IPRESEK list za mlade m a tematike , fiz ike , astr onome in računalnikarje 24. le tnik, leto 1996/97, š tevilka 1 , str-ani 1-64 VSEBINA MATEMATIKA FIZIKA ASTRONOMIJA RAČUNALNIŠTV O NOVICE N A LOG E ZANIMIVOSTI RAZVEDRILO TEKMOVANJA NA O V IT K U Z m a tematiko nad pošto (Pri m ož Potočni k) 14-18 Vsot a potenc na ra vnih šte v il (A leksander Tu rn šek) 48-52 Ha lo , čudov i t i naravn i poj av - 1. d el (M atej Rovšek) . . 6- 13 Raketa na vodo in st is njen z rak (Gora n Sabo l i č , Mirko C va hte) 34-38 Še o Mpembovem pojavu (J a nez St rn ad) 42-4 6 Od kritj e rj av ih prit lika vk (M irjam Gal ič ič ) 2-4 O pa z uj em o Ven e ro (Marija n P rose n) 39- 4 1 O črt n i h kodah (B ojan Mohar) 20- 24 Počis timo di sk (M a tija Lo kar) 28-3 1 Znova b l esteč i uspehi naših dij a kov na o lim piadah iz matem at ike in fizike (I z ur ed ništva) 5 Ka ko h it ro hoditi ? (Marija Vence lj) 1 Kol iko kra t bo t reba t ehtati? - na grad na nal oga (M arija Ve ncelj) 5 Al i je vsota kv ad ratov sami h nen i čel n ih šte vil lahko enaka ni č? (Jurij Kovič ) 13 Ra zpi s na t em o 1997 (Marija Ven ce lj) 18- 19 P isani krogi (Mart in J uva n) . oo . oo . oo • ••• oo • • oo . oo . oo . oo 19 . Ne ka j za ni mi vih na log za na jmlaj še bralce (D . M . Mi lo š evi č , prev . B . J a pe lj ) 24-2.5 K nji žni naku p i (Vi lko Domaj n ko) 25 Zapored na št e vila (Mart in Juvan) 27 Tri nal oge iz geometrije (B orut Za lar) 52-5 .'3 Skrit raču n (Ma rij a Venc e lj) oo •• oo . oo . oo . oo • • • • • • •• ••• oo 53 P o d al j ša na La ngford ova zapored ja (Martin J uv a n ) 53 Za p elji vi radi ol ar (Vi lko Domaj n ko) 26- 27 K rižanka "Računal n iš ke po veza ve" (M arko Bokal i č) . . 32-33 11 . d ržavno t ekm ovanje iz zn anja raču nal n i š t va za os no vnošolce (T ihom il Š lenc ) 54- 55 32. t e kmovanj e za Zla to Vegovo prizna nj e (A le ksander Potočn i k ) 56- 57 Držav no tekmova nje iz fizike za Zla t a S t efa no va priznanja 199 5/ 1996 (J e lisava Sakelšek) 57-59 40 . matematičn o te km ova nj e s rednj ešolc ev Sloven ije (M atj až Že lj ko) oo oo' oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo oo . 59-6 1 34 . t ekmovanje iz sred nj ešolske fizi ke (C iril Dominko) 61- 64 Hal o na se ve rn em polu . G lej t ud i č l anek na st rani 6 1 Slike k č l an k u Od kritje rj av ih p ritl ika vk na st rani 2 III Ra keta na vodo in s t is nj en z rak. G lej t ud i st ra n 34 IV INaloge KAKO HITRO HODITI? Zadnje čase so v svetu čedalj e popularnej ša pop otovanj a , ki vključuj ej o tudi veliko peš hoj e. Na ene m takih potovanj bi morali turisti določenega dne priti do rečnega pristani š ča , kjer naj bi se vkrcali na ladjo redne rečne linij e. Ker j e ladja prevažal a tudi večino njihove prt.ljage, so jo morali zanesljivo uj eti . Zjutraj ti stega dne j e skupina s povprečno hitrostjo 3 km/h kr enil a proti reki. Po eni uri hoj e j e turistični vodič ugotovil , da bodo , če bodo nad alj evali s tak šn o hi trostjo , ladjo zamudili za 40 minut. Zato je pospešil tem po in preostal o pot so nad alj evali s povprečno hitros tj o 4 km/h . T ak o so pri šli na cilj 45 minu t pr ezgodaj . Kako hi tro bi morali pot. nad alj eva ti , da bi pri šli v pristanišče hkrati z ladjo? Poskusite nalogo rešiti tudi br ez up or ab e algebre, zgolj zar it rnet ičn im premislekoml Marija Vencelj ~_---:-.--. Astronomija I ODKRITJE RJAVIH PRITLIKAVK Poznamo več vrst zvezd. Naše Sonce j e, na primer , precej povprečna in ne hudo masivna zvezd a , ki preživlja aktivna leta svoj ega življ enja. To po- m eni , da v Sončevi sr edici potekajo reakcij e j edrskega zlivanja, od katerih je najbolj pogosto zlivanje vodikovih a tom ov v atome helija. Obstajajo na primer tudi takšne zvezde , za katere pravimo, da so na kon cu svojega življ enja, saj so že pokuri le svoje zaloge j edrskega goriva. Med temi so najbolj znane bel e pritlikavke in nevtronske zvezde . Po približno dvajsetih letih iskanja pa so astronomi sedaj končno uspeli odkriti posebno vrsto zvezd, ki se imenujejo rjave pritlikavke. Pra- vijo jim objekti, ki so premaj1Jni, da bi bili zvezde, in preveliki , da bi bili planeti. Kaj razlikuje planete od zvezd '? Z besedo zvezde ponavadi mislimo na aktivne zvezde, torej take, ki svetijo , ker v njih potekajo j edrske reak- cije. Tako je, kot smo na začetku že povedali , tudi Sonce. Pri reakcijah sproščena energija se nato širi iz središča navzven , dokler se končno s površine ne izseva kot svetloba. Da jedrske reakcije stečejo, mora biti snov v središču dovolj stisnjena in dovolj vroča. Zato mora imeti na kup zbrana snov - zvezda - dovolj veliko maso. Obj ekti , ki imajo premajhno maso , da bi v njih potekale jedrske reak cije, so na primer planeti našega Osončja. Ti sami ne proizvajajo svetlobe, ampak le odbijajo svetlobo Sonca in jih zato lahko vidimo . Pravzaprav ta trditev ne velja povsem za vse planete Osončja. Mejna masa, ki razlikuje med zvezdo in planetom, j e namreč nekaj tisočink mase Sonca. To pa pomeni, da bi v notranjosti .I upitra utegnile v manjši meri že potekati jedrske reakcij e. Meritve, ki jih pošilja sonda Galileo, kažejo kar nekaj znakov, da jedrske reakcije v .J upi- tru morda v manjši meri res potekajo , vendar bodo potrebne še dodatne potrditve. Toda vrnimo se nazaj k rjavim pritlikavkam. Kakšni so parametri rjave pritlikavke? Njena masa naj bi bila okrog 1/50 Sončeve mase ali približno 4 . 1028 kilogramov , polmer pa okrog 70 tisoč kilometrov, kar j e približno enako polmeru Jupitra ali kakih de- setkrat m anj kot Sončev polmer . Na površini rjave pritlikavke bi nam bilo precej vroče , saj bi t ermomet er, če bi zdržal, nameril tja do 1000 stopinj Celzija. Kako pa vemo, kolikšna j e temperatura na površini rjave pritlikavke? Astronomi so uporabili metodo, kakršne se pogosto poslužujerno tudi v običajnem življ enju: neznano primerjamo z znanim. Najprej seveda vemo, IAetronorni ja da je ta temperatura zagotovo m anj sa od površinske tem perature ak- ti vne zvezde. Natan č nej še vrednost pa so astronomi določil i iz sp ekt ra ene od zna nih rjavih pri tlik avk . V spekt ru so pri infrardečih valovnih dolžin ah opa zili zelo t ip ične metan ove črte, ki jih ta plin seva , če je segret na določeno tem peraturo . Pod obn e črte so opaz ili v sp ekt ru Ju pitrove at- mosfere; zanjo pa vem o, da im a tem perat uro okrog ti soč st opi nj Ce lzij a . Zakaj je od ideje, da rjave pri tlik av ke obstajajo , do njihovega oclkr i- tja minilo toliko časa'? Pr av gotovo j e te zvezde tež ko opaziti. V svoj i notr anj osti nimaj o jedr skih peči , kjer bi se sproščala to likšna energij a, da bi lahk o videli njihovo površino razbeljeno vročo kot pri Son cu. V središču rj ave pri tlik avke se sicer za kratek čas mo rda prižgo jedr ske reakcije, ven- dar hit ro ugasn ej o. V dvaj setih let ih iskanja so odkrili št evilne kandida te za rj ave pri tlikavke, vend ar se je na koncu za večino nj ih izkazalo, da gre za katero od že po znanih zvezd . Kje in kako so jih končno našli '? Kot poroča ameriška ast ron omska revija Sky & Telescape, sta dve od rjavih pritlikavk v znani razsuti kopi ci Plejad e, ki leži v ozvezdj u Bika . (To je skupina zvezd, od kater ih j ih s pros tim očesom v povprečn i noči vidi mo vsaj pet , razporejene so pa pod obn o kot zvezde v Malem vozu. Za to j ih im a m nogo ljudi - seveda zm otno! - za Mali voz. St ar ejše slovensko im e za Plej ad e je Gostosevci.) Tr etjo rjavo pritlikavko pa so opazi li kot obj ekt , ki kroži okrog nekoliko masivnej še zvezde v dvo zvezdj u . Obj ekt, z imenom GJiese 229 leži na meji med ozvezdjema Velikega psa in Zaj ca (slika 1 na liI. strani ovit ka) . Ocenj ujejo , daje rjavih pri tlik avk veliko. Za to sodijo med ta ko imeno- vane kan didate za napolnj evanje v reče manjkaj oče mase v naši Galaksiji. Gibanja zvezd v Galaksij i namreč kažejo, da mora biti v njej več mase, kot je tiste, ki jo lahko vidimo. K vidni masi pri sp evaj o zvezde, ki svet ijo, in pr ah te r plini, ki jih te zvezde osvetlj ujejo, in jih za to vidimo. Ker je te mase prem alo, iščejo astronomi različne ob like skrit e mase. Ena od možnosti so objekt i, ki so zelo temni in jih zato doslej še nism o opazili . Morda so med njimi tudi rjave pritlikavke. Rj ave pr it.likav ke so lahko sam e, a li pa so del dvojnic, kar pom eni , da krožijo okrog m asivnej še zvezde. Ast ronom i so jih iskali v okolici bližnj ih zvezd in na področjih , kjer se roj evajo zvezde. Čeprav so v osemdese- tih let ih našli ogrom no kandidatov, pa dokončna po trditev nikoli ni bila prepri člj iva . Za običaj ne zvezde, ki dovolj močno svetij o, lahko izmerimo sp ektre in nji hov celotni izsev ter tako določimo njihovo starost , ki j e po- membn a lastnost pri razvrščanj u . Kot smo že om enili , vir svetenja ( če se že poj avi) v rj avih pr itlikavk ah zelo hi tr o t udi ugasn e. Torej ta možnost A st ronomija I od pade. Za to j e ned vomna id enti fikac ija pon avadi vpra šlj iva. Ker niso dobro vedeli, kak šn e so nj ihove površ inske tem perat ure in koliko naj bi rj ave prit. likav ke seva le p ri posameznih va lov ni h dolžinah , se na podlagi izm erj enih rezulta tov niso m ogl i pr eprosto od ločiti za a li pr ot i. Za to so potreb ovali nov kr it.erij , ki bo pomagal razločeva ti rj ave pritlikavko od drug ih m alo m asi vn ih zvezd . Eden zelo dobrih kri terijev j e č im bolj natančno d oločen a masa. Ce bi našli t.em en obj ekt , ki bi im el m aso m anj šo od kakih osem odsto t kov Son č eve m ase, po tem bi bi li že pr ecej gotov i, d a gre za rjavo prit.likavko. Venda r pa je m erj enj e m as ena naj te žjih reči v astrono m iji. Pravzaprav lahko to dovolj u atau čno naredimo le, če j e zvezd a sestavni del dv ojnega (a li večkratn ega) sist.erria . Tedaj namre č lažja zvezda kroži okrog težje , pod obno kot. Zemlj a kr oži okrog So nca . To gibanj e j e na podl agi dolgo- let nih opazova nj pl an et.ov p ravilno opisa l že Kepl er (I\epJerj evi zako ni), matemati čno-fizikalno pa ga j e pojasnil in za p isal Newton. Da pa m eritve za res lahko opravim o , m or amo zvezdi razločit.i preko njunega gibanj a , kar pomeni , da ne smet a biti predaleč , pre več skupaj a li prešibki, Ena od treh doslej iden t.ificir anih rjavih pri tlikavk , omenj eni obj ekt C liese 229, j e del d vozvezdj a . Da gre za rj avo pritl ikavko, so se op rede- lili p rav na pod lagi nj ene mase. Na observa to riju Palomar so s posebno metodo , s katero nekol iko zast.rejo ble š č avo svetl ejše zvezd e, posn el i t ud i sliko , na ka teri j e , ob težji zvezd i, sprem lj eva lka j asn o vid na (slika 2 na III. st.ra ni ov it ka) . Merj enj e zvezd nih mas je to rej težko opravilo , poleg t.ega pa niso vse rjave p ri tl ikav ke del dv ojnih sistemov . Na srečo so ast ro nomi nedav no našl i še eno m eto do , s pomo čj o ka tere se d a s pr ecej šnj o gotovostjo t r- d iti , da gre za rj avo pr itli kav ko. Izm erili so spekter rjave prit likav ke na področj u valovn ih dolži n , ki ust rezaj o rdeči barvi. O pazi li so črto , ki je v spekt.ri h ostalih , bolj vročih zvezd , ni videti. G re za čr to , ki j o nar ed ij o a to m i lahkega elem enta li t. ija . P ri bo lj vroči h zvezdah se j e n amreč za- radi m nogo višje temperatur e li tij z j ed rs kim i reak cij am i pr etvoril v d ruge elem ente in ga za to ni . Lit.ijevo čr to so našl i v spekt ru sv etlobe z zvez de PPL 15 , ki j e ena od rj av ih p rit likav k v Pl ej aclah . Astro no m i, ki se uk va rj aj o z iskanj em rjavih pri t.l ikavk , so prepri čani , d a so jih zdaj zar es od kr ili. Dokončne pot rd itv e pa si ob etajo od Hubble- vega vesoljskega teleskopa . Naslednj e let o bod o namreč posla li nanj no vo se rv isno misij o , ki bo namestil a nekaj novih , natan čnih inš t ru m entov , s katerimi bomo tudi rjave pritlikavke videl i ost rej e kot kd ajkoli d oslej. Mi rjam Galičič INo vice - Nalog e ZNOVA BLESTEČIUSPEHI NAŠIH DIJAKOV NA OLIMPIADAH IZ MATEMATIKE IN FIZIKE Slovenski dij aki so se na olimpiadah iz matem atike in fizike letos spe t im eni t no odreza li . Na 27 . mednarodni fizikalni olimpi adi , ki je poteka la v Oslu na Norveškem , j e Kl em en Žagar (Gimnazij a Šentvid , Ljublj ana) osvoj il sr e- brno med a ljo, Mih a Vuk br on asto m edaljo, Anž e Slosar in Pet er J egli č (vsi trij e so dijaki Ginmazij e Bežigrad v Ljubljani) pa sta do bi la pohvali. S 37. m ednarodne matematične olimpiad e v Bombayu v Indiji pa j e na ša ekipa prinesla dv e bronasti medalji. Osv oji la sta ju Igor Klep s Srednj ešolskega centra Ptuj in Matjaž Konvalinka z Gimnazij e Bežigr ad . ČESTITMI'1 0 ! Računalniška olimpiad a j e bila letos šele v avgust u in do zaključka ur ejanja te številke Preseka nisrno dob ili z nje še nobenih novic. Več o vseh treh olim piadah v eni od prihodnjih št evilk Preseka. Iz uredništ va KOLIKOKRAT BO TREBA TEHTATI? - nagradna naloga Tri skodelice so po lne sami h dr obnih krogli c. Vemo, da so v eni od skode lic samo krog lice po en gram , v drugi samo take po dva grama in v tretj i samo trigramske kroglice. Ne vem o pa, v kateri od posod so katere od krogl ic, in tega na oko t udi ni moč ugotov it i. Na voljo j e elekt ronska tehtnica , ki pok aže natančno težo tehtane kol ičine . Z naj manj koliko tehtanji lahko ugo to vimo, kj e so ka tere od kroglic'? Kak o'? Odgovore pošljite najkasneje d o 15. oktobra na Uredništvo Preseka, J adranska 19, 1001 Ljubljana, p .p. 2964. Pripišite tudi šolo in razr ed, ki ju o b is k uje te. Ma rija Ven celj Fizika I HALO, ČUDOVITINARAVNI POJAV - 1. del Optični poj avi nas nem al okrat. pr esen etij o s svo jo lep ot.o in obliko . Med njimi im aj o posebn o m est.o ti sti , ki nas tan ej o v zem eljskem oz račj u - v at.mosfer i: m avrica, venec okoli so nca ali lune, iri zacij a , glor ija, zelena čr ta, polarni sij in pojavi hala. Ljudj e so jih opazova li že od nekdaj . S svoj im prvinskim znanj em so si njih ov nastanek posku šali tudi raz lo žit.i , vendar j e njihova razlaga č es to ob t .i čal a v slepi ulici . Povezovali so jih z naravnimi nesrečami in iz njih napovedovali vojne te r bo lezni. Z napred ovanj em ved , kot. sta fizika in z nj o m et eor ologija , smo dobili dovolj znanja in pripomočkov , da jih lahko zadovoljivo razložim o. V te m pri sp evku bomo pod robneje spo znali poj ave hala . Ti niso tako poznani kot. npr. m avrica , vendar so v svoj i popolni pojavnosti vsaj t ak o zanirnivi in privl ačni . Vidimo jih v obliki barvnih krogov , lokov in peg okoli so nca ali lune, če svet ita skoz i tanke cirusne obla ke . Fotogr afij a na naslovnici kaže nekatere so časno nas tal e po jave hala. Manjši krog okoli z lopar čkorn zast.rtega so nca se im enuj e m ali a li 22- stop injski halo . Na levi in desni strani nj egovega obo da vidimo dv e sve- tlejši pegi , im en ovani soso nc i, V dru žino m ale ga hala spadajo še zgornji tangen cialni lok in Parryjev lok , ki ju najdem o na tem enu m alega ha l a , te r Lowitzovi loki , ki se nah ajaj o v okolici sosonc, vendar na naši sliki niso izrazit.i. Večji krog okoli sonca se im enuje veliki a li 4G-s to pinjski luil o in j e vid en skupaj s svoj imi t. rem i t. an gen cialnimi loki . Žal poj ave hala v tako vel ičastn i pod obi le redko opazimo. Pogosteje vidimo le enega a li sočasno dva. Dv a hkrati j e posn ela tudi avt.ori ca fotogr afij e na naslovni ci 3. št.evilke Preseka v lanskem let. u. Kak o nastan ejo poj avi hal a? Celovit.o odgovorit i na to vprašanj e j e za Presek prezah tevna naloga. Poglejmo razloge za njihov nastan ek le v grobem . Cirus ni oblak i , predvsem ciros t. rat usi, so sestavlj eni iz mikroskop sko majhnih ledenih kr i st.al čkov , ki imajo obliko šes t. rane pri zm e in so v p ro- storu poljubno orien t. irani . Med počasnim pad anjem se obračajo , vrtijo in nihajo . Halo nastan e zar adi loma in od boj a sončne svet.lobe na takih kri- stalč k i h. Pri naključni smeri njihove glav ne osi ža rki kri st. al čke preb ad aj o pod različnimi koti skozi različne plosk ve pri zm e. Fizika 7 C I I CJ < C Za nad aljne razumevanje ponovim o dve pomembni lastnosti sve- tl obe. Prva je lom svetlobe . Sve t loba pri pr ehodu iz ene v drugo prozo rno snov spremeni sm er - pravimo, da se lomi (slika 1) . I I Slika 1. Ža rek s ve tlobe se lomi na m ej i dveh razli čnih prozorn ih s no vi. K ot o j e vp adni ko t , {3 lom ni kot , c hi t ros t s vet lobe v prvi , CI hi t rost sv et lobe v d rug i s no vi. Lom nastan e, ker potuje sve tlo ba v različnih pr ozornih snoveh z razl i čnimi hitrostmi. Velja lomni zakon, ki pr avi : vpadni , lomlj eni žarek in pravokot nica na mejno ploskev v vp adni točk i leže v isti ravnini . Hitrost svet lobe v zraku je večja kot v vodi, ledu ali st eklu . Za to pr avim o, da so te snov i optično gostejše od zraka . Približno meri lo za to gos to to j e lomni kvocient sno vi (ozn ačen z n ). V katero sme r in - za kolikš en kot se bo žarek lom il ob pr ehodu iz ene snovi v drugo, j e odvisno od razmerj a lomnih kvocientov obeh snovi . Velja: S1l1 o' sin 13 n J n Lomni kvocient za zrak je približno 1, za vod o 1,33 in za led 1,31. Druga las tnost svet lobe izh aj a iz nj ene valovne nar ave. Belo sve- tl ob o, kakršn o sevajo son ce in neka tera umetn a svetil a , sest avlja več barv : rdeča , rumena , oranžna, zelena, m od ra in vij ol ična. Vsaka teh barv se nekoliko drugače lomi. Najmanj j e od prv otne sm eri odklonjena rdeča , najbolj vij olična barva (slika 2) . Posledi ca tega je, da se cure k bele sve t lobe pri prehodu iz ene prozorne snov i v drugo razkloni. Poj av im enuj emo disp erzija. Is S lika 2 . Vi 1\ 10 Ze Ru Or Rti 1 1 1 11111111111 1 111111111 1111111111 111111111111 111111111111 Fizika I Sončn i ža rek se pr i pr eho d u skozi ledeno pr izm a dv ak ra t lom i. Prv ič iz zraka v led , ko v pri zm a vstopa , in dru gi č iz ledu v zrak, ko pri zma zapušča (slika :3 ) . P ri tem se žar ek odkloni od svoj e prvotn e sme ri za kot D . \ I Y 1\ / \ I I A \ ~\ I \ I \ I \ / \ S lika 3 . O d klo n s vet.lobnega ža r ka za rad i lom a s koz i led eni k ris t al. Z A j e označen ko t m ed dvema nesosednj im a s t ransk im a p los kvama led ene priz m e in j e enak 60° . Ker pada svetl ob a pod različnimi vpadnimi koti na različno orieut i- rane kristal e, bi pričakovali , da se po lomu od kloni na vse st ran i. Vendar to ne more biti res . Ce bi se žarki od klanj ali v vse smeri, bi bi la son čna svet loba po lomu na kr istal ih razpršena po celotnem nebu ! Tor ej se kr ogi in lok i zgoščcne svetlob e ne bi poj av ili . Odgovor na to navidezno pro ti- IFizika slovj e daj e pom em bn a lastn ost pr ehod a svet lobnega ža rka skozi pri zm o. Izkaže se, da obstaja neki mejni vpadni kot 0'0 , pri katerem je odklon žarka najmanjši . Ta odklon im enuj emo m inimalni odklon Do . Z odm ikanjem kot a o' od aa n arašča odklonski kot D , kot kaže slika 4. 60 , -/ 40 \ /./ 30 ~ V10 -- - - - -- -- -I ""- --- I'2'0 f- I I I I I II I 10 I ---l I ~lX I I I D (kot.at. .) Do O 10 20 30 <40\ 60 60 70 80 90 a o 0« kot.. at. .) S lika 4 . G ra f, ki kaž e od vis nos t od klona D od vpadncga kot a (> za ledni kristal z lomni m kvoci entom 1,3 1. Z gra fa razberemo, da se ža rki iz soraz merno velikega razpon a vpa- elnih kotov D. O' odkla njajo v približno ist.o sm er D.D. Zat.o je gostot.a svetl obn ega toka svetl ob e, od klcnjene bli zu Do , pr ecej večj a kot v drugih sme reh; svetl obna energija je veliko bo lj skoncent rira na v sme reh rnini- maln ega od klona kot v ost.alih smereh. Iz pogoj ev za minimum: dD = O da dobimo razširj en lomni zakon : III ([2D - / ? > 0 ( 0' - . Do + A . A SIII n = nj Slll - , 2 2 pri tem je n lomni kvocient. zra ka, ki j e pri bližno 1, in nj lomni kvocient ledu. Iz enačbe vidimo, daje minimalni odklon od visen le od medsebojuega kot a ob eh ploskev in lomnega kvocient.a . Izračunamo lahko, da j e za opisa ni prehod skozi pri zm o približno enak 22°. Pripravljeni sm o, da posebej pogledamo nekatere poj ave hala . Fizika I Mali ali 22-stopilljski halo Č:e so cirusni obla ki ena komerno porazdeljeni po nebu , j e mali halo viden v obliki z aključenega kroga okoli sonca ali lu ne, kot ga vidimo na na- slovnici . K nj egovemu nastanku pr ispe va tista svet loba , ki pr eb ada prizmo tak o , da so žarki vzp oredni nj eni osnovni ploskvi . Glavna os kri stalov j e v naklj učni legi, vendar pravokotn a na sm er žarkov (slika 5) . o o Slika 5. Nastanek mal ega ali 22-s to p injs kega hal a . Mes to opazovalca, kj er se zb ere lornl j ena s vet loba, j e označen z O . Svetloba se pri takem pr ehodu lomi v različn e sme ri, vendar se, kot smo videli, večj i del svet lobe odkloni v sm eri bli zu kot a minimaln ega od- klon a , ki j e pribli žno enak 22° . Večina lomljen ih ža rkov, ki j ih zaz na opazoval č evo oko, to rej prihaj a iz smeri, ki oklepajo s sm erj o proti soncu kot 22° . Zato j e v teh smereh navid ezna slika sonca naj svet.Iej ša . Ker t.e smeri sovpadajo s tvorilkami st.ožca, ki im a vrh v opazova lčevem očesu in 'os v sme ri proti so nc u, vidimo navidezno slik o so nca v obliki kroga . Za- radi razklona svetl ob e j e notranj i rob hala rdeč - rdeča svetlob a se namreč najm anj lomi , pr oti v ij aličnemu zunanj emu robu sled ijo rumen a , zelena in m odra barva. Notranji ro b j e oster, ker j e 22° kot rninirnaln ega odklona in se tor ej v notranj ost 22-stopinjskega kr oga ne lomi noben ža rek. To j e IFizil;;a tudi razlog , da je notranj ost. kroga te m nej ša kot zunanjost. Zunanj i rob j e delno razpršen in ga ne m orem o nat.ančno dolo čiti . S osouci O b v zhajajočem ali zahajajoč ern sonc u pogos to opazimo , da se na levi in desni stra ni malega hal a poj avita dve sve tlobni pegi. Pod obno kot m ali halo , se t udi sosonci začneta z ost.rim rob om rdeče svet lobe - pri kotu m inimalnega odklona - in kon čata z blago vij olično barvo pri ve čjih odklo- nih . Poj av nastopi , če vseb uj e obla k zadostno šte vilo led en ih krist alov , ki leb dij o tako , da j e njihova osnovna ploskev vodorav na, oziroma je nji hova glav na os v navpični legi. Do pret.ežno take orient.acij e kris t.al čkov pride , ker j e hitrost njihovega pa danja relativno m ajhna (p ravi lno , da lebdij o) in se za radi vp liva okoliškega vrt i nčas t.ega zraka postavijo v vodoravni položaj. Večj i del kris tal čkov j e tako orienti ran z osnovno plosk vijo vo- doravno, manj j e t akih , ki so orie nt irani v ostale smeri in pr isp evaj o k nast.anku ostalega dela 22-stop injskega hal a. Ko je sonce nat anko na ho- rizon tu , se sosonci po javita na obodu 22-st.opinjs ekga hal a . Nastanet.a na enak način , kot. na tem mestu nastali lok m alega hal a. Žarki se lomij o v bližini poti minimaln ega odklon a v ravnini , vzp oredni osnovni plosk vi. Lahko rečemo , da sta sosonci v te m primeru del 22-stopinjskega hal a . Z naraščanj em viš ine sonca nad hori zont.om opazimo, da se soso nci oddalj u- j et a od m alega hal a . Kot. m inimaln ega odklon a žarkov skozi vod or avno l ežeče kris talčke ni več 22° , pač pa narašča z višino sonca nad horizon- tom. Vzrok za nast. an ek soso nc so sedaj poševni ža rki, ki ležijo pod nekim kot.om li glede na vodor avno ležečo osno vno ploskev prizrne (slik a 6) in se lomij o po poti b lizu minimaln ega odklona . Tisti br alci , ki nosi te očala z nega tivno dioptrijo , lahko to sa mi pr eizku site. Očala rahlo nagnet.e , da leči očal nist.a več vzpored ni z očesn imi l ečami , in ugot.ovili boste, da se vam j e ost r ina slike oddaljenih predmetov nekoliko sprem enila. Slika 6. Nastanek soso nc - h j e višina son ca nad horizon t om . Fizika I Novo vrednost min imaln ega od klona izračunamo po enačb i: . . V n 2 - sin 2 It . A Do = 2(are S lll • Slll -;-) , V I -sin2 1t 2 kjer j e 'j'2- s in2il novi lomni kvocien t in j e odv isen od kota It , tor ej l -sin2 il od višin e sonca nad hori zontom. Sicer im a en ačba pod obno obliko kot pr ejšnj a . Sosonci se poj avita v t renutku, ko sonce vzhaj a , to rej, ko je It = O, ter zbled ita skupaj z m alim halom pri višini sonca It = 60°45' . Pri tem kotu pride do totalnega odboj a ža rka v notranj ost i kris tal čka , zato se ža rek v nj em v celoti absorbira . Kot , ki ga soso nci medtem "prepot ujeta" , j e približno 2 1o . To ustreza n aj večj i oddaljenosti sosonc od m alega hala . Lowitzovi loki Loki , ki se im enu jej o po astro- nomu Tobi asu Lowitzu , se poja- vijo redkeje kot m ali halo in so- sonci. Nas tanejo na pod ob en na- čin kot sosonci , le da na nj ihov na- st anek vpliva to , da m ed počasnim pad anj em vod or avno l ežeči kri sta- li nihaj o okoli ene izm ed svoj ih vo- do rav nih osi. Notranj i rob je rdeč , vendar loki niso tako bar vno izra- zit i kot soso nce . Poznamo št iri vr- ste Lowi tzovih lokov : spo dnj i (na sliki 7 označen z 1), zgornji (7III) , poševni (7lIII) in vodo ra vni (7lIV) . Z izj em o poševnega loka ležijo tako , da povezuj ejo sosonce in m ali halo . Največkrat se po javi le en, redkej e pa sočasno dva ali trij e. Vidimo jih lahko pr i višjih legah sonca , ko je nje gova višina približno 25°. Izgin ejo skupaj s soso nci in m alim halorn pri višin i sonca 60045' . azimut- -- S lika 7. Š ti r i vrste Lowi t zovih lok ov . Zgornj i lok je pri bli žn o z rcalna p odoba spod njega Lowit zovega lok a . Fizika - Naloge R' Slika 8. Orient iranost kri stala v poziciji minimalnega odklona, ko s mer sončnega žarka o kle pa s smerj o nih ajne osi RR' ko t 60° + Do/2 . Vzro ki za nas tan ek vseh štirih lokov so si na las pod obni . Ra zli- kuj ejo se samo v orientiranosti ni- haj ne osi , glede na vpadni žar ek. Tudi tu je pom embno, da se žarki lomij o v bližini minimaln ega od- klon a . Na sliki 8 je narisan prehod žarka skozi kri st al , ki niha okoli osi RR' in povzroči nastan ek spo- dnj ega Lowi t.zovega loka . Za lažje ra zumevanje nastan - ka lokov si mislimo, da so sestav- ljeni iz velikega št.evil a majhnih svet lobnih peg. Vsako izm ed peg, gledano v dan em tr enutku, povzročij o ža rki, ki se lom ijo skozi kris t.ale enake ori ent.iranost.i nih ajne osi in z enako fazo nihanj a. V naslednj em tr e- nu tku ist i kri stali pov z ročij o pego nekoliko više ali niže. Pego na pr ejšnj em mestu zdaj povzročij o kr istali z isto or ientiranostjo in drugo fazo nih anj a . Vsaka izm ed peg nasta ne na enak način kot sosonce. Vse pege, ki nas t.a- nejo skozi kri stale is te orient iranost i nih ajne osi, nas tan ejo vzdolž nekega loka - enega od Lowit.zovih lokov. V tem članku smo spoz na li osnove nastank a hala ter opisa li tr i nje- gove poj avn e oblike. V naslednji številki pa bom o pr edstavili posku s, v katerem bod o pojavi hal a prikazani s pomočjo demonstracijskega modela v lab orator iju. Mat ej Rovšek ALI JE VSOTA KVADRATOV SAMIH NENIČEL­ NIH ŠTEVIL LAHKO ENAKA NIČ? Kvadrat realnega šte vila , različnega od O, je pozitivno število. Vsota kvadratov neničelnih realnih števil torej ne more bit.i nič. V množici kom pleksnih števil paje vsota kvadratov dveh neničelnih števil lahko enaka O, npr . 12 + i 2 = 1 + (-1) = O. Poskusite izraziti Okot. vso t.o kvadratov tr eh neničelnih kompleks- nih števil! JlI7'U ]{ovič 111aicnuitika I Z MATEMATIKO NAD POŠTO Andraž , Barbara in Cene so prij a telji , ki živijo vsak na svo j em kon cu ze- melj ske ob le: Andraž v Am eriki , Barbar a v Belgiji in Cene na Cej lonu . Prej šnj e poletj e so preživeli skupa j pri nas , na zelenem ko š čku Ev rope. Večkrat so hodili na izlete, v gost ilne in po nakupih , ker pa so vsi bolj razt resene sort e, j e vsakokra t vsa j ede n pozabil den ar dom a , tako da sta mII m or ala druga d va dena r posoj a ti . Vse dolgove so si pridn o beležili , a por avnati so jih vselej pozabili . T ako j e minilo poletj e in odš li so vsak na svoj kon ec sve ta, dolgovi pa so osta li nepoplačani . Ker pa se vsi trij e st.ri- nj aj o s s tarim pr egovorom Č is t i računi - dol go pr ijatelj st vo , so se odločili , da svo je finančne zad eve le ur edij o , in sicer s pomočj o nakazil pr ek pošte. A glej ga zlornka , pošta nikj er na svet u ne dela zastonj , za vsako nakazilo z aračuna delež nak azan ega zneska . To j e Andraža , Barbar o in Ce ne t.a tako mo t.ilo , da so se odloč i li svoj e posle ur editi tako , da bo pošta dobila čim m anj . Vsak od njih j e razm išljal t akole: Meni j e povsem vseeno , koliko de- narj a mi pošljeta druga dv a , oz iroma jima ga pošlj em j az. Želirn le, da bom na koncu dobil , oziroma dal res toliko den arj a , kot bi ga dal, če bi po rav nal z vsakim od drugih d veh svoj pravi dolg . Če bi na pr im er An - draž dolgoval Barbari tisoč tolarj ev , Barbara Cenetu enako vsoto in Ce ne Andražu sp et tolik o , bi bili vsi zado volj ni tudi s tem , da nihče nik omur ne bi ničesar vračal , pa še pošt a pri tem ne bi nič zaslužila. Žal pa njihova si- tu acij a ni bil a t ako pr epr osta. V resni ci j e An dr až dolgoval Barbari 9000 to la rjev, Cene Andražu 300 0 to la rjev in Barbar a Cenetu 500 0 to la rjev. Kako naj ur edij o svoj e posle, da bo zas luže k pošte naj manj ši? Skupaj m ora Andraž plačat i 6000 to la rjev, Barbara mora dobiti 4000 tolarj ev in Cene 2000 tolarj ev. Barbara, ki j e imela kot hči Go renjke in Škota n aj več sm isla za fin ančna vprašanja, j e pr edl agal a : "And raž naj pošlj e meni namesto 9000 tolarj ev le 4000 to la rj ev , zato pa naj plača Cenetu 2000 tolarj ev , namesto da bi j ih od njega do bil 3000 . Pri t em bo poš t a od n a s d o b il a le d el ež o d 6000 t o larj ev , n amesto d a bi j i plačali delež od 17000 tolarj ev. " Cene j e Barbarin emu obču tku neskončno zaupal in ni se mu zdelo vredno tuhtat.i, ali lahko pošti od šč ipnejo še kak šen tolar . Andraž pa j e bil po naravi bolj skept ičen in j e iskal še druge možnosti . Po nekaj neprespanih nočeh j e obupal in se od loč i l poiskati pomoč . Spomnil se j e, da j e pr ejšnje poletj e govoril z nekim mladim br alcem P reseka, ki j e tak šn e in podobne pr obl em e reševal kot za šalo. Sed el j e za računalnik IMat ematika in mlademu zna ncu pr ek elekt ronske pošte poj asnil svoje težave te r ga prosil , naj najde rešitev , ki j e boljša od Barbarine, ali pa naj dokaže, da bolj še ni . Ni minil teden , ko ga je čakalo pisem ce: Dragi Andraž! Le kdaj si boš zapomnil , da ima Barbara vedno prav . Tul e ti pošiljam dokaz pravilnosti njenega nasveta in hkrati še recept , kako ravnati v drugih podobnih primerih . Im ejmo tri osebe A , B in C, ki si med sabo dolguj ejo določene vsot e denarj a. Ker j e vsem tr em osebam vseeno, s kom si denar izm enjajo, j e v resnici pomembno vedeti le, kolikšen je seštevek dolgov in terjatev posameznih oseb , kjer so terjatve predstavljene s pozitivnimi šte vili , dol- govi pa z negativnimi . Te seštevke označimo z V(A) , V(B) in V(C) . Ce j e katera od teh koli čin negativna, tedaj ustrezna oseba dolguje drugim a dvema več , kot pa ima do njiju terjatev. V tvoj em primeru je torej V(A) = - 6000 , V(B) = 4000 , V(C) = 2000 . Ker so si oseb e posojale denar le med seb oj , mora biti vsota dolgov in terjatev m ed njimi enaka nič. Zapisano s simboli : V(A) + V(B) + V(C) = O. (1) Ta enačba nam pove, da je možno le dvoje: i) Ena od količin V (A), V(B) in V(C), denimo V(A), j e nenegativna in drugi dv e nep ozit ivni; ii) Ena od količin, den imo V (A), je nepozitivna in drugi dve nenegativni . Recept: Osebe A , B in C bodo dal e pošti najmanjši zas lužek , če bo oseba A plačala osebi B znesek V (B) in osebi C znesek \1(C). Pri tem naj to , da da nekdo nekomu negativen znesek, pomeni , da od njega dobi absolutno vrednost tega zneska . Očitno se bodo po teh nakazi lih na računih oseb B in C res pojavili zneski \I(B) in V(C), na računu osebe A pa bo pisalo - V (B) - \1 (C) , kar pa je zaradi enakosti (1) enako V (A) . To pa oseba A tudi pričakuje . Dokažimo, da so to za naš problem res optimalna nakazila. Denimo, da je oseba A nakazala osebi B znesek V (B) + x namest o V (B), kjer j e x poljubno neni č elno realno št evi lo. Tedaj je morala nakazati osebi 111aienuiiika I C znesek li (C ) - x, če naj bi skupaj nakazal a znese k - V (A) . Da bod o račun i čis t i, m or a še oseba B nakazat i osebi C znese k x . Ker sta števili V(B) in V( C) po pr edpostavki enako predznačen i, velja: IV(B) + V (C)I = IV(B)I + IV(C)I · Sedaj lahko oce nimo vso to vseh nakazil : IV(B)I + IV(C)I = IV( B) + V (C) I = I(V(B) + x) + (V (C) - x)1:s :s IV(B) + xl+ IV(C) - xl < IV(B) + ;z:I+ IV(C) - xl+ lxi · V oceni smo up or abili trikotni ško neenakost, ki pravi , da za po ljubni števili a in b velja l(l + bl :s l(ll + Ibl . Zgornj a oce na, prevedena v slovenščino , pove, da je vsot a vseh naka- zil, ki smo jih izvedli po recep tu , res manjša od vsot e nakazil pri kater ikoli drugačni dopustni por avn av i. S tem smo dokazali , da j e Bar bar a svetovala pr av. Pismo m la dega pr esekovca je Andraža pomirilo. Čez nekaj dni pa j e Andraž dobil nov o pošt o. Sp et mu je pisal nj egov prij atelj , ki j e nadaljeval t am, kjer je v pr ejšnj em pismu končal. T akole j e posplošil nalogo: Denimo, da si den arj a ne bi po soj ali le trij e ljudj e am pak več . Ozna- čimo število teh ljudi z n. Vsakemu paru oseb, recimo i-t i in j - t i osebi , prir edimo dv e števili (l i j in (lji . Č;e i- ta oseba dolguj e j- ti , j e š tevilo (lij enako temu dolgu, število (lj i pa negativ ni vrednost i tega dolga . Za p oljubni števili i in j velj a torej enačba (lij = -(lj i . Ker i-ta oseb a sama sebi nič ne dolguj e, je smiseln o določit i (l ii = O. Vsaki osebi pripada st anj e nj enih dolgov in terj atev - od vso te terjatev odš tejemo vsoto dolgov - in to stanj e označimo z Vi, Očitno velja ti vi = L(lj i. j = 1 Oseb e razd elimo na d ve skupin i: na t iste z nenegativn im stanj em (t e imajo vsaj tolik o te rjatev kot dolgov) in na tiste z negativnim stanjem (te so zadolžene bolj kot pa imaj o terjatev) . Ker velja n nn n rl n LVi=LL(lj i=L L ((l j i+ (li j)+L(lii=O+O=O , (2) i= 1 i = 1 j = 1 i = 1 j =i+ l i = 1 IM aiemaiika sta obe skupini nepraz ni, če le niso vsa stanja \ti enaka ni č . V slednjem primeru pač nih če nikomur n ičesar ne nakaže in zaslužek pošte j e ničelen . Če pa niso vsi \1; enaki ni č , lahko privzamem o, da smo osebe označil i tako, da stanj a VI, V2 , V3 , .. . rastejo. Pri t.em naj bo prvih kI - 1 st.anj negativnih , st anj a od Vk J dalj e pa naj bod o nenegativna . Recept za optimalno por avnavo dol gov se glasi: Prva oseba naj po vrs ti por avnava te rjat ve oseb 1.1 , kI + 1, ... , dokl er ne po rabi celotnega zneska - VI . Denimo, da se ji to zgodi pri osebi 1.2. Tedaj j e prvič res L7~k l \ti 2: WIl . Ko se to zgodi, nas topi oseba 2. S svoji m dolgom poplača razliko do poln e terj a tve osebe 1.2 in nato prične por avnavatiterj a tv e oseb 1.2 + 1,1.2 + 2, . . .. Postopek nad aljuj ejo , dokl er niso vsi dol govi poplačan i . Zar adi formule (2) se vse lepo izide in na koncu dobi ali plača vsak toliko, kot mu gr e. Pri opisanem postopku je vsot a vseh nakazil enaka L7~~ 1 1\ti I in pre- prosto se lahko prepričamo , da pod ta znesek ne mo remo, saj m or a vsak , ki dolguj e (ki im a \ti < O) svoj dolg, hočeš nočeš , nekomu nakazati . Temu se ni moč izogni t i. Zato je m inimalna vso ta nakazil res enaka vsoti vseh dolgov , ki j e po drugi strani enaka vsoti vseh te rjate v. Za kon ec še prime r: Imejmo št iri osebe A , B, C in D. Oseba A dolguj e 3000 tolarj ev osebi B in 2000 tolarj ev oseb i C . Oseba B dolguj e 2000 to la rje v osebi D , oseba C pa 1000 tolarjev oseb i B. Hkrati oseba D dolguj e 4000 tol arj ev osebi A in 5000 tolarj ev osebi C . Te pod atke lahko nazorno pr edstavimo z m atriko , kj er na prese či š ču i-te vrs t.ice in j-tega sto lpca stoj i š tevilo (t i j , izraženo v enotah po tisoč to larj ev: 3 O 1 -2 2 - 1 O 5 -4)2 5 . - , O Če sešteje m o stolpce v matriki, dobimo stanja posameznih oseb . Urejena po velikost i so enaka : VD = - 7 , VA = - 1 , Ve = 6 . Mai cniatika - N aloge I Najprej nak azuj e oseba D (z najvecjim dol gom) oseb i B . Ker j e nj en dolg vetj i od te rja tv e osebe B , ji nakaže po ln znesek 2000 tolarj ev . Osebi D osta ne še 5000 tolarjev do lga in tega v celo t i nakaže osebi C. Vendar oseba C še Ili v celo t i popla č ana , oseba D pa j e že por avnala ves svoj d olg. Za to priskoči na pomoč ose ba A in na kaže oseb i C pr eostanek dolg a , tor ej 1000 tola rj ev . S te m so poravnan e vse terjatve in poplačani vsi dolg ovi . Optimalno rešitev lahko spet pr edstavimo z ma t.riko , v kateri namesto dolgov zap išemo na kazil a ose b pri op t. im a lni poravn avi: o 1 O O O O 2 5 ~2) h . - .J O Ta m atrika im a s pr ejšnj o t.o skupno last.nost, da ima enake vsote vrstic in sto lpcev, j e pa vsot a a bsolu t. ni h vred nost i nj enih elem ento v pr ecej manjša kot. pri prvi. To pa odloča o d aj a t va h pošti. Prim ož Potočnik RAZPIS NA TEMO 1997 V februarsk i in marčevski šte vilki leto šnjega letnika nem ške matemati čn e revij e Alpha najdem o zan im ivo pr cdst.avit.ev t.eko č e letnice 199G. Cela števila od O do 120 so , z izjem o nekaterih (G5 , G7 , G8, 79, 8:3 , 85, 107 , 110,111 ,112 , li G, 117 in 11 8) , izr ažen a s števili 1, 9, g, G na način , ki ga prikazujejo nasl ednj i primeri : 5 =Vl + 9 + 9 + G 27 = I · 9 . (9 - G) 3 1) = - 19 + 9 . () G:3 = I . 9 + 9 . 6 97 = IH+ 9G 115=19 +% 119 = -I+(-9 :9+G)! Naloge Ob bliž ajočem se letu 1997 obj avlj a Presek naslednji RAZPIS: Vabim o vas , da na podoben način izra zite števila od O do 128 s števili 1,9,9, 7, ki jih v t.ern vrstn em redu in tako, da nastopa vsako natanko enkr a t, po vezujejo clernentame ope rac ije . Št evila lahko uporabimo tudi kot števke pri sestavljanju novih števil. Dopolniti je torej treba naslednji sezna m : 0=1+V9+V9 -7 128= (1 + 9 : 9)' Razpis velja za v se bralce Preseka d o konca šolskega leta oz.iroma d o popolnitve seznruna. Števila , ki jih boste znali ustrezno zapisati , in njihove zapise po šljite na Ured ništ vo P reseka, J adran ska 19, 1001 Ljubljan a , p.p . 2964. Ne po- zabi te pripisa ti svojega im en a in pri imka ter od kod ste doma . Učenc i in dijaki pa pripi šite še šo lo in razred. Zap ise in im en a njihov ih av torjev bomo sproti obj avlj a li v naši re- viji, in sicer po n ačelu : Kd or pr ej pr ide, prej melj e. Isti zapis b orno priznal i tistemu , katerega pošto bomo prej pr ejeli! Dva različna zapisa is- tega štev ila, ki bost a pri spela za is to šte vilko Preseka , bosta obravnava na enakovred no . V vsaki številki bomo tudi obj avili seznam tistih šte vil, ki bodo do zaključka priprave posamezn e številke P reseka še brez ustreznega zapisa in bodo s tem os t ala v konkurenci. Le izjemoma bomo objavili tudi kas neje kakšen posebno duhovit zapis števil a , ki j e že bil o v kak šni prejšnji štev ilki drugače predstavlj eno . Marija Ve7lcelj PISANI KROGI V programskem j eziku logo sestavi uk az krogi : n : r , ki bo nari sal ': n koncentri čnih kr ogov , pri čemer j e polmer najmanjšega kr oga enak :r, vsak naslednj i krog pa ima polmer večji za : r . Polmer največj ega kr oga j e tor ej : r . : n . Ukaz naj doblj ene kro žne kolobarj e pobarva z naključnimi barvami . A1arl i11 JIIva71 Računalništvo I o ČRTNIH KODAH Mar sik ateri bralec Preseka se j e go to vo že vprašal , kaj pomenij o čr te na- slednjih oblik 5 000347 009242 ki jih vidimo na večini izdelkov na policah trgovin. Takim č rtam pravimo črtna koda , ker j e z njirni zakodiran določen pod atek o izd elku. V moder- nej ših trgovinah opazim o , da prod aj alka pri blag ajni s posebno naprav o "osvetli" čr t ~ o kod o . Na ta način blagajna , ki j e nekakšen računalnik , ugotovi , za kateri izdelek gr e in kakšna j e nj egova cena . V nad alj evanju bomo opisa li , na kakšen n ač in j e v taki č r tn i kodi za pisa na informacija o izd elku . Črtne kode so prv ič množi čno uporabili pr i ameri ških železnicah. Let a 1967 so na železniške vagone namestili 1:3-mestno čr tno kod o. Z nj en o pomočjo in z up or abo posebnih optičn i h čitalcev ob najprorn etnej ših pr o- gah so lahko sledili , kj e potuj ejo in kje se nah ajajo posamezni vagoni . Da je takšno avtomatično sledenj e prometa smiseln o, nam pove že podatek, da danes po ameri ških tirih potuj e okrog 1.800 .000 vagonov . V trgovine pa so črtn e kod e prišle okrog leta 1973 - najprej v ZDA , kasneje pa tudi drugod po svetu . Črtna koda j e sestavljena iz za po redj a (navpičnih ) čr t in vmesnih presledkov. Črte in pr esledki so različnih širin in tako j ih lahko razumem o kot različne šte vke ali črke , odvisno od dogovora. Recimo , da t ak šno kodo preb eremo s svetlobnim peresom . Žar ek peresa pornaknemo preko č r tne kod e, pero preko odbitega ža rka razbere vzor ec ožjih in širših črt. ter vmesnih presledkov in ga pošlj e procesorju , ki ta vzor ec sprem eni v zaporedj e števk. Pri tem je pomembno, da svetlobno pero pomaknemo preko čr tne kode kar se ela enakome rn o hitro , saj bi na primer krajša upočasnitev za prejeti signal v per esu pomenila isto , kot da j e trenutno osv etljen a črt.a ali pr esled ek malo širš i, kot j e v resnici . Zaradi m o žnosti napak e pri branju čr tne kode so danes na volj o vse boljše in bolj še , a tudi IRačunalništvo dražj e, priprave za br anj e. Na primer pri las erski pripravi s po rru cnnn žarkom laserski žar ek večkrat (tudi po st okrat v eni sekund i) prečeše čr t no kod o in tako lahko s pri m erj avo rezul t a t.ov dosežemo večj o natančnost in m anj šo m ožnost nap ake. Drugi n ačin , ki tu di zm anjšuj e možn ost nap ake pri branju , paje skrit v sami kodi . Pravimo, da je koda ses tav ljena tako, da je možno za znati napake pri br anj u , ki se najpogostej e ponavljajo.! Zgr adbo čr tne kod e si bom o ogledali na pri meru , ki j e najbolj raz- širjen . To j e koda EA N 13 (E uro pea n Article Number) , ki ji v ZDA iz razumljivih razlogov pravijo upe (Universal P roduct C od e) . Ta koda se up or ablj a za živil a , revij e in drug o potrošno blago. Sestavlj ena j e iz trinaj stih števk 8 1 , 82 , .. . , 8 13, kjer j e s, E {O , 1, .. . , 9}, i = 1, 2, .. . , 13. Števki 8 1 in 82 navadn o določata državo (a li skupino držav) , kjer j e bil izdelek napravlj en. Št evke 83, . .. , 8 7 dol očaj o proizvaj a lca. Kod e pr oizva- jalcev določi državn a agencija, ki skr bi za stand a rdizacijo kod . Kod e za 88, . . . , 8 12 določi pr oizvaj alec sam in jih le posreduj e agenciji za kod e. Z njimi opiše, za ka teri izdelek gre. Zadnj a št evka 8 1 :~ pa skrbi za zaznavanje nap ak . Izbran a je tako, da je število (1) deljivo z 10. Kot j e razvi dno iz zgledov č r tn i h kod , prva št evka nima čr tnega ekvivalenta . Tako trinaj st.a šte vka pr avz aprav služi identifik aciji prve. Kot zgled si oglej mo črtno kod o, ki jo najdem o na škatli z Alp skim ml ekom Ljublj anskih ml ekarn 3 838800 000756 1 Tudi to lahko opazimo v t rgo vin i, kj er m ora p ro dajalka včasih tudi dvakra t ali t r ikrat prebra ti isto kod o . Ro. čunalni šivo I Takoj opazim o, cia j e koda Slovenije :38. Bralca vabim , cia pogleda v domači hl adilnik ali na polico s hrano in ugotovi , kak šna je koda Republike Hrv aške. Da razočaranje ne bo preveliko, se spomnirno, da so bile kod e dr žavam dodeljene že mn ogo pred obstoje m naš e države ter da j e možno ločevanje držav tudi pr eko izbire kod proizvajalcev , ki se za slovenske začnejo s števko 3, za hrvaške pa drugače. Najpogost ejša napaka pri branj u črtne kod e je, ko pride do napake pri branju natanko ene izm ed števk . Koda EAN 13 odkrije takšne napake, v kar se bo bralec zla hka prepričal. Druga najpogostejša napaka pri branju je , d a se dve sosednji šte vki, recimo Si in Si+l , zamenjata. Recimo , da je prava kod a S I , .. . , 05 13, pr ebrana pa 05 '1' . . . , 05 '13' Naj bosta S in s' ustrezni kontrolni vsoti, določeni z (1). Tedaj je: kadar j e i lih . Če pa je i sod , j e S - s' = 2 s i - 28i+1 . To pomeni, da koda odkrije takšno zame njavo natanko ted aj, ko j e IS i - Si+1 1 #- 5. Ob staja še mnogo drugih načinov zapisovanja in dekodiranj a č rt. n ih kod . Pri prehrambenih in drugih drobnih izdelkih je precej razširjena tudi krajša oblika kode EAN , ki ima le osem števk. Na hit ro si oglejmo še standard kod e IS13N (Internat.ional Standard Dook N urnber) , ki ga najdemo na vseh novejših knjigah . Ta koda je sestavljena iz des etih šte vk in jo določi založnik knjige. Prva št.evka ustreza j eziku , v katerem je knjiga napisana. Naslednjih nekaj št evk določa založnika, sledi pa št evilka knjige pri tem založniku. Kode velikih zalo žnikov so krajše , cia jim ostane več mest za številko knjige. Zadnja št.evka kode ISDN j e zop et namenjena zaznavanju napak. Izbrana je tako , da je število SI + 2052 + 3053 + ...+ 1 0 05 10 deljivo z Il. Pri tem se lahko zgodi , da mora biti 810 = 10 . V numeričncm zapisu pod črtno kodo je ta mo žno st označena z 'X'. Bral ec se bo hitro lahko prepričal, da je koda ISDN sestavljena tako , da opazi vsako napako na enem sam em m estu in vsako napako , ki j e posledica zamenj ave dveh sosed nj ih števk . Rnčunalnišino Za kon ec pa si og lej mo še, kak o iz črt in vm esn ih pr csledkov d o lo č i mo , za ka tero zapor edj e šte vk gre. Og leda li si bom o le kodi ra nj e p ri BA N 1:3- Za dolo či tev z ačetka , kon ca in sred ine č rt. ne kod e im amo t.ri par e (nekoliko d aljših) nav pičn ih č rt., ki služij o Je kontrol i pr i br a nj u . Širi na presledka m ed črtama v vsak em od teh par ov d oloča osnovno širino h kod e. Isto širino li im at a tudi obe črti . Vmesn i p ros tor j e razdelj en na ustrezno šte vilo intervalov širi ne Tli, vsa k tak in te rval pa na 7 pasov širi ne li . Če j e t ak pas bel , to pomeni bit O, črn pas pa ustreza bit.u I. Vsaka štc vka im a 7-bi tno kodo , ki j e od visna od tega , na ka te rem m estu se nahaj a. Štev ke iz prve polovice so kod iran e t ako , kot ka žeta p rvi in drugi stolpec v tabeli 1, Štev ka Lev i d el - koda A Levi dcl - kod a B Desna polovica O 000 1101 0100111 111 0010 1 00 11001 0110011 1100110 2 00 10011 0011011 1101100 3 01 11101 0 100001 1000010 4 0100011 OOII [O1 101 11 00 5 0110001 0111001 1001 11 0 6 0101111 0000101 1010000 7 0111011 0010001 1000100 8 0110111 0001001 1001000 9 000 1011 00 101 11 1110 100 Tabe la 1. Bit no kodiranj e št e vk v kod i EAN 1:3. števke iz d ru ge polov ice čr t. ne kode pa tako, ko t. prikaz uj e tretji stolp ec t abele. Za šte vke iz prve polovice ni na tanko do ločeno , kd aj up ora bimo kod o A in kd aj kodo B . Pod roben pregled črt n e kode alpskega m leka , ka tere za četni del j e močno pove č an na sliki 1, pokaže , d a čr tn a koda ustreza za porcdj u b itav : 101 0110111OIiii O1000 IOO 1000 IOO 1OIOO III 000110I OIO1O "-v-''-v-''-v-''-v-''-v-''-v-''-v-''-v--' A 8 3 8 8 o O B 1110010111 001011 100101 000100100111 01010000 101 '-v-''-v-''-v-' '-v-''-v-''-v-'"-v-' o o o 7 5 6 C P ri tem zaporedj a bi tov A , B in C ust.rczaj o levemu robu , sred ini in de- sne m u robu. Ra čunolni šiuo - Na loge I hhh T111 o11 O111\0 1111 O1:0OO1 OOl i 8 i 3 : 8 : 101 S lika 1. Povečava začet ka č rt ne kod e. Ker iz sedmih bitov lahko sest avimo ka r 128 raz l i čnih kod , v EAN 1:3 pa je porablj eni h le deset. izm cd nj ih , nam takšno kodira nje omogoča doda tn o preverj anj e nap ak . Bralce sam la hko ra zmisli, ali koda EAN 1:3 omogoča, da č i t al n ik čr t ne kode ugotovi , ali bere z leve proti dcsni ali z dcsn e prot. i levi. Bojan Mohar NEKAJ ZANIMIVIH NALOG ZA NAJMLAJŠE BRALCE B ankovci Maj a je imela pri sebi samo ba nkovce v vred nos ti 200 in 500 to la rj ev. Sedmino den arj a j e po trošila za kru h in ml eko, kar j e plačal a z dvem a bankovcema. Polovico os talega denarja j e dala za darilo , nam enj eno pr i- j a telji ci za rojs tni dan . To j e plačala s t remi ban kovci. Kolik o denarja j e im ela Maja na začetku? I Naloge K roglice v škatli V škatli j e 10 modrih, 12 belih in 15 rdečih frnikol. Najmanj koliko kroglic moramo izvleči , da bi zaneslj ivo izvl ekli vsaj dv e frnikoli : a ) raz ličnih barv, b) enakih barv , c) modre barve '? Mojstrova domislica Otroci so n a podstrešju našli staro navodi lo za izd elavo igr e. Za igro bi potrebovali veliko št evilo lesenih kock , na katere naj bi nalepili št evi lke in črke . Niso pa imeli dovolj kock . Izdelovalcu igračk so prinesli vse kocke, ka r so j ih mogli najti, in ga vprašali, če lahko podvoji skupno površino vseh kock . Po kratkem prerni šljanju je mojster pritrdil. Kakšna je bila mojstrova domislica ? Peščena ura in rokometna tekma Dij aki sedmega in osmega razreda so se dogovorili, da odigraj o m ed seboj rokometno tekmo (2 krat 20 minut). Za merj enje časa so im eli na razpolago samo dv e peščeni ur i. V prvi napravi je stekel ves pesek iz ene polovice v drugo v 12 minutah , v drugi pa v 16 minutah. Za m eri Ica časa so določili Jureta, prij atelja s šole, nadarjenega matematika. Kako je .J ure meril čas? Dragoljub M . Miloševi č - prev. in prir. Barbara Japelj KNJIŽNI NAKUPI Na popoldanskem sprehodu skozi mesto so Žiga, Zlatko in njuni hčeri Vlasta ter Urša zavili tudi v antikvariat in si nakupili knjig. Pri tem je vsak plačal za vsako svojo knjigo natanko dvestokrat to liko to larj ev, kolikor knjig j e kupil, vsaka družina (oče in hči) pa je po rabila za nakup knj ig 13000 to larjev. Znano je tudi, da je Žiga kupil eno knjigo več kakor Vlasta in ela Urša ni kupila več kakor ene knjige . Kako je ime Uršinemu očetu? Vi lko Douuijnko Zanimivosti - Razvedrilo I ZAPELJIVI R ADIOLAR Radiolarj i (Rsulioieri«) so maj hni enocel i čni morsk i organizmi , ki j ih lahko opazujemo samo pod rn ikrosko po m . Med m a tem a tik i so še poseb ej znan i po tem , da oblik e ogr od ij neka ter ih med njimi skorajda neverj etn o spo- minjajo na sim etrijsko bogata geometrijska telesa , Neka j v tem sm islu mord a naj zanimi vejših rad iolarj ev vidi mo na sliki l. Slika 1. (1) Ci rco po rus sex furc us , (2) C. oc tahedrus , Aul ouia hex a gon a , (3) C ircogon ia icosahed ra, (4) C irco s pa t his nov en a , (5) C irco r rhegma d od ecah ed ra. Ogrodje prvega radi olarj a j e v osno vi še najbolj pod obno krogli , ven- dar pa šes t. nj egovih izrast.kov d oloča oglišča okt.aed ra. Ok t.aede r br ez težav pr ep oznamo tudi v og rodj u dru gega radiolarj a . Tr etji radi olar j e s svoj im i dvajsetimi pravilnimi t.rikot.nimi celicami na površj u pod ob en iko- zaedru . Pet i ima celice v obliki pr avi lnih pet.kotnikov , s čimer spominj a na zgra d bo dodekaedra . Če t rt i radiolar pa j e pod ob en petstranernu del- t. aedru . To telo sp ad a med polpr avilne poli edre in ga dobimo, če zlepimo med seboj dv e petstrani euakorobni piramidi. Zanimivosti - Razvedrilo - N aloge 27 Na slik i 2 je radi olar A ulotiui uextigon«. Na pr vi pogled se zdi, da so vse celice na njegovem po- vršju šest.ko t ne oblike, nenazadnje k tem u napelj lije že njegovo im e. Toda nekol iko po zorn ejši op azova- lec bo zago t.ovo opaz il na površju t udi drugačne celice. V zvezi s tem radi ola rjcm ob- staj a za nim iva zgod ba. Pravi , da se je neki m ladi biolog nekoč v druž- bi hvalil , da je naše! A uloui o liexe- gano, ki j e bil a pokri ta s sa m im i šes tkotnim i celicam i. Neverj et no, Slika 2. Auloui a hex agon a . do takra t j e namreč ni še nihče odkr il! Seveda je s tem požel abso lut no pozornost pr isotnih , še poseb ej ženski del družbe je bil takorekoč povs em ob sapo. .. Le neki matem atik v tej družbi se nikak or ni mo gel pridružiti vse- splošnem u vzhi č enju . ln najbrž ga je tudi pogled na zamaknj eno prij ate- ljico ob sebi tako razkačil, da je naposled povsem izgubil potrpljenj e in za z ačetek po vprašal biologa : "Ali so se pri tem tv oj em ra cliolarju st ikali t udi pov sod samo po trij e robo vi celic tako kot v prim eru A ulou ie liexegone! " Bio log se ni d al zm esti in j e sa mo prizanesljivo pritrd il: "P h, seveda." Te- daj j e matem atik za rj ul, ves iz sebe: "Lažeš, prav nizkot.no la žeš, kolega moj! Nikdar nisi vid el t ak šnega radi olarj a , t i že ne. Ta namreč sploh ne more obs taj ati . ln to se celo zelo preprosto vidi." Zatem je še govoril o Eulerj evi poliederski formu li , a kaj ko ga ni hotel nihče več niti posluš ati , kaj šele da bi ga poskušal razumeti. Na kak način j e matematik poskušal dokazati laž ptenepet eg« bio- loga ? Vilko Doniajnko ZAPOR ED N A ŠTEVILA Nekatera nar avn a šte vila lahko zapišem o kot vsoto nekaj zap or ednih naravnih št.evil. Tako lahko vsako liho od 1 večj e naravno število n zapišemo kot vsoto dveh zaporednih naravnih šte vil: n = "2"1 +~' Ugotovi , kat era naravna št evila lahko zapišemo kot vsoto dveh ali več zaporednih naravnih šte vil. Mari in Ju van Računaln ištvo I POČISTIMO DISK Čeprav im ajo naši računaln i k i vse večj e in večj e diske, pa j e vendarle res , da nam slej ko prej prične na nj ih primanjkovati pr ostor a. Oglejmo si, kako se lahko hitro in enostavno znebimo nekaterih od večnih datotek . Pri tem bomo seveda zelo previdni , da ne bi po mo tom a pobrisali kak šn e napačne datoteke. ~ 18' Pomagali si bomo s pr ogr a mom File Manage r 'llI.!OE!ie'W , ki ga najdem o v pr ogr amski skupini Main. Ko ga poženem o, zag ledamo okno , podobno tistemu na sliki 1. Izberem o enoto , ki bi j o radi poči s tili , recim o disk C. Kliknem o na ikono , ta ko da ta eno ta dobi okv i rček, v glav nem oknu pa zag ledamo seznam da totek na izbr an i enoti. Postavi ti se mor amo še na koren - vrhnj e pod ročj e te eno te . To storimo tako, da z miško kliknemo na vrhnj o rum eno mapico, ob kateri piše C: \ . Če zgo rnje mape ne vidimo , si pom agamo z dr snikom , ki je ob seznamu področij , in sezn am pr em aknem o, tako da j e vidna gornj a mapa. S lika 1. Okno prog rama Fil e Manager . Računalništvo Izberemo ukaz File in v njem Search (slika 2) . Odpre se pogovorn o okno , kamor moramo vpisati pod atke o datotekah, ki j ih iščemo (slika 3). Qpen Move . ~opy . Q.elete . Rename... Pro perties... Hun... As s ociate ... Crl;ate Directory... AIt+Enter Slika '2. Uka z Search v izlJiri File. Search ~earch For: 1=1II=============~11 OK J Start [ rom: Ic :\ I 1 Cancel 1 [8J S~arch All Subdire clorie s I !!eIP I Slika 3. Iskanj e datotek . Poiskali bomo t. iste datoteke, ki se jih lahko brez škode znebimo . To so vse datot eke, ki im aj o podalj ške BAK , TMP , $$$ in j ih je na dis ku običaj no kar nekaj . Žal bom o morali vsako skupino datotek pois kati posebej . Ker nas je File Manager že postavil v polje, kam or moramo vpisati opis iskanih datotek , le na ti pkamo *.BAK . Preverimo še, ali v polju Start From res Ha čunaln i ši oo I prse c : \ in ali j e v polju pr ed Search All Subd i r e c t o r i e s kr ižec. Kl i- knemo na OK in čez nekaj časa nam progra m v posebno okno izp iše seznam vseh da totek , ki ustrezaj o podan ernu pogoju (slika 4) . Dr žimo pr iti snj eno t ipko Shift in kliknem o na zad njo datotek o v seznam u. S te m obarvamo (označimo) vse da toteke v iskal nem oknu. - file fdi1 ~e seznam Izberemo moramo datoteke, podaljlek TMP, S običajno kar nek bomo skupino poisk ati Ker nas Man ager natipk.am enoto C) čez nekaj B le J1islc Iree ~ew Ios] c, (SYSTEMI a · ,ab c.\ W1nword\ selup\ lev5.bak D c \ winword\ templale\levli bak Dc"\ winwOId\ lemplate\ lev7.bak D c:\V\lInWOld\l~mpI~e\levB bak D c:\winWOld\templale\ lev9.bak D c\wlnword\ lemplal:e \pfapux .bak D c \.i sobM • :8fil ZAPISA JORDANIJE NAMIKJ OB~~~K V POZiRAl- NIKU POVEZAVA RAČUNAl. S TEL LINIJO ~ RAZTRGANO ~ Pt:~~~k' KOKOSJI PRlTOKR~ SAMEC f----- f----- ZMOGLJIV OBSTOJ KOMUNIKAC. VOO DVOJICA ZAHTEVNE PR1l.0Z- ATLANTSKI RE2ISERf----- INSTRUM. NOSTNO VOJASKI "MORANE" LEON SKLADBE ZA DELO PAKT VERBiČ EPP VAJO (ANG.) EVKA ~ NAMlZNA :DNA IGRA,MLIN SKA BENEDIKT. SAMOSTAN NABAVAR· SKEM VEČiNSKO FRANC. MATEMATIK BANTU ~LJUDSTVO IVAN ALBAN. PR> OSNOVNA SUPEK STAN1SČE SOLA f----- f----- - HRV. KRAJ PUBLIKA, SLOZNOSTOBDONAVI OBČiNSTVO IGRALKA MOREAU voz:;:cz PERZIJKA SABAC VLAKOM -- 1 ZIDOVSKA OBLIKANEMSČINE r PLAHA GOZDNA ZIVAl -, LOJZE DRVARSKO I V~~~~~~ ~PESNICA PAPIRJA MUSER SL PEVKA I (BRANKA) PLESALKA POKlON POSODAZA PAVl OVA ODPADKE SL IGRAlEC FUASKI I (MARKO) DETEKTIV GRADBENO I (JAMES) PODJETJE SOI.MZLOG I I I I ROGR. DARITVENA STNA MIZAV lA VA CERKVI Fizika I RAKETA NA VODO IN STISNJEN ZRAK Rakete poganjajo m otorji , v ke ieriu izgorevajo eks plozij ske snovi . Pri tem nastajaj o plini, ki z veliko hi trostj o iztekajo iz rakete, in j o potiskajo. Rekete, ki j o sestnvimo sa mi, up orablja za pogon stisnjen zrak in vodo. Ob izstreli tv! smo presene čeni, saj raket a leti zelo visoko, do 40 m . Taka t ukete j e ve bljiv« igrača , saj jo lahko po nekaj m inut.sli ponovno izstrelimo, pogonsko gorivo pa j e zastonj . Seveda bi želeli izm eri ti , kako visoko raketa zares le ti , hkrati pa nas zanima, če bi lahko z zna nj em , ki smo si ga pridobili v šoli, približno na povedali, kako visoko bo letela. Naj pr ej si oglejmo sestavo t.ake rak et e, Njen tr up je enainpollitrska plasten ka (I3ibit.a, St il,... ). Osta le sestav ne dele lahk o kupimo ! ali pa si j ih sposodimo pri u čitelj u fizike na šoli , saj mnogo šol to didaktično igrača že ima. Rak eto pripravimo ta ko, kot kaže slika 1. r - - - - - - - - - - - - - I : 2~ iI I I I I I ! ~3 i I 4 , I I I I I I L J Slika 1. Sestavn i de li rakete : 1 sm erua kr ilca , 2 zamašek z od p rtino, 3 gu mijasto te sn ilo , 4 venti l, 5 plast ična ce v. Na d esn i so d eli 2 , 3 in 4 povečani . Najprej v plastenko na lij erno prib ližno čet r t litra vode in nanjo pri - vijerno zamašek z odprtino (2) , v katerem j e gurnjasto tesnilo (:3) . V odprtino vtaknerno ventil (4) s cevjo (5) . Skozi cev z navadno kolesarsko tlači iko tlači mo zrak. Ko je v plastenki dovolj velik tlak, ta izrine venti l iz tesnila, vod a začne izte kat i in raketa se prične dvigati. 1 Pooblaščeni distributer: ATRAKTOR, Tržaš ka 2, Ljubljana, t el. 061-1251259 Fizika Dobro j e , če raket.i neko liko preoblikujemo spred nj i dcl. Od d ruge pl astenke odrežemo zgo rn j i del in ga z lepilnim trakom pr ilepimo na vrh rake te ter privij cmo še zamašek ali p okrov od ra zpršilke (slika na zad nj i stra ni ovitka) . S te m zma njšamo koeficient. upora , raketa pa j e tud i bolj od porna pri padcih na t. la . P ri m erj enj ih dodamo še m er ilnik t.la ka . (~e želi mo izračunati , ka ko viso ko bo rak eta let ela , m oramo najprej ugo toviti hi tros t , ki j o doseže m ed pospeševanjem , na to pa i zračun a ti še dv ižno višino. Pospeševanje rakete Rak eta se p osp eš uj e tak o do lgo, dokler iz nj e ne izte č eta vsa voda in zrak. Upo časnen i video posnetek j e pokazal , da voda izteče v pribli žno 0,1 se kunde, ra.kct.a pa se pri te m dvign e le za slab m eter. Zr ak nato i z te č e šc v kraj šem času in raket.a ima na višini p ribl ižno 1 meter že največj o hitrost vo. Pred izs trelitvij o sta v raketi voda in zra k pri povišanern tl aku . Ko n ad t.lak izrin e ven ti l iz rakete , iz nje najprej iz te č e voda , na t.o pa še ne kaj zraka. Zr ak se pri t em ad ia bat. no ra zp enj a , zato se m u tem peratu ra zn iža. No tranja energ ija zraka se zma njša, zato pa se pove č ajo ki n eti čna ene rg ij a vode , zr ak a in rak ete . Pri n ašem posk usu sta bi la pred izstrelitvij o v rak eti z m aso m,. = = (0 ,108± 0,00 1) kg in prostornino ,~. = ( 1,5 10 ±0,00 1) I zra k s t.em pe- ratu ro T I = ( 15 ± 1)0(; in tlakorn p j = (:3,55± 0,01) bara te r voda z m aso m v = (0 ,2GO ± 0,00 1) kg (s lika 2a) . 1<0 j e nadtlak izrinil vent il iz rak ete , j e najprej izt ekl a voda , zrak p a se j e ad iabatno raz pe l (sl ika 2b) . Tlak za trenutek , ko j e iz t ekl a vsa vod a , i zraču namo z en ačbo za acli a bat.no spremem bo ]JIVIk = ]J ~ V~k, pr i čemer j e k = c/'I cv . Za zrak j e k = 1,40 . Iz zgo rnj e e n a č be dobimo tl ak ]J2 = 2)7G bara . Za ad ia bat. uo sp remem bo velj a tu di p linska en ačba ~ ~ 1 I I "1 I 1 ' . t. k til n kT, = T 2 • Z one I cnac n c o .nrno cm pe rnt uro , na ra .e ro se o 1 ac Izra' l -k 12 = TI (;;;-) --.- ; v našem p rim eru j e T2 = 2G8 K . I zračun amo še končno te m pera t. uro zraka , ko se zrak v rak eti z 2 ,7G bara ra zpne na končni t la k 1 bar (s lika 2c). Končn a te mperatu ra j e T3 = Td~ )'-;;k = 20 1 K . Zr ak se j e tako o hla d il za (87 ± :3) 1\. Spremembo notranj e ene rg ij e i zračunamo iz enačbe .6.W" = 1H z ' Cv z ' (T3 - Tr) = - (:340 ± 20).J. M as o zraka v rak et i 1Hz s mo i zračnnali iz pl in ske enačbe ]JI VI = Inz RT! 1NIz , spec i fična toplota zraka p a j e Cv z = 720 .JIkgK . P red izs treli tvijo : Fizika I Pote m , ko iz teče sa mo vo d a : P otem, ko i zteče tudi d el z ra ka: m, ~ 5.4 g tv; tvo mr = to8 g ml . m'z = 2,6 g m-e- 250 g voda 0\, = 2.8 g +Vv3 Vr = (1,51 +. 0,01 ) dm P od a tk i za zrak v p las te nk i: [JI = 3 ,55 bar VI Vr - V v TI 288 K (a) ]J2 = 2,76 bar 1 ,26 dm' V2 = Vr = 1 ,51 dm3 T2 = 268 K (b) [J3 1 ,00 b ar T3 = 201 K (c) S lika 2. Tri fa ze p ospeševanja raket e : na s liki 2a rak eta še miruje , s lika 2b prikazuje t rc - nu t ck , ko j e iz raket e iztek la rav no vsa voda , slika 2e p a prika zujc konce posp eševanja, ko j e iz pl astenke iz t ck el že d cl zr ak a . Indek s r se n an a ša na ra ket o , v na vod o in z na z ra k. Vs e izmerj en e vr cdnosti so zapisane v p ovd arjen cm t isku , i zračunane pa v navadncm . Naš sistem so raketa in voda ter zrak v nJeJ . Hitrost. rakete po po- sp eševanj u izračunamo iz energ ijskega zakona ~Wn + ~W/; + ~Wp = = A + Q . Izkaže se, da lahko pri nad aljnem računu za nem arimo ~~Vl) ' Upočasnj en i vid eop osn et ek let a rakete j e po kazal, da se raket a posp ešuje le do višin e približno 1m in tako sprememba potencialn e energije sis- tem a ne predstavlj a ni ti 1% spremem be notranj e energije. Podrobn ejši račun pokaže, da lahko zan em arimo tu d i del o sile upora zraka med po- speševanj em , Sprememba j e adiabatna, ker pot eka t ako hitro, da je Q ~ O J do ber približek . Tako dobimo, da je ~W/; = -~Wn = = (340 ± 20) J . Fizika :37 1 Raket a , zrak in voda pridobijo m ed pospeševanjem toliko kineti čne ene rg ije, kot j e zmanjšanj e notranj e energij e zraka 2 " 2 2m r . Vo m z· Vz mv . Vv -.6. ~V 2 + 2 + 2 - k· (1) Tudi sunka si le teže in up or a zraka sta za nemarlj ivo m ajhn a in se za to ohranja gibalna količina (slika 2c) l1l.r . Vo = 111~ . Vz = 111" . V". (2) V enačbah (1) in (2) so neznane vse t r i hitrosti . Če jih hočemo i zračunati , potrebuj em o še eno en ač bo . To dobim o za pr ehod iz stanja 1 v stanj e 2 (slika 2) . Zop et zapišemo ena č b i za ohran ite v kineti č n e energije in gibalne količine : S lika 3. M erj enje začetne hi tros ti z bali - s t ič n im nihalom . (mr + m z) . V' ; m li , v~ A V' 2 + - 2- = ul f k' (Ilir + l l1z) . V~ = l l1 v . Vv , kjer j e .6.W~ = -.6.W~ = m z . C"z . (T2 - TI ) = (78 ± 8) .J. Reševanj e sistem a en ačb (1) do (4) j e zamudno . Nazadnje do- bimo kvad ra t ne enačbo za hitrost rakete Vo , ka tere reši tev j e Vo = = (42 ± 4) mis. Hitrost vod e j e V" = (14 ± 1) mis in hitrost zraka Vz = (390 ± 20) mis. Ker za ra d i nekaterih pr edpo- stavk in približkov izračunani hi- t rost i Vo nisva povsem za upala , sva jo tudi izrn er ila , podobno kot m erimo hitrosti izstrelkov z bali- s t ičn im nihalorn , kjer j e odm ik klad e so raz me ren s hi trostj o izstrelka , ki se zarij e v klad o. Na močno vzrnet sva obes ila 5 kg utež (slika 3) , m ed raket o in utež privezal a 1,5 m dolgo vrvico in raketo izstrelila. Izm eri ti j e bilo potrebno ampli tu do so, za kolik or (:3) (4) I :38 Fizil.:a I j e raket a izm aknila u tež iz rav nov esne lege. Hi t rost rakete sva i zra ču­ nala podobn o , kot i z računamo hi t rost izst relka pri m erjenju z bal isti č n im n ihalom , kjer j e hi trost prem osor azm en a oclmiku nih al a in krožni Irek ven ci n ihala Vo = sow. Tako izm erj ena hit rost. ra kete je bila Vo = (44 ± 4) mis, kar se, v mej ah natan čnost i pri merjenjih , ujem a z i z ra ču nane vred nostjo . Izračun dvižrie vi šino rakete Po pospeševa nju se raketa začne gibati poj cmaj o č e , saj na nj o delujeta zav ira ini si li : teža in up or zraka . Za raketo za pišemo Newto nov zakon ma = -Fg - Fu a li (5) pri čemer j e m m as a rak ete , c koe ficient upora , s' p rečn i pr esek rakete in p gostota zraka . S preprosti m računa l nišk i m pr ogra mom lahko dvižna viši no iz računa­ mo numerično. Na začetk u j e hi tr os t. v enaka hitr osti vo, ki jo že poz na mo . Iz enačbe (5) i zra čunamo sp rem em bo hi trosti 6.. v v čaSOVne ITI in tervalu 6..t, ki si ga določ imo sam i (npr . 0, Is) . Tako do bimo hitrost po prvi deset inki sekunde VI = Vo - 6.. v , pot v pr vi desetinki pa i zračunamo iz 6..11 1 = (vo+ + vr)/2 . 6..t. Postop ek nad aljuj em o, dokl er hitrost ni ena ka ni č , celotno dvi žno višin o pa dobirno kot vsoto m ajhnih poti II = 6..11 1 + 6..11 2 + .. . V našem primeru smo dobili II = (4:3± 4) m . Pri zgo rnjem računu smo up oštevali koeficien t upor a rakete c = 0,43 ± 0,04. Izm er il i smo ga tako, da sm o rak eto spuščal i s 25 m visokega m ostu in pri tem natančno m eri li čas pad anj a . Seveda smo hoteli tu di izm eri ti , če ra keta zar es let i ta ko visoko , kot smo teoretično izračunali , namreč cio višin e II = (4:3 ± 4) m . Merj enj e clvižne višine ni p reprosto . Merili smo tako , cia smo raketo izst reljevali v br ezvetrju . Za njen rep smo privezali lah ek suk an ec, ki j e ležal na tl eh , navit v za nkah s pr em erom nekaj decim etrov . Dv ižna višina j e bila kar en aka dolžini od vit ega sukanca, pr i čemer srno up oštevali le rezul ta te poskusov , ko je raketa padl a na tl a blizu i zs treli š č a , Povprečna vred nos t dv ižnih višin iz 14 poskusov je bila II = (38 ± :3 ) m . Iz rezultatov se vid i, da se i zra čunana in izmerj en a višin a v mej ah natančnosti pri m erj enjih uj ema ta. Gomil Sabolič , Mirko Coalit.e ~~~--- -- -~ IAstronom ija OPAZUJEMO VENERO V astro noms kih efeme rida h Nnše nebo 1006, ki jih izdaja Društvo mate- matikov , fizikov in astron om ov Slovenij e, lah ko pr eb erem o, kdaj j e Venem vidna, da je bi la do junija Ve č eruica, od julij a dalj e pa se poj avlja na ju- t ranj em neb u kot Dan ica in da takšna ost ane do kon ca let a . Poglejmo , ka ko je s to rečj o , da j e n am reč Venera enkra t. Večernica , d rugi č pa sveti kot. Danica . Pla net.i krožij o v napred ni smeri ok rog Sonca. So vesoljska telesa brez Jastne svet.lobe. Na nočnem nebu jih vid imo zato, ker odbij ajo svetl obo, ki pada na nje s Son ca . Venera kroži ok rog Sonca bliže kot. naša Zemlj a . Pravi mo , da je no/'ranji planet. Ker j e Veuera ved no blizu Sonca , se tudi na nebu ne more dosti odd aljit i od nj ega. Nav idezno al i kotno razdalj o plan et a od Sonca imenuj em o elotigeci]« (iz la t . besed e elongo - odd a lji t.i ) . Ven era se la hko od Son ca navidezno od dalji največ za 48° . P redno se lotimo opazo vanja, spoznaj m o šti ri z nač i l n e lege Venere glede na Sonce, če j o gledamo z Zemlj e (slika 1). ............ ti r ~....... -..::..:....f;e/lJ / . ... .. . ···:Je ..' "vOo tIr r; -. .... J 1(\' e: . • (}., ---.:.: -, " f" . .... '{ IL ~.~ ••••:€' iA'~ "\ l~i f . _~ noč ' : V- 1/ i d . . 1 V.l · a n :. :. S ! ...... ~· ~.VZ ... -.~?~~ . ..'.. ............. S lika 1. Št ir i zn ač i l n e lege Venere g led e na So nce , g ledano Z Zem lje . Z - Ze m- lj a , S - So nce , VI - notranj a ko nj uuk- c ija [ Venera j e pred S ozir o ma med Z in S in ne vi dn a) , V2 - največja navid ezna (kot na) razdalja Ve nere d esno od So nca ( naj večja zahod na elo ng ac ija - Ven era j e največ časa Dan ica) , V, - zu nanja ko- nj un kcij a [V en era j e za So nce m in ne- v id na) , V4 - naj večj a na vid ezna ra zd a- lj a Vene re levo od So nca [ naj ve čja vzh o- d na e lo uga c ij a - Venera j e najd a lj časa Ve č crnica ] . Kad ar j e Zemlj a v legi Z, lahko Venera zased e različne lege na svoje m t.i ru . Če leži na prirner v legi VI mccl Zemljo in Son cem , nam kaže t.emno st ra n in j e nevidna , saj j e na nebu hkra t. i s Son cem . V tej legi Ven e- rin a mena ustreza Luninemu m laj u . Tej legi rečemo notranj a koujunkcij « (navidezni s t. ik) s Son cem . Ko se Ven era na svoji poti pr emika naprej , nam najprej kaže ozek srpek, Ko pride v lego V2 , nam kaže že pol ovico od Son ca osvetlje ue polk rogle. Tedaj j e v n aj večj i navidezni razd alji (desn o) od Son ca in nj en a m ena ust.reza nekakšn emu prvemu kraj cu pr i Luni . Astronomija I V legi V3 j e v zunanji konjunkciji s Soncem. Pl anet nam kaže sicer vso osvetljeno polkroglo , vendar j e Venera za nas sp et nevidna, ker j e s Soncem podnevi na nebu . Ta m en a ustreza po lni luni. V legi V4 pride v največjo navide zno razdaljo (levo) od Son ca. Ko se giblje m ed V4 in VI sp et lahko opazujemo Vener in srp in končno se Venera izgubi v Sončevi svetlobi , ko pride ponovno v lego VI. Če j e Venera levo od Sonca, zahaja za Son cem in je vidna zvečer - torej je Večernica. Če pa je Venera desno od Sonca, vzh aj a pred Soncem in je vidna zjutraj - torej je Danica (slika 2). CIVen era: / • k:ot ..... ])anica. Slika 2. Takole z Zemlje opazujemo (doživljamo) Venero kot Danico ( geoce n t r i č no gledanje) . Venera vzhaja p red Soncem. Ker se planeti gibljejo , se njihove medsebojne lege stalno spreminj ajo . Zato se tudi pogoj i vidnosti pl anetov z Zemlje kar naprej spreminjajo . Kdaj in kje so vidni, lahko preberemo na primer v zanesljivem koledarju ali astronomskih efemeridah. Naj prej s prostim očesom opazujem o Venero . Že venem aji dveh dneh opazimo premik planeta glede na zvezd e. Tako ugotovimo navidezno gibanje Venere. Nato pa jo pogledamo še z zmogljivejšim daljnogledom - morda opazimo meno. O Veneri bi lahko še dosti razpredali, vendar lahko podrobnosti o tem planetu naj dete v učbenikih, enciklopedijah in v računalniških programih . IAstronomija Slika 3 . Men e in navid ezn e velikosti (zorni koti) notranj ega planeta od zunanj e d o notranj e konjunkcij e. Naš namen j e le, da vas opozorimo na zan imi~o opazovanje, iz kat.erega se lahko m ar sikaj naučite . Predvsem pa - pojdi te ven pod j asn o nočno neb o in vsaj za kr atek ča.'> obč uduj ete ta pr ekr asni planet! Seveda lahko Venero opazujet e t ud i na zas lonu računalnika , če im a te ustrezni program. Vendar ga čez opazovanje v nar avi ni . ..' .'....... ! -, 0'- ......... . . ................... ......................... ........ " .. ....... ....•..•. V······...... ..•.... ........ ". .................. .......... 15 ~001h 1 Z izt.egnj enima rokama prika- žite , kako z Zemlj e opazuje - m o Ven ero kot. Večernico (ge- ocen t. rično gled anj e). Ven era zah aj a za Soncem . Naj bo Zemlj a v legi Z , Ve- nera pa v legi V kot na sliki 4. Alije Ven era vidna? Č e j e, ali j e Danica ali Večernica? Kd aj vzh aj a oziroma zah aja? Nalogi 1. 2. Slika 4 . Odgovor: Da. Večernica . Zah aj a dv e ur i za Son cem (:30° = 2 uri) . Marijan Pros en Fi::il.:a I ŠE O MPEMBOVEM POJAVU Presek je dvakrat. pisalo t.em , ela naj bi vroča voda zmrznila pr ej kot hl a- dna. Najprej j e opisa l m erj enj a in navedel nekaj mogočih razlag (MpcllI- bov pojav a li zmrzo va nje vroče in hladne vode, Pr esek 8 (1980) 24) . Pojav so posku sili poj asni ti z izhl ap evanj em , zar adi katerega se zmanj ša m as a vroče vod e; z bolj šim to plotn im st ikom posod e z vročo vod o s podlago , ker se pod posod o nekaj ledu stali in zop et zrnrz ne ; z raztoplj enirn zrakom ali oglj ikovim di oksidorn , ki ga j e m a nj v v roč i vodi . Z. Brad ač in .J. Dobnikar sta v članku Ohlajanje in zm rzo vanje vode (Presek 20 (1992) 98) poročal a o posku sih , pri katerih sta med 2 1 primeri pri t.reh zasl edila , da j e topla vod a zmrznila pr ej kot. hladna . Zmrzovanj e v roče vod e še vedno zbuja za nima nje. Davi d Au erbach je v član ku Supercoolin g and th e Mp emba effect : Wh en hot water Iteezes quicker iluu: cold (American J oumal of Physics 63 (1995) 882 ) zago to- vil, da nobena od dosedanj ih razlag ne ustreza . Po nj egovem m nenj u je mogoče poj av pojasniti le s podhladit.vij o vod e. Podhlaj en a vod a je v rne- tas tabilnem kaplj evin skem stanj u pri temperatur i pod DoC pri navadnem z račnem tl aku . Motnj a iz okolice, na primer t resljaj ob izklopu mot orj a v hladilniku , povzroč i , da voda preid e v ravn ovesn o stanje s tem , da se j e del strdi in nar as te t.em peratura na DoC. Ob Mp embovem poj avu so že om enili podhladi tev , t ud i Bradač in Dobnikar sta jo , venda r j e niso imeli za odločilno . V strokovni literaturi pa je veliko poročil o pomembnosti podhladitve. Podhladit.ev pod - 5°C je nekaj obi čaj nega , celo pri velikih pr ostorninah , na primer 75 lit.rov. Manj še pr ostornin e se podhladij o pre- cej bolj , na primer v cevkah do - :35°C. Na podhladi tev vplivajo poleg pr ost ornine in tempera ture okolice hr ap avost sten, vrtinci, č is toča in kon- cent racij a raztopljenega plina . Bist veno j e, da v teh primerih ni mogoče z gotovostjo napoved ati temperature, do katere se kapljevina podhladi, pr eden se z ačne strj evati , ali časa , po katerem se to primeri . Au erbach je .J užnoafri čan , zaposlen na gottingcnsk ern Plan ckovern inštitutu za dinamiko t ekočin , poskuse pa je delal v Perthu v Avstraliji , kjer j e let o dni gostoval na inštitutu za razi skovanje vod e. Pri poskusih j e navadne pos odice s prost ornino 100 cm' iz st ekla pireks post avil v termostat s pr ost ornino 10 litrov . V vsako posodi co j e dal 50 cm ' dvojno destilirane vode , iz katere j e izgnal pline. Za začetno temperaturo je izbral 90°C za " v ročo" vod o in 18°C za "hladno" . Vod a se j e začel a strj evati ob steni. Zat.o je na steno nal ep il termistor, to j e polprevodniški elem ent z veliko temperaturno odvisn ostjo up ora, in z njim zasl edoval časovn i potek temperature. Izvedel j e 52 poskusov z "v ročo" vod o in 51 poskusov s "hladno" . Fizika Najprej j e spreminj al tem pe ra tu ro te rmostata. Pri te m peratu ri ter- most.ata med Doe in - Goe se vod a po 12 minu tah še ni začela strjeva ti, pri tem pera tu ri pod -l 8°e pa se j e tem pera tu ra vod e v posoclici ob st.eni močno sprem inj a la v od visnost i od raz da lje od stene in se j e podhladil a le tanka plast. ob st eni, pr eden se j e voda tam st.rd ila . V nob enem primeru pri t.em ni pa dla temperatu ra " v roče" vod e pod te m pera tu ro "hlad ne" . To se j e včasih primeril o le pri tem pe ratur i ter mosta ta med - Goe in -18°C . Na tem in ter valu tem perature termost a t.a j e zasledoval časovni potek temperature vod e ob steni posodice. V njem j e opazil več območij (slika 1) . Na pr vem se j e te m pera t ura vod e ob steni hitro nižal a . Na drugem območj u j e bilo nižanje tem perature ob steni pr ecej počasnej še . Pojavil se j e namreč tok s hitrostj o nekaj milimetrov na sekundo zaradi od visnos t i gost ote vod e od temperature, ki j e posebno izrazita okoli 4°e, ko je vod a naj gostejša. V kr ožn em toku se je hladna vod a ob steni dvigala in na sr ed i posodico spuščal a. Upoš tevat i je tr eb a , da zadeva pod atek za temperaturo vodo ob steni poscdice in j e drugod temperatura vod e višja. Na tr etj em območju se j e temperatura vod e ob st eni zop et nekoliko hitrej e nižal a. Tedaj je kro žni tok zarnrl , ker voda nikj er ni imela več temperature nad 4°C . Nazadnj e j e temperatura strmo zrasla na DOC, ko j e zmrznil dcl podhlaj eno vode. 20 10 O ·_·········\··········.f········· l ' i .. . il ' j il .. ' Ii i li 'li. i" i ' il .. . Ii i -10 o 100 200 300 400 ,............: 500 Slika 1. Auerbachov časovni p otek t emperature ob steni posodi ce pri ohl ajanju vroče vode (pik čast.o] in hladn e vode (skl enj eno) za primera, v katerih se j e voda začela st rj evati najprej in najpozn ej e. P r i najd aljšem poskusu z vročo vod o j e mogoče o paz it i t r i območja : od O do 160 s , od 160 d o 400 s in od 400 do 56 0 s , ko se j e voda začela s t rj eva t i. Fizika I Pri največjem delu posku sov z " v ročo" vodo je bila ob steni tempera- t ura Ts , pri kat eri se j e z ačel a voda st rjevati, na in ter valu od °do - 2°C . P ri največjem delu posku sov s "hladno" vod o se je začela voda st rjevati na inter valu od -4 do - 6°C. Po časovnem poteku tem perature opazovanih pojavov ni bilo mogoče poj asniti , še posebn o ne zad njega pod a tka za "v ročo" vod o. Ali bi lahko vplivalo na izid posku sa , kar se je z vod o dogaj alo pred posku som? Zar es s segreva nj ern izženem o iz vode pl ine. Tod a potem bi se naj vroča voda z manj abso rbira nega plin a z ačel a strj evati pri nižji tem peraturi. Ali bi lahko voda ponovno abso rbirala plin e, ko se ohladi? Posku s je pokazal , da se niti vod a , v katero so uvaj ali oglj ikov diok sid , ni vedl a drugače . To so ugot ovili t udi za manj čisto rečno vodo. Ali lahko vpliva na izid , to da postajajo posodice od posku sa do poskusa "či stejše"? Ni bilo mogoče ugot oviti , da bi pomivanj e posodi c vplivalo na izid . Relativno šte vilo posku sov z "vročo" in s "hlad no" vodo glede na temperaturo, pri kateri se je začela vod a strj evati temperatura strj evanja T°do - 2°C -2 do - 4°C -4 do - GoC - 6 do - 8°C - 8 do -10°C poskusi z p osku si s vročo vod o hladno vod o 0,41 0,03 0 ,15 0,22 0,1:3 0,56 0,10 0,19 0,21 0,00 Odgovor e na neka tera od Auerbachovih vpra šanj Je že pr ed časom ponudil N. E. Dorsey. Kot vodj a dr žavn ega ur ad a za standarde ZDA j e dolga leta zbiral podatke o last.nostih vod e, ki jih je izd al v zajetni knjigi leta 1940. Pri tem j e nal et el tudi na več nenavadnih trdi tev, med njimi na to, da segret a vod a zmrzne prej kot hladna. Da bi jih poj asnil , j e več kot deset let delal posku se zun aj delovn ega časa . Nekateri od njih so primerni za srednješolske laboratorij e. O posku sih je poročal v obsežnem čl anku let a 1948 v manj raz širj eni reviji . Opazoval je zmrzovanje vod e v cevkah , ki so bil e nap olnj ene do po- lovice sa mo s 3 do 4 cm" vod e iz različnih virov . Izm eril j e t emperaturo T.. , pri kateri so se pojavili kristalčki , in ugotovil, da j e ležala med - 3°C in -20°C. Pri ponavljanju se je znižala po več desetih zap orednih po - skusih tudi za des et st opinj . Enak učinek je dal o segrevanj e vod e pred zmrzovanje m. Domneval j e, da so tega krivi pra.ski , mikroskopsko majhni IFizika t rd ni dr ob ci v vodi. Čim večk rat j e vod a zmrznila , tem m anj učinkovito j e postalo površje naju č inkovi tej š ih praškov kot j edro, na ka terern so se i zločili kris tal čk i. Površin ska učinkov i tos t naju činkovi tej ših praš kov se je zmanjšala tudi ob segreva nj u vode. Dorsey je tako že pred Auerbachom opozoril na pomembnost podhladi t ve, zar adi katere ni mogoče z go tovostjo napoved ati izida pri Mp em bovem poj avu. Pri st rjevanj u je Au erbach opaz il dv e vrst i poj avov : hi tr o st rj eva nje j e trajalo le kako sekundo . Pri vodi sta talilna toplota in speci fi čna to plota v takem razmerju , da bi dobili samo led pri t ali š ču , če bi vodo podhladili do - 80°C. Pri podhladi tv i do - 5°C se pot emtakem hi tr o st rd i šestnajstina m ase vod e. Led , ki nast an e pri hitrem strjevanju, sestav lja dendrite (slika 2) . Dendrite ledu obdaja kapljevin ska voda in oboje t vori ke šo. S lika 2. D end riti ledu v p ohl aj eni vodi . Za d endrite je znač il no , da so p od obni sam i sehi . Ces liko pove čamo v dolo č enem raz m erju , clobirno doru al a e nako s liko. Ta las t nost in t o , d a izidov ne m oremo z gotovostjo napovedat i, narniguj ej o na kaos. Fizika I V prim eru , da se voda za čne strj eva ti pri raz meroma viso ki te m pe raturi, nas t.an e ta nka ka šast.a plast ob steni posod ice in t ud i ob glad ini. Č im ni žj a j e temper a tura, pri ka teri se začne led st rjevati , t.ern deb elej ša j e kašast .a plast. Pozneje se z ačn e pr emika ti mej a med ledom in vodo in se strdi še pr eostal a voda v velik o dalj šem času več deset. m inut . Hitros t, s katero se debeli pla s t. ledu na vodi , j e prv i računsko obdelal .Jožef St efa n, za to govorij o o Sieienovem st,rjcva1lju in mejo m ed ledom in vod o im enuj ej o Steieuov« m eje . Auer bach j e opa zil razliko pri poto van ju Stc fanove mej e. Iz vode, ki se j e začela ohlajat i kot "h lad na", so se pr ed mejo iz l očali mehurčk i plina , za radi kater ih j e postal tam led moten in nekako siv . Razt.o pljeni plin im a torej le neko vlogo , čeprav samo stransko. Iz vod e, ki se j e začela ohla j a t i kot " v roča" , pa j e nas tal bel , skora j pr ozoren led . Ce se je začela strjeva ti pri nižji temperaturi , j e bila plast. kaš as tega ledu deb ela , a j e bil a St.efan ova m eja še bli zu stene. V "hlad ni" vod i, ki se je začel a strjeva ti pri višji ternperaturi , pa je bil a kašasta plast t anjša, aje bil a Stefa no va m eja dlj e od stene. Ker St.efan ove meje n i lahko opaziti, so morda nekateri opazovalc i napak mislili , da so opazovali Mpembov poj av. Aucrbach j e J\I pcm bov poj av opaz il pri polovici poskusov pri t.em- pera t.u ri termostata med - 8 in _ 5° (19 posku sov od :36) in pr i četr t. i n i posku sov pri te m peratur i m ed -Il in - 8°C (7 posku sov od 29) pri pro- stornin i vode 50 cm" . Bradač in Dobnikar , ki sta dela la posku se z dv a krat. in t r ikrat večjo m aso vod e , sta naletela na Mp embov pojav pr i dob ri de- set.ini poskusov (:3 poskusi od 21) . Večj a masa vod e se manj pod hlad i kot manjša. Pri veliki m asi vode ni znatne podhlad it.ve, torej pri j ezeru ne born o opazili tega poj ava . Ob tem , ko vem o vse več o Mp embovem poj avu, vse bolj ugot a- vljamo, kak o j e za pleten . Ali se ponuja še en poj av pod obn e vrste? V amer iških šola h posku šaj o ugotovi ti , a li se zar es v m ikrovalovni pečici se- greta voda hitreje ohlaja kot vod a , segret.a na štedilniku. Do zdaj t.ega z m erj enj em ni bilo mogoče podpreti , v okviru napak pa so dob ili m ajhna odsto panja (P. Le Maire, C. Waiveris , Ne w iolklore about water (Physics Teacher 33 (1995) 4:32)). Zamisliti bi si bilo mogoče , da v ob eh prim erih vpliva na ohlaj anje to , kar se j e dogajalo z vod o pred poskusom . Šibk i tokovi v vodi vztrajaj o t udi po ves dan in še več . Jan ez Strn ad PRVA SLOVENSKA ASTRONOMSKA REVIJA *Spixa VSAK MESEC NOVA, BARVNA ŠTEVILKA REVIJE ZA UUBITEUE ASTRONOMIJE, KI PRINAŠA NOVICE, VSE O SONCU, PLANETIH, ZEMUl, ZVEZDAH, GALAKSIJAH, ASTROFIZIKI, KOZMOLOGIJI, ASTRONAVTIKI, ASTROFOTOGRAFIJ., ARHEOASTRONOMIJ•••• ZA AMATERJE MESEČNO SVEŽE EFEMERIDE IN ZVEZDNA KARTA, O TELESI(OPIH, UPORABNIH PROGRAMIH... IN ŠE OSNOVE ZA ZAČETNIKE, RAZISKOVALNI KOTiČEK, TESTI, ZNANSTVENA FANTASTIItA, MALI OGLASI TER NAGRADNA IGRA! Revijo naročajte na naslov: Spika, Poštni predal 9, 611 09 Ljubljana. Četrtletna naročnina 115% popusta. je 1070,00 SIT, polletna naročnina IZO% popusta. je 2015,00 SIT, celoletna naročnina IZ5% popusta. je 3780,00 SIT. 111atematika I VSOTA POTENC NARAVNIH ŠTEVIL Bralcem je verjetno znana forrnula za vsoto prvih n naravnih števil : 1 1+2 + ... + n= 2"n(n+l) . Dostikrat srečamo tudi formuli za vsoto kvadratov in kubov: 1 12 + 22+ .. .+ 112 = 6n(n + 1)(2n + 1) 111 13 + 23 + . . . + n 3 = ~n2(n + 1)2. 4 Opazimo, da se vsota prvih n naravnih števil izraža kot polinom druge stopnje, vsota kvadratov kot po linom tretje stopnje in vsota kubov kot polinom četrte stopnje. Vsakokrat je vsota polinom spremenljivke n, ka- terega stopnja je za 1 večja od eksponentov seštevanih potenc prvih n naravnih števil. V tem prispevku bi radi pokazali, da to ni slučajno, pokazali pa tudi , kako take formule izpeljemo. Odvod polinoma O odvodu polinoma je Presek že pisal v 6. številki letnika 1993-94. Ponovimo na kratko osnovna pravila. Polinom ene spremenljivke je izraz oblike P(x) = (I"X" + (I,, _lXn -I + .. .+ (l IX + (lo. Če privzamemo, da je prvi koeficient (1" različen od nič, potem število n imenujemo stopnja polinoma P . Odvod polinoma P je polinom P', ki ima za ena nižjo stopnjo kot polinom P. Pravila za odvajanje so naslednja: (1) Odvod konstantnega polinoma je enak nič. (2) Odvod potence xk je enak kx k - I . (3) Odvod vsote polinomov je vsota odvodov. Torej (PI +P2 ) ' = P{+P~. (4) Odvod s konstanto e pomnoženega polinoma je s to isto konstanto pomnožen odvod prvotnega polinoma. Torej (eP)' = eP' . Naj bo d realno število in k naravno število . Potem je izraz (x + d)k polinom stopnje k . Postavimo še peto pravilo. (5) Odvod polinoma (x + d)k je enak k(x + d)k-I. I A1aienuiiika Poglej m o si zgled račun anj a odvoda: Naj bo P( ;r ) = x2 + 2;r - :3. Z uporabo zgornj ih pravil izračunajmo odvod po linoma P (x + d) = (x + d) 2 + 2(x + d) - 3. Dobimo: P '(x + d) = ((x + d)2)' + (2(x + d)l) ' - (:3)' = = 2(x + d) + 2( (;1; + d)1)' - O= = 2(;1; + d) + 2(x + d)o = 2(;1; + d) + 2. Sed aj si postavimo to le vprašanj e: Kaj lahko po vem o o po lino rnih P(x) = (lnXn + ... + (lIX + (lo in Q( x) = bmx m + ... + b1x + bo, če sta nj una od voda enaka? Po pravilih za odvaj anj e dobimo n(lnXn -l + ...+ (l I = mbm;1;TTl -l + ...+ bl . Iz primerj ave stopenj in koeficientov dobimo m = n in (lj = bj za vsak . j me d 1 in n . Edino za koeficienta (lo in bo ne moremo trditi, da sta enaka. Torej , če st a orlvoda dv eh polinornov enaka , se ta dva pol inoma raz likujeta kvečj emu pri konstant.nem členu. Po kaž irn o sedaj izrek : Izrek. Na j bo d realno št evilo različno od ni č in k naravno število . Potem obstaja po linom P stopnj e k + 1, tako da velja P(x + d) - P(x) = (x + d)k . Dokaz. Dokazovali bomo z indukcijo. Najprej naj bo k = 1. Vze- . I' () 1 2 1 k" - '1 li I Prnuno po mcm p x = - x + - x + (lo, 'Jer Je št evilo (lo po JU ono. ot cm 2d 2 izračunamo 1 0) 1 1 2 1 p(x + d) - p(;1;) = - (x + d)- + - (x + d) - -,---- x - - ;1; = ;1; + d . 2d 2 2d 2 Torej smo za k = 1 tak polinom že našl i. Denimo , da smo naš li polinom p(x) = (lkXk + ... + (l 1;1; + (lo stopnje k, tako da velja p(x + d) - p(x) = (x + d)k-l . 1\1aieniatika I Po temje aa spet po ljuben, saj se v izrazu p(x +d) -p(x) odšteje. Vzemimo p olinom . _ 1 k +1 1 k 1 2 P (x) - --akx + - ak- Ix + .. .+ - al x + aox . k + 1 k 2 Polinom P je izbran tako, da je njegov odvod enak polinornu p . Potem je P (x + d) - P (x) po lino m, ka terega odvod je enak p(x + cl) - p(J;) = = (x + d)k-I . Toda tudi odvod polinoma ~(J: + d)k je enak (x + d)k-I . Torej se polinoma P (J; + d) - P(;r ) in ~(J; + d)k raz likujeta kvečjemu za konstantni člen . Tedaj la hko zapišemo P(x + d) - P(x) = ~ ( x + d)k + c. k V dobljeni izraz vstavimo x = - d in dobimo P(O) - P( - d) = c. Nadalje j e B(O) = Oin Toda aa imamo še na razpolago, zato ga določimo tako, da bo P (-d) = O. Potem pa je c = O. Po linom k P je stopnje k + 1 in zanj velja kP(x + d) - kP (J:) = (J: + d)k . Indukcijski korak je narejen in dokaz je končan. V enačbo P(x + d) - P(x) = (x + d)k vstavimo po vrsti J; = a - - d, a, a + d, . . . , a + (n - 2)d. Dobimo P(a) - P(a - d) = ak P(a + d) - P(a ) = (a + (1)k P(a + 2d) - P(a + d) = (a + 2d)k P(a + (n - l )d) - P (a + (n - 2)d) = (a + (n - l)d)k . Zgornje enačbe seštejemo in dobimo P(a + (n - 1)d) - P( a - cl) = ak + (a + d)k + ...+ (a + (n - 1)d)k, IMat ematika kjer j e po linom P stopnje k + 1. Povejmo še drugače . Formula za vsoto ak + (a + d)k + ...+ (a + (n - l )d)k k-tih potenc aritmet ičn ega zapo redj a j e oblike P( a + (71 - 1)d) - P( a - d), kjer j e P polin om st opnj e k + l . Kak o formulo res izpeljemo, si pog lejmo na nekaj primerih . Izp eljimo formulo za vso to 12 + 32+ ...+ (271 - 1)2. Tukaj j e a = 1 in tl = 2. Vzem imo polin om P(x ) = a3:1;3 + a2:1:2 + al x + aa st opnj e :3 in zapišim o 12 + 32 + ...+ (2n - 1)2 = P (2n - 1) - P(-I ) = = a3(2n - 1)3 + (I 2(2n - 1)2 + ad2 n - 1) + (lo + «a - a2 + a l - aa. V zgornj o enač bo vstavimo n = 1,2 , 3 in dobimo sist em enačb 2a3 + 2al = 1 28a3 + 8a2 + 1(1 1 = 10 126a3 + 24a2+ 6a l = 35 . Iz pr ve en ač be izrazim o al = ~ (1 - 2(3) in ga vstav imo v preostali dve enačb i . Dobi mo enačb i 24a3 + 8a2 = 8 120a3 + 24a2 = 32 . Postoparno enako kot pr ej. Iz prve en ačbe izr azimo (12 = 1 - :3 a3 in vs tavirno v drugo . Dob im o enačbo 48a3 = 8. Torej j e a3 = ~ . Nad alj e j e 1 . 1 Tk ' li l' ca2 = "2 111 al = 3" ' il '0 srno izpe Ja I formulo 2 2 . 2 l . 3 I . 2 1 , 1111 + 3 + . . .+(2n - 1) = - (2 n - 1) + - (2n- 1) + -(211 - 1) + - - - + - = 6 2 :3 6 2 3 4 3 1 l . .= - n - -n = - n (2n - 1)(271 + 1). :3 :3 :3 Tudi formulo za vsot o potenc nar avnih št evil izp eljemo enako. Po zgornjih ugotovitvah j e l k + 2k + ...+ nk = P(n) - P(O) , Mat emat ika - Naloge I saj Je a = cl = 1, stopnja polinorna P pa je enaka k + 1. Če zapišem o P (x) = ak+l x k +1 + ... + a, x + aa, j e k 2k k k+'1 + + .. . +n = (lk+, n + . . . + (I , n . V enačbo vst avi m o po vrsti n = 1,2 , . . . , k + 1 in dobimo k + 1 enačb za k + 1 neznank . Za primer k = 1 dobimo enačbi (12 + (I I = 1 1ll Iz prve enačbe dobimo (II = 1 - (12 . Vstavimo v drugo enačbo in dobimo 2 1 T . . 1 . • a2 = . o rej Je (12 = a l = "2 ID 1 ., 1 1