OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE ISSN 0473-7466 OBZORNIK MAT. FIZ. LJUBLJANA LETNIK 58 ŠT. 3 STR. 93–132 MAJ 2011 C KM Y 2011 Letnik 58 3 i i “kolofon” — 2011/6/28 — 6:34 — page 1 — #1 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, MAJ 2011, letnik 58, številka 3, strani 93–132 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Marko Petkovšek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Dreven- šek Olenik, Damjan Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič- nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za knjigo Re- publike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport. c© 2011 DMFA Slovenije – 1840 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate- matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle- ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni- ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na- pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 93 — #1 i i i i i i KOTALJENJE KROŽNICE PO REGULARNI KRIVULJI PRIMOŽ MORAVEC Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 53A04 V članku izpeljemo parametrično enačbo krivulje, po kateri se giblje izbrana točka na krožnici, ki se brez zdrsavanja kotali po regularni krivulji. Obravnavamo tudi kotaljenje po prostorskih krivuljah. ROLLING OF A CIRCLE OVER A REGULAR CURVE In this paper we find a parametric equation of a curve which is the locus of points generated by a fixed point of a circle as it rolls over a regular curve without slipping. We also consider the rolling of a circle over a space curve. 1. Uvod Če krožnico zakotalimo po vodoravni podlagi, pri čemer gibanje poteka brez zdrsavanja, krivuljo, ki jo opǐse izbrana točka na krožnici, imenujemo cikloida. Ime je postavil Galileo Galilei leta 1599, ko je to krivuljo preučeval v zvezi z gibanjem planetov. Cikloida je že v sedemnajstem stoletju imela pomembno vlogo v geometriji. Pravili so ji celo ”Helena geometrov“, saj je povzročala pogoste spore med matematiki tistega časa. Več o zgodovinskem ozadju te krivulje in nekaterih posplošitev lahko bralec najde v Proctorjevi knjigi [4]. Cikloida ima pomembno vlogo tudi v fiziki. To je namreč krivulja, ki je rešitev problema brahistohrone. Ta variacijski problem sprašuje po enačbi krivulje, ki gre skozi dani točki T1 in T2, po kateri se mora gibati točkasto telo pod vplivom sile teže, da bo v brezzračnem prostoru prǐsla najhitreje od T1 do T2. Problem in njegova rešitev sta obravnavana tudi v Vidavovi knjigi [6]. Poleg tega je Christiaan Huygens v sedemnajstem stoletju upo- rabil lastnosti cikloid pri konstrukciji natančnih ur, ki so se uporabljale v navigaciji. Geometrijske in fizikalne lastnosti cikloid ter nekaterih posploši- tev je podrobno opisal Lockwood [2]. Postavimo celotno dogajanje v ravninski kartezični koordinatni sistem, pri tem pa zaradi enostavnosti predpostavimo, da se krožnica polmera R kotali po abscisni osi. Če na začetku krožnico postavimo tako, da se abscisne Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 93 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 94 — #2 i i i i i i Primož Moravec x y 2πR 2R Slika 1. Kotaljenje krožnice po abscisni osi. osi dotika v izhodǐsču koordinatnega sistema, označimo točko O(0, 0) na tej krožnici in spremljamo njeno gibanje, ko se krožnica kotali v pozitivni smeri osi x, dobimo krivuljo, kot kaže slika 1. Razmeroma enostavno je izpeljati parametrično enačbo cikloide, ki je prikazana na sliki 1. V ta namen si oglejmo krožnico, ki je napravila pot Rt od izhodǐsča. Fizikalno gledano je to opravljena pot v času t, če se krožnica kotali s kotno hitrostjo 1 s−1. Če ima označena točka na tej krožnici koordinati P (x, y), potem s pomočjo slike 2 hitro vidimo, da x in y lahko opǐsemo s pomočjo t takole: x = R(t− sin t), (1) y = R(1− cos t). (2) V nadaljevanju članka si bomo ogledali splošneǰso situacijo, ko se kro- žnica kotali po primerni krivulji. Najprej bomo obdelali kotaljenje po rav- ninski krivulji. Tu bralcu za razumevanje zadošča osnovno znanje analize x y Rt 2R t C P Slika 2. Izpeljava parametrične enačbe cikloide. 94 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 95 — #3 i i i i i i Kotaljenje krožnice po regularni krivulji ter malo linearne algebre. Na koncu bomo pokazali, da lahko podoben na- čin uporabimo tudi za kotaljenje krogle vzdolž prostorske krivulje, ki leži na dani ploskvi. Tu bo poznavanje osnov diferencialne geometrije povsem zadoščalo. 2. Kotaljenje po regularni ravninski krivulji Recimo, da se krožnica polmera R kotali po regularni ravninski krivulji C, ki je dana s parametrično enačbo r = r(u) za u ∈ I ⊆ R. Ob tem se spomnimo, da krivulji z enačbo r = r(u) pravimo regularna krivulja, če je neskončnokrat zvezno odvedljiva, odvod ṙ = dr/du pa je različen od nič v vsaki njeni točki. Če si torej krivuljo predstavljamo kot tir gibanja točke, regularnostni pogoj pomeni, da se točka nikjer ne ustavi. Krivulji C pravimo lok, če je funkcija r na množici I injektivna, torej krivulja nima samopresečǐsč. Predpostavimo, da se krožnica kotali po regularnem loku brez zdrsavanja v smeri naraščajočega parametra u. Poleg tega bi radi dosegli, da se krožnica pri svojem kotaljenju nikjer ne ”zatakne“, kar pomeni, da krožnica krivuljo seka le v dotikalǐsču. Vsaj v primeru, ko je I kompaktna podmnožica v R, je to vedno mogoče: Trditev. Naj bo C regularen lok, ki je dan s parametrično enačbo r = r(u) za u ∈ I ⊆ R. Če je I kompaktna množica, obstaja R > 0, da se krožnica s polmerom R po krivulji C kotali brez zatikanja. Skicirajmo dokaz te trditve. Spomnimo se, da je krivinska krožnica v dani točki P krivulje C limita krožnic, ki gredo skozi P in njeni bližnji točki M in N na krivulji, ko gresta M in N proti P . Polmer krivinske krožnice v dani točki krivulje lahko izračunamo po formuli [7] ρ(u) = |ṙ(u)|3 |ẋ(u)ÿ(u)− ẏ(u)ẍ(u)| . Krivinska krožnica se v dani točki najbolje prilega krivulji, zato moramo za točke r(u0) na krivulji, v katerih sta sredǐsči kotaleče se krožnice in krivinske krožnice na isti strani krivulje, najprej zahtevati R ≤ ρ(u0). Kljub temu pa lahko krivinska krožnica seka krivuljo v točki, ki je poljubno blizu dane točke r(u0). Zato R še nekoliko zmanǰsajmo; če npr. zahtevamo R ≤ ρ(u0)/2, potem obstaja  = (u0) > 0, da krožnica s polmerom R, ki se krivulje dotika v r(u0), ne gre skozi točko r(u) za vsak u ∈ (u0 − , u0 + ) \ {u0}. 93–108 95 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 96 — #4 i i i i i i Primož Moravec Sedaj moramo doseči še, da kotaleča se krožnica ne seka točk r(u) na krivulji za u ∈ I \ (u0 − , u0 + ). Ker je množica I \ (u0 − , u0 + ) kompaktna in krivulja nima samopresečǐsč, je razdalja med r(u0) in lokom {r(u);u ∈ I \ (u0 − , u0 + )} pozitivna. Če je premer krožnice manǰsi od te razdalje, se krožnica preostanka krivulje ne dotakne. Kratek premislek pokaže, da se krožnica z malo manǰsim polmerom lepo kotali tudi v točkah blizu r(u0). Zato zaradi kompaktnosti obstaja polmer, ki ustreza pogojem v trditvi na celem intervalu I. Sedaj si oglejmo izpeljavo krivulje, ki jo opǐse izbrana točka na krožnici polmera R, ki se kotali po krivulji C. Fiksiramo točko na krožnici. Recimo, da je pri u = u0 to tista točka P0, kjer se krožnica dotika krivulje C, torej je njen položaj določen z r(u0). Pri izbiri, po kateri strani krivulje se krožnica kotali, imamo dve možnosti. Če se postavimo v sredǐsče C krožnice in gledamo proti dotikalǐsču krožnice in krivulje C, predpostavimo najprej, da je konec tangentnega vektorja ṙ, ki ga postavimo na krivuljo v dotikalǐsču, vedno na levi strani. Označimo točko na krivulji C, ki ustreza vektorju r(u), s P , opazovano točko na krožnici, ki se dotika krivulje v točki P , pa označimo s P ′. Postavimo t = ∠PCP ′. Potem je dolžina loka krivulje C med točkama P0 in P enaka dolžini krožnega loka med točkama P in P ′. Od tod dobimo naslednjo zvezo med parametroma t in u: t = 1 R ∫ u u0 |ṙ(v)|dv. (3) Z drugimi besedami, če gledamo Rt kot funkcijo parametra u, je to ravno naravni parameter za krivuljo C [7, stran 21]. Označimo z Vϕ linearno transformacijo R2 → R2, ki predstavlja vrtež za kot ϕ okrog izhodǐsča; bralec si lahko več o linearnih transformacijah prebere v Križaničevem učbeniku [1]. Vektor a od točke P do točke C dobimo tako, da enotski vektor v smeri vektorja ṙ zavrtimo za π/2 in potem ustrezno popravimo njegovo dolžino: a = R |ṙ| Vπ 2 ṙ. Če z rC označimo krajevni vektor točke C, potem iz zgornje zveze do- bimo rC = r + R |ṙ| Vπ 2 ṙ. 96 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 97 — #5 i i i i i i Kotaljenje krožnice po regularni krivulji Naš cilj je opisati krajevni vektor rP ′ točke P ′. To lahko dosežemo, če najprej vektor a zavrtimo za kot t v smeri gibanja urinega kazalca (torej v negativni smeri). Če z ã označimo vektor od točke C do točke P ′, dobimo ã = −V−ta, od tod pa sledi rP ′ = r + R |ṙ| (Vπ 2 − Vπ 2 −t)ṙ. (4) Podoben sklep lahko napravimo tudi tedaj, ko se krožnica po krivulji kotali z druge strani. Sedaj je torej, gledano iz sredǐsča C krožnice proti dotikalǐsču krožnice in krivulje C, konec tangentnega vektorja ṙ, ki ga po- stavimo na krivuljo v dotikalǐsču, vedno na desni strani. Vse, kar moramo spremeniti v zgornjem sklepu, so smeri vrtežev. Če upoštevamo, da velja V−π/2 = −Vπ/2, hitro dobimo rP ′ = r− R |ṙ| (Vπ 2 − Vπ 2 +t)ṙ. (5) Enačbi (4) in (5) sta vektorski enačbi krivulj, ki ju dobimo pri kotalje- nju krožnice po krivulji C. Če želimo dobiti parametrična opisa, označimo r = ( x(u) y(u) )T in rP ′ = (X(u) Y (u))T. V standardni bazi R2 lahko linearno transformacijo Vϕ predstavimo z matriko Vϕ = ( cosϕ − sinϕ sinϕ cosϕ ) , x y r = r(u) R ṙ t P0 C0 P P ′ C Slika 3. Kotaljenje krožnice po regularni krivulji. 93–108 97 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 98 — #6 i i i i i i Primož Moravec torej je Vπ 2 − Vπ 2 ∓t = ( ∓ sin t −1 + cos t 1− cos t ∓ sin t ) . Od tod sledi:( X(u) Y (u) ) = ( x(u) y(u) ) ± R√ ẋ(u)2 + ẏ(u)2 ( ∓ sin t(u) −1 + cos t(u) 1− cos t(u) ∓ sin t(u) )( ẋ(u) ẏ(u) ) . Če slednjo enačbo napǐsemo po komponentah, dobimo: Izrek. Naj bo C regularna ravninska krivulja, ki je dana s parametrično enačbo x = x(u), y = y(u). Krivulja, ki jo opǐse izbrana točka na krožnici polmera R, ki se kotali po krivulji C brez zdrsavanja, ima parametrično enačbo X(u)= x(u)± R√ ẋ(u)2 + ẏ(u)2 ( ∓ ẋ(u) sin t(u) + ẏ(u)(−1 + cos t(u)) ) , (6) Y (u)=y(u)± R√ ẋ(u)2 + ẏ(u)2 ( ẋ(u)(1− cos t(u))∓ ẏ(u) sin t(u) ) . (7) Pri tem je funkcija t(u) dana z enačbo (3), izbira predznaka pa je odvisna od tega, po kateri strani krivulje se krožnica kotali. Oglejmo si že znani primer, ko se krožnica kotali po osi x, torej x(u) = u, y(u) = 0, od koder dobimo ẋ(u) = 1, ẏ(u) = 0 in √ ẋ(u)2 + ẏ(u)2 = 1. Če postavimo začetno krožnico v izhodǐsče koordinatnega sistema, potem je u0 = 0, zato iz enačbe (3) sledi t = u/R oziroma u = Rt. Zato enačbi (6) in (7) postaneta X(t) = R(t − sin t) in Y (t) = ±R(1 − cos t). Dobimo enačbi dveh cikloid, eno na zgornji, drugo pa na spodnji strani abscisne osi. V naslednjem zgledu si oglejmo še en klasičen primer [2], ko se krožnica s polmerom R kotali brez zdrsavanja po krožnici s sredǐsčem v izhodǐsču in polmerom a, kjer je a > R. Slednjo krožnico lahko opǐsemo s parametrič- nima enačbama x = a cosu, y = a sinu. Izberimo u0 = 0, torej na začetku kotalečo se krožnico postavimo tako, da se dane krožnice s polmerom a do- tika v točki T (a, 0). Kratek račun pokaže, da je √ ẋ(u)2 + ẏ(u)2 = a. Iz enačbe (3) dobimo t(u) = au/R. Ker iz te zveze zlahka izrazimo u v odvi- snosti od t, bomo enačbi (6) in (7) raje zapisali v odvisnosti od parametra t: 98 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 99 — #7 i i i i i i Kotaljenje krožnice po regularni krivulji X(t) = (a∓R) cos R a t±R cos ( 1∓ R a ) t, (8) Y (t) = (a∓R) sin R a t−R sin ( 1∓ R a ) t. (9) Enačbi za X in Y , v katerih vzamemo zgornji predznak, predstavljata krivuljo, ki jo dobimo, če se krožnica s polmerom R kotali po notranji strani krožnice s polmerom a. Taki krivulji pravimo hipocikloida. Odlikovana posebna primera hipocikloid sta deltoida in astroida. Prvo dobimo za a = 3R, drugo pa za a = 4R. Njuna tira poti sta predstavljena na sliki 4. Omenimo, da je deltoido prvi preučeval Leonhard Euler leta 1745 v povezavi s problemom iz optike. Astroida ima pomembno vlogo v termodinamiki, to je namreč krivulja, ki loči območje z enim minimumom proste energije od tistega, ki ima dva taka minimuma [5]. Še več lastnosti teh dveh krivulj in drugih hipocikloid je opisanih v knjigi [2]. Če v enačbah (8) in (9) vzamemo spodnji predznak, predstavljata kri- vuljo, ki jo dobimo, če se krožnica s polmerom R kotali po zunanji strani krožnice s polmerom a. Taki krivulji pravimo epicikloida. Epicikloide je prvi preučeval Ole Rømer leta 1674 pri študiju najbolǰsih oblik zobatih koles. Kadar je a = R, kotaleča se krožnica napravi ravno en obhod. Krivulji, ki jo dobimo, zaradi njene značilne oblike pravimo kardioida. Kadar pa je a = 2R, dobljeno krivuljo imenujemo nefroida [2]. Obe krivulji sta prikazani na sliki 5. Kardioida ima več lepih geometrijskih lastnosti. Dobimo jo, če z inver- zijo preslikamo parabolo čez poljubno krožnico, katere sredǐsče leži v gorǐsču dane parabole. Poleg tega je kardioida rob osrednjega ”mehurčka“ Mandel- x y x y Slika 4. Deltoida in astroida. 93–108 99 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 100 — #8 i i i i i i Primož Moravec x y x y Slika 5. Kardioida in nefroida. brotove množice [3], ki ima pomembno vlogo v teoriji fraktalov, glej sliko 6. V fiziki sta kardioida in nefroida povezani s problemi iz optike. Epicikloida, dana z enačbama (8) in (9), je periodična natanko tedaj, ko je a/R racionalno število (podoben sklep velja tudi pri hipocikloidi). Na sliki 7 sta prikazana primera periodične in neperiodične epicikloide. Oglejmo si sedaj kotaljenje krožnice po verižnici, ki ima enačbo y = chx. Verižnico lahko parametriziramo kar z x(u) = u, y(u) = chu. Izberimo u0 = 0. Tedaj je √ ẋ(u)2 + ẏ(u)2 = chu, iz enačbe (3) pa dobimo t(u) = 1 R shu. Če to vstavimo v enačbi (6) in (7), dobimo parametrizaciji cikloid po veri- žnici, enkrat po zgornji, drugič pa po spodnji strani. Tudi v tem primeru dobimo nekoliko lepši enačbi, če parametriziramo po parametru t. Parame- ter u se da namreč lepo izraziti v odvisnosti od t: u = ArshRt. Slika 6. Mandelbrotova množica. 100 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 101 — #9 i i i i i i Kotaljenje krožnice po regularni krivulji x y x y Slika 7. Epicikloidi za a/R = 4 in a/R = √ 2. Ker je chu = √ 1 +R2t2, od tod dobimo: X(t) = ArshRt± R√ 1 +R2t2 (∓ sin t+Rt(−1 + cos t)), (10) Y (t) = √ 1 +R2t2 ± R√ 1 +R2t2 (1− cos t∓Rt sin t). (11) Obe tako dobljeni cikloidi sta prikazani na sliki 8. Oglejmo si, kaj se zgodi, če začetek kotaljenja po verižnici izberemo v kakšni drugi točki. Tedaj iz enačbe (3) dobimo t = 1 R (shu− shu0), torej u = Arsh(Rt + shu0). Ker tu enačbi cikloid po verižnici postaneta nekoliko bolj zapleteni, ju ne bomo zapisali. Bralca vabimo, da to za vajo stori sam. Tira poti obeh krivulj sta prikazana na sliki 9. Za konec si poglejmo še krivuljo, ki jo dobimo, če se krožnica kotali po Arhimedovi spirali. Arhimedova spirala ima v polarni obliki enačbo x y x y Slika 8. Kotaljenje krožnice po verižnici z začetkom v izhodǐsču. 93–108 101 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 102 — #10 i i i i i i Primož Moravec x y x y Slika 9. Kotaljenje krožnice po verižnici z začetkom zunaj izhodǐsča. ρ(ϕ) = aϕ, kjer je a > 0. Zato jo lahko parametriziramo z x(u) = au cosu, y(u) = au sinu. Postavimo u0 = 0. S kraǰsim računom hitro dobimo, da je√ ẋ(u)2 + ẏ(u)2 = a √ 1 + u2 in t = a R ∫ u 0 √ 1 + v2 dv = a 2R (u √ 1 + u2 + Arshu). V tem primeru je u težko izraziti v odvisnosti od t, zato enačbi cikloid (6) in (7) parametriziramo v odvisnosti od u. Tudi tu dobimo zapleteni enačbi, zato ju ne bomo zapisali. Cikloidi sta prikazani na sliki 10. Bralca ob tem vabimo, da s pomočjo zgoraj opisanega postopka poskuša sam najti nove primere cikloidnih krivulj. Poleg tega naj za zgornje pri- mere cikloid oceni, kolikšen je lahko največ polmer kotaleče se krožnice, da kotaljenje poteka brez zatikanja. 3. Kotaljenje po regularni prostorski krivulji Preselimo sedaj dogajanje v trirazsežni prostor in opazujmo kotaljenje kro- gle s polmerom R po ploskvi vzdolž dane krivulje, ki leži na tej ploskvi. Naj bo D odprta podmnožica v R2 in naj bo P ploskev, ki je podana s parametrično enačbo r = r(u, v), kjer je (u, v) ∈ D in je r : D → R3 ne- skončnokrat parcialno zvezno odvedljiva funkcija. Predpostavimo še, da je 102 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 103 — #11 i i i i i i Kotaljenje krožnice po regularni krivulji Slika 10. Kotaljenje krožnice po Arhimedovi spirali. ploskev regularna, kar pomeni, da na celotnem območju D velja ru × rv 6= 0 . Naj bo u = u(w) in v = v(w), kjer je w ∈ I ⊆ R, parametrična enačba regu- larne krivulje, ki poteka po območju D. Tedaj je r = r(u(w), v(w)) enačba regularne krivulje C, ki leži na ploskvi P. Pri oznakah smo tu malce površni in r uporabljamo tako za krajevni vektor r(u, v) točke na ploskvi kot tudi za krajevni vektor točke r(w) na krivulji, vendar pa je iz konteksta nedvoumno razvidno, kaj oznaka pomeni. Tudi tu predpostavimo, da je parametrizacija krivulje injektivna in da se krogla kotali v smeri naraščajočega parametra w. Izberimo začetno točko P0 ∈ C, ki ji v parametrizaciji ustreza parameter w0. Naj bo P poljubna točka na krivulji C, ki ji ustreza parameter w in ima krajevni vektor r. Naj bo t enotski vektor v smeri tangente na krivuljo C v točki P , torej velja t = ṙ |ṙ| , (12) pri čemer tu uporabljamo oznako ṙ za odvod funkcije r po spremenljivki w. Po verižnem pravilu velja ṙ = u̇ru + v̇rv, kar dokazuje (gl. tudi izrek II.1 v [7]), da tangentni vektor t leži v tangentni ravnini Σ na ploskev P v točki P , torej tisti ravnini, ki gre skozi točko P in vsebuje vektorja ru(w) in rv(w). Naj bo n enotska normala na ravnino Σ, torej n = ± ru × rv |ru × rv| . (13) 93–108 103 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 104 — #12 i i i i i i Primož Moravec Pri tem je predznak odvisen od tega, kako si na začetku izberemo orientacijo ploskve P. To storimo tako, da normala kaže v isto smer kot vektor od P do C, kjer je C sredǐsče kotaleče se krogle, ki se ploskve dotika v točki P . Na krogli izberimo opazovano točko, pri čemer predpostavimo, da se pri w = w0 ta točka ujema s P0. Naj bo P ′ opazovana točka na krogli v trenutku, ko se ta prikotali v točko P . Točki P in P ′ ležita na krožnici s sredǐsčem C in polmerom R, ki leži v pritisnjeni ravnini krivulje C v točki P , torej ravnini, ki vsebuje enotska pravokotna vektorja t in n. Če je I kompaktna množica, potem lahko izberemo tak R > 0, da ko- taljenje krogle s polmerom R po krivulji C poteka brez zatikanja. Sklep je podoben kot v ravninskem primeru, zato bralca vabimo, da podrobnosti izpelje sam. Pri tem omenimo le, da se krivinski polmer ρ(w) prostorske kri- vulje računa kot ρ(w) = 1/κ(w), kjer je κ(w) fleksijska ukrivljenost oziroma zvitost krivulje v dani točki. Ta se izračuna po formuli [7] κ(w) = |ṙ(w)× r̈(w)| |ṙ(w)|3 . Izpeljimo sedaj enačbo krivulje, ki jo opǐsejo točke P ′. Naj bo t = ∠PCP ′. Podobno kot v ravninskem primeru, torej kot v enačbi (4), dobimo rP ′ = r +R(VΣπ 2 − VΣπ 2 −t)t, (14) kjer VΣϕ označuje vrtež R3 → R3 okrog izhodǐsča v koordinatnem sistemu v pozitivni smeri za kot ϕ okrog osi, napete na vektor t× n. Vektorji t, n in t × n tvorijo ortonormirano bazo prostora R3. Hitro vidimo, da je VΣϕ t = cosϕ · t + sinϕ · n, t n P P0 C P ′ t Σ Slika 11. Kotaljenje krogle po prostorski krivulji. 104 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 105 — #13 i i i i i i Kotaljenje krožnice po regularni krivulji zato lahko enačbo (14) prepǐsemo v rP ′ = r−R sin t · t +R(1− cos t) · n. (15) Preostane nam še, da najdemo zvezo med parametroma t in w. Tu opazimo, da je dolžina loka krivulje C med P0 in P enaka dolžini krožnega loka med točkama P in P ′. Zato je t = 1 R ∫ w w0 |ṙ(ω)|dω = 1 R ∫ w w0 √ Eu̇2 + 2Fu̇v̇ +Gv̇2 dω, (16) kjer so E = ruru, F = rurv in G = rvrv koeficienti prve fundamentalne forme ploskve P [7]. Iz enačbe (16) dobimo t izražen v odvisnosti od para- metra w, Rt pa je tudi tu naravni parameter krivulje C. Enačba (15) nam že podaja vektorski opis cikloidne krivulje, ki jo dobimo pri kotaljenju krogle s polmerom R po krivulji C. Pri risanju tira poti krivulje je uporabneǰsi zapis enačbe po komponentah. Vektor r ima komponente ( x(w) y(w) z(w) )T, poleg tega pa označimo rP ′ =( X(w) Y (w) Z(w) )T. Komponente vektorjev t in n dobimo iz enačb (12) in (13). Če označimo ru × rv = ( x̃(w) ỹ(w) z̃(w) )T in upoštevamo, da je |ru × rv| = √ EG− F 2, potem dobimo Izrek. Naj bo P regularna ploskev, dana z enačbo r = r(u, v). Naj bo r = r(u(w), v(w)) enačba regularne krivulje C, ki leži na ploskvi P. Ob zgornjih oznakah izbrana točka na krogli s polmerom R, ki se kotali po ploskvi P vzdolž krivulje C, opǐse krivuljo z enačboXY Z  = xy z − R sin t√ ẋ2 + ẏ2 + ż2 ẋẏ ż ± R(1− cos t)√ EG− F 2 x̃ỹ z̃  . (17) Pri tem izbira ± v enačbi (17) odloča o tem, po kateri strani ploskve se krogla kotali. Oglejmo si primer, ko se krogla s polmerom R kotali po vzporedniku sfere z enačbo x2 +y2 +z2 = a2, kjer je a > R. Sfero lahko parametriziramo s sfernimi koordinatami: r(ϕ, θ) = a sin θ cosϕa sin θ sinϕ a cos θ  . 93–108 105 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 106 — #14 i i i i i i Primož Moravec Pri tem je ϕ ∈ [0, 2π) in θ ∈ [0, π]. Točke na danem vzporedniku so natanko tiste, ki imajo konstanten parameter θ, torej θ = θ0. Vektorska funkcija r(ϕ, θ0) nam podaja parametrizacijo vzporednika v odvisnosti od parametra ϕ. Izberimo še orientacijo sfere tako, da normala vedno kaže ven, torej naj se krogla kotali po zunanji strani sfere. Iz enačb (12) in (13) s kraǰsim računom dobimo t = − sinϕcosϕ 0  , n = sin θ0 cosϕsin θ0 sinϕ cos θ0  . Če izberemo začetno vrednost za ϕ kar ϕ0 = 0, potem iz enačbe (16) dobimo t = 1 R ∫ ϕ 0 |ṙ(ω, θ0)|dω = a sin θ0 R ϕ. Označimo A = (a/R) sin θ0. Če opazimo, da je r = an, iz enačbe (15) dobimoXY Z  = (a+R(1− cosAϕ)) sin θ0 cosϕsin θ0 sinϕ cos θ0 −R sinAϕ − sinϕcosϕ 0  . (18) Dva primera krivulj z enačbo (18) sta prikazana na sliki 12. Omenimo še, da je krivulja, dana z enačbo (18), periodična natanko tedaj, ko je razmerje med polmerom vzporednika pri θ = θ0 in polmerom R kotaleče se krogle racionalno število. Lahko je videti, da je to izpolnjeno natanko tedaj, ko je A ∈ Q. x y z x y z Slika 12. Kotaljenje krogle po vzporedniku sfere. 106 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 107 — #15 i i i i i i Kotaljenje krožnice po regularni krivulji x y z Slika 13. Kotaljenje po spirali, naviti na valj. Za konec vabimo bralca, da sam izpelje še nekaj podobnih enačb. Poǐsče naj na primer enačbo krivulje, ki jo dobimo, če se krogla s polmerom R kotali po spirali s parametrično enačbo r(t) = a cos ta sin t bt  kjer sta a in b pozitivni števili. Pri tem naj upošteva, da je ta spirala napeta na valj x2+y2 = a2. Pri izpeljavi je dobro uporabiti parametrizacijo ploskve s cilindričnimi koordinatami. Ena od teh cikloidnih krivulj je prikazana na sliki 13. Kot zadnji zgled si oglejmo kotaljenje krogle po spirali r(t) = at cos btat sin bt at  , ki je navita na stožec x2 + y2 = z2. Bralec lahko za vajo izpelje enačbo te cikloidne krivulje, katere tir poti je prikazan na sliki 14. 93–108 107 i i “Moravec” — 2011/7/6 — 6:30 — page 108 — #16 i i i i i i x y z Slika 14. Kotaljenje po spirali, naviti na stožec. LITERATURA [1] F. Križanič, Linearna algebra in linearna analiza, Državna založba Slovenije, d. d., Ljubljana, 1993. [2] E. H. Lockwood, A book of curves, Cambridge University Press, Cambridge, 1961. [3] H.-O. Peitgen, H. Jürgens in D. Saupe, Chaos and fractals – New Frontiers of Science, Springer, New York, 1992, 2004. [4] R. A. Proctor, A treatise on the cycloid and all forms of cycloidal curves, Longmans, Green and Co., London, 1878. [5] E. C. Stoner in E. P. Wohlfarth, A Mechanism of magnetic hysteresis in heterogeneous alloys, Phil. Trans. R. Soc. London A 240 (1948), 599–642. [6] I. Vidav, Variacijski račun, Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, Lju- bljana, 1985. [7] I. Vidav, Diferencialna geometrija, Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, Ljubljana, 1989. VESTI OBVESTILO V Obzorniku za matematiko in fiziko, letnik 49, št. 2, str. 62–63, in na domači strani DMFA http://www.dmfa.si/pravilniki/Pravilnik_Drustve- naPriznanja.html je objavljen Pravilnik o podeljevanju društvenih priznanj. Vabimo vas, da pisne predloge (z utemeljitvami) v skladu s tem pra- vilnikom za letošnja priznanja pošljete do 30. septembra 2011 na na- slov: DMFA Slovenije, Komisija za pedagoško dejavnost, Jadran- ska ul. 19, 1000 Ljubljana. Predsednik DMFA Slovenije prof. dr. Sandi Klavžar 108 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Strle” — 2011/7/6 — 6:31 — page 109 — #1 i i i i i i KVANTNA ELEKTRODINAMIKA V SLEDI SVINČNIKA CHRISTOPH GADERMAIER in JURE STRLE Odsek za kompleksne snovi Institut Jožef Stefan PACS: 73.22.Pr, 72.80.Vp, 81.05.ue, 78.67.Wj Predstavljamo grafen, za raziskave katerega je bila lani podeljena Nobelova nagrada za fiziko, in njegove fizikalne lastnosti, proizvodnjo ter možnosti uporabe. Osredotočamo se na elektronsko strukturo in lastnosti, izvirne pojave, povezane s kvantno elektrodinamiko, ter uporabo v optiki in elektroniki. QUANTUM ELECTRODYNAMICS IN A PENCIL TRACE On the occasion of last year’s Nobel Prize in physics we give an overview of the physical properties, production, and potential applications of graphene. We concentrate on the electronic structure and properties, the most original phenomena related to quantum electrodynamics, and optical and electronic applications. Iz makroskopskega sveta smo vajeni, da se osnovne fizikalne in kemične la- stnosti snovi ne spreminjajo z velikostjo predmeta, ki ga snov tvori. Če kos kovine zgolj prerežemo na dva dela, bosta še vedno imela enako go- stoto, trdoto, barvo, prevodnost in tako dalje. Toda če kovino režemo še naprej na čedalje manǰse kose, se bodo pod neko mejo lastnosti lahko za- čele spreminjati. Kot primer vzemimo delce snovi, katerih velikost je pri- merljiva z valovno dolžino vidne svetlobe; sipanje svetlobe na njih in zato tudi barva delcev sta odvisna od njihove velikosti. Kljub nepoznavanju fi- zikalnega ozadja so to dejstvo izkorǐsčali že v srednjem veku, ko so steklu primešali nanodelce in dobili barvno steklo za zasteklitve cerkva. Če kose manǰsamo še naprej do velikosti valovnih dolžin elektronov v trdnih snoveh, to je nekaj nanometrov, postanejo tudi elektronske lastnosti snovi močno odvisne od njene velikosti in oblike. Dimenzionalna odvisnost funkcionalnih lastnosti snovi, kot je električna prevodnost, pomeni velik nanotehnološki potencial, saj omogoča izdelavo materialov s popolnoma novimi lastnostmi ali kombinacijami lastnosti, ki se jih da prilagajati želeni uporabi s spremi- njanjem velikosti ali oblike snovi na nanoskali. Grafit je ena pogosteǰsih oblik čistega ogljika. Njegovo plastovito struk- turo sestavljajo dvodimenzionalne šesterokotne kristalne mreže atomov ogljika, ki so naložene druga na drugo. Vsaka posamezna mreža se ime- nuje grafen in potrebujemo jih kar tri milijone, da dobimo grafit debeline Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 109 i i “Strle” — 2011/7/6 — 6:31 — page 110 — #2 i i i i i i Christoph Gadermaier in Jure Strle Slika 1. Idealna dvodimenzionalna šestkotna kristalna struktura grafena. Razdalja med dvema sosednjima ogljikovima atomoma v mreži je 0,142 nm [20]. enega milimetra (glej sliko 1). Ko pǐsemo z grafitnim svinčnikom, se plasti grafita v mini trgajo in odlagajo na papirju. Takemu razcepljanju pravimo eksfoliacija in pravzaprav gre tudi tu za tanǰsanje materiala, ki lahko privede do spremembe lastnosti snovi. Čeprav plasti v sledi svinčnika še vedno vse- bujejo sloje grafita, sestavljene iz več grafenskih mrež, jih je možno dodatno eksfoliirati na presenetljivo preprost način. Lanska Nobelova nagrajenca za fiziko Andre Geim in Konstantin Novoselov sta leta 2004 uporabila navaden lepljiv trak, da sta odtrgala plast grafita – pravzaprav je šlo za visokourejen pirolitski grafit, čisteǰso in bolj urejeno različico grafita od običajne mine svinčnika – in jo nato pritisnila ob substrat. Tako se od tanke plasti grafita na lepljivem traku odlomijo drobne zaplate. Nekatere od njih so sestavljene iz le nekaj ali celo iz ene same plasti grafena. Kljub zelo slabemu izkoristku takega postopka pa pravi izziv ni dobiti posamezne plasti grafena, ampak jih ločiti od preostalih večplastnih slojev. Geim in Novoselov sta odkrila, da se grafen pod optičnim mikroskopom lepo loči od praznega substrata (glej sliko 2), če je kot substrat uporabljena 300 nanometrov debela plast silicije- vega dioksida na siliciju, ki se sicer zelo pogosto uporablja v polprevodnǐski industriji. Debelina oksidne plasti je bistvena, saj že pri 315 nanometrih kontrast, ki je posledica interference v oksidni plasti, popolnoma izgine [1]. V raziskovalni skupnosti je bilo to odkritje nekoliko presenetljivo, saj so teoretiki napovedovali nestabilnost posameznih dvodimenzionalnih krista- lov in ti naj bi v naravi obstajali zgolj kot del drugega materiala, kot na primer v grafitu. Pravzaprav je narava elegantno zaobšla teoretične ome- jitve: posamezne plasti grafena niso povsem dvodimenzionalne, kajti niso popolnoma ravne, ampak nežno valovite s karakteristično dolžino okrog 10 nanometrov (glej sliko 3) [2]. 110 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Strle” — 2011/7/6 — 6:31 — page 111 — #3 i i i i i i Kvantna elektrodinamika v sledi svinčnika Slika 2. Slika grafenskih plasti, posneta z optičnim mikroskopom. c©Peter Blake, Graphene Industries, ltd. Prvi Geimov in Novoselovov eksperiment na nekajplastnih in enoplastnih grafenskih slojih je bila meritev osnovnih električnih lastnosti – prevodno- sti, elektronske mobilnosti in vpliva električnega polja [3]. Električno prevo- dnost določa sipanje elektronov na nečistočah in nihanjih kristalne mreže. Povprečna prosta pot elektronov med sipanji v bakru pri sobni temperaturi meri okrog 40 nanometrov. V grafenu pa znaša osupljivih 400 nanometrov, kar je vzrok tudi izjemno visoki elektronski mobilnosti. Teoretični izračuni elektronskih pasov so predvidevali, da se v grafenu zapolnjen valenčni pas in prazen prevodni pas ne sekata, ampak le dotikata (glej sliko 4) – ta- kim materialom pravimo ”polprevodniki z ničelno energijsko režo“ – zato so v grafenu pričakovali nizko koncentracijo nosilcev naboja, ki naj bi bila tudi močno odvisna od temperature. A tudi v najčisteǰsih vzorcih, kjer ni dodatnih nosilcev naboja zaradi nečistoč, je upor nepričakovano majhen. Kaže celo, da obstaja naravna zgornja meja upora, ki znaša okrog 1/4 von Klitzingove konstante kvanta upora Rk = h/e2. V tranzistorju na poljski pojav (ang. Field Effect Transistor – FET) povečujemo koncentracijo nosil- cev naboja, to je elektronov v prevodnem pasu ali vrzeli v valenčnem pasu, linearno z napetostjo na vratih n = βVG, β = 7,2 1010 cm−2V−1, zaradi če- sar upor pada z 1/VG. Grafenskih tranzistorjev zaradi kvantiziranega upora 109–120 111 i i “Strle” — 2011/7/6 — 6:31 — page 112 — #4 i i i i i i Christoph Gadermaier in Jure Strle Slika 3. Model grafenske membrane. c©Max-Planck Institute for Solid State Research. nikoli ne moremo popolnoma izklopiti, kar zahteva nekoliko drugačne pri- jeme od tistih v sodobnih vezjih, ki temeljijo na vklopljenih in izklopljenih tranzistorjih. Po drugi strani visoka elektronska mobilnost grafenskih vezij obljublja izjemne frekvence preklapljanja, dosegajoč celo terahertze. S stalǐsča temeljne fizike pa je verjetno najbolj osupljiv elektronski po- jav v grafenu obstoj ”brezmasnih elektronov“ ali ”Diracovih delcev“ [4], ki je navdihnil naslov več Geimovih predavanj in tudi pričujočega članka. Za elektrone in druge masivne delce v vakuumu velja povezava med njihovo valovno dolžino in energijo E = h 2 2mλ2 = ~ 2k2 2m , kjer je k = 2π/λ dolžina valovnega vektorja. Energija E kot funkcija k za masivne proste delce ima obliko parabole, katere ukrivljenost je določena z maso delca. Za brezma- sne delce, denimo fotone, pa velja E = hcλ = ~ck in graf E(k) je premica ali, če upoštevamo vektorsko naravo k in dovolimo gibanje v ravnini, plašč stožca, katerega naklon je določen s svetlobno hitrostjo. Drugače od pro- stih delcev elektroni v kristalih interagirajo z električnim poljem pozitivno nabite kristalne mreže, zato se odvisnost E(~k) ali disperzija razlikuje od parabol prostih elektronov. Navidezni masi elektronov, ki ustreza ukrivlje- nosti disperzije v kristalih, pravimo efektivna elektronska masa in je lahko precej drugačna od dejanske elektronske mase. Posebnost grafena je, da za elektrone v prevodnem in vrzeli v valenčnem pasu velja enaka stožčasta odvisnost kot za brezmasne delce, le da naklon ne ustreza svetlobni hitrosti, marveč Fermijevi hitrosti vF , ki je v grafenu približno 106 m/s. Tudi hitrost elektronov v grafenski mreži je neodvisna od njihove energije, podobno kot 112 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Strle” — 2011/7/6 — 6:31 — page 113 — #5 i i i i i i Kvantna elektrodinamika v sledi svinčnika Slika 4. Izračunana energija elektronov v grafenu za valovne vektorje ~k = (kx, ky). Stož- časti predeli nezasedenih elektronskih stanj in zasedenih stanj se dotikajo brez energijske reže [21]. velja za fotone. Fermijeva hitrost v grafenu je tako elektronski ekvivalent svetlobni hitrosti pri fotonih. Popolna simetrija med disperzijama elektro- nov in vrzeli ustreza elektronsko-pozitronski simetriji fizike visokih energij. Efekti kvantne elektrodinamike, ki povezuje kvantno mehaniko in posebno relativnost, so pogosto obratno sorazmerni s hitrostjo svetlobe c in so v gra- fenu tako ojačani za faktor c/vF ≈ 300, kar omogoča kvantnoelektrodinam- 109–120 113 i i “Strle” — 2011/7/6 — 6:31 — page 114 — #6 i i i i i i Christoph Gadermaier in Jure Strle ske raziskave tudi brez zelo drage opreme v skoraj namiznih eksperimentih, lahko bi rekli ”v sledi svinčnika“. Prvi eksperimentalni dokaz stožčaste odvisnosti disperzije v grafenu je bilo opaženje Shubnikov-de Haasovega efekta. Elektroni v magnetnem polju se premikajo po vijačnici, katere os je vzporedna s poljem. Kot razloži kvantna mehanika, lahko njihove vrtilne količine in energije zavzemajo le določene vrednosti. Če postavimo trdno snov v magnetno polje in nato polje linearno spreminjamo, se ti dovoljeni energijski nivoji premikajo, kar povzroči periodično modulacijo števila prevodnih elektronov in zato tudi modulacijo prevodnosti kot funkcije magnetnega polja. Iz odvisnosti tega efekta od števila prevodnih elektronov kot posledice električnega polja lahko izračunamo disperzijsko zvezo in za grafen dobimo E ∝ k. Drug primer kvantnoelektrodinamskega efekta v grafenu je Kleinovo tuneliranje. Kvantnomehansko tuneliranje je efekt, pri katerem obstaja končna verjetnost, da delec premaga energijsko prepreko, ki je vǐsja od nje- gove kinetične energije, kar ni v skladu s klasično fiziko ali zdravo pame- tjo. Ta efekt je pomemben pri veliko različnih pojavih, od radioaktivnega razpada do izmenjave elektronov ali protonov pri encimih. Verjetnost za tuneliranje se precej hitro manǰsa z naraščanjem vǐsine ali širine energijske prepreke. Kvantna elektrodinamika pa predvideva, da gredo lahko brezma- sni Diracovi delci neovirano skozi prepreko, tudi če je ta precej visoka ali široka, če nanjo vpadajo pod skoraj pravim kotom. V grafenu so Kleinovo tuneliranje elektronov že potrdili tudi eksperimentalno [5]. Kvantna elektrodinamika opisuje elektromagnetno interakcijo prek sklo- pitvene konstante za to interakcijo, ki je znana tudi pod imenom konstanta fine strukture. To je brezdimenzijsko število α, ki ga dobimo iz preostalih te- meljnih konstant narave: α = e 2 4πε0~c ≈ 1 137 . Definicija konstante fine struk- ture je pogosto zapisana v sistemu enot CGS, kjer je člen 4πε0 izpuščen. V grafenu je prevodnost pri visokih frekvencah konstantna: G = e 2 4~ , nanjo pa je neposredno vezana optična prepustnost: T = 1 (1+2πG/c)2 = 1 (1+πα/2)2 ≈ 1 − πα. Tako vsaka grafenska plast absorbira približno πα ≈ 2,3 % sve- tlobe neodvisno od valovne dolžine, kar so eksperimentalno potrdili za ce- loten spekter vidne svetlobe in večje dele spektra infrardeče svetlobe (glej sliko 5)[6]. Grafen ima poleg zanimivih pojavov temeljne fizike tudi več praktično uporabnih lastnosti. Omenili smo že grafenske tranzistorje, ki imajo v te- oriji lahko izjemne frekvence preklapljanja. Morda za izdelavo integriranih vezij še bolj pomembna pa je visoka toplotna prevodnost grafena, ki je kar 114 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Strle” — 2011/7/6 — 6:31 — page 115 — #7 i i i i i i Kvantna elektrodinamika v sledi svinčnika Slika 5. Slika 50 mikrometrov široke odprtine, ki je delno zastrta z grafenom in njegovo dvoplastjo [22]. desetkrat vǐsja od toplotne prevodnosti bakra. Odvajanje toplote je namreč eden večjih izzivov polprevodnǐske tehnologije, saj sodobni mikročipi že zdaj proizvajajo več toplote na enoto prostornine kot plošče na štedilniku. Druga ideja je uporaba grafena kot prosojne elektrode v ploskih zaslonih. Za zdaj kot optično prepustne elektrode največ uporabljajo indijev kositrov oksid (ang. Indium Tin Oxide – ITO), ki omogoča tehnološko gledano najučin- koviteǰso kombinacijo električne prevodnosti in optične prepustnosti. Toda indij je precej redka kovina in zaradi krčenja svetovnih zalog so materiali, ki bi lahko primerno nadomestili ITO, zelo iskani. Za industrijo spreje- mljiva vrednost absorpcije svetlobe v takih elektrodah je 10–15 %, in ker vsaka grafenska plast absorbira 2,3 % svetlobe, bi bili uporabni tudi na- nosi, ki vsebujejo do šest plasti. Grafen lahko tudi ukrivljamo, kar omogoča izdelavo upogljive elektronike in zaslonov. Naredili so že manǰse delujoče prototipe takih elektrod [7] in neodvisno od tega tudi večplastne grafenske filme premera skoraj 1 meter [8]. Morda se bodo naprave na podlagi grafena že v nekaj letih začele pojavljati v naših pisarnah in dnevnih sobah. Poleg svojih osupljivih električnih, optičnih in toplotnih lastnosti pa ima grafen tudi izjemno mehansko trdnost. Hipotetična viseča mreža iz ene same plasti grafena površine 1 m2 bi lahko nosila breme 4 kilogramov – denimo mačko (kot je karikirano na sliki 6), tehtala pa bi zgolj 0,77 mg, kar ustreza masi enega mačkinega brka. Obenem lahko grafen elastično raztegnemo za 20 %, kar je več kot pri kateremkoli drugem kristalu [9]. 109–120 115 i i “Strle” — 2011/7/6 — 6:31 — page 116 — #8 i i i i i i Christoph Gadermaier in Jure Strle Slika 6. Ena sama plast grafena bi lahko rabila kot viseča mreža srednje veliki mački. Ilustracija: Airi Illiste c©The Royal Swedish Academy of Sciences. Čeprav je uporaba čistega grafena v gradbene namene za zdaj še utopija, pa ni izključeno dodajanje grafena v plastično maso in jo tako ojačati podobno, a veliko močneje, kot to lahko dosežemo z ogljikovimi vlakni. Nove možnosti uporabe grafena vključujejo tudi kemijsko zaznavanje. Delovanje plinskih senzorjev temelji na adsorpciji molekul plina na površini trdne snovi, ki zato nekoliko spremeni svoje fizikalne lastnosti; navadno me- rijo spremembe električne prevodnosti. Seveda se lastnosti spremenijo le v bližini površine, globlje v notranjosti je vpliv adsorpcije premajhen. Dvodi- menzionalni materiali pa notranjosti nimajo, saj so vsi njihovi atomi blizu površine, grafen ima celo samo površinske atome, zato so kot senzorji lahko izjemno občutljivi. Grafen odlikujejo zelo nizek šum, dober stik s kovin- skimi elektrodami in velika prevodnost že z malo dodanimi nosilci naboja. Zahvaljujoč tako prikladnim lastnostim je Geimova in Novoselovova skupina na mikronskem kosu grafena začutila posamezno molekulo NO2, kar je tako rekoč skrajna meja zaznavanja [10]. Enostavnost eksfoliacije z lepilnim trakom sicer omogoča dostop do raz- iskovanja grafena vsem laboratorijem, a iznašli so že metode, ki privedejo do večjih količin grafena, večjih mrež ali celo mrež nadzorovanih oblik. Ena izmed njih je epitaksialna rast grafena na silicijevem karbidu (SiC) [11]. Gra- fenske plasti zaradi močne interakcije s površino v tem primeru ne moremo obravnavati kot ločenega dvodimenzionalnega kristala, kar sicer omogoča bolǰso stabilnost in večje mreže, po drugi strani pa to vpliva na elektronske lastnosti grafena in za veliko raziskav ga je treba najprej prenesti s podlage. Drugi način je rast grafena na določenih kovinskih substratih iz organskih 116 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Strle” — 2011/7/6 — 6:31 — page 117 — #9 i i i i i i Kvantna elektrodinamika v sledi svinčnika Slika 7. Molekule fulerena C60 in ogljikove nanocevke si lahko zamislimo kot zgrajene iz primerno oblikovanih kosov grafenskih mrež. Ilustracija: Airi Illiste c©The Royal Swedish Academy of Sciences. par, denimo metana, prek postopka, imenovanega nanašanje s kemičnim na- parevanjem (ang. Chemical Vapour Deposition – CVD) [12]. To je ceneǰsa metoda od epitaksialne rasti in je tudi privedla do največjih mrež grafena. Za mreže točno določenih oblik pa so organski kemiki predlagali postopek izgradnje od spodaj navzgor. Nekatere organske molekule, kot je naftalen, so sestavljene iz nekaj benzenovih obročev, ki si delijo stranico ali dve s so- sedi. Če pričnemo s takimi molekulami in iz njih z dodajanjem benzenovih obročev postopoma zgradimo večje molekule, kjer so vse stranice benzenovih obročev (razen robnih) deljene s sosedi, prav tako dobimo grafensko mrežo [13]. Tudi eksfoliacija grafena se je spremenila in jo sedaj izvajajo bolj ve- likopotezno; namesto ročne eksfoliacije z lepilnim trakom zdaj uporabljajo strižne sile, ki nastajajo ob obdelavi grafita z ultrazvokom v primernem topilu, denimo kloroformu [14]. Obdelava v topilu je tehnološko precej za- nimiva, ker omogoča nadzorovano nanašanje grafena z različnimi metodami tiska (sitotisk, brizgalno tiskanje). Grafen ni osnovna enota, iz katere bi bil zgrajen zgolj grafit, ampak tudi druge alotropne oblike ogljika: ogljikove nanocevke in fulereni (glej sliko 7). Ogljikove nanocevke so odprti ali zaprti cilindri, ki si jih lahko predstavljamo 109–120 117 i i “Strle” — 2011/7/6 — 6:31 — page 118 — #10 i i i i i i Christoph Gadermaier in Jure Strle kot v cevke zvite eno- ali večslojne grafenske mreže, najtanǰsa cevka ima premer med 0,5 in 2 nm. Grafen je ”nano“ le v eni dimenziji, nanocevke pa v dveh dimenzijah, zato so njihove elektronske lastnosti močno odvisne od premera in vijačnosti, to je smeri, v kateri smo zvili grafensko mrežo. Obseg in vijačnost cevk določata, ali so nanocevke polprevodne ali kovinske. Tudi grafenski trakovi, se pravi dolge a zelo ozke grafenske mreže, imajo podobno odvisnost od širine in orientacije traku. Ogljikove nanocevke se uporabljajo kot prevodno ali ojačevalno polnilo plastičnih in kompozitnih materialov in za izbolǰsanje lastnosti površine elektrod litijevih ionskih baterij, kajti elektrode določajo življenjski čas baterij in tudi omejujejo maksimalni tok ter njihovo kapaciteto. Še v letu 2007 je bil grafen veliko dražji od ogljikovih nanocevk, kar pa se je obrnilo, saj je sinteza grafena preprosteǰsa in grafen bi lahko nadomestil nanocevke v obeh primerih. Fulereni so sferam podobne oblike, narejene iz grafenskih mrež. Zaradi narave kemijskih vezi v grafenu (sp2 hibridiziran ogljik) vsi koti med vezmi merijo 120◦. Pri zvijanju v cevko se vezi nekoliko prilagodijo, a šesterokotna struktura se ohrani. Zvijanja v sferi podobno strukturo pa ni mogoče izve- sti samo s šestkotniki ampak si moramo pomagati tudi z drugimi liki. Če uporabimo petkotnike, iz Eulerjeve formule1, ki povezuje števila oglǐsč, ro- bov in ploskev poliedra, sledi, da jih potrebujemo natanko 12 ob poljubnem številu šestkotnikov. Vzorec na klasični nogometni žogi je po tem principu sestavljen iz 20 šestkotnikov in 12 petkotnikov. Najznačilneǰsi predstavnik fulerenov je molekula C60, kjer 60 ogljikovih atomov tvori skoraj sferičen prisekani ikozaeder. Molekula C60 deluje kot elektronski akceptor: če je dovolj blizu polimeru s parom elektron-vrzel, elektron preskoči nanjo, vr- zel pa ostane na polimeru [15], kar je uporabno pri delovanju sončnih celic. Tako kot pri nanocevkah so tudi pri fulerenih grafenski kosmi zanimiv na- domestek, kajti omogočajo izbiro drugačnih donorjev, polimerov z manǰso energijsko režo, ki lahko izkorǐsčajo večji del spektra sončne svetlobe. Če se vrnemo k našemu uvodnemu primeru rezanja kovine na čedalje manǰse kose, grafit ob eksfoliaciji obdrži svoje lastnosti do debeline okrog 10 grafenskih slojev. Dvojni sloj grafena je polprevodnik z ničelno energijsko režo in že kaže veliko zanimivih efektov, a elektroni v njem imajo še vedno efektivno maso, ki znaša približno dvajsetino elektronske mase [16]. Poleg grafita obstaja več drugih plastovitih materialov, zlasti so zanimivi polprevodniki, kot sta borov nitrid BN ali molibdenov disulfid MoS2, ki se 1št. ploskev + št. oglǐsč = št. robov + 2 118 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Strle” — 2011/7/6 — 6:31 — page 119 — #11 i i i i i i Kvantna elektrodinamika v sledi svinčnika prav tako eksfoliirata na podobno enostaven način [17]. Zaradi drugačne zgradbe posamezni sloji sicer ne kažejo kvantnoelektrodinamskih efektov, a ju z grafenom veže več drugih lastnosti in se ju kot polprevodnika da upo- rabljati v dvodimenzionalni elektroniki komplementarno h grafenu. Zaradi navdušenja nad grafenom tudi ti materiali vzbujajo hitro rastoče razisko- valno zanimanje, v Sloveniji predvsem na Institutu Jožef Stefan. Čeprav še ni bila udejanjena, je v svojem govoru na podelitvi Nobelovih nagrad Kostja Novoselov namenil precej časa ideji vstavljanja plasti grafena med plasti drugih dvodimenzionalnih materialov ter tako ustvarjanju materialov s povsem novimi uporabnimi lastnostmi [18]. Če se poslovimo z mislijo na novelo E. A. Abbotta, bo naša romanca s ploščatim svetom očitno še dolgo trajala [19]. Nobelova nagrajenca: Andre Geim in Konstantin ”Kostja“ Novoselov sta se rodila v Rusiji, Geim leta 1958 v Sočiju in Novoselov leta 1974 v Nižnem Tagilu. Ob razpadu Sovjetske zveze sta se zaradi za raziskovanje neugodnih finančnih raz- mer kot tisoči drugih znanstvenikov odpravila na Zahod in se srečala v Nijmegenu (Nizozemska), kjer je Novoselov postal Geimov doktorski študent. Kasneje sta se skupaj preselila v Manchester (Velika Britanija), kjer oba predavata kot profesorja. Geim je zaslovel že leta 2000 kot prejemnik Ig Nobelove nagrade, ki je satirična različica Nobelove nagrade in podeljena za najbolj neuporabne znanstvene dosežke. Geim je ugotovil, da najdemo diamagnetizem v vseh materialih, če jih postavimo v dovolj močno magnetno polje, in to pokazal z lebdenjem žabe v magnetnem polju. Trenutno je edini znanstvenik, ki je prejel tako Nobelovo kot Ig Nobelovo nagrado. LITERATURA [1] A. K. Geim in K. S. Novoselov, The rise of graphene, Nature Materials 6 (2007), 183–191. [2] J. C. Meyer et al., The structure of suspended graphene sheets, Nature 446 (2007), 60–63. [3] K. S. Novoselov et al., Electric field effect in atomically thin carbon films, Science 306 (2004), 666–669. [4] K. S. Novoselov et al., Two-dimensional gas of massless dirac fermions in graphene, Nature 438 (2005), 197–200. [5] A. F. Young in P. Kim, Quantum interference and Klein tunnelling in graphene heterojunctions, Nature Physics 5 (2009), 222–226. [6] R. R. Nair et al., Fine structure constant defines visual transparency of graphene, Science 320 (2009), 1308. 109–120 119 i i “Strle” — 2011/7/6 — 6:31 — page 120 — #12 i i i i i i Christoph Gadermaier in Jure Strle [7] P. Blake et al., Graphene-based liquid crystal device, Nano Letters 8 (2008), 1704– 1708. [8] S. Bae et al., Roll-to-roll production of 30-inch graphene films for transparent elec- trodes, Nature Nanotechnology 5 (2010), 574–578. [9] C. Lee, X. Wei, J. W. Kysar in J. Hone, Measurement of the elastic properties and intrinsic strength of monolayer graphene, Science 321 (2008), 385–388. [10] F. Schedin et al., Detection of individual gas molecules adsorbed on graphene, Nature Materials 6 (2007), 652–655. [11] C. Berger et al. Ultrathin epitaxial graphite: 2D electron gas properties and a route toward graphene-based nanoelectronics, Journal of Physical Chemistry B 108 (2004), 19912–19916. [12] A. Reina et al., Large area, few-layer graphene films on arbitrary substrates by che- mical vapor deposition, Nano Letters 9 (2009), 30–35. [13] I. Diez-Perez et al., Gate-controlled electron transport in coronenes as a bottom-up approach towards graphene transistors, Nature Communications 1 (2010), 31. [14] Y. Hernandez et al., High-yield production of graphene by liquid-phase exfoliation of graphite, Nature Nanotechnology 3 (2008), 563–568. [15] N. S. Sariciftci, L. Smilowitz, A. J. Heeger in F. Wudl, Photoinduced electron transfer from a conducting polymer to buckminsterfullerene, Science 258 (1992), 1474–1476. [16] K. S. Novoselov et al. Unconventional quantum hall effect and Berry’s phase of 2p in bilayer graphene, Nature Physics 2 (2006), 177–180. [17] K. S. Novoselov et al., Two-dimensional atomic crystals, Proceedings of the National Academy of Science 102 (2005), 10451–10453. [18] http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2010/ (ogled: 27. 5. 2011). [19] E. A. Abbot, Flatland, a romance of many dimensions, Seely & Co., first edition, 1884. [20] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Graphen.jpg (ogled: 27. 5. 2011). [21] http://en.wikipedia.org/wiki/File:GrapheneE2.png (ogled: 27. 5. 2011). [22] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Graphene_visible.jpg (ogled: 27. 5. 2011). http://www.obzornik.si/ 120 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “STALEC” — 2011/7/6 — 6:31 — page 121 — #1 i i i i i i VESTI OB STOLETNICI ROJSTVA IVANA ŠTALCA1 Konec lanskega leta je minilo sto let od rojstva Ivana Štalca, profesorja matema- tike in fizike. S svojim pedagoškim delom ter učbeniki in zbirkami vaj je zapustil vi- dno sled v slovenski matematiki in fiziki. To kaže tudi dodani seznam del. Ivan Štalec je bil rojen 23. decembra 1910 v Dolenji vasi pri Selcih nad Škofjo Loko kot tretji od desetih otrok v družini Janeza Štalca in mame Frančǐske, rojene Ravnihar. V letih od 1917 do 1922 je obi- skoval osnovno šolo v Selcih. Šolanje je nadaljeval na Državni gimnaziji v Kranju po humanističnem programu. Leta 1930 je maturiral in leta 1935 diplomiral iz ma- tematike in fizike na Filozofski fakulteti v Ljubljani. Pri trinajstih letih je izgubil očeta in prevzel del družinskih skrbi. Kot gimna- zijec se je za konec tedna vračal v Dolenjo vas, peš, čez Jošta, da je pomagal pri kmečkih opravilih. Od drugega ra- zreda gimnazije se je preživljal z inštruiranjem. Kot odličen študent je bival v brezplačnem Oražnovem domu v Ljubljani. Poleg resnega študija in dela doma ter inštruiranja je tedaj našel čas tudi za številne debate s kolegi in se športno udejstvoval kot nogometni vratar do leta 1932, ko je to dejavnost zaradi poškodbe opustil. Štiridesetletno učiteljsko pot je profesor Štalec pričel kot suplent leta 1935 na gimnaziji v Murski Soboti. Leta 1936 so ga premestili v Ljubljano na I. državno gimnazijo v Vegovi ulici. Na njej je petindvajset let poučeval matematiko in fiziko z dalǰsim presledkom med letoma 1945 in 1951, ko je bil premeščen v Trbovlje. Skupaj s I. gimnazijo se je leta 1959 iz Vegove ulice preselil za Bežigrad, kjer je poučeval do upokojitve leta 1975. Ob redni zaposlitvi na šoli je bil v letih od 1951 do 1965 honorarni vǐsji predavatelj na ljubljanski Vǐsji pedagoški šoli. Od 1955 do 1967 pa je poučeval metodiko matematike in fizike na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo. Omenimo še Štalčev neprostovoljni štirimesečni premor v poučevanju. Leta 1942 so ga 1Po predavanju na Seminarju za zgodovino matematičnih znanosti na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani. Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 121 i i “STALEC” — 2011/7/6 — 6:31 — page 122 — #2 i i i i i i Vesti ob raciji zajeli na ulici v Ljubljani in ga odpeljali v Gonars. Po upokojitvi se je intenzivno lotil pisanja, kar pokaže tudi njegova bibliografija. Umrl je po dalǰsi bolezni v Ljubljani 14. junija 1994. Profesor Štalec je bil zelo de- javen tudi zunaj razreda. Na šoli je vodil matematični krožek, bil je mentor številnim mladim profesorjem, sestavljal je urnike in bil varuh fizikalnega kabineta. Med počitnicami se je udeleževal srečanj Profesorskega ceha v Ško- fji Loki. Tako so svoje društvo, ki je delovalo v letih od 1932 do 1942, hudomušno imenovali pro- fesorji iz loškega okolja. Ceh je ustanovil tudi Muzejsko društvo in Muzej v Škofji Loki. Zunaj šole je Ivan Štalec med le- toma 1949 in 1951 deloval kot pomožni inšpektor za trboveljski in celjski okraj ter za Ljubljano z okolico. Poleg tega je bil član komisije za republǐska tekmovanja iz matematike. Recenziral je dvajset učbenikov za matematiko in fiziko, predaval je na seminarjih za fizikalno eksperimentiranje in sodeloval pri sestavljanju učnih načrtov. Od leta 1951 do leta 1959 je bil tehnični urednik Obzornika za matematiko in fiziko. Kot zunanji sodelavec je sodeloval z Inštitutom za slovenski jezik pri SAZU. Profesor Štalec je začel pisati dokaj pozno. Njegov prvenec sta bili Zbirki matematičnih formul, ki sta bili sestavni del neke vrste priročnika za dijake nižje in vǐsje gimnazije. Obe sta izšli pri Mladinski knjigi leta 1953 v sku- pnem delu profesorjev I. gimnazije z naslovom Moj koledar. S temi zbranimi formulami za matematiko se je začela vrsta izdaj Štalče- vih del. Okoli dvajset del s področja matematike je napisal sam. Sedem del iz matematike, tri iz fizike ter dva priročnika in dva koledarja pa je napisal v sodelovanju s profesorji Francetom Plevnikom, Francem Kvaternikom, Albinom Žabkarjem, Vladimirjem Pilgramom, Ivanom Pucljem, Alojzem Vadnalom, Marijanom Vagajo, Aleksandrom Cokanom, Ivanom Molinarom in Brankom Roblekom. Posebej omenimo učbenika Geometrija za I. razred gimnazije 1965 in Geometrija za II. razred gimnazije 1970, ki ju je napisal skupaj z Ivanom Pucljem in sta bila dolgo edina srednješolska učbenika za geometrijo. Od številnih Štalčevih del sta dve skupini močno zaznamovali slovensko srednješolsko matematiko. V prvo sodijo njegove samostojne Zbirke vaj 122 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “STALEC” — 2011/7/6 — 6:31 — page 123 — #3 i i i i i i Ob stoletnici rojstva Ivana Štalca iz aritmetike, algebre in analize za vse štiri razrede gimnazij in omenjena Geometrija za srednje šole. Ta dela kljub spremembam učnih načrtov še vedno izhajajo pri Založnǐstvu DMFA. Kot zanimivost povejmo, da so pod okriljem DMFA omenjene zbirke nalog najprej izšle v obliki skript. V drugo skupino sodijo Štalčevi štirje učbeniki za tehnične šole: Mate- matika 1, 201 str. – zelen za ”zelence“, potrjen 1974; Matematika 2, 206str. – moder za ”modre“, potrjen 1974; Matematika 3, 210 str. – rdeč za ”zagrete“, potrjen 1976; Matematika 4, 127 str. – rjav za ”zrele“, potrjen1976. Ti so najprej izšli pri Dopisni delavski univerzi Univerzum, Ljubljana, pozneje pa pri Državni založbi Slovenije. Ti učbeniki so doživeli zaradi številnih šolskih reform več predelav. Prvo je opravil profesor Štalec sam in nastala so dela: Linearna funkcija, Od- vod, 1977; Polinomi, racionalne funkcije, korenske funkcije, 1977; Algebrske funkcije, krivulje drugega reda, 1977; Kotne funkcije, 1977. Ta dela je naj- prej kot poizkusna gradiva izdal Zavod za šolstvo pri DDU Univerzum. Ob prehodu na usmerjeno izobraževanje pa so se profesorju Štalcu pri drugi pre- delavi in dopolnitvah njegovih del pridružili še soavtorji. Tako so nastala dela: Peter Legǐsa, Ivan Štalec, Egon Zakraǰsek, Matematika 1, 1. zvezek: Uvod, naravna števila, racionalna števila, obseg, kartezijski produkt, rela- cije, preslikave, 1981, DZS; 2. zvezek: Linearna funkcija, enačba, neenačba, 1981, DZS; Ivan Štalec, Aleksander Cokan, Zaporedja, 1992 in Peter Legǐsa, Ivan Štalec, Matematika 4. Odvod. Integral, 1984, DZS. Omenjene predelave in dopolnitve Štalčevih del so dolgo uporabljali na mnogih srednjih šolah, dokler niso zaradi ponovnih reform ta dela zamrla. Na prigovarjanje številnih srednješolskih profesorjev sta delo Ivana Štalca obudila in dopolnila Miha Štalec in Milena Strnad. V četrtem delu se jima je pridružil še Jože Andrej Čibej. V prvi prenovi in temeljiti dopolnitvi so bili ti učbeniki namenjeni srednjim tehničnim šolam. Pred izidom zadnjega dela prve prenove pa je spet prǐslo do sprememb v srednjem šolstvu. Zato je zadnji del prve prenove izšel že kar v duhu naslednje prenove z naslovom Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 123 i i “STALEC” — 2011/7/6 — 6:31 — page 124 — #4 i i i i i i Vesti Matematika 4 za gimnazije in tehnǐske šole, 1999, DZS v diferencirani obliki za gimnazijske in tehnične programe. V letih 2002 in 2003 so sledile prenove tudi preostalih treh del pod naslovom Matematika 1, 2 in 3 za gimnazije in tehnǐske šole. Te učbenike, ki vključujejo duha in ime Ivana Štalca, še vedno uporabljajo na srednjih šolah. Da so delo Ivana Štalca cenili, pričajo priznanja in odlikovanja: leta 1968 priznanje DMFA Slovenije, 1974 red dela z zlatim vencem, 1984 Žagarjeva nagrada, 1985 častni član DMFA Slovenije. Spomin na profesorja končajmo z besedami njegovega sina Miha: ”Prisvojem delu je bil vedno vesten, natančen, dosleden, strog in pravičen. Še bolj kot po strokovnosti je slovel po metodičnosti in pedagoškem pristopu.“ Učbeniki in zbirke vaj 1. Ivan Štalec, Matematika: splošno izobraževalna šola, 2. stopnja, Dopi- sna delavska univerza, Ljubljana, 1959. 2. Ivan Štalec, Poglobitvena matematika za 1. razred ekonomske srednje šole, Dopisna delavska univerza, Ljubljana, 1961. 3. Ivan Štalec, Tehnǐsko računstvo – 1. del, Dopisna delavska univerza, Ljubljana, 1961. 4. Ivan Štalec, Tehnǐsko računstvo – 2. del, Dopisna delavska univerza, Ljubljana, 1961. 5. Ivan Štalec, Zbirka vaj iz aritmetike, algebre in analize za 1. razred gimnazije, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1970. 6. Ivan Štalec, Zbirka vaj iz aritmetike, algebre in analize za 2. razred gimnazije, Državna založba Slovenije, 1970. 7. Ivan Štalec, Zbirka vaj iz aritmetike, algebre in analize za 3. razred gimnazije, Državna založba Slovenije, 1972. 8. Ivan Štalec, Zbirka vaj iz aritmetike, algebre in analize za 4. razred gimnazije, Državna založba Slovenije, 1974. 124 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “STALEC” — 2011/7/6 — 6:31 — page 125 — #5 i i i i i i Ob stoletnici rojstva Ivana Štalca 9. Ivan Štalec, Matematika za 7. razred osnovnega izobraževanja in vzgoje odrasli, Dopisna delavska univerza, Ljubljana, 1979. 10. Ivan Štalec, Matematika za 8. razred osnovnega izobraževanja in vzgoje odraslih, Dopisna delavska univerza, Ljubljana, 1979. 11. Ivan Štalec, Matematika za prvi razred tehnǐskih šol, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1973. 12. Ivan Štalec, Matematika za drugi razred tehnǐskih šol, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1974. 13. Ivan Štalec, Matematika za tretji razred tehnǐskih šol, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1975. 14. Ivan Štalec, Matematika za četrti razred tehnǐskih šol, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1976. 15. Ivan Štalec, Geometrija za prvi razred tehnǐskih šol, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1973. Matematika za srednje usmerjeno izobraževanje 1. Ivan Štalec, Linearna funkcija. Odvod, Zavod SRS za šolstvo, Lju- bljana, 1977. 2. Ivan Štalec, Polinomi. Racionalne funkcije. Korenske funkcije, Zavod SRS za šolstvo, Ljubljana, 1977. 3. Ivan Štalec, Algebrske funkcije. Krivulje drugega reda, DDU Univer- zum, Ljubljana, 1977. 4. Ivan Štalec, Kotne funkcije, DDU Univerzum, Ljubljana, 1977. V soavtorstvu 1. Ivan Štalec, Moj koledar za nǐzje razrede gimnazij, Mladinska knjiga, Ljubljana, 1953 (v sodelovanju s profesorji 1. gimnazije). 2. Ivan Štalec, Moj koledar za vǐsje razrede gimnazij, Mladinska knjiga, Ljubljana, 1953 (v sodelovanju s profesorji 1. gimnazije). 3. Ivan Štalec, France Plevnik, Fizikalne vaje, Zavod za prosvetno-pedago- ško-službo, Ljubljana, 1961. 4. Ivan Štalec, Fizika za 7. razred osnovnih šol, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1962. 5. Ivan Štalec, Franc Kvaternik, Albin Žabkar, Fizika za 8. razred osnov- nih šol, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1963. 6. Ivan Štalec, Ivan Pucelj, Geometrija za 1. razred gimnazije, Založba Obzorja, Maribor, 1965. 7. Ivan Štalec, Ivan Pucelj, Geometrija za 2. razred gimnazije, Založba Obzorja, Maribor, 1970. 8. Ivan Štalec, Vladimir Pilgram, Matematika za 1. razred ekonomskih srednjih šol, Dopisna delavska univerza, Ljubljana, 1970. Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 125 i i “STALEC” — 2011/7/6 — 6:31 — page 126 — #6 i i i i i i 9. Ivan Štalec, Vladimir Pilgram, Matematika za 2. razred ekonomskih srednjih šol, Dopisna delavska univerza, Ljubljana, 1972. 10. Ivan Štalec, Vladimir Pilgram, Matematika za 3. razred ekonomskih srednjih šol, Dopisna delavska univerza, Ljubljana, 1974. 11. Ivan Štalec, Franc Avsec, Aleksander Cokan, Ivan Molinaro, Ivan Pu- celj, Branko Roblek, Marjan Vagaja, Zbirka vaj iz aritmetike, analize in algebre za III. razred srednjih šol, Državna založba Slovenije, Ljubljana 1972. 12. Ivan Štalec, Vladimir Pilgram, Matematika I. Izbrana poglavja za po- klicno administrativno šolo, Dopisna delavska univerza, Ljubljana, 1978. 13. Ivan Štalec, Alojzij Vadnal, Leksikon. Matematika, Cankarjeva založba, Ljubljana, 1980. Predelave 1. Ivan Štalec, Peter Legǐsa, Egon Zakraǰsek, Matematika 1, Uvod, na- ravna števila, racionalna števila, obseg, kartezijski produkt, relacije, preslikave, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1981. 2. Ivan Štalec, Peter Legǐsa, Egon Zakraǰsek, Matematika, Linearna funk- cija, enačba, neenačba, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1981. 3. Ivan Štalec, Aleksander Cokan, Zaporedja, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1992. 4. Ivan Štalec, Aleksander Cokan, ZNSŠ Zaporedja. Diferencialni in in- tegralni račun, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1991. 5. Ivan Štalec, Peter Legǐsa, Matematika 4, Odvod. Integral, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1984. 6. Ivan Štalec, Miha Štalec, Milena Strnad, zgodovinski utrinki Gregor Pavlič, Matematika 1 za tehnǐske šole, DZS, Ljubljana, 1993. 7. Ivan Štalec, Miha Štalec, Milena Strnad, Matematika 2 za tehnǐske šole, DZS, Ljubljana, 1997. 8. Ivan Štalec, Miha Štalec, Milena Strnad, Matematika 1 za tehnǐske šole, DZS, Ljubljana, 1999. 9. Ivan Štalec, Miha Štalec, Milena Strnad, Matematika 3 za tehnǐske šole, DZS, Ljubljana, 1999. 10. Ivan Štalec, Miha Štalec, Milena Strnad, Jože A. Čibej, Matematika 4 za gimnazije in tehnǐske šole, DZS, Ljubljana, 1999. 11. Ivan Štalec, Miha Štalec, Milena Strnad, Matematika 1 za gimnazije in tehnǐske šole, DZS, Ljubljana, 2002. 12. Ivan Štalec, Miha Štalec, Milena Strnad, Matematika 2 za gimnazije in tehnǐske šole, DZS, Ljubljana, 2003. 13. Ivan Štalec, Miha Štalec, Milena Strnad, Matematika 3 za gimnazije in tehnǐske šole, DZS, Ljubljana, 2004. 14. Ivan Štalec, Aleksander Cokan, Srečko Polanc, ZNSŠ Zaporedja, dife- rencialni in integralni račun, DZS, Ljubljana, 2005. Milena Strnad 126 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “STALEC” — 2011/7/6 — 6:31 — page 127 — #7 i i i i i i Vabilo VABILO Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije vabi k sodelovanju na strokovnem srečanju in 63. občnem zboru, ki bosta 28. in 29. oktobra 2011 v Hotelu Slovenija v Portorožu. Vodilna tema letošnjega strokovnega srečanja ima naslov Ko enačbe oživijo – uporaba GeoGebre pri pouku fizike in matematike. Računalnǐski program GeoGebra učinkovito povezuje geometrijo, alge- bro ter delo s funkcijami in preglednicami, zato omogoča zelo privlačne po- nazoritve raznovrstnih matematičnih in fizikalnih vsebin. V okviru srečanja bomo pripravili različne delavnice tako za začetnike kot tudi za izkušeneǰse uporabnike. Vodilni temi bo dodana tudi astronomska delavnica, namenje- na mentorjem tekmovanj v znanju astronomije, in nekaj matematičnih in fizikalnih tem za delo s tekmovalci. K sodelovanju vabimo vse učitelje in člane DMFA, da predstavijo svoje izkušnje in ideje: 1. v obliki kraǰsih predstavitev (do 25 minut); 2. v obliki plakatov; 3. v obliki delavnice (o pogojih za izvedbo se bo treba poprej dogovoriti). Dobrodošli so tudi prispevki, ki niso vezani na GeoGebro. Predavateljem bodo na voljo internet, projekcijsko platno, projektor in ena e-tabla (uporaba e-table bo možna po popreǰsnjem dogovoru). Računal- nik s potrebno programsko opremo in druge pripomočke morajo predavatelji prinesti s seboj ali pa se morajo o tem poprej dogovoriti. Kontaktna oseba je dr. Boštjan Kuzman: bostjan.kuzman@pef.uni-lj.si. Prosimo vas, da prijavite svoje prispevke na naslov bostjan.kuzman@pef.uni- lj.si najkasneje do 20. septembra 2011. Prijave morajo vsebovati: 1. naslov prispevka; 2. ime in priimek avtorja (ali več avtorjev), naslov ustanove, kjer je avtor zaposlen, oziroma domači naslov in elektronski naslov; 3. kratek povzetek prispevka (pri velikosti črk 12pt naj ne presega pol strani formata A4); 4. predlagano trajanje predstavitve. Izbor prispevkov bo opravila in razvrstila po sekcijah posebna komisija, ki jo bo imenoval upravni odbor DMFA Slovenije. Povzetki bodo objavljeni v biltenu občnega zbora. Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 127 i i “STALEC” — 2011/7/6 — 6:31 — page 128 — #8 i i i i i i Ob letošnjem občnem zboru bomo pripravili tudi 14. slovensko sreča- nje o uporabi fizike. Hotelske storitve si morajo udeleženci strokovnega srečanja rezervirati sami. Vsa obvestila v zvezi z občnim zborom in strokovnim srečanjem bomo sproti objavljali na domači strani DMFA: http://www.dmfa.si/. Predsednik DMFA Slovenije prof. dr. Sandi Klavžar MATEMATIČNE NOVICE Mednarodna matematična unija – IMU Mednarodno matematično unijo (IMU) bo v letih 2011–2014 prvič vodila ženska. Belgijka Ingrid Daubechies, rojena leta 1954, je kariero začela kot matematična fizičarka. Po poroki z amerǐskim matematikom se je preselila v ZDA in se zaposlila najprej v industriji, v raziskovalnih laboratorijih. Največje uspehe je dosegla na področju teorije valčkov in njihovi uporabi v kompresiji slik. Zdaj je profesorica na univerzi Princeton. Dobila je več pomembnih nagrad in priznanj. Simpatično samopredstavitev najdemo v [1]. Abelova nagrada Johnu Milnorju Norveška Akademija znanosti je Abelovo nagrado za leto 2011 dodelila amerǐskemu matematiku Johnu W. Milnorju z Univerze Stony Brook v New Yorku. Milnor je zelo znan po rezultatih s področja topologije, geometrije in algebre. Pred leti smo na topološkem seminarju predelovali knjigo o ka- rakterističnih razredih [2], ki jo je Milnor napisal skupaj z J. D. Stasheffom. Delo nazorno posreduje nelahko snov (zdaj uporabljano tudi v fiziki). Objavljanje člankov V biltenu IMU [3] Jean-Pierre Bourguignon, nekdanji predsednik Evrop- skega matematičnega društva, razmǐslja o prihodnosti objavljanja novih ma- tematičnih rezultatov. Pritiski, naj raziskovalci kar se da veliko publicirajo, obenem z naraščajočimi obremenitvami matematikov s pisanjem projek- tov, prošenj za financiranje, pisanjem ocen . . . vodijo k raznim problemom. Recenziranje člankov je pogosto površno, zato je v objavljenih prispevkih lahko precej spodrsljajev in napak. Ali, kot pravi Bourguignon: Vse več ob- javljenih matematičnih člankov je ”skoraj pravilnih“ v smislu, da resničnistrokovnjaki vedo, kaj je treba spremeniti (pogosto gre za malenkosti), da 128 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “STALEC” — 2011/7/6 — 6:31 — page 129 — #9 i i i i i i Matematične novice bi rezultati in dokazi bili v redu. To je ovira za tiste mlade raziskovalce, ki nimajo vsakodnevnega stika z eksperti. Pojavljajo se tudi druge anomalije, ki jih v reviji Siam News [4] opisuje Douglas N. Arnold. Tako je recimo podiplomski študent Philip Davis (z univerze Cornell) s prijateljem uporabil računalnǐski program SciGEN, ki je z besedǐsčem teoretičnega računalnǐstva izdelal članek brez kakršnekoli smiselne vsebine. V [4] lahko preberete stavke iz tega članka, pri katerih bi vsakemu malo kritičnemu bralcu zazvonil alarm. Članek sta poslala v The Open Information Science Journal. Revijo izdaja založba Bentham Science, ki ima sedež v Združenih arabskih emiratih. Med več kot dvesto revijami, ki jih izdaja ta založba, naj bi jih precej imelo visok faktor vpliva. Avtorja sta se podpisala s psevdonimoma, kot matično ustanovo sta navedla Center for Research in Applied Phrenology ali kratko CRAP. Štiri mesece pozneje sta dobila obvestilo, da je bil po recenziji članek sprejet in bo objavljen, ko bosta vplačala 800 USD. Enako izdelan ničvreden referat je bil sprejet na eni od konferenc v mestu Orlando na Floridi. Snemanje predavanj Študent David Hayden z Arizona State University je vodja ekipe, ki je iz- delala prototip naprave z imenom Note Taker. Sestavljena je iz zmogljive videokamere in tabličnega računalnika. Naprava snema in povečuje besedilo na tabli, obenem pa omogoča pisanje zapiskov. (Na [5] je videopredstavitev, na [6] pogovor s konstruktorjem.) Kamera lahko sledi dogajanju na tabli. Naprava naj bi bila namenjena predvsem slabovidnim študentom. Če bo cena dostopna, utegne to vplivati tudi na spremljanje predavanj za druge študente. Naprava je zmagala na Microsoftovem tekmovanju Imagine Cup 2011. LITERATURA [1] http://www.mathunion.org/imu-net/archive/2011/imu-net-45/ (ogled: 7. 6. 2011) [2] J. W. Milnor in J. D. Stasheff, Characteristic classes, annals of mathematics studies, Princeton University Press, 1974, 330 str. [3] http://www.mathunion.org/imu-net/archive/2011/imu-net-46/ (ogled: 7. 6. 2011) [4] D. N. Arnold: Integrity under attack, The state of scholarly publishing http://ima.- umn.edu/˜arnold/siam-columns/integrity-under-attack.pdf (ogled: 7. 6. 2011) [5] Zapiski za slabovidne, Science Friday, 15. april 2011: http://www.sciencefri- day.com/program/archives/201104155 (ogled: 7. 6. 2011) [6] Zapiski za slabovidne, National Public Radio, 15. april 2011: http://www.npr.org/- 2011/04/15/135442950/note-taking-made-easy-for-legally-blind-students (ogled: 7. 6. 2011) Peter Legǐsa Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 129 i i “Razpet” — 2011/7/6 — 6:27 — page 130 — #1 i i i i i i NOVE KNJIGE Peter J. Bentley: Knjiga o številih – Skrivnost števil in kako so ustvarila sodobni svet, Tehnǐska založba Slovenije, Ljubljana 2010, 272 strani (prevod iz angleščine). Števila nedvomno niso potrebna le za razumevanje osnov matematike, z nji- mi se pravzaprav srečujemo vsepo- vsod, in to vse življenje, od najnežnej- šega otroštva naprej. Brez zadržkov lahko rečemo, da ljudje uporabljamo števila na vseh področjih svojega de- lovanja in bivanja. Števila ne sodijo samo v matematiko, z njimi imamo opravka v vsakdanjem življenju v zvezi z denarjem, še posebej v kriznih časih, ko pozorno preštevamo svoje dobičke in izgube, plače, pokojnine, nadome- stila, honorarje, denarne kazni, vsto- pnine in drugo. S števili se srečamo v avtu, veliko jih je v naših osebnih dokumentih, koledarjih, da o računal- nikih ne govorimo, in še bi lahko na- števali. Knjiga nas na svojevrsten pripovedni način popelje skozi zgodovino raz- voja pojma števila, od najpreprosteǰsega štetja in zapisa števil v sivi davnini naprej. Posebej je poudarjeno, kateri ljudje si lastijo posebne zasluge, da je znanje o številih nenehno napredovalo. Dandanes uporabljamo v zapisih števil in računanju z njimi ničlo in le malokdo pomisli, da je ljudje še niso uporabljali pred dva tisoč leti, ampak da jo je nekdo moral izumiti. Prav tako se je godilo tudi z danes vsepovsod prisotnim desetǐskim sistemom za zapis števil in ustrezne števke. Knjiga se ne more izogniti znanim številom, kot so krožno število π, zlato število φ = (1 + √ 5)/2, ki ga nekateri označujejo s τ , in število e, osnova naravnih logaritmov. Slednje je na primer povezano z neprestano kapita- lizacijo, naravno rastjo in radioaktivnim razpadom. Izvemo tudi marsikaj o Pitagori in pitagorejcih, ki so svoj nauk o številih povzdignili skoraj na raven religije. Starogrška matematika je sicer dosegla marsikaj, saj je sko- raj do podrobnosti obvladala racionalna števila, zataknilo pa se ji je pri iracionalnih številih, kakršno je na primer √ 2. Pitagorejci se z njim pre- prosto niso ukvarjali. Toda prej ali slej so se ljudje morali spoprijeti tudi s celimi, iracionalnimi in kompleksnimi števili. Tudi nekateri upodabljajoči 130 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Razpet” — 2011/7/6 — 6:27 — page 131 — #2 i i i i i i umetniki so znali veliko matematike, zlasti geometrijo skupaj s perspektivo, in jih zato lahko upravičeno štejemo za sopotnike matematikov. Seznanimo se še z marsičim, tudi z zablodami, nesporazumi in problemi prvenstva ter avtorstva v matematiki. Pripoved v knjigi ne poteka v zgodovinskem zaporedju, ampak v so- glasju s števili, od majhnih prek malo večjih proti neskončnosti in se konča s kompleksnimi števili. Temu ustrezno sta prvi poglavji posrečeno oštevil- čeni z −1 in 0. Tema sledi poglavje 0,000000001, označeno s številom, ki predstavlja nekaj zelo majhnega. Sledijo poglavja, ki so po vrsti oštevilčena z 1, √ 2, φ, 2, e, 3, π in 10. Namesto poglavje 13 zapǐse avtor poglavje 12a, da s tem vključi v pripoved še malo vraževerja in igre na srečo. Nato sle- dijo še poglavja, oštevilčena s c, hitrostjo svetlobe v praznem prostoru, z ∞ in z i, imaginarno enoto. Vsako poglavje nam ponuja nekaj zgodovine matematike in sproti spoznavamo pomembne ljudi, ki so jo ustvarjali. Če knjigo samo prelistamo in se nekoliko zaustavimo pri ilustracijah, opazimo znana imena, na primer: Brahmagupta, L’Hôpital, Bernoulli, Pitagora, Fer- mat, Eratosten, Ptolemaj, Evklid, Euler, Cantor, Sokrat, Platon Aristotel, Arhimed, Al-Hvarizmi, Descartes, Leonardo da Vinci, Luca Pacioli, Fibo- nacci, Kepler, Newton, Leibniz. Še in še bi jih lahko naštevali, končali pa bi pri Gaussu, Weberju, Mandelbrotu, Lorenzu in spet pri Eulerju ter njegovi znameniti formuli eπi + 1 = 0, ki povezuje kar pet pomembnih števil, ki jih obravnava knjiga, in sicer 0, 1, π, e in i. Knjiga je bogato likovno opremljena, v njej je veliko lepih in zanimivih računalnǐskih slik, fraktalov, starodavnih risb, poslikav in drugih upodobi- tev, fotografij in podobnih gradiv, ki imajo opravka s števili. Konča se z obširnim seznamom virov in literature, stvarnim kazalom, časovno spiralo, komentarjem o ženskah v matematiki in zahvalami različnim inštitucijam za slike. Vsekakor ponuja knjiga zanimivo branje, pri katerem še tako zahteven bralec izve tudi marsikaj novega in pri tem lahko uživa ob pogledu na izre- dno lepe ilustracije. Pri tem je morda najpomembneǰse, da spozna, kako je matematika nastajala in se razvijala, kako so se rodila nekatera nova mate- matična področja in kateri so tisti dogodki, ob katerih lahko rečemo, da je matematika doživela znaten napredek. Še nekaj besed o avtorju. Britanski profesor Peter John Bentley se je rodil leta 1972 in ima osnovno zaposlitev na University College v Londonu. Diplomiral je na področju umetne inteligence in pri 24 letih doktoriral. Nje- gova doktorska disertacija ima naslov Generic Evolutionary Design of Solid Objects using a Genetic Algorithm. Njegovo znanstveno področje sta raču- nalnǐstvo in njegova uporaba, zlasti v biologiji. Poleg znanstvenih je napisal tudi več del za popularizacijo matematičnih in računalnǐskih znanosti, če- mur se posveča tudi na javnih prireditvah in srečanjih ter na radiu. Marko Razpet Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 131 i i “Razpet” — 2011/7/6 — 6:27 — page 132 — #3 i i i i i i Vprašanja in odgovori VPRAŠANJA IN ODGOVORI Dragi bralci, tokrat vam zastavljamo dve novi vprašanji, ki ju je pripravil Izidor Hafner. Spodaj objavljamo rešitve vseh nalog razen zadnje iz 6. šte- vilke preǰsnjega letnika. Objavljene rešitve nam je poslal Stanislav Pirnat iz Celja. Vabimo vas, da nam pošljete tudi rešitvi na danes zastavljeni vpraša- nji in rešitev zgoraj omenjene naloge iz zadnje lanske številke. Veseli bomo tudi vaših predlogov nalog. 1. Kateri lik na skici ima večjo ploščino, pravilni petkotnik ali kvadrat? Odgovor dokaži. 2. Poǐsči števila q1, q2, q3, q4 ∈ Q ter k ∈ Z, za katera velja arctg( √ 5 + √ 3) = q1arctg(q2 √ 5) + q3arctg(q4 √ 3) + kπ 2 . Odgovori na vprašanja iz 6. številke Obzornika, letnik 57 (2010) 1. Brivec v Ženevi raje obrije dva Francoza kot enega Nemca, saj je plačilo za britje dveh Francozov dvakratnik plačila za britje enega Nemca. 2. Edina trojica naravnih števil, pri katerih je vsota enaka njihovemu pro- duktu, je 1, 2, 3. 3. Enakokraki trikotnik s krakoma dolžine 1 ima maksimalno možno plo- ščino, kadar je drugi krak vǐsina na prvi krak. Trikotnik je torej pravo- koten in dolžina osnovnice je √ 2. 4. Stavek simbolne logike ”2B ∨ ¬2B =?“ izraža znano Hamletovo dilemo ”To be OR NOT to be IS the question.“ 132 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 i i “Razpet” — 2011/7/6 — 6:27 — page 133 — #4 i i i i i i Vprašanja in odgovori 5. Če je julija ob polnoči v Omahi močno deževalo, je bila po 72 urah ponovno polnoč, v nobeni točki države Omaha pa noben dan v letu ob tej uri ni sončno. 6. ”Gospod Novak ima več kot tisoč knjig,“ reče Janez. ”Ne, manj jih ima,“ trdi Peter. ”Gotovo ima vsaj eno,“ je prepričana Tina. Če je samo ena od zgornjih trditev resnična, gospod Novak nima nobene knjige. Res, obenem z Janezovo trditvijo je resnična tudi Tinina, zato Janezova trditev ni edina resnična. Skupaj s Tinino trditvijo je resnična ali Janezova (in Petrova ne) ali Petrova (in Janezova ne), torej tudi Tinina trditev ni edina resnična. Petrova trditev je edina resnična, če Tinina ni in gospod Novak nima nobene knjige. 7. Sekretarju OZN je bilo pred 35 leti ime enako kot danes – če je star vsaj 35 let in ni spreminjal imena. 8. Kvadrat s stranico a razdelimo na pet skladnih delov tako, da ga raz- režemo na pet pravokotnikov s kraǰso stranico a5 in dalǰso stranico a. 9. Črtkani daljici razdelita lik na dva skladna desetkotnika. Pokrijeta se točki T in U . T U 10. Preglednico, ki ima v prvi vrstici zapisane števke od 0 do 9, lahko na dva načina dopolnimo tako, da je v drugi vrstici pod vsako števko zapisano število pojavitev te števke v preglednici. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7 3 2 1 1 1 2 1 1 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 3 XI i i “kolofon” — 2011/6/28 — 6:34 — page 2 — #2 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, MAJ 2011 Letnik 58, številka 3 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA Članki Strani Kotaljenje krožnice po regularni krivulji (Primož Moravec) . . . . . . . . . . . . . 93–108 Kvantna elektrodinamika v sledi svinčnika (Christoph Gadermaier in Jure Strle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109–120 Vesti Obvestilo (Sandi Klavžar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Ob stoletnici rojstva Ivana Štalca (Milena Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–126 Vabilo (Sandi Klavžar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127–128 Matematične novice (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128–129 Nove knjige Peter J. Bently: Knjiga o številih – Skrivnost števil in kako so ustvarila sodobni svet (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130–131 Vprašanja in odgovori Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131–XI CONTENTS Articles Pages Rolling of a circle over a regular curve (Primož Moravec) . . . . . . . . . . . . . 93–108 Quantum electrodynamics in a pencil trace (Christoph Gadermaier and Jure Strle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109–120 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108, 121–129 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130–131 Questions and Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131–XI Na naslovnici: Model grafenske mreže: prostostoječa grafenska membrana je nežno valovita. c© Max Planck Institute for Solid State Research. Glej članek na strani 109.