i i “1278-Ecker-Osredkar-0” — 2010/7/22 — 14:25 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 23 (1995/1996) Številka 6 Strani 348–351 Michael Ecker, prevedel in priredil Damjan Osred- kar: POZOR, ČRNE LUKNJE! Ključne besede: matematika, razvedrilna matematika, teorija števil, Sizifov niz, narcisna števila, Kaprekarjeva konstanta, Collatzova do- mneva. Elektronska verzija: http://www.presek.si/23/1278-Ecker-Osredkar.pdf c© 1996 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. Matematika I POZOR, ČRNE LUKNJE ! Sizifov niz V grškem mitu se je Sizifu ne glede na to , kako močno se je trudil , težka skala, ki jo je moral valiti na hrib , pod vrhom vedno izmuznila in se skotalila po hribu navzdol. Podobno se lahko zgodi tudi v matem atiki: Začnite s katerim koli pozitivnim celim številom, zap isanim z nizom števk - na primer z 9288759 . Prešt ejte število sodih števk, št evilo lihih števk in število vseh števk v tem nizu. V danem primeru so 3 sode števke , 4 lihe števke, vseh št evk pa je 7. Iz teh števil sestavite niz, 347. Če ponovite postopek s številom 347 , dobite 1, 2 in 3. In če postopek ponovite s številom 123 , zopet dobite število 123. V vesolju št evil je število 123, glede na ta postopek, črna luknja! Ali res vsako št evilo konča v matematični črn i luknji, številu 123? Vzemite zelo veliko število, na primer 122333444455555666666777777788888888999999999. Če zapored zapišete št evilo sodih števk (20) , lihih št evk (25) in vseh števk (45), dobit e št evilo 202545 . Ponov itev postopka z 202545 da 4, 2 in 6, naslednji kora k z 462 da 303 in zadnji s številom 303, da 123. Glavni lastnost i te črne luknje sta dve: prv a - ko se enkrat znajdete pri številu 123, ne pridete več iz črne luknj e - in, druga - vsak elem ent, ki ga črna luk nja privlači (vsako pozitivno celo število) , potegne le-ta vase. Če le dovo ljkrat ponovite postopek z nekim št evilom, prid et e v končni fazi do števila 123. Druga lastnost potiska v črno luknjo, prva pa zagotovi, da se vanjo ujamete. Kako deluje Sizifov niz? V primeru črne luknje 123 lahko sklepamo takole: če je začetno število večj e od 999 , potem je število, ki ga sestavimo s štetjem števk, manjše od začetnega števila . Če začnete s 1000 ali več, vas postopek prej ali slej privede pod 1000. Z računalnikom se da enostavno preveriti, da vsako št evilo, ki j e manjše od 1000, vodi do 123, vendar je dokaz s "papirjem in svinčnikom" hitrejši in enostavnejši. Tr imestno število ima nasl ednj e mož nosti za št evilo sodih št evk, število lihih št evk in število vseh števk: (O , 3, 3) , (1,2,3) , (2, 1,3) in (3, O, 3) . S katerim koli t rimestnim številom začnete , dobite po enem koraku eno od teh štirih troj ic. Uporabite pravilo za vsako teh trojic in videli boste, da vedno dobite (1,2 ,3) - Sizifovo št evilo 123. IMat ematika Besede v številke Vzemite katero koli celo število in zapišite njeno ime v angleščini , recimo "five" za 5. Preštejte črke v imenu , v tem primeru so 4. Ponovite postopek s 4: im e števila "four" im a štiri črke, s čimer st e se ujeli v črno luknjo 4. Poizkusite z drugim št evilom, recimo 163. Da se izognete nepre- glednosti , vključite v št etje še presledke in pomišljaje: tako ima 163, z imenom "one hundred and six ty-three" , seštevek 27. Ta da 12, potem dobimo zapored 6, 3, 5 in končno 4. Jasno je, da je ta črna luknj a odvi- sn a od angleščine , vendar je mo žno , da imajo tudi drugi jeziki podobno las tn ost . Ni pa nujno, da je črna luknja ravno število 4. Tudi slovenščina im a takšno črno luknjo, število 3. Preverite! N arcisna števila Edina cela števila, poleg Oin 1, ki so enaka vsoti kubov svojih števk so 153, 370, 371 in 407. Ustvarimo si lahko last en svet , v katerem eno teh št evil postavimo za črno luknjo. Da postane število 153 črna luknja, začnete s katerim koli pozitivnim celim številom, ki je večkratnik št evila 3. Vsako števko kubirate in sešt ejet e kube , da dobite novo število. Začnete , na primer , s št evilom 432 .. . 43 + 33 + 23 = gg g3 + g3 = 1458 13 + 43 + 53 + 83 = 702 73 + 03 + 23 = 351 33 + 53 + 13 = 153 13 + 53 + 33 = 153 . .. in padete v črno luknjo! To deluje, ker se dovolj velika števila med postopkom manjšajo, po drugi strani pa na vsakem koraku dob imo št evilo, ki je tudi večratn ik števila 3 (zakaj?), in se tako ognemo ostalim črnim luknjam, ki niso večkratniki števila 3. Trik s kartami Ta primer je na prvi pogled precej drugačen od prejšnj ih, vendar izpo lnjuje zah tevi, ki sta značilni za črne luknje. Gre za klasični t rik s kartami. Vzemite 21 kart in jih uredite s podobami navzgor v sedem Matematika I vodoravnih vrst, da dobite tri navpične stolpce. Prosite prijatelja naj si v mislih izbere karto, vendar naj vam ne pove, katero si je izbral. Pove naj le, v katerem stolpcu leži izbrana karta. Stolpce nato zberite v tri kupčke, pri čemer se vrstni red kart posameznega stolpca ne sme zmešati. Kupček kart, ki vsebuje izbrano karto, položite med preostala dva in karte znova razvrstite v sedem vrstic po tri karte. Ponovite proces - vprašajte , v katerem stolpcu je karta, zberite stoplce, postavite stolpec z izbrano karto med ostala dva in razvrstite karte. Nato ponovite proces še enkrat, zadnjič. Izbrana karta bo od tod naprej vedno v sredini, karta v četrti vrstici v drugem stoplcu. Vsaj dve poti sta, s katerima to lahko dokažete, najlažje pa to storite tako, da si narišete diagram, ki prikazuje, na katerem mestu izbrana karta vsakič konča. Kaprekarjeva konstanta Kakorkoli že, v večino črnih lukenj so vpletena števila. Vzemite ka- tero koli štirimestno število, da le nima vseh štirih števk enakih. Pre- uredite števke izbranega števila tako, da dobite največje in najmanjše število, ki ju iz teh števk lahko sestavite. Potem izračunajte razliko teh dveh števil. Postopek ponovite z razliko, ki ste jo pravkar izračunali. Začnite na primer s številom 8028 . Največje število, ki ga iz njegovih števk lahko sestavite, je 8820, najmanjše pa 0288. Njuna razlika je 8532. Ponovite postopek z 8532 in izračunate razliko: 8532 - 2358 = 6174. V kakem drugem primeru boste morda potrebovali več korakov, vendar boste vedno v največ sedmih korakih prišli do Kaprekarjeve črne luknje - števila 6174. Nerešeni problemi Celo klasični nerešeni matematični problemi imajo opravka s števili, ki so črne luknje, ali pa se za njih domneva da so. Primer je Collatzova domneva. Izvira iz leta 1930 in je še vedno odprto vprašanje. Proces je takšen: začnite z naravnim številom. Če je liho, ga potrojite in prištej te ena. Če je rezultat sodo število, ali če ste začeli s sodim številom, ga razpolovite. Nato postopek ponavljajte. Če začnete s 5, dobite 16, nato 8, 4, 2 in nazadnje 1, potem pa 4, 2, 1 in spet 4, 2, 1. Vsi poskusi kažejo, da vedno končate v ciklu 4, 2, 1 ne glede na to, s čim začnete - vendar to še nikoli ni bilo z dokazom potrjeno ali ovrženo. K~~ h, t,a ja &l s d o h hi, nm pa d . j o h e k i a o c i k l i r d a b e n a D r , ~ ~ p r i d e b t 9 k a , d a ~ ~ F i l o rmstavib rm prrrfaktode. Na primer, M = 2 - 2 * 8 - 7. F a h w%meb najvei?. lihl f&r bhanega Zitevila, v bra primexu je to 3 - 7 = 21. Pohjite ta n-i libi fhhor in priljtejtie 1, M t a t je! sabtna MO rn nardgdnjikcmk. & ~ o p e k p ~ ~ t e l; nekaj 8tevili, ~ e ~ ~ , da vedno pridetie dm Bttvilla 4. Ko pa d r a t pdett do W a 4, ptf. qjm E r c d j & s n e t e , ~ ~ ~ i l i h i ~ B t e v i l a 4 j e 1 ,3 .1+1paje4 . K-li d o W C o m a domuem, bo hkr* d & d , da je tadi ta &anta &na ldmjrr. Veed lov na Erne lulzqie! Po €hh Ildicheia ikkaja tr New Scienrhibtu pl-evedel h prisedil Da?qj2111(3sfdkw