PRESEK LETNIK 44 (2016/2017) ŠTEVILKA 4 ¡¡¡1 -> NESKONČNI HILBERTOV HOTEL -> OPTIČNE KOMUNIKACIJE -> MEDNARODNA OLIMPIJADA IZ ASTRONOMIJE IN ASTROFIZIKE FENWICKOVO DREVO ISSN 0351-6652 9 9770351665449 9770351665449 MATEMATIČNI TRENUTKI V zdrževanje ravnotežja -> Kritične točke so pomembna značilnost zapletenih sistemov; najdemo jih, recimo, v finančnem sistemu in v ekosistemu. V kritični točki lahko že malenkostna sprememba povzroči bistveno spremembo sistema; že zelo majhna sprememba teže na eni strani gugalniče npr. lahko podre ravnovesje. Večino takšnih sistemov preučujemo s pomočjo matematičnih modelov, ki temeljijo na sistemih diferenčialnih enačb. Povezave med neznankami povzročijo spremembe sistema, ki so lahko ogromne in npr. povzročijo tudi ekonomsko katastrofo. Z raziskavami poskušamo odkriti kritične točke, še preden je prepozno. Motnje v Zemljinem naravnem sistemu so povzročile že nekaj katastrofalnih dogodkov. Eden od njih se je zgodil pred več kot dvesto milijoni let, ko je izumrlo več kot 90% vseh vrst na planetu. Matematika je pomagala pri izoblikovanju teorije, ki poskuša razložiti izumrtje. Povzročili naj bi ga mikrobi, ki so proizvajali metan in so dobro uspevali s pomočjo niklja iz aktivnih vulkanov v Sibiriji. Rast deleža ogljika v tistem obdobju, ki je še hitrejša od eksponentne, kaže na biološki sprožileč, računska geno-mika pa kaže, da se je v času izumrtja pojavil prav ta mikrob. To je lep primer, kako je lahko kritična točka res miniaturna. Kogar tema posebej zanima, si lahko prebere članek Dane Mačkenzie Climate, Past, Present and Future, ki je bil leta 2015 objavljen v reviji What's happening in mathematical sciences. XXX KOLOFON Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 44, šolsko leto 2016/2017, številka 4 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojča Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lučijana Kračun Berč (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (računalništvo), Marko Razpet, Matjaž Venčelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska uliča 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2016/2017 je za posamezne naročnike 19,20 eur - posamezno naročilo velja do prekliča, za skupinska naročila učenčev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakčijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI560310 0100 0018 787. List sofinancira Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinančiranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphičum, Ljubljana Naklada 1300 izvodov © 2017 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2021 Razmnoževanje ali reprodučiranje čelote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV 2 PRESEK 44 (2016/2017)4 Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. Slika na naslovnici: Na naslovnici prejšnje številke je bil Sončev halo, tokrat pa objavljamo Lunin halo. Halo nastane enako kot Sončev in opis si lahko preberete v prejšnji številki. Lunin halo najpogosteje opazimo v času polne lune in hladnega vremena. Foto: Aleš Mohorič MATEMATIKA Neskončni Hilbertov hotel Niko Tratnik Kaj je neskončnost? Vsakdo se je verjetno že kdaj vprašal, kaj je neskončnost. Označujemo jo s simbolom oo, na preprost način pa bi jo lahko opisali kot koncept, ki opisuje nekaj, kar nima meje oziroma je večje od kateregakoli števila. Vendar pa neskončnost ne more biti običajno naravno število, saj bi takšna predpostavka pripeljala do očitnih protislovij. Ce bi takšnemu številu npr. prišteli ena, bi dobili strogo večje število, ki pa bi bilo še vedno neskončno. Prav tako pa se ne bi mogli opredeliti, ali bi bilo takšno število sodo ali liho. Podobnih navideznih paradoksov, ki so povezani z neskončnostjo, je še veliko. Beseda neskončnost je latinskega izvora in izhaja iz besede infinitas, kar pomeni nevezan oz. brezkončen. Pojem neskončnosti je zaradi svoje nepredsta-vljivosti vedno vznemirjal človeka. Zgodovinsko gledano se je prvič pojavil v stari Grčiji, eden izmed prvih ljudi, ki so ta pojem raziskovali, pa je bil Zenon (starogrški filozof in matematik, okoli 450 pr.n. št.), ki je znan po svojih paradoksih, povezanih z neskončnostjo. Neskončnost pa je razburjala in sprožala številne debate v filozofiji in matematiki tudi v nadaljnjih stoletjih. Kljub temu pa je končept neskončnosti našel svojo uporabo v sodobni matematiki, pa tudi v fiziki in v ostalih znanostih. V matematiki zasledimo uporabo neskončnosti na področjih, kot so analiza (limita, zaporedja, vrste, posplošeni integral), teorija množič (neskončne množiče), geometrija, topologija. Hilbertov hotel Prva resna teorija o neskončnosti je nastala koneč 19. stoletja, ko je nemški matematik Georg Cantor odkrival začetke teorije množič, ki je danes ena izmed temeljnih matematičnih disčiplin. Zanimale so ga predvsem neskončne množiče, npr. množiča naravnih števil in množiča vseh točk na premiči (mno-žiča realnih števil). Dokazal je, da so nekatere ne- skončnosti večje kot druge in da obstaja neskončno različnih neskončnosti. Za tisti čas je bila njegova teorija veliko presenečenje in je sprožila veliko ne-odobravanja med različnimi matematiki. Henri Po-inčare je njegove ideje označil za bolezen, Leopold Kronečker pa ga je opisal kot znanstvenega šarlatana. Po drugi strani pa je nemški matematik David Hilbert, ki je bil v tistem času eden izmed najvplivnejših matematikov, Cantorjeve ideje sprejel z navdušenjem. David Hilbert je za ponazoritev Cantor-jeve nenavadne teorije pogosto uporabljal zgodbo o neskončnem hotelu, ki je danes znan kot Hilbertov hotel. Hilbertov hotel si lahko zamišljamo kot zelo velik hotel, ki nima samo več tisoč sob, ampak jih ima neskončno. Sobe v njem so označene z naravnimi števili, torej 1, 2, 3,... Rečimo, da je hotel popolnoma poln in v rečepčijo pride nov gost. Rečeptor lahko premakne gosta iz sobe 1 v sobo 2, gosta iz sobe 2 v sobo 3, gosta iz sobe 3 v sobo 4 in tako naprej. Na ta način sprosti sobo 1 za novega gosta. V hotelu je torej vedno prostor še vsaj za enega gosta. Zato v Hilbertovem hotelu velja, da izjavi hotel je popolnoma zaseden in v hotelu ni prostora za novega gosta nista ekvivalentni. Kaj pa se zgodi, če v hotel prispe avtobus z neskončno gosti (ki jih je toliko, kot je naravnih števil)? V tem primeru lahko rečeptor prestavi gosta iz sobe 1 v sobo 2, gosta iz sobe 2 v sobo 4, gosta iz sobe 3 v sobo 6 in tako naprej. Na ta način sprosti vse lihe sobe in dobi neskončno prostih sob. Prispele goste nato po vrsti razvrsti v sobe 1, 3, 5,... in tako bo vsak prišel do svoje sobe, (glej sliko 1). SLIKA 1. Prerazporejanje gostov v sode sobe. 292 PRESEK 44 (2016/2017) 5 MATEMATIKA avtobus 1 11 12 13 14 avtobus 2 21 22 23 24 avtobusi 31 32 33 34 SLIKA 2. Situacija, ko v Hilbertov hotel prispe neskončno avtobusov. avtobus 1 avtobus 2 avtobusi 11- >12 / 13* >14 / * 21 I / 22 * * 23 / 24 i ' 31 * 32 33 34 predstavljamo kot ulomek m, smo to z opisanim postopkom že naredili. Nazadnje razmislimo še, kaj se zgodi, ce v recepcijo prispe toliko ljudi, kot je števil na odprtem intervalu (0,1). Recimo, da goste, ki jih bomo označevali kar z realnimi števili med 0 in 1, receptor nekako razporedi v sobe hotela. Dobi torej seznam sob in gostov, ki zgleda nekako takole: soba 1 0,3488657857... soba 2 0,1284768311... soba 3 0,6745213657... soba 4 0,1188446782... SLIKA 3. Razporejanje gostov po diagonalnem postopku. Naslednji dan pa v hotel prispe neskoncno avtobusov. Da je situacija še hujša, je na vsakem izmed avtobusov neskoncno gostov. Ali bo lahko hotel sprejel vse te goste? Da bomo problem lažje razumeli, bomo oznacili goste iz avtobusa 1 kot 11,12,13,..., goste iz avtobusa 2 kot 21, 22, 23,... in tako naprej (glej sliko 2). Receptor podobno kot prej prestavi goste, ki so že v hotelu, in sprosti vse lihe sobe v hotelu. Nato se loti razvršcanja ljudi v sobe in zacne po vrsti razporejati ljudi iz avtobusa 1. Hitro pa ugotovi, da na ta nacin ne bo šlo, saj gosti iz avtobusa 2 ne bodo nikoli prišli na vrsto, ker je že gostov na avtobusu 1 neskoncno. Zato se spomni drugacnega trika in zacne ljudi razporejati na drug nacin. Gosta 11 razporedi v sobo 1, gosta 12 v sobo 3, gosta 21 v sobo 5, gosta 31 v sobo 7, gosta 22 v sobo 9, gosta 13 v sobo 11, gosta 14 v sobo 13, gosta 23 v sobo 15 in tako naprej (glej sliko 3). S tem diagonalnim postopkom bo cisto vsak prispeli gost prišel na vrsto in dobil svojo sobo v hotelu. Zelo podoben diagonalni postopek v teoriji množic uporabimo za dokaz, daje vseh racionalnih števil enako število kot naravnih. Vse, kar moramo narediti, je, da ulomke razporedimo v sobe Hilbertovega hotela. Ce si gosta, ki smo ga zgoraj oznacili kot mn, V tem seznamu morajo biti zajete vse sobe hotela in vsa realna števila med 0 in 1. Razmisliti moramo, ali je to sploh možno. Najprej z jemanjem števk po diagonali tvorimo novo število (števke, ki so ozna-cene krepko v spodnji tabeli): soba 1 0,3488657857... soba 2 0,1284768311... soba 3 0,6745213657... soba 4 0,1188446782... Na ta nacin torej dobimo število 0,3248... Na koncu vsako števko tega novega števila nadomestimo z neko drugo števko med 1 in 8. Števko 3 lahko npr. zamenjamo z 2, 2 lahko zamenjamo s 5, 4 lahko zamenjamo s 7, 8 lahko zamenjamo s 3. Na ta nacin bomo dobili število med 0 in 1, ki ne bo spadalo k nobeni izmed sob, saj se bo od vsakega števila razlikovalo v vsaj eni števki. To pomeni, da gosta, ki je oznacen s tem številom, nismo razporedili v nobeno izmed sob hotela. Kakorkoli že receptor razporedi prispele goste, ne more zagotoviti sob za vse. S tem smo dokazali, da je števil na intervalu (0,1) strogo vec kot naravnih števil. To seveda pomeni, da je tudi vseh realnih števil vec kot naravnih. S tem smo preverili, da obstaja vec kot samo ena neskončnost. Pravzaprav je Cantor pokazal še vec, obstaja namrec neskoncno razlicnih neskoncnosti. _XXX 293 PRESEK 44 (2016/2017) 5 MATEMATIKA Formula Strassnitzkega Marko Razpet -» Računanje približkov števila n, to je razmerja med obsegom in premerom kroga, je dolga stoletja, od Arhimeda, ki je živel v 3. stoletju pred našim štetjem, pa do Isaaca Newtona (1643-1727), temeljilo na metodi krogu včrtanih in očrtanih pravilnih večkotnikov. Računanje na nekaj deset decimalk je bilo dolgotrajno in naporno. Poleg osnovnih štirih računskih operačij je bilo treba izračunati tudi veliko kvadratnih korenov. Newton je bil eden prvih, ki so za računanje približkov števila n uporabljali številske vrste. Z njimi so dosegli v razmeroma kratkem času mnogo več pravilnih dečimalk kot s staro arhimedsko metodo. Newton in še nekateri so našli take formule, v katerih je še en kvadratni koren, drugi pa so našli take, kjer ni nobenega korena, ampak računanje poteka samo v okviru osnovnih štirih računskih operacij. Take možnosti ponuja funkcija arkus tangens (arctg) in njen D G / / 1 / 1 / 1 / 1 E / 1 / 1 / 1 —--""""""^ / a / 1 i r r H SLIKA 1. K izpeljavi formule (4) razvoj v potenčno vrsto X3 X5 x7 arctg x = x - — + —---— + (1) ki konvergira za |x| < 1, in sicer tem hitreje, cim manjši je Vrsto (1) so v Evropi poimenovali po Jamesu Gregoryju (1638-1675), znana pa je bila v Indiji že v 14. stoletju. Ker je (1) alternirajoca (izmenična) vrsta, lahko ocenimo razliko med vsoto vrste in njeno n-to delno vsoto: arctg x - i 3 .y 5 .y2W 1 - X- T + T + ••• + '-^Ž^T x 2n+1 2n + 1 (2) Izraz na desni strani relacije (2) omogoča oceniti, koliko členov vrste je treba sešteti, da dobimo arctg x s predpisano natancnostjo. Videti je, da bi približke števila n najlaže izracunali z vrsto n 111 4 = arctg1 = 1 - 3 + 5 - 7 +..., (3) ki pa zelo pocasi konvergira. Samo za 10 decimalk števila n/4 bi morali sešteti zelo veliko clenov. Koliko? Z oceno (2) nastavimo za x = 1 neenacbo 1/(2n + 1) < 10-10, iz katere dobimo, daje n okroglo pet milijard. Zato je vrsta (3) za racunanje števila n neuporabna. Matematiki pa so našli formule, s katerimi so veliko decimalk števila n kar hitro izracunali, ce so bili le dovolj potrpežljivi in se niso motili v racu-nih. Take pripravne formule vsebujejo dve, tri ali vec vrednosti funkcije arctg racionalnih števil. Ena najpreprostejših formul, ki jo pripisujejo Leonhardu Eu-lerju (1707-1783) in Charlesu Huttonu (1737-1823), je n 11 — = arctg — + arctg 3. (4) 294 PRESEK 44 (2016/2017) 5 MATEMATIKA Formulo (4) bomo izpeljali po geometrijski poti (slika 1). Do nje je mogoce priti tudi z uporabo enakosti, ki veljajo za funkcijo arctg. Najprej nacrtamo pravokotni trikotnik ABC, ki ima daljšo kateto AB dolgo tri enote, krajšo BC pa eno enoto. Nato nacrtamo enakokraki pravokotni trikotnik AFD, katerega kateta AF je dolga dve enoti, oglišce F pa leži na kateti AB prvega trikotnika, druga kateta F D pa je nanjo pravokotna. Trikotnik ACD je pravokotni s pravim kotom ob oglišcu D. Da se o tem prepričamo, konstruiramo daljico CG, ki je vzporedna kateti AB. Krajišce G razpolavlja hipote-nuzo AD drugega pravokotnega trikotnika, tako da je |AG| = |GD| = |CD|. Kot GDC je pravi, ker ga razpolavlja daljica DF, ki ocitno oklepa z daljicama DC in DG kot n/4. Kot CAD oznacimo z a, kot BAC pa z f. Ker je a + f = n/4, tg a = 1/2 in tgf = 1/3 oziroma a = arctg(1/2) in f = arctg(1/3), res velja formula (4). Leopold Karol Schulz pl. Strassnitzki (1803-1852) je našel formulo n 111 — = arctg ^ + arctg 5 + arctg 8, (5) ki jo imenujejo po njem. Tudi do nje lahko pridemo po geometrijski poti (slika 2). Nacrtamo pravokotni trikotnik ABC, ki ima daljšo kateto AB dolgo 24 enot, krajšo BC pa tri enote. Nato nacrtamo pravokotni trikotnik ADE, katerega daljša kateta AE meri 15 enot in leži na kateti AB prvega trikotnika, krajša pa je dolga tri enote. Oglišci C in D sta na nasprotnih bregovih premice nosilke ka-tete AB. Nazadnje nacrtamo še pravokotni trikotnik AFG, katerega daljša kateta AF je dolga 16 enot in leži na kateti AB, oglišce G pa na hipotenuzi AC. Trdimo, da je trikotnik ADG pravokotni s pravim kotom ob oglišcu D. Najprej je zaradi podobnosti trikotnikov ABC in AFG kateta FG dolga dve enoti. Poišcemo presecišce H vzporednice kateti AB skozi D in pravokotnice na to kateto skozi F. Ocitno je daljica DH dolga eno enoto, tako kot daljica EF. Po Pitagorovem izreku dobimo: ■ |AD|2 = 152 + 32 = 234, |DG|2 = 52 + 12 = 26, | AG |2 = 162 + 22 = 260. Ker je |AD|2 + |DG|2 = |AG|2, je trikotnik ADG res pravokotni. Kateti v njem pa sta v lepem razmerju: |DG|/|AD| = 1/3. Oznacimo z y kot DAE, z 5 pa kot BAC. Potem je ocitno kot DAG enak vsoti y + 5. Ker je tg(y + 5) = 1/3, tgy = 3/15 = 1/5 in tg5 = 3/24 = 1/8, velja y + 5 = arctg(1/3) = arctg(1/5) + arctg(1/8). Če to upoštevamo v formuli (4), dobimo formulo (5). Kot zanimivost pripomnimo, da so števila 2, 5 in 8, ki nastopajo v (5), Fibonaccijeva števila, kar ni zgolj slucaj. S formulo (5) je Johann Martin Zacharias Dase (1824-1861) v dveh mesecih izracunal približek števila n na tocnih 200 decimalk, kar je bila velika izboljšava približka Jurija Vege (1754-1802) iz leta 1794, ki je bil tocen na 136 decimalk. Formula (5) je ugodna za racunanje, ker deljenje z 2 ni težko, SLIKA 2. Kako do arctg(1/3)? 295 PRESEK 44 (2016/2017) 5 MATEMATIKA —^ deljenje s 5 pa je enakovredno množenju z 2 in nato deljenju z 10, kar tudi ni težko, deljenje z 8 pa je isto kot trikratno zapovrstno deljenje z 2. Dasejev izračun s komentarjem Strassnitzkega je bil objavljen leta 1844 v ugledni nemški matematični reviji Crel-les Journal. Revija izhaja še danes, le da pod drugim imenom: Journal für die reine und angewandte Mathematik - Revija za čisto in uporabno matematiko. Dase, ki ni bil posebno dober matematik, je slovel kot izvrsten računar na pamet, s čimer se je preživljal. Sodeloval je tudi z matematikoma Gaussom (1777-1855) in Jačobijem (1804-1851). Strassnitzki, po rodu iz Krakova, je od leta 1827 do leta 1834 poučeval matematiko na ljubljanskem ličeju. Pot ga je zanesla v Ljubljano, ker bliže doma in Dunaja ni našel službe. Napisal je več matematičnih učbenikov, v Ljubljani je prirejal javna predavanja iz matematike in astronomije, ukvarjal pa se je tudi s kristalografijo. Odlično se je razumel z Matijo Copom (1797-1835), ki je takrat služboval na isti ustanovi. Strassnitzki je navdušil za študij matematike tudi Franča Močnika (1814-1892), matematičnega pedagoga, šolskega nadzornika in pisča številnih učbenikov za matematiko. Študent Strassnitzkega je bil tudi Mihael Peternel (1808-1884), duhovnik, profesor, naravosloveč, polihistor, politehnik in samouk, ki je na Močnikov predlog postal leta 1852 ravnatelj prve trirazredne ljubljanske realke. Do razpada Avstro-Ogrske monarhije je bil edini Sloveneč, ki je na tej šoli opravljal tako pomembno funkčijo. Znane so podrobnosti, kako je Jurij Vega računal število n. Združeval je po dva in dva člena v vrsti (1), da je lahko računal samo s pozitivnimi členi. Ni pa znano, kako je računal Dase. Zagotovo je člene računal na malo več kot 200 dečimalk zaradi nujnega zapisa le končnega števila dečimalk, pri čemer nastane napaka na zadnjih dečimalkah v končnem rezultatu. ■ Preverite formuli (4) in (5) z uporabo enakosti tg(u + v) = tg u + tg v 1 - tg u tg v ' Z oceno (2) nastavite za vsak sumand v (5) neenakost za potrebnih 200 točnih decimalk. Ocenite, najmanj koliko členov je moral Dase v ta namen sešteti. _ XXX Kovinska razmerja Marko Razpet -> Obravnavali bomo kovinska razmerja, ki so po-splošitev dobro znanega zlatega razmerja. Pot, ki jo bomo ubrali, bo najprej vodila preko verižnih ulomkov, nato pa bomo podali še geometrijsko razlago. Da pa bomo za to imeli motiv, začnimo pri pisarniških listih, s katerimi imamo opravka skoraj vsak dan. Pisarniški list papirja formata A4 je pravokotne oblike in ima to lastnost, da po prerezu po njegovi krajši srednjici dobimo dva lista, ki sta podobna začetnemu. Nova lista sta formata A5. Delitev lahko na ta način nadaljujemo in dobimo formate A6, A7 itd. Lahko pa gremo tudi v obratni smeri. Lahko rečemo, da je list formata A4 je nastal z opisano delitvijo lista formata A3, ta z delitvijo lista formata A2, ta z delitvijo lista formata A1. Ker se moramo nekje ustaviti, je začetni format A0 tisti, ki z opisano delitvijo da format A1. Pola papirja formata A0 pa je tako opredeljena, da meri ploščina izbrane strani 1 m2. Listi formata A so pripravni ravno zato, ker z razpo-lavljanjem dobimo spet liste formata A. Pri tem ne nastajajo nepotrebni odpadki. Pa tudi pakete, v katerih je po nekaj sto takih listov, lahko lepo zlagamo enega na drugega, ne da bi nastale med paketi velike špranje. Kolikšne so straniče lista formata A0? Vsi listi formata A so pravokotne oblike. Ce ima A0 krajšo straničo dolžine a in daljšo straničo dolžine b, potem ima A1 krajšo straničo dolgo b/2, daljšo pa a. Ker si morata biti ustrezna pravokotnika podobna, velja: b/a = a/(b/2). Iz te relačije dobimo enačbo b2 = 2a2, kar pomeni b = a^fl. Pri vseh formatih A je torej daljša straniča lista V2-krat daljša od krajše straniče. Pri formatu A0 pa je po opredelitvi ploščina p = ab = b2/\[2 = 1 m2. Torej ima format A0 296 PRESEK 44 (2016/2017) 5 MATEMATIKA stranici ■ a = 1/ \/2 m = 841 mm, b = m = 1189 mm. IEF | IEBI a a(V2 - 1) = 1 + V2. D F b—a A C E B SLIKA 1. Nastanek srebrnega pravokotnika EBCF. dobimo razvoj v verižni ulomek: 2 V = 2 + — = 2 + —1 V Iz tega lahko izračunamo stranici papirja formata A4, ki ga najbolj pogosto uporabljajo po pisarnah in za tiskalnike. Daljša stranica je dolga 297 mm, krajša pa 210 mm. Bralec lahko sam izmeri list, da bo videl, koliko se izracunana podatka ujemata z meritvijo. Po vsem tem ni težko ugotoviti, da ima papir formata An daljšo stranico dolgo m, krajšo pa ^Ž/VŽ^+imin plošcino 1/2n m2. Zakaj smo pravzaprav obravnavali vse te formate papirja? Zato, ker se v njih skriva zanimivo razmerje oziroma število. Ce namrec vzamemo katerikoli pravokotnik ABCD (slika 1), v katerem je razmerje daljše in krajše stranice enako V2, in ga razdelimo z daljico EF, ki je vzporedna krajši stranici, na kvadrat AEFD in pravokotnik EBCF, potem ima slednji stranici |EF| = a in |EB| = b - a = a(\[2 - 1) v razmerju 2 + 1 V 2 2 2 + ^ Število V = 1 + V2 imenujemo srebrno razmerje ali srebrno število. Zakaj srebrno, bomo pojasnili v nadaljevanju. Vsak pravokotnik, ki ima za razmerje stranic število V, imenujemo srebrni pravokotnik. Na sliki 1 je EBCF srebrni pravokotnik. Število V zadošca enacbi V2 = 2 V + 1, o cemer se lahko prepricamo s kratkim racunom. Iz nje hitro Krajše ga zapišemo kot ■ V = [2;2, 2, 2,...], kjer dvojka pred podpicjem pomeni celi del števila V. Ker na velikih tekmovanjih v doloceni disciplini drugi dobi srebrno odlicje, je res smiselno imenovati V srebrno število. Zlato razmerje ali zlato število p ima temu ustrezno v verižnem ulomku enke: ■ p = [1; 1,1,1,...]. Število p zadošca enacbi p = 1 + 1/p oziroma p2 = p + 1, iz katere najdemo p = (1 + V5)/2. Brez zadrege lahko vpeljemo tudi bronasto razmerje ali bronasto število (tretji najboljši prejme bronasto odli-cje) ■ x = [3; 3, 3, 3,...], ki zadošca enacbi x = 3 + 1/x oziroma x2 = 3x + 1. Eksplicitno je x = (3 + vT3)/2. Vsak pravokotnik, ki ima za razmerje stranic število p, imenujemo zlati pravokotnik. Analogno pa imenujemo vsak pravokotnik, ki ima za razmerje stranic število x, bronasti pravokotnik. Na dlani je potem vpeljava n-tega kovinskega razmerja ali kovinskega števila Kn = [n;n,n,n,...], ki zadošca enacbi Kn = n + 1/Kn oziroma Kn = nKn + 1, n = 1,2, 3,____ Seveda je k1 = p,K2 = V,k3 = x. V splošnem: Kn = (n + Vn2 + 4)/2. To število bi v športu ustrezalo za osvojeno n-to mesto. Ce uporabimo enakost Kn = V1 + nKn, lahko izrazimo tudi z vgnezdenimi koreni: Kn 1 nKn 1 n 1 nK = 1 + 1 + n\ 1 + nVTTTTT. Vsak pravokotnik, ki ima za razmerje stranic število Kn, imenujemo kovinski pravokotnik reda n. Ce _^ 1 1 1 a a 297 PRESEK 44 (2016/2017) 5 MATEMATIKA —^ je njegova krajša stranica enaka 1, je daljša enaka Kn. Tak pravokotnik lahko razdelimo na n skladnih kvadratov s stranico 1 in manjši pravokotnik s krajšo stranico Kn - n ter daljšo stranico 1. Manjši pravokotnik je tudi kovinski pravokotnik reda n, saj je podoben velikemu: 1 Kn- n Kn - nKn 1 D 1 F $-1 C A E B SLIKA 2. Zlati pravokotnik je kovinski pravokotnik reda 1. D1 1 F V-2 C A EB SLIKA 3. Srebrni pravokotnik je kovinski pravokotnik reda 2. D F x-3 C A E B Slike 2, 3 in 4 kažejo kovinske pravokotnike ABC D za n = 1, 2, 3. To so zlati, srebrni in bronasti pravokotnik. V vseh primerih je pravokotnik ABCD podoben pravokotniku EBCF. Brez kakršnekoli škode za splošnost smo vzeli, da je krajša stranica pravoko-tnika ABCD enaka 1. Tako je na splošno | AE| = n in |EB| = Kn - n. Pravokotnik EBCF bi lahko spet razdelili na kvadrate in na manjši pravokotnik, ki je podoben začetnemu. Očitno to pocetje lahko nadaljujemo v nedogled. Kovinska števila Kn, imenovana tudi kovinske sredine, je vpeljala argentinska matematicarka Vera Martha Winitzky de Spinadel (1929-2017) konec pre- SLIKA4. Bronasti pravokotnik je kovinski pravokotnik reda 3. teklega tisocletja. Beseda sredina je uporabljena zato, ker velja n < Kn < n + 1, kar ni težko dokazati. Za konec še naloge. V veliko pomoc vam bodo primerne skice. ■ Srebrnemu pravokotniku nacrtajte diagonalo in nato skozi njeni krajišci daljici, ki oklepata s stranicami pravokotnika kot 45°. Preverite, da ste s tem razdelili pravokotnik na štiri trikotnike, in sicer dva skladna pravokotna enakokraka trikotnika in dva skladna topokotna enakokraka trikotnika. Nato poišcite kot med diagonalo in daljšo stranico pravokotnika, nazadnje pa še kot med diagonalama. ■ Poišcite razmerje med stranico in njej vzporedno diagonalo v pravilnem osemkotniku. Pomagajte si s prejšnjo nalogo. Preverite, da pravilen osem-kotnik lahko pokrijemo s štirimi skladnimi srebrnimi pravokotniki, ki imajo skupno središce v središcu pravilnega osemkotnika. Pri tem krajše stranice srebrnih pravokotnikov sovpadajo s stranicami, daljše pa s srednje dolgimi diagonalami pravilnega osemkotnika. ■ Poišcite razmerje med diagonalo in stranico pravilnega petkotnika. V njem nacrtajte diagonali, ki se sekata v notranjosti petkotnika, nato njuni kra-jišci povežite še s tretjo diagonalo. Do iskanega razmerja pridete nato z nastalima podobnima ena-kokrakima trikotnikoma. Literatura [1] V. M. W. de Spinadel, From the Golden Mean to Chaos, Nueva Libreria, Buenos Aires 1998. _ XXX 1 1 1 1 K K n n 1 1 298 PRESEK 44 (2016/2017) 5 FIZIKA Optične komunikacije -i' -i' -i' Jan Ravnik, Tadej Novak, Boštjan Golob in Irena Drevenšek Olenik Sodobno družbo zaznamuje izjemen napredek v računalništvu in vse pogostejša uporaba interneta. V Sloveniji internet vsak dan uporablja 61 % prebivalcev, dostop do interneta pa ima že več kot 77 % slovenskih gospodinjstev [1]. Število uporabnikov interneta je v svetu že preseglo tri milijarde [2]. Zaradi vse večjega povpraševanja in vse bolj zahtevnih uporabnikov je bistvenega pomena hitrost prenašanja podatkov. Trenutno so daleč najhitrejša in najcenejša optična omrežja. Njihov osrednji element so optična vlakna, katerih delovanje bomo razložili v naslednjem sestavku. Lomni količnik Za razumevanje delovanja optičnih vlaken moramo najprej poznati lomni količnik in vedeti, kako se svetloba obnaša, ko potuje čez mejo dveh različnih snovi. Svetloba po vakuumu potuje s končno hitrostjo, ki znaša približno 300 000 km/s. V snoveh pa je hitrost svetlobe manjša in v vsaki snovi drugačna. Pravimo, da imajo snovi različno optično gostoto, kar si lahko predstavljamo, kot da snov zavira potovanje svetlobe in jo upočasnjuje. Lomni količnik snovi je definiran kot razmerje med hitrostjo svetlobe v vakuumu c0 in hitrostjo svetlobe v snovi c: Co Prehod čez mejo dveh snovi Na meji dveh snovi z različnima lomnima količnikoma se del svetlobe lomi, del pa odbije. Lom svetlobe lahko preprosto opazujemo v naravi. Ce pod vodo delno potopimo paličo in jo opazujemo skozi gladino vode, paliča izgleda zlomljena. To je posle-diča spremembe hitrosti in ohranitve frekvenče svetlobe na meji snovi. Lom svetlobe lahko opišemo z enačbo sin a ci C2 sin p n2 ni' n Vakuum ima torej lomni količnik 1, v snoveh pa je lomni količnik večinoma večji od 1, saj svetloba v snovi potuje počasneje kot v vakuumu. Ce za dve snovi velja n1 < n2, rečemo, da je druga snov optično gostejša. kjer sta a in p vpadni in lomni kot svetlobe (slika 1). Iz enačbe sledi, da se svetloba pri prehodu iz optično gostejšega v optično redkejše sredstvo lomi stran od vpadne pravokotniče. Kot med žarkom in vpadno pravokotničo bo torej v optično redkejšem sredstvu večji. Del svetlobe se na meji med sredstvoma vedno tudi odbije. Odbojni kot je enak vpadnemu, saj svetloba ostane v istem sredstvu. Pri prehodu iz optično gostejše v optično redkejšo snov pri določenih pogojih opazimo zanimiv pojav, ki ga imenujemo totalni odboj. V tem primeru se vsa svetloba odbije od meje med sredstvoma, prepuščenega žarka pa ni. Meja dveh snovi ima v tem primeru enak učinek kot zrčalo. Do pojava totalnega odboja pride pri dovolj velikih vpadnih kotih a, in sičer mora biti kot a večji od mejnega kota. Mejni kot je tisti, pri katerem se svetloba lomi pod kotom p = 90°, kar je največji možen kot loma svetlobe. Svetloba namreč ne more uiti iz sredstva pod kotom večjim od 90° glede na vpadno pravokotničo. Mejni kot je odvisen od lomnih količnikov obeh snovi. Pri prehodu svetlobe iz vode v zrak je mejni kot am = arčsin( 133) = 48,7°. Totalni odboj v naravi najlažje vidimo, če se potopimo pod mirno gladino vode in poskušamo pogledati ven. Kadar gledamo pod majhnimi koti (navpično navzgor), lahko vidimo iz vode, če gledamo pod velikimi koti, pa površina na meji med vodo in zrakom deluje kot ogledalo. c PRESEK 44 (2016/2017) 5 299 FIZIKA SLIKA 1. Skica loma in odboja svetlobe v kozarcu vode in fotografija popolnega odboja laserskega žarka na meji med vodo z dodano kapljico mleka in zrakom. Optična vlakna Optična vlakna delujejo na osnovi totalnega odboja svetlobe na meji med snovema z različnima lomnima količnikoma. V sredini optičnega vlakna je nitka (sredica) iz prozornega umetnega materiala, obdana s plaščem iz materiala, ki ima malo manjši lomni količnik. Razlika med lomnima količnikoma je zelo majhna, ponavadi le okoli 0,01. Lomni količnik sre-diče znaša okoli 1,5, iz česar lahko preprosto izračunamo, da je hitrost svetlobe, ki potuje po optičnem vlaknu, približno 200 000 km/s. Debelina srediče je nekaj mikrometrov. Enorodovna vlakna, v katerih se signal najmanj popači, imajo sredičo tipične debeline 9 jm in plašč debeline okoli 100 jm, večrodovna pa so debelejša. Okoli vlakna imamo nekaj milimetrov debelo zaščitno oblogo, ki vlakno varuje pred poškodbami in pretiranim prepogibanjem. Na kon-čih so vlakna pravokotno odrezana, tako da žarek lahko spravimo v njih, potem pa se žarki po načelu totalnega odboja odbijajo na meji med plaščem in sredičo in tako potujejo po čelotni dolžini optičnega vlakna ter na drugem konču izstopijo. Svetovni splet Večina svetovnih internetnih komunikačij danes temelji na optičnih povezavah. Ves svet (ne le raz- viti del) je med seboj povezan z optičnimi kabli, ki tečejo po dnu oceanov oziroma so zakopani pod zemljo. Na ta način lahko podatki iz Amerike pripotujejo v Evropo v manj kot 100 milisekundah. Ker so optični kabli sorazmerno poceni v primerjavi s stroški polaganja, jih je smiselno položiti skupaj z ostalo infrastrukturo. Optične povezave v Sloveniji zagotavlja več ponudnikov, in sicer ima vsak izmed njih položeno svoje optično omrežje. Tako imajo svoje optične kable Slovenske železnice, Dars, Stelkom, Arnes, Telekom Slovenije, Telemach in T2 [5]. Optični kabli med večjimi vozlišči niso novost, uporabljajo se že dobri dve desetletji. Uporabniki pa smo dobili optične povezave šele v zadnjih letih, s čimer je hitrost interneta v gospodinjstvih bistveno narasla. Trenutni rekord za količino prenešenih podatkov po enem samem kablu je bil postavljen leta 2012 in znaša nekoliko več kot 1015 bitov na sekundo v kablu dolgem 52 kilometrov [6]. Z optičnimi omrežji se je bistveno spremenila uporabniška izkušnja. Danes se nam zdi nekaj povsej običajnega oziroma že precej počasi, če z interneta prenesemo 1 gigabajt podatkov v eni uri (kar približno ustreza povezavi 2 Mb/s). Veliko gospodinjstev ima že povezave, ki delujejo bistveno hitreje. Ce bi enako datoteko prenašali z interneta pred približno dvajsetimi leti, ko je povezava potekala prek telefona (64 kb/s), bi za prenos enake datoteke potrebovali več kot en dan. 12 PRESEK 44 (2016/2017) 5 44 FIZIKA zaScitna obloga j f n2 PRESEK 44 (2016/2017) 5 13 FIZIKA Barvna lestvica SLIKA 4. Preprost poskus, ki ponazarja delovanje optičnega vlakna. Od daleč se zdi, kot da se laserski žarek ukrivi skupaj z vodnim curkom. Če pogledamo od blizu, pa vidimo, da svetloba potuje po cikcakasti poti znotraj curka. vidimo, kako se žarek cik-cakasto odbija po curku. V primeru, da eksperimenta ne morete izvesti sami, lahko na YouTubu poiščete video posnetke pod geslom »optical fiber experiment« in zagotovo boste našli veliko posnetkov opisanega poskusa. Literatura [1] http://www.stat.si/StatWeb/ pregled-podrocja?idp=2989&headerbar=8, (ogled 29. 6. 2016). [2] http://www.internetworldstats.com/ stats. htm, (ogled 29. 6. 2016). [3] http://www.submari necablemap.com/, (ogled 29. 6. 2016). [4] https://www.ames. si /i nfrastruktura/, (ogled 29. 6. 2016). [5] http://www.monitor.si/clanek/ slovenska-i nternetna-hrbteni ca/ 166693/, (ogled 29. 6. 2016). [6] https://en.wi ki pedi a.org/wi ki/ Fi ber-opti c_communi cati on, (ogled 29. 6. 2016). _ XXX nU NU NU Andrej Likar ^ Bela svetloba je sestavljena iz niza mavričnih barv. Leta 1666 je to pokazal Isaac Newton s prehodom svetlobe skozi stekleno prizmo. Z drugo prizmo je razstavljeno svetlobo spet setavil v belo. Danes vemo, da lahko vsaki mavrični barvi pripišemo njej lastno valovno dolžino. Tako dobimo možnost preglednega barvnega prikaza količin z barvno lestvico - vsaki mavrični barvi pripišemo pozitivno število. Temperature na predmetih, posnetih s termografsko kamero, so pregledno prikazane z mavričnimi barvami, ki se jim pridruži tudi bela. Modra barva tam označuje hladne predele, rdeča topla, bela pa vroča področja. Z barvno le-stvičo lahko pregledno ponazorimo funkčije dveh spremenljivk. Za prevod števila v svetlobo z ustrezno mavrično barvo lahko uporabimo bodisi njeno valovno dolžino bodisi frekvenco, saj velja Av = c, kjer je c hitrost svetlobe v vakuumu. Na termografskih slikah, modra barva npr. predstavlja nižjo temperaturo predmeta, rdeča pa večjo (glej sliko 1). Barve bomo prikazovali na računalniškem zaslonu, saj je kako drugače barvanje zelo zahtevno in zamudno. Moramo se torej na kratko seznaniti z barvanjem zaslona. Zaslon je na gosto posejan z otočki, ki svetijo rdeče, zeleno ali modro. Lepo jih vidimo z močnejšo lupo, ko je zaslon bel. Kako močno svetijo posamezni otočki, lahko nastavimo v ustreznem programu s če-lim številom B od 0 do 255 + 255 ■ 256 + 255 ■ 256 ■ 2 = 16777215. Toliko barvnih odtenkov lahko torej predstavimo z zaslonom, saj se, gledano od daleč, svetloba otočkov v očesu zlije,kot da bi gledali en sam svetlobni vir. Otočku z izbrano barvo lahko nastavimo 256 različnih svetlosti, pri čemer je otoček ugasnjen pri vrednosti 0, najmočneje pa sveti pri vre- 14 PRESEK 44 (2016/2017) 5 14 FIZIKA SLIKA 1. Slika iz termovizijske kamere je prikazana z barvno lestvico na desni, kjer sta navedeni skrajni temperaturi v stopinjah Celzija. dnosti 255. Pri tem seveda verjamemo, da se je izdelovalcu zaslonov posrečilo izdelati tako natančno napravo. Barvno število B predstavimo takole: B = R + 256Z + 2562M. Tu R predstavlja svetlost izbranega rdečega otočka, Z zelenega in M modrega. V programu potem izberemo tri bližnje otočke, ki jih imenujemo slikovni element, po angleškem vzoru tudi piksel. Na sliki 2 je prikazan del zaslona, osrednji piksel ima vse tri otočke polno osvetljene, sosednji pa so osvetljeni le deloma. Velikost straniče kvadratnega piksla je pri zaslonu na mojem računalniku 0,25 mm. Barvo piksla določimo tako, da povemo vrednosti za R, Z in M, izračunamo B in ta podatek predamo podprogramu, ki zna komuničirati z zaslonom. Tak podprogram je seveda del programskega jezika, v katerem programiramo računalnik. Mavrične barve lahko kar dobro prikažemo na zaslonu tako, da prižigamo en ali dva otočka izbranega piksla. Rdečo barvo daje prižgan rdeč otoček, pri ugasnjenih ostalih dveh prav tako dobimo zeleno in modro barvo. Druge mavrične barve dobimo s prižiganjem dveh otočkov, npr. rumeno, s polno prižganima rdečim in zelenim otočkom pri ugasnjenem modrem, barvo minerala turkiza, torej turkizno ali spet po angleškem vzoru barvo čian, pa s prižganima zelenim in modrim otočkom. Škrlatno barvo, SLIKA 2. Trije raznobarvni otocki tvorijo slikovni element ali piksel. znano tudi kot magenta, podobno vijolični, dobimo s prižganima modrim in rdečim otočkom. Sedaj je pot do barvne lestviče odprta. Denimo, da bi radi številom v intervalu med 0 in 1 priredili mavrične barve. Interval razdelimo na podintervale, in sičer [0, §), [§, §), [f, f), ...[7, §]. V prvem po-dintervalu bomo prižgali le rdeč otoček, in sičer tako, da bo številu 0 ustrezal ugasnjen otoček, številu § pa najsvetleje prižgan otoček z R = 255. V naslednjem intervalu pustimo prižgan rdeči otoček, postopoma pa prižigamo zelenega od Z = 0do Z = 255. V naslednjem pustimo polno prižgan zeleni otoček in ugašamo rdečega do R = 0. Potem pri polno prižganem zelenem postopoma prižigamo modri otoček. Tako nadaljujemo do zadnjega podintervala. V vsakem podintervalu tako določimo 256 enakomerno naraščajočih števil. Vsakemu številu pripada povsem določen odtenek mavrične barve. Rdeči, zeleni in modri barvi na zaslonu ustrezajo števila |,f in §, rumeni §, turkizni §, vijolični pa Seveda lahko lestvičo priredimo tudi kako drugače, da npr. hkrati prižigamo ali ugašamo dva otočka, da je, denimo, svetlost piksla pri vseh barvah na videz enaka. To je pri prikazu gladke funkčije dveh spre- 18 (T3__ > SH .cd nj T3 ul (T3 (T3 PRESEK 44 (2016/2017)4 15 FIZIKA 15 CD > eu menljivk pomembno, da se oko ne ustavlja na nepomembnih mestih. Bolj »gladko« lestvico smo dobili tako, da smo za prižiganje in ugašanje uporabili funkcijo f = 1 - £ " 2a2 kjer je pri x = 0 funkcija enaka nic, potem pa ustrezno hitro, glede na izbran parameter a, preide v 1. Na sliki 3 smo prikazali, kako postopno prižigamo in ugašamo barvne otocke v intervalu [ 4,1 ], kjer postopoma ugašamo rdeci otocek in prižigamo zelenega. Na levem koncu intervala imamo tako polno prižgan rdeci otocek in ugasnjen zeleni in modri otocek, na desni pa polno prižgan zeleni ter ugasnjena rdeci in modri otocek. Paramater a izberemo tako, da je lestvica na pogled kar se da »gladka«, mi smo izbrali vrednost a = 2). Na sliki 4 vidimo barvno lestvico, ki smo jo uporabili pri naslednjih slikah. Z izbranim parametrom a je lestvica videti dovolj gladka in nima izrazitejših svetlejših ali temnejših prog, vmesne barve, rumena, turkizna in vijolična pa so dovolj izrazite. Najprej smo lestvico preizkusili pri risanju mavrice, ki jo dobro poznamo. Na sliki 5 je prikazan naš mavricni lok, ki je seveda prevec izrazit, ce ga primerjamo z lokom v naravi. A barve v mavrici se kar dobro prelivajo druga v drugo. SLIKA 3. Ugasanje-prižiganje SLIKA 4. Barvna lestvica SLIKA 5. Mavricni lok Slika 6 prikazuje paraboloidno ploskev, ki jo opiše enacba ■ z = x2 + y2 . Tu je z barvno lestvico v intervalu [0,1] prikazana koordinata z te ploskve. Na naslednji sliki smo z lestvico prikazali verjetnosti, da pri vodikovem atomu na dani oddaljenosti od protona naletimo na elektron. Na sliki 7 je atom v osnovnem stanju (levo), v prvem (na sredi) in drugem vzbujenem stanju (desno). Vidimo, da se vzbujeni atom precej poveča in da na določenih oddaljenostih elektrona ne zasledimo. Vijolicna barva tu nakazuje razdaljo, kjer bi v miselnem poskusu z zelo drobno sondo najpogosteje zasledili elektron. www. obzornik.si 18 PRESEK 44 (2016/2017) 5 18 FIZIKA SLIKA 8. Valovanje na gladini iz dveh koherentnih virov SLIKA 6. Paraboloidna ploskev SLIKA 9. Dvobarvna lestvica z rdeco in modro barvo SLIKA 7. Vodikov atom vzbujeno 3s. osnovno stanje 1s, prvo vzbujeno 2s, drugo Barvna lestvica poživi slike valovanj na gladini, tako vidimo na sliki 8 interferencno sliko valovanja iz dveh koherentnih virov. Barvno lestvico lahko tvorimo le iz dveh barv, kar pride prav pri prikazu tako pozitivnih kot negativnih števil. Na sliki 9 je taka lestvica z rdeco in modro barvo, kjer predstavlja svetla rdeca barva število -1, svetla modra 1, crna pa število 0. S tako izbrano lestvico smo na sliki 10 spet prikazali valovanje iz dveh koherentnih virov; to pot je slika nekoliko manj pisana. iSi® mmk \W sS---V v V SLIKA 10. Valovanje na gladini iz dveh koherentnih virov, predstavljeno z dvobarvno lestvico. _ XXX PRESEK 44 (2016/2017) 5 19 ASTRONOMIJA Slovenska reprezentanca mladih astronomov uspešna na 10. mednarodni o l i m p i j a d i iz astronomije in astrofizike v Indiji Dunja Fabjan, Maruša Žerjal, Andrej Guštin -> Slovenska srednješolska ekipa se je na Mednarodni olimpijadi iz astronomije in astrofizike (MOAA) odlično odrezala, saj je vseh pet tekmovalcev prejelo odlikovanja: tri pohvale, bronasto in srebrno medaljo. Mladi predstavniki Slovenije so se od 9. do 19. decembra 2016 udeležili 10. mednarodne olimpijade iz astronomije in astrofizike v indijskem mestu Bhuba-neswar. Letošnjo olimpijsko ekipo so sestavljali Luka Go-vedic (II. gimnazija Maribor), Anže Jenko (bivši dijak Gimnazije Bežigrad), Aleksej Jurca (Gimnazija Bežigrad), Jakob Robnik (bivši dijak Gimnazije Bežigrad) in Urban Ogrinec (Gimnazija in srednja šola Rudolfa Maistra, Kamnik). Izbrani so bili izmed najbolje uvr-šcenih srednješolcev in srednješolk na tekmovanju iz znanja astronomije za Dominkovo priznanje, ki ga od Mednarodnega leta astronomije 2009 prireja Društvo matematikov, fizikov in astronomov (DMFA) Slovenije. Pod vodstvom in mentorstvom Andreja Guština (DMFA Slovenije), prof. dr. Andreje Gomboc (Fakulteta za naravoslovje, Univerza v Novi Gorici), dr. Du-nje Fabjan (Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani) in v spremstvu dr. Maruše Žerjal (Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani) se je ekipa podala na težavno tekmovanje, ki ga sestavljajo štirje sklopi: teoretični, opazovalni, skupinski del ter obdelava podatkov. Na letošnji olimpijadi je tekmovalo 234 srednješolcev iz 42-ih držav vseh celin. Skupno so organizatorji podelili 14 zlatih, 28 srebrnih in 50 bronastih medalj ter 48 pohval. Letošnja slovenska ekipa je bila še posebej uspešna: Aleksej Jurca je prejel srebrno medaljo, Jakob Robnik bronasto medaljo, Luka Govedic, Anže Jenko in Urban Ogrinec pa pohvalo. Slovenske ekipe srednješolcev so na mednarodni olimpijadi sodelovale že cetrto leto in doslej osvojile skupno pet medalj in devet pohval. Spletna stran 10. MOAA: www.ioaa2016.in. www.presek.si www.dmfa.si 20 PRESEK 44 (2016/2017) 5 ASTRONOMIJA SLIKA 1. Slovenska olimpijska reprezentanca, od leve proti desni: mentor Andrej Guštin (DMFA), Jakob Robnik (bronasta medalja), Luka Govedic (pohvala), Anže Jenko (pohvala), Aleksej Jurca (srebrna medalja), Urban Ogrinec (pohvala), Maruša Žerjal (FMF, Univerza v Ljubljani). Primeri nalog 10. mednarodne olimpijade iz astronomije in astrofizike Drži ali ne drži Optika teleskopa Nek optično popoln teleskop ima goriščno razmerje f/5, goriščna razdalja njegovega objektiva je 100 cm, okularja pa 1 cm. ■ Kolikšna je povečava teleskopa m0? Kolikšna je dolžina teleskopa L0- razdalja med objektivom in okularjem? Pogosto gorišcno razdaljo teleskopa povečamo tako, da med objektiv in njegovo primarno gorišce postavimo razpršilno lečo (Barlow). Prej omenjenemu teleskopu med objektiv in okular vtaknemo Barlowovo lečo z goriščno razdaljo 1 čm, tako da se njegova povečava podvoji. ■ Na kolikšni oddaljenosti dB od primarnega gorišča objektiva moramo postaviti Barlowovo lečo, da bo povečava dvakrat večja kot prej? ■ Za koliko se poveča dolžina teleskopa AL? V gorišče našega teleskopa pritrdimo CCD kamero brez okularja in Barlowa. Velikost slikovnega elementa (piksel) kamere je 10 jm. ■ Kolikšna bo oddaljenost np med središčema slik dveh zvezd na čipu te CCD kamere, če sta zvezdi na nebu 20" narazen? Razdaljo izrazi s številom slikovnih elementov (pikslov). Označi, ali so naslednje trditve pravilne ali napačne. ■ Na fotografiji jasnega nočnega neba s polno Luno bi bila pri dovolj dolgem času osvetlitve barva neba modra, tako kot podnevi. ■ Astronom v Bhubaneswarju si vsak dan ob 05:00 UT zapiše trenutni položaj Sonča na nebu. Ce bi bila Zemljina vrtilna os pravokotna na njeno orbitalno ravnino, bi ti zabeleženi položaji opisali lok velikega kroga. ■ Ce je obhodni čas nekega malega telesa, ki je v orbiti okoli Sonča na ekliptični ravnini, manjši od obhodnega časa Urana okoli Sonča, potem je njegova orbita zagotovo v čeloti znotraj Uranove orbite. ■ Težišče Osončja je ves čas pod Sončevim površjem. ■ Foton potuje po praznem prostoru. Ker se vesolje razširja, se gibalna količina fotona zmanjšuje. No. T (tMDJ) P (js) a (ms 2) 1 5740,654 7587,8889 -0,92 ± 0,08 2 5740,703 7587,8334 -0,24 ± 0,08 3 5746,100 7588,4100 -1,68 ± 0,04 4 5746,675 7588,5810 +1,67 ± 0,06 5 5981,811 7587,8836 +0,72 ± 0,06 6 5983,932 7587,8552 -0,44 ± 0,08 7 6005,893 7589,1029 +0,00 ± 0,08 8 6340,857 7589,1350 +0,00 ± 0,04 9 6335,904 7589,1358 +0,00 ± 0,02 TABELA 1. 21 PRESEK 44 (2016/2017) 5 ASTRONOMIJA —^ Dvojni pulzar Med sistematičnim pregledovanjem neba v zadnjih desetletjih so astronomi odkrili veliko število mili-sekundnih pulzarjev. Rotačijska perioda (čas enega zasuka okoli lastne osi) milisekundnih pulzarjev je < 10 ms. Velika večina takih pulzarjev je dvojnih. Imajo skoraj krožne orbite. V dvojnem sistemu pulzarjev se izmerjena rotačijska perioda posameznega pulzarja (P) in izmerjeni pospešek (a) (pospešek v smeri zvezniče med Zemljo in pulzarjem), periodično spreminjata zaradi kroženja pulzarjev okoli skupnega težišča. Za krožne orbite lahko te spremembe zapišemo z enačbo, ki vsebuje orbitalno fazo $ (0 < $ < 2n): P($) = P0 + Pt čos$, kjer je Pt = 2nP0 r a($) =-at sin$, kjer je at = cPb 4n2 r ~PT . PB je orbitalna perioda dvojnega sistema, P0 je lastna rotačijska perioda pulzarja, r pa je polmer orbite. V tabeli 1 so podane meritve P in a za tak sistem, ob izbranih heliočentričnih časih T, ki so izraženi v modifičiranem julijanskem datumu (t M J D). To je število dni po MJD = 2440000. Ce na graf narišemo a($) v odvisnosti od P($), dobimo parametrično krivuljo. Kot je razvidno iz zgornjih enačb, je taka krivulja elipsa. V tej nalogi boš iz meritev v pregledniči očenil lastno rotačijsko periodo P0, orbitalno periodo PB in polmer orbite r dvojnega sistema pulzarjev. Predpostavi, da sta orbiti pulzarjev krožniči. D1.1) Iz podatkov v pregledniči nariši graf pospeška v odvisnosti od periode. Za vsako točko nariši tudi velikost napake. Graf označi kot »D1.1«. D1.2) Na isti graf »D1.1« nariši elipso, ki se najbolje prilega podatkom. D1.3) Iz grafa očeni P0, Pt in at. Pri tem očeni napake rezultatov, ki so poslediča napake meritve. D1.4) Zapiši izraza za PB in r. Pri tem uporabi P0, Pt, at. D1.5)Iz očeniz naloge (D1.3) izračunaj približno vrednost PB in r. Očeni napako rezultatov. D1.6) Izračunaj orbitalno fazo $, ki ustreza opazovanjem z zaporednimi številkami 1, 4, 6, 8, 9 v pregledniči. D1.7) Izboljšaj očeno orbitalne periode PB. Pri tem uporabi rezultate iz (D1.6) na sledeči način: D1.7a) Najprej določi začetni čas T0, kije najbližje ničelni fazi pred prvim opazovanjem ($ = 0). D1.7b) Cas Tčalč, ob katerem je sistem v fazi $ ob posameznem opazovanju, podaja zveza: $ Tčalč = T0 + n + 360c Pb n je število čelih obhodov med časoma T0 in T (ali Tčaič). Očeni n in Tčaič za vsako izmed petih opazovanj v nalogi (D1.6). Zapiši razliko T0-C med opazovanima T in Tčalč. D1.7č) Nariši n v odvisnosti T0-C. Graf označi z »D1.7«. D1.7d) S pomočjo grafa določi izboljšane vrednosti T0,r in PB,r. s 02:47 02:15 SLIKA 2. 22 PRESEK 44 (2016/2017) 5 ASTRONOMIJA Datum R. A. («) Dec. (5) Kotna velikost (©) Faza (4>) Elongacija h m s „ - " " Lune Sep 1 0 36 46,02 3 6 16,8 1991,2 0,927 148,6° W Sep 2 1 33 51,34 7 32 26,1 1974,0 0,852 134,7° W Sep 3 2 30 45,03 11 25 31,1 1950,7 0,759 121,1° W Sep 4 3 27 28,48 14 32 4,3 1923,9 0,655 107,9° W Sep 5 4 23 52,28 16 43 18,2 1896,3 0,546 95,2° W Sep 6 5 19 37,25 17 55 4,4 1869,8 0,438 82,8° W Sep 7 6 14 19,32 18 7 26,6 1845,5 0,336 70,7° W Sep 8 7 7 35,58 17 23 55,6 1824,3 0,243 59,0° W Sep 9 7 59 11,04 15 50 33,0 1806,5 0,163 47,5° W Sep 10 8 49 0,93 13 34 55,6 1792,0 0,097 36,2° W Sep 11 9 37 11,42 10 45 27,7 1780,6 0,047 25,1° W Sep 12 10 23 57,77 7 30 47,7 1772,2 0,015 14,1° W Sep 13 11 9 41,86 3 59 28,8 1766,5 0,001 3,3° W Sep 14 11 54 49,80 0 19 50,2 1763,7 0,005 7,8° E Sep 15 12 39 50,01 -3 20 3,7 1763,8 0,026 18,6° E Sep 16 13 25 11,64 -6 52 18,8 1767,0 0,065 29,5° E Sep 17 14 11 23,13 -10 9 4,4 1773,8 0,120 40,4° E Sep 18 14 58 50,47 -13 2 24,7 1784,6 0,189 51,4° E Sep 19 15 47 54,94 -15 24 14,6 1799,6 0,270 62,5° E Sep 20 16 38 50,31 -17 6 22,8 1819,1 0,363 73,9° E Sep 21 17 31 40,04 -18 0 52,3 1843,0 0,463 85,6° E Sep 22 18 26 15,63 -18 0 41,7 1870,6 0,567 97,6° E Sep 23 19 22 17,51 -17 0 50,6 1900,9 0,672 110,0° E Sep 24 20 19 19,45 -14 59 38,0 1931,9 0,772 122,8° E Sep 25 21 16 55,43 -11 59 59,6 1961,1 0,861 136,2° E Sep 26 22 14 46,33 -8 10 18,3 1985,5 0,933 150,0° E Sep 27 23 12 43,63 -3 44 28,7 2002,0 0,981 164,0° E Sep 28 0 10 48,32 0 58 58,2 2008,3 1,000 178,3° E Sep 29 1 9 5,89 5 38 54,3 2003,6 0,988 167,4° W Sep 30 2 7 39,02 9 54 16,1 1988,4 0,947 153,2° W TABELA 2. 309 PRESEK 44 (2016/2017) 5 ASTRONOMIJA Ri R2 o Moon SLIKA 3. Oddaljenost Lune V tabeli 2 so podane geocentricne efemeride Lune za september 2015. Vse meritve so bile opravljene ob 00:00 UT. Sestavljena slika 2 prikazuje zaporedje posnetkov ob različnih fazah popolnega Luninega mrka, ki je bil septembra 2015. Posamezna fotografija Lune je bila narejena tako, da je bil posnetek centriran na Zemljino senco. Pri tej nalogi predpostavi, da je opazovalec v središču Zemlje. Kotna velikost se nanaša na kotni premer nebesnega telesa oz. sence. D2.1) Luna je bila septembra 2015 v apogeju. Kakšna je bila takrat približno njena mena? Razlaga ni potrebna. Možni odgovori so: mlaj / prvi krajec / ščip / zadnji krajec. D2.2) V kateri meni je bila Luna septembra 2015, ko je bila najbližje dvižnemu vozlu svoje orbite? Razlaga ni potrebna. Možni odgovori so: mlaj / prvi krajec / šcip / zadnji krajec. D2.3) Iz podatkov oceni ekscentricnost e Lunine orbite. D2.4) Oceni kotno velikost (premer) Zemljine sence $umbra v enotah kotne velikosti Lunine ploskvice $Moon. Postopek meritve prikaži na sliki. D2.5) Soncevi žarki iz enega in drugega roba Sonca S1R1 in S2R2 (glej sliko 3, ki seveda ni v merilu) se na robu Zemlje sekajo pod kotom $Sun. Zaradi tega ima Zemlja Senco in polsenco. Na dan Luninega mrka iz te naloge je bil $Sun = 1915,0". Izra-cunaj kotno velikost polsence $penumbra. Rezultat izrazi s $Moon. Predpostavi, daje opazovalec v sre-dišcu Zemlje. D2.6) Naj bo kot $Earth kotna velikost Zemlje, kot bi jo videli iz središca Lune. Izracunaj kotno velikost Lune $Moon, kot bi jo videli iz središca Zemlje na dan mrka. Rezultat izrazi s $Earth. D2.7) Iz zgornjih rezultatov oceni polmer Lune RMoon v kilometrih. D2.8) Oceni najmanjšo (rperigee) in najvecjo oddaljenost (rapogee) Lune od Zemlje. D2.9) Iz podatkov za 10. september oceni razdaljo med Zemljo in Soncem dSun. _ XXX Barvni sudoku V 8 X 8 kvadratkov morate vpisati zacetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 X 4) nastopalo vseh osem števil. 7 4 3 8 1 1 .............. 3 2 6 8 7 5 1 3 7 3 8 5 6 7 XXX 24 PRESEK 44 (2016/2017) 5 RAČUNALNIŠ TVO Fenwickovo drevo •is ■i' ■i' Aleksander Kelenc Opis problema Neki spletni portal se je odlocil, da bo za potrebe analize starosti svojih uporabnikov le-te uvršcal v 15 razlicnih starostnih kategorij glede na njihovo starost ob prvi prijavi v portal. V tabeli 1 so prikazane posamezne kategorije in ustrezno število uporabnikov, ki so v dolocenem trenutku uvršceni v to kategorijo. Omenjeni portal v razlicnih trenutkih zanima, koliko njihovih uporabnikov je uvršcenih med dvema izbranima kategorijama, npr. od kategorije 21-25 do kategorije 46-50 (vkljucno z mejama) je 13 uporabnikov. Seveda se z novimi uporabniki tabela kategorij nenehno spreminja. Ker spletni portal jemlje analizo podatkov zelo resno, želi takšna povpraševanja izvajati kolikor hitro je le mogoce. Dobili smo nalogo, da opišemo podatkovno strukturo, ki bo to omogocala. Za lažje razmišljanje opišimo podan problem z racunalniškim jezikom. Podan imamo koncen seznam števil a1, a2,..., an. Zanima nas vsota števil med indeksoma i in j (vkljucno z mejama), kjer velja 1 < i < j < n. Ce si seznam števil shranimo v polje a, potem bomo za eno takšno popraševanje morali pregledati vse elemente polja med indeksoma i in j. V splošnem za eno poizvedbo to pomeni linearno casovno zahtevnost glede na velikost seznama. Ali smo lahko bolj ucinkoviti? Hitro opazimo, da bi si pri tem lahko pomagali s kumulativnimi frekvencami. Naj bo k polje kumulativnih frekvenc za polje a. Za vsak indeks i, kjer je 1 < i < n, je kumulativna frekvenca ki enaka vsoti vseh elementov od a1 do ai, torej ki = a1 + ... + ai. Za izracun polja k naj bo k1 = a1 in element ki = ki-1 + ai za vsak i G {2,...,n}. Vidimo, da je vsota števil med indeksoma i in j sedaj enaka kar kj - ki-1. Ce izracunamo polje kumulativnih frekvenc, potem dobimo konstantno ca- sovno zahtevnost za eno poizvedbo vsote elementov med dvema indeksoma. Zelo ucinkovito, ampak v portalu se število uporabnikov nenehno spreminja in zato moramo omogociti še posodabljanje elementov v polju a. Ko posodobimo element ai to pomeni, da moramo v polju kumulativnih frekvenc k posodobiti vse elemente od ki do kn. Vidimo, da v splošnem dobimo linearno casovno zahtevnost za posodobitev polja kumulativnih frekvenc. Z uporaba polja kumulativnih frekvenc smo dobili konstantno casovno zahtevnost za poizvedbo, vendar smo s posodabljanjem elementov spet prišli do linearne casovne zahtevnosti. Drevesne podatkovne strukture se pri podobnih problemih izkažejo kot zelo ucinkovite, saj velikokrat pohitrijo reševanje problema. Razvitih je precej razlicnih drevesnih podatkovnih struktur in ena izmed njih je tudi Fenwickovo drevo. Fenwickovo drevo je podatkovna struktura, ki z uporabo ideje o kumulativnih frekvencah omogoca poizvedbo za vsoto elementov med dvema indeksoma in posodabljanje elementov polja v logaritemski casovni zahtevnosti glede na velikost polja. Fenwickovo drevo je leta 1994 prvi predstavil Peter M. Fenwick. Osnovna ideja Osnovna ideja Fenwickovega drevesa je, da lahko vsako naravno število izrazimo kot vsoto ustreznih potenc števila 2. To pomeni, da bi lahko kumulativno frekvenco ki predstavili kot vsoto ustreznih delnih kumulativnih frekvenc (predstavimo s poljem f) glede na razcep števila i na vsoto potenc števila 2. Ce lahko indeks i predstavimo kot vsoto treh potenc števila 2, potem bo npr. ki enak vsoti treh delnih kumulativnih frekvenc. Seveda morajo biti delne kumulativne frekvence podane za ustrezne intervale, da bomo s tem pristopom uspeli sestaviti celotno kumulativno frekvenco za indeks i. Za vsako potenco števila 2 iz razcepa indeksa i bo delna kumulativna frekvenca obsegala interval, ki bo širok toliko, kot, PRESEK 44 (2016/2017) 5 311 RAčUNALNIčTVO starost do 10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 L " tevilo starost 3 46-50 1 51-55 0 56-60 0 61-65 2 66-70 2 71-75 5 nad 75 3 L "tevilo 1 5 4 0 0 2 3 TABELA 1. Tabela kategorij je vrednost te potenče. V zgornjem delu tabele 2 so prikazani intervali za delne kumulativne frekvenče do števila 15. Oglejmo si osnovno idejo na konkretnem primeru za indeks 11. Število 11 = 23 + 21 + 20, kar pomeni, da bo fc11 sestavljen iz delnih kumulativnih frekvenč za intervale širine 8, 2 in 1 oziroma iz delnih kumulativnih frekvenč za intervale 1..8, 9..10 in 11. V spodnjem delu tabele 2 lahko vidimo primer, kjer imamo v prvi vrstiči zapisano polje a, v drugi vrstiči polje za kumulativne frekvenče k in v tretji vrstiči polje za delne kumulativne frekvenče f. Vrnimo se na primer indeksa 11. Kumulativna frekvenča za indeks 11 je sestavljena iz k11 = f11 + f10 + f8, kar ustreza vsoti = a11 + a9..10 + a1..8, kjer je a1..8 = a1 + ... + a8. Zaporedje števil 11,10,8 dobimo, če v dvojiški predstavitvi števila 11 = 1011 (2) po vrsti nadomeščamo najbolj desno eničo z ničlo. Izračun kumulativne frekvenče ki iz polja delnih kumulativnih frekvenč f torej dobimo tako, da seštejemo vse elemente polja f, ki jih dobimo, ko indeksu i po vrsti nadomeščamo najbolj desno eničo z ničlo, dokler ne pridemo do števila 0. Takšno indeksiranje nam iz polja delnih kumulativnih frekvenč generira drevo. Za koren drevesa postavimo indeks 0. Drevo ni uravnoteženo. Vsako vozlišče drevesa ima toliko otrok, kot je število ničel do prve eniče v dvojiški predstavitvi indeksa, gledano iz desne strani. Globina vozlišča (razdalja do korena) pa je enaka številu enič v dvojiški predstavitvi indeksa. Polje, opremljeno s takšnim indeksiranjem imenujemo Fenwickovo drevo. Zaradi načina indeksiranja takšno strukturo imenujemo tudi binarno indeksirano drevo. Na sliki 1 je predstavljeno drevo za primer polja velikosti 15. V vozliščih drevesa so navedeni indeksi, v katerih se nahajajo ustrezni elementi v polju delnih kumulativnih frekvenč. Operacije S pomočjo opisane strukture želimo v logaritemskem času izvajati naslednji dve operačiji: poizvedbo za kumulativno frekvenčo do nekega indeksa i, posodobitev polja delnih kumulativnih frekvenč f glede na posodobitev elementa ai. Pri obeh operačijah bomo indekse računali s pomočjo najbolj desne eniče v dvojiški predstavitvi. Za izračun najbolj desne eniče v dvojiški predstavitvi nekega števila si bomo pomagali z dvojiškim kom-plementom. Z dvojiškim komplementom so v računalniku predstavljena negativna števila. Iz pozitivnega števila m dobimo z dvojiškim komplementom -m tako, da v dvojiški predstavitvi od m obrnemo vse bite in prištejemo ena. V tabeli 3 imamo primer za dvojiški komplement števila 18 = 00010010(2), ki znaša 11101110. Opazimo, da je edino mesto, kjer se eniča hkrati pojavi tako v dvojiški predstavitvi števila 18 kot tudi v dvojiški predstavitvi števila -18, ravno mesto najbolj desne eniče v obeh dvoji-ških predstavitvah. S pomočjo logičnega operatorja A dobimo rezultat 00000010. Najbolj desno eničo indeksa i dobimo z (i A -i), kar pomeni, da v drevesu za poizvedbe indeks starša vozlišča i izračunamo kot i - (i A - i) . Poizvedba za kumulativno frekvenčo Spodaj imamo prikazano funkčijo v programskem jeziku C++, ki vrne kumulativno frekvenčo za indeks i. Za polje delnih kumulativnih frekvenč uporabimo vector f. Število iteračij whi l e zanke je enako številu enič indeksa i v bitni predstavitvi - v drevesu za poizvedbe to predstavlja dolžino poti od vozlišča i do korena. V najslabšem primeru to pomeni, 26 PRESEK 44 (2016/2017) 5 26 RAČUNALNIŠ TVO indeks 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 interval 1 1..2 3 1.. 4 5 5..6 7 1..8 9 9..10 11 9..12 13 13..14 15 polje a 3 1 0 0 2 2 5 3 1 5 4 0 0 2 3 polje k 3 4 4 4 6 8 13 16 17 22 26 26 26 28 31 polje f 3 4 0 4 2 4 5 16 1 6 4 10 0 2 3 TABELA 2. Primer za polje velikosti 1 5 SLIKA 1. Drevo za poizvedbe na polju velikosti 1 5 18 00010010 11101101 + 00000001 "-18 11101110 TABELA 3. Dvojiški komplement števila 18 da je časovna zahtevnost funkcije enaka logaritmu velikosti polja a. int vrniKumulativnoFrekv(int i) { int vsota = 0; while (i > 0) { vsota += f[i]; i -= (i nt) (i & -i); // odštejemo najbolj desno enico } return vsota; } Ko imamo metodo za izračun kumulativne frekvence za poljubni indeks, potem lahko vsoto elementov med indeksoma i in j izračunamo kot vrni Kumul ativno-Frekv(j)-vrni KumulativnoFrekv(i-1). Posodabljanje elementa polja Pri poizvedbi za kumulativno frekvenco smo indeksu vsakic enico na desni strani nadomestili z niclo. S tem smo se premikali proti začetku polja delnih kumulativnih frekvenc oziroma proti korenu drevesa za poizvedbe. Za posodobitev elementa polja a pa moramo posodobiti vrednosti vsem delnim kumulativnim frekvencam, ki vsebujejo ta element. V tabeli 2 poglejmo, katere elemente polja delnih kumulativnih frekvenc f moramo posodobiti, ce v polju a posodobimo elemnent a3. Elementi polja f, katerih intervali vsebujejo element a3, so f3, f4 in f8. Iz indeksa 3 se moramo premakniti na indeks 4 (prištejemo 1) in potem na indeks 8 (prištejemo 4). Opazimo, da namesto odstranjevanja (odštevanja) enega bita na desni strani, moramo k trenutnemu indeksu dodati (prišteti) najbolj desni bit na vsakem koraku. Ta korak ponavljamo, dokler ne pridemo preko velikosti polja. Z indeksiranjem za posodabljanje elementov dobimo drugacno drevo, kot smo ga dobili z indeksiranjem za poizvedbe. Drevo za polje velikosti 15 je prikazano na sliki 2. Za koren drevesa dodamo vozlišce z indeksom 16, ki služi kot stražar, pri katerem se moramo zaustaviti pri posodabljanju. Opazimo, da je glede na PRESEK 44 (2016/2017) 5 27 RAČUNALNIŠ TVO 3 © © © © SLIKA 2. Drevo za posodabljanje elementov polja velikosti 1 5 obliko drevo za posodabljanje zrcalna slika drevesa za poizvedbe. Napišimo še funkcijo v programskem jeziku C++, ki posodobi polje delnih kumulativnih vsot, ce k elementu polja at prištejemo vrednost v, kjer je vrednost v lahko tudi negativna. void posodobi(int i, int v) { while (i < f.size()) { f[i] += v; i += (int) (i & -i); // prištejemo najbolj desno enico } } tov v logaritemski Časovni zahtevnosti glede na velikost polja a. V našem primeru starostnih kategorij spletnega portala je polje velikosti 15. V praksi sprememba casovne zahtevnosti iz linearne na logaritemsko pri polju velikosti 15 ne pride do izraza, vendar pa opisano podatkovno strukturo lahko uporabimo za poljubno velikost polja. S povečevanjem velikosti polja pa pridemo do bistvene razlike pri časovni učinkovitosti omenjenih operacij. Literatura [1] P. M. Fenwick, A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables, Software-practice and experience 24 3, (1994), 327-336. [2] F. Halim in S. Halim, Competitive Programming 3: The New Lower Bound of Programming Contests, 2013. [3] Wikipedia: Fenwick tree, ogled: 14. 1. 2017. https://en.wiki pedi a.org/wi ki/Fenwi ck_ tree. _ XXX Barvni sudoku Časovno zahtevnost funkcije za posodabljanje lahko ocenimo s pomocjo casovne zahtevnosti funkcije poizvedbe. Število iteracij while zanke je enako dolžini poti od vozlišca i do korena v drevesu za posodabljanje. Ker je drevo za posodabljanje zrcalna slika drevesa za poizvedbe, sledi, da je najslabša ca-sovna zahtevnost metode void posodobi(int i, i nt v) prav tako enaka logaritmu velikosti polja a. S tem smo opisali podatkovno strukturo, ki omo-goca, da za podano polje števil a izvajamo poizvedbe za kumulativne vsote in posodabljanje elemen- 3 v O □ m > a. < m > m H -> >00 * £ -> a 1 7 4 6 5 382 3 5 8 2 6 7 4 2 3 6 8 7 1 4 5 7 4 5 1 3 2 6 8 6 2 7 4 8 5 1 3 5 8 1 3 4 7 2 6 4 6 3 7 2 8 5 1 8 1 2 5 6 4 3 7 XXX 28 PRESEK 44 (2016/2017) 5 28 RAZVEDRILO Novosti v naši ponudbi V DMFA - založništvo izdajamo različne vrste literature. Predstavljamo vam dve zadnji novosti: Amir D. Aczel: SKRIVNOST ALEFA Matematika, kabala, iskanje neskončnosti 184 strani, format 14 x 20 čm 19,50 EUR • j» Carlo Rovelli £ «P * SEDEM KRATKIH LEKCIJ ' • v» IZ FIZIKE 76 strani, format 12 x 17 čm - / 9,50 EUR SEDEM KRATKIH LEKCIJ IZ FIZIKE Poleg omenjenih lahko v naši ponudbi najdete še veliko drugih zbirk nalog. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse zbirke tudi naročite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ceni k/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta, razen za najnovejše knjige! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (041) 721 264. vU sU vU RES ITEV NAGRADNE KRlS ANKE PRESEK 44/3 Pravilna rešitev nagradne križanke iz tretje številke 44. letnika Preseka je Astronomski izziv. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Tomaž Terčič iz Nove Goriče, Peter Žurej iz Frankolovega in Vid Kavčič iz Črnomlja, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX PRESEK 44 (2016/2017) 5 29 RAZVEDRILO Atmosferski tlak in plastenka vU sU vU Aleš Mohoriš -> Prejšnji teden sem si po koncu smučanja privoščil plastenko vode in na višini 2664 m nazdravil vrhovom masiva Dachstein, kot kaže tokratna naravoslovna fotografija (levo). Prazno plastenko sem nato zatesnil. Med vračanjem sem na parkirišču, ki ima nadmorsko višino 1691 m, posnel še eno fotografijo (sredina). Zadnjo (desno) sem naredil v meglenem Schladmingu pri nadmorski višini 728 m. Nadmorsko višino lahko natančno določimo s satelitsko navigačijo, če pa ta ni na voljo, si lahko pomagamo s spletom. Koordinate krajev sem poiskal na Google maps, za dane koordinate pa nadmorsko višino na strani http://www. mapcoordi nates.net/en. Na sliki jasno vidimo, kako je plastenka stisnjena vse bolj, nižje kot smo. Zakaj? Na površju Zemlje se nahajamo na dnu tekočine, ozračja, ki na vsa telesa deluje z atmosferskim tlakom. V srednji šoli učimo, da na telesa potopljena v mirujočo tekočino deluje tlak, ki narašča z globino. Globina je razdalja od telesa do gladine tekočine. Običajno spreminjanje zračnega tlaka z višino zanemarimo, kadar imamo opravka z majhnimi spremembami, saj so gostote plinov približno tisočkrat manjše od gostote kaplje-vin. Če so spremembe nadmorske višine znatne, pojav brez težav opazimo. Z natančnimi merilniki ga opazimo tudi pri manjših višinskih razlikah. Tlak ozračja se spreminja z vremenom. Kot standardni tlak na morski gladini upoštevamo p0 = 101325 Pa. Ta tlak pomeni, da vsak kvadratni meter vodoravnega površja nosi težo zračnega stolpča, ki ustreza masi zraka 10 ton. Za gravitačijski pospešek vzamemo g = 9, §0665 m/s2. Gostota zraka na morski SLIKA 1. Plastenka, neprodušno zaprta na visoki nadmorski višini (levo), se skrci zaradi zračnega tlaka (sredina, desno), ko se spustimo nižje. 30 PRESEK 44 (2016/2017) 5 30 RAZVEDRILO gladini je 1,2 kg/m3, kar bi pomenilo višino zračnega stolpca H = 8,6 km, če bi bila gostota zraka na vseh višinah enaka. Ta približek upravičeno naredimo pri kapljevinah, ki so skoraj nestisljive. Gostota zraka z višino pada. To nam pove plinska enačba p = RM. Kilomolska masa suhega zraka je M = 28,9644 kg/kmol in R = 8314,47 J/kmol/K je splošna plinska konstanta. Z višino se spreminjata tako tlak kot temperatura, dodatno pa opis zapletejo tudi vlaga v zraku, gibanje zračnih mas in svetlobno sevanje. V prvem približku se tlak zmanjša po 100-metrskem dvigu za 1,2 kPa. Boljši približek dobimo, če spreminjanje tlaka z višino opišemo z eksponentno funk-čijo. Še bolj natančna obravnava da izraz gM (, Lh\RL p = ^ - To) kjer je L = 0,0065 K/m temperaturni višinski gradient in T0 = 288,15 K standardna temperatura na morski gladini. Odvisnost tlaka od nadmorske višine kaže slika 2. h [km] SLIKA 2. Spreminjanje tlaka z nadmorsko višino Upoštevajmo barometrično enačbo ter izračunaj-mo kvočient tlaka na konču poti in tlaka na vrhu smučiščain dobimo 1,27. To pomeni, da je tlak v dolini dobro četrtino višji kot na gori. Ustrezno temu se zmanjša prostornina plastenke. Premislite, kako bi izmerili prostornino plastenke. Ali na zmanjšanje prostornine vpliva še kaj drugega kot zunanji zračni tlak? Barometrična enačba Enačbo izpeljemo iz enačbe idealnega plina p = M. Upoštevamo še izraz za spreminjanje hi-drostatičnega tlaka: dp = -pgdh. h pomeni nadmorsko višino in ne, kot običajno, globino. Zato v izrazu stoji spredaj minus. Izraza delimo med seboj in ostane dpp = - MRgdh, ki ga lahko integriramo od nadmorske višine h = 0, kjer je tlak enak p0, do poljubne višine h. Dobimo barometrično enačbo ■ P = P0S^0 Mgdh/R/T^ Izraz lahko izračunamo, če poznamo višinsko odvisnost temperature. V izotermni atmosferi, če zanemarimo spreminjanje gravitačijskega pospeška z višino, dobimo eksponentno padanje tlaka z višino p = P0e -Mgh/R/T Temperaturni višinski gradient Gradient opiše spreminjanje temperature z višino. Za suh zrak lahko v adiabatnem približku, ko se med zračnimi plastmi ne izmenjuje toplota, zapišemo enačbo stanja plina pdV = -Vdp/K. Energijski zakon se glasi: mcvdT + pdV = 0. Iz prve enačbe vstavimo pdV v drugo in ostane zveza cpdT-Vdp/m = 0. Upoštevamo še dp = -pgdh in dobimo - L = - ^T = — = 9,8°C/km. dh Cp Ker je zrak vlažen, je povprečna vrednost manjša, 6,5° C/km. XXX www.presek.si www.dmfa-zaloznistvo.si PRESEK 44 (2016/2017) 5 31 Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizacija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv na-cin zastavljanja matematicnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razSirilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vkljucevali tudi otroci in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematicni kenguru. Leta 2016 se ga je udeležilo vec kot 6 milijonov tekmovalcev iz vec kot 60 držav sveta. V Sloveniji DruStvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za ucence od prvega razreda osnovne Sole do cetrtega letnika srednje Sole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniSkih in strokovnih Sol, za dijake srednjih poklicnih Sol ter za Studente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljSe možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena reSitev, ki bralca vodi v logicno miSljenje in spoznavanje novih strategij reSevanja. Marsikatera naloga, kije sprva na videz nereSljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematicni izziv. 10,99 EUR 18,74 EUR 14,50 EUR 23,00 EUR Pri DMFA-založniStvo je v Presekovi knjižnici izSlo že pet knjig Matematicnega kenguruja. Na zalogi so Se: • Evropski matematični kenguru 2002-2004, • Mednarodni matematični kenguru 2005-2008, • Mednarodni matematični kenguru 2009-2011, • Mednarodni matematični kenguru 2012-2016 (novost). Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematicna, fizikalna in astronomska dela. PodrobnejSe predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in Studentje imate ob narocilu starej-Sih zbirk nalog pri DMFA-založniStvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! RAZVEDRILO nU NU NU Nagradna križanka rimska ct&nd vojaška v|™°-a ™¡™ Zim SSSi TURIST0M t/ % WÛ&t. grafično oblikovanje matevž bokalič ime prvih sovjetskih umetnih satelitov večja tableta, kise stopi v ustih severno-u.m/ tinski otok dragocen predmet pristanisko mesto iz pretek- blizu osla losti, an- na norveškem tikviteta zagnanost zadelo anton starejši citroenov avto "pokrita" črka radlika rupel naš saksofonist (andrej) ribčev se nahaja ob bohinjskem jezeru matematik iz filma ČUDOVITI UM (john forbes) oče pritok rena točka nasproti apeksa pripadnica pretirano verskega razva-reda janje uubkov. oblika imena krajše strokovno ali literarno besedilo trista-nova ljubica pevka černe gl. mesto kazahst. koda bančne kartice napisal je f an DOKTOR ŽIVAGO (boris) vrlina "starih mačkov umivanje pod razpršenim curkom vode najvišji državni pravni akt 14. grška črka veznik igralec avstrli, smučarka fenninger ameriška vodna kača bonda predstojnik občine tina trstenjak indijski nobelovec za fiziko začimba za solato produkt števil element zaporedja 17 ropot na večer pred godom naš plesalec (miša) nekdanji avstrijski [rkj slovaški pisatelj (ladislav) doktor madžarski filozof in lit. kritik (györgy) srebuaj makedon. praznik vstaje proti turkom vojašnica 15 pripis enota za osvetljenost svilen oficirski trak okoli pasu, prepasnica umetno narejena čistina VI 10 snov za atomska skupina z mankom ali viškom elektronov am. skladatelj (philip) notranj-ira J švedski nobelovec za fiziko (gustaf) dalen 12 morski orkan puškinov junak (jevgenij) kraj nad žariščem potresa otroška poskočnost pesnica kram-berger brusni kamen za koso 16 PRESEK 44 (2016/2017)4 RAZVEDRILO osrednje kockasto islamsko svetišče vmeki v zraku razpršena tekoča autrdna snov naš nekdanji smučarski funkcionar direktor reprezentanc(tone) cevasta priprava za dovod zraka motorju zaradi poškodbe au bolezni zdravnik specialist za starostnike enaka sogla-snika ang. pisec fleming televizij kato-dorovski ► enota za prostorske kote reka v furlandi, pritok soče staro naselje prizadru antična aenona vzdevek slikarja oskarja rotovnika občutek nemira zaradi težkega položaja predstojnica verskega reda james ensor 21 vrvica iz umetne snovi kot rezilo pri kosilnici blatno jezero lenobnež aceti-lenska svetilka "skupina" elementov, ki so hkrati elementi kakšne večje "skupine" charles urier država v južni ameriki visok, prosto stoječ kamnit spomenik neurejena množica nasilnih ljudi kraj pod menino ob cesti vransko -kamnik nace sik sorta zgodnjega belega krompirja reka v nemčiji deskar na snegu košir obrambni igralec, branilec jezikovni izraz predmet, ki kaj drži pokonci sorta, vrsta (v obe smeri) 11 švedski izumitelj (alfred) am. astronavt (neil) naravni satelit planeta država najugo vzhodu arabskega polotoka enojka svinčnik nekdanji slovanski vladarski naslov umorjen iranski politik (shapour) nekdanji poljski konjeniki s kopji nabava 14 učni park lesnatih rastlin izumrli ova starogrški ep nekd. arg. nogometaš (diego) ptica pevka točenje solz 13 zgodovin. slovenska dežela zgor. rob strehe nekdanji generalni sekretar ozn (kofi) POGREŠEK zelo slan grški kozji au vas vzhodno najvišja gora na siciliji MADŽ. (arpad) steblo prt GOBI fr. rally dirkač (sebastien) črna podzemna ŽIVAL 16 vrsta hrasta PARADIŽ 19 OLIMPIJSKE IGRE radli tovarna v trbovljah in betelova palma iz jugovzhodne azije 18 sloviti češki hokejist (jaromir) 20 NAGRADNI RAZPIS Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/kri zanka ter ga oddajte do 15. marca 2017, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado. XXX PRESEK 44 (2016/2017) 5 17