i
i
“kolofon” — 2020/7/22 — 7:26 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, JANUAR 2020, letnik 67, številka 1, strani 1–40
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2020 DMFA Slovenije – 2116 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“matura” — 2020/7/20 — 7:56 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
PRIMERLJIVOST IZPITOV NA OSNOVNI IN VIŠJI
RAVNI PRI PREDMETU MATEMATIKA NA SPLOŠNI
MATURI1
JAKA ERKER2, MATEJA FOŠNARIČ3, ALOJZ GRAHOR4,
TATJANA LEVSTEK5, MATEJA ŠKRLEC6 IN JANEZ ŽEROVNIK7
2Gimnazija Šentvid,
3II. gimnazija Maribor, 4Škofijska gimnazija Vipava,
5Gimnazija Ledina, 6Gimnazija Franca Miklošiča Ljutomer,
7Fakulteta za strojnǐstvo Univerze v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 97B99
Osnovna in vǐsja raven izpita iz matematike na splošni maturi sta bili doslej obravna-
vani kot dva ločena izpita. V prispevku analiziramo statistične rezultate v letih od 2013
do 2018 na celotni populaciji. Pǐsemo o potrebi po bolj usklajenem ocenjevanju obeh
ravni in o pomenu primerljivosti med različnimi izpitnimi roki in med generacijami. Opi-
sane so osnovne ideje metode, s katero bi bilo mogoče z večjo zanesljivostjo doseči bolǰso
usklajenost med nivoji in med različnimi generacijami maturantov.
COMPARABILITY OF GENERAL MATURA MATHEMATICS EXAMS
AT BASIC AND HIGHER LEVEL
The basic and higher level of the mathematics exam at the general matura have been
so far treated as two separate examinations. In this paper, we consider the statistical
results over the years from 2013 to 2018 on the entire population. We are writing about
the need for a more coordinated assessment of both levels and on the importance of
comparability between different exam levels and between generations. The basic ideas
of a method are described that could with greater reliability allow better coordination
between levels and between different generations of graduates.
Uvod
V katalogu [3] in prispevku [2] o novostih pri izpitu iz matematike na splošni
maturi leta 2021 je opisana nova struktura izpita. Informacija je namenjena
profesorjem in njihovim dijakom, bodočim maturantom, osnovno sporočilo
pa je, da bo kljub strukturnim spremembam matematika na maturi leta
2021 vsebinsko nespremenjena. V tem prispevku je prikazan pogled na izpit
iz matematike z druge strani, ki je strokovni javnosti verjetno manj znana,
pa zato morda nič manj zanimiva.
Sestavek je prekratek za razpravo o vseh zanimivih vprašanjih v pove-
zavi z maturo, ki so nedvomno vredna premisleka in razprave. Tako se na
1Avtorji so člani Državne predmetne komisije za splošno maturo za matematiko.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 1
i
i
“matura” — 2020/7/20 — 7:56 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
Jaka Erker, Mateja Fošnarič, Alojz Grahor, Tatjana Levstek, Mateja Škrlec, Janez Žerovnik
primer ne bomo ukvarjali s pretirano visoko povprečno oceno internega dela
in hkrati zelo slabo korelacijo rezultatov internega dela z eksternim. Feno-
men je značilen za vse predmete splošne mature [7, 8], zato bi bila potrebna
sistemska sprememba na nivoju vseh predmetov splošne mature. Ker šte-
vilni kolegi mislijo, da je ustni izpit iz matematike koristen, močno upamo,
da bo osvežitev internega dela [2, 3] prispevala k izbolǰsanju stanja pri ma-
tematiki. Nadalje ne bomo posebej razpravljali o zanesljivosti dosedanjih
pozitivnih ocen in še posebej kriterijev, ki so do sedaj zadoščali za t. i. po-
gojno pozitivno oceno. Verjamemo, da bodo dodatne kratke naloge v novi
strukturi izpita prispevale k večji zanesljivosti8 ocen.
V tem prispevku se bomo posvetili primerljivosti izpitov na vǐsji in na
osnovni ravni ter primerljivosti maturitetnih izpitov med različnimi leti. V
dosedanji praksi sta izpita iz matematike na vǐsji in osnovni ravni obrav-
navana kot dva izpita. Na formalni ravni jima je skupno le to, da sta oba
izpita opredeljena v istem maturitetnem katalogu in da izpitne pole pripra-
vlja ista komisija. Ker se izpita vedno pǐseta ob istem času, je bil doslej v
praksi praviloma prvi del izpita (pola 1) na vǐsji ravni kar enak izpitu na
osnovni ravni, samo dovoljeni čas pisanja se je nekoliko razlikoval. Raven
maturitetnega izpita iz matematike kandidati izbirajo sami, zato je za njih
zelo pomembno, da s primerno izbiro ravni dosežejo za svoje znanje in spo-
sobnosti primerno in seveda čim bolǰso točkovno oceno. Odločitev o izbiri
za kandidate nikakor ni enostavna, pa tudi njihovi učitelji se soočajo z dile-
mami, kako jim svetovati. Z vidika bolǰsega znanja matematike je vsekakor
dobro, da se za vǐsjo raven odloča čim več maturantov, saj to pomeni, da
bodo predelali več snovi, zaradi česar bodo imeli več znanja in bodo bolǰse
pripravljeni na zahtevne študije. Za več znanja in več vloženega časa pa
morajo ti kandidati praviloma dobiti vsaj toliko točk v rezultatu mature,
kot bi jih dobili ob izbiri osnovne ravni. Žal so v preteklosti kandidati po
izbiri vǐsje ravni (pre)pogosto dobili občutek, da se niso odločili pravilno, in
čeprav objektivni podatki tega praviloma ne potrjujejo, taka mnenja vpli-
vajo na odločitve naslednjih generacij. Zato je smiselno oba nivoja usklajeno
ocenjevati na način, ki bo z večjo zanesljivostjo zagotavljal, da bo za enako
znanje kandidat dobil enako oceno ne glede na izbiro nivoja.
Zaradi analiz uspešnosti šolskega sistema, uspešnosti posamezne šole,
učiteljev itd. je smiselno primerjati tudi različne generacije in različne iz-
pitne roke. Državna predmetna komisija za splošno maturo za matematiko
poskuša s skrbno pripravo izpitnih kompletov in z vsakoletnim postopkom
pretvarjanja rezultatov maturitetnega izpita v ocene v čim večji meri doseči:
• primerljivost ocen, ne glede na izbiro ravni (na osnovni in na vǐsji ravni
naj kandidat za enako znanje dobi enako oceno),
8V psihometriji izraz zanesljivost označuje natančnost merjenja oziroma neodvisnost
meritve od naključnih napak [6].
2 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“matura” — 2020/7/20 — 7:56 — page 3 — #3 i
i
i
i
i
i
Primerljivost izpitov na maturi
• primerljivost ocen med spomladanskim in jesenskim izpitnim rokom,
• primerljivost med generacijami.
Ugotavljamo, da so bili ti cilji v preteklosti v veliki meri doseženi, kljub
dejstvu, da se s temi vprašanji na sistematičen način ni doslej še nihče
ukvarjal resneje. Predpostavki, da so vsakokratni izpitni kompleti enako-
vredni in da so vsakokratne populacije maturantov enako sposobne, sta
skoraj zagotovo zdržali predvsem zaradi tega, ker je vsakoletna populacija
splošnih maturantov dovolj velika. K temu so bistveno prispevale predme-
tne komisije, ki so v preteklosti z veliko mero intuicije uspešno pripravljale
primerljive izpitne komplete, pri vsakoletnih manǰsih korekcijah ob dolo-
čanju mej pa so bili deloma upoštevani tudi rezultati stareǰsih generacij.
Pri pripravi izpitnega gradiva je treba ob primerni pokritosti snovi, ki jo
definira učni načrt, upoštevati tudi predpisana razmerja taksonomskih sto-
penj, kot je določeno v predmetnem izpitnem katalogu. Izkaže se, da je pri
pripravi karseda enakovrednih izpitnih kompletov ključno tudi razumevanje
taksonomije in težavnosti izpitnih nalog.
V naslednjem razdelku je dan pregled rezultatov matur v letih 2013–
2018, kjer nas predvsem zanimajo nihanja porazdelitve ocen med generaci-
jami. Opazna so nihanja, ki niso prevelika, pa vendar je smiselno vprašanje,
v kakšni meri so ta nihanja posledica razlik med generacijami, v kakšni meri
pa samo posledica razlik pri merjenju z različnimi »metri«. Vemo, da ena-
kovrednost izpitnih kompletov temelji na zanesljivosti napovedi težavnosti
nalog, saj je zaradi izpitne tajnosti empirična primerjava s predtestiranjem
nalog nemogoča. Pri tem so zelo pomembne izkušnje na osnovi preǰsnjih
izpitov. Izkaže se, da je za vsako smiselno napoved težavnosti izpita po-
membna tudi analiza taksonomije posameznih nalog.
V prispevku utemeljujemo, da je smiselno v prihodnosti resno razmisliti
o implementaciji metode za bolǰse razumevanje in kontroliranje primerjave
dosežkov na osnovni in vǐsji ravni. V razdelku Pretvorba točk v točkovne
ocene opǐsemo osnovne ideje, na katerih bi lahko temeljila metoda, ki bi
na jasen način povezovala dosežke na osnovni in vǐsji ravni izpita. Hkrati
z jasno povezavo med dosežki na osnovni in vǐsji ravni metoda tudi na
predvidljiv in pregleden način omogoča upoštevanje rezultatov preǰsnjih ge-
neracij. Cilj je ohraniti in povečati zanesljivost maturitetnih rezultatov, pa
tudi spodbuditi večji del maturantov, da se odločijo za vǐsjo raven.
Osnovna in vǐsja raven – primerjava dosežkov
Primerjava rezultatov spomladanskih rokov mature iz matematike od leta
2013 do leta 2018 nam pokaže, da se deleži populacije po ocenah (točkah) iz
leta v leto rahlo spreminjajo. V nadaljevanju bomo zaradi primerjave obeh
1–11 3
i
i
“matura” — 2020/7/20 — 7:56 — page 4 — #4 i
i
i
i
i
i
Jaka Erker, Mateja Fošnarič, Alojz Grahor, Tatjana Levstek, Mateja Škrlec, Janez Žerovnik
Ocena \ Leto 2013 2014 2015 2016 2017 2018 povprečje
1 6 6 4 5 5 5 5,2
2 24 27 25 23 22 25 24,3
3 29 35 33 30 28 33 31,3
4 27 24 29 29 29 26 27,3
5 14 8 9 12 16 11 11,7
število vseh
kandidatov OR
5152 4889 4892 4698 4258 4339
Tabela 1. Deleži kandidatov na osnovni ravni (v %) po točkovnih ocenah pri matematiki
na maturi v letih 2013–2018.
Slika 1. Deleži kandidatov na osnovni ravni (v %) po točkovnih ocenah pri matematiki
na maturi v letih 2013–2018.
nivojev uporabljali točkovne ocene.9 Tabela 1 prikazuje deleže kandidatov
na osnovni ravni po točkovnih ocenah v posameznih letih, tabela 2 pa deleže
kandidatov na vǐsji ravni po točkovnih ocenah v letih 2013–2018. Najmanǰse
9Na osnovni ravni kandidati dobijo ocene od 1 do 5, na vǐsji ravni pa ocene od 1 do 5,
pa tudi točkovne ocene od 1 do 8. Točkovna ocena na osnovni ravni je kar enaka oceni.
V skupnem rezultatu mature se upošteva točkovna ocena.
4 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“matura” — 2020/7/20 — 7:56 — page 5 — #5 i
i
i
i
i
i
Primerljivost izpitov na maturi
Točke \ Leto 2013 2014 2015 2016 2017 2018 povprečje
1 0 1 0 1 1 0 0,5
2 2 6 5 4 4 4 4,2
3 3 8 5 6 7 7 6
4 8 12 10 8 9 9 9,3
5 14 17 14 19 18 14 16
6 22 22 25 26 28 29 25,3
7 30 19 21 20 19 22 21,8
8 20 16 19 15 13 16 16,5
število vseh
kandidatov VR
1613 1522 1398 1460 1453 1261
Tabela 2. Deleži kandidatov na vǐsji ravni (v %) po točkovnih ocenah pri matematiki
na maturi v letih 2013–2018.
Slika 2. Deleži kandidatov na vǐsji ravni (v %) po točkovnih ocenah pri matematiki na
maturi v letih 2013–2018.
odstopanje med kandidati na osnovni ravni v posameznih letih je pri toč-
kovni oceni 1 (2 %), največje odstopanje pa pri točkovni oceni 5 (8 %), glej
tabelo 1 in sliko 1. Podobno na vǐsji ravni, kjer je najmanǰse odstopanje
pri točkovni oceni 1 (1 %), največje pa pri sedmih točkah (11 %) (tabela
2 in slika 2). Vsi podatki so povzeti po poročilih objavljenih na spletu [9]
in veljajo za t. i. referenčno skupino SM, v kateri so redni dijaki, ki prvič v
celoti opravljajo splošno maturo (brez kandidatov z maturitetnim tečajem,
1–11 5
i
i
“matura” — 2020/7/20 — 7:56 — page 6 — #6 i
i
i
i
i
i
Jaka Erker, Mateja Fošnarič, Alojz Grahor, Tatjana Levstek, Mateja Škrlec, Janez Žerovnik
Točke \ Leto 2013 2014 2015 2016 2017 2018 povprečje
1 4,6 4,8 3,1 4,1 4 3,9 4,1
2 18,8 22 20,6 18,5 17,4 20,3 19,6
3 22,8 28,6 26,8 24,3 22,7 27,1 25,4
4 22,5 21,2 24,8 24 23,9 22,2 23,1
5 14 10,1 10,1 13,7 16,5 11,7 12,6
6 5,2 5,2 5,6 6,2 7,1 6,5 5,9
7 7,2 4,5 4,7 4,7 4,8 5 5,2
8 4,8 3,8 4,2 3,6 3,3 3,6 3,9
število vseh
kandidatov
6765 6411 6290 6158 5711 5600
Tabela 3. Deleži vseh kandidatov (v %) po točkovnih ocenah pri matematiki v letih
2013–2018.
Slika 3. Deleži vseh kandidatov (v %) po točkovnih ocenah pri matematiki v letih 2013–
2018.
21-letnikov, odraslih in poklicnih maturantov, ki pǐsejo peti predmet splošne
mature).
V dosedanji praksi se matura iz matematike analizira ločeno za osnovno
in za vǐsjo raven, kot da sta to dva izpita. Ker se kandidati samostojno
odločajo, na kateri ravni bodo opravljali izpit, njihova odločitev pa je odvi-
sna od različnih dejavnikov (npr. vpisni pogoji, izkušnje preǰsnje generacije
itd.) se delež in struktura kandidatov, ki izberejo vǐsjo raven, z leti rahlo
6 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“matura” — 2020/7/20 — 7:56 — page 7 — #7 i
i
i
i
i
i
Primerljivost izpitov na maturi
spreminja. Vsak kandidat ima za odločitev svoje razloge, globalno pa so te
odločitve s stalǐsča analitika naključne in predvsem nepredvidljive. Ker so
vsi kandidati, ne glede na to, katero raven izpita so izbrali, maturanti splo-
šne mature, jih je smiselno obravnavati kot dve podmnožici iste populacije.
Zato lahko v nadaljevanju analiziramo dosežke kandidatov celotne popula-
cije in jih primerjamo med seboj po letih. Tabela 3 in slika 3 prikazujeta
deleže vseh kandidatov po točkah na maturi iz matematike v letih 2013–
2018. Odstopanja po letih so po pričakovanju manǰsa, kljub temu pa lahko
rečemo, da so pomembna, saj se gibljejo med 1 in 6,4 odstotne točke. To pa
za celotno populacijo ni zanemarljiv delež. Manǰsa odstopanja je mogoče
delno pojasniti s prosto izbiro ravni, ta pa je lahko pomembno odvisna npr.
od spremembe vpisnih pogojev na eni od popularnih fakultet.
Spomnimo, da je matematika obvezen predmet splošne mature, zato je
prosta izbira ravni opravljanja izpita utemeljena, saj bi s previsokim mi-
nimalnim standardom znanja matematike lahko postavili previsoko oviro
maturantom, ki so zelo talentirani na kakem drugem področju. Kot mate-
matiki lahko obžalujemo, da je delež kandidatov na vǐsji ravni sorazmerno
skromen (okoli 25 %), saj bi bilo smiselno pričakovati, da bodo vsaj bodoči
študenti naravoslovja in tehnike opravljali izpit na vǐsji ravni zahtevnosti.
Ker fakultete tega v vpisnih pogojih ne zahtevajo, bodoči študenti zelo po-
gosto izberejo osnovno raven. Celo za bodoče študente matematike matu-
ritetni izpit iz matematike na vǐsji ravni ni obvezen. Zato je (pre)skromen
delež kandidatov na vǐsji ravni razumljiv. Maturitetna komisija s politiko
pretvorbe točk v ocene, o kateri bo več povedano v nadaljevanju, namerava
v prihodnosti povečati primerljivost dosežkov na obeh ravneh in s tem še
bolj jasno zagotoviti premalo pogumnim kandidatom, da je smiselna prijava
in priprava na vǐsjo raven izpita, saj bo ta ob naložbi v bolǰse predznanje
matematike ob začetku študija tudi praktično brez tveganja, da bi zaradi
izbire vǐsje ravni tvegali nižjo oceno zaradi zahtevneǰsega izpita.
Pri vpisu na fakultete z omejenim vpisom pogosto hkrati kandidirajo
maturanti različnih generacij. (Pre)velike razlike v porazdelitvi ocen med
generacijami imajo lahko nezaželene posledice, zato jih je smiselno kontro-
lirati in kar se da zmanǰsati nepojasnjena ali neutemeljena nihanja.
Taksonomske stopnje in težavnost izpitnih nalog
Taksonomske stopnje
Pri oblikovanju izpitnih ciljev ter izpitnih nalog in vprašanj pri splošni ma-
turi se upošteva enotna lestvica taksonomskih stopenj, ki so opredeljene v
Maturitetnem izpitnem katalogu za splošno maturo [5]:
- prva stopnja: poznavanje (poznavanje dejstev, podatkov, pojmov, defi-
nicij, teorij, formul . . . );
1–11 7
i
i
“matura” — 2020/7/20 — 7:56 — page 8 — #8 i
i
i
i
i
i
Jaka Erker, Mateja Fošnarič, Alojz Grahor, Tatjana Levstek, Mateja Škrlec, Janez Žerovnik
- druga stopnja: razumevanje in uporaba (ugotavljanje vzročno-posledič-
nih odnosov, iskanje zgledov, navajanje svojih lastnih primerov, reševa-
nje problemov, prevajanje enega simboličnega zapisa v drugega . . . );
- tretja stopnja: samostojno reševanje novih problemov, interpretacija in
vrednotenje (izvirne rešitve v novih okolǐsčinah, analiza, primerjanje,
posploševanje, sklepanje, sinteza, samostojno utemeljevanje . . . ).
Gornje opredelitve taksonomskih stopenj so splošne in jih je težko korektno
in na enak način implementirati v vse maturitetne predmete. Zato upora-
blja komisija za matematiko dodatne in bolj natančne opisne kriterije za
razvrščanje nalog in vprašanj na posamezno taksonomsko stopnjo. Deleži
taksonomskih stopenj v maturitetnem izpitu so predpisani s katalogom, kar
velja za vse maturitetne predmete. Kljub morebitnim upravičenim pomisle-
kom zaradi nenatančnosti definicije taksonomskih stopenj izkušnje pokažejo,
da upoštevanje taksonomskih stopenj bistveno prispeva k predvidljivosti pri-
čakovanega rezultata izpita ali testa.
Edukometrični indeksi
V edukometričnih analizah se pojavljajo različni indeksi (glej na primer po-
ročila [9]). Tu omenimo samo enega, ki ima intuitivno precej jasen pomen.
Indeks težavnosti naloge je povprečen rezultat naloge na populaciji, torej
povprečen delež doseženih točk. Po definiciji je torej izmerjena težavnost
naloge odvisna od populacije, na kateri jo merimo. Zato je meritev težav-
nosti neke naloge sorazmerno zanesljiva, lahko bi rekli tudi ustrezna, če je
izračunana kot povprečen rezultat na prvem izpitnem roku mature, ko je
število kandidatov okoli 5000 (ali 1500 na vǐsji ravni).
Ker so bile doslej praviloma naloge na poli 1 na vǐsji ravni kar enake
nalogam na osnovni ravni, je bila težavnost teh nalog izmerjena dvakrat.
Seveda je bila opažena bistvena razlika, če primerjamo težavnost iste naloge
na osnovni in vǐsji ravni. Predvidevamo, da bi lahko opazili preceǰsnje razlike
tudi, če bi isto nalogo merili na spomladanskem in na jesenskem izpitnem
roku, saj vemo, da je struktura kandidatov jeseni precej drugačna kot na
prvem roku.
Če premislimo malo širše, bi lahko definirali relativno težavnost glede na
siceršnje sposobnosti populacije, na kateri merimo težavnost naloge. Takšna
definicija je naravno prisotna, če uporabimo teorijo odgovora na postavko,
kjer je težavnost funkcija, ki pove verjetnost pravilnega odgovora za kandi-
data z dano sposobnostjo.
8 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“matura” — 2020/7/20 — 7:56 — page 9 — #9 i
i
i
i
i
i
Primerljivost izpitov na maturi
Težavnost in taksonomija
Praviloma so naloge nižjih taksonomskih stopenj lažje, imajo torej vǐsjo
vrednost indeksa težavnosti.10 Pri merjenju težavnosti se izkaže, da je za
rezultat izredno pomembno tudi to, ali kandidati nalogo ali tip naloge pri-
čakujejo. Tako je bilo v preteklosti kar nekaj primerov, ko se je naloga
izkazala za zelo slabo reševano, čeprav po taksonomiji ne bi bila uvrščena
visoko, ali pa objektivno gledano ni pretirano zahtevna. Naloga vǐsje ta-
ksonomske stopnje postane lažja, če so kandidati podobno nalogo že videli,
na primer v kaki zbirki nalog. Presenečenje je lahko tudi naloga, ki je sicer
povsem običajna, a je na maturitetnih izpitih (dolgo) ni bilo. Primer iz ene
od matur v bližnji preteklosti je presenetljivo slabo reševana naloga s tremi
povsem standardnimi limitami, skoraj zanesljivo zaradi tega, ker je večino
kandidatov presenetila.
Pretvorba točk v točkovne ocene
Ugotavljanje taksonomije nalog in predvidevanje indeksa težavnosti sta
orodji, s katerima predmetne komisije poskusijo v čim večji meri pripraviti
več enakovrednih izpitnih kompletov. Postopek je v veliki, ali bolje rečeno,
v preveliki meri odvisen od znanja in intuicije članov predmetne komisije,
zato je koristno razmǐsljati o metodi, ki bi dala dodatna zagotovila, da ne
bo prevelikih nepredvidenih razlik. Tu najprej opǐsemo sedanji postopek
pretvorbe rezultatov v točkovne ocene.
Potem ko so vsi kandidati ob istem času pisali maturo in so zunanji oce-
njevalci v skladu s potrjenim moderiranim točkovnikom ocenili izdelke ano-
nimnih kandidatov, pridejo rezultati nazaj k predmetni komisiji, ki pripravi
predlog pretvorbe točk v točkovne ocene (in ocene). Osnova so vnaprej pred-
videne meje med ocenami, ki temeljijo na oceni težavnosti izpitnih nalog,
kar je vsebinski kriterij. Po primerjavi dejanskih rezultatov s pričakovanimi
in po primerjavi porazdelitve ocen s preteklimi leti se komisija lahko odloči
za manǰse popravke mej. Spremembe mej so pogosto utemeljene vsebinsko,
ko analiza uspeha po posameznih nalogah pokaže, da je bila neka konkretna
naloga nepričakovano reševana slabše od pričakovanj ali da je rezultat pri
nekaterih nalogah nad pričakovanji. Bistveno težje je v izpitnem kompletu
(pred letom 2021) utemeljiti razmerje med mejami med ocenami na osnovni
in vǐsji ravni, saj je težavnost pole 2 na vǐsji ravni še težje napovedati,
predvsem zato, ker kandidati ob dveh obveznih nalogah izbirajo še eno med
dvema izbirnima nalogama. Preceǰsnja nihanja v porazdelitvi ocen na vǐsji
ravni (slika 2) so bila zato pri dosedanjem načinu pretvorbe točk v ocene
neizbežna.
10Bolj ustrezno bi bilo ta indeks poimenovati »indeks lahkosti«.
1–11 9
i
i
“matura” — 2020/7/20 — 7:56 — page 10 — #10 i
i
i
i
i
i
Jaka Erker, Mateja Fošnarič, Alojz Grahor, Tatjana Levstek, Mateja Škrlec, Janez Žerovnik
V nadaljevanju opǐsemo osnovno idejo, na kateri bi lahko temeljilo pre-
tvarjanje točk v ocene v prihodnosti.11 Metoda temelji na kombinaciji kla-
sične teorije in teorije odgovora na postavko (glej npr. [1, 4, 6]). Iz strukture
izpita [2] lahko izpitni komplet razumemo kot kombinacijo treh postavk ali
treh klasičnih testov (test A sestavljajo naloge sklopa A, podobno za B
in C). Vsakega od treh testov lahko v duhu teorije odgovora na postavko
razumemo kot eno obsežno nalogo.12
Zelo na kratko in brez podrobnosti (več o tem na drugem mestu) je ideja
usklajene pretvorbe točk v ocene za obe ravni naslednja. Ob privzetku, da
je celotna populacija na spomladanskem roku običajna,13 lahko iz rezulta-
tov dobimo težavnost sklopa B. Sklop B pǐsejo vsi kandidati, zato je število
kandidatov dovolj veliko in zanesljivost ocene težavnosti sklopa B ni vpra-
šljiva. Na osnovi rezultatov na sklopu B lahko dobimo oceno sposobnosti
obeh skupin kandidatov, ki so pisali osnovno in vǐsjo raven izpita. Iz znane
(tako izračunane) sposobnosti skupine lahko v naslednjem koraku dobimo
težavnosti testov A in C. In nazadnje, potem ko smo na opisani način dobili
težavnosti testov A, B in C (predvsem je pomembno, da imamo zanesljivo
oceno razmerja med težavnostmi A in C), lahko utemeljeno postavimo meje
za ocene v obeh primerih. Tako bi na primer lahko dobili, da je meja za
točkovno oceno 4 na osnovni ravni enaka 75 %, na vǐsji ravni pa 64 %. Na-
dalje samo povejmo, da je mogoče pokazati, da obstaja neko (izračunljivo)
število točk m na sklopu B, tako da je verjetnost, da bo naključno izbrani
kandidat, ki je na sklopu B dosegel m točk, z enako verjetnostjo dosegel
vsaj 75 % v primeru, da je izbral osnovno raven, ali vsaj 64 % v primeru,
da je izbral vǐsjo raven. Ker so dosežene točke na maturi cela števila, lahko
na splošno pride do napake zaradi zaokrožanja in so omenjene verjetnosti le
približno enake.
Tako dosežemo utemeljeno primerljivost med točkovnimi ocenami na
osnovni in vǐsji ravni. Na (še večjo kot doslej) stabilnost porazdelitve med
generacijami lahko vplivamo tako, da predpostavimo, da so zaporedne ge-
neracije povsem (ali skoraj) enako sposobne, na osnovi te hipotetične poraz-
delitve pa določimo težavnost sklopa B. Kot že omenjeno, to predpostavko
maturitetne komisije pri vseh predmetih uporabljajo za osnovo že do sedaj,
s tem da je bila pri izpitu iz matematike narejena ločeno za osnovno in vǐsjo
raven.
Pred zaključkom povejmo nekaj več o posledicah, torej o tem, kaj, ob
11Metodo bi lahko uporabili tudi na dosedanjih maturah. Iz neznanih razlogov se s tem
doslej kot kaže ni še nihče resno ukvarjal. Vprašanje je zaradi strukture izpita pomembno
samo (ali predvsem) za matematiko, implementacija alternativne metode pa presega po-
oblastila predmetne komisije, zato je v tej opombi uporabljen pogojnik.
12Popolna uporaba teorije odgovora na postavko bi za postavke vzela posamezne naloge
ali celo posamezne dele nalog.
13S tem mislimo, da je generacija po sposobnostih zanemarljivo drugačna od generacije
pred njo.
10 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“matura” — 2020/7/20 — 7:56 — page 11 — #11 i
i
i
i
i
i
Primerljivost izpitov na maturi
upoštevanju prej povedanega, lahko svetujemo kandidatom, ki se bodo od-
ločali o izbiri med osnovno in vǐsjo ravnjo izpita. Za lažje razumevanje
najprej kandidate v grobem razdelimo v tri skupine glede na dosežen uspeh
na gimnaziji:
1. kandidati z ocenami 5 in 4,
2. kandidati z oceno med 3 in 4,
3. kandidati z oceno 2.
Za večino, predvsem pa za povprečne kandidate druge skupine, bo pri-
čakovana ocena enaka, ne glede na to, ali izberejo izpit na osnovni ali vǐsji
ravni. To z drugimi besedami pomeni, da se je za raven smiselno odločiti
na osnovi tega, kaj nameravajo študirati in koliko energije so pripravljeni
vložiti v resno pripravo na maturo. Za kandidate tretje skupine je zelo
priporočljivo, da izberejo osnovno raven, ker menimo, da jim verjetno na
sklopu C ne bo uspelo pokazati svojega znanja. Za kandidate prve skupine
je seveda smiselno izbrati vǐsjo raven, saj imajo tam priložnost zasluženo
dobiti vǐsje točkovne ocene. Seveda pa morajo za to ponoviti ali se naučiti
nekaj dodatne in zahtevneǰse snovi, ki je v učnem načrtu opredeljena kot
posebna znanja.
LITERATURA
[1] D. Andrich, Rasch models for measurement, Sage publications, Newbury Park, 1988.
[2] I. Banič, J. Erker, M. Fošnarič, A. Grahor, T. Levstek, M. Škrlec in J. Žerovnik,
Novosti na splošni maturi 2021 pri predmetu matematika, Obzornik mat. fiz. 66
(2019), 161–171.
[3] I. Banič, J. Erker, M. Fošnarič, A. Grahor, T. Levstek, M. Škrlec in J. Žerovnik, Pred-
metni izpitni katalog za splošno maturo – matematika, Državni izpitni center, Lju-
bljana, 2019; dostopno na www.ric.si/mma/M-MAT-2021/2019082714564660/, ogled
17. 9. 2019.
[4] V. Bucik, Osnove psihološkega testiranja, Filozofska fakulteta, Ljubljana, 1997.
[5] S. Černoša (ur.), Izpitni katalog za splošno maturo, Državni izpitni center, Ljubljana,
2017; dostopno na www.ric.si/mma/M-MIK\%202019/2017083009162098/, ogled 28.
11. 2019.
[6] G. Sočan, Ocenjevanje zanesljivosti maturitetnih izpitov, Psihološka obzorja 9 (2000),
79–90.
[7] B. Zmazek, D. Zupanc in R. Zorec, Vǐsja zahtevnost vstopnega znanja za bolǰso
kakovost univerzitetnih študentov in diplomantov, v: Od minimalnih standardov k
odličnosti : zbornik razprav o kakovosti v visokem šolstvu in letno poročilo 2018, (ur.
T. Horvat), NAKVIS, Ljubljana, 2019; dostopno na www.nakvis.si/wp-content/
uploads/2019/05/Nakvis-brosura-interactive-pages.pdf, ogled 28. 11. 2019.
[8] D. Zupanc, G. Cankar, M. Bren, Interno ocenjevanje pri slovenski maturi : velike
razlike med šolami, Šolsko polje: revija za teorijo in raziskave vzgoje in izobraževanja
23 (2010), 113–137.
[9] Poročila DPK SM za matematiko, dostopno na www.ric.si/splosna_matura/
predmeti/matematika/, ogled 1. 8. 2019.
1–11 11
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 12 — #1 i
i
i
i
i
i
PADANJE KAPLJIC, IZLOČENIH IZ DIHAL
GREGOR SKOK
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Ključne besede: epidemija, padanje kapljic, dihala
Dandanes, ko po svetu razsaja virus SARS-CoV-2, ki se med ljudmi najverjetneje
najbolj prenaša kapljično, je zelo aktualno vprašanje, koliko časa v zraku ostanejo poten-
cialno patogene kapljice, ki jih iz telesa izločimo iz dihal ob kihanju, kašljanju, govorjenju
ali dihanju. Ob določenih poenostavitvah o kemični sestavi kapljic in nekaterih drugih
predpostavkah je možno izračunati, koliko časa bi potrebovala kapljica, da pade na tla iz
neke začetne vǐsine. Rezultati kažejo, da večje kapljice (npr. tiste z radijem večjim od 50
µm) padejo iz vǐsine dveh metrov na tla v nekaj sekundah, medtem ko bi lahko manǰse
kapljice (npr. tiste z radijem manǰsim od 5 µm) padale do tal tudi več ur – seveda v ne
preveč suhem zraku, ko se ne bi povsem osušile.
FALLING OF RESPIRATORY DROPLETS
Nowadays, with the pandemic caused by the SARS-CoV-2 virus, which is most likely
transmitted between humans by respiratory droplets emitted by coughing and sneezing,
the question of how long these droplets stay airborne is relevant. With the simplification
of the chemical composition of the droplets and assuming stationary air, it is possible
to calculate how long it would take for a droplet to fall to the ground from some initial
height. The results show that larger droplets (e.g., those with a radius greater than 50
µm) fall from a height of two meters to the ground in a matter of seconds, while smaller
droplets (e.g., those with a radius less than 5 µm) can remain airborne for several hours
– assuming that the droplets don’t completely dry out.
Uvod
Dandanes, ko po svetu razsaja virus SARS-CoV-2, ki se med ljudmi naj-
verjetneje najbolj prenaša kapljično, je zelo aktualno vprašanje, koliko časa
v zraku ostanejo potencialno patogene kapljice, ki jih iz telesa izločimo iz
dihal.
Ob kihanju, kašljanju, govorjenju in dihanju se iz dihal izloča večje šte-
vilo kapljic [4]. Na primer, ob močnem kihanju se lahko izloči več kot 40 000
kapljic [9] in če si ust in nosu med kihanjem ne pokrijemo, lahko kapljice
priletijo tudi do 8 metrov daleč v horizontalni smeri [1]. Te kapljice so del
turbulentnega oblaka, ki se stran od izvora premika z veliko hitrostjo (lahko
tudi več kot 100 m/s, [9]). Med premikanjem lahko predvsem večje kapljice
iz oblaka že izpadejo in potencialno kontaminirajo različne površine na tleh
ali predmetih. Sčasoma oblak izgubi zagon in razpade, preostale kapljice v
12 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 13 — #2 i
i
i
i
i
i
Padanje kapljic, izločenih iz dihal
oblaku pa začnejo intenzivneje padati in izhlapevati. Tudi pri govorjenju in
dihanju se lahko izloča večje število kapljic. Te iz telesa sicer ne izhajajo
s tako veliko hitrostjo kot pri kihanju, vendar pa se lahko med počasnim
padanjem proti tlom premikajo skupaj z okolǐskim zrakom in v tem času
lahko prepotujejo večjo horizontalno razdaljo. Pri tem glavno vlogo igra
hitrost padanja kapljic skozi zrak, saj določa, kako hitro bo neka kapljica
padla na tla, to pa je odvisno predvsem od njene velikosti. Velikost kapljic
se ob izhlapevanju manǰsa, hitrost izhlapevanja pa je močno odvisna od
temperature in vlažnosti zraka, skozi katerega padajo.
Nas predvsem zanima, koliko časa traja, da posamezna kapljica pade na
tla skozi povsem mirujoč zrak ob določeni predpostavki o relativni vlažnosti.
Ker je izhlapevanje kapljic, ki jih tvorijo kompleksne biološke tekočine, slabo
raziskano [1], bomo v naši obravnavi kemično sestavo kapljic zelo poenosta-
vili. Predpostavimo, da je sestava kapljic podobna slini, v kateri 99,5 %
mase predstavlja voda [3], ter da preostale 0,5 % mase predstavlja NaCl, ki
je v vodi raztopljen.
Ravnovesna hitrost padanja kapljic
Majhna kapljica zelo hitro doseže ravnovesno hitrost padanja. Na primer,
kapljica z radijem 30 µm doseže 99 % ravnovesne hitrosti v približno 0,05
sekunde, ko iz mirovanja pade za približno 4 mm [5]. Ravnovesno hitrost
padanja zelo majhnih kapljic (vrav) je možno preprosto izraziti ob predpo-
stavki Stokesovega zakona upora, pri čemer ima vrav približno kvadratno
odvisnost od radija kapljice ([5], enačba 10-139)
vrav = Ckr
2. (1)
V enačbi je r radij kapljice, k pa konstanta, odvisna od težnega pospeška,
gostote vode in zraka ter dinamične viskoznosti zraka. C je korekcijski
faktor, ki je pomembno različen od 1 le za zelo majne kapljice z radijem
manǰsim od 5 µm. Velja pol-empirična zveza C = 1 + 1,26 · λa/r, kjer je λa
povprečna prosta pot molekul v zraku. Pri temperaturi 20 ◦C in zračnem
tlaku 1 bar približno velja k ≈ 1,2 · 108 m−1 s−1 in λa ≈ 6,6 · 10−8 m [2].
Predpostavka o Stokesovem uporu in s tem enačba (1) dobro veljata za
kapljice z radijem 0,5 µm . r . 10 µm, vsaj približno pa še vse do r <
50 µm.
Slika 1 prikazuje ravnovesno hitrost padanja kapljic v odvisnosti od ra-
dija. Za kapljico z radijem 10 µm je ravnovesna hitrost padanja približno
1,2 cm/s, torej bi takšna kapljica z vǐsine dveh metrov na tla padla v pribli-
žno 2,7 minute (seveda spet ob predpostavki, da zrak popolnoma miruje).
Ker pa okolǐski zrak večinoma ni nasičeno vlažen, začne voda iz kapljice
izhlapevati in se kapljica manǰsa. Zato se njeno padanje upočasni in potre-
buje več časa, da pade na tla. Na primer, za kapljico z radijem 2 µm je vrav
12–22 13
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 14 — #3 i
i
i
i
i
i
Gregor Skok
približno 0,5 mm/s, kar pomeni, da bi za padec globok dva metra potrebo-
vala precej več časa kot kapljica z radijem 10 µm (približno 1,1 ure). Spet
drugače velja za še večjo kapljico z radijem 50 µm – za njo je vrav približno
30 cm/s, kar je dosti več kot za kapljico z radijem 10 µm. Takšna kapljica
bi za dvometrski padec potrebovala le dobrih 6 sekund, kar je premalo, da
bi se njena velikost v tem času bistveno zmanǰsala, in zato takšna kapljica
hitro pade na tla.
Slika 1. Ravnovesna hitrost padanja kapljic v mirujočem zraku (vrav) izračunana po
enačbi (1) pri temperaturi 20 ◦C in zračnem tlaku 1 bar.
Vpliv topljenca in ukrivljenosti na nasičeni parni tlak ob kapljici
Hitrost izhlapevanja vode iz kapljice je močno odvisna od vrednosti nasi-
čenega parnega tlaka tik nad površino kapljice. Razmerje med nasičenim
parnim tlakom nad površino kapljice, v kateri je raztopljena določena masa
x topljenca (es,r,x), ter nasičenim parnim tlakom nad ravno površino vode,
v kateri ni topljenca (es), opisuje Köhlerjeva enačba ([5], enačba 6-27):
ln
(
es,r,x
es
)
=
A
r
− B
r3
. (2)
Člen Ar s konstanto A, ki je sorazmerna z vrednostjo površinske napetosti
vode, opisuje vpliv ukrivljenosti površine kapljice – ta ima učinek, da nad
površino kapljice poveča nasičeni parni tlak (čim manǰsa bo kapljica, tem
bolj bo ukrivljena njena površina in tem večji bo člen A/r). Člen B
r3
z B(x),
ki je sorazmeren masi topljenca, pa opisuje vpliv topljenca – ta ima učinek,
14 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 15 — #4 i
i
i
i
i
i
Padanje kapljic, izločenih iz dihal
da nad površino kapljice zniža nasičeni parni tlak. Pri majhnih kapljicah,
zaradi kubične odvisnosti od radija, prevlada učinek topljenca in posledično
je nasičeni parni tlak nad majhno kapljico praviloma nižji od tistega nad
ravno površino vode, v kateri ni topljenca.
Kapljica z radijem 10 µm ima maso približno 4,2 · 10−12 kg, kar (ob
predpostavki, da 0,5 % mase kapljice tvori NaCl) pomeni, da bi bila masa
raztopljenega NaCl približno 2,1 · 10−14 kg. Ob predpostavki, da je tempe-
ratura 20 ◦C in da je v vodi raztopljenega 2,1 · 10−14 kg NaCl, dobimo za
A ≈ 3,2 · 10−8 m in za B ≈ 3,1 · 10−18 m3 ([5], enačba 6-28).
Slika 2. Razmerje med nasičenim parnim tlakom es,r,x nad ukrivljeno kapljico s topljen-
cem in nasičenim parnim tlakom es nad ravno čisto vodo v odvisnosti od radija kapljice.
Vrednosti so izračunane iz enačbe (2) ob predpostavkah, da je temperatura 20 ◦C in da
je v vodi raztopljenega 2,1 · 10−14 kg NaCl.
Odvisnost razmerja es,r,x/es v odvisnosti od radija kapljice je prikazana
na sliki 2. Praviloma velja, da je nad površino manǰse kapljice nasičeni parni
tlak manǰsi in da vrednost z vse večjim radijem narašča proti vrednosti, ki
je nad ravno vodno površino. Na primer, pri radiju 3 µm je nasičeni parni
tlak nad površino kapljice enak približno 90 % vrednosti nasičenega parnega
tlaka nad ravno površino vode. To je predvsem posledica raztopljenega
NaCl, ki nad površino kapljice zniža nasičeni parni tlak, ter tega, da je
koncentracija enake količine NaCl v večji kapljici manǰsa. Ob izhlapevanju
se seveda koncentracija NaCl v kapljici povečuje.
Dodatno komplikacijo predstavlja dejstvo, da koncentracija raztoplje-
nega NaCl v vodi ne more biti poljubno velika. Koncentracija NaCl je
praviloma nasičena, ko parni tlak nad kapljico doseže približno 75 odstot-
kov vrednosti nasičenega parnega tlaka nad ravno čisto vodo (tako imeno-
vana točka delikvescence, [5]). Če je relativna vlažnost nižja od 75 %, se
12–22 15
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 16 — #5 i
i
i
i
i
i
Gregor Skok
kapljica sicer lahko povsem osuši (v tem primeru bo ostal le trdni delec
NaCl) – vendar to ni nujno. Eksperimenti kažejo, da lahko tekoče kapljice,
ki vsebujejo NaCl, obstajajo vse do vlažnosti 45 % (tako imenovana točka
efflorescence, [10]).
Trdni delec NaCl, ki nastane, če se kapljica popolnoma osuši, nima nujno
povsem sferične oblike, precej pa se spremeni tudi gostota delca (gostota
kristalizirane NaCl je približno dvakratnik gostote tekoče vode). Zato se
bomo pri nadaljnji obravnavi omejili na primere, kjer je relativna vlažnost
vsaj 50 %, pri čemer bomo predpostavili, da se kapljice ne osušijo povsem.
Hitrost manǰsanja kapljice ob izhlapevanju
Ob predpostavki, da okolǐski zrak ni nasičeno vlažen, voda iz kapljice iz-
hlapeva in kapljica se manǰsa. Pričakovali bi, da bo čez nekaj časa dosegla
ravnovesno velikost glede na vlažnost v okolici (npr. za relativno vlažnost
90 % je pri 2,1 · 10−14 kg NaCl to radij 3 µm) – seveda, če kapljica ne bo že
prej padla na tla.
Hitrost izhlapevanja kapljice je odvisna od hitrosti prenosa vodne pare
stran od kapljice, ki skozi miren zrak poteka le z molekularno difuzijo. Hi-
trost spremembe mase sferične kapljice ob izhlapevanju oziroma kondenza-
ciji lahko izrazimo z izrazom (enačba 7-7 v [6])
dm
dt
= 4πrDv(ρv − ρvr), (3)
kjer je m masa kapljice, Dv konstanta difuzivnosti vodne pare skozi zrak (pri
temperaturi ledǐsča in standardnem tlaku 1013 hPa je vrednost Dv približno
0,2 cm2/s), ρv gostota vodne pare v okolǐskem zraku, ρvr pa gostota vodne
pare tik nad površino kapljice. Enačba (3) je omenjena tudi v članku, ki
se ukvarja z zmrzovanjem podhlajenih kapljic, saj izhlapevanje pomembno
vpliva tudi na odvod toplote v okolico [8].
Za izhlapevanje je pomembno, da je gostota vodne pare tik ob kapljici
večja od tiste v okolici – v tem primeru je dm/dt < 0 in kapljica se manǰsa.
Za gostoto vodne pare tik ob površini kapljice lahko privzamemo kar nasi-
čeno vrednost – pri tem pa je treba upoštevati, da imata kapljica in zrak
tik ob kapljici nekoliko nižjo temperaturo od okolice, saj se za izhlapevanje
vode porablja toplota (pri kondenzaciji je ravno obratno).
Iz enačbe (3) je možno v nekaj korakih priti do izraza za hitrost spre-
membe velikosti kapljice
dr
dt
=
ξ
r
(
S − es,r,x
es
)
, (4)
Ta izraz je enak enačbi 7.18 v [6], le da je v števcu namesto člena 1 +
A/r −B/r3 zapisan kar bolj splošen izraz es,r,x/es, koeficienta Fk in Fd pa
16 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 17 — #6 i
i
i
i
i
i
Padanje kapljic, izločenih iz dihal
sta združena v koeficient ξ = 1/(Fk + Fd). S je relativna vlažnost zraka v
okolici (razmerje med parnim tlakom v zraku in nasičenim parnim tlakom
nad čisto ravno vodo). ξ je odvisna le od temperature in zračnega tlaka
– vrednosti lahko preberemo iz slike 7.1 v [6]. Pri temperaturi 20 ◦C in
zračnem tlaku 1 bar približno velja ξ ≈ 1,3 · 10−10 m2/s.
Enačbi (3) in (4) veljata le v primeru, da kapljica glede na zrak povsem
miruje – če se kapljica glede na zrak premika, je treba upoštevati tudi kon-
vekcijski prenos vlage in toplote. Tega lahko poenostavljeno upoštevamo
s tem, da desne strani enačb (3) in (4) pomnožimo s t. i. ventilacijskim
faktorjem fv. Velja fv ≥ 1, saj konvekcija vedno poveča prevajanje toplote
oziroma prenos vodne pare. Izkaže se, da je za kapljice z radijem manǰsim
od 10 µm učinek konvekcije zanemarljiv (fv ≈ 1). Za večje kapljice pa uči-
nek ni več zanemarljiv – na primer, za kapljice z radijem 50 µm je fv ≈ 1,2
([5], enačba 13-60). V naši obravnavi bomo učinek konvekcije zanemarili,
saj se bomo omejili na velikosti kapljic do r = 50 µm. Sicer pri r = 50 µm
učinek konvekcije ni več popolnoma zanemarljiv, vendar pa ta poenostavi-
tev ni zelo velika glede na nekatere druge (npr. o kemični sestavi kapljic in
o povsem mirujočem zraku).
Najprej lahko poskušamo ugotoviti, koliko časa bi bilo potrebno, da
bi se kapljica zmanǰsala do polovičnega radija. Enačbo (4) lahko rešimo z
integracijo od začetnega radija r0 do polovičnega radija r0/2 ter od časa 0 do
tr0/2. Če predpostavimo, da je učinek topljenca in ukrivljenosti kapljice na
nasičeni parni tlak majhen (kar v primeru na sliki 2 približno velja, dokler
je r > 5 µm), lahko predpostavimo kar es,r,x/es ≈ 1. V tem primeru se
enačba 4 precej poenostavi in jo lahko rešimo s preprosto integracijo
dr
dt
=
ξ
r
(S − 1),∫ r0/2
r0
rdr = ξ(S − 1)
∫ tr0/2
0
dt, (5)
tr0/2 =
3r20
8ξ(1 − S)
.
Slika 3 prikazuje odvisnost tr0/2 od začetnega radija in vlažnosti. Za S =
0,9 in r0 = 10 µm dobimo tr0/2 = 3 s. Torej se velikost radija zelo hitro
prepolovi – padec kapljice v tem času je majhen (približno 3 cm). Če bi bila
relativna vlažnost 50 %, bi bil tr0/2 še petkrat kraǰsi (0,6 s). Prav tako bi bil
tr0/2 kraǰsi za kapljice z manǰso začetno velikostjo, saj je v izrazu kvadratna
odvisnost od r0.
Posledično lahko pričakujemo, da kapljica z začetnim radijem manǰsim
od 10 µm v nekaj sekundah doseže svojo ravnovesno velikost. Ker se pri-
lagoditev velikosti hitrosti zgodi zelo hitro, lahko spust kapljice v tem času
12–22 17
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 18 — #7 i
i
i
i
i
i
Gregor Skok
Slika 3. Odvisnost časa tr0/2, ki je potreben, da se kapljica zmanǰsa na polovično veli-
kost, od začetnega radija kapljice in relativne vlažnosti – enačba (5). Izračun je narejen
ob predpostavkah, da je temperatura 20 ◦C, zračni tlak 1 bar ter da je v začetni fazi
izhlapevanja učinek topljenca in ukrivljenosti na nasičen parni tlak majhen.
kar zanemarimo (v primerjavi z vǐsino dveh metrov) in predpostavimo kar
konstantno hitrost padanja.
Na primer, kapljica z začetnim radijem 10 µm v nekaj sekundah izhlapi
do ravnovesne velikosti z radijem 3 µm (velja za S = 0,9). Za tako ve-
liko kapljico je ravnovesna hitrost padanja približno 1,1 mm/s – torej bi za
dvometrski padec na tla potrebovala približno 30 minut.
Drugače pa velja za večje kapljice. Na primer, za r0 = 50 µm in S = 0,9
dobimo tr0/2 = 72 s. Ker je ravnovesna hitrost padanja kapljice z radijem
50 µm približno 30 cm/s, lahko upravičeno pričakujemo, da bo kapljica z
vǐsine 2 m v tem času že padla na tla. Hkrati tudi ne moremo več privzeti,
da ves čas pada s konstantno hitrostjo, saj med padanjem hlapi, se manǰsa
in zato pada vse počasneje, a pade na tla, preden doseže ravnovesno velikost.
Čas padca kapljice do tal
Za izračun padanja kapljice torej ne moremo vedno privzeti, da kapljica pada
s konstantno hitrostjo. Za oceno padanja lahko v enačbo (4) vstavimo izraz
za es,r,x/es iz enačbe (2), ter jo kombiniramo z enačbo (1) za ravnovesno
hitrost padanja, kjer vrav zapǐsemo kot dz/dt ter izrazimo koeficient C. Tako
18 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 19 — #8 i
i
i
i
i
i
Padanje kapljic, izločenih iz dihal
Slika 4. Sprememba radija (zgoraj) in padec kapljice (spodaj) v odvisnosti od časa pri
relativni vlažnosti 50 % oziroma 90 %. Prikazani so izračuni za pet kapljic z različnimi
začetnimi velikosti, ki so označene na slikah (r0 = 2 µm, 5 µm, 10 µm, 20 µm in 50 µm).
Izračun je narejen z numerično integracijo enačb (6) ob predpostavkah, da zrak povsem
miruje, da 0,5 % začetne mase kapljice predstavlja NaCl, preostalo pa je voda, da je
temperatura 20 ◦C, da je zračni tlak 1 bar, da kapljica ves čas pada z ravnovesno hitrostjo
padanja ter da se kapljica nikoli povsem ne osuši.
dobimo sistem dveh diferencialnih enačb:
dr
dt
=
ξ
r
(
S − exp
(
A
r
− B
r3
))
, (6)
dz
dt
=
(
1 + 1,26
λa
r
)
kr2.
Ta sistem enačb lahko rešimo z numerično integracijo v času ter tako dobimo
spremembo radija in vǐsine kapljice v času. Na sliki 4 so prikazani rezultati
numerične integracije za pet velikosti kapljic in dve vrednosti relativne vla-
žnosti. Padanje vseh kapljic poteka podobno. V prvi fazi se velikost kapljic
bistveno še ne zmanǰsa in padanje je enakomerno. Prva faza je pri manǰsih
kapljicah kratka (npr. za r0 = 5 µm je med 0,1 s in 1 s, odvisno od vlažno-
12–22 19
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 20 — #9 i
i
i
i
i
i
Gregor Skok
sti), pri večjih pa dalǰsa (npr. za r0 = 50 µm je & 5 s). V drugi fazi, tam,
kjer se na črtah na sliki 4 zgoraj vidi koleno, se kapljica začenja manǰsati in
padanje je vse počasneǰse. V tretji fazi kapljica doseže ravnovesno velikost
in padanje spet postane enakomerno. Do tretje faze prej pride pri manǰsih
kapljicah kot pri velikih. Na padanje ima velik vpliv vlažnost okolǐskega
zraka. V bolj vlažnem zraku pride do druge in tretje faze pozneje kot v
bolj suhem zraku – posledično kapljica pri večji vlažnosti pada hitreje. Tudi
ravnovesna velikost kapljice bo v bolj vlažnem zraku večja, kar pomeni, da
bo tudi hitrost padanja v tretji fazi večja.
Z vodoravno točkasto črto je označena tudi vǐsina padca za 2 m – za kar
privzamemo, da je začetna vǐsina kapljice nad tlemi. Kapljica z r0 = 50 µm
pade na tla v približno 10 sekundah, pri čemer je še vedno v prvi fazi, saj
se njena velikost v tem času ne zmanǰsa bistveno. Kapljica z r0 = 10 µm
pride do tretje faze v približno 1 do 5 sekundah. Pri takšni kapljici je tudi
jasno viden velik vpliv vlažnosti na izhlapevanje in s tem na padanje – pri
90 % vlažnosti bo kapljica padla na tla v približno 30 minutah, pri 50 % pa
v približno 100 minutah.
Slika 5 in tabela 1 bolj podrobno kažeta odvisnost časa, v katerem ka-
pljica pade za 2 m, od začetne velikosti kapljice in vlažnosti. Za kapljice
vseh velikosti velja, da čim bolj vlažen je zrak, tem manj bodo hlapele in
zato tem prej padle na tla. Pri nekaterih kapljicah je čas padanja pri 50 %
vlažnosti lahko tudi več kot 30-krat dalǰsi kot čas pri 100 % vlažnosti (npr.
za kapljico z r0 = 10 µm je pri 50 % vlažnosti ta čas enak 1,7 ure, pri 100 %
vlažnosti pa 2,8 minute).
Slika 5. Čas, v katerem kapljica pade na tla z vǐsine 2 m, v odvisnosti od začetne velikosti
kapljice in relativne vlažnosti. Izračun je narejen pri enakih pogojih in predpostavkah kot
pri sliki 4.
20 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 21 — #10 i
i
i
i
i
i
Padanje kapljic, izločenih iz dihal
začetni radij kapljice (r0)
S 2 µm 5 µm 10 µm 20 µm 50 µm
1,00 5,5 h (0,88 µm) 22 min (3,5 µm) 2,8 min (9,9 µm) 41 s (20 µm) 6,7 s (50 µm)
0,95 11 h (0,62 µm) 1,4 h (1,8 µm) 19 min (3,7 µm) 3,3 min (7,6 µm) 6,8 s (49 µm)
0,90 14 h (0,53 µm) 2,1 h (1,4 µm) 30 min (3,0 µm) 6,2 min (6,1 µm) 6,9 s (48 µm)
0,80 20 h (0,44 µm) 3,2 h (1,2 µm) 48 min (2,4 µm) 11 min (4,8 µm) 7,2 s (46 µm)
0,70 26 h (0,38 µm) 4,3 h (1,0 µm) 1,1 h (2,0 µm) 15 min (4,1 µm) 7,5 s (44 µm)
0,60 31 h (0,34 µm) 5,3 h (0,89 µm) 1,4 h (1,8 µm) 20 min (3,6 µm) 8,0 s (41 µm)
0,50 37 h (0,31 µm) 6,4 h (0,81 µm) 1,7 h (1,6 µm) 24 min (3,3 µm) 8,5 s (37 µm)
Tabela 1. Enako kot slika 5, le da so prikazane numerične vrednosti za nekatere izbrane
začetne velikosti kapljic. Vrednosti v oklepajih predstavljajo radij kapljice ob času padca
na tla.
Večje kapljice večinoma hitro padejo na tla. Na primer: kapljice z radi-
jem večjim od 40 µm padejo na tla v največ treh minutah (sicer ob pred-
postavki, da relativna vlažnost ni manǰsa od 50 %). Čas padanja manǰsih
kapljic je lahko zelo dolg – tudi več ur – še posebej, če je zrak zelo suh (a
vseeno ne toliko suh, da bi povsem izhlapele). Na primer, kapljice z radijem
5 µm pri 100 % vlažnosti potrebujejo do tal 22 minut, pri vlažnosti 50 % pa
kar 6,4 ure.
Zaključki
Čas, v katerem kapljica pade na tla, je odvisen predvsem od njene začetne
velikosti ter temperature in vlažnosti okolǐskega zraka. Večje kapljice izpa-
dejo v nekaj sekundah, medtem ko lahko manǰse kapljice ostanejo v zraku
tudi več ur – seveda ob tem delno izhlapijo. Velik vpliv na padanje ima vla-
žnost. Če je zrak bolj suh, majhne kapljice bolj izhlapijo in dosežejo manǰso
ravnovesno velikost in zato padajo počasneje. Če pa bi bil zrak zelo suh, pa
bi se lahko tudi povsem osušile in bi ostal le delec NaCl. Vpliv vlažnosti je
verjetno tudi razlog, zakaj so v notranjih prostorih kapljice prisotne v zraku
dlje časa pozimi kot poleti. Pozimi notranje prostore običajno ogrevamo
in s tem znižamo relativno vlažnost, poleti pa prostorov ne ogrevamo in je
relativna vlažnost v notranjih prostorih vǐsja in bolj podobna tisti zunaj.
Na padanje – posredno preko nasičenega tlaka vodne pare – pomembno
vpliva tudi kemična sestava kapljice. Topljenec v kapljici vpliva na nasičeni
parni tlak nad površino kapljice, ter posledično na hitrost izhlapevanja in
padanja kapljice. Pri naši obravnavi smo zelo poenostavljeno predpostavili,
da 0,5 % začetne mase kapljice predstavlja NaCl, preostalo pa je voda. V
resnici je kemična sestava kapljic, izločenih iz dihal, precej bolj zapletena.
Predpostavili smo tudi, da kapljice padajo skozi zrak, ki povsem miruje.
V resnici tudi v notranjih prostorih zrak skoraj nikoli povsem ne miruje.
Razlike v temperaturi sten oziroma različnih površin povzročijo konvekcij-
ske tokove – na primer, topli radiatorji, površine, ki so skozi okno obsijane
12–22 21
i
i
“Skok” — 2020/7/21 — 8:26 — page 22 — #11 i
i
i
i
i
i
Gregor Skok
s sončnim sevanjem, štedilnik med kuhanjem in ne nazadnje tudi ljudje, ki
segrevamo okolǐski zrak s telesom in lahko povzročimo konvekcijsko dviganje
s hitrostjo več kot 0,2 m/s [7]. Premikanje zraka ima lahko tudi mehanske
vzroke – na primer, ventilatorji, prepih, premikanje in dihanje ljudi, od-
piranje in zapiranje vrat. Ravnovesna hitrost padanja majhnih kapljic je
pogosto manǰsa kot hitrost premikanja zraka in posledično zrak nosi te ka-
pljice s seboj naokrog, tudi navzgor. Tako lahko kapljice ostanejo v zraku
dlje časa, kot pa če bi ta povsem miroval, zračni tokovi pa jih lahko prena-
šajo tudi med različnimi prostori skozi morebitne odprtine, kot so vrata, ali
pa skozi centralno povezan prezračevalni sistem.
Zaradi poenostavitev o kemični sestavi kapljic, predpostavki o mirovanju
zraka in privzetku, da se kapljice nikoli povsem ne osušijo (tudi ko je vlažnost
manǰsa od 75 %), naši rezultati niso povsem kvantitativno uporabni. Vseeno
pa lahko služijo za kvalitativno razlago in razumevanje procesov, ki vplivajo
na padanje potencialno patogenih kapljic.
LITERATURA
[1] L. Bourouiba Turbulent, Gas Clouds and Respiratory Pathogen Emissions: Poten-
tial Implications for Reducing Transmission of COVID-19, JAMA, Published online
March 26, 2020. doi:10.1001/jama.2020.4756.
[2] S. Jennings, The mean free path in air, Journal of Aerosol Science, 19 (1988), 2,
159–166.
[3] L. K. McCorry, Essentials of Human Physiology for Pharmacy, CRC Press, 2005.
[4] L. J. G. R. Morawska, G. R. Johnson, Z. D. Ristovski, M. Hargreaves, K. Mengersen,
S. Corbett, C. Yu Hang Chao, Y. Li in D. Katoshevski, Size Distribution and Sites
of Origin of Droplets Expelled from the Human Respiratory Tract During Expiratory
Activities, Journal of Aerosol Science 40 (2009), 3, 256–69.
[5] H. R. Pruppacher in D. J. Klett, Microphysics of clouds and precipitation, 2nd Ed.,
Springer, xx+954 pp, 2010.
[6] R. R. Rogers in M. K. Yau, A Short Course in Cloud Physics, 3rd Ed., Butterworth-
Heinemann, an Imprint of Elsevier, xiv+290 pp, 1989.
[7] M. Salmanzadeh, H. Zahedi, G. Ahmadi, D. R. Marr in M. Glauser, Computational
modeling of effects of thermal plume adjacent to the body on the indoor airflow and
particle transport, Journal of Aerosol Science, 53 (2012), 29–39.
[8] G. Skok in J. Rakovec, Podhlajene vodne kapljice v ozračju, Obzornik mat. fiz., 67
(2019), 5, 171–183.
[9] J. W. Tang, et al., Factors involved in the aerosol transmission of infection and control
of ventilation in healthcare premises, Journal of Hospital Infection, 64 (2006), 2, 100–
114.
[10] M. E. Wise, T. A. Semeniuk, R. Bruintjes, S. T. Martin, L. M. Russell in P. R.
Buseck, Hygroscopic behavior of NaCl-bearing natural aerosol particles using enviro-
nmental transmission electron microscopy, J. Geophys. Res., 112 (2007), D10224,
doi:10.1029/2006JD007678.
22 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Kuzman” — 2020/7/20 — 8:28 — page 23 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
Vabilo za predloge priznanj DMFA Slovenije za leto 2020
Spoštovane članice in člani DMFA Slovenije.
Vabimo vas k vložitvi predlogov za podelitev priznanja DMFA Slovenije
za leto 2020. Priznanje lahko prejme posameznik ali posameznica za uspešno
delo z mladimi ali za strokovno dejavnost, posameznice oz. posamezniki ali
ustanove pa tudi za uspešno sodelovanje z Društvom.
Predloge s pisnimi utemeljitvami pošljite po e-pošti na naslov tajnik@
dmfa.si ali po običajni pošti na naslov DMFA Slovenije, Komisija za dru-
štvena priznanja, Jadranska 19, 1000 Ljubljana, do 20. septembra 2020.
Predlogi naj bodo pripravljeni v skladu z veljavnim pravilnikom, ki je ob-
javljen na društveni spletni strani in v Obzorniku za matematiko in fiziko,
letnik 65, št. 5.
Priznanja bodo podeljena na letošnjem Občnem zboru DMFA Slove-
nije, katerega termin in lokacija bosta zaradi trenutnih negotovih razmer
objavljena naknadno. Predlagatelji in prejemniki priznanj bodo o odločitvi
komisije obveščeni najkasneje 14 dni pred podelitvijo.
V imenu Komisije za društvena priznanja pripravil Boštjan Kuzman
Novice Evropskega matematičnega združenja (EMS)
Kongres in nagrade EMS 2020. Evropsko matematično združenje (Eu-
ropean Mathematical Society) vsaka štiri leta organizira Evropski matema-
tični kongres in na njem podeli nagrade EMS. Letošnji kongres, ki bi moral
potekati julija 2020 v Portorožu, je zaradi pandemije COVID-19 prestavljen
na 20.–26. junij 2021. Ob tej odločitvi je odbor za nagrade v maju sporočil
tudi imena prejemnikov nagrad. Nagrade EMS mladim matematikom (do 35
let) bodo prejeli Karim Adiprasito (Hebrew University of Jerusalem / Uni-
versity of Copenhagen), Ana Caraiani (Imperial College London), Alexan-
der Efimov (Steklov, Moscow), Simion Filip (Chicago), Aleksandr Logunov
(Princeton), Kaisa Matomäki (Turku), Phan Thành Nam (LMU Munich),
Joaquim Serra (ETH Zurich), Jack Thorne (Cambridge) in Maryna Via-
zovska (EPFL, Lausanne). Nagrado Felixa Kleina za uporabo matematike
v industriji prejme Arnulf Jentzen (University of Munster), nagrado Otta
Neugebauerja za področje zgodovine matematike pa Karine Chemla (Uni-
verza v Parizu in CRNS). Vsi nagrajenci bodo predvidoma predstavili svoje
delo prihodnje leto na kongresu v Portorožu, že zdaj pa si lahko utemeljitve
nagrad preberemo na spletni strani EMS in na spletni strani kongresa.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 23
i
i
“Kuzman” — 2020/7/20 — 8:28 — page 24 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
Zasedanje sveta EMS. Vsaki dve leti poteka tudi zasedanje Sveta
EMS (Council of EMS), na katerem predstavniki individualnih in kolektiv-
nih članov potrdijo različna poročila o delu in sprejemajo načrte za prihodnje
delovanje. Letošnje zasedanje bi moralo potekati na Bledu 4. 7. 2020, a je
bilo zaradi pandemije COVID-19 izvedeno preko spletne videokonference.
EMS ima trenutno okoli 3000 individualnih in 110 kolektivnih članov, od
tega iz Slovenije 27 individualnih in 4 kolektivne člane: DMFA, SDAMS, UL
FMF in UP FAMNIT, podpisani sem se zasedanja udeležil kot predstavnik
DMFA. Udeleženci smo se ob finančnem poročilu seznanili s spremembami
v založnǐski hǐsi EMS, ki je bila v stari obliki ukinjena, njena dejavnost
pa iz Švice prenesena na novo podjetje v lasti EMS s sedežem v Berlinu.
Ob tem bodo zajetna finančna sredstva stare hǐse v nekaj letih prenesena
na EMS, ki jih bo kot neprofitno združenje namenil predvsem za posodo-
bitev delovanja in izdatneǰse financiranje različnih znanstvenih aktivnosti.
Novičnik EMS Newsletter bo preoblikovan v sodobneǰsi EMS Magazine, ak-
tualnim novicam bo namenjena posodobljena spletna stran. Izbrane znan-
stvene revije, ki jih izdaja EMS, z letom 2021 prehajajo v odprti dostop
po modelu S20 (Subscribe to Open). Ob izteku mandata nekaterim članom
Izvršnega odbora (Executive Committee) so bile pod vodstvom predsednika
Volkerja Mehrmanna (DAMM) uspešno izvedene tudi volitve z anonimnim
spletnim glasovanjem. Z veliko večino sta bila izvoljena novi podpredsednik
Jǐŕı Rákosńık in novi tajnik Jorge Buescu (oba na predlog Izvršnega odbora
EMS), za nove člane odbora pa so bili izvoljeni še Barbara Kaltenbacher (na
predlog GAMM in DMV), Beatrice Pelloni (LMS), Frederic Helein (SMF,
SMAI), Sussana Terracini (UMI, SIMAI) in Luis Narvaez Macarro (RSME).
Žal so bili na volitvah neuspešni vsi trije kandidati iz vzhodnoevropskih dr-
žav. Prisotni so z volitvami izglasovali tudi, da bo kongres, načrtovan za
leto 2024, potekal v Sevilli (Španija), ki je prejela več glasov od Lizbone
(Portugalska). Če bodo razmere dovoljevale, bo EMS konec oktobra 2020
praznoval 30 let svojega obstoja z dvodnevnim znanstvenim srečanjem v
Edinbourghu, naslednje srečanje predstavnikov nacionalnih združenj pa bo
predvidoma v Franciji spomladi 2021. Za Slovenijo pa je posebej razvese-
ljiva novica, da bo na predlog Izvršnega odbora naslednje zasedanje Sveta
EMS leta 2022 potekalo na Bledu, kar je v imenu organizatorjev potrdila
dr. Klavdija Kutnar iz UP FAMNIT.
Boštjan Kuzman
24 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Legisa” — 2020/7/20 — 8:17 — page 25 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Thomas Huckle in Tobias Neckel, Bits and Bugs: A Scientific and
Historical Review of Software Failures in Computational Sciences,
SIAM, Philadelphia 2019, 251 str.
Prvi avtor te knjige je profesor na Tehni-
ški univerzi v Münchnu, drugi raziskova-
lec na isti ustanovi. Prvi avtor vzdržuje
spletno stran [1], na kateri zbira poročila
o programskih napakah, ki so povzročile
nesreče in druge nezaželene dogodke.
Knjiga je namenjena zelo širokemu
krogu ljudi, ki jih zanimajo take zgodbe:
od strokovnjakov in predavateljev, ki že-
lijo popestriti pouk, do laikov, ki bodo
preskočili težje razumljive dele. Vsebuje
tudi razlage nekaterih bolj tehničnih
stvari. V drugem poglavju tako začne s
predstavitvijo celih števil v računalniku,
potem nadaljuje z zapisom realnih šte-
vil, plavajočo vejico, pretvorbo med ra-
znimi formati zapisa in na koncu z rav-
nanjem v izjemnih primerih. Če recimo
pride do deljenja z 0, se sistem ne sme
sesuti. (Avtor te recenzije se spomni, kako so jih pred pol stoletja pri pred-
metu Računski praktikum posvarili, naj ne poskušajo deliti z 0 na dragih
švedskih elektromehaničnih računskih strojih. Ko je nekdo vseeno naredil
tako napako, se je težki stroj
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteve , hiter i robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na p dlagi JPEG prilju ljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkci »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
zaciklal
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6 30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadov ljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
nat nč o rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantiziran matrika mnog
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko sti ne za f ktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, reč mo razpršena matrika.
Kvantiziran matrika je torej praviloma razpršena.
V fot ap r tu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To po eni žjo kompresijo, neka o za f ktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente r cimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko naz j z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrat . Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG sti ka-
nje računsko nezahtev n, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so tr v , krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj sti nejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težav , vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija neka ov stnega zoom objektiva in eprilagodljivega
sti kanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni ajbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo f rmat PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG iljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omog ča sti kanje v različnih ka ov stih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostok dni format (Ogg) Vorbis.
Vzor e je in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe unkcij »po t č ah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mog če velik razred funkcij po lnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 37 izrek, i ga ni težko dokaz ti:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in aj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enak 0 zunaj intervala [−L, ], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
, se h tro vrt l brez prestanka in po
nekaj inutah se je iz njega zaˇelo kaditi.) Dobr je, če je sistem kar se da
zaščiten pred takimi nepričakovanimi stanji.
Vse to je potrebno za razlago nesreče prve rakete Ariane 5 (let 501)
leta 1996. Raketa, ki bi v orbito morala prenesti štiri satelite, je slabo
minuto po izstrelitvi zavila iz smeri in eksplodirala. Škoda je znašala okrog
500 milijonov dolarjev.
Preiskavo je vodil znani francoski matematik Jacques-Louis Lions. Knji-
ga dobro analizira serijo napak, ki so povzročile katastrofo. Če nekoliko
poenostavimo, so uporabili programe šibkeǰse rakete Ariane 4. Podatki
inercialnega sistema o položaju in vodoravnem gibanju rakete so bili 64-
bitni in nato pretvorjeni v 16-bitna cela predznačena števila. Pri tem je
prǐslo do prekoračitve obsega, kar je povzročilo ustavitev in nato ponovni
zagon inercialnega sistema. Ponovni zagon se je začel s testnimi podatki, ki
niti približno niso odražali dejanskega stanja. Interni računalnik rakete pa
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 25
i
i
“Legisa” — 2020/7/20 — 8:17 — page 26 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
je to interpretiral kot trenutno stanje in ukazal močan zasuk pogonskih šob.
Sile, ki so ob tem nastale, so prekinile povezavo osnovne rakete in pomožnih
raket. Čeprav je bil inercialni sistem podvojen, je do iste napake prǐslo v
obeh sistemih in tako ta rezerva ni prav nič pomagala. Ob vsakem takem
podrobno analiziranem primeru knjiga na kratko navede še vrsto podobnih.
Naslednji je na vrsti problem prehoda v novo tisočletje. Letnica je
bila do takrat podana le z zadnjima dvema števkama. Zato je bilo treba
pravočasno spremeniti številne programe in letnice podajati v celoti ali vsaj
s tremi števkami. Prehod je začuda potekal brez katastrof velikega obsega.
Vseeno je seznam zapletov dolg – od smešnih, ko so v Veliki Britaniji tisoče
dojenčkov uvrstili med stoletnike, do tragičnih, ko so v Sheffieldu zaradi
napačno izračunanega rizika za Downov sindrom izvedli dva splava. Nekaj
zapletov so kot običajno povzročili slabo izvedeni programski popravki, ki
naj bi odpravili problem.
Vpliv zaokrožitvenih napak je predstavljen z zgledom Vancouverske
borze v Kanadi. Računalnǐski sistem je računal borzni indeks kot uteženo
povprečje cene okrog 1500 delnic. Pravzaprav je seštel cene teh delnic in jih
pomnožil s faktorjem w, ki je bil izbran tako, da je bila začetna vrednost
enaka 1000. Po 22 mesecih je indeks padel na 524,811, torej na dobro
polovico začetne vrednosti. Zdi se neverjetno, da naj bi šele takrat opazili,
da je nekaj močno narobe. Knjiga tega paradoksa ne razloži. Vendar naj
bi bil po Wikipediji [2] sloves te borze izredno slab (bila naj bi polna delnic
ničvrednih rudnikov). Poleg tega je bil to eden izmed prvih primerov borznih
indeksov in tako verjetno številni teh vrednosti tako in tako niso jemali
resno.
Borza je končno poklicala zunanje strokovnjake. Tem je stvar hitro
postala jasna. Računalnǐski program je računal na štiri decimalke in re-
zultate skraǰsal na tri decimalke z rezanjem zadnje decimalke. Če je bila
četrta decimalka 0, napake zaradi rezanja ni bilo. V povprečju pa se je
rezultat zmanǰsal za  = 0,00045 glede na pravo vrednost. Indeks je pro-
gram posodabljal s podatki o spremembah cen delnic. Vsakič, ko se je cena
neke delnice spremenila, je k staremu indeksu prǐstel razliko cen, pomno-
ženo z w, in odrezal četrto decimalko. To se je zgodilo približno 2800-krat
na dan, kar je v povprečju dnevno zmanǰsalo pravo vrednost za približno
2800 × 0, 00045 = 1,26. Dvaindvajset mesecev je 440 delovnih dni . . . Ko
so novembra 1983 indeks znova izračunali
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fot aparatu z velikim s nzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fin ( n-
gleško fine) da kvantizacijsk matriko z bistveno manǰsimi elementi, v likosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijaj o. Algoritem za JPEG stiska-
nje j r čunsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še atentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzo čenje in digit lizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsej grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
z ničelne točke
i
i
“Legi a-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na orig naln sliki (večinoma ezanimivi d l), se
zadovoljili s približ i nekate ih drugih podatkov n origi ala ne remo več
atančno rekonstruirati. Na t pičn sliki ima kvantizirana m trika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnj m delu. Zg raj omenjena m trika Q obi-
čajn sliko stisne za faktor približno 7. Matri i, v kateri je večina lementov
čelnih, preost li pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena m trika.
Kvantizirana m trika j to ej praviloma razpršena.
V foto pa atu z velikim s nzorjem (APS-C ipd.) nastavitev a fi o (an-
gleško fin ) d kv ntizacijsko matriko z bistveno manǰsimi lement , vel kosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nek ko za faktor 2. Pr malih
tipalih z di gonalo pod 8 mm bo kv ntizacijska m trik v nači u fine imela
lemente recimo od do 15, aj ustrezne optike običajno nimaj zelo dobre
ločlj vosti.
Pri ekodiranju pomn žimo matriko nazaj z istoležnimi lementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. D bimo pri-
bližek prvotne slike našeg kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli sl ke to deluje sij jno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je raču sko nezahteven, hit r in robusten. Manǰsi probl m se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, ko so trava, krzn . Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je udi težava, vendar
pa tu nismo zainteresir ni za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni k merah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse r sbe in grafike pr fesionalci
raje uporablj jo format PNG.
Za zvok je nastal na podl gi JPEG priljubljeni, za zdaj še pate tirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorče je n digit lizacija
Neka ri študenti na izp tih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskret i množi i točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zu aj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
, je vrednost čez
vikend poskočila s 524,811 na 1098,892.
Simulacije so pokazale, da bi bila ob normalnem zaokroževanju napaka
tudi po tako dolgem času zanemarljiva, saj takrat zaokrožamo navzgor in
navzdol približno enako pogosto in se napake izničijo.
Bolj zapleten je neuspeh protir ketnega sistema Patriot v Zalivski vojni
leta 1991. Tu je šlo med drugim za slabo posodobitev precej starega sistema:
nekateri podatki o isti spremenljivki so bili 24-bitni, drugi po novem 48-bitni.
26 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Legisa” — 2020/7/20 — 8:17 — page 27 — #3 i
i
i
i
i
i
Bits and Bugs: A Scientific and Historical Review of Software Failures in Computational
Sciences
Posledično naj bi prǐslo do kopičenja zaokrožitvenih napak. Sistem je bil
prvotno zamǐsljen za prestrezanje letal in ne raket.
Izgubo vrtalne ploščadi Sleipner A leta 1991 knjiga začne s kratko pred-
stavitvijo Metode končnih elementov. Velikansko plavajočo ploščad iz votlih
valjastih železobetonskih delov so sestavili v enem od norveških fjordov. Ko
so jo začeli testno potapljati, je na stiku treh valjev popustila ena od sten.
Prostor med valji je namreč načrtovano napolnila voda, ki je bila v globini
pod tlakom približno 7 barov, konstrukcija pa tega (nenačrtovano) ni zdr-
žala. Ploščad je v 18 minutah za vedno izginila v globinah in ob udarcu v
dno povzročila potres tretje stopnje po Richterju. Neposredne škode je bilo
za 180–250 milijonov dolarjev, posredne za 700–1000 milijonov USD. Knjiga
podrobno opǐse vrsto problematičnih ravnanj, ki so vodila do nesreče.
V Severnem morju je bilo že pred tem postavljenih več takih ploščadi.
Gradbeno podjetje je bilo sicer isto kot pri nekaterih preǰsnjih ploščadih,
a noben od takratnih inženirjev ni sodeloval pri novem projektu. Morda
je bil vzrok menjava lastnika: namesto inženirjev so zdaj podjetje vodili
poslovneži. Varnostni faktorji za ploščadi niso tako visoki kot recimo za
mostove. Struktura mora plavati, da jo lahko odvlečejo do kraja, kjer bo
pritrjena na morsko dno, zato morajo biti stene dovolj tanke.
Za analizo napetosti so uporabili serijo programov. (Pri preǰsnjih pro-
jektih so precej te analize opravila specializirana podjetja.) Prvi program
je narisal mrežo celic za metodo končnih elementov, žal ne ravno dobro.
Mreža je bila tudi groba. Za nekatera kritična mesta so uporabili kvadratno
ekstrapolacijo, kar se je izkazalo kot neposrečeno. Tako so močno podcenili
napetosti v kritičnih točkah. Za armaturo so zaradi varčevanja ponekod
uporabili preostalo železje iz starih projektov, ki ni segalo dovolj globoko
v beton. Če primerjamo sliko novega tipa ojačitve s preizkušenim iz prej-
šnjih projektov, je razlika velikanska in očitna vsakomur z malo mehaničnega
znanja. Nesreča vsaj ni zahtevala žrtev in je prispevala k zmanǰsanju takih
napak. Kot pravi poročilo o nezgodi (str. 72 knjige):
Verjetno največja lekcija iz študija tega primera je, da raču-
nalnǐske analize nikdar ne smemo obravnavati kot
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizira a matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorj m (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno tra sformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike naˇega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija ne akovostn ga zo m objektiv in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zele o plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe fun cij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
roces v črni
škatli
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matri a Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je veči a elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrik .
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršen .
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavi v a fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fin i ela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi p ehodi ed
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se p javi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiv in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰ i za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike pr fesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo d ber z
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V k jigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierov transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
Računalnǐ ka naliza je dobra l toliko, kot je dober upo-
rabnik, ki vstavlja podatke in interpretira rezultate. Pravo modeli-
ranje in interpretacija zahtevata resnično razumevanje teoretičnega
in praktičnega delovanja programa in polno razumevanje pomena
rezultatov. Zmeraj moramo uporabiti racionalne metode preverja-
nja rezultatov. Metode zagotavljanja kakovosti morajo zagotoviti
čas za pregled takih podrobnosti.
Od leta 1978 je NASA s satelitom Nimbus med drugim spremljala kon-
centracijo ozona v atmosferi. Meritve niso kazale bistvenih sprememb. Leta
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 27
i
i
“Legisa” — 2020/7/20 — 8:17 — page 28 — #4 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
1985 pa je britanska odprava s tal na Antarktiki izmerila 40-odstotno zmanj-
šanje ozonskega plašča. Kako je bilo mogoče, da Nasini instrumenti tega
niso zaznali? Izkazalo se je, da je bil satelit programiran tako, da ni upo-
števal podatkov, ki so bili daleč od pričakovanih vrednosti. To je večkrat
uporabljana metoda v statistiki: ignoriramo rezultate, ki zelo odstopajo od
povprečja ali pričakovanja. Ker je bila koncentracija ozona veliko manǰsa
od pričakovane, tega satelit enostavno ni poročal.
Leta 1999 nemški meteorologi niso napovedali katastrofalnega neurja
Lothar. Spet je bilo za to zaslužnih več faktorjev. Vremenski balon, ki
so ga spustili na kanadski obali, je eksplodiral. Zato so dve uri po nesreči
spustili novega. Podatke novega balona pa so Nemci vnesli s časom, kot
da bi šlo za originalni balon. Očitno pa se je atmosfera v vmesnem času
precej spremenila. Podatke so tudi sicer vnašali le za vsakih šest ur. Majhne
spremembe v začetnih podatkih lahko hitro privedejo do velikih razlik, ker so
vremenski modeli slabo pogojeni. Meteorološke službe, ki so ignorirale novi
balon, so imele bolǰse napovedi. Danes se vremenski modeli posodabljajo v
kraǰsih časovnih intervalih.
Poglavje Sinhronizacija in časovni načrti podrobneje obravnava pro-
blem odpovedi prvega poleta vesoljskega plovila Columbia leta 1981. Plovilo
je bilo opremljeno s petimi računalniki. Štirje so imeli naložen isti program.
Če bi eden izpadel, bi preostali trije še zmeraj lahko delovali po principu
večine: se pravi, če bi se vsaj dva računalnika
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodir ju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi eleme ti kv -
tizacijske matrike in opravimo inverzno transform cijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z ehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja tr vnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za ma j e risbe in grafik profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
N kat ri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
strinjal
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in original ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ma kvantiz rana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina el mentov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantiz rana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi el menti, velikosti
recimo d 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
el mente recimo d 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko n zaj z istol žnimi el menti kvan-
tiz ci ske matrike in opr vimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi n temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zo m objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zel no plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih p robnosti. Za manǰse risb in grafike profesion lci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in d gitalizacija
Nekateri študenti na izpit h rǐsejo grafe funkc j »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati z njihovih vrednosti na diskretni množic točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj interval [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f dol čena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
, bi to bila izbrana
odločit v. P ti r čunalnik pa je imel nalož n drugačen peracijski sistem in
drugačen program, ki bi lahko prevzel upravljanje, če bi se izkazalo, da je v
programski opremi preostalih štirih računalnikov napaka. Teoretično je to
zelo dobro premǐsljeno. Vendar pa je moral peti računalnik spremljati doga-
janje in deloma tudi rezultate delovanja preostalih štirih računalnikov, da bi
lahko takoj reagiral. Sistema sta imela različen način časovnega delovanja.
Zapleteno sinhronizacijo so rahlo pokvarili naknadni ne dovolj premǐsljeni
popravki in tako se je start ponesrečil. Teoretično večja zanesljivost je za-
radi dodane kompleksnosti privedla do odpovedi sistema. Podrobnosti so
verjetno razumljive predvsem strokovnjakom s tega področja. Zanimivo je,
da je bila verjetnost, da pride do napake, le 1: 67, tako da tudi večkratno
testiranje ne bi nujno odkrilo problema.
Profesor Thomas Nicely je junija 1994 pri raziskavah v teoriji števil sešte-
val inverzne vrednosti praštevil z računalnikom. Rezultati pa so bili včasih
napačni. Na koncu je ugotovil, da je nekaj narobe z Intelovim procesorjem
Pentium. Ta je imel vgrajen nov, hitreǰsi algoritem za deljenje. Obvestil je
Intelovo servisno službo, ki mu je pričakovano poslala vzvǐsen odgovor, da s
procesorjem ni nič narobe in da ga bodo poklicali. (Kasneje se je izkazalo,
da je napako odkril že mesec prej Tom Kraljevic, ki je študiral na univerzi
Purdue in obenem delal za Intel. Vendar je informacija ostala nekje v pod-
jetju.) Po šestih dneh čakanja je Nicely obvestil nekaj prijateljev in prǐslo je
28 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Legisa” — 2020/7/20 — 8:17 — page 29 — #5 i
i
i
i
i
i
Bits and Bugs: A Scientific and Historical Review of Software Failures in Computational
Sciences
do objave na spletu. Navedeno je bilo več primerov, ko je izračun inverzne
vrednosti števila dal ne prav točen rezultat. Več neodvisnih strokovnjakov
je podrobneje raziskalo vzrok napak in verjetnost, da bo do njih prǐslo. Res
je, da so bili taki primeri zelo redki. Tako je po [3] Pentium izračunal, da
je 5506153 deljeno z 294911 enako 18,66990. . . namesto 18,670558. . .
Po objavi je Nicely z Intelom sklenil dogovor o molku, ki pa je bil prepo-
zen. Novica se je razširila in krožile so šale kot:
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitaliz cija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
Kaj pomeni nalepka Int l
inside? To je varnostno opoz rilo!
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala e more o več
natančno rekonstruirati. Na ti ični sliki ima kvantizira a atrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj menjena matrik Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. M triki, v k teri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršen matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nast vitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko atriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri m lih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se poj i pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tu i težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostneg zoom objektiva in eprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na p dlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakov stih. Zel dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in dig talizacija
Nekateri študenti na izp tih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rek nstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo nje a Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
ali
i
i
“Legisa-vesti” 2 7/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informac je na orig alni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približk nekaterih drugih podatkov in originala e moremo več
natančno rekonstruirat . Na tipič i sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desn m spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stis e za faktor približno 7. Matrik , v kateri je ina elementov
n čelnih, preostali pa ni jo pos bn strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim sen orjem (APS-C ipd.) astavitev na fino (a -
gleško fine) da kvantizacij ko matriko z bistveno manǰsimi lementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, ekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrez e optike običajn nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožim m trik azaj z istoležni i elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo i verzno transformac jo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in t mnimi deli slike to d luje sijaj o. Algori em za JPEG stiska-
je je računsko nezahteven, hiter i r busten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno dr bnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sl ko prepoznajo in b tveno manj stisnejo, se pravi up rabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromn suma j t di težava, vendar
pa tu nismo z interesirani za podrobn reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
p lahko kombi acija nekakovostnega oom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zele o pl ndro. JPEG tudi ni n jbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na odlagi JPEG pril ubljeni, za zd j še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompres jo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri štu enti na izpitih rǐsej grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma re onstru-
irati iz nj hovih vred osti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 i rek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in n j b njena F urierova transformi-
rank f̂ enak 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
I tel in ide = vsebuje tudi napako
i
i
“Legisa-vesti” 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgl smo de nformacije na origin lni sliki (večin ma nezanimivi del), se
zadov ljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
nat nčno rekonstruirati. Na tipični sliki im kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenje a matrika Q obi-
č jno s ko s isne za faktor približno 7. Matriki, v k teri je večina elementov
ničelnih preostali pa ni ajo p sebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizir na matrika j torej praviloma razpršena.
V fotoapar tu z v l kim senz rjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matri o z bist eno manǰsimi elementi, velikosti
c mo od 1 do 6. To pomeni nižjo ompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagon lo pod 8 mm bo kv ntizacijska m trika v načinu fine imela
lemente re imo od 1 d 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekod ra ju pomnožimo matrik nazaj z istoležnimi elementi kvan-
izacijske matri e i opravim inverzno transf rmacij k DCT. Dobimo pri-
bliže prvo ne slike našega kvadrata. Na sl kah z mehkimi prehodi med
vetlimi in temn i deli s ike o deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je račun ko nezahteve , hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slik h z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
slik prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko atrik ko icer. (Slik z gromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nism zainteresir z p drobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko ombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
st skanja travnik sprem ni v zeleno plu dro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
pr dukcijo grafičnih podrobn sti. Za manǰ e risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je n stal na podl gi JPEG riljublje i, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zv ka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Ne at ri štud nti na zpitih risejo graf funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne bnese. Venda pa je ogoče velik razred funkcij popoln ma rekonstru-
irati z njihovih vrednos i is retni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena F uri rova transformi-
rank f̂ enaka 0 zuna intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
Že ko ec leta je Intel po takem in drug čnem izogibanju oznanil, da je ri-
pravljen zamenjati vse defektne procesorje. Strošek: pol milijarde dolarjev.
Knjiga podrobno razlaga, kje in kako je bil algoritem deljenja pomanjkljiv.
To bodo laže razumeli tisti, ki imajo nekaj izkušenj na tem področju. K
razumevanju lahko pripomore tudi razlaga [3].
V poglavju o kompleksnosti se knjiga ukvarja z nesrečami medicin-
ske naprave Therac-25 za obsevanje tumorjev. Podjetje Atomic Energy of
Canada Limited jo je sestavilo iz francoskega linearnega pospeševalnika ele-
ktronov (5-25 MeV) in druge opreme, vključno z računalnikom. Imela je
dva načina delovanja: obsevanje z elektroni za površinske dele tkiva in ob-
sevanje z rentgenskimi žarki (zavorno sevanje) za globlje predele. Operater
se je včasih zatipkal in vnesel napačen način delovanja. Ko je to na hitro
poskušal popraviti, je bilo videti, da je sistem zablokiral. Zato je postopek
večkrat ponovil. V resnici je vsakič prǐslo do nekontroliranega izredno moč-
nega sevanja in posledično več smrti pacientov. Vse to se je dogajalo v letih
od 1985 do 1987 v ZDA in Kanadi. Zgodbe so prav grozljive. Tako je eden
od pacientov začutil pravi udarec v hrbet. Ker se je zavedel, da je nekaj
narobe, je vstal z mize in poskušal pobegniti, pa ga je nova masivna doza
zadela v roko.
Vzrok so sprva iskali v napakah stikal in druge električne opreme. Po
knjigi naj bi bilo takrat zaupanje v računalnǐske programe izredno veliko.
Šele kasneje se je izkazalo, da so bili krivi programska oprema, slabosti v
dokumentaciji in navodilih za operaterje ter odsotnost varnostnih mehaniz-
mov. Programska oprema je bila delo enega samega programerja.
Knjiga kratko omenja še veliko huǰso katastrofo v letih od 2005 do 2009.
Po oceni amerǐske Food and Drug Administration je pomanjkljiva program-
ska oprema infuzijskih črpalk povzročila okrog 700 smrti in skoraj 20000
poškodb.
Naslednji podrobno obdelan primer je polomija avtomatiziranega sis-
tema upravljanja prtljage na mednarodnem letalǐsču v Denverju. Na javni
razpis so se od 16 kontaktiranih podjetij javila le tri, ki pa se niso hotela
obvezati, da prvi tak velik sistem na svetu naredijo v nekaj letih. Tako je
v začetku leta 1992 delo dobilo projektantsko podjetje, ki ga je privlekla
letalska družba United. To podjetje v resnici ni imelo izkušenj s sistemi,
ki morajo delovati sproti. Imelo pa je izredno velikopotezne načrte in je
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 29
i
i
“Legisa” — 2020/7/20 — 8:17 — page 30 — #6 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
uporabilo revolucionarne novosti na številnih področjih. Vozički za prtljago
naj bi potovali z veliko hitrostjo, se polnili in praznili kar med upočasnjeno
vožnjo; uporabljali naj bi prepoznavanje vozičkov s čipi RFID; dovoljena
je bila prtljaga, večja od standardnih mer. Prvič naj bi sistem upravljala
mreža računalnikov namesto centralnega računalnika. Po zakasnitvah so
spomladi 1994 imeli veliko otvoritev, ki se je sprevrgla v popolno polomijo.
Kovčki in torbe so padali s tekočih trakov, se odpirali, obleka je letela po
zraku, vozički so se zaletavali . . . Programerji se niso zavedali, da je op-
timizacija takega transporta NP-zahteven problem. Iskanje optimuma je
računsko prezahtevno; zadovoljiti se je treba s kolikor toliko dobrimi reši-
tvami, kar pa zahteva veliko preizkušanja in testiranja. Tehničnih novosti je
bilo prav tako veliko preveč. Tudi inženirske rešitve so bile problematične.
Tirnice transportnih linij so imele preostre zavoje, hitrosti so bile prevelike,
tako da je zračni upor razmetaval prtljago. Vse skupaj so morali opustiti in
škoda je bila velikanska.
Desetletje kasneje so manj zapletene podobne sisteme uresničili v Evropi.
Na letalǐsču Heathrow se je pri otvoritvi sistema za upravljanje prtljage tudi
zapletlo, a so po kakem mesecu težave odpravili.
Knjiga dokazuje, da je računalnǐstvo nekoliko različno od matematike.
Ob primerih eksponentne rasti števila operacij namreč na strani 198 navaja:
n 2n en
100 1,26765 . . .× 1030 2,688 . . .× 1043
1000 1,0715 . . .× 10301 Inf
Prava vrednost spodaj desno je 1,970 . . . × 10434, kar pa presega omejitve
pri zapisu velikih števil v računalniku v dvojni natančnosti.
To je le nekaj primerov iz obsežne zbirke zgodb v knjigi. Kot rečeno, je
veliko pripovedi zanimivih tudi za nepoznavalce in dobro napisanih. Neka-
tere razlage so dostopne in informativne, druge za matematika nič novega,
tretje zahtevne in bolj suhoparne. Knjiga seveda opozarja, da lahko pozna-
valci številne razlage preskočijo.
Na koncu knjige imamo še razdelek Urbane legende in druge zgodbe
ter nekaj programov v Matlabu, ki ilustrirajo obravnavane primere.
LITERATURA
[1] T. Huckle, Collection of Software Bugs, dostopno na www5.in.tum.de/persons/
huckle/bugse.html, ogled 13. 5. 2020.
[2] Vancouver Stock Exchange, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Vancouver_
Stock_Exchange, ogled 13. 5. 2020.
[3] D. W. Deley, The Pentium division Flaw, 1995, dostopno na daviddeley.com/
pentbug/pentbug4.htm, ogled 13. 5. 2020.
Peter Legǐsa
30 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Legisa2” — 2020/7/20 — 8:17 — page 31 — #1 i
i
i
i
i
i
Infinite Powers, The Story of Calculus
Steven Strogatz, Infinite Powers, The Story of Calculus, The Lan-
guage of the Universe, Atlantic Books, London 2019, 360 str.
Avtor knjige je bil v letih 1989–1994 pro-
fesor na univerzi MIT, zdaj pa je pro-
fesor uporabne matematike na univerzi
Cornell v New Yorku. Ima zelo impre-
sivno bibliografijo. On in Duncan Watts
sta v reviji Nature leta 1998 objavila čla-
nek [1] Collective dynamics of small-
world networks, ki je bil citiran več kot
42000-krat.
Strogatz je avtor štirih knjig. Ena
od njih, The Joy of x, je dobila leta
2014 nagrado Euler Book Prize, ki jo po-
deljuje The Mathematical Association of
America (MAA). Znan je tudi po polju-
dnih člankih v časopisu The New York
Times, s katerimi je veliko naredil za
predstavitev lepote in uporabnosti ma-
tematike v širši družbi. Snov teh zapisov
je uporabil v svojih knjigah.
Knjiga Infinite Powers je bila leta 2019 na lestvici najbolj prodajanih
knjig časopisa The New York Times. Namenjena je širšemu krogu bral-
cev. Pisec na ležeren, zelo poljuden, a vseeno korekten način predstavi
zgodovinski razvoj in lepoto matematične analize, predvsem odvoda in in-
tegrala. Matematik ali fizik že pozna večji del snovi knjige. Vseeno jo je
ta poročevalec rad prebiral, ker je zelo lepo napisana in priča o avtorjevem
izredno dobrem vpogledu v snov. Marsikaj je predstavljeno na izviren na-
čin, drugače, kot smo navajeni s predavanj Analize. Poleg tega pa so, zlasti
v drugem delu, navedeni zanimivi primeri uporabe matematične analize.
Spremna beseda pravi, da je knjiga nastajala dve leti in da so bili uredniki
zahtevni, tako da so šla številna poglavja skozi več verzij.
Delo helenističnega matematika in fizika Arhimeda predstavlja enega od
vrhuncev antične znanosti. Knjiga opǐse njegovo oceno števila π navzgor in
navzdol in to poveže z aproksimacijo krivulj s poligoni, analogijami takih
približkov v več razsežnostih in uporabo v računalnǐski animaciji. Znano je,
da je Arhimed izračunal ploščino med parabolo in premico. Njegova ma-
tematično neoporečna pot do te formule, predstavljena recimo v dodatku
h knjigi [2], pa je zahtevna in človek se vpraša, kako je sploh prǐsel do
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 31
i
i
“Legisa2” — 2020/7/20 — 8:17 — page 32 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
nje. Leta 1899 so v Samostanu svetega groba v Jeruzalemu našli rokopis
iz desetega stoletja. Nabožno besedilo je bilo napisano čez delno izbrisan
matematični rokopis. Izkazalo se je, da gre za Arhimedovo delo z naslovom
Metoda. Šele takrat so matematiki izvedeli, da je formula v resnici nastala
na
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
fizikalen
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na orig nalni slik (večinoma nezanimiv del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in orig nal ne moremo več
nat nčno rekonstruirati. Na tipični slik ma kvantiz rana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matrik , v kateri je večina el mentov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantiz rana matrika je torej praviloma razpršena.
V fot apar tu z velik m senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi el menti, velikosti
recimo d 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
el mente recimo d 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi el menti kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrat . Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamer tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainter sirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zel no plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitaliz cija
Nekateri študenti na izpit h rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnes . Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati z njihovih vrednosti na diskretni množic točk. V knjig [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj interval [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f dol čena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
način: z razrezom odseka parabole na neskončno rezin, pre-
stavljanjem rezi in u avnovešenjem s preprosteǰsim likom (trikotnikom) na
primerno postavljeni gug lnici ali tehtnici. To že spominja na metode mate-
matične analize. Vendar pa je bila ta pot za antične matematike vprašljiva,
tako da je Arhimed formulo naknadno dokazal drugače. Strogatzova knjiga
predstavi bistv te
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri štude ti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po t čkah«. Večinoma se to
ne ob es . Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko doka ati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
fizikalne
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zani ivosti
vrgli smo del informacije na orig nalni slik (večino a nezanimiv del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in orig nal ne moremo več
nat nčno rekonstruirati. Na tipični slik ma kvantiz rana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matrik , v kateri je večina el mentov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantiz rana matrika je torej praviloma razpršena.
V fot apar tu z velik m senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi el menti, velikosti
recimo d 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
el mente recimo d 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi el menti kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrat . Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamer tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainter sirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zel no plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti izpit h rǐsejo gr fe f nkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnes . Vendar pa je mogoče velik razred funkcij p polnoma rekonstru-
irati z njihovih vrednosti na diskretni množic točk. V knjig [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko doka ati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj interval [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f dol čena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
izpeljave. S v da pa nekatere izračune spu-
sti, ker tudi i niso ravno en stavni. Na podoben, a laže razumljiv način je
Arhim d prǐsel tudi d prostor ine krogle, kot lahko preberete v članku v
reviji Presek [3]. Tudi po tem, ko je Arhimed imel formulo za ploščino od-
seka parabole, je bil njegov neoporečen dokaz netrivialen in priča o njegovi
genial osti.
Knjiga ima zelo obsežno bibliografij , v kateri najdemo reference za vse,
kar Strogatz ni mogel ali želel razlagati na tem nivoju.
Strogatz lepo predstavi delo Galilea, Keplerja, Descartesa in Fermata.
Avtor je odličen pripovedovalec zgodb. Tako izvemo, da je Isaac Newton
sestavil seznam grehov pred devetnajstim letom starosti:
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del infor acije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temni i deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj š patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
Pri trin jstih: Grozil mojemu očetu in materi Smith, da ju bom zažgal
s hǐso vred.
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informac je n o ginalni sliki (večinoma nez nimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drug h podatkov in original ne oremo več
natančno konstruirati. Na tipič i sliki ima kvantizirana matrika mnog
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgo aj omenj na matrika Q obi-
čaj o s iko stisne z faktor približno 7. Ma i i, v kat ri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, r čemo razpršena matrika.
Kvantizirana m trika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastav t v na fino (an-
gleško fine) a kvantizacijsko matrik z bistv no manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 o 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za f ktor 2. Pri malih
tipa ih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v nač nu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivost .
Pri de odir nju pomnožimo matriko naz j z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrik in opravimo in erzno transformacijo k DCT. Dobim pri-
bližek prvot e slike našega kvadrata. Na slikah z mehki i prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to d luje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem pojavi pri
slikah z ogrom o podrobnostmi, kot o trava, krzno. Bolǰse kamere ta o
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z gromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nism zainteresirani za p drobno repr dukci o.) Pri poceni kamerah
pa lah o kombinacija n kakovostn ga zoom objektiva in neprilagod ivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal n podl gi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakov stih. Zel dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na iz itih rǐsej graf funkcij »po toˇkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti a diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourier va transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli sm del inform c je n origi aln sliki (veči oma nezanimivi del), se
zadovoljili s približk k terih drug h podatk v in original ne moremo več
n tančno reko struir ti. Na tipični sliki im k antizir na matrika m ogo
, predvs m v des e spodnjem delu. Zgoraj omenj na matrika Q obi-
čajno sl k stisne za fakt r približno 7. Matriki, v kateri je v čina elementov
ničelnih, preostali pa n majo posebne strukture, rečemo razprše matrika.
Kvantizir na matrika je torej pravil ma razpršena.
V foto paratu z veli im sen orjem (APS-C ipd.) nast vi ev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno nǰsimi element , v l kosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodira ju pomn žimo m riko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizac jske matrike in oprav mo inverzno tr nsformacijo k DCT. Dobi o pri
bližek prvot e slik naš ga kvadrata. Na slikah z ehkimi preh di med
vetlimi in te imi deli sl ke to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi roblem s poj vi pri
slikah z ogr m o p drobnostmi, kot so trava, krzn . Bolǰse k mere tako
sl ko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, e pravi uporabijo drugo kvan-
izacijsko matr ko kot sicer. (Slika z ogro n šuma je tudi tež va, vendar
p tu nis o z nteresir i za podrobn reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
lahko kombinacija nekakovostneg z om objektiva in neprilagodljivega
stiskanja trav ik s remeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcij grafičnih podrobn sti. Za manǰse risbe grafike profesion lc
raje uporablj jo format PNG.
Za zvok je n stal na odlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še p tentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovo tih. Zelo dobe za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekat ri štu enti na izpi h rǐsejo grafe fu kcij »p t čkah«. Večinoma se t
e obnese. Vendar pa je mogoče velik ra red funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskre ni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena F urierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
Pri štiri ajstih: Želel smr in upal, da doleti nekatere.
i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacij a riginalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadov ljili s pribl žki n katerih drugih podatkov in originala ne moremo več
natanč o ekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, pred sem v d snem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za f ktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ičelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizir na matrika je torej praviloma razpršena.
V foto paratu z veliki senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleš fine) da kva tizacijs matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo d 1 do 6. To po eni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo p 8 m bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
el mente reci o od 1 d 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivost .
Pri d kodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in prav mo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in te nimi del sl ke to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrob ostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepozn jo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sic r. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa u nismo za teresir ni z podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko ko binacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiska ja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobn sti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabl ajo format PNG.
Za zv k je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Om goča stisk nje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih ǐsejo gr fe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Ve dar p je goče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izr k 1. Naj b f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimiv sti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (več n ma neza vi del), se
z dovo jili s pribliˇki nekaterih drugih podatkov i orig nala ne more o več
ata čno r konstruirati. Na tipični sliki ima vantizirana atri a n go
ničel dvse v desn m spodnj m delu. Zgoraj om njena matrika Q obi-
čajno sliko sti ne za faktor ibl žno 7. Matrik , v kateri je eč na ele entov
ničelnih, p eost li pa nimaj posebne strukture, rečemo razpršen m trika.
Kvantizirana matrika je torej pravil a razprše a
V fotoaparatu z velik senzo jem (APS-C ipd.) astavitev na fino (an-
g ško fine) d kvantizacijsko matri bi tveno nǰsimi elementi, velikost
re imo od 1 d 6. To pomeni nižjo ko pres o, nek ko z faktor 2. Pri malih
t palih z diagonalo po 8 mm bo kvantizacijs a matrika v načinu fine imel
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrez e optike bicajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
P i dekodi anju pomnožimo matriko naz j z st ležnim lementi kvan
izacijske atrike in opravimo inverzno tr n formacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvo e slik našega kvad ata. N slikah z mehkimi rehodi m d
v tlimi in temnimi deli like o deluje sij j o. Algoritem za JPEG stiska
nje j računsko nezahteve , hiter in robu te . Manǰsi p b em se poj vi pri
ah z og omno pod ob ost i, k so trava, rzno. Bol se kamere t ko
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnej , se pravi uporabij drugo k an-
tizacijs matr o kot sicer. (S ik ogromno šuma je tudi težava, vend r
tu nism z t resirani za p drobno reprodukcij .) Pri pocen k merah
p lahk komb nacija nekakovostnega zoom o jektiva in eprilag dlj vega
stiskanja travnik premeni v zeleno plund o. JPEG tudi ni ajb lǰsi za e-
prod kcijo gr fičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in gr fike profesi alci
raje uporabl ajo format PNG.
Z zvok je nastal n podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj š patenti ani
for at MP3. Omogoča sti kanje v različnih kakov stih Zelo d be z
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti a izpitih rǐsejo gr fe funkcij »po toč ah«. Večinoma e to
ne obnese. Venda pa je m goče velik razred funk ij popolnoma rekonstru-
ir ti iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najd mo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena F urierova transf mi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
Pri p t ajstih: Udaril mn g .
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Za imivosti
vrgli s del infor acije na rigi al i s i (v čin ma nezani ivi del), se
z dov ljili s približ i nekaterih drugih podatk v in orig nala ne moremo eč
n tančno reko struirati. N tipič i sliki im kva tizirana matrika mnog
nič l, redvse v desnem sp dnjem delu. Zgoraj omenje a matrika Q obi-
č jn sliko stis e z f o približn 7. Matriki, v ka eri je večina elementov
n č lnih, r ostali pa ni ajo po eb e strukture, reč mo razpršena matrik
Kvantiziran matrika je tor j pravi o ra prše a.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) stavitev na fino (an-
gleško fine) da kva t zacijsko m trik z bistveno a ǰ imi elementi, velikosti
reci o od 1 do 6. To pome i nižj ko presijo, kako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagon lo pod 8 m b vant zacijska matrika v nači u fine imela
elemente recimo od 1 do 15, s j ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljiv sti.
Pr dek dira ju pomnoˇimo matr ko nazaj z istolež imi elementi kvan-
tizacijske matrike in oprav o inver o transfor acijo k DCT Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadra a. Na slikah z mehkimi prehodi med
sv tlimi n temnimi deli slike to de uj sijajno. Algor m za JPEG stiska-
nj j ačun o nezah ven, hiter in r busten. M ǰsi problem se pojavi p i
sl k h ogromno pod obnostmi, k t so tr va, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoz j i bistv no nj stis j , se pravi uporabijo d ugo kvan-
tiz cijsko matrik kot sic r. (Sl ka z ogr m o u je tudi težava, vendar
pa tu nism zainte esirani z podrob o re r dukcijo.) Pri poceni kamerah
p lahko kombin ci a ne kovos nega zoom objektiva in ne rilagodljivega
stiskanj travnik spremeni v z le o plundro. JPEG tudi ni n jbolǰs za re-
pr u cij grafičnih podrob osti. Z manǰse r sbe in grafike profesionalci
raje up r bljajo format PNG.
Za zv k nast l na podla i J EG ilju lje , zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanj v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodn format (Ogg) Vorbis.
Vzorˇenje in digitalizacija
Nekateri tu enti n izpitih rǐsej gr f funkcij »po točkah«. Večinoma se to
e obnese. Vendar pa je mogoče veli razred funkcij popolnoma rekonstru-
ir ti z njihovih vred sti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
n str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in n j bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj int rvala [−L,L], kj r je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
To je laže razumljivo, ˇ vemo, da ga je njegova mati pri treh letih
i ročila v vzgojo babici. Izak je bil namreč roj n po smrti svojega očeta.
Ma i se je znov poročila, njen novi mož, častiti Barnaby Smith, pa ni želel
dečka imeti v hǐsi. Tudi sicer je bila mati precej trda do Newtona. Pri
desetih letih ga je, spet vdova, dala v bližnjo internatsko šolo. (Newton ni
bil edini čustveni invali , ki so ga dale te angleške vzgojne metode.) Pri
šestnajstih ga je mati vzela iz šole, da bi vodil domačo kmetijo. Ker pa je
kmečka opravila sovražil in posestvo slabo upravljal, ga je ponovno pustila
v šolo.
Med študijem na univerzi Cambridge je nanj naredila velik vtis knjiga
Johna Wallisa Arithmetica Infinitorum. Pozimi 1664/65 je Newton po ana-
logiji z binomsko formulo uganil potenčno vrsto za funkcijo f(x) =
√
1− x2.
Že Wallis je znal izračunati ploščine pod krivuljo y = xn. Tako je Newton
lahko ploščino pod krožnim lokom y =
√
1− x2 na intervalu od 0 do x izra-
zil s potenčno vrsto. Od tod je Newton dobil idejo, kako z razvojem funkcij
v potenčno vrsto dobiti ploščine pod njihovim grafom. Ko je to uporabil
32 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Legisa2” — 2020/7/20 — 8:17 — page 33 — #3 i
i
i
i
i
i
Infinite Powers, The Story of Calculus
na hiperboli y = 1/(1 + x), je prǐsel do vrste za naravni logaritem (ki ga je
Newton imenoval hiperbolični logaritem).
Knjiga pove, da so tri pomembne potenčne vrste (za sinus, kosinus in
arkustangens) že nekaj stoletij prej tem odkrili v Kerali v južni Indiji. Avtor
naj bi bil Madhava iz Sangamagrame, ki je živel približno v letih 1340–1425.
Vendar pa to znanje po vsej verjetnosti ni prǐslo do Evrope.
V času epidemije kuge v letih 1665–67, ko je bila univerza zaprta, se je
Newton umaknil na domače podeželje in tam naredil neverjeten napredek
na področju matematične analize (in tudi fizike). Postavil je temelje infini-
tezimalnemu računu. Večino teh odkritij je sprva zadržal zase in marsičesa
dolgo ni objavil. Tako je Mercator tri leta po Newtonu odkril in kot prvi
objavil vrsto za naravni logaritem.
V knjigi imamo navedeno vrsto zanimivih uporab matematične analize.
V reviji Presek je bilo pred kratkim navedeno, da je matematično znanje
odločilno pomagalo pri terapiji okuženih z virusom HIV. Ta knjiga pojasni
to zgodbo takole.
Zdravniki so sprva ugotavljali, da nezdravljena bolezen poteka v treh
fazah. V prvi fazi se virus namnoži in zelo zmanǰsa število obrambnih lim-
focitov T v telesu, kar povzroči podobne simptome kot gripa. V drugi fazi se
telo odzove in imunski sistem se začne boriti z virusom. Počutje se izbolǰsa
in nivo virusa se stabilizira. Število limfocitov T pa se počasi zmanǰsuje.
Ta druga faza lahko traja desetletje. V tretji fazi imunski sistem začne od-
povedovati in nivo virusa se začne vǐsati. Infekcije, Kapošijev sarkom ipd.
napadejo organizem.
Zdravniki so ugibali, da je v drugi fazi, brez huǰsih simptomov, morda
virus manj aktiven in v nekakšnem zimskem spanju (hibernaciji). Ekipa
raziskovalcev, ki sta jo vodila dr. David Ho (ki je bil deležen tudi fizikalne
izobrazbe) in matematični imunolog Alan Perelson, je v letih 1995/96 prǐsla
do prelomnih spoznanj. Pacientom so poskusno dajali zdravilo – zaviralec
proteaz. Zdravilo je preprečilo razmnoževanje virusov. Število virusov v
krvi se je začelo (približno) eksponentno zmanǰsevati, z razpolovnim časom
okrog dva dni. Če z V (t) označimo koncentracijo virusa, dobimo enačbo
V (t) = V0 exp(−ct)
in od tod
dV/dt = −cV, V (0) = V0.
Tu je V0 znana koncentracija na začetku zdravljenja. Ker poznamo razpo-
lovni čas, poznamo tudi c. Nato sta Perelson in Ho poskusila koncentracijo
virusa modelirati s preprosto enačbo
dV/dt = P − cV.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 33
i
i
“Legisa2” — 2020/7/20 — 8:17 — page 34 — #4 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Tu je P hitrost produkcije virusov. Pri nezdravljenem bolniku v drugi fazi je
leva stran v zadnji enačbi 0 (koncentracija virusa se ne spreminja in je enaka
V0) in tako P = cV0. Ker poznamo desno stran v tej enačbi, zdaj poznamo
P v drugi fazi. Tako izračunani P je velik, kar pomeni, da virus sploh ne spi.
To je bilo izredno pomembno odkritje. Podrobneǰsi eksperimenti so dali še
točneǰse podatke. Z njimi so zgradili bolǰse modele in ugotovili, da je P v
drugi fazi zelo velik. Odkrili so tudi, da ima okuženi limfocit T življenjsko
dobo le dva dni. V drugi fazi brez večjih simptomov se torej telo ves čas
močno bojuje z virusom. Imunski sistem sčasoma začne odpovedovati. Pred
tem so mislili, da je zdravljenje bolje prihraniti za zadnjo fazo, ker virus hitro
postane odporen na posamezno zdravilo.
Našli so še druge antivirusne kemikalije. Matematična obravnava je
pokazala, da je edino smiselno in visoko učinkovito uporabljati koktejl treh
antivirusnih zdravil, ki delujejo na različne tarče na virusu. Pacienti morajo
to terapijo izvajati redno in doživljenjsko.
Perelson je leta 2014 pomagal razviti tudi zelo učinkovito zdravilo za
hepatitis C.
Precej prostora v knjigi je namenjenega nihanju in valovanju in revo-
lucionarnim idejam, ki jih je leta 1807 v obravnavi parcialne diferencialne
enačbe za pretok toplote uvedel Joseph Fourier.
Avtor se je zelo potrudil, da je v zgodbe o razvoju matematične ana-
lize vključil prispevke matematičark. Še posebej dobro je poljudno razložil
delo Sophie Germain in Sofje Kovalevske. Manj znano je, da sta med drugo
svetovno vojno Mary Cartwright in John Littlewood pomagala razrešiti pro-
bleme novo konstruiranih radarjev. Ojačevalci signala so bili nelinearni in
so se pri delovanju v robnih razmerah začeli obnašati kaotično. Matema-
tično znanje o nelinearnih dinamičnih sistemih, temelječe na delu Henrija
Poincaréja, je pokazalo, da ni šlo za napako konstruktorjev. Ti so potem
laže odpravili problem. Nelinearni in kompleksni dinamični sistemi so sicer
Strogatzova specialnost.
LITERATURA
[1] D. Watts in S. Strogatz, Collective Dynamics of Small-World Networks, Nature 393
(1998), 440–442.
[2] L. Russo, The Forgotten Revolution, How Science Was Born in 300 BC and Why it
Had to Be Reborn, Springer Verlag, 2004.
[3] P. Legǐsa, Arhimed, Presek 17 (1989/1990), 2–5, dostopno na www.presek.si/17/
966-Legisa.pdf, ogled 13. 5. 2020.
Peter Legǐsa
34 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 35 — #1 i
i
i
i
i
i
The Origin of Geometry in India
Ramkrishna Bhattacharya, The Origin of Geometry in India, A
Study in the Śulbasūtras, Cambridge Scholars Publishing, Newca-
stle upon Tyne, 2019, 221 strani.
Predstavljena knjiga je prva celovita štu-
dija nastanka geometrije v Indiji. Šulba-
sutre so prva razpoložljiva besedila, ki
uporabljajo geometrijo in merjenje. Se-
stavljene so bile okoli leta 600 pr. n. št.,
čeprav so obstajale v ustnem izročilu že
vsaj 900 let prej. Beseda Šulbasutra po-
meni navodilo za merjenje z vrvico.
Značilnost staroindijske matematike
je bila na začetku predvsem uporabnost
v religioznem in vsakodnevnem življenju.
Pri tem imamo v mislih merjenje, tehta-
nje, trgovino, gradbenǐstvo, namakalne
sisteme, astronomska opazovanja, velika
števila itd.
Geometrijo lahko upravičeno štejemo
za najstareǰso vejo staroindijske mate-
matike. Njene začetke lahko postavimo
v predarijsko obdobje, v čas okoli 2500
let pr. n. št. v dolino reke Ind, in to na podlagi arheoloških izkopavanj v me-
stih Harappa in Mohendžo Daro, sedaj oboje v Pakistanu. Mesti sta imeli
med seboj pravokotne ulice, trinadstropne hǐse, zgrajene iz opeke, skladǐsča,
vodovod in kanalizacijo ter javna kopalǐsča. Težko si je predstavljati, da bi
vse to lahko zgradili brez znanja geometrije in računstva. Našli pa so tudi
pečate, poslikave in pisavo, ki še ni razvozlana, mere in uteži ter zametke
desetǐskega številskega sistema.
V predarijskem obdobju so na indijski podcelini prevladovali temnopolti
Dravidi, v drugem tisočletju pr. n. št. pa so se na podcelino z območja osre-
dnje Azije prek današnjega Irana in Afganistana množično priseljevala arij-
ska plemena, ki so prvotne prebivalce podjarmila ali jih postopoma potisnila
proti jugovzhodu. Takrat se je oblikoval tudi znani kastni sistem.
V arijskem obdobju so se v Indiji pojavile Vede, sveta besedila, ki so
se prvotno prenašala ustno iz roda v rod, dokler jih niso v sanskrtu tudi
zapisali. Nastala naj bi v 2. tisočletju pr. n. št., nekateri pa njihov začetek
pomikajo še kakih tisoč let nazaj v zgodovino. Beseda veda pomeni znanje.
Indijci so prepričani, da imajo Vede božji izvor, da so torej dar bogov.
Obstajajo štiri Vede: Rigveda, Jadžurveda, Samaveda in Atharvaveda.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 35
i
i
“Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 36 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Za matematike je najbolj zanimiva Jadžurveda, ki vsebuje navodila za
čaščenje, spoštovanje in žrtvovanje ob raznih priložnostih. Jadžurveda ima
dodatke, ki natančno razlagajo, kako je treba opravljati žgalne daritve v čast
božanstvom. V ta namen so uporabljali oltarje, ki so bili narejeni iz tesno
prilegajočih se opek različnih velikosti in oblik. Število opek je šlo včasih v
tisoče. V tlorisu so bili oltarji pravokotni, okrogli, pa tudi nenavadnih oblik,
ki spominjajo na želve in ptiče.
Del navodil so Šulbasutre, ki dajejo natančne napotke za geometrijsko
oblikovanje oltarjev. Indijci so namreč verjeli, da nepravilno narejen oltar ali
nepravilen potek vedskega obreda žrtvovanja na njem ne bo pri božanstvu,
ki mu je bil namenjen, dosegel svojega namena. Zato so bili pri izdelavi
oltarjev zelo natančni.
Knjiga tudi podaja podroben opis zgodovine geometrije v Egiptu, Mezo-
potamiji in Grčiji ter pokaže, da se geometrija povsod začne z zidarskimi
deli, ne pa z merjenjem zemlje, na čemer temelji beseda geometrija. V In-
diji so bili po avtorjevem mnenju, ki je podkrepljeno z raziskavami drugih
znanstvenikov, glavni uporabniki geometrije zidarji in tesarji. Kjer je bilo
na razpolago dovolj gline, so ljudje kmalu začeli izdelovati opeko in iz nje
zidati stavbe. Pri tem so si, kar se geometrije in merjenja tiče, pomagali s
preprostimi orodji: vrvicami, palicami, gnomoni in šestili. V Šulbasutrah je
nedvoumno zapisan Pitagorov izrek v trditvi, ki pove, da je kvadrat nad di-
agonalo pravokotnika enak vsoti kvadratov nad njegovima stranicama. Brez
tega védenja najbrž ne bi mogli zapisati navodila, kako konstruirati kvadrat,
ki ima za ploščino vsoto oziroma razliko ploščin dveh danih kvadratov. Niso
pa tega nikjer dokazali v današnjem smislu. To pomeni, da so izrek Indijci
poznali vsaj 200 let pred Pitagoro. Uporabljali so tudi pitagorejske trojice,
na primer (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (12, 35, 37).
V Šulbasutrah so navodila, kako z navpično palico in senco (gnomo-
nom) določimo smer vzhod–zahod in nato še smer sever–jug. To je bilo
pomembno za pravilno orientacijo oltarjev. V Šulbasutrah so navodila,
kako konstruiramo kvadrat, enakokraki trikotnik, romb, enakokraki trapez,
kako pretvarjamo dane like v ploščinsko enake druge like, vključno s pri-
bližno pretvorbo kvadrata v krog. Iz slednje pretvorbe, ki je podrobno
opisana, lahko izluščimo približek števila π, ki pa je precej nenatančen:
π
.
= 18(3 − 2
√
2)
.
= 3,088. Šulbasutre poznajo precej dober racionalni pri-
bližek za
√
2:
√
2
.
= 1 +
1
3
+
1
3 · 4 −
1
3 · 4 · 34 .
Kako so do tega prǐsli, ni znano. Na splošno takrat Indijci niso še ničesar
dokazovali. Njihova geometrija je bila drugačna kot Evklidova in je imela
popolnoma drug, namreč praktičen namen.
36 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 37 — #3 i
i
i
i
i
i
Loving + Hating Mathematics, Challenging the Myths of Mathematical Life
Knjiga poudarja, da je geometrija v Indiji dolgo temeljila bolj na dolži-
nah, za razliko od tiste v Grčiji, ki je uporabljala tudi kote. Pomislimo na
primer na besede trikotnik, pravokotnik, večkotnik, ki so dobesedni prevodi
ustreznih grških besed. Vse so zgrajene na besedi kot. V sanskrtu je na
primer trikotnik tribhudža, beseda bhudža pa pomeni stranica.
Besedilo je bogato ilustrirano s skicami oltarjev različnih oblik. Žal ne
prispeva nobene fotografije. Najdemo pa jih na svetovnem spletu, če ǐsčemo
fire altars India.
Avtor Ramkrishna Bhattacharya, rojen 1947, je doktoriral na Univerzi
v Kalkuti. Poučeval je angleščino na nekaterih visokih šolah v Kalkuti.
Od leta 2008 je v pokoju. Njegova raziskovalna dela vključujejo filozofske
študije, študije o noveǰsi zgodovini Indije in o zgodovini znanosti v Indiji.
Marko Razpet
Reuben Hersh in Vera John-Steiner, Loving + Hating Mathe-
matics, Challenging the Myths of Mathematical Life, Princeton
University Press, Princeton in Oxford, 2011, 428 strani.
Reuben Hersh je zaslužni profesor mate-
matike na Univerzi v Novi Mehiki. Je
avtor ali soavtor več zelo branih in tudi
nagrajenih knjig.
Vera John-Steiner je profesorica ling-
vistike in izobraževanja na Univerzi v
Novi Mehiki. Je tudi zgodovinarka in
sociologinja. Tudi ona je avtorica na-
grajenih knjig.
O življenju in delu matematikov ob-
staja veliko knjig namenjenih širokemu
krogu bralcev. Pri noveǰsih knjigah o tej
tematiki pogosto zasledimo že večkrat
objavljene in dobro znane citate in anek-
dote. Nekaterim od teh se tudi Hersh
in John-Steinerjeva nista mogla izogniti,
vendar sta uporabila tudi druge, do se-
daj manj upoštevane vire. Knjiga je zato zanimiva tako za tiste, ki o zgo-
dovini matematike že nekaj vedo, kot tudi za tiste, ki se s to temo šele
spoznavajo.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 37
i
i
“Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 38 — #4 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Knjiga skuša razbiti številne mite o matematikih, vključno s predsta-
vami, da je matematika samotarsko delo, da lahko do pomembnih odkritij
pridejo le zelo mladi ljudje, ali kot pravi angleški matematik G. H. Hardy,
matematika je
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
igra za mlade
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanim vosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstru rati. Na tipični sliki ima kvantiziran matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjen matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kat ri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo pos bne str kture, rečemo razpršen matrika.
Kvantiziran matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nas a itev na fino (an-
gleško fine) d kvant zacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo o 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
t palih z diagonalo pod 8 mm bo kvant zacijsk matrika v ačinu fine imela
elemente recimo o 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnoži o matriko na aj z istoležnimi elementi kvan-
t zacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in te nimi deli slike to d luje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromn p dr bnostmi, k t so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
t zacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi teža a, vendar
pa tu nismo zainte es rani za p dr bno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombin cija nekakovostnega zo m objekt va in neprilagodljivega
stiskanj travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni na bolǰsi za re-
produkcijo grafičnih p dr bnosti. Z manǰse risbe in grafike profesionalci
raje upor bljajo format PNG.
Za zvok je nast l na podlagi JPEG pri ubljeni, za zdaj še patent rani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zel dober za
kompresij zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorč nje in dig t liz cija
Nekateri štude ti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vend r pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
rati iz njiho ih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvez a in naj bo njena Fourierov transformi-
r nka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
(young n’s game). Govori o prepričanjih
nekaterih ljudi, da so matematiki čustve o drugačni ljudje, in celo o mi-
sli, da pri ra v ju v dobrega matem tik po aga, če si malo nor. Avtorja
pripovedujeta zgodbe iz življenja matematikov od njihovih začetkov do po-
zne starosti. Seznanjata nas o izobraževanju in mentorstvu, prijateljstvu
in rivalstvu, ljubezenskih odnosih in porokah ter o izkušnjah žensk in ljudi
z roba družbe na področju, ki je bilo že tradicionalno do teh dveh skupin
neprijazno, odklonilno. Sem spadajo tudi zgodbe ljudi, za katere je bila
matematika neizmerna tolažba v času osebnih ali družbenih kriz, vojne in
celo zapora – pa tudi tistih redkih posameznikov, ki jih je obsedenost z
matematiko gnala v norost in celo umor.
Knjiga je razdeljena na devet poglavij.
Prvo poglavje je posvečeno začetkom ukvarjanja z matematiko. Avtorja
skušata odgovoriti na naslednja vprašanja: s čim se na začetku ukvarjajo
otroci, ki kasneje postanejo matematiki? Imajo kakšne posebne lastnosti,
poseben dar? Ali na to vpliva vzpodbujanje staršev? Kaj jim tak razvoj
omogoča in nazadnje, kaj jih pripelje do tega, da se ukvarjajo z matematiko?
Kakšen vpliv imajo učitelji in mentorji? Posebej poudarjata tekmovalnost,
ki je tudi med matematiki močno prisotna. Zgodnje udejstvovanje na mate-
matičnih tekmovanjih lahko po eni strani pritegne tudi tiste učence, ki sicer
matematike nimajo najraje, po drugi strani pa jih lahko od nje tudi odvrne.
Drugo poglavje je namenjeno matematični kulturi in je tudi najdalǰse ter
najbolj raznoliko, zato mu namenimo nekaj več besed. Opisuje medsebojno
udejstvovanje, izmenjavo dognanj, sodelovanje pri raziskavah, druženje, pa
tudi medsebojna trenja in spore. Poglavje ima več podpoglavij.
Prvo podpoglavje se ukvarja s spoznanji in občutenji. Ko so P. Halmosa,
madžarskega matematika, ki je živel v ZDA, vprašali, kaj je matematika, je
odgovoril: Varnost. Resnica. Lepota. Vpogled. Struktura. Arhitektura.
Abstrakcija je eden izmed temeljev matematičnega razmǐsljanja. P. J. Davis
in R. Hersh opisujeta dva vidika abstrakcije. Prvi je idealizacija, pomeni
odstranitev vseh nepomembnih detajlov. Na primer: pri risanju trikotnika
debelina črt ni pomembna. Drugi vidik pa je ekstrakcija, to pomeni, da mo-
ramo znati izluščiti vse lastnosti in povezave, ki so pomembne za reševanje
problema. Bistvo matematičnega jezika je uporaba simbolov in oznak. V
nadaljevanju avtorja opisujeta način štetja in načine poimenovanja osnovnih
38 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 39 — #5 i
i
i
i
i
i
Loving + Hating Mathematics, Challenging the Myths of Mathematical Life
matematičnih pojmov pri različnih primitivnih ljudstvih. Kaj je še značilno
za matematike? Kreativnost in analitičnost. Avtorja ǐsčeta razlike med
matematičnimi teoretiki in matematiki, ki se ukvarjajo le z reševanjem pro-
blemov.
Drugo podpoglavje ima naslov Matematična lepota. Kaj pravzaprav to
pomeni? Hardy pravi, da matematična lepota pomeni: da je premǐsljena,
globoka in presenetljiva. Hardy za primer matematične lepote navaja dva
zgleda: dokaza, da je
√
2 iracionalno število in da obstaja nešteto praštevil.
Seveda se vsi matematiki ne strinjajo s to opredelitvijo lepote v matematiki,
zato avtorja zapǐseta še mnenja drugih matematikov. Zapisane so tudi izjave
matematikov o tem, kako so prǐsli do velikih odkritij in kako so se pri tem
počutili.
Tretje podpoglavje govori o socialnem vplivu matematične kulture. Zu-
nanji opazovalci matematikov bi sklepali, da so matematiki samotni misleci.
Vendar številni matematiki dobro sodelujejo. Res je, da nekateri dolgo časa
samostojno rešujejo določen problem, ampak velikokrat se zgodi, da potem
tavajo v krogu. Zato se potem srečujejo, se pogovarjajo, razpravljajo, si
dopisujejo.
Četrto podpoglavje je kratko in se ukvarja z ljubeznijo do matematike
in usodami ljudi, ki so se ukvarjali izključno samo z matematiko.
Peto podpoglavje se ukvarja s problemi, ki nastanejo, potem ko je ob-
javljena rešitev težkega problema in se začnejo razprave o tem, ali je dokaz
pravilen, oziroma zakaj ni. Avtorja omenjata nekaj primerov sporov o pr-
venstvu pri rešitvah težjih matematičnih problemov.
Poglavje se konča s primeri bitk za sprejem v službo na University of
California, Berkeley. Kdo je lahko član oddelka na prestižni univerzi? Kdo
odloča o tem? Opisani so boji za sprejem žensk in Afroameričanov.
Naslov tretjega poglavja je Matematika kot tolažba. V njem avtorja
opisujeta usode ljudi, ki so se iz težkih življenjskih preizkušenj rešili prav z
ukvarjanjem z matematiko. Omenjata usodo Napoleonovega vojaka J. V.
Ponceleta, ki so ga zajeli Rusi in je v zaporu v Sibiriji študiral geometrijo
in postavil temelje projektivne geometrije. Urugvajec J. L. Massera je v
zaporu dvigal moralo sojetnikom tako, da jih je učil matematiko. Poleg njih
so omenjeni še I. Newton, B. Pascal, J. Littlewood in še številni drugi. Tudi
politika lahko prizadene matematike. Naj omenimo le en primer, ki je opisan
v knjigi. V času makartizma, lova na čarovnice, protikomunistične gonje,
je tako preganjanje doživel C. Davis, kasneǰsi urednik The Mathematical
Intelligencerja, ki je bil celo šest mesecev zaprt, pristal na črni listi in zato
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 39
i
i
“Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 40 — #6 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
ni mogel dobiti službe na univerzah v ZDA. Imel je srečo, saj ga je D. Coxeter
povabil na univerzo v Toronto.
Zasvojenost nekaterih oseb z matematiko je tema četrtega poglavja. Kaj
žene ljudi, da se celo življenje posvetijo matematiki? Če je to obsedenost,
kakšne so psihične posledice? Kot primer navajata enega izmed največjih
matematikov 20. stoletja, A. Grothendiecka, ki je svoje življenje povsem
podredil matematiki in se po upokojitvi umaknil v osamo. A. Bloch je
imel na psihiatrični kliniki posebno rutino, po njej je ob določenih urah
proučeval matematiko. Najbolj znan nor matematik je T. Kaczynski, ki je
nekaj let pošiljal pisemske bombe amerǐskim profesorjem in poslovnežem, jih
nekaj umoril oziroma resno poškodoval. K. Gödel je bil prav tako psihično
nestabilen. Na smrt strah ga je bilo zastrupitve, zato je užival le hrano, ki
mu jo je pripravljala žena. Ko je le-ta zbolela in ni mogla več skrbeti zanj,
je prenehal jesti in nazadnje od lakote umrl. Ob smrti je tehtal le še 29 kg.
Peto poglavje je posvečeno dolgoletnemu prijateljstvu in sodelovanju ne-
katerih matematikov. Naj omenimo le D. Hilberta in H. Minkowskega, tro-
jico G. H. Hardyja, J. Littlewooda in S. Ramanujana, in dvojice: profesorja
K. Weierstrassa in študentko S. Kovalevsko, ruska matematika A. N. Kol-
mogorova in P. S. Aleksandrova, K. Gödla in A. Einsteina ter ne nazadnje
prijateljevanje P. Erdősa z drugimi matematiki po svetu. Konec poglavja je
posvečen matematičnim zakoncem.
Šesto poglavje opisuje delo matematikov v matematičnih centrih in zdru-
ženjih. Omenjene so raziskovalne skupine v Göttingenu, New Yorku, Mo-
skvi, Budimpešti, v Franciji (Burbaki). Pozabljeni niso tudi začetki mate-
matičnih združenj in njihov pomen za razvoj matematike in matematičnega
izobraževanja ter širjenje matematične literature.
Sedmo poglavje skuša razbiti mit o matematiki kot igri za mlade. Go-
vori o dozorevanju, staranju in vplivu spola na doseganje vidnih rezultatov
v matematiki. Do katerega leta lahko sledimo razvoju in novostim v ma-
tematiki? Do petdesetih, sedemdesetih let ali še dalj? Hardy je na primer
nehal z raziskovanjem pri šestdesetih in rekel, da je prestar, da bi imel še ka-
kšne nove ideje. Njegovo nasprotje je L. J. Mordell, ki je šele po upokojitvi
objavil 270 člankov in publikacij in začel predavati na številnih univerzah po
svetu. Zadnje predavanje je imel le nekaj mesecev pred svojo smrtjo v Mo-
skvi. V pozni starosti so bili aktivni še številni drugi matematiki. Omenjeni
so rezultati raziskav o vplivu starosti na raziskovalne dosežke.
Matematičarke so imele težko pot do uveljavitve v moški raziskovalni
domeni. Omenjena so življenja in dela matematičark: S. Germain, S. Kova-
40 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1
i
i
“Razpet” — 2020/7/27 — 7:06 — page 41 — #7 i
i
i
i
i
i
Loving + Hating Mathematics, Challenging the Myths of Mathematical Life
levske, E. Noether, M. Rudin, J. Birman, L. Blum, K. Uhlembeck in drugih.
Osmo poglavje ima naslov Poučevanje matematike: strogo ali prijazno.
Učitelji, od osnovne šole do univerze, in njihov način poučevanja imajo velik
vpliv na študente in s tem na odločitev za raziskovanje v matematiki. Omeji
se na nekaj primerov, ko profesorji začnejo z osnovami, potem pa zastavijo
problem, ki ga morajo študenti samostojno rešiti, brez njihovega vmešava-
nja, oziroma profesorje, ki študente vodijo in jim pomagajo preskočiti ovire
z nekaj pojasnili ali namigi. Po drugi strani pa so omenjeni profesorji, ki so
želeli poučevati le elito, posebej izbrane študente, druge pa zavračali. Pri-
mer za to je R. L. Moore. Ta ni dovolil Afroameričanom prisostvovati na
predavanjih, medtem ko je bil C. F. Stephens njegovo nasprotje, saj je sam
živel v črnskem okolju in tudi študiral na ustanovah, namenjenih črncem.
Kot Ljubim in sovražim šolsko matematiko bi lahko prevedli zadnje po-
glavje knjige. Zakaj toliko učencem in dijakom, pa tudi odraslim, matema-
tika vzbuja nelagodnost? Zakaj mislijo, da so nesposobni za matematiko?
Kako lahko to spremenijo učitelji? Od kod ta globok odklonilen odnos do
matematike? Po raziskavah v ZDA naj bi se ta sovražnost do matematike
začela nekje v sedmem, osmem razredu, ko se preide na računanje z občimi
števili in reševanjem različnih problemov. Učenci preprosto rečejo, da niso
dovolj pametni, da bi stvari razumeli, oziroma da se učijo stvari, ki niso po-
membne za življenje. Tako pomanjkljivo znanje se pokaže kasneje, saj imajo
številni odrasli težave že z razumevanjem osnovnih matematičnih povezav,
ki so pomembne za življenje, kot na primer računanje odstotkov. Večinoma
so testi iz matematike nekakšen filter za sprejem v vǐsje in visoke šole, kar še
dodatno pripomore k nepriljubljenosti predmeta. Kljub številnim reformam
in spremembam učnih načrtov se stvari le počasi ali pa sploh ne spreminjajo.
Na koncu vsakega poglavja je obširen seznam uporabljene literature, na
koncu knjige pa še imensko in stvarno kazalo.
Knjiga Loving + Hating Mathematics torej govori o skritih človeških
čustvenih in družbenih vplivih, ki oblikujejo matematiko in vplivajo na iz-
kušnje učencev, dijakov, študentov in seveda na vse tiste, ki se še posebej
intenzivno ukvarjajo z matematiko. Napisana je v živahnem, poljudnem
slogu in prepletena z zanimivimi zgodbami in anekdotami. Seznanja nas
tako z veseljem kot z bolečino raziskovalcev v matematiki. Z veseljem in
užitkom jo boste prebrali.
Nada Razpet
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 1 III
i
i
“kolofon” — 2020/7/22 — 7:26 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JANUAR 2020
Letnik 67, številka 1
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Primerljivost izpitov na osnovni in višji ravni pri predmetu
matematika na splošni maturi (Jaka Erker, Mateja Fošnarič,
Alojz Grahor, Tatjana Levstek, Mateja Škrlec in Janez Žerovnik) . . 1–11
Padanje kapljic, izločenih iz dihal (Gregor Skok) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–22
Vesti
Vabilo za predloge priznanj DMFA Slovenije za leto 2020
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Novice Evropskega matematičnega združenja (EMS)
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23–24
Nove knjige
Bits and Bugs: A Scientific and Historical Review of Software Failures
in Computational Sciences (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–30
Infinite Powers, The Story of Calculus (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . 31–34
The Origin of Geometry in India (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35–37
Loving + Hating Mathematics, Challenging the Myths of
Mathematical Life (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37–III
CONTENTS
Articles Pages
Comparability of general matura mathematics exams at basic and
higher level (Jaka Erker, Mateja Fošnarič, Alojz Grahor,
Tatjana Levstek, Mateja Škrlec and Janez Žerovnik) . . . . . . . . . . . . . . 1–11
Falling of respiratory droplets (Gregor Skok) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–22
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23–24
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–III
Na naslovnici: Komet C/2020 F3 (NEOWISE) so astronomi odkrili 27. marca
2020 z vesoljskim infrardečim teleskopom WISE v okviru opazovalnega programa
NEOWISE. Ob odkritju skromen komet je po prehodu perihelja 3. julija postal pre-
senetljivo svetel in viden celo s prostim očesom. Razvil je dolg dobro viden pra-
šnati rep in manj izrazit plinasti rep. V prvi polovici julija je bil v naših krajih viden v
zgodnjih jutranjih urah, v drugi polovici julija pa v večernih urah in sredi noči, zato
je postal atraktivno nebesno telo za širšo javnost. Foto: Andrej Guštin