i
i
“Arslanagic-geometrijska” — 2010/6/1 — 9:26 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 4
Strani 250–251
Šefket Arslanagǐc:
GEOMETRIJSKA NEENAKOST NA DVA NAČINA
Ključne besede: matematika, geometrija.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/902-Arslanagic.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
GEOMETRIJSKA NEENAKOST NA DVA NAeINA
Več različnih rešitev enega matematičnega problema je lahko mnogo koristnej ..
še in bolj ustvarjalno opravilo kot pa reševanje večjega števila rutinskih nalog.
Ta prispevek je bil napisan z namenom, da opraviči in potrdi to avtorjevo
mnenje .
Gre za dokaz naslednje neenakosti za pravokotni trikotnik:
~..:!:~.::..~ ~ 1 +V2
2h e
kjer sta e, b kateti, c hipotenuza in he višina na c.
Dokaz 1
(1 )
Z upoštevanjem zvez
c2 =a2 +b2 in h = ~I:!-e e
ter z uporabo znane neenačbe med aritmetičnim in geometrijskim povprečjem
dobimo
x + y r-::-:
---- ~y xy
2
(X, y > O) (*)
~.:!:~-.:..~ = E.~.::..~_..~~l = ~~_+_~_ + 5':"_ =
2 he 2 ab 2 ab 2 ab
=J~~..El~a.:._+_b.:._ + ~:'.:!:E:' ~ ~~.:_::l..J~l:.-_ +~~- =v2 + 1
2 ab 2 ab 2 ab 2 ab
To smo tudi želeli dokazati.
Ker velja v (*) znak enakosti samo, če je x = y. velja v (1) znak enakosti
samo, če je a =b, torej, če je pravokotni trikotnik tudi enakokrak.
Dokaz 2
Naj označuje R polmer trikotniku očrtanega kroga. Ker je c = 2R in R ~he'
je c~ 2he oziroma
(2)
Iz (2) sledi
-~ (-~ + 2) ~ 8 oziroma c2 + 2 c he ~ 8 he 2
he he
Z upoštevanjem zveze he = ~~ in Pitagorovega izreka lahko zadnjo neenakost
e
preoblikujemo v neenakost a2 + b 2 + 2 ab ~ 8 he 2 oziroma (a + b)2 ~ 8 he 2 •
Ko korenimo in delimo s he' dobimo
250