i
i
“923-Vencelj-naslov” — 2009/6/10 — 16:14 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 16 (1989/1990)
Številka 1
Strani 258–263
Marija Vencelj:
PLAVANJE V DVEH TEKOČINAH
Ključne besede: matematika, analiza, algebra, Arhimedov zakon za
dve tekočini.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/16/923-Vencelj.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
li),'-'I~I"orueII'" 1CII" 1"",
PLAVANJE V DVEH TEKOCINAH
Nedavno je min ilo natanko 2200 let od smrti Arhimeda, enega največjih mate-
matikov vseh časov. Umrl je pod mečem rimskega vojaka leta 212 pred našim
štetjem, ko so v drugi punski vojni Rimljani zasedli njegove rodne Sirakuze .
Sm rt ga je doletela v starosti 75 let , medtem ko je sklonjen nad risbo v pesku
reševal matematičen problem .
Arhimed velja za muzejski primerek zagrizenega misleca. Kadar je globoko
razmišljal o matematiki, je pozabljal na hrano in na spanje. Glede pozabljivosti
v zvezi z oblačenjem pa je prekosil vse. Tako je do slavnega odkritja o vzgonu ,
ki nos i po njem ime Arhimedov zakon , prišel med opazovanjem svojega, v kadi
potopljenega telesa . Navdušen nad spoznanjem je tak, kot je bil , stekel iz kadi
na ul ice Sirakuz in vzklikal: "Hevreka , hevreka!" (Našel sem, našel sem!)
Sl ik a desno: Arhimed (287-212)
Arhimedu dolgujemo števi lna velika odkritja v matematiki, mehaniki in
ast ronomiji, najbolj pa je znan prav po zakonu o hid rostatičnem vzgo nu, s
katerim deluje mirujoča tekočina na potopljeno telo . Zakon srečajo pr i nas
učenci v sedmem razredu osnovne šole in se glasi :
258
'-'--J'/",-,L "
Mirujoča tekočina deluje na potopljeno telo s silo, ki kaže nevptcno
navzgor in je enaka teži izpodrinjene tekočine. To silo imenujemo (bidroste-
tičnl) vzgon.
Po tem uvodu, skromnem za tako častitljivo obletnico, si za ilustracijo
Arhimedovega zakona oglejmo nalogo, napovedano že v naslovu:
Na živo srebro, na katerem plava železna krogla, začnemo nalivati vodo
in to počnemo toliko časa, da voda kroglo prekrije. Ali se bo pri tem krogIa
glede na gladino živega srebra dvignila, spustila ali ostala na svojem mestu?
Kaj se s kroglo dogaja, medtem ko se vodna gladina dviga?
Spominjam se živahnega prerekanja, ki se je ob vprašanju vnelo v pisani
počitniški družbi ob morju . Nekateri so menili, da se bo krogia še bolj poto-
pila v živo srebro, ker bo pač morala nekako potoniti v od sebe redkejši vodi.
Drugim se je dozdevalo, da voda pritiska kroglo navzdol, ker vodo pravzaprav
nalijemo na kroglo, glede na to, da je gostota železa večja od polovične gosto-
te živega srebra in je situacija taka, kot jo kaže slika 1.
Slika 1 Slika 2
Potem smo ugotovili, da voda, ki je gostejša od zraka, prav gotovo ustvarja neki
dodatni vzgon, ko zalije zgornji krogel ni odsek. Ta dodatna sila kroglo vleče iz
živega srebra. S tem pa se zmanjša vzgon zarad i manjše potopitve v živo srebro,
kar spet sili kroglo navzdol. Ravno dovolj različnih mnenj in dvomov, da se
spravimo k računanju!
Železna krogia res plava na živem srebru, ker je gostota železa
259
7,9.103 kq/rn", gostota živega srebra pa 13,6 .103 kg/m 3 . Domenimo se, naj
krogia plava kar v "jezeru" živega srebra, saj bi pri premajhni posodi morali
upoštevati tudi dodatne vplive na kroglo zaradi pojavov ob stenah posode .
Nalogo si bomo že na začetku zastavili nekoliko splošneje . Dan i naj bosta
dve tekočini, ena z gostoto e, druga z gostoto b, in krogia spoimerom r iz snovi
z gostoto c. Pri tem naj velja
a ~c <b
Označimo z d debelino plasti zgornje tekočine (to je seveda tista z gostoto al in
z v višino krogelnega odseka nad glad ino spodnje gostejše tekočine (slika 21-
Zanima nas, kako se spreminja v, ko d narašča po pozitivnih vrednostih . Naloge
se lahko lotimo tako, da vse prostornine krogelnih odsekov in plasti, ki jih po-
trebujemo, takoj izrazimo z r, v in d in nato uporabimo Arhimedov zakon . Zdi
se, da bi tako že s prvim zamahom ugnali našo nalogo. Zvezo med v in d bi sicer
resda dobili, toda to je algebraična enačba tretje stopnje za v in za d s koefi-
cienti , v katerih nastopajo polmer krogle r in vse tri gostote e, b in c. Iz nje bi
težko razbrali še tako grobo zvezo med v in d . Zato bomo nalogo rešil idrugače.
Omenjeno enačbo bomo izpeljali šele na koncu .
Najprej bomo nalogo fizikalno poenostavili. Namesto , da imamo nad spo-
dnjo tekočino plast zgornje tekočine debeline d , si lahko predstavljamo, da je
nad spodnjo tekočino neka namišljena tekočina, ki kroglo povsem prekriva, in
ima tako gostoto p, da ustvarja na kroglo enak vzgon kot dejanska situacija . Če
vzamemo, da obdaja ves sistem namesto zraka kar vakuum, je na začetku p
enak nič. Ko d narašča, gostota fiktivne tekočine tudi narašča (po katerem za-
konu nas ne bo zanimalo, važno je le to, da očitno rastel do vrednosti e, to je
do gostote zgornje tekočine.
Plavanje v dveh tekoč inah (Marija Vencelj)
260
Razen tega bomo za začetek delali kar s prostorninami . To med drugim
pomeni, da bodo dobljene "prostorninske" formule veljavne za vsako v dveh
tekočinah plavajoče telo (pri pogoju a ~ c <b) , ne le za kroglo. Označimo z V
prostornino plavajočega telesa, z X prostornino tistega dela, ki je nad stično
ravnino obeh tekočin, in z Y prostornino dela, ki je pod to ravnino (slika 3).
Imamo
X+Y=V
in po Arhimedovem zakonu
pX+b Y=c V
b
Odtod sledi
Slika 3
Dobljeni rezultat pove več , kot smo morda pričakovali. Ko se veča o, se
veča tudi X . Torej je X naraščajoča funkcija gostote fiktivne tekočine p , ta pa
je, kot vemo, naraščajoča funkcija debeline plasti zgornje tekočine d. Sledi:
X je naraščajoča funkcija debeline d . Za kroglo to pomeni , da je v naraščajoča
funkcija spremenljivke d. Ko torej višina zgornje tekočine narašča, seplavajoče
telo počasi dviga iz spodnje tekočine. Prostornina X dela telesa nad stično
ploskvijo obeh tekočin narašča od
Xo = b-c V
b
do Xl = -'Z_=2._ V
b-a
Če vstavimo podatke za naš primer živega srebra , vode in železne krogle,
to je a = 1, b = 13,6 in c =7,9 (vse seveda pomnoženo z 103 kg/m3 l. dobimo,
da gleda na začetku iz živega srebra O,419 V, ko kroglo voda povsem pokrije,
pa 0,452 V.
Formula X = -b~=.f. V pove še več . Izpeljana je b ila sicer za fiktivno teko-
-p
čino gostote o, a velja vedno, če ima zgornja tekočina gostoto p in povsem pre-
kriva plavajoče te lo, da je le p ~ c <b . Če je p = c , dobimo X = V, kar je edino
smiselno, saj mora zgornja tekočina, če ima gostoto enako gostoti plavajočega
telesa, telo povsem dvigniti iz spodnje tekočine.
Ostane nam še, da poiščemo obljubljeno enačbo med višino v krogelnega
261
odseka nad glad ino spodnje tekočine in višino d plasti zgornje tekočine.
Prostornina krogelnega odseka z višino v je
V(v) = II v2 (3 r - v)
3
Nobene omej itve splošnosti ne predstavlja , če vzamemo, da je polmer krogle
enak 1. Za splošen primer bo treba v rezult at ih samo namesto v in dpisati rv
in rdo Vzeli bomo torej
V(v) =~ v2 (3 - v) = ~ f(v)
kjer je f(v) = v2 (3 - v). Pomagajmo si s sliko 2 in upo rab imo spet Arhimedov
zakon. Dobimo
c . .i 1T =b [ .i 1T - .I!: f( v) ] + a [ .I!: f( v) - II f (v - d) ]
3 3 3 3 3
in od tod
( ) b-cf v = 4 ----- -
b-a
_.E__ f( v - d)
b-a
(1 )
Ker je O ,,;;; a < b , iz te formule , razen za a = O, sled i, da je prostornina tistega
dela krogle, ki gleda iz spodnje tekočine, padajoča linearna funkcija prostorni-
ne tistega dela, k i gleda iz zgornje tekočine. Za a = Oje f(v) = 4 (b - c) lb, torej
konstanta , kar je smise lno , saj to pomeni, da je zgornja tekočina vakuum in se
krogia res ne premakne.
Ko je d = v, je krogia povsem pokrita z zgornjo te koč i no. Denimo, da je
tedaj višina krogelnega odseka, ki gleda iz spodnje tekočine, enaka VI , torej
d = v = V I • Tedaj imamo
(2)
Če je d = O, je v = vo, kje r je Vo višina krogelnega odseka, ki gleda iz težje teko-
čine, preden dodamo lažjo tekočino. Označimo f o = f(vol. upoštevajmo (2)
in vstavimo v (1) . Dobimo
Enačba (1) pre ide v
f(v) = fi
al i, če zap išemo s sorazmerjem
262
(3 )
(4)
Na levi imamo razmerje med prostornino krogelnega odseka, ki gleda iz zgornje
tekočine pri višini d zgornje tekočine, in prostornino odseka, ki gleda iz spo-
dnje tekočine, če ni zgornje tekočine. Lahko bi tudi rekli, da je to razmerje
med prostorninama odsekov, ki gledata iz vse tekočine v danem trenutku (to
je pri danem d) in na začetku (pri d = O). Na desni pa je razmerje med prostor-
ninama plasti, za katero se bo krogia še dvignila iz spodnje tekočine od danega
trenutka dalje, in plasti, za katero se v celem (od d = Odo z zgornjo tekočino
popolnoma prekrite krogle) dvigne iz spodnje tekočine. Formula (4) pove, da
sta opisani razmerji za vsak d med seboj enaki (faktor rr/3, ki nas prevede na
prostornine, je v formuli (4) krajšan}.
Če izrazimo v (3) f(v) in f(v - d) z v in d in enačbo uredimo, dobimo
fi v3 - 3 [ (f 1- fo) d + fi ] v2 +
+ 3(fl - fo) d (2 +d) v + fi f o - (fi - fo) d 2(3 +d) = O (5)
Koeficient fi bi bil enak nič le v primeru, ko bi bila krogla vsa potopljena v
spodnjo tekočino; toda predpostavili smo, da je gostota krogle c manjša od
gostote spodnje tekočine b, in se to ne zgodi. Torej enačbo (5) lahko z fi
krajšamo. Če označimo še
J1 = 1 - fo /fl = alb
preide (5) v
v3 - 3(J1d+ 1) v2 + 3J1d(2 + d) v- J1d2(3 +d) + f o = O (6)
kjer je J1 parameter, po velikosti med O in 1. Zanimivo je, da nastopa gostota c
plavajoče krogle le v f o, torej vpliva le na prosti člen enačbe. Četudi smo
enačbo poenostavili, kolikor je bilo mogoče, ni tako preprosta, da bi iz nje
zlahka razbrali, da se v veča, če d raste od O do VI. Naša prvotna pot je bila
preprostejša. Seveda pa brez enačbe (6) ne gre, če nas ne zanima le kvalitativen
rezultat, mapak tudi kvantitativen, to je dejanska višina v pri dani debelini d.
Za živo srebro, vodo in železno kroglo ima enačba (6) obliko
v3 - 3(0,0735 d + 1)v2 + 0,2205 d(2 + d) v - 0,0735 d 2 (3 + d) + 1,676 = O
Pri danem d jo še najlaže rešimo numerično.
Marija Vencelj
263