i
i
“Domajnko-dnevnik” — 2010/6/14 — 9:04 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 16 (1988/1989)
Številka 2
Strani 75–79
Vilko Domajnko:
O ČEM V TELEVIZIJSKEM DNEVNIKU NI MOČ SLI-
ŠATI?
Ključne besede: matematika, kocka.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/16/928-Domajnko.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
o CEM V TELEVIZIJSKEM DNEVNIKU NI MOC SUSATI?
Ondan je spet zasedala Sekcija za alternativno filozofsko matematiko v bli-
žnjem živalskem vrtu. Trenutno je prav opičji rod med njihovimi najvnetejši-
mi člani in razpravljalci so po pravilu večinoma prav iz njihovih vrst.
Tokrat so reševali problem o uravnoteženju kocke. O njem nam je zaenkrat
znano le tole:
Prva definicija:
Druga definicija:
Tretja definicija:
/ 8
----- 2
Uteži za kocko imenujem naravna števila od 1 do 8.
Kocka je obtežena , če v vsako njeno oglišče postavimo
po eno utež.
Obtežena kocka je uravnotežena , če so vsote vseh uteži
po ploskvah med seboj enake.
Naloga: Razmišljaj o problemu uravnotežene kocke!
Kocko, ki ni uravnotežena, pa lahko opaziš na prvi sliki.
K razpravi se je prijavilo osem opic, vsaka s po enim prispevkom (če vam je
mileje - izrekom) k zadani temi. Na naših straneh objavljamo tokrat le kratek
povzetek njihovih bistvenih pogruntavščin.
Torej - z besedo na papir:
Prvi
izrek
in
njegov
dokaz
Uravnoteženje kocke s samimi enakimi utežmi je zmeraj
nezanimivo .
Karkoli že postavim na oglišča, zmeraj je kocka povsem
uravnotežena, če postavim tja same enake uteži. In to je
tisto, kar je nezanimovo - ta zmeraj. Razen tega pa -
ker je dokaz enako nezanimiv kakor izrek sam, mu seve-
da v celoti pritrjuje, in je od tod naprej vsaka beseda še
bolj odveč. Zatorej poglej raje drugo sliko!
75
Drugi
izrek
in
njegov
dokaz
2 1
1/1 /1
,..1 - - --- --2
2/ 1/
Tretji
izrek
in
njegov
dokaz
1---
2/1
I
I
I
I
I
1--- -- -- 2
3 ' ~ ' 1~
2 2
2~ 1 2~
I
I
I
I
I
1----- - - 3
3' / 1/
Izjava o uravnoteženju kocke z dvema različnima uteže-
ma ni negacija prejšnjega izreka.
Tista negacija se pove tako:
Uravnoteženje kocke s samimi enakimi utežmi ni zmeraj
nezanimivo
ali
Uravnoteženje kocke s samimi enakimi utežmi je vsaj v
enem primeru zanimivo.
Kdaj - to je zdaj še težko reči, toda dokaz se je dovolj
izkazal že s povedanim in smemo iti dalje (če spotoma
pogledamo še v tretjo sliko).
Problem uravnoteženja kocke s tremi različnimi utežmi
ni eno-staven problem .
To pomeni, da mora biti vsaj dvo-postaven. In da je
izrek izgubil zlog po. Torej:
dokazali bomo dvo-postavnost problema in pa neodvi-
snost trditve od izgubljenih zlogovl V tem primeru nam
gre za zlog po.
Prva postavnost: najdeš jo na četrti sliki.
Druga postavnost: najdeš jo takoj za prejšnjo.
Tretja postavnost: zakon je postava in postava je
lahko vitka ali pa suha, kar pomeni, da zmeda ostane,
pa četudi tisti sakramenski zlog po čisto nalašč izgubi-
mo iz besede.
Četrti
izrek
in
njegov
dokaz
76
Kar misliš, da je štiri, je deset in takodalje.
1, seveda, saj je natanko to trdil tudi že sta ri in od sile
Grk Pitagora. Kar poglej v Lukijanove Filozofe na
dralbi! Pitagora je zgruntallepoto pravila 1 + 2 + 3 + 4 =
= 10. In to se v mojem primeru kar presneto dobre uje-
ma! Namreč, štiri različne uteži mi dajo na uravnote-
ženi kocki ploskovno vsoto 10, kar je lepo videti na
ali 3(a+b+c+d+e+f+g+hl =6k
ali k = (a+b+c+d+e+f+g+hl/2
Peti
izrek
in
njegov
dokaz
/~ /9
e- --- -f
I
I
I
I
I
d----- --c
a''- b/
šesti sliki. Into ni nič drugega, kakor nadaljevanje pravi-
la, ki teče tiho že od prvega izreka naprej: ploskovne
vsote uravnoteženih kock se v vsakem izreku povečajo
za 1! Če sem dovolj bister, začnem na začetku s 6, na-
daljujem pa s 7 in z 8 na ploskvah iz naslednjih dveh izre-
kov. In zdaj imam 10. In kdor trdi, da tukaj vmes nekaj
manjka (enako 9), tiči v rahli zmoti. Poglej naslednjo
sliko! Velja si zapomniti: ne meči v nič dokaza prej, pre-
den ga ne prebereš do konca.
Ta izrek o uravnoteženju kocke s petimi različnimi
utežmi je prvi izmed doslej naštetih, zaradi katerega nje-
gov dokaz skorajda trči ob težavo.
Dokaz sam na tem mestu postavi zahtevo po podrobne]-
šem v-pogledu v metodo. Takole gre:
Kocka z začetne slike je uravnotežena s svojimi utežmi
e, b, c, d, e, f, 9 in h, če velja
a+b+c+d=k
a+b+e+f=k
a+d+e+h=k
b+c+f+g=k
c+d+g+h=k
e+f+g+h=k
V našem primeru to pomeni
k = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y + zl/2, kjer je
1 ~x, y, z~5.
Toda predlog x = 1, y = 2 in z = 4 ostane neuresničen,
kajti
5+4+1+1=11
5+3+2+1=11
4+4+2+1=11
4+3+2+2=11
vsot
ni mogoče
uravnoteženo
obesiti na kocko.
77
in jih obesimo na kocko tako,
kakor pokaže deseta slika.
3---~
2/ 1
1
1
1
1
1
1----- --4
5 '~~ 1/
Šesti
izrek
in
njegov
dokaz
3 - - - -
2/ 1
I
I
I
I
I
6- - --- - - 1
1"/ 4/
Sedmi
izrek
in
njegov
dokaz
Osmi
izrek
in
njegov
dokaz
78
Na srečo me zadnji hip reši preblisk x = 1, y = 3 in z = 3.
Tako dobim spet k = 11 in pa deveto sliko. Moje zapo-
redje lepo naraščajočih vsot je s tem rešeno, dokaz poka-
zan, čudna podoba z osme slike pa zamolčana.
Če poznam enega, poznam vse (ali)
važno je pogruntati pravilo (ali)
za petico pride prvič šest.
Že iz prejšnjega pod-uka vemo, da je ploskovna vsota
uravnotežene kocke v tem primeru
k = (a + b + C + d + e + f + x + y) /2, kjer je 1 ~ x, y ~ 6
ali
k = (21 + x + y)/2.
Vsota x + y mora biti torej liho štev ilo. Recimo 3. Tedaj
dobimo te načine:
6 + 4 + 1 + 1 = 12
6+3+2+1=12
5+4+2+ 1 = 12
5+3+2+2= 12
Še pred piko za dokaz pa tole:
Vsota x + y bi lahko bila tudi 2 + 3 ali pa 3 + 4 ali pa
4 + 5 ali pa 5 + 6. Toda naslednji dokaz bo na skrit način
pokazal, da zadnji dve vsoti na že kar nesramen način
presegata vse meje pristojnosti. ln s tem (in pa s čudno
zadevo iz prejšnjega dokaza) je dvom v univerzalno lepo-
to opičjih problemov posejan. Pika.
Problem uravnoteženja kocke s sedmimi različnimi
utežmi je že na prejšnjih primerih načelno do dobra
obdelan.
Poglejmo enajsto sliko!
Izjava o uravnoteženju kocke z osmimi med seboj razli-
čnimi utežmi ni negacija drugega izreka .
Negacija drugega izreka je:
Izjava o uravnoteženju kocke z dvema različnima uteže-
ma je negacija prejšnjega izreka.
Toda - ta negacija je zelo sumljive vrste, kajti zaenkrat
še ni znano, kaj naj pomeni to - prejšnji izrek. Je to prvi
ali pa sedmi izrek? ln dokler se ta stvar ne razčisti, to
negacijo enostavno prepovem! Kakopak!
Potem pa moja izjava ne more biti nekaj, česar ni.
Ne more biti neqacija, .s čimer je izrek že dokazan, pač
pa je lahko potemtakem kvečjemu negacija te negacije.
Začuda! Kdor ne verjame, pa naj pogleda še naslednjo
sliko.
Tako. S tem smo bralcem Preseka omogočili vpogled v delo te zanimive
Sekcije . Če se vam zdi poročilo kdaj pa kdaj tudi nekoliko nerazumljivo, je to
najbrž samo zato, ker ste ga le prebrali. Svetujem vam, da vzamete v roke
svinčnik in papir in se omenjenih problemov tudi sami lotite . Saj sedaj ne bo
več težko, hkrati pa bo postal razumljlv še marsikateri skriti namig iz skopega
besedila.
Na koncu je, kakor je pač ponavadi to v navadi, predsednica. Sekcije
povzela:
" Lepo. Zdi se mi, da nam prikazane rešitve lahko prinesejo mirnega sna. Ven-
dar pa vem, da vaši nemirni duhovi nikdar ne spe. Njim in izključno njim, dragi
bralci, zastavljam novo nalogo . Vzemite v roko dodekaeder, kakor je narisan "na
zadnji sliki, in ga poskušajte uravnotežiti z utežm i. Vendar pa vam že sedaj na-
mignem, da močno sumim, da bi kdo uspel rešiti nalogo s samimi med seboj
različnimi utežmi. Precej lažje je to stvar uravnotežiti, če je nekaj uteži med
seboj enakih . Vendar pa - čim mani, tem bolje!"
Torej - ne prezrite! ln pošljite nam rešitve. Kar na Presekov naslov.
Nagrade ne bodo ušle.