je kljub mrazu stanjša. Sneg je hlapel. To besedilo sem zapisala na začetku zime na podlagi izkmenj pri poskusu, ki sem ga naredila še kot otrok. Ko je padel zadnji pomladanski sneg, mi je bilo neskont:no žal, da se zima koni:uje, zato sem v hladilnik, v zamrzovatoo komoro hladilnika, spravila majhnega sneženega moža, postavljenega na k:rož-nik. A ni pomagalo. Cez nekaj dni je mali sneženi mož dobesedno izhlapel. Za njim m ostala niti luža; le stanjšal se je in po nekaj dneh izginil. Vi:asih so vsi hladilniki imeli zaprt zamrzovalni predel (komoro) v zgornjem delu Ma^mka. V njem so bile temperature pod ničlo (0 °C). V odprtih delih hladilnika voda ni zamrznila, temperature so bile nad ničlo. Danes marsikdo nima več tak:ega Madil-nika, temveč hladilnik, pri katerem je del s temperaturami malo nad ničlo, fizteno ločen od dela, v katerem so temperature pod mrio. No, vsaj pri nas je tako. !n na tem mestu se zacinejo težave z rezukati poskusa, ki sem vam ga želela pokazati. Vsaj malo mi je pomagala tudi narava. 14 PRESEK 40 (2012/2013)5 SLIKA 1. Zbirka kep na le vi je „Lla" a zamrzovalnik, zbirka na desni pa v hladilnik in sa je verem dneou sralila. Tretje "lirla, ki sem jo tosLavila nn e^tn^o, na sliki aii Toaej, paipanoiln aem Sai zbiake treh aazlišnooeli-kih lkej:) (s;lika 1). Tai dodatne kepe sem znoiln o eioil-slkD folijo. Na sliki stz zgolj doe zbiaki, a sap oemo, kako zo oidzti kepe, kajne? Vsato zTiito ensn kolostila natiAŽnit (tri različno vnlitn Znjtn in nna tipa v doliji) tni postavila Ziožnitn v hladilnik, v zamrzovalnik in na tniavo. Dnnvi, v Zatniih jn potntal poeZue, eo Tiln relativno hladni. Knpn enm veato jutro in zvnčni etnhtala e Zuhinjeto tnhtnico, ti tnhta na 1 g natančno. Rnzultatn vidian v" grafih. kaj zz jz praazaproa dngajalo? kzpz a hladilniku, kazr jz tzmpzraCura nad tališčzm, zr zz zlalilz; manj-GGz kzpz a čzloti, azčjz dzlno, Szazda, tzmpzratura a hladilniku jz bita nad tsliščzm, znzžnz kzpz zr imzlz tzmpzraturr tališča, irplrlni Irk jz izkzl iz zraka a hladijniku, ki jz imzl aišjr tzmpzratuko, a kzpz, ki zo tmzlz nižpo tzri^pzranuiro. kzpz zo przjzmalz toploto, G^jnacr zz jim jz poazčzaala notranja enzrgija, kar jz pri tzmpzraturi tališča jmzlo za pozlzcžičo zprzminjanjz agregatnega stanja. Sneg se je talil. Kaj se je dogajalo a kapama v zamrzovalniduj Tako rekož oič, njihova masa se okorajda ni sprerm-njala (graf 1 z:g„or^^). Kkj pa kepe na prostem? Čeprav so bile temperature pod tališčem, s e ji masa kep manjš ala (graa 1 apodaj). Ž a l p oskus ni trajal prav dolg o, ker so se po 80 70 60 50 40 30 20 10 velika kepa srednja kepa mala kepa 456 čas [dnevi] 70 60 50 40 2 30 a s E 20 10 0 — velika kepa srednja kepa mala kepa 345 čas [dnevi] GRAF 1. Zgoraj: Masa kep v zamrzovalniku v odvisnosti od časa. Spodaj: Masa kep na prostem v odvisnosti od časa. Zunanje temperature so se gibale med -10°C in -5°C. 0 2 3 7 8 2 6 PRESEK 40 (2012/2013)5 15 ^ i), Nagradna križanka 16 PRESEK 40 (2012/2013) 5 Črke iz označenih polj po vrsti zapišite na Preseku priloženo dopisnico, dodajte tudi svoje ime, priimek in naslov. Dopisnico pošljite na Presekov naslov (poštnina je že plačana) do 15. maja 2013, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo za nagrado prejeli Presekov paket. XXX presek 40 (2012/2013) 5 17 nekaj dneh temperature povzpele nad ničlo in kepe so se stalile. Pa poglejmo, zakaj tako. Ce so temperature pod tališčem, se sneg ne more taliti. A to še vedno ne pomeni, da se masa kep ne more spreminjati. Tudi trdne snovi namreč hlapijo. Kako intenziven je proces hlapenja, je odvisno od okoliščin. Hlapenje si lahko predstavljamo kot dvosmerni pročes. V zraku se nahajajo molekule vode. Ce molekula vode v svojem naključnem gibanju slučajno zadene kos ledu, se nanj „prilepi" oz. tvori z molekulo kristala kemijske vezi in postane del tega kosa. Masa kosa ledu se zaradi tega poveCča. Ta pročes lahko opazimo na rečeh, ki jih vzamemo iz zamrzovalnikov. Ker je njihova temperatura nižja od tališča, se kmalu na njih naberejo ledeni kristali. Vzrok je opisani pročes. Molekule, ki so že vezane v led, zaradi termičnega gibanja nihajo okoli svojega položaja v ledenem kristalu. Vanj ga vežejo privlačne sile sosednjih molekul. Molekule ledu na površini so vezane šibkeje kot molekule znotraj kristala, ker imajo manj sosednjih molekul. Zato molekule na površini nihajo z večjimi amplitudami kot tiste v notranjosti. Včasih se katera od njih od površine odtrga ter odleti v zrak. Zaradi tega se masa ledu zmanjša. Ta pročes imenujemo hlapenje. Spreminjanje mase kepe snega je poslediča obeh pročesov: odlaganja molekul vode iz zraka na površino ledu in naključnega trganja molekul vode iz kosa ledu. Kadar sta pročesa v ravnovesju, pravimo, da je zrak nasičeno vlažen. Tedaj se v povprečju na led odloži prav toliko molekul vode iz zraka, kolikor jih vanj pobegne. Tako je v dobrih zamrzovalnikih, ki jih ne odpiramo prav pogosto. Saj vendar nočemo, da bi se hrana, ki je nekoliko slabše zaprta, posušila. V našem starem hladilniku z zamrzovalno komoro na vrhu hladilnega prostora so valovi toplega zraka ob pogostem odpiranju očitno naredili svoje in mali sneženi mož je izhlapel. Snežne kepe izven hiše so doživljale drugačno usodo. Vreme je bilo sončno, zrak suh, temperature pa pod tališCčem. Zrak ni bil nasičeno vlažen, kar pomeni, da se je v povprečju manjše število molekul odlagalo na kepe snega, kot jih je z njih odletavalo. PoslediCčno se je masa kep zmanjševala - so hlapele. In kaj se je zgodilo s kepami, zavitimi v živilsko folijo? Nič, folija je preprečila opisano izmenjavo molekul in masa snežene kepe je ostajala stalna. _ XXX 18 PRESEK 40 (2012/2013) 5 Postani lovec na galaksije tudi ti (in poišči tri najsvetlejše galaksije pomladnega neba) ^ ^ bojan kambič • Majsko večerno nebo je pravi raj za lovce na galaksije. Kljub temu, da lahko na Luni in planetih že z manjšimi teleskopi vidimo veliko fantestič-nih podrolbnosti, da Miko razsute in ft^ številne krogllaste kopice vsaj na rolbu razdroMmo na posamezne zvezcte m da ^^lilko s pomočjo filtrov vi-cd^r^o kar nekaj razgibanili jolinsta1 in prašnih me-glfc, pa večma ljubiteljskih astronomov svoje te- les|sope raje obrača proti galaksijam, kjer - razen pri nekaj svetfih izjemah - tudi z velikimi amaterskimi teleskopi ne vidimo drugega kot večjo ali manjšo, bolj ali manj svetlo tiso nežne svetiot>e. Pa vendar nas galaksije vleičcejo kol magnet. Verjetno zaradi večeega stremljenja po vesoljsidh pra-stranstvih,želje, da lbii videli čim gkablje v vesalje. In v maju si tahka svojo radovednost dodoltra potešimo. Od približka 88000 galaksij, koltiior jjiili ji dosegljivih z ljubiteljskimi leleikapi, .jih je maja ea netiu kar 1^^0001^ Ogledati si t>oma te nelkaj nao-^"ssuttl^jsiilT. primerkov, ItaLlkiili, ki so vidni čilo v „ka-vatom" dvagled[u 10x50 še t>olji pia s leliskopom, lialkriinega ^maEi od leta 2009 marsikatera slovenska iiota. ^Ter taksiji so zaitimive tudi zo ki jtiive-seti astronomska fotogratija, zala t>a članek polieg kart, ki vam IjRdljv pomoč ]Tri iskanju, opremljen tudi s fantastičnimi fotografijami Jurija Stareta. M 101 - Vetrnica (Ozvezdje Veliki medved) Začnimo z galaksijo, ki je ni težko najti, jo je pa težje opaziti, če se naše opazovališče ne ponaša z dovolj temnim nebom. To fantostično spiralno galaksijo, ki je v Messierjevem katalogu dobila zaporedno oznako M 101 (7TO7/27'x26'), najdemo v ozvezdju "Veliki medved (slika 1) približno 5,5 stopinje vzhodno od Mizarja (Zeta Velikega medveda). Mizar še olavna dvajno-dvojna zvezda v ojesu Velikega voz a, asterizma v ozvezdju Veliki medved, ki ga mora poznati vsak amaterski astronomi. Spoznamo jo po tem, da ima tik ob sebi šibkejoo zvezdico z oznako 80 Velikega mešseda, ki so vidimo že s prostim dčesom, drugače pa je to srednja zvezda ojesa, če ne štejemo tiste, ki je del vozička. Če opazujemo "z Osljnsgledom 10x50, sta Mizar in iskana galaksija v istem zonnem polju, če ld zvezdo pomaknemo na zkrajni desni rob. Kdor pa se bo iskanja lotii s šele-skopom z manjšim zornim poljnm, nap pozor no pogleda iskalzo karto (slika 2) in sledi šibke)šim zven-dam od Mizarja do galaksije. Zij galaksije M 101 je kar 7,7 magnitude. A tu je še podatek, da je njena navidezna velikost na fotografijah kar pol stopinje (kot polna Luna)! Če nas prva številka navda z optimizmom, da bomo galaksijo brez težav videli, pa druga izkušenega opazovalca hitro strezni. Tako velika galaksija ima namreč izredno nizko površinsko svetlost, zato jo je v daljnogledu silno težko videti, veliko teže kot npr. kakšno majhno galaksijo 9. magnitude, ki pa se ponaša s svetlejšim jedrom. Za opazovanje M 101 si moramo zato izbrati mesto s čim bolj temnim nebom, galaksija pa naj bo visoko na nebu, najbolje v bližini pREsEK 40 (2012/2013) 5 19 SLIKA1. Najbolj znani asterizem na nebu je pravgotovo Veliki voz, kigaimajo neizkušeni kar zasamostojno ozvezdje. V resnici je toledel večjegaozvezdja Veliki medved. Pod ojesom Velikega vozaležimanjšeinslabše vidnoozvez-dje Lovska psa (njegova najsvetlejša zvezdaAlfasije le s3.magnitudo). Na kartividimo,polegvčlanku omenjenih galaksij M101inM 51, še velikomanj-ših, šibkejših galaksij. Karta, na kateri so prikazane zvezde, vidne s prostim očesom, je iz Zvezdnega atlasa za epo-ho 2000. kulminacije (in maj siki večeri so za to prav primerni). V zornem polju bomo videli veliko, a nežno liso svetlobe z nekoliko svetlejšim središčnim delom. Kako velika bo in koliko podrobnosti bomo opazili, je odvisno predvsem od opazovalnih razmer (in kakovosti daljnogleda oz. teleskopa). Galaksija je približno 27 milijonov svetlobnih let oddaljena od nas, njena resnična velikost pa je kar okrog 170.000 svetlobnih let. To jo uvršča med največje znane galaksije. Ko bomo galaksijo opazovali, se spomnimo, da so fotoni njene svetlobe, ki ta trenutek; padajo v naše oko in na mrežnici ustvarjajo sliko, nastali v zvezdah v neki drugi, oddaljeni galaksiji in kar 2 7 milisonov let potovali po vesolju, da vo prileteli do nak. Galaksijo torej vidimo takšno, kot je bila pred 27 milijoni leti in v nobenem primeru je ne moremo videti takšne, kot je danes! Ko so fotoni zapuščali ]W 101, so de na Zemlji predniki današnjih sesalcev šele začeil dobro razvijoti po izumrtju dinozavrov. Človeka še ni bšlo, tudi njegovih daljnšh prednikov ne! M 101 je z licem obrnjena proti nam in je nadvse primeren objekt za vse amaterske astrofotografe. Posnamemo jo lahko že z 200-milimetrskim teleobjek-tivom, na slikah pa se bo lepo pokazala njena spiralna struktura. M 51 - Vrtinec (Ozvezdje Lovska psa) Naslednja svetla pomladna galaksija leži v majhnem in šibkem ozvezdju Lovska psa, ki ga najdemo južno od Velikega medveda oz. južno od ojesa Velikega voza. To je spiralna galaksija M 51 (8m4/11'x7'8), imenovana Vrtinec. Leži maj kot 10 stopinj jugozahodno od prej omenjene M 101, med njima pa leži Eta Velikega medveda, ki je tudi vodnica do M 51. Eta je zadnja zvezda v ojesu Velikega voza in je na nebu ni težko poiskati. Če to zvezdo ujamemo v zorno polje daljnogleda in jo pomaknemo proti severovzhodnemu robu, se bo na jugozahodnem robu že pokazala galaksija. Za opazovanje si izberimo noč z dobrimi opazovalnimi razmerami, območje neba z 20 presek 40 (2012/2013)5 SLIKA 2. Zvezdno polje okoli galaksije M 101 z zvezdo vodnico - Zeto Velikega medveda. Karta je iz knjige Raziskujmo ozvezdja z daljnogledom 10x50. SLIKA 3. Velika spiralna galaksija M 101 je primerna prav za vse resnejše astro-fotografe. Seveda morate imeti za fotografiranje stojalo z možnostjo sledenja (foto: Jurij Stare). pREsEK 40 (2012/2013) 5 21 20* 1 4h «™> " VMc :fcr _l3h I2h ^—i ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 si» LOVSKA PSA • 44» L""| / * — j?1 i! L .moji ! T......— P* «j1 i;4> «g , VELIKI MEDVED I?« «p Jiti •-i >" BERENIKINI KODRI ** ** .a tjtue LEV ■ tt „ "žs - '¿t** i * i«. vvo" ----rf .j- „ un> "lt : . HM Fts DEVICA i ••1 . J * v +S0< *w +30° +20 +10: SLIKA 4. m Beren^mh kodrov z ^c^v^arcido s^E^.mas^npa^ic iv galaksijami dolO. magmsudap^f^ira^iia galaksaa M51 ležina servmem c^Iu omces^dja, t^l^cseliijo nvjprrnasnejšu vt^ V vsakdanjem življenju se pogosto srečamo z vračanjem kovancev, pa naj bo to na avtomatu za kavo ali v trgovini. Običajno plačamo večji znesek, kot je potrebno, potem pa dobimo vrnjeno razliko. Vprašanje, ki si ga bomo zastavili je, kako dosežemo, da dobimo vrnjeno najmanjše možno število kovancev. Definirajmo problem bolj splošno. Za podano množico vrednosti kovancev K = {ki,..., kd} želimo določiti, koliko kovancev potrebujemo, da izplačamo znesek, recimo znesek n. Problem vračanja kovancev zahteva, da za podani znesek izplačamo najmanjše možno število kovancev. V vseh situacijah v nadaljevanju predpostavimo, da imamo vedno na voljo dovolj kovancev vsake vrste. Primer. Izplačati moramo znesek n = 4, na voljo imamo kovance naslednjih vrednosti {1,2,3}. Vse možne rešitve so naslednje: {1, 3}, {2, 2}, {1,1, 2} in {1,1,1,1}. Vidimo lahko, daje najmanjše število kovancev, ki jih v tem primeru potrebujemo, enako 2. Pri evrih imamo na voljo kovance naslednjih vrednosti (v centih): {1,2,5,10,20,50,100,200}. Kako bi s temi kovanci vrnili naslednje zneske? Koliko kovancev bi vrnili vi? ■ [25 centov] (rešitev: 20 + 5, dva kovanca) ■ [98 centov] ? 26 presek 40 (2012/2013) 5 RAČUNALNIŠTVO Prodajalčev algoritem Kako ste se v prejšnjem primeru odločili, katere kovance boste izbrali? Verjetno ste razmišljali na enak način, kot razmišlja prodajalec, ko vrača denar: na vsakem koraku izberemo kovanec najvišje vrednosti, ki ga še smemo izbrati. Postopek računa za 98 centov, bi bil torej naslednji: ■ Izberi kovanec za 50 centov. Ostane še 48 centov. ■ Izberi kovanec za 20 centov. Ostane še 28 centov. ■ Izberi kovanec za 20 centov. Ostane še 8 centov. ■ Izberi kovanec za 5 centov. Ostanejo še 3 centi. ■ Izberi kovanec za 2 centa. Ostane še 1 cent. ■ Izberi kovanec za 1 cent. Znesek smo izplacali. Na ta nacin smo torej vrnili šest kovancev. Metoda, ki smo jo uporabili, se v racunalništvu imenuje požrešna metoda. Za to metodo je znacilno, da rešitev gradimo korakoma iz množice kandidatov, na vsakem koraku pa Oberemo kandidata, ki trenutno najvei: doprinese k o^malm re&tvL S požrešno metodo pa ne doMmo nujno najboljše rešitve (v našem primeru najmanjše števtfo vrnjemh kovancev). Poglejmo si prime^ ko se to zgodi. Primer. Recimo, da mamo na voj kovance vrednosti {1, 3,4, 5}. Vrmti žehmo znesek n = 7. S požrešno metodo bi prišli do nas^nje rešitve: ■ Izberemo kovanec vrednosti 5. Ostane še 2. ■ Izberemo kovanec vrednosti 1. °stane še 1. ■ Izberemo kovanec vrednosti 1. Znesek smo izplačali. S požrešno metodo smo izplacali tri kovance. Vendar obstaja boljša rešitev: izplacamo samo dva kovanca (kovanca vrednosti 4 in 3). Tudi v splošnem velja, da moramo pri uporabi po- žrešne metode hiti previdni, saj lahko na prvi po-gledmislimo,dabomodobili najboljšo možnoreši-tev, potem pa sta izlo^o, c^ii temiai^ilt^k:o. Zogac^i lega je potrebno za vsak problem dokazati, ali je pristop s požrešno m^oe^cš mmcm m^oz^. Vžgomoemitrimer^kos p^c^^i^^^^gi metodo ne dobimo najboljše rešitve, smo spremenili množico vre-znoatia:ovangov,glede mL szkaže š^asa „la teivreaoovti tovarnev, zotlih ^o-zaaSno pSl d0tslls ({1, 2, 5,10, 20, 50,100, 200i), e po-žaešoo metoclovedlno vmemonajmai^jše m0Žn0 šlo- tuajdonazai° Dokaz bomo naredili za nekaj vrednosti kovancev, saj šazznstolaosddnozti Mejam 0^i^;nči^te^o soVsek, k.gsžehmz^lačaSa zn.Naj bo najboljša rešitev (z najmanjšim možnim številom tovanzevjobhke ■ n= 200a + 100b + 50c + 20d + 10e + 5f + 2g + h. Oolšno jo b < 1, naj Zl eloos laVbo b zmanjšali za 2 in a pooooall za 1; šabo Zl zmanjšall gšoollo osnjonlV bnoanodo- Iz poVoZnlV sazlogoo oolja šnVl, Va jo c < 1, d < 2, e < 1, f < 1, g < 2 ln h < 1. Šo ooo, oolja, Va jo 2g + h < 4, eloos Zl laVbo zmanjšall ššdoilo bnoanodo šabo, Va Zl znoeob 5 lzplaoall e bnoanoom z osoVnoešjo 5. Zaplglmn soglšoo, bl jo VoZlmo e pngsognlm algo-slšmom, boš ■ n = 200a' + 100b' + 50c' + 20d' + 10e' + 5f' + 2g' + h'. Ponoono laVbo eblopamo, Vajo b' < 1, eaj požrešna mošoVa, oo jo mogooo, lzZoso booanoo z oreVnoešjo 200- Iz poVoZnlV sazlogoo VoZlmo: c' < 1, d' < 2, e' < 1, f' < 1, g' < 2, h' < 1 ln 2g' + h' < 4. Ker je n = 5 (40a + 20b + 10c + 4d + 2e + f) + 2g + h in velja 2g + h < 4, g < 2 in h < 1, dobimo pri deljenju števil n in 2g + h s številom 5 isti ostanek. To v matematiki zapišemo kot ■ n = 2g + h (mod 5). Na podoben nacin dobimo pREsEK 40 (2012/2013) 5 27 RAČUNALNI Š TV O Zaradi Tg + h < 4 in Tg' + h' < 4 velja g = g' in h = h'. Označimo z n-1 = (n- (Tg + h) + /55. Število n1 je naravno število, saj je (n - (Tg + h)) deljivo s 5. Ponovno lahko dobimo ■ m = f (mod T) in ni = f' (mod T). Ker je /< 1 in /'< 1 velja f = f'. S podobnimi razmisleki pokažemo, da jea = a', 0 = b', c = c', d = d' in e = e'. Torej s požrešno metodo zaevrske kovance vrnemo vedno najmanjše možno število kovancev. vrednosti 20). Vrednosti minKovancev(29), minKovancev(28), minKovancev(25), minKovancev(20) in minKovan-cev(10) izračunamo na enak nacin, torej rekurzivno. Ustavitveni pogoj rekurzivnega klicaje znesek 0, saj zanj ne vrnemo nobenega kovanca. Kako smo v prejšnjem primeru razmišljali? Naj bo n znesek, ki ga vracamo. Predpostavimo, da izberemo kovanec vrednosti k, torej smo vrnili en kovanec, moramo jih še vrniti toliko, kot jih vrnemo za znesek n - k. Za znesek 0 je rešitev, da ne vrnemo nobenega kovanca. Postopek bi lahko zapisali, kot je prikazano v algoritmu 1. Pravilna rešitevvvsakem primeru Kako bi izračunali optimalno rešitev za primeo si po-ijubnimi vrebnostmi kovencea? Eden od načinov je, epa se problema lotime s prideopom deli in vladaa. Ta 0?istop k reševanju problemop jen bil v Treseku rita opisaa (Prosek 4, T009dT010). distvo paisiopt je, da nalogo danego petblema razdelimo na maojae na-)ogjj istega problema, ki jih običajno rešimo rekurzivno. Primer. Recimo, da želimo s kovancr vrednoati {1, T, ?s 10, T0} (vcenoih) vrntti 30 centov. Seveda bi radi ponovno vrnbi najmanjše možno štovilo kovancev. Označimo z minKovanceain) najmanjšt iievilo Iišj-dancev za vzplačano mrednosn n. Iščemo toroj minKovaacev(t0). Naomanjše možno štroilo kovan-nev izročunamotako, da izberemo najmanjšo izmed naslednjih rešitev: ■ r + minKovančev(T9) (če je v rešitvi kovaneč raeolnosti 1), ■ 1 a mioiKoganceg^S) (ce je g aešitgi koranec raeOnosti 2), ■ 1 + minaoganceg(25) (ce -e g aešitgi koganec gaectaosti !j), ■ 1 + mmKoganceg(20) (ice -e g aešitgi kogrnec vaeOnosti 10) in ■ 1 + minKavrnaev(10) (ae je v letitvi davrnea Algorjtem 1: minKovancev(n) Vhod: znesek n, vrednorti kovancmv kovaaci Izhod: najmanjše število kovdnosv za izplaZila zneska n 1 if n = k then 2 | [eturn 0 3 ^nd 4 v 4- oo 5 for all /c na množice kovanci, kjer je k < n do 6 | v min{v, rvLiaLI^ovc^tocč(n ^ j.} 7 end 8 return v Rekurzivna rešrtev sevedani učinkovito, saj pogosto večkrat račun a rešitev za iste zsed nositi zne skov. Temu se lahkz izognemo tako, da si tešitve za že izračunane vrndnosti shranimo. Algoritem najprej preveri, če je želena rešitev že bila izšačunana. Če je bila, uporabi shranjeno vrednost, sičet jo izračuna. Torej v a^oe^imi potrebujemo polje, v katero si ze ooe vrednosti od 0 do n shranimo rešitev, lav ja le-ta znanci. Na aa način dobime učinkovitetši nlgoritem. ki je zspisan z algoritmom 2. V algoritmu 2 predpo-itavimo, da je vrednost shranjeneVrednzsti[0] = 0. Prtatjitt sami, da za primtj zntska 7 in artdnzsti kzaancta {1, 3,4, 5} dzbimz zptimalnz jtiitta, ki jt Ari pjjžjtSni mttzdi nismz dzbili. Razmislite tudi, kakz bi prilagzdili prtdstaaljtnz jtiitta, ct bi žt- 28 PRESEK 40 (2012/2013)5 RAČUNALNIŠTVO Algoritem 1: minKovancev(n) Vhoeij znesek n, vrednosti kovancev kovanci Izhod: najmanjše število kovancev za izplačilo zneska m ifshranjeneVredncsti[n] ni prazno then | return sliranje;n(e,V/re(lnoi5ti[nl iend V <— OO for ali k iz množice kovanci, kjer je k < n | v — min{v,minKovvaci(n — k) + k} rnd shranjeneVrednosti [n] = v teti acteg števila venjenih kovancev vedeti še, katere kovance ieberemo. Predstavljeni aecblem lahkc še bclj zaostrimo, saj smc do sedaj aredacstavljali, da imamc kovancev vsake vrednosti dovolj na ealogi. Razmislite, kako bi se saremenil algoritem, ce imeli aoeajek, koliko kovancev aosameene vrednosti imamo na raeaolago. _ XXX REŠITEV POiSCi MINE S STRANI 25 Križne vsote • Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9, tako, da je vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v crnem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) raz-licne. 14 10 8 9 6 13 16 11 8 10 \ 11 11 REŠITEV 1 m 2 m 2 2 m m m 4 m 2 1 m m 1 0 0 0 Z 6 LL L Z 6 - L E S LL 6 L E 0L S 9 \8 LL S 8 6 Z 9 \ 0L Pl XXX XXX PRESEK 40 (2012/2013) 5 29 Astronomska literatura Na enem mestu smo zbrali vse publ i kaeije s področja astronomije, ki so na voljo pri DMFA-založništvo, Med njimi sta Presekova zvezdna karta in revija Naše nebo: PRESEKOVA ZVEZDNA KARTA 4 Pavla Ranzinger: PRESEKOVA ZVEZDNA KARTA 2000,0 format 54 « 58 cm plastificirana, zložena 3,34 EUR NASE NEBO Ä13 Bojan Dintinjana, Dunja Fabjan, Uroš Kostič, Herman Mikuž, Tomaž Zwitter, MaruSa ŽerjaJ: NAŠE NEBO 2013, Astronomske efemeride SO strani formata 16 x 23 em mehka vezava nn EUR Poleg omenjenih dveh ponujamo Se veliko drugih astronomskih del. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publ i kaei jo tudi naročite s popustom: iittp://www.(im£a-zalQznlstvQ. 3 t/astro/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA, dijaki in študentje imate ob naročilu pri DMFA-zaiožništvo. popu sta na zgornje cene - Izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553 ali 4232 460. 4, 4, ^ RESiTE V NAGRADNE KRižANKE presek 40/4 • Pravilna rešitev nagradne križanke iz četrte številke 40. letnika Preseka je Dominantno število. Izmed pravilnih rešitev smo izžrebali Jožeta pavlišiča iz Črnomlja, Majo Ciglar iz Petrovč in Veroniko Hafner iz Kranja, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX 30 PRESEK 40 (2012/2013) 5 Venec •ir ^ ^ aleš mohorič • Slika prikazuje zanimiv pojav venca - korone okrog Sonca, ko se na oblačnih delcih vidijo raznobarvni krogi. Ta pojav imenujemo tudi iridescenca (beseda izhaja iz grške besede za mavrico - iris). Tako poimenujemo vsak pojav, ko telesa spreminjajo svojo barvo, odvisno od kota, pod katerim jih opazujemo. Slika je bila posneta na relativno jasen, soncen dan. Sonce je zastiral le tanek, koprenast oblak, najverjetneje iz drobnih kapljic. To, da so bile v oblaku kapljice in ne kristalcki, sodimo po tem, da je bil oblak sorazmerno nizko - zagotovo precej nižje od sledi letal na sliki. Pri oblaku so zanimivi tudi drobni pasovi na levi strani slike. Taka struktura nastane zaradi valovanja zraka v smeri gor-dol, pri cemer se ob dviganju zrak adiabatno ohlaja (oblak), pri spu-šcanju pa ogreva (ni oblaka). Raznobarvne lise (iridescenca) nastanejo zaradi uklona svetlobe na kapljicah. Barve se najlepše vidijo, kadar je oblak tanek (pri debelih oblakih so zato obarvani samo njihovi robovi) in ko so kapljice, ki ga sestavljajo, približno enakih velikosti. Iridescenca lahko nastane tudi dalec stran od Sonca; kadar pa je v njegovi bližini, pojav imenujemo korona. Za nastanek mavricnih barv poskrbi uklon svetlobe na kapljicah, ki tvorijo oblak. Kako vemo, da gre za uklon in ne morda za lom kot pri mavrici ali haloju? Radij korone je majhen - mavrica ali halo nikakor ne moreta biti tako majhna (premer haloja npr. vidimo pod približno tolikšnim kotom, kot ga oklepata konec palca in mezinca, ki ju opazujemo na razširjeni dlani iztegnjene roke). Barvne lise so urejene v koronarne obroce okoli Sonca, kadar so kapljice približno enako velike. Korono najlažje in najbolj varno opazujemo, ce neposredno soncevo svetlobo zastira kak predmet (v primeru na sliki je to žleb gorske koce). Najsvetlejši pas svetlobe okoli Sonca, ki ima rdec-kast rob, je avreola ali sij. Obkroža jo vec mavric-nih lokov korone. Korono lahko opazimo tudi po-noci okoli Lune. Vcasih nastane korona tudi na kri-stalckih, kadar so ti zelo majhni in po obliki dokaj okrogli, kar se lahko primeri ob hitrem zmrzovanju SLIKA 1. noto: TinaOgrisc) podhlajenih kapljic pri zelo nizkih temperaturah. Vett pojasnil najde zainteresiran bralec v Članku Coronas and Iridescence in Mountain Wave Clouds Over Northeastern Colorado, Paul J. Neiman in Joseph A. Shaw, American Meteorological Society, oktober 2003,1373-1386. _ XXX POPRAVEK iZ PREJŠNJE ŠTEVILKE PRESEKA V prejšnji številki Preseka, je na strani 6 zapisano število n s 40 decimalkami. Tiskarski škrat je dve decimalki zamenjal. Bralci, poiščite kateri! _ XXX www.presek.si PRESEK 40 (2012/2013)5 31 Zgodovina znanosti v stripu Sredi lan i koga decembra je Center za mladinsko književnost m knjižničarstvo pri Mestni knjižnici Ljubljana ie tretjič pot! ti i I priznanja Zlata hruSka. Z njimi so tokrat odlikovali kakovostno najboljših deset odstotkov otroške in mladinske književnosti, ki je izšla v letu 2011. DMFA-založniStvo je priznanje prejelo za strip Življenja Maric CuTt£< Švicarski avtor Raphat:l Fiammingo, s kratkim umetniškim imenom Fiami, v tem stripu večjega formata duhovito predstavlja nekaj izsekov iz zgodovine kemije, od Aristotela dt> današnjega časa. V vsakem razdelku nastopa dekle l 11 i ienska, katere ime je različica imena Marija, v čast veliki znanstvenici Maric Curie, Zgodbice ilustrirajo tudi vlogo žensk v raznih zgodovinskih obdobjih. Predvsem pa so zabavne in obenem poučne, saj zvemo marši kakšno zanimivo pod robnost o nastanku znanstvenih odkritij. Med najbolj posrečenimi je zgodbica o Mendeljejevu in njegovem sestavljanju periodnega sistema elementov. Tudi druge pripovedi ne zaostajajo. Knjigo je od lifno prevedel prof. dr. Atojz Kodre. f tNFetNOVA MUtMfi 7,6« kl:H 7,6S >;uk 8,31 KUH Pri DMFA-založništvo sta v Preseko vi knjižnici izšli še dve knjigi istega avtorja * Galileieva življenja, z zgodbami iz zgodovine astronomije, od Babi loncev do danes, ter • Einsteinova življenja, z zgodbami iz zgodovine fizike, vse od Sokrata do danes. Ta dva stripa je prav tako izvrstno prevedel Alojzij Franc Kodre, Sta enako zanimiva, zabavna in poučna in bosta bralcu brez dvoma polepšala dan. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu^er lahko vse publikacije tudi naročite: http:/Avww. dmfa-zaloznistvo. si/ individualni, naročniki revije Presek, člani DMFA, dijaki in študentje imate ob naročilu pri D MF A -založiti Š tvo ■. po p i: . na zgornje cene - izkoristi te ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766553.