i
i
“kolofon” — 2019/2/14 — 7:12 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, SEPTEMBER 208, letnik 65, številka 5, strani 161–200
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2018 DMFA Slovenije – 2089 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 161 — #1 i
i
i
i
i
i
POTENCE KOVINSKIH RAZMERIJ
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 11A55, 11B39
V prispevku pokažemo, kako se izražajo cele potence kovinskih razmerij v obliki pe-
riodičnih verižnih ulomkov.
POWERS OF METALLIC RATIOS
In this contribution we show how the integer powers of metallic ratios can be expressed
by periodic continued fractions.
Uvod
V zadnjih desetletjih je z razvojem teorije dinamičnih sistemov nastalo več
del, na primer [2, 4, 5], ki obravnavajo kovinska razmerja kot posplošitve
bolj znanega zlatega razmerja, ki ga navadno srečamo pri zlatem rezu, pa
tudi njihovo uporabo, na primer v [1]. V članku želimo predstaviti nekaj
lastnosti kovinskih razmerij. Za razumevanje je treba znati nekaj geome-
trije in elementarne algebre, reševati homogene linearne diferenčne enačbe
s konstantnimi koeficienti ter osnove teorije o verižnih ulomkih, s katerimi
bomo izrazili potence s celimi eksponenti kovinskih razmerij.
Kovinski pravokotniki
Vzemimo pravokotnik ABCD s stranicama a = |AB| in b = |BC|, pri čemer
je a > b in a/b ni naravno število (slika 1).
Od stranice AD proti stranici BC lahko od pravokotnika odrežemo k =
ba/bc (buc pomeni celi del realnega števila u) kvadratov s stranico b, tako
da ob stranici BC ostane manǰsi pravokotnik BCFE. Zanima nas, kdaj je
pravokotnik BCFE podoben pravokotniku ABCD. Pogoj za podobnost je
seveda enakost
a− kb
b
=
b
a
. (1)
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5 161
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 162 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 1. Kovinski pravokotnik.
Takoj vidimo, da razmerje σk = a/b zadošča kvadratni enačbi λ
2−kλ−1 =
0, ki ima rešitvi
λ1 = σk =
1
2
(k +
√
k2 + 4) in λ2 = σ̂k =
1
2
(k −
√
k2 + 4). (2)
Pozitivno rešitev σk imenujemo kovinsko razmerje reda k ali kovinsko sre-
dino reda k. Iskani pravokotnik ima potemtakem stranici v kovinskem raz-
merju reda k, to je a/b = σk. Tak pravokotnik imenujemo kovinski pravo-
kotnik reda k. V posebnem primeru imamo števila
σ1 =
1
2
(1 +
√
5), σ2 = 1 +
√
2, σ3 =
1
2
(3 +
√
13), (3)
ki jih v tem vrstnem redu in v skladu s tremi najbolǰsimi športnimi uvr-
stitvami imenujemo zlato, srebrno in bronasto razmerje. Namesto besede
razmerje uporabljamo tudi besedi število in sredina. Ustrezni pravokotniki
so zlati, srebrni in bronasti pravokotnik (slika 2).
Manǰsi pravokotnik BCFE je seveda, tako kot pravokotnik ABCD, tudi
kovinski pravokotnik reda k. Od pravokotnika BCFE lahko tudi odrežemo
k kvadratov s stranico a−kb, tako da ostane še manǰsi kovinski pravokotnik
reda k. Postopek lahko nadaljujemo v nedogled. To pomeni, da v kovinskih
pravokotnikih obstaja neka fraktalna struktura.
Evklidska konstrukcija kovinskega pravokotnika reda k pri dani stranici
b je preprosta. Sledi neposredno iz zapisa σk v obliki
k
2
+
√(
k
2
)2
+ 1.
162 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 163 — #3 i
i
i
i
i
i
Potence kovinskih razmerij
Slika 2. Zlati, srebrni in bronasti pravokotnik.
Slika 3. Konstrukcija bronastega pravokotnika.
Na sliki 3 je narejen primer bronastega pravokotnika za b = 1.
Podobno kot delimo daljico AB v zlatem rezu, jo lahko delimo tudi v
srebrnem in bronastem rezu, na splošno s točko Rk v rezu reda k. Veljati
mora: |ARk|/|RkB| = σk. Preprost račun pokaže, da je
|ARk| =
σk − 1
k
|AB|, |RkB| =
k + 1− σk
k
|AB|.
Da pa se daljico AB razdeliti v rezu reda k tudi z geometrijsko konstrukcijo.
Ni težko videti, da je k < σk < k + 1 za vsako naravno število k. To
161–170 163
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 164 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
dokažemo s kratkim zaporedjem relacij:
k =
1
2
(k +
√
k2) <
1
2
(k +
√
k2 + 4) = σk <
1
2
(k +
√
k2 + 4k + 4) = k + 1.
Zato, ker je število σk med k in k + 1, je zanj smiselno uporabljati izraz
sredina. Ker sta σk in σ̂k rešitvi kvadratne enačbe λ
2 − kλ − 1 = 0, zanju
veljata Viètovi formuli σk + σ̂k = k, σkσ̂k = −1. Za dovolj velik k je
razlika med σk in k poljubno majhna:
lim
k→∞
(σk − k) = lim
k→∞
(−σ̂k) =
1
2
lim
k→∞
(
√
k2 + 4− k) = 0.
Število (diskriminanta) k2 + 4 za noben naraven k ni kvadrat, kot sledi iz
relacije
k <
√
k2 + 4 <
√
k2 + 4k + 4 = k + 2.
Če bi bilo število
√
k2 + 4 naravno, bi to šlo samo v primeru
√
k2 + 4 = k+1,
kar pa vodi v protislovje 2k = 3. Od tod sledi, da so vsa kovinska števila
σk iracionalna.
Razvoj v verižni ulomek
Kovinsko razmerje ima lep razvoj v (enostaven, navaden, pravilen) verižni
ulomek. Vsako necelo realno število ξ lahko zapǐsemo v obliki
ξ = a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3 +
.. .
.
Pri tem so a1, a2, a3, . . . naravna števila, a0 = bξc pa celo število. Za cela re-
alna števila tak zapis nima smisla. Verižni ulomek po dogovoru označujemo
kraǰse takole:
ξ = [a0; a1, a2, a3, . . .].
Naj bo ξ > 1. Tedaj je očitno a0 > 0 in
1
ξ
= [0; a0, a1, a2, . . .].
Za 0 < ξ < 1 je a0 = 0 in
1
ξ
= [a1; a2, a3, . . .].
164 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 165 — #5 i
i
i
i
i
i
Potence kovinskih razmerij
Racionalna števila imajo končen, iracionalna pa neskončen razvoj v verižni
ulomek. Pri končnih verižnih ulomkih vzamemo najkraǰsi zapis, v katerem
je zadnji člen na desni strani podpičja 2 ali več. Neskončen verižni ulomek
oblike
ξ = [a0; a1, . . . , ak, ak+1, . . . , ak+p, ak+1, . . . , ak+p, . . .]
imenujemo periodičen s periodo dolžine p. Kraǰse ga zapǐsemo v obliki
ξ = [a0; a1, . . . , ak, ak+1, . . . , ak+p].
Števila a0, a1, . . . , ak sestavljajo predperiodo. Vsaka kvadratna iracionala
(a+
√
b)/c, kjer sta a in c 6= 0 celi števili, b pa naravno število, ki ni kvadrat,
ima razvoj v periodični verižni ulomek. Samo števila, ki so pravkar opisane
kvadratne iracionale, imajo razvoje v periodične verižne ulomke. Več o tem
najdemo v obširni matematični literaturi, na primer v [6].
Verižni ulomek za σk dobimo zelo enostavno iz zveze σ
2
k − kσk − 1 = 0,
če jo prepǐsemo v obliko σk = k + 1/σk:
σk = k +
1
σk
= k +
1
k +
1
σk
= [k; k].
Kovinska razmerja lahko povežemo z Gaußovo preslikavo G : [0, 1) →
[0, 1), ki je definirana s predpisom G(x) = {1/x} za x ∈ (0, 1) in G(0) = 0.
Pri tem pomeni {u} ulomljeni del števila u, to se pravi {u} = u − buc.
Negibna točka preslikave G je po definiciji vsako tako število ξ ∈ [0, 1), za
katero je G(ξ) = ξ.
Ker veljata relaciji k < σk < k+1 in Viètovi formuli za σk in σ̂k, dobimo
G(1/σk) = {σk} = σk − k = −σ̂k = 1/σk.
Preslikava G ima zato neskončno mnogo netrivialnih negibnih točk, in sicer
ξk = 1/σk. Števila 1/σk so vse negibne točke preslikave G, česar ni težko
utemeljiti, dokaz pa najdemo na primer v [3].
Verižni ulomki za negibne točke preslikave G so
ξk = [0; k, k, k, . . .] = [0; k].
161–170 165
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 166 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Potence kovinskih razmerij
Zanimajo nas potence σnk kovinskih razmerij za naravne eksponente n. Vi-
deli bomo, da se te potence da izraziti s periodičnimi verižnimi ulomki. To
ni presenetljivo, saj je potenca z naravnim eksponentom kvadratne iracio-
nale tudi tako število, kar je izraženo s spodnjim zapisom potence. Posebej
pa moramo obravnavati potence z lihimi in sodimi eksponenti.
Potencam je ne glede na parnost eksponenta skupna oblika. Nedvomno
je ta oblika
σnk = En(k) + Fn(k)σk,
kjer so En(k) in Fn(k) neka racionalna števila. Očitno je E0(k) = 1 in
E1(k) = 0 ter F0(k) = 0 in F1(k) = 1. Ker pa za n ≥ 0 velja σn+2k =
kσn+1k + σ
n
k , imamo enakost
En+2(k) + Fn+2(k)σk = kEn+1(k) + kFn+1(k)σk + En(k) + Fn(k)σk.
Zaradi enoličnosti zapisa morata veljati relaciji:
En+2(k) = kEn+1(k) + En(k) in Fn+2(k) = kFn+1(k) + Fn(k).
Začetka zaporedij {En(k)}∞n=0 in {Fn(k)}∞n=0 sta naslednja:
En(k) : 1, 0, 1, k, k
2 + 1, k3 + 2k, k4 + 3k2 + 1, . . . ,
Fn(k) : 0, 1, k, k
2 + 1, k3 + 2k, k4 + 3k2 + 1, . . .
Števila Fn(k) imenujemo k-Fibonaccijeva
1 števila. Tudi števila En(k) so k-
Fibonaccijeva: En(k) = Fn−1(k). Smiselno je vzeti E−1(k) = −k, F−1(k) =
1, kar je tudi v skladu z enakostjo σ−1k = −σ̂k = −k + σk. Tako smo našli:
σnk = Fn−1(k) + Fn(k)σk. (4)
Za k = 1 so števila Fn = Fn(1) običajna Fibonaccijeva števila. Prav tako
dobimo
σ̂nk = Fn−1(k) + Fn(k)σ̂k. (5)
Če odštejemo (5) od (4) in upoštevamo enakost σk − σ̂k =
√
k2 + 4, naj-
demo eksplicitni izraz za k-Fibonaccijeva števila, tako imenovano Binetovo2
1Fibonacci, Leonardo iz Pise (okoli 1170–1250), je bil italijanski matematik.
2Jacques Philippe Marie Binet (1786–1856) je bil francoski matematik, astronom in
fizik.
166 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 167 — #7 i
i
i
i
i
i
Potence kovinskih razmerij
formulo:
Fn(k) =
1√
k2 + 4
(σnk − σ̂nk ). (6)
Do rezultata (6) lahko pridemo tudi, če rešimo diferenčno enačbo Fn+2(k) =
kFn+1(k) + Fn(k) po običajnem postopku z nastavkom Fn(k) = λ
n, karak-
teristično enačbo λ2 − kλ − 1 = 0 s korenoma λ1 = σk, λ2 = σ̂k, linearno
kombinacijo C1σ
n
k +C2σ̂
n
k obeh rešitev ter z upoštevanjem začetnih pogojev
F0(k) = 0 in F1(k) = 1.
S k-Fibonaccijevimi števili so tesno povezana k-Lucasova3 števila Ln(k),
ki jih vpeljemo s prav tako diferenčno enačbo kot k-Fibonaccijeva števila,
to je Ln+2(k) = kLn+1(k) + Ln(k), toda pri začetnih pogojih L0(k) = 2 in
L1(k) = k. Za rešitev dobimo s prej opisanim postopkom ustrezno Binetovo
formulo
Ln(k) = σ
n
k + σ̂
n
k . (7)
Iz diferenčne enačbe in začetnih pogojev induktivno sledi, da so vsa
števila Fn(k) in Ln(k) naravna, le F0(k) je za vse k enak 0.
Z relacijama F−n(k) = (−1)n+1Fn(k) in L−n(k) = (−1)nLn(k) razširimo
zaporedji k-Fibonaccijevih in k-Lucasovih števil v dvostranski zaporedji.
Enakosti (4) in (5) potem veljata za vsako celo število n. Prav tako Binetovi
formuli (6) in (7), iz katerih dobimo še
lim
n→∞
Fn+r(k)
Fn(k)
= lim
n→∞
Ln+r(k)
Ln(k)
= σrk
za vsako celo število r.
Z upoštevanjem Viètovih formul lahko izrazimo iz (5) tudi potence z
negativnimi celimi eksponenti:
σ−nk = (−1)
n(Fn+1(k)− Fn(k)σk). (8)
Za števila Fn(k) in Ln(k) velja več identitet. Omenimo samo eno, ki jo
bomo potrebovali:
(k2 + 4)F 2n(k) = L
2
n(k) + 4(−1)n+1. (9)
Enakost (9) preverimo neposredno z Binetovima formulama (6) in (7):
(k2 + 4)F 2n(k) = (σ
n
k − σ̂nk )2 = σ2nk + σ̂2nk − 2σnk σ̂nk
= (σnk + σ̂
n
k )
2 − 4(σkσ̂k)n = L2n(k) + 4(−1)n+1.
3François Édouard Anatole Lucas (1842–1891) je bil francoski matematik.
161–170 167
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 168 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
V primeru lihega indeksa imamo:
(k2 + 4)F 22n+1(k) = L
2
2n+1(k) + 4. (10)
Sedaj izračunajmo σ2n+1k . Ker je σ
2n+1
k +σ̂
2n+1
k = L2n+1(k) in σ
2n+1
k σ̂
2n+1
k =
(σkσ̂k)
2n+1 = (−1)2n+1 = −1, sta σ2n+1k in σ̂
2n+1
k rešitvi kvadratne enačbe
µ2 − L2n+1(k)µ − 1 = 0. To pa pomeni, da je σ2n+1k kovinsko število reda
L2n+1(k). Rezultat izrazimo še z verižnimi ulomki:
[k; k]2n+1 = [L2n+1(k);L2n+1(k)], [k; k]
−(2n+1) = [0;L2n+1(k)].
Lotimo se še potenc σ2nk . Za k = 1 in n = 1 je najenostavneje: σ
2
1 =
1 + σ1 = [2; 1], σ
−2
1 = [0; 2, 1]. Verižna ulomka imata periodo dolžine 1.
V preostalih primerih pa imajo potence σ2nk , zapisane kot verižni ulomek,
periodo dolžine 2. Kako pridemo do tega?
Za števili σ2nk −1 in σ̂2nk −1 veljata enakosti (σ2nk −1)+(σ̂2nk −1) = L2n(k)−
2 in (σ2nk − 1)(σ̂2nk − 1) = 2−L2n(k). To pomeni, da sta νk = σ2nk − 1 > 0 in
ν̂k = σ̂
2n
k − 1 rešitvi kvadratne enačbe ν2 − (L2n(k)− 2)ν − (L2n(k)− 2) =
0. Označimo K2n(k) = L2n(k) − 2. Pri tem je vedno K2n(k) > 0. Iz
ν2k −K2n(k)νk −K2n(k) = 0 dobimo
νk = K2n(k) +
K2n(k)
νk
= K2n(k) +
1
νk
K2n(k)
= K2n(k) +
1
1 +
1
νk
= K2n(k) +
1
1 +
1
K2n(k) +
K2n(k)
νk
= · · · = [K2n(k); 1,K2n(k)].
Vstavimo izraza za νk ter K2n(k) in dobimo
σ2nk = [L2n(k)− 1; 1, L2n(k)− 2], σ−2nk = [0;L2n(k)− 1, 1, L2n(k)− 2].
Dobljena verižna ulomka imata periodo 2. Izjema nastopi takrat, ko je
L2n(k) = 3, kar pa je možno le v primeru n = k = 1 (glej tabelo 1), kar pa
smo že obravnavali.
168 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 169 — #9 i
i
i
i
i
i
Potence kovinskih razmerij
n → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Fn(1) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
Ln(1) 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199
Fn(2) 0 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378 5741
Ln(2) 2 2 6 14 34 82 198 478 1154 2786 6726 16238
Fn(3) 0 1 3 10 33 109 360 1189 3927 12970 42837 141481
Ln(3) 2 3 11 36 119 393 1298 4287 14159 46764 154451 510117
Fn(4) 0 1 4 17 72 305 1292 5473 23184 98209 416020 1762289
Ln(4) 2 4 18 76 322 1364 5778 24476 103682 439204 1860498 7881196
Tabela 1. Nekaj k-Fibonaccijevih in k-Lucasovih števil (k = 1, 2, 3, 4).
Ekvivalenčni razredi
V množico naravnih števil N lahko s kovinskimi razmerji uvedemo ekviva-
lenčno relacijo ∼ in ustrezne ekvivalenčne razrede [k]∼. Naravni števili k in
k′ sta v relaciji ∼, kar zapǐsemo kot k ∼ k′, natanko tedaj, ko obstajata taki
racionalni števili α in β, da velja σk′ = α+ βσk. Ker se σk in σk′ izražata s√
k2 + 4 oziroma
√
k′2 + 4, lahko zapǐsemo tudi v ekvivalentni obliki: k ∼ k′
velja natanko tedaj, ko je
√
(k′2 + 4)/(k2 + 4) pozitivno racionalno število.
Relacija ∼ je očitno refleksivna (k ∼ k), simetrična (k ∼ k′ ⇒ k′ ∼ k)
in tranzitivna (k ∼ k′ ∧ k′ ∼ k′′ ⇒ k ∼ k′′), torej ekvivalenčna relacija.
Primer. 1 ∼ 4, ker je
√
(42 + 4)/(12 + 4) =
√
20/5 =
√
4 = 2, 11 ∼ 76,
ker je
√
(762 + 4)/(112 + 4) =
√
5780/125 =
√
1156/25 = 34/5, toda 11 6∼
14, ker je
√
(142 + 4)/(112 + 4) =
√
200/125 =
√
8/5, kar ni racionalno
število.
Razrede [k]∼ vpeljemo za vsak k ∈ N kot običajno: [k]∼ = {k′ ∈ N :
k′ ∼ k}. Zlati, srebrni in bronasti razred so naravna zaporedja:
[1]∼ = {1, 4, 11, 29, 76, 199, . . .},
[2]∼ = {2, 14, 82, 478, 2786, . . .},
[3]∼ = {3, 36, 393, 4287, 46764, . . .}.
Če je k ∼ k′, potem je [k]∼ = [k′]∼, če pa k 6∼ k′, je [k]∼ ∩ [k′]∼ = ∅.
Če primerjamo števila v zlatem, srebrnem in bronastem razredu s tistimi
v tabeli 1, opazimo v razredih 1-, 2- in 3-Lucasova števila z lihim indeksom:
L2n+1(k). Res. Če je k najmanǰse število v razredu, potem z enakostjo (10)
dobimo: √
L22n+1(k) + 4
k2 + 4
= F2n+1(k),
kar je celo naravno število. To pomeni, da je k ∼ L2n+1(k) za vsak k ∈ N
in n ≥ 0.
161–170 169
i
i
“Razpet” — 2019/2/15 — 7:36 — page 170 — #10 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Za konec
V ravnini kompleksnih števil so n-ti koreni enote rešitve enačbe zn = 1.
Zapǐsemo jih lahko kot zk = exp(2kπi/n), kjer je k = 0, 1, . . . , n−1. Koreni
zk so oglǐsča pravilnega n-kotnika, ki je včrtan krožnici |z| = 1. Dolžina an
stranice takega pravilnega n-kotnika je an = |z1 − z0| = 2 sin(π/n), različne
dolžine dn,k diagonal pa so dn,k = |zk − z0| = 2 sin(kπ/n), kjer vzamemo
k = 2, 3, . . . , bn/2c. Diagonale in stranica so v razmerju
dn,k
an
=
sin(kπ/n)
sin(π/n)
.
Za n = 4 je to razmerje
√
2 = σ2 − 1, za n = 5 pa (1 +
√
5)/2 = σ1. Za
n = 6 dobimo
√
3 in 2, za n = 8 pa
√
2 +
√
2 =
√
1 + σ2, 1 +
√
2 = σ2 in√
4 + 2
√
2 =
√
2 + 2σ2. Vidimo, da je razmerje med diagonalo in stranico v
pravilnem petkotniku zlato razmerje, v pravilnem osemkotniku je razmerje
med srednje dolgo diagonalo in stranico srebrno razmerje. V [4] pa avtorica
pokaže, da razmerje med diagonalo in stranico v nobenem pravilnem n-
kotniku ni bronasto razmerje. Pač pa zavidanja vreden članek [1] uporablja
bronasto razmerje v teoriji kvazikristalov. Pripomnimo, da je bil ta članek
uvrščen na šesto mesto med desetimi najodličneǰsimi raziskovalnimi dosežki
Univerze v Ljubljani v letu 2017.
LITERATURA
[1] T. Dotera, S. Bekku in P. Ziherl, Bronze-mean hexagonal quasicrystal, Nature mate-
rials, 2017, DOI: 10.1038/NMAT4963.
[2] S. Falcon, Relationships between some k-Fibonacci sequences, Applied Mathematics 5
(2014), 2226–2234.
[3] M. Lakner, P. Petek in M. Škapin Rugelj, Diskretni dinamični sistemi, DMFA – zalo-
žnǐstvo, Ljubljana, 2015.
[4] A. Redondo Buitrago, Polygons, diagonals, and the bronze mean, Nexus network jo-
urnal, 9 (2007), 321–326.
[5] V. W. de Spinadel, From the golden mean to chaos, Nueva Libreria, Buenos Aires
1998.
[6] H. S. Wall, Analytic theory of continued fractions, Van Nostrand, New York in drugje,
1948.
170 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Osterman” — 2019/2/15 — 7:41 — page 171 — #1 i
i
i
i
i
i
OPTIČNA PINCETA IN USTVARJANJE
ULTRAKRATKIH OPTIČNIH SUNKOV VISOKIH
INTENZITET, NOBELOVA NAGRADA ZA FIZIKO 2018
NATAN OSTERMAN
Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Institut »Jožef Stefan«
PACS: 01.75.+m, 42.55.f, 42.60.v, 42.62.b
Artur Ashkin, Gérard Mourou in Donna Strickland so dobitniki Nobelove nagrade za
fiziko 2018 za svoje prelomne izume v fiziki laserjev. V prvi polovici članka je orisana
zgodovinska pot do sodobne optične pincete, njeno delovanje in uporaba pri raziskavah,
v drugi polovici pa opǐsemo metodo CPA (»chirped pulse amplication«) za ustvarjanje
ultrakratkih optičnih sunkov visokih intenzitet ter navedemo uporabo in trenutne rekorde
sodobnih sunkovnih laserskih sistemov.
OPTICAL TWEEZERS AND GENERATION OF HIGH-INTENSITY,
ULTRA-SHORT OPTICAL PULSES, NOBEL PRIZE IN PHYSICS 2018
Artur Ashkin, Gérard Mourou and Donna Strickland were awarded the 2018 Nobel
Prize in Physics for their groundbreaking inventions in laser physics. A historical pathway
to the modern optical tweezers, its operation and use in research are outlined in the first
part of the article, whereas in the second part we describe the chirped pulse amplication
technique for creation of high-intensity, ultra-short optical pulses, as well as the use and
current records of modern pulsed laser systems.
Nobelovo nagrado za fiziko leta 2018 so prejeli trije eksperimentalni fiziki
za svoje »prelomne izume v fiziki laserjev«. Arthur Ashkin je dobil polovico
nagrade za iznajdbo optične pincete in njene uporabe v bioloških sistemih,
drugo polovico pa sta si razdelila Gérard Mourou in Donna Strickland za
izum metode za ustvarjanje ultrakratkih optičnih sunkov visokih intenzi-
tet [10].
Ashkin je bil rojen leta 1922 v New Yorku, leta 1952 pa je doktoriral
iz jedrske fizike na Univerzi Cornell. Po doktoratu se je zaposlil v Bell
Laboratories, kjer je ostal vse do upokojitve leta 1992. Nobelovo nagrado
je prejel pri starosti 96 let in s tem postal najstareǰsi prejemnik v zgodovini
nagrade. Kot zanimivost naj omenimo, da je Ashkin že deveti prejemnik
Nobelove nagrade iz Bell Labs.
Gérard Mourou, rojen 1944 v Albertvillu, Francija, je doktoriral leta
1973 na univerzi Paris VI. Po doktoratu je svojo raziskovalno pot najprej
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5 171
i
i
“Osterman” — 2019/2/15 — 7:41 — page 172 — #2 i
i
i
i
i
i
Natan Osterman
nadaljeval v Združenih državah Amerike, najprej na Univerzi Rochester,
nato na Univerzi v Michiganu, leta 2004 pa se je vrnil v Francijo na ENSTA-
Ecole Polytechnique v Parizu.
Donna Strickland, rojena 1959 v Guelphu, Kanada, je po diplomi iz
inženirske fizike leta 1981 začela z doktoratom na Univerzi Rochester pod
mentorstvom Mourouja. Še kot doktorska študentka je z mentorjem leta
1985 objavila svoj prvi znanstveni članek, za katerega je 33 let pozneje
prejela Nobelovo nagrado. Po doktoratu leta 1989 je delala v Nacionalnem
raziskovalnem svetu Kanade, v laboratoriju Lawrence Livermore, na univerzi
Princeton, dokler se leta 1997 ni ustalila na Univerzi v Waterlooju v Kanadi.
Optična pinceta
Že v začetku 17. stoletja je astronom Kepler predlagal svetlobni tlak kot
vzrok, da repi kometov vedno kažejo stran od Sonca. Svetlobni tlak je
teoretično pokazal Maxwell leta 1873, v začetku 20. stoletja pa je bilo to
eksperimentalno potrjeno. Pri tem je šlo za izjemo šibke tlake, saj virov sve-
tlobe visoke intenzitete (tj. gostote energijskega toka) ni bilo na voljo. To je
omogočil šele izum laserjev v 60. letih preǰsnjega stoletja. Artur Ashkin je
leta 1970 močno fokusiran laserski snop Gaussovega intenzitetnega profila
usmeril na majhne dielektrične delce (npr. steklene mikrokroglice v zraku
ali vodi) in opazil pričakovano pospeševanje delcev v smeri širjenja svetlobe
zaradi t. i. sipalne sile oz. fotonskega tlaka [1]. Hkrati je ugotovil, da delce z
lomnim količnikom, večjim od okolice, v prečni smeri glede na smer širjenja
snopa t. i. gradientna sila vleče v smeri gradienta intenzitete, torej proti
sredǐsču snopa. Da je delec lahko ujel na mestu, stran od sten eksperimen-
talne celice (žargonsko rečemo temu ujetje v 3 dimenzijah oz. 3D-ujetje), je
moral zato uporabiti dva natančno poravnana laserska snopa, ki sta se širila
v nasprotnih smereh. Sipalni sili obeh snopov sta se odšteli, gradientna sila
pa je delec držala v gorǐsču snopov. Z enim samim laserskim snopom je bilo
delce moč 3D ujeti samo s pomočjo gravitacije – če je bil primerno močan
žarek usmerjen navpično navzgor, je gravitacija uravnotežila sipalno silo in
delci so lahko optično levitirali.
Ashkin je področje raziskoval naprej in leta 1986 s sodelavci izdelal prvo
enožarkovno optično past, s katero je v vodi lahko ujel dielektrične delce
172 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Osterman” — 2019/2/15 — 7:41 — page 173 — #3 i
i
i
i
i
i
Optična pinceta in ustvarjanje ultrakratkih optičnih sunkov visokih intenzitet,
Nobelova nagrada za fiziko 2018
velikosti od nekaj deset nanometrov do nekaj deset mikrometrov [3]. S
premikanjem lege gorǐsča snopa so lahko premikali tudi v past ujet delec,
zato je naprava kmalu dobila ime optična pinceta. Pri njej se laserski snop
tipično Gaussovega intenzitetnega profila močno fokusira skozi mikroskopski
objektiv z veliko numerično aperturo (NA = n sin θ, kjer je n lomni količnik
okolǐskega medija, θ pa kot pri vrhu stožca svetlobe, ki izhaja iz objektiva;
tipična NA pri optični pinceti je okoli 1), zaradi česar na delec deluje močna
gradientna sila, usmerjena proti gorǐsču snopa. Če je ta večja od sipalne
sile, je delec stabilno ujet v 3D.
Poenostavljena shema optičnih sil na delec v optični pasti v približku
geometrijske optike je prikazana na sliki 1a), kjer sta narisana dva žarka pri
potovanju skozi dielektrično kroglico. Če se ta nahaja npr. levo od optične
osi laserskega snopa, se centralni žarek z največjo intenziteto po dvojnem
lomu odkloni v levo. Žarku se pri tem spremeni gibalna količina, zato na
kroglico deluje sila v nasprotni smeri, torej proti optični osi.
Na splošno je gradientna sila posledica energije dielektrične snovi v ele-
ktričnem polju. Izračun sile je za poljubno velikost delca zahteven, če pa je
delec znatno manǰsi od valovne dolžine laserske svetlobe (Rayleighov režim),
ga lahko obravnavamo kot induciran električni dipol v električnem polju ~E.
Če zapǐsemo Lorentzovo silo ~F = e( ~E + ~v × ~B) na dipol ~p = α~E, pri če-
mer je α polarizabilnost delca, ki je odvisna od volumna delca ter lomnih
količnikov delca in okolice, lahko z uporabo vektorske analize in ene izmed
Maxwellovih enačb gradientno silo zapǐsemo kot ~F = 12α∇E
2. Sila kaže
v smeri gradienta intenzitete, torej proti gorǐsču laserskega snopa. Iz te
enačbe je očitno, zakaj je za optično past potreben močno fokusiran žarek.
Uporaba optične pincete
Skupina pod vodstvom Stevena Chuja je optično pinceto uporabila za lovlje-
nje in hlajenje atomov1, Arthur Ashkin pa je hitro ugotovil, da je pinceta
s svojo brezkontaktno naravo izjemno orodje za manipulacijo v bioloških
sistemih. Za čim manǰso absorbcijo laserske svetlobe v vodi je začel upora-
bljati infrardeč laser in z njim najprej demonstriral lovljenje in manipulacijo
1Za te prelomne eksperimente, pri katerih je sodeloval tudi Ashkin, je del Nobelove
nagrade za fiziko leta 1997 dobil samo Chu, kar je bilo za mnoge kontroverzno.
171–183 173
i
i
“Osterman” — 2019/2/15 — 7:41 — page 174 — #4 i
i
i
i
i
i
Natan Osterman
Slika 1. Optična pinceta. a) Princip delovanja v geometrijski optiki. Žarkom, ki vpadajo
s spodnje strani, se po dvojnem lomu spremeni smer in s tem gibalna količina. Prikazana
sta obosni žarek (1) in centralni žarek (2) z največjo intenziteto ter sili F1 in F2, ki delujeta
na delec zaradi spremembe njunih smeri. Rezultanta sil Fnet deluje proti gorǐsču snopa.
b) Tipična eksperimentalna postavitev. Laserski snop se razširi, usmeri s sistemom za
vodenje, nato pa z objektivom fokusira v ravnini vzorca, da nastane optična past. Lego
delcev se določa s kamero ali s kvadrantno fotodiodo. Prirejeno po [9].
virusov in živih celic [2], nato pa pokazal tudi manipulacijo znotrajceličnih
komponent.
Na začetku devetdesetih let preǰsnjega stoletja so v mnogih laboratorijih
po svetu zgradili svoje optične pincete predvsem za raziskave bioloških siste-
mov. Pinceta namreč ne omogoča samo manipulacije, temveč tudi merjenje
sil, ki delujejo na delec v optični pasti. Izkaže se, da je velikost gradientne
174 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Osterman” — 2019/2/15 — 7:41 — page 175 — #5 i
i
i
i
i
i
Optična pinceta in ustvarjanje ultrakratkih optičnih sunkov visokih intenzitet,
Nobelova nagrada za fiziko 2018
sile kar sorazmerna z odmikom delca od sredǐsča pasti, torej velja Hookov
zakon ~F = −k~x. Lego delca ~x se določi s kamero ali kvadrantno fotodiodo,
za kvantitativno določitev sile pa je treba poznati še trdoto »vzmeti« k, kar
dosežemo s predhodno kalibracijo optične pasti. S pinceto je mogoče meriti
sile v območju od 0,1 pN do nekaj 100 pN, kar je ravno območje, v katerem
je mnogo relevantnih sil v mikrobiologiji in biokemiji.
Za merjenje sil na nivoju posameznih (bio-)molekul, je treba te najprej
pritrditi na ustrezne »opore«. To so po navadi steklene ali polistirenske
mikrokroglice, katerih površino se ustrezno kemijsko pripravi, da se nanje
veže želen tip molekul. Ta tehnika je npr. omogočila raziskave molekulskih
motorjev, molekul, ki pretvarjajo kemijsko energijo v mehansko delo in so
ključne za vse aktivno premikanje živih organizmov, od subceličnega nivoja
do premikanja celotnega organizma. Na kroglico je tako mogoče vezati mo-
lekulo kinezina, motornega proteina, ki vleče tovor znotraj evkariontskih
celic. Če se tako kroglico z optično pinceto prestavi do mikrotubula (zno-
trajcelični polimer, ki je neke vrste celična »cesta«), se kinezin pripne na
mikrotubul in začne korakati, kar lahko opazimo kot diskretno premikanje
kroglice. S pinceto je moč vleči kroglico tudi v nasprotno smer in tako
ugotoviti, s kolikšno silo lahko omenjeni motorni protein vleče tovor.
Danes se optična pinceta uporablja predvsem za proučevanje posame-
znih biomolekul (npr. določanje odvisnosti sila-razteg pri DNK, RNK, poli-
merih pod različnimi pogoji), študije biomolekulskih procesov (npr. meritev
adhezije med dvema bakterijama; opazovanje korakanja polimeraze RNK,
ki v procesu transkripcije kopira DNK v mRNK), mikroreologijo – merje-
nje mehanskih lastnosti mehkih snovi na mikronivoju, daleč najpogosteǰsa
uporaba pincete pa je natančna manipulacija in razvrščanje mikroobjektov.
Eksperimentalna postavitev
Shema tipične eksperimentalne postavitve optične pincete je prikazana na
sliki 1b). Laserski snop se najprej razširi, nato pa se mu s sistemom za
vodenje žarka spremeni smer. Preko dikroičnega zrcala, ki odbije lasersko,
prepusti pa vidno svetlobo, se ga usmeri na objektiv. Ta snop sfokusira,
kar v ravnini vzorca generira optično past, v katero se ujame delec, ki ima
lomni količnik večji od okolice. Prepuščena laserska svetloba, ki jo zbere
171–183 175
i
i
“Osterman” — 2019/2/15 — 7:41 — page 176 — #6 i
i
i
i
i
i
Natan Osterman
Slika 2. Mikroskopska slika množice mikrometrskih polistirenskih kroglic v vodi, ki so
ujete v optičnih pasteh [8].
kondenzorska leča, preko dikroičnega zrcala potuje na detektor položaja,
tipično je to kvadrantna fotodioda (QPD). Ker ujet delec deluje kot mala
leča, njegovi premiki zunaj gorǐsča laserskega snopa spreminjajo razmerja
svetlobe na segmentih QPD, iz česar je mogoče dobiti relativno lego delca
glede na center optične pasti in iz tega izračunati silo na delec. Za mikro-
skopijo vzorca je potrebno opisanim elementom dodati samo še osvetlitev
in kamero.
Mnogo eksperimentov zahteva uporabo več hkratnih optičnih pasti, kar
se doseže z deljenjem laserskega snopa. Pri holografski optični pinceti raču-
nalnǐsko ustvarjen hologram na prostorskemu modulatorju svetlobe (angl.
spatial light modulator) vhodni snop razdeli v več snopov, ki imajo gori-
šča v poljubnih točkah, ki niso omejene na eno samo ravnino (tako je npr.
mogoče ujeti mikrodelce v oglǐsča navidezne kocke). Druga vrsta deljenja
snopa pa je časovno deljenje, pri katerem je snop za kratek čas usmerjen v
prvo točko, nato v drugo, tretjo . . . potem pa se zaporedje ponovi. Če je
trajanje celotnega zaporedja kratko v primerjavi z difuzijskim časom ujetih
delcev, nastane več kvazistatičnih optičnih pasti. Snop je mogoče usmerjati
z ogledali (galvoskenerji), kar je počasna in nenatančna varianta, ali pa z
akusto-optičnimi deflektorji (AOD), ki omogočajo preklapljanje lege gori-
šča žarka s frekvenco reda 100 kHz in subnanometrsko natančnostjo. Na
sliki 2 je prikazan rezultat takšne mikromanipulacije delcev: množica poli-
176 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Osterman” — 2019/2/15 — 7:41 — page 177 — #7 i
i
i
i
i
i
Optična pinceta in ustvarjanje ultrakratkih optičnih sunkov visokih intenzitet,
Nobelova nagrada za fiziko 2018
stirenskih kroglic v vodi, od katerih je vsaka ujeta v svojo optično past.
V trenutku, ko pasti izklopimo, kroglice prosto difundirajo po tekočini,
zato napis v nekaj sekundah izgine. Video posnetek si lahko ogledate na
strani [8].
Optična pinceta v Sloveniji
V devetdesetih letih preǰsnjega stoletja je bila optična pinceta še precej ek-
sotičen znanstveni instrument, zato si je vsaka raziskovalna skupina morala
pinceto zgraditi sama, kar je bilo časovno precej potratno. Okoli leta 2000
so se posledično na trgu pojavile prve komercialne pincete za resno uporabo.
Približno ob istem času sta na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v
Ljubljani raziskovalca dr. Igor Poberaj in dr. Dušan Babič dobila idejo, pro-
stor in potrebna denarna sredstva za postavitev prve optične pincete v tem
delu Evrope. Leta 2003 je njuna pinceta, ki se je raztezala na 3 m2 optične
mize in bila sestavljena iz IR-laserja (Nd-YAG, λ=1064 nm, P=2 W), sis-
tema za vodenje in časovno deljenje snopa z AOD ter Zeissovega invertnega
optičnega mikroskopa, prvič ujela mikrometrske steklene kroglice v vodi.
Obiskovalci laboratorija so bili navdušeni nad delovanjem pincete, prav po-
seben interes pa so kazali za sistem za vodenje, zato sta leta 2004 omenjena
raziskovalca ustanovila podjetje Aresis, d. o. o. in takoj uspešno prodala tak
sistem. Kmalu so se pojavile tudi želje po izvedbi celotne optične pincete
po sistemu »na ključ«, zato je podjetje razvilo tudi to in po desetletju in
pol razvoja Aresis trenutno proizvaja in trži ene izmed najbolǰsih optičnih
pincet na svetu.
Zaradi omenjenih okolǐsčin imamo v Sloveniji kar nekaj optičnih pincet,
ki jih uspešno uporabljamo. Dve pinceti sta v Laboratoriju za eksperimen-
talno fiziko mehke snovi na FMF, tri pincete na Odseku za fiziko trdne snovi
Instituta Jožef Stefan in dve pinceti na Inštitutu za biofiziko Medicinske fa-
kultete UL.
Metoda za ustvarjanje ultrakratkih laserskih sunkov visokih
intenzitet
Theodore Maiman je leta 1960 demonstriral prvi laser. To je bil rubinski
laser, ki je ob vsakem blisku črpalne bliskavice oddal približno milisekundo
171–183 177
i
i
“Osterman” — 2019/2/15 — 7:41 — page 178 — #8 i
i
i
i
i
i
Natan Osterman
Slika 3. Povečevanje intenzitete laserskih sunkov skozi čas.
trajajoč sunek rdeče svetlobe z valovno dolžino 694,3 nm. Od te točke je
razvoj laserjev potekal v dveh smereh. Na eni strani je bila prisotna želja
po frekvenčno ostrem kontinuiranem izvoru svetlobe, ki je potreben pri ra-
znovrstnih meritvah (metrologija, spektroskopija), na drugem pa po kratkih
in močnih laserskih sunkih. Slednje sta omogočili iznajdbi preklopa kvali-
tete laserskega resonatorja (angl. Q-switching) [6] in uklepanja faz (angl.
Mode-locking) [5, 4].
V prvem desetletju laserja je energija sunka iz fazno uklenjenega laser-
skega oscilatorja z začetne vrednosti 1 nJ z razvojem laserskih ojačevalni-
kov narasla za pet velikostnih redov (slika 3), hiter razvoj pa se je po letu
1970 občutno upočasnil. Kratki sunki z že relativno nizko energijo imajo
velike vršne intenzitete2, kar poškoduje material ojačevalnika in druge op-
tične komponente. Do poškodb pride zlasti zaradi nelinearnih procesov v
2Intenziteta oz. gostota svetlobnega toka j = 1
2
nc00|E0|2 je sorazmerna kvadratu am-
plitude jakosti električnega polja E0, hitrosti svetlobe v vakuumu c0, lomnemu količniku
medija n in dielektrični konstanti 0. Intenziteti svetlobnega toka s Sonca na Zemlji-
nem površju j = 1 kW/m2 v praznem prostoru tako ustreza jakost električnega polja
E0 = 868 V/m, laserju moči 1 W, sfokusiranemu na površino 1 µm
2, ustreza jakost
E0 = 2,7 · 106 V/m.
178 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Osterman” — 2019/2/15 — 7:41 — page 179 — #9 i
i
i
i
i
i
Optična pinceta in ustvarjanje ultrakratkih optičnih sunkov visokih intenzitet,
Nobelova nagrada za fiziko 2018
snovi, npr. samofokusiranja snopa zaradi Kerrovega pojava pri intenzitetah
svetlobe okoli GW/cm2.
Visokoenergijske sunke z intenziteto pod pragom poškodb so v sedemde-
setih in osemdesetih letih preǰsnjega stoletja lahko dosegli le s povečevanjem
premera laserskega snopa. Za to so bili potrebni veliki ojačevalniki, kar je
laserske sisteme naredilo ogromne, drage in so zaradi počasnega ohlajanja
ojačevalnikov omogočali zelo nizko frekvenco ponavljanja sunkov. Kot eks-
tremen primer lahko omenimo laboratorij Lawrence Livermore (Kalifornija,
ZDA), kjer so na koncu sedemdesetih let preǰsnjega stoletja začeli graditi
laser Nova. Sestavljalo ga je deset 180 m dolgih žarkovnih linij s premerom
ojačevalnikov približno pol metra in je nekajkrat na dan lahko ustvaril sunek
dolžine 2 ns z energijo 100 kJ.
Tehnika CPA
Nov zagon razvoju kratkih laserskih sunkov visokih intenzitet sta leta 1985
omogočila Donna Strickland in Gérard Mourou z uporabo tehnike CPA
(angl. chirped pulse amplification). Inspiracijo sta dobila iz radarske tehno-
logije, kjer so CPA uporabljali že od šestdesetih let. Zamisel je preprosta in
elegantna: ultrakratek sunek se najprej razširi v času za nekaj velikostnih
redov, s čimer se ustrezno zmanǰsa vršna intenziteta. Sunek se nato ojača,
v zadnji fazi pa se sunek stisne nazaj na začetno dolžino, kar posledično
prinese zelo veliko intenziteto.
Raziskovalca sta 150 ps trajajoč laserski sunek z energijo reda nJ iz fazno
uklenjenega Nd:YAG laserja poslala po 1,4 km dolgem optičnem vlaknu.
Zaradi normalne disperzije v vlaknu se je nizkofrekvenčni (rdeči) del sunka
širil hitreje od visokofrekvenčnega (modrega) dela. Na izhodu iz vlakna sta
posledično dobila 300 ps dolg čivk (angl. chirp), sunek, pri katerem se je –
tako kot pri čivkanju ptičev – frekvenca spreminjala s časom (slika 4). V
drugem koraku sta čivk ojačila v regenerativnem ojačevalniku Nd:steklo,
da sta dosegla energijo 1 mJ, nato pa ga s kompresorjem z dvojno mrežico
časovno stisnila na 2 ps.
Dolgo optično vlakno za transformacijo kratkega sunka v dolg čivk ni
zelo praktično, zato ga je kmalu nadomestil par uklonskih mrežic. Z njim
so leta 1987 demonstrirali razteg sunka trajanja 85 fs na 85 ps in skrčitev
171–183 179
i
i
“Osterman” — 2019/2/15 — 7:41 — page 180 — #10 i
i
i
i
i
i
Natan Osterman
Slika 4. Časovna odvisnost relativne jakosti električnega polja pri 20 fs dolgem čivku.
nazaj na začetno dolžino [7] ter pri tem poudarili, da bo to v prihodnosti
omogočilo laserske moči v območju petawattov. Takšna – danes standardna
– konfiguracija CPA je prikazana na sliki 5. Ultrakratek sunek iz laserskega
oscilatorja preko polarizacijskega delilnika žarka najprej potuje na prvi par
uklonskih mrežic, ki sta postavljeni v obliki črke Λ. Na prvi mrežici se
žarek razkloni, optika ga usmeri na drugo mrežico, ki deluje ravno obratno
– različno usmerjene frekvenčne komponente spet skombinira v en žarek. Ta
se v zrcalu odbije naravnost nazaj, tako da se proces razklona in kombinacije
še enkrat ponovi. Pri potovanju sunka skozi tako postavljen par mrežic
prepotuje rdeča svetloba manǰso pot od modre svetlobe, kar glede na to,
da je hitrost širjenja svetlobe po praznem prostoru neodvisna od valovne
dolžine, pomeni, da nizkofrekvenčne komponente (rdeči del spektra) v času
prehitijo visokofrekvenčne komponente (modri del spektra). Rezultat je
čivk, po času trajanja τc lahko do 10.000-krat dalǰsi od vhodnega svetlobnega
sunka.
Polarizacijski delilnik žarka čivk odbije in ga usmeri skozi enega ali
več ojačevalnikov (Ti:safir, Nd:steklo ali optično parametrično ojačevanje
v nelinearnem kristalu), pri čemer se mu energija poveča, a seveda tako,
180 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Osterman” — 2019/2/15 — 7:41 — page 181 — #11 i
i
i
i
i
i
Optična pinceta in ustvarjanje ultrakratkih optičnih sunkov visokih intenzitet,
Nobelova nagrada za fiziko 2018
Slika 5. Ustvarjanje ultrakratkih visokoenergijskih sunkov z metodo CPA.
da njegova vršna intenziteta jc ostane pod pragom poškodbe ojačevalni-
kov. Ojačan čivk je na koncu pod kotom usmerjen na drugi par uklonskih
mrežic, ki sta tokrat postavljeni vzporedno. Žarek se na prvi mrežici raz-
kloni, druga mrežica pa komponente z različnimi frekvenčnimi komponen-
tami usmeri tako, da padajo pravokotno na ogledalo. Posledično posamezne
komponente potujejo nazaj po natanko istih poteh in se zato na prvi mrežici
skombinirajo nazaj v en žarek. Pri opisanem procesu prepotujejo dolgova-
lovne komponente dalǰso pot od kratkovalovnih, kar pomeni, da bi modri del
spektra rdečega prehiteval v času, če bi na ta par mrežic prǐsel sunek, ki bi
imel vse komponente sočasne. Pri tehniki CPA pa imamo opravka s čivkom,
v katerem rdeči del spektra prehiteva modrega, zato se lahko z ustrezno na-
stavitvijo mrežic to prehitevanje kompenzira, tako da so vse komponente
spet sočasne. Rezultat je ultrakratek sunek dolžine τp z vršno intenziteto
jp = jcτc/τp.
171–183 181
i
i
“Osterman” — 2019/2/15 — 7:41 — page 182 — #12 i
i
i
i
i
i
Natan Osterman
Uporaba kratkih laserskih sunkov visokih intenzitet
Tehnika CPA je omogočila gradnjo kompaktnih laserskih sistemov z ultra-
kratkimi sunki velikih moči. Danes je moč direktno ustvarjati laserske sunke
dolžine nekaj fs, kar je tako kratek čas, da v njem električno polje le ne-
kajkrat zaniha. Kar se tiče moči, so bili sunki moči 1 PW prvič doseženi
leta 1999, danes pa je na svetu že več kot 50 laserjev take moči. Trenutni
rekord je 1 ps trajajoč sunek energije 2 kJ, torej moči 2 PW. Pri Pragi
v okviru evropskega projekta Extreme Light Infrastructure gradijo laser 4
Aton z energijo sunkov 2 kJ in dolžino pod 150 fs, kar pomeni, da bo moč
sunkov 10 PW. Laser bo lahko »ustrelil« en sunek na minuto. Načrtovana
vršna intenziteta fokusiranega sunka reda velikosti 1023 W/cm2 ustreza ja-
kosti električnega polja 1014 V/m – za primerjavo, to je kar 200-krat več
od električnega polja v vodikovem atomu pri Bohrovem radiju. Če je jakost
električnega polja svetlobe primerljiva z jakostjo polja, ki v atomu veže ele-
ktrone, nastopi t. i. režim »močnega polja« atomske fizike. V tem režimu
lahko atom ionizira s hkratno absorbcijo več fotonov, zato izbiti elektron
odleti z ogromno kinetično energijo.
Sistemi na osnovi laserjev s CPA se uporabljajo tudi za ustvarjanje vǐs-
jih harmonikov. Na ta način lahko ustvarimo sunke, kraǰse od 1 fs, kar
omogoča raziskave dinamike elektronov znotraj atomov in molekul, ki po-
teka na attosekundni časovni skali. Laserska svetloba zelo visoke intenzitete
lahko ustvari plazemski val za pospeševanje elektronov do velikih energij na
kratkih razdaljah. V laboratoriju Lawrence Berkeley (ZDA) so s sunkom
moči 0,3 PW pospešili elektrone do energije 4,2 GeV na razdalji 9 cm. V
klasičnih linearnih pospeševalnikih, v katerih elektrone pospešuje radiofre-
kvenčno valovanje, je tipično povečanje energije 15 MeV/m, torej bi za 4,2
GeV potrebovali 280 m dolg pospeševalnik!
Laserji z visokointenzitetnimi ultrakratkimi sunki so razširjeni tudi v
industriji in medicini, najpogosteǰsa uporaba pa je za natančno ablacijo
materiala. Zaradi kratkega trajanja sunka je segrevanje materiala minimizi-
rano, zato je okolica interakcijskega volumna praktično nepoškodovana. Za
primer, vrtanje 10 µm luknje z 1 ps sunki v tanko plast zlata naredi stene
luknje neravne na velikostni skali pod 100 nm. Če za isti namen uporabimo
182 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Osterman” — 2019/2/15 — 7:41 — page 183 — #13 i
i
i
i
i
i
Optična pinceta in ustvarjanje ultrakratkih optičnih sunkov visokih intenzitet,
Nobelova nagrada za fiziko 2018
100 ps sunke, so stene luknje neravne na mikrometrski skali, saj se med
obdelavo okolǐska kovina stali, tvori kapljice, nato pa se spet strdi.
V medicini so femtosekundni laserji zaradi brezkontaktne narave in ne-
destruktivnosti okolǐskega tkiva vedno bolj prisotni pri operacijah kratkovi-
dnosti, dolgovidnosti ali astigmatizma očesne leče. Namesto s skalpelom pri
metodi LASIK operater naredi režo v roženico z računalnǐsko vodenim fem-
tosekundnim laserjem, nato pa skozi nastalo odprtino z excimernim laserjem
s fotoablacijo preoblikuje površino sredice roženice in tako spremeni njeno
zakrivljenost ter s tem dioptrijo očesa. Zadnji dosežek na področju laserske
operacije kratkovidnosti je metoda SMILE, pri kateri je uporabljen samo en
femtosekundni laser. Ta v tkivo roženice vreže tanek okrogel disk primerne
oblike ter v roženico napravi 4 mm dolgo režico, skozi katero operater disk
potegne ven. S tem je dioptrija odpravljena, okrevanje pa še hitreǰse kot pri
operaciji LASIK.
LITERATURA
[1] A. Ashkin, Acceleration and Trapping of Particles by Radiation Pressure, Physical
Review Letters 24 (1970), 156–159.
[2] A. Ashkin in J. M. Dziedzic, Optical Trapping and Manipulation of Viruses and
Bacteria Science 235 (1987), 1517–1520.
[3] A. Ashkin, J. M. Dziedzic, J. E. Bjorkholm in S. Chu, Observation of a Single-Beam
Gradient Force Optical Trap for Dielectric Particles, Optics Letters 11 (1986), 288–
290.
[4] M. DiDomenico, Small-Signal Analysis of Internal (Coupling-Type) Modulation of
Lasers, Journal of Applied Physics 35 (1964), 2870–2876.
[5] L. E. Hargrove, R. L. Fork in M. A. Pollack, Locking of He–Ne laser modes induced
by synchronous intracavity modulation, Applied Physics Letters 5 (1964), 4–5.
[6] F. J. McClung in R. W. Hellwarth, Giant Optical Pulsations from Ruby, Journal of
Applied Physics 33 (1962), 828–829.
[7] M. Pessot, P. Maine in G. Mourou, 1000 Times Expansion/Compression of Optical
Pulses for Chirped Pulse Amplification, Optics Communications 62 (1987), 419–421.
[8] Laboratorij za eksperimentalno fiziko mehke snovi, dostopno na tweezers.fmf.
uni-lj.si/opticna-pinceta/, ogled 21. 12. 2018.
[9] Optična pinceta, dostopno na: sl.wikipedia.org/wiki/Opticna_pinceta, ogled 21.
12. 2018.
[10] The Nobel Prize in Physics 2018, dostopno na www.nobelprize.org/prizes/
physics/2018/, ogled 21. 12. 2018.
171–183 183
i
i
“Razpet” — 2019/2/13 — 8:14 — page 184 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Keith Devlin, Finding Fibonacci – The Quest to Rediscover the
Forgotten Mathematical Genius Who Changed the World, Prin-
ceton University Press, Princeton and Oxford, 2017, 254 strani.
Keith Devlin, rojen leta 1947 v Angliji,
profesor na amerǐski univerzi Stanford,
je objavil že drugo knjigo, v kateri na
izviren način obravnava italijanskega
matematika Leonarda iz Pise, ki nam
je bolj znan kot Fibonacci. Leta 2011
je Devlin o njem objavil prvo knjigo z
naslovom The Man of Numbers, ki je
bila predstavljena v 3. številki Obzor-
nika za matematiko in fiziko leta 2015.
Devlin ima nesporno Leonarda Fi-
bonaccija za največjega evropskega
srednjeveškega matematika, ki je s svo-
jimi deli, zlasti pa z Liber abbaci, pov-
zročil v Evropi na področju računstva
in matematike pravo revolucijo. Fi-
bonacci je knjigo Liber abbaci, knjigo
o računanju, prvič objavil leta 1202,
nato pa v nekoliko spremenjeni obliki
še leta 1228. Pisana je v latinščini, tako da je bila razumljiva širšemu krogu
šolanih ljudi v Italiji in drugje po Evropi. Ker takrat še ni bilo tiska, so
knjigo ročno prepisovali, običajno menihi po samostanih.
O Leonardovem življenju vemo bore malo. Rodil se je okoli leta 1170,
verjetno v Pisi, tamkaǰsnjemu trgovcu, ki je svoje posle opravljal po ne-
katerih pristanǐskih mestih ob Sredozemskem morju. Pogosto je še rosno
mladega sina jemal s seboj na potovanja. Indijsko-arabske številke in ra-
čunanje z njimi se je Leonardo hitro naučil od Arabcev, s katerimi sta z
očetom pogosto trgovala. Računanje in geometrijo pa je Leonardo kmalu
tako dobro obvladal, da je poleg Liber abbaci napisal še Liber quadratorum,
Practica geometriae, Flos in Liber minoris guise, ki je bila namenjena pred-
vsem trgovcem. Latinska beseda flos pomeni cvet, liber minoris guise pa
dobesedno knjiga na manǰsi način. Leonardo je umrl okoli leta 1250, najbrž
v Pisi.
184 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Razpet” — 2019/2/13 — 8:14 — page 185 — #2 i
i
i
i
i
i
Finding Fibonacci
Knjiga Liber abbaci je pomembna za evropsko civilizacijo, ker uvaja
indijsko-arabske številke, mestni desetǐski zapis števil in računanje z njimi.
Obravnava tudi prave in neprave ulomke, kriterije deljivosti, preizkuse pra-
vilnosti računov in drugo. Do takrat so namreč števila zapisovali z nero-
dnimi rimskimi številkami, računali pa s preprostimi pomagali, tudi s prsti.
Indijsko-arabske številke so sicer poznali redki Evropejci že prej, toda Fi-
bonacci je s svojo Liber abbaci naredil ogromen korak naprej v razvoju
evropske in svetovne matematike.
Liber abbaci pa ne uvaja le indijsko-arabskih številk, ampak vsebuje
številne konkretne naloge in postopke za njihovo reševanje. Veliko nalog
je posvečenih trgovanju, menjavi, investicijam, zlitinam za kovanje denarja,
reševanju raznih matematičnih problemov in enačb, računanju kvadratnih
in kubičnih korenov in nalogam, ki bi jih dandanes uvrstili v rekreacijsko
matematiko. V tem delu je tudi znani problem o razmnoževanju kuncev,
kar je povezano z znamenitimi Fibonaccijevimi števili.
Liber abbaci so prepisovali in prilagajali lokalnim posebnostim, kot so
narečje, denar, mere in uteži. Včasih so v prepisih tudi pozabili omeniti
avtorja, na katerega se je z leti pozabilo. Znanje, ki je zajeto v tej knjigi, pa
se je hitro razširilo. Na Leonarda se je spet z velikim spoštovanjem spomnil
Luca Pacioli (1445–1517). Šele v 19. stoletju se je pojavilo ime Fibonacci in
prav tako pojem Fibonaccijeva števila. Prevod Liber abbaci v angleščino je
bil objavljen šele leta 2002. To je prvi prevod v neki živi svetovni jezik. Na
ta prevod, ki ima tudi za ljubitelje TEXa zanimivo zgodovino in je doživel in
preživel hudo preizkušnjo, je Devlin nestrpno čakal in mu v knjigi odmeril
precej prostora.
Devlinu je Fibonacci s svojimi deli zares prirasel k srcu. Za nalogo si je
zastavil, da v Italiji poǐsče čim več stvari, ki so povezane z njim. Zato je
izkoristil več službenih in zasebnih obiskov v Italiji, da jih poǐsče. Najbolj
je bil vesel, da mu je uspelo v knjižnicah v Sieni in Firencah najti v celoti
ohranjene prepise Liber abbaci, ki jih sicer ni prav veliko ali pa niso popolni.
Natančno opisuje osebne občutke, ko v rokah drži veliko dragocenost. Zado-
voljen pa je bil tudi, da je našel v Pisi Fibonaccijev spomenik, ulični napis in
neko spominsko ploščo z njegovim imenom. Vsakemu ponovnemu odkritju
nameni precej besed.
Devlin opisuje svoje iskanje Fibonaccijevih sledi po Toskani na prav pri-
vlačen in edinstven, včasih tudi hudomušen in dramatičen način. To se pač
dogaja v turističnih krajih, kjer se tare turistov iz vsega sveta, in nekoga,
ki ima popolnoma druge interese, malo čudno gledajo. Toda Devlinova
vztrajnost, izkušnje in dragocena poznanstva so mu le omogočila, da je
lahko na koncu zmagoslavno vzel v roke in prelistal srednjeveške rokopise,
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5 185
i
i
“Razpet” — 2019/2/13 — 8:14 — page 186 — #3 i
i
i
i
i
i
prepise Fibonaccijevega temeljnega dela. Zato je opisana knjiga prijetno
branje, pri katerem ni treba znati veliko matematike. Rečemo lahko, da je
knjiga mešanica zgodovine, matematike in osebnih doživetij.
Devlin ima objavo Liber abbaci za velik mejnik v razvoju evropske in
svetovne matematike, podobno kot vzpon računalnǐstva v drugi polovici 20.
stoletja. Oboje je zelo spremenilo svet. Danes si ne moremo več predstav-
ljati, kakšno bi bilo življenje brez desetǐskih številk in računanja z njimi, kaj
šele brez informacijsko komunikacijske tehnologije.
Devlin tudi ne pozabi omeniti Indije, kjer so že veliko pred Fibonacci-
jem poznali desetǐski mestni zapis števil in računanje z njimi. Pa tudi ne
perzijskih in arabskih matematikov, ki so vse to znanje prenesli na območje
Sredozemlja.
Devlinova nova knjiga je razdeljena na predgovor, 16 poglavij in dodatek,
v katerem je na kratko predstavljena vsebina vseh poglavij Fibonaccijeve
knjige Liber abbaci. Konča pa se z bibliografijo in indeksom.
Marko Razpet
VESTI
Bojan Mohar je prejel prestižno nagrado Kanadskega kraljevega
združenja
Profesor dr. Bojan Mohar je prejel prizna-
nje John L. Synge Award za leto 2018.
Podeljuje ga Royal Society of Canada, tj.
Kanadsko kraljevo združenje, ki je podob-
na ustanova kot naša Akademija znanosti
in umetnosti. Združuje in nagrajuje razis-
kovalce in umetnike, ki so dali pomembne
prispevke Kanadi. Nagrado, ki se imenuje
po matematiku J. L. Syngeu, dajejo za iz-
redne raziskovalne dosežke na kateremkoli
področju matematike. V zadnjih treh de-
setletjih jo je dobilo osem matematikov.
Kratka obrazložitev pravi:
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kom resijo, nekako za faktor 2. Pri m lih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantiz cijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija ne akovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsej grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
Profesor
Bojan Mohar na Univerzi Simon Fraser od
leta 2005 zaseda prestižno katedro Canada
186 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Razpet” — 2019/2/13 — 8:14 — page 187 — #4 i
i
i
i
i
i
Bojan Mohar je prejel prestižno nagrado Kanadskega kraljevega združenja
Research Chair. Je med vodilnimi v svetu na področju Teorije grafov. Znan
je po svojih rešitvah odprtih problemov in domnev. V večini njegovih del je
vidna kombinacija kombinatorike, geometrije, topologije in algebre. Njegovi
globoki rezultati v topološki in strukturni teoriji grafov so trajno vplivali ne
samo na topološko teorijo grafov, temveč tudi na teoretično računalnǐstvo
in druga področja.
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij » točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
Mohar je objavil sam ali s sodelavci več kot 310 znanstvenih člankov. V
tisku ali sprejetih pa ima še več kot 30 člankov. Skupaj z danskim mate-
matikom Carstenom Thomassenom je avtor pomembne monografije Graphs
on surfaces. Leta 1996 je bil izvoljen za člana Društva za industrijsko in
uporabno matematiko (SIAM). To društvo ga je v letu 2018 skupaj s 27
drugimi znanstveniki z vsega sveta odlikovalo s prestižnim naslovom Siam
Fellow. Je tudi redni član Inženirske akademije Slovenije. Bojan Mohar je
leta 1990 prejel Kidričevo nagrado, leta 2009 pa je postal ambasador Re-
publike Slovenije v znanosti. Leta 2016 je dobil Eulerjevo medaljo za leto
2010 (ni napaka!). Medaljo podeljujejo za izredne dosežke v kombinatoriki.
Mohar vsako leto za več mesecev pride v Slovenijo. Tu dela v programski
skupini Teorija grafov v okviru Inštituta za matematiko, fiziko in mehaniko
(IMFM) in na Fakulteti za matematiko in fiziko (FMF) Univerze v Ljubljani.
Mohar je eden od dveh glavnih urednikov ugledne revije Journal of Com-
binatorial Theory Series B. Je tudi glavni urednik za področje Teorije grafov
pri reviji Electronic Journal of Combinatorics.
Zanimiv intervju, ki ga je 3. oktobra 2018 Bojan Mohar imel na Radiu
Slovenija, lahko poslušate na [1].
Mimogrede, kot še eno ilustracijo uspešnosti Kanade pri privabljanju
talentov z našega konca omenimo, da je v letu 2018 Kanadsko kraljevo
združenje odločilo, da nagrado Rutherford Memorial Medal in Chemistry
dobi Tomislav Frǐsčić, ki je diplomiral 2001 v Zagrebu in je zdaj profesor na
Univerzi McGill.
LITERATURA
[1] M. Delač, Prof. dr. Bojan Mohar, Slovenski matematik je prejel prestižno nagrado
Kanadskega kraljevega združenja, Radio Prvi, 3. 10. 2018, dostopno na radioprvi.
rtvslo.si/2018/09/intervju-158/, ogled 21. 12. 2018.
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5 187
i
i
“Porocilo” — 2019/2/15 — 7:41 — page 188 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
STROKOVNO SREČANJE IN 71. OBČNI ZBOR DMFA
Tokratno srečanje DMFA Slovenije je potekalo v Dobrni in se je prepletalo
z 11. konferenco fizikov v osnovnih raziskavah. Za društveni del srečanja
in dogovore z organizatorjem konference fizikov v osnovnih raziskavah, Mi-
hom Škarabotom, je skrbel Jurij Bajc. Poleg predavanj na konferenci so
si udeleženci lahko ogledali tudi številne plakate in se ob njih pogovorili z
njihovimi avtorji.
Letošnji vabljeni predavatelj je bil dr. Gorazd Planinšič. Predstavljena
tema z naslovom Kako naj uporabljamo fizikalne poskuse, da bodo pomagali
študentom pri konstruiranju lastnega znanja, je vzbudila med poslušalci
veliko zanimanje.
71. občni zbor DMFA
Občnega zbora, ki se je začel ob 17.30 v hotelu Vita v Dobrni, se je udeležilo
80 članov DMFA Slovenije (od tega 12 članov upravnega odbora DMFA in
4 častni člani).
1. Otvoritev
2. Izvolitev delovnega predsedstva
3. Društvena priznanja
4. Poročila o delu društva
5. Razprava o poročilih
6. Vprašanja in pobude
7. Računovodsko in poslovno poročilo DMFA Slovenije za leto 2017
8. Razrešitve in volitve
9. Razno
Ad 1. Ker je ob 17.30 prisotnih manj kot polovica članov DMFA
Slovenije, začne občni zbor v skladu s 16. členom Pravil DMFA Slovenije z
delom ob 18.00. Med čakanjem Mitja Rosina obudi spomin na življenje in
delo fizika Ivana Kuščerja ob stoletnici njegovega rojstva.
Ad 2. V delovno predsedstvo so izvoljeni: predsednik Mitja Rosina,
člana Sandra Cigula in Marko Razpet, zapisnikar Janez Krušič. Overovatelja
zapisnika sta Maja Remškar in Matjaž Željko.
188 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Porocilo” — 2019/2/15 — 7:41 — page 189 — #2 i
i
i
i
i
i
Strokovno srečanje in 71. občni zbor DMFA
Delovni predsednik najprej pozdravi udeležence občnega zbora.
Z minuto molka se občni zbor pokloni spominu na v zadnjem letu pre-
minule člane: Olgo Arnuš, Oskarja Jericija, Andreja Kuzmana, Cvetko Li-
poglavšek, Stanislava Pirnata, Silva Žlebirja.
Ad 3. Društveno priznanje prejmejo:
• Andreja Grom, učiteljica matematike in fizike na OŠ Otočec, upoko-
jena 2013,
• Andrej Guštin, učitelj fizike na Elektrotehnǐsko-računalnǐski srednji
šoli in gimnaziji Ljubljana ter
• Marta Zabret, učiteljica matematike na Gimnaziji in SŠ Rudolfa
Maistra Kamnik.
Vse utemeljitve prebere Boštjan Kuzman.
Ad 4. Poročila o delu društva so objavljena v biltenu 71. občnega
zbora, ki je objavljen na domači strani DMFA: www.dmfa.si/ODrustvu/
Dokumenti/OZ2018-bilten.pdf. (Udeleženci občnega zbora so ga dobili
tudi v tiskani obliki.)
Dodatnih poročil ni.
Ad 5. Poročila so sprejeta brez dodatnih razprav.
Ad 6. Klavdija Kutnar, dekanja Fakultete za matematiko, naravoslovje
in informacijske tehnologije Univerze na Primorskem predstavi organizacijo
8. evropskega matematičnega kongresa, ki bo od 5. do 11. julija 2020 v Por-
torožu. Člane DMFA Slovenije povabi k sodelovanju predvsem pri obkon-
gresnih dejavnostih
O spremenjenem Pravilniku o podeljevanju društvenih priznanj poroča
Boštjan Kuzman. Najpomembneǰsa sprememba je, da članstvo v DMFA ni
več potreben pogoj za prejem priznanja.
Potrjen je sklep upravnega odbora, da se prijavnina za udeležbo na tek-
movanjih v šolskem letu 2018/2019 ne spremeni, če se ne bodo bistveno
spremenili pogoji sofinanciranja.
Za tekmovanja, ki se končajo z mednarodno olimpijado (MaSŠ-A, FiSŠ,
astronomija SŠ), je prijavnina na najnižji stopnji 2,50 EUR, za vsa druga
tekmovanja v organizaciji DMFA Slovenije pa 1,50 EUR. Za udeležbo na
vǐsjih stopnjah tekmovanja prijavnine ni.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5 189
i
i
“Porocilo” — 2019/2/15 — 7:41 — page 190 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
Ad 7. O sklepih nadzornega odbora je poročal Janez Krušič:
• pravilnost finančnega poslovanja za leto 2017 je nadzorni odbor ugotovil
na svoji seji 23. 3. 2018;
• z delom upravnega odbora je nadzorni odbor vseskozi seznanjen, bodisi
s prisotnostjo na sejah, bodisi z zapisniki sej upravnega odbora;
• v delu upravnega odbora do občnega zbora nadzorni odbor ni zaznal
nepravilnosti v tekočem letu in ne vidi razlogov za njegovo razrešitev
ob zaključku mandata.
Podatki iz bilance stanja in izkaza poslovnega izida za leto 2017:
Prihodki: 307.399 EUR
Stroški 304.863 EUR
Poslovni izid 2.536 EUR
Saldo 31. 12. 2017 94.434 EUR
Računovodsko in poslovno poročilo DMFA Slovenije za leto 2017 je so-
glasno sprejeto.
Ad 8. Na predlog delovnega predsednika občni zbor razreši dosedanji
upravni odbor, nadzorni odbor in častno razsodǐsče.
Delovni predsednik se članom razrešenih organov zahvali za njihovo us-
pešno delo.
Janez Krušič predstavi kandidatno listo za voljene organe DMFA Slovenije
za obdobje 2018–2020.
Vsi predlagani kandidati so soglasno izvoljeni.
Za izkazano zaupanje se zahvali izvoljeni predsednik Dragan Mihailović
in predstavi nekatera področja delovanja društva, ki jim bo posvečena posebna
pozornost in skrb.
Ad 9. Občni zbor se je končal ob 18. uri in 30 minut.
Janez Krušič in Nada Razpet
190 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“PravilnikOMF” — 2019/2/14 — 7:08 — page 191 — #1 i
i
i
i
i
i
Pravilnik o podeljevanju društvenih priznanj
PRAVILNIK O PODELJEVANJU DRUŠTVENIH PRIZNANJ
1. člen
(Priznanje za delo z mladimi)
Priznanje za neposredno delo z mladimi lahko prejme posameznik ali posa-
meznica, ki:
• s svojim delom izbolǰsa pouk matematike, fizike ali astronomije v os-
novni, srednji ali visoki šoli;
• razširja zanimanje za svoje strokovno področje med učenci, jih uspešno
uči in usmerja v šolskih ali obšolskih dejavnostih, tako da dosegajo vidne
uspehe;
• sodeluje s strokovnimi objavami, predvsem v društvenih publikacijah in
s tem izdatno prispeva k popularizaciji svojega predmeta ali k izbolǰsanju
poučevanja.
2. člen
(Priznanje za strokovno dejavnost)
Priznanje lahko prejme tudi posameznik ali posameznica, ki neposredno
sicer ne dela z mladimi, je pa njegova oziroma njena društvena, pedagoška,
publicistična ali znanstveno-raziskovalna dejavnost tako izrazita, da pozi-
tivno vpliva na razvoj, popularizacijo in ugled matematike, fizike in as-
tronomije v Sloveniji ali na mednarodni ugled slovenske znanosti.
3. člen
(Priznanje za uspešno sodelovanje z Društvom)
Društvo lahko podeli priznanje tudi organizacijam ali posameznikom ali
posameznicam za njihov izjemen prispevek in uspešno sodelovanje pri rednih
ali priložnostnih dejavnostih Društva.
4. člen
(Nagrada)
Pisno priznanje za posameznika ali posameznico spremlja simbolična nagra-
da, namenjena spodbujanju nadaljnjega dela, katere obliko vsakokrat določi
upravni odbor DMFA Slovenije.
5. člen
(Razpis)
Razpis za podelitev društvenih priznanj mora biti objavljen vsako leto na
spletni strani DMFA ali v reviji Obzornik za matematiko in fiziko vsaj tri
mesece pred rednim občnim zborom DMFA Slovenije.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5 191
i
i
“PravilnikOMF” — 2019/2/14 — 7:08 — page 192 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
6. člen
(Vložitev predloga)
Pisni predlog za podelitev priznanja lahko vložijo posamezni člani in članice
ali pa skupina članov ali članic DMFA Slovenije. Obsegati mora dovolj
podatkov, da je ob nadaljnjem odločanju mogoča vsestranska presoja.
7. člen
(Komisija za društvena priznanja)
Predloge obravnava Komisija za društvena priznanja (v nadaljevanju Komi-
sija), ki jo imenuje Upravni odbor za mandatno obdobje dveh let. Predsed-
nik oziroma predsednica Komisije je predsednik oziroma predsednica DMFA
Slovenije.
8. člen
(Delo komisije)
Komisija je odgovorna za izvedbo naslednjih aktivnosti:
• V tekočem koledarskem letu poskrbi za pravočasno objavo razpisa.
• Po izteku roka za vložitev pregleda prispele predloge ter o njih odloči.
• Odločitev o posameznem predlogu sporoči njegovim predlagateljem in
s seznamom prejemnikov seznani Upravni odbor.
• Prejemnike in prejemnice priznanj pisno povabi na slovesno podelitev
najkasneje 14 dni pred podelitvijo.
• Poskrbi za natis priznanj in pripravo simboličnih nagrad.
• V društvenih publikacijah objavi pisno informacijo o prejemnikih pri-
znanj s kratko utemeljitvijo.
9. člen
(Podelitev priznanj)
Priznanja podeli predsednik oziroma predsednica Društva ali njegov oziroma
njen pooblaščenec na rednem občnem zboru.
V Ljubljani, 13. 11. 2018
prof. dr. Dragan Mihailović
predsednik DMFA Slovenije
192 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“KuzmanNovo” — 2019/2/15 — 7:42 — page 193 — #1 i
i
i
i
i
i
Andreja Grom, Andrej Guštin in Marta Zabret prejemniki priznanj DMFA Slovenije
Andreja Grom, Andrej Guštin in Marta Zabret prejemniki
priznanj DMFA Slovenije
Komisija za društvena priznanja, v sestavi Dragan Mihajlović (predsednik),
Boštjan Kuzman in Barbara Rovšek, je na osnovi prejetih predlogov izbrala
tri prejemnike priznanj za leto 2018. To so:
• Andreja Grom, OŠ Otočec, za dolgoletno uspešno in predano poučeva-
nje matematike in fizike v osnovni šoli,
• Andrej Guštin, Vegova ERSŠ in gimnazija, Ljubljana, za kvalitetno
strokovno delo na področju tekmovanj in pri širši popularizaciji astro-
nomije v Sloveniji,
• Marta Zabret, Gimnazija in SŠ Rudolfa Maistra Kamnik, za predano
pedagoško delo in objavljene medijske prispevke o pomenu poučevanja
matematike.
Slika 1. Andreja Grom, Andrej Guštin in Marta Zabret.
Priznanja je podelil predsednik DMFA Slovenije na Občnem zboru 23.
novembra 2018 v Dobrni. Utemeljitve so objavljene na spletni strani DMFA
Slovenije. Zahvaljujemo se vsem predlagateljem za dobro utemeljene pre-
dloge, prejemnikom priznanj pa še enkrat čestitamo za njihovo navdihujoče
pedagoško in strokovno delo, ki odmeva tako med stanovskimi kolegi kot
tudi v širši javnosti.
V nadaljevanju objavljamo utemeljitve, ki jih je na osnovi prejetih pre-
dlogov pripravila komisija.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5 193
i
i
“KuzmanNovo” — 2019/2/15 — 7:42 — page 194 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
Andreja Grom je diplomirala na Pedagoški akademiji v Ljubljani. Od
leta 1975 do upokojitve je na OŠ Otočec poučevala matematiko in fiziko,
občasno tudi izbirni predmet astronomija, kraǰsa obdobja pa je bila tudi
ravnateljica šole, vodja aktiva učiteljev matematike občine Novo mesto in
vodja študijske skupine za fiziko.
Ko se je zaposlila na OŠ Otočec, je pouk potekal v stari stavbi v dveh
izmenah. Šola ni imela specialnih učilnic ali kabinetov in je bila skromno
založena z učili, zato je sama izdelala številne preproste pripomočke za fizi-
kalne eksperimente in k temu pritegnila tudi učence. Ko je bila dograjena
nova šola, si je prizadevala, da bi tudi matematika in fizika dobili speci-
alno učilnico, in poskrbela, da so bila nabavljena vsa učila, ki so bila takrat
dostopna.
Bila je prava promotorka znanja naravoslovja na šoli. Mlade je znala
spodbujati k vedoželjnosti z drugačnimi in zanimiveǰsimi metodami dela
in prijavljanjem na raziskovalne naloge s področja naravoslovja, ki sta jih
razpisali reviji Pionirski list (danes Pil) ali Pionir (danes Gea). Tako so
učenci merili radioaktivnost, določali zemljepisno lego domačega kraja in
izdelali sončno uro.
Kot neutrudna mentorica je v okviru dodatnega pouka in številnih pro-
stovoljnih ur učence pripravljala na tekmovanja najprej pri matematiki in
fiziki, kasneje pri logiki in razvedrilni matematiki, nazadnje tudi pri astro-
nomiji. Ti so začeli dosegati opazne uspehe najprej na občinskih in regijskih
tekmovanjih, kasneje pa tudi na republǐskih oziroma državnih tekmovanjih,
kjer so njeni učenci postali celo prvaki iz logike, matematike, razvedrilne
matematike in fizike. Neutrudno je vrsto let sodelovala tudi v različnih tek-
movalnih komisijah in pri organizaciji tekmovanj, za katera je pridobivala
tudi sponzorje in urejala bilten. K dejavnosti je pred upokojitvijo pritegnila
tudi učitelje nižjih razredov in razrednega pouka.
Posebno pozornost je namenjala tudi učencem, ki sta jim matematika
in fizika povzročali težave. Zanje je poleg dopolnilnega pouka namenjala
še dodatne ure. Tudi učencem športnikom ali odsotnim zaradi bolezni je
namenjala posebne ure, da so lahko nadoknadili zamujeno. Za učence si je
194 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“KuzmanNovo” — 2019/2/15 — 7:42 — page 195 — #3 i
i
i
i
i
i
Andreja Grom, Andrej Guštin in Marta Zabret prejemniki priznanj DMFA Slovenije
vedno vzela čas in jih dobro pripravila na delo v srednji šoli, pomagala pa
jim je tudi še potem, ko so obiskovali srednjo šolo ali celo fakulteto.
S svojim vestnim in strokovnim delom je prispevala k izbolǰsanju pouka
matematike v osnovni šoli. Že zelo zgodaj je začela pri pouku uporabljati
računalnik. Z odnosom do znanja in izobraževanja je bila zgled mlaǰsim uči-
teljem. Meni, da mora učitelj nenehno slediti stroki predmeta, ki ga poučuje,
ter novim spoznanjem na področju psihologije in pedagogike, da lahko učen-
cem približa predmet, ki ga poučuje. Svoje delo mora imeti preprosto rad.
Povezovati se mora z učitelji s sosednjih šol, da izmenjuje izkušnje, se tako
bogati in napreduje, za svoja dejanja pa mora znati sprejemati odgovornost.
Andrej Guštin s svojim delom izbolǰsuje pouk astronomije v osnovnih
in srednjih šolah, razširja zanimanje za astronomijo med učenci, jih zelo
uspešno vodi na mednarodnih tekmovanjih, kjer dosegajo vidne uspehe, ter
popularizira astronomijo s poljudnimi in strokovnimi objavami v društvenih
in drugih publikacijah. Po mnenju sodelavcev je imel Andrej Guštin največji
vpliv na povečano astronomsko aktivnost v okviru DMFA Slovenije in v
šolah v zadnjih desetih letih.
Ob Mednarodnem letu astronomije 2009 je dal pobudo, da bi DMFA
Slovenije uvedlo tudi tekmovanje v znanju astronomije. Od takrat se je
tekmovanje med učitelji in učenci zelo dobro uveljavilo, za kar ima zasluge
predvsem Andrej Guštin, ki ob pomoči majhnega števila sodelavcev deluje
kot glavni motor in duša tega tekmovanja. Je tajnik komisije za popu-
larizacijo astronomije in glavni sestavljalec nalog, pri čemer so ključnega
pomena njegovo strokovno znanje, pedagoške izkušnje ter občutek za jezik
in razlage prilagojene starosti učencev. Ob uvedbi tekmovanja je imel vizijo
postopoma dvigniti znanje tekmovalcev do takega nivoja, da se bodo naj-
bolǰsi srednješolci lahko uspešno udeleževali mednarodnih tekmovanj. Cilj
je dosegel že četrto leto: na njegovo pobudo so se naši dijaki leta 2013 prvič
udeležili 7. mednarodne olimpijade iz astronomije in astrofizike v Grčiji in
na njej osvojili dve srebrni medalji in dve pohvali. V naslednjih letih je
sledilo še več uspehov, ki jih je jeseni 2017 kronala zlata medalja in abso-
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5 195
i
i
“KuzmanNovo” — 2019/2/15 — 7:42 — page 196 — #4 i
i
i
i
i
i
Vesti
lutna zmaga Alekseja Jurce na 11. mednarodni olimpijadi iz astronomije in
astrofizike na Tajskem. Na pobudo Andreja Guština naši dijaki od leta 2015
sodelujejo tudi na Sanktpeterburški astronomski olimpijadi, naša olimpij-
ska ekipa pa se je zadnji dve leti pomerila z madžarsko in hrvaško ekipo
na Astronomskem tekmovanju treh dežel. Poleg uvedbe tekmovanja je An-
drej Guštin prispeval k izbolǰsanju poučevanja astronomije v šolah tudi z
več delavnicami in predavanji za izobraževanje učiteljev, ki jih je imel v
okviru strokovnih srečanj DMFA Slovenije (2010, 2012, 2014, 2015, 2016)
in s strokovno-pedagoškimi prispevki v društvenih in drugih publikacijah.
Andrej Guštin je izvrsten in zelo ploden pisec poljudnih in strokovnih
prispevkov o astronomiji za različne generacije. Že 25 let je redni sodelavec
astronomske revije Spika, za katero je napisal več kot 50 avtorskih prispev-
kov. V Preseku je objavil 46 prispevkov, v reviji Gea 45, reviji Moj planet
39, v Proteusu 35, pisal pa je tudi za Delo, Obzornik za matematiko in
fiziko, Ciciban, PIL idr.
K popularizaciji astronomije tako med mladimi kot tudi v širši javnosti je
prispeval tudi z aktivnim sodelovanjem pri Mednarodnem letu astronomije
2009, v zadnjih letih pa med drugim kot so-organizator tednov astronomije
v Idriji in kot (so)avtor razstav, ki jih je pripravil v sodelovanju s Prirodo-
slovnim muzejem in drugimi: 2015 – Svetloba, ujeta v kamen, 2016 – Črne
luknje, 2017 – Tretji kamen od Sonca, 2018 – Zvezdni kamni.
Marta Zabret, specialistka matematičnega izobraževanja, že 32 let po-
učuje matematiko na Gimnaziji in srednji šoli Rudolfa Maistra Kamnik. S
pedagoškim delom je začela že v študentskih letih. Značilni zanjo so vera
v življenje, humor in dobronamernost, zaupanje v ljudi. Tako dijakom pri-
sluhne in pomaga tudi zunaj učilnice. Nekatere dijake je na matematična
tekmovanja uspešno pripravljala kar v domači kuhinji.
Vrsto let je v različnih časopisih, revijah in drugih glasilih objavljala
članke, ki obravnavajo probleme v poučevanju in njene lastne izkušnje na
tem področju. Za vse to publicistično delo so značilni odrezavost in humor,
strpnost, konkretnost. Tako imamo devet prispevkov v Delu, štiri v Večeru,
196 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“KuzmanNovo” — 2019/2/15 — 7:42 — page 197 — #5 i
i
i
i
i
i
Andreja Grom, Andrej Guštin in Marta Zabret prejemniki priznanj DMFA Slovenije
šest v Šolskih razgledih, 28 v Dnevniku ter posamezne članke za Obzornik
za matematiko in fiziko, Presek in zbornik ob devetdesetletnici prof. Ivana
Vidava.
V svojih intervjujih in nastopih je vseskozi opozarjala na pomen do-
bre matematične izobrazbe. Z veliko poguma je javno nasprotovala preveč
permisivni interpretaciji pravic učečih in opozorila, da to vodi k pomanj-
kanju odgovornosti in škodi praktično vsem. Njen protest je pripomogel k
dobrodošlim spremembam.
Spodbujena s pozitivnim odmevom je napisala knjigo Martematične pri-
gode, ki je leta 2017 izšla pri DMFA-založnǐstvo in je doživela že drugo
naklado. Vsebina se vrti okrog njenih izkušenj s poučevanjem matematike
na srednji šoli in na gimnaziji ter z zgodbami njenih dijakinj in dijakov.
V poglavju Prigode stvarno obravnava tudi dileme v poučevanju, denimo
uporabo tehnologije, v poglavju Državna šola, zlata jama pa opisuje boj z
dobičkarstvom na račun javnega šolstva. Knjiga ima tudi čisto matematične
vsebine, denimo v obliki problemov. Besedila so izpiljena in večinoma na-
pisana strnjeno; včasih prav minimalistično, brez odvečnih besed. Jezik je
lep, bogat in izražanje pogosto prav mojstrsko.
Njeno veselje do poučevanja, njena vera v mladino in prepričanje, da
skoraj vsakega z nekaj interesa in volje do dela lahko izobrazimo, so nale-
zljivi. Ni presenetljivo, da je dobila po izidu knjige več prošenj za intervjuje,
ki jih je znala tudi dobro izkoristiti za ugoden prikaz naše stroke. Lahko smo
zadovoljni, da imamo Marto, ki tako simpatično, profesionalno in uspešno
predstavlja matematiko in poučevanje matematike v širši javnosti.
Boštjan Kuzman
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5 197
i
i
“Legisa” — 2019/2/15 — 7:42 — page 198 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
Prenos matematične revije iz okvira mednacionalke
V reviji Newsletter of the European Mathematical Society je bil septembra
objavljen članek [1]. Glavni uredniki revije Journal of Algebraic Combina-
torics v njem opisujejo, kako so poleti 2017 kolektivno dali odpoved založbi
Springer, izdajateljici revije. Obenem so že začeli priprave na izdajo nove
revije Algebraic Combinatorics. Ta je začela izhajati januarja 2018. Novo
revijo izdaja Centre Mersenne, ki je na Univerzi v Grenoblu v Franciji.
Pobudnik in organizator tega prenosa je bila ustanova MathOA. Sedež
ima na Nizozemskem. Deluje šele zadnjih nekaj let in namerava nadaljevati s
tovrstno aktivnostjo. Njen cilj je na podoben način dobiti več matematičnih
revij, ki zadoščajo modelu Pošten odprti dostop (Fair Open Access, FAO).
Želijo zmanǰsati število revij z ogromnimi naročninami in visokimi cenami za
kopije člankov. Nudijo pravno in drugo pomoč. Prav izdajanje znanstvene
literature je primer dejavnosti, kjer prosti trg ne deluje.
Financerji revij modela FAO so večinoma knjižnice. Osnovna načela
modela FAO so:
• Revija ima pregledno lastnǐsko strukturo; je pod nadzorom znanstvene
skupnosti in ji služi.
• Pisci člankov obdržijo avtorske pravice.
• Vsi objavljeni članki so prosto dostopni in uporabljena je licenca, ki
dovoljuje prosti dostop.
• Predložitev članka in objava nista pogojena s plačilom pristojbine s
strani avtorja ali ustanove, ki ga zaposluje; prav tako nista pogojena s
članstvom v ustanovi ali društvu.
• Vse pristojbine, plačane v imenu revije založnikom so nizke, pregledne
in sorazmerne z opravljenim delom.
(Denimo, Algebraic Combinatorics avtorjem za lektoriranje zaračunava
7 evrov na stran.)
198 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Legisa” — 2019/2/15 — 7:42 — page 199 — #2 i
i
i
i
i
i
Prenos matematične revije iz okvira mednacionalke
Take prehode je olaǰsal nov, prosto dostopni sistem revialnega urejanja
OJS (Open Journal Systems). Centre Mersenne zagotavlja tudi zelo ugodno
pridobitev DOI. Kratice pomenijo Identifikator digitalnega objekta. To je
enolična oznaka elektronske publikacije in omogoča tudi lokacijo vira.
Financerji nove revije so bili Foundation Compositio Mathematica in
francoske ter nemške knjižnične organizacije. Za knjižnice je taka podpora
logična: drago naročnino nadomestijo z veliko ceneǰso. Žal veliki založniki
z vztrajanjem pri prodaji paketov, v katerih je veliko revij, precej uspešno
blokirajo take varčevalne ukrepe.
Drugi način, da pridemo do nižjih cen revij, je dodatna finančna podpora
obstoječim malim revijam, ki jih navdušenci izdajajo z minimalnimi stroški
ob prostovoljnem delu. To je najceneǰsi in najbolǰsi način, saj imajo te revije
že ugled in ocene, kot je faktor vpliva [3]. Novo ustanovljene revije, tudi če
so reinkarnacija vrhunskih, za to potrebujejo čas. Že pred leti so izraelski
matematiki povedali, da izdajajo revijo, katere naročnina je ena desetina
cene podobno obsežne in kakovostne komercialne revije.
V letu 2018 je začela delovati mreža prosto dostopnih revij – Free Journal
Network. V njej je zdaj 24 matematičnih revij.
Nekateri (morda tudi neiskreno) izražajo strah, da tovrstne neodvisne
revije ne morejo zagotoviti, da bodo članki dostopni tudi v prihodnosti.
Vendar, ko so skoraj vsi uredniki zapustili Springerjevo revijo K-Theory,
je ta kmalu propadla, nato pa je elektronski arhiv starih številk za več let
izginil. Springer obvladuje okrog 12 odstotkov svetovnega trga znanstvenih
publikacij in beleži visoke dobičke. Ker so članki v FAO revijah prosto
dostopni, jih ljudje prenašajo na svoje računalnike in je tako zelo majhna
verjetnost, da bi izginili.
Springer skuša obdržati revijo Journal of Algebraic Combinatorics pri
življenju. Zaradi solidarnosti med algebraičnimi kombinatoriki pa je za glav-
nega urednika dobil po [2] le človeka brez člankov na tem področju in tudi
bibliografije preostalih članov urednǐskega odbora naj večinoma ne bi bile
prepričljive. Mimogrede, glavni urednik take komercialne revije zasluži ka-
kih osem do deset tisoč USD letno. Recenzenti, kot vemo, delajo zastonj.
Zato vodilni avtor članka v EMS Newsletter poziva matematike, naj ne
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5 199
i
i
“Legisa” — 2019/2/15 — 7:42 — page 200 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
opravljajo tovrstnega zastonjskega dela za revije z oderuškimi naročninami
in visokimi cenami za kopije člankov.
Visoke cene revij še bosebej prizadenejo vede s skromnim financiranjem,
kamor sodi prav matematika.
Pojavile so se tudi nove komercialne založbe z bolj dostopnimi cenami.
Primer je založba Ubiquity Press, ki jo je ustanovil University College Lon-
don. Za prosto dostopne članke v svojih revijah zaračunava avtorju ali
njegovemu delodajalcu okrog 500 EUR. To je še zmeraj manj kot pri neka-
terih drugih revijah, ki jih izdajajo britanske univerze ali društva, in precej
manj kot pri največjih založnikih. Ta vsota se lahko zmanǰsa ali pa avtorja
oprostijo plačila. V letu 2015 je recimo urednǐski odbor lingvistične revije
Lingua zapustil založbo Elsevier in začel novo revijo Glossa, ki jo zdaj izdaja
Ubiquity Press.
Mimogrede, Ubiquity Press za elektronsko prosto dostopne knjige (brez
papirne verzije) zaračunava avtorjem okrog 4000 do 9000 britanskih funtov,
glede na obseg. To vključuje recenzijo, lektoriranje in indeksiranje. Zadnji
dve postavki nista obvezni in se tako cena lahko zniža.
Prenos revije se lahko tudi zaplete, če so akterji brez poslovnih izkušenj.
Opisan je bil primer, ko je skoraj celoten urednǐski odbor zapustil velikega
založnika in se kljub opozorilom dal prepričati, da »prehodno« novo revijo
vodi v okviru podjetja enega od urednikov. Prehodna faza pa se ni in ni
končala . . . Zdaj je večji del urednǐskega odbora, bogateǰsi za novo izkušnjo,
pomagal ustanoviti tretjo revijo, ki jo izdaja neprofitna založba.
Sicer pa so dobro pripravljeni prehodi praktično zmeraj uspešni, tudi če
preǰsnja revija morda ostane pri življenju.
Zanimiv primer je še MSP, neprofitna znanstvena založba s sedežem
v kalifornijskem Berkeleyju, ki ima v nadzornem odboru več znanih ma-
tematikov. Prakticira Zeleni odprti dostop, Green Open Access [4], ki je
še zmeraj prijazen. Avtor nima finančnih obveznosti. Revijo financirajo
naročnine. Članki postanejo prosto dostopni po pet letih, avtor pa lahko
na prosto dostopni arXiv takoj da verzijo s popravki po recenziji, vendar
brez lektoriranja. Dodati mora še povezavo do končne verzije članka v reviji.
Naročnina na MSP-jevo revijo z 2000 stranmi je okrog 800 USD za elektron-
200 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5
i
i
“Legisa” — 2019/2/15 — 7:42 — page 201 — #4 i
i
i
i
i
i
Prenos matematične revije iz okvira mednacionalke
sko in tiskano verzijo. Sodelujejo tudi z Založbo Evropskega matematičnega
društva (EMS Publishing House) in ponujajo skupen paket okrog trideset
elektronskih revij za nekaj več kot 7000 USD. Založba MSP prodaja tudi
programsko opremo za urejanje revij z imenom EditFlow.
Za barvit prikaz dogajanja, ki je omogočilo velikim založnikom znan-
stvenih revij ne samo ogromne dobičke, ampak tudi ne ravno benigen vpliv
na delo znanstvene skupnosti, preberite še članek [5]. Opisuje, kako sta dva
britanska poslovneža kot po tekočem traku ustanavljala nove drage znan-
stvene revije in z agresivnim prepričevanjem pridobivala vrhunske znanstve-
nike kot urednike. Le redki med njimi so se zavedali, da to pomeni zmeraj
huǰso finančno obremenitev za univerzitetne in inštitutske knjižnice. Vlogo
glavnega urednika so skoraj vsi sprejeli, ker je to pomenilo nove možnosti
objavljanja, pa seveda čast in vpliv. In tako se je del denarja iz državnih
podpor znanosti začel stekati drugam, kot je bilo mǐsljeno. Komercialna
usmeritev prestižnih in dragih znanstvenih revij v nekaterih vedah močno
vpliva na to, kakšni rezultati imajo prednost pri objavi.
Velikanski dobički omogočajo nekaj velikim korporacijam, ki izdajajo
znanstveno literaturo, vpliv v medijih in politiki. Evropska komisija je za
enega od izvajalcev monitoringa trga odprtih publikacij zadolžila . . . založbo
Elsevier (ki obvladuje 16–24 odstotkov svetovnega trga znanstvenih publi-
kacij). Mimogrede, bral sem, da tudi v likovni umetnosti marsikje kustosi
in finančniki usmerjajo »umetnǐsko« produkcijo.
LITERATURA
[1] M. C. Wilson, H. van Maldeghem, V. Reiner, C. Athanasiadis, A. Munemasa in H.
Thomas, Flipping JACO, EMS Newsletter 109 (2018), 38–41.
[2] M. C. Wilson, AlCo vs JACo – a stark comparison, dostopno na mcw.blogs.
auckland.ac.nz/2018/04/19/alco-vs-jaco-a-stark-comparison/, ogled 21. 12.
2018.
[3] M. C. Wilson, Free and Fair Open Access Journals: Flipping, Fostering, Founding,
Notices of the AMS, 2018, 817–820, dostopno na www.ams.org/journals/notices/
201807/rnoti-p817.pdf, ogled 21. 12. 2018.
[4] MSP and Open Access, dostopno na msp.org/publications/oa/, ogled 21. 12. 2018.
[5] S. Buranyi, Is the staggeringly profitable business of scientific publishing bad for sci-
ence? The Guardian, 2017, dostopno na www.theguardian.com/science/2017/jun/
27/profitable-business-scientific-publishing-bad-for-science, ogled 21.
12. 2018.
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 5 XIX
i
i
“kolofon” — 2019/2/14 — 7:12 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, SEPTEMBER 2018
Letnik 65, številka 5
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Potence kovinskih razmerij (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–170
Optična pinceta in ustvarjanje ultrakratkih optičnih sunkov visokih
intenzitet, Nobelova nagrada za fiziko 2018 (Natan Osterman) . . . . 171–183
Nove knjige
Keith Devlin, Finding Fibonacci – The Quest to Rediscover the
Forgotten Mathematical Genius Who Changed the World
(Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184–186
Vesti
Bojan Mohar je prejel prestižno nagrado Kanadskega kraljevega
združenja (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186–187
Strokovno srečanje in 71. občni zbor DMFA (Janez Krušič in
Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188–190
Pravilnik o podeljevanju društvenih priznanj (Dragan Mihailović) . . . . . . 191–192
Andreja Grom, Andrej Guštin in Marta Zabret prejemniki priznanj
DMFA Slovenije (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193–197
Prenos matematične revije iz okvira mednacionalke (Peter Legiša) . . . . 198–XIX
CONTENTS
Articles Pages
Powers of metallic ratios (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–170
Optical tweezers and generation of high-intensity, ultra-short optical
pulses, Nobel prize in Physics 2018 (Natan Osterman) . . . . . . . . . . . 171–183
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184–186
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186–XIX
Na naslovnici: Mikroskopska slika množice steklenih kroglic premera 2,3 µm v
vodi. Vsaka kroglica je ujeta v svoji optičnih pasti. Višina ene »črke« je približno
25 µm (zgornja slika). Ko pasti izklopimo, začnejo kroglice prosto difundirati. Spo-
dnja slika je posneta 7 s po izklopu pasti. Fizikalno podkovan bralec lahko iz
razlike leg kroglic med obema slikama grobo oceni viskoznost vode (glej članek
na straneh 171–183).