i
i
“Strnad-antene” — 2010/6/14 — 11:42 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 16 (1988/1989)
Številka 6
Strani 334–337
Janez Strnad:
ZAKAJ SO ANTENE PARABOLIČNE?
Ključne besede: matematika, krivulje.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/16/954-Strnad.pdf
c© 1989 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
ZAKAJ SO ANTENE PARABOLICNE?
Na naslovni strani prve številke Preseka v šolskem letu 1988 /89 je videti vel iko
parabol ično anteno radijskega teleskopa. Slika pač spremlja članka o rotacij -
skem paraboloidu v notranjosti številke. V enaki vlogi kot v velikem radijskem
teleskopu najdemo del ploskve rotac ijskega paraboloida še pri drugih napravah.
Omenimo samo manjše parabolične antene za sprejem satelitske televizije in za
poštne brezžične zveze, reflektorje avtomobilskih žarometov, ki jim po doma-
če pravijo kar "parabole", in druge svetilke za osvetljevanje . Ob vrst i takih
naprav se vprašamo : Zaradi katere lastnosti uporabljamo v njih rotacijske para-
boloide? Poskusimo odgovoriti čim preprosteje.
Rotacijski paraboloid dobimo, ko zavrtimo parabol o okoli simetrijske osi.
Pri razglabljanju se bomo lahko omejili na ravnino, zato pojdimo v nasprotni
smeri in presecimo rotacijski paraboloid z ravnino, ki vsebuje os. To ravnino
prenesimo na papir. Os x koordinatnega sistema usmerimo po osi parabole in
postavimo izhodišče v teme (sl ika 1). Dobljeno parabolo opišemo z enačbo
z dano konstanto f. Na paraboloid naj pade vzporeden curek vidne svetlobe al i
radijskih valov vzporedno z osjo, ki ji zdaj recimo optična os. Zanimajmo se
vpa d na pravokotn ica
y
vzporednica k ta ngent i
I
I
I
/(xs' Vs )
h
2
vpad ni žarek
h
optična os
x
Slika 1. Vpadni žarek. vzporeden z optično osjo , se odbije na para boli in seka optično
os v gorišču.
334
samo za žarek v razdalji h od osi. Kako se odbije na paraboli in v kateri točki
seče os?
Pomagajmo si z odbojnim zakonom, po katerem je odbojni kot enak
vpadnemu. Da ležijo vpadni žarek, odbiti žarek in vpadna pravokotnica v isti
ravnini, v našem primeru ni treba posebej poudarjati.
Žarek zadene parabolo v točki (XI, YI)' kjer je YI = h in zato XI = h2/(4f).
Vpadna pravokotnica je premica, ki je pravokotna na parabolo v točki (x 1, YI).
Pravokotna na krivuljo? Ne, pač pa pravokotna na premico, ki jo v tej točki
prislonimo ob krivuljo, to je na tangento. Poiščimo smerni koeficient k enačbe
tangente .
Če točka (X2, Y2) , X2 =1= Xl leži na paraboli, torej X2 =Y22 /4f, potem je
smerni koeficient sekante skozi (XI, Yd in (X2, Y2) enak
I
Sekanta preide v tangento skozi točko (XI, Yd, ko potisnemo drugo točko
proti tej točki, tako da postane Y2 enak h (slika 2). Potemtakem velja k = 2fIh.
Iščemo točko (x ,Y = O), v kateri preseka odbiti žarek os Y = O. Nariši-
mo skozi to točko vzgore~nico k tangenti in jo zapišimo z enačbo
Y - O= (2flh)(x - X )
9
Ta premica seka žarek Y =h v točki (x , Y ), zato je X =X + h 2 /(2f). Ker vpa-
dna pravokotnica razpolavlja kot mea v~adnim in ~dbitlm žarkom, je točka
(XI, h) enako oddaljena od presečišča (x, Y ) in od točke (x .D), torej velja
s s 9
-,
pravokotn ica ..... .,
< .< . (X
p
' Y
p
)
'?- ......
Y - YI" ·' "p r .....
L:.~ .::o: 2 :::..~,• ..c.",,,"'" 'eJ
XI - Xp . ..... .~ - XI
(xI ,Yd·'-,
Slika 2. Premica, ki seka parabolo v dveh
točkah, preide v tangento, ko se druga
točka bliža prvi in se z njo zlije.
Slika 3. Če sta pravokotnica in tangenta
druga na drugo pravokotni , morata biti
osenčena trikotnika podobna.
335
optična os
Upoštevajmo enakosti
x =X +h2 / (2 f) in X l =h2 / (4 f )
S 9
pa brž izračunamo, da je Xg = f.
Bilo je naporno, a zdaj smo na koncu. Odbiti žarek seka optično os v
razdalji f od temena, ne glede na razdaljo vpadnega žarka od osi. Vsi vpadni
žarki , vzporedn i z optično os]o, se po odboju sekajo veni točki - gorišču. To
veljav vseh ravninah in zato tudi za rotacijsk i paraboloid . V gorišču rotac ijske-
ga paraboloida se zberejo vsi žarki, ki so pred odbojem vzporedni z optično
oslo . Ker nismo nikoli zares upoštevali smeri žarkov, lahko trditev obrnemo :
Vsi žarki, ki izvirajo iz gorišča, so po odboju vzporedni z optično osjo. Prvo
izkoriščamo pri radijsk ih antenah, majhnih in velikih, drugo pa pri ref lektorjih
z drobnimi svetili vseh vrst.
Veliki astronomski daljnogied i imajo zrcalno ploskev, ki je del krog le, ne
rotacijskega paraboloida. Zakaj? Pri dobrem zrcalu se mora ploskev na del
valovne dolžine natančno prilegati želenemu načrtu. Valovna dolžina zelene
svetlobe, na katero je oko najbolj občutljivo, meri pol tisočine milimetra, tako
da odstopanje ne sme presegati nekaj stotisočin milimetra . Tako natančno je
laže izdelati krogeino ploskev , ki je v vseh točkah enako ukrivljena, kot para-
boloid.
Pri zbiralnem krogelnem zrcalu se vsi žarki, ki so vzporedni z optično osjo,
po odboju ne sekajo veni točki. Tisti , ki so bliže osi, sekajo optično os nekoli- ·
ko dalj od temena, tisti, ki so bolj oddaljeni od osi, pa nekoliko bliže temenu
(slika 4) . Tej pomanjkljivost i je ime napaka pasov. V tem pogledu je krogeino
zrcalo slabše od paraboloidnega.
Slika 4 . Napaka pasov pri krogelnem zrcalu.
336