α Matematika v šoli ∞ XIX. [2013] ∞ 29-40 Σ Povzetek V prispevku opišemo zgodovino in potek tekmovanja DIS- FIDA MATEMATICA – MATEMATIČNI IZZIV, ki se je iz- menično odvijalo v Italiji, Avstriji in Sloveniji. Predstavljamo izbor nalog v zadnjem triletnem obdobju tekmovanja in abso- lutne zmagovalce v posameznih letih tekmovanja. Ključne besede: matematika, tekmovanje, naloge Tekmovanje DISFIDA MATEMATICA – matemati čni izziv Alica Prin či č Röhler Zavod RS za šolstvo Lilia Peterzol The DISFIDA MATEMATICA Competition – a mathematical challenge Σ Abstract In the paper we describe the history and course of the DISFIDA MATEMATICA – MATHEMATICAL CHALLENGE competi- tion, which alternately took place in Italy, Austria and Slovenia. We present a selection of exercises from the last three years of the competition and the overall winners of each year’s competition. Key words: mathematics, competition, exercises Tekmovanje DISFIDA MATEMATICA – matemati čni izziv 30 α Zgodovina tekmovanja DISFIDA MATEMATICA Začetki tega tekmovanja segajo v šolsko leto 1986/87, na pobudo profesorja Mirta Melchiorja, ravnatelja nižje srednje državne šole E. Fermi v Vidmu (Udine, Italija). Po njegovi smrti je organizacijo tekmovanja prevzel profesor Roberto del Frate, ki pouču- je fiziko in matematiko na liceju N. Coperni- co v Vidmu in in je sodeloval pri tekmovanju vse do leta 2010. Od vsega začetka so poleg šol regije Furla- nija - Julijska krajina sodelovale šole iz Slove- nije - območje Nova Gorica in šole iz okolice Beljaka (Avstrija). Dve leti kasneje, torej leta 1989, je bilo na pobudo Alcea Cobaltija, prof., takratnega svetovalca za šole z italijanskim učnim jezi- kom na Zavodu za šolstvo OE Koper, poleg goriškega območja vključeno tudi obalno območje Slovenije. Ker so bili zmagovalci prvi dve leti učenci slovenskih šol, so se leta 1989 odločili, da nagradijo tri učence, in si- cer najboljšega iz posamezne države. Tekmovanje ni bilo izvedeno leta 1994, ker je umrl prof. Melchior. Tudi leta 1995 do izvedbe tega tekmovanja ni prišlo, vendar so nas v tem letu kolegi iz Vidma in Palmano- ve povabili k sodelovanju na mednarodnem tekmovanju MATEMATIČNE IGRE. Tudi takrat so se nekateri učenci naših šol uvrsti- li v prvi selekciji na prva mesta in odšli na drugo selektivno tekmovanje v Milano. V konkurenci z vsemi italijanskimi učenci se takrat ni noben od naših uvrstil na finalno tekmovanje, ki je bilo v Parizu. V naslednjem letu, maja 1996, je ponovno steklo tekmovanje DISFIDA MATEMATICA – MATEMATIČNI IZZIV, ki so ga organi- zirali prof. Roberto del Frate v sodelovanju s takratnim ravnateljem šole P. Zorutti prof. Lucianom Adrianom iz Palmanove in prof. Aldom Mazolinijem, prav tako zaposlenim na isti šoli. Tekmovanje je potekalo na osnovni šoli P . Zorutti v Palmanovi (Italija). Organiza- cija za slovenske šole je potekala pod okriljem Zavoda za šolstvo OE Koper. Zanj sta skrbeli Alica Prinčič Röhler, prof. in Lilia Peterzol, prof.. Na njuno pobudo je tekmovanje postalo izmenično: vsako leto v drugi državi. β Od leta 1996 so potekala tekmovanja izmeni čno v Sloveniji, Italiji in Avstriji Leta 1996 je bilo v Palmanovi (Italija), leta 1997 v Beljaku (Avstrija), leta 1998 je bilo tekmovanje prvič v Sloveniji, na OŠ Vojke Šmuc v Izoli, kjer je za organizacijo tekmovan ja zgledno poskrbela ravnateljica šole prof. Diomira Tkalčič. Naslednji dve leti se je tekmovanje odvija- lo v Palmanovi (I) in v Beljaku (A). Po treh letih smo bili zopet na vrsti mi in smo tek- movanje 2001 organizirali na goriškem, in sicer na OŠ Ivana Roba v Šempetru pri Gori- ci, kjer sta bila za organizacijo na šoli zadol- [Slika 1] Simbol tekmovanja DISFIDA MATE- MATICA 31 žena učiteljica matematike Franica Koglot in ravnatelj šole prof. Frenk Kerčmar. Za nami je bila zopet na vrsti Italija in leto kasneje Avstrija. V letu 2004 pa smo se zopet vrnili v Slovenijo, in sicer na OŠ Vojke Šmuc v Izoli, kjer so za organizacijo tekmovanja zgledno poskrbeli ga. ravnateljica Lenčka Prelovšek in aktiv matematikov: Nada Niko- lič, Neva Slavec in članica organizacijskega odbora Diomira Tkalčič. Naslednje leto je tekmovanje organizirala Italija in leto kasneje Avstrija, v letu 2007 pa smo že četrtič zapovrstjo organizirali tekmo- vanje v Sloveniji, in sicer na OŠ Ivana Roba v Šempetru pri Gorici, kjer sta za organizacijo tekmovanja na šoli poskrbeli učiteljica ma- tematike Franica Koglot in ravnateljica šole prof. Slavica Bragato. Ponovno se je začel nov krog tekmovanj, ko je bila zopet na vrsti Italija. T ekmovanje se je odvijalo maja 2008 v Palmanovi na Nižji srednji šoli Pietro Zorutti. Nato je bilo 2009 tekmovanje v Beljaku (A), zadnje tekmovan- je pa je bilo 2010 v Izoli. S tem se je tekmova- nje tudi končalo. Tekmovanje je potekalo zadnjih nekaj let izmenično v treh sodelujočih deželah in nu- dilo tudi priložnost za druženje vrstnikov iz treh dežel. Udeležilo se ga je po 20 učencev iz vsake države, skupaj s svojimi mentorji, pred- stavniki šolskih oblasti in organizatorji. Izbor slovenskih učencev smo opravili na podlagi najbolje uvrščenih učencev na področnem oz. državnem Vegovem tekmovanju. Za naše učence je za organizacijo vsako leto poskrbel Zavoda RS za šolstvo, orga- nizacijska enota Koper, skupaj s šolama OŠ Vojke Šmuc iz Izole in OŠ Ivana Roba iz Šempetra pri Gorici. Na vsakem tekmovanju so učenci in so- delujoči prejeli bilten tekmovanja (slike 3-6), ki je vseboval nagovor ravnatelja oz. pred- stavnika šole, kjer je tekmovanje potekalo, preveden v vse tri jezike, imena in priimke sodelujočih učencev s fotografijami, naloge z rešitvami in dosežke učencev na tekmo- vanju. Najboljši učenci so na tekmovanju prejeli praktične nagrade, ki so jih prispevali sponzorji. Poleg najboljših v posamezni dr- žavi so na vsakem tekmovanju razglasili ab- solutnega zmagovalca. Tekmovanje je potekalo po registraciji vseh tekmovalcev, fotografiranju, otvoritvi tekmovanja, kjer je bil krajši kulturni pro- gram. Po tekmovanju so imeli tekmovalci malico in nato so odšli na ogled mesta, mu- zejev. Sledila je slovesna razglasitev rezulta- tov in nato kosilo. δ Naloge na tekmovanju Vsebine, ki so jih imele izbrane naloge za tekmovanje, so bile povezane z učnim načr- tom vseh treh držav, včasih tudi nad zahtev- nostjo rednega programa na področju mate- matike za naše osnovnošolce, sicer pa se je skrbno pazilo, da je prišlo do izraza primer- [Slika 2] Sodelujoči v organizacijskem odboru 32 [Slika 3] Naslovnica biltena – Šempeter pri Gorici [Slika 5] Naslovnica biltena – Beljak 2009 [Slika 4] Naslovnica biltena – Palmanova 2008 [Slika 6] Naslovnica biltena – Izola 2010 Tekmovanje DISFIDA MATEMATICA – matemati čni izziv 33 janje znanja med učenci na področju mate- matike treh držav, popularizacija matemati- ke, odkrivanje in spodbujanje za matematiko nadarjenih učencev, motivacija za nadaljnje poglabljanja znanja s področja matematike in spodbujanje druženje mladih iz različnih šol in okolij iz treh držav. Do leta 1998 so bile razlike v učnih na- črtih treh držav večje, po uveljavitvi novega učnega načrta 1998 v Sloveniji pa so prav zaradi novih vsebin kot je Obdelava podat- kov bile te razlike nekoliko manjše. Pri izbiri nalog je vsaka država prispevala po 4 naloge, skupaj so učenci reševali 12 nalog. Organiza- cijski odbor tekmovanja je upošteval razlike v učnih načrtih, tako da je izbiral naloge iz vsebin, ki so jih obravnavali v vseh treh dr- žavah. Italijani so običajno prispevali bolj miselne naloge, ki ne zahtevajo toliko proce- duralnega znanja, kar pa ne velja za avstrijski oz. slovenski organizacijski odbor. Na koncu prispevka predstavljamo izbor nalog iz zadnjega kroga tekmovanj (od 2008 do 2010) z namenom, da učitelji dobijo vpo- gled v same naloge in da jih morda poskusijo reševati s svojimi (nadarjenimi) učenci. KRAJ IN DRŽAV A IZVEDBE TEKMOV ANJA LETO IME IN PRIIMEK ABSOLUTNEGA ZMAGOV ALCA ŠOLA PALMANOV A (I) 1996 MATIJA GRŽINA OŠ DANILA LOKARJA AJDOVŠČINA (SLO) BELJAK (A) 1997 PETER LUKAN OŠ SOLKAN (SLO) IZOLA (SLO) 1998 ANDREA MATIACIC OŠ SREČKO KOSOVEL PROSEK (I) PALMANOV A (I) 1999 JAKA FIŠER OŠ IV ANA ROBA, ŠEMPETER PRI GORICI (SLO) BELJAK (A) 2000 KRIS STOPAR OŠ DANILA LOKARJA AJDOVŠČINA (SLO) ŠEMPETER PRI GORICI (SLO) 2001 MATEVŽ KRAŠNA OŠ DRAGA BAJCA, VIPAV A (SLO) PALMANOV A (I) 2002 URŠKA MEŽNAR OŠ FRANCETA BEVKA TOLMIN (SLO) BELJAK (A) 2003 TINA ILC OŠ DANILA LOKARJA AJDOVŠČINA (SLO) IZOLA (SLO) 2004 DOMINIK ŠURC OŠ SOLKAN (SLO) PALMANOV A (I) 2005 DAVID MUŽENIČ OŠ ELVIRE V ATOVEC PRADE (SLO) BELJAK (A) 2006 PETRA LESAR OŠ DRAGA BAJCA VIPAV A (SLO) ŠEMPETER PRI GORICI (SLO) 2007 ARNOLD HANSER AVSTRIJSKA KOROŠKA (A) PALMANOV A (I) 2008 GAJA TOMŠIČ DSŠ IV AN TRINKO, GORICA (I) BELJAK (A) 2009 KRENN NEPOMUK AVSTRIJSKA KOROŠKA (A) IZOLA (SLO) 2010 OLIVER EDTMAIER AVSTRIJSKA KOROŠKA (A) [Preglednica 1] Absolutni prvaki 34 ε Uvrstitve na tekmovanju Več let so bili med najbolje uvrščenimi prav učenci primorskih osnovnih šol. Vrsto let (od 1999 do 2006) so prekosili svoje av- strijske in italijanske vrstnike, kar potrjuje uspešnost slovenskega načina selekcije (Ve- gova tekmovanja) in spodbujanja nadarjenih učencev. V letu 2007 pa je bil prvič najboljši med vsemi učenec iz avstrijske Koroške. V spodnji preglednici (preglednica 1) so pred- stavljeni absolutni prvaki tekmovanja. γ Zaklju ček Še pred vstopom Slovenije v Evropsko unijo so bile tri regije iz različnih držav med seboj povezane, med seboj so povezovale učence in učitelje. Želimo si, da se bo sodelo- vanje obmejnih regij na šolskem polju zopet vzpostavilo. η Naloge in rešitve nalog – Palmanova, leto 2008 Predstavljamo naslovnico reševalne pole za leto 2008, za leti 2009 in 2010 pa le na- loge. Prvih 6 nalog je vedno izbirnega tipa, nasled njih šest nalog pa učenci rešujejo. 1. Po družabni večerji je ob 10.00 uri zve- čer odšla polovica prisotnih oseb. Vsa- ke naslednje pol ure tako odide polovi- ca preostalih oseb. Zadnja oseba odide sama in sicer ob polnoči. Koliko oseb je bilo na večerji? A) 8 B) 16 C) 20 D) 32 E) 40 2. Prevozno podjetje mora zagotoviti av- tobusno povezavo med postajo v mestu in postajo na letališču. Prevoz z avto- busom traja v eno smer 30 minut; vsak avtobus stoji 5 minut na postaji v mestu in prav tako 5 minut na postaji na leta- lišču; vsakih 10 minut pa mora odpoto- vati tako avtobus s postaje v mestu kot tudi s postaje na letališču. Najmanj koliko avtobusov je potrebno zagotoviti za tako povezavo? A) 7 B) 8 C) 12 D) 14 E) 15 3. Kvadrat ABCD s stranico 8 cm je raz- deljen na štiri trikotnike kot kaže slika. Trikotnika ABF in AED imata enako ploščino, ki meri 16 cm². Koliko meri ploščina trikotnika CDE? A) 24 cm 2 B) 20 cm 2 C) 28 cm 2 D) 18 cm 2 E) 26 cm 2 4. Andreja (A) in Klavdija (K) skupaj tehtata enako kot Beti (B) in Doris (D) skupaj. Do- ris je težja od Andreje in tudi od Beti. Beti in Klavdija skupaj tehtata več kot Andreja in Doris skupaj. Razvrsti ta štiri dekleta glede na njihovo težo, začni z najtežjo. A) D>B>K>A B) K>D>B>A C) B>K>D>A D) K>B>A>D E) A>B>K>D Tekmovanje DISFIDA MATEMATICA – matemati čni izziv 35 5. Na spodnji sliki je pravokotnik ABCD sestavljen iz šestih enakih kvadratov. Stranici pravokotnika merita 18 dm in 12 dm. Kolikšna je velikost kota CID ? A) 120° B) 135° C) 140° D) 145° E) 150° 6. Imamo tri enake posode v obliki kocke z robom a, napolnjene z vodo, kot kaže slika. Koliko odstotkov vode iz prve posode moramo preliti v drugo, ki je nagnjena pod kotom 45° tako, da bo v drugi in v tretji posodi enako vode? A) 25 % B) 33 % C) 50 % D) 65 % E) 75 % 7. Na tekmovanju umetnostnega drsanja sodelujejo štiri dekleta: Alica, Karla, Eliza in Julija. Vse so dobile celoštevil- sko oceno. Prva uvrščena je dosegla 24 točk, zadnja uvrščena pa 9 točk. Alica je dosegla 5/3 števila točk, ki ga je dosegla Julija, Karla pa 2/3 števila točk, ki jih je dosegla Eliza. Koliko točk je dosegla vsaka od njih? 8. Poročnik želi razporediti vojake v vrste in kolone tako, da bo število vojakov oblikovalo kvadrat. Pri prvem posku- su ugotovi, da mu zmanjka 10 vojakov, zato se odloči, da v vsaki vrsti postavi po enega vojaka manj. V drugem pri- meru pa ugotovi, da ima 9 vojakov pre- več. Koliko vojakov ima poročnik? 9. Podaljšamo stranico AB enakostranič- nega trikotnika ABC do točke D tako, da velja BD = AB. Na daljici DC dolo- či točko P tako, da je DP = DB. Koliko meri kot med daljicama BC in BP? 10. Podjetje dodeli v svoji organizaciji in- terne petmestne telefonske številke. Vse telefonske številke so sestavljene iz dveh petic in treh enic. Koliko različnih telefonskih številk je mogoče sestaviti s temi števkami? 11. Markova ura vsako uro prehiteva za 3 mi- nute, medtem ko Žigova zaostaja vsako uro za 5 minut. Zjutraj sta obe uri kazali točen čas. V popoldanskem času kaže ena 15 h in 55 min, medtem ko druga kaže 17 h in 7 min. Koliko je bila ura danes zju- traj, ko sta obe uri kazali točen čas? 12. Proizvajalec zobnih past zmanjša koli- čino vsake tube za 20 gramov, ne da bi spremenil ceno. Izračuna, da se bo cena kilograma zobne paste tako povečala za 25 %. Koliko zobne paste je vsebovala vsaka tuba pred zmanjšanjem količine? List, na katerega so učenci vpisovali svoje rešitve, je v nadaljevanju. Na mestih, kjer so sedaj vpisane rešitve, je učenec vpisal svoje rešitve, rezultate, ugotovitve oz. odgovore na vprašanja. 36 LIST Z REŠITVAMI IME _______________________________ PRIIMEK _______________________________ ŠOLA: ________________________________________________________________________ DRŽAVA: ______________________________________________________________________ REŠITVE NALOGA 1 NALOGA 2 NALOGA 3 NALOGA 4 NALOGA 5 NALOGA 6 BAABBC NALOGA 7 Julija je dosegla 9, Alica 15, Karla 16 in Eliza 24 točk. NALOGA 8 Poročnik ima 90 vojakov. NALOGA 9 Kot CBP meri 45 o . NALOGA 10 Sestavimo lahko 10 različnih telefonskih številk. NALOGA 11 Ura je bila danes zjutraj 7 in 40 minut. NALOGA 12 Pred zmanjšanjem količine je vsaka tuba vsebovala 100 gr zobne paste. Za popravljalca! TOČKOV ANJE Število pravilnih odgovorov X 5 Število manjkajočih odgovorov X 1 Skupno število točk Tekmovanje DISFIDA MATEMATICA – matemati čni izziv 37 ϕ Naloge in rešitve nalog – Beljak, leto 2009 1. Na krožnici je označenih pet točk s šte- vili 1, 2, 3, 4, 5 v smeri urinega kazalca. Kobilica v smeri urinega kazalca skače po krožnici s točke na točko. Ko se na- haja na točki označeni z lihim številom skoči za eno mesto, ko pa se nahaja na mestu označenim s sodim številom, preskoči za dve mesti. Na začetku se ko- bilica nahaja na točki označeni s števi- lom 5. Na katerem številu se bo nahajala po 2009-ih skokih? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 2. Na sliki je narisan pravokotni trikotnik ABC. Daljice AD, DF, FE, EC in CB so enako dolge. Koliko meri kot CAB? A) 18° B) 20° C) 24° D) 26° E) 30° 3. Za tri števila a, b, in c veljata naslednji razmerji a : b = 9 : 4 in b : c = 5 : 3. Določi razmerje (a – b) : (b – c). (A) 7 : 12 (B) 25 : 8 (C) 4 : 1 (D) 5 : 12 (E) ni možno izračunat 4. Jan in njegova zaročenka Maja sta za- poslena tako, da nimata stalnih prostih dni v tednu, ampak je Jan prost vsak de- veti dan, Maja pa vsak šesti dan. Jan je prost danes, Maja pa bo jutri. Čez koli- ko dni bosta prosta na isti dan ? (A) 3 (B) nikoli (C) 18 (D) 19 (E) 4 5. Mizar bo izdelal klop iz lesenih hlodov, kot kažeta sliki. Nabavil je dva hloda, enega s premerom 27 cm in drugega s premerom 53 cm, ki ju je razpolovil po premeru. Polovici manjšega hloda bo pritrdil na 3 cm debelo desko, kot kaže- ta sliki. Koliko cm morata biti druga od druge oddaljeni spodnji polovici hloda, če mora biti višina klopi 35 cm. (Slika ni nujno v pravem razmerju) (A) 6 cm (B) 12 cm (C) 15 cm (D) 21 cm (E) 32 cm 6. Avto mora prevoziti razdaljo dveh kilo- metrov s povprečno hitrostjo 60 km/h. Prvi kilometer prevozi s hitrostjo 30 km/h. S kolikšno hitrostjo bi moral pre- voziti drugi kilometer poti? (A) 60 km/h (B) 120 km/h (C) 180 km/h (D) 240 km/h (E) neskončno hitro 7. Izračunaj vsoto vseh označenih kotov na sliki. 8. Kos torte ima obliko tristrane prizme z osnovno ploskvijo v obliki enakokrakega trikotnika z osnovnico 15 cm. Kalorična vrednost tega kosa je 360 kcal. Koliko kcal bomo zaužili, če od tega kosa odrežemo in pojemo konico ki ima prav tako obliko tri- strane prizme z osnovno ploskvijo v obliki enakokrakega trikotnika z osnovnico 5 cm? 9. Neko podjetje je odločilo, da naslednje leto zmanjša število zaposlenih za 30 %, preostalim pa poveča plače za 35 %. Za koliko % se bo spremenila količina de- narja za plače zaposlenih ? 10. V kvadratu ABCD meri stranica 1 cm. Na stranici BC je označena točka M, na stranici CD pa točka N, tako da je |BM| = |ND|. Ploščina trikotnika AMN meri 4/9 cm 2 Koliko cm meri daljica DN? 38 11. Če v kvadratu povečamo vse stranice za 2 cm, se njegova ploščina poveča za 24 cm 2 . Za koliko cm bi se morala stranica prvotnega kvadrata zmanjšati, da bi se ploščina kvadrata zmanjšala za 24 cm 2 ? 12. V enakokrakem trikotniku ABC meri kot ACB 72 o , ploščina njemu včrtane- ga kroga pa 120 cm². Izračunaj ploščino osenčenega izseka včrtanega kroga. Rešitve 2009 NALOGA 1 NALOGA 2 NALOGA 3 BAB NALOGA 4 NALOGA 5 NALOGA 6 BDE NALOGA 7 360˚ NALOGA 8 40 kcal NALOGA 9 5,5 % manj NALOGA 10 1/3 cm NALOGA 11 4 cm NALOGA 12 42 cm² Tekmovanje DISFIDA MATEMATICA – matemati čni izziv 39 λ Naloge in rešitve nalog – Izola, leto 2010 1. Koliko števk ima število 100 100 , če ima število 2 2 eno števko, število 3 3 2 števki in število 4 4 3 števke? A) 50 B) 100 C) 200 D) 201 E) 202 2. Na papirnat trak želimo napisati zapo- redje naravnih števil, ki se začne s števi- lom 8. Zaporedje nadaljujemo tako, da je naslednji člen polovico prejšnjega. Če je tako dobljeni člen spet sodo število, nadaljujemo na isti način, če je pa tako dobljeni člen liho število, zaporedje nadaljujemo tako, da je naslednji člen vsota zadnjih dveh členov zaporedja. Določi 2010. člen tega zaporedja. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 3. Kot pri oglišču B trikotnika ABC meri 20 o , kot pri oglišču C pa 40 o . Točka L je presečišče simetrale kota v oglišču A z nasprotno stranico BC. Kolikšna je raz- lika med dolžino stranice BC in dolžino stranice AB, če daljica AL meri 2 merski enoti? A) 4 cm B) 2 cm C) 1,5 cm D) 1 cm E) 3 cm 4. Ladja s 360 ljudmi ima v zalogi živila za 60 dni plovbe. Po 15 dnevih plovbe mora kapitan vkrcati brodolomce. Ker ve, da bo do naslednjega pristanišča pri- šel šele čez 40 dni, mora dnevni odme- rek hrane vsakemu zmanjšati za 1/10. Koliko brodolomcev je vkrcal kapitan na ladjo? A) 85 B) 80 C) 100 D) 90 E) 65 5. Pavel ima neomejeno število kock z ro- bovi 1 cm, 2 cm, 3 cm in 4 cm. S temi kockami bi rad sestavil kocko z robom 5 cm. Koliko je najmanjše število kock, ki jih potrebuje? A) 50 B) 62 C) 69 D) 55 E) 48 6. Iz poljubne točke T na diagonali pravo- kotnika ABCD narišemo vzporednici stranicama pravokotnika, kot kaže sli- ka. Kateri spodnji odnos velja med tako nastalima ploščinama pravokotnikov H in K. A) H = 1/2 K B) H = 2/3 K C) H = K D) H = 2K E) Nemogoče določiti 7. V trapezu ABCD je stranica AD pravo- kotna na osnovnico AB. Polkrog, kate- rega premer je BC, se dotika stranice AD, kot kaže slika. Izračunaj ploščino trapeza, če je BC = 8 cm in AD = 7 cm. 40 8. Ženska z otrokom in psom v naročju stopi na tehtnico, ki pokaže 85 kg. Žen- ska tehta 50 kg več kot pes in otrok sku- paj, pes pa tehta 60 % manj kot otrok. Koliko kilogramov tehta otrok? 9. Vrtnar mora pokositi polovico travnika, ki ima obliko pravokotnika velikosti 25 m x 45 m. Njegova kosilnica kosi 2 m v širino in vrtnar začne kositi iz enega kota okrog roba travnika. Kolikokrat mora okrog travnika, da pokosi polovi- co travnika? 10. Dva lesena hloda valjaste oblike s pol- merom 20 cm in 30 cm ležita na ravni površini in se dotikata. Koliko meri pol- mer največjega hloda, ki ga lahko polo- žimo na oba hloda, tako kot kaže slika? 11. Na sprehodu po ravni poti je Jan v pred- nosti za 2010 metrov pred svojim psom Tobijem. Pes Tobija prehodi v eni se- kundi 5 metrov, medtem ko Jan prehodi v enakem času 2 metra. Čez koliko se- kund bo pes dosegel svojega gospodar- ja, če gre naravnost za njim? 12. Bolha se nahaja na 12. uri neke okrogle ure. Izbere si naravno število n od 1 do 12 in začne skakati po uri, tako da se pomakne za n ur v smeri urinega kazal- ca. Npr.: če je n = 3, bo po prvem skoku na 3. uri, po drugem bo na 6. uri in tako naprej. Koliko je takih n, za katere bo veljalo, da bo bolha točno po 12 skokih prvič ponovno na začetnem položaju (tj. na 12. uri)? Rešitve 2010 NALOGA 1 NALOGA 2 NALOGA 3 DDB NALOGA 4 NALOGA 5 NALOGA 6 DAC NALOGA 7 28 cm² NALOGA 8 12, 5 kg NALOGA 9 2 krat in eno tretjino (lahko tudi 3 krat) NALOGA 10 r = 40 cm NALOGA 11 670 sec ali 11 min in 10 sec NALOGA 12 4 (1, 5, 7, 11) Tekmovanje DISFIDA MATEMATICA – matemati čni izziv