Razvijamo matematično pismenost Opredelitev matematične pismenosti s primeri dejavnosti Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Zbirka NA-MA POTI ISSN 2820-4182 Urednica zbirke: Jerneja Bone Razvijamo matematično pismenost Opredelitev matematične pismenosti s primeri dejavnosti Strokovni urednici: mag. Mateja Sirnik in Vesna Vršič Avtorji: mag. Mateja Sirnik, Vesna Vršič, dr. Amalija Žakelj, dr. Andreja Klančar, dr. Zlatan Magajna, Denis Markežič, Veronika Zadel, Kristina Angelov Troha, Vesna Jeromen, mag. Melita Gorše Pihler, Loreta Hebar, Simona Vreš, Natalija Horvat, Viktorija Ternar Horvat, Sonja Miklavc, Nataša Vrabič, mag. Simona Pustavrh, Ana Kretič Mamič, Anja Klavs Voštić, Antonija Miklavčič Jenič, dr. Nik Stopar Strokovni pregled: dr. Alenka Lipovec in ddr. Melita Hajdinjak Jezikovni pregled: dr. Zala Mikeln Oblikovanje: Simon Kajtna Ilustracije: Davor Grgičević, str. 33 in 77 Fotografije: avtorji prispevkov Grafična priprava: ABO grafika, d. o. o., zanjo Igor Kogelnik Izdal in založil: Zavod RS za šolstvo Predstavnik: dr. Vinko Logaj Urednica založbe: Andreja Nagode Spletna izdaja Ljubljana, 2022 Publikacija je dosegljiva na www.zrss.si/pdf/Razvijamo_matematicno_pismenost.pdf Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Gradivo je nastalo v okviru projekta NA-MA POTI, 2016–2022, vodja projekta: Jerneja Bone. Kataložni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjižnici v Ljubljani COBISS.SI-ID 129040899 ISBN 978-961-03-0676-4 (PDF) Priznanje avtorstva-Nekomercialno-Brez predelav Vsebina Vsebina Uvod (mag. Mateja Sirnik, Vesna Vršič) ....................................................................................... 5 I. Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti ............................. 7 Matematična pismenost (dr. Amalija Žakelj, dr. Andreja Klančar) .................................... 8 Kompetence za vseživljenjsko učenje ......................................................................... 8 Matematična pismenost v mednarodno primerjalni raziskavi PISA .......................... 9 Matematična pismenost v projektu NA-MA POTI ....................................................11 Matematično modeliranje kot del matematične pismenosti in matematičnega znanja (dr. Zlatan Magajna) ...............................................................13 Pojem matematičnega modela ..................................................................................14 Proces modeliranja .....................................................................................................16 Značilni tipi nalog iz modeliranja ...............................................................................19 Matematična pismenost v projektu NA-MA POTI (mag. Mateja Sirnik, Vesna Vršič) ..26 Mednarodne in domače raziskave o znanju učencev pri matematiki .....................26 Pojmovanje matematične pismenosti v projektu NA-MA POTI ...............................27 Gradniki in podgradniki matematične pismenosti....................................................28 Izgradnja matematične pismenosti od vrtca do konca srednje šole .......................30 Modeliranje iz prakse za prakso (mag. Mateja Sirnik) ....................................................74 II. Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti ...........................................................89 Razvrščanje po eni in dveh lastnostih (Denis Markežič, Veronika Zadel) .......................90 Sestavimo grad Bogenšperk z modeli geometrijskih teles in predstavimo prikaz (Kristina Angelov Troha) ................................................................97 Preiskovanje števila daljic s četrtošolci (Vesna Jeromen) ............................................ 105 Primerjamo, razvrščamo in tvorimo definicije štirikotnikov (mag. Melita Gorše Pihler, Loreta Hebar) ....................................................................... 114 Komentar na dejavnost (dr. Nik Stopar) .................................................................. 125 Preverjanje, razvrščanje in uporaba različnih reprezentacij geometrijskih teles (Anja Klavs Voštić, Antonija Miklavčič Jenič) ................................. 126 Razumevanje in uporaba različnih pojmov (funkcija, enačba, neenačba, ničla funkcije, krivulja …) pri kvadratni funkciji (Simona Vreš) ................................... 132 Prikaz in računanje prevožene poti kolesarja z uporabo eksponentne funkcije (Natalija Horvat) ........................................................................ 137 Raziskovanje obstoja in lastnosti platonskih teles (Viktorija Ternar Horvat) ............. 145 | 3 Razvijamo matematično pismenost III. Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti ..................................................... 165 Različno dolge poti od starta do cilja (Sonja Miklavc) .................................................. 166 Reševanje matematičnega problema – na pikniku s preveč gosti in premalo hrane (Nataša Vrabič) .................................................................................. 170 Komentar na dejavnost (dr. Nik Stopar) .................................................................. 176 Modeliranje z učenci 2. razreda ob nalogi naročanje pic (Vesna Vršič) ..................... 177 Modeliranje z učenci 5. in 6. razreda ob nalogi Ukrepanje s sredstvi za varstvo rastlin (Vesna Vršič in mag. Mateja Sirnik) ............... 188 Izdelava darilne škatlice za čokoladne bombone (mag. Mateja Sirnik) ..................... 204 Uporaba linearnega modela za gorenje sveče (mag. Simona Pustavrh) .................... 210 Izdelava matematičnega modela za zavorno pot avtomobila (Ana Kretič Mamič) ... 217 Komentar na dejavnost (dr. Nik Stopar) .................................................................. 221 bonbon Legenda kratic NP – naravoslovna pismenost MP – matematična pismenost FP – finančna pismenost KM – kritično mišljenje ONM – odnos do učenja in učna motivacija VIO – vzgojno-izobraževalno obdobje NA-MA POTI – Naravoslovje, matematika, pismenost, opolnomočenje, tehnologija, interaktivnost Opomba: V tem priročniku uporabljeni izrazi, ki se nanašajo na osebe in so zapisani v moški slovnični obliki, so uporabljeni kot nevtralni za ženski in moški spol. Pri naštevanju črka č ni uporabljena, ker je tako zagotovljeno enako zaporedje v prevodih v druge jezike. 4 | Uvod Uvod mag. Mateja Sirnik in Vesna Vršič, Zavod RS za šolstvo Priročnik Razvijanje matematične pismenosti je rezultat dela članov projektnega tima za razvijanje matematične pismenosti, ki je nastal v projektu Naravoslovna in matematična pismenost: spodbujanje kritičnega mišljenja in reševanja problemov (NA-MA POTI – NAravoslovje, MAtematika, Pismenost, Opolnomočenje, Tehnologija, Interaktivnost). V okviru projekta je deloval Razvojni tim za matematično pismenost, katerega člani so v času projekta: • opravili pregled in študij strokovne literature na področju razvijanja matematične pismenosti, • zapisali opredelitev matematične pismenosti za slovenski šolski prostor, • opredelili gradnike in podgradnike skupaj z opisniki na petih razvojnih stopnjah, • načrtovali in preizkušali primere dejavnosti najprej za razvijanje prvega gradnika in kasneje za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti ter jih dopolnjevali in nadgrajevali. V projektu je bilo organiziranih več izobraževanj za vzgojitelje in učitelje matematike s področja razvijanja matematične pismenosti v predšolskem obdobju, pri pouku v osnovni šoli in v različnih srednješolskih programih. Na izobraževanjih smo predstavljali teoretična izhodišča matematične pismenosti skupaj z različnimi primeri dejavnosti, ki so jih izvedli vzgojitelji in učitelji z otroki/učenci/dijaki. Rezultat vsega razvojnega dela so tako teoretična izhodišča za poučevanje matematične pismenosti v našem izobraževalnem prostoru ter preizkušeni in dopolnjeni primeri prakse za razvoj matematične pismenosti na posamezni razvojni stopnji od vrtca do srednje šole. Priročnik je sinteza našega dela in naj kot gradivo s teoretičnimi izhodišči za razvoj matematične pismenosti in ozaveščanje znanj, ki jih razvija matematika kot predmet skozi učne načrte, prispeva k razvoju pismenosti učencev. Uporabite ga kot pripomoček za razumevanje opredeljenih znanj po podgradnikih in opisnikih matematične pismenosti po vertikali. Zavedamo se, da načrtno razvijanje matematične pismenosti še ni sistematično ustaljena praksa v našem izobraževalnem prostoru in da bo treba narediti še veliko korakov na sistemski ravni, na ravni načrtovanja pouka in na ravni lastnih prepričanj vzgojiteljev in učiteljev. V priročniku smo strnili rezultate projekta, za katere si želimo, da vam bodo v pomoč in kot izhodišče za pripravo različnih dejavnosti za razvijanje matematične pismenosti na različnih ravneh izobraževanja. To delo naj služi kot vir idej za prakso s primeri konkretnih dejavnosti, kot nabor virov, kjer si lahko poiščemo dodatne informacije, in kot spodbuda, da v svojo prakso postopoma vključujemo dejavnosti za razvoj pismenosti. Veseli bomo vsake povratne informacije o gradivu, ki je pred vami, še bolj pa nadaljnjih primerov, ki jih boste načrtovali in izvedli z vašimi otroki/učenci/dijaki. | 5 | I. Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Razvijamo matematično pismenost Matematična pismenost dr. Amalija Žakelj, Univerza na Primorskem, Pedagoška fakulteta dr. Andreja Klančar, Univerza na Primorskem, Pedagoška fakulteta Uvod Pojem pismenost je bil v preteklosti vezan na znanje branja in pisanja, ki ga je v prvi vrsti razvijala in širila šola. Dandanes pa je pismenost, tako kot današnja družba, postala zelo kompleksen pojem (Starc, 2011), ki je posledica razvoja družbe in vpliva sodobnih tehnologij (Žakelj, 2011). Komisija za razvoj pismenosti je v dokumentu Nacionalna strategija za razvoj pismenosti opredelila pismenost kot trajno razvijajočo se zmožnost posameznikov, da uporabljajo družbeno dogovorjene sisteme simbolov za sprejemanje, razumevanje, tvorjenje in uporabo besedil za življenje v družini, šoli, na delovnem mestu in v družbi, kar posamezniku omogoča uspešno in ustvarjalno osebnostno rast ter odgovorno delovanje v poklicnem in družbenem življenju. Kot zmožnost in družbena praksa se pismenosti pridobivajo in razvijajo vse življenje v različnih okoliščinah in na različnih področjih ter prežemajo vse človekove dejavnosti (Bucik idr. 2006, str. 7). V sodobnem pomenu beseda pismenost praviloma pomeni sposobnost branja in pisanja na ravni, primerni za pisno sporazumevanje, in nasploh na ravni, ki posamezniku omogoča uspešno delovanje na določeni ravni družbe. Številni analitiki jemljejo stopnjo pismenosti države ali regije kot glavno merilo pri določanju vrednosti človeškega kapitala. Z razvojem družbe in vstopom sodobnih tehnologij v vsakdanje življenje posameznika se pojem pismenosti razširja. Danes že govorimo o bralni, naravoslovni, podatkovni, družboslovni, glasbeni, matematični pismenosti itd. (Žakelj, 2011). Vsem pismenostim je skupno, da poudarjajo funkcionalno znanje in spretnosti, ki posamezniku omogočajo aktivno sodelovanje v družbi, ne toliko v smislu šolskega kurikula kot v smislu pomembnih znanj in spretnosti, ki jih posameznik potrebuje za življenje (Žakelj, 2014). Organizacija za ekonomsko sodelovanje in razvoj (OECD) je že v devetdesetih letih prejšnjega stoletja spodbudila mednarodno primerjalno raziskavo Programme for International Student Assessment (PISA), ki poteka vsake tri leta in se osredotoča na področje pismenosti v različnih življenjskih in problemskih situacijah ter ni vezana zgolj na rezultate šolskih kurikulov. PISA preverja, kako znajo učenci svoje spretnosti branja uporabiti za razumevanje in interpretacijo različnih besedil iz vsakdanjega življenja, kako se s pomočjo matematičnega znanja in spretnosti soočajo z različnimi izzivi in problemi, ki terjajo matematično znanje, in kako znajo svoje naravoslovno znanje in spretnosti uporabiti za razumevanje, razlago ter razreševanje različnih situacij in problemov s področja naravoslovja. Kompetence za vseživljenjsko učenje Vzporedno s pojmom pismenost je bilo v letu 2006 prvič javno objavljeno Priporočilo Evropskega parlamenta in Sveta o ključnih kompetencah za vseživljenjsko učenje (Evropski parlament in Svet Evropske unije, 2006): to so sporazumevanje v maternem jeziku, sporazumevanje v tujih jezikih, matematična kompetenca ter osnovne kompetence v znanosti in tehnologiji, digitalna pismenost, učenje učenja, socialne in državljanske kompetence, samoiniciativnost in podjetnost ter kulturna zavest in izražanje. Kompetence so v dokumentu (prav tam) opredeljene kot kombinacija znanja, spretnosti in odnosov. Ključne so tiste kompetence, ki jih vsi ljudje potrebujejo za osebno izpolnitev in razvoj, dejavno državljanstvo, socialno 8 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti vključenost in zaposlitev. Matematična kompetenca pa je opredeljena kot sposobnost usvojitev in uporabe matematičnega načina razmišljanja za reševanje mnogih problemov v vsakdanjem življenju (prav tam). Dandanes so se zahteve po kompetencah spremenile, saj je za vedno več delovnih mest značilna avtomatizacija, vse večjo vlogo na vseh področjih življenja in dela imajo digitalne tehnologije, podjetnostne, družbene in državljanske kompetence pa postajajo pomembnejše za zagotavljanje odpornosti in sposobnosti prilagajanja na spremembe. Tako so tudi v dokumentu Priporočilo Sveta o ključnih kompetencah za vseživljenjsko učenje iz leta 2018 (Svet Evropske unije, 2018) ključne kompetence nekoliko posodobljene: pismenost, večjezičnost, matematična, naravoslovna, tehniška in inženirska kompetenca, digitalna kompetenca, osebnostna, družbena in učna kompetenca, državljanska kompetenca, podjetnostna kompetenca, kulturna zavest in izražanje. Znanje, spretnosti in odnosi, povezani z matematično kompetenco so v prilogi dokumenta Ključne kompetence za vseživljenjsko učenje – evropski referenčni okvir (Svet Evropske unije, 2018) posebej opredeljeni. Potrebno znanje matematike vključuje temeljito poznavanje številk, merskih enot in struktur, osnovnih operacij in osnovnih matematičnih predstavitev, razumevanje matematičnih izrazov in pojmov ter ozaveščenost o vprašanjih, na katera lahko matematika ponudi odgovor. Posameznik bi moral biti sposoben uporabljati temeljna matematična načela in postopke v vsakodnevnih okoliščinah doma in v službi (npr. finančne spretnosti) ter slediti nizu argumentov in ga ocenjevati. Sposoben bi moral biti matematično misliti, razumeti matematične dokaze, se sporazumevati v matematičnem jeziku in uporabljati ustrezne pripomočke, vključno s statističnimi podatki in grafikoni, ter razumeti matematične vidike digitalizacije. Pozitiven odnos do matematike temelji na spoštovanju resnice in pripravljenosti za iskanje razlogov ter za ocenjevanje njihove veljavnosti. V tem času se ključne kompetence in s tem tudi matematična kompetenca ter komponente pismenosti oz. matematične pismenosti pojavijo tudi v učnih načrtih za osnovno šolo in gimnazijo ter srednje poklicno in strokovno izobraževanje, ki so bili posodobljeni v letih od 2008 do 2011. Pogosto najdemo v opredelitvah tako matematične pismenosti kot matematične kompetence zapisane podobne poudarke, zlasti ko gre za raven uporabe matematičnega znanja na ravni vsakdanjih situacij. Matematična pismenost v mednarodno primerjalni raziskavi PISA Matematično, naravoslovno in bralno pismenost petnajstletnikov že dve desetletji meri mednarodno primerjalna raziskava PISA. Matematična pismenost je bila v okviru te mednarodne raziskave prvič opredeljena leta 2000, s ciljem standardizirati ocenjevanje znanja in veščin pri petnajstletnikih, ki so potrebne za učinkovito sodelovanje in participiranje v družbi. Od takrat se vsake tri leta ocenjujejo bralna, naravoslovna in matematična pismenost, pri čemer je vsako leto poseben poudarek na ocenjevanju ene izmed naštetih pismenosti. Matematika je bila glavno področje merjenja v raziskavi PISA 2003 in potem zopet v raziskavi PISA 2012. Leta 2003 (OECD PISA 2003) je bila matematična pismenost definirana kot sposobnost posameznika, da prepozna in razume vlogo matematike v vsakdanjem življenju, da se zna smiselno odločati ter da uporablja matematiko na način, ki zadovoljuje potrebe posameznika kot konstruktivnega, odgovornega in reflektivnega državljana. Od učencev, ki so sodelovali pri testiranju (PISA 2003), se je pričakovalo, da so znali analizirati, presoditi in pojasniti rešitve realnih situacij vsakdanjega življenja enako učinkovito kot formulirati in reševati matematične probleme, s kakršnimi se redno srečujejo pri pouku matematike. Učenci so se pri testiranju soočili tudi s situacijami, ki niso tipične za naš pouk matematike. Za reševanje takih problemov se je od učencev pričakovalo, da oblikujejo ustrezen postopek reševanja, ki je predstavljal nadgradnjo postopka, ki so ga spoznali v okviru vsebin pouka (Manfreda Kolar idr., 2011). V raziskavi PISA 2006 (OECD PISA 2006, 2008) je matematična pismenost opredeljena kot posameznikova sposobnost prepoznavanja in razumevanja vloge, ki jo ima matematika v svetu, sposobnost postavljanja dobro utemeljenih odločitev ter sposobnost uporabe in vpletenosti matematike na načine, ki izpolnjujejo potrebe posameznikovega življenja kot konstruktivnega in razmišljujočega posameznika. | 9 Razvijamo matematično pismenost V ospredju matematične pismenosti je povezava matematike z realnim svetom, torej uporaba matematike v različnih problemskih situacijah (osebnih, izobraževalnih, družbenih in znanstvenih), v katere so umeščeni problemi. Sposobnost uporabe matematike je torej ozko povezana s problemskimi znanji, to je znanji o uporabi obstoječih znanj v novih situacijah (prav tam). Učenje matematike preko problemskih situacij, ki izhajajo iz življenjskih izkušenj učencev, je koristno tudi zato, ker s tem osmislimo matematične vsebine. Matematika tako ni sama sebi namen, ampak je uporabna v življenju. Samo na tak način razvijamo zmožnost učenca, bodočega odraslega, da prepozna in razume vlogo matematike v svojem okolju, da zna smiselno utemeljiti svoje trditve in odločitve ter da pri svojih dejavnostih uporablja matematiko na način, ki mu omogoča tvorno, odgovorno in refleksivno delovanje v družbi (De Lange, 2003; Cotič in Felda, 2005; Repež idr., 2008). Čeprav se je definicija matematične pismenosti v raziskavi PISA 2006 (OECD PISA 2006, 2008) z leti dopolnjevala in nadgrajevala, pa prvotno postavljeni gradniki matematične pismenosti v raziskavi PISA 2006 (kot so sposobnost prepoznavanja in razumevanja vloge, ki jo ima matematika v svetu, sposobnost postavljanja dobro utemeljenih odločitev ter sposobnost uporabe in vpletenosti matematike na načine, ki izpolnjujejo potrebe posameznikovega življenja kot konstruktivnega in razmišljujočega posameznika) ostajajo pomembni gradniki v vseh nadaljnjih opredelitvah matematične pismenosti, in sicer v PISA 2009 (OECD PISA 2009, 2010), PISA 2012 (OECD PISA 2012, 2013), PISA 2015 (OECD PISA 2015, 2016), PISA 2018 (OECD PISA 2018, 2019). Nadgradnja definicije matematične pismenosti iz leta 2006 pa vse do leta 2018 se kaže predvsem v še bolj poudarjenih aktivnostih, kot so analiziranje, utemeljevanje in učinkovito sporočanje svojih zamisli in rezultatov pri oblikovanju, reševanju ter interpretaciji matematičnih problemov v različnih situacijah. Matematična pismenost je v raziskavi PISA 2018 (OECD PISA 2018, 2019) opredeljena kot zmožnost analiziranja, utemeljevanja in učinkovitega sporočanja svojih zamisli in rezultatov pri oblikovanju, reševanju ter interpretaciji matematičnih problemov v različnih situacijah. To zahteva vključevanje matematičnega mišljenja, uporabo matematičnih konceptov, znanja, postopkov in orodij pri opisovanju, razlagi ter napovedovanju dogodkov. Izraženost matematične pismenosti se pri učencih in učenkah, vključenih v raziskavo PISA 2018 (OECD PISA 2018, 2019), preverja s treh vidikov: z vidika matematične vsebine, s katero se povezujejo različni problemi in vprašanja, z vidika vrste matematičnih procesov, ki jih je treba uporabiti med reševanjem matematičnih problemov, ter z vidika situacije in kontekstov, ki so bili uporabljeni kot vir uvodnega besedila. Tako kot se je definicija matematične pismenosti iz leta 2006 pa vse do leta 2018 nadgrajevala, so se dopolnjevali tudi dosežki matematične pismenosti in so v raziskavi PISA 2018 opredeljeni na šestih ravneh (prav tam). Bistveni poudarki posamezne ravni so predstavljeni v nadaljevanju. Učenci in učenke so na prvi ravni sposobni uspešno odgovarjati na jasno ter preprosto postavljena vprašanja, ki vključujejo znane kontekste in v katerih so jasno predstavljene vse ustrezne informacije. Na drugi ravni so sposobni interpretirati in prepoznati situacije ter kontekste, ki ne zahtevajo več kot neposredno sklepanje. Na tretji ravni lahko izvajajo jasno opisane postopke, tudi take, ki zahtevajo zaporedje odločitev. Na naslednji, četrti ravni lahko učinkovito delajo z eksplicitnimi modeli za kompleksne konkretne situacije, ki pa lahko vključujejo omejitve ali zahtevajo upoštevanje predpostavk. Na peti ravni učenci in učenke že uspešno oblikujejo ter delajo s kompleksnimi matematičnimi modeli, prepoznajo omejitve in določijo predpostavke pri reševanju problema. Lahko izberejo, primerjajo in ovrednotijo primerne strategije za reševanje kompleksnih problemov. Na zadnji, najvišji, šesti ravni so učenci in učenke sposobni oblikovati koncepte, posploševati in uporabiti informacije, ki jih pridobijo z lastnim raziskovanjem in modeliranjem v kompleksnih problemskih situacijah. Lahko povezujejo različne vire informacij in različne predstavitve ter pretvarjajo med njimi. Izkazujejo višje ravni matematičnega mišljenja in sklepanja. Vpogled, razumevanje in usvojeno znanje o simboličnih ter formalnih matematičnih operacijah so sposobni uporabiti za razvoj novih pristopov in strategij v novih situacijah. Zmorejo natančno sporočati o svojih postopkih reševanja nalog in razmišljanjih o rezultatih, interpretacijah, utemeljitvah ter njihovi ustreznosti v življenjskih situacijah (OECD PISA 2018, 2019). 10 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Matematična pismenost v projektu NA-MA POTI V letih od 2016 do 2022 sta Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada sofinancirala naložbo projekta NA-MA POTI. Cilj projekta je razviti in preizkusiti pedagoške pristope in strategije oz. prožne oblike učenja, ki z vključevanjem novih tehnologij pripomorejo k celostnemu in kontinuiranemu vertikalnemu razvoju matematične in drugih pismenosti (finančne, digitalne, medijske itd.) otrok/učencev/dijakov od vrtcev do srednjih šol. V okviru projektnih aktivnosti so se razvili in v praksi preizkusili didaktični pristopi in strategije, ki med drugim udejanjajo kritično mišljenje, argumentiranje, metakognitivno razmišljanje, strategije interdisciplinarnega reševanja kompleksnih avtentičnih problemov, učenje z raziskovanjem, uporabo IKT za vzpostavitev prožnih in inovativnih učnih okolij idr. Vse te aktivnosti projekta so bile tudi izhodišče za pripravo priporočil za razvoj matematične pismenosti, zasnovane v okviru projekta NA MA POTI. Osnovna opredelitev matematične pismenosti v projektu NA-MA POTI sloni na definiciji matematične pismenosti iz mednarodne raziskave PISA 2018 (OECD PISA 2018, 2019): »Matematična pismenost je zmožnost posameznika, da na osnovi matematičnega mišljenja in matematičnega znanja: • zmore uporabljati matematične pojme, postopke in orodja v različno strukturiranih okoljih; • analizira, utemeljuje in učinkovito sporoča svoje zamisli in rezultate pri oblikovanju, reševanju in interpretaciji matematičnih problemov v različno strukturiranih okoljih; • zaznava in se zaveda vloge matematike v vsakdanjem in poklicnem življenju, jo povezuje z drugimi področji in sprejema odgovorne odločitev na osnovi matematičnega znanja ter je pripravljen sprejemati in soustvarjati zanj nova matematična spoznanja.« Temeljna gradnika matematične pismenosti, opredeljena v projektu NA-MA POTI, sta: • matematično mišljenje, razumevanje in uporaba matematičnih pojmov, postopkov ter strategij, sporočanje kot osnova matematične pismenosti, • reševanje problemov v raznolikih kontekstih (osebni, družbeni, strokovni in znanstveni), ki omogočajo matematično obravnavo. Temeljna gradnika matematične pismenosti se še naprej členita in sta opredeljena na petih ravneh (vrtec, 1. VIO, 2. VIO, 3. VIO, srednja šola), ki so odlično vodilo učiteljem pri spodbujanju razvoja matematične pismenosti. Namesto zaključka Pismenost je kulturna vrednota posameznika in družbe ter sodi med poglavitne dejavnike kvalitetnega in ustvarjalnega življenja v sodobni družbi. Opismenjevanje je zato nenadomestljiva sestavina učenja ne le jezikovnih predmetov, temveč tudi drugih predmetnih področij. Matematična pismenost temelji na matematičnem znanju in zaživi v naravnem in socialnem okolju. Posameznik jo razvija vse življenje. Omogoča mu lažje sporazumevanje, oblikovanje lastnih stališč ter presojanje stališč in trditev drugih ljudi. Obvladovanje komponent matematične pismenosti olajša reševanje problemov v življenjskih situacijah, ki zahtevajo sposobnost uporabe šolskega znanja in spretnosti v manj strukturiranem kontekstu, kot je šolska situacija. Reševalci morajo sprejemati odločitve o tem, katere informacije in znanje so v dani problemski situaciji pomembne in kako naj jih smiselno uporabijo. | 11 Razvijamo matematično pismenost Literatura 1. Bucik, N., Doupona Horvat, M., Gradišar, A., Grilc, U., Grosman, M. idr. (2006). Nacionalna strategija za razvoj pismenosti. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport. 2. Cotič, M. in Felda, D. (2005). Rezultati raziskave TIMSS 2003 za nižje razrede osnovne šole. Matematika v šoli, 12, 44–49. 3. De Lange, J. (2003). Matematics for Literacy. V: B. L. Madison in L. A. Steen (ur.): Quantitative Literacy: Why Numeracy Matters for Schools and Colleges (str. 75–89). Princeton: National Council on Education and the Disciplines. 4. Evropski parlament in Svet Evropske unije (2006). Priporočilo Evropskega parlamenta in Sveta z dne 18. decembra 2006 o ključnih kompetencah za vseživljenjsko učenje. Uradni list Evropske unije, 394, 11–12. 5. Manfreda Kolar, V., Pavleković, M., Perić, A. in Hodnik, T. (2011). Matematična pismenost z vidika razumevanja pojma neskončnosti pri študentih razrednega pouka. V: M. Cotič (ur.), V. Medved - Udovič (ur.) in S. Starc (ur.). Razvijanje različnih pismenosti (str. 218–233). Koper: Univerza na Primorskem, Znanstveno-raziskovalno središče, Univerzitetna založba Annales. 6. OECD PISA 2009 (2010). Prvi Rezultati OECD PISA 2009. Ljubljana: Pedagoški inštitut. https://www.pei.si/wp-content/uploads/2018/12/PISA2009_prviRezultati.pdf. 7. OECD PISA 2003 (2003). Organisation for Economic Co-operation and Development (OECD) (2003): The PISA 2003 Assessment Framework. http://www.oecd.org/dataoecd/46/14/33694881.pdf. 8. OECD PISA 2006 (2008). Izhodišča merjenja matematične pismenosti v raziskavi PISA 2006: program mednarodne primerjave dosežkov učencev. Priredile in uredile: Maša Repež, Andreja Drobnič Vidic, Mojca Štraus. Ljubljana: Pedagoški inštitut: Nacionalni center PISA. https://www.pei.si/wp-content/ uploads/2018/12/PISA2006_Izhodisca_Matematicna_pismenost.pdf. 9. OECD PISA 2018 (2019). Program mednarodne primerjave dosežkov učencev in učenk: nacional-no poročilo s primeri nalog iz branja. Uredila: Klaudija Šterman Ivančič. Ljubljana: Pedagoški inštitut. https://www.pei.si/wp-content/uploads/2019/12/PISA2018_NacionalnoPorocilo.pdf. 10. OECD PISA 2012 (2013). Program mednarodne primerjave dosežkov učencev: matematična pismenost: bralna pismenost. Uredile: Mojca Štraus, Klaudija Šterman Ivančič, Simona Štigl. Ljubljana: Pedagoški inštitut. https://www.pei.si/wp-content/uploads/2018/12/PISA-2012-Povzetek-rezultatov-SLO.pdf. 11. OECD PISA 2015 (2016). Program mednarodne primerjave dosežkov učenk in učencev PISA 2015: naravoslovni, matematični in bralni dosežki slovenskih učenk in učencev v mednarodni primerjavi. Nacionalno poročilo o raziskavi. Ljubljana: Pedagoški inštitut. https://www.pei.si/wp-content/uploads/2018/12/ PISA2015NacionalnoPorocilo.pdf. 12. Repež, M., Drobnič Vidic, A. in Štraus, M. (2008). Izhodišča merjenja matematične pismenosti v raziskavi PISA 2006. Ljubljana: Nacionalni center PISA, Pedagoški inštitut. 13. Starc, S. (2011). Razmišljati o pismenosti v začetku 21. stoletja. V: M. Cotič (ur.), V. Medved - Udovič (ur.), S. Starc (ur.). Razvijanje različnih pismenosti (str. 9−10), Koper: Univerza na Primorskem, Znanstveno-raziskovalno središče, Univerzitetna založba Annales. 14. Svet Evropske unije (2018). Priporočilo Sveta z dne 22. maja 2018 o ključnih kompetencah za vseživljenjsko učenje. Uradni list Evropske unije, 2018/C 189/01. 15. Štraus, M. (ur.) (2008). Program mednarodne primerjave dosežkov učencev PISA: zbornik prispevkov o metodoloških vidikih raziskave PISA. Ljubljana: Pedagoški inštitut. 16. Žakelj, A. (2011). Razvijanje matematične pismenosti skozi reševanje problemov. V: M. Cotič (ur.), V. Medved - Udovič (ur.), S. Starc (ur.). Razvijanje različnih pismenosti (str. 218−233), Koper: Univerza na Primorskem, Znanstveno-raziskovalno središče, Univerzitetna založba Annales. 17. Žakelj, A. (2014). Posodabljanje pouka v osnovni šoli in gimnaziji (2006−2013). V: A. Žakelj. Posodobitev kurikularnega procesa na osnovnih šolah in gimnazijah: sklop: posodobitev pouka na osnovnih šolah in gimnazijah: zbornik prispevkov zaključne konference in predstavitev predmetno razvojnih skupin (str. 9–24) . Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 12 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Matematično modeliranje kot del matematične pismenosti in matematičnega znanja dr. Zlatan Magajna, Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta Uvod Pojem matematična pismenost, kot analogija bralne pismenosti, se je v kurikularnih dokumentih začel pojavljati sredi prejšnjega stoletja, in sicer kot smer matematičnega izobraževanja, ki bolj kot poznavanje matematičnih vsebin poudarja usposobljenost izvajanja matematičnih procesov (Jablonka, 2015). Nekoliko kasneje je nastal, predvsem v kontekstu izobraževanja odraslih, pojem numeracy, ki je sprva pomenil nekaj takega kot »znanstvena pismenost«. V naslednjih desetletjih sta oba pojma dobila drugačen pridih: matematična pismenost danes pomeni usposobljenost za uporabo matematike pri svojem poklicnem delu, v socialnem okolju in v nadaljnjem izobraževanju. To poudarjajo tudi razne inačice definicije matematične pismenosti v raziskavah PISA (Programme for International Student Assessment). Definicija iz leta 2018 (OECD, 2019) se npr. glasi: MATEMATIČNA PISMENOST je posameznikova zmožnost, da matematično razmišlja, da formulira pojave v matematičnem jeziku, uporablja in interpretira matematične ugotovitve in rešuje probleme v raznolikih kontekstih. Vključuje matematične pojme, postopke, dejstva in orodja, s katerimi opisujemo, razlagamo in napovedujemo pojave. Posamezniku pomaga prepoznati vlogo matematike v svetu in sprejemati dobro utemeljene presoje in odločitve, ki so pomembne za ustvarjalne, dejavne in razmišljujoče državljane. Biti matematično pismen pomeni sobivati z matematiko v svojem okolju, jo razumeti in uporabljati. Praktično razmišljajoči ljudje, ki cenijo uporabnost matematike, hitro enačijo matematiko (kot šolski predmet) z matematično pismenostjo; tovrstne težnje se v svetu pojavljajo celo na ravni šolskih kurikulov (Jablonka, 2015). Vsekakor je matematična pismenost eden od pomembnih ciljev matematičnega izobraževanja. Nemalokrat je ta cilj zapostavljen bodisi na ravni načrtovanega bodisi na ravni izvedbenega kurikula. Vendar pa matematične pismenosti ne gre enačiti s šolsko matematiko (Gardiner, 2006). Odnos med šolskim znanjem matematike in matematično pismenostjo ponazarja slika 1. | 13 Razvijamo matematično pismenost matematično znanje matematična pismenost prepoznavanje specifične osnovni matematike v okolju vsebine matematični pojmi, reševanje postopki, reševanje matematičnih problemov, problemov v okolju matematično mišljenje utemeljevanje odločitev Slika 1: Odnos med šolskim znanjem matematike in matematično pismenostjo Velik del šolske matematike, naj gre za pojme, postopke, procese ali strategije, je uporaben v vsakdanjem ali poklicnem okolju, posebej to velja za osnovnošolsko matematiko, in je torej del matematične pismenosti. Že v srednji šoli pa srečamo vsebine in razmišljanja, s katerimi se vsaj pomemben del dijakov v življenju ne bo več srečal (pomislimo le na formalno dokazovanje geometrijskih trditev, na trigonometrijo ipd.). Matematični svet je svoj svet, svet abstrakcij, za učence in dijake tudi šola zahtevnega mišljenja, ki poudarja abstrakcijo, dedukcijo in druge specifične načine razmišljanja. In v ta svet se ne podajamo samo zato, da bi v njem našli kaj uporabnega. Hkrati pa se je treba zavedati, da uporaba matematike terja določena matematična znanja, spretnosti in procese. Če nanje pri pouku nismo pozorni, učenci in dijaki le s težavo uporabljajo svoje matematično znanje v vsakdanjem oz. poklicnem okolju. Za učinkovito uporabo lastnega matematičnega znanja je npr. pomembno znati zbirati in obdelovati podatke, oblikovati, sporočati in sprejemati matematične informacije, poznati ustrezna tehnološka orodja in še bi lahko naštevali. Nemara najpomembnejša zahteva pa je zmožnost matematično modelirati. Matematično modeliranje je način uporabe, ki se mu bomo posvetili v nadaljevanju. Zajema vrsto tehnik in prijemov, mnogi med njimi presegajo osnovnošolsko in srednješolsko raven matematike. A če želimo, da dijaki in učenci uporabljajo matematiko tudi v drugačnih okoljih, kot je šolsko, je pomembno, da razumejo pojem matematičnega modela in poznajo osnove matematičnega modeliranja. Pojem matematičnega modela Svet matematike je svet abstrakcij, v katerem vladajo logični odnosi. Svet matematike je razmeroma preprosto okolje, kjer je vse kolikor toliko natančno opredeljeno in predvidljivo. Svet okoli nas pa je kompleksen in dejavnosti, v katerih smo udeleženi, so manj predvidljive in težje obvladljive. Med matematiko in drugimi okolji je v nekaterih točkah lahko določena podobnost: dve in dve je štiri, naj bo to v matematiki ali kje drugje. A tako popolnih ujemanj ni veliko. Lesena kocka v resničnem svetu je nekaj drugega kot kocka v svetu geometrije: robovi lesene kocke niso nikoli povsem ravni in v resnični kocki ne morejo biti med seboj povsem skladni, kot so pri kocki v svetu geometrije. Lesena kocka tudi plava na vodi, v svetu matematike pa sploh ni vode. Lahko le rečemo, da je lesena kocka do določene mere po obliki podobna geometrijski kocki. Pri matematičnem razmišljanju geometrijske kocke ne povezujemo le s kockami iz kakega materiala, kocko tudi narišemo na list papirja, napišemo na list besedo »kocka«, izgovorimo besedo »kocka«. V vseh teh primerih smo matematično kocko nadomestili z nekim predmetom, sliko, zapisom, besedo. To sprva storimo, da sploh oblikujemo pojem matematične kocke, nato pa zato, da lahko o (matematični) kocki razmišljamo in o njej komuniciramo. V navedenih primerih govorimo o reprezentiranju kocke. Pri reprezentiranju kocke (ali kakega drugega matematičnega pojma nasploh) reprezentacija nadomešča reprezentirani matematični objekt. Matematična kocka se razlikuje od svojih reprezentacij (npr. lesene kocke, slike kocke, besede kocka). Vendar pa je med leseno kocko in sliko ali zapisom »kocka« pomembna razlika, ki se kaže že v poimenovanju. O leseni 14 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti kocki včasih rečemo, da gre za model kocke. To pomeni, da obstaja določena vzporednost med lastnostmi lesene kocke in lastnostmi matematične kocke. Govorimo o funkcionalni podobnosti med matematično in leseno kocko. Leseno kocko npr. lahko prežagamo na različne načine in vsaj približno izvemo, kakšni so lahko prerezi kocke z ravnino. Lesena kocka kot model geometrijske kocke nam pomaga izvedeti nekaj o geometrijski kocki. Zadevo lahko tudi obrnemo: geometrijska kocka je model lesene kocke. Iz geometrijske kocke npr. lahko izvemo o razmerju med telesno diagonalo in robom lesene kocke. Te funkcionalne vzporednosti med geometrijsko kocko in skico kocke ali zapisom »kocka« seveda ni, zato v teh primerih ne govorimo o modelih. Lesena kocka je model matematične kocke in matematična kocka je model lesene kocke. Funkcionalna podobnost med modelom in modeliranim objektom omogoča, da spoznavamo in preučujemo objekt tako, da obravnavamo njegov model (Lesh in Harel, 2003). Pri matematičnem modeliranju skušamo objekte in pojave okoli nas povezati s funkcionalno podobnimi matematičnimi objekti. To nam omogoča, da na matematičnem modelu ugotovimo, kaj se je zgodilo, bi se zgodilo ali se bo zgodilo pri modeliranem pojavu. Treba pa se je zavedati, da podobnost med resničnim in matematičnim objektom ni popolna. Med matematiko in resničnim svetom je neka vrzel, kar smo poudarili pri leseni kocki. Te vrzeli oz. nepopolne podobnosti pri pouku matematike običajno ne problematiziramo. Pri modeliranju pa obravnava (ne)podobnosti predstavlja pomemben del obravnave. Modeli niso prav nič novega v matematičnem izobraževanju. Pri pouku matematike se običajno srečujemo z modeli teles, likov ter številnih pojavov in situacij v svetu. Številne odnose v svetu npr. povezujemo s premim sorazmerjem, linearno funkcijo, eksponentno funkcijo ali kakšnim drugim funkcijskim odnosom. Ponazorimo to z zares preprostim primerom: Naloga: Bambus je hitro rastoča rastlina, saj v treh urah zraste za 10 cm. Koliko cm zraste ta rastlina v enem dnevu? Rešitev: 24 ur je 8-krat toliko kot 3 ure, zato v enem dnevu bambus zraste za 8 krat 10 cm, torej za 80 cm. Pri običajnem reševanju učenci uporabijo preprosto shemo reševanja matematičnih nalog v kontekstu, ki bi ji lahko rekli preprosta shema modeliranja (slika 2). Najprej je treba situacijo (rastoči bambus) prevesti v matematični svet (prirastek višine in čas sta spremenljivki, med njima je odnos premega sorazmerja). Temu koraku pravimo formuliranje. Sledi izračun, ki je povsem v svetu matematike, z rezultatom 80 cm. Rezultat izračuna nato interpretiramo kot povečano višino bambusa. kontekst matematika formuliranje račun problem v enačba kontekstu ... izračun izračun, odgovor v rezultat, kontekstu ugotovitev interpretacija Slika 2: Preprosta shema modeliranja | 15 Razvijamo matematično pismenost Učenci in dijaki pogosto na podoben način rešujejo naloge pri obravnavi najrazličnejših matematičnih vsebin. Pri tem skoraj praviloma vedo, s katerim matematičnim objektom naj bi povezali dano situacijo (običajno je to razvidno iz trenutno obravnavane matematične vsebine). Običajno se pri pouku ukvarjamo s povezovanjem situacije z danim matematičnim objektom, ne problematiziramo pa izbire matematičnega objekta in načina povezovanja. To je razumljivo, še posebej, če se ob besedilnih nalogah šele učimo določene matematične vsebine, s katero povezujemo situacijo. Rast bambusove rastline je v resnici odvisna od številnih dejavnikov (vlage, svetlobe, temperature ipd.) in ne le od časovnega intervala. Pri reševanju smo zanemarili vse dejavnike razen časovnega intervala in smo (na tihem) privzeli, da je prirastek višine premo sorazmeren s časovnim intervalom. Naša rešitev je ustrezna le pri teh predpostavkah. Srž modeliranja pa je prav obravnava možnih spremenljivk, izbira matematičnih objektov in obravnava predpostavk, ki vzpostavljajo vzporednost med dogajanji v obravnavani situaciji in matematičnim modelom. V šolskem kontekstu je modeliranje način obravnave odprtih kontekstualnih problemov, ki jih učenci oz. dijaki matematično osmislijo z uvedbo ustreznih predpostavk, približnih opisov in izračunov ter raznoterih reprezentacij (Stohlmann idr., 2016). Pri modeliranju je jedro matematičnega razmišljanja povezovanje dane situacije z matematičnimi objekti. Pogosto ne vemo vnaprej, kateri matematični objekt bi se v izbranih pogledih obnašal podobno kot obravnavana situacija v svetu. Pogosto so možne povezave z več objekti več matematičnih modelov. Pri obravnavi se zavedamo, v katerih pogledih in pri katerih predpostavkah posamezni model ustreza obravnavani situaciji. Skratka, pri modeliranju se ne ukvarjamo le z matematičnimi objekti, temveč tudi z odnosom med matematičnim objektom in situacijo, ki jo objekt modelira. Modeliranje je zahtevno, saj terja poznavanje obravnavanega pojava, poznavanje matematičnih vsebin ter tudi tehnik modeliranja. Zahtevno je tudi zato, ker terja kritično razmišljanje in odločanje o samem modelu. Zaradi vrzeli med svetom okoli nas in svetom matematike ni smiselno govoriti o pravilnosti modelov. Matematični model nekega pojava je lahko bolj ali manj točen, bolj ali manj natančen, bolj ali manj uporaben. Proces modeliranja Matematični modeli niso zgolj opisi pojavov v svetu. Pri modeliranju želimo pojave v svetu preučiti oz. obravnavati tako, da preučujemo matematične modele, torej matematične objekte, ki se v nekem pogledu obnašajo podobno kot obravnavani pojavi. Izdelati matematični model za dano situacijo ali pojav pomeni izbrati neki matematični objekt in vzpostaviti povezavo med tem objektom in situacijo oz. pojavom. Matematično modeliranje je cikličen proces, ki sestoji iz več korakov (slika 3): 1. Obravnava izhodišč. Prvi korak pri modeliranju je preučitev obravnavane situacije oz. pojava. Praviloma je vsak pojav v svetu povezan z veliko pogoji in veliko dejavniki (običajno gre za spremenljive količine). Preden sploh pomislimo na matematiko, si moramo odgovoriti na vprašanja: • Kaj nas v zvezi s pojavom zanima in kateri so potencialno pomembni pogoji oz. dejavniki pri obravnavanem pojavu? • Na katere dejavnike se bomo pri obravnavi omejili? • Na katerih predpostavkah in omejitvah bo temeljil naš matematični model? Pri izbiri zajetih dejavnikov je treba upoštevati uporabnost modela. Izbrali bomo npr. pogoje, ki so realistični, spremenljivke, ki so bodisi poznane oz. jih lahko merimo ali kako drugače pridobimo. Izjemno pomembno pa je natančno formuliranje predpostavk, saj na tej osnovi običajno izberemo matematične objekte za matematični model. 16 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti redukcija spremenljivk, poenostavitev pojava, formuliranje predpostavk, prepoznavanje odnosov, obravnava podatkov obravnavani pojav formulacija matematični objekt va uporaba modela, dela predstavitev, razlaga modela raz napoved, razlaga pojava ... interpretacija rezultat mat. razdelave ustreznost rezultatov, obravnava modela, simulacija modela Slika 3: Shema procesa matematičnega modeliranja 2. Formulacija. Če so obravnavane spremenljivke natančno določene in predpostavke natančno formulirane, je pot do ustreznega matematičnega objekta lahka. Seveda obstaja več načinov (pristopov), kako priti do objekta (Giordano idr., 2009). Omenimo naj le tri načine, ki so primerni za delo v osnovnih in srednjih šolah: • Če znamo formulirati smiselno povezavo med spremenljivkami, uporabimo teoretični model. V tem primeru matematični objekt odraža predpostavljeno povezavo. • Kadar ne prepoznamo smiselnega odnosa med spremenljivkami, uporabimo empirični pristop. To pomeni, da zberemo podatke o pojavu ter z grafično ali analitično metodo poiščemo funkcijo, ki čim bolje izraža odnos med spremenljivkami. • Kadar prepoznamo odnos med spremenljivkami le lokalno (torej v kratkem časovnem obdobju ali le med posameznimi koraki sestavljenega procesa), lahko uporabimo simulacijsko metodo. To pomeni, da v konkretnem primeru na osnovi prepoznanega odnosa celoten pojav predstavimo tako, da obravnavamo korak po koraku. | 17 Razvijamo matematično pismenost Ponazorimo to na primeru. Kokošja jajca so različnih velikosti. Kako bi na pravičen način določili denarno vrednost kokošjega jajca? Vrednost kokošjega jajca je odvisna od veliko dejavnikov (starosti, načina vzreje kokoši ipd.), v našem modelu pa se bomo omejili le na prostornino jajca. Prvi privzetek je torej: vrednost jajca je premo sorazmerna z njegovo prostornino. Merjenje prostornine jajca (npr. s potapljanjem v tekočino) ni najbolj praktično, zato skušamo oceniti prostornino na lažje izvedljiv način. Pri teoretičnem modelu bomo kot model jajca uporabili kakšno geometrijsko telo, ki ga dobro poznamo, npr. valj (slika 4 b). Jajcu bomo izmerili višino in premer ter izračunali prostornino matematičnega modela (valja). Izračun ne bo najnatančnejša vrednost prostornine jajca, a slab model je vedno boljši kot noben model. V d a b c Slika 4: Ugotavljanje prostornine kokošjega jajca Pri empiričnem pristopu bi ravnali drugače. Nekaj različno velikim jajcem bi npr. izmerili premer in prostornino (npr. s potapljanjem v merilno posodo). Izdelali bi razsevni diagram meritev (slika 4 c). Iz diagrama bi z uporabo učencem poznanih metod skušali razbrati odnos med premerom jajc in njegovo prostornino. V osnovni šoli bi lahko grafično postavili premico kot graf linearne funkcije ali pa diagram dopolnili v linijski diagram, v srednji šoli pa bi lahko uporabili znanje o funkcijah. Simulacijski pristop pri modeliranju bomo ponazorili v nadaljevanju (primer modeliranja epidemije). 3. Razdelava. Razdelava je v procesu modeliranja še najmanj problematična. Seveda moramo uporabiti matematično znanje na matematični nalogi, ki je »nastala« pri formulaciji. 4. Interpretacija. Pri interpretaciji je treba rezultat matematične razdelave prevesti v kontekst, torej spremenljivke oz. rezultate izračunov prevesti v okolje izvornega problema. Včasih ni očitno, kako interpretirati rezultat, npr. negativno vrednost količine ali pa obstoj več rešitev enačbe. Če je korak interpretacije dobro zastavljen, na splošno v tem koraku običajno ni težav. 5. Kritična analiza modela. V tem koraku premislimo, ali izračuni v našem modelu ustrezajo dejanski situaciji, kako natančni so in pri katerih pogojih veljajo. Tu je mnogokrat pomembno empirično preizkusiti model ali na kak drug način pridobiti resnične podatke o obravnavanem pojavu, da lahko presodimo o primernosti modela. 18 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti • Če smo z modelom zadovoljni (to pomeni, da model pri zastavljenih pogojih primerno natančno opisuje pojav), smo delo končali. • Če izkušnja oz. pridobljeni podatki niso v skladu z našim modelom, se moramo vrniti k prvi točki in izboljšati model. Morda je treba upoštevati še kakšen pogoj ali količino, morda predpostavljeni odnos ni pravilen, morda nismo uporabili ustreznega pristopa. V tem primeru celoten postopek ponovimo z novimi predpostavkami. Velikokrat kombiniramo več pristopov pri izdelavi modela. Kot je razvidno, je modeliranje razmeroma kompleksen proces. Pri učenju modeliranja se pri dejavnostih lahko omejimo na le del celotnega procesa: • Ponudimo podatke, na osnovi katerih učenci izdelajo model. • Ponudimo učencem v uporabo že izdelan model, ki ga učenci še ne poznajo. • Učencem oz. dijakom ponudimo model pojava, učenci oz. dijaki pa ugotavljajo, na katerih predpostavkah in poenostavitvah sloni model; model lahko kritično ovrednotijo (pri katerih pogojih je uporaben in kako natančen je). • Učenci oz. dijaki primerjajo med seboj različne (že izdelane) modele za isti pojav. V nadaljevanju prikazujemo nekaj nalog s področja matematičnega modeliranja. V opisu nalog so ponekod vključeni pristopi pri obravnavi ter način zastavljanja nalog. Značilni tipi nalog iz modeliranja Funkcijski model Vozli. Na 50 cm dolgi (debeli) vrvici napravimo več vozlov (na sliki je prikazan nezategnjen vozel). Kako dolga bo vrvica, če na njej naredimo 1, 2, 3, 4 … vozle? Naloga lepo ilustrira pomen premisleka o spremenljivkah in predpostavkah za izdelani model ter celotno izdelavo matematičnega modela. Zelo razumna predpostavka je, da se vozli na vrvici ne prekrivajo in da so enako zategnjeni. To vodi k preprostemu linearnemu funkcijskemu modelu, pri čemer empirično izmerimo skrčitev, ki jo povzroči posamezen vozel. Funkcijski model izpopolnimo z opažanjem (predpostavko), da v zategnjenem vozlu vrvica dvakrat ovije samo sebe. Če je d debelina vrvice, znaša skrček za posamezen vozel 2∙ π∙d. Vrvica z n vozli v našem modelu skrajša za 2 nπd. Seveda gre za poenostavitev: a vsak model je boljši kot noben model. Model je treba preveriti in eventualno popraviti oz. izboljšati. | 19 Razvijamo matematično pismenost Tek na 100 m. Vsi imamo izkušnje s tekom na krajše razdalje (sprintom). Zanima nas, kako daleč od starta je po določenem času tekač na kratke proge. V osnovni šoli lahko tek na 100 m (ali 60 m) povežemo s premim sorazmerjem. Pretečena razdalja je premo sorazmerna s časom (uporabimo torej dobro poznano enakomerno gibanje). Pomembno pa je, da se pogovorimo o predpostavkah tega modela in o njihovi veljavnosti. Predpostavka je seveda konstantna hitrost tekača. Ali predpostavka drži pri teku na 800 m ali 400 m ali celo 100 m? Zakaj je trenutni svetovni rekord na 200 m praviloma manjši od dvakratnika rekorda na 100 m? V osnovni šoli učenci nekonstantnosti hitrosti seveda ne zmorejo upoštevati, lahko pa se zavejo omejitve modela in pomembnosti upoštevanja predpostavk. Tudi v srednji šoli matematično znanje dijakom ne omogoča izdelave modela sprinta. Lahko pa dijaki že izdelani model uporabijo in interpretirajo. Po enem od številnih modelov sprinta na 100 m (Prendergrast, 2001) upoštevamo časa t in t [v sekundah], v katerih tekač preteče 50 oziroma 100 metrov. Hitrost tekača v( t) 50 100 [v metrih na sekundo] in pretečena pot s( t) [v metrih] v času t [sekund] pa računamo po obrazcu: kjer je Na ravni uporabe modela dijaki lahko numerično in grafično predstavijo potek hitrosti in pretečene poti za konkretnega športnika (zgled: ob slovitem rekordu Maurica Greena so izmerili t =5,55 sekunde in t =9,80 50 100 sekunde). Na ravni interpretacije modela pa dijaki lahko smiselno interpretirajo parametra v in τ. max Odločitveni modeli Z odločitvenimi modeli se učenci lahko srečajo že na razredni stopnji. Pri odločitvenih nalogah so podani raznovrstni podatki o statističnih enotah, izbrati pa želimo »najprimernejšo« enoto. Da lahko izvedemo izbiro, je treba izdelati odločitveno funkcijo (kriterij). Prav tu se skriva pomemben premislek o pomenu parametrov in predpostavke o njihovem upoštevanju. Spodnja naloga je tipična naloga odločitvenega modela. 20 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Spodnja tabela prikazuje osvojene medalje na poletnih olimpijskih igrah leta 2012 v disciplinah skokov v vodo. Katera država je bila na teh olimpijskih igrah najuspešnejša v disciplinah skokov v vodo? Država Zlato Srebro Bron Prebivalcev (mil.) Kitajska 6 3 1 1314 ZDA 1 1 2 298 Rusija 1 1 0 143 Mehika 0 2 1 107 Avstralija 0 1 0 20 Kanada 0 0 2 33 Združeno kraljestvo 0 0 1 61 Malezija 0 0 1 124 Kompleksni modeli V vsakdanjih opravilih se pogosto srečamo s situacijami, v katerih nastopa veliko spremenljivk in podatkov. Matematično ozadje tovrstnih modelov je razmeroma preprosto, po drugi strani pa je zahtevnejši premislek, katere spremenljivke upoštevati, kako pridobiti zahtevane podatke in kako organizirati izračune. Navajamo primer dveh ne najpreprostejših nalog o zelo vsakdanjih problemih. Koliko časa potrebuje oseba za peko n palačink? Model naj upošteva tudi čas za pripravo testa. Kako predvideti čas potovanja iz Kobarida na Ig pri Ljubljani? Upoštevaj, da je možno potovati z osebnim avtomobilom, vlakom, mestnim avtobusom in kolesom (v kombinaciji z vlakom). Simulacijski modeli Simulacijski model uporabljamo, kadar obravnavani pojav razumemo in obvladamo le lokalno, v posameznem koraku, ne pa globalno. Na ravni osnovne in srednje šole lahko s simulacijo na konkretnih primerih obravnavamo matematično zahtevne situacije. Kot zgled obravnave s simulacijo prikažimo zelo preprost model epidemije bolezni, zelo podobne omikron različici covida-19. V zaključeni skupini 1000 ljudi je ena oseba zbolela za boleznijo (podobno lažji različici covida-19). Gre za bolezen, ki je zelo nalezljiva, vendar vsak bolnik po tednu dni ozdravi, postane na bolezen imun in nikogar več ne okuži. V tednu dni trajanja bolezni bolnik v povprečju prenese virus na dve osebi – ti osebi zbolita, razen če na bolezen nista že imuni. Zanima nas, kako se bo razvijala epidemija v tej zaključeni skupini 1000 oseb. | 21 Razvijamo matematično pismenost Izdelali bomo preprost model širjenja epidemije. Populacijo N oseb razdelimo v 3 skupine: bolni, dovzetni, imuni. Iz zgornjega opisa znamo napovedati, kaj se bo s skupinami zgodilo iz tedna v teden. Denimo, da je v danem tednu b bolnih, d dovzetnih in i imunih oseb. Do naslednjega tedna bodo vsi bolni ozdraveli in postali imuni. Med imunimi zagotovo ne bo nihče zbolel. V danem tednu je delež dovzetnih v populaciji enak . Bolne osebe (teh je b) bodo virus prenesle na oseb, vendar bo le delež teh oseb zbolel. Zato ocenimo, da bo na novo zbolelo . Število dovzetnih se bo torej zmanjšalo za prav to število. (Opomba: Pri oceni novozbolelih smo privzeli, da osebe ne okužita dva ali več bolnikov hkrati. Privzetek je sprejemljiv, če število bolnih ni pretirano veliko. Natančnejša ocena števila novo obolelih, ki jo tu le omenjamo in dopušča, da se kdo hkrati okuži pri srečanju z dvema ali več bolniki, je . V nadaljevanju bomo uporabili preprostejšo oceno.) Spodnja slika povzema, kako se spreminja številčnost posameznih skupin iz tedna v teden. (V osnovni šoli je razmislek primerneje obravnavati s konkretnimi števili.) Dovzetni Bolni Imuni Dani d teden b i Naslednji teden Slika 5: Spreminjanje številčnosti v posameznih škupinah Zapisani premislek omogoča, da z zaporednimi izračuni sledimo poteku epidemije iz meseca v mesec. Izračun je zelo preprosto izvesti s pomočjo računalniške preglednice. V računalniški preglednici lahko tudi preprosto eksperimentiramo z modelom. Na grafih je prikazan potek epidemije pri začetnem pogoju, ko ni nihče cepljen, in pri začetnem pogoju, ko je 40 % populacije cepljene (in torej imune). Teden Dovzetni Bolni Imuni 0 999,00 1,00 0,00 1 997,00 2,00 1,00 2 993,00 4,00 3,00 3 985,04 7,97 7,00 4 969,21 15,82 14,96 5 938,05 31,17 30,79 6 877,70 60,35 61,95 7 764,95 112,74 122,30 8 570,55 194,40 235,05 9 295,18 275,37 429,45 10 70,84 224,34 704,82 11 29,86 40,98 929,16 12 27,31 2,55 970,14 Slika 6: Simulacije poteka epidemije, če nihče ni cepljen. 22 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Teden Dovzetni Bolni Imuni 0 600,00 1,00 399,00 4 593,58 2,06 404,36 8 580,80 4,01 415,19 12 557,41 7,07 435,53 16 520,81 10,28 468,90 20 476,47 11,10 512,43 24 438,06 8,36 553,59 28 414,18 4,61 581,21 32 402,51 2,09 595,40 36 397,51 0,87 601,63 Slika 7: Simulacija poteka epidemije, pri pogoju, da je 40 % populacije cepljene. (V tabeli so le izbrani tedni.) Prikazani model nemara ni zelo realističen, a dobro prikazuje nekatere značilnosti poteka epidemije. Razporejanje količin V ozadju na pogled preprostih življenjskih situacij, pri katerih je treba razporejati količine, so lahko matematično zahtevni kombinatorični problemi. Ko obravnavamo tovrstne življenjske situacije v srednješolski in predvsem osnovnošolski matematiki, ne iščemo splošnih postopkov optimiziranja, temveč učence in dijake usmerimo v iskanje strategij rešitve, njihovega formuliranja in tudi primerjave strategij. Z vozičkom, katerega nosilnost je 100 kg, želimo prepeljati po 10 predmetov, ki tehtajo 35 kg, 40 kg in 25 kg. Predlagaj, kako naj razporedimo predmete, da bo čim manj voženj. Razporejanje objektov v ravnini S problemom razporejanja likov v ravnini se srečamo vsakič, ko npr. opremljamo sobo. Pri opremljanju sobe je treba upoštevati ogromno dejavnikov nematematične narave, tako da je geometrijsko razmišljanje hitro potisnjeno v ozadje. Matematično so zato zanimivejši primeri, pri katerih so geometrijski elementi vsaj toliko pomembni kot kontekstualni. Preprost primer tovrstne naloge razporejanja je načrtovanje parkirišča. Prebivalci bloka urejajo parkirišče za avtomobile. Predlagaj, kako naj narišejo talne črte. Slika 8: Načrt parkirišča | 23 Razvijamo matematično pismenost Geometrijsko modeliranje Pri običajnih stereometrijskih nalogah je oblika obravnavanega telesa podana ali pa povsem razvidna iz same naloge. Pri nalogah modeliranja pa ni takoj razvidno, s katerimi poznanimi telesi oz. liki si lahko pomagamo pri obravnavi. Odločiti se je treba tudi, katere dimenzije telesa oz. lika upoštevati. Pri tem lahko obravnavamo konkretno telo ali pa splošno telo dane oblike. Pokažimo zgled naloge geometrijskega modeliranja, ki je primerna tako za 9. razred osnovne šole kot tudi za srednjo šolo. Izdelaj geometrijski model sadeža hruške. Pri tem se lahko omejiš na določeno sorto hrušk. Model naj omogoča, da s preprostim merjenjem ocenimo prostornino in površino hruške. Slika 9: Sadež hruške V modelu lahko obravnavamo hruško npr. kot kroglo (vsak model je boljši od nobenega modela), kot stožec, kot dvojni stožec, kot polkroglo in stožec. Nadalje lahko v modelu privzamemo, da so si hruške med seboj geometrijsko podobne (torej je višina hruške premo sorazmerna s premerom) ali pa tega ne privzamemo. Ob jasnih predpostavkah je razmeroma lahko izpeljati obrazec za oceno prostornine oz. površine hruške. Napisana naloga je zanimiva, ker je preprosto preveriti, kako natančen je izdelani model, saj prostornino hruške lahko izmerimo tako, da jo potopimo v vodo v merilnem valju. Če nismo zadovoljni z natančnostjo modela, ga izboljšamo. Stohastični modeli Učenci in dijaki lahko razmišljajo tudi o preprostih stohastičnih modelih, ki temeljijo na razumevanju empirične verjetnosti ter odnosa med številom poskusov in številom obravnavanih dogodkov pri poskusih – o tem odnosu lahko rečemo, da se z večanjem števila poskusov bliža prememu sorazmerju. Spodnja naloga podaja postopek za ugotavljanje števila rib v ribniku. Postopek temelji na verjetnostnem modelu. Učenci oz. dijaki morajo ugotoviti, na katerih predpostavkah temelji model in zakaj pri teh predpostavkah izračun podaja oceno števila rib v ribniku. Razmislijo lahko tudi o primernosti predpostavk. 24 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Da bi ugotovili število rib dane vrste v ribniku, so ribiči ravnali takole: Nastavili so mrežo, v katero se je čez čas ujelo 25 rib dane vrste. Ribe so označili in vrnili v ribnik. Čez teden dni so ponovno nastavili mrežo. Takrat se je vanjo ujelo 30 rib iste vrste, med katerimi so bile 4 označene. Izračunali so, da je v ribniku rib. Slika 10: Ugotavljanje števila rib v ribniku Viri 1. Gardiner, A. (2006). What is mathematical literacy?. Paper presented at Proceedings of the 10th International Congress on Mathematics Education. 2. Giordano, F. R., Fox, W. P., Horton, S. B., Weir. M. D. (2009). A First Course in Mathematical Modeling. Boston: Cengage Learning. 3. Jablonka, E. (2015). The evolvement of numeracy and mathematical literacy curricula and the constru-ction of hierarchies of numerate or mathematically literate subjects. ZDM Mathematics Education, 47, str. 599–609. 4. Lesh, R., Harel, G. (2003). Problem Solving, Modeling, and Local Conceptual Development, Mathematical Thinking and Learning, 5 (2-3), str. 157–189. 5. OECD (2019), PISA 2018 Assessment and Analytical Framework, PISA, OECD Publishing, Paris, https:// doi.org/10.1787/b25efab8-en. 6. Prendergast, K. (2001). Mathematical model of the 100m and what it means. New studies in athletics, 16 (3), str. 31–36. 7. Stohlmann, M., DeVaul, L., Allen, C., Adkins, A., Ito, T., Lockett, D., Wong, N. (2016) What Is Known about Secondary Grades Mathematical Modelling - A Review. Journal of Mathematics Research, 8 (5), str. 12–28. | 25 Razvijamo matematično pismenost Matematična pismenost v projektu NA-MA POTI Predstavitev gradnikov in podgradnikov matematične pismenosti od vrtca do srednje šole Mateja Sirnik, Zavod RS za šolstvo Vesna Vršič, Zavod RS za šolstvo Uvod V globalnem svetu, kjer so edina stalnica spremembe, je treba mlade ljudi opolnomočiti z znanji za dvig njihovih zmožnosti in pismenosti. V tem prispevku bomo podrobneje predstavili matematično pismenost, kot smo jo opredelili v projektu Naravoslovna in matematična pismenost: spodbujanje kritičnega mišljenja in reševanja problemov (NA-MA POTI – NAravoslovje, MAtematika, Pismenost, Opolnomočenje, Tehnologija, Interaktivnost). Mednarodne in domače raziskave o znanju učencev pri matematiki Opredelitev in razvoj matematične pismenosti v projektu NA-MA POTI temelji na ugotovitvah raziskav, spremljanju pedagoške prakse, razvoju inovativnih učnih okolij, učnih gradiv in uvajanju novih didaktičnih pristopov in strategij. Ob analizi izbranih nacionalnih raziskav (Bačnik, 2017) ugotavljamo naslednje: • V raziskavi razvijanja matematične pismenosti na razredni stopnji je bilo ugotovljeno, da z ustreznim poučevanjem in učenjem pri otrocih razvijamo sposobnosti za reševanje realističnih matematičnih problemov in uporabo v življenjskih situacijah ter s tem matematično pismenost. • Učenci, ki rešujejo realistične probleme z medsebojno izmenjavo izkušenj in uporabo neformalnih znanj, povezujejo svoja matematična znanja z vsakdanjim življenjem in se zavedajo uporabnosti matematike. • V raziskavi, ki je temeljila na preizkusu modela medpredmetnega povezovanja matematike in spoznavanja okolja, so ugotovili statistično pomembne razlike pri reševanju preizkusa znanja v prid učencev, ki so bili deležni medpredmetnega povezovanja oz. celostnega poučevanja. Iz poročil eksternih preverjanj (Bačnik, 2017) znanja ugotavljamo naslednje: • Učenci 6. in 9. razreda so na nacionalnem preverjanju znanja manj uspešni pri reševanju nalog višjih taksonomskih stopenj. Tovrstne naloge zahtevajo kompleksnejša znanja, interpretacijo rezultatov in utemeljevanje. • Učenci imajo težave pri samostojnem oblikovanju smiselnih odgovorov na odprta vprašanja, odgovori so velikokrat nenatančni in nepopolni. • Zaznane so bile težave pri razumevanju besedil in navodil za reševanje ter pravilne rabe strokovnega jezika in simbolike. • Pri problemskih nalogah, ki se navezujejo na (kompleksnejše) realne situacije oz. dogodke in pri reševanju strukturiranih nalog imajo učenci težave z izbiro pravilne strategije za reševanje. Tovrstne naloge rešujejo predvsem učenci z najvišjimi dosežki. 26 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Analize splošne mature iz matematike (Bone, 2017) kažejo, da imajo dijaki težave pri reševanju problemov v vsakodnevni situaciji, pri razumevanju matematičnih struktur in matematičnih pojmov (npr. vektorji, logaritmi), pri izvajanju računskih postopkov (npr. trigonometrijske enačbe, logaritemske enačbe), pri dokazovanju in z razumevanjem prebranega besedila oz. slik (npr. površno branje besedila, težave z branjem slike in posledično napačna geometrijska predstava lika). Na podlagi letnih poročil o poklicni maturi pri matematiki (Bone, 2017) od leta 2011 do leta 2015 lahko ugotovimo, da so dijaki manj uspešni pri nalogah, ki se razlikujejo od običajnih, rutinskih nalog. Dijaki so uspešnejši pri nalogah na prvi in drugi taksonomski stopnji (osnovno in konceptualno znanje ter proceduralno znanje) kot pri nalogah, ki vsebujejo tudi vprašanja na tretji taksonomski stopnji (problemsko znanje). Dijaki imajo težave z nalogami, ki niso postavljene v realen kontekst oz. se manj pogosto odločijo za reševanje nalog, ki so abstraktnejše. Uspešnost dijakov se kaže na internem delu poklicne mature (Bone, 2017) zaradi narave ustnega izpita iz matematike, kjer se znanje matematike preverja s pomočjo strokovnih tem in situacij iz realnega življenja. K višjim dosežkom v znanju naravoslovja in matematike prispeva sistematično in redno povezovanje med učitelji po celotni vertikali v osnovni šoli (Bone, 2017). Pojmovanje matematične pismenosti v projektu NA-MA POTI Kot izhodišče svojega razvojnega dela v projektu NA-MA POTI smo vzeli mednarodno raziskavo PISA (Programme for International Student Assessment). Za zapis opredelitve matematične pismenosti smo upoštevali, da je pismenost posameznika razvijajoč se pojem. Upoštevali smo naslednje ključne dejavnike (Šterman Ivančič, 2013): izhodišče matematične pismenosti: matematično znanje in matematično mišljenje, ki ga razvijamo znotraj naših učnih načrtov, katalogov znanja, kurikuluma za vrtce razvijanje zmožnosti uporabe matematike v raznolikih življenjskih kontekstih preko različnih dejavnosti pri pouku matematike in drugih predmetov razvijanje zmožnosti posameznika, prepoznavati priložnosti za uporabo matematike pri razumevanju, obravnavi, reševanju problemov v raznolikih kontekstih zavedanje pomembnosti matematičnega znanja zunaj šole povečanje motivacije za učenje matematike Slika 11: Dejavniki matematične pismenosti | 27 Razvijamo matematično pismenost Na osnovi zapisanega smo matematično pismenost v projektu NA-MA POTI opredelili takole. MATEMATIČNA PISMENOST je zmožnost posameznika, da na osnovi matematičnega mišljenja in matematičnega znanja: • zmore uporabljati matematične pojme, postopke in orodja v različno strukturiranih okoljih; • analizira, utemeljuje in učinkovito sporoča svoje zamisli in rezultate pri oblikovanju, reševanju in interpretaciji matematičnih problemov v različno strukturiranih okoljih; • zaznava in se zaveda vloge matematike v vsakdanjem in poklicnem življenju, jo povezuje z drugimi področji in sprejema odgovorne odločitve na osnovi matematičnega znanja ter je pripravljen sprejemati in soustvarjati zanj nova matematična spoznanja. Pri razvijanju in analiziranju nalog v raziskavi PISA (Šterman Ivančič, 2013, str. 44) se je pokazalo, da obstaja sedem osnovnih matematičnih kompetenc, preko katerih naj bi pri učenju matematike dopolnili vlogo specifičnega znanja matematičnih vsebin. Te kompetence so: sporočanje, matematiziranje, prikazovanje, sklepanje in utemeljevanje, oblikovanje strategij za reševanje problemov, uporaba simbolnega, formalnega in tehniškega jezika in operacij ter uporaba matematičnih orodij. Na teh sedmih osnovnih matematičnih kompetencah temeljijo trije matematični procesi, ko kontekst problema povežemo z matematiko in rešujemo problem (Šterman Ivančič, 2013, str. 40): • matematično oblikovanje situacij, • uporaba matematičnih konceptov, dejstev, postopkov in sklepanja, • interpretiranje, uporaba in evalviranje matematičnih rezultatov. Sedem osnovnih matematičnih kompetenc in trije matematični procesi so nam bili izhodišče za pripravo gradnikov in podgradnikov matematične pismenosti v projektu NA-MA POTI. Gradniki in podgradniki matematične pismenosti Pod terminom gradnik in podgradnik smo v projektu opredelili osnovne elemente matematične pismenosti, ki izhajajo iz ugotovitev raziskav in spremljanja pedagoške prakse. Da bi bili učenci zmožni reševati probleme v različnih kontekstih, morajo biti sposobni razumeti in znati uporabljati matematične vsebine, ki se jih učimo pri pouku matematike, in pri tem uporabljati matematično mišljenje. Zato smo v izhodišču zapisali dva gradnika matematične pismenosti na naslednji način: 1. gradnik matematične pismenosti (MP1) Matematično mišljenje, razumevanje in uporaba matematičnih pojmov, postopkov ter strategij, sporočanje kot osnova matematične pismenosti 2. gradnik matematične pismenosti (MP2) Reševanje problemov v raznolikih kontekstih (osebni, družbeni, strokovni, znanstveni), ki omogočajo matematično obravnavo Pri tem je prvi gradnik izhodišče, da bodo učenci postali uspešni reševalci problemov, ki jih lahko rešimo z matematično obravnavo, v različnih kontekstih. 28 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Pomembne elemente posameznega gradnika smo poimenovali podgradniki. Pri prvem gradniku smo opredelili naslednje podgradnike: 1.1 razume sporočila z matematično vsebino 1.2 pozna in uporablja strokovno terminologijo in simboliko 1.3 predstavi, utemelji in vrednoti lastne miselne procese 1.4 prepozna, razume in uporablja matematične pojme v različnih okoliščinah 1.5 pozna in v različnih okoliščinah uporablja ustrezne postopke in orodja 1.6 napoveduje in presoja rezultate, utemeljuje trditve, postopke in odločitve 1.7 uporablja različne strategije pri reševanju matematičnih problemov Tako v prvi gradnik vključimo razumevanje različnih sporočil, pri katerih prepoznamo matematične vsebine in uporabo različne strokovne terminologije pri reševanju različnih dejavnosti in pri sporočanju. Za posameznika je pomembna zmožnost uporabe in povezovanja matematičnih pojmov, matematičnih postopkov in različnih orodij, pri čemer ustaljene matematične dejavnosti pri pouku poskušamo nadgrajevati z dejavnostmi poglobljenega razumevanja in z uporabo v različnih nematematičnih okoliščinah. Pri tem utemeljujemo različne odločitve, postopke, ki jih uporabljamo, napovedujemo in vrednotimo rezultate. Pomemben element matematične pismenosti je, da znamo svoje miselne dejavnosti ustrezno predstaviti. Opisano znanje, skupaj z uporabo različnih problemskih in procesnih znanj, je potrebno za uspešno reševanje problemov, ki ga poudarimo v zadnjem podgradniku, pri katerem gre za uporabo različnih strategij reševanja matematičnih problemov, ki jih razvijamo pri pouku matematike. Pri tem poudarimo tudi pomen metakognitivnih zmožnosti (Magajna, 2003) in učenčeve osebne karakteristike, npr. vztrajnost pri reševanju matematičnih problemov, notranja motivacija za ukvarjanje z matematiko ter drugi vplivi, kot so čustva, odnos, prepričanje, vrednote (Kmetič, 2016). Z vsem tem znanjem rešujemo probleme v raznolikih kontekstih, pri katerih prepoznamo, da bomo z uporabo matematičnih znanj prišli do rešitve problema. Reševanje teh problemov smo opredelili v 2. gradniku s tremi podgradniki. Drugi gradnik matematične pismenosti s tremi podgradniki 2.1 obravnava raznolike življenjske probleme (problemi, ki ne zahtevajo matematičnega modeliranja) 2.2 obravnava situacije z matematičnim modeliranjem 2.2.1 prenese situacijo v matematični kontekst 2.2.2 oblikuje matematične modele za dano situacijo 2.2.3 uporablja matematične modele 2.2.4 vrednoti matematične modele 2.3 razume matematične prakse v različnih kontekstih | 29 Razvijamo matematično pismenost Za proces matematičnega modeliranja, ki ga v nadaljevanju predstavimo, je potrebna določena raven matematičnega znanja in razumevanja situacije, ki je lahko strokovne narave, zato dejavnosti matematičnega modeliranja postopoma uvajamo v osnovnošolsko izobraževanje. V projektne aktivnosti so vključeni predšolski otroci, učenci v osnovni šoli in dijaki srednjih šol, zato smo posledično pri 2. gradniku ločeno zapisali reševanje problemskih situacij brez matematičnega modeliranja in z matematičnim modeliranjem. Izgradnja matematične pismenosti od vrtca do konca srednje šole Pri posameznih podgradnikih matematične pismenosti smo opredelili opisnike za celotno vertikalo, in sicer po razvojnih stopnjah (Sirnik idr., 2022). Tako so zapisani opisniki za predšolsko vzgojo, pri katerih je opisana raven znanja, naravnana na zaključek tega obdobja, torej za otroke stare 5 oziroma 6 let. Ravni znanja v osnovnošolskem obdobju so predstavljena po triletjih. Raven doseganja opisnikov za 1. vzgojno-izobraževalno obdobje (1. VIO) je naravnana na učence ob koncu 3. razreda, torej za starost učencev 8 oziroma 9 let, raven doseganja znanja za 2. vzgojno-izobraževalno obdobje (2. VIO) na učence ob koncu 6. razreda, stare 11 oziroma 12 let, in raven doseganja znanja za 3. vzgojno-izobraževalno obdobje (3. VIO) na zaključek osnovne šole. Opisniki za srednje šole so naravnani na znanja, ki naj bi jih dosegali dijaki srednjega strokovnega izobraževanja in gimnazij v zaključnem letniku. Za dijake v poklicnih srednješolskih programih lahko izbiramo opisnike ob zaključku osnovne šole. Otroci/učenci/dijaki bodo prvi gradnik matematične pismenosti dosegali skozi usvajanje ciljev kurikuluma za vrtce, učnega načrta za matematiko v osnovni in srednji šoli, ko bodo dejavnosti vodile v poglabljanje vsebin oziroma nadgradnjo znanja z nalogami višjih taksonomskih ravni (odprte naloge, raziskovanje situacij, povezanost matematičnih vsebin z realnimi situacijami, spodbujanje razlage in utemeljevanja, raba matematičnega jezika itd.). V nadaljevanju prispevka predstavljamo posamezne podgradnike in njihove opisnike po vertikali od vrtca do srednje šole. Vsak opisnik smo razgradili na njegove dele (npr. a, b, c …), v besedilu opisnika poudarili ključne besede (besedne zveze) s krepkim zapisom in opisali bistvo s krajšimi teoretičnimi izhodišči ter podkrepili s primerom naloge glede na razvojno stopnjo. Tako smo pri 1. podgradniku pri opisnikih poudarili: razumevanje sporočila z matematično vsebino, uporabo bralnih strategij, pomen bistvenih in potrebnih podatkov ter pridobivanje podatkov. 1. gradnik matematične pismenosti Matematično mišljenje, razumevanje in uporaba matematičnih pojmov, postopkov ter strategij, sporočanje kot osnova matematične pismenosti Matematično mišljenje1 povezujemo z različnimi oblikami mišljenja (indukcija, dedukcija, analogija, transformacija, intuicija) in vrstami mišljenja (divergentno, konvergentno, kritično, sistemsko, analitično, ustvarjalno, algebrsko, geometrijsko, ekspertno), ki se navezujejo na matematične pojme, postopke, zakonitosti, orodja in strategije v različnih okoljih. Razvoj matematičnega mišljenja učencev je temeljna naloga pouka matematike, še posebej ustvarjalnega mišljenja kot najvišje ravni. 1 Mišljenje (SSKJ): najvišja umska dejavnost kot izraz človekove zavesti. 30 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti 1.1 podgradnik: razume sporočila z matematično vsebino 1.1 RAZUME SPOROČILA2 Z MATEMATIČNO VSEBINO PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO a) (sprejema) a) (sprejema) a) (sprejema) a) (sprejema) a) (sprejema), razume razume razume razume razume enostavna enostavna in enostavna in enostavna, enostavna, ustna, grafična strukturirana strukturirana strukturirana strukturirana sporočila z sporočila z sporočila z in kompleksna in kompleksna matematično matematično matematično sporočila z sporočila z vsebino vsebino vsebino matematično matematično vsebino vsebino Ljudje se sporazumevamo s prenašanjem sporočil3 v obliki simbolov (npr. besede, kretnje, govorica telesa, slike …) in informacij govorjenega ali pisnega besedila. Otroci/učenci/dijaki se z različno zahtevnimi sporočili (enostavnimi, strukturiranimi, kompleksnimi) srečajo tudi pri matematiki, pri čemer je pomembno, da jih razumejo. Razumevanje sporočila zahteva, da otroci/učenci/ dijaki razumejo pomen strokovne terminologije, matematične pojme in simbole v danem kontekstu (semantika). Pri učnem procesu se tako srečujejo z ustnimi in pisnimi navodili k nalogam, učiteljevo razlago, predstavitvami učnih situacij, matematičnih problemov, vprašanj, matematičnih izrazov, podatkov v preglednicah in prikazih (grafi) itd. 1.1 RAZUME SPOROČILA Z MATEMATIČNO VSEBINO PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO b) uporablja b) uporablja b) uporablja b) uporablja enostavne enostavne in ustrezne bralne ustrezne bralne bralne kompleksne učne strategije učne strategije strategije bralne pri branju z pri branju z pri branju z strategije razumevanjem razumevanjem razumevanjem pri branju z matematičnih matematičnih matematičnih razumevanjem besedil izbranih besedil in pri besedil in pri matematičnih vsebin in pri reševanju reševanju besedil in pri reševanju besedilnih besedilnih reševanju besedilnih nalog nalog besedilnih nalog nalog 2 Sporočilo (opredelitev v opisniku gradnika): ljudje med seboj komuniciramo tako, da prenašamo sporočila s pomočjo različnih simbolov (npr. govornega jezika, kretenj, govorice telesa, slik, zvočnih in svetlobnih signalov, pisnih besedil itd.); v komunikacijskem procesu vsi udeleženci sprejemajo, pošiljajo/tvorijo in interpretirajo sporočila, ki so povezana z določenim namenom; komunikacija je vedno dvosmeren proces, saj je povezan s sočasno medsebojno zaznavo in izmenjavo sporočil. 3 Sporočilo (SSKJ): kar se o določeni stvari sporoči. | 31 Razvijamo matematično pismenost Otrok/učenec/dijak bo dokazal, da je sporočilo z matematično vsebino razumel, če ga bo znal povzeti s svojimi besedami, odgovoriti na vprašanja, poiskati ključne besede in bistvo ali ga predstaviti v drugačni obliki itd. Za doseganje čim boljšega bralnega razumevanja navajamo učence/dijake na uporabo bralnih učnih strategij od enostavnih npr. podčrtovanja manj znanih besed, izpisa ključnih besed, strategije določanja bistva, strategije določanja podrobnosti, strategije branja vidnih informacij, strategije za postavljanje vprašanj …, do kompleksnih, npr. strategij pred branjem, med branjem in po njem, kot so strategija VŽN, Pavkova strategija, splošna študijska strategija, strategija PV3P … (Pečjak in Gradišar, 2012). Primer uporabe enostavnih strategij pri naslednji nalogi (Kmetec, 2013). Časovni pasovi Časovni pas je pas, znotraj katerega imajo vsi kraji enak čas. Na Zemlji imamo 24 časovnih pasov. Izhodiščni pas je greenwiški časovni pas. Časovni pasovi so oštevilčeni od 1 do 12 vzhodno od Greenwicha in od –1 do –12 zahodno od Greenwicha. Meja med +12 in –12 je mednarodna datumska meja. Spodnja preglednica prikazuje UTC4 nekaterih držav. Država Bolivija Brazilija Etiopija Kanada Slovenija Škotska UTC – 4 –3 +3 –6 +1 –1 a) Turčija leži vzhodno od Greenwicha. Je njen UTC pozitiven ali negativen? b) Države: Bolivija, Slovenija, Škotska uredi glede na lego, od tiste, ki leži najbolj proti zahodu, do tiste, ki leži najbolj proti vzhodu. c) V Sloveniji je ura 9.25. Koliko je v istem času ura v Braziliji? 1.1 RAZUME SPOROČILA Z MATEMATIČNO VSEBINO PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO b) povzema c) povzema c) povzema c) povzema c) povzema sporočilo z sporočilo z sporočilo z sporočilo z sporočilo z matematično matematično matematično matematično matematično vsebino in vsebino, vsebino, vsebino, vsebino, odgovarja na izlušči bistvo izlušči bistvo izlušči bistvo izlušči bistvo vprašanja in potrebne in potrebne in potrebne in potrebne podatke podatke ter podatke ter podatke ter tvori novo tvori novo tvori novo sporočilo sporočilo sporočilo Za matematična besedila je značilna zgoščenost podatkov in racionalno predstavljanje konteksta. Otroci/ učenci/dijaki morajo v postopku reševanja izluščiti bistvene oziroma potrebne podatke za reševanje in razumeti povezave/odnose med njimi. Podatki so lahko podani v besedilu, na sliki, v prikazu (na grafu), v preglednicah ali kot matematični izraz na abstraktni ravni. 4 UTC je kratica za univerzalni koordinirani čas. 32 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Naloge zahtevajo tudi, da učenci/dijaki zapišejo odgovor na vprašanje, utemeljitev ali razlago oziroma rešitev predstavijo grafično. Torej reševanju naloge z matematičnimi orodji sledi zapis/opis rešitve z govorjenim (vsakdanjim) ali matematičnim jezikom. V primeru naloge (slika 12) učenci 1. vzgojno-izobraževalnega obdobja opišejo situacijo na sliki, sklepajo in poiščejo potrebne podatke za rešitev naloge s slike. Prav tako si samostojno zastavijo vprašanja oziroma cilj reševanja (npr. Poišči še druge možnosti postavitve predmetov na tehtnici, da bo ponazarjala enakost). Primer naloge z grafično predstavitvijo podatkov Tanja in Rok sta na tehtnico polagala različna telesa, vsako na eno stran. Koliko tehta valj, če tehta majhna kocka 3 dag? Slika 12: Tehtnici v ravnovesju 1.1 RAZUME SPOROČILA Z MATEMATIČNO VSEBINO PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO c) samostojno d) samostojno d) samostojno d) samostojno d) samostojno pridobi pridobi pridobi pridobi pridobi podatke iz podatke iz podatke iz podatke iz podatke iz ustnih virov ustnih in pisnih ustnih in pisnih verodostojnih verodostojnih virov virov virov virov Včasih mora otrok/učenec/dijak podatke za rešitev naloge pridobiti sam, tako da npr. povpraša v tajništvu šole glede števila učencev na šoli, na spletni strani statističnega urada poišče število prebivalcev (moških, žensk), na zemljevidu razbere nadmorsko višino kraja ali gore, s pomočjo merila na zemljevidu izračuna razdaljo med kraji itd. Pri tem se učenci navajajo na uporabo verodostojnih virov ter ločijo vire glede na ustne, pisne in digitalne. | 33 Razvijamo matematično pismenost 1.2 podgradnik: pozna in uporablja strokovno terminologijo 1.2 POZNA IN UPORABLJA STROKOVNO TERMINOLOGIJO PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO a) v sporočilu a) v sporočilu a) v sporočilu a) v sporočilu a) v sporočilu prepozna prepozna prepozna prepozna prepozna strokovno strokovno strokovno strokovno strokovno terminologijo terminologijo terminologijo terminologijo terminologijo ter razume njen in simboliko ter in simboliko ter in simboliko ter in simboliko ter pomen razume njun razume njun razume njun razume njun pomen pomen pomen pomen Razvoj jezika in strokovnega izrazoslovja mora biti temeljni cilj (namen) vsakega predmeta. Jezik pri pouku matematike je večplasten (kompleksen), saj vključuje tako govorjeni (vsakdanji) kot matematični jezik (Kurnik, 2006). S strokovno terminologijo5 poimenujemo matematične objekte in strukture ter matematične pojme, z govorjenim in matematičnim jezikom pa opisujemo dejstva in strategije, oblikujemo definicije pojmov itd. Oba jezika (govorjeni, matematični) vsebujeta določene simbole, vendar se ti simboli razlikujejo. Pri matematiki se s simbolnim6 zapisom doseže krajši zapis. 1.2 POZNA IN UPORABLJA STROKOVNO TERMINOLOGIJO PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO b) poimenuje b) ubesedeno b) ubesedeno b) ubesedeno in opisuje (enostavno) matematično matematično matematične matematično sporočilo sporočilo pojme z sporočilo zapiše z zapiše z matematično zapiše z matematičnimi matematičnimi terminologijo matematičnimi simboli in simboli in ter simboliko simboli in obratno: obratno: obratno prebere/ prebere/ (prebere/ ubesedi zapis ubesedi zapis ubesedi zapis v matematični v matematični v matematični simboliki simboliki simboliki) c) pri opisovanju c) pri opisovanju c) pri opisovanju matematičnih matematičnih matematičnih objektov objektov objektov in struktur in struktur in struktur ter njihovih ter njihovih ter njihovih lastnosti lastnosti lastnosti uporablja uporablja uporablja ustrezno ustrezno ustrezno terminologijo terminologijo terminologijo in simboliko in simboliko in simboliko 5 Terminologija (SSKJ): celota izrazov določene stroke, panoge; strokovno izrazje, izrazoslovje (nekatere stroke so razvile bogato terminologijo / uporabljati domačo, zastarelo terminologijo / filozofska, lesarska, medicinska terminologija / strokovna terminologija)«. 6 Simbol (SSKJ): predmet, lik, ki izraža, predstavlja določen abstrakten pojem; znak; dogovorjena črka, kratica za označevanje določene stvari. 34 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Matematični jezik ima svoje posebnosti, zato se v različni literaturi omenja tudi kot formalni jezik. Zanj je značilna resnost in formalnost govora, oblikovanje in uporaba znanstvene (strokovne) terminologije ter pojmov, dokončno zaporedje konstruiranja izjav (vprašanja, argumenti, dokazi, znanstveno utemeljene sodbe, sklepi) in uporaba simbolov. Zmožnost uporabe matematičnega jezika vključuje: • dekodiranje in interpretiranje simbolnega in formalnega jezika, • razumevanje njegovega odnosa z govorjenim (vsakdanjim) jezikom, • prevod iz govorjenega (vsakdanjega) jezika v simbolnega oziroma formalnega, • postavitev in oblikovanje trditev, ki vključujejo izjave in izraze, • uporabo spremenljivk, reševanje enačb in računanje s simboli (PISA 2006). Jezik je pomemben vidik v razvoju trajnostnega znanja. Dobro je, da vsak vzgojitelj/učitelj/profesor prilagodi uporabo matematičnega jezika in načina razlage razvojni stopnji otrok/učencev/dijakov, njihovim matematičnim zmožnostim in predznanju. 1.2 POZNA IN UPORABLJA STROKOVNO TERMINOLOGIJO PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO d) v matematično d) v matematičnih preprostih situacijah situacijah oblikuje oblikuje definicije, definicije in jih pozna njihov tudi uporablja namen in jih uporablja Kurnik (2006) je opredelil osnovne zahteve, ki jih mora izpolnjevati definicija matematičnega pojma. To so: minimalna vsebina, naravnost in prenosljivost. Te zahteve je podrobneje predstavil z navedenimi pravili: • Definicija mora ustrezati opredeljenemu izrazu, naj ne bo niti preozka niti preširoka; razkriti mora bistvo koncepta. • Definicija naj bo jasna in jedrnata. • Definicija mora biti sodobna. • Definicija ne sme biti izražena v slikovnem ali drugače dvoumnem jeziku. • Definicija ne sme biti zapisana tako, da bi definirani pojem razlagala s pojmom samim (krožna). • Definicija ne sme biti negativna, če je lahko pozitivna. • Obseg definiranega izraza ne sme biti prazen niz. Učitelji/profesorji z zgledom prikažejo način oblikovanja definicij pri matematiki, ki jih učenci skušajo uporabiti oziroma jim slediti pri lastnem oblikovanju definicij matematičnih pojmov. Ni treba, da so učenčeve definicije pojmov pri pouku natančne, dovoljena je določena stopnja svobode in poenostavitve. | 35 Razvijamo matematično pismenost 1.2 POZNA IN UPORABLJA STROKOVNO TERMINOLOGIJO PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO b) ob dejavnostih c) pri opisovanju d) pri opisovanju e) smiselno e) smiselno in konkretnih matematične situacije uporablja uporablja predstavitvah situacije uporablja matematični matematični matematičnih uporablja matematični jezik tudi jezik tudi pojmov matematični jezik v drugih v drugih poimenuje jezik kontekstih kontekstih in opisuje konkretne ali grafične reprezentacije (liki, telesa, števila, količine, odnosi, barve, položaj/lega) Učenci v 2. vzgojno-izobraževalnem obdobju poznajo že veliko matematičnih simbolov in strokovnih terminov, zato so naloge pogosto predstavljene na abstraktni ravni z matematičnim jezikom. Spodnji primer naloge od učencev 2. vzgojno-izobraževalnega obdobja zahteva razumevanje matematične (slika 13) in vsakdanje (slika 14) situacije in uporabo matematičnega jezika pri opisu danih situacij. 1. Opiši medsebojno lego geometrijskih objektov na sliki. D p r E C D A B s Slika 13: Primer grafične ponazoritve za opis situacije z matematičnim jezikom (viri slike a): https://eucbeniki.sio.si/ mat9/878/index4.html, vir slike b): https://eucbeniki.sio.si/matematika6/523/index.html) 2. Kaj lahko poveš o medsebojni legi stebrov in drugih objektov na fotografiji? Slika 14: Primer naloge iz vsakdanjega življenja in prepoznavanje matematičnih pojmov (vir: i-učbenik Matematika 6, str. 209, https://eucbeniki.sio.si/matematika6/523/index.html) 36 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti 1.2 POZNA IN UPORABLJA STROKOVNO TERMINOLOGIJO PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO e) razume različne f) razume različne f) razume različne pomene pomene pomene posameznih posameznih posameznih matematičnih matematičnih matematičnih terminov in terminov in terminov in simbolov simbolov ter je simbolov ter je fleksibilen pri fleksibilen pri njihovi uporabi njihovi uporabi Ker jezik vsebuje veliko besed (homonimi, sinonimi), ki imajo različen pomen (npr. koren kot rastlinski del, koren zoba, besedni koren, kvadratni koren … ), ali besed z enakim pomenom (npr. kvadrat kot pravilni štirikotnik, romb s pravim kotom …), lahko prihaja do oteženega oziroma napačnega razumevanja. Poimenovanje matematičnih objektov z govornim (vsakdanjim) jezikom se lahko tudi razlikuje od strokovnega matematičnega poimenovanja (in pomena). Pomembno je, da odkrivamo taka razhajanja v jeziku in jih sproti razjasnjujemo ob danih kontekstih. Predstavljamo primer naloge za 3. vzgojno-izobraževalno obdobje, ki nam da iztočnico za razjasnjevanje pojma površina. Primer naloge z razumevanjem različnega pomena matematične terminologije 1100 – Njiva je površina, ki jo orjemo ali drugače obdelujemo in obračališča, namenjena obdelavi te površine (širine do 2 m). Na tej površini pridelujemo enoletne in nekatere večletne kmetijske rastline (žita, krompir, krmne rastline, oljnice, predivnice, sladkorno peso, zelenjadnice, vrtnine, okrasne rastline, zelišča, jagode itd.). Sem sodi tudi zemljišče v prahi in ukorenišče hmeljnih sadik. V ta razred uvrščamo tudi zemljišče, ki je začasno zasejano s travo ali drugimi krmnimi rastlinami (za obdobje manj kot 5 let) in se uporablja za košnjo ali pašo večkrat na leto. Če je površina porasla s travno rušo in ni preorana v obdobju pet ali več let, jo uvrstimo v trajni travnik. (Vir: https://www.kgzs.si/uploads/eiv22/pravilniki/ p1_sifrant_in_opis_vrst_dejanske_rabe_kmetijskih_in_gozdnih_zemljisc.pdf) Opisni podatki zemljiškega katastra Parcela Vrsta rabe Razred Površina (m2) stanovanjska stavba 100 gospodarsko poslopje 140 dvorišče 560 205/1 sadovnjak 3 500 njiva 4 1.500 pašnik 2 1.000 stanovanjska stavba 200 212 sadovnjak 2 400 travnik 3 2.500 215 njiva 5 500 močvirje 3.000 | 37 Razvijamo matematično pismenost 1.3 podgradnik: predstavi, utemelji in vrednoti lastne miselne procese Pri tem podgradniku miselne procese povezujemo z vrstami mišljenja s specifično lastnostjo, npr. proces razvrščanja, urejanja in klasificiranja, logičnega mišljenja in sposobnost predstavljanja misli z govorom v povezavi s cilji. Z. Rutar Ilc (2004) predstavlja Marzanovo delitev znanj, ki poleg kompleksnega mišljenja (npr. primerjanje, razvrščanje, sklepanje z indukcijo in dedukcijo, utemeljevanje, abstrahiranje, analiziranje perspektiv, odločanje, preiskovanje, reševanje problemov, eksperimentalno raziskovanje, analiza napak, invencija) poudarja tudi delo z viri, sodelovalne veščine, predstavljanje idej na različne načine in miselne navade. Miselne procese sprožajo situacije, ki pritegnejo pozornost in zanimanje otrok/učencev/dijakov, ti pa se nanje odzivajo miselno in čustveno, zato jih vodijo v aktivno vključevanje, reagiranje oziroma vedenje. 1.3 PREDSTAVI, UTEMELJI IN VREDNOTI LASTNE MISELNE PROCESE PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO a) ustno predstavi a) na ustrezen a) na ustrezen a) na ustrezne a) na ustrezne proces način predstavi način načine načine reševanja nalog proces predstavi in predstavi, predstavi, in pripoveduje reševanja nalog razloži proces razloži in razloži, utemelji o lastnih in problemov reševanja povzame in povzame ugotovitvah ter pripoveduje nalog in proces proces ter svojem o lastnih problemov ter reševanja reševanja razmišljanju ugotovitvah matematično nalog in nalog in in svojem razmišljanje problemov ter problemov ter razmišljanju matematično matematično razmišljanje razmišljanje Otroke/učence/dijake spodbujamo, da znajo svoje reševanje nalog predstaviti učitelju in sošolcem. Nekateri avtorji umeščajo miselne procese v širšo kategorijo in jih pojmujejo kot miselne navade, saj gre pri navadah za naravnanost, ki se kaže v celotnem posameznikovem delovanju in od učencev zahteva, da so ustvarjalni, kritični in reflektivni. Tak pristop v veliki meri podpira formativno spremljanje s svojimi elementi: preverjanjem predznanja, kriteriji uspešnosti, postavljanjem vprašanj, povratno informacijo, dokazi, vrednotenjem (samovrednotenjem) in refleksijo. V publikaciji PISA 2006 je predstavljen osnovni proces reševanja problemov iz realnega sveta, ki so ga poimenovali matematizacija. V vseh fazah reševanja nudimo učencem možnost, da svoje delo oziroma reševanje nalog, ki zahteva obvladovanje matematičnih postopkov ali uporabo strategij pri reševanju matematičnega problema, povzamejo v govorjenem (vsakdanjem) in matematičnem jeziku, kar pomeni, da predstavijo, razložijo, utemeljijo svoj pristop k reševanju in lastne ugotovitve svojim sošolcem in učitelju. S tako predstavitvijo učenec/dijak ozavešča svoje mišljenje pri reševanju ter analizira pristope in rešitve. Dejavnost predstavljanja oziroma prikazovanja lahko izpeljemo na različne načine (ustno, pisno, s konkretnimi materiali, grafično s sliko/preglednicami/prikazi, s simbolnim zapisom itd.), lahko pa prehaja iz enega načina prikaza v drugega. Pomembno je, da izbiranje načina predstavitev izhaja iz konteksta in namena. Predstavitve lahko potekajo individualno, v dvojicah ali v skupinski obliki. Predstavljamo primere nalog za spodbujanje miselnega odziva učenca, ko mora predstaviti ugotovitve in jih utemeljiti. 38 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Primeri nalog za spodbujanje miselnih odzivov učencev v različnih starostnih obdobjih 1. naloga (1. VIO, 2. VIO, 3. VIO) Razišči večkratnike števila 3, 4 in 5. Poročaj o ugotovitvah in svojem delu. 2. naloga (2. VIO, 3. VIO) Razišči pravokotnike z enako ploščino. Poročaj o ugotovitvah in svojem delu. 3. naloga (srednja šola): Razišči polinome tretje stopnje. Poročaj o ugotovitvah in svojem delu. 1.3 PREDSTAVI, UTEMELJI IN VREDNOTI LASTNE MISELNE PROCESE PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO b) vključuje se b) sodeluje v b) sodeluje v b) sodeluje v b) sodeluje v v pogovor o matematični matematični matematični matematični matematičnih razpravi razpravi razpravi razpravi situacijah Pri vzgojno-izobraževalnem procesu spodbujamo razpravo in izmenjavo mnenj. Otroci/učenci/dijaki s tem razvijajo veščino komuniciranja, ki je ena izmed cenjenih spretnosti tudi zunaj izobraževalnih ustanov. Strokovni delavci naj v svoj načrt vodenja razreda vključijo tudi načine za spodbujanje te veščine, ki vključuje tudi rabo matematičnega jezika. Skupaj z otroki/učenci/dijaki opredelijo kriterije dobrega vključevanja v pogovor (veščine komuniciranja) oziroma razpravo z matematično vsebino ob dani situaciji. Primer kriterijev za uspešno sodelovanje v pogovoru/razpravi (1. VIO): • znam pripovedovati o tem, kar sem doživel/videl/slišal na izbrano temo (vsebino), • svojo misel znam jasno in razločno povedati, • znam pojasniti, zakaj tako mislim, zakaj se s tem strinjam/ne strinjam, • znam prisluhniti pripovedovanju drugih sošolcev, • počakam na vključitev v pogovor. 1.3 PREDSTAVI, UTEMELJI IN VREDNOTI LASTNE MISELNE PROCESE PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO c) po zastavljenih c) po zastavljenih c) po zastavljenih c) po zastavljenih c) po zastavljenih kriterijih7 kriterijih presoja kriterijih presoja kriterijih presoja kriterijih presoja presoja o o lastnem delu o lastnem delu o lastnem delu o lastnem delu lastnem delu 7 Kriterij (opredelitev v opisniku gradnika): »merilo uspeha«, ki pomaga pri presoji in zavedanju lastnega znanja ter doseganja učnih namenov; z njim opredeljujemo pomembne vidike znanja, razumevanja, spretnosti, veščin. | 39 Razvijamo matematično pismenost Če so bili kriteriji smiselno in razumljivo zastavljeni skupaj z otroki/učenci/dijaki, bodo lahko z njihovo pomočjo presojali o svoji veščini komuniciranja v govorjenem (vsakdanjem) in matematičnem jeziku. Opisniki so zapisani v poševnem tisku, ker ne opredeljujejo vsebinskih znanj, ampak opisujejo odnos do učne situacije in učnih ciljev ter zmožnost kritične presoje, ki je element samouravnavanja učenja. 1.4 podgradnik: prepozna, razume in uporablja matematične pojme v različnih okoliščinah Pri matematiki lahko trajnost znanja dosežemo z usmerjenim razvojem mišljenja. Eden izmed vidikov mišljenja je razvoj (izgradnja) matematičnih pojmov in povezav − odnosov med njimi. Besedo pojem8 razumemo kot miselni odraz (miselno tvorbo) bistvenih lastnosti neke skupine (matematičnih) objektov oz. značilnosti konkretnega ali abstraktnega predmeta. Objekti in odnosi se med seboj razlikujejo po svojih lastnostih oz. značilnostih. Od vseh lastnostih objekta ali odnosa so pomembne bistvene lastnosti: lastnosti, ki so njegova posebnost in ki ga ločujejo od množice drugih objektov. Pojem je torej oblika razmišljanja, v kateri se odražajo bistvene lastnosti objektov, ki se preučujejo/spoznavajo. Ena od značilnosti pojma kot oblike razmišljanja je, da je oblikovanje pojma v domeni človeka in je neločljiva od njegovega izražanja, poimenovanja in zapisa z besedo ali simbolom. Oblikovanje pojma je postopen in dolgotrajen proces. Kurnik (2001) je opisal preprost način učenja pojma v treh fazah. Prva oz. začetna faza je učenje pojma z opazovanjem in spoznavanjem specifičnih objektov (osnovnih primerov) ter njihovih specifičnih lastnosti (skupnih značilnosti ter razlik). Druga faza je opazovanje nekaterih splošnih in skupnih elementov opazovanega objekta (opisovanje značilnosti pojma). Tretja faza je izpeljava splošnih značilnosti objekta − oblikovanje in sprejetje pojma (preprosta definicija pojma). 1.4 PREPOZNA, RAZUME IN UPORABLJA MATEMATIČNE POJME V RAZLIČNIH OKOLIŠČINAH PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO a) prepozna a) prepozna na a) prepozna na a) prepozna na a) prepozna na konkreten različne načine različne načine različne načine različne načine predmet, sliko (konkretno, (konkretno, (konkretno, (konkretno, predmeta za grafično, grafično, grafično, grafično, predstavitev simbolno) simbolno) simbolno) simbolno) matematičnega reprezentirane9 reprezentirane reprezentirane reprezentirane pojma matematične matematične matematične matematične b) prepozna na pojme v znanih pojme tudi v pojme v pojme v različne načine situacijah manj znanih različnih različnih (verbalno, situacijah situacijah situacijah konkretno, grafično) reprezentirane matematične pojme v znanih situacijah 8 Pojem (opredelitev v opisniku gradnika): »merilo uspeha«, ki pomaga pri presoji in zavedanju lastnega znanja ter doseganja učnih namenov; z njim opredeljujemo pomembne vidike znanja, razumevanja, spretnosti, veščin. 9 Reprezentacija: predstavitev matematičnega pojma npr. s konkretnimi pripomočki, grafičnim materialom, simboli, preglednicami, računalniškimi simulacijami itd. 40 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Matematični pojmi so večinoma abstraktni, zato si pri njihovih predstavah pomagamo z reprezentacijami in tako približamo (naredimo vidne) njihove lastnosti in zakonitosti. Mlajši otroci/učenci prve pojme spoznavajo skozi aktivnosti s fizičnimi predmeti ali modeli (npr. geometrijski liki: trikotnik, krog, pravokotnik, kvadrat itd.) in protiprimeri (npr. kaj ni geometrijski lik), ki jih poimenujejo, opisujejo, primerjajo in spoznavajo njihove skupne značilnosti in razlike (spoznavajo njihove lastnosti), jih razvrščajo, urejajo po različnih kriterijih itd. Na pojmovno shemo/mrežo v času šolanja pripenjajo nova spoznanja in tako poglabljajo poznavanje pojma ter gradijo vse natančnejšo (strokovno, znanstveno) strukturo pojma. 1.4 PREPOZNA, RAZUME IN UPORABLJA MATEMATIČNE POJME V RAZLIČNIH OKOLIŠČINAH PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO c) ponazori b) uporablja b) uporablja b) uporablja b) uporablja matematični različne smiselne smiselne smiselne pojem z izbrano reprezentacije reprezentacije reprezentacije reprezentacije reprezentacijo matematičnih matematičnih matematičnih matematičnih pojmov ter pojmov ter pojmov ter pojmov ter prehaja med prehaja med prehaja med prehaja med njimi njimi njimi njimi Uporaba reprezentacij se z leti šolanja spreminja od konkretnih do grafičnih in abstraktnih reprezentacij ter simulacij. Pomembno je, da otrok/učenec/dijak spoznava raznolikost ravni reprezentacij in zna pojem predstaviti na različne načine ob upoštevanju matematičnega konteksta (okoliščin). Tatjana Hodnik Čatež (2014b, str. 35) pravi, da je »v procesu prehajanja med reprezentacijami, konkretna reprezentacija ›baza‹, abstraktna reprezentacija pa cilj«. S prehajanjem med reprezentacijami učenec/dijak izgrajuje pojem (ga skuša razumeti), je pa tudi pomoč pri reševanju problemov iz realnega sveta (matematizaciji) in pri posploševanju. Primera dejavnosti prikazujeta predstavitev pojma odštevanja in seštevanja na različnih ravneh, ki je primerna za učence 1. razreda, ko spoznavajo pojma seštevanje in odštevanje (kot računski operaciji). 1. Konkretna raven 1. Konkretna raven Slika 15: Keglji Slika 16: Avtomobilčki 2. Grafična/slikovna raven 2. Grafična/slikovna raven 3. Matematično simbolna raven 3. Matematično simbolna raven 5 – 2 4 + 1 | 41 Razvijamo matematično pismenost 1.4 PREPOZNA, RAZUME IN UPORABLJA MATEMATIČNE POJME V RAZLIČNIH OKOLIŠČINAH PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO d) poišče skupne c) poišče skupne c) s primeri c) s primeri c) s primeri lastnosti lastnosti in potrjuje potrjuje oziroma in razlike razlike med oziroma oziroma protiprimeri konkretnih posameznimi zavrača trditve zavrača trditve potrjuje ali in grafičnih reprezentacijami o lastnostih o lastnostih zavrača trditve reprezentacij izbranega matematičnih matematičnih o lastnostih matematičnega matematičnega pojmov pojmov matematičnih pojma pojma e) matematične e) matematične pojmov pojme pojme e) matematične razlikuje glede razlikuje glede pojme na njihove na njihove razlikuje glede lastnosti in lastnosti, na njihove odnose med prepoznava lastnosti, njimi sorodne pojme prepoznava in odnose med sorodne pojme njimi in odnose med njimi Pri ustreznem prehajanju med reprezentacijami mora učenec zaznati strukturo posamezne reprezentacije in ustvariti relacije med reprezentacijami. Za vzpostavitev relacije med reprezentacijami sta dva ključna kriterija (Hodnik Čadež, 2014a): • reprezentacije izbranega pojma morajo temeljiti na »strukturni podobnosti«, • zagotoviti moramo ustrezen (postopen) proces vzpostavljanja povezav med temi reprezentacijami, kar pomeni postopno zmanjševanje »konkretnega«. Primer spodnje naloge predstavlja izgradnjo fizičnega modela piramide kot dokaz za razumevanje pojma. Uporabna je v 3. vzgojno-izobraževalnem obdobju ali srednji šoli Izdelaj dva različna modela pravilne tristrane prizme s prostornino (približkom prostornine) 250 cm3 in se prepričaj o ustreznosti modela. Modele primerjajte med seboj. Magajna (2002) pravi, da modeli niso namenjeni le demonstraciji dejstev, ampak tudi eksperimentiranju, raziskovanju, samostojnemu odkrivanju. Učenci modelov ne le opazujejo, ampak jih »obravnavajo«, »preračunavajo« ali celo izdelujejo. Raziskovanje je v tem kontekstu mišljeno kot ustvarjalno delo oz. dejavnost, s katero želimo razširiti in izboljšati znanje; z njim ugotavljamo ali potrjujemo dejstva, ugotavljamo in preverjamo rezultate preteklega dela, rešujemo nove ali obstoječe probleme, razvijamo nove teorije itd. 42 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti 1.4 PREPOZNA, RAZUME IN UPORABLJA MATEMATIČNE POJME V RAZLIČNIH OKOLIŠČINAH PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO d) predstavlja d) predstavlja d) predstavlja d) predstavlja si veličine in si veličine in si veličine in si veličine in količine količine količine količine Otroci/učenci/dijaki si z reprezentacijami razvijajo tudi predstave (notranje slike) o posameznih pojmih. Predstave lahko izrazijo oziroma povežejo s primeri iz realnega sveta, npr. milijon je lahko število prebivalcev, zadetek na loteriji. S količinami izrazimo elemente številskih množic (npr. 5 – 8, 106, ¾ …). Veličina je dolžina, masa, čas, temperatura … Vrednost veličine podajamo kot številčne vrednosti s pripadajočo enoto (npr. 3 m, 2 kg, 10 min, 15 °C…). 1.4 PREPOZNA, RAZUME IN UPORABLJA MATEMATIČNE POJME V RAZLIČNIH OKOLIŠČINAH PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO f) različne f) različne (tudi f) različne (tudi (podobne) nove) situacije nove) situacije situacije interpretira interpretira interpretira z uporabo z uporabo z uporabo matematičnih matematičnih matematičnih pojmov pojmov pojmov Z zgornjim opisnikom nadgrajujemo 1.2 podgradnik: pozna in uporablja strokovno terminologijo in simboliko ter razumevanje in uporabo matematičnih pojmov. | 43 Razvijamo matematično pismenost 1.5 podgradnik: pozna in v različnih okoliščinah uporablja ustrezne postopke in orodja 1.5 POZNA IN V RAZLIČNIH OKOLIŠČINAH UPORABLJA USTREZNE POSTOPKE IN ORODJA PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO a) uporablja a) spoznava a) pozna in a) pozna in a) pozna in uspešne in raziskuje uporablja uporablja uporablja postopke pri različne različne različne različne igri in reševanju matematične matematične matematične matematične preprostih situacije tako, postopke pri postopke pri postopke pri matematičnih da opazuje, raziskovanju raziskovanju raziskovanju nalog prireja, matematičnih neznanih neznanih b) spoznava in primerja, situacij in situacij in situacij in raziskuje10 razvršča in ureja reševanju nalog reševanju nalog reševanju nalog različne elemente b) izbere ustrezne b) izbere ustrezne b) izbere ustrezne matematične b) rešuje postopke, postopke, postopke, situacije tako, matematične ki vodijo do ki vodijo do ki vodijo do da opazuje, naloge in rešitve rešitve rešitve prireja, probleme primerja, tako, da šteje, razvršča, meri, zbira ureja, prešteva in prikazuje elemente podatke, riše, ustrezno izraža veličine in količine, izvaja računske postopke z upoštevanjem lastnosti računskih operacij Postopke11 smiselno vključujemo v vse vsebinske sklope, saj predstavljajo miselne in manipulativne dejavnosti, s katerimi otroci/učenci/dijaki odkrivajo nova vsebinska znanja, pridobivajo spretnosti in veščine ter odkrivajo zakonitosti znanstvenega dela. Ločimo spoznavne in matematične postopke. Med spoznavne postopke uvrščamo opazovanje, primerjanje, prirejanje, urejanje, razvrščanje, raziskovanje, ravnanje s podatki, sklepanje, sporočanje (Učni načrt za SPO, 2011). Matematični postopki so bolj specifični in se nanašajo na štetje, merjenje, prikazovanje podatkov, načrtovanje, računanje (računske operacije), preiskovanje, reševanje problemov itd. 10 Raziskovanje (opredelitev v opisniku gradnika): v tem kontekstu je mišljeno kot ustvarjalno delo oz. dejavnost, s katero želimo razširiti in izboljšati znanje; z njim ugotavljamo ali potrjujemo dejstva, ugotavljamo in preverjamo rezultate preteklega dela, rešujemo nove ali obstoječe probleme, razvijamo nove teorije itd. 11 Postopek (SSKJ): oblika načrtnega, premišljenega dela, delovanja, ravnanja ali mišljenja za dosego kakega cilja. 44 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Slika 17: Razvrščanje in štetje otrok v vrtcu (Foto: Fanika Fras Berro) 1.5 POZNA IN V RAZLIČNIH OKOLIŠČINAH UPORABLJA USTREZNE POSTOPKE IN ORODJA PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO c) pri reševanju c) pri reševanju c) pri reševanju c) pri reševanju uporablja uporablja uporablja uporablja lastne postopke lastne postopke lastne postopke lastne postopke Ko bodo otroci/učenci/dijaki dobro spoznali spoznavne in matematične postopke in jih spretno uporabljali, moramo načrtovati situacije, ki bodo zahtevale njihovo uporabo tako pri spoznavanju kot reševanju matematičnih izzivov. Otroci/učenci/dijaki bodo na tak način tudi pripravljeni za iskanje lastnih poti reševanja (ne zgolj pravilnih rezultatov naloge). Primer dejavnosti z uporabo lastnih postopkov prikazuje slika (slika 18), ko si morajo učenci sami npr. izračunati čas potovanja in čas letenja, na potovanju iz Ljubljane v Oslo (https://www.letalske.si/iskanje-leta/). Slika 18: Izpisan predlog potovanja | 45 Razvijamo matematično pismenost 1.5 POZNA IN V RAZLIČNIH OKOLIŠČINAH UPORABLJA USTREZNE POSTOPKE IN ORODJA PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO d) preveri d) preveri d) preveri d) preveri pravilnost pravilnost pravilnost pravilnost rezultatov rezultatov rezultatov rezultatov izvedenih izvedenih izvedenih izvedenih postopkov postopkov postopkov postopkov Pri pouku namenimo čas tudi soočenju raznolikih poti pri reševanju posameznih nalog. Otrokom/učencem/ dijakom omogočimo, da predstavijo svoj način razmišljanja pri reševanju matematičnih izzivov (1.2 podgradnik), uporabo raznolikih postopkov, pravilnost izpeljave postopkov ter preverjanje pravilnosti delnih in končnih rešitev izziva. S tem bomo otrokom/učencem/dijakom pokazali, kako se je treba lotiti reševanja nalog, s čim si lahko pri reševanju pomagamo, kako sproti preverjamo svoje razmišljanje in izpeljavo postopka (1.6 podgradnik). 1.5 POZNA IN V RAZLIČNIH OKOLIŠČINAH UPORABLJA USTREZNE POSTOPKE IN ORODJA PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO e) uporablja e) izbere in e) izbere in e) izbere in različne uporablja uporablja uporablja pripomočke in ustrezna orodja ustrezna orodja ustrezna orodja instrumente za reševanje, za reševanje, za reševanje, izražanje in izražanje in izražanje in sporočanje sporočanje sporočanje Učenci razredne stopnje spoznajo in se urijo v uporabi različnih geometrijskih orodij, kot so ravnilce, šablona, šestilo, geotrikotnik, in merilnih instrumentov, kot so metrski trak, tehtnica, ura, posode za merjenje tekočin itd., pozneje tudi spoznajo različna računalniška orodja. Učenci predmetne stopnje in dijaki osnovno rokovanje z orodjem in napravami nadgradijo ter z lastno izbiro orodij, ki so po njihovem mnenju najprimernejša (ali jih najbolje obvladajo), rešujejo kompleksne in zahtevnejše naloge. 1.6 podgradnik: napoveduje in presoja rezultate, utemeljuje trditve, postopke in odločitve 1.6 NAPOVEDUJE IN PRESOJA REZULTATE, UTEMELJUJE TRDITVE, POSTOPKE IN ODLOČITVE PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO a) presoja o a) presoja o a) presoja o a) presoja o a) presoja o potrebnih potrebnih potrebnih potrebnih potrebnih podatkih in zadostnih in zadostnih in zadostnih in zadostnih podatkih v podatkih v podatkih v podatkih v matematični matematični matematični matematični situaciji oziroma situaciji oziroma situaciji oziroma situaciji oziroma nalogi nalogi nalogi nalogi 46 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Pri soočanju otrok/učencev/dijakov z izzivi pogosto naletimo na situacijo, ko nimamo na razpolago dovolj podatkov ali jih sploh nimamo in jih moramo pridobiti. Kot primer predstavljamo nalogo, pri kateri si morajo učenci za rešitev naloge samostojno pridobiti potrebne podatke. V praksi je bila naloga izvedena v 5. razredu. V našem kraju se srečujemo s problemom neoporečne pitne vode iz vaških vodovodov. Učenci so v šolo začeli prinašati plastenke z vodo. Plastenke so nosili v torbah in jih pri pouku postavljali kar na šolsko mizo. Prazne plastenke pa so polnile koše. Vodstvo šole se je zato odločilo, da bo namestilo avtomat za vodo. Za šolo so naročili le 10 plastenk, saj ni primernega prostora za shranjevanje večje količine plastenk. Za koliko dni bo zadostovala nabavljena zaloga vode, če vsak učenec na dan popije 2 dl vode? Izpis podatkov, potrebnih za rešitev naloge: 1. nabavljena količina vode: 10 plastenk po 18 l 9 dl 2. število učencev na naši šoli: 294 3. količina popite vode enega učenca na dan: 2 dl Slika 19: Primer tabelske slike. (Metka Flisar, OŠ Tišina, 2011) 1.6 NAPOVEDUJE IN PRESOJA REZULTATE, UTEMELJUJE TRDITVE, POSTOPKE IN ODLOČITVE PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO b) na podlagi b) na podlagi b) na podlagi b) na podlagi b) na podlagi lastnih izkušenj lastnih izkušenj matematičnega matematičnega matematičnega napove, kaj se napoveduje znanja, lastnih znanja, lastnih znanja, lastnih bo zgodilo rešitve izkušenj izkušenj in izkušenj in napoveduje pridobljenih pridobljenih rešitve podatkov podatkov napoveduje napoveduje rešitve rešitve | 47 Razvijamo matematično pismenost Pri kritičnem mišljenju gre za nenehno prepletanje višjih miselnih procesov in veščin. Dejavnosti za učence načrtujemo tako, da skrbno domislimo miselne izzive (problemsko situacijo), ki vključujejo višje miselne procese in učencem omogočajo samostojno odkrivanje oz. raziskovanje, to pa vključuje spraševanje, sistematično opazovanje, prepoznavanje in opredeljevanje problemov, postavljanje raziskovalnih vprašanj, postavljanje hipotez, razlikovanje dejstev od mnenj, sklepanje (induktivno, deduktivno, analogno), vrednotenje v skladu s kriteriji, odločanje, primerjanje, razvrščanje, interpretiranje, argumentiranje, napovedovanje, zavzemanje različnih perspektiv, oblikovanje ciljev in načrtovanje poti do njih, refleksijo o lastnem razmišljanju, doživljanju in ravnanju (Rupnik Vec idr., 2022). Napovedovanje je postopek, ko na podlagi danih podatkov, dejstev in predznanja ter izkušenj sklepamo o možnih rešitvah, podamo oceno dane situacije in jo osvetlimo z različnih zornih kotov. Pri tem so nam lahko v pomoč naše zmožnosti kreativnega razmišljanja. 1.6 NAPOVEDUJE IN PRESOJA REZULTATE, UTEMELJUJE TRDITVE, POSTOPKE IN ODLOČITVE PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO c) preverja c) presoja o c) presoja o c) presoja o c) presoja o pravilnost ustreznosti ustreznosti ustreznosti ustreznosti rešitev, izpeljave izbire in izbire in izbire in prepozna postopkov pri izpeljave izpeljave izpeljave napačne rešitve reševanju nalog postopkov pri postopkov pri postopkov pri in jih popravi d) preverja reševanju nalog reševanju nalog reševanju nalog pravilnost d) vrednoti d) vrednoti d) vrednoti rešitev, dobljene rešitve dobljene dobljene rešitve prepozna ter predlaga rešitve, presoja in presoja napačne rešitve popravke in o njihovi o njihovi in jih popravi izboljšave ustreznosti smiselnosti, e) poišče primer ter predlaga ustreznosti za svojo trditev popravke in oziroma izboljšave pravilnosti, e) oblikuje lastne neustrezne matematične rešitve popravi trditve, jih ter predlaga preveri in izboljšave utemelji e) oblikuje matematične trditve in hipoteze ter jih preveri (dokaže oz. ovrže) f) matematične trditve utemeljuje z ustrezno ravnijo strogosti 48 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Tudi v nadaljevanju se naslanjamo na veščine kritičnega mišljenja, ki jih učenci lahko razvijajo pri pouku matematike. Poudariti velja še utemeljevanje in postavljanje hipotez. Utemeljevanje predstavlja naš pogled, sodbo ali stališče (argument), ki ga poskušamo utemeljiti z dokazom ali s pojasnjevanjem. Pri matematiki najpogosteje utemeljujemo z matematičnimi dokazi in izpeljavo matematičnih postopkov. Primer naloge zahteva matematično utemeljen odgovor. Racionalna funkcija ima predpis . Zapišite točki in , ki sta lokalna ekstrema funkcije . V kateri točki ima funkcija lokalni minimum in v kateri lokalni maksimum? Odgovor utemeljite. Slika 20: Reševanje naloge z utemeljitvijo odgovora (Splošna matura, spomladanski rok 2017) | 49 Razvijamo matematično pismenost 1.7 podgradnik: uporablja različne strategije pri reševanju matematičnih problemov Barica Marentič Požarnik (2012, str. 167) opredeljuje strategijo kot zaporedje ali kombinacijo »v cilj usmerjenih učnih aktivnosti, ki jih posameznik uporablja na svojo pobudo in spreminja glede na zahteve situacije«. Deli jih na mentalne oz. kognitivne in materialne. Sonja Pečjak in Ana Gradišar (2002, str. 48) povzemata skupino avtorjev, ki pravijo, »da je učna strategija urejen sistem miselnih operacij z višjimi in nižjimi miselnimi procesi, ki imajo za posledico rešitev naloge«. Ključni element v tem procesu je zavestno obvladovanje miselnih operacij. Naloga današnje šole naj bi bila, da poleg posredovanja dejstev, bistvenih podatkov, pojmov in zakonitosti učence usposobi, da bodo znali samostojno pridobivati znanje s pomočjo strategij iskanja, izbiranja, organiziranja in ovrednotenja informacij, pomembnih za razumevanje in reševanje problemov (Marentič Požarnik, 2012). 1.7 UPORABLJA RAZLIČNE STRATEGIJE PRI REŠEVANJU MATEMATIČNIH PROBLEMOV PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO a) pri reševanju a) pri reševanju a) pri reševanju a) pri reševanju a) pri reševanju izzivov (rutinskih) matematičnih matematičnih matematičnih uporablja znane matematičnih problemov problemov problemov strategije problemov uporablja znane uporablja uporablja (npr. poskusi uporablja znane strategije, različne smiselne in napake, strategije, primerne strategije strategije (npr. iskanje vsiljivca, primerne razvojni stopnji (npr. poskusi poskusi in klasifikacija), razvojni stopnji in napake, napake, obrnjeno primerne sistematično razmišljanje, razvojni stopnji preizkušanje, sistematično posebni primeri) preizkušanje, posebni 50 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Primer spodnje naloge predstavlja možnost, da učenci izberejo ustrezne postopke reševanja, npr. s sistematičnim zapisovanjem vseh možnih poti in razdalj pridemo do najkrajše poti. Naloga je z določenimi prilagoditvami primerna za učence 2. vzgojno-izobraževalnega obdobja in vse do srednje šole. Gre za primer naloge reševanja po lastni poti in z različnimi strategijami (PISA 2006, str. 27, 28). Oblikuj počitniški potovalni načrt. Slika 21 je zemljevid območja, slika 22 pa tabela z razdaljami med mesti. Slika 21: Zemljevid cest, ki povezujejo mesta Angaz Kado 550 Lapat 500 300 Megal 300 850 550 Nuben 500 1000 450 Piras 300 850 800 600 250 Angaz Kado Lapat Megal Nuben Piras Slika 22: Dolžina najkrajših cestnih povezav med mesti, izražena v kilometrih Reši naloge 1. Izračunaj dolžino najkrajše ceste med Nubenom in Kadom. 2. Sonja živi v Angazu. Obiskati hoče Kado in Lapat. Vsak dan lahko prepotuje največ 300 km, na poti pa se lahko večkrat ustavi in ponoči tabori kjerkoli med dvema mestoma. Sonja bo v vsakem mestu ostala dve noči, da si ju bo lahko ves dan ogledovala. Sestavi Sonjin potovalni načrt in zapiši, kje bo preživela posamezne noči. Magajna v svojem prispevku (2003) opozarja, da so »miselne strategije pogosto predstavljene oziroma razumljene preveč poenostavljeno – kot navodila za delo in ne kot napotki za razmišljanje. Pri miselnih strategijah namreč ne gre za korake, ki jih je potrebno pri reševanju izvršiti v danem zaporedju, temveč za premisleke, ki jih je dobro med reševanjem razdelati, se k njim vračati, jih spreminjati in dodelati.« »Izzivi« so izhodišča za matematične aktivnosti (Kmetič, 1996), ki omogočajo raziskovanje na otroku/učencu/ dijaku lasten način, v neobičajnih in kreativnih situacijah. Omogočajo uporabo in utrjevanje matematičnega znanja, veščin in strategij. Vprašanja in navodila za izziv naj bodo splošna, z njimi pogosto zastavljamo probleme odprtega tipa. Izzive lahko uporabljamo v vseh razredih: | 51 Razvijamo matematično pismenost • kot vpeljavo novega pojma ali pravila (učenci bodo samostojno pridobivali novo znanje), • kot utrjevanje in poglabljanje, • za razvijanje procesnih ciljev, ki so del matematičnega mišljenja, • kot popestritev ur matematike ali kot dejavnost v projektnih dnevih, • kot vir novih lastnih idej. Pomembno je, da se učenci učijo »učiti se« matematiko. Mlajšim učencem lahko izziv predstavimo v obliki zgodbe (Kmetič, 1996). Pri raziskovalnem delu pri pouku matematike je učiteljeva naloga, da opazuje oziroma posluša otroke/učence/ dijake, jih usmerja pri reševanju z vprašanji, jim pomaga analizirati opravljeno delo (ozaveščanje miselnih procesov), vodi presojo njihovega dela, ponudi možne opore za izpeljavo postopkov ali procesov, pri tem pa ne usmerja dela z matematičnimi dejstvi. Učenci/dijaki naj samostojno odločajo o reševanju problema, o uporabi metod in strategij. Matematični problemi so naloge, v katerih učenci ne poznajo vnaprej poti do rešitve in jo morajo samostojno načrtovati (Učni načrt za matematiko, 2011, str. 20). Zavedati pa se moramo, da je odnos med nalogo in problemom subjektivne narave. To pomeni, da je lahko za enega učenca/dijaka predstavljen problem zgolj rutinski problem oziroma naloga, katere pot je že večkrat »prehodil« oziroma reševal, za drugega učenca/dijaka pa je lahko nerešljiva situacija. Za učenca 4. razreda predstavlja spodnji primer naloge (slika 23) problem, katerega poti reševanja ne pozna. Pomembno je, da izbere zanj primerno strategijo, razmišlja o povezanosti podatkov in izpelje postopke, ki jih obvlada (v našem primeru s premislekom in sklepanjem). Ob tem moramo povedati, da znak »je enako« uporablja v smislu »stane npr. 3,50 €«, kar mu pomaga pri razmišljanju, in ne kot relacijski simbol. V trgovini stane zavoj s 60 dag jagod 2,15 €, na tržnici pa zavoj za 1 kg jagod 3,50 €. Koliko bi plačali za 3 kg jagod, kupljenih v trgovini, in koliko za 3 kg jagod, kupljenih na tržnici? Slika 23: Primer reševanja matematičnega problema učenke 4. razreda 52 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti 1.7 UPORABLJA RAZLIČNE STRATEGIJE PRI REŠEVANJU MATEMATIČNIH PROBLEMOV PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO b) pri reševanju b) pri reševanju b) pri reševanju b) pri reševanju b) pri reševanju izzivov (rutinskih) raznovrstnih raznovrstnih raznovrstnih uporablja raznovrstnih matematičnih matematičnih matematičnih procesna matematičnih problemov problemov problemov znanja, pri tem problemov (zaprti, odprti, s (zaprti, odprti, s (zaprti, odprti, s poišče različne (zaprti, odprti, s preveč podatki, preveč podatki, preveč podatki, poti do rešitev preveč podatki, premalo podatki, premalo podatki, premalo podatki, in več rešitev premalo podatki, nekonsistentnimi nekonsistentnimi nekonsistentnimi problema nekonsistentnimi podatki, z več podatki, z več podatki, z več podatki, z več rešitvami, rešitvami, rešitvami, rešitvami, brez rešitev, brez rešitev, brez rešitev, brez rešitev, nesmiselno nesmiselno nesmiselno nesmiselno rešitvijo) rešitvijo), rešitvijo), rešitvijo) uporablja preiskovanju12 preiskovanju uporablja procesna znanja in odkrivanju13 in odkrivanju procesna znanja uporablja uporablja procesna znanja procesna znanja (npr. induktivno sklepanje, posploševanje, deduktivno sklepanje) Mara Cotič je že leta 1999 v publikaciji Matematični problemi v osnovni šoli (1−5) opredelila vrste matematičnih problemov (z zaprto potjo in zaprtim ciljem, z odprto potjo in zaprtim ciljem, odprto potjo in odprtim ciljem) ter njihovo razširitev s problemi, ki nimajo zadostnega števila podatkov za rešitev, ki imajo več podatkov, kot je potrebnih za rešitev, v katerih so si podatki nasprotujoči, ki jih rešimo na različne načine ali imajo več rešitev. S temi raznovrstnimi problemi naj bi se srečali učenci že v 1. vzgojno-izobraževalnem obdobju in si pridobili dovolj izkušenj ter preko aktivnosti reševanja usvajali procesna znanja. Amalija Žakelj (2003, str. 36) je naštela naslednja procesna znanja: ustvarjalno in abstraktno mišljenje, presojanje in sklepanje, kritično preverjanje in samostojno odkrivanje določenih pravil, opazovanje, iskanje strategij reševanja problema, iskanje lastnosti in pravil, postavljanje hipotez, ugibanje, napovedovanje, preizkušanje, postavljanje vprašanj, analiziranje in povezovanje podatkov, zbiranje in beleženje podatkov, sortiranje in urejanje podatkov, utemeljevanje, preverjanje rezultatov, prikazovanje podatkov, posploševanje itd. 12 Preiskovanje (opredelitev v opisniku gradnika): osnovnošolska in srednješolska obravnava problemskih situacij z nejasnimi cilji (preiskujemo naloge oz. izzive, v katerih ni določeno, kaj natančno moramo ugotoviti in kako naj pridemo do rešitev). 13 (Učenje z) odkrivanjem (opredelitev v opisniku gradnika): bolj ali manj samostojen pristop k reševanju in raziskovanju problema, pri katerem učitelj vzdržuje interes učencev za reševanje, jim nudi ustrezno podporo in jih usmerja. | 53 Razvijamo matematično pismenost 1.7 UPORABLJA RAZLIČNE STRATEGIJE PRI REŠEVANJU MATEMATIČNIH PROBLEMOV PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO c) na osnovi danih c) na osnovi danih c) na osnovi danih c) na osnovi danih c) na osnovi danih izzivov oblikuje matematičnih matematičnih matematičnih matematičnih različna situacij oblikuje situacij ali situacij ali situacij ali vprašanja različna problemov problemov problemov vprašanja oblikuje oblikuje oblikuje in podobne različna različna različna naloge vprašanja vprašanja vprašanja in in podobne in podobne nove probleme probleme probleme Kot pomembno procesno znanje, ki nam »da misliti«, ali so otroci/učenci/dijaki zaznali problem v dani situaciji oziroma razumejo matematično problemsko nalogo, je postavljanje vprašanj. V situaciji, ko smo predstavili učencem 2. razreda vozni red šolskega avtobusa in jih spodbudili k zastavljanju vprašanj, so nam med drugim povedali tudi vprašanja, ki so nakazovala razumevanje situacije in na katere smo poiskali iz danih podatkov tudi ustrezne odgovore. Spodnja naloga prikazuje primer zastavljanja vprašanj učencev 2. razreda ob življenjski situaciji (Smiljana Žalik, OŠ Turnišče, 2014). Učenci 2. razreda so v situaciji povedali naslednja vprašanja: • Kdaj pelje prvi avtobus za Renkovce? ODHOD AVTOBUSA IZPRED ŠOLE 1. ODHOD 2. ODHOD 3. ODHOD SMER • Kdaj je drugi odhod za Gomilico? 12.40 13.30 15.25 Renkovci • Kolikokrat pelje avtobus izpred šole? 12.55 13.45 15.25 Nedelica • Koliko je odhodov? 12.55 13.45 15.25 Gomilica • Kam pelje avtobus ob 12.40? • Ob kateri uri pelje zadnji avtobus? • Kdaj vse se lahko pelješ v Renkovce? Naše problemsko vprašanje pa je bilo: Koliko časa čakajo učenci vozači na odhod avtobusa izpred šole v kraj bivanja, če imajo pet ur pouka? Naslednji primer matematične situacije je zastavljen v matematičnem kontekstu, pri čemer zahteva od učencev poznavanje matematičnih dejstev in zakonitosti. Primer naloge je uporaben za učence 2. in 3. vzgojnoizobraževalnega obdobja ter srednje šole (Suban in Kmetič, 2015) 54 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Na voljo imaš skladne kvadrate, pravokotnike in enakostranične trikotnike, kot je prikazano na sliki 24. Kaj lahko vprašaš? Slika 24: Skladni geometrijski liki Vprašanja si lahko zastavimo glede na raven matematičnega znanja in vsebino, ki jo obravnavamo. Na enem od strokovnih srečanj v projektu smo si v delavnici zastavili vprašanje: Koliko različnih mrež geometrijskih teles lahko sestavimo iz danih likov? Nekatera vprašanja učence usmerjajo k poglobljenemu razmišljanju (npr. zakaj, kako, vprašanja za razmišljanje o rezultatih ali o rešitvah). Matematični problemi so lahko za učenca rešljivi ali nerešljivi, smiselni ali nesmiselni, zamudni, lepi, zanimivi ali nezanimivi. Učenec je uspešen raziskovalec, če si zna vprašanje zastaviti sam ali razširiti problem ter presoditi, ali je to smiselno, ali je možno nadaljevati po istem postopku, ali bo rezultat pravilen, smiseln, natančen. 1.7 UPORABLJA RAZLIČNE STRATEGIJE PRI REŠEVANJU MATEMATIČNIH PROBLEMOV PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO d) reševanje d) presoja o d) presoja o d) presoja o d) presoja o izzivov doživlja ustreznosti ustreznosti ustreznosti ustreznosti kot kreativno izpeljave izbire strategij izbire strategij izbire strategij dejavnost strategij pri pri reševanju pri reševanju pri reševanju reševanju problemov problemov problemov problemov e) reševanje e) reševanje e) reševanje e) reševanje matematičnih matematičnih matematičnih matematičnih problemov problemov problemov problemov doživlja doživlja doživlja doživlja kot izziv in kot izziv in kot izziv in kot izziv in kreativno kreativno kreativno kreativno dejavnost dejavnost dejavnost dejavnost Učenec doživlja reševanje matematičnih problemov kot izziv, kadar je motiviran (notranje ali spodbujen od zunaj), zanj problem predstavlja znano situacijo, ki jo je tudi sam doživel, je že reševal podobne situacije in ima ideje za njeno reševanje, se čuti kompetentnega za samostojno raziskovanje in reševanje, saj obvlada osnovne strategije in procesna znanja, ima »rad« matematiko kot znanstveno vedo itd. | 55 Razvijamo matematično pismenost 2. gradnik matematične pismenosti Reševanje problemov v raznolikih kontekstih (osebni, družbeni, strokovni, znanstveni), ki omogočajo matematično obravnavo. V 2. gradniku rešujemo realne probleme, ki izhajajo iz osebnega, družbenega, poklicnega in znanstvenega konteksta. Problemi, ki izhajajo iz osebnega konteksta, so osredinjeni na dejavnosti posameznika, njegove družine ali vrstnikov. To so konteksti, ki vključujejo pripravljanje hrane, nakupovanje, igro, osebno zdravje, osebni prevoz, šport, potovanje, osebno razporeditev časa in osebne finance. Problemi z družbenim kontekstom izhajajo iz učenčeve skupnosti (razred, šola, družina, nogometni klub itd.). Navezujejo se lahko na volitve, javni prevoz, migracije, oglaševanje, gospodarstvo, prireditve, zbiranje (npr. odpadkov), športna tekmovanja itd. Poklicni kontekst zajemajo problemi, ki so osredinjeni na svet dela. Povezujejo se z merjenjem, ceno in naročanjem materiala, izdajanjem računov, sestavljanjem urnika/jedilnika/inventarja, oblikovanjem/arhitekturo in z delom povezanimi odločitvami. Znanstveni kontekst je za učence in dijake pravi izziv, saj so problemi povezani z uporabo matematike v svetu narave ter vprašanji in temami, ki so povezani z znanostjo in tehnologijo. Vključujejo lahko vreme, podnebje, ekologijo, medicino, znanost o vesolju, genetiko, meritve in svet matematike (Šterman Ivančič, 2013). Učitelj pri reševanju matematičnih problemov lahko nastopi »kot model − zgled reševanja«, ko sistematično in nazorno učencem predstavlja svoje razmišljanje ob reševanju z natančnimi opisi, slikami/skicami, kar je primerno na začetku šolanja ali ob zahtevnih strategijah. Spet drugič lahko učence vodi pri reševanju problemov in pri tem usmerja razmišljanja učencev s posebnimi (produktivnimi) vprašanji. V procesu reševanja sledi razmišljanju učencev, preveri njihovo razumevanje problema, nato spodbuja poskuse, da učenci uvidijo problem z različnih zornih kotov, jim pomaga pri pridobivanju potrebnih podatkov, jim pomaga razvijati sistematični način preverjanja, jim svetuje uporabo različnih strategij, vendar pusti učence, da »sami razmišljajo – rešitev jim ne servira«. 2.1 podgradnik: obravnava raznolike življenjske probleme (problemi, ki ne zahtevajo matematičnega modeliranja) Pri obravnavi raznolikih življenjskih problemov gre za kompleksno dejavnost, ko mora otrok/učenec/dijak izkazati matematično znanje, smiselno rabo postopkov in strategij, ki so zajeta/opredeljena v 1. gradniku, v novi situaciji, ki zanj predstavlja problem. Pristop k reševanju problema razumemo kot sosledje korakov oziroma metodo reševanja problema. Ker reševanje problemov razumemo kot kompleksno dejavnost, ob zapisu primera dejavnosti iz prakse (razvidno iz objavljenih primerov prakse v nadaljevanju) navajamo le 2.1 podgradnik in ne preostalih podgradnikov 1. gradnika. 56 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti 2.1 OBRAVNAVA RAZNOLIKE ŽIVLJENJSKE PROBLEME (PROBLEMI, KI NE ZAHTEVAJO MATEMATIČNEGA MODELIRANJA) PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO a) zazna in a) zazna in a) prepozna a) prepozna a) prepozna opredeli opredeli matematični matematični matematični matematični matematični problem v problem v problem v problem v problem v življenjski življenjski življenjski življenjski življenjski situaciji in situaciji in situaciji in situaciji situaciji ga izrazi v ga izrazi v ga izrazi v b) ponazori b) ponazori matematičnem matematičnem matematičnem situacijo s situacijo s jeziku jeziku jeziku konkretnim konkretnim materialom materialom in jo opiše v in jo opiše v vsakdanjem matematičnem jeziku jeziku Otrok/učenec/dijak bo pri zaznavanju oziroma opredeljevanju problema uspešnejši, če mu bo kontekst problema znan, če bo izhajal iz njegovega življenja, če je podobno situacijo doživel že sam ali si jo zna predstavljati. Da otrok/učenec/dijak zazna oziroma razume problem, pokaže tako, da zna situacijo obnoviti (interpretirati) s svojimi besedami, otroci in mlajši učenci v govorjenem (vsakdanjem) jeziku, starejši učenci in dijaki pa v matematičnem jeziku. PISA za reševanje realnih problemov vpeljuje izraz matematizacija. Cikel matematizacije poteka tako: • začne se s seznanitvijo problema v realni situaciji, • nato v problemu prepoznamo matematične pojme (matematiko) ter realni kontekst postopoma preoblikujemo v matematičnega, in sicer z odstranjevanjem realne situacije, • sledi reševanje matematičnega problema z matematičnimi orodji • in nato smiselni prenos rešitev prenesemo v realni kontekst. Opisani koraki matematizacije so osnovni elementi uporabe matematike v večplastnih situacijah (PISA 2006, str. 23, 24). Poglejmo si naslednji primer za 9. razred in srednjo šolo (Žakelj, 2010, 59−61): | 57 Razvijamo matematično pismenost Naloga v realnem kontekstu prikazuje, kako matematiki Seznanjanje s problemom v realni situaciji: pogosto »delajo matematiko«, kako ljudje uporabljajo Srčni utrip (PISA 2006: str. 23) matematiko in kako bi morali ljudje uporabljati Iz zdravstvenih razlogov bi morali ljudje omejiti svoje napore, matematiko, da bi lahko v celoti in odgovorno da ne bi presegli določene frekvence srčnega utripa. Dolga leta sodelovali v družbi. Primarni izobraževalni cilji za vse je veljalo: priporočeni maksimalni srčni utrip = 220 – starost. učence bi morali biti učenje matematizacije. Danes: priporočeni maksimalni srčni utrip = 208 – (0,7 ∙ starost). V časopisu je pisalo: Če uporabimo novo formulo namesto stare, se priporočeno maksimalno število utripov srca na minuto pri mladih ljudeh malo zniža, pri starejših pa malo zviša. Od katere starosti naprej se pri uporabi nove formule priporočeno maksimalni srčni utrip zviša? Prikaži svoje delo. Prepoznavanje matematike in matematičnih pojmov v problemu. Matematična naloga, ki se osredotoča samo na Preoblikovanje realnega konteksta v matematičnega in matematične pojme, simbole, postopke in ne vključuje postopno odstranjevanje realne situacije. situacije iz nematematičnega konteksta: Dve »življenjski formuli« je treba razumeti in ugotoviti Za katere vrednosti spremenljivke x leži premica z matematični pomen. Predstavljata odnos med priporočenim enačbo y = – 0,7 ∙ x + 208 nad premico z enačbo maksimalnim srčnim utripom in starostjo osebe. y = – x + 220? Problem prestavimo v matematično okolje. Odnose preoblikujemo v matematične algebraične izraze in rešimo sistem enačb. Grafično reševanje naloge: Postavitev sistema: y = 220 – x in y = 208 – 0,7 ∙ x. Lahko se odločimo tudi za grafičen prikaz odvisnosti. Pridemo do matematičnega problema. Reševanje matematičnega problema z matematičnimi orodji Rešitev sistema y = – x + 220 in y = – 0,7 ∙ x + 208 je x = 40, y = 180. Rešitev nas pripelje do ugotovitev, da se premici sekata v točki T(40, 180). Premica z enačbo y = – 0,7 ∙ x + 208 leži nad premico z enačbo y = – x + 220 za vrednosti x, ki so večje od 40. Uporabimo lahko računalniški program za risanje funkcij. Prenos rešitev matematičnega problema v realni kontekst Povezan je z vprašanjem: Kaj je pomen matematične rešitve v smislu realnega sveta? Če je oseba stara 40 let, ima lahko maksimalni srčni utrip 180 po obeh formulah. Sicer staro pravilo Slika 25: Grafična rešitev dovoljuje višji utrip mlajšim osebam, nova formula pa starejšim dopušča nekoliko višji srčni utrip. Od 40. leta dalje se pri uporabi nove formule priporočeno maksimalni srčni utrip zviša. Pri prenosu rešitev matematičnega problema v realni svet, je zelo pomembno zavedanje omejitev danega izračuna. Pri tem se učimo kritičnega vrednotenja rezultatov, zavedanja, da ne poznamo vseh pogojev, da bi lahko slepo prenašali rezultate, da je formula le navidezno znanstvena idr. 58 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Otroci/učenci/dijaki so pri reševanju problemov uspešnejši, če problem vizualizirajo in ga predstavijo z različnimi reprezentacijami (na konkretni, grafični, simbolni ravni). S pomočjo vizualizacije izboljšujejo izbiro in uporabo miselnih procesov. Otrok svojo predstavitev interpretirata v govorjenem (vsakdanjem) jeziku, mlajši učenec pa že v matematičnem jeziku. 2.1 OBRAVNAVA RAZNOLIKE ŽIVLJENJSKE PROBLEME (PROBLEMI, KI NE ZAHTEVAJO MATEMATIČNEGA MODELIRANJA) PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO c) sodeluje pri c) ob vodenju b) oblikuje lastni b) oblikuje lastni b) oblikuje lastni oblikovanju oblikuje lastni načrt reševanja načrt reševanja načrt reševanja načrta načrt reševanja in ga predstavi in ga predstavi in ga predstavi reševanja in ga predstavi Starejši učenci in dijaki ubesedijo svoje miselne procese za rešitev problema in jih strukturirano predstavijo v obliki načrta reševanja. Primer načrta reševanja (slika 26) predstavlja individualno oblikovanje načrta reševanja problema učenca 5. razreda, nato sledi frontalno vodena razprava o načrtu, zapis na tablo in dopolnitev individualnega načrta. Slika 26: Individualno zapisani načrti reševanja in njihove dopolnitve 2.1 OBRAVNAVA RAZNOLIKE ŽIVLJENJSKE PROBLEME (PROBLEMI, KI NE ZAHTEVAJO MATEMATIČNEGA MODELIRANJA) PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO d) oblikuje in d) oblikuje in c) oblikuje in c) oblikuje in c) oblikuje in uporabi uporabi uporabi uporabi uporabi ustrezno ustrezno smiselno smiselne smiselne matematično matematično matematično matematične matematične strategijo strategijo strategijo strategije za strategije za za reševanje za reševanje za reševanje reševanje reševanje problema problema in problema in problema in problema in problem reši problem reši problem reši problem reši | 59 Razvijamo matematično pismenost Vsebina tega opisnika se navezuje na 1.7 podgradnik (uporablja različne strategije pri reševanju matematičnih problemov), vendar gre pri tem opisniku le za enega izmed korakov kompleksnega pristopa reševanja problema. V tem primeru otrok/učenec/dijak izkaže, kako zna izbirati in uporabiti smiselne (tudi lastne) strategije za rešitev problema. Tako otrok/učenec/dijak uporablja že prej (v 1. gradniku) pridobljena posamezna znanja in veščine za reševanje problemov (npr. branje besedila, oblikovanje vprašanj, analizo podatkov, grafično predstavitev situacije, napovedovanje, izbiro strategije in izvedbo postopkov reševanja, kritično vrednotenje rešitev, oblikovanje odgovorov itd.). 2.1 OBRAVNAVA RAZNOLIKE ŽIVLJENJSKE PROBLEME (PROBLEMI, KI NE ZAHTEVAJO MATEMATIČNEGA MODELIRANJA) PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO e) opiše (delne in e) predstavi in d) predstavi, d) predstavi, d) predstavi, končne) rešitve razmisli o interpretira in interpretira in interpretira v kontekstu smiselnosti vrednoti (delne vrednoti (delne in vrednoti (delnih in in končne) in končne) rešitve (delne končnih) rešitev rešitve v rešitve v in končne) v v kontekstu kontekstu kontekstu kontekstu Pri vrednotenju rešitev problema otrok/učenec/dijak zna ubesediti pomen delnih in končnih rešitev v kontekstu problema, jih interpretirati in vrednotiti. Dejavnost lahko organiziramo kot okroglo mizo, soočenje, torej na zanimiv način, s katerim pokažemo smiselnost in namen tega koraka pri reševanju matematičnih problemov. 2.2 podgradnik: obravnava situacije z matematičnim modeliranjem V predšolskem obdobju otroci začnejo razvijati matematično mišljenje in usvajati matematično znanje skozi igro in dejavnosti, ki so primerne njihovi razvojni stopnji, zato v tem starostnem obdobju tudi nimamo zapisanih opisnikov. Tudi v 1. vzgojno-izobraževalnem obdobju, ko se učenci že učijo formalne matematike, imamo opisnike le pri uporabi matematičnih modelov. Dejavnost matematičnega modeliranja bi lahko izvedli ob ustreznem načrtovanju in vodenju učencev skozi dejavnost, kot je prikazano v primeru Modeliranje z učenci 2. razreda ob nalogi naročanje pic (Vršič). Matematično modeliranje smo v 2.2 podgradniku opredelili s štirimi fazami: 1. prenese situacijo v matematični kontekst, 2. oblikuje matematične modele za dano situacijo, 3. uporablja matematične modele, 4. vrednoti matematične modele. 60 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti 2.2.1 prenese situacijo v matematični kontekst 2.2 OBRAVNAVA SITUACIJE Z MATEMATIČNIM MODELIRANJEM 2.2.1 prenese situacijo v matematični kontekst PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO a) sodeluje a) sodeluje a) prepozna, a) prepozna, pri opisu pri opisu da bo dano da bo dano (osebnega) (osebnega, situacijo lahko situacijo lahko življenjskega družbenega) matematično matematično problema v življenjskega modeliral modeliral matematičnem problema v b) opiše življenjski b) opiše življenjski jeziku matematičnem problem problem (osebni, b) sodeluje pri jeziku (osebni, družbeni, predstavitvi b) predstavi družbeni, strokovni, situacije z situacijo z strokovni) v znanstveni) v matematičnimi matematičnimi matematičnem matematičnem sredstvi in pri sredstvi in jeziku jeziku oblikovanju oblikuje c) prepozna c) prepozna problemskega problemsko količine, količine, vprašanja vprašanje matematične matematične pojme in pojme in odnose odnose v v obravnavani obravnavani situaciji in situaciji in odloča o njihovi odloča o njihovi relevantnosti relevantnosti d) poenostavi d) poenostavi situacijo, situacijo, da omogoči da omogoči matematično matematično obravnavo obravnavo e) predstavi e) predstavi situacijo na situacijo z matematičen matematičnimi način (s pojmi, sredstvi in reprezentiranimi oblikuje na različne problemska načine, vprašanja v postopki, prikazi matematičnem …) in oblikuje kontekstu problemska vprašanja v matematičnem kontekstu | 61 Razvijamo matematično pismenost Skozi vse štiri faze reševanja bomo predstavili primer matematičnega modeliranja Priprava sadne solate za rojstnodnevno zabavo (sklepanje iz množine na množino), ki je primeren za reševanje učencev od 2. vzgojnoizobraževalnega obdobja naprej. Opisan primer (slika 27) je primeren za učence 4. in 5. razreda osnovne šole. Če bi dejavnost izvajali z mlajšimi učenci, predlagamo, da se preoblikuje recept za sadno solato tako, da se zmanjša število sestavin in da so vse sestavine izražene v kosih sadja (lahko tudi delih celote sadja, npr. polovica hruške). Recept za sadno solato Sestavine za sadno solato za 4 porcije: • 3 banane • 200 g jagod • 3 kiviji • 2 veliki žlici borovnic • 2 veliki žlici mandeljnov • 6 večjih dateljnov • cimet Slika 27: Primer avtentičnega problema kot izhodišče za • 1 dl sladke smetane za stepanje matematično modeliranje Banane in kivi olupimo in narežemo na kolobarje (kivi lahko narežemo tudi na Koliko sadja za sadno solato po danem receptu je treba kockice srednje velikosti). Jagode operemo kupiti, če želimo pogostiti prijatelje na rojstnodnevni in prepolovimo. Mandeljne in dateljne zabavi, kjer nas bo skupaj (npr. 15) narežemo na manjše koščke ali zmeljemo v prijateljev/povabljencev/gostov? mlinčku. Vse skupaj zmešamo in posujemo s cimetom in dodamo stepeno sladko smetano. Skozi pogovor poskušamo učence ozavestiti, da morajo razmisliti, koga so povabili na rojstnodnevno zabavo (število odraslih, število otrok), koliko sadne solate bo vsak povabljenec pojedel, kolikšno bo skupno število porcij in, na koncu, kako bomo ugotovili, koliko posameznih sestavin za vse sadne solate bomo potrebovali. Vprašanja za učence: • Koga bomo povabili na zabavo? (Odrasle, otroke; moji prijatelji so sošolci stari, 10 let.) • Ali vsak izmed njih poje celo porcijo sadne solate? • Sprejmimo dogovor, koliko porcij sadne solate bomo pripravili za zabavo. • Kaj pomeni pripraviti recept za več oseb? Kaj moramo ugotoviti ali izračunati? • Koliko posameznih sestavin bomo potrebovali za (načrtovanih) porcij sadne solate? 62 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti 2.2 OBRAVNAVA SITUACIJE Z MATEMATIČNIM MODELIRANJEM 2.2.2 oblikuje matematične modele PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO a) sodeluje pri a) pri načrtovanju a) pri načrtovanju načrtovanju modela opredeli modela opredeli modela, pri spremenljivke, spremenljivke, opredelitvi formulira formulira spremenljivk predpostavke in predpostavke in in formuliranju navede omejitve navede omejitve predpostavk modela modela b) sodeluje b) izbere ustrezno b) odloča o pri izdelavi zvrst modela zvrsti modela modela, tako (empirični, (empirični, da uporablja simulacijski, simulacijski, ustrezna teoretični, teoretični, matematična algoritmični itd.) algoritmični in tehnološka glede na dano itd.) in izbere orodja situacijo ustreznega c) prepozna in c) prepozna in zapiše odnose zapiše odnose med izbranimi med izbranimi spremenljivkami spremenljivkami oziroma oziroma predlaga predlaga matematično matematično strukturo za strukturo za dano situacijo dano situacijo (npr. funkcijski (npr. funkcijski predpis, graf, predpis, graf, linearna enačba, enačba, sistem sistem linearnih enačb, diagrami, enačb, diagrami, tabele, tabele, geometrijski geometrijski objekti, stožnice, objekti, slika, slika, opisno ali opisno ali kako kako drugače) drugače) d) pri izdelavi d) pri izdelavi modela modela uporablja uporablja ustrezna ustrezna matematična matematična in tehnološka in tehnološka orodja orodja | 63 Razvijamo matematično pismenost Učenci se v skupinah lotijo reševanja problema in iščejo rešitve na vprašanje, koliko posameznih sestavin bomo potrebovali za (načrtovanih) porcij sadne solate. 1. korak (Priprava recepta) Rešujejo lahko z risanjem, računanjem (s sklepanjem iz množine na enoto in obratno, s sklepanjem iz množine na množino, npr. izračunajo za eno porcijo …) in tako ugotovijo, koliko posameznih sadežev potrebujejo. Dokaz o učenju 1. koraka: Zapis recepta za predvideno število porcij sadne solate ali 15 oseb. 2. korak (Priprava nakupovalnega seznama) Ob pogovoru z učenci razjasnimo, da lahko kupimo samo cele sadeže (banane, kivi), druge sadeže pa glede na embalažo, ki jo ponujajo v trgovini. Učencem ponudimo slike možnih embalaž posameznega sadja, ki ga lahko kupijo v trgovini (npr. nakupovalni letak iz trgovine, kjer je omenjeno sadje). Vprašanja za učence: • Kaj moramo (razmisliti, vedeti) ugotoviti, preden gremo v trgovino? • Kako prodajajo našteto sadje (v kosih, na kilogram, v pripravljeni embalaži) oz. sestavine? Jagode v košarici, 250 g Borovnice, 125 g, pakirano Suhi dateljni brez koščic, 200 g Mandeljni, jedrca, 180 g Sladka smetana, 250 g Slika 28: Sestavine v embalaži Ko ugotovijo, koliko sadja potrebujejo (št. kosov ali gramov ali žlic) in imajo pripravljen recept za predvideno število porcij oz. 15 oseb, jim razdelimo slike z možno izbiro embalaž jagod, borovnic, mandeljnov in dateljnov. Iščejo rešitve, koliko posameznih embalaž jagod, borovnic, dateljnov in sladke smetane moramo kupiti. Učencem damo embalažo borovnic in dateljnov in poskušajo ugotoviti, koliko žlic sadežev je v posamezni embalaži. V učilnici imamo tehtnico, da stehtajo eno žlico sadja. Dokaz o učenju 2. koraka: Zapisan nakupovalni seznam sadja oz. sestavin in njihovih količin za nakup v trgovini. Vsaka skupina učencev svoj proces reševanja zapisuje na plakat. Učenci poskušajo ozavestiti in s svojimi besedami opisati (zapisati), kaj so pri iskanju rešitve privzeli, poenostavili. 64 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti 2.2 OBRAVNAVA SITUACIJE Z MATEMATIČNIM MODELIRANJEM 2.2.3 uporablja matematične modele PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO a) sodeluje pri a) opiše dani a) opiše dane in a) opiše dane in opisu danega model in ga lastne modele lastne modele modela predstavi z različnimi z različnimi b) sledi reševanju b) uporabi dane matematičnimi matematičnimi reprezentacijami reprezentacijami po danem modele modelu in izvaja b) uporablja dane b) uporablja dane c) upošteva posamezne in lastne modele in lastne modele značilnosti korake c) razloži model c) razloži model konteksta reševanja (iz danega (iz danega (ustrezne modela razbere modela razbere c) opisuje enote, spremenljivke, spremenljivke, matematične natančnost, funkcijske funkcijske rešitve v zaokroževanje) zveze, rezultat) zveze, rezultat) kontekstu d) interpretira in upošteva in upošteva matematične značilnosti značilnosti rešitve konteksta konteksta (izračune, (ustrezne enote, (ustrezne enote, natančnost, natančnost, dobljene z zaokroževanje) zaokroževanje) modelom) v kontekstu d) pri uporabi d) pri uporabi modela se modela se poslužuje poslužuje tehnoloških tehnoloških orodij (računalo, orodij (merilni rač. preglednice, pripomočki, razni programi, pripomočki spletne za računanje aplikacije) in grafično e) pozna in prikazovanje …) uporablja e) pozna in tehnike za uporablja simuliranje tehnike za modela (npr. simuliranje rač. preglednice, modela (npr. programiranje, rač. preglednice, programi za delo programiranje, s funkcijami, programi za delo programi s funkcijami, dinamične programi geometrije) dinamične f) interpretira geometrije matematične f) interpretira rešitve (izračune, matematične dobljene z rešitve (izračune, modelom) v dobljene z kontekstu modelom) v kontekstu | 65 Razvijamo matematično pismenost 3. korak: Uporaba dobljene rešitve na spremenjenih podatkih Učencem lahko zastavimo vprašanje: Poskusite predstaviti/zapisati, koliko sestavin bi potrebovali za 10 porcij oz. prijateljev/sošolcev. Učenci uporabijo model računanja/sklepanja količin sestavin recepta za 15 porcij/oseb pri iskanju/ določanju količin za 10 porcij/oseb in pripravo nakupovalnega listka. 2.2.4 vrednoti matematične modele 2.2 OBRAVNAVA SITUACIJE Z MATEMATIČNIM MODELIRANJEM 2.2.4 vrednoti matematične modele PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO a) opisuje a) obravnava a) obravnava ustreznost ustreznost ustreznost modela v (smiselnost, (smiselnost, različnih pravilnost, pravilnost, okoliščinah natančnost) natančnost) b) na novih modela v modela v podatkih in različnih različnih okoliščinah okoliščinah okoliščinah preverja (npr. obravnava (npr. obravnava uporabnost mej, obravnava mej, obravnava modela predpostavk, predpostavk, zanemarjenih zanemarjenih količin) količin) b) na novih b) na novih podatkih, podatkih, primerih, primerih, situacijah situacijah preverja preverja uporabnost uporabnost modela modela c) izdela c) izdela ustreznejši ustreznejši model na model na osnovi osnovi ugotovljenih ugotovljenih pomanjkljivosti pomanjkljivosti danega modela danega modela d) primerja d) primerja različne modele različne modele (npr. glede na (npr. glede na točnost, obseg točnost, obseg uporabnosti, uporabnosti, zahtevnost zahtevnost uporabe) uporabe) 66 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti 4. korak (Predstavitev in vrednotenje rešitev) Vsaka skupina predstavi svoje reševanje in svojo rešitev − matematični model. Predstavijo svoje ugotovitve, kaj so poenostavili, predpostavili. Drugi učenci poskušajo ovrednotiti predstavljeno rešitev, kaj se jim zdi primerno in kaj ne. Vprašanja za druge učence: • Ali je rešitev za nas primerna? • Kaj nam ustreza? Kaj bi spremenili? Na koncu sledi predstavitev, zastavimo jim vprašanje: Ali je katera od rešitev posebna, primernejša za nas in zakaj? Pri evalvaciji/refleksiji učencem zastavimo vprašanji: • Katero matematično znanje ste uporabili? • Kako ste se počuti pri reševanju naloge? 2.3 podgradnik: razume neformalne matematične prakse v različnih kontekstih Pod razumevanje matematičnih praks razumemo uporabo matematike v poklicnih situacijah ali delovnih procesih ali življenjskih situacijah, v katerih uporabimo drugačne postopke kot jih poznamo iz šolske matematike (npr. mizar, keramičar, prodajalec itd.). Podgradnik ne vključuje opisnikov za prvi dve starostni obdobji. 2.3 RAZUME NEFORMALNE MATEMATIČNE PRAKSE V RAZLIČNIH KONTEKSTIH PREDŠOLSKA OSNOVNA ŠOLA VZGOJA SREDNJA ŠOLA 1. VIO 2. VIO 3. VIO a) prepozna in z a) prepozna in z a) prepozna in z matematičnim matematičnim matematičnim jezikom opiše jezikom opiše jezikom opiše neformalne neformalne neformalne matematične matematične matematične prakse prakse prakse b) interpretira matematične prakse v smislu matematičnega modela c) prepoznava in razume pomen »nematematič- nih dejavnikov« v matematičnih praksah (npr. pomen orodij, tradicije, mate- matično znanje uporabnika, širši kontekst dejav- nosti) | 67 Razvijamo matematično pismenost Poglejmo si, kako pri nekaterih poklicih zakoličijo v naravi objekt v obliki pravokotnika (npr. temelji vrtne ute, rastlinjak na vrtu, visoke grede …). Pri pouku štirikotniku izmerimo dolžine stranic in notranje kote. Če je velikost notranjih kotov 90° in če sta nasprotni stranici enako dolgi, potem je to pravokotnik. Pri opravljanju različnih poklicnih dejavnosti ne merijo velikosti notranjih kotov, ampak izmerijo dolžine diagonal. Če sta dolžini diagonal enako dolgi, imamo pravokotnik, v nasprotnem primeru pa paralelogram. Tako ugotovimo, ali so stranice npr. visoke grede res pravokotne med seboj. Pri merjenju pravega kota si v različnih poklicnih situacijah pomagajo s pitagorejsko trojico (3, 4, 5) oziroma njenimi večkratniki, pa tega običajno niti ne vedo. Zaradi natančnosti meritev tesarji velikokrat uporabljajo pitagorejsko trojko 600 mm, 800 mm, 1000 mm. Če nimamo merilnega metra, lahko izdelamo vrv s 13 vozli na enakih razdaljah in jih postavimo v pravi kot: Slika 29: Merjenje pravega kota s pitagorejsko trojico Interpretacija in razumevanje različnih dejavnikov matematičnih praks je predvidena v opisnikih predvsem na srednješolski ravni. Gozdarski inštitut Slovenije je na svoji spletni strani WCM InfoGozd objavil prispevek Merjenje okroglega lesa, v katerem predstavijo merjenje in način izračunavanja hlodov (v m3), opišejo pravila merjenja skozi čas, priporočila za merjenje količin okroglega lesa ter preglednice, ki pomagajo pri izračunavanju debeline skorje. Iz priporočil za merjenje količin okroglega lesa (z upoštevanjem evropskega standarda EN 1309-2): Premer hloda se meri brez skorje (slika 30). Če merjenje premera sortimenta vključuje skorjo, se to odšteje. Dvojno debelino skorje, ki se odšteje od premera, se lahko izmeri na posameznem sortimentu, lahko se jo določi iz tabel (slika 31) ali določi na podlagi sporazuma s kupcem. Slika 30: Merjenje premera hlodovine (Foto: Jerneja Bone) 68 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Dvojna debelina skorje glede na premer sortimenta (prilagojeno iz Turk in Lipoglavšek) Premer sortimenta Smreka (dvojna Jelka (dvojna debelina Bukev (dvojna (cm) debelina skorje v cm) skorje v cm) debelina skorje v cm) 10–14 1,0 0,9 0,5 15–19 1,2 1,1 0,6 20–24 1,3 1,3 0,7 25–29 1,4 1,5 0,8 30–34 1,5 1,7 1,0 35–39 1,6 1,8 1,0 40–44 1,7 2,0 1,0 45–49 1,8 2,2 1,1 50–54 1,9 2,4 1,2 55–59 2,1 2,6 1,3 Slika 31: Preglednica za določanje debeline drevesne skorje Volumen lesa se izračuna s pomočjo formule (Huberjeva formula): V – volumen v kubičnih metrih na dve ali tri decimalke natančno d – srednji premer v centimetrih l – dolžina v metrih π – število PI, v izračunih se lahko uporablja tudi vrednost 3,1416 V primeru kombiniranih sortimentov se volumen izračunava za vsak del posebej in se na koncu sešteje. Uporabijo se lahko tudi tabele z že podano prostornino glede na izmerjen premer. Slika 32: Tabele za izračunavanje prostornine okroglega telesa v gozdarstvu (Foto: Jerneja Bone) | 69 Razvijamo matematično pismenost Dvojna debelina skorje se pri meritvah premera hlodov odšteje od izmerjenega premera. Pri pretvarjanju volumnov s skorjo v volumen brez skorje lahko za iglavce uporabimo faktor 0,90, za listavce pa 0,94. V obrnjenem primeru, ko iz volumna lesa brez skorje izračunavamo volumen lesa s skorjo, lahko uporabimo za iglavce faktor 1,11 in za listavce 1,06. Delež skorje je odvisen predvsem od drevesne vrste in premera sortimenta. Dejavnost za dijake Katero geometrijsko telo bi uporabil za matematični model hlodov? Razloži formulo, po kateri računajo prostornino posekanega lesa. Pomagaj si s formulo za izračun prostornine valja. Pri računanju volumna hloda brez skorje primerjaj rešitvi glede na uporabo dveh različnih praks: • uporabi faktor 0,90 za iglavce in 0,94 za listavce pri pretvarjanju volumnov s skorjo v volumen brez skorje, • uporabi podatke iz preglednice Dvojna debelina skorje (slika 31). Kaj si ugotovil? Aktivnosti za razvoj matematične pismenosti pri pouku matematike Matematično pismenost razvijamo z dejavnostmi pri rednem pouku matematike z uresničevanjem ciljev učnega načrta, vendar načrtujemo take dejavnosti, s katerimi poglabljamo oziroma razširjamo znanja, opredeljena s cilji v učnem načrtu za matematiko. To pomeni, da z obravnavo vsebin, opredeljenih v učnem načrtu, izgrajujejo temeljna znanja predmeta, z nadgradnjo in poglabljanjem teh vsebin ter z dejavnostmi in nalogami višje zahtevnostne ravni pa učenci dosegajo gradnike in podgradnike matematične pismenosti. V gradnikih in podgradnikih so bolj kot v ciljih učnega načrta poudarjene veščine in procesi, katerih obvladovanje je ključnega pomena za pristop k reševanju problemov kot najvišje ravni matematičnega znanja in je eden izmed elementov kritičnega mišljenja. Za doseganje prvega gradnika lahko pri urah matematike načrtujemo krajše dejavnosti (v trajanju nekaj minut), ki so usmerjene na izgradnjo posameznega znanja, zajetega v opisniku podgradnika, ali daljše dejavnosti, ki zajemajo več podgradnikov in opisnikov (v trajanju cele ure). Drugi gradnik zajema dejavnost reševanja problema, za katere je potreben tudi kompleksen pristop k reševanju in s tem tudi več časa (tudi strnjeni uri matematike). Vzgojitelji/učitelji/profesorji razvojnih in implementacijskih vzgojno-izobraževalnih zavodov so načrtovane dejavnosti za razvoj matematične pismenosti zapisovali za ta namen v pripravljeno predlogo. 70 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti PREDLOG ZA ZAPIS PRIMEROV DEJAVNOSTI V PODPORO RAZVIJANJU NARAVOSLOVNE oz. MATEMATIČNE PISMENOSTI Učitelj-i/vzgojitelj-i (avtor-ji): VIZ/ustanova: Področje/predmet: Starostna skupina/razred/letnik: Učni/tematski sklop: Trajanje: Naslov dejavnosti (v naslovu zaobjamemo procesni in vsebinski vidik): Vključeni (pod)gradniki NP/MP (s številko; prvo zapisani podgradnik prednostno razvijamo): Operativni cilji dejavnosti (vsebinski, procesni): • • • • Aktivnost otrok/učencev Podgradnik Vloga vzgojitelja-ev/ Pričakovani rezultati/dokazila (kako bodo (z navedbo prilog P1,…) NP/ MP (št.) učitelja-ev otroci/učenci izkazali, da so dosegli cilje) Slika 33: Predloga za zapis dejavnosti za razvoj pismenosti V njej je bilo treba poleg osnovnih podatkov o izvajalcu, sklopu in ciljih opredeliti tudi prednostno vključene gradnike in podgradnike. Pri opisu dejavnosti smo želeli vidno poudariti aktivno vlogo učenca pri izgradnji znanja, zato smo ločili rubriki Aktivnost otrok/učencev od Vloge vzgojitelja/učitelja. Ker je bil naš namen, da strokovni delavci ob posameznih aktivnostih otrok/učencev ozaveščajo znanja in veščine, opredeljene v posameznih opisnikih podgradnikov, smo vključili tudi rubriko za navajanje teh v skrajšani obliki (npr. MP 1.4 b). Pričakovani rezultati oziroma dokazi naj bi zajemali tista znanja in veščine, ki so opredeljena v izbranem opisniku. Kot primer dokaza je lahko učenčeva predstavitev »grafičnega in simbolnega zapis situacije množenja in seštevanja« in s tem dokazom presojamo, ali je učenec 1. vzgojno-izobraževalnega obdobja usvojil gradnik MP 1.4 b (uporablja različne reprezentacije matematičnih pojmov ter prehaja med njimi). Po izvedbi primera dejavnosti učitelj (skupaj s soizvajalci) zapiše še svojo evalvacijo in samorefleksijo ter refleksijo otrok/učencev. Kot dokazila o izvedbi dejavnosti so učitelji priložili fotografije izvajanja aktivnosti učencev in njihovih izdelkov. V projektu je tako nastalo veliko različnih primerov dejavnosti, ki razvijajo matematično pismenost, in nekaj reprezentativnih primerov predstavljamo v nadaljevanju te publikacije. | 71 Razvijamo matematično pismenost Viri in literatura 1. Bačnik, A., Slavič Kumer, S., Bone, J., Kregar, S. idr. (2017). Analiza stanja naravoslovne in matematične pismenosti z utemeljitvijo projekta NA-MA POTI. V: Prijavnici projekta NA-MA POTI. Zavod RS za šolstvo. 2. Bajramović, N. idr. (2014). Matematika 5, i-učbenik za matematiko v 5. razredu osnovne šole, [Elektronski vir]. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://eucbeniki.sio.si/mat5/index.html. 3. Bence, V. T. (2014). Matematika 6, i-učbenik za matematiko v 6. razredu osnovne šole, [Elektronski vir]. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://eucbeniki.sio.si/matematika6/523/index.html. 4. Cotič, M. (1999). Matematični problemi v osnovni šoli (1−5): Teoretična osnova modela in njegova didaktična izpeljava. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 5. Flisar, M., Vršič, V. (2011). Pristop k reševanju matematičnega problema na razredni stopnji. V: F. Nolimal (ur.), Fleksibilni predmetnik − priložnost za izboljšanje kakovosti vzgojnoizobraževalnega dela šol (str. 135−142). Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 6. Fran (b. d.). Slovar slovenskega knjižnega jezika. Pridobljeno s www.fran.si. 7. Hodnik Čadež, T. (2014a). Reprezentacije matematičnih pojmov pri pouku matematike na razredni stopnji. V: A. Žakelj (ur.), Učne težave pri matematiki in slovenščini – izziv za učitelje in učence: Zbornik prispevkov znanstvene konference (str. 33−44). [Elektronski vir] Ljubljana, 15. november 2013. Pridobljeno s http://www.zrss.si/pdf/UTMIS-zbornik-prispevkov-2014.pdf. 8. Hodnik Čadež, T. (2014b). Poučevanje matematike na razredni stopnji v luči sodobnih raziskav. V: S. Kmetič idr. (ur.), Zbornik prispevkov 2. mednarodne konference učenja in poučevanja matematike, [Elektronski vir], 21. in 22. avgust 2014. Pridobljeno s https://www.zrss.si/digitalnaknjiznica/zbornik-prispev- kov-kupm2014/files/assets/basic-html/index.html#38. 9. Japelj Pavešić, B. (2016). Znanje matematike in naravoslovja med osmošolci v Sloveniji in po svetu: iz-sledki raziskave TIMSS 2015. Ljubljana: Pedagoški inštitut. Pridobljeno s http://timsspei.splet.arnes.si/ files/2016/11/T15-tretja-osmosolci.pdf. 10. Kmetec, K. (2011) Pisni preizkus v osmem razredu. V: M. Suban, S. Kmetič (ur.), Posodobitev pouka v osnovnošolski praksi CD. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.zrss.si/digitalnaknjiznica/Posodobitve%20pouka%20v%20osnovno%C5%A1olski%20praksi%20MATEMATIKA%20CD/. 11. Kmetič, S. (2011). Razvoj in spremljanje procesa modeliranja. V: S. Kmetič, M. Sirnik (ur.), Posodobitve pouka v gimnazijski praksi, str. 90–103. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 12. Kmetič, S. (2017). Od besed k pojmom in strategijam pri razvoju matematične pismenosti, Zbornik izbranih prispevkov 3. mednarodne konference o učenju in poučevanju matematike KUPM 2016, [Elektronski vir], str. 47–63. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/zbornik-prispev- kov-kupm2016.pdf. 13. Kmetič, S., Frobisher, L. (1996). Izzivi za mlade matematike. Maribor: Obzorje. 14. Kurnik, Z. (2001). Matematički pojam. Matematika i škola, časopis za nastavu matematike, 3 (11), str. 8−16. Pridobljeno s http://mis.element.hr/fajli/182/11-02.pdf. 15. Kurnik, Z. (2006). Jezik u nastavi matematike. Matematika i škola, časopis za nastavu matematike, 7 (33), str. 99–105. Pridobljeno s https://mis.element.hr/fajli/392/33-02.pdf. 16. Magajna, Z. (2002). Preprosti geometrijski modeli – od razumevanja k procesno usmerjenim nalogam. Matematika v šoli, 9 (3-4), str. 155−166. 17. Magajna, Z. (2003). Problemi, problemsko znanje in problemski pristop pri pouku matematike. Matematika v šoli, 10 (3-4), str. 129−138. 18. Magajna, Z. (2013) Matematično modeliranje v osnovni šoli. V: M. Suban, S. Kmetič (ur.), Posodobitev pouka v osnovnošolski praksi, str. 293–305. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 19. Marentič Požarnik B. (2012). Psihologija učenja in poučevanja. Ljubljana: DZS. 20. Palm, T. (2008). »Performance Assessment and Authentic Assessment: A Conceptual Analysis of the Literature«, Practical Assessment, Research and Evaluation, zv. 13, članek 4. DOI: https://doi.or-g/10.7275/0qpc-ws45. Dostopno na: https://scholarworks.umass.edu/pare/vol13/iss1/4. 72 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti 21. Pečjak, S. (2012a). Psihološki vidiki bralne pismenosti: od teorije k praksi. Ljubljana: Znanstvena založba Filozofske fakultete. 22. Pečjak, S., Gradišar, A. (2012b). Bralne učne strategije. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 23. Repež, M., Drobnič Vidic, A., Štraus, M. (ur.). (2008). PISA 2006: izhodišča merjenja matematične pismenosti v raziskavi PISA 2006. Ljubljana: Nacionalni center PISA, Pedagoški inštitut. Pridobljeno s https://www.pei.si/wp-content/uploads/2018/12/PISA2006_Izhodisca_Matematicna_pismenost.pdf. 24. Rupnik Vec, T., Suban, M., Stopar, N., Krajšek, S., Nanut Planinšek, Z., Starčič, T., Jamšek, J. (2022). Miselni procesi in veščine kritičnega mišljenja, [Elektronski vir]. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Kritic- no_misljenje_NAMA_gradniki.pdf. 25. Rutar Ilc, Z. (2004). Pristopi k poučevanju, preverjanju in ocenjevanju: k novi kulturi pouka. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo 26. Sirnik, M. (2019). Predstavitev 2. gradnika matematične pismenosti (predmetna stopnja in srednja šola). Gradivo izobraževanja članov RVIZ in IVIZ v projektu NA-MA POTI, [PowerPoint]. Gradivo objavljeno v spletni učilnici PRO-projekt NA-MA POTI https://skupnost.sio.si/course/view.php?id=9413. 27. Sirnik, M., Vršič, V. (2018). Predstavitev 1. gradnika matematične pismenosti s primeri. Gradivo izobra- ževanja članov RVIZ in IVIZ v projektu NA-MA POTI, [PowerPoint]. Gradivo objavljeno v spletni učilnici PRO-projekt NA-MA POTI https://skupnost.sio.si/course/view.php?id=9413. 28. Sirnik, M., Vršič, V. (2021). Od reševanja matematičnega problema do modeliranja. Gradivo izobraževanja članov RVIZ in IVIZ v projektu NA-MA POTI, [PowerPoint]. Gradivo objavljeno v spletni učilnici PRO-projekt NA-MA POTI https://skupnost.sio.si/course/view.php?id=9413. 29. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Fras Bero, F. (2022). Matematična pismenost, opredelitev in gradniki. [Elektronski vir]. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Matematic- na_pismenost_gradniki.pdf. 30. Splošna matura, matematika, spomladanski rok 2017: Pridobljeno s Matematika − Predmeti − Splošna matura (ric.si). 31. Suban, M., Kmetič, S. (2015). Do odprtih matematičnih problemov v procesu učenja in poučevanja, prispevek na 3. naravoslovni konferenci (NAK), [PowerPoint]. Pridobljeno s https://www.zrss.si/naravo- slovje2015/files/petek-delavnice/Do-odprtih-problemov.pdf. 32. Šterman Ivančič, K. (2013). Izhodišča merjenja matematične pismenosti v raziskavi PISA 2012 s primeri nalog. Ljubljana: Pedagoški inštitut. 33. Vršič, V. (2019). Predstavitev 2. gradnika matematične pismenosti (za vrtce in razredni pouk). Gradivo izobraževanja članov RVIZ in IVIZ v projektu NA-MA POT, [PowerPoint]. Gradivo objavljeno v spletni učilnici PRO-projekt NA-MA POTI https://skupnost.sio.si/course/view.php?id=9413. 34. WCM InfoGozd (b. d.). Merjenje okroglega lesa. Pridobljeno s https://wcm.gozdis.si/sl/infogozd/priroc- nik-za-lastnike-gozdov/gozdno-lesni-proizvodi--predelava-in-prodaja-lesa/2021020216112897/mer- jenje-okroglega-lesa/. 35. Žakelj, A. (2003). Kako poučevati matematiko: teoretična zasnova modela in njegova didaktična izpeljava. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 36. Žakelj, A. idr. (2008). Učni načrt. Matematika. Gimnazija: splošna, klasična in strokovna gimnazija. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s http://www. mss.gov.si/fileadmin/mss.gov.si/pageuploads/podrocje/ss/ programi/2008/Gimnazije/UN_MATEMATI- KA_gimn.pdf. 37. Žakelj, A. idr. (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.gov.si/assets/ministrstva/ MIZS/Dokumenti/Osnovna-sola/Ucni-nacrti/obvezni/UN_matematika.pdf. 38. Žakelj, A. (2010). Raznovrstnost pristopov k učenju in poučevanju matematike. V: S. Kmetič, M. Sirnik (ur.), Posodobitve pouka v gimnazijski praksi, str. 59–61. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 39. Žalik, S. (2014). Interdisciplinarni pristop k obravnavi vsebine o času. Razredni pouk, 16 (2-3), str. 109−115. | 73 Razvijamo matematično pismenost Modeliranje iz prakse za prakso mag. Mateja Sirnik in Vesna Vršič, Zavod RS za šolstvo Pri prenovi učnih načrtov in katalogov znanja (leta 2006, 2008, 2011) je bila vsebina matematičnega modeliranja vključena tako na osnovnošolski kot na srednješolski ravni izobraževanja. V tem primeru ne gre za vključevanje novih vsebinskih matematičnih znanj, ampak gre za didaktični pristop, pri katerem preko reševanja problemov poskušamo ugotoviti, kako nam lahko matematika kot orodje pomaga, da rešimo realen problem. Kaj je matematično modeliranje Po Slovarju slovenskega knjižnega jezika je modeliranje: »prenos lastnosti, značilnosti raziskovanega predmeta na podoben predmet, narejen po določenih pravilih«. V našem primeru dodajamo še opis celotnega procesa, ki nas pripelje do tega modela, vključno s preverjanjem ustreznosti in interpretacijo matematičnega modela. Matematično modeliranje lahko opišemo tudi kot proces od realne situacije do matematičnega modela in nazaj. Matematični model običajno ni predmet, ampak matematično teoretični abstraktni konstrukt. V našem primeru bi z modeliranjem radi presegli raven »zapisanega računa in odgovora« po dani besedilni nalogi (Kmetič, 2010). Besedo model običajno uporabimo pri matematiki, da izbran matematični pojem ponazorimo na simbolni ali konkretni ravni, npr. ravnino ponazorimo z listom papirja. Pri pouku matematike uporabljamo in izdelujemo različne modele kot didaktične pripomočke za ponazoritev matematičnih pojmov, npr. modele geometrijskih teles, modele kotov, modele denarja, modele ulomkov. Matematičnega modela pri modeliranju ne razumemo kot ponazoritev matematičnih pojmov z drugimi pojmi (npr. daljico ponazorimo s tanko palico). Matematični model v procesu matematičnega modeliranja je posebna vrsta matematične predstavitve obravnavanega nematematičnega objekta oz. pojava z matematičnim jezikom, npr. premo sorazmerje uporabimo kot model pri nakupovanju, geometrijsko kroglo kot model pri obravnavi žoge (Magajna, 2013). Matematični model je lahko podan kot formula, številski/algebrski izraz, enačba, sistem enačb, funkcijski predpis, graf, diagram, preglednica, geometrijski objekt, stožnica, slika, besedni opis. Magajna (2013, 297) zapiše, da je bistvo matematičnega modeliranja iskanje ali izdelava primerne matematične predstave za obravnavani pojav. Pogoj za modeliranje je seveda predhodna usvojenost matematičnih pojmov in postopkov, ki jih uporabimo pri modeliranju. Ker je matematično znanje učencev v osnovni šoli še precej omejeno, je zato potreben temeljit razmislek, katere dejavnosti matematičnega modeliranja lahko izvedemo z učenci pri pouku. Problemi matematičnega modeliranja morajo biti avtentični, matematika pa nam bo kot orodje omogočila, da bomo problem lahko rešili. Palm (2008) opredeljuje avtentičnost problemov kot »biti realističen« v odnosu do sveta, kar pomeni, da so se situacije resnično zgodile ali pa bi se lahko. Matematično modeliranje je zahtevno na ravni osnovnošolskega izobraževanja, ker je matematično znanje učencev omejeno in posledično težko sami prepoznajo, s katerim matematičnim znanjem bi si lahko pomagali pri reševanju problema. Zato je pomembno, da v procesu načrtovanja dejavnosti matematičnega modeliranja za učence vnaprej pripravimo didaktične korake dejavnosti. Določimo posamezne faze dejavnosti, kako jih bomo izvedli, kakšna navodila bodo dobili učenci, katera vprašanja jim bomo zastavili, katero gradivo in material moramo vnaprej pripraviti, opredelimo, kaj in kakšni so pričakovani dokazi o učenju v posameznih fazah (izdelki, ugotovitve vodenega pogovora). Prikaz celotnega cikla matematičnega modeliranja je prikazan na spodnji sliki, kjer sledimo korakom matematičnega modeliranja, s katerimi se ukvarja učenec, ko rešuje problem. 74 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti »Problem v kontekstu« preoblikujemo v »matematični problem«, tako da opredelimo pomembne matematične pojme in prepoznane odnose v problemski situaciji ter jo matematično opišemo. Problem Prenesemo poenostavimo tako, da nam bo omogočal matematično reševanje. situacijo v Problem predstavimo na matematični način, tako da ga opišemo matematični s količinami, z matematičnimi pojmi, odnosi med njimi, pri tem kontekst uporabimo različne reprezentacije (diagrame, slike …). Poiščemo spremenljivke, ki so pomembne, za katere menimo, da vplivajo na iskanje rešitve. Prepoznamo različne vidike problema in zastavimo različna problemska vprašanja v matematičnem kontekstu. Poiščemo spremenljivke, ki so pomembne, za katere, menimo, da vplivajo na iskanje rešitve. Oblikujemo ustrezne predpostavke, izberemo ustrezne spremenljivke za obravnavani problem. Med Oblikujemo izbranimi spremenljivkami iščemo odnose, uporabimo matematične matematične pojme, postopke, različne prikaze, izvajamo različne strategije, s modele za dano pomočjo katerih iščejo matematične rešitve – matematične modele. situacijo Matematično/-e rešitev/-ve zapišejo v obliki enačbe, formule, sistema enačb, diagrama, preglednice, funkcijskega predpisa, grafa funkcije, stožnice geometrijskih objektov, slike, besednega opisa … Pri reševanju uporabljamo različna orodja. Matematične rešitve/modele opišemo v matematičnem jeziku, predstavimo jih z različnimi reprezentacijami. Uporabljamo Razložimo matematični model nazaj v obravnavani situaciji. Izvedemo matematične določene postopke, izračune na modelu, da bomo lahko presojali o modele ustreznosti modela. V procesu učenja matematičnega modeliranja imamo velikokrat že dane matematične modele in na njih izvedemo proces uporabe. Različne matematične modele primerjamo med seboj in ugotavljamo, kateri je ustreznejši. Ugotavljamo ustreznost modela v različnih Vrednotimo pogojih obravnavanega konteksta. Razložimo, zakaj je posamezen matematične model ustrezen oziroma opišemo njegove pomanjkljivosti in se modele zavedamo njegovih omejitev. V primeru neustreznosti modela/-ov se lotimo oblikovanja novega matematičnega modela. Izdelamo poročilo o Pripravimo poročilo o procesu reševanja in o izbranem/-ih izbranem modelu in matematičnem/-ih modelu/-ih. ga predstavimo Predstavimo, razložimo in zagovarjamo izbrani model, predstavimo, v kakšnih okoliščinah je uporaben in kakšne so njegove omejitve. Zgoraj opisano shemo matematičnega modeliranja si poglejmo na naslednjem primeru, pri katerem so opisani posamezni koraki matematičnega modeliranja in predstavljena didaktična analiza izvedbe v razredu. | 75 Razvijamo matematično pismenost Načrtovanje zelenjavnega vrta V okolici šole (na izbrani lokaciji) bomo postavili zelenjavni vrt. Izdelajte načrt šolskega vrta, ki ga bomo spomladi postavili in zasadili. Načrt naj bo narejen v izbranem merilu z izbranimi posevki. Načrt reševanja Učitelj vodi pogovor, v katerem učenci ozavestijo, kaj je pomembno pri načrtovanju šolskega vrta: • velikost vrta, • povezanost posameznih delov vrta/gred med seboj • oblike in število (visokih) gred, • število in vrste posevkov … Prenesemo Skozi pogovor nastaja tabelska slika z zapisom pomembnih dejavnikov. situacijo v Primeri vprašanj za pogovor z učenci: • Kako velik bo vrt? Kakšne možnosti glede oblike vrta imamo? matematični • Kaj izmerimo na izbrani lokaciji? kontekst • Koliko gred bomo oblikovali, kakšne oblike bodo? • Katere geometrijske oblike lahko uporabimo za obliko vrta in obliko posameznih gred? • Koliko in katere posevke bomo posadili/posejali? Dogovorimo se, da bomo izmerili potrebne podatke za izdelavo načrta na izbrani lokaciji. Pogovorimo se, katere merilne pripomočke potrebujemo. Učenci se v skupinah lotijo reševanja problema. 1. korak (oblikovanje vrta) Izmerijo potrebne podatke na površini, ki jo imamo na razpolago za postavitev vrta. Uporabljajo različne merske instrumente. Z uporabo različnih pripomočkov, npr. palic za lažjo prostorsko predstavo, lahko približno oblikujejo postavitev vrta (posameznih delov) v naravi. Usmerimo jih, da naj bodo pri oblikovanju inovativni in naj uporabijo matematično znanje. Idejno načrtovani vrt v izbranem merilu tudi narišejo na risalni list. Oblikujemo Dokaz o učenju 1. koraka: Narisana oblika vrta v ustreznem merilu. matematične Ko imajo skupine narisan vrt v ustreznem merilu, nadaljujejo: modele za dano 2. korak (oblikovanje gred in razporeditev posevkov) situacijo Učenci na narisani načrt vrta ustrezno razporedijo izbrane posevke. Primeri vprašanj za učence: • Koliko gred bomo oblikovali? • Kakšne oblike bodo grede? • Koliko in katere posevke bomo imeli? • Kako bomo posevke razporedili po vrtu? Dokaz o učenju 2. koraka: Narisani načrt vrta z gredami in z razporeditvijo posevkov (lahko z legendo). Učenci poskušajo ozavestiti s svojimi besedami (zapisati), kaj so pri načrtovanju predpostavili, poenostavili, da so s svojim matematičnim znanjem lahko rešili nalogo. 76 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Učencem lahko zastavimo nalogo: Babica se je odločila, da bo postavila zelenjavni vrt v obliki, kot prikazuje spodnja slika. V 10−15 povedih opiši babičin vrt tako, da bo dedek vedel, kako postaviti in zasaditi vrt, ne da bi pogledal načrt. Uporabljamo matematične modele 2 m Slika 34: Primer načrta za vrt. Vrednotimo Vsaka skupina predstavi svoje reševanje in svoj načrt zelenjavnega vrta matematične − matematični model. modele Drugi učenci poskušajo ovrednotiti predstavljeno rešitev, kaj se jim zdi primerno in kaj ne. Vprašanja za druge učence: • Ali je rešitev za naš prostor primerna? • Kaj nam ustreza? Kaj bi spremenili? Na koncu sledi predstavitev, zastavimo jim vprašanje: Ali je katera od rešitev posebna, primernejša in zakaj? Kateri načrt vrta bi si izbrali? Ob zaključku dejavnosti izvedemo evalvacijo, tako da učencem Izdelamo poročilo o zastavimo vprašanji: izbranem modelu in • Katero matematično znanje ste uporabili? ga predstavimo • Kako ste se počuti pri načrtovanju vrta? | 77 Razvijamo matematično pismenost Dejavnost lahko nadgradimo z elementi finančne pismenosti: Kolikšni bodo stroški izdelave izbranega zelenjavnega vrta? Primer matematičnega modeliranja, pri katerem kot matematični model uporabljamo premo sorazmerje, je npr. naslednja naloga, pri kateri gre za vrednotenje danega modela prodaje rogljičkov in izdelavo ustreznejšega modela. Prodaja rogljičkov Luka je na počitnicah v znani lokalni slaščičarni večkrat kupil rogljičke po ceni 0,80 € na kos. Pred prodajalno stoji reklamni pano z napisano Izjemna ponudba: ponudbo. Če bi bil ti slaščičar, bi tudi objavil tako ponudbo? Utemelji. Predlagaj slaščičarju 3-je rogljicki po ceni 1,99 € svojo objavo in razloži, zakaj je primernejša. 5 rogljickov po ceni 3,99 € 10 rogljickov po ceni 6,99 € Slika 35: Izjemna ponudba za prodajo rogljičkov Model je podan opisno. Naloga učencev/dijakov je, da prepoznajo premo sorazmerje kot matematični model za prodajo rogljičkov oz. različnih izdelkov. V danem primeru obravnavajo najustreznejšo ponudbo za nakup oz. prodajo rogljičkov, seveda ob tem razmišljajo o predpostavljenem – koliko rogljičkov bodo kupili in koliko bi jih kot slaščičarji radi prodali. Glede na ugotovljene pomanjkljivosti danega modela učenci/dijaki za slaščičarja izdelajo ustreznejši model. Začetno izhodišče za pripravo dejavnosti matematičnega modeliranja so nam lahko naloge iz učbenikov za pouk matematike. Poglejmo nalogo iz i-učbenika Matematika 4 (https://eucbeniki.sio.si/mat4/669/index8.html). Potovalni načrt Lena se je s sošolci dogo- vorila za kolesarski izlet po vzhodni Sloveniji. Našla je primerno turo, s startom in ciljem v Mariboru in so- šolcem pripravila potoval- ni zemljevid. Načrtovala je 3-dnevno kolesarjenje. Ko- liko kilometrov morajo pre- kolesariti na dan? Pomagaj Leni narediti načrt za preno- čevanja, ki so možna v ozna- čenih krajih (modra pika na zemljevidu), da bo dnevno Slika 36: Potovalni zemljevid kolesarjenje v vseh treh dneh približno enako dolgo. 78 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti V nalogi je predpostavljeno, da bodo kolesarili 3 dni, da bodo vsak dan prekolesarili približno enako kilometrov. Naloga sprašuje po številu kilometrov, ki jih morajo vsak dan prekolesariti. Gre za reševanje odprte naloge, ki ima lahko več rešitev. Za nadgradnjo naloge v primeru matematičnega modeliranja bi v nalogi lahko izpustili podatka: število dni kolesarjenja in približno enako število prevoženih kilometrov vsak dan. Nalogo bi preoblikovali na naslednji način: Naredite načrt prenočevanja za kolesarski izlet po vzhodni Sloveniji. Lena je narisala pot, ki bi jo s sošolci rada prekolesarila. Prenočevanje je možno v označenih krajih. Načrtujte čas kolesarjenja, prenočišča, prehrano, pijačo in možne oglede znamenitosti krajev za sprejemljivo ceno kolesarskega izleta. Opomba: Za učence, ki že imajo nekaj izkušenj z dejavnostmi matematičnega modeliranja, lahko podatek o možnih krajih prenočevanja izpustimo ali pa to vključimo v naše skupne predpostavke − dogovore na začetku reševanja naloge. Pri ukvarjanju z matematičnim modeliranjem velikokrat uporabljamo različna matematična in tehnološka orodja, zato načrtujmo pouk tako, da se učenci z uporabo različnih orodij srečujejo že v fazi učenja novih matematičnih znanj in tudi na drugih predmetnih področjih ter jih ne uporabljajo prvič pri reševanju odprtih avtentičnih problemov. V predstavljenem primeru se lahko povežemo z učiteljem geografije, v okviru katere lahko vključimo znamenitosti vzhodne Slovenije, merjenje razdalje med kraji z uporabo računalniških aplikacij … V raziskavi PISA 2012 so učenci reševali naslednjo nalogo (Šterman Ivančič, 2013). Številčnost populacije pingvinov Fotograf živalskega sveta Jean Baptiste je odšel na enoletno odpravo ter posnel številne fotografije pingvinov in njihovih mladičev. Zanimalo ga je predvsem povečevanje velikosti kolonij različnih pingvinov. Pingvinji par po navadi izleže dve jajci na leto. Običajno preživi le mladič, ki se izvali iz večjega od obeh jajc. Jeana zanima, kako se bo velikost določene kolonije pingvinov spreminjala v naslednjih letih. Da bi lahko to ugotovil, si zapiše naslednje domneve: • Na začetku leta je v koloniji 10 000 pingvinov (5 000 parov). • Vsak par pingvinov vzgoji vsako pomlad po enega mladiča. • Na leto v koloniji pogine 20 % pingvinov (odraslih in mladičev). • Eno leto stari pingvini bodo prav tako vzgojili mladiče. Koliko pingvinov (odraslih in mladičev) bo ob koncu prvega leta v tej koloniji? Pri pouku si zastavimo vprašanje: Kako bi ugotovili število pingvinov po več letih? Pri tej nalogi lahko izkoristimo znanje elektronskih preglednic, ki ga učenci usvojijo pri obdelavi podatkov. Izdelajo si preglednico, v kateri lahko simulirajo napoved števila pingvinov za naslednja leta. Učence naučimo, kako iz podatkov za prvo leto razširimo podatke v preglednici za drugo leto in tako naprej. Gre za uporabo tako imenovanega simulacijskega pristopa pri matematičnemu modeliranju, ki ga lahko učenci uporabljajo v osnovni in srednji šoli. | 79 Razvijamo matematično pismenost Preglednica 1: Število pingvinov v koloniji pingvinov Število odraslih Število pingvinov Leto pingvinov Število mladičev Število poginulih na koncu leta 1. 10.000 5.000 3.000 12.000 2. 12.000 6.000 3.600 14.400 3. 14.400 7.200 4.320 17.280 4. 17.280 8.640 5.184 20.736 5. 20.736 10.368 6.220,8 24.883,2 6. 24.883,2 12.441,6 7.464,96 29.859,84 7. 29.859,84 14.929,92 8.957,952 35.831,808 8. 35.831,808 17.915,904 10.749,5424 42.998,1696 9. 42.998,1696 21.499,0848 12.899,45088 51.597,80352 10. 51.597,80352 25.798,90176 15.479,34106 61.917,36422 11. 61.917,36422 30.958,68211 18.575,20927 74.300,83707 12. 74.300,83707 37.150,41853 22.290,25112 89.161,00448 Preglednica prikazuje simulacijo z elektronskimi preglednicami, kjer moramo biti pozorni pri interpretaciji dobljenih podatkov, ker je število živali lahko le naravno število in ne decimalno število. V srednji šoli dijaki lahko tudi zapišejo formulo, ki opisuje število pingvinov glede na napovedi po n letih: P(n) = 10000 ∙ (1,5 ∙ 0,8) n Število pingvinov po n letih lahko prikažemo tudi grafično. Pomembno je, da se z učenci pogovarjamo o dobljenih rezultatih številčnosti populacije pingvinov, kako je z veljavnostjo dobljenih rezultatov in kako se v realnosti običajno številčno spreminjajo populacije posameznih živalskih vrst. Bolj odprto nalogo pri raziskovanju števila populacije lahko rešujemo v srednješolskih programih: Na različnih spletnih straneh poišči podatke o številu prebivalstva na Zemlji in v Evropi. V pomoč sta ti lahko naslednji spletni strani: https://www.statista.com/statistics/997040/world-population-by-continent-1950-2020/ https://www.stat.si/StatWeb/News/Index/9566 Poišči svoj matematični model, po katerem bi napovedal število prebivalstva na Zemlji in v Evropi do konca stoletja. Z matematičnim znanjem o funkcijah lahko poiščemo več matematičnih modelov, ki jih lahko vrednotimo in primerjamo med seboj. 80 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Uporaba danih modelov Pri izdelavi modela je velikokrat problem še omejeno matematično znanje, zato pri pouku matematike predvsem v osnovni šoli uporabljamo že dane modele, ki jih lahko opišemo, pri katerih lahko razberemo spremenljivke, funkcijske zveze, jih predstavimo z različnimi matematičnimi reprezentacijami, uporabimo matematični model na danih podatkih, iščemo območje veljavnosti, primerjamo različne modele med seboj. Kot primer si poglejmo nalogo iz raziskave TIMSS 2015 (Japelj Pavešić, 2016): Z zgornjim izrazom izračunamo temperaturo T °C v kraju na nadmorski višini y metrov, ko je temperatura ob morski gladini x °C. Kolikšna je temperatura na vrhu 2 000 m visoke gore, če je temperatura ob morski gladini 21 °C? Odgovor: °C Matematični kontekst naloge je umeščen v algebro – izrazi in operacije. Nalogo je pravilno rešilo 14,1 % osmošolcev, medtem ko je za primerjavo naslednjo nalogo iz algebrskih vsebin na raziskavi TIMSS 2015 pravilno rešilo 47,7 % osmošolcev: a = 5 in b = 2 Koliko je a 2 b – 3( a – b)? Odgovor: Iz uspešnosti reševanja učencev je razvidno, da znajo učenci uporabljati pravila za računanje z algebrskimi izrazi, težava pa nastopi pri uporabi tega znanja v nematematičnem kontekstu, kot je v tem primeru pri razumevanju in uporabi formule za računanje temperature na poljubni nadmorski višini. Iz uspešnosti reševanja obeh nalog sledi sporočilo, kako pomembno je vključevanje in osmišljanje matematike pri pouku v vsakodnevnih življenjskih kontekstih. Poglejmo predloge za nadgradnjo naloge pri pouku matematike. Temperatura ob morski gladini je 21 °C. • Koliko stopinj je po danem modelu na vrhu Triglava in koliko v tvojem domačem kraju? • Nariši graf, ki prikazuje spreminjanje temperature v odvisnosti od nadmorske višine. • Na kateri nadmorski višini je 0 °C? Izmeri temperaturo v svojem kraju in po danem izrazu izračunaj temperaturo ob morju. Temperaturo ob morski gladini poišči še med vremenskimi podatki ter primerjaj izračunano in najdeno temperaturo. Kaj ugotoviš? | 81 Razvijamo matematično pismenost Za načrtno uvajanje primerov matematičnega modeliranja v pouk matematike predlagamo, da si učitelj oz. aktiv učiteljev matematike naredi nabor primerov, ki bi jih lahko v posameznem razredu izvedel z učenci. Te primere bi smiselno razporedili po vertikali in jih zapisali v izvedbeni kurikul šole za razvijanje matematične pismenosti. Viri in literatura 1. Fran (b. d.). Slovar slovenskega knjižnega jezika. Pridobljeno s www.fran.si. 2. Repež, M., Drobnič Vidic, A., Štraus, M. (ur.). (2008). PISA 2006: izhodišča merjenja matematične pismenosti v raziskavi PISA 2006. Ljubljana: Nacionalni center PISA, Pedagoški inštitut. Pridobljeno s https:// www.pei.si/wp-content/uploads/2018/12/PISA2006_Izhodisca_Matematicna_pismenost.pdf. 3. Sirnik, M. (2019). Predstavitev 2. gradnika matematične pismenosti (predmetna stopnja in srednja šola). Gradivo izobraževanja članov RVIZ in IVIZ v projektu NA-MA POTI, [Elektronski vir]. Gradivo objavljeno v spletni učilnici PRO-projekt NA-MA POTI https://skupnost.sio.si/course/view.php?id=9413. 4. Sirnik, M., Vršič, V. (2021). Od reševanja matematičnega problema do modeliranja. Gradivo izobraževanja članov RVIZ in IVIZ v projektu NA-MA POTI. [Elektronski vir]. Gradivo objavljeno v spletni učilnici PRO-projekt NA-MA POTI https://skupnost.sio.si/course/view.php?id=9413. 5. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Fras Bero, F. idr. (2019). Matematična pismenost. Delovno gradivo razvojnega tima za matematično pismenost v projektu NA-MA POTI. Pridobljeno s https://www.zrss.si/wp-content/uploads/2021/11/2021-11-15-Gradniki-matema- ticna-pismenost_07_07_2021.pdf. 6. Šterman Ivančič, K. (2013). Izhodišča merjenja matematične pismenosti v raziskavi PISA 2012 s primeri nalog. Strokovna monografija. Ljubljana: Pedagoški inštitut. 7. Vršič, V. (2019). Predstavitev 2. gradnika matematične pismenosti (za vrtce in razredni pouk). Gradivo izobraževanja članov RVIZ in IVIZ v projektu NA-MA POT, [Elektronski vir]. Gradivo objavljeno v spletni učilnici PRO-projekt NA-MA POTI https://skupnost.sio.si/course/view.php?id=9413. 8. Žakelj, A. idr. (2008). Učni načrt. Matematika. Gimnazija: splošna, klasična in strokovna gimnazija. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s http://www.mss.gov.si/fileadmin/mss.gov.si/pageuploads/podrocje/ss/programi/2008/Gimnazije/ UN_MATEMATIKA_gimn.pdf. 9. Žakelj, A. idr. (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika, [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.gov.si/assets/ministrstva/ MIZS/Dokumenti/Osnovna-sola/Ucni-nacrti/obvezni/UN_matematika.pdf. 10. Kmetič, S. (2011). Razvoj in spremljanje procesa modeliranja v Posodobitve pouka v osnovnošolski praksi, matematika. Ljubljana: ZRSŠ. 11. Magajna, Z. (2013). Matematično modeliranje v osnovni šoli v Posodobitve pouka v osnovnošoslki praksi, matematika. Ljubljana: ZRSŠ. 12. Repnik A., Ferk E. idr. (2016). Matematika 4, i-učbenik. [Elektronski vir]. Pridobljeno s https://eucbeniki. sio.si/mat4/index.html. 13. Japelj Pavešić, B. (2016). Znanje matematike in naravoslovja med osmošolci v Sloveniji in po svetu: iz-sledki raziskave TIMSS 2015. Ljubljana: Pedagoški inštitut, http://timsspei.splet.arnes.si/files/2016/11/ T15-tretja-osmosolci.pdf. 82 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Naloge na splošni maturi skozi gradnike matematične pismenosti Simona Vreš, Gimnazija Ravne na Koroškem Pregledala sem naloge, ki so bile del maturitetnega izpita na splošni maturi zadnjih 10 let z namenom, da jih uporabim oziroma nadgradim v dejavnosti razvijanja gradnikov matematične pismenosti. Naredila sem izbor petih nalog, ki bi tako lahko pokrivale prvi in drugi gradnik matematične pismenosti. Naloge so reševali dijaki v 2. in 4. letniku, eno izmed nalog pa sem uporabila tudi na pisnem ocenjevanju znanja v 2. letniku. Učitelj lahko izvede dejavnost kot ponavljajočo se krajšo dejavnost (pri redni uri uporabi eno nalogo, ki se nanaša na obravnavano vsebino) ali kot dejavnost, namenjeno utrjevanju snovi ali pripravi na maturo. Znotraj interpretacije vsake naloge podajam predloge za nadgradnjo za razvijanje elementov matematične pismenosti pri pouku. 1. Splošna matura 26. avgusta 2019, naloga 5 Bazen začnemo polniti z vodo. Ob začetku polnjenja je voda v bazenu že segala do določene višine. Višina vode se povečuje linearno s časom. Na sliki je graf funkcije f, ki prikazuje spreminjanje višine vode h v bazenu v odvisnosti od časa t. Odgovorite na spodnja vprašanja. Višino vode merimo v metrih, čas pa v minutah. Kolikšna je bila višina vode v bazenu ob začetku polnjenja? [R: 0,5 m] Kolikšna je bila višina vode v bazenu eno uro po začetku polnjenja? [R: 1,7 m] Za koliko se je povečala višina vode v bazenu vsakih 15 minut? [R: 0,3 m] Zapišite predpis funkcije f. [R: f( t) = 0,02 t + 0,5] | 83 Razvijamo matematično pismenost V nalogi gre za uporabo znanja linearne funkcije v situaciji, ki se lahko pojavi v osebnem ali strokovnem kontekstu. Podan je linearni model za polnjenje bazena, in sicer z grafično reprezentacijo. Grafično predstavljenemu modelu morajo dijaki zapisati funkcijski predpis (MP2.2.3: uporabljajo matematične modele). Prva tri vprašanja preverjajo razumevanje danega modela. Po teh vprašanjih lahko nalogo nadgradimo z dejavnostjo: Opiši z besedami, kako se polni bazen. 2. Splošna matura 9. junija 2018, naloga 12 Kurilno olje je mogoče naročiti v trgovini A ali v trgovini B. Doplačati je treba tudi prevoz. Cene za liter olja in za prevoz so podane v spodnji preglednici. Cena prevoza je v obeh trgovinah neodvisna od količine kupljenega olja in od razdalje. Trgovina A Trgovina B Cena za liter olja 0,811 € 0,795 € Cena prevoza 36 € 51 € Jure ima posodo za kurilno olje v obliki kvadra. Široka je 8 dm, dolga 17 dm in visoka 12,5 dm. Jure je izmeril, da olje v posodi sega do višine 3 dm. Dokupil bo toliko olja, da bo posoda polna do vrha. V kateri od trgovin, A ali B, bo Jure kupil kurilno olje, da bo za olje s prevozom plačal manj? Koliko bo plačal? Zapišite odgovor. [R: 1292 l, trgovina B, 1078,14 €] Pri kateri količini olja bo za olje in prevoz skupaj plačal v obeh trgovinah enako? V kateri trgovini bo nakup olja cenejši za večje in v kateri za manjše količine olja? [R: 937,5 €, manjše A, večje B.] V nalogi sta podani dve ponudbi oziroma dva modela, po katerih lahko naročimo kurilno olje. Učenci uporabijo dana modela (MP2.2.3) in ju vrednotijo (MP2.2.4). Nalogo bi lahko reševali tudi učenci v 9. razredu pri vsebini linearne enačbe. Nadgradimo jo lahko z uporabo računalniških preglednic, pri katerih učenci opazujejo, kako se spreminjajo cene kurilnega olja. Računalniško predlogo lahko pripravi učitelj, lahko pa jo naredijo učenci. 84 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Preglednica 2: Primer računalniške preglednice za simulacijo cen Olje (l) Trgovina A Trgovina B 100 117,10 € 130,50 € 200 198,20 € 210,00 € 300 279,30 € 289,50 € 400 360,40 € 369,00 € 500 441,50 € 448,50 € 600 522,60 € 528,00 € 700 603,70 € 607,50 € 800 684,80 € 687,00 € 900 765,90 € 766,50 € 1000 847,00 € 846,00 € 1100 928,10 € 925,50 € 1200 1.009,20 € 1.005,00 € 1300 1.090,30 € 1.084,50 € 1400 1.171,40 € 1.164,00 € 1500 1.252,50 € 1.243,50 € 1600 1.333,60 € 1.323,00 € 1700 1.414,70 € 1.402,50 € 1800 1.495,80 € 1.482,00 € 1900 1.576,90 € 1.561,50 € 2000 1.658,00 € 1.641,00 € Nadgradnja naloge v primer matematičnega modeliranja, ko dijaki sami oblikujejo in vrednotijo matematične modele: Naročiti moramo 1500 litrov kurilnega olja. Poišči dva ponudnika in izberi najugodnejšo ponudbo. 3. Splošna matura 25. avgusta 2021, naloga 11 Ceno puloverja so znižali za 20 %, a ker ni šel v prodajo, so ga pocenili še za 30 %. Po drugi pocenitvi ga je Jan kupil in zanj plačal 30,24 €. Odgovori v povedih na spodnja vprašanja. a) Koliko odstotkov prvotne cene puloverja je Jan plačal? [R: 56 %] b) Kolikšna je bila začetna cena puloverja? [R: 54 €] c) Kolikšna je bila cena puloverja neposredno pred drugim znižanjem? [R: 43,20 €] Na srednješolski stopnji izobraževanja lahko rečemo, da naloga preverja proceduralna znanja v nematematičnem kontekstu – v življenjski situaciji (MP1.5: pozna in v različnih okoliščinah uporablja ustrezne postopke in orodja). Za matematično pismenega posameznika je pomembno, da zna uporabljati matematične postopke, v tem primeru računanje z odstotki, v različnih življenjskih situacijah. | 85 Razvijamo matematično pismenost Če bi nalogo uporabili v osnovnošolskem izobraževanju, lahko rečemo, da gre za reševanje problemov v raznolikih kontekstih, ki omogočajo matematično obravnavo (MP 2.1). Problem lahko z učenci izrazimo v matematičnem jeziku, tako da si npr. narišemo spodnjo shemo: pred obema pocenitvama po prvi pocenitvi -20% -30% 30,24€ 4. Splošna matura 25. avgusta 2016, naloga 4 Zveza med Fahrenheitovo lestvico [°F] in Celzijevo lestvico [°C] je formula . a) Koliko °F je pri 37 °C? [R: 98,6] b) Koliko °C je pri 59 °F? [R: 15] c) Pri kateri temperaturi kažeta oba termometra enako vrednost? [R: –40] V nalogi je podan matematični model, ki s formulo opisuje zvezo med dvema različnima temperaturnima lestvicama. Z navedenimi vprašanji preverjamo razumevanje in uporabo formule. Dijake bi lahko še vprašali: Poznate še katero temperaturno lestvico? Zapišite zvezo med njo in Celzijevo lestvico. 5. Splošna matura 25. avgusta 2015, naloga 12 Po vzponu na vrh Triglava (nadmorska višina 2864 m) se nam v lepem vremenu odpre čudovit razgled. a) Pod kotom 67°11‘ vidimo planinski dom Planika, ki je od vrha Triglava oddaljen 1194 m. Izračunaj nadmorsko višino planinskega doma Planika. Rezultat zaokroži na metre. b) Na zemljevidu, ki je narisan v merilu 1 : 50.000, je razdalja med vrhom Triglava in vrhom Stola (nadmorska višina 2236 m) 50,7 cm. Na meter natančno izračunaj, koliko sta vrh Triglava in vrh Stola oddaljena drug od drugega v naravi. V nalogi gre za uporabo znanja geometrije v življenjski situaciji. Večkrat v naravi ocenjujemo razdalje med objekti ali poskušamo ugotoviti, koliko so oddaljeni od nas. Izračune lahko preverimo z uporabo različnih aplikacij – elektorskih zemljevidov. Na srednješolski ravni gre za podgradnik MP1.5: pozna in v različnih okoliščinah uporablja ustrezne postopke in orodja. 86 | Strokovna izhodišča o razvijanju matematične pismenosti Viri in literatura: 1. https://www.ric.si/splosna-matura/predmeti/matematika/ | 87 II. Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Razvijamo matematično pismenost Razvrščanje po eni in dveh lastnostih Denis Markežič, Vrtec pri OŠ Istrskega odreda Gračišče Veronika Zadel, Vrtec pri OŠ Istrskega odreda Gračišče Strokovni delavci v vrtcu se zavedamo, da otroci dojemajo in razumejo svet celostno ter da se razvijajo in učijo v interakciji z odraslimi in vrstniki. Pri delu sledimo ciljem in načelom Kurikuluma za vrtce. Skrbimo, da »na ravni predšolske vzgoje omogočimo otrokom pridobivanje nekaterih osnovnih izkušenj (znanj) v zvezi z njenimi najbolj splošno veljavnimi in uporabnimi idejami oz. koncepti«, da spodbujamo ter navajamo otroke na uporabo različnih strategij in pripomočkov pri iskanju odgovorov in na verbalizacijo in druge načine izražanja (Kurikulum za vrtce, 2010, str. 9). Kurikulum za vrtce opredeljuje dejavnosti po posameznih področjih in med njimi sta tudi področji gibanje in matematika, katerih cilje smo načrtovali pri naših dejavnostih. Dejavnosti smo izvajali z otroki drugega starostnega obdobja, starih 4–6 let. Dejavnost je bila izvedena v dveh delih. Z dejavnostjo smo uresničevali naslednje operativne cilje (vsebinske, procesne): • otrok spoznava lastnosti svojega telesa, • otrok pravilno prepozna dane lastnosti, • otrok pravilno klasificira in razvršča glede na dane lastnosti. Zajeli smo gradnike matematične pismenosti: 1.1 razume sporočila z matematično vsebino • 1.1 a) (sprejema) razume enostavna ustna, grafična sporočila z matematično vsebino • 1.1 b) povzema sporočilo z matematično vsebino in odgovarja na vprašanja 1.2 pozna in uporablja strokovno terminologijo in simboliko • 1.2 a) v sporočilu prepozna strokovno terminologijo ter razume njen pomen 1.5 pozna in v različnih okoliščinah uporablja ustrezne postopke in orodja • 1.5 a) uporablja uspešne postopke pri igri in reševanju preprostih matematičnih nalog 90 | Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Potek dejavnosti Aktivnost otrok Podgradniki Vloga vzgojitelja Pričakovani rezultati/dokazila a) Opazovanje Otroci opazujejo svoje telo in oblačila ter telo in oblačila drugih MP1.1 a Vzgojitelj postavlja vprašanja, ki vodijo otroke v opazovanje podobnosti Naštevanje različnih lastnosti. otrok. Med seboj iščejo podobnosti in razlike ter naštejejo in razlik na njihovem telesu in oblačilih ter telesu in oblačilih drugih različne lastnosti, ki jih opazijo (npr. barva oči, dolžina las itd.). MP1.1 b otrok. b) Prepoznavanje ene lastnosti Otroci se igrajo igro Določi lastnost, pri kateri na glasbo tekajo po MP1.1 a Vzgojitelj pove pravila igre Določi lastnost. Izkazovanje prepoznanih lastnosti prostoru. Vzgojitelj predvaja glasbo pribl. eno minuto in po tem določi lastnost. na sebi z ustreznim gibom v igri. Ko se glasba ustavi, pozorno poslušajo vzgojiteljico. Ta jim pove, MP1.2 a To večkrat ponovi in vsakič določi drugo lastnost. katero lastnost morajo prepoznati na sebi in kako pokažejo, ali Vzgojitelj vsakič preveri, ali so otroci ustrezno upoštevali lastnost. imajo to lastnost: MP1.5 a • Tisti otroci, ki imajo … se uležejo na tla, drugi mirujejo (izberemo eno izmed lastnosti lastnost, ki so jo našteli otroci). • Tisti otroci, ki imajo dolge lase, dvignejo roko, drugi mirujejo. • Tisti otroci, ki imajo kratke lase, se primejo za roke, drugi mirujejo. • … c) Prepoznavanje dveh lastnosti Otroci se igrajo igro Določi lastnost, pri kateri na glasbo tekajo po MP1.1 a Vzgojitelj pove pravila igre Določi lastnost. Izkazovanje prepoznanih dveh prostoru. Vzgojitelj predvaja glasbo pribl. eno minuto in po tem določi lastnosti lastnosti na sebi z ustrezno Ko se glasba ustavi, pozorno poslušajo vzgojiteljico. Ta jim pove, razvrščanja. To večkrat ponovi in vsakič določi drugi dve lastnosti. razvrstitvijo ali gibom v igri. MP1.2 a kateri dve lastnosti morajo prepoznati na sebi in kako pokažejo, Vzgojitelj vsakič preveri, ali so otroci ustrezno upoštevali lastnosti in se ali imajo ti lastnosti. uspešno razvrstili. • Tisti otroci, ki imajo … in …, dvignejo nogo (določimo dve MP1.5 a lastnosti, ki so jih našteli otroci). • Tisti otroci, ki imajo dolge lase in so deklice, se postavijo k umivalniku. • Tisti otroci, ki imajo kratke lase in so dečki, poskočijo. • Tisti otroci, ki imajo kratke lase in so deklice, naj stopijo k meni. • … | 91 Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Aktivnost otrok Podgradniki Vloga vzgojitelja Pričakovani rezultati/dokazila č) Razvrščanje po eni lastnosti Otroci opazujejo parne piktograme in povedo, kaj prikazujejo: MP1.1 b Vzgojitelj pokaže otrokom parne piktograme (priloga P1) in jih Izkazovanje razumevanja pomena • dolgi lasje, kratki lasje; sprašuje, kaj prikazujejo. parnih piktogramov z opisom • temni lasje, svetli lasje; (verbalizacija). • lasje, speti v čop, prosto spuščeni lasje; • majica s kratkimi rokavi, majica z dolgimi rokavi; MP1.2 b Vzgojitelj pove nova pravila igre Določi lastnost. Razumevanje postopka • deček, deklica; Vzgojitelj predvaja glasbo pribl. eno minuto. Med predvajanjem glasbe razvrščanja s pravilno razvrstitvijo • … na dve mizi postavi po en piktogram (npr. piktogram dolgi lasje na eno k mizi s piktogramom lastnosti, Otroci se igrajo igro Določi lastnost z novimi pravili, pri kateri ob mizo, piktogram kratki lasje na drugo mizo). To večkrat ponovi in vsakič prepoznane na sebi. MP1.5 a glasbi tekajo po prostoru. določi drugo lastnost. Vzgojitelj vsakič preveri, ali so se otroci ustrezno razvrstili. Ko se glasba ustavi, se razvrstijo k ustrezni mizi s piktogramom. d) Razvrščanje po dveh lastnostih Otroci opazujejo piktograme in povedo, kaj prikazujejo: MP1.1 b Vzgojitelj pokaže otrokom piktograme (priloga P1) in jih sprašuje, kaj Izkazovanje razumevanja pomena • deček in kratki lasje/deček in dolgi lasje, deklica in kratki prikazujejo. lastnosti na dveh piktogramih, ki lasje/deklica in dolgi lasje; MP1.2 b sta položena skupaj (verbalizacija). • deček in temni lasje/deček in svetli lasje, deklica in temni lasje/deklica in svetli lasje; • deček in lasje, speti v čop/deček in prosto spuščeni lasje, deklica in lasje, speti v čop/deklica in prosto spuščeni lasje; • deček in majica s kratkimi rokavi/deček in majica z dolgimi rokavi, deklica in majica s kratkimi rokavi/deklica in majica z dolgimi rokavi; Vzgojitelj pove nova pravila igre Določi lastnost. Razumevanje postopka razvrščanja • dolgi lasje in majica s kratkimi rokavi/dolgi lasje in majica z Vzgojitelj predvaja glasbo pribl. eno minuto. Med predvajanjem glasbe izkažejo s pravilno razvrstitvijo k dolgimi rokavi, kratki lasje in majica s kratkimi rokavi/kratki na štiri mize postavi piktograme (npr. piktograma deček in kratki lasje mizi z dvema piktogramoma in lasje in majica z dolgimi rokavi; na eno mizo, deček in dolgi lasje na drugo mizo, deklica in kratki lasje prepoznanima lastnostma na sebi. • … na tretjo mizo ter deklica in dolgi lasje na četrto mizo). To večkrat Otroci se igrajo igro Določi lastnost z novimi pravili, pri kateri na ponovi in vsakič določi druge lastnosti. glasbo tekajo po prostoru. Vzgojitelj vsakič preveri, ali so se otroci ustrezno razvrstili. Ko se glasba ustavi, se razvrstijo k ustrezni mizi z ustreznima MP1.5 a piktogramoma. | 92 Razvijamo matematično pismenost | Priloga: P1 – Učni list Piktogrami | 93 Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost Izvedba Izvajalci: VIZ: Datum: Veronika Zadel, Vrtec pri OŠ Istrskega odreda Gračišče 17. 10. 2018, Denis Markežič, Karmen Petrović 24. 10. 2018 Evalvacija, refleksija vzgojiteljic Prvi del dejavnosti, 17. 10. 2018 – izvajalka Veronika Zadel Otroci so pri opazovanju svojih teles in oblačil ter telesa in oblačil drugih otrok našteli naslednje podobnosti/razlike oziroma lastnosti: lasje (kodrasti, dolgi), copati (črne barve, roza barve, različnih številk oziroma velikosti), koža oziroma polt (temnejša, svetlejša), oči, dolžina nohtov. Po naštevanju razlik je eden izmed otrok, brez dodatnih vprašanj, našel dve podobnosti, in sicer dve deklici z enakim imenom in dve deklici z enakim priimkom. Pri prepoznavanju ene lastnosti sem uporabila naslednje ideje: tisti otroci, ki imajo roza copate, se uležejo na tla, drugi mirujejo; tisti otroci, ki imajo dolge lase, dvignejo roko, drugi mirujejo; tisti otroci, ki imajo kratke lase, se primejo za roke, drugi mirujejo; dečki stojijo na eni nogi, deklice počepnejo. Vsi otroci so prepoznali eno lastnost na sebi in izvedli določen gib. Če bi dejavnost znova izvajala, bi pri določanju lastnosti vedno uporabila zadnji način, npr.: tisti otroci, ki imajo dolge lase, dvignejo roko in tisti otroci, ki imajo kratke lase, dvignejo nogo. Torej, da drugi otroci ne mirujejo. Pri prepoznavanju dveh lastnosti sem uporabila naslednje ideje: tisti otroci, ki imajo majico s kratkimi rokavi in so dečki, dvignejo nogo, drugi mirujejo; tisti otroci, ki imajo dolge lase in so deklice, se postavijo k umivalniku, drugi mirujejo; tisti otroci, ki imajo kratke lase in so deklice, naj stopijo k meni, drugi mirujejo; tisti otroci, ki imajo hlače brez vzorca in so deklice, poskočijo, drugi mirujejo; tisti otroci, ki imajo črne copate in copate na ježka, se postavijo k vratom, drugi mirujejo. Mlajši otroci so imeli pri prepoznavanju dveh lastnosti nekoliko težav ter so potrebovali dodatne usmeritve, saj je bilo preveč informacij naenkrat. Pri ponovnem izvajanju dejavnosti bi pri določanju lastnosti ravno tako spremenila to, da drugi otroci ne mirujejo, ampak bi tudi njim določila lastnosti in gib. Slika 37: Otroci, ki imajo dolge Slika 38: Otroci, ki imajo roza copate, Slika 39: Otroci, ki imajo kratke lase, dvignejo roko. se uležejo. lase, se primejo za roke. 94 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Drugi del dejavnosti, 24. 10. 2018 – izvajalka Denis Markežič Otroci so imeli pri poimenovanju (opisu) piktogramov sprva težave, saj so npr. poleg dolgih las povedali še, da je deklica ali deček, ter niso znali razložiti, zakaj. Nato sem jim pokazala piktograma deček in deklica ter jim povedala, da se morajo pri drugih znakih oziroma piktogramih osredotočiti na druge lastnosti, saj imata deček in deklica že svoj znak oziroma piktogram. V nadaljevanju otroci niso imeli več težav pri poimenovanju piktogramov, razen pri piktogramu lasje, speti v čop, pri katerem so rekli, da je to kapa. Ko sem jih usmerila, naj bolje pogledajo in primerjajo s parnim piktogramom Slika 40: Prepoznavanje lastnosti. spuščeni lasje, so ugotovili, da gre za spete lase v čop. Najhitreje so prepoznali piktograma majica s kratkimi rokavi in majica z dolgimi rokavi ter piktograma deklica in deček. Pri razvrščanju po eni lastnosti sem uporabila vse zgoraj naštete ideje. Otroci pri razvrščanju po eni lastnosti niso imeli nobenih težav, saj so se razvrstili k ustrezni mizi. Pri poimenovanju dveh piktogramov skupaj otroci niso imeli težav. Za piktograme, ki smo jih pokazali, upoštevajoč dve lastnosti, so otroci sami povedali, kako se bodo morali razvrstiti. Pri razvrščanju po dveh lastnostih sem uporabila naslednje ideje: deček in kratki lasje/deček in dolgi lasje, deklica Slika 41: Razvrščanje po eni lastnosti s pomočjo pikto-in kratki lasje/deklica in dolgi lasje ter deček in grama. majica s kratkimi rokavi/deček in majica z dolgimi rokavi, deklica in majica s kratkimi rokavi/deklica in majica z dolgimi rokavi. Mlajši otroci so imeli pri razvrščanju po dveh lastnostih nekoliko težav, saj jim je npr. pri razvrščanju glede na dolžino las in spol uspelo upoštevali le eno lastnost, drugo pa so zanemarili oziroma se niso sprehodili do vseh miz. Zato sem jim dala dodatne usmeritve, in sicer naj najprej pogledajo vse znake pri vseh mizah in naj se šele nato razvrstijo k ustrezni mizi. Na koncu so se vsi otroci razvrstili k ustrezni mizi. Pri dejavnosti mi je bilo najzanimiveje to, da so nekateri (starejši) otroci ves čas opazovali druge Slika 42: Razvrščanje po dveh lastnostih s pomočjo pik-otroke pri svoji mizi in sosednjih mizah ter jih togramov. opozarjali, če so se narobe razvrstili. | 95 Razvijamo matematično pismenost Refleksija otrok Prvi del dejavnosti, izveden 17. 10. 2018 Otrokom je bila dejavnost zanimiva, saj so vsakič po predvajani glasbi z navdušenjem čakali, kakšno nalogo jim bom zastavila. Motivacija otrok se je ves čas dejavnosti ohranjala. Drugi del dejavnosti, izveden 24. 10. 2018 Otrokom je bila dejavnost zanimiva, povedali so, da jim je bilo razvrščanje po dveh lastnostih težje, najlažje pa jim je bilo razvrščanje po eni lastnosti glede na spol. Pri razvrščanju po dveh lastnostih sem zaznala, da otroci niso bili več motivirani za delo, zato sem dejavnost predčasno prekinila. Viri in literatura 1. Bahovec, E. B., idr. (2010). Kurikulum za vrtce: predšolska vzgoja v vrtcih. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. 2. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Klavs, A. idr. (2022). Matematič- na pismenost. Opredelitev in gradniki. [Elektronski vir]. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Matematicna_pismenost_gradniki.pdf. 96 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Sestavimo grad Bogenšperk z modeli geometrijskih teles in predstavimo prikaz Kristina Angelov Troha, Osnovna šola Danila Lokarja Ajdovščina Pouk geometrije se v 1. vzgojno-izobraževalnem obdobju začne z opazovanjem konkretnih predmetov ter uporabo konkretnih reprezentacij (fizičnih modelov). Učenci prepoznavajo in poimenujejo konkretne osnovne geometrijske elemente. Poglavitna metoda je didaktična igra, ki omogoča učencem razvoj predstav. Učenci osnovne geometrijske elemente spoznavajo s pomočjo različnih modelov in iz različnih perspektiv. Tako pridobivajo predstave o geometrijskih telesih, likih, črtah in točkah. Spoznavajo lastnosti posameznih geometrijskih oblik, jih opisujejo, iščejo podobnosti in različnosti ter tako razvijajo matematični jezik (terminologijo). Dejavnost je bila izvedena v 3. razredu pri obravnavi sklopa Geometrijske oblike in uporaba geometrijskega orodja. Ker smo vsebino želeli osmisliti in nadgraditi, smo matematični izziv iskali v vsakdanji življenjski situaciji, saj mora biti primeren za razvojno stopnjo otrok. Izziv je moral biti tudi dovolj zanimiv in otrokom nekoliko znan. Z učenci smo se že pogovarjali o gradovih, kdo je v njih živel, kje so že videli grad itd. Učencem sem pokazala slike gradu Bogenšperk, jih povprašala, ali grad prepoznajo, ter na zemljevidu pokazala pot od naše šole do gradu. Fotografije so prikazovale grad z različnih perspektiv z namenom, da si učenci čim bolj predstavljajo obliko in videz gradu z različnih zornih kotov. Ker je bil namen dejavnosti, da učenci samostojno oblikujejo grad Bogenšperk iz gradnikov, sem za izvedbo te aktivnosti potrebovala več kompletov lesenih »kock«, več fotografij gradu, liste za risanje prikaza ter zemljevid poti. Učenci so z izvedbo te dejavnosti utrdili znanje o geometrijskih telesih, orientaciji v prostoru in na ploskvi (z različnih perspektiv) ter sami oblikovali prikaz. Na konkretnem primeru so usmerjeno opazovali sliko gradu in nato poiskali ustrezno geometrijsko telo, ki je kar najbolj posnemalo obliko dela gradu na fotografiji. Učenci so geometrijska telesa, ki so jih uporabili za gradnjo gradu, razvrstili po določenem in lastnem kriteriju ter razporeditev prikazali s prikazom. Svoje znanje so uporabili pri reševanju avtentičnega matematičnega problema z uporabo konkretnega materiala. Pri dejavnostih smo uresničevali operativne cilje predmeta (vsebinske, procesne): • opišejo položaj predmetov na ravnini (fotografiji) ter se pri opisu natančno izražajo, • opisujejo odnos med dvema smerema: levo/desno, spredaj/zadaj, navpično/vodoravno, • berejo različne načrte (fotografije) in se orientirajo po njih, • prepoznajo in poimenujejo geometrijska telesa, • razporejajo elemente po različnih kriterijih in razporeditev prikažejo s prikazi, • predstavijo podatke s poljubnim prikazom, • preberejo prikaz. | 97 Razvijamo matematično pismenost Vključili smo gradnike in podgradnike matematične pismenosti z opisniki: 1.1 razume sporočila z matematično vsebino • 1.1 a) (sprejema) razume enostavna in strukturirana sporočila z matematično vsebino • 1.1 c) povzema sporočilo z matematično vsebino, izlušči bistvo in potrebne podatke 1.2 pozna in uporablja strokovno terminologijo in simboliko • 1.2 b) poimenuje in opisuje matematične pojme z matematično terminologijo ter simboliko 1.4 prepozna, razume in uporablja matematične pojme v različnih okoliščinah • 1.4 a) prepozna na različne načine (konkretno, grafično, simbolno) reprezentirane matematične pojme v znanih situacijah • 1.4 b) uporablja različne reprezentacije matematičnih pojmov ter prehaja med njimi 1.5 pozna in v različnih okoliščinah uporablja ustrezne postopke in orodja • 1.5 a) spoznava in raziskuje različne matematične situacije tako, da opazuje, prireja, primerja, razvršča in ureja elemente • 1.5 c) pri reševanju uporablja lastne postopke 1.6 napoveduje in presoja rezultate, utemeljuje trditve, postopke in odločitve • 1.6 c) presoja o ustreznosti izpeljave postopkov pri reševanju nalog • 1.6 d) preverja pravilnost rešitev, prepozna napačne rešitve in jih popravi 1.7 uporablja različne strategije pri reševanju matematičnih problemov • 1.7 c) na osnovi danih matematičnih situacij oblikuje različna vprašanja in podobne naloge 98 | Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Potek dejavnosti Aktivnost učencev Podgradniki Vloga učitelja Pričakovani rezultati/dokazila a) Opis gradu Bogenšperk Učna situacija: MP1.1 a Učitelj vodi pogovor o gradu na fotografijah. Sodelovanje v pogovoru Učenci so razdeljeni v skupine. Skupine so lahko oblikovane (opis gradu na fotografiji) heterogeno ali homogeno. V skupini so največ štirje učenci. Vsaka Z vprašanji učence spodbuja, da iščejo podobnosti in razlike med in pri opisu geometrijskih skupina ima pred seboj fotografije gradu Bogenšperk. Fotografije predstavljenim gradom na posameznih fotografijah. elementov v prostoru z uporabo predstavljajo grad z različnih perspektiv. matematičnega jezika. Učenci si najprej samostojno ogledaajo fotografije gradu. Povedo Z vprašanji spodbuja učence, da se poskušajo spomniti življenjske svoje vtise ob fotografijah, na kaj jih grad spominja, kako si situacije, ko so bili na gradu, če so že videli podoben vhod, okna, dovoz predstavljajo življenje na gradu … … Na spletnem zemljevidu si ogledajo pot od Ajdovščine do gradu Prikaže spletni zemljevid in pot iz Ajdovščine do gradu Bogenšperk. Bogenšperk. Prepoznajo kraje, mimo katerih se »peljejo«, primerjajo razdaljo, ki jo morajo prevoziti, z znanimi razdaljami Učence z vprašanji in primeri spodbuja, da poskušajo še sami najti (npr. pot do babice je pol krajša, to je toliko kot petkrat do Nove razmerje poti med njim znanimi razdaljami in razdaljo med Ajdovščino Gorice …). in Bogenšperkom. Učenci natančno opazujejo fotografije gradu. Povedo, ali so že kdaj MP1.4 a Prisluhne razlagam učencev in podaja povratne informacije ter jih Izkazovanje natančnosti videli podoben vhod, kje so videli take stolpe, strehe, atrij ... MP1.4 b spodbuja z vprašanji za razjasnitev (npr. Kako to mislite?). opazovanja in opisovanja delov Opišejo, s katerimi gradniki (lesenimi kockami) bi prikazali gradu, prepoznavanje njihovih posamezne dele gradu. Pozorni so na količine in geometrijske oblik in iskanje ustreznih oblik oblike, ki sestavljajo grad (stolp, zidovi …). gradnikov za prikazovanje posameznih delov gradu. Opišejo grad, ki so ga opazovali. Povedo, na kaj so bili pozorni, kaj so prešteli in kaj so primerjali. b) Oblikovanje kriterijev uspešnosti Učenci sodelujejo pri oblikovanju kriterijev. MP1.1 c Učencem predstavi namen učenja. Uspešen bom, ko: • bo sestavljen grad čim podobnejši gradu na fotografijah (npr. Poda navodila za sestavo gradu Bogenšperk iz lesenih »kock« ustrezno število in oblika oken, vrat, oblika in število stolpov), (didaktična igra), ki bo kar najpodobnejši gradu, ki so ga opazovali na fotografijah. Usmeri jih, da naj uporabljajo le tiste gradnike (lesene • bo grad stal (se ne bo podiral), »kocke«), ki jih imajo na mizi (oz. so bile v škatli), in da naj pri delu • bodo pri sestavljanju gradu sodelovali vsi člani skupine. sodelujejo vsi učenci. Usmerja učence pri sestavi kriterijev. | 99 Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Aktivnost učencev Podgradniki Vloga učitelja Pričakovani rezultati/dokazila c) Sestavljanje gradu Učenci v skupinah dobijo lesene »kocke«. V vsaki škatli MP1.5 a Poda navodilo za skupinsko delo: Vključenost vseh članov skupine v so različne oblike »kock«. Vsebino škatle pregledajo in se • Pri sestavljanju gradu sodelujejo vsi člani skupine. izgradnjo gradu. pogovorijo, s katerimi gradniki (ali predmeti) bodo nadomestili • Najprej med lesenimi »kockami« poiščejo ustrezne gradnike, iz manjkajoče oblike »kock«. katerih bodo sestavili grad. • Ko sestavljajo grad, naj skupaj preverjajo, ali so rešitve ustrezne. Učenci imajo ves čas aktivnosti na voljo fotografije gradu, na MP1.4 b katerih lahko preverjajo podobnosti in ustreznost gradnje. Spremlja gradnjo gradov, sprašuje o njihovem delu, po potrebi jih s Sestavljen grad iz gradnikov, podvprašanji usmerja in jim podaja sprotno povratno informacijo. ki je čim podobnejši gradu na fotografiji. Iz nabora lesenih »kock« izberejo ustrezne oblike in sestavljajo MP1.5 c grad, ki je kar najpodobnejši gradu na fotografijah. Usklajujejo različne predloge in izberejo najustreznejšega. č) Presojanje rezultatov dela in ustreznost postopkov Učenci s pomočjo fotografij usmerjeno opazujejo gradove MP1.6 c Učence vodi pri opazovanju, usmerja jih, kaj naj še opazujejo. Kritično presojanje izdelka (število in oblika oken, vrat, morebitna okolica, če so jo tudi Spodbuja jih h kritični presoji izdelka ter k presoji o lastni aktivnosti pri (sestavljen grad) s pomočjo naredili). Gradove med seboj primerjajo, primerjajo števila oken, skupinskem delu. postavljenih kriterijev uspešnosti. oblike zidov in strehe. Primerjajo tudi sestavljene gradove s tistim na fotografiji. Naštejejo podobnosti in razlike. Predlagajo MP1.6 d tudi morebitne ustreznejše rešitve. Gradove podrejo. d) Razvrščanje geometrijskih oblik Geometrijska telesa (lesene kocke), ki so jih porabili za gradnjo MP1.5 a Poda navodila, da kocke, ki so jih uporabili za gradnjo gradu, razvrstijo Razvrstitev lesenih kock po obliki. gradu, razvrstijo po obliki. Znotraj skupine se pogovorijo, ali po obliki. Preveri razumevanje navodil. Po potrebi jih z vprašanji velikost in barva vplivata na obliko gradnika (»kocke«). usmerja (ali je pomembno, kako veliki in kakšne barve so gradniki). e) Oblikovanje prikaza Učenci izberejo vrsto prikaza (vrstični, stolpčni, črtični) in z MP1.5 b Pomaga in usmerja pri oblikovanju prikaza. Z vprašanji jih usmerja, da Skupinsko izdelan prikaz. izbranim prikazom prikažejo število posameznih geometrijskih povedo, katere prikaze poznamo, kateri so nujni sestavni deli prikaza teles, ki so jih porabili za maketo gradu. (legenda). Opozori na morebitno pozabljeno legendo v prikazu. | 100 Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Aktivnost učencev Podgradniki Vloga učitelja Pričakovani rezultati/dokazila f) Branje prikaza Natančno si ogledajo prikaz, pogovorijo se o tem, katere vse MP1.2 b Učence z vprašanji usmerja, da si natančno ogledajo prikaze. Spodbuja Pravilni odgovori na vprašanja podatke lahko razberemo iz prikaza. jih, da poiščejo čim več možnosti, katere podatke lahko preberemo v o prikazu glede geometrijskih Nato iz prikaza preberejo, katerih geometrijskih oblik so porabili prikazu. Vpraša učence, katerih geometrijskih teles so porabili največ oblik in njihovih količin (katerih največ in katerih najmanj. in katerih najmanj. gradnikov so uporabili največ in katerih najmanj). Učence spodbudi, da še sami postavijo vsaj dve vprašanji, na katera Učenci si še sami zastavijo vsaj dve vprašanji, na kateri lahko MP1.7 c najdejo odgovor v prikazu. Spodbuja jih k postavljanju odprtih vprašanj odgovorijo s pomočjo prikaza. (npr. Koliko več je kock kot kvadrov?). Če učenci postavljajo zaprta Smiselno zastavljeno vprašanje, na vprašanja (npr. Ali je kock 12?), jih usmerja, da vprašanje ustrezno katerega odgovor lahko najdejo v spremenijo. prikazu. Preverja ustreznost vprašanj (ali lahko dobimo odgovor iz prikaza). g) Kriteriji razvrščanja Učenci se v skupini pogovorijo še o eni lastnosti, po kateri bi MP1.5 a Učence usmerja z vprašanji: Ali lahko geometrijska telesa razvrstimo Primernost izbire kriterija lahko razvrstili uporabljena geometrijska telesa. Ko se znotraj samo po obliki? Ker učenci običajno podajo odgovor, da jih razvrstimo razvrščanja in pravilna razvrstitev skupine poenotijo, geometrijska telesa razvrstijo po izbrani še po barvi, jih učitelj spodbuja, da se spomnijo, kaj še znajo povedati elementov (lesenih kock). lastnosti. o telesih (npr. število in oblika mejnih ploskev, število oglišč, krive in ravne mejne ploskve itd.).1 h) Ustvarjalna igra Iz istih geometrijskih teles, kot je bil sestavljen grad Bogenšperk, MP1.5 c Učencem da navodilo, da iz istih lesenih »kock«, kot so sestavili grad Sestava gradu iz lesenih »kock« z sestavijo še svoj grad. Med delom izmenjujejo ideje, sodelujejo Bogenšperk, sestavijo še svoj grad. Porabiti morajo vse »kocke«, dodati upoštevanjem navodil. in poskušajo najti rešitve, če »kock« zmanjkuje ali če ostajajo. pa ne smejo nobene dodatne. Učitelj preveri razumevanje navodil. j) Vrednotenje Gradove opazujejo in primerjajo z gradom Bogenšperk. Pozorni MP1.5 a Učitelj vodi učence med usmerjenim opazovanjem. Spodbudi jih k Podane ugotovitve o podobnostih so na okna, vrata, zidove, stolpe, morebitno okolico gradu. iskanju čim več podobnosti, saj učenci običajno veliko hitreje najdejo in razlikah gradov. Po opazovanju naštejejo vsaj eno podobnost in eno razliko med razlike. njihovim gradom in gradom Bogenšperk ter jo pojasnijo. 1 Med izvedbo je ena skupina uredila kocke po abecedi poimenovanja (kocka, kvader, stožec, valj …). Ko so pojasnjevali svoj kriterij, smo se pogovorili, kako uredimo besede, če se začnejo na isto črko. Druga skupina pa jih je uredila po velikosti množice (število posameznih geometrijskih teles), od najmanj do največ. | 101 Razvijamo matematično pismenost Izvedba Izvajalka: VIZ: Datum: Kristina Angelov Troha OŠ Danila Lokarja Ajdovščina junij 2018 – junij 2022 Evalvacija, refleksija učiteljice Aktivnost sem izvedla že z dvema generacijama učencev. Učenci so bili med uro zelo aktivni in motivirani. Aktivno so sodelovali pri oblikovanju navodil ter kriterijev in v skupini sodelovali med seboj. Učencem sem že nekaj dni pred izvedbo aktivnosti ponudila lesene kocke, da so se z njimi igrali že med odmori. Tako so med samo aktivnostjo brez težav sledili navodilom in usmeritvam. Iz izkušenj namreč vem, da težko sledijo navodilom, če prvič dobijo konkreten material tik pred izvedbo aktivnosti, saj bi se radi najprej sami prosto igrali. Učenci so med aktivnostjo dosegli vse načrtovane cilje. Geometrijska telesa so večkrat imenovali ter drug drugega pri morebitnem nepravilnem imenovanju popravili. Natančno, v skladu s postavljenimi kriteriji so opazovali grad, šteli so okna, vrata, iskali ustrezne oblike v svojem naboru kock. Pri reševanju težav z neustreznimi oblikami kock za strehe, zidove gradu so bili zelo iznajdljivi in kreativni. Iskali so podobnosti in razlike med zgrajenima gradovoma. Dodatno podporo so potrebovali pri iskanju podobnosti, razlike so našteli zelo hitro. Za obliko prikaza so se hitro dogovorili in ga tudi uspešno pripravili. Vse skupine so se sicer odločile za črtični prikaz. Če bi dejavnost ponovno izvedla, bi jih spodbudila k predstavitvi podatkov še s kakšnim drugim prikazom, predvsem zaradi upoštevanja legende. Ko so učenci določali svoje kriterije razvrščanja (po obliki so jih razvrstili v skladu z mojim navodilom), so se večinoma odločili za barvo. Zato sem jih spodbudila, da so razvrščali še po drugih kriterijih (imajo »odprtino« − most itd.). Učencem je bila aktivnost zelo všeč. Ko smo preverili predznanje, so jim posamezna imena geometrijskih teles še povzročala težave. Predvsem mešajo kvader in kvadrat ter kroglo in krog. Po izvedeni aktivnosti so vsi učenci v oddelku geometrijska telesa prepoznali in imenovali pravilno. 102 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Dokazi oziroma izdelki učencev Slika 43: Lesene kocke kot elementi za sestavo gradu Slika 44: Ustvarjalnost učencev pri sestavljanju gradu Slika 45: Grad Bogenšperk iz lesenih kock Slika 46: Sestava gradu Bogenšperk v drugi skupini | 103 Razvijamo matematično pismenost Slika 47: Dogovori in delo v skupinah Slika 48: Razvrščanje lesenih kock glede na obliko Slika 49: Razvrščanje in prikazovanje elementov s preglednico Viri in literatura 1. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Klavs, A. idr. (2022). Matematič- na pismenost. Opredelitev in gradniki. [Elektronski vir]. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Matematicna_pismenost_gradniki.pdf. 2. Žakelj, A. idr. (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.gov.si/assets/ministrstva/ MIZS/Dokumenti/Osnovna-sola/Ucni-nacrti/obvezni/UN_matematika.pdf. 104 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Preiskovanje števila daljic s četrtošolci Vesna Jeromen, Osnovna šola Brinje Grosuplje Učenci v 3. razredu pri pouku geometrije spoznajo pojem najkrajša razdalja med dvema točkama in narišejo ravno črto med dvema točkama, v 4. razredu pa spoznajo pojem daljica. Da bi preverili, ali razumejo pojem in ali znajo daljice prepoznati na sliki (v situaciji), smo izvedli kratko dejavnost preiskovanja števila daljic. Poleg preverjanja doseganja teh dveh vsebinskih ciljev pa so se učenci urili tudi v procesnih ciljih, ko so morali sistematično beležiti podatke, reševati problem in poskušali ugotovitve posploševati. Za izvedbo dejavnosti smo potrebovali le tablo (zvezke), ravnilo in kredo (svinčnik), problem je bil predstavljen z grafično reprezentacijo, dejavnost pa je potekala sprva v frontalni obliki, nato kot delo v parih in kot individualno delo. Za dejavnost je bilo predvidenih 10 do 15 minut časa, vendar je večina učiteljev, ki so preizkušali dejavnost, izvedbi namenila celotno uro. V preiskovanje so bili vključeni naslednji gradniki in podgradniki matematične pismenosti z opisniki: 1.7 uporablja različne strategije pri reševanju matematičnih problemov • 1.7 a) pri reševanju matematičnih problemov uporablja znane strategije (primerne razvojni stopnji) • 1.7 b) pri reševanju raznovrstnih matematičnih problemov (zaprti, odprti, s preveč podatki, premalo podatki, nekonsistentnimi podatki, z več rešitvami, brez rešitev, nesmiselno rešitvijo) uporablja procesna znanja • 1.7 c) na osnovi danih matematičnih situacij ali problemov oblikuje različna vprašanja in podobne probleme • 1.7 d) presoja o ustreznosti izbire strategij pri reševanju problemov • 1.7 e) reševanje matematičnih problemov doživlja kot izziv in kreativno dejavnost 1.4 prepozna, razume in uporablja matematične pojme v različnih okoliščinah • 1.4 a) prepozna na različne načine (konkretno, grafično, simbolno) reprezentirane matematične pojme tudi v manj znanih situacijah | 105 Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Potek dejavnosti Aktivnost učencev Podgradniki Vloga učitelja Pričakovani rezultati/dokazila Izziv: Na tablo nariše daljico s točkami A, B, C. Postavi vprašanje, koliko daljic Poimenovanje daljic na sliki. Odgovorijo na vprašanje, koliko daljic vidijo na sliki. Jih naštejejo. MP1.4 a je na sliki. Učence povabi, da zapišejo odgovor – pokažejo daljice in jih poimenujejo: AB, AC, BC. Delo v parih: Odgovorijo na vprašanje, koliko daljic je na sliki. Odgovor primerjajo MP1.4 a Na tablo nariše daljico s točkami A, B, C, D. Učencem naroči, naj v parih Poimenovanje daljic na sliki. s sošolcem in utemeljijo rešitev. MP1.7 a, d razmislijo, koliko daljic je na sliki, jih poimenujejo in utemeljijo drug drugemu svojo rešitev. Učence usmerja v sistematičen zapis rešitve, Primerjava rešitve s sošolcem npr. po abecedi AB, AC, AD, BC, BD, CD. (delo v paru). Samostojno delo: Razmislijo, kakšno bi bilo lahko naslednje vprašanje, ki bi ga MP1.7 c Da navodila. Zapis možnih vprašanj. postavili. Lastna slika daljic z vprašanjem. Narišejo svojo sliko daljic in postavijo vprašanje o številu daljic. Rešujejo problem: Koliko daljic bi nastalo, če bi točke označili z vsemi črkami slovenske MP1.7 Učence usmeri k razmišljanju, s katerimi črkami lahko označimo točke. Rešitev problema. abecede? Spremlja reševanje. | 106 Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Izvedba Izvajalki: VIZ: Datum: Vesna Jeromen OŠ Brinje Grosuplje 20. 11. 2018 Erika Leban Zaletelj OŠ Brinje Grosuplje 20. 11. 2018 Evalvacija, refleksija učiteljic Vsi učenci so uspešno rešili oba uvodno zastavljena problema s tremi in štirimi točkami. Pri naštevanju daljic na sliki s štirimi točkami smo se pogovorili o tem, da je za večje število točk pomembno, da imamo nekakšen sistem oziroma vrstni red zapisovanja daljic, npr. po abecednem vrstnem redu krajišč. Slika 50: Reševanje uvodnih dveh problemov Opaziti je bilo, da učenci niso vajeni samostojnega formuliranja problema in neredki so imeli pri tem delu precej vprašanj in težav. Prišli so do različnih idej za nadaljevanje preiskovanja, od katerih so bila nekatera bolj, druga pa manj povezana z osnovnim problemom večanja števila točk na daljici. Lastni problem so nekateri rešili pravilno, drugi napačno. Slika 51: Nadaljevanje – sedem točk Slika 52: Nadaljevanje – šest točk | 107 Razvijamo matematično pismenost Slika 54: Nadaljevanje – nekolinearne točke Slika 53: Nadaljevanje – merjenje dolžine Za posploševanje problema na celotno slovensko abecedo je med poukom zmanjkalo časa, izziva pa sta se doma lotila uspešnejša učenca. Oba sta prišla do pravilne rešitve, prvi s pomočjo posploševanja in računanja, drugi pa s sistematičnim naštevanjem in preštevanjem daljic. Povedala sta, da je izziv zanimiv in zabaven, pot do rešitve pa da je zahtevala veliko časa in pisanja. Slika 55: Reševanje izziva z vsemi črkami slovenske abecede s posploševanjem in računanjem Slika 56: Reševanje izziva z vsemi črkami slovenske abecede s sistematičnim zapisovanjem 108 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Iz povratnih informacij učiteljev, ki so uro opazovali ali izvedli Dejavnost je večina učiteljev uspešno izvedla kot samostojno uro utrjevanja v 4. ali 5. razredu. V začetku so ponovili pojme daljica, krajišče, nato pa začeli s predlaganimi izzivi. Na ta način jim je ostalo več časa za preiskovanje različnih problemov, za dialog in posploševanje na črke slovenske abecede. • Učenci so bili pri delu zelo zavzeti in motivirani, všeč jim je bila možnost medsebojnega sodelovanja. Nekateri so zastavili svoje primere problemov sošolcem. Nekaj navedenih problemov: – Koliko daljic najdemo v črkah svojega imena? ( Metka Hrastnik, IVIZ, OŠ Lovrenc na Pohorju.) – Koliko daljic povezuje črke v besedi MATEMATIKA? (Judita Bračko, IVIZ, OŠ Voličina.) – Koliko daljic povezuje črke v besedi SLOVENIJA? (Mojca Vogrin Pivljakovič, IVIZ, OŠ Voličina.) • Nekaj učencev je prišlo do rešitve problema s 25 črkami. Nekateri so problem nadgradili tako, da so poiskali pravilo za število daljic, če poznamo število točk. (Biserka Srša, IVIZ, OŠ Turnišče.) Zaključimo lahko, da so tovrstni izzivi pri pouku matematike dobrodošli in koristni. Učenci imajo možnost utrjevanja učne snovi, poleg tega pa se učijo sistematičnega beleženja podatkov in posploševanja. Ko sošolcem predstavijo svoje delo, se učijo drug od drugega, pri delu pa so ves čas aktivni. Viri in literatura 1. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Klavs, A. idr. (2022). Matematič- na pismenost. Opredelitev in gradniki. [Elektronski vir]. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Matematicna_pismenost_gradniki.pdf. 2. Žakelj, A. idr. (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.gov.si/assets/ministrstva/ MIZS/Dokumenti/Osnovna-sola/Ucni-nacrti/obvezni/UN_matematika.pdf. | 109 Razvijamo matematično pismenost Primer, preizkušen v praksi s strani implementacijskega vzgojno-izobraževalnega zavoda (IVIZ) Izvajalka: VIZ: Datum: Marjana Štern OŠ Gustava Šiliha Laporje 24. 5. 2019 Zakaj ste se odločili preizkusiti izbrani primer dejavnosti? Za primer dejavnosti ge. Vesne Jeromen Iskanje števila daljic na sliki, sem se odločila, ker smo z učenci ponavljali geometrijske pojme. Predvsem pa me je zanimalo, kakšna vprašanja si bodo zastavili učenci in kako se bodo lotili reševanja problema. Zapišite refleksijo izvedbe dejavnosti z vašimi učenci. Priložite morebitne spremenjene delovne liste, priloge ter dokaze vaših otrok/učencev/dijakov. Učencem je bila dejavnost všeč. Vsi so se lotili postavljanja vprašanj, le da vsak na svoji stopnji razumevanja in sposobnosti. Dejavnost se ni zdela težka niti meni niti učencem, so pa bili veseli izziva. Uspešno so rešili tudi nalogo, pri kateri so si učenci sami zastavili cilj, da bodo preračunali vse daljice slovenske abecede. Čeprav je bilo daljic precej, so se učenci spodbujali in so vsi dosegli cilj. Slika 57: Strategija reševanja izziva s sistematičnim zapisom daljic Slika 58: Strategija reševanja izziva števila daljic s poimenovanjem krajišč z vsemi črkami naše abecede 110 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Slika 59: Strategija računanja daljic Slika 60: Strategija sistematičnega zapisovanja števila daljic Kaj bi še sporočili avtorju? Dejavnost je zanimiva, predvsem del, ko učenec samostojno določi pot svojega učenja, zato sem pri izvedbi vašega primera učencem pustila prosto pot, sem jih pa spodbujala, da so se veliko pogovarjali, da so čim manj delali sami, ker je bila dejavnost primerna za delo tako v parih kot tudi v skupinah, predvsem v fazi, ko so učenci iskali sošolce, ki so podobno razmišljali, in v fazi, ko so odkrivali poti do rezultatov in jih primerjali. | 111 Razvijamo matematično pismenost Primer, preizkušen v praksi s strani implementacijskega vzgojno-izobraževalnega zavoda (IVIZ) Izvajalka: VIZ: Datum: Biserka Srša Osnovna šola Turnišče 10. 1. 2020 Zakaj ste se odločili preizkusiti izbrani primer dejavnosti? S temi učenci smo primer preizkušali v lanskem šolskem letu v 4. razredu in letos v 5. razredu. Zanimalo me je, koliko so si učenci zapomnili in kako bodo znanje nadgradili. Kaj ste pri svoji izvedbi dejavnosti spremenili, nadgradili? Kaj ste ohranili enako? V tem šolskem letu so gradili na izkušnjah iz prejšnjega razreda. Posebno pozornost smo namenili posploševanju. Ohranili smo ponovitev pojmov daljica in krajišča, sistematičnost beleženja podatkov ter risanja, predstavitev dela sošolcem. Slika 61: Primer iskanja števila daljic, če poznamo število krajišč 112 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Zapišite refleksijo izvedbe dejavnosti z vašimi učenci. Priložite morebitne spremenjene delovne liste, priloge ter dokaze vaših otrok/učencev/dijakov. V 4. razredu je en učenec ugotovil, kako izračunamo število daljic, če nam je znano število krajišč. Svoj izračun je predstavil sošolcem v 5. razredu. Najprej je zastavil in zapisal vprašanje na tablo. Drugi učenci niso znali odgovoriti na vprašanje, zato jim je izračun predstavil. Nato je narisal in skupaj z drugimi učenci svoj izračun preveril s preštevanjem daljic na risbi. Delo smo nadaljevali z urjenjem in nalogami drugih učencev, tako da so zastavljali vprašanja, izračunali in izračune preverjali z risanjem ter preštevanjem daljic na risbi. Učili so se od sošolcev. Posploševali so, tako da so iz števila krajišč izračunali število daljic. Ponovili so in razumeli pojma daljica ter krajišče. Te so prepoznali na risbah. Sistematično so beležili podatke, zapisovali daljice. Sproti so predstavljali svoje delo sošolcem. Kaj bi še sporočili avtorju? Primer Preiskovanje števila daljic na sliki je zanimiv za nadgradnjo iz razreda v razred, tako da se povečuje zahtevnost. Je primeren za razvoj in krepitev medsebojnega učenja, raziskovanja ter sistematičnega prikazovanja. Slika 62: Pravilo pri iskanju števila daljic z danim število krajišč | 113 Razvijamo matematično pismenost Primerjamo, razvrščamo in tvorimo definicije štirikotnikov mag. Melita Gorše Pihler, Zavod RS za šolstvo in Loreta Hebar, Osnovna šola Jarenina Dejavnost Primerjamo, razvrščamo in tvorimo definicije štirikotnikov lahko umestimo v sklop Geometrijski pojmi v 7. ali 8. razredu osnovne šole. V 7. razredu lahko to dejavnost smiselno umestimo k vsebinam o štirikotnikih ali pa opisano dejavnost izvedemo v 8. razredu pred vsebinami o večkotnikih. Dejavnost je predvidena za eno do dve šolski uri. Potrebno predznanje za izvedbo dejavnosti: • učenec zna opazovati, povezovati in izluščiti matematične lastnosti, izbrati kriterije primerjanja in razvrščanja in uporabljati sheme za razvrščanje; • učenec pozna pojme: oglišče, stranica, diagonala, skladnost, vzporednost, pravokotnost, štirikotnik, kvadrat, pravokotnik, romb, paralelogram, trapez in deltoid. Za izvedbo dejavnosti vsak učenec potrebuje izobraževalni listič Primerjajmo in razvrstimo štirikotnike (priloga P1) in učni list (priloga P2). Z izobraževalnega lističa izreže modele likov in jih uporabi pri izvajanju dejavnosti. Učenci izvajajo opisane dejavnosti v skladu s svojimi sposobnostmi. Dejavnosti lahko diferenciramo glede na izbiro likov, glede na število nalog in glede na njihovo težavnost (npr. učno šibkejši učenci štirikotnike le primerjajo, učno sposobnejši učenci štirikotnike primerjajo in razvrščajo, učno najsposobnejši učenci pa štirikotnike primerjajo, razvrščajo in oblikujejo njihove definicije). V različnih virih najdemo različne definicije trapeza. Pomembno je, da učitelj konsistentno uporablja izbrano definicijo in tej izbiri prilagodi vse posledice. Z dejavnostjo učenec razvija naslednje operativne cilje (vsebinske, procesne): • primerja like, • razvršča like glede na izbrano lastnost, • izbira neodvisne lastnosti likov, • loči med opisom in definicijo lika, • oblikuje definicije likov, • razvija spretnost sodelovalnega učenja in odgovornost za skupne cilje. Zajeli smo naslednje podgradnike matematične pismenosti: • 1.4 prepozna, razume in uporablja matematične pojme v različnih okoliščinah, • 1.2 pozna in uporablja strokovno terminologijo in simboliko, • 1.6 napoveduje in presoja rezultate, utemeljuje trditve, postopke in odločitve, • 1.7 uporablja različne strategije pri reševanju matematičnih problemov. 114 | Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Potek dejavnosti Aktivnost učencev Podgradniki Vloga učitelja Pričakovani rezultati/dokazila Učenci opazujejo sliko in opišejo, kaj vidijo na sliki. Odgovorijo na Učencem pokaže sliko, na kateri so domače mačke in tiger, ter vpraša: Ugotovitev, da je vsak tiger mačka, vprašanje in poiščejo nekaj podobnih primerov. »Ali je vsaka mačka tiger?« vsaka mačka pa ni tiger. Učenci primerjajo kvadrat in pravokotnik. Ugotovitve zapišejo MP1.4 e Učence usmerja pri njihovem delu. Izpolnjena primerjalna shema v primerjalno shemo na izobraževalnem lističu Primerjajmo in za kvadrat in pravokotnik (na razvrstimo štirikotnike (priloga P1). izobraževalnem lističu – priloga P1). Ugotovitve predstavijo drug drugemu. Na osnovi povratnih MP1.2 c Pozoren je na uporabo ustrezne terminologije. Ustna predstavitev ugotovitev, informacij sošolcev primerjalne sheme dopolnijo (priloga P1). dopolnjena primerjalna shema. Opišejo odnos med kvadratom in pravokotnikom. Svojo ugotovitev MP1.6 e Učence spodbuja k utemeljevanju svojih ugotovitev. Ugotovitev, da vse lastnosti, utemeljijo. ki karakterizirajo pravokotnik, karakterizirajo tudi kvadrat, zato je vsak kvadrat pravokotnik. Vsaka skupina (ali dvojica) učencev si sama izbere dva modela likov MP1.4 e Učence razdeli v skupine ali dvojice. Rešena 1. naloga na učnem listu ali pa ji modela likov izbere učitelj. Lika primerja. Pri tem uporabi (priloga P2). primerjalno shemo na delovnem listu (priloga P2 – 1. naloga). Vsaka skupina svoje ugotovitve predstavi sošolcem. MP1.2 c Pozoren je na uporabo ustrezne terminologije. Učence spodbuja k Ustne predstavitve in ugotovitve: MP1.6 e utemeljevanju svojih ugotovitev. Vsak kvadrat je romb. Vsak pravokotnik je paralelogram. Vsak romb je deltoid. … Učenci dopolnijo povedi na delovnem listu (priloga P2 – 2. naloga): MP1.4 e Usmerja delo učencev. Rešena 2. naloga na učnem listu Vsak kvadrat je … MP1.4 c (priloga P2). Vsak pravokotnik je … … Med seboj primerjajo svoje ugotovitve. | 115 Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Aktivnost učencev Podgradniki Vloga učitelja Pričakovani rezultati/dokazila Učenci na prvi strani izobraževalnega lističa (priloga P1) preberejo, Preveri, ali učenci razumejo besedilo o zapisu definicije matematičnega kako zapišemo definicijo matematičnega pojma. pojma. Učenci zapišejo generično definicijo pravokotnika na delovnem MP1.2 d Usmerja delo učencev. Rešena 3. naloga na učnem listu listu (priloga P2 – 3. naloga). (Učitelj lahko nalogo prilagodi tako, da MP1.6 a (priloga P2). učenci zapišejo generično definicijo katerega drugega lika.) Vsak učenec za sošolca oblikuje podobno nalogo MP1.7 c (zapiše začetek definicije, npr. Kvadrat je romb, ki …). Vsak učenec reši nalogo, ki jo je zanj sestavil sošolec MP1.2 d (dopolni definicijo). MP1.6 a Učenci pregledajo dopolnjene zapise sošolcev in jim zapišejo MP1.6 a povratno informacijo. MP1.6 d Učenci na osnovi povratnih informacij sošolcev dopolnijo oz. MP1.2 d popravijo svoje zapise. MP1.6 a Učenci zapišejo generično definicijo romba, nato samostojno MP1.2 d Usmerja delo učencev. Rešena 4. naloga na učnem listu oblikujejo definicijo še enega štirikotnika na delovnem listu MP1.6 a (priloga P2). (priloga P2 – 4. naloga). MP1.7 c Učenci razvrščajo štirikotnike (6 nalog na izobraževalnem lističu – MP1.4 e Usmerja delo učencev in spodbuja vrstniško sodelovanje (postavlja Razvrščeni liki glede na navodila na priloga P1). MP1.4 c vprašanja, npr. Kaj bi svetoval sošolcu, da bo uspešno izbral vse izobraževalnem lističu (priloga P1). pravokotnike? Bi znal modele razvrstiti v shemo glede na lastnosti likov?) Učenci izdelajo organizator štirikotnikov glede na njihove lastnosti MP1.4 e Usmerja delo učencev in spodbuja vrstniško sodelovanje. Rešena 5. naloga na učnem listu (priloga P2 – 5. naloga). (priloga P2). | 116 Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Priloga P1 – Izobraževalni listič: Primerjajmo in razvrstimo štirikotnike, dostopen na https://skupnost.sio.si/pluginfile.php/620228/mod_resource/content/3/12_Scientix%20Na-Ma_Final_ PRIMERJANJE%20IN%20RAZVRSCANJE%20STIRIKOTNIKOV.pdf Slika 63: Izobraževalni listič Primerjajmo in razvrstimo štirikotnike | 117 Razvijamo matematično pismenost | Priloga: P2 – Učni list Primerjajmo in razvrstimo štirikotnike (Dodatno gradivo za učence) Lik 1 Lik 2 Enakosti Razlike Dopolni povedi. Izbiraj med pojmi: kvadrat, pravokotnik, romb, paralelogram, trapez, deltoid. Zapiši vse možnosti. Vsak kvadrat je Vsak pravokotnik je Vsak romb je Vsak paralelogram je Vsak trapez je Dopolni poved (definicijo). Pravokotnik je paralelogram, ki Za sošolca sestavi podobno nalogo. Sošolec naj sestavi podobno nalogo zate. Po reševanju drug drugemu preverita pravilnost in podajta povratno informacijo. Besedilna naloga, ki jo je zate sestavil tvoj sošolec: Povratna informacija: Dopolni poved. Romb je paralelogram, ki Zapiši še kakšno podobno poved o štirikotnikih, ki je resnična. … je …, ki …. *Izdelaj organizator (na primer Vennov diagram) štirikotnikov glede na njihove lastnosti. 118 | Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Evalvacija, refleksija učiteljice v 7. razredu Izvedba v 7. razredu (Loreta Hebar, prva izvedba) Dejavnost sem izvedla v 7. razredu in jo uporabila z namenom razvijanja procesnih ciljev (primerjanje, razvrščanje …) pri geometriji, ki nas čakajo v drugi polovici šolskega leta. Izvedli smo jo pred računanjem z ulomki in pred tem nismo obravnavali snovi iz geometrije. Učenci so bili veseli spremembe teme in tudi dejavnosti pri pouku. Pred pričetkom sem jim na tablo zapisala imena štirikotnikov in narisala skice, nato smo sledili načrtu ure. Pri prikazu mačke in tigra so takoj povedali, da podobno velja za kvadrat in pravokotnik. Ko so si pripravili modele likov, so nadaljevali delo v dvojicah. Veliko časa smo namenili opisu oziroma besednemu izražanju. Čez čas so povedali, da je težko povedati matematično pravilno. Pri delu so bili dokaj samostojni, sama sem jih usmerjala predvsem pri pravilnem matematičnem izražanju. Večino skupnih lastnosti so opisali sami. Ker še ne bomo nadaljevali s štirikotniki, se nismo posvečali lastnostim, povezanim z diagonalama, opisovali so le stranice in kote. Najprej so izpolnili izobraževalni listič, nato pa še učni list (ki sem ga prilagodila glede na predznanje in sposobnosti učencev tega oddelka). Prva stran učnega lista je bila namenjena vsem učencem, na drugi strani pa so bile naloge, ki so si jih učenci lahko izbrali glede na svoje sposobnosti in interes. Kljub težavam, ki so jih imeli z izražanjem, so bili učenci motivirani in delovni. Dejavnost jim je bila všeč. Prav tako sem bila sama zadovoljna z njihovim opravljenim delom. Z dejavnostjo sem pri njih spodbudila tudi zanimanje za geometrijo, ki nas še čaka. Dokazi učencev Slika 64: Dvojice likov kot pomoč pri oblikovanju trditev: vsak romb je deltoid, vsak kvadrat je romb, vsak romb je paralelogram. | 119 Razvijamo matematično pismenost Slika 65: Zapis na izobraževalnem lističu 120 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Refleksija učencev Učenci so bili navdušeni. Všeč jim je bilo delo z modeli, saj so jih lahko po vsaki napaki brez težav prerazporedili. Ob koncu dejavnosti so zapisali svoje vtise. Všeč mi je bilo kako smo na podlagi razpredelnic opisovali like. Delo mi je bilo všeč, ker nismo dosti računali in smo mogli bolj napeti možgane, da smo prišli do pravilnega odgovora. Delo mi je bilo všeč, ker smo morali veliko razmišljati. Bilo je pa tudi zelo zahtevno, ker smo morali povedati oz. razložiti, kaj jim je skupnega in kaj je drugače. Evalvacija in refleksija učiteljice v 8. razredu Izvedba v 8. razredu (Loreta Hebar, druga in tretja izvedba) Dejavnost sem ponovno izvedla z učenci 8. razreda (v obeh manjših učnih skupinah) pred začetkom obravnave večkotnikov in tako dobila vpogled v njihovo zmožnost uporabe znanja o štirikotnikih pri razvrščanju in oblikovanju definicij. Za dejavnost smo potrebovali eno šolsko uro. V prvi manjši učni skupini so učenci z nekoliko nižjimi učnimi sposobnostmi kot v drugi, kjer je večina učencev nadarjenih. Prav tako so v obeh skupinah učenci, ki imajo določene učne težave (tudi DSP). Vsi učenci so si izrezali modele štirikotnikov in se že ob tem pogovarjali o njihovih lastnostih in jih imenovali. Preden so začeli z delom v dvojicah, sem jim pokazala sliko mačke in tigra. Še preden sem jim postavila vprašanje, ali je vsaka mačka tiger, so komentirali in utemeljevali. V prvi manjši učni skupini so delali predvsem z modeli in ob opazovanju naredili zaključke, oblikovali trditve in tudi definicije. Sama sem kdaj pa kdaj le usmerjala njihov pogovor in jim pomagala pri izražanju, če se jim je zataknilo. Dokaj hitro so si z modeli naredili organizator, ki jim je pomagal pri oblikovanju trditev. V tej skupini so naredili vse naloge na učnem listu, le en učenec je začel z risanjem organizatorja. V drugi manjši učni skupini sama nisem imela veliko dela, bila sem le tihi opazovalec, saj so se učenci sami organizirali, dopolnjevali, popravljali in utemeljevali svoje trditve. Drug drugemu so bili kritični prijatelj, njihove povratne informacije so bile natančne in pravilne. Hitro so z modeli sestavili organizator in ugotovili, da ima kvadrat vse lastnosti vseh štirikotnikov nad njim (slika 66). Naredili so vse naloge in narisali organizator, nekateri celo dva različna. Imeli so težave z deltoidom pri Vennovem diagramu. Tako so svoj izdelek večkrat dopolnjevali ali ga pričeli risati znova. V obeh manjših učnih skupinah so bili učenci uspešni. Posebne diferenciacije ni bilo treba izvajati, saj so se učenci medsebojno lepo dopolnjevali in usmerjali. Morda zato, ker so si sami izbrali učnega partnerja in so delali po svojih sposobnostih in v svojem tempu. Z izvedenima urama sem bila zelo zadovoljna, prav tako učenci. Sama sem dobila vpogled v njihovo matematično izražanje, zmožnost primerjanja, povezovanja in razvrščanja štirikotnikov ter oblikovanja definicij, kar je zame predstavljalo tudi izhodišče za nadaljnje delo – obravnavo večkotnikov. | 121 Razvijamo matematično pismenost Dokazi učencev Slika 68: Izdelek učenca C – organizator štirikotnikov Slika 66: Izdelek učenca A – razvrstitev modelov štirikotnikov Slika 69: Izdelek učenca D – del izpolnjenega delovnega lis- ta: primerjanje lastnosti romba in deltoida Slika 67: Izdelek učenca B – štirikotniki v Vennovem diagramu 122 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Slika 70 in 71: Izdelek učenca C – izpolnjen učni list z organizatorjem štirikotnikov Refleksija učencev Učencem se je dejavnost zdela zanimiva. Menijo, da si bodo na ta način vsebine bolje zapomnili. Všeč jim je bilo delo v skupinah. Ob koncu dejavnosti so zapisali svoje vtise. Vsebina mi je bila všeč, saj sem lahko ponovil dosti stvari, ki sem jih pozabil. Všeč mi je tudi bilo, da smo se lahko posvetovali med sabo, ne pa samo z vami. Na novi in zanimiv način smo ponovili znanje večkotnikov kar se mi je zdelo super. | 123 Razvijamo matematično pismenost Primeri uporabe opisane dejavnosti pri drugih vsebinah v osnovni in srednji šoli V nadaljevanju predstavljamo nekaj primerov uporabe opisane dejavnosti pri drugih vsebinah v osnovni in srednji šoli. 1. primer: Primerjamo in razvrščamo geometrijska telesa Učenci od 6. do 9. razreda primerjajo in razvrščajo geometrijska telesa (v 6. razredu kocko in kvader, v višjih razredih postopoma širimo nabor geometrijskih teles, lahko primerjajo npr. piramido in stožec, prizmo in piramido, prizmo in valj …): učenci zapišejo, katere lastnosti so enake in v katerih lastnostih se geometrijski telesi razlikujeta. Nalogo lahko diferenciramo glede na abstraktnost modela. Ugotovijo, da velja: vsaka kocka je kvader, vsak kvader je prizma in vsaka kocka je prizma. 2. primer: Razvrščamo števila v številskih množicah Učenci v 8. razredu števila (zapisana npr. na kartončkih) razvrščajo v ustrezno številsko množico. Ugotovijo, da velja: npr. vsako naravno število je celo število, vsako racionalno število je realno število, vsako negativno celo število je negativno realno število … Ugotovljene odnose predstavijo z različnimi grafičnimi prikazi (npr. z Vennovim diagramom) in jih zapišejo z matematičnimi simboli. 3. primer: Primerjamo pojme: številski izraz, algebrski izraz, enačba, neenačba, enakost, neenakost Učenci 8. ali 9. razreda osnovne šole ali dijaki 1. letnika srednje šole primerjajo pojme, npr. številski izraz in algebrski izraz, algebrski izraz in enačba, enačba in enakost, neenačba in neenakost … 4. primer: Primerjamo in razvrščamo funkcije Dijaki primerjajo funkcije, npr. kvadratno funkcijo in polinomsko funkcijo, potenčno funkcijo in korensko funkcijo, eksponentno funkcijo in logaritemsko funkcijo, racionalno funkcijo in polinomsko funkcijo … Ugotovijo, da velja: vsaka linearna funkcija je polinomska funkcija, vsaka kvadratna funkcija je polinomska funkcija in vsaka potenčna funkcija z naravnim eksponentom je polinomska funkcija. Dane predpise različnih vrst funkcij ustrezno razvrstijo. Dijaki primerjajo lastnosti (enakosti in razlike) različnih funkcij: • potenčna funkcija s pozitivnim sodim eksponentom, potenčna funkcija s pozitivnim lihim eksponentom • eksponentna funkcija z osnovo a > 1 in 0 < a <1 • logaritemska funkcija z osnovo a > 1 in 0 < a <1 • funkciji sin x in cos x • … Viri in literatura 1. Gorše Pihler, M. (2017). Izobraževalni listič Scientix NA-MA. Primerjajmo in razvrstimo štirikotnike. V: Izobraževalni lističi NA-MA. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Gradivo dostopno na: https://skupnost.sio. si/pluginfile.php/620228/mod_resource/content/3/12_Scientix%20Na-Ma_Final_PRIMERJANJE%20 IN%20RAZVRSCANJE%20STIRIKOTNIKOV.pdf (pridobljeno 10. 1. 2022). 2. Kmetič, S., Gorše Pihler, M. (2018). Od opisa do definicije geometrijskega pojma in Scientix. 4. mednarodna konferenca o učenju in poučevanju matematike KUPM 2018: zbornik razširjenih povzetkov. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Predstavitev dostopna na: http://www.zrss.si/kupm2018/wp-content/ uploads/2018/07/kupm_2018_od_opisa_do_definicije_objava-3.pdf (pridobljeno 10. 2. 2022). 3. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Fras Bero, F. idr. (2022). Matematična pismenost. Opredelitev in gradniki. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. [Elektronski vir]. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Matematicna_pismenost_gradniki.pdf. 4. Žakelj, A. idr. (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.gov.si/assets/ministrstva/ MIZS/Dokumenti/Osnovna-sola/Ucni-nacrti/obvezni/UN_matematika.pdf. 124 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Komentar na dejavnost Primerjamo, razvrščamo in tvorimo definicije štirikotnikov Zapisal: dr. Nik Stopar, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko Izbrana dejavnost učence vodi skozi postopek oblikovanja in uporabe matematičnih definicij. Poleg naštetih gradnikov matematične pismenosti dejavnost močno spodbuja tudi razvoj elementov kritičnega mišljenja, ki so tesno povezani s postopkom tvorbe definicij, kot so sistematično opazovanje, primerjanje in razvrščanje, oblikovanje argumentov ter induktivno in deduktivno sklepanje. Učenci se med dejavnostjo naučijo pravilne in predvsem natančne uporabe matematične terminologije ter izgrajujejo in utrjujejo različne matematične pojme – kvadrat, pravokotnik, paralelogram …, vzporednost, skladnost, pravokotnost …, štirikotnik, stranica, kot … Pomembno je, da se ob dejavnostih, vezanih na matematične definicije, učenci zavedajo, da povezava med matematično definicijo in razumevanjem definiranega pojma ni enosmerna – opis in razumevanje novega matematičnega pojma nam omogočata tvorbo prave matematične definicije, namen matematične definicije pa je, da novi matematični pojem enolično in nedvoumno opredelimo. Definicija določenega matematičnega pojma ni enolična, saj lahko z uporabo ustrezne matematične terminologije matematični pojem opredelimo na različne načine. Pri tej dejavnosti lahko to ozaveščamo tako, da ponudimo več različnih možnosti za oblikovanje definicije, npr. »Pravokotnik je štirikotnik, ki ima .«, »Pravokotnik je lik, ki je hkrati in ima .«, »Štirikotnik, ki je hkrati in , imenujemo .« itd. Učenci si tako lahko sami izberejo vrsto definicije, ki jo lažje oblikujejo. S tem ni več učiteljica tista, ki diktira oblikovanje definicije, ampak učenci sami in njihovo razumevanje pojma. Dejavnost v prvi vrsti izgrajuje predvsem razumevanje pojmov in oblikovanje njihovih definicij, nekoliko manj pa razvija zmožnost uporabe definicij. Da podpremo še vidik uporabe, lahko dejavnost nadgradimo z dodatnimi nalogami, npr. »Izpiši matematične pojme, na katere si naletel skozi dejavnost, in z njihovo pomočjo opiši situacijo na dani sliki.« ali »Zapiši zaporedje ukazov, ki bodo robota vodili po poti, s katero bo orisal kvadrat/deltoid.« ali tudi »Ali lahko od vsakega paralelograma z enim ravnim rezom odrežemo deltoid? Odgovor utemelji z besedami (brez slike).« Take naloge so primerne predvsem za višje razrede, saj jih lahko uporabimo kot uvod v preiskovanje lastnosti štirikotnikov, npr. odnose med sosednjimi koti. | 125 Razvijamo matematično pismenost Preverjanje, razvrščanje in uporaba različnih reprezentacij geometrijskih teles Anja Klavs Voštić in Antonija Miklavčič Jenič, Osnovna šola Dolenjske Toplice Učenci 9. razreda v drugem polletju obravnavajo poglavje Geometrijska telesa, v katerem se naučijo prepoznati lastnosti in značilnosti posameznega geometrijskega telesa, izračunati njegovo površino in prostornino, izdelati njegov model, narisati in uporabiti njegovo mrežo pri izdelavi telesa oziroma izračunu preostalih lastnosti ter uporabiti na njem Pitagorov izrek pri reševanju problemskih nalog iz življenja. Dejavnost Preverjanje znanja o geometrijskih telesih je bila izvedena ob zaključku poglavja Geometrijska telesa, in sicer z namenom, da učenci z njeno pomočjo preverijo, kako dobro so usvojili prej naštete cilje iz učnega načrta. Učenci so tak pristop k preverjanju znanja sprejeli z zanimanjem. Pridobljeno znanje so preverili s pomočjo učnega lista s slikami, ki ponazarjajo geometrijska telesa, uporabljena v vsakdanjem življenju, in z reševanjem nalog na to temo. Nato so svoje znanje uporabili pri izdelavi mreže izbranega telesa in posledično tudi izdelave telesa. Primer predstavljene dejavnosti lahko z manjšimi prilagoditvami uporabimo tudi pri učencih 8. razreda, in sicer po končani obravnavi poglavja Kocka in kvader oziroma poglavja Pitagorov izrek v likih. V obeh primerih lahko učenec na zanimiv in drugačen način preveri usvojene cilje iz učnega načrta. Operativni cilji dejavnosti: • pozna osnovne pojme pri prizmi, valju, piramidi in stožcu, • pozna in uporablja pojme in postopke s pojmi prostorske geometrije, • prepozna, opiše in skicira geometrijska telesa, • izdela modele teles in nariše njihove mreže (pokončna prizma in valj, pokončna piramida in stožec), • uporablja obrazce za izračun površine in prostornine prizme, valja, piramide in stožca ter za računanje neznanih količin, • v skladu z vsebinami osnovnošolske matematike razvije matematično in nematematično terminologijo (sporazumevanje v materinem jeziku), • primerja in razvršča geometrijska telesa glede na izbrano lastnost. Dejavnost razvija naslednje gradnike matematične pismenosti: • MP1.4 prepozna, razume in uporablja matematične pojme v različnih okoliščinah • MP1.5 pozna in v različnih okoliščinah uporablja ustrezne postopke in orodja • MP1.2 pozna in uporablja strokovno terminologijo 126 | Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Potek dejavnosti Pričakovani rezultati/dokazila (kako bodo Aktivnost učencev (z navedbo prilog P1 …) Podgradnik NP/MP (št.) Vloga učitelja učenci izkazali, da so dosegli napredek/cilje) Poslušajo navodila, se porazdelijo v pare in si razdelijo učni list (P1). Pripravi učno gradivo in predstavi potek ure. Razdelitev v pare. Učenci pregledajo učni list s slikami predmetov, ki predstavljajo različna MP Učence spodbuja k iskanju odgovorov na vprašanja Podani odgovori. Opažanja o telesih na sliki. matematična telesa. Pri tem se med seboj pogovarjajo, diskutirajo o slikah 1.4 a in se z njimi pogovori o slikah. in njihovem pomenu. Prav tako skupaj poiščejo odgovore na vprašanji: • kje so telesa že videli, • kako so slike povezane z matematiko. Naloga 1 MP Opozori učence na oblikovanje različnih kriterijev za Našteti kriteriji glede na lastnosti teles na Učenca v paru se med seboj pogovorita o lastnostih predmetov na slikah in 1.4 c dane slike. slikah. poiščeta odgovore na vprašanja. 1.4 e Na primer: Razvrščanje glede na število in 1.3 a obliko ploskev, glede na število osnovnih ploskev … Naloga 2 in 3 MP Po potrebi pomaga učencem in preverja njihove Zapisana imena teles, ki so predstavljena na Učenci posamezne predmete imenujejo z matematičnimi pojmi 1.4 a zapiske. slikah. Zapisane lastnosti geometrijskih teles. geometrijskih teles. Zapišejo lastnosti geometrijskih teles. Pri tem si 1.4 b pomagajo z učnimi pripomočki kot na primer zvezek, učbenik … Naloga 4 MP Spodbuja in usmerja učence. Opis izbranih teles. Učenci si izberejo dve telesi na sliki in ju čim podrobneje opišejo v 1.2 c matematičnem jeziku. 1.4 b 1.4 f Naloga 5 MP Usmerja in pomaga učencem pri reševanju naloge. Izdelana mreža geometrijskega telesa, Pridobijo podatke z izbranega geometrijskega telesa. Na podlagi teh 1.5 b izračunana površina in prostornina ter podatkov izdelajo mrežo, izračunajo zahtevane podatke in sestavijo telo. predstavljena uporaba Pitagorovega izreka na S pomočjo sestavljenega telesa predstavijo tudi uporabo Pitagorovega telesu. izreka. Pari med seboj izmenjajo podatke, s pomočjo katerih primerjajo in MP Usmerja izmenjavo podatkov med pari. Predstavljene rešitve nalog in podana dopolnijo opravljene naloge. 1.3 a povratna informacija drugim učencem. Opravijo refleksijo ure s vprašanji: • Kaj si se novega naučil? • Kakšna se vam je zdela izvedba ure? | 127 Razvijamo matematično pismenost | Učni list – P1 GEOMETRIJSKA TELESA 9. razred V tabeli so prikazane slike različnih predmetov, ki so označeni s črkami. A B C Č D E F G H I J K L M N O P R S Š 128 | Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Učni list – P1 1. a) Izberi si smiseln kriterij razvrščanja zgornjih predmetov in ga zapiši. Glede na izbrani kriterij razvrsti zgornje predmete. b) Sošolcu predstavi svoj kriterij in rešitev. Koliko različnih kriterijev razvrščanja ste izbrali v razredu? Katere? 2. Predstavljeni predmeti so modeli za različna geometrijska telesa. Katera geometrijska telesa prepoznaš? 3. Kaj lahko poveš o lastnostih geometrijskih teles? 4. Izberi dva predmeta na sliki, ki sta modela dveh različnih geometrijskih teles. Primerjaj ju. Zapiši skupne lastnosti in razlike med njima. Ugotovitve predstavi z ustreznim grafičnim organizatorjem (npr. primerjalna matrika, Vennov diagram …). 5. a) Od učitelja boš dobil geometrijsko telo. Nariši skico. Telesu izmeri potrebne lastnosti, da boš izdelal dve različni mreži geometrijskega telesa. Izračunaj površino in prostornino telesa. b) V geometrijskem telesu predstavi uporabo Pitagorovega izreka. | 129 Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost Evalvacija, refleksija učitelja Učna ura je bila izvedena kot ponovitev snovi o geometrijskih telesih. Učencem je bila učna snov jasna. Poznali so že vse pojme in postopke računanja ter risanje mrež vseh geometrijskih teles. Za reševanje učnega lista ter izdelavo mreže geometrijskega telesa je bila porabljena celotna šolska ura. Učenci so dejavnost izvedli samostojno, pri tem so potrebovali le posamezne usmeritve ali napotke. V podani refleksiji so učenci podali naslednje povratne informacije: • To uro sem se naučil, da ni tako lahko narediti vseh teles. To uro mi je bilo všeč, da smo delali geometrijsko telo. • Pri tej uri sem lahko ponovila svoje znanje o geometrijskih telesih. Ponovila sem tudi izdelovanje mreže in sestavljanje geometrijskih teles, kar je bilo zabavno in poučno. • Danes pri uri sem se veliko naučil, saj se s pomočjo figur lažje zapomnim stvari kot s samo razlago. Upam, da bo še veliko takih ur. • Ura mi je bila zelo všeč, saj je bila kreativna, naučili smo se izdelovati mrežo teles in morali smo natančno paziti na zavihke. Bilo je super. Skupaj smo ponovili telesa in utrdili že naše znanje. Priložena dokazila o izvedbi dejavnosti Slika 72: Primer izpolnjenega učnega lista Slika 73: Primer izpolnjenega učnega lista 130 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Slika 74: Primer izpolnjenega učnega lista Slika 75: Primer izpolnjenega učnega lista Slika 76: Izdelana telesa s pomočjo meritev in mreže Viri in literatura 1. Žakelj, A. idr. (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.gov.si/assets/ministrstva/ MIZS/Dokumenti/Osnovna-sola/Ucni-nacrti/obvezni/UN_matematika.pdf. 2. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Fras Bero, F. idr. (2022). Matematična pismenost. Opredelitev in gradniki. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. [Elektronski vir]. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Matematicna_pismenost_gradniki.pdf. | 131 Razvijamo matematično pismenost Razumevanje in uporaba različnih pojmov (funkcija, enačba, neenačba, ničla funkcije, krivulja …) pri kvadratni funkciji Simona Vreš, Šolski center Ravne na Koroškem, Gimnazija Ravne na Koroškem V prispevku je predstavljena dejavnost, s katero sem želela pridobiti informacijo o znanju dijakov po končani obravnavi poglavja Kvadratna funkcija in enačba. Dejavnost sem naslovila Razumevanje in uporaba različnih pojmov (funkcija, enačba, neenačba, ničla funkcije, krivulja …) pri kvadratni funkciji. Dejavnost sem izvedla v 3. letniku po končani obravnavi učnega sklopa Kvadratna funkcija in enačba. Učni sklop sicer obravnavamo na koncu 2. letnika, vendar vedno ostane nekaj ciljev neobravnavanih. S tega vidika je taka dejavnost toliko bolj smiselna, saj z njo pridobimo širšo sliko o znanju dijakov, predvsem kar se tiče razumevanja matematičnih pojmov in uporabe pridobljenega znanja. Na drugi strani dejavnost dijakom nudi kvalitetno povratno informacijo o usvojenem znanju. Skozi dejavnost dijaki odpravljajo vrzeli v znanju, ozaveščajo nedoslednosti v svojih zapisih in poglabljajo razumevanje odnosov med posameznimi matematičnimi pojmi. Za dijake sem pripravila šest različnih nalog. Vseh šest nalog se je navezovalo na isti kvadratni tričlenik (, ki je bil del zapisa kvadratne funkcije, kvadratne parabole, kvadratne enačbe ali kvadratne neenačbe. Dijaki so morali zapisati vse, kar vedo o danem matematičnem pojmu, in sestaviti nalogo, ki bo vsebovala dani matematični pojem. Dijake sem naključno razdelila v šest skupin in vsaka skupina je reševala svojo nalogo. V vsaki skupini so dijaki najprej prebrali nalogo, zapisano na listu, se pogovorili, kako razumejo zapisano nalogo, in si organizirali delo. Nato so reševali nalogo, zapisano na listu. Glede na dogovor v skupini, so svoje ugotovitve in potek reševanja ustrezno zapisovali. V vsaki skupini so pripravili skupen zapis svojih ugotovitev v obliki, ki so si jo izbrali sami (z besedami, v matematičnem zapisu, kot miselni vzorec …). Predstavnik vsake skupine je predstavil njihovo delo. Za predstavitev je lahko uporabil kredo in tablo, plakat ali interaktivno tablo. Člani drugih skupin so lahko zapis dopolnili, lahko so tudi izrazili nestrinjanje z zapisanim. Skupaj smo pogledali predvsem zapisane naloge in po potrebi dopolnili ali popravili besedilo. Po vsaki predstavitvi sem povzela ključne elemente, opozorila na pomembnost razumevanja zapisa (npr. ni vseeno ali je ali ), opozorila na tiste dele, pri katerih imajo dijaki še težave, po potrebi dodatno kaj razložila. Na ta način so dijaki sami sestavili šest nalog, ki so jih potem rešili za domačo nalogo. Z dejavnostjo Razumevanje in uporaba različnih pojmov (funkcija, enačba, neenačba, ničle, krivulja …) pri kvadratni funkciji sem prednostno razvijala dva gradnika matematične pismenosti: • MP1.4 prepozna, razume in uporablja matematične pojme v različnih okoliščinah • MP1.2 pozna in uporablja strokovno terminologijo in simboliko V dejavnosti pri dijakih razvijamo vsebinska cilja in procesne cilje: • uporabljajo pojem kvadratne funkcije na različne načine, • uporabljajo in razumejo pojme funkcijski predpis, krivulja (parabola), ničla, presečišče, enačba, neenačba … • načrtujejo in sestavijo nalogo, • predstavijo nalogo, • komunicirajo v matematičnem jeziku. 132 | Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Potek dejavnosti Pričakovani rezultati/dokazila Aktivnost učencev/k (z navedbo prilog P1 …) Podgradnik (kako bodo učenci izkazali, NP/MP (št.) Vloga učitelja da so dosegli napredek/cilje) Reševanje pripravljenega učnega lista po skupinah (šest skupin). Razdeli dijake v skupine. V vsaki skupini dijaki najprej preberejo nalogo, zapisano na listu, MP1.1 a Moderira, usmerja. Dogovor o načinu dela znotraj se pogovorijo o tem, kako razumejo zapisano nalogo, in si sami MP1.4 a skupin. organizirajo delo. Rešujejo nalogo. Glede na dogovor v skupini svoja razmišljanja MP1.4 a, b, e Moderira, usmerja, nudi povratno informacijo. Izdelek (zapis) vsake skupine. beležijo in razmišljajo o predstavitvi svojih ugotovitev. MP1.2 a, b, c Po potrebi pomaga pri oblikovanju zapisov. V vsaki skupini pripravijo skupen zapis svojih ugotovitev v obliki, MP1.3 b ki so si jo izbrali sami (z besedami, v matematičnem zapisu, kot miselni vzorec …). Predstavnik vsake skupine predstavi njihovo delo. Za predstavitev MP1.3 a, b Moderira, usmerja, povzame, nudi povratno informacijo. Dijake Šest predstavitev, postavljena lahko uporabi kredo in tablo, plakat ali interaktivno tablo. Člani MP1.2 c usmerja v to, da argumentirajo svoje zapise, popravi nekorektne vprašanja s strani drugih med drugih skupin lahko predstavitev dopolnijo, lahko tudi izrazijo zapise, opozori na nedoslednosti. predstavitvami in vključevanje v nestrinjanje z zapisanim. Skupaj z učiteljem pogledajo predvsem pogovor. zapisane naloge in po potrebi dopolnijo ali popravijo besedilo. Kritično reflektirajo lastno znanje (s pogovorom). MP1.3 c Evalvira, povzame ključne elemente, opozori na pomembnost Pogovor, refleksija o lastnem razumevanja zapisa (npr. ni vseeno ali je y ali f( x)), opozori na tiste znanju. dele, pri katerih imajo dijaki še težave, po potrebi dodatno kaj razloži. Dijakom priporoča, da zapisane naloge rešijo za domačo nalogo. Domača naloga: Poda povratno informacijo na domačo nalog, na vprašanja dijakov. Rešena domača naloga. Rešijo sestavljene naloge. Učni list P1, na katerem je zapisanih vseh šest nalog (vsaka skupina dobi samo eno nalogo iz delovnega lista). | 133 Razvijamo matematično pismenost | Učni list – P1 Razumevanje in uporaba različnih pojmov pri kvadratni funkciji 1. V skupini zapišite vse, kar veste o zapisu in sestavite nalogo, ki bo vključevala: 2. V skupini zapišite vse, kar veste o zapisu in sestavite nalogo, ki bo vključevala: 3. V skupini zapišite vse, kar veste o zapisu in sestavite nalogo, ki bo vključevala: 4. V skupini zapišite vse, kar veste o zapisu in sestavite nalogo, ki bo vključevala: 5. V skupini zapišite vse, kar veste o zapisu in sestavite nalogo, ki bo vključevala: 6. V skupini zapišite vse, kar veste o zapisu in sestavite nalogo, ki bo vključevala: 134 | Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Evalvacija in refleksija učiteljice Učitelj izvede dejavnost po končani obravnavi učne vsebine. Dejavnost je sicer pripravljena za poglavje Kvadratna funkcija in enačba, je pa prenosljiva na katerokoli drugo vsebino in na katerokoli stopnjo izobraževanja. Dijaki so pri uri zavzeto sodelovali, reševanje prvega dela jim ni povzročalo težav, drugi del (sestavljanje naloge) pa je bil kar izziv. Dodana vrednost te dejavnosti se mi zdi predvsem to, da dijake opozori na nedoslednost, mešanje pojmov in nenatančnost v izražanju. Izkazalo se je, da so pri prvih treh nalogah pravzaprav vse tri skupine pisale enake ali podobne odgovore. Dijaki niso pozorni na razliko med funkcijo, grafom funkcije in enačbo. Pri sestavljanju naloge pa so imeli precej težav. Bolj ali manj so iskali v zvezku primerno nalogo. Po uri so bili dijaki zelo zadovoljni. Menijo, da so se skozi tak način dela veliko naučili in da so šele pri uri ugotovili, da je njihovo znanje pravzaprav zelo površinsko. Izrazili so željo po tej obliki utrjevanja snovi ob koncu vsakega poglavja. Primer so preizkušali učitelji na IVIZ-ih. Dobila sem devet povratnih informacij. Glede na te povratne informacije lahko rečem, da je primer prenosljiv na katerokoli vsebino in na vse stopnje izobraževanja. Preizkušanje dejavnosti Damjana Jovan, Šolski center Ljubljana, Gimnazija Antona Aškerca »Naloge iz učnega lista so mi všeč, dijaka vzpodbujajo k kritičnemu razmišljanju in rabi strokovne terminologije.« Urška Mihelič, Grm Novo mesto − Center biotehnike in turizma, Kmetijska šola in biotehniška gimnazija »Dijakom je bilo v splošnem delo v dvojicah všeč, tak način pouka dober in zanimiv, pa tip naloge so pohvalili, saj so ›ponovili osnovne pojme, formule, lastnosti‹. Nekateri so se učili iz napak, ki so jih napravili kljub temu, da so test na to temo pisali pozitivno. Kljub temu da je bilo navodilo res kratko, so nekateri ugotovili, ›da morava bolj pozorno brati navodila‹ in tega res nisem pričakovala. V evalvaciji so mi nekateri zapisali tudi, da so se naučili razliko med tem in onim in mi jo podrobno pojasnili. Ena dvojica je zapisala, da se jima je zdelo ›zelo kompleksno in da je bil del, kjer moraš zapisati svojo nalogo, odvečen‹. Nekomu naloga ni bila všeč, ker je zahtevala ›preveč razmišljanja in matematične teorije, najtežje pa se je bilo spomniti ustrezne naloge. Delo v dvojicah je za tako nalogo v redu, kot samostojno pa predolgotrajno‹.« Tatjana Levstek, Gimnazija Ledina »Primer predstavlja sintezo znanj o funkcijskih pojmih, specifično o kvadratni funkciji. Po predelani snovi glede na učni načrt je bila naloga zelo primerna za utrjevanje znanja.« Maruška Korelc, Biotehniški center Naklo »Primer je izredno zanimiv, ker se v teh primerih dijaki prelevijo v učitelja. Tako morajo dijaki sestaviti test kvadratne funkcije, ki bo vseboval dane oporne točke. Dijaki s tem ponovijo risanje, računanje, presečišče funkcij, enačbe, teoretični del.« | 135 Razvijamo matematično pismenost Tanja Kogoj, OŠ Milojke Štrukelj Nova Gorica »Dejavnost sem izvedla v 9. razredu na koncu poglavja Razmerje in sorazmerje. Spremenila sem navodilo, ki ga prilagam. Ker je pouk potekal po zoomu, sem jih dala v 4 skupine, da so delali samostojno, vmes pa sem hodila od skupine do skupine in preverjala, kako jim gre. Na koncu smo se dobili vsi skupaj, kjer je vsaka skupina najprej poročala, nato pa so ostali še kaj dodali. Navodilo 1. skupina Kaj predstavlja dani zapis? 18 : 24 Razmisli in zapiši, kaj vse bi o njem lahko povedal. Zapiši nalogo, v kateri bo uporabljen zgornji zapis. 2. skupina Kaj predstavlja dani zapis? 1 : 200000 = 6 : x Razmisli in zapiši, kaj vse bi o njem lahko povedal. Zapiši nalogo, v kateri bo uporabljen zgornji zapis. 3. skupina Kaj predstavlja dani zapis? x : 4 = 3 : y Razmisli in zapiši, kaj vse bi o njem lahko povedal. Zapiši nalogo, v kateri bo uporabljen zgornji zapis. 4. skupina Kaj predstavlja dani zapis? x : 7 = y : 5 Razmisli in zapiši, kaj vse bi o njem lahko povedal. Zapiši nalogo, v kateri bo uporabljen zgornji zapis.« Viri in literatura 1. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Fras Bero, F. idr. (2022). Matematična pismenost. Opredelitev in gradniki. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. [Elektronski vir]. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Matematicna_pismenost_gradniki.pdf. https://masdiv-project.eu/. 2. Adrijana Mastnak, Predstave bodočih učiteljev predmeta matematika v OŠ o neformalnem formativ-nem preverjanju znanja, magistrsko delo. https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&sour- ce=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjpntS11f7eAhVDWywKHfFbCH8QFjABegQ ICRAC&ur- l=http%3A%2F%2Fpefprints.pef.uni-lj.si%2F2574%2F1%2Fkoncni_tiska_naloga20092014_knjiznica. pdf&usg=AOvVaw14X8SapfHpB9iVu-DowLNN (5. 9. 2018). 136 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Prikaz in računanje prevožene poti kolesarja z uporabo eksponentne funkcije Natalija Horvat, Gimnazija Franca Miklošiča Ljutomer Dejavnost Prikaz in računanje prevožene poti kolesarja z uporabo eksponentne funkcije lahko umestimo v sklop Eksponentna funkcija v poljubnem srednješolskem programu. Dejavnost je predvidena za eno šolsko uro. Prilagojeno dejavnost bi lahko izvedli tudi v 1. letniku ali pa v zadnjih razredih osnovne šole. Dejavnost sem izvedla v 3. letniku umetniške gimnazije po obravnavi eksponentne funkcije. Gre za primer raziskovanja, pri katerem dijaki iščejo ustrezen dan, ko bo kolesar prevozil označeno pot na zemljevidu. Z uporabo IKT (prenosnih telefonov, tablic, računalnikov) si dijaki izračunajo celotno pot kolesarja, ki jo mora prevoziti. Potrebno predznanje za izvedbo dejavnosti: • dijak pozna in uporablja pojme: ulomek, delež, eksponentna funkcija, eksponentna enačba, različne predstavitve funkcije (tabela, graf, funkcijski predpis) Za izvedbo dejavnosti učitelj pripravi učne liste ter zagotovi uporabo IKT pri pouku. Z dejavnostjo so dijaki razvijali naslednje operativne cilje (vsebinske, procesne): • naredijo različne reprezentacije prevožene poti, • prepoznajo eksponentno rast, • prepoznajo in rešijo eksponentno enačbo, • uporabljajo tehnološka orodja: iščejo podatke na spletu, • interpretirajo pot reševanja. V dejavnosti smo prednostno razvijali naslednje podgradnike matematične pismenosti: • 1.4 prepozna, razume in uporablja matematične pojme v različnih okoliščinah • 1.5 pozna in v različnih okoliščinah uporablja ustrezne postopke in orodja Dejavnost bi lahko v nadaljevanju nadgradili v primer matematičnega modeliranja: Marko s prijatelji načrtuje enodnevni kolesarski izlet iz Ljutomera čez Razkrižje, Črenšovce, Beltince, Lipovce, Veržej in nazaj v Ljutomer (oziroma za vaš kraj primerno kolesarsko pot). Izdelaj načrt kolesarjenja, kje se bodo ustavili in katere znamenitosti si bodo ogledali, kje bodo imeli kosilo, kolikšna bo cena izleta. Izdelajte reklamni plakat, na katerem boste oglaševali dva najboljša načrta. | 137 Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Potek dejavnosti Pričakovani rezultati/dokazila Aktivnost dijakov Podgradnik MP Vloga učitelja (kako bodo dijaki izkazali, da so dosegli cilje) Dijaki preberejo navodila in začnejo reševati primer a. 1.1 a, b Razdeli učni list (P1). Izpolnjen učni list (P1), primer a: 1.2 b Dijakom pove, da morajo prebrati navodilo in rešiti primer a. • izpolnjena tabela Računajo in zapisujejo prevoženo pot po posameznih dnevih. 1.3 b Preveri, ali so dijaki razumeli navodila. • zapis predpisa funkcije 1.4 b Spremlja delo dijakov. • narisan graf Prevoženo pot kolesarja predstavijo na vsaj tri različne načine. 1.5 a, b Po potrebi dijake usmerja, da res predstavijo prevoženo pot na tri • narisan grafikon (npr. stolpčni) Na tablo zapišejo svoje rešitve (samo določeni dijaki, ki jih pokliče različne načine. učitelj). K tabli kliče dijake, da predstavijo različne načine rešitev. Dijaki s pomočjo prenosnega telefona izračunajo dolžino poti, ki jo 1.1 d Dijake spodbudi, da se lotijo reševanja primera b. Izpolnjen učni list (P1), primer b: mora opraviti kolesar. 1.3 a, b Dovoli dijakom, da lahko pri delu uporabljajo prenosni telefon. • zapisana dolžina poti S pomočjo izračunov določijo, kateri dan bo sposoben prekolesariti 1.5 a, b Spremlja delo dijakov. • izračunan in zapisan ustrezen dano pot. Izbere dijaka, ki predstavi rešitev. dan Izbran dijak na tablo zapiše rešitev. | 138 Razvijamo matematično pismenost | Učni list – P1 Pot kolesarja Marko ima tak poklic, da v službi večino časa dela za računalnikom. Ker so se mu začele pojavljati zdravstvene težave, se je odločil, da bo začel kolesariti. Naredil si je načrt kolesarjenja. Prvi dan bo prekolesaril . Drugi dan bo prekolesaril poti prvega dne. Tretji dan bo prekolesaril poti drugega dne, četrti dan bo prekolesaril poti tretjega dne … a) Na vsaj tri različne načine predstavi Markovo prevoženo pot v odvisnosti od dneva. b) Kateri dan se bo lahko odpravil na kolesarjenje iz Ljutomera čez Razkrižje, Črenšovce, Beltince, Lipovce, Veržej in nazaj v Ljutomer, če štarta pred Gimnazijo Franca Miklošiča Ljutomer (GFML). Prevožena pot je označena na spodnji sliki. | 139 Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost Evalvacija, refleksija učitelja Dijakom je bilo navodilo naloge zelo všeč, saj je iz vsakdanjega življenja. Razumeli so navodilo in brez težav izračunali dolžino poti kolesarja za posamezen dan. Težave so se pojavile pri predstavitvi prevožene poti. Dva načina so se spomnili, več pa ni šlo. Zato sem jim morala podati namig za tretji način. Zelo dobro so se lotili računanja dolžine označene poti kolesarja na zemljevidu. Pomagali so si s prenosnimi telefoni oz. računalniki in Googlovimi zemljevidi tako, da so nekateri vpisali pot s postanki, drugi pa so računali razdalje od enega kraja do drugega ter jih sešteli. Refleksija dijakov Dijaki so sporočali, da jim je bila ura zelo všeč, predvsem zaradi računanja dolžine poti in uporabe računalnikov ali prenosnega telefona. Niso navajeni takih ur, želijo si jih več. Našli so se v tej situaciji, saj bi lahko tudi sami prekolesarili to pot. Dali so tudi predloge za druge poti, kjer bi bilo nekaj vzponov, saj je označena pot na zemljevidu ravninska. Priložena dokazila o izvedbi dejavnosti Slika 77: Reševanje prvega dijaka 140 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Slika 78: Reševanje drugega dijaka | 141 Razvijamo matematično pismenost Slika 79: Reševanje tretjega dijaka Slika 80: Reševanje četrtega dijaka 142 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Slika 81: Reševanje petega dijaka | 143 Razvijamo matematično pismenost Slika 82: Reševanje šestega dijaka Slika 83: Reševanje sedmega dijaka Viri in literatura 1. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Fras Bero, F. idr. (2022). Matematič- na pismenost. Opredelitev in gradniki. [Elektronski vir]. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Matema- ticna_pismenost_gradniki.pdf. 2. Google Zemljevidi. Pridobljeno 25. 10. 2018. Dostopno na spletnem naslovu: https://www.google.si/ maps. 144 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Raziskovanje obstoja in lastnosti platonskih teles Viktorija Ternar Horvat, Gimnazija Franca Miklošiča Ljutomer Dejavnost Raziskovanje obstoja in lastnosti platonskih teles lahko umestimo v sklop Geometrijska telesa v poljubnem srednješolskem programu. Dejavnost je predvidena za dve do tri šolske ure. Dejavnost bi lahko izvedli tudi v 9. razredu osnovne šole pri vsebini geometrijska telesa. Dejavnost sem izvedla v srednjem strokovnem izobraževanju v 3. letniku predšolske vzgoje. Gre za primer vodenega raziskovanja, pri katerem z uporabo konkretnega materiala dijaki sestavijo modele in mreže vseh platonskih teles in iščejo njihove lastnosti. Potrebno predznanje za izvedbo dejavnosti: • dijak pozna in uporablja pojme: geometrijski lik, pravilni večkotnik, geometrijsko telo, oglišče, rob, ploskev, mreža telesa, model telesa Za izvedbo dejavnosti dijaki pripravijo učilnico za delo v skupinah. Učitelj pripravi učne liste in potreben material za delo po skupinah: modeli oglatih geometrijskih teles, sistem JOVO, škarje, papir, geotrikotniki, ravnila, šestila (slika 84). Slika 84: Potreben material za izvedbo dejavnosti Pazimo, da pred dijaki ne uporabimo poimenovanj za platonska telesa, saj po preiskovanju obstoja in lastnosti sami poiščejo vire in imenujejo sestavljena telesa. Z dejavnostjo dijaki prednostno razvijajo naslednje cilje: • izdelajo modele in uporabijo različne reprezentacije platonskih teles, • opišejo lastnosti platonskih teles, • primerjajo različna platonska telesa in poiščejo skupno zvezo med številom oglišč, robov in stranskih ploskev (Eulerjeva formula), • z uporabo različnih strategij rešijo matematični problem, • razvijajo analitično mišljenje in samoiniciativnost, • komunicirajo v matematičnem jeziku in utemeljujejo svoje ugotovitve, • razvijanje veščine sodelovalnega dela v skupini. | 145 Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Dejavnost razvija naslednje gradnike matematične pismenosti: 1.1 razume sporočila z matematično vsebino 1.4 prepozna, razume in uporablja matematične pojme v različnih okoliščinah 1.6 napoveduje in presoja rezultate, utemeljuje trditve, postopke in odločitve 1.7 uporablja različne strategije pri reševanju matematičnih problemov Pravilni polieder ali platonsko telo je geometrijsko telo, katerega ploskve so pravilni večkotniki in pri katerem se v vsakem oglišču stika enako število robov. Za njih velja Eulerjeva poliedrska formula: Naj bo O število oglišč, P število ploskev in R število robov poliedra, za poljuben enostaven polieder velja: Potek dejavnosti Pričakovani rezultati/dokazila Aktivnost dijakov Podgradnik MP Vloga učitelja (kako bodo dijaki izkazali, da so dosegli cilje) Dijaki v skupinah opazujejo model oglatega geometrijskega telesa in MP1.1 a Dijake razdeli v skupine. Izpolnjen učni list (P1). si zastavijo čim več različnih vprašanj o tem modelu. Vsaki skupini da učni list (P1) in model enega znanega oglatega MP1.7 d geometrijskega telesa ( različne prizme in piramide). Preveri, ali so dijaki razumeli navodila, zapisana na učnem listu (P1). Spremlja delo v skupinah. Dijaki v skupinah raziščejo obstoj in lastnosti pravilnih teles, katerih MP1.1 a Vsaki skupini da učni list (P2) in preveri, ali so dijaki razumeli navodila, Sestavljeni modeli tetraedra, ploskve so enakostranični trikotniki. MP1.4 b zapisana na učnem listu (P2). oktaedra in ikozaedra iz elementov MP1.7 a sistema JOVO. Izdelajo modele tetraedra, oktaedra in ikozaedra iz elementov Spremlja delo v skupinah. sistema JOVO, s pomočjo katerih opišejo njihove lastnosti. Izdelane mreže tetraedra, Če je potrebno, dijake pri delu v skupini usmeri. oktaedra in ikozaedra. Izdelajo čim več različnih mrež sestavljenih teles in preizkusijo njihovo ustreznost. Izpolnjen učni list (P2). | 146 Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Pričakovani rezultati/dokazila Aktivnost dijakov Podgradnik MP Vloga učitelja (kako bodo dijaki izkazali, da so dosegli cilje) Dijaki v skupinah raziščejo obstoj in lastnosti pravilnih teles, katerih MP1.1 a Vsaki skupini da učni list (P3) in preveri, ali so dijaki razumeli navodila, Sestavljeni model kocke iz ploskve so kvadrati. MP1.4 b zapisana na učnem listu (P3). elementov sistema JOVO. MP1.7 a Izdelajo model kocke iz elementov sistema JOVO, s pomočjo Spremlja delo v skupinah. Izdelane mreže kocke. katerega opišejo njegove lastnosti. Če je potrebno, dijake pri delu v skupini usmeri. Izpolnjen učni list (P3). Izdelajo čim več različnih mrež kocke in preizkusijo njihovo ustreznost. Dijaki v skupinah raziščejo obstoj in lastnosti pravilnih teles, katerih MP1.1 a Vsaki skupini da učni list (P4) in preveri, ali so dijaki razumeli navodila, Sestavljeni model dodekaedra iz ploskve so pravilni petkotniki. MP1.4 b zapisana na učnem listu (P4). elementov sistema JOVO. MP1.7 a Izdelajo model dodekaedra iz elementov sistema JOVO, s pomočjo Spremlja delo v skupinah. Izdelane mreže dodekaedra. katerega opišejo njegove lastnosti. Če je potrebno, dijake pri delu v skupini usmeri. Izpolnjen učni list (P4). Izdelajo čim več različnih mrež dodekaedra in preizkusijo njihovo ustreznost. Dijaki v skupinah raziščejo obstoj pravilnih teles, katerih ploskve so MP1.1 a Vsaki skupini da učni list (P5) in preveri, ali so dijaki razumeli navodila, Ugotovitev, da ni mogoče sestaviti pravilni šestkotniki. MP1.7 a zapisana na učnem listu (P5). pravilnega telesa iz pravilnih Spremlja delo v skupinah. šestkotnikov. MP1.6 e Če je potrebno, dijake pri delu v skupini usmeri. Dijaki v skupini zapišejo utemeljitev, zakaj ni mogoče sestaviti MP1.6 f Vsaki skupini da učni list (P6) in dijake spodbudi k samostojnemu Izpolnjen učni list (P6). pravilnega telesa iz pravilnih šestkotnikov. utemeljevanju. Dijaki v skupinah poiščejo in navedejo spletne vire, v katerih so MP1.1 d Dijakom da ustno navodilo, da bodo pri naslednji nalogi uporabili svoje Izpolnjen učni list (P7). predstavljena platonska telesa ter jih imenujejo. prenosne telefone. Vire kritično ovrednotijo. Vsaki skupini da učni list (P7) in preveri, ali so dijaki razumeli navodila, zapisana na učnem listu (P7). Dijaki v skupinah raziščejo povezavo med številom oglišč, robov in MP1.7 a Vsaki skupini da učni list (P8) in preveri, ali so dijaki razumeli navodila, Izpolnjen učni list (P8). stranskih ploskev platonskih teles in zapišejo Eulerjevo formulo. zapisana na učnem listu (P8). Dijake spodbuja k samostojnemu preiskovanju. | 147 Razvijamo matematično pismenost Priloge : • P1 – Učni list za postavljanje vprašanj ob modelu oglatega geometrijskega telesa • P2 – Učni list za raziskovanje platonskih teles, katerih ploskve so enakostranični trikotniki • P3 – Učni list za raziskovanje platonskih teles, katerih ploskve so kvadrati • P4 – Učni list za raziskovanje platonskih teles, katerih ploskve so pravilni petkotniki • P5 – Učni list za raziskovanje platonskih teles, katerih ploskve so pravilni šestkotniki • P6 – Učni list za utemeljevanje neobstoja pravilnega telesa, katerega ploskve bi bile pravilni šestkotniki • P7 – Učni list za delo z viri • P8 – Učni list za raziskovanje Eulerjeve formule 148 | Razvijamo matematično pismenost | Učni list – P1 Učni list za postavljanje vprašanj ob modelu oglatega geometrijskega telesa Člani skupine: Navodilo V skupini se pogovorite in zastavite čim več vprašanj o modelu telesa, ki je pred vami. | 149 Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Učni list – P2 Učni list za raziskovanje platonskih teles, katerih ploskve so enakostranični trikotniki. Člani skupine: Navodilo S pomočjo sistema JOVO oblikujte vsa telesa, katerih ploskve so skladni enakostranični trikotniki z značilnostjo, da se v vsakem oglišču stika enako število enakostraničnih trikotnikov, in rešite naslednje naloge. a) Raziščite lastnosti sestavljenih teles in za vsako sestavljeno telo dopolnite spodnjo tabelo. Število ploskev, Ploskev Število ploskev Število oglišč Število robov ki se stikajo v enem oglišču Enakostranični trikotnik b) Narišite mrežo vsakega sestavljenega telesa in preizkusite njeno ustreznost. Če mreža ni ustrezna, poiščite ustrezno. 150 | Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Učni list – P3 Učni list za raziskovanje platonskih teles, katerih ploskve so kvadrati Člani skupine: Navodilo S pomočjo sistema JOVO oblikujte vsa telesa, katerih ploskve so skladni kvadrati z značilnostjo, da se v vsakem oglišču stika enako število kvadratov, in rešite naslednje naloge. a) Raziščite lastnosti sestavljenih teles in za vsako sestavljeno telo dopolnite spodnjo tabelo. Število ploskev, Ploskev Število ploskev Število oglišč Število robov ki se stikajo v enem oglišču Kvadrat b) Narišite mrežo vsakega sestavljenega telesa in preizkusite njeno ustreznost. Če mreža ni ustrezna, poiščite ustrezno. | 151 Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Učni list – P4 Učni list za raziskovanje platonskih teles, katerih ploskve so pravilni petkotniki Člani skupine: Navodilo S pomočjo sistema JOVO oblikujte vsa telesa, katerih ploskve so skladni pravilni petkotniki z značilnostjo, da se v vsakem oglišču stika enako število petkotnikov, in rešite naslednje naloge. a) Raziščite lastnosti sestavljenih teles in za vsako sestavljeno telo dopolnite spodnjo tabelo. Število ploskev, Ploskev Število ploskev Število oglišč Število robov ki se stikajo v enem oglišču Pravilni petkotnik b) Narišite mrežo vsakega sestavljenega telesa in preizkusite njeno ustreznost. Če mreža ni ustrezna, poiščite ustrezno. 152 | Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Učni list – P5 Učni list za raziskovanje platonskih teles, katerih ploskve so pravilni šestkotniki Člani skupine: Navodilo S pomočjo sistema JOVO oblikujte vsa telesa, katerih ploskve so skladni pravilni šestkotniki z značilnostjo, da se v vsakem oglišču stika enako število šestkotnikov, in rešite naslednje naloge. a) Raziščite lastnosti sestavljenih teles in za vsako sestavljeno telo dopolnite spodnjo tabelo. Število ploskev, Ploskev Število ploskev Število oglišč Število robov ki se stikajo v enem oglišču Pravilni šestkotnik b) Narišite mrežo vsakega sestavljenega telesa in preizkusite njeno ustreznost. Če mreža ni ustrezna, poiščite ustrezno. | 153 Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Učni list – P6 Učni list za utemeljevanje neobstoja pravilnega telesa, katerega ploskve bi bile pravilni šestkotniki Člani skupine: Navodilo Utemeljite, zakaj ni mogoče sestaviti telesa, ki bi bilo sestavljeno iz skladnih pravilnih šestkotnikov z značilnostjo, da bi se v vsakem oglišču stikalo enako število ploskev. 154 | Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Učni list – P7 Učni list za delo z viri Člani skupine: Navodilo Na spletu poiščite in navedite vire, v katerih so predstavljena telesa, ki ste jih sestavili pri prejšnjih aktivnostih, in jih poimenujte. Navedene vire primerjajte in jih kritično ovrednotite. | 155 Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Učni list – P8 Učni list za raziskovanje Eulerjeve formule Člani skupine: Navodilo Raziščite število oglišč, število ploskev in število robov različnih platonskih teles. 156 | Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Evalvacija, refleksija učiteljice Dejavnost Raziskovanje obstoja in lastnosti platonskih teles sem izvedla v 4. letniku programa predšolske vzgoje pri predmetu Matematika za otroke. Za izvedbo sem časovno predvidela dve šolski uri, ampak se je izkazalo, da so imeli dijaki premalo časa, zato bi bilo treba pri naslednji izvedbi časovni potek prilagoditi zmožnostim dijakom in jim dati več časa za premislek. Skozi dejavnost se je izkazalo več stvari, ki bi jih rada poudarila. Na začetku bi izpostavila, da so dijaki pri dajanju in branju navodil premalo pozorni, kar se je kasneje izkazalo pri sestavljanju teles iz sistema JOVO, saj so nekateri oblikovali tudi nekonveksne poliedre. Potem ko sem jim še enkrat podala navodila, težav z razumevanjem niso imeli. Pri postavljanju vprašanj ob modelu telesa ter pri utemeljevanju obstoja platonskih teles se je izkazalo, da imajo dijaki težave s strokovno terminologijo. Ob sestavljanju modelov platonskih teles iz elementov sistema JOVO so naravnost uživali. Usmeritev so potrebovali le pri sestavljanju platonskih teles iz enakostraničnih trikotnikov; tetraeder in oktaeder so sestavili razmeroma hitro, medtem ko so nekatere skupine potrebovale usmeritev za sestavo ikozaedra. K skupini sem pristopila sistematično in jih s vprašanji usmerila do ugotovitve, koliko enakostraničnih trikotnikov bi se lahko stikalo v enem oglišču. Pri izdelovanju mrež nisem opazila nobenih posebnih težav, mogoče so bili v nekaterih skupinah premalo natančni. Razen pri izdelavi mreže ikozaedra, ko eni skupini ni uspelo izdelati pravilne mreže, druga skupina pa svoje mreže sploh ni priložila. Prav tako niso imeli težav z določanjem lastnosti platonskih teles. Delo v skupinah pa se je zataknilo pri utemeljevanju, zakaj ne obstaja platonsko telo, sestavljeno iz pravilnih šestkotnikov. Učne liste P2, P3, P4 in P5 bi lahko združili skupaj v en učni list. Za iskanje povezave med številom robov, oglišč in ploskev platonskih teles bi potrebovali več časa, zato večina skupin ni prišla do Eulerjeve formule. Kar pa se mi zdi zaskrbljujoče, je, da dijaki v poplavi tehnologije, s katero živijo na vsakem koraku, niso vešči iskanja informacij na spletu in brskanja po spletnih straneh, ki bi jih vodile do cilja, ki je bil pri naši dejavnosti imenovanje platonskih teles. Prav tako niso ustrezno navedli virov. Menim, da je dejavnost dosegla svoj namen, saj so dijaki pridobili pozitivne izkušnje z vodenim raziskovanjem platonskih teles. Dokazi oziroma izdelki dijakov Slika 85: Postavljanje vprašanj | 157 Razvijamo matematično pismenost Slika 86: Raziskovanje platonskih teles, tirkotniki Slika 87: Mreža platonskega telesa, trikotniki 158 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Slika 88: Raziskovanje platonskih teles, kvadrati Slika 89: Mreža platonskih teles, kvadrati | 159 Razvijamo matematično pismenost Slika 90: Raziskovanje platonskih teles, petkotniki Slika 91: Mreža platonskih teles, petkotniki 160 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Slika 92: Poimenovanje teles Slika 93: Eulerjevo spoznanje | 161 Razvijamo matematično pismenost Refleksija dijakov po izvedbi Dijaki so ob dejavnosti uživali. Delo v skupinah jim je všeč, prav tako so jim bile blizu konkretne reprezentacije teles. Zapisali so, da so imeli težave pri iskanju informacij o imenu sestavljenih teles in pri utemeljevanju njihovega obstoja. Predlagali so, da bi takšne dejavnosti lahko večkrat izvajali pri pouku, saj so odkrivali matematiko v sproščenem vzdušju. Refleksije štirih dijakov 162 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje prvega gradnika matematične pismenosti Viri in literatura 1. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Fras Bero, F. idr. (2022). Matematična pismenost. Opredelitev in gradniki. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. [Elektronski vir]. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Matematicna_pismenost_gradniki.pdf. 2. Svetlin, P. (2012). Matematično preiskovanje poliedrov v osnovni šoli (diplomska naloga). Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta, Fakulteta za matematiko in fiziko. Pridobljeno s http://pefprints. pef.uni-lj.si/769/1/POLIEDRI.pdf. 3. Verdnik, A. (2013). Pravilni poliedri (diplomska naloga). Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta. Pridobljeno s http://pefprints.pef.uni-lj.si/1971/1/pravilni_poliedri_andreja_verdnik.pdf. 4. Platonsko telo (2018). Wikipedija, prosta enciklopedija. Pridobljeno 5. 9. 2018. Dostopno na spletnem naslovu: https://sl.wikipedia.org/wiki/Platonsko_telo. 5. Učni načrt (2008). Matematika. Gimnazija; Splošna, klasična in strokovna gimnazija. Predmetna komi-sija Amalija Žakelj idr. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno 5. 9. 2018 s spletne strani http://eportal.mss.edus.si/msswww/programi2013/programi/ media/pdf/un_gimnazija/un_matematika_gimn.pdf. | 163 III. Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Razvijamo matematično pismenost Različno dolge poti od starta do cilja Sonja Miklavc, Javni vzgojno-izobraževalni zavod Mozirje, OE Vrtec Mozirje DE Tulipan Otrok se v življenju že zelo zgodaj sreča z matematiko, spontano ali načrtno. Določene življenjske situacije ga silijo k matematičnemu mišljenju in iskanju novih rešitev. Kot vzgojitelj opažam, da otrokom matematika predstavlja vedno nove izzive. Ko ob zastavljeni nalogi pridejo do rešitve ali novega uvida, jih to spodbudi k reševanju novih problemov. Pri izvedbi predstavljene dejavnosti sem izhajala iz otrok. S skupino otrok, starih od 4 do 5 let, smo obiskali društvo upokojenk domačega kraja. Do njihovega naslova smo šli po eni, vračali pa smo se po drugi, daljši poti. Ker se nam je mudilo na kosilo, smo stopili malo hitreje. Nakar je fant iz skupine vprašal: »Zakaj se ne vračamo v vrtec po isti poti, kot smo šli do upokojenk, saj bi prišli hitreje na cilj?« To njegovo vprašanje me ni pustilo ravnodušne. Želela sem, da otroci preko lastne aktivnosti, ob primerni motivaciji in s premišljenimi didaktičnimi sredstvi prihajajo do novih spoznanj, v našem primeru do odgovora o dolžini poti. Vprašali smo se, po kateri poti bi hitreje prišli od cilja, ravni ali ovinkasti, pri tem pa moramo upoštevati, da obe poti vodita od istega začetnega položaja do istega cilja. V dejavnost sem vključila globalni cilj: razvijanje matematičnega mišljenja. Dejavnost sem izvedla v dveh skupinah, saj sem tako otroke lažje motivirala ter spodbujala k matematičnemu razmišljanju. Da bi otroci lažje prišli do odgovora, smo že dan pred izvedbo nastopa otrokom pred vrtcem narisali dve črti oziroma poti, eno ravno in drugo krivo, ki sta vodili od istega starta do istega cilja. Otroci so poljubno potiskali avtomobile po njima, tako jim je bila dana možnost zaznavanja dolžine poti. Z dejavnostjo smo nadaljevali naslednji dan v igralnici. Otroci so izmenično potiskali svoje avtomobilčke po modri in rjavi črti. Obe sta potekali od istega začetnega položaja do istega cilja, pri tem je bila modra ravna ter rjava ovinkasta. Otroci so bili vseskozi primerno vodeni, predvsem smo želeli, da poskušajo sami priti do želenega odgovora. Skozi dejavnost sem sledila naslednjim operativnim ciljem (vsebinski, procesni): • Otrok se seznanja z verjetnostjo dogodkov in rabi izraze za opisovanje verjetnosti dogodka (1.6 b). • Otrok se seznanja s strategijo merjenja ter primerjanja različnih dolžin (2.1 d). • Otrok preverja smiselnost dobljene rešitve problema (2.1 e). • Otrok razume razliko v dolžini cest (ovinkasta, ravna cesta), ki vodita do istega cilja (2.1 b). Pri načrtovanju dejavnosti sem stremela, da je vsak operativni cilj vključeval vsaj en podgradnik. Vključeni gradniki matematične pismenosti pri dejavnosti so: 1.6 napoveduje in presoja rezultate, utemeljuje trditve, postopke in odločitve • 1.6 b) na podlagi lastnih izkušenj napove, kaj se bo zgodilo 2.1 obravnava raznolike življenjske probleme • 2.1 a) zazna in opredeli matematični problem v življenjski situaciji • 2.1 b) ponazori situacijo s konkretnim materialom in jo opiše v vsakdanjem jeziku • 2.1 d) oblikuje in uporabi ustrezno matematično strategijo za reševanje problema • 2.1 e) opiše (delne in končne) rešitve v kontekstu 166 | Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Potek dejavnosti Aktivnost otrok Podgradnik MP Vloga vzgojiteljice Pričakovani rezultati/dokazila Otrok potiska avtomobil po dveh različnih cestah (ravna in MP2.1 a Pripravi sredstva, usmerja otroka na podlagi predhodno podanih Opis (izkazovanje) zaznavanja ovinkasta) od istega starta do istega cilja, ki sta označeni z dvema MP2.1 b navodil, komentira ter posluša komentarje otrok. dolžin poti od starta do cilja vrvicama. ob lastni aktivnosti (potiskanje Otroci pripovedujejo o svoji izkušnji (kaj mislijo, katera pot je avtomobila). daljša). Otrok se glede na vprašanje opredeli o pravilni trditvi (pobarva pot, MP1.6 b Usmeri otroka k razmišljanju, ponudi obrazec za označitev otrokove Označevanje trditev (pobarva pot) za katero predvideva, da je daljša). trditve, trditve označi na preglednici. na podlagi lastne aktivnosti ter Svojo odločitev predstavi. pridobljene izkušnje. Iz preglednice spozna dobljene rezultate. Opazuje situacijo in primerja dolžini napetih barvnih vrvic, ki sta MP2.1 d Napne vrvici, ki sta označevali poti, otroke povabi k interpretaciji Izrazi ugotovitev, da je ovinkasta označevali poti od istega starta do istega cilja. opaženega. cesta (rjava) daljša od ravne ceste (modre). Viden rezultat (napeti barvni vrvici) primerja s trditvami v MP2.1 e Otroke povabi k povezovanju dobljenih rezultatov z njihovo hipotezo. Pokaže, katere slike prikazujejo preglednici, ki označuje njegovo hipotezo. prave rešitve. | 167 Razvijamo matematično pismenost Izvedba Izvajalka: VIZ: Datum: Sonja Miklavc JVIZ Mozirje OE Vrtec Mozirje DE Tulipan December 2019 Refleksija vzgojiteljice Otroci so že med pripravo dejavnosti čutili, da zanje pripravljamo nekaj posebnega, zato so z zanimanjem opazovali ter sodelovali pri pripravi prostora, kar jih je še dodatno motiviralo. Vseskozi so bili radovedni, kaj pomenita prilepljeni vrvici na tleh, zakaj sta različnih oblik in barv. Že tu sem čutila njihovo pripravljenost za sodelovanje preko igre. Po dejavnosti s potiskanjem avtomobilov po ovinkasti in ravni črti so sledila odprta vprašanja, ki so od otroka zahtevala matematično razmišljanje. Vseskozi sem težila k individualizaciji ter postopnosti izpeljave primera. Le tako sem lahko obdržala sledljivost. Svoje odgovore o dolžini poti so otroci označili na pripravljen obrazec. Rezultati so bili zelo zanimivi, saj je več kot polovica otrok predvidevalo, da je daljša modra, ravna pot. Po mojem mnenju je razlog za to premalo izkušenj oziroma izzivov, ki bi jih pripeljali do razumevanja postavljene hipoteze. Slika 94: Potiskanje avtomobila po ravni in ovinkasti cesti Med barvanjem poti sem prišla do spoznanja, da bi pri ponovni izvedbi dejavnosti na vsako mizo dala še več modrih in rjavih flomastrov, saj bi otroci na ta način imeli dovolj barv flomastrov, s katerimi bi lahko označiti pot. Opazila sem, da so otroci, ki niso bili prepričani v svojo trditev oziroma zanjo niso imeli svoje razlage, vzeli flomaster, ki je bil prost. Slika 95: Postavitev hipoteze 168 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Zbrani rezultati, prilepljeni na tablo, so pokazali, kako se je vsak posameznik odločil in katerih odločitev je bilo največ. Tu sem otroke ponovno verbalno izzvala, da bi z lastnim razmišljanjem prišli do ideje, kako bi preverili pravilnost postavljene hipoteze. K razmišljanju sem še posebej povabila otroke, ki so se odločili in označili rjavo pot kot pravo. Nobeden od teh otrok ni imel razlage, ki bi opravičevala dobljeni rezultat. Otroci kljub namigovanju ter dodatni razlagi niso prišli do ideje, zato sem jim pomagala. Odlepila sem rjavo vrvico ter jo položila poleg modre ravne vrvice. Otroci so bili vidno presenečeni. Njihovi odgovori oziroma interpretacije so bile zelo različne, veliko so omenjali ovinke, ki so jih povezovali s hitrostjo, a le eden otrok je smiselno povezal, da po ravni cesti hitreje pridemo do cilja. Slika 96: Rezultati hipoteze Ko so otroci videli primerjavo obeh vrvic, jim je bilo hitro jasno, da je ovinkasta cesta od istega starta do istega cilja daljša kot ravna. Otroci so bili aktivno vključeni v proces učenja, saj so na konkretni ravni ter preko lastne aktivnosti prihajali do novih znanj. Vseskozi so bili primerno vodljivi, dejavnost jih je zanimala, saj je od njih vseskozi terjala akcijo tako v smislu igre kot v smislu matematičnega razmišljanja. Slika 97: Rjava pot je daljša od modre Preko predstavljene dejavnosti sem spoznala, kako pomembno je iz otroka izvabljati čudenje, radovednost, zanimanje, dobre občutke ob novih spoznanjih, in tudi s tega vidika je pomembno, da otroku spodbudimo zanimanje za matematiko že v predšolskem obdobju. Viri in literatura 1. Bahovec, E. B., idr. (2010). Kurikulum za vrtce: predšolska vzgoja v vrtcih. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. 2. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Klavs, A. idr. (2022). Matematič- na pismenost. Opredelitev in gradniki. [Elektronski vir]. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Matematicna_pismenost_gradniki.pdf. | 169 Razvijamo matematično pismenost Reševanje matematičnega problema − na pikniku s preveč gosti in premalo hrane Nataša Vrabič, Javni vzgojno-izobraževalni zavod Mozirje OE Vrtec Mozirje V vrtcu se vsakodnevno srečujemo s številnimi matematičnimi dejavnostmi, ki se jih zavedamo ali mogoče tudi ne, jih načrtno izvajamo preko usmerjenih dejavnostih ali spontano med samo dnevno rutino in vsakdanjimi situacijami. Drugi gradnik matematične pismenosti, reševanje problemov v raznolikih kontekstih, ki omogočajo matematično reševanje, me je spodbudil k razmišljanju o vsakodnevnih situacijah otrok, pri katerih se pojavljajo matematični izzivi. Pri izvedbi dejavnosti sem izhajala iz življenjske situacije, s katero se otroci lahko srečujejo doma, v vrtcu, pri simbolni igri. Izbira Piknik oziroma zabava, kot smo našo dejavnost z otroki poimenovali, se je izkazala za dobro izbiro. Pogosto se namreč gostitelji srečujejo s težavo, da imajo premalo hrane ali pijače za pogostitev vseh gostov, zato poskušajo rešiti nastali problem na raznovrstne načine. Pri načrtovanju dejavnosti sem si zastavila dva globalna cilja: seznanjanje z matematiko v vsakdanjem življenju ter razvijanje matematičnega mišljenja, ki se dobro navezujeta na podgradnik matematične pismenosti 2.1 − obravnava raznolike življenjske probleme. Dobra motivacija in participacija otrok sta pomembna elementa, ki kvalitetno prispevata k izvedbi dejavnosti, zato sem temu namenila več pozornosti. Otroci so bili vključeni že v pripravo prostora, kar je bila še dodatna spodbuda. Pripravili smo si prostor za piknik v igralnici, na tla smo pogrnili odejo in si za boljše vzdušje postavili tudi smrečice, pripravili papirnate krožnike, prtičke, lončke, kekse, sok, banane. Dejavnost smo kasneje ponovili v toplejših mesecih, zato smo lahko piknik izvedli tudi na prostem, kar je bilo otrokom še bolj všeč. Ker je bila dejavnost izvedena v heterogeni skupini otrok, starih 3–5 let, sem predvidevala, da bodo imeli mlajši otroci pri reševanju problemov več težav kot starejši, zato sem načrtovala primerno izvedbo glede na sposobnosti otrok in prilagodila zahtevnost (število gostov in ponujene hrane). Med samo dejavnostjo sem tako prilagajala število gostov in količino hrane glede na izkušnje otrok z reševanjem matematičnih problemov in jih tako postavljala v različne problemske situacije s prilagajanjem zahtevnosti. Dejavnost je bila izvedena v manjših skupinah otrok, kar je omogočilo večjo individualizacijo in kvalitetnejšo izvedbo. V dejavnosti Reševanje matematičnega problema − na pikniku s preveč gosti in premalo hrane sem želela slediti naslednjim operativnim ciljem (vsebinski, procesni): • Otrok se seznanja s štetjem in rabi imena za števila. • Otrok zaznava prirejanje 1 : 1 in prireja 1 : 1. • Otrok išče (s preizkušanjem), zaznava in uporablja različne možnosti rešitve problema. • Otrok preverja smiselnost dobljene rešitve problema. S dejavnostjo smo uresničevali drugi gradnik matematične pismenosti: 2.1 obravnava raznolike življenjske probleme • 2.1 a) zazna in opredeli matematični problem v življenjski situaciji • 2.1 b) ponazori situacijo s konkretnim materialom in jo opiše v vsakdanjem jeziku • 2.1. c) sodeluje pri oblikovanju načrta reševanja • 2.1 d) oblikuje in uporabi ustrezno matematično strategijo za reševanje problema • 2.1 e) opiše (delne in končne) rešitve v kontekstu 170 | Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Potek dejavnosti Aktivnost otrok Podgradnik MP Vloga vzgojiteljice Pričakovani rezultati/dokazila Sodelovanje pri pripravi sredstev in prostora za piknik. MP2.1 b Priprava sredstev in prostora za piknik. Štetje določenega števila otrok. Izbere dva otroka – gostitelja (lahko tudi več ali manj). Otrok sledi navodilom, prešteva predmete in povabi na piknik Poda navodila: gostitelja lahko povabita na piknik določeno število določeno število otrok (dva, štiri …). otrok (število izbere vzgojitelj glede na starost in sposobnosti otrok − dva, štiri … otroke). Otrok razdeli gostom krožnike in prtičke. MP2.1 a Usmerja otroke, vodi pogovor in jim nudi pomoč. Izkazovanje ustreznega prirejanja 1 : 1 (krožnike in prtičke). Otrok si ogleda hrano in pijačo, ki je na voljo. MP2.1 a Vzgojitelj glede na situacijo (izbrano število gostov) prilagaja količino Ugotavljanje (s štetjem), da je MP2.1 b hrane in tako prilagaja zahtevnost izziva. gostov več kot posamezne količine Otrok išče rešitev, kako bi pogostil vse goste z enako količino hrane MP2.1 c Spodbuja otroke, da morajo celoto (kekse, banane) razdeliti na enake keksov, banan in čaja. in pijače z dano količino. MP2.1 d dele. MP2.1 e Primer: Otrok dva keksa razdeli med štiri goste. Primer: Z uporabo strategije (s poskusi in Otrokom pove, da imajo na voljo za pogostitev (štirih) gostov: napakami) prikaže delitev hrane in Primer: Štirim gostom razdeli eno oziroma dve banani. • dva keksa, pijače za vse goste enako. • eno banano, Primer: Otrok nalije vsem gostom enako čaja in ga po potrebi Izkaže razumevanje terminov za preliva iz lončka v lonček, da je v lončkih enaka količina. • čaj. odnose. Lahko pa otrok upošteva željo gostov, nalije v lončke veliko ali malo Otrokom da navodilo, naj vsak gost dobi enako količino hrane in pijače. čaja. Skrbi za postopnost pri pogostitvi, najprej pogostitev s keksi, nato Otrok spozna termine za velikostne odnose (večji, manjši, enako, sadjem in čajem. veliko, malo, več, manj, polovica, na pol). Usmerja otroke in vodi pogovor. Nudi otrokom pomoč, jih spodbuja pri reševanju problemov. Vzgojitelj in otroci gostitelji lahko upoštevajo tudi željo gostov, ali bodo imeli veliko ali malo čaja, ter pri tem otroke spodbudi, da upoštevajo količinska razmerja. | 171 Razvijamo matematično pismenost Izvedba Izvajalka: VIZ: Datum: Nataša Vrabič JVIZ Mozirje, OE Vrtec Mozirje, DE Lipa 9. 1. 2020 Rečica ob Savinji Evalvacija, refleksija vzgojiteljice Dejavnost Reševanje matematičnega problema − na pikniku s preveč gosti in premalo hrane je otroke zelo pritegnila, ves čas so bili aktivni in vztrajni, k čemur so verjetno prispevala tudi sredstva in priprava prostora. Za dobro izvedbo sta bila pomembna postopnost izvedbe in delo v manjših skupinah otrok. Pomembno je tudi, da dobro poznamo otroke, se zavedamo njihovih sposobnosti ter temu primerno načrtujemo izvedbo. Opisana dejavnost nam omogoča možnost izbire različnih problemskih situacij, nadgradnjo dejavnosti in različne stopnje zahtevnosti. Starejši otroci gostitelji so že na začetku povabili več gostov kot mlajši. Ob prvi izvedbi so povabili na svoj piknik štiri goste. Brez preštevanja gostov sta gostitelja ugotovila, da potrebujeta štiri krožnike in štiri prtičke. Dva keksa sta štirim gostom razdelila brez večjih težav in sta hitro ugotovila, da je treba kekse razpoloviti na pol. Glede na to, da otroka nista imela težav pri delitvi keksov, sem težavnost povečala pri delitvi banan. Gostiteljema je bila ponujena ena banana za štiri otroke. Po krajšem premisleku sta otroka pravilno ugotovila, da bi banano razrezala na štiri enake kose. Dobro se mi zdi, da se je pri dejavnosti glede na uspešnost otroka postopno povečevala tudi zahtevnost same dejavnosti. Ker sem predvidevala, da bodo imeli mlajši otroci več težav, so mlajši otroci sprva povabili na svoj piknik manj gostov, najprej dva. Brez večjih težav so hitro ugotovili, da je treba keks prepoloviti. Glede na njihovo uspešno izvedbo smo povečali zahtevnost in povečali število gostov na štiri. Podobno kot pri starejših otrocih so imeli tudi mlajši otroci eno banano za štiri goste. V večini primerov so ob preštevanju gostov uspešno ugotovili, da jo je treba narezati na manjše kose. Slika 98: Primer delitve ene banane za štiri goste Pri nalivanju soka so se otroci trudili naliti enako količino v vse kozarce. Že na začetku sem otrokom postavila novo problemsko situacijo in jim namenila en lonček več, kot je bilo gostov, kar je nekoliko zmedlo že starejše otroke, ki pa po preštevanju gostov soka niso nalili v vse lončke. Mlajši so v nasprotju s starejšimi nalili sok v vse lončke. Menim, da je dobro otroke občasno pustiti, da naredijo napako in jim tudi pustiti, da jo s svojimi idejami rešijo. Ob pogostitvi gostov s sokom so otroci namreč hitro ugotovili, da je en kozarec soka preveč. Ob spodbujanju, kaj bi sedaj lahko naredili, so predlagali, da bi povabili še enega otroka na piknik, in težava je bila hitro rešena. 172 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Slika 99: Zmanjkalo je soka za zadnji lonček − prelivanje tekočine iz drugih lončkov Zanimiva je bila situacijo, ko je otrokom zmanjkalo soka za zadnji lonček, saj so imeli na voljo omejeno količino soka. Podajali so različne rešitve, nekateri bi nalili vodo, spet drugi bi šli v kuhinjo po dodaten sok. Šele kasneje so s pomočjo drugih otrok prišli do rešitve, da bi prelili sok iz drugega lončka. Izkazalo se je, da ima njihova rešitev nekaj pomanjkljivosti, saj so lonček v celoti izpraznili in en lonček je bil ponovno prazen. Ker po kar nekaj poskusih niso ugotovili, kako bi rešili nastali problem, sem k dejavnosti povabila najstarejše otroke, ki so čez čas ugotovili, da bi s prilivanjem manjših količin soka iz drugih lončkov dobili enako količino soka v vseh lončkih in tako je medvrstniško učenje hitro prišlo v ospredje. Slika 100: Primerjanje tekočine v lončkih Dejavnost smo kasneje ponovili in nadgradili problemske situacije. Otrokom je predstavljala velik izziv kombinacija lihega števila gostov in sodega število banan. Kako bi dve banani razdelili med tri goste, je od otrok zahtevalo kar nekaj razmišljanja, medvrstniškega sodelovanja in podpore vzgojitelja. Ponovno se je pokazalo boljše dojemanje in reševanje problemov pri starejših otrocih, medtem ko so mlajši potrebovali več usmerjanja in spodbude. Otroci so ob nekoliko težjih matematičnih situacijah pokazali veliko domišljije ter uporabljali različne strategije reševanja matematičnega problema, ki pa so pripeljale do istega cilja. Slika 101: Primer delitve dveh keksov za tri goste | 173 Razvijamo matematično pismenost Slika 102: Primer delitve dveh banan za tri goste Otroci so bili med dejavnostjo zelo motivirani, zelo radi so se vključili v dejavnost in želeli sodelovati kot gostitelji in tudi kot gosti. Otrokom sem prepustila, da so s svojimi idejami reševali nastale »težave«, in jih spodbujala pri samostojnem reševanju problemov. Otrokom je bilo omogočeno, da so sami preverjali smiselnost dobljene rešitve ter jo po potrebi spremenili. Pri dejavnosti sem jih poskušala čim manj usmerjati, jim nudila pomoč z odprtimi vprašanji, prisluhnila njihovim idejam in mnenjem ter jih spodbujala k medsebojni pomoči. Zadani cilji v pripravi so bili med dejavnostjo dobro realizirani. Opisana dejavnost nam nudi različne možnosti, saj v njej zasledimo številne matematične dejavnosti. Otroci so v dejavnosti prirejali 1 : 1, se seznanjali s štetjem, uporabljali imena za števila in preštevali, iskali, zaznavali ter uporabljali različne možnosti rešitve problema, preverjali smiselnost dobljene rešitve problema ter se seznanili tudi s pojmi celota in deli celote, velikostnimi odnosi veliko, malo in enako. Refleksija otrok Slika 103: Izvedba piknika na prostem 174 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Da je bila dejavnost otrokom všeč, potrjujejo tudi njihovi komentarji, od katerih jih omenjam le nekaj: »Piknik mi je bil všeč.« »Meni je bilo najbolj všeč, ko sva imela goste. Zato, ker sva delila. Banano in piškote.« »Všeč mi je bilo, ko sem delila kekse in banane.« »Banano sem prerezal na kose. Na vse kose.« »Na štiri.« »Keks smo dali na pol, takole na pol.« »Meni je bil najbolj všeč sok.« »Štirje soki so bili, samo eden je bil preveč.« »Smo povabili še enega na piknik.« Ob vprašanju, kaj so se naučili, so bili najprej tiho, nato so nekateri povedali, da so se naučili, kako postreči gostom, kako daš keks na pol in da so šteli. Viri in literatura 1. Bahovec, E. B., idr. (2010). Kurikulum za vrtce: predšolska vzgoja v vrtcih. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. 2. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Klavs, A. idr. (2022). Matematič- na pismenost. Opredelitev in gradniki. [Elektronski vir]. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Matematicna_pismenost_gradniki.pdf. | 175 Razvijamo matematično pismenost Komentar na dejavnost Reševanje matematičnega problema − na pikniku s preveč gosti in premalo hrane Napisal: dr. Nik Stopar, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko Čeprav je dejavnost na prvi pogled videti relativno preprosta, je izjemno bogata, saj razvija ogromno različnih matematičnih vsebin (štetje, prirejanje, primerjanje, delitev na dele …) in podpira mnoge podgradnike matematične pismenosti (obravnava življenjske probleme, utemeljuje postopke, uporablja matematično terminologijo, predstavi lastne miselne procese …). Zato je pomembno, da pri izvedbi take dejavnosti otroke primerno usmerjamo in jih spodbujamo k razmišljanju s sprotnim zastavljanjem podvprašanj. Primarni podgradnik 2.1 − obravnava raznolike življenjske probleme – je podprt v celoti in skozi celotno dejavnost. Zaznavanje matematičnega problema v zadani situaciji lahko otroci izkažejo tako, da pojasnijo, zakaj naletimo na težavo, ko želimo dano količino hrane razdeliti med dano število gostov (preštevanje, primerjava velikosti števil). Za sodelovanje otrok pri oblikovanju načrta oziroma strategije reševanja problema je poskrbljeno s sprotno razpravo in postavljanjem vprašanj. Pri tem je pomembno ne le, da znajo otroci rešitev prikazati, ampak tudi, da jo znajo z lastnimi besedami opisati (npr. »Razdelim piškot na dva dela.« ali »Prelijemo sok iz enega kozarca v drugega.«) in preveriti njeno ustreznost. S tem zajamemo tudi 1. gradnik matematične pismenosti, saj poskrbimo, da otroci ozaveščajo svoje početje in se učijo izražati svoje razmišljanje z uporabo ustrezne terminologije. Kot je razvidno iz refleksije, dejavnost omogoča sprotno prilagajanje težavnosti problemov znanju otrok. Največ težav so otroci imeli pri vprašanju delitve soka in pri vprašanju delitve sodega števila banan med liho števili gostov. Če otroci sami ne najdejo rešitve, jim lahko pomagamo tako, da problem poenostavimo, a ohranimo bistvo. Namesto delitve dveh banan med tri goste, jih najprej vprašamo, kako bi razdelili eno banano med tri goste, nato pa jih napeljemo na rešitev problema za dve banani. Podobno lahko problem »izenačevanja« količine soka v petih lončkih, od katerih so štirje polni in en prazen, najprej poenostavimo na »izenačevanje« količine soka v dveh lončkih, od katerih je en poln in en prazen. Tako na zelo naraven način otroke hkrati navajamo tudi na induktivno sklepanje. Dejavnost je res dobro premišljena, hkrati pa je predstavljena izvedba s sprotnim prilagajanjem, odprtimi nalogami in ustreznim usmerjanjem primer dobre prakse pri izvajanju podobnih dejavnosti. 176 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Modeliranje z učenci 2. razreda ob nalogi naročanje pic Vesna Vršič, Zavod RS za šolstvo Reševanje matematičnih problemov z modeliranjem na razredni stopnji je manj znan pristop, ki temelji na reševanju z raziskovanjem. Problemske situacije za tak pristop naj bi izhajale iz realnega življenja in jih pred reševanjem prenesemo v matematični kontekst. Problemska situacija večinoma vsebuje veliko podatkov, včasih pa podatki za rešitev niso dani, temveč jih mora reševalec doreči, ko si »postavi okvire problema« (izpelje predpostavke). Problem, ki smo ga izbrali za učence 2. razreda, izhaja iz učencem znanega konteksta: zabave ob zaključku šolskega leta s pogostitvijo s picami (»pizza party«). Pri matematičnem modeliranju je pomembno, da izhajamo iz konteksta, ki je učencem znan, in tako lahko izhajamo tudi iz njihovih izkušenj. Kontekst o organizaciji zabave ob zaključku šolskega leta, ko bomo za posameznega gosta naročili pico (glede na vrsto in količino, ki jo lahko poje osemletni otrok), se nam je zdel primeren za čas izpeljave (ob zaključku šolskega leta). Problem iz realnega sveta smo tako prenesli na področje matematike, ga prikazali s pomočjo otrokom primernih reprezentacij ter posebno pozornost namenili razumevanju pojmov za rešitev naloge (npr. razdelitev pice na štiri enake dele, četrtine − ena velika pica zadostuje za štiri učence). O problemu (koliko pic moramo naročiti za zabavo) smo razmišljali z različnih zornih kotov in osmišljali omejitve (npr. koga bomo povabili na zabavo, kolikšen del pice lahko pojemo, katero pico bi jedli) ter oblikovali predpostavke. Sledili smo naslednjim operativnim ciljem dejavnosti (vsebinski , procesni): Učenec: • opredeli matematični problem v dani realni situaciji (nalogi), • poišče potrebne podatke za rešitev naloge, razloži dogajanje v problemu, napove druga dogajanja, • predstavi problemsko situacijo s konkretnimi pripomočki (modeli celote), • predstavi način reševanja (načrt), • s svojimi besedami opiše model, • preizkuša model v podobni situaciji. S posameznimi dejavnostmi smo razvijali naslednje (pod)gradnike in opisnike matematične pismenosti: 2.2 obravnava situacije z matematičnim modeliranjem 2.2.1 prenese situacijo v matematični kontekst • 2.2.1 a) sodeluje pri opisu (osebnega) življenjskega problema v matematičnem jeziku • 2.2.1 b) sodeluje pri predstavitvi situacije z matematičnimi sredstvi in pri oblikovanju problemskega vprašanja 2.2.3 uporablja matematične modele • 2.2.3 a) sodeluje pri opisu danega modela • 2.2.3 b) sledi reševanju po danem modelu in izvaja posamezne korake reševanja • 2.2.3 c) opisuje matematične rešitve v kontekstu. Reševanje problema modeliranja smo načrtovali strnjeno za dve pedagoški uri. | 177 Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Potek dejavnosti Aktivnost učencev Podgradnik MP Vloga učitelja Pričakovani rezultati/dokazila a) Pogovor o praznovanju/zabavah Vodi pogovor o temi. Sodelovanje v pogovoru o temi. Učitelj vodi pogovor o njihovih praznovanjih (rojstnega dne, družinskih praznikih …) in organiziranih zabavah. Učenci opišejo priprave na zabavo (izbira prostora, nakup prigrizkov in napitkov, povabilo na zabavo …). b) Realistična situacija Primer naloge: Vaš razred želi ob koncu šolskega leta prirediti MP2.2.1 a Učitelj vodi pogovor. Postavljanje vprašanj ob dani zabavo ob picah – pizza party. Koliko pic bi morali naročiti? 2.2.1. b situaciji. Vprašanje: Kaj nas zanima? (Pogovor: kdo bo na zabavi, kakšne pice bi jedli, katero pico bi naročili, kdo izmed učencev v celoti poje veliko pico, kako Učitelj razdeli vsakemu učencu učni list s krogom (P1 – učni list), ki Prikaz vrste pice (na učnem listu), velika je velika pica, kako velika je mala pica, kolikšen del pice predstavlja pico. ki bi jo želeli jesti na zabavi. največkrat pojeste, kdo vam pico razreže, kolikšen del pic bi ostal, če bi vsakemu učencu naročili celo pico itd.) Učenci na učni list narišejo vrsto pice, ki bi jo želeli jesti na zabavi, in model izrežejo. c) Predstavitev situacije − opazovanje Opisovanje situacije o izbranih Vse izrezane modele pic učenci predstavijo na tabli. Analizirajo MP2.2.1 b Vodi pogovor. vrstah pic učencev. situacijo in se pogovarjajo, katere vrste pic imajo radi, ali pojedo celo pico, kako bi si pice lahko delili … Učitelj za razdelitev pic uporabi slikovno aplikacijo v realni velikosti pic Oblikovanje nabora možnih rešitev (mala pica 28 cm, velika pica 33 cm). (polovico male pice, četrtino večje Učenci pridejo do spoznanja, koliko učencev si bo razdelilo eno Razumevanje modela prikaže ob konkretni dejavnosti (pico − aplikacijo pice, razmislek o ceni), sprejetje pico (model). razkosa na štiri enake dele in vsak kos pice poda enemu učencu). dogovorov. | 178 Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Aktivnost učencev Podgradnik MP Vloga učitelja Pričakovani rezultati/dokazila č) Modeliranje a) Kaj nas zanima? MP2.2.3 a Usmerja učence pri razmišljanju in poenotenju mnenj. Sodelovanje v pogovoru in pri Ob pogovoru z učenci oblikujemo naslednje predpostavke: oblikovanju predpostavk. • na zabavi bomo vsi učenci in učiteljica Predpostavke zapisuje in frontalno predstavi. • vsi bomo jedli klasično pico Sklepanje iz predpostavk na • za vsakega bo na voljo četrtina pice Učitelj potrebne podatke zapiše in frontalno predstavi. potrebne podatke. b) Kaj vemo? • na zabavi bo npr. 22 učencev in učiteljica (skupaj 23) • jedli bomo klasično pico Spremlja delo učencev in jih usmerja. Sklepanje, koliko učencev poje • eno pico razrežemo na štiri enake dele (vsak udeleženec razrezano pico, s prepogibanjem in dobi en kos razrezane pice) rezanjem fizičnega (konkretnega) c) Kaj mislite, koliko pic bi morali naročiti? modela pice. Učenci v skupini (po trije učenci ob konkretnih modelih) MP2.2.3 b sklepajo, kako bi prišli do pravilne rešitve, koliko pic bi bilo Napovedovanje možnih rešitev. treba naročiti. Svoja razmišljanja rišejo, pišejo, računajo in na koncu Prikazovanje in predstavljanje predstavijo rešitev. reševanja. č) Kako bi pokazali, da smo prav razmišljali glede števila naročenih pic? Vprašanje: Ali lahko z našim modelom napovemo, koliko pic bi MP2.2.3 c Ugotavljanje, ali lahko z gotovostjo morali naročiti, če bi se nam pridružili učenci 2. a razreda z njihovo napovemo, koliko pic bi v učiteljico? novonastali situaciji lahko naročili. | 179 Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Aktivnost učencev Podgradnik MP Vloga učitelja Pričakovani rezultati/dokazila d) Uporaba modela Vprašanje: Koliko pic bi morali naročiti, če bi upoštevali vse želje MP2.2.3 a Učitelj vodi pogovor in usmerja učence. Sodelovanje v pogovoru. učencev in učiteljice ter naročiti tiste vrste pic, ki jih imajo radi? Kaj nas zanima? • na zabavi bodo vsi učenci in učiteljica • učenci bodo jedli različne vrste pic • za vsakega bo na voljo četrtina pice Kaj vemo? Kaj moramo še izvedeti? • na zabavi bo 22 učencev in učiteljica (skupaj 23) • jedli bomo npr.: klasično pico učencev morsko pico učencev vegetarijansko pico učencev • eno pico razrežemo na štiri enake dele (vsak udeleženec dobi en kos razrezane pice) Kaj mislite, koliko pic bi morali naročiti? MP2.2.3 b Postopek (rišejo, pišejo, računajo) Učenci v skupini (po trije učenci) ob konkretnih modelih reševanja in predstavitev rešitev. sklepajo, kako bi prišli do pravilne rešitve, koliko pic MP2.2.3 c posamezne vrste bi bilo treba naročiti. Kako bi pokazali, da smo prav razmišljali glede števila naročenih pic? Refleksija Ob izboru smeška izkažejo svoje počutje ob reševanju naloge. Odgovorijo na vprašanja: Izražanje lastnega počutja s • Kakšna se vam je zdela naloga? smeški. • Kaj vam je dobro šlo pri reševanju naloge? • Kaj vam je bilo pri reševanju naloge najtežje? • Kako bi si želeli naslednjič reševati take matematične naloge? | 180 Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Uporaba slikovnega materiala učitelja: Slika 104: Kako velika je velika pica in kako majhna je mala pica Slika 105: Veliko pico bomo razdelili na štiri enake dele – ena pica bo namenjena štirim učencem (model) | 181 Razvijamo matematično pismenost | Učni list P1 182 | Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Izvedba Izvajalka: VIZ: Datum: Vesna Vršič Zavod RS za šolstvo Junij 2019 Evalvacija, refleksija učitelja Tema je bila aktualna pred zaključkom šolskega leta. Za realizacijo načrtovanega primera sta bili porabljeni dve uri in pol. Učenci so izkazovali svoje miselne zmožnosti in ustvarjalen pristop k reševanju. Kar nekaj učencev je pri reševanju naloge potrebovalo spodbudo oz. potrditev. Tak način reševanja je bil za učence prva taka izkušnja. Slika 106: Z risanjem skice in sklepanjem do rešitve | 183 Razvijamo matematično pismenost Slika 107: Iz slike sklepamo na rešitev Slika 108: Ugotovitev učenke V fazi uporabe modela se je pokazal velik razkorak med učenci, ki so razumeli model, in tistimi, ki so čakali na konkretna navodila oziroma vodenje učitelja. Učenci so se aktivno vključevali v pogovor. Večina je dojela koncept, da si bodo pico razdelili štirje učenci. Pri željah, katere vrste pic bi želeli jesti, so bili zelo izvirni (s pomfritom, s čevapčiči …). Nekateri učenci so izkazovali težave pri oblikovanju skice oz. beleženju (šteli so po štiri učence v razredu, pri tem pa vedno pozabili, kolikokrat po štiri so jih že prešteli). 184 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Slika 109: Uporaba modela pri naročanju različnih vrst pic | 185 Razvijamo matematično pismenost Slika 110: Ali je tudi moja rešitev pravilna? 186 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Refleksija učencev po izvedbi V fazi refleksije se je večina učencev počutila dobro, le nekaj jih je omenilo, da je bila naloga težka in zaradi tega jim »ni bilo lepo«, saj jim je morala pomagati učiteljica. Ena izmed deklic pa je izjavila: Sedaj bi znala tudi druge naloge rešiti. Viri in literatura 1. Bliss, K., Fowler, K., Galluzzo, B., garfunkel, S., Giordano, F., Goldbold, L., Zbiek, R. idr. (2016). Gaimme, Guedelines for Assessment and Instruction in Mathematical Modeling Education. Pridobljeno s http://www.siam.org/Portals/0/Publications/Reports/gaimme-full_color_for_online_viewing.pd- f?ver=2018-03-19-115454-057. 2. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Klavs, A. idr. (2022). Matematič- na pismenost. Opredelitev in gradniki. [Elektronski vir]. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Matematicna_pismenost_gradniki.pdf. 3. Šterman Ivančič, K. (2013). Izhodišča merjenja matematične pismenosti v raziskavi PISA 2012 s primeri nalog: strokovna monografija. [Elektronski vir]. Ljubljana: Pedagoški inštitut. Pridobljeno s https://www.pei.si/ISBN/978-961-270-199-4/mobile/index.html#p=6. 4. Žakelj, A. idr. (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.gov.si/assets/ministrstva/ MIZS/Dokumenti/Osnovna-sola/Ucni-nacrti/obvezni/UN_matematika.pdf. | 187 Razvijamo matematično pismenost Modeliranje z učenci 5. in 6. razreda ob nalogi Ukrepanje s sredstvi za varstvo rastlin Vesna Vršič in mag. Mateja Sirnik, Zavod RS za šolstvo Pri matematičnem modeliranju smo izhajali iz besedila s strokovnim kontekstom naravoslovja. Besedilo je vsebovalo mnogo strokovnih terminov, kar je predstavljalo velik izziv, kako učencem predstaviti te termine, da jih bodo razumeli. Strokovne termine smo izpisali v mrežo in jih v nadaljevanju ob pogovoru o gojenju rastlin razjasnjevali. Pri delu z besedilom smo uporabili še slovarček, v katerem so učenci povzemali pomen manj znanih terminov. ŠKODLJIVI ORGANIZMI GOJENJE RASTLIN SREDSTVA ZA VARSTVO RASTLIN FITOFARMACEVTSKA SREDSTVA PESTICIDI POJAVLJANJE SIMPTOMOV BOLEZNI RASTLIN TEHNOLOŠKI UKREPI JABOLČNI ZAVIJAČ HRUŠEV OŽIG INTEGRIRANA PRIDELAVA NAPADENI LISTI IN PLODOVI V besedilu je bil predstavljen model za škropljenje proti jabolčnemu zavijaču. Ta del besedila so morali učenci še prav posebej dobro razumeti, zato smo si ga označili na bralnem listu in izpisali korake pri škropljenju. Ena izmed metod matematika Volterra za premišljeno rabo fitofarmacevtskih sredstev je: Od 1. januarja naprej, recimo za vsak dan, ko je povprečna dnevna temperatura presegla 10 °C, zapišemo ta presežek. Ko vsota teh presežkov doseže 100 °C, imamo navadno prvi pojav metuljev jabolčnega zavijača. Ker je reševanje matematičnega problema zahtevalo vpogled v vremenska stanja in povprečne dnevne temperature v tekočem letu (lahko tudi v prejšnjih), smo za nekatere skupine učencev pripravili že natisnjena gradiva povprečnih temperatur za najbližji domači kraj (npr. Mursko Soboto) s spletne strani http://meteo.arso. gov.si/. Učenci so spletni portal že spoznali pri pouku družbe, potrebovali so le nekaj usmeritev za vstop v arhiv in za iskanje podatkov v arhivu meteoroloških podatkov. Reševanje matematičnega problema z modeliranjem v našem primeru je bilo smiselno zastaviti medpredmetno (SLJ, MAT, NIT, DRU). Za izvedbo smo načrtovali dve pedagoški uri strnjeno. Zastavili smo si naslednje operativne cilje (vsebinski, procesni): Učenci: • berejo besedilo Ukrepanje s sredstvi za varstvo rastlin in opredelijo pomen manj znanih terminov, • opisujejo in razjasnjujejo ukrepe za uporabo fitofarmacevtskih sredstev, 188 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti • opredelijo matematični problem v dani realni situaciji, • s svojimi besedami povzamejo problemsko situacijo, opredelijo potrebne podatke za rešitev naloge, oblikujejo problemsko vprašanje, • napovedo rešitev z upoštevanjem danih okoliščin, • poiščejo potrebne podatke na spletnem portalu arso.si, • s svojimi besedami opišejo model. Vključeni so (pod)gradniki in opisniki naravoslovne, matematične in bralne pismenosti. Gradniki naravoslovne pismenosti: 1.1 prikliče, povezuje in uporablja naravoslovno znanje za opis/razlago pojavov z uporabo strokovnega besedišča • 1.1 a) prikliče ustrezno znanje ter ga uporablja za razlago pojavov v ožjem in širšem okolju • 1.1 c) smiselno povezuje, ureja/organizira podatke/pojme v preprosto hierarhično strukturo Gradniki bralne pismenosti: 5. gradnik: besedišče – razumevanje pomena besed in njihova uporaba pri sprejemanju in tvorjenju besedil V 2. VIO izkaže tako, da: • pozna, razume in uporablja besedišče različnih predmetnih področij, • sklepa o pomenu besed/besednih zvez iz sobesedila, • poišče razlago neznanih besed v kontekstu in jezikovnih priročnikih. 7. gradnik: razumevanje besedil – sklepanje, razbiranje bistva V 2. VIO izkaže tako, da: • v besedilu poišče bistvene podatke in podrobnosti, • razume 90 do 95 % besed v prebranem besedilu, • povzema besedilo s svojimi besedami. Gradniki matematične pismenosti: 2.2 obravnava situacije z matematičnim modeliranjem 2.2.1 prenese situacijo v matematični kontekst • 2.2.1 a) sodeluje pri opisu (osebnega, družbenega) življenjskega problema v matematičnem jeziku • 2.2.1 b) predstavi situacijo z matematičnimi sredstvi in oblikuje problemsko vprašanje 2.2.3 uporablja matematične modele • 2.2.3 a) opiše dani model in ga predstavi • 2.2.3 b) uporabi dane modele • 2.2.3 c) upošteva značilnosti konteksta (ustrezne enote, natančnost, zaokroževanje) • 2.2.3 d) interpretira matematične rešitve (izračune, dobljene z modelom) v kontekstu | 189 Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Potek dejavnosti v 5. in 6. razredu Podgradnik NP/ Aktivnost učencev Vloga učitelja Pričakovani rezultati/dokazila BP/MP Pogovor o temi − gojenje in varstvo rastlin NP1.1 b Vodi pogovor o temi in vpleta strokovne izraze, ki so uporabljeni v Učenci sodelujejo v pogovoru o gojenju rastlin v domačem okolju besedilu, da jih skupaj z učenci razjasnjuje. (vrt, sadovnjak, vinograd) in o varstvu narave pred škodljivimi organizmi. Npr.: Katere rastline gojimo doma na vrtu, v sadovnjaku, vinogradu …? Kako skrbimo za rastline, da so zdrave, jih ubranimo pred boleznimi, škodljivci …? Predstavitev plakata strokovnih Učenci so razdeljeni v skupine (po tri). Iz strokovnih izrazov Učitelj učencem v skupini ponudi učni list – P1 z besedami in barvno izrazov v skupinski mreži. (učni list – P1), ki jih razrežejo na kartice, oblikujejo shemo (mrežo) podlago (A3), kamor učenci razporejajo lističe s strokovnimi izrazi. Tvorjenje povedi s strokovnimi nadrednih in podrednih besed, ki jih znajo uporabiti v povedi. izrazi. Razvrstitev prikažejo na plakatu (listu A3) in s puščicami povežejo pojme ter razjasnijo njihove povezave (pojmovna mreža). Podajanje vrstniške povratne informacije. Realistična situacija BP Individualno, v dvojicah in frontalno preberejo besedilo Ukrepanje 5. in 7. gradnik Razdeli bralne liste: Ukrepanje s sredstvi za varstvo rastlin. Razumevanje besedila in s sredstvi za varstvo rastlin (učni list – P2) in oblikujejo slovarček razjasnitev manj znanih besed. manj znanih besed. Vprašanje: Kako omejiti uporabo fitofarmacevtskih sredstev (pesticidov) pri gojenju rastli? Kakšen model nam je predstavil matematik Vito Volterra? Vprašanje: Kaj nas zanima? MP Učitelj razdeli vsakemu učencu učni list (P3), na katerega si v skupini Npr.: 2.2.1. a oblikujejo vprašanje (Kaj nas zanima?). Kdaj bi bilo primerno ukrepati proti škodljivim organizmom v letu 2019? Oblikovanje vprašanj na dano Ali moramo ukrepati proti škodljivim organizmom vsako leto ob situacijo (model). istem času? V katerem mesecu morajo ukrepati sadjarji proti jabolčnemu 2.2.1. b zavijaču? | 190 Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Podgradnik NP/ Aktivnost učencev Vloga učitelja Pričakovani rezultati/dokazila BP/MP Spoznavanje modela Učenci prepoznajo Volterrov model in ga ubesedijo: MP Vodi pogovor. Opisovanje situacije. Od 1. januarja naprej, recimo za vsak dan, ko je povprečna dnevna 2.2.3. a Kakšna so navodila matematika Volterra za čas ukrepanja proti temperatura presegla 10 °C, zapišemo ta presežek. Ko vsota teh metulju jabolčnega zavijača? Napovedovanje možnih rešitev. presežkov doseže 100 °C, imamo navadno prvi pojav metuljev jabolčnega zavijača. Reševanje po modelu a) Kaj že vemo? MP • pomembne so temperature za vsak dan od 1. januarja naprej 2.2.3. b Vodi pogovor in zapisuje predpostavke. Izpisovanje danih podatkov in v določenem letu (npr. 2019) Razjasni, kaj so povprečne temperature, kaj je presežek podatkov, ki jih morajo pridobiti. • pomembne so povprečne temperature, ki so višje od 10 °C (npr. če je temperatura 9 °C; 10,1 °C; 12,6 °C). • znamo določiti presežke temperature od 10 °C • iščemo vsoto temperatur, ki presegajo 10 °C • vsota presežkov temperatur mora doseči 100 °C b) Katere podatke moramo še pridobiti? • kolikšna je povprečna dnevna temperatura za mesec januar, februar, marec, april, maj … 2019 • poiskali bomo temperaturo za Mursko Soboto Iskanje potrebnih podatkov MP Učitelj usmerja učence pri iskanju podatkov na spletu in pri tiskanih Razdelitev nalog med učenci Učenci si v skupini pridobijo podatke iz spletne strani 2.2.3 c gradivih (učni list − P4). znotraj skupine. http://meteo.arso.gov.si/ Izpisovanje ustreznih podatkov ali Ker so povprečne temperature zapisane v decimalnih številih, lahko (presežki temperatur nad 10 °C), iz pripravljenih gradiv (natisnjenih iz spletne strani) iščejo ustrezne učitelj učencem ponudi podlago (preglednico z desetiškimi enotami na seštevanje presežnih temperatur, podatke (učni list – P4). učnem listu – P5) za računanje z decimalnimi števili. določitev datuma, ko presežki temperatur dosežejo 100 °C. Učenci uporabijo dani model in iščejo rešitev. Predstavitev razmišljanj, rešitve in postopka reševanja. Refleksija Sodelovanje v pogovoru. Odgovorijo na vprašanja: • Kakšna se vam je zdela naloga? • Kaj vam je dobro šlo pri reševanju naloge? • Kaj vam je bilo pri reševanju naloge najtežje? • Kako bi si želeli naslednjič reševati take matematične naloge? Priloge: • P3 – Učni list – Kaj nas zanima • P1 – Učni list – Pojmi za pojmovno mrežo • P4 – Učni listi natisnjenih povprečnih dnevnih temperatur za Mursko Soboto (podatki v grafu) • P2 – Učni list – Besedilo za realistično situacijo • P5 – Učni list – Preglednica z desetiškimi enotami | 191 Razvijamo matematično pismenost | Učni list P1 Pojmi za pojmovno mrežo ŠKODLJIVI ORGANIZMI GOJENJE RASTLIN SREDSTVA ZA VARSTVO RASTLIN FITOFARMACEVTSKA SREDSTVA PESTICIDI POJAVLJANJE SIMPTOMOV BOLEZNI RASTLIN TEHNOLOŠKI UKREPI JABOLČNI ZAVIJAČ HRUŠEV OŽIG INTEGRIRANA NAPADENI LISTI PRIDELAVA IN PLODOVI 192 | Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Učni list P2 Ukrepanje s sredstvi za varstvo rastlin Opazovalno-napovedovalna služba za varstvo rastlin Slovarček V Tehnoloških navodilih za integrirano pridelavo skuša opazovalno-napovedovalna služba za varstvo rastlin napovedati razvoj škodljivih organizmov na gojenih rastlinah in primeren čas ukrepanja s sredstvi za varstvo rastlin. V primerih, ko takih sredstev ni na voljo (npr. varstvo pred hruševim ožigom), je napovedan le čas pojavljanja simptomov, da lahko pridelovalci zgodaj odstranjujejo obolele rastline in izvajajo druge tehnološke ukrepe. Napovedi in informacije so javno dostopne v časopisih, na spletnih straneh (http:// agromet.mkgp.gov.si/pp/), na telefonskih odzivnikih ali pa se je mogoče na posameznih centrih celo naročiti pisne informacije. Raba sredstev za varstvo rastlin nekoč Matematik Vito Volterra je že pred letom 1930 izdelal prvi matematični model, v katerem je opisal, da je posledica nekontrolirane rabe insekticidov tudi zmanjšanje števila plenilcev škodljivih organizmov in se tako čez čas povzroči namnožitev škodljivih organizmov. S tem je opisal presenetljive posledice človekovih posegov v naravo. V kmetijstvu vse večjo težo dobiva integrirana pridelava rastlin, ki upošteva naravno uničevanje škodljivih organizmov in bolj premišljeno rabo gnojil in fitofarmacevtskih sredstev (pesticidi). Še bolj se na naravno uničevanje škodljivih organizmov opira ekološka ali biološka (organska) pridelava. Vsi ti ukrepi pa zahtevajo več opazovanja, ugotavljanja in preštevanja škodljivih organizmov, ocenjevanja deleža napadenih listov in plodov, zbiranja vremenskih podatkov itd. Ena izmed metod matematika Volterra za premišljeno rabo fitofarmacevtskih sredstev je: Od 1. januarja naprej, recimo za vsak dan, ko je povprečna dnevna temperatura presegla 10 °C, zapišemo ta presežek. Ko vsota teh presežkov doseže 100 °C, imamo navadno prvi pojav metuljev jabolčnega zavijača. Jabolčni zavijač in posledice na plodovih Podobne empirično dobljene formule veljajo tudi v več drugih primerih. Preden posežemo po fitofarmacevtskih sredstvih, vsekakor poglejmo v strokovno literaturo o integriranem varstvu (Integrated Pest Management = IMP). Vir: Tehnološka navodila za integrirano pridelavo za leto 2019. Pridobljeno s http://www.mkgp.gov.si/si/delovna_ podrocja/kmetijstvo/integrirana_pridelava/tehnoloska_navodila/. | 193 Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Učni list P3 Kaj nas zanima? Kaj že vemo? Katere podatke moramo še pridobiti? 194 | Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Učni list P4 Temperatura v Murski Soboti Vir: Meteo.si. (b.d.). Uradna vremenska napoved za Slovenijo. Pridobljeno s http://meteo.arso.gov.si/met/sl/app/ webmet/#webmet==8Sdwx2bhR2cv0WZ0V2bvEGcw9ydl- JWblR3LwVnaz9SYtVmYh9iclFGbt9SaulGdugXbsx3cs9m- dl5WahxXYyNGapZXZ8tHZv1WYp5mOnMHbvZXZulWY- nwCchJXYtVGdlJnOn0UQQdSf. Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada | 195 Razvijamo matematično pismenost | Učni list P5 Preglednica z desetiškimi enotami D E , d D E , d 196 | Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Izvedba v 5. in 6. razredu Izvajalec: VIZ: Datum: Vesna Vršič, 5. razred Zavod RS za šolstvo Junij 2019 Mateja Sirnik, 6. razred Evalvacija, refleksija učitelja v 5. razredu Učenci v 5. razredu so delali v šestih trojicah (razdelili smo se že pred reševanjem). Veliko časa smo namenili razumevanju tematike (strokovnega konteksta). Kontekst naloge je bil za učence zahteven, poudarili smo ključne pojme iz besedila in jih predhodno razjasnjevali. Iskanje in branje podatkov večini učencev ni delalo težav (na spletni strani, na predhodno natisnjenih gradivih). Delo v trojicah se je pokazalo kot zelo uspešno pri delitvi dela v skupini. Slika 111: Izpis podatkov in vprašanja na učni list (Foto: Vesna Vršič) Slika 112: Delo v trojicah pri iskanju potrebnih podatkov na spletu (Foto: Vesna Vršič) Reševanja problema so se lotili zelo hitro in naleteli na prvo težavo – niso upoštevali oz. še dojeli, kaj je presežek (čez 10 °C) ter seštevali povprečne dnevne temperature, ki so presegala 10 °C. Bila je potrebna dodatna razlaga, kaj je presežek pri povprečni dnevni temperaturi npr. 10,7 °C. Povprečne temperature so bile izražene v decimalnem zapisu, ki ga učenci 5. razreda spoznajo šele ob vsebini Denar (UN za matematiko, str. 12). Kljub temu so učenci v nadaljevanju znali določiti presežek čez 10 °C. | 197 Razvijamo matematično pismenost Slika 113: Iskanje presežnih temperatur z gradivom in izpis v preglednico za računanje z decimalnim zapisom (Foto: Vesna Vršič) Pri računanju z decimalnimi števili so si nekatere skupine pomagale z računalom na računalniku ali telefonu, dve skupini kar s preglednico (učni list − P5), ko smo ponovili računanje z denarjem. Dve skupini učencev nista bili pozorni na določeno mejo (ki je bila 100 °C) in so seštevali presežke temperatur do konca maja. Po usmeritvi učitelja so ponovno sešteli presežke temperature po mesecih in na koncu po dnevih dodajali še za mesec maj, da so prišli do datuma, ko je bila vsota presežkov temperature 100 °C. Učenci so bili vse napake pripravljeni popravljati in poiskati »pravi rezultat«. Slika 114: Računanje vsote presežkov temperature (Foto: Vesna Vršič) Štiri skupine so prišle do pravilnega rezultata, ena skupina je prišla do neustreznega rezultata, ena skupina ni dokončala. 198 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Evalvacija, refleksija učitelja v 6. razredu Učenci v 6. razredu so delali v skupinah po štiri, tudi pri drugih urah pouka matematike sedijo v skupinah po štirje učenci ne glede na obliko dela. Prvo šolsko uro smo porabili za delo za razumevanje situacije, delo z besedilom, postavljanje vprašanj, zato bi bilo smiselno dejavnost izpeljati medpredmetno in bi v prvi del vključili učitelja naravoslovnih predmetov. Ker so učenci izhajali iz vaškega okolja, so o zatiranju različnih škodljivcev veliko vedeli in si delili izkušnje iz domačega okolja. Opisano dejavnost smo v 6. razredu izvedli z naslednjimi prilagoditvami: Dejavnost smo izvedli brez učnega lista P1 – pojmi za pojmovno mrežo. Neznane pojme so učenci zapisali v levi stolpec na učnem listu P2 – besedilo za realistično situacijo. Ob uporabi različnih virov (spletnih, tiskanih) so v skupinah poiskali njihovo razlago in to napisali na plakat (slika 115). Sledil je skupen pogovor o izpisanih neznanih pojmih in razlagi teh. Slika 115: Primer zapisa neznanih pojmov z razlago (Foto: Mateja Sirnik) Pri razlagi neznanih pojmov sem učencem zastavila vprašanje: Kaj je povprečna dnevna temperatura? Učenci v 6. razredu še ne poznajo matematičnega pojma aritmetična sredina. Kljub temu so predlagali merjenje različnega števila temperatur, od urnega merjenja do merjenja treh, štirih temperatur v različnih časovnih intervalih in izračuna aritmetične sredine izbranih temperatur. Pravilni odgovor so poiskali tako, da so na spletu (meteo.si - Uradna vremenska napoved za Slovenijo - Državna meteorološka služba RS - Opis grafikonov (gov.si)) poiskali odgovor in našli zapis: Povprečna dnevna temperatura zraka je vsota četrtine izmerjene temperature ob 7. in 14. uri in polovice izmerjene vrednosti ob 21. uri po zimskem času. Ta zapis jih je presenetil, ker niso pričakovali, da upoštevajo samo tri dnevne temperature in da ima temperatura ob 21. uri večji vpliv na povprečno temperaturo kot drugi dve. | 199 Razvijamo matematično pismenost Slika 116: Primer zastavljenih vprašanj (Foto: Mateja Sirnik) Dejavnost smo izvedli brez učnega lista P3 – Kaj nas zanima. Učenci so si odgovore na vsa tri vprašanja zapisovali na risalni list (slika 116). Po zapisu na vprašanje Kaj nas zanima? smo pogledali njihove zapise in se skupaj odločiti, da bomo iskali odgovor na vprašanje: Kdaj je treba škropiti sadna drevesa ob upoštevanju Volterrove rešitve? Nato so učenci skupinsko odgovarjali še na drugi dve vprašanji. Uporabili smo podatke za njim najbližjo samodejno vremensko postajo, to je bila vremenska postaja na Letališču Jožeta Pučnika Ljubljana. Učenci so poznali decimalna števila in računanje z njimi, zato učnega lista P5 – preglednica z desetiškimi enotami nismo uporabljali. Vešči so bili tudi uporabe žepnega računala, zato so za lažje delo dobili samo prazno preglednico, kamor so si lahko zapisovali potrebne podatke. Pri iskanju ustreznega časovnega termina za zatiranje metuljev jabolčnega zavijača so učenci hitro spoznali, da si morajo primerno organizirati delo, npr. eden je bral podatke, drugi je beležil v preglednico, tretji je računal z računalom, četrti je preverjal druge. Pri tem primeru so ugotovili, kako pomembno je, da znajo spretno uporabljati žepno računalo in poiskati ter popraviti napako, če se zmotijo pri vnosu podatkov. Ena skupina je tudi povedala, da si na začetku niso primerno organizirali dela, ker je vsak sam začel zbirati podatke. Do pravilne rešitve so prišle vse skupine (slika 117). 200 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Slika 117: Primer iskanja ustreznega datuma zatiranja škodljivcev (Foto: Mateja Sirnik) Refleksija učencev po izvedbi Učenci v 5. razredu so povedali: Naloga je bila zanimiva. Bila je težka. Zahtevala je daljši čas reševanja. Skupaj smo jo uspele rešiti. Bile smo uspešne, prišle smo do rešitve. … | 201 Razvijamo matematično pismenost Učenci v 6. razredu so zapisali (slika 118): Slika 118: Zapisi učencev (Foto: Mateja Sirnik) 202 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Viri in literatura 1. ARSO (b. d.). Vreme. Pridobljeno s https://vreme.arso.gov.si/napoved/Murska%20Sobota/graf. 2. Bačnik, A., Slavič Kumer, S., Bah Berglez, E., Eršte, S., Golob, N., Gostinčar Blagotinšek, A., Vičič, T. idr. (2022). Naravoslovna pismenost. Opredelitev in gradniki [Elektronski vir]. Ljubljana; Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Naravoslovna_pismenost_gradniki.pdf. 3. Bliss, K., Fowler, K., Galluzzo, B., garfunkel, S., Giordano, F., Goldbold, L., Zbiek, R. idr. (2016). Gaimme, Guedelines for Assessment and Instruction in Mathematical Modeling Education. Pridobljeno s http://www.siam.org/Portals/0/Publications/Reports/gaimme-full_color_for_online_viewing.pd- f?ver=2018-03-19-115454-057. 4. Haramija, D., (ur.) (2020). Gradniki bralne pismenosti. [Elektronski vir]. Maribor: Univerzitetna založba Univerze. Pridobljeno s https://press.um.si/index.php/ump/catalog/book/515. 5. Kratka navodila za iskanje podatkov v arhivu meteoroloških podatkov. Pridobljeno s http://www2.ar- nes.si/~gljsentvid10/meteorologija/dostopi_do_po_in.html. 6. Meteo.si. (b. d.). Uradna vremenska napoved za Slovenijo. Pridobljeno s http://meteo.arso.gov.si/ met/sl/app/webmet/#webmet==8Sdwx2bhR2cv0WZ0V2bvEGcw9ydlJWblR3LwVnaz9SYtVmYh9iclF- Gbt9SaulGdugXbsx3cs9mdl5WahxXYyNGapZXZ8tHZv1WYp5mOnMHbvZXZulWYnwCchJXYtVGdlJnO- n0UQQdSf. 7. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Klavs, A. idr. (2022). Matematič- na pismenost. Opredelitev in gradniki. [Elektronski vir]. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.zrss.si/pdf/Matematicna_pismenost_gradniki.pdf. 8. Šterman Ivančič, K. (2013). Izhodišča merjenja matematične pismenosti v raziskavi PISA 2012 s primeri nalog: strokovna monografija. [Elektronski vir]. Ljubljana: Pedagoški inštitut. Pridobljeno s https://www.pei.si/ISBN/978-961-270-199-4/mobile/index.html#p=6. 9. Žakelj, A. idr. (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.gov.si/assets/ministrstva/ MIZS/Dokumenti/Osnovna-sola/Ucni-nacrti/obvezni/UN_matematika.pdf. 10. Legiša P. (2005). Matematika 3. Merjenje v geometriji, kotne funkcije, trigonometrija. Ljubljana: DZS. | 203 Razvijamo matematično pismenost Izdelava darilne škatlice za čokoladne bonbone mag. Mateja Sirnik, Zavod RS za šolstvo Dejavnost je glede na učni načrt za matematiko v osnovni šoli umeščena v tematski sklop Liki in telesa ter Matematični problemi in problemi z življenjskimi situacijami. Izvedemo jo lahko v 6. razredu po obravnavi geometrijskih pojmov kocka in kvader ali v 9. razredu pri geometrijskih telesih. V 9. razredu jo lahko izvedemo pred obravnavo geometrijskih teles kot ponovitev o kocki in kvadru ali po obravnavi vseh geometrijskih teles, ko vključimo poznavanje in razumevanje različnih geometrijskih teles v izdelavo najrazličnejših darilnih škatlic. Po učnem načrtu za matematiko v osnovni šoli učenci modelirajo fizične objekte z geometrijskimi modeli. Primer lahko uporabimo tudi na srednješolski ravni izobraževanja. Pri izvajanju dejavnosti lahko učenci/dijaki ob izdelavi geometrijskih modelov reflektirajo svoje geometrijsko znanje, razvijajo analitično mišljenje, ustvarjalnost ter se učijo preprostih argumentacij. Pri izvajanju dejavnosti je poudarek na izdelavi lastnega matematičnega modela, zato prednostno med gradniki matematične pismenosti razvijamo: 2.2 obravnava situacije z matematičnim modeliranjem 2.2.2 oblikuje matematične modele za dano situacijo 2.2.4 vrednoti matematične modele Pri izvajanju dejavnosti učenci/dijaki uresničujejo naslednje cilje pouka matematike (vsebinske, procesne): • opredelijo matematični problem v dani realni situaciji • poiščejo potrebne podatke, prestavijo in razložijo problem • modelirajo fizične modele z geometrijskimi modeli • s svojimi besedami opišejo model • predstavijo način reševanja • sodelujejo v skupini Za izvedbo pripravimo liste formata A4 za izdelavo škatlic, škarje, ravnila, geotrikotnik, žepno računalo. Pripravimo plakate ali grafitno folijo za pripravo predstavitev. Učencem lahko pripravimo modele čokoladnih bombonov ali jih prej naredimo pri gospodinjstvu. 204 | Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Potek dejavnosti Podgradnik Pričakovani rezultati/dokazila Aktivnost učencev (z navedbo prilog P1 …) NP/MP/FP (št.) Vloga učitelja (kako bodo učenci izkazali, (KM, RAP, ONM) da so dosegli napredek/cilje) Učenci individualno preberejo nalogo na učnem listu P1. MP1.1 a Pogovor o temi – izdelava darilne škatlice Učenci sodelujejo v pogovoru in odgovarjajo na vprašanja o izdelavi MP1.3 b Vodi pogovor o temi. Sodelovanje pri pogovoru darilne škatle: (povedo, kar že vedo.) • Kaj že znamo/vemo? MP2.2.1 c • Katero matematično znanje bomo potrebovali? • Ali lahko izdelamo različne škatle? • Kaj so potrebni podatki za izdelavo škatlice? … Individualno: izdelava škatlice MP Učitelj usmerja učence, po potrebi pomaga posameznikom. Narisana postavitev, izdelana Vsak učenec si izbere svojo postavitev bombonov in jo nariše na 2.2.2 c škatlica, zapisana predstavitev učni list (uporablja izdelane bombone ali pa npr. lesene modelčke). 2.2.2 d Med dejavnostjo oblikuje seznam skupin. škatlice. Za narisano postavitev izdeluje svojo darilno škatlico. 2.2.3 a Svoj model škatlice opiše. V skupinah: MP Razdeli učence v skupine. Predstavitve znotraj posameznih • drug drugemu predstavijo izdelane škatlice, 2.2.3 a skupin, izbran najustreznejši • izberejo najustreznejšo škatlico (model) in utemeljijo izbiro 2.2.4 d Učitelj usmerja učence, po potrebi pomaga posameznim skupinam. model z ustrezno utemeljitvijo, (navedejo kriterije za izbiro; lahko izdelajo nov primernejši narejena predstavitev. model) MP1.3 a • pripravijo predstavitev za oblikovalsko podjetje Predstavitev skupin MP Moderira predstavitve. Zapisani odgovori na vprašanja Vsaka skupina predstavi svoj izdelek z utemeljitvijo, zakaj naj 1.3 a refleksije. izberejo njihovo embalažo. 1.3 b Refleksija MP1.3 c Zapisani odgovori na vprašanja Odgovorijo na vprašanja na učnem listu P1: refleksije. • Kakšna se vam je zdela naloga? • Kaj vam je dobro šlo pri reševanju naloge? • Kaj vam je bilo pri reševanju naloge najtežje? • Si še želite reševati take nalog? | 205 Razvijamo matematično pismenost | Učni list P1 Izdelava darilne škatlice za čokoladne bombone Oblikovalsko podjetje te je zaprosilo za oblikovanje darilne škatle, v kateri bo 18 čokoladnih bombonov. Vsak čokoladni bombon je premera 2 cm in debeline 1 cm. Škatla mora biti narejena iz enega lista (kartona ali drugega materiala) velikosti formata A4 in s čim manj rezanja. 1. Nariši postavitev čokoladnih bombonov v darilni embalaži. Za izbrano postavitev izdelaj svojo škatlo. 2. V skupini si predstavite škatle. Primerjajte vaše modele škatel. Odločite se, kateri je najustreznejši, ter utemeljite, zakaj. (Lahko tudi izdelate nov ustreznejši model darilne škatle.) 3. Pripravite poročilo (npr. na plakatu), v katerem bodo predstavljeni vaši izdelani modeli škatel in vaša izbira najprimernejše darilne škatle z utemeljitvijo. 206 | Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Učni list P2 Vprašanja za refleksijo • Kakšna se vam je zdela naloga? • Kaj vam je dobro šlo pri reševanju naloge? • Kaj vam je bilo pri reševanju naloge najtežje? • Si še želite reševati take naloge? | 207 Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost Predstavljen primer je izvedlo več učiteljev in zapisalo povratno informacijo. Evalvacija, refleksija učiteljice Zanimiv, drugačen pristop do zastavljenih ciljev. Pred obravnavo geometrijskih teles v 9. r. sem učencem zastavila to predstavljeno nalogo. Dodala sem še čokoladico (kvader), da so se lahko tudi učenci z nižjimi sposobnostmi lotili naloge. Naloge iz vsakdanjega življenja so dober pokazatelj razumevanja ter sinteze znanj, ki bi/so jih učenci usvojili, pridobili pri pouku. Primer je zelo uporaben, saj ga lahko uporabimo v različnih fazah učnega procesa (iskanje predznanja, motivacijska – problemska naloga, za utrjevanje snovi …). Izražena je medpredmetna povezanost (GOS, TIT, MAT, LVZ …), kar je v redu, da učenci znajo pridobljena znanja prepletati med seboj v neki končen »uporaben« izdelek. Nalogo so v času pouka na daljavo učenci reševali samostojno. Učiteljica Stanislava Letonja iz OŠ Dušana Flisa Hoče Dopolnjena naloga s čokolado v obliki kvadra P1 – Izdelava darilne škatlice za čokoladice/bonbone Oblikovalsko podjetje te je zaprosilo za oblikovanje darilne škatle. Primer škatle: • Darilna škatla 1 za 8 čokoladic. Vsaka čokoladica je dolga 7,5 cm, široka 1,5 cm in visoka 0,8 cm. • Darilna škatla 2 za 18 bonbonov. Vsaka čokoladni bonbon je premera 2 cm in debeline 1 cm. Škatla mora biti narejena iz enega lista (kartona ali drugega materiala) velikosti A4 formata in s čim manj rezanja. Evalvacija, refleksija učitelja Uro sem izvedel v 6. in v 9. razredu. Seveda so imeli učenci v 9. razredu manj težav, saj so starejši in imajo več znanja. Učenci so bili razdeljeni v tri skupine. V 6. razredu sem učencem moral z mrežo pomagati. Skupaj smo razmislili, kakšne mreže bi lahko naredili, in potem je vsaka skupina naredila različne mreže. V 9. razredu smo se prav tako skupinsko pogovorili, kakšne mreže bi lahko naredili, a je bilo več akcije s strani učencev. Na koncu je sledila predstavitev vsake skupine in pogovor. Menim, da je za učence to delo bilo zelo zahtevno. V 9. razredu pa mislim, da bi lahko učenci to rešili samostojno. Želel sem opraviti delo v eni uri, saj mi je primanjkovalo časa za druge snovi, saj je bilo zahtevno leto. Je pa zanimiva ura, saj se učenci s takšnim delom samostojno učijo in razmišljajo. Učitelj Sergej Tratnik iz OŠ Bojana Ilicha Maribor 208 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Slika 119: Izdelki učencev Viri in literatura 1. Učni načrt. (2011). Program osnovna šola. Matematika. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s https://www.gov.si/assets/ministrstva/MIZS/Dokumen- ti/Osnovna-sola/Ucni-nacrti/obvezni/UN_matematika.pdf. 2. Žakelj, A. idr. (2008). Učni načrt. Matematika. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s http://www.mss.gov.si/fileadmin/mss.gov.si/pageuploads/podrocje/ ss/programi/2008/Gimnazije/UN_MATEMATIKA_gimn.pdf. 3. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Vreš, S., Kretič Mamič, V., Ternar, V., Angelov Troha, K., Zadel, V., Lipovec, A., Žakelj, A., Klemenčič, E., Fras Bero, F. idr. (2019). Matematič- na pismenost. Opredelitev in gradniki. https://www.zrss.si/wp-content/uploads/2021/05/Matematic- na_pismenost.pdf. 4. Tackling unstructed problems, https://primas-project.eu/wp-content/uploads/sites/323/2017/10/pri- mas_pd_2_guide.pdf. 5. Vir fotografije: https://kascha.rs/zdrave-cokoladne-praline/. | 209 Razvijamo matematično pismenost Uporaba linearnega modela za gorenje sveče mag. Simona Pustavrh, Šolski center Novo mesto, Srednja elektro šola in tehniška gimnazija Učni načrt matematike za gimnazijske programe vsebuje med drugim tudi sklop Linearna funkcija, za katerega je priporočeno, da se obravnava v 1. letniku. Ena izmed vsebin pri obravnavi linearne funkcije je modeliranje, pri kateri naj dijaki spoznajo in obravnavajo preproste probleme iz vsakdanjega življenja, ki jih lahko modeliramo z linearno funkcijo. Vodena dejavnost je bila izvedena, ko so dijaki že obvladali linearno funkcijo. Dijaki so sledili navodilom na pripravljenem učnem listu (priloga P1). Ker je modeliranje za dijake v 1. letniku novost, sem dejavnosti izkoristila kot uvodno dejavnost v modeliranje. Pri izvedbi dejavnosti so dijaki uporabljali aplikacijo GeoGebra na telefonih. Ker je tudi GeoGebra za nekatere dijake novost, sem na učnem listu pripravila povezavo na izdelan aplet za nalogo, ki sem jo objavila na GeoGebraTube. Dejavnosti sem namenila 30 minut. Z dejavnostjo smo realizirali več ciljev iz učnega načrta. Najpomembnejši cilj je bil, da dijaki modelirajo preproste probleme iz vsakdanjega življenja z linearno funkcijo. Ob tem smo ponovili risanje premic, smerni koeficient, začetno vrednost in ničlo linearne funkcije. Dijaki so spoznali praktični pomen omenjenih pojmov, poudarili pa smo tudi razliko med funkcijskim in realnim definicijskim območjem in zalogo vrednosti za obravnavani primer. Izvedena dejavnost Dijaki uporabljajo linearni model za gorenje sveče je povzeta po primeru iz Gorenje sveče v Posodobitev pouka v gimnazijski praksi. Pri dejavnosti je bil poudarek na uporabi že izdelanih matematičnih modelov, kar med gradniki matematične pismenosti najdemo pod: 2.2 obravnava situacije z matematičnim modeliranjem 2.2.3 uporablja matematične modele 2.2.4 vrednoti matematične modele Pri izvedbi dejavnosti dijaki uresničujejo naslednje vsebinske cilje: • predstavijo podatke v pravokotnem koordinatnem sistemu na učnem listu in v GeoGebri, • primerjajo različne linearne modele in izberejo najustreznejši model, • uporabljajo koeficiente linearne funkcije, • uporabljajo linearni model za izračun ali napovedovanje vrednosti. Poleg vsebinskih ciljev razvijamo tudi pomembne procesne cilje. Dijaki: • spretno uporabljajo informacijsko komunikacijsko tehnologijo z uporabo GeoGebre, • utemeljujejo ugotovitve pri posameznih podvprašanjih, • ustno in pisno se izražajo pri zapisovanju in utemeljevanju svojih ugotovitev, • kritično razmišljajo pri odločanju o ustreznosti modelov in dejavnikih, ki vplivajo na hitrost gorenje sveče, • razvijajo veščine sodelovalnega dela v dvojicah. 210 | Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Potek dejavnosti Pričakovani rezultati/dokazila Aktivnost učencev (z navedbo prilog P1 …) Podgradnik MP (kako bodo učenci izkazali, (št.) Vloga učitelja da so dosegli napredek/cilje) Dijaki se razdelijo v pare. Dijakom poda navodila za delo. Dijaki razdeljeni v pare. Dijaki v dvojicah preberejo navodila in rešijo prvo nalogo, pri kateri 2.2.3 c Učitelj spremlja delo dijakov in jim po potrebi pomaga pri risanju točk. V pravokotnem koordinatnem predstavijo dane podatke iz preglednice (čas gorenja, višina sveče) v sistemu na učnem listu pravokotnem koordinatnem sistemu na učnem listu. narisana množica točk. Pravilno poimenovane osi. Dijaki nadaljujejo z delom v dvojicah in podatke o gorenju sveče 2.2.3 d Učitelj spremlja delo dijakov in jim po potrebi pomaga pri uporabi V GeoGebri narisana množica predstavijo v GeoGebri. Pri delu uporabljajo tehnologijo (tablični 2.2.3 e GeoGebre. točk. računalnik ali telefon). Pri tretji nalogi dijaki v parih navedene linearne modele narišejo v 2.2.3 d Učitelj spremlja delo dijakov. S podvprašanji ugotovi, ali so dijaki V GeoGebri narisane vse štiri GeoGebri in izberejo tistega, ki se podatkom po njihovem mnenju 2.2.3 e razumeli nalogo. dane premice in na učnem listu najboljše prilega. 2.2.4 a obkrožena tista, ki se podatkom 2.2.4 d najboljše prilega. Za vsak model zapisana utemeljitev, zakaj je/ni model ustrezen. Dijaki v parih pri nalogi 4 iz izbranega modela razberejo, koliko je 2.2.3 f Učitelj spremlja delo dijakov in jim po potrebi z podvprašanji priskoči Izpisana začetna vrednost in sveča visoka na začetku in koliko cm sveče zgori vsako minuto. na pomoč. smerni koeficient premice. V nalogah 5−7 dijaki v parih uporabijo izbrani model za 2.2.3 d Učitelj spremlja delo dijakov in preverja pravilnost izračunov. Pri vsaki nalogi na učnem listu napovedovanje vrednosti višine sveče v določenem trenutku ter zapisan račun in odgovor. napovedovanje časa, kdaj bo sveča zgorela, in časa, kdaj bi zgorela 10 cm visoka sveča. Pri zadnji nalogi dijaki v parih razmišljajo, od česa je odvisno gorenje 2.2.4 a Učitelj spodbudi razmišljanje dijakov. Dijake, ki nimajo idej, napoti na Zapisane ugotovitve na učnem sveče. splet. listu. Dijaki odgovarjajo na vprašanja. 1.1 c Učitelj z dijaki ustno izvede evalvacijo ure. Odgovori dijakov na učiteljeva vprašanja. | 211 Razvijamo matematično pismenost | Učni list P1 Modeliranje s funkcijami – Gorenje sveče Matej je raziskoval hitrost gorenja sveče. Vsaki dve minuti je zapisal njeno višino. Čas (min) Višina sveče (cm) 0 7,5 2 7,2 4 6,6 6 6,1 8 6,0 10 5,6 12 5,0 1. Podatke predstavi v koordinatnem sistemu. Poimenuj koordinatni osi. 2. Podatke predstavi tudi v Geogebri (uporabiš lahko aplikacijo za telefon ali aplikacijo na povezavi http://url.sio.si/Dxx). 3. Kateri linearni model se podatkom najboljše prilega? (Pomoč: Nariši vse štiri modele v Geogebro.) a) y = 0,2 x + 7,5 c) y = -0,2 x + 7,5 b) y = -0,3 x + 7,5 č) y = -0,15 x + 7,5 Za vsak model utemelji, zakaj je ustrezen oziroma zakaj ne. a) b) c) č) Model, ki se podatkom najbolje prilega, nariši tudi v zgornji koordinatni sistem. 212 | Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Učni list P1 4. Izpolni prazni polji glede na izbrani model. Sveča je na začetku visoka cm. Vsako minuto zgori cm sveče. 5. a) Izračunaj, kdaj bo sveča po izbranem modelu visoka 2 cm. Račun: Odgovor: b) Rešitev poišči tudi grafično v Geogebri. 6. a) Kdaj bo sveča po izbranem modelu zgorela? Račun: Odgovor: b) Rešitev poišči tudi grafično v Geogebri. 7. a) V kolikšnem času bo zgorela 10 cm visoka sveča iz enakega materiala in enake debeline? Račun: Odgovor: b) Rešitev poišči tudi grafično v Geogebri. 8. Razišči in zapiši, od česa je odvisno gorenje sveče. | 213 Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Dokazi, izdelki dijakov Modeliranje s funkcijami – Gorenje sveče Matej je raziskoval hitrost gorenja sveče. Vsaki dve minuti je zapisal njeno višino. Čas (min) Višina sveče (cm) 0 7,5 2 7,2 4 6,6 6 6,1 8 6,0 10 5,6 12 5,0 1. Podatke predstavi v koordinatnem sistemu. Poimenuj koordinatni osi. višina sveče (cm) čas (min) 2. Podatke predstavi tudi v Geogebri (uporabiš lahko aplikacijo za telefon ali aplikacijo na povezavi http://url.sio.si/Dxx). 3. Kateri linearni model se podatkom najboljše prilega? (Pomoč: Nariši vse štiri modele v Geogebro.) a) y = 0,2 x + 7,5 c) y = -0,2 x + 7,5 b) y = -0,3 x + 7,5 č) y = -0,15 x + 7,5 Za vsak model utemelji, zakaj je ustrezen oziroma zakaj ne. a) Ne, ker narašča. b) Ne, ker je gre skozi nobeno točko. c) Da, ker gre skozi večino točk. Ne, ker ne gre skozi večino točk. č) Model, ki se podatkom najbolje prilega, nariši tudi v zgornji koordinatni sistem. 214 | Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost | Dokazi, izdelki dijakov 4. Izpolni prazni polji glede na izbrani model. Sveča je na začetku visoka 7,5 cm. 0,2 Vsako minuto zgori cm sveče. 5. a) Izračunaj, kdaj bo sveča po izbranem modelu visoka 2 cm. Račun: 2 = -0,2x + 7,5 0,2x = 7,5 – 2 0,2x = 5,5 / : 0,2 x = 27,5 Sveča bo visoka 2 cm po 27,5 min. Odgovor: b) Rešitev poišči tudi grafično v Geogebri. 6. a) Kdaj bo sveča po izbranem modelu zgorela? Račun: 0 = -0,2x + 7,5 0,2x = 7,5 / : 0,2 x = 37,5 Sveča bo zgorela po 37,5 min. Odgovor: b) Rešitev poišči tudi grafično v Geogebri. 7. a) V kolikšnem času bo zgorela 10 cm visoka sveča iz enakega materiala in enake debeline? Račun: y = -0,2x + 10 0 = -0,2x + 10 0,2x = 10 / : 0,2 x = 50 Sveča bo zgorela po 50 min. Odgovor: b) Rešitev poišči tudi grafično v Geogebri. 8. Razišči in zapiši, od česa je odvisno gorenje sveče. Gorenje sveče je odvisno od višine in debeline sveče. | 215 Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost Refleksija učiteljice Z izvedeno uro sem bila zadovoljna. Ugotovila sem, da je bila snov za dijake zelo preprosta. Hitro so predlagali, kako bi lahko dober model izračunali tudi sami z izborom dveh točk, saj že znajo izračunati enačbo premice čez dve točki. Zanimalo jih je tudi, kako izmed več mogočih linearnih modelov izberemo najustreznejšega oziroma kako GeoGebra določi prilagoditveno funkcijo, zato sem na kratko razložila geometrijsko idejo metode najmanjših kvadratov. Gorenje sveče je pojav, ki ga dijaki dobro poznajo. Ker je bil primer uvodna dejavnost v modeliranje, so dijaki dobili podatke in modele na učnem listu. Če bi dijaki že obvladali modeliranje, bi lahko dejavnost izvedli tudi praktično tako, da bi tanko svečo, ki hitro gori, prižgali v razredu in merili njeno višino vsaki dve minuti. Dijaki bi podatke prikazali grafično in določili ustrezen linearni model. Model bi lahko poiskali brez uporabe tehnologije tako, da bi sami izračunali koeficiente linearnega modela. S primerjanjem tako dobljenih modelov bi lahko ugotovili, da so dobili nekoliko različne koeficiente in utemeljili, da so koeficienti odvisni od izbranih točk. Če bi imeli na voljo tehnologijo, pa bi modele določili npr. z GeoGebro. Za uspešno izvedbo dejavnosti je priporočljivo, da dijaki poznajo osnovno uporabo GeoGebre (risanje točk, premic). Dejavnost je primerna tudi za 3. vzgojno izobraževalno obdobje. Refleksijo dijakov sem tokrat izvedla ustno. Učno snov so ocenili kot zelo preprosto, vendar zanimivo. Menili so, da bi lahko uro izvedli že v osnovni šoli. Navdušeni so bili, da so lahko pri pouku uporabljali telefon in GeoGebro. Želijo si še več podobnih ur. Viri in literatura 1. Bon Klanjšček, M. (2010): Gorenje sveče v Posodobitev pouka v gimnazijski praksi. Pridobljeno s https:// www.zrss.si/digitalnaknjiznica/Posodobitve%20pouka%20v%20gimnazijski%20praksi%20MATEMATI- KA/#/110/, str. 110. 2. Žakelj, A. idr. (2008): Učni načrt. Matematika. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s http://www.mss.gov.si/fileadmin/mss.gov.si/pageuploads/podrocje/ ss/programi/2008/Gimnazije/UN_MATEMATIKA_gimn.pdf. 3. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Vreš, S., Kretič Mamič, V., Ternar, V., Angelov Troha, K., Zadel, V., Lipovec, A., Žakelj, A., Klemenčič, E., Fras Bero, F. idr. (2019). Matematič- na pismenost. Opredelitev in gradniki. https://www.zrss.si/wp-content/uploads/2021/05/Matematic- na_pismenost.pdf 216 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Izdelava matematičnega modela za zavorno pot avtomobila Ana Kretič Mamič, Gimnazija Nova Gorica Predstavljena dejavnost povezuje znanje linearne in kvadratne funkcije s primerom iz vsakdanjega življenja, pri katerem največkrat niti ne pomislimo, da je v ozadju skrita preprosta matematika. Na ta način dejavnost tudi predstavim dijakom, poskušam v njih prebuditi željo po odkrivanju nečesa novega in jim tudi postavljam izzivalna vprašanja, npr. ali ste že videli, da so policisti po prometni nesreči hodili po cesti z metrom in merili, kaj so merili, čemu … Lahko jim povemo, da so pri testih v avtošoli vprašanja o zavorni poti vozila. Dejavnost je primerna po obravnavi snovi kvadratne funkcije, lahko jo izvedemo tudi kot medpredmetno povezavo s fiziko, kjer lahko vključimo še druge elemente (suha cesta, mokra cesta, masa vozila, kinetična energija …). Glavni cilj je uporaba modeliranja pri nalogi iz vsakdanjega življenja, gre za nadgradnjo znanja kvadratne funkcije z uporabo digitalne tehnologije. Dijaki so morali izdelati matematični model za zavorno pot avtomobila. Kaj je pot ustavljanja avtomobila? Reakcijski čas je čas od opaženja ovire do reagiranja. Pri povprečnem vozniku je ta čas ena sekunda. Reakcijska pot je pot, ki jo vozilo prevozi od trenutka, ko voznik zazna oviro pred vozilom, do trenutka, ko začne zavirati, torej pot, ki jo prevozi v reakcijskem času. Če predvidevamo, da vozilo pred nami zavira z enakim pojemkom kot naše vozilo, je minimalna varnostna razdalja enaka reakcijski poti. Približno reakcijsko pot v metrih dobimo, če hitrost v kilometrih na uro množimo z 0,3. Reakcijski čas in s tem reakcijska pot se podaljša: • če voznik ne pričakuje ovire, • če ni pozoren na cesto in okolico, • če vozi utrujen ali pod vplivom alkohola oziroma drugih psihoaktivnih snovi, • glede na trenutno razpoloženje in sposobnosti voznika, • s starostjo voznika. Zavorna pot je pot, ki jo vozilo prevozi od začetka zaviranja do popolne ustavitve. Na zavorno pot vplivajo: • hitrost vožnje vozila (pri večjih hitrostih je daljša), • vremenske razmere (mokro cestišče, poledica – pot zaviranja se dvakrat oz. trikrat podaljša), • izrabljene (stare) pnevmatike, ki ne dajejo več dobrega oprijema, • stanje cestišča (izrabljena površina cestišča), • kvaliteta in brezhibnost zavornih sistemov v vozilu. Pot ustavljanja je pot, ki jo sestavljata reakcijska in zavorna pot. Čas ustavljanja je čas, ki ga sestavljata reakcijski čas in čas zaviranja. | 217 Razvijamo matematično pismenost | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Pri izvedbi dejavnosti dijaki uresničujejo naslednje (vsebinske, procesne) cilje pouka matematike: • predstavijo zbrane podatke v preglednici, koordinatnem sistemu, • uporabljajo linearne modele za reakcijsko pot in kvadratne modele za zavorno pot avtomobila, • uporabljajo informacijsko komunikacijsko tehnologijo (splet kot vir podatkov, Excell), • kritično razmišljajo o ustreznosti dobljenih modelov in dejavnikih, ki vplivajo na zavorno pot, • ustno in pisno predstavljajo in utemeljujejo svoje rešitve. Dijaki so morali izdelati matematični model za zavorno pot avtomobila, kjer smo izbrali pristop odprtega reševanja avtentičnega problema. Z dijaki smo se pogovorili o problemu, o razumevanju strokovnih izrazov, potem pa so samostojno po skupinah reševali problem. Dejavnost uvrščamo med naslednje podgradnike matematične pismenosti: 2.2 obravnava situacije z matematičnim modeliranjem 2.2.1 prenese situacijo v matematični kontekst 2.2.2 oblikuje matematične modele za dano situacijo 2.2.4 vrednoti matematične modele Pričakovani rezultati/dokazila Aktivnost učencev (z navedbo prilog P1 …) Podgradnik MP (kako bodo učenci izkazali, (št.) Vloga učitelja da so dosegli napredek/cilje) Dijaki se razdelijo v skupine (4 do 5 dijakov v skupini) in razdelijo Dijakom poda navodilo za delo. Dijaki razdeljeni v skupine, učne liste. razdeljeni učni listi. Dijaki preberejo učni list. MP1.1. a Vodi pogovor o temi in vpleta strokovne izraze, ki jih problemska Razumevanje problema in Sodelujejo v pogovoru, kjer si razložijo strokovne pojme, ki jih MP1.3 a situacija obravnava. razjasnitev obravnavanih izrazov. situacija vključuje. Dijaki rešujejo odprt avtentičen problem MP1.1 d Učitelj pomaga, usmerja dijake, kadar je to potrebno. Rešen problem in rešitev MP2.2.1 prikazana v predstavitvi (npr. MP2.2.2 b, c, d plakat). MP2.2.4 a Dijaki po skupinah predstavijo svoje ugotovitve. MP2.2.4 d Učitelj poskrbi za konstruktivno debato. Sodelovanje pri predstavitvah. MP2.3 b | 218 Razvijamo matematično pismenost | Učni list P1 Pot ustavljanja avtomobila Na cesti med Novo Gorico in Solkanom se je zgodila prometna nesreča, v kateri sta bili udeleženi dve vozili: osebni avtomobil in kombinirano vozilo. Policija je izmerila dolžino črne sledi gum, ki je pri avtomobilu znašala 26,4 m, pri kombiniranem vozilu pa 12,2 m. Ali je kateri izmed voznikov vozil prehitro in bo zato kaznovan? Na kolikšni medsebojni oddaljenosti sta voznika opazila nevarnost in začela zavirati? Slika 120: Sledi gum pri zaviranju (vir: https://sl.puntomarinero.com/braking-distance-during-emergency-braking/, pridobljeno 1. 10. 2019) | 219 Naložbo sofinancirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega sklada Razvijamo matematično pismenost Dokazi, izdelki učencev Slika 121: Rešitev ene skupine dijakov Refleksija učiteljice Dijake sem v skupine razdelila tako, da je bil v vsaki skupini vsaj en dijak z boljšim znanjem matematike. Dobro so se znašli pri iskanju podatkov po spletu, uporaba Excela jim ni delala težav, ker smo pri pouku že večkrat iskali prilagoditveno funkcijo (trendno črto) in oblikovali predvidene grafe funkcij. Pogovor je kasneje stekel tudi v smeri razmer na cesti. Viri in literatura 1. Žakelj, A. idr. (2008). Učni načrt. Program Gimnazija. Matematika. [Elektronski vir]. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s http://www.mss.gov.si/fileadmin/mss.gov.si/ pageuploads/podrocje/ss/programi/2008/Gimnazije/UN_MATEMATIKA_gimn.pdf. 2. Sirnik, M., Vršič, V., Magajna, Z., Hodnik, T., Stopar, N., Pustavrh, S., Vreš, S., Kretič Mamič, V., Ternar, V., Angelov Troha, K., Zadel, V., Lipovec, A., Žakelj, A., Klemenčič, E., Fras Bero, F. idr. (2019). Matematična pismenost. Opredelitev in gradniki. Pridobljeno s https://www.zrss.si/wp-content/uploads/2021/05/ Matematicna_pismenost.pdf. 3. Javna agencija republike Slovenije za varnost prometa. Pridobljeno: https://www.avp-rs.si/preventiva/ preventivni-dogodki/naprave/stopko-in-fleksi/. 4. Stopko in fleksi. Pridobljeno: https://www.avp-rs.si/preventiva/preventivni-dogodki/naprave/stopko-in-fleksi/. 5. https://ucilnice.arnes.si/pluginfile.php/238491/mod_resource/content/0/MERJENJA/Varnostna_razdalja.doc. 220 | Primeri dejavnosti iz prakse za razvijanje drugega gradnika matematične pismenosti Komentar na dejavnost Komentar na dejavnost Izdelava matematičnega modela za zavorno pot avtomobila Napisal: dr. Nik Stopar, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko Dejavnost obravnava realen problem s področja prometne varnosti – kako oceniti, kakšna je bila hitrost vozila ob prometni nesreči na podlagi podatkov, ki jih policija lahko zbere po dogodku. Kot taka zelo lepo pokaže smisel in uporabnost matematičnega modeliranja. Matematična analiza dokaj zapletene življenjske situacije pripelje do relativno preprostega funkcijskega modela (kvadratne funkcije) za napovedovanje zavorne poti na podlagi hitrosti vozila in obratno. Matematični model je torej orodje, s katerim lahko napovedujemo dogodke, hkrati pa nam preprosti matematični modeli napovedovanje tudi olajšajo. Tu gre torej za primer funkcijskega modeliranja s kombinacijo teoretičnega in empiričnega pristopa – teorija pove, da bo zavorna pot kvadratna funkcija hitrosti, dijaki pa do optimalne funkcije pridejo s poskušanjem (vizualnim prilagajanjem grafa funkcije izbranim podatkom). Dejavnost je zanimiva predvsem z dveh stališč – obravnave matematičnega modela in možnosti medpredmetnega povezovanja. Zastavljena vprašanja pred izvedbo dejavnosti, kaj in zakaj policija po prometni nesreči počne z metrom na cesti, spodbujajo razmišljanje o spremenljivkah modela (podatkih, ki so potrebni za napovedovanje hitrosti). Hkrati pa izbrana situacija ponuja odlično priložnost za obravnavo predpostavk, omejitev in ustreznosti izbranega modela, zato je smiselno, da se po opravljeni nalogi z dijaki pogovorimo tudi o tem. Predpostavka linearnega modela za izračun reakcijske poti pa je prav gotovo to, da voznik v času nesreče ni bil pod vplivom alkohola, saj alkohol spremeni človekovo odzivnost. Ena od predpostavk modela za napovedovanje hitrosti je zagotovo, da je bila cesta ob prometni nesreči suha. Druga nekoliko bolj skrita predpostavka pa je, da je do končnega trka prišlo ob relativno majhni hitrosti vozil. V nasprotnem primeru so namreč sledi gum na cesti bistveno krajše od dejanske zavorne poti, ki bi jo izmerili, če vozili ne bi trčili. Hitrost, ki jo napove model, je torej manjša od dejanske hitrosti vozila, zato lahko model uporabimo le za spodnjo oceno hitrosti vozila ob trku. Ali je torej tak model ustrezen za obravnavano situacijo, npr. za uporabo na sodišču? Da, je. Pravzaprav je idealen, saj deluje v prid »obtoženca«. Če je voznik dovoljeno hitrost le malo prekoračil, ga model ne bo »obtožil«. Zagotovo pa bo model prepoznal voznika, ki je pretiraval s hitrostjo. Dijake lahko pozovemo, da razmislijo, kako bi se oba modela spremenila, če bi spremenili predpostavke. Zaviranje avtomobila lahko v primeru enakomerne podlage obravnavamo kot pospešeno gibanje s konstantnim negativnim pospeškom, zato lahko preko medpredmetnega povezovanja dejavnost podkrepimo še s teoretično razlago pri pouku fizike. S tem osmislimo tako obravnavo kvadratne funkcije pri matematiki kot tudi obravnavo pospešenega gibanja pri fiziki. Dodatna potrditev, da je kvadratna funkcija, do katere dijaki sami pridejo pri reševanju naloge, res prava rešitev, lahko dijake dodatno motivira za usvajanje sorodnih matematičnih vsebin. | 221