i
i
“1605-Lisac-Prozni” — 2010/8/31 — 11:18 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 32 (2004/2005)
Številka 6
Strani 15–17
Ivan Lisac:
PROŽNI TRK UREJA HITROSTI
Ključne besede: fizika, prožni trk, hitrost, masne točke, premo gibanje, gibalna količina, kinetǐcna
energija.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/32/1605-Lisac.pdf
c© 2005 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez po-
prejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
15
Prožni trk 
ureja hitrosti
Vzemimo dve masni točki in ju postavimo na pre-
mico, ki jo opremimo s koordinatnim sistemom. 
Točki naj imata masi m1 in m2 ter začetni koor-
dinati x1 in x2. Pri tem naj bo x1<x2. Nadalje naj 
imata točki začetni hitrosti v1 in v2, usmerjeni 
vzdolž premice. 
FIZIKA
Ker mora biti čas trka t0 pozitiven, mora biti ime-
novalec ulomka v (3) pozitiven. Torej je potrebni in 
zadostni pogoj za nastop trka neenakost v1>v2.
Kolikšni sta hitrosti točk po trku? Predpostavi-
mo, da gre za prožni trk, pri katerem se ohranjata 
skupna gibalna količina in skupna kinetična ener-
gija. Ponovimo fizikalno: gibalna količina telesa 
z maso m in hitrostjo v je produkt mv, njegova 
Slika 1. Možno 
začetno stanje 
Opazujmo, kaj se dogaja. Točki se začneta premi-
kati vzdolž premice in morda tudi trčita. Definiraj-
mo dve funkciji, ki opisujeta koordinati obeh točk. 
Dokler točki ne trčita, se gibljeta premo enako-
merno, zato za i =1,2 in koordinato xi(t ) ob (do-
volj majhnem) času t≥0 velja 
       
  
xi(t )=xi+vit . (1)
Kakšen je pogoj, da točki trčita? Točki trčita na-
tanko tedaj, ko sta po preteku pozitivnega časa t0 
njuni koordinati enaki, torej je 
       
  
x1+v1t0=x2+v2t0. (2)
Da bo enačba (2) rešljiva, morata biti hitrosti v1 
in v2 različni; če sta namreč enaki, sledi iz (2) tudi 
x1=x2, kar pa je v nasprotju s privzetkom x1< x2. 
Rešitev enačbe (2) je čas trka 
       
  
t0=
x2–x1
v1–v2
. (3)
kinetična energija pa je
 
1
2 mv
2. Recimo, da sta hi-
trosti točk po trku v1' in v2'. Potem veljata enačbi za 
ohranitev gibalne količine 
       
  
m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2' (4)
in kinetične energije (pomnožene z 2) 
       
  
m1v1
2+m2v2
2=m1v1'
2+m2v2'
2. (5)
To sta dve enačbi za neznanki v1' in v2' . Rešimo ta 
sistem. Iz (4) izrazimo člen m1v1' in ga vstavimo v 
enačbo (5), pomnoženo z m1. Dobimo 
m1, v1  m2, v2 
x1 x2 
Presek 6-revija-7.indd   15 17.5.2005   11:16:12
Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 3395 CVC PANTONE 312 CVC PANTONE 346 CVC
16
       
  
m1
2v1
2+m1m2v2
2=(G–m2v2')
2+
          +m1m2v2'
2, (6)
kjer smo z G označili skupno gibalno količino 
G=m1v1+m2v2. To je kvadratna enačba za spre-
menljivko v2' , ki se urejena glasi 
       
  
(m2
2+m1m2)v2'
2–2Gm2v2'+G
2–
          –m1
2v1
2–m1m2v2
2=0. (7)
Diskriminanta kvadratne enačbe (7) v spremenljiv-
ki v2' je 
       
  
D=4G2m2
2– 4m2(m1+m2)·
          (G2–m1
2v1
2–m1m2v2
2). (8)
Ko jo uredimo, dobimo 
       
  
D=4G2m2
2– 4m2
2(m1+m2)
          (2m1v1v2+m2v2
2– m1v2
2) (9)
in nato še 
       
  
D=4m1
2m2
2(v1–v2)
2. (10)
Za hitrost v2' dobimo dve rešitvi: 
       
  
v2'=
2Gm2±√
–D
2m2(m1+m2)
. (11)
Ker je v1>v2, je √
–D=2m1m2(v1–v2) in 
lahko gledamo kot na nosilca hitrosti, s katerima 
se gibljeta. Ker je pred trkom v1>v2 in po trku 
v1'<v2' , lahko rečemo, da trk obe hitrosti uredi 
(tako da ima prva točka manjšo hitrost od druge). 
Pri tem merimo hitrosti z realnimi števili, tako da 
negativna števila pomenijo gibanje ’v levo’, pozi-
tivna števila pa gibanje ’v desno’. 
FIZIKA
Slika 2. Več masnih točk z enako maso 
Slika 3. Trk 
dveh točk 
Vzemimo sedaj n točk z enakimi masami. Točke 
postavimo na premico, tako da je x1<x2<···<xn , 
in jim dodelimo začetne hitrosti v1,v2,...,vn. Dokler 
ne pride do trkov, se koordinata i -te točke spremi-
nja po enačbi (1). 
Kaj pa se bo zgodilo s temi točkami ob trkih? Naj-
prej ugotovimo, da lahko trčijo samo sosednje toč-
ke. Zaporedje trkov, ki bo nastalo, lahko opazujemo 
kot zaporedje trkov dveh sosednjih točk. Predočimo 
si dogajanje ob trku dveh točk v koordinatnem si-
stemu, ki ima za abscisno os čas (t ), za ordinatno 
os pa lego (x ). Denimo še, da gre kar za prvi dve 
točki, ki jima pripadata funkciji x1(t ) in x2(t).        
  
v2'=
 m1v1+m2v2±m1(v1–v2)
 m1+m2  
(12)
Če v (12) vzamemo pri znaku ± minus, dobimo 
v2'=v2, to pa je hitrost, ki jo ima točka pred trkom. 
Tudi pred trkom se namreč gibalna količina in ki-
netična energija ohranjata. To že vemo. Stanje po 
trku pa opisuje znak plus: hitrost v2' je 
       
  
v2'=
 2m1v1+(m2–m1)v2
 m1+m2
.
 
(13)
Hitrost v1' dobimo najlažje zaradi simetrije v pro-
blemu (vlogi točk sta zamenljivi) iz (13) z zame-
njavo indeksov (1<—>2): 
       
  
v1'=
(m1–m2)v1+2m2v2
 m1+m2
.
 
(14)
Vzemimo sedaj, da sta masi obeh točk enaki, 
m1=m2. Iz (13) in (14) dobimo v tem primeru 
v2'=v1 in v1'=v2. Kaj to pomeni? Na masni točki 
Slika 3 kaže grafa dveh funkcij 
x1(t)=x1+v1t in x2(t)=x2+v2t. 
Gre za linearni funkciji; vsaka 
je predstavljena z enim poltra-
kom. Pred trkom opisuje lego 
prve točke funkcija x1(t), lego 
druge točke pa funkcija x2(t). 
Vemo, da ob trenutku trka 
točki medsebojno zamenjata 
hitrosti, njuni legi pa sta za 
hip enaki. Po trku opisuje lego 
prve točke funkcija x2(t ), lego 
druge točke pa funkcija x1(t). 
Grafično smo tir prve točke 
narisali pikčasto, tir druge 
točke pa s polno črto. 
v1 v 2 v 3 v 4 v 5
x1 x2 x3 x4 x5
x1 
x2 
(x) 
(t ) 
x1(t )  
x2(t )  
t0 
Presek 6-revija-7.indd   16 17.5.2005   11:16:12
Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 3395 CVC PANTONE 312 CVC PANTONE 346 CVC
17
Premišljali smo za dve točki, narisali dva poltraka 
in dobili dva tira, pri n točkah bi narisali n pol-
trakov in dobili n tirov (slika n tirov bi bila še bolj 
zgoščena, zato jo bomo opustili). Ker dobimo tire 
točk iz n poltrakov in se dva poltraka v ravnini 
kvečjemu enkrat sekata, lahko ugotovimo, da je 
vseh trkov kvečjemu toliko, kot je parov poltrakov, 
teh pa je 
2. V drugem poskusu porinemo levi voziček iz 
prve naloge s hitrostjo v1=3ms
–1 v desno. S ko-
likšno hitrostjo moramo poriniti desni voziček, 
da se bo ob (prožnem) trku ustavil 
 (a) levi voziček, 
 (b) desni voziček?
3. Na vodoravno oporo imamo privezanih n ena-
kih visečih kroglic, ki v začetku mirujejo in se 
po vrsti dotikajo. Skrajno levo kroglico odmak-
nemo v levo in jo spustimo. Razloži, kaj se bo 
zgodilo in zakaj. 
4. Dana je permutacija π števil od 1 do n. Permu-
tacija π je sestava samih sosednjih transpozicij. 
Pri tem je sosednja transpozicija permutacija, 
ki zamenja sosednji števili i in i+1. Dokaži. 
Sestavi permutacijo 
         
  
π= 1 2 3 4 54 1 5 2 3
iz samih sosednjih transpozicij. 
Ivan Lisac
FIZIKA 
Hitrosti toèk z enako maso so po 
koncu trkov narašèajoèe urejene.
Za konec pa nekaj nalog. 
\ Naloge
1. Na tirnicah se nahajata dva (idealna) vozička z 
masama m1=20kg in m2=30kg. Prvega pori-
nemo v desno s hitrostjo v1=2ms
–1, drugega pa 
istočasno v levo s hitrostjo v2=–1ms
–1. Določi 
hitrosti obeh vozičkov po (prožnem) trku. 
1. Uporabimo enakosti (13) in (14). Dobimo 
v1'=–1.6ms–1 in v
2'=1.4ms–1. 
2. (a) V (14) postavimo v1'=0 in rešimo:
          
  
v2=
m2–m1
2m2v1=0.5ms–1. 
 (b) V (13) postavimo v2' = 0 in rešimo: 
          
  
v2=m
1–m2
2m1
v1= –12ms–1.
3. Leva kroglica po spustu pridobi hitrost v1>0. Začetne hitrosti 
ostalih kroglic so enake 0. V trenutku prožnih trkov se hitro-
sti uredijo, kar pomeni, da skrajno desna kroglica dobi hitrost 
v1, vse levo od nje pa ostanejo pri miru. 
4. Za dano permutacijo π postavimo na premico n točk, tako 
da i-ti točki dodelimo hitrost π(i). Trku dveh sosednjih točk 
ustreza sosednja transpozicija, ki predstavlja ustrezno zame-
njavo hitrosti teh točk. Po koncu trkov ima i-ta točka hitrost 
i; to stanje predstavlja identično permutacijo. Res je torej π 
sestava samih sosednjih transpozicij. Še primer (˚ je sestava 
permutacij): 
         
  
π=1 2 3 4 5
4 1 5 2 3=(34)˚(45)˚(23)˚(34)˚(12).
\
 R
e
š
it
v
e
       
  
1+2+···+(n –1)= n(n –1)2 . 
(15)
Trkov je torej samo končno mnogo. Omenimo, da 
je predpostavka enakih mas pomembna, pri izpu-
stitvi tega pogoja pravilo o zamenjavi hitrosti ne 
velja več, števila trkov pa ne moremo več preprosto 
omejiti. 
Sedaj pa lahko (do neke mere) ugotovimo, kaj se 
zgodi s točkami. Po preteku nekega časa, v kate-
rem so opravljeni vsi trki, do trkov več ne prihaja. 
Označimo takratne hitrosti točk z v1',v2' ,... ,vn' po 
vrsti od leve proti desni. Spomnimo se, da je zado-
stni pogoj za nastop trka med dvema sosednjima 
točkama (levo in desno) ta, da je hitrost leve točke 
večja od hitrosti desne točke. Ker do trkov več ne 
prihaja, velja negacija tega pogoja: hitrost vsake 
leve točke je manjša ali enaka hitrosti sosednje 
desne točke, ali formalno: 
       
  
v1'≤v2' ≤···≤vn' . (16)
Povzemimo in upravičimo naslov članka: 
Presek 6-revija-7.indd   17 17.5.2005   11:16:14
Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 3395 CVC PANTONE 312 CVC PANTONE 346 CVC