ISSN 0351-6652 Letnik 19 (1991/1992) Številka 1 Strani 50-53
Borut Zalar:
KOMPLEKSNA CELA ŠTEVILA
Ključne besede: matematika, algebra, teorija števil, kompleksno celo število, kompleksno praštevilo.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/19/1075-Zalar.pdf
© 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
KOMPLEKSNA CELA ŠTEVILA
Ogledali si bomo eno od možnosti posplositve pojma celega števila. Z imenom cela števila mislimo množico Z — {..,,—2,-1,0,1,2,,..}. Cela števila si lahko predstavljamo kot ogrlico na številski osi.
-2 -1 0 1 2 3
Osnovo za uvedbo pojma kompleksnega števila predstavlja enačba x2 = = —1. Ta enačba nima rešitve v celih številih, pa tudi v realnih številih ne. Da bi to in podobne enačbe lahko reševali, so matematiki uvedli pojem imaginarne enote. To je število i, ki reši zgornjo enačbo, torej i2 = — 1. Besedo imaginaren navadno slovenimo kot izmišljen ali navidezen. Število i naj bi torej ne obstajao v resnici, ampak naj bi bilo izmišljotina matematikov. Toda razvoj matematike in tehnike v zadnjem stoletju je pokazal, daje število i zelo uporabno pri čisto praktičnih problemih in torej ni tako za lase privlečeno, kot bi se komu zdelo.
Zdaj definirajmo kompleksna cela števila. Vzemimo dve celi števili a, t, zapišimo z = a + bi in ta formalni zapis imenujmo kompleksno celo Število. Zapisa a\ + fc^i in 32 + b.2t predstavljata isto kompleksno število natanko takrat, kadar je ai = 32 in bi — ¿2■
Seštevanje in množenje kompleksnih celih števil definiramo takole: naj bodo a, b, c, d cela števila Potem je
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + jbi)(c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)t
Zgled:
-1-/ o
-1+2/ O I	2 J	1+2/ 0	2+2/ o
-1+f O I	/	1 +/ o	2+/ o
-1	0	1	2
-I
1-/ o
2-/ o
(1 + 2i) + (3 - 5i) = {1 + 3) + (2 - 5)i = 4 - 3i
Zaradi poenostavitve, zapišemo število a + Oi kar a. število 0 + a'\ pa a i.
Vsakemu kompleksnemu celemu številu z = bi bomo priredili še pozitivno število /V(z) = a~ + + b2, ki ga imenujemo norma števila z, če kompleksna cela števila predstavimo kot mrežo, potem je zaradi Pitagorovega izreka A/(z) ravno kvadrat dolžine hipotenuze v spodnjem trikotniku.
Najpomembnejša lastnost norme je izražena v naslednji trditvi:
Trditev 1. Naj bosta z\ — a -f ¿i te; z? = c + dve kompleksni celi Števili. Potem velja N{ziz2) = N(zi)N(z2),
Dokaz nam da naslednji račun:
/V(ziz2) = N((ac - bd) + (ad + bc)i) = (ac - bdf + {ad + bc)2 = = a2c2 + b2d2 - lacbd + a2d2 + b2c2 + 2adbc = = a2 c2 + b2d2 + a2 d2 + b2c2 = = (a2 + b2){c2 + d2) = /V(z1)A/(z2)
Poglejmo si nekoliko pobliže deljivost kompleksnih celih števil. Definiramo jo enako kot pri celih Številih, torej z\ deli z2, če obstaja tako kompleksno celo število w, da je wz\ = z2. Najprej si oglejmo zgled:
1 i = i i« (-¡) =-i* = -(-!) = !
Torej 1 deli t in tudi i deli 1. Pri naravnih številih je takšno medsebojno deljenje nemogoče, zato si moramo ta fenomen pobliže ogledati.
Trditev 2. Naj bosta z\ in dve neničelni kompleksni celi števili in naj z\ deli Z2 ter z2 deli z\. Tedaj imamo štiri možnosti:
Z\ — z2, zi — —Z2, z\ — iz^, ali z\ — —\z2 Dokaz: Iz danih pogojev za števili z\ ter z2 sledi, da obstajata dve taki
kompleksni celi števili x,y da velja:
Z uporabo trditve 1 dobimo
W(zi)= A/(x)/V(z2) A/(z2) = /V{y)A/(za) = A/(y)W(x)A/(z2)
Ker je zi / 0r z2 ^ 0, so norme pozitivne in zato mora biti /V(x) — A/(y) = = 1. Pišemo x = a + b\ in dobimo a2 + = 1 Od tod očitno sledi, da je a = 0 in b2 = 1 ali pa a* = 1 in b — 0, torej je x eno od števil 1, —1, i in -i.
To pomeni, da ima vsako kompleksno celo število z vsaj osem deliteljev. To so 1, —1, i, -i, z, —z, iz, —iz. število, ki ima samo teh osem deljiteljev, bomo imenovali kompleksno praštevilo. Naj bo p naravno število. Kdaj je p kompleksno praštevilo? Očitno je, da mora biti p praštevilo v običajnem smislu. Da to še ne zadošča, kaže naslednji zgled:
(l + i)(l-0 = 1 +i-i-i2 = 2
število 1 + i deli 2, zato 2 ni kompleksno praštevilo.Delni odgovor na naše vprašanje daje:
Trditev 3. Naj bo p praštevilo ki ima pri deljenju s 4 ostanek 3. Tedaj je p tudi kompleksno praštevilo
Dokaz: Denimo, da je p mogoče zapisati kot produkt p = (a + b\)(c + d\)
in da sta števili a + bi, c + d\ različni od števil 1, —1, i, -i, p, —p, ¡p, -ip. Tedaj dobimo N(p) ~ p2 ~ N(a + bi)N(c + d i).
Ker število p2 nima drugih naravnih deliteljev kot 1, p in p2 in ker /V(a + + fci), N(c + ¿i) / 1, dobimo N(a + bi) = p = a2 + b2. število p je liho, zato mora biti eno izmed števil a, b sodo. eno pa liho. Kvadrat sodega števila je deljiv s 4, kvadrat lihega števila pa pri deljenju s 4 da ostanek 1 (Dokazil). Zato vsota p = a2 + b2 pri deljenju s 4 da ostanek 1, kar pa po predpostavki ni res. Torej je p kompleksno praštevilo.
Pripomnimo še, da tista praštevila, ki pri deljenju s 4 dajo ostanek 1, niso kompleksna praštevila, vendar to ni tako enostavno dokazati.
Za konec pa nekaj nalog:
1.	Dokazi, da enačba /V(z) = 3 nima rešitev v kompleksnih celih številih.
2,	Poišči vse rešitve enačbe A/(z) — 5 v kompleksnih celih številih. (Rešitve: 2+i, 2-i, ~2+i, —2—i)
3- Dokazif da je število 1+i kompleksno praštevilo.
4.	Dokaži, da števili 5 in 13 nista kompleksni praštevill (Nasvet: razcepi obe števili na produkt dveh kompleksnih celih števil,)
5.	Reši enačbo x + y + z = xyz = 1 v kompleksnih celih številih. (Rešitev: 1T i, -i)
6.	Razcepi število 19+ 171 na produkt kompleksnih praštevil. (Rešitev: (l+i)(2+i)2{2-3i))
7.	Dokazi, da je vsako kompleksno število, čigar norma je praštevilo, kompleksno praštevilo,
Borut Zalar