IZ RAZREDA 45 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 Uporaba pozicijskega računala pri matematiki v podaljšanem bivanju Jasna Černic Osnovna šola Milojke Štrukelj Nova Gorica Izvleček Pozicijsko računalo je preprosto mehansko računalo, sestavljeno iz lesenega okvirja, in s kroglicami, nanizani- mi na žice v več vrsticah. Kljub skokovitemu razvoju informatike je skozi zgodovino do danes obdržalo svojo obliko in namen. V prispevku je pozicijsko računalo predstavljeno kot didaktični pripomoček, ki ga veliko otrok pozna kot igračo iz predšolskega obdobja, njegova prava vrednost pa pride do izraza v 1. vzgojno-iz- obraževalnem obdobju, ko osmislimo in kasneje nadgradimo njegovo uporabo tudi izven predpisanega šol- skega kurikula z metodo Brainobrain. Študija primera je potrdila, da se učenci, ki pri matematiki ne dosegajo minimalnih standardov znanja in še nimajo usvojenih številskih predstav, s pomočjo pozicijskega računala lažje in hitreje naučijo računati z naravnimi števili do 100 s prehodom. Učitelj v času samostojnega učenja v podaljšanem bivanju lahko z uporabo pozicijskega računala pomaga učencem pri prehodu razumevanja števil in številskih predstav iz konkretnega na simbolni nivo. Ključne besede: matematika, 1. triletje, podaljšano bivanje, pozicijsko računalo Use of Abacus in Mathematics during After-School Hours Abstract Abacus is a simple calculating tool made of a wooden frame with beads sliding on rows of wires. Despite the fast development of information technologies, abacus has retained its form and purpose throughout the hi- story. In the article, it is presented as a didactic tool – many children recognize it as a toy from their preschool period, but its true value comes into focus in the first education period when its function can be applied, and later upgraded, also outside the prescribed curriculum (Brainobrain method). A case study has confirmed that students who fail to achieve the minimal mathematics standards and have not yet assimilated numerical kno- wledge can use abacus to more easily and quickly learn to calculate the sum of natural numbers from 1 to 100 with regrouping. During after-school hours, when students learn independently, the teacher can use abacus to help them transition from the literal understanding of numbers and numerical concepts to the symbolic one. Keywords: primary school, mathematics, first triad, after-school hours, abacus Uvod Otroci se že v zgodnjem otroštvu srečajo s pozicijskim raču- nalom. Ustrezna velikost, preprosta oblika, barvne kroglice in možnost nadgraditve njegove uporabe so bistvene za obstoj ra- čunala kljub hitro razvijajoči se sodobni tehnologiji. V prvem razredu se raba pozicijskega računala načrtno usmeri v spozna- vanje seštevanja in odštevanja naravnih števil do 20, v drugem in tretjem razredu pa do 100. Izven predpisanega šolskega ku- rikula se ob delu z računalom razvijajo tudi različne strategije reševanja računskih problemov, med katerimi izstopa metoda brainobrain. Razvoj pozicijskega računala (ABAKA) Po konceptu Razvoja informacijske tehnologije (Wechtersbach, 2005) so bili prsti na rokah prvi pripomoček za računanje. Z nji- mi je človek sešteval, odšteval in celo množil. Še danes se otroci najprej naučijo štetja in računanja s prsti, šele potem spoznajo druge načine računanja. Od tod izhaja tudi angleška beseda digit (lat.), ki pomeni prst ali število.  »Ko je postalo prstov premalo za tako računanje, so si začeli po- magati na druge načine. Tako so počasi (zelo počasi) razvili prvi pripomoček za računanje - ABAKUS (ali ABAK). To je bilo pri- bližno 2400 let p. n. š. Abakus se je razvil iz gladke plošče, posute IZ RAZREDA 46 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 s prahom, na katero so s prstom ali trščico pisali števila. Beseda izvira iz grške abax, kar pomeni tabla, pokrita s prahom. Takšne plošče so poznali že okoli 5000 let pr. n. št. v dolini Evfrata in Tigrisa. Še veliko kasneje so dobili zamisel, da bi prodne kamne prelu- knjali in jih nanesli na vrvice. To se je zgodilo na Kitajskem v 13. stoletju, kjer je nastala tudi podoba abakusa, kot ga poznamo danes.« (Informatika, 2005).  Če povzamem po spletnem prispevku Abacus: The brief histo- riy, so na Japonskem ta pripomoček poimenovali »soroban« (Slika 1), v Rusiji »schoty« (Slika 2), na Kitajskem »suan pan« (Slika 3), v Evropi pa se je obdržalo ime »abak« (Slika 4). Vsi navedeni pripomočki so izhajali iz istega principa: lesen okvir, v katerega so vpete žice in nanje nanizane lesene kroglice. Slika 1: Soroban Slika 2: Schoty Slika 3: Suan pan Slika 4: Abak ABAK danes V nekaterih delih vzhodne Evrope, Kitajske in Rusije ga zaradi preprostosti uporabljajo še danes. Abake lahko uporabljajo tudi slepi, saj lahko računajo z dotikom. Pred skoraj 40. leti je bilo na Kitajskem ustanovljeno združenje za abake, pred skoraj 30. leti pa so začeli z abaki celo tekmovati. Nepogrešljivi so kot učni pripomoček. Pri nas se abak uporablja kot didaktični pripomoček, s pomo- čjo katerega se otrok uči spoznavati števila, si jih predstavljati, uči se zaporedja, spoznava enice, desetice in svojo prvo stotico. Osredotoča se na razvoj otroka v različnih starostnih obdobjih, krepi motorične spretnosti, spodbuja učenje in vpliva na psiho- loški razvoj. Priporočena uporaba ABAKA v prvem triletju osnovne šole Učni načrt za matematiko v osnovni šoli predvideva uporabo pozicijskega računala v 2. razredu. Pri obravnavi aritmetike in algebre v sklopu računskih operacij in njihovih lastnosti naj bi učitelj pri obravnavi učne snovi upošteval didaktična priporo- čila: »V prvem obdobju je poudarek na razvoju številskih predstav, ki temeljijo na praktičnih aktivnostih. V procesu oblikovanja poj- ma število je obvezna uporaba konkretnih materialov, nazornih ponazoril, primernih didaktičnih sredstev itd. Pri pouku upora- bljamo različne materiale, ne omejimo se le na slikovne, saj je le njihova uporaba za učenca preveč abstraktna. Poglavitne metode pouka so igra, opazovanje in izkušenjsko učenje. V 2. razredu seštevamo in odštevamo do 100 z didaktičnimi po- nazorili (npr. enotskimi kockami, link kockami, denarjem, po- nazorili za desetiške enote, pozicijskim računalom, številskim trakom, stotičnim kvadratom ipd.). V začetni fazi uporabljajmo pripomočke za konkretna ponazorila števila (npr. enotske kocke, link kocke), poudarimo desetiški zapis števila in šele v zaključni fazi prehajamo na uporabo številskega traku in stotičnega kva- drata.« (Učni načrt za matematiko, 2011, str. 16). Pozicijsko računalo kot pripomoček pri samostojnem učenju v podaljšanem bivanju Po konceptu »Podaljšano bivanje in različne oblike varstva učen- cev v devetletni osnovni šoli« (Blaj, 2005) je ena od bistvenih dejavnosti podaljšanega bivanja samostojno učenje. V tem času poteka usmerjanje in navajanje učencev na samostojno opravlja- nje različnih učnih aktivnosti. Učenci znanje, ki so ga pridobili pri pouku ali zunaj pouka, dodatno utrdijo, razširijo, poglobijo, sistemizirajo in uporabijo v novih situacijah. V okviru te dejav- nosti učitelj skrbi za redno, kakovostno in samostojno opravlja- nje učnih obveznosti. Učenci se skozi izkušnjo učijo razumevati, kakšen učni tip so (vidni, slušni, gibalno-taktilni, kombinirani), se učijo uporabljati učbenike in različne pripomočke, interpreti- rati rezultate, razumeti napake in jih popraviti; se učijo sodelo- IZ RAZREDA 47 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 vati pri reševanju skupnih nalog in s tem razvijati svoje sposob- nosti za delo v skupini (organiziranje dela v skupini, integriranje v delo skupine). Pozicijsko računalo kot pripomoček pri računanju Učenci se učijo matematiko najprej prek izkustva materialnega sveta, nato prek govornega jezika, ki generalizira to izkustvo, v naslednji fazi prek slike in diagramov ter šele nazadnje na sim- bolni ravni. Za študijo primera sem izbrala učenca, ki še ni usvojil minimal- nega standarda znanja seštevanja in odštevanja v množici narav- nih števil do 100. Med vsakodnevnim pregledom nalog iz matematike je učenec večkrat prosil za pomoč, si pri računanju pomagal s prsti in kljub temu naredil nekaj napak. Po posvetu z razredničarko sem se odločila za individualno obravnavo primera. Glavni cilj raziskovalnega dela je naučiti učenca seštevati in od- števati v množici naravnih števil do 100 s pomočjo pozicijskega računala in dokazati, da je računalo koristen pripomoček pri preskoku računanja iz konkretnega na simbolni nivo. Potek učne ure po korakih Ugotavljanje predznanja Učencu predstavim pozicijsko računalo. To je računalo, pri kate- rem prestavljamo kroglice iz leve proti desni in obratno ter tako nastavimo in izračunamo vrednost številskega izraza. Pred računanjem preverim njegove številske predstave. • Učenec prešteje kroglice v 1. vrstici. • Učenec prešteje kroglice v 2. vrstici. • Učenec prešteje kroglice v obeh vrsticah. • Učenec izvede nekaj primerjav števil po velikosti (>, <, =). Računanje vrednosti številskih izrazov Didaktični postopek pri obravnavi seštevanja in odštevanja na- ravnih števil do 20 oziroma do 100 je bil ves čas enak. Preko de- monstracije sem pri učencu spodbudila zanimanje za računanje na konkreten način s postavitvijo kroglic. Izdelala sem učni list, na katerem je nato barval oziroma črtal krogce. Pozorna sem bila na miselni preskok, ko je učenec usvojil postopek reševanja in poskusil priklicati aritmetična dejstva tudi na simbolni ravni. Prikaz seštevanja naravnih števil do 10 Primer: 4 + 3 = 7 Učencu demonstriram pomik 4 enic v desno (Slika 5), nato po- mik še 3 enic v desno (Slika 6) in štetje vseh enic na desni strani, to je končni rezultat (Slika 7). Slika 5: Pomik 4 enic v desno. Slika 6: Pomik 3 enic v desno. Slika 7: Štetje vseh enic na desni strani. Učenec ponovi predstavljeni postopek z več primeri: 2 + 3 = ; 6 + 2 = ; 4 + 5 = . Prikaz odštevanja naravnih števil do 10 Primer: 10 – 3 = 7 Učencu pokažem pomik 10 enic v desno (Slika 8), nato pomik 3 enic v levo in štetje enic na desni, kar je končni rezultat (Slika 9). Slika 8: Pomik 10 enic v desno. Slika 9: Pomik 3 enic v levo in štetje preostalih enic na desni strani. Učenec ponovi predstavljeni postopek z več primeri: 2 + 3 = ; 6 + 2 = ; 4 + 5 = . IZ RAZREDA 48 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 Prikaz seštevanja naravnih števil do 20 s prehodom Primer: 8 + 7 = 15 Učencu pokažem pomik 8 enic v desno (Slika 10), nato pomik preostalih 2 enic v desno (Slika 11), posebej natančno prikažem zamenjavo vseh 10 enic z desne na levo in pomik 1 desetice na desno stran (Slika 12). Prikaz zaključim s pomikom še 5 enic v desno in štetjem vseh enic in desetic na desni strani. Preberem končni rezultat (Slika 13). Slika 10: Pomik 8 enic v desno. Slika 11: Pomik preostalih 2 enic v desno. Slika 12: Zamenjava vseh 10 enic Slika 13: Pomik še 5 enic v desno z desne na levo in pomik in štetje vseh enic in desetice 1 desetice na desno stran. na desni strani. Učenec ponovi predstavljeni postopek z več primeri: 7 + 7 = ; 6 + 5 = ; 4 + 10 = . Prikaz odštevanja naravnih števil do 20 s prehodom Primer: 12 – 5 = 7 Učencu prikažem pomik 2 enic in 1 desetice v desno (Slika 14). Nato pomaknem 2 enici v levo (Slika 15), sledi zamenjava 1 dese- tice v levo z vsemi 10 enicami v desno (Slika 16). Pomaknem še 3 enice v levo in preštejem vse enice na desni strani, kar je končni rezultat (Slika 17). Slika 16: Zamenjava 1 desetice Slika 17: Pomik 3 enic v levo in v levo z vsemi 10 enicami v desno. štetje vseh enic na desni strani. Učenec ponovi predstavljeni postopek z več primeri: 13 – 6 = ; 16 – 9 = ; 12 – 10 = . Prikaz seštevanje naravnih števil do 100 Primer: 27 + 32 = 59 Učencu prikažem pomik 7 enic in 2 desetic v desno (Slika 18). Sledi prikaz pomika 2 enic in 3 desetic v desno (Slika 19) in štetje vseh enic in desetic na desni strani, kar je končni rezultat (Slika 20). Slika 18: Pomik 7 enic in Slika 19: Pomik 2 enic 2 desetic v desno. in 3 desetic v desno. Slika 20: Štetje vseh enic in desetic na desni strani. Slika 14: Pomik 2 enic in Slika 15: Pomik 2 enic v levo. 1 desetice v desno. IZ RAZREDA 49 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 Učenec ponovi predstavljeni postopek z več primeri: 39 + 17 = ; 56 + 25 = ; 84 + 10 = . Prikaz odštevanja naravnih števil do 100 Primer: 67 – 33 = 34 Učencu pokažem pomik 7 enic in 6 desetic v desno (Slika 21). Nato pomaknem 3 enice in 3 desetice v levo (Slika 22). Sledi štetje vseh enic in desetic na desni strani, kar je končni rezultat (Slika 23). Slika 21: Pomik 7 enic in Slika 22: Pomik 3 enic 6 desetic v desno. in 3 desetic v levo. Slika 23: Štetje vseh enic in desetic na desni strani. To je končni rezultat. Učenec ponovi predstavljeni postopek z več primeri: 85 – 14 = ; 63 – 32 = ; 76 – 43 = . Prikaz seštevanja naravnih števil do 100 s prehodom Primer: 37 + 5 = 42 Učencu pokažem pomik 7 enic in 3 desetic v desno (Slika 24). Pomaknem v desno še ostale 3 enice (Slika 25). Nato zamenjam vseh 10 enic iz desne na levo s pomikom 1 desetice v desno (Sli- ka 26). Nazadnje pomaknem še 2 enici v desno in preštejem vse enice in desetice na desni strani. To je končni rezultat (Slika 27). Slika 26: Zamenjava vseh 10 enic Slika 27: Pomik 2 enic z desne na levo s pomikom v desno ter štetje vseh enic 1 desetice v desno. in desetic na desni strani. Učenec ponovi predstavljeni postopek z več primeri: 45 + 9 = ; 77 + 6 = ; 68 + 5 = . Prikaz odštevanja naravnih števil do 100 s prehodom Primer: 54 – 8 = 46 Učencu pokažem pomik 4 enic in 5 desetic v desno (Slika 28). Nato pomaknem 4 enice v levo (Slika 29) ter zamenjava vseh 10 enic iz leve v desno s pomikom 1 desetice iz desne v levo (Slika 30). Sledi pomik preostalih 4 enic iz desne v levo (Slika 31). Preštejem vse enice in desetice na desni strani, kar je končni rezultat (Slika 32). Slika 28: Pomik 4 enic in Slika 29: Pomik 4 enic v levo. 5 desetic v desno. Slika 30: Zamenjava vseh Slika 31: Pomik preostalih 10 enic iz leve v desno s pomikom 4 enic iz desne v levo. 1 desetice iz desne v levo. Slika 24: Pomik 7 enic in Slika 25: Pomik preostalih 3 desetic v desno. 3 enic v desno. IZ RAZREDA 50 Matematika v šoli, št. 2., letnik 25, 2019 Slika 32: Štetje vseh enic in desetic na desni strani. Učenec ponovi predstavljeni postopek z več primeri: 47 – 9 = ; 33 – 8 = ; 82 – 4 = . Ugotovitev Pri svojem delu sem upoštevala osnovna didaktična priporoči- la učnega načrta za matematiko v 2. razredu. Učenec je najprej s pomočjo link kock utrdil zaznavanje številskih predstav. Nato sem mu predstavila pozicijsko računalo in postopno delo z njim. Pri razlagi sem več časa namenila odštevanju kot seštevanju, saj je učenec pri seštevanju hitreje dojel postopek premikanja kro- glic iz leve v desno in brez večjih težav sešteval do 100 brez pre- hoda. Več učnih ur in bolj poglobljeno razlago na konkretnem nivoju je potreboval pri odštevanju do 100 s prehodom. Večji izziv je predstavljalo razstavljanje odštevanca, ko je treba odšteti v dveh korakih, torej najprej enice do prve desetice in nato še ostale enice. Po dveh mesecih je učenec samostojno nadaljeval s pisanjem matematičnih domačih nalog. Zaključim lahko, da sta postopnost računanja vrednosti števil- skih izrazov in učenčeva vztrajnost pripomogla k dobrim rezul- tatom. Učenec je pozicijsko računalo sprejel pozitivno, se z njim na začetku zaigral, nato pa koristno uporabljal pri računanju z naravnimi števili do 100. Pozicijsko računalo kot osnova metode Brainobrain Nadgradnja uporabe pozicijskega računala je pripeljala do sko- kovitega razvoja svetovno znane metode učenja Brainobrain, ki je zadnjih nekaj let prisotna tudi pri nas. V program se vpisujejo predvsem otroci brez večjih učnih težav. Kot v intervjuju razlaga Tea Grbić, prva izvajalka programa Bra- inobrain v Sloveniji, »temelji ta metoda predvsem na nevroling- vističnem programiranju, na abakusu kot mentalnem pripomoč- ku in na metodologiji VAK (visual audio kinesthetic), pri kateri otroci prejemajo informacije skozi tri čutne kanale: skozi vidni in slušni kanal ter z dotikom. Dokazano je, da se otroci tako lažje učijo in pomnjenje je dolgotrajnejše. V praksi imajo otroci pred seboj abak in premikajo kroglice, torej hkrati gledajo in čutijo, poleg pa izgovarjajo besede v angleščini. Besed ne prevajamo zaradi ritmičnega tona in otroci si vse skupaj lažje zapomnijo, seveda jim pomen besed razložimo, da razumejo, za kaj gre.« Na vprašanje, v čem se ta metoda razlikuje od klasičnega pou- čevanja v šolah, je Tea Grbić odgovorila: »Bistvena razlika je, da se osredotoča na celostni razvoj možganov, ne pa samo na levo ali desno polovico. … Ko otrok vidi število na tabli, ga prepozna leva stran možganov, ko prsti premaknejo kroglici na abakusu, se aktivira desni del možganov in tako se ustvarijo nove sinapse med levim in desnim delom možganov. … Otrokom se izbolj- ša koncentracija, razvijejo vizualizacijo, voditeljske sposobnosti, organizacijo, samozavest, naučijo se kreativno reševati težave, razvijejo empatijo …« (Brainobrain – učna metoda, ki se osre- dotoča na celostni razvoj možganov, 2014). Zaključek V prispevku obravnavam uporabo pozicijskega računala kot didaktičnega pripomočka za pridobivanje šte- vilskih predstav in utrjevanje računanja naravnih števil do 100. Na konkretnem primeru ugotavljam, da je računalo primerno predvsem za učence, ki pri matematiki ne dosegajo minimalnih standardov znanja. Način uporabe je uspešen pri individualni obravnavi, kjer lahko učencu vsak premik kroglic na pozicijskem računalu razložim in pojasnim. Kot učiteljica v podaljšanem bivanju imam možnost, da lahko pri matematiki odkri- vam vrzeli v dojemanju učne snovi, jo skupaj z učencem zaznavam in pomagam odpraviti. Pri tem imam na razpolago več različnih didaktičnih iger in pripomočkov, ki postajajo nepogrešljivi del učenja in poučevanja. Pozicijsko računalo se je pri tem izkazalo kot zabaven in koristen pripomoček, ki abstraktni svet števil poeno- stavi in ga na materialnem nivoju približa učencu. Literatura Blaj, B., idr. (2005). Koncept. Podaljšano bivanje in različne oblike varstva učencev v devetletni osnovni šoli. Ljubljana: MIZŠ in ZRSŠ. Wechtersbach, R. (2005). Informatika. Grosuplje: Saji. Žakelj, A., idr. (2011). Učni načrt za osnovno šolo, Matematika. Ljubljana: MIZŠ in ZRSŠ. Abak. Abacus: The brief historiy. https://www.ee.ryerson.ca/~elf/abacus/history.html Abak. https://sl.wikipedia.org/wiki/Abak Brainobrain. http://www.brainobrain.si/domov.html Brainobrain. https://liza.aktivni.si/intervju/intervju-brainobrain-ucna-metoda-ki-se-osredotoca-na-celostni-razvoj-mozganov/