Lehrbuch der Arithmetik für Unter-Gymnaflen. - Von vr. Aranz Ritter von Wocnik. Erste Abtheitung (für die I. und II. Ciaffr). Vierunddreifligstc umgcarbeitete Auflage bearbcitet von vr. W. Uscheidt, k. k. Professor am Elisabethgymnasium in Wien. Laut h. Ministerial-Erlass vom 19. Juni 1895, Z. 14.393, zum Unterrichtsgebrauche an Gymnasien mit deutscher Unterrichtssprache allgemein zugelassen. Ureis geheftet 80 kr.; in Leinwandband 90 kr. Wien. Druck und Verlag von Carl Gerold'» Sohn. 1895. ^22 ^3^- J n ß a l' t Seite I. Rechnen mit unbenanulen nnd einnamigen ganzen und Decimalzahlen. 1 1. Zahlenbildnng. 1 2. Addition . 7 Z. Subtraction. 14 4. Multiplication. 21 b. Division . 34 II. Maße, Gewichte und Münzen. 45 III. Rechnen mit meh rn amigen Zahlen. 51 IV. Theilbarkeit der Zahlen. 59 V. Borübungen für das Rechnen mit gemeinen Brüchen . . 66 VI. Größtes gemeinsames Maß nnd kleinstes gemeinsames Vielfaches größerer Zahlen. 72 VII. Zusammenhängende Darstellung der Rechnung mit ge¬ meinen Brüchen . 74 VIII. Verhältnisse und Proportionen. 9t) 1. Verhältnisse. 90 2. Proportionen. 92 3. Einfache Regeldetri und Schlussrechnung. 97 IL. Procenlrechnung.106 X. Einfache Zinsrechnung. 114 I. Rechnen mit unbenannten und einnamigen ganzen und Decimalzahlen.') / 8- 1- tim von mehreren Dingen derselben Art anzugeben, wie viele es sind, nimmt man ein solches Ding als Einheit an und untersucht, wie oft diese Einheit in der gegebenen Menge von Dingen derselben Art vorkommt. Der Ausdruck, welcher dies angibt, heißt Zahl. Eine Zahl, welche nur die Menge der Einheiten, nicht aber die Art derselben ausdrückt, heißt eine unbenannte Zahl; eine Zahl da¬ gegen, welche sowohl die Menge als auch die Art der Einheiten angibt, eine benannte Zahl. Drei ist eine unbenannte, drei Kronen eine benannte Zahl. Eine benannte Zahl, welche Einheiten einer einzigen Benennung enthält, heißt eiunamig, z. B. vier Kronen. Eine benannte Zahl, in welcher Einheiten verschiedener Benennungen, die jedoch zu derselben Art gehören, vorkommen, heißt mehrnamig, z. B. vier Kronen und drei Heller. Aus gegebenen Zahlen mittels bestimmter Veränderungen andere Zahlen finden, heißt rechnen. Die gesuchte Zahl, zu der man durch die Rechnung gelangt, wird das Ergebnis oder Resultat der Rechnung genannt. Die Lehre von den Zahlen und deren Veränderungen heißt Arithmetik. , 1. Zuhlenbildung. Dekadische ganze Zahlen. 8- 2. Jede Zahlenbildung beginnt mit dem Setzen der Einheit und geht, da die Einheit immer wieder gesetzt und zu der bereits entstandenen Uni den gleichzeitigen Gebrauch der vorhergehenden Auslage mit dieser zu ermöglichen, wurden die Nummern der neu hinzugekommenen und der geänderten Beispiele mit je einem * bezeichnet. Močnik, Arithmetik, I. »bth. 1 2 Menge von Einheiten hinzugedacht werden kann, ins Unendliche fort. Die Zahlen so bilden, wie sie der Reihe nach durch fortgesetztes Hinzu¬ fügen der Einheit hervorgehen, heißt zählen. Wir zählen: eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun u. s. w. und drücken diese Zahlen schriftlich durch folgende Zeichen (Ziffern) aus: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 u. s. w. Die Reihe dieser Zahlen nennt man die natür¬ liche Zahlenreihe. Die durch das wiederholte Setzen der Einheit entstandenen Zahlen werden ganze Zahlen genannt. Alle ganzen Zahlen, wie groß sie auch sein mögen, lassen sich mit einigen wenigen Zahlwörtern genau und bestimmt benennen, und mit noch wenigeren Zahlzeichen schriftlich ausdrücken. Man geht dabei von dem Grundsätze aus, dass eine bestimmte Zahl Einheiten eines Ranges stets wieder als eine Einheit, des nächst höheren Ranges, betrachtet wird und als solche auch einen besonderen Namen erhält. Eine solche Darstellung der Zahlen heißt ein Zahlensystem. In unserem dekadischen Zahlensysteme zählt man, von der Ein¬ heit ausgehend, mit den bekannten Zahlwörtern: eins, zwei, .... bis zehn. Zehn ursprüngliche Einheiten, auch Einer genannt, bilden eine neue höhere Einheit, welche ein Zehner heißt; zehn Zehner bilden einen Hunderter, zehn Hunderter einen Tausender, zehn Tausender einen Z e h n t a u s e n d e r, zehn Zehntausender einen Hnnderttausender, zehn Hunderttausender eine Million u. s. w. Jede Zahl ist aus Einern, Zehnern, Hundertern, .... zusammengesetzt, und wird vollkommen bestimmt, wenn man angibt, wie viele Einer, Zehner, Hunderter, .... sie enthält. Mit dem mündlichen ,Ausdrucke der Zahlen stimmt auch deren schriftliche Darstellung überein. Wir brauchen dazu uur die Ziffern für die ersten neun Zahlen, nämlich 1, 2, .... 9, und das Zeichen 0 (Null), welches anzeigt, dass von einem bestimmten Range keine Einheiten vorhanden sind. Um nun durch die Zusammenstellung dieser zehn Ziffern alle möglichen ganzen Zahlen auszudrücken, nimmt man an, dass jede Ziffer an der ersten Stelle, von der Rechten an gezählt, Einer, und an jeder folgenden Stelle gegen die Linke zehnmal so viel bedeutet, als sie an der nächst vorhergehenden Stelle gilt. Hiernach bedeutet jede Ziffer an der zweiten Stelle, von jder Rechten an gezählt, so viele Zehner, an der dritten so viele Hunderter, an der vierten so viele Tausender u. s. w., als sie an der ersten Einer ausdrückt. Das dekadische Zahlensystem, in welchem zehn die Grundzahl bildet, beruhet demnach auf folgenden zwei Gesetzen: / 3 1". Zehn Einheiten eines Ranges bilden immer eine Einheit des nächsthöheren Ranges. 2. Eine Ziffer gilt an jeder Stelle zehnmal so viel, als an der nächsten Stelle gegen die Rechte. (Positionsgesetz.) Jede Ziffer in einer geschriebenen Zahl hat einen doppelten Wert, den Zifferwert, welcher die Zahl der Einheiten angibt, nnd den Stellenwert, welcher ihr vermöge der Stelle zukommt und den Rang der Einheiten anzeigt. So bedeutet z. B. in der Zahl 4444 jede vor¬ kommende Ziffer vier, jedoch gilt dieselbe an der ersten Stelle, von der Rechten angefangen, vier Einer, an der zweiten vier Zehner, an der dritten vier Hunderter, an der vierten vier Tausender. 8- 3. Die Kenntnis, Zahlen richtig anzuschreiben und die geschriebenen richtig zu lesen, heißt die Numeration. Die Rangzahlen unseres Zahlensystems lassen sich sehr bequem in Elasten zu drei Stellen eintheilcn, welche nach der Reihe Einer, Zehner und Hunderter enthalten. Die drei niedrigsten Stellen sind geradezu Einer, Zehner, Hunderter; in der nächstfolgenden Elaste kommen Einer, Zehner, Hunderter von Tausendern vor; in der noch weiter folgenden Elaste stehen Einer, Zehner, Hunderter von Millionen u. s. w. Durch diese Eintheilung der Zahlen wird die Auffassung und schriftliche Darstellung derselben wesentlich erleichtert. Der Kürze wegen wollen wir in dem Folgenden die Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender, Millionen, ... folgeweise durch L, 2, H, 1, 2t, Ht, LI, .. . bezeichnen. Aufgaben für das Lesen und Anschreiben der Zahlen. 1. 200, 735, 364, 285, 511, 749, 180, 690, 906, 101. 2. Fünfhundert, zweihundert acht und dreißig, siebenhundert ein und fünfzig, sechshundert zwanzig, vierhundert und vier. 3. 3000, 9548, 4212, 6336, 2800, 5230, 7508, 1046, 8003. 4. Zweitausend und vierzig, fünftausend siebenhundert vier und neunzig, achttausend und drei, eintausend dreihundert und zehn, dreitausend fünf und zwanzig. 5. 10000, 5700, 36200, 38090, 27026, 80912, 12345; 630427, 938824, 732284, 815500, 493220, 409010. 6. Zu Eude des Jahres 1890 hatte Wien 1355255 Einwohner. 7. Zwölftnnsend achthundert und zwölf, fünfzigtausend siebenhundert vier und zwanzig, sieben und vierzigtausend dreihundert und fünfzig, achtzigtausend ein und achtzig, vierhundert sieben tausend zwei¬ hundert eiif. 8. Wie viele Zehntausender enthält die Zahl 61735; wie viele Tau¬ sender, Hunderter, Zehner, Einer enthält sie? 61735 n 6 2t IUIV II 7 u 32 5 L — 61 und 7 H 3 2 5 L — 617 8 und 3 2 5 L 6173 2 und 5 L — 61735 L 9. Gib ebenso die Bestandtheile folgender Zahlen au: 6458, 23719, 40821, 325368, 752379. Lies: 3212.654, 8,900378, 3418.509, 9284.073,1050090; 51,379.486, 20416L29, 538,191378, 3.546,790814. -4t. Die Souue ist 1si13.879mal so groß als unsere Erde. 12. Wenn jemand in einer Secunde eins zählen würde, so brauchte er, um eine Million zu zählen, eilf Tage, dreizehn Stunden, sechs und vierzig Minuten und vierzig Secunden; um eine Billion zu zählen, brauchte er ein und dreißigtansend siebenhundert und neun Jahre, zweihundert neun und achtzig Tage, eine Stunde, sechs und vierzig Minuten und vierzig Secunden. Decimalzahlen. 8- 4. Wenn man in einer nach dem dekadischen Gesetze geschriebenen ganzen Zahl von der Linken gegen die Rechte zurnckschreitet, so gilt jede folgende Ziffer gegen die Rechte nur den zehnten Theil von dem, was sie an der vorhergehenden Stelle gilt, und man kommt zuletzt auf die Einer herab. Es kann aber die Zahlenreihe nach demselben Gesetze auch unter die Einer herab fortgesetzt werden, mau kann einen Einer in zehn gleiche Thcile theilen, und einen solchen Theil, ein Zehntel, als eine noch niedrigere Einheit betrachten, ferner den zehnten Theil von einem Zehntel, d. i. ein Hundertel, als die Einheit eines noch nie¬ drigeren Ranges ansehen, und so durch fortgesetzte Theilung zu beliebig kleinen Zahleneiuheiteu hinabsteigen. Übereinstimmend damit kann man nach dem dekadischen Gesetze auch die Ziffernreihe von den Einern noch weiter rechts fortsetzen, so dass eine Ziffer an der ersten Stelle nach den Einern Zehntel, ati der zweiten Hundertel, an der dritten Tausendtel u. s. w. bedeutet. Bei dieser Fortsetzung der Ziffernreihc braucht mau nur durch ein Zeichen sichtbar zu machen, wo die Einer aufhören; dieses Zeichen ist ein Punkt, 5 welcher nach den Einern rechts oben gesetzt wird und Dec imalp unkt heißt. Die Ziffern links vom Decimalpunkte sind Ganze, die Ziffern rechts vom Decimalpunkte heißen Decimalen. Es bedeutet demnach 444444 44444 Folgendes: Ganze: Decimalen: 4 4 4 4 4 44 4 4 4 4 Eine Zahl, welche Decimalen enthält, heißt eine Decimalzahl. Die Zehntel, Hundertel, ... heißen auch niedrigere Rang¬ zahlen zum Unterschiede von den Zehnern, Hundertern, ..., welche höhere Rangzahlen heißen. Der Kür^e wegen werden wir in dem Folgenden die Zehntel, Hundertel, Tausendtel, Zehntausendtel, .. durch 2, ll, t, r:t, .. bezeichnen. s- ö. Eine Decimalzahl wird gelesen, indem man zuerst die Ganzen, und dann entweder alle Decimalen zusammen in Einheiten der niedrigsten Decimalstelle oder jede einzelne Decimale mit oder ohne Angabe ihres Stellenwertes ausspricht. Z. B. 47'385 wird gelesen: a) 47 Ganze, 385 t; oder ll) 47 Ganze, 3 2, 8 ll, 5 1; oder aber 0) 47 Ganze mit den Decimalen 3, 8, 5. Lies folgende Dccinialzahlen: 32-517, 7-0703, 0'005, 3'14159, 0'5596, 17'008, 80'072, 0'480107, 0'20903, 725'008, 0'036, 28'00074. Um eine Decimalzahl anzuschreiben, schreibt man zuerst die Ganzen an, setzt den Decimalpunkt und dann die einzelnen Decimalen nach der Ordnung ihres Stellenwertes. Fehlen die Ganzen oder einzelne Decimalen, so werden sie durch Nullen ersetzt. Z. B. 13 Ganze, 5 ll, 6 2t schreibt man an: 13'0506; 7 2 schreibt man an: 0'7. ^Schreibe folgende Decimalzahlen an: 47 a) 5 Ganze, 3 2; ^28 Ganze, 4 2, 7 ll, 1 t; u.) 110 Ganze, 35 t; K-s 7tausend 28 Ganze, 4 ll, 9 t; -87 a) 7 Hunderttausendtel; 39tausend 91 Milliontel. 6 4. a) 3 L, 1 s, 5 L, 8 t; b) 5 U, 3 L, 8 k. 5. a) 4 R, 8 H, 7 X, 3 st; d) 2 Ut, 5 2, 4 k, 5 t. Hängt man einer Decimalzahl rechts eine oder mehrere Nullen an, so wird ihr Wert nicht geändert, weil dabei die einzelnen Ziffern ihren früheren Stellenwert beibchalten; z. B. 8-7 8-70 8-700 8'7000 8'70000. Folgende Zahlen sollen gleichviele Decimalen erhalten: 2, 3'5, 6'48, 0-397, 14-723. Römische Zahlzeichen. 8- 6. Die bisher angewendeten Ziffern heißen arabische, mebst diesen werden manchmal anch die römischen Ziffern gebraucht. Die Römer hatten sieben Zahlzeichen: I, V, X, D, 6, I), LI, für 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Sie drückten damit durch gehörige Zusammenstellung alle übrigen Zahlen nach folgenden Gesetzen ans: 1. Stehen mehrere gleiche Buchstaben neben einander, so bedeuten sie so viel, als ihre Werte zusammen genommen betragen; z. B.: II bedeutet 2, XXX bedeutet 30, III „ 3, 606 „ 300. 2. Steht ein niedriges Zahlzeichen nach einein höheren, so wird der Wert des höheren nm so viel vermehrt, als das niedrigere bedeutet; z. B.: VI bedeutet 6, XXVI bedeutet 26, VIII „ 8, 6XV „ 115, OX „ 60, V6OX „ 660. 3. Steht ein niedrigeres Zahlzeichen vor einem höheren, so wird der Wert des höheren um so viel vermindert, als das niedrigere be- . " deutet, z. B.: Lies: VII, XIII, XV, XXIV, XDI, OXI, X6I, 6IX, 6X1, 6NXIX, N666XIV, NV66XD. Schreibe mit römischen Ziffern alle Zahlen von 1 bis 20; ferner 28, 49, 84, 365, 719, 930, 1344, 1799, 1892. 7 2. Addieren mit unbemannten und einnumigen ganzen und Deeimulzuhlen. 8-- 7/ Addieren heißt eine Zahl suchen, welche so viele Einheiten ent¬ hält, als zwei oder mehrere gegebene Zahlen zusammen genommen. Die gegebenen Zahlen nennt man Summanden (Addenden, Posten); das Resultat der Addition heißt Summe. Um zu einer Zahl 3 eine zweite 4 zu addieren, darf man nur in der natürlichen Zahlenreihe von der ersten Zahl 3 ausgehend um so viele Einheiten, als die zweite Zahl 4 enthält, vorwärts schreiten: die Zahl 7, zu der man dadurch gelangt, ist die gesuchte Summe. Das Zeichen der Addition ist -U, welches mehr (plus) gelesen und zwischen die Summanden gesetzt wird. Zwischen die Summanden und die Summe schreibt man das Gleichheitszeichen — (gleich), welches anzeigt, dass die Zahlen oder Zahlenverbindungen, zwischen denen es steht, gleichen Wert haben. Z. B.: 3 -Z 4 — 7 wird gelesen: 3 mehr 4 ist gleich 7. Sind mehr als zwei Zahlen zu addieren, so wird zu der Summe zweier Zahleu die dritte, zu der neuen Summe die vierte Zahl u. s. w. addiert. Vorübungen (Kopfrechnen). 8- 8. 1. Zähle von 1 aufwärts bis 100, indem du immer 1 dazu setzest; nämlich 1-s-1 — 2, 2-l-l — 3, 3-s-l — 4, ... 2. Zn 1 zähle 2, zur Summe wieder 2, und zu jeder folgenden Summe 2 dazu. 3. Fange bei 2 an und zähle immer 2 dazu. 4. Zähle mit 3 aufwärts a) von 1 bis 100, l>) von 2 bis 101, 0) von 3 bis 102. 5. Auf gleiche Weise zähle u) mit 4 vorwärts von 1, 2, 3, 4 anfangend; 1>) „ 5 „ „ 1, 2, 3, 4, 5 „ 0) ,, 0 ,, ,, 1, 2,... 7>, 6 ,, b) „ 7 „ „ 1,2,... 6, 7 „ 0) „ 8 „ „ 1, 2,... 7, 8 „ Y „ 9 „ „ 1,2,... 8, 9 „ 6. Wie viel ist 7 -f- 4? Zähle noch 8 dazu. Wie viel ist also 7 -s- 4 -r 8? 7. a) 5 -s- 2 -s- 9 ? l>) 8 -s- 3 -s- 9 ? 0) 7 -s- 7 -s- 5 -- ? 84-94-4 — ? 64-84-7^? 94-84-6 ^? 8 8. a) Wenn man in der natürlichen Zahlenreihe einmal von 5 aus um 3 Einheiten, und dann von 3 aus um 5 Einheiten fort¬ schreitet, zu welcher Zahl gelangt man in jedem Falle? b) Wie viel ist 7 -s- 4? Wie viel ist 4 -j- 7? o) 2 5 -4 8 -^ ? 5 -4 2 -4 8 --? 8-4-24-5--? 2 -4 8 -4 5 --? 54-8-42--? 8 4-5 -j- 2--? Die Anzahl der in den Summanden enthaltenen Einheiten bleibt dieselbe, in welcher Reihenfolge sie auch vorkommen mögen; es muss daher auch die Summe dieselbe bleiben. Dieselben Summanden geben in jeder Ordnung die¬ selbe Summe. (Gesetz von der Vertauschbarkeit der Sum¬ manden.) 9. Auf wie viele Arten kann a) aus den Zahlen 3, 4 und 6, b) aus den Zahlen 2, 3, 4 und 6 eine Summe gebildet werden? 1V. a) 7 4- 5 4- 9 4- 5 ^ ? -c k) 3 -4 2 4- 9 -4 8 -4 4 -- ? 2 4- 7 4- 8 4- 9--?' 6 4-9 4-3 4- 7 -45--? 11. a) 4-474-94-6-45^-?^ 5) 9-424-94-8-45-43--? 6 -4 8-44-45-47 — ?7 5^. 6 4-8-47-44-43—? 12. Zähle die Zahlen von 1 bis 9 zusammen. 13. Wie groß ist die Summe aller Ziffern in der Zahl 351284? 14. Bestimme die Ziffersumme in jeder der folgenden Zahlen: 2648, 6905, 35973, 72210, 497502, 8044560. 15. Wie viel sind 5 Zehner und 3 Zehner? Wie viel ist 20 -4 10, 30 4- 40, 40 4- 50, 50 -4 60, 80 -4 20, 70 -4 90? 16. Wie viel sind 4 Hunderter und 5 Hunderter? Wie viel ist 300 -4 100, 700 -4 200, 400 -j- 300, 600 -4 400? 17. a) Wie viel ist 56 -4 3? 50 4- 6 -4 3 -- 50 -4 9 -- 59. Die Einer werden zn den Einern addiert, die Zehner bleiben ungeändert. b) Wie viel ist 56 und 30? 50 -4 6 -4 30 -- 50 -4 30 -4 6 80 4- 6 86. Die Zehner werden zu den Zehnern addiert, die Einer bleiben unverändert. 18. Wie viel ist 34 4- 10, 28 -4 20, 47 -4 30, 61 -4 20, 76 4- 30? 19. Wie viel ist 365 -4 20, 330 -4 200, 560 -4 300, 257 -4 400? 20. a) Wie viel ist 46 -4 7? Anstalt in der Zahlenreihe von 46 aus um 7 — 4-43 vorwärts zu zählen, kann man zuerst um 4 und dann um 3 vorwärts zählen; es ist also 46 -4 7 — 46 -4 4 -4 3 -- 50 -4 3 --- 53. 9 b) Zähle 46 und 52 zusammen. Wie viel ist 46 und 50? — und noch 2 dazu? 46 4- 52 46 4- 50 4- 2 96 -s- 2 — 98. Anstatt zu einer Zahl eine Summe zu addieren, kann mau zu ihr nach und nach die einzelnen Sum¬ manden addieren. Manchmal verfährt man auch umgekehrt: Anstatt zu einer Zahl nach und nach mehrere Zahlen zu addieren, addiert man zu ihr auf einmal die Summe dieser Zahlen. Z. B.: 245 4- 37 si- 63 245 4- 100 345. 21. Wie viel ist 67 4- 21, 52 -s- 41, 58 4- 42, 317 4- 69? 22. Welche Zahl ist um 36 größer als 51? 23. Ich denke mir eine Zahl; nehme ich von ihr 27 weg, so bleibt mir noch 65; welche Zahl habe ich mir gedacht? 24. Zähle folgende unter einander stehende Zahlen zusammen: a) 50 b) 12 o) 81 ä) 63 s) 51 17 57 19 39 19 43 83 64 23 48 25. a) 19 -s- 28 4- 37 4- 46 ^ ? k) 25 4- 34 si- 19 4- 80 -^ ? 26. Wie viel beträgt 317 -s- 268? 317 und 200 ist. . ., und 60 ist. ., und 8 ist... 27. Wie viel ist 436 4- 324, 321 4- 654, 818 4- 172? 28. Ordne folgende Summanden, so dass sich die Additionen vortheil- haft vereinfachen. a) 455 -s- 123 -si 208 4- 77 4- 45 4- 92. d) 63 -si 28 4- 116 4- 272 -si 37 4- 84. 29. Wie viel ist 4000 und 3000, 2800 4- 4000, 4108 4- 500? 30. Bestimme 5680 -si 4007, 2936 si- 4040. Addition ganzer Zahlen. 8- 9. Es seien folgende Summen zu bestimmeu: a) 2457 4- 4132; d) 693 4- 458 4- 357. a) 2457 — 2?4H527L 4132 — 411H322L Summe 615R829L^ 6589 d) 693 7 L 4- 8 L -si 3 L 18 L 1 2 8 L 458 124-524-524-92 — 20 2^2H02 357 2H4-38^4H4-6H^15H d. 1508 > 10 Man addiert also zuerst die Einer, dann die Zehner, Hun¬ derter.... Die jedesmalige Summe hat mit den addierten Einheiten gleichen Stellenwert; ist sie zweiziffrig, so bedeuten die Zehner derselben Einheiten des nächst höheren Ranges und werden daher zu den Ein¬ heiten dieses Ranges weiter gezählt. Werden die Summanden wegen der leichteren Übersicht unter ein¬ ander geschrieben, so müssen die Einheiten desselben Ranges unter ein¬ ander, also Einer unter Einer, Zehner unter Zehner u. s. w. zu stehen kommen. Um die Probe zu machen, d. i. um die Richtigkeit der Summe zu prüfen, kann man daö Gesetz über die Vertauschbarkeit der Summanden benützen, indem man, wenn z. B. die Summanden unter einander geschrieben und früher von unten hinauf addiert wurden, dieselben nun von oben herab addiert. Erhält man in beiden Fällen dieselbe Summe, so kann man diese als richtig ansehen, da wegen der veränderten Reihenfolge der Ziffern nicht leicht beidemal derselbe Fehler möglich ist. Aufgaben. 7,uud 4 ist 11, und 8 ist 19, bleibt 1; 1 und 5 ist 6, und 9 ist 15, und 3 ist 18. 57 Die hier fettgedruckten Ziffern werden beim Aussprechen sofort IHg angeschrieben. 2. Addiere die folgenden Zahlen, und zwar zuerst jene der vertikalen, dann jene der horizontalen Reihen; addiere ferner die bei den Verticalreihen, und daun die bei den Horizontalreihen erhaltenen Summen: ' 34 -j- 56 -Z 36 -j- 27 -j- 69 -j- 43 -s- 87 4- 24 57 -j- 21 -j- 90 -j- 67 4- 58 4- 63 -4 35 4- 48 19 4 56 -si 7 6 4- 34 4- 65 4- 50 4- 89 si- 27 42 4- 60 4 45 Z- 86 -j- 99 4- 17 4- 25 4- 60 68 4- 80 si- 26 -si 77 4 58 4- 69 si- 43 4- 54 3 926 Bei fortgeschrittener Übung werden während des Addierens unmittelbar nur die Summen ausgesprochen. Hier ist zu sprechen: 794 2, g, 17, t; 11 7. 8. 9. 10 die Probe durch Umkehrung der Z 11. Mache bei den Aufgaben in 10. Reihenfolge der Summanden. 5. Mache bei den Aufgaben in 4. die Probe, indem du die Sum- munden in umgekehrter Reihenfolge addierst. '6. / Addiere in dem nachstehenden Vierecke zuerst die Zahlen jeder ver- ticalen, dann die Zahlen jeder horizontalen und endlich die Zahlen einer jeden der beiden Diagonalreihen. Wie groß ist die sechste Zahl in der Zahlenreihe, die mit 2096 beginnt, und bei welcher jede folgende Zahl um 214 größer ist als die vorhergehende? Wie groß ist die Summe aller sechs Zahlen? " Von fünf Zahlen ist die erste 3087, die zweite um 690 größer als die erste, die dritte um 516 größer als die zweite, die vierte um 407 größer als die dritte, und die fünfte um 375 größer als die vierte; wie groß ist die Summe der fünf Zahlen? Addiere wie in Aufgabe 2. die folgenden Zahlen: 41782 Z- 29714 Z- 80518 4- 26396 Z- 63614 - 2. OLh 71396 -j- 29592 Z- 75801 Z- 34567 Z- 90123 - 3 o 1 1 95703 U- 88466 -s- 54953 4- 63780 -j- 77266 - 1 z °,' t 18278 Z- 91705 ch- 27265 -j- 539Z7 4- 84706. r. 7 L ö /k 89924 U- 93364 4- 62879 -j- 27048 -j- 60973 - § Addition der Decimalzahlen. 8- 10. Die Addition der Decimalzahlen wird so wie die Addition der ganzen Zahlen von der niedrigsten Stelle angefangen ausgefllhrt. Werden die Summanden unter einander geschrieben, so müssen die Ziffern mit gleichen Stellenwerten und daher auch die Decimalpuukte unter einander zu stehen kommen. Z. B.: 12 5-82 7-37 3-48 9-06 6, 14, 21, 23 k geben 3 b und 2 r; 2, 6, 9 17 L geben 7 2 und 1 L; Decimalpunkt; 10, 13, 20, 25 L. 25-73 Aufgaben. 1- Zu sprechen: 5; 3'08 4 12, 18, 1; 2'645 7, 14, i; Decimalpunkt; 7'485 3, 6, 7. 2. 3-62 4- 9-57 -s- 8'26 -s- 2'95 -s- 7'08 4- 5'39 — ? 3. 37-3 -si 30-3 4- 3'84 4- 7'29 -1- 3'90 4- 67'2 — ? ) 4. 24-5 -si 728 -s- 0'75 4- 37'6 -s- 8'35 ? 5. 3-142 4- 4-586 4- 5'92 4- 6'364 4- 7'703 --- ? 6. 38'3 4- 20'95 -si 60'14 4- 505 4- 60'39 4- 724'9 --- ? 7. 1'4-si 91'025-si 8'79-si 24'21-si 0'8 4- 1'848 -4 35'79^-? 8. 0-5 4- 0-25 4- 0'125 4- 0'0625 -j- 0'03125 — ? 9. Addiere drei Zahlen, von denen die erste 8'12, die zweite um 8'79 größer als die erste und die dritte um 10'35 größer als die zweite ist. 10. Von einer Zahl nahm man 37'865 weg und eS blieb noch 53'196 übrig: wie groß war jene Zahl? 11. Welche Zahl ist um 74'865 größer als 42'73 -si 91'68? 12. 315'247 4- 93'07 4- 100 4- 0'39747 4- 293 - 2973 4- 67'84--? 13. 165'8 -4 307-405 4- 508'7628 4- 769'28 4- 725 -4 70.464 4- 690'5237 ^? 14. 87-549 4- 297-315 4- 934'046 -4 971'5411 4- 84'3139 Z- 51'608 -4 35-8423 --- ? 15. 25480'7 -si 4138'5-si 82091'08 -si 7831'359 4-5092'4 si-1357 4- 631-997 1--? -4 47 Addition ein namig er Zahlen. »» /7- Beim Addieren benannter Zahlen müssen die gegebenen Zahlen gleichen Namen haben, welchen dann auch die Summe erhält. Aufgaben. (Schriftlich und theilweise auch mündlich zu lösen.) 1. Ein Gymnasium zählt in der I. Classe 50, in der II. 45, in der III. 43, in der IV. 37, in der V. 44, in der VI. 32, in der VII. 29, in der VIII. 30 Schüler; wie groß ist die ganze Schülerzahl dieses Gymnasiums? «° 4(4 ^,4 13 2. Wie viele Tage verfließen in einem gemeinen Jahre vom 1.^Jänner bis zum 15. Mai? ' .6 3. Wie viele Tage verfließen in einem Schaltjahre vom I. Jänner bis zum letzten Tage eines jeden Monats? 4. Jemand wurde im Jahre 1839 geboren und starb in einem Alter von 53 Jahren; in welchem Jahre ist er gestorben? 5. Die Kreuzzüge der Christen nach dem heiligen Lande begannen im Jahre 1096 und dauerten 195 Jahre; wann war ihr Ende? 's 1 6. Ein Hausherr bezieht an jährlichem Mietzins von fünf Parteien einzeln 396 L, 430 /e", 580 /v, 600 L', 635 /r ; wie viel bezieht er zusammen? 7. Ein Kaufmann bekommt fünf Fässer Kaffee, welche einzeln 220, 224, 222, 227 und 231 wiegen; wie groß ist das ganze Gewicht? 8. An einem Wochenmarkte wurden verkauft: 432 /r/ Weizen, 305 /»/ Roggen, 287 /r/ Gerste und 613 /r/ Hafer; wie viel /r/ Getreide sind dies zusammen? 9. Jemand hat drei Capitalien; das erste trägt jährlich 62'35 L, das zweite 27'68 Lj das dritte 85'395 L Zins; wie viel jähr¬ lichen Zins geben alle drei Capitalien? 10. Der Ort L liegt 7'825 m höher als L, L 12'15 m höher als 0, 6 9'023 m höher als v; um wie viel liegt L höher als O? 11. Wenn man annimmt, dass ein freifalleuder Körper in der ersten Secunde seines Falles 4'904 »r und in jeder folgenden Secunde immer 9'808 -n mehr als in der vorhergehenden zurücklegt; a) wel¬ ches sind dann die Fallräume für die zweite, dritte und vierte Se¬ cunde? d) welches ist der Fallraum für alle vier Secunden? 12. Vier Goldstangen wiegen einzeln 1'375, 1'248, 0'9315, 0'85 L^; wie groß ist das ganze Gewicht? 13. Jemand besitzt 31'284 /ra Ackergrund,0'95 /ra Gartenland, 11'256/ra Wiesen und 38'5 /ra Waldungen; wie groß ist sein Grundbesitz? 14. In einem Lande wurden in vier aufeinander folgenden Jahren 83560, 69012, 64805, 60500 /r/ Wein erzeugt; wie viel in allen vier Jahren zusammen? 13. Zu einem gemeinschaftlichen Geschäfte gab L 2956'6 L, L um 532'2 L mehr als L, und 0 um 464'2 L mehr als L. Der Gewinn aus diesem Geschäfte wurde so vertheilt, dass L 739'16 L, 13 um 133'05 L mehr als und 6 um 116'05 L mehr als L bekam. Wie viel haben alle zusammen eingelegt, und wie groß ist der ganze Gewinn gewesen? 14 16. Die Einnahmen einer Eisenbahn betrugen: im Jänner 755952 L, im Februar 678879 L, im März 891363 Ls im April 840504 L, im Mai 914154 L, im Juni 976083 L; wie viel zusammen? 17. Nach der Volkszählung vom I. 1890 hat Böhmen 5843250, Mähren 2276870, Schlesien 605649 Einwohner; wie groß ist die Gesammt- bevölkerung dieser drei Länder? 3. SMrshieren mit unbenanntLn und rinnnmigeu gnnzen und Dttimnlznhten. 8- 12. Der Addition ist die Subtraction entgegengesetzt. Subtra¬ hieren heißt, aus der Summe zweier Zahlen und einer derselben die andere suchen. Die gegebene Summe heißt Minuend, der gegebene Sum¬ mand Subtrahend, der gesuchte Summand Differenz, Unterschied oder Rest. Wenn man die Differenz nnd den Subtrahend addiert, so erhält man den Minuend. Das Zeichen der Snbtraction ist ein horizontaler Strich — und heißt weniger (minus); der Minuend wird vor, der Subtrahend nach dem Striche gesetzt. Z. B.: 8 — 3—5 wird gelesen: 8 weniger 3 ist gleich 5. Die Subtraction zweier Zahlen kann auf eine zweifache Art aus¬ geführt werden; entweder dadurch, dass man zu dem Subtrahend so viele Einheiten addiert, bis man den Minuend erhält; oder dadurch, dass man von dem Minuend so viele Einheiten wegzählt, als der Sub¬ trahend hat. Z. B. in der Aufgabe 13 — 5 sagt man entweder: 5 und 8 ist 13, oder: 5 von 13 bleibt 8. V o r n b u n g e n (Kopfrechnen). 8- 13. 1. Zähle von 100 rückwärts, indem dn wiederholt 1 wegnimmst; nämlich 100, 99, 98,... 2. Welche Zahlen erhält man, wenn man in der natürlichen Zahlen¬ reihe a) von 100, l>) von 99 immer um 2 Einheiten rückschreitet? 3. Vermindere a) 100 nm 3, und jeden neuen Rest wieder um 3; dann ebenso d) 99, o) 98. 4. Zähle von 100 angefnngen mit 4 abwärts; ferner ebenso von 99, 98, 97 angefangen. 15 5. Zähle rückwärts a) mit 5 von 100, 99, 98, 97, 96 angefangen; b) „ 6 „ 100, 99, .... 96, 95 e) „ 7 „ 100, 99,.... 95, 94 ck) „ 8 „ 100, 99,.... 94, 93 s) „ 9 „ 100, 99 93, 92 6. Zähle von 13 3 weg, ebenso 4, 5, 6, 7, 8, 9. 7. Um wie viel Einheiten mass man in der natürlichen Zahlenreihe, von 8 ausgehend, fortschreiten, um zur Zahl 15 zu gelangen? 8. Wie viel muss man zu 6, 7, 8, 9 zuzählen, um 14 zu erhalten? 9. Bestimme folgende Differenzen: a) 11 — 3, 25 — 8, 37 — 4, 43 — 7, 54 - 6, 60 — 5. b) 52 - 9, 93 — 4, 17 — 6, 65 — 8, 82 — 5, 29 — 7. 10. Zähle in der natürlichen Zahlenreihe von 15 aus einmal zuerst um 4 und dann um 5 rückwärts, das anderemal zuerst um 5 und dann um 4 rückwärts. Welche Zahl erhältst du in jedem Falle? 15 — 4 — — 5 — 4 — 6. Was folgt daraus? 11. Zähle in der natürlichen Zahlenreihe von 8 zuerst um 7 vorwärts und dann um 5 rückwärts; zähle ferner von 8 zuerst um 5 rück¬ wärts und dann um 7 vorwärts. Zu welcher Zahl gelangst du in jedem Falle? 84-7-5^8-54-7^ 10. Was folgt daraus? 15. Wie viel bleibt, wenn man 5 Hunderter von 12 Hunderten weg¬ nimmt? Wie viel ist 800 — 300, 900 — 200, 1500 - 700? 16. Zähle weg, 10 von 200, 60 von 300, 70 von 420. 17. a) Wie viel ist 68 — 5? 60 4- 8 — 5 — 60 -j- 3 63. Die Einer werden von den Einern subtrahiert, die Zehner bleiben ungeändert. 6) Wie viel ist 68 — 50? 60 -s- 8 — 50 60 — 50 -j- 8 — 10 4- 8 -- 18. Die Zehner werden von den Zehnern subtrahiert, die Einer bleiben ungeändert. 16 18. Wie viel bleibt übrig, wenn man 10 von 25, 20 von 35, 40 von 78, 60 von 96 wegzählt? 19. Wie viel ist 126 - 50, 153 — 80, 149 - 90, 118 — 30? 20. 98 —40 -st 80 — 50 st- 20 — 60. 21. a) Wie viel ist 63 — 8? Anstatt in der Zahlenreihe von 63 um 8 — 3 st- 5 zurückzuschreiten; kann man zuerst um 3 und dann noch um 5 zurückschreiten, es ist also 63 — 8 — 63 — 3 — 5 — 60 — 5 — 55. b) Von 67 nimm 24 weg. Von 67 zuerst 20 weg, bleibt 47; davon noch 4 weg, bleibt 43. 67 — 24 — 67 — 20 — 4 47 — 4 — 43. Anstatt von einer Zahl eine Summe zu subtrahieren, kann man von ihr den einen Summanden, vom Resultate den zweiten, vom neuen Resultate den dritten Summanden u. s. w. subtrahieren. Manchmal macht man auch von dem umgekehrten Satze vortheil- hafte Anwendung: Anstatt von einer Zahl eine zweite, vom Resultate eine dritte Zahl u. s. w. zu subtrahieren, subtrahiert man auf einmal die Summe derselben. Z. B. 397 — 38 — 62 397 — 100 — 297. 22. Wie viel bleibt, wenn man 16 von 78, 23 von 65, 38 von 80, 18 von 45, 36 von 71, 88 von 123 wegnimmt? 23. Der Unterschied zweier Zahlen ist 27, die größere Zahl 56; welches ist die kleinere? 24. Wie viel muss man zu 32, 45, 67 zuzählen, um 100 zu erhalten? Bestimme: 25. 85 — 24, 67 — 26, 94 — 34, 74 — 53, 83 — 51. 26. 62 — 34, 54 — 27, 86 — 18, 36 — 29, 64 — 37. 27. a) 34 st- 56 — 42; l>) 100 — 28 — 42. 28. Von 749 nehme man 185 weg. Von 749 zuerst 100 weg, bleibt...; davon 80 weg, bleibt...; davon noch 5 weg, bleibt... 29. Wie viel ist 466 — 149, 393 — 208, 586 — 250, 423 — 173, 832 — 565, 706 — 658? 30. a) Ein Vater ist 41, sein Sohn 12 Jahre alt; 1) um wie viel Jahre ist der Vater älter als der Sohn; 2) wie groß war der Altersunterschied beider vor 10 Jahren; 3) wie groß wird ihr Altersunterschied nach 10 Jahren sein? d) Wie viel ist 54 — 6, 64 — 16, 74 — 26? 17 Eine Differenz ändert sich nicht, wenn man zn ihrem Minuend und Subtrahend dieselbe Zahl addiert, oder von beiden dieselbe Zahl subtrahiert. Von diesem Satze kann manchmal mit Bortheil Gebrauch gemacht werden; z. B. 853 — 298 — 855 —- 300 — 555, 648 — 303 645 — 300 345. Subtraction ganzer Zahlen. 8- 14. Es sollen folgende Differenzen bestimmt werden: a) 5978 — 3242; 5) 845 — 216. Hier handelt es sich dnrnm, zu bestimmen, wie viel zn den Ein¬ heiten eines jeden Ranges im Subtrahend dazu gezahlt werden müsse, um die Einheiten desselben Ranges im Minuend zu erhalten. a) 5978 ^51987X88 3242 3 D 2 Ik 4X2 8 Differenz 3 X 6 8 2736; 15 ld) 845 8 8 4X 58 216 2 8 1X68 __2_ 629 6 8 2X 98 Um in dem Beispiele b) die Subtraction bei den Einern verrichten zu können, vermehrt man die Einer des Minneuds um 10 Einer, wobei dann auch der Sub¬ trahend, damit die Differenz ungeändert bleibe, um 1 Zehner vermehrt werden muss. Man hat: 6 8 und S L sind IS L; bei den Zehnern sind dann 2 2 von 4 2 zu subtrahieren, wodurch man 2 2 als Differenz erhält; endlich hat man: 2 8 und 6 8 sind 8 8. Beim Subtrahieren zählt inan daher, bei den Einern anfangend, nach der Reihe zu jeder Ziffer des Subtrahends so viel dazu, dass man die entsprechende Ziffer des Minuends erhält, und setzt die jedes¬ mal dazu gezählte Zahl in den Rest. Ist eine Ziffer des Subtrahends größer als die gleichstellige Ziffer des Minuends, so vermehre man diese letztere um 10 und subtrahiere; dagegen muss dann zugleich die Ziffer in der nächst höheren Stelle des Subtrahends um 1 vermehrt werden. Nm sich von der Richtigkeit der Subtraction zu überzeugen, darf man nur den Rest zu dem Subtrahend addieren, wodurch, wenn die Rechnung richtig ist, der Minuend herauskommen muss. Eine zweite Probe für die Richtigkeit des Restes besteht darin, dass man denselben vom Mi¬ nuend subtrahiert, wodurch der Subtrahend zum Vorschein kommen muss. Moenik, Arithmetik, I. Abth. 2 18 Das Subtrahieren kann auch als Probe für die Richtigkeit der Addition angewendet werden. Addiert man nämlich alle Summanden bis auf einen und subtrahiert die dadurch erhaltene Summe von der Summe aller Summanden, so muss, wenn die Addition richtig ist, der weggelassene Summand herauskommen. Aufgaben. 5. Mache bei den Aufgaben in 4. die Probe. 6. a) 347 -f- 906 — 468 ? lo) 981 — 483 -s- 297 — ? 7. Bon 1000 sollen die Zahlen 234, 423 und 342 subtrahiert werden; oder 1000 — (234 -P 423 4- 342). 8. Welche Zahl gibt zu 2109 addiert die Summe 8056? 9. a) 4066 b) 9521 o) 5187 ä) 3854 2135 670 2468 1577 10. a) 25368 — 14843^ ? P) 84691 — 80079 — ? 11. Mache bei den Aufgaben in 9. und 10. die Probe. 12. 24680 — 18772 97531 — 68024 — ? 13. Um wie viel ist die Summe 25936 4- 57108 größdr als die Summe 31527 4- 40874? 14. Um wie viel ist die Differenz 81352 — 62586 kleiner als die Differenz 72542 — 53079? 15. Addiere die Zahlen 325467, 527496, 907245, 48394, und subtra¬ hiere von der Summe nach und nach die ersten drei Summanden; wie groß ist der Rest? 16. Von 401894 sollen die Zahlen 139214, 91078, 35709, 102775 subtrahiert werden. 401894 Anstalt hier zuerst die zu subtrahierenden Zahlen zu addieren und sodanu ihre Summe von dem gegebenen Minuend zu subtrahieren, kann man mit der Addition der zu subtrahierenden Zahlen unmit¬ telbar auch die Subtraction von dem Minuend verbinden. Nachdem man nämlich die Einer aller Subtrahenden addiert hat, sucht man sogleich, wie viel man zu ihrer Summe 26 noch dazu zählen müsse, nm die nächste höhere Zahl, welche an der Einerstelle die ent¬ sprechende Zifser 4 des Minneuds hat, d. i. 34, zu erhalten; 26 und 8 139214 91078 35709 k02775 33118 19 ist 34: die dazu gezählten 8 Einer schreibt man sogleich während des Ans- sprechens in den Rest. Die 3 Zehner aus der erhaltenen Summe 34 addiert man zu den Zehnern des Snbtrahends und verfährt dann wie bei den Einern. Man spricht dabei: 5, 14, 22, 26, und 8 ist 34, 3; 10, 17, 18, und 1 ist 19 u. s. w. 17. 5248901 — (863147 4- 168854 4- 279039 4- 996489) — ? 18. 71357083 — (674260 4- 925476 -s- 1043325 4- 842079) ? 19. Verrichte noch einmal die Additionen in Z. 9, Aufgabe 10. und mache die Probe mittelst der Subtraktion durch Weglassung des ersten Summanden. Subtraction der Decimalzahlen. 8- 15. Decimalzahlen werden in gleicher Weise wie ganze Zahlen sub¬ trahiert. Schreibt man dabei den Subtrahend unter den Minuend, so muss dieses derart geschehen, dass die Decimalpnnkte genau unter ein¬ ander zu stehen kommen. Z. B. 8-09 3 t und 7 t sind 10 t, 1; 6 k und 3 u sind 9 k; - 4 2 und k 2 sind 10 2, 1: 6 L und 2 L sind 8 L. 2-637 Aufgaben. 1. 34-o6 Sprich: 2 und 4 ist 6; 9 und 6 ist IS, 1; 6'92 Decimalpunkt; 27 7 und 7 ist 14, 1; 1 und 2 ist 3. 2. Welche Zahl ist um 2'678 kleiner als 8-765? 3. Um wie viel ist 61'43 u) größer als 23'958, d) kleiner als 70? 4. Der Unterschied zweier Zahlen ist 5-593, die größere ist 12-75; welches ist die kleinere? 5. Subtrahiere und mache die Probe: n) 28-355 5) 85-7 e) 9'04 ä) 100 16-79 9-416 0-2607 16'667 6. Berechne: u) 38'593 — 15'838,^^ dH 67'859 — 48'369, o) 73-314— 8-2076)5 / /zoä) 5'3415 -0'88723. 7. Mache bei den Subtraktionen in 6. die Probe. 8. 35-1097 -4 27-4066 — 41'0365 — 10'3721- ? Ks Wie groß ist die Summe dreier Zahlen, von denen die^erste 128'794, die zweite um 53'165 kleiner als die erste, und die dritte um 9'98 kleiner als die zweite ist? 10. Subtrahiere von 152-4405 die Zahlen 9-1085, 20'3668, 17'4510. 11. 7901'305 — (206-0408 4- 123'456 Z- 789'012 4- 135'79 4- 802'406 4- 918'273)^? 2* 20 Subtraetion einnamiger Zahlen. A- 16. Bei der Subtraction benannter Zahlen müssen Minuend und Subtrahend gleichen Namen haben; diesen erhält dann auch die Differenz. Aufgaben. (Schriftlich und theilweise auch mündlich zu lösen.) 1. Von einem Stücke Leinwand, das 52 m enthält, werden 35 »r ab¬ geschnitten; wie viel Meter bleiben noch übrig? 2. Ein Sohn verlor seinen 75jährigen Vater, als er selbst 47 Jahre alt war; um wie viel war der Vater älter als der Sohn? 3. Eine Ware wurde um 350 Li gekauft und um 408 Li verkauft; wie viel ist dabei gewonnen worden? 4. Ein Kaufmann verkauft eine Ware für 824-64 und gewinnt dabei 76'08 L; wie theuer hat er die Ware eingekauft? 5. Jemand nimmt in einem Vierteljahr 900 X ein und gibt 813 L" aus; wie viel erspart er? 6. Von 750 LA Kaffee werden nach und nach verkauft: 128, 57, 105 wie viel Kaffee bleibt noch vorräthig? 7. Von einem Acker, welcher 442 L» misst, werden 2'0825 Lcr ver¬ kauft; wie viel bleibt noch übrig? 8. Amerika wurde im Jahre 1492 von Columbus entdeckt; wie lange ist es jetzt bekannt? 9. Kaiser Franz I. wurde 1768 geboren, trat im Alter von 24 Jahren die Regierung an und starb 1835; a) in welchen: Jahre kam er zur Regierung, io) in welchem Alter starb er? 10. Im Jahre 1890 zählte man seit der Erfindung der Dampfmaschinen 191 Jahre, seit der Erfindung der Buchdruckerkunst 450 Jahre und seit der Erfindung unseres Papieres 639 Jahre; in welchem Jahre geschah jede dieser Erfindungen? 11. Wie viel Tage haben die ersten sechs Monate eines gemeinen Jahres weniger als die letzten sechs? 12. Jemand schuldete 742'5 L und hat davon noch 318'75 Li zu zahlen; wie viel hat er schon gezahlt? 13. Ein Vater hinterlässt dem älteren seiner beiden Söhne 6840 Lj dein jüngeren um 1580 L weniger; wie viel bekommen beide Söhne zusammen? 14. Der Ort I. liegt 128 m höher als L, L 87 m höher als 0 und 6 68 m tiefer als O; um wie viel liegt L höher als v? 15. Die Länge eines Pendels, das in jeder Secunde eine Schwingung macht, beträgt am Pole 996'808 -mm, am Äquator 990'891 -um; wie groß ist der Unterschied beider Längen? 21 16. Die Stadt Graz hatte im Jahre 1820 36012 Einwohner und im Jahre 1890 112771; um wie viel hat die Bevölkerung in dieser Zwischenzeit zugenommen? 4. WultixlicierLn mit unbmamüm und e'mrmmigen ganzen und DccimalzMen. 8- 17- Die Wiederholung der Addition eines , und desselben Summanden führt zur Multiplication. Multiplicieren heißt, eine Zahl so vielmal als Summand setzen, als eine zweite Zahl Einheiten hat. Z. B. 5 mit 3 multiplicieren heißt, 5 3mal als Summand setzen, wodurch man 5 -j- 5 -^5 — 15 erhält. Die Zahl, welche mehrmal als Summand genommen wird, heißt der Multiplicand, und die Zahl, welche angibt, wie oft der Multiplicand als Summand gesetzt werden soll, der Multipli¬ kator. Das Resultat der Multiplicatiou heißt Product. Multiplicand und Multiplicator heißen auch die Factoren des Productes. Der Multiplikator ist immer nnbenannt; der Multiplicand kann auch benannt sein, dann ist auch das Product benannt, und zwar mit dem Multiplicand gleichnamig. Das Zeichen der Multiplication ist ein schiefes Kreuz X oder auch ein Punkt. Z. B. 5 X 3 — 15 oder 5.3 — 15 wird gelesen: 5 mul- tipliciert mit 3 ist gleich 15, oder auch: 3mal 5 ist 15; 5 ist hier der Multiplicand und 3 der Multiplikator. Unter dem Products von mehr als zwei Zahlen versteht man das Endproduct, welches erhalten wird, wenn man daö Product der ersten zwei Zahlen mit der dritten, das neue Product nut der vierten Zahl u. s. w. multipliciert. Vorü b u n g e n (Kopfrechnen). 8- 18. 1. Wie viel ist Imal 1, Imal 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 2. Wie viel ist 2mal 1, 2mal 2, 3,... 8, 9? 3. Wie viel ist das 3fache von 1, von 2, 3,...8, 9? 4. Wie viel ist 4mal 1, 4mal 2, 3, ...8, 9? 5. Wie viel ist 5mal 1, 5mal 2, 3, ...8, 9? 6. Welche Zahlenreihe erhält man, wenn man die Zahlen 1, 2, 3... 8, 9 folgeweise 6mnl als Summand setzt? 7. Wie viel ist 7mnl 1, 7mal 2, 3,...8, 9? 8. Wie viel ist 8mal 1, 8mal 2, 3, ...8, 9? 22 9. Welche Zahl ist 9mal so groß als 1, 2, 3,... 8, 9? Die Ergebnisse der voranstehenden Übungen 'bilden das sogenannte Einmal¬ eins der Zifferwerte, das dem Gedächtnisse fest einzuprägen ist. 10. Gib von je zwei neben, und ebenso von je zwei unter einander stehenden Nachbarzahlcn, ohne diese selbst auszusprechen, nmnittclbar das Product an: / 297135648 / 451927386 / 936246827 / 849576532 .1. a) Wie viel ist 5X3? Wie viel ist 3X5? Zerlegt man 5 in fünf Einheiten, macht diese in einer horizontalen Reihe anschaulich und bringt 3 solche Reihen untereinander an: 11111 11111 11111 so erhalt man offenbar gleichviel, ob man die Einheiten aller hori¬ zontalen, oder jene aller vcrticalen Reihen zusammenzählt. Zählt man die Einheiten der horizontalen Reihen, so erhält man 5 Ein¬ heiten 3mal, oder 5X3; zählt man die Einheiten der vertikalen Reihen, so erhält man 3 Einheiten 5mal, oder 3X5. Es ist daher 5X3 — 3X5— 15. Ein Product zweier Faktoren ändert sich nicht, wenn man die Faktoren untereinander vertauscht. (Gesetz von der Vertauschbarkeit der Faktoren.) Lässt man dieses Gesetz auch dann noch gelten, wenn ein Factor Null ist, so erhält mau: 3.0 0.3 0 -s- 0 4- 0 0. Ist ein Factor Null, so ist auch das Product Null. b) Sind mehr als zwei Zahlen zu multiplicieren, z. B. 3, 4 und 5, so kann man, ohne das Product zu ändern, je zwei aufeinander folgende Faktoren vertauschen und durch wiederholtes Vertauschen jeden Factor an jede beliebige Stelle bringen. 3.4.5 — 3.5.4 — 5.3.4 5.4.3 4.5.3 — 4.3.5 60. 12. Wie viel ist Imal 10, 2mal 10, 3mal 10,...^nal 10? 13. Wie viel ist Imal 100, 2mal 100,...9mal 100? 14. Wie viel sind 2mal 4 Zehner? Wie viel ist 2mal 50, 3mal 40, 5mal 60, 7mal 30, 9mal 80? 50.2 — 5.2.10 — 100. 15. Wie viel ist 3mal 2 Hunderter? Wie viel ist 2mal 400, 5mal 700, 4mal 500, 7mal 600, 8mal 900? 400.2 — 4.2.100 — 800. 23 16. Wie viel ist lOmal 1, lOmal 2, lOmal 3, 4, ...9? Was wird also aus Einern, wenn inan sie lOmal nimmt? 17. Wie viel ist lOmal 10, lOmal 20, lOmal 50, lOmal 80? Was wird aus den Zehnern, wenn mau sie lOmal nimmt? 18. Wie viel ist lOOmal l, lOOmal 2, lOOmal 3, 4,... 9? 19. Wie viel ist lOOmal 10, 20, 50, 90? 20. Wie viel ist 4mal 20? Wie viel ist 4mnl 6? Wie viel ist also 4mal 26? 26 X4 — 20 X4-s-6X4 — 80-s-24^ 104. Eine Summe wird mit einer Zahl multipliciert, indem man jeden Summanden mit derselben multi¬ pliciert und die erhaltenen Theilprodncte addiert. 21. Wie viel ist 2mal, 3mal...9mal a) 11, l>) 12, o) 15, 6) 16? 22. Wie viel ist 3mal 18, 4mnl 21, 5mal 34, 6mal 53, 2mal 127? 23. Nimm jede der Zahlen: a) 25, b) 84, o) 45, ä) 78, s) 51, 1) 94, §) 36 in) 2mal, n) 3mal, o) 7mal, p) 8mal, <^) 9mal. 24. Wie viel ist 15mal 30? Statt 30 15mal als Summand zu setzen, kann man, da 15 — 3 X 5 ist, zunächst je 3 von den gleichen Summanden in eine Summe zusammcnfassen; man erhält dadurch 5 gleiche Summen, welche noch zu addieren sind, was geschieht, wenn man eine dieser Summen mit 5 multipliciert. 30 X 15 90 Z- 90 -s- 90 -j- 90 si- 90 90 X 5 — 450, also 30 X 15 30 X 3 X 5 — 90 X 5 450. 7 Um eine Zahl mit einem Producte zweier Factoren ! zu multiplicieren, kann man sie mit dem einen Factor ! und das Ergebnis mit dem andern Factor multipli- j cieren. 25. ^Wie viel ist 20mal 8? 20 ist 2 X kO; anstatt daher mit 20 zu multiplicieren, multipliciert man zuerst mit 2 und das Ergebnis noch mit 10; 2mal 8 ist 16, lOmal 16 ist 160. 26. Wie viel ist 20mal 10, 30mal 30, 50mal 40? 27. Wie viel ist 20mal 12, 30mal 15, 60mal 13? 28. Wie viel ist 12:nal 35? 6 24 Es beträgt gleichviel, ob mau 12 Stücke einer Ware aus einmal, oder zuerst 10 Stücke und dann noch 2 Stücke ä 35 /r bezahlt. 35 X 12 35 X 10 4- 35 X 2 - 350 4- 70 - 420. Eine Zahl wird mit einer Summe multipliciert, indem man sie mit jedem Summanden multipliciert und die erhaltenen Theilproducte addiert. 29. Wie viel ist 13mal 20, 17mal 51, 24mal 33, 22mal 350? Multiplikation ganzer Zahlen. 8- 19- 3) Multiplikation mit einer einziffrigen Zahl. Es sei die Zahl 132 mit 3 zu multiplicieren. 132 Multiplikand 132 X 3 Multiplikator 132 396 Product. 132 Zmal 2 8 sind 6 8, ZOg 3mal 3 2 sind 9 2, 3mal 1 8 sind 3 8. Welchen Stellenwert hat das Product, wenn man Einer, Zehner, Hunderter... mit Einern multipliciert? Es soll ferner 456 mit 8 multipliciert werden. 456 X 8 8mal 6 8 sind 48 L, d. i. 8 8 und 4 2; 3,144- 8nuil b 2 sind 40 2, und 4 2 sind 44 2, d. i. 4 2 und 4 8; 8mal 4 II sind 32 II, und 4 8 sind 38 8. Man multipliciert also mit dem einziffrigen Multiplicator der Reihe nach die Einer, Zehner, Hunderter ... des Mnltiplicands und schreibt die erhaltenen Prodncte als Einheiten desselben Ranges an; ist ein Product zweiziffrig, so werden nur die Einer jenes Ranges an die be¬ treffende Stelle gesetzt, die Zehner dagegen als Einheiten des nächst höheren Ranges zu dem Prodncte bei der nächst höheren Ziffer dazu gezählt. b) Multiplikation mit einer höheren Rangzahl. Um eine Zahl mit 10, 100, 1000 zu multiplicieren, muss man jeder Ziffer derselben einen lOmal, lOOmal, lOOOmal so hohen Wert ertheilen. Dies geschieht, indem man der ganzen Zahl 1, 2, 3 Nullen anhängt. Z. B.: 318 X 10 " 70 9 X 100 850 X 1000 3180 70900 850000' Multipliciere jede der Rangzahlen 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 mit jeder der Rangzahlen 1, 10, 100, 1000, 10090, 100000. 25 Welche Rangzahl erhält man jedesmal als Product? Die Ergebnisse enthält die nachstehende Tabelle, welche einen Theil des sogenannten Einmaleins der Stellenwerte bildet. In dieser Tabelle, welche dem Gedächtnisse einzuprägen ist, kommt das Pro- dnct irgend einer Rangzahl der obersten Spalte mit irgend einer Rangzahl der links stehenden Spalte in dem Durchschnitte der zur ersten Rangzahl gehörigen Bertical- spalte mit der zur zweiten Rangzahl gehörigen Horizontalspalte vor. es Multiplikationen mit einer mchrziffrigcn Zahl. Wenn der Multiplikator z. B. 40 — 4 X 10 oder 400 — 4 X 100 ist, so multipliciert man den Multiplikand zuerst mit 4 uud dann noch mit 10 oder bezüglich mit 100, indem man dem ersteren Produkte eine oder zwei Nullen anhängt. Ist nun z. B. 649 mit 435 zu multiplicieren, so muss man den Multiplikand 400mal, 30mal und 5mal nehmen und die erhaltenen Theilproducte addieren. Mait erhält.also 649 X 435 oder 649 X 435 400mal 649...259600 2596 30mal 649... 19470 1947 5mal 649.. . 3245 3245 282315 282315. Die Nnllen rechts in den Theilproducten haben nur den Zweck, der ersten oon 0 oerschiedenen Ziffer, und daher dann auch den übrigen die richtige Stelle anzuweisen; sie können somit auch weggelassen werden, sobald über den Stellenwert dieser Ziffern kein Zweifel obwalten kann, was hier der Fall ist, da die niedrigste von 0 verschiedene Ziffer eines jeden Theilproductes Einheiten desselben Ranges bedeuten muss, wie die Ziffer des Multiplikators, mit welcher man multipliciert hat. Es ist an sich gleichgiltig, in welcher Ordnung man mit den ein¬ zelnen Ziffern des Multiplikators multipliciert, wenu nur die Theil- producte in der gehörigen Stellung unter einander geschrieben werden. 26 Im allgemeinen erscheint es am zweckmäßigsten, zuerst mit der höchsten Ziffer des Multiplicators und dann nach der Reihe mit den niedrigeren zu multiplicieren, wobei man jedes fol¬ gende Theilproduct um eine Stelle rechts herausrückt und dann die Theilproducte, wie sie stehen, addiert. Kommt im Multiplicator in dessen inneren Stellen eine Null vor, so wird diese beim Multiplicieren übergangen, dafür aber das nächst¬ folgende Theilproduct um zwei Stellen weiter rechts gesetzt. Zur Probe für die Richtigkeit der Multiplication darf man nur die Factoren vertauschen und dann die Multiplication noch einmal vor¬ nehmen; erhält man dabei wieder das nämliche Product, so darf das¬ selbe als richtig angesehen werden. li) Rechnungsvorthcile. 1. Lässt sich der Multiplicator in zwei Factoren zer¬ legen, mit denen man bequem multiplicieren kann, so multipliciert man den Multiplicand zuerst mit dem einen Factor und dann das Er¬ gebnis mit dem andern Factor. Z. B.: 51046 X 24 21596 X 350 - X 4 - X 7 204184 151172 -- X 6 - X so 1225104 7558600 2. Ist die erste oder die letzte Ziffer des Multipli¬ cators 1, so lässt man den Multiplicand ungeändert als das zu dieser Ziffer gehörige Theilproduct stehen, multipliciert ihn dann nur mit den übrigen Ziffern des Multiplicators und schreibt die dadurch erhaltenen Theilproducte gehörig darunter. Z. B.: 15308 X 13 40925 X 301 45924 122775 199004 12318425 3. Ist der Multiplicator 11, so schreibt man die.erste Ziffer rechts im Multiplicand unverändert an, addiert dann zur ersten Ziffer die zweite, zur zweiten die dritte u. s. w. Z. B.: 79264 X 11 kürzer 79264 X 11 79264 871904 871904 Aufgaben. 1. 3716 X 4- Sprich: 24, 2; 4, 6; 28, 2; 14864 12, 14. 27 2. Multipliciere mit 2, 3, 4... 8, 9 die folgenden Zahlen: 24, 714, 956, 512, 382, 4067, 8406, 87, 508, 484, 205, 475, 2596, 9057. 3. Multipliciere die Zahl 5 mit sich selbst, das Product wieder mit 5 u. s. f., bis du 5 Producte erhalst; a) welches ist das letzte Pro¬ duct, 6) wie groß ist die Summe aller Producte? 4. u) 13794 X 2 ^ ? d) 29078 X 6 ^ ? 5. Multipliciere 91071 mit 3, das Product mit 4, das neue Product mit 5. 6. Multipliciere 905347 6mal nacheinander mit 3, ebenso oft mit 4, 5, 6, 7, 8, 9. 7. a) 49758 X 10 -^ ? b) 69450 X 100 ^ ? 1982523 X 60 ^ ? 193146 X 5000 — ? 8. Multipliciere 5798 mit 10, 100, 1000, 30, 500, 8000. 9. Wie viel ist 5016237 X 9 Z- 83406 X 2000? 10. Bestimme noch vor Ausführung der Multiplication den Stellen¬ wert der höchsten Ziffer des Producteö: a) 563 X 37; 6) 9154 X 266; o) 13048 X 74; ä) 38701 X 453; s) 29207 X 4014; 1) 64075 X 12345. 11. Wähle bei der nebenstehenden Multiplication 5179 X 3648 irgend eine Ziffer des Theilproductcs aus und 15537 bestimme ihren Stellenwert aus den Stellen- 31074 werten der Ziffern, durch deren Multiplication 20716 sie entstanden ist. 41432 '18892992 Z. B.: Die Ziffer 7 des dritten Theilproductcs entstand durch Multiplication von 1 H mit 4 2; die Ziffer hat also den Stellenwert Ll X 2, d. i. ll?. jeder der Zahlen m) 6120, n) 33049, p) 32678, und mache die Probe durch Vertauschung der Factoren. 28 17. 41397 X 80902 X 4630 — ? 18. 5602 X 7981 X 3596 X 4085 — ? Bestimme mit Anwendung von Vortheilen: 25. Multipliciere jede der Zahlen 34129, 93256, 170938 4mal nach¬ einander mit 11. Multiplikation der Decimalzahlen. 8- 20. s) Multiplikation einer Dccimalzahl mit einer cinziffrigcn ganzen Zahl. Es sei z. B. 0'836 mit 7 zu multiplicieren. 0'836 X 7 7mal 6 t sind 42 t, oder 2 t und 4 5; - 7mal 3 U sind 21 v, und 4 I> sind 25 U, oder 5 Ir und 2 2; 7mal 8 2 sind 56 r, und 2 2 sind 58 2, oder 8 2 und 5 L. Welche» Stellenwert hat das Product, wenn man Zehntel, Hun¬ dertel, Tausendtel, ... mit Einern multipliciert? d) Multiplikation einer Dccimalzahl mit einer höheren Rangzahl. Um eine Decimalzahl mit 10, 100, 1000 zu multipli¬ cieren, muss man jeder Ziffer derselben einen lOmal, lOOmal, lOOOmal höheren Wert ertheilen. Dies geschieht, indem man den Decimalpunkt um 1, 2, 3 Stellen nach rechts rückt. Z. B.: 8'345 X 10 5'082 X 100 6'47 X 100 0'89 X 1000 83'45 508'2 647 890 Was für eine Rangzahl erhält man, wenn man jede der Rangzahlen 1, 0-1, 0-01, 0-001, 0 0001, 0'00001 folgcwcise mit den Rnngzahlen 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 multipliciert? 29 Die Ergebnisse enthält die nachstehende das Einmaleins der Stellenwerte erweiternde Tabelle: e) Multiplikation einer Decimalzahl mit einer mchrziffrigen ganzen Zahl. Um eine Decimalzahl z. B. mit 30 — 3 X 10 oder mit 300 — 3 X 100 zu multiplicieren, multipliciert man sie zuerst nut 3, und dann das Product noch bezüglich mit 10 oder 100, indem man den Decimalpunkt um 1 oder 2 Stellen nach rechts rückt. Es sei nun 5'903 mit 257 zu multiplicieren. 5'90 3 X 257 200mal 5'903... 1180'6 50mal 5'903... 2 95'15 7mal 5'903.. 41'321 15 17071. Die niedrigste Ziffer 1 des Produktes ist aus der Multiplication der uiedrigsteu Ziffer 3 des Multiplicands mit den Einern 7 des Multi¬ plikators entstanden; sie muss chahcr mit den letzteren gleichen Stellen¬ wert haben, d. h. im Producte müssen eben so viele Decimalstellen Vor¬ kommen wie im Multiplicand. ch Multiplication einer Decimalzahl mit einer niedrigeren Rangzahl. Die Multiplication mit 0'1, 0'01, 0'001 hat nach der in Z. 17 aufgestellten Erklärung des Multiplicierens keinen Sinn. Soll dieselbe eine Bedeutung haben, so muss der Begriff der Multiplication ent¬ sprechend erweitert werden. Multipliciert man eine Zahl z. B. 5 der Reihe nach mit den Rangzahlen 1000, 100, 10, 1, so ist jedes folgende Product der lOte Theil des vorhergehenden; nach dem dekadischen Gesetze wird dies auch stattfinden, wenn man 5 mit der nächstfolgenden Rangzaht 0'1 multi¬ pliciert. Nun ist 5X1 — 5, daher ist das Product 5 X 0'1 der lOte Theil von 5. 32 Berechne mit Anwendung von Vortheilen: 15. Multipliciere 87 35 mit 0'1, 0'01, 0'001. 16. Wie groß ist das Product vou 5 Factoren, deren jeder 0'8 ist? 17. Bilde ein Product von 6 gleichen Factoren, deren jeder a) 0'2, 6) 0'5, o) 0'9 ist. 18. a) 39'56 X 1'2 ? 60'58 X 3'7 — ? 6) 4-2789 X 7-5 — ? 0'4065 X 0'92 — ? Bestimme in den Aufgaben 19. und 20. vor Ausführung der den Stellenwert der höchsten und der niedrigsten Ziffer Multiplikation des Productes. 19. a) 628'49 X 0'327. v) 3074'18 X 0-0656. 20. a) 72'462 X 13'907. o) 81'427 X 643'27. 21. Bilde folgende Producte Entstehungen) eise: a) 34'141 X 9'864. o) 0 81302 X 0'129. b) 1'8516 X 51'8. ä) 727-391 X 0'875. d) 380'57 X 28'38. ä) 8313'52 X 0'00665. und bestimme für irgend eine selbst¬ gewählte Ziffer in den Theilproducten den Stellenwert aus ihrer l>) 5 7719 X 0'507. ä) 0-07264 X 0-3642. 22. Multipliciere je zwei neben und je zwei unter einander stehende Zahlen und mache die Probe durch Vertauschung der Factoren: 15'328 6-2104 8'4025 3'1416 14'8875 5'789 0-0175 0'0957 128572 0'53644. 23. Wie groß sind die Producte, welche man erhält, wenn man jede der Zahlen a) 3709'2, b) 566'25, o) 10'8273 mit sich selbst multipliciert? 24. Wie groß ist das Product von drei Factoren, deren jeder gleich a) 0-108, lo) 29 05, o) 31'554 ist? Multiplication einnamiger Zahlen. 8- 21. Aufgaben. 1. Wie viel ic sind 3 fl., 8 sl., 23 fl., 72 sl., 158 fl., 500 sl.? 2. Wie viel /r sind 2 kr., 9 kr., 27 kr., 40 kr., 48 kr.? 33 3. 1 ZK Wein kostet 48 L, wie viel kosten 9 ZK? 1 /K Wein kostet 48 L, 9 sind 9mal 1 /K. es kosten also 9 /rk 9ma! 48 432 L 4. Wie viel kosten 8 « Landes, wovon das n mit a) 17 st., d) niit 23 st., o) 30 st., ä) 36'75 st. bezahlt wird? 5. 1 Km Tuch kostet 0'34 /LZ; wie viel kostet 1 m? 6. I Z Wein kostet 0'88 Kist wie viel kostet 1 ZK? 7. 1 ZrA Zucker kostet 0'76 Lst wie viel kostet 1 g? 8. 1 m kostet 7'28 Kr; wie viel kosten u) 36 M, k) 72'25 »-? 9. Aus 1 ZeA Münzsilber werden 200 Ein-Kieonenstücke geprägt; wie viel solche Stücke aus 236 Z^/ Münzsilber? 40. Welchen Wert in Kronen haben 2408 Franken L 0'952 L? 41. Wenn 1 ZK Wein im Einkäufe 23 st. gekostet hat und 32 ZK sür 832 st. verkauft wurden, wie viel hat man beim Verkaufe gewonnen? 12. I. gibt dem L 118 ZK Gerste ü 10 Kr und bekommt dafür von L 14 ZK Wein ü 42 wie viel an Geld hat er noch von L zu fordern? 13. Jemand kaufte 17 Zur Ackerland L 955 st., 4 Z/a Wiesen L 583 st. und 22 Zr« Waldungen ä 295 st.; wie viel hatte er dafür im ganzen zu bezahlen? 14. Weit» 1 /m Ackerland durchschnittlich 13 ZK Getreide liefert, wie groß ist das Erträgnis von a) 9 Zra? b) 15 Zra? o) 29'75 Zur? 15. Ein Capital gibt in einem Jahre 173'41 L- Zins; wie viel in 2'5 Jahren? 10. Wie viel kosten 43'25 ZK, wenn 1 ZK 4'83 st. kostet? 17. Wie viel kosten 58'75 m eines Stosses s, 5'64 /r? 18. Eine Locomotive legt in 1 Stunde 25'76 Lm zurück; wie viel in 3'75 Stunden? 19. Ein Faß mit Kaffee wiegt 218'15 Ze^, das leere Faß wiegt 37'5 ZeA; wie viel kostet der Kaffee, wenn 1 Netto mit 1'52 st. bezahlt wird? 20. Der Schall legt in jeder Secunde 332'25 m zurück; wie viel das Licht, welches sich 902934'5mal so schnell verbreitet als der Schall? 21. ' Steiermark hat einen Flächeninhalt von 22354'75 Zrmst wie groß ist die Bevölkerung dieses Landes, wenn man auf 1 durch¬ schnittlich 57 Einwohner rechnet? Moönik, Arithmetik, I. Abth. 3 34 5. Dlbldieren mit mckmanntm und emn-rmigen ganzen und Decimnlzuhttn. 8- 22. Dem Mnltiplicieren ist das Dividieren entgegengesetzt. Divi¬ dieren heißt, aus dem Products zweier Factoren und einem derselben den andern suchen. Z. B. 20 ist das Product aus den beiden Factoren 5 und 4; aus dem Products 20 und dem einen Factor 5 den andern Factor suchen, heißt 20 durch 5 dividieren. Das gegebene Product heißt der Dividend, der bekannte Factor der Divisor, und der unbekannte Factor, welcher durch die Division gefunden wird, der Quo¬ tient. Wenn man den Quotienten und den Divisor mit einander mul- tipliciert, so muss der Dividend herauskommen. Das Zeichen der Division ist ein Doppelpunkt: , welcher anzeigt, dass die Zahl vor dem Doppelpunkte durch die Zahl nach demselben zu dividieren ist; oder ein Strich, über welchem der Dividend und unter welchem der Divisor steht. Z. B. 20 : 4 — 5 oder ? 5 wird gelesen: 20 dividiert durch 4 ist gleich 5, oder 4 ist in 20 fünfmal enthalten. Jede Multiplication zweier Zahlen, z. B. 5 X 4 — 20, bietet in ihrer Umkehrung zwei dem Begriffe nach verschiedene Aufgaben der Division, je nachdem außer dem jedesmal gegebenen Producte 20, dem Dividend, entweder der Multiplicand 5 oder der Multiplikator 4 als Divisor gegeben ist. Ist als Divisor der Multiplicand 5 gegeben, so ist diejenige Zahl zu suchen, welche anzeigt, wie oft 5 als Summand gesetzt werden müsse, um den Dividend 20 als Summe zu erhalten. Diese Zahl 4 erhält man, indem man untersucht, wie oft sich der Divisor 5 von dem Di¬ vidend 20 subtrahieren lässt oder wie ost der Divisor 5 in dem Dividend 20 enthalten ist. Die Division ist eine Untersuchung des Ent¬ haltenseins, ein Messen. Ist dagegen der Multiplikator 4 als Divisor gegeben, so hat man diejenige Zahl zu suchen, welche 4mal als Summand gesetzt den Dividend 20 zur Summe gibt; diese Zahl 5 findet man, indem man den Dividend in 4 gleiche Theile theilt. Die Division ist hier ein Theilen. Noch deutlicher tritt der Unterschied zwischen den beiden Divisions- artcn an benannten Zahlen hervor: n) Sind Dividend und Divisor gleich benannt, so heißt die Division eine Messung. Der Quotient ist dann eine unbenannte Zahl und 35 gibt uns das Verhältnis der ersten Zahl zur zweiten an. Z. B. 20 »r : 4 m — 5. 5) Ist dagegen der Dividend benannt, der Divisor unbenannt, so ist die Division eine Theilung; der Quotient gibt dann einen bestimmten Theil des Dividendes an und ist mit diesem gleich benannt. Z. B. 100 : 5 20 L So sehr aber die beiden Divisionsartcn des Messens und des Theilens dem Begriffe nach verschieden sind, so geben doch beide für denselben Dividend und denselben Divisor, wenn man von den Benen¬ nungen absieht, dieselbe Zahl als Quotienten und fallen daher in der Ausführung in eine einzige Rechnungsart zusammen. Die Ausführung der Division Hst in der natürlichen Zahlenreihe nicht immer möglich. Man kann z. B. keine ganze Zahl finden, welche der 3te Theil von 20 wäre; 6 ist zu klein und 7 zu groß. Man muss da den Quotienten so groß nehmen, als es angeht, also die größte Zahl bestimmen, welche mit dem Divisor multipliciert ein Product gibt, das nicht größer ist als der Dividend. Bestimmt man den Quotienten in dieser Weise, so besteht zwischen dem Dividende und dem Producte aus dem Quotienten und Divisor noch ein Unterschied, welcher Rest der Division genannt wird. In diesem Falle muss man also zu dem Pro¬ ducte aus dem Quotienten und dem Divisor noch den Rest addieren, um den Dividend zu erhalten. So ist 20 : 3 — 6 mit dem Reste 2, und daher 6 X 3 -s- 2 — 20. Vorübungen (Kopfrechnens. 8- 23. Wie oft ist enthalten 1. 1 in 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 2. 2 „ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18? 3. Wie oft ist 2 in 7 enthalten? Wie viel bleibt noch übrig? 4. Wie oft ist 2 in 3, 19, 13, 15, 9, 17 enthalten, und welcher Rest bleibt jedesmal übrig? Wie oft ist enthalten 5. 3 in 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27; in 7, 20, 14, 26? 6. 4 „ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36; „ 6, 15, 2l, 34? 7. 5 „ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45; „ 9, 22, 33, 49? 8. 6 „ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54; „ 8, 13, 34, 53? 9. 7 „ 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63; „ 10, 25, 36, 60? 10. 8 „ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72; „ 18, 30, 45, 69? 11. 9 „ 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81; „ 12, 38, 64, 78? 3» 36 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22 Wie viel ist die Hälfte von der dritte Theil „ „ vierte Theil von „ fünfte „ „ „ sechste „ „ „ siebente „ „ „ achte „ „ „ neunte „ „ Wie oft ist 10 in 30 8, 9, 16, 15, 3, 11, 7, 18, 13, 15? 6, 24, 18, 13, 26, 8, 19, 25, 15, 22? 20, 7, 14, 35, 32, 17, 10, 37, 23, 30? 15, 26, 9, 36, 40, 12, 23, 45, 34, 18? 24, 13, 32, 8, 55, 46, 49, 36, 23, 50? 49, 64, 10, 37, 60, 42, 18, 29, 40, 13? 16, 43, 26, 68, 61, 50, 40, 39, 12, 77? 63, 10, 46, 36, 74, 26, 58, 19, 85, 70? enthalten? wie oft 10 in 50, 20, 80, 60, 40? Was wird aus den Zehnern, wenn man sie durch 10 dividiert? Wie viel ist der lOte Theil von 100, von 500, 700, 900? Was wird aus den Hundertern, wenn man sie durch 100 dividiert? Wie oft sind 2 Zehner in 6 Zehnern, wie oft 20 in 100, 30 in 180, 50 in 200, 60 in 360, 80 in 320, 90 in 270 enthalten? 23. Wie viel ist 80 : 20, 120 : 30, 233 : 50, 137 : 40, 311 : 60? 24. Wie viel ist der lOOste Theil von 1000, 4000, 7000, 8000? Was wird aus den Tausendern, wenn man sie durch 100 theilt? 25. Wie oft sind 3 Hunderter in 15 Hundertern enthalten. Wie oft ist 400 in 1200, 500 in 2000, 600 in 4200 enthalten? 26. Der wievielte Theil von 800 ist 100, 200, 400? 27. Wie viel ist die Hälfte von 20? die Hälfte von 8? Wie groß ist daher die Hälfte von 28? 28 : 2 --- 20 : 2 4- 8 : 2 10 4- 4 14. Eine Summe wird durch eine Zahl dividiert, indem man jeden Summanden durch dieselbe dividiert und die erhaltenen Theilguotienten addiert. 28. Wie oft ist 4 in 56 enthalten? 56 ist 40 4- 16; 4 ist in 40 lOmal, 4 in 16 4mal, 4 in 56 also 14mal enthalten. 29. Theile durch 2, 3, 4 ... 8, 9 jede der folgenden Zahlen: a) 82, 59, 15, 24, 46, 64, 30, 72, 51, 28, 7, 36; d) 20, 65, 9, 52, 12, 40, 49, 68, 34, 83, 55, 25. 30. Wie oft ist 2 in 106, 3 in 216, 9 in 648, 4 in 114, 9 in 528, 7 in 580, 5 in 372, H in 213 enthalten? 31. Wie viel ist 5mal der-6te Theil von 138; 7mnl der 8tc Theil von 280; 8mal der Re Theil von 345? 32. a) Theile 60 in 4 gleiche Theile, und dann jeden solchen Theil noch in 3 gleiche Theile. Wie viele gleiche Theile erhältst du, und wie groß ist jeder? Wie kann man also eine Zahl in 12 gleiche Theile theilen? 60 : 12 — (60 : 4) : 3 — 15 : Z — 5. 37 d) Wie viel ist der 6te Theil vvn dem 4ten Theile von 120? Wie viel ist der 24ste Theil von 120? Anstatt eine Zahl dnrch ein Product zweier Factoren zn dividieren, kann man sic zuerst durch den einen und dann das Ergebnis durch den andern Factor dividieren. 33. Wie viel ist der löte Theil von l3ö, der 16te Theil von 3Ö2, der 32stc Theil von 448, der 4öste Theil von 94ö? 34. Eine Summe von 80 /r wird unter 10 Personen zu gleichen Theileu vertheilt; wie viel erhält jede? Wie viel erhalt eine Person, wenn die doppelte, dreifache Summe unter 2mal, 3mal so viel Personen vertheilt wird? Wie viel erhält jede Person, wenn der öte Theil der Summe unter den öten Theil der Personen vertheilt wird? Der Quotient ändert sich nicht, wenn man den Divi¬ dend und den Divisor mit derselben Zahl mnltplicicrt, oder beide dnrch dieselbe Zahl dividiert. Division ganzer Zahlen. 8-,24. n) Division durch eine einziffrige Zahl. Dividend 936 : 3 Divisor s n : 3 --- 3 n, 312 Quotient z Welchen Stellenwert erhält der Quotient, wenn man Einer, Zehner, Hunderter,... durch Einer dividiert? 2 738 : 6 Da 2 'N durch 6 dividiert keine geben, so nimmt 4Ö6, Rest 2 mau sogleich 27 bl als ersten Theildividend an. 27 II : 6 geben 4 8, bleiben noch 3 8; 3 8 und 3 L sind 33 2, 33 2 : 6 geben 5 2, bleiben 3 2; 3 2 und 8 8 sind 38 8, 3 ^ 8 : 6 geben 6 8, bleiben 2 8 als Rest. Man beginnt also die Division bei der höchsten Stelle und setzt sie dann bis zu den Einern herab fort. Bleibt von einem Theildividende ein Rest übrig, so wird er in Einheiten des niedrigeren Ranges verwandelt und mit der an dieser Stelle befindlichen Ziffer des Dividends vereinigt. b) Division durch eine höhere Rangzahl. Um eine Zahl durch 10, 100, 1000 zu dividieren, muss man von dem Werte jeder Ziffer den lOkcn, Theil nehmen. Dies geschieht, indem man von der ganzen Zahl rechts 1, 2, 3 Ziffern nbschneidet; die links bleibenden Ziffern bilden den Quotienten, die rechts abgeschnittenen sind der Rest der Division. Z. B.: 283,0 : 10 373,00 : 100 17,549 : 1000 '283 373 17, Rest 549. 38 o) Division durch eine mchrziffrigc Zahl. Wie oft ist 92 in 31924 enthalten? 31924 : 92 — 347 92 ist in 319s (versuchsweise 9 in 31) 3mal, in 319 8 also 300mal enthalten; die erste Ziffer 3 des Quotienten bedeutet also 8. Multipliciert man dann 92 8 mit 3 8 und subtrahiert das Product 276 8 von 319 8, so bleiben 43 8, und 2 2 des Dividends dazu, sind 432 2. 92 ist in 432 (9 in 43) 4mal, in 432 2 also 40mal enthalten; in den Quotienten setzt man daher 4 2. Subtrahiert man das Product 92 8 X 4 2 — 368 2 vcn 432 2, so bleiben 64 2, und 4 8 dazu, sind 644 8 . 92 ist in 644 >9 in 64) 7mal enthalten; die dritte Ziffer des Quo¬ tienten ist somit 7. 7mal 92 ist 644; es bleibt also kein Rest übrig. Die erste Ziffer des Quotienten hat einen gleichen Stellenwert mit der niedrigsten Ziffer des ersten Theildividends. Die Theilproducte ans dem Divisor und der jedesmaligen Ziffer des Quotienten subtrahiert man gewöhnlich sogleich während des Multiplicierens von den entsprechenden Theildividendcn und schreibt obige Division würde^'ich dabei so stellen: Man spricht: 92 in 319 (9 in 31) snial; 3mal^L ist 6 und 3 ist 9; 3mal 9 ist 27 und 4 ist 31. Zum Rcste 43 2 herab; 92 in 432 <9 in 43) 4ma1; 4mal 2 ist 8 und 4 ist 12, bleibt 1; 4mal 36 und 1 ist 37 und 6 ist 43; u. s. W. die Richtigkeit der Division besteht darin, dass man den Divisor mit dem erhaltenen Quotienten multipliciert und zu dem Producte den etwa übrig gebliebenen Rest dazu zählt; ist richtig dividiert worden, so kommt dadurch der Dividend zum Borschein. Die Division dient auch als Probe für die Multiplicatiou. Wenn man nämlich das Product durch den einen Factor dividiert, so muss der andere Factor herauSkommen. 276^ 432 368 644 644 nur die Reste an. Die 31924 : 92 432 347 644 0 Die Probe für li) Rcchnungsvorthcile. 1. Lässt sich der Divisor in zwei Factoren zerlegen, durch die man bequem dividieren kann, so dividiert man den Dividend zuerst durch den einen und dann das Ergebnis durch den andern Factor. Z. B. 146055:35 171192:56 '- : 5 - 7 29211 24456 '- : 7 -- : g 4173 3057 39 2. Eine Zahl wird durch 25 dividiert, indem man das 4fache der Zahl durch 100 dividiert. Eine Zahl wird durch 125 dividiert, indem man das 8fache der Zahl durch 1000 dividiert. Denn der Quotient wird nicht geändert, wenn man Dividend und Divisor mit 4 oder mit 8 multipliciert. 6149 50 : 25 392 875 : 125 - X 4 - X 8 24598,00 3143,000 3. Mit 25 wird eine Zahl multipliciert, indem man ihr lOOsaches durch 4 dividiert. Mit 125 wird eine Zahl multipliciert, indem man ihr lOOOfaches durch 8 dividiert. Z. B. 31587oo X 25 426O9ooo X 125 -: 4 - : 8 789675 5326125 Aufgaben. 4 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. io) 289462 : 1000. Sprich: 83 in 610 7uial; 21 und 8 ist 30, 3; 56, 59 und 2 ist 61. 83 in 292 3ma!; 9 und 3 ist 12, 1; 24, 25 und 4 ist 29; n. s. f. 21564 : 6 Sprich: 6 in 21 3mal; in 35 Sinai; Z594 in 56 9mal; in 24 4>nal. u) 128 : 4 — ? 357 : 7 — ? e) 472 : 8 — ? Dividiere durch 2s 3, 4, ... 8, 9 jede der folgenden Zahlen: a) 288, 318, 702, 193, 560, 906, 444, 832; E456, 465, 446, 464, 645, 654, 789, 987; o) 1240, 3418, 2195, 5436, 2348, 4786. Die halbe Summe zweier Zahlen nennt man das arithmetische Mittel derselben. Wie groß ist das arithmetische Mittel zwischen 1205 und 4317, 1418 und 8324, 2704 und 4136? u) 398024 : 8 — ? 6) 906144 : 3 ^ ? Wie oft ist 7 in 132076 enthalten? Wie groß ist der 4te Theil von 290356? Wenn 621360 das Product zweier Zahlen und 8 der eine Factor ist, wie groß ist der andere Factor? Welche Zahl muss man mit 3 multiplicieren, um 123456 zu erhalten? Welche Zahl lässt sich von 835245 9mal wegnehmen? Dividiere 8849408 durch 4, diesen und jeden folgenden Quotienten wieder durch 4; wie groß ist der 5te Quotient? u) 135000 : 100. 61025 : 83 292 735 435 20 Rest 40 Division der Decimalzahlen. 8- 25. s) Division einer Decimalzahl durch eine höhere Rangzahl. Um eine Decimalzahl durch 10, 100, 1000 zu divi¬ dieren, d. i. nm von dem Werte jeder Ziffer den lOten, lOOsten, lOOOsten Thcil zu erhalten, darf man nur den Decimalpunkt um 1, 2, 3 Stellen nach links rücken. Z. B. 61-48 : 10 34-56 : 100 2 354'2 : 1000. 6'148 0-3456 2'3542 b) Division einer Decimalzahl durch irgend eine ganze Zahl. 2'568 : 6 25 L : 6 4 r, bleibt 1 r; , ,16 I, : 6 — 2 b, bleiben 4U; 0 4z : 6 — 8 Dividiert man Zehntel, Hundertel, Tausendtel, ... durch Einer, so erhalt man wieder Einheiten desselben Ranges. 847'85 : 31 - 27'35 84 2 : 3t geben 2 2, 227 227 L : 31 geben 7 L, 108 108 r : 31 geben 3 r, 155 155 b ; 31 geben 5 b. 41 Man dividiert also die Decimalzahl wie eine ganze Zahl und setzt ini Quotienten den Decimalpunkt, bevor inan die Zehntel des Dividcnds in Rechnung zieht. Die erste Ziffer des Quotienten hat auch hier gleichen Stellenwert mit der niedrigsten Ziffer des ersten Theildividends. Bleibt bei der Division ein Rest übrig, so kann man, da der Wert eines Decimalbruches durch Hinzufügen von Nullen nicht geändert wird, diesem sowie jedem folgenden Reste eine Null anhängen und die Division sortsetzen. Z. B. 303 - 800 : 56 19 - 934 : 317 238 5'425 914 0'06288.. 1 40 2800 280 2640 0 104 Dieses Verfahren kann auch augewendet werden, wenn bei der Division ganzer Zahlen am Ende ein Rest übrig bleibt, da sich jede ganze Zahl als ein Decimalbruch darstcllen lässt, wenn man ihr rechts den Decimalpunkt nnd dann beliebig viele Nullen beifügt. Es wird dabei im Quotienten der Decimalpunkt angebracht, wenn man in dem Reste die erste Decimalnull anhängt. Z. B.: 5802 - „o : 75 836 : 234 552 77-36 1340 3'572.. 270 1700 450 620 0 152 0) Division durch eine niedrigere Rangzahl. Da nach Z. 20, ä) 10.0'1 — 1,100.0'01 1, 1000.0'001 — 1, 52-3.0-1 — 5-23, 0-56.0 01 — 0 0056, 25'4.0'001 — 0 0254 ist, muß umgekehrt 1 : 0-1 10 --- 1.10, 1 : 0'01 — 100 1.100, 5-23 : 01 ^52 3 ^5'23.10, 0'0056 : 0'01 ^0'56^ 0-0056.100 u. s. w. sein. Daraus folgt: Statt eine Zahl durch eine niedrigere Rang zahl zu dividieren, kann man sie mit der entsprechen den höheren Rangzahl multiplicieren. ll) Division durch eine Decimalzahl. Da die aufeinander folgenden Ziffern des Quotienten erhalten werden, indem man die Division ohne Rücksicht auf die Decimalpunkte wie bei ganzen Zahlen aussührt, so handelt es sich hier nur noch um die Bestimmung des Stellenwertes dieser Ziffern, zu welchem Zwecke es genügt, den Stellenwert der ersten von Null verschiedenen 42 (geltenden) Ziffer des Quotienten zu finden. Dieser aber kann aus dein Einmaleins der Stellenwerte durch Umkehrung ermittelt werden. Man untersucht nämlich, mit welcher Rangzahl man die Rangzahl der höchsten, geltenden Ziffer des Divisors multiplicieren muss, um die Rangzahl der höchsten Ziffer oder der aus den zwei höchsten Ziffern ge¬ bildeten Zahl des Dividendes zu erhalten, je nachdem die erste geltende Ziffer des Divisors in der höchsten Ziffer oder in der aus den beiden höchsten, geltenden Ziffern gebildeten Zahl des Dividendes enthalten ist. Die so ermittelte Rangzahl gibt den Stellenwert der ersten geltenden Qnotientenziffer an. Z. B. a) 9558'066 : 62 3. Da 6 in 9 enthalten ist und 8 X 2 — T geben, so hat die erste Quotientenziffer den Stellenwert der Hunderter. 9558-066 : 62'3 153 42 3328 2130 2616 1246 k>) 1749-3608 : 0'538 Da 5 in 1 nicht enthalten ist, so untersucht man, womit die Rangzahl von 5, d. i. 2, zu multiplicieren ist, um die Rangzahl der aus den zwei höchsten, geltenden Ziffern gebildeten Zahl 17 des Dividendes, d. i. kl, zu ergeben. Da nun 2 mit D als Product 8 ergeben, so hat die erste Qnotientenziffer den Stellenwert der Tausender, also 1749-3608 : 0'538 ^-3 (oder 17 8 : 5 2 3 T). c-) 0-810432 : 0'3456 2.... *ä) 67-4608 : 0-0022 — 3. ... (8 2 : 3 2 -- 2 L). (6 2 : 2 t — 3 2t). *o) 0-007632:56-4 — 0-0001.. (7 t: 5 2 — 1 2t). Aufgaben. 1. Dividiere durch 2, 3, 4,... 8, 9 jede der folgenden Zahlen: a) 50-4, 24-8, 7'63, 0'918, 32'2, 4 32; " k>) 37-85, 8-796, 0'9488, 3'262, 6'425, 75'84. 2. Dividiere die Zahl 135'79 durch 10, 100, 1000, 10000, 100000. Mache bei den nachfolgenden Divisionen auch die Probe. "3-<1)139-5 : 31 — ? k>) 130 83 : 21 — ? l36'62:23 —? 5'93524:18 — ? 43 4. *u) 14-7 : 0'1 ^? 0-0459 : 0 01 — ? e) 379'42:0'4 ^? 3'14155 : 0 5 — ? 5. «> 285-59 : 5'3 — ? 1391'52 : 7-4 — ? »ir) 264-3:0 001 — ? 76-2 : 0-0001 ^? ck) 39-83:0-7 ^? 0 07614 : 0-06 ? 6) 248'67 : 0'81 — ? 530'955:0'057 -? 6. Dividiere jede der Zahlen a) 9088 9, b) 272^667, o) 45-44 45 durch jede der Zahlen ni>0'97, u) M^5, os>891. 7. ch"l9147-8 : 329 — ? (d) 24'0484 : (^472 — ? 270-2146:8'69 -? > 540'9835:0-02447 — ? 8. s) 389'007 : 52 — ? 1? 0-784 : 3'08 — ? 7-3402:0'0098 — ? 616'337:0-2569 ^? 4 - 554144 : 1 - 506 ^ ? » 1:3'14159 ? 0-06584508:0-3451 — ? 7-470799:0 00917 -? 10. Dividiere 5409835 durch a) 4'61, b) 23'47, o) 489'8. 11. Wie ost muss 4'2052 als Summand gesetzt werden, damit man 12640-8312 erhalte? 12. Dividiere a) 89990166, b) 2149'09526 durch jede der Zahlen m) 599, n) 25'039, o) 364'13. *13. a) 0-0005842 : 10'24 — ? d) 442'021 : 0'000493 ? 0-002744832 : 357'4-? 2729'46 : 0'00128 — ? Division einnamigcr Zahlen. 8- 26. Aufgaben. 1. Wie viel fl. sind 2 L, 10 36 124 L', 492 X? 2. Wie viel kr. sind 4 > 12 /?, 40 > 76 138 /,? 3. Jemand kauft 8 Zck Wein für 336 /0; wie hoch kommt 1 Zck zu stehen? 1 ZrZ ist der 8te Theil von 8 daher kostet 1 nur den 8ten Tbeil von 336 also 42 4. Jemand kauft 9 >/. Wiesen um 3780 fl.; wie viel kostet 1 /m? 5. 1 m Seidenstoff kostet 24 wie viel kostet 1 ckm? 6. 1 ZrZ Öl wiegt 95 ZcA; wie viel 1 l? 7. Aus 1 Z-A Münzsilber werden 200 Ein-Kronenstücke geprägt; wie viel wiegt 1 solches Stück? 8. Ein Röhrbrunnen liefert 55 / Wasser in 5 Minuten, ein anderer 84 Z in 7 Minuten; welcher ist ergiebiger? 9. In einer Mühle werden in 15 Tagen 36300 Ze/ Mehl gemahlens wie viel in einem Tage? 44 10. Em Beamter hat eine jährliche Besoldung von 2100 L; wie viel bezieht er monatlich? 11. Die jährlichen Zinsen eines Capita ls betragen 258'36 LZ wie groß sind die Zinsen für einen Monat? 12. Ein Rad macht auf einem Wege von 1241'5 m 382 Umdrehungen; wie groß ist sein Umfang? 13. 1 m Tuch kostet 5 L; wie viel m erhält man für 135 L? Man erhält so vielmal l m, wie oft 5 in 135 L enthalten sind; 135 Ll: 5 — 27. Man erhält also 27ma! 1 m, d. i. 27 m 14. Wenn 1 L-A 0'5 fl. kostet, wie viel LA erhält man für 37 fl.? 15. Wie groß ist eine Baustelle, welche 14400 L kostet, wenn das m- mit 9 L bezahlt wird? 16. Für 16'4 m bezahlt man 155'8 L; wie viel für 1 m? 17. 2976 L werden unter mehrere Personen so vertheilt, dass jede 24 L erhält; wie viele Personen sind es? 18. 59415 L sind unter 255 Personen zu gleichen Theilen zu ver- theilen; wie viel kommt auf eine Person? 19. In einer Bamnpflanzung befinden sich in regelmäßigen Reihen 31928 Pflanzen, und zwar in jeder Reihe 104 Pflanzen; wie viel Reihen sind da? 20. Auf einer Eisenbahn wurden im Jahre 1891 1250855 Personen befördert; wie viel kamen durchschnittlich auf einen Tag? 21. Die Höhe einer Treppe soll 4 m, und die Höhe jeder Stufe 0'125 m betragen; wie viele Stufen muss die Treppe erhalten? 22. Ein Kaufmann erhielt 186 Ries Papier L 8'4 L und verkaufte dasselbe mit 208'32 L Gewiun; wie theuer hat er 1 Ries verkauft? 23. Ein Kaufmann hat 75 m Tuch um 336 fl. gekauft; wie viel m muss er zu 5'4 fl. verkaufen, um 31'28 fl. zu gewinnen? 24. 0'741893 Myriameter betragen 1 geographische Meile; wie viel geogr. Meilen beträgt ein Myriameter? 25. Wie viel Kronen betragen 2127'5 deutsche Mark, wenn 1 Krone zu 0'85 Mark gerechnet wird? 26. Ein Sack, welcher mit 500 Zwanzig-Kronenstücken gefüllt ist, wiegt 3'4147 L^; der leere Sack wiegt 0 0272 LA; wie groß ist das Gewicht eines Zwanzig-Kronenstückes? 27. Ein Land hat 2462886 Einwohner, von denen durchschnittlich 72 auf eine Fläche von 1 Lm° kommen; wie viel Lm- beträgt der Flächeninhalt des Landes? 45 28. Das Herzogthum Salzburg hat auf einer Fläche van 715,4 54 L»? 173510 Einwohner; wie viele Einwohner koimuen im Durchschnitte aus 1 Zen?? 29. Im Jahre 1891 zählte ein Land bei einer Bevölkerung von 2207520 Seelen 61320 Sterbefälle; n) wie viele Sterbefälle kamen durchschnittlich auf 1 Tag, b) auf wie viele Einwohner kam 1 Sterbefall? 30. Wenn man 3 45 ZrZ Wein ä 48 L" mit 5'55 Z,Z L 60 /e mischt, weichen Wert hat 1 Z dieser Mischung? 31. Jemand kauft 10 Z'A Zucker zu 35 kr., 10 Lg zu 37 kr. und 40 ZeA zu 39 kr.; wie hoch kommt im Durchschnitte 1 ZeA zu stehen? 32. Jemand hat von einer Ware 60 Z-A u 60 Zr und 80 L 55 Z^; er setzt noch 100 ZeA einer dritten Sorte dazu und erhält dadurch eine Mischung, von der das ZcF 50 Z,. kostet; wie viel kostet das L-A der letzten Sorte? II. Maße, Gewichte und Münzen. 8- 27. 1. Zeit- und Wogenmatze. Die Zeit wird nach Jahren, Monaten, Wochen, Tagen u. s. w., und zwar nach folgender Einthcilung bestimmt: 1 Jahr hat 12 Monate, 1 Tag hat 24 Stunden, 1 Monat „ 30 Tage, 1 Stunde „ 60 Minuten, 1 Woche „ 7 „ 1 Minute „ 60 Secundeu. In der Zinsrechnung wird zwar gewöhnlich der Monat zu 30 Tagen, und somit das Jahr zu 360 Tagen angenommen; nach dem Kalender aber hat der Februar 28 oder 29 Tage, April, Juni, September, No¬ vember haben je 30 und die übrigen Monate haben je 31 Tage, so dass auf ein gemeines Jahr 365, auf ein Schaltjahr 366 Tage kommen. Der Umfang eines Kreises wird in 360 gleiche Bogen getheill, welche Grade heißen. Jedem Bogengradc entspricht am Mittelpunkte des Kreises ein Winkel, welcher auch ein Grad, und zwar ein Winkel¬ grad genannt wird. Sowohl bei den Bogen als bei den Winkeln wird jeder Grad (") in 60 Minuten 0 und jede Minute in 60 Se- cunden (") eingetheilt. 46 2. Zähkmaße. Ein Schock hat 60, ein Schilling 30, ein Mandel 15, ein Dutzend 12 Stucke. Ein Ballen Papier hat 10 Ries, ein Ries 10 Buch, ein Buch 10 Lagen, eine Lage 10 Bogen. 8- 28. 3. Maße und Gewichte der österreichisch-ungarische» Monarchie. Der neuen österr. Maß- und Gewichtsordnung vom 25. Juli 1871 liegt das metrische System, das zuerst in Frankreich und später in den meisten europäischen Staaten eingcführt wurde, zugrunde. Die Normaleinheit dieses Systems bildet das Meter, welches französische Gelehrte als den lOOOOOOOsten Theil der Länge eines Meridianquadranten unserer Erde annahmen, welches aber nach späteren astronomischen Messungen genauer nur als der 10000855ste Theil des Meridianquadranten befunden wurde. Aus der Länge des Meters werden nicht nur die Flächen- und Körpermaße, sondern auch die Gewichte dieses Systems auf eine sehr einfache Art abgeleitet. Längenmaße. Die Einheit des Längenmaßes ist das Meter. Die Vielfachen und Untertheilungen des metrischen Systems werden sowohl beim Längen- als bei den übrigen Maßen zur leichteren Auffassung und bequemeren Rechnung durchgängig nach dem Decimnl- syftcme gebildet. Die Vielfachen sind lOsache, lOOfache, lOOOsache, lOOOOfache; die Unterthcilungcn lOtel, lOOstel, lOOOstel. Sie bekommen jedoch nicht, wie in den alten Systemen, besondere Eigennamen, son¬ dern behalten den Namen der Grundeinheit, welchem zur näheren Be¬ stimmung gewisse Wörter vorgesetzt werden, die man, damit sie für alle Völker gleich bleiben, aus der griechischen und lateinischen Sprache entlehnt hat. Die Vielfachen sowohl des Meters als der darauf beruhenden Flächen-, Körper- und Gewichtsmaße benennt man dadurch, dass man den Namen der Grundeinheit die griechischen Zahlwörter mit der Endung a oder o, und zwar Deka für das lOsache, Hekto „ „ lOOfache, Kilo „ „ lOOOsache und Myria „ „ lOOOOfache 47 vorsetzt. Die Untertheilungen werden durch Vorsetzen lateinischer Zahlwörter mit der Endung auf i bezeichnet, und zwar durch Deci für deu lOten Theil, Centi „ „ lOOsten „ Milli „ „ lOOOsten „ Demgemäß ergibt sich für die Vielfachen und Untertheilungen des metrischen Längenmaßes folgende Stufenleiter: 1 Myriameter (stm) — 10000 Meter, 1 Kilometer (Lm) — 1000 „ 1 Hektometer — 100 „ 1 Dekameter — 10 „ 1 Meter (-») — 1 „ 1 Decimeter (ckm) — 0'1 „ 1 Centimeter (em) — 0'01 „ 1 Millimeter (mm) — 0'001 „ Jedes Maßglied aus der Stufenleiter der Längenmaße hat 10 Einheiten des nächstniedrigeren Maßgliedes. In die österr. Maß- und Gewichtsordnung sind jedoch das Hekto¬ meter und das Dekameter, da sie für das praktische Leben und für die Wissenschaft entbehrlich erscheinen, nicht ausgenommen worden. In der¬ selben besteht daher für die Längenmaße folgende Eintheilung: 1 Myriameter (^m) — 10 /cm — 10000 m, 1 Lm — 1000 m; 1 m — 10 c/m — 100 cm — 1000 mm, 1 Am — 10 em — 100 -nm, 1 em — 10 mm. Flächenmaße. n) Als Flächenmaße dienen allgemein Quadrate, deren Seiten den Längeneinheiten gleich find. Ein Quadrat, dessen Seite 1 Meter lang ist, heißt ein Quadratmeter (m?). Theilt man jede Seite eines Quadratmeters in 10 gleiche Theile und verbindet die gegenüberliegenden Theilungspunkte durch gerade Linien, so entstehen 100 Quadrate, deren jedes ein Decimeter zur Seite hat, also ein Quadratdecimeter (c/m?) ist; 1 m? hat demnach 100 ckm?. Ver¬ fährt man auf ähnliche Art mit dem Quadratdecimeter, so erhält man 100 Quadratcentimeter (cm?); und ebenso ergibt sich 1 cm? — 100 mm?. — In gleicher Weise folgt auch, dass 1 Qnadratmyriameter — 100 /cm?, 1 /cm? — 100 Quadrathcktomcter n 100 Quadratdekä- meter ä. 100 m? ist. 48 Jedes Maßglied aus der Stufenleiter der Flächenmaße hat also 100 Einheiten des nächstniedrigeren Maßgliedes. Da das Quadrathektometer und das Quadratdekameter in der österr. Maß- und Gewichtsordnung nicht vorkommen, so hat man in dieser für die allgemeinen Flächenmaße folgende Scala: 1 Quadratmyriamcter (stm?) — 100 Zc»? — 10(^000000 m?, 1 L»? — 1^000000 1 — 100 ei»? — 10000 6»? — 1^0M.000 1 — 100 — 10000 m»?, 1 — 100 io) Die Einheit des Bodenflächenmaßes bildet das Ar (tt), d. i. ein Quadrat, dessen Seite 10 m lang ist; 1 Ar ist also gleich lOO m?. Vielfaches: Das Hektar (/««) — 100 n. Es ist demnach 1 La — 100 a — 10000 1 « — 100 1 Lm? ist — 100 /ra. Körpermaße. a) Wie das Flächenmaß, so beruht auch das Körpermaß auf dem Längenmaße. Man wählt dafür Würfel, deren Seiten oder Kanten den Längeneinheiten gleich sind. Ein Würfel, dessen Seite 1 Meter ist, heißt ein Cubikmeter (m^). Jede Fläche eines Cubikmeters ist ein Quadratmeter und enthält 100 Quadratdcciineter. Denkt man sich das Cubikmeter hohl, die Grundfläche desselben in 100 ein?, und die Höhe in 10 getheilt, so kann man zunächst auf der Grundfläche 100 Würfel auflegen, deren jeder 1 zur Seite hat und daher ein Cubikdccimeter (ckn?) Diese ^oO Cubikdecimeter bilden eine Schicht von 1 ckm Höhe. Da aber das Cubikmeter 10 ckn hoch ist, so fasst es 10 solche Schichten von je 100 daher ini ganzen 1000 also 1 — 1000 Ebenso folgt, dass 1 — 1000 1 cmb — 1000 dass ferner 1 Cubikmyriameter — 10M 1 — 1000 Cubikhektonieter u. s. w. ist. Jedes Maßglied aus der Stufenleiter der allgemeinen Körper¬ maße enthält also 1000 Einheiten des nächstniedrigeren Maßgliedes. In der österr. Maß- und Gewichtsordnung entfallen das Cubik- hektometer und das Cubikdekameter; es besteht daher für die allge¬ meinen Körpermaße folgende Eintheilung: 49 1 Cubikmyriameter (sE^) 1000 — 1000000000000 1 Lmb 1000000000 M-, 1 10M — 10000M em» lOOOOOMOO 1 " 10M 6M^ — 1000000 MM^, 1 — 1000 l>) Die Einheit des Hohlmaßes sowohl für trockene als für flüssige Gegenstände ist das Liter (t), welches einem Cubikdecimeter gleich ist. Vielfaches: das Hektoliter (/r?) — 100 Liter, Untertheilungen: das Deciliter (ckk) — 0'1 „ das Centiliter (eö) — 0'01 „ Es ist demnach 1 -r? 100 r -- 1000 10000 er, 1 r 10 ckr 100 er, i crr — io er. Gewichte. Die neuen Gewichte werden aus den Körpermaßen hergeleitet. Die Grundbenennung für die Gewichte bildet das Gramm (A), d. i. das Gewicht eines Cubikcentimeters destillierten Wassers im Zu¬ stande der größten Dichte. Da jedoch eine so kleine Wassermenge, wie sie ein Cubikcentimeter fasst, nicht leicht genau gemessen und gewogen werden kann, so füllte man, um das Urgewicht des metrischen Systems zu bestimmen, das lOOOfache dieses Rauminhaltes, d. i. ein Cubikdecimeter, mit reinem Wasser im Zustande seiner größten Dichte, welche bei der Temperatur 4 Grad des lOOtheiligen Thermometers vorhanden ist, und wog dasselbe im luft¬ leeren Raume ab. Das so gefundene Gewicht war das lOOOfache eines Gramms, also ein Kilogramm (LZt). Das Kilogramm, 'gleich dem Gewichte eines Cubikdecimeter destillierten Wassers im luftleeren Raume bei der Temperatur von 4 Grad des lOOtheiligen Thermometers, ist die Einheit des österreichischen Gewichtes. Vielfache: die Tonne (k) — 1000 der metrische Centner (z) - 100 /.'A, Untertheilungen: 50 Es ist demnach 1 s — 10 A — 1000 LA — 100000 MA — 1000000 A, -1 g 100 LA 10000 MA 100000 A; 1 LA — 100 MA — 1M0 A, 1 MA — 10 A; 1 A — 10 ciA — 100 cA — 1000 MA, 1 <^A — 10 VA — 100 MA, 1 VA — 10 MA» Zur Prüfung des Feingehaltes von Gold- und Silberlegierungen besteht kein besonderes Gewicht. Der Feingehalt wird nach Tausend- theilen bestimmt. Der Feingehalt des Goldes oder Silbers ist 900 Tausendtheile oder ^), heißt: unter 1000 Gewichtstheileu des legierten Metalles sind 900 Theile Gold oder Silber, und 100 Theile Zusatz (Kupfer). Feines Gold oder Silber ist lOOOtheilig. 8- 29. 4. Münzsystem der österreichisch-ungarischen Monarchie. a) Seit 1. November 1858 war der gesetzliche Münz- und Rech¬ nungsfuß der österreichisch-ungarischen Monarchie der 45-Guldenfuß, wonach aus einem halben Kilogramm feinen Silbers 45 Gulden geprägt wurden. Der Gulden (fl.) wird in 100 Kreuzer (kr.) eingetheilt. Dieses Geld wird die österreichische Währung genannt. Geprägte Münzen der österr. Währung: In Silber: Ein-Guldenstücke; als Scheidemünze: Stückes zu 10 Kreuzer. In Kupfer: als Scheidemünze: Stücke zu 1 und V? Kreuzer. An Papiergeld hat man Banknoten zu 10, 100 und 1000 Gulden, und Staatsnoten zu 5 und 50 Gulden österreichischer Währung. d) Nach dem Gesetze vom 2. August 1892 tritt an die Stelle der bisherigen österreichischen Währung die Goldwährung, deren Rechnungs¬ einheit die Krone ist. Die Krone (Ll) wird in 100 Heller (L) eingetheilt. Von Landesgoldmünzen werden ausgeprägt: Zwanzig-Kronen¬ stücke, von denen 164, und Zehn-Kronenstücke, von denen 328 auf ein Kilogramm Feingold gehen. Aach werden, wie bisher, die österreichischen Ducaten, und zwar 81M Stück aus einer Wiener Mark — 0'280868 LA Feingold, als Handelsmiinze ausgeprägt. Außer den Landesgoldmünzen werden folgende Münzen der Kronen¬ währung ausgeprägt: S i l b e r m ü n z e n: Ein-Kronenstücke; Nickel- 51 münzen: Stücke zu 20 und 10 Heller; Bronzemünzen: Stücke zu 2 und 1 Heller. Außerdem werden noch die sogenannten Levantiner Thaler mit dem Bildnisse der Kaiserin Maria Theresia und der Jahreszahl 1780, wie bisher, 12 Stuck aus 1 Wiener Mark — 0-280868 Lg Feinsilber, als Handelsmünze geprägt. Die auf österr. Währung lautenden Papiergeldzeichen, sowie die in dieser Währung geprägten Silber- und Kupfermünzen bleiben bis auf weiteres uoch im Umlaufe, und zwar wird 1 Gulden — 2 Kronen, 1 Kreuzer — 2 Heller gerechnet. Bei Zahlungen, welche in Goldgulden zu leisten find, insbesondere bei Zollzahlungen, werden 42 Goldgulden — 100 Kronen gerechnet. III. Rechnen mit mehrnamigen Zahlen. Resolvieren. 8- 30. Einheiten einer höheren Benennung in Einheiten einer niedrigeren Benennung derselben Art verwandeln, heißt sie resolvieren. Die Zahl, welche angibt, wie viele Einheiten einer niedrigeren Benennung eine Einheit der höheren Benennung enthält, heißt die Ver¬ wandlungszahl zwischen diesen beiden Benennungen. Das Resolvieren einer benannten Zahl in eine niedrigere Be¬ nennung geschieht durch die Mulluplication mit der entsprechenden Verwandlungszahl. Z. B. Wie viel Minuten sind 21 Stunden? 1 Stunde hat 60 Minuten; die gesuchte Zahl der Minuten.ist also 21mal so groß wie von einer Stunde; mithin 60 X 21 1260 Minuten. Bei benannten Zahlen, deren Benennungen dem Decimalsysteme angehören, d. i. deren Verwandlungszahlen 10, 100, 1000 sind, kann das Resultat des Resolvierens unmittelbar angegeben werden; z. B. 8 m 7 ckm — 87 ckm; 12 8 — 1208 l. Aufgaben. 1. Wie viel Secunden sind 5 Grad 14 Minuten 53 Secunden? 5° sind 5 X 60 — 300- und 14' dazu sind 314'; 5° 14' 5Z" 314' sind 314 X 60 — 18840" und 53" dazu — sind 18893". 0^4 18893". 4* 52 2. Wie viele Tage sind a) 7 Mon. 24 Tage? 3 Jahre 8 Mon. 15 Tage? 3. Wie viele Secunden betragen a) 51 Min. 13 See.? ^18 Stund. 35 Min. 40 See.? 4. Wie viel Secunden hat ein gemeines Jahr? 5. Wie viel Heller sind a) 39 38 L? 1>) 250 L 90 7r? o) 310 45 L? ä) 4 H3 L? s) 45 X 9 L? 1) 206 fl. 5 kr.? 6. Wie viel Kreuzer sind a) 0'37 fl.? d) 0'085 fl.? e) 13'59 fl.? 7. Wie viel em sind g.) 8m? d) 5 äm 8 om? o) 6'35 m? ,-87 Wie viel om? sind a) 8 c7m^? 6) 7 m? 15 cim^? v) 0'7586 m^? 9. Wie viel 7 sind a) 37 L7? 6) 2 L7 55 7? e) 0'385 L7? 10. Wie viel A sind a) 35 LA? d) 4 LA 8 c7LA? o) 1'38 LA? 11. Wie viel Bogen Papier enthalten n) 5 Buch 15 Bogen? 6) 4 Ries 7 Buch 12 Bogen? 12. Wie viel Grad, Minuten und Secunden sind 43'275 Grad? 43-2 75° — 43° 16' 30". 1 6-50' 3 0-0" 13. Das Sonnenjahr hat 365'24222 Tage; um wie viel Stunden, Minuten und Secunden ist es größer als das bürgerliche Jahr von 365 Tagen? 14. Wie viel Kronen und Heller sind a) 3-92 L? 6) 155'07 o) 207'535 X? 15. Wie viel m, c7m, em und -nur sind a) 5'397 m? 6) 318'091 m? o) 0'9075 m? -12. Wie viel 7ra, cr und m? sind u) 129-235 7m? 6) 6'2325 La? e) 49'7801 7m? 17. Wie viel LA, ll/.-A und A sind a.) 7-345 LA? b) 0'075 LA? o) 25'803 LA? Das Reducieren. 8- 31. Einheiten einer niedrigeren Benennung in Einheiten einer höheren Benennung derselben Art verwandeln, heißt sie reducieren. Das Reducieren einer benannten Zahl auf eine höhere Benennung geschieht mittelst der Division durch die bezügliche Verwandlungs- Zahl- Z- B. 53 sind, 1 also: b) 28481 Bogensecundm. 8. 9. Mm. 17. bei /57 10. 11. 12. sm°. »UM^. einen Decimalbruch der nächst höheren Benennung: b) 38 L, o) 1365 L. 5) 37 ck-u, o) 564 sm. 6) 602 7, v) 28'4 ckLA. 6) 75 fl. 87z kr. d) 1 m^ 83 ckm? 5 e»^ 23 6) 35 Ll 87 r 7 ckl. 6) 3 A 4 ciA 9 MA. 6) 12 Tage 18 Stund. 45 mehrnamiger Zahlen. 8- 32. Beim Addieren mehrnamiger Zahlen beginnt man Zahlen der niedrigsten Benennung und reduciert die Summe jeder Be- Die Zeit von einem Vollmonde zum andern beträgt 2551443 Se- cunden; wie viel sind dies Tage, Stunden, Minuten und Sekunden? Ein Buch von 14 Druckbogen erschien in einer Auslage von 4500 Exemplaren; wie viel Ries wurden dazu erfordert? Reduciere 83° 56' 24" auf Grade. 24 : eo — 0-4' also 83° 58' 24" — 83-94° 56-4 : 60 -- 0-94°; Verwandle in a) 16 /4, a) 4 ckm, a) 13'5 «, Reduciere auf einen Decimalbruch der höchsten Benennung: a) 12 24 a) 5 m 3 cknr 8 sm 1 mm. a) 3 m° 618 äm^ 708 a) 29 LA 4 ckLA 5 A. a) 53° 15' 6". Addition Wie viel Tage sind 816 Stunden? — 1 Tag hat 24 Stunden; die ge¬ suchte Zahl der Tage ist also der 24ste Theil der gegebenen Zahl der Stunden; s°hlich 816 : 24 34 Tage. Bei benannten Zahlen, welche nach dem Decimalsystem gebildet kann das Ergebnis der Reduktion unmittelbar angegeben werden. Aufgaben. Wie viel Tage, Stunden und Minuten sind 31024 Minuten? 31024 (Min.) : 60 4 Min. 517 (Stund.) : 24 37 21 Tage 13 Stunden 31024 Minuten — 21 Tage 13 Stund. 4 Min. Reduciere auf Ganze der höheren Benennungen: a) 148134 Zeitsecunden, 3. 4. 5. 6. 7. 54 nemuing, wenn sie Ganze der nächst höheren Benennung enthält, auf diese höhere Benennung. Man kann auch alle Summanden auf dieselbe höchste oder niedrigste Benennung bringen und dann die Addition ver¬ richten. Aufgaben. 5. Ein Kaufmann hat nachstehende Summen zu fordern: 351 84 st, 247 73 7-, 480 L 76 st, 37 X 8 st, 147 68 st; wie groß in einem welchem ist seine Gesammtforderung? 6. Pon zwei Gärten misst der eine 148 m° 24 ein?, der andere ist , um,-437 m- 18 ^m- größer; wie groß sind beide zusammen? 4^-^,'ropn liegt zwischen 11° 50' 20" westlicher und 60° 30' östlicher ^X^änge von Paris; wie viel Längengrade umfasst dieser Erdtheil? geogr. Breite von Triest ist 45° 38' 8", Wien liegt 2° 34' 27" E- nördlicher als Triest, Prag liegt 1° 52' 54" nördlicher als Wien; ,wie groß ist die geogr. Breite von Wien und von Prag? ^/Jn Paris tritt der Mittag 48 Minuten 19 Secunden später ein in Paris als in Prag; wie viel zeigt eine Uhr in Prag, wenn es ^3 Uhr 5b Mm. 40 See. ist? 10. 'Jemand wurde am 5. Jänner 1809 geboren und starb Alter von 60 Jahren, 6 Monaten und 12 Tagen; an Tage war dies? Geburtszeit: 1808 Jahre — Mon. 4 Tage nach Ehr. G. Lebensdaue r: 60 „ 6 „ 12 „ Sterbezeit: 1868 Jahre 6 Mon. 16 Tage nach Ehr. G. Er starb also am 17. Juli 1869. 55 11, Kaiser Franz Josef I. wurde am 18. August 1830 geboren und / übernahm in einem Alter von 18 Jahren 3 Monaten 14 Tagen die Regierung; wann war dies? 42. Kaiser Josef II. wurde am 13. März 1741 geboren und starb in einem Alter von 48 Jahren 11 Monaten und 7 Tagen; wann starb er? 4D .Schiller war am 10. November 1759 geboren und erreichte ein Alter von 45 Jahren 5 Monaten 29 Tagen; wann starb er? 14. Die Zeit von einem Vollmond bis zum andern (synodischer Monat) beträgt 29 Tage 12 Stunden 44 Minuten 3 Secunden; wenn nun am 18. Mai um 5 Uhr 27 Min. 29 See. abends Vollmond ist, wann tritt der nächste Vollmond ein? Subtraktion mehrnamiger Zahlen. 8. 33. Auch das Subtrahieren mehrnamiger Zahlen wird bei der niedrigsten Benennung angefangen. Ist bei einer Benennung die Zahl des Subtrahends größer als jene des Minuends, so wird letztere, damit man subtrahieren könne, um so viel Einheiten vermehrt, als-ihrer eine nächst höhere Einheit enthält; sodann wird aber, damit die Diffe¬ renz ungeändert bleibe, auch der Subtrahend in der nächst höheren Be¬ nennung um 1 vermehrt. Bei Benennungen mit decimaler Theilung ist es am einfachsten, Minuend und Subtrahend als Deeimalbrüche der höchsten Benennung darznstelleu. Aufgaben. 1. Von 135° 48^ 37" soll subtrahiert werden 62° 25^ 52"; wie viel bleibt übrig? " ^3°^2' 45". Subtrahiere : 's 2. a) 81 M 61 6M 5 mm 6) 650 M? 47 55 cm? 27 „ 67 „ 8 „ 278 „ 8 „ 64 „ A H 5 La 28 a _Ur) 53 L? 9 k 97 „ 25 m- 14 „ 72 „ "4. a) 789 A 502 MA 1s) 662 37 L 291 „ 375 „ 284 „ 8 „ 5^ 215 fl. 35 kr. 23 Tage 12 St. 35 Min. 96 „ 68 „ 9 „ 20 „ 48 „ tz. Von einem Acker, welcher 2 La 54'7 a groß ist, wird eine Fläche von 1 La 81'5 a mit Weizen, der Rest mit Korn besäet; wie viel beträgt die Kornfläche? .56 Eisenbahnstrecke von Wien bis Triest beträgt 577 Lm 340 m; U wenn nun die Strecke von Wien bis Mürzzuschlag 118 7cm 289 m, von Mürzzuschlag nach Laibach 314 7cm 118 m beträgt, wie lang ist die Strecke von Laibach nach Triest? '4.— Die Summe der drei Winkel eines Dreieckes ist gleich !180°; , wie groß ist der dritte Winkel, wenn die beiden anderen Winkel 57° 25' 46" und 71° 53' 50" betragen? 9. Innsbruck hat 9° 3' 41", Wien 14° 2' 36", Lemberg 21° 42' 40" östlicher Länge von Paris; wie viel Längengrade liegt Lemberg östlicher als jede der zwei anderen Städte?^ 10. Eine Uhr geht um 13 Min. 8 See. zu früh; wenn nun dieselbe 7 Uhr 3 Min. zeigt, welches ist dann die richtige Zeit? 11. Wenn eine Uhr in Graz 4 Stund. 52 Min. 18 Sec. zeigt, weist eine Uhr in Paris 3 Stund. 59 Min. 50 Sec.; wie viel Uhr ist es in Paris, wenn die Uhr in Graz 8 Stund. 23 Min. 48 Sec. zeigt? 12. Jemand wurde am 3. Juni 1802 geboren und starb am 25. Sep¬ tember 1877; wie alt ist er geworden? Sterbezeit: 1876 I. 8 M. 24 T- nach Chr. G. Geburtszei t: 1801 „ 5 „ 2 „ „ „ „ Alter 75 I. 3 M. 22 T. 13 Die Kaiserin Maria Theresia wurde am 13. Mai 1717 gebirren und starb am 29. November 1780; welches Alter erreichte sie?N 14. Kaiser Franz I. starb am 2. März 1835 im Alter von 67 JahW 18 Tagen; wann wurde er geboreiz? 15. Ein Capital war am l. Juli 1885 fällig, wurde jedoch 3 Monate 24 Tage früher bezahlt; an welchem Tage geschah dies? Multiplication mehrnamiger Zahlen. 8- 34. Soll eine mehrnamige Zahl mit einer unbenannten multipliciert werden, so multipliciert man die Einheiten einer jeden Benennung von her niedrigsten angefangen und reduciert die bei den niedrigeren Benennungen erhaltenen ProdüAd. ' Ist die Verwandlungs¬ zahl 10, lOO oder 1000, so gestaltet sich die Rechnung am einfachsten, wenn man die gegebene mehrnamige Zahl in einen Decimalbruch der höchsten Benennung verwandelt und dann die Multiplication verrichtet. Aufgaben. 1. Multipliciere 14 Tage l2 Stunden mit 9. 14 T- 12 St. X 9 12 St. X 9 — 108 St. — 4 T. 12 St. 130 T. 12 St. 14 T. X 9 — 126 T.; 126 T. -j- 4 T. — 130 T. 57 2. K 6 7. 8. 37 fl. 65 kr. X 31. 1167 fl. 15 kr. 25 M 3 ckm 38 Mm X 25 — ? ^l) 7 kcr 5'2 a X 146 — ? 8 kA 47 X 64 — ? 37-65 fl. X 31 1129-5 1167-15 fl. — 1167 fl. 15 kr. A 37 Km 287 mX 9 — 2 >) 15 k? 56 r X 39 -- >) 317 X 84 k X 542 — '? Wenn 1 Ducaten 11 X 29 k gilt, wie viel betragen 25 Ducaten? Ein kr Gerste wiegt 64 kA 15 ckkz/; wie viel wiegen 43 ki? Wie lang ist eine Schnur, die sich um eine Welle, deren Umsang 3 ckm 5 vm 8 Mm ist, 58mal Herumwinden lässt 2 9. Ein Mondmonat beträgt 29 Tage 12 Stunden 44 Minuten 3 Secunden; wie viel betragen 12 Mondmonate? 10. Ein Kaufmann kauft 128 m 28 vm ä 8 X 54 K das m, und 106 m 52 em ä 6 X 12 k das m; er verkauft die «ganze Ware zu 7 X 92 k das M; wie viel hat er dabei gewoMen oder verloren? 11. Zwei Körper bewegen sich zu gleicher Zeit vou dem nämlichen Orte aus, a) in gleicher, 6) in entgegengesetzter Richtung. Wenn nun der erste in jeder Minute 38 m 2'5 «im, der zweite 32 m 1-8 ckm zurücklegt, wie weit werden sie in jedem Falle nach 56 Minuten von einander entfernt sein? 12. Wie viel Längengrade ein Ort weiter gegen Osten liegt als ein anderer, so oftmal 4 Zeitminuten früher ist es daselbst Mittag, d. i. dem Längenunterschiede von 1° entspricht in der Uhrzeit eine Differenz von 4 Zeitminuteu. Bestimme aus den Angaben in tz. 33, Aufgabe 9, wie viel Uhrzeit man in Paris, Innsbruck, Lemberg hat, wenn es in Wien 11 Uhr 52 Minuten 15 Secunden /L vormittags ist? V13. Wenn man das Sonnenjahr, welches 365 Tage 5 Stunden 48 * Minuten 48 Secunden beträgt, zu 365 Tagen rechnet und wegen des dabei Vernachlässigten jedes vierte Jahr als Schaltjahr mfl 366 Tagen annimmt; wie groß wird der Fehler, den man. bei dieser Rechnungsweife in 400 Jahren begeht? Division mehrnamiger Zahlen. 8- 35. a) Ist eine mehrnamige Zahl durch eine unbenannte zu dividieren (Aufgabe des Theilens), so dividiert man die Einheiten jeder Benennung von der höchsten angefangen, indem man dabei den- jedesmaligen Rest in die niedrigere Benennung auflöst und die im Di- 58 vidend vorhandenen Einheiten dieser Benennung dazu zählt. Man kann auch die mehrnamige Zahl zuerst in die niedrigste oder höchste Benen¬ nung verwandeln und dann dividieren, z. B. Wie viel ist der 26ste Theil eines Bogens von 116° 34'? 1>) Ist eine mehrnamige Zahl durch eine andere benannte Zahl zu dividieren (Aufgabe des Messens), so müssen beide früher auf dieselbe Benennung gebracht werden. Aufgaben. 1. a) 530 X : 23, b) 9225 fl. 30 kr.: 382. 2. a) 120 Lm 509 m : 37, d) 289 7-§ 674 § : 57. 3. 28 7r7 Wein werden mit 1421 L 28 7r bezahlt; wie viel kostet 1 7r7? 4. Eine Locomotive legt in 1 Stunde 30 7cm 720 m zurück; wie viel in 1 Minute? 5. 3H5O7t:2L25L 6. 1108 7c ! k 1. Wie entstehen die Brüche V-, V«, Vs, 74, Vs, "V? 2. Wie viel Halbe hat 1 Ganzes? Wie viel Halbe sind 2, 7, 15 Ganze; 4'/., 97,, 17'/-? 3. Wie viel Viertel sind 1, 2, 5, 12 Ganze; X/4, 3^, 127,? 4. Wie viel Achtel sind 1, 3, 7, 14 Ganze; 17z, 4?/z, 10V«? 5. Wie viel Ganze sind > L/ 4/ 10/ 26/ 4S/ . s/ 9/ 19/ SS/ /2, /2, /2, /2, /2) /2/ /2, /25 /2' 1^7 4/ 8/ 20/ 32/ 60/ . 5/ 14/ 41/ 82/ O /4, /4, /4, /4, /4) /4/ /4, /4/ /4' 8/ 16/ 40/ 72/ 96/ . 9/ 20/ 37/ 92/ O /8, /8, /8^ /8^ /87 /8, /87 /87 /8' 6. Wie viel Viertel sind V», V->, V„ "/2, '7-, "V? 7. Wie viel Achtel sind V2, 7„ V2, 'V„ "V" °7-? 8. Wie viel Achtel sind V„ V4, '7i, 'V4, °7i? 9. Wie viel Halbe sind "/4, °V, "/4, "V, 'V4, '7.? 10. Wie viel Halbe sind ^/s, '7s, °7s, "7s, "Vs? 11. Wie viel Viertel sind Vs, 7s, 'Vs, '7s, °°/s, °7«? 12. Mache gleichnamig: n) V2 und 7,; d) V4 lind °/z; 0) V2 und Vst ä) V-, V4 und Vs- Berechne: 13. a) 72-7 72- d)7,-^7,. 0) Vs 7-7s- 6)27,4-47.. 72 7- 72- V. -V 74- Vs -i- 7«. 5-v 4- 37^. 4V2-V 72. 74 4- 374. 47.4-Vs- 8'74-27°. M- 7- 4- 7. - 7i -l- 7. - V. - 17.- 7^. Wie viel ist 7, -s- 72; V« -s- 7^; 7. -s- 7°; 37. -s- 57/? Berechne: M a)72-V2. d) 74 - 74- o)7s-7s- 6)7,- V,. X 3-72. 5-74. 77b-27b. 17s- 7l- 372-72. 47,-7,. 7s-7i- 127»-107s- a) 7> X 4. 1)) 7b X 3. 0) 17s X 7. ä) 37, X 12. 7, X 9. V, X4. 17.X10. 47b X 5. . 74X12. 7s X 6. 572 X 8. 97b X 10. M. Wie oft ist enthalten . . a) 7. im °/»; 7, in 'V,;f1'/, in 87,;EVs in 77g ib) 7, in 2; 7, in 7,; 'V in 7,; 7, in 6; 1'/, in 77.? 68 ^19. Wic viel ist der öte Theil von "/», ^7s? 20. Wie viel ist die Hälfte von '/2, '/4, Vj? ^/*21. Wie viel ist der 4te Theil von 72, 72 ? *22. Bestimme "V : 7; 7^ : 2; 11'/» : 4; 37/ : 2. 23. Wie viel Heller sind '/,, '7, '2^. Wie viel sind '7, '7, -/«, V» 25. Wic viel ! sind '//, V», Vt 26. Wie viel Stunden sind '/,, 7j, V«, Vs, Vs Tage? *27. 4XV-; 5 XV.i 3X Vs- *28. 7X V-; 3X V.; 2 x7s- ^29. V-X V-; 'VX'V- "30. V4XV2; IV2X V4; V2XV4- 8. 43. Drittel, Sechstel, Neuntel und Zwölftel. 1. Wic erhält mau die Brüche Vs, V-, V«, V°, V12, Vi2, "/12? 2. Wic viel Drittel sind 1, 2, 8 Ganze; l'/g, 47g, 13 Vs? 3. Wic viel Sechstel sind 1, 3, 12 Ganze; 2'/„ 57g, 9'/g? 4. Wie viel Zwölftel sind 1, 5, 9 Ganze; 3'/,?, 47,», ?V,2? 5. Wie viel Ganze sind 7g, '7z, 7g, '7,2, '7,,? 6 Sondere von 7s, 'V-, "V, °7si Vs, 'Vs, "V, 'Vsi "/,2, 'V-2, ^/12 die Ganzen aus. 7. Wie viel a) Sechstel, d) Zwölftel sind '/s, Vs, "V, ^°/s? 8. Drücke V«, 7°, "V, ^/s 'n Zwölfteln aus. 9. Wie viel ist das Drittel von '/2, von '/4? Wie viel ist das Sechstel von '/2? 10. Wie viel Sechstel sind 7,, 7,, '»/„ -7.? 11. Wie viel Zwölftel sind '/2, 7», '°V; 'V, V/, 'V/? 12. Drücke in gleichen Theilen aus: a) '/g, Vsi b) Vs, Vi->; 0) '/2, Vsi ä) '7, Vsi «) Vs, 'V- 13. Wic viel Halbe sind 7°, -'V, -7g; 7,g, '7^? 14. Wie viel Drittel sind 7g, -7g, °°/°; V,„ -7,,, -'7,? 15. Drücke 7,2, ^/12 in Vierteln, Vi», 'V12 Sechsteln aus. Berechne: 16. n) -/g Z- Vg. 5) 7g -V Vg. 0) 7„ Z- 7,,. ci) 87g Z- 37g. ^1Vs-ft4Vs. '7s>Vs- "/.2^-Vr2. 10V-2-V9'V^ 69 17. 7- 7.^ 7,2 -s- 7.2 - '7.2 - 17.2- , 18. a) 7- -j- 7^. Iz) -z- 7^. e) 17, Z- 7,- ä) 3-/,., -§- 7-- V--7 7.7- 7^ 7^ L 27, 4-57,.,, 8'7.2 4-17.. 19. ») °/. - '/7' b) 7, - 7.2-^°) 1V2 - 7-- ä) 57- - 274- II/ s/ °/ s/ II/ I/ vs/ NI/ /12 /12' /S /12' /12 /g' ' /.2 /S' 17--7-- 7.2-72- 6-7-- 97,-87-. 20. a) 7, X 5. b) 7„ X 8. o) 87, X 3- °- 2. Wie viel Fünftel sind 1, 2, 7 Ganze; 17«, 57s, 87s? 3. Wie viel Zehntel find 1, 3, 10 Ganze; 17,., 47,0, 57,«? 4. Wie viel Ganze sind 7,, '7z, °7,; "7,<>? 5. Sondere von 7z, >7,, "7; '7,., "7,. die Ganzen aus. 6. Wie viel Zehntel sind 7z, 7z, 7z, '7°, ^/z? 7. Wie viel Zehntel find 72, 7», 7», '7-, ^'/2? 8. Mache gleichnamig: 7s und 7.»; 7» und 7,.; 72 und 7s- 9. Wie viel Fünftel sind 7,°, 7,„, ^/,«, "/,«, "7.o? 10. Wie viel Halbe sind 7,., °7,», °7.o? Berechne: 11. u) 7s -7 Vs- d) 57s 7- 67s- 0) 7s 7- 7.0- 4) 72 4- 7s- 7.»^V.°. 37,^27,0. 72^-7.°- 77,0-1-472. 70 12. a) V,, - -/,o- 67. - 37,- o) 7. - 6) 87-° - 37^. 5-7,- 7'/,°-27.°- V2-^- 67° -57.2. 13. 7, X 6; 7.° X 5; 97,° X 8; 47. X 10; 37,° X 20. 14. Wie groß ist der vierte Theil von ^/°, 367°; der dritte Theil von 7,«, '7,°, 57,°? »15. 7°: 2; 7,°:3- »16. 7.: 4; 7» - 8; 27. : 10. 17. Gib 7° (7,, 7«) //7/ _ 3X84-7 _gi/ o/« — g — zs- Aufgaben. 1. Wie viel Ganze enthalten <7°, °7s, ^/9, °7ic, °7is? (Die hier angeführten und in diesem Abschnitte weiter folgenden Aufgaben sind, soweit es die Einfachheit der Zahlen zulässt, im Kopfe zu lösen.) 2. Suche die Ganzen aus folgenden Brüchen: 7/ 35/ 57/ SI/ 85/ 13/ 25/ 71/ 87/ 100/ /3, /5, /«, /7, /0, /II' /12, /15, /20, /25' Verwandle in gemischte Zahlen die folgenden Brüche: 10 3 117 SO 2.57 5320 l_0_4 1 2177 5 0 7^,3 31^073 -^7, "7 7, ir, ssi, 0 7' , 11^, 71H, er 1 , lom- ^7" Verwandle l, 3, 6, 9, 13, 25, 128 in Brüche, deren Nenner 10,^) 25, v) 00, ä) 100 ist. Verwandle folgende gemischte Zahlen in unechte Brüche: 12-/^ 9-/„, 3°/i5, 147-, 21-/„ 102'/^, 58^. ^8- 94^, 2744, 417^7, ^4-^77, 102^77, 37444, 581^777- 8- 51. Erweitern der Brüche. Wird in einem Bruche 7s der Zähler z. B. mit 4 multipliciert, so erhält man 4mal so viele Theile, als ihrer der frühere Bruch enthielt; wird zugleich auch der Nenner mit 4 multipliciert, so werden die einzelnen Theile des neuen Bruches 4mal kleiner ausfallen, als die sicheren; der neue Bruch enthält also 4mal so viele, aber 4mal kleinere ZM-ile, so dass er mit dem früheren Bruche gleichen Wert hat; folglich 3/ , 3 X _ iz, ; ' ü x Der Wert eines Bruches wird also nicht geändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliciert. Indem der Bruch 7s in ^/20 verwandelt wurde, hat sich seine Form geändert, der Wert ist aber unverändert geblieben. ./SS - 76 Die Formveränderung eines Bruches durch die Multiplication des Zählers uud Nenners mit derselben Zahl wird die Erweiterung des Bruches genannt. Durch die Erweiterung kann man jeden Bruch ohne Änderung seines Wertes in einen andern verwandeln, dessen Neuner ein Bielfaches des früheren Nenners ist. Um z. B. 7/12 in einen Bruch, dessen Nenner 48 ist, zu ver¬ wandeln, muss man untersuchen, womit 12 zu multiplicieren ist, um 48 zu erhalten; dieses erfährt man, indem man 48 durch 12 dividiert. Da 48 : 12 — 4 ist, so ergibt sich — ^7 — Im Kopfe rechne! man: ein Ganzes hat hat sind also Durch die Erweiterung kann man auch mehrere Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, sobald dieser durch alle Nenner der ge gebenen Brüche theilbar ist. Um die Rechnungen so einfach als möglich zu führen, bringt man die Brüche gewöhnlich auf den kleinsten ge¬ meinsamen Nenner; dieser ist die kleinste Zahl, welche durch alle gegebenen Nenner theilbar ist, somit ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches. Aufgaben. 1. Bringe s) die Brüche auf den Nenner 10; b) „ „ Vi, Vs, V-° „ „ „ 60; °) „ „ V2, V-, V" V°, V° ,, „ „ 120. 2. Bringe die Brüche Vs, Vio "»f den kleinsten gemeinsamen Nenner. v (4, 6, 10) -- 60 V, 15 45 Vs 10 50 Vio 6 42 Oder: 1 I/ 4S/ S/ 45/ . /4 — /so, /4 — /so, 1/ 10/ 5/ 50/ . /s /so, /o — /so, I/ - S/ 7/ 42/ /10 /so, /10 — /so' Stelle folgende Brüche mit dem kl. S/ — 45/ /4 /so, 5/ — 50/ /s /so, 7/ — 42/ /10 - /so- Diese Darstellungsweise schließt sich an den'Gedankengang des münd¬ lichen Rechnens an. g. Nenner dar: 77 8- 52. Abkürzcu der Brüche. Wird in einem Bruche ^/20 der Zähler z. B. durch 4 dividiert, so erhält mnu 4mnl weniger Theile; wenn man zugleich auch den Nenner durch 4 dividiert, so werden die einzelnen Theile des neuen Bruches 4mal so groß; mau erhält daher 4mal weniger, aber 4mal so große Theile, also wird der Bruch durch diese Division nur der Form, nicht aber dem Werte nach geändert; man hat is/ _ ^ 2 : 4 _g. /20 ' 20 : 4 'ö' Der Wert eines Bruches wird also nicht geändert, wenn man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert. Durch die Formveränderung eines Bruches mittels der Division des Zählers und Nenners durch dieselbe Zahl kann man den Bruch abkürzen, d. i. denselben ohne Änderung des Wertes mit kleineren Zahlen darstellen. Dies kann jedoch nur dann geschehen, wenn Zähler und Nenner ein gemeinsames Maß haben. Aufgaben. 1. g.) — 4; k>) Kürze folgende Brüche soweit als möglich ab: O 12/ 15/ 10/ 18/ 20/ 25/ 36/ 48/ 44/ /18, /24, /25, /30, /36, /40, / 54, /60, /66' O 75 192 102 135 666 1625 410 960 o -s-Z-F, m, 'ÖTi-'ö, nn, 7 7^8'- 4. Kürze noch folgende Brüche ab, indem du zwischen Zähler und Nenner das gr. g. Maß suchst: -rTA-r, 805 29 2.^ 803 O'Z'F", 5 1 7, Addition und Subtraction der Brüche. 8- 53. Addition der Brüche. 5 Nenntet und 2 Neuntel sind 7 Neuntel; oder 7° 4- 7° — Vs- Brüche von gleichen Nennern werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und als "Nenner den gemeinsamen Nenner beibehält. Haben die Brüche ungleiche Nenner, so werden sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann addiert. Aufgabe». 1. 4- V» 4- >7» - '7» - 17„. Berechne: 2- ») 72° Ä- 7-° 4- 7-°- d) 57« 4- 67, 4- 87«. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11 12. 13. 14 15. 16. 17. 18. Man hat vier Zahlen; die erste ist 8'//, jede folgende ist um 27s größer als die vorhergehende; wie groß ist die Summe aller? Addiere die Brüche 7s, Vs und 7io- v (5, 6, 10) — 30 7^ 6 ' 18 7s 5 25 7.° 3 4z - 44 - 2^. Berechne: a) 74 7- 7s- b) 7b -7 7°. a) 72 7- 7. 7- 7«. d) 7- 7- Vs -V 7°. ») 7» 7- 7^ -V "/2°. d) '7» -st "/27 7- '7--° 7- "/«- a) 87s 7- 7,2 7- 6'7,0. d) 127,0 7- 137-s 7- 25'7,.. 44 -st 844 7- 544 7- 344 -st ^4?- 2544 Z- 3244 -j- 1544 4- 24/ö 7- 20z4. Prüfe die Richtigkeit folgender Aufgaben: Wie groß ist die Summe von fünf Zahlen, von denen die erste 731"/„ und jede folgende um 277s größer als die vorhergehende ist? Jemand hat 37st. L, 157,« L, 22'7^ Lj 5'7,, L und 12'/z L zu zahlen; wie viel zusammen? Die Seiten eines Dreieckes betragen 225'/, m, 1737t m und 2057s wie groß ist der Umfang? Ein Wasserbehälter wird durch drei Röhren gefüllt; die erste Röhre allein füllt in 1 Stunde '/s des Behälters, die zweite in derselben Zeit '/., die dritte 7°. Welcher Theil des Behälters wird in einer Stunde gefüllt, wenn alle drei Röhren zugleich fließen? Eine Wasserpumpe kann das in einer Grube enthaltene Wasser in 15 Tagen, eine andere in 12 Tagen herausschasfen; welcher Theil des Wassers wird von beiden Maschinen zusammen in einem Tage herausgepumpt? Wie hoch kommt das Ansgrabeu eines 8 m tiefen Brunnens, wenn das Ausgraben für das erste M 37. fl. und für jedes folgende m 7s fl. mehr als für das vorhergehende kostet? 79 8- 54. Subtraktion der Brüche. 7 Achtel weniger 5 Achtel sind 2 Achtel; oder Vs — °/s Vs- Brüche von gleichen Nennern werden subtrahiert, in¬ dem man die Zähler subtrahiert und als Nenner den gemeinsamen Nenner beibehält. Haben die Brüche ungleiche Nenner, so werden sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht nnd dann subtrahiert. Aufgaben. Berechne: 5 subtrahiert? 13. Um wie viel wird der Bruch größer oder kleiner, wenn man im Zähler und Nenner a) die letzte, 6) die zwei letzten Ziffern rechts weglässt? 14. Man hat folgende Brüche: V-, V«, '/3, Vis, 7-2, um wie viel ist die Summe der ersten zwei Brüche kleiner als 1? — um" wie viel die Summe der ersten drei, vier, fünf, sechs Brüche? 80 Man hat vier Zahlen: die erste ist 25'/z, die zweite um 8"'/^ größer als die erste, die dritte nm 12^ kleiner als die zweite, die vierte ist gleich dem Unterschiede zwischen der ersten und dritten; wie groß ist die Summe aller vier Zahlen? 16. Ein Beamter bezieht in einem Monate 174^ Gehalt, er gibt 149^/g /r aus; wie viel erspart er? 17. Drei Säcke wiegen mit dem darin enthaltenen Reis 125^, 127^, 128^4 ^S; die leeren Säcke wiegen 8^, 8^, 8^ ZcA; wie viel Reis ist in allen Säcken? 18. Aus einem Fasse, welches 32^ LZ Wein enthält, werden drei kleinere Fässer, von denen das erste 7^, das zweite 6^, das dritte 6V20 fasst, gefüllt; wie viel Wein bleibt noch im großen Fasse übrig? Multiplication und Division der Brüche. 8- 55. Multiplication eines Bruches mit einer ganzen Zahl. Nimmt man den Zähler eines Bruches, z. B. 5mal so groß, so wird die Anzahl der Theile, somit auch der Bruch 5inal so groß. Nimmt man den Nenner eines Bruches 5mal so klein, d. i. nimmt man von ihm den 5ten Theil, so erhält man 5mal so große Theile, somit wird auch der Bruch 5mal so groß. Ein Bruch wird demnach mit einer ganzen Zahl mnlti- pliciert, indem man entweder den Zähler mit der ganzen Zahl multipliciert oder den Nenner durch dieselbe dividiert. Z. B. V.° X 5 - Vsi °der V10 X 5 — 10. 5- " Vs- Das zweite Verfahren ist vortheilhafter, jedoch nur dann anwendbar, wenn der Nenner des Bruches durch die ganze Zahl theilbar ist. V«X8^5, ^/2. X 25--12. Ein Bruch mit seinem Nenner multipliciert gibt den Zähler zum Produkte. Aufgaben. 1. a) X 7 -- ? v.s X 5 -- ? 2. n) ^X5 —? b) VrsX8--? "V. X 6 ^ ? 5) ^4X16^? °) °V°X5^? X 15 - ? 0) x 337 ? 81 3. X 12 -- -- 8ss - 8?; oder zZ X 12 8z. 3 8- 56. Division eines Bruches durch eine ganze Zahl. Nimmt man den Zähler eines Bruches 4mal so klein, so wird die Anzahl der Theile, somit auch der Bruch, 4mal so klein. Nimmt man den Nenner eines Bruches 4mal so groß, so wird jeder einzelne Theil, somit auch der Bruch, 4mal so klein. Ein Bruch wird also durch eine ganze Zahl dividiert, indem man entweder den Zähler durch die ganze Zahl dividiert oder den Nenner mit derselben multipliciert. Z. B. oder 7- : 4 7-° - 7o- Moinik, Arithmetik, I. Abth. g 82 Das erste Verfahren ist vortheilhafter, jedoch nur dann anwendbar, wenn der Zähler durch die ganze Zahl theilbar ist. Aufgaben. 1. a) r°/ir : 2 - ? st) 7i° : 3 -- ? °) 7is : 4 ^ ? V»:3^? >7»: 2^? ^-8-^? 3 S o 2. 12^^Mr 12^7. 3. a) siz : 20 ^ ? st) : 14 o) : 21 - ? 4. 9z : 5 — izz; oder 9z : 5 V : 5 — zz l^z. Bei der ersten Divisionsart sagt inan: der 5te Theil von 9 ist 1, bleibt 4, 4 Ganze sind und z sind der Sie Theil von sind zz. 5. a) 12°/. : 3 ^ ? st) 177, : 5 ^ ? o) 597,0 - ? 6. a) 30 7zz : 9 - ? st) 342^ : 23 ^ ? <-) 1346zz : 31 ^ ? 7. a) 517z : 36. Berechne ebenso: st) 1907zsi : 56. -: 6 - 86 fz 0) 92484z : 45. -: 6 14zzz ä) 6804,7: 28. 8. 9 nr kosten 38 j- /j7; wie viel kostet 1 -»? 9. 1 7ri kostet 18 wie viel 7,7 bekommt man für 499z 10. In einer Classe von 45 Schülern ist 1 Schüler 107z Jahre alt, 17 find je 11, 15 find je 117g, 11 sind je 12, und 1 ist 13 Jahre alt; welches tst das durchschnittliche Alter eines Schülers dieser Classe? 11. Wenn man 24 7,7 Weizen s 127z und 16 7,7 ü 127g mischt und beim Verkaufe den 7ten Theil des Preises gewinnen will; wie viel beträgt der Gewinn und wie thcuer muss man das 7,7 des so gemischten Weizens verkaufen? Z. 57. Multiplikation mit einem Bruche. Es sei eine Zahl mit 7» M multiplicieren. Hier sollte nach der in Z. 17 gegebenen Erklärung der Multiplikation die gegebene Zahl ^mal als Summand gesetzt werden, welche Aufgabe offenbar keinen Sinn hat. Wir werden daher den ursprünglich für ganze Zahlen auf¬ gestellten Vorgang in derselben Weise wie beim Multiplicieren mit einer niedrigeren Rangzahl (Z. 20, ä) anwenden. Multipliciert man eine Zahl, z. B. 5, der Reihe nach mit 4, 3, 2, 1, so erhält man als Producte 20, 15, 10, 5; bei gleichbleibendem Multi- plicanden nimmt sonach das Product in dem Maße ab wie der Multi- 83 plicator, ist der Multiplicator die Hälfte, der vierte Theil, so wird mich das Product die Hälfte, der vierte Theil. 1 ist die Hälfte von 2, 2 die Hälfte von 4 und 5 ist die Hälfte von 10 und 10 die Hälfte von 20. In 5 X ist der Multiplikator uur halb so groß wie iu 5X1, daher wird auch das erstere Pro¬ duct nur halb so groß sein als das letztere, also 5 X ebenso ergibt sich 5 X ft — demgemäß kann man auch sageu: eine Zahl wird mit ft... multi- pliciert, wenn man sie durch 2, beziehuugsweise 3, 4.. dividiert. Ist eine Zahl, z. B. 5, mit zu multiplicieren, so ist zu be¬ achten, dass — ft -ft -f -ft ft ist, dass sonach 5 X -2 sagt, man soll den vierten Theil von 5 dreimal nehmen. Der vierte Theil von 5 ist ft, sonnt ist dreimal der vierte Theil oder Eine ganze Zahl wird demnach mit einem Bruche multipliciert, wenn man das Product aus der Zahl und dem Zähler durch den Nenner dividiert, oder das Product einer ganzen Zahl und eines Bruches ist ein Bruch, dessen Zähler das Product aus der ganzen Zahl und dem Zähler des Multiplicators, und dessen Nenner der Nenner des Multiplicators ist. Ist ein Bruch mit einem Bruche zu multiplicieren, z. B. ft X ft, so sagt dies nach der obigen Erklärung, der fünfte Theil von ft ist drei- mal zu nehmen. Der fünfte Theil von ft ist (§. 56) Zu, somit ist dreimal der fünfte Theil X 3 — sft- Das Product zweier Brüche ist also ein Bruch, dessen Zähler das Product der Zähler und dessen Nenner das Product der Nenner der gegebenen Brüche ist. Aufgaben. 1. -r) 12 X 7° ? 1>) 10 X 7° ? °) 13 X 7« ? 25X V°--? 27X7,--? 15X7,.^? 2. a) 613 X ^8- Berechne ebenso: 6) 938 X 78- 3067,.ftft °) 159 X 7i2- 7 67,.. 7« 74 von 7, ä) 207 X '72°- 3837«. 3. u) V, X °7 - ? 1>) 7,9 X 7:2 - ? o) 7.0 X 7s - ? 2 > s V/ 7 - SS - 14. ndov X — '4 /X. — n-, vvcr 15 12 — 4"^- 3 Wenn der Zähler des einen nnd der Nenner des andern Bruches ein ge¬ meinsames Maß haben, so kürzt man sie noch vor der Multiplikation ab. 6" 84 5. a) z X ? 6) X ? o) i-z X ? 6. 372 X 67, 72 X "7- - '°/s 237-. 7. a) 7 X 67, ^ ? d) 15 X 97« ? 8. a) 47, X Vd- ? b) 87, X 7» - ? 9. ni 77, X 37, ? 6) 197, X 97« ? 18 X 77, - ? °) 257, X 7° ? «H 2174 X 127, ? 10. Multipliciere 209 mit 874- 14. 11m wie viel ist das Product der Brüche 7°, 7s, V4 und 7, kleiner als ihre Summe? 15. Wie viel kosteu 7» wenn 1 Ly 17z, kostet? 16. Der Umfang eines Kreises ist 3jmal, genauer zzzmal so groß als der Durchmesser; a) wie groß ist für jede dieser Angaben der Umfang eines Kreises, dessen Durchmesser 4 m 7 ck--r beträgt? k) wie groß ist der Unterschied beider Resultate? 17. Drei Personen sollen eine Summe von 3857, -67 so theilen, dass 7io davon, L 74 und 0 den Rest bekommt; wie viel erhält jede Person? 18. L hat 27»mal so viel Geld als 6 17,mal so viel als L, I) 7«mal so viel als 6; wenn nun 457, hat, wie viel hat a) jeder der übrigen, 6) wie viel haben alle zusammen? 8. 58. Division durch einen Bruch. Werden in einer als Bruch dargestellten Zahl Zähler und Nenner ver¬ tauscht, so heißt die neue Zahl der reciproke Wert der gegebenen. So ist 7i der reciproke Wert von 7,, o „ „ ,, ,, /,- 85 Gib die reciproken Werte folgender Zahlen an: V-, 7-, V4, 6, 2V2, 3°/«. Jede Zahl gibt mit ihrem reciproken Werte multipliciert 1 zum Producte; z. B. Vs . 7. - 7 V. . 5 -- 1. Es sei nun 7 durch 7s zu dividieren. Der Quotient ist diejenige Zahl, welche mit dem Divisor 7s multipliciert den Dividend 7 gibt, d. i. von welcher der 5te Theil 7 ist. Die Zahl mm, deren 5ter Theil 7 ist, ist das »fache von 7; somit 7 : 7. - 7 X 5. Entwickle durch ähnliche Schlüsse, dass 7 : V2 -- 7 X 2, 7 : Vb -- 7 X 3 ist. Um also eine Zahl durch 7°, 7s, 7° ZU dividieren, multipliciert man sie mit dein reciproken Werte 2, 3, 5. Es sei ferner 7 durch 7s zu dividieren. Hier soll die Zahl gesunden werden, welche mit 7s multipliciert, d. i. von welcher der 5te Theil 4mal genommen, 7 gibt. Die Zahl, welche 4mal genommen 7 gibt, ist der 4te Theil von 7; die Zahl aber, von welcher schon der 5te Theil 4mnl genommen 7 gibt, ist 5mal so groß, also bmal der 4te Theil von 7, d. i. 7 X "7; somit ist 7 : 7s - 7 X 7.- Begründe aus gleiche Weise die Richtigkeit folgender Quotienten: 7 : 27 -- 7 X 7.2, 7 : 7^ 7 X 7s- Hieraus ergibt sich der Satz: Eine Zahl wird durch einen Bruch dividiert, indem man sie mit dem reciproken Werte desselben multipliciert. Auf diesen Satz wird man auch durch die Lösung angewandter Aufgaben geleitet. Z. B. 7s kosten 7 st.; wie viel kostet 1 /,/? Wenn 4 /r/ 7 fl. kosteten, so würde 1 7U den 4ten Theil von 7 st. kosten, man müsste also 7 st. durch 4 dividieren; kosten nun 7s ^7 7 st., so wird man, um deu Preis für 1 /U zu erhalte», 7 fl. durch 7s dividieren, 1 7-i kostet demnach 7 fl. : 7s- Was diese Division bedeutet, ergibt sich sogleich, wenn inan die Aufgabe durch gewöhnliche Schlüsse auflöst. Kosten 7s 7 fl., so kostet 7z /U den 4ten Theil von 7 fl.; 1 kostet dann 5mal so viel, somit 5mal den 4ten Theil von 7 fl. Man muss also 7 fl. fortschreitend durch 4 dividieren und mit 5 multiplicieren, d. i. 7 fl. : 7,^ 7 fl. X 74- 86 Häufig trete» die Multiplikation und die Division der Brüche mit einander in Verbindung. Es sei z. B. 7-o X Vs durch X/i° zu dividieren. Man hat 3 7-0 X Vs 7 X 3 X 13 SS/ - 10 X 8 X 11 2 Der Quotient wird nicht geändert, wenn man den Dividend nnd den Divisor mit derselben Zahl multipliciert oder durch dieselbe Zahl dividiert. Multipliciert man hier Dividend und Divisor mit 10, so fällt lO als Nenner im Dividend weg, kommt dagegen als Factor in den Divisor. Ebenso wird durch die Multiplikation mit 8 der Nenner 8 des Dividends als Factor in den Divisor, und durch die Multiplikation mit 15 der Nenner IS des Divisors als Factor in den Dividend gebracht. Der dadurch entstandene Bruch wird sodann durch 5 (wodurch lO nnd 15 theilbar sind) abgekürzt. Wenn gemischte Zahlen Vorkommen, so werden sie in unechte Brüche verwandelt. Z. B. 2 2V, X 3V- 7- X '7. 3 X 18 X 4 IV4 7- 2X 3X7 - 5'7. Aufgaben. Berechne: 11. Wie thcuer kommt 1 m zu stehen, wenn V» 72 /1 kosten? 12. Ein Kaufmann gewann beim Verkaufe einer Ware 257, X, und zwar an jedem LA 7» ^7 wie viele LA hat er verkauft? 13. Ein Bote legte in einer Stunde 47g Li» zurück; in welcher Zeit legt er 210 Lm zurück? 14. Ein Acker, welcher 2'7 L« enthält, wird nm 2520- fl. verkauft; wie hoch kommt 1 L« zu stehen? 87 15. Jemand kauft um 57^ L' Zucker und Kaffee, und zwar vvn jedem nm die Hälfte des Betrages; wenn nun 1 Zucker und 1 Kaffee 3*/g X kostet, wie viel bekommt er Zucker und wie viel Kaffee? 16. In ein Fass, welches 56 l fasst, fließt durch zwei Röhren Wasser; die erste allein füllt das Fass in 16 Minuten, die andere in 12 Minuten; a) wie viel Wasser liefert jede Röhre in 1 Minute? d) in wie viel Minuten wird das Fass voll sein, wenn sich beide Röhren zugleich in dasselbe ergießen? Verwandlung der gemeinen Brüche in Decimalbrüche und u mge kehrt. K. 59. Die Decimalzahlcn als Brüche. Die Decimalzahlen lassen eine zweifache Auffassungöweisc zu. Mau kann dieselben als eine Erweiterung des dekadischen Zahlensystems über die Einer hinaus darstellen und dann mit ihnen nach den Gesetzen der dekadischen Zahlen rechnen, wie dies hier im I. Abschnitte geschehen ist. Man kann aber die Decimalzahlen auch als Brüche, deren Nenner eine höhere Rangzahl 10, lOO, 1000.. ist, betrachten und in diesen: Falle mit Anschreibung des Nenners auch in der Form von gemeinen Brüchen darstellen. So ist 0'7 --r-V, 2'3 0'01 — 1-ssU, 0'53 — J/,, 5'41 0 001 — iZn, 0'029 — 0'627 - u. s. w. Werden die Decimalzahlen in der Form von Brüchen dargestellt, so können aus sie auch die für das Rechnen mit gemeinen Brüchen ent¬ wickelten Gesetze angewendet werden. Z. B. 0-534 X 2-67 X 1'42578. 8- 60. < Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Tccimalbruch. Um einen gemeinen Bruch iu einen Dccimalbruch zu verwandeln, darf man nur den Zähler durch den Nenner dividieren. Z. B. z — 7g : 8 — 0-875, --- 113 : 25 — 4'52. 60 130 40 50 0 0. Schließt die Division ohne Rest ab, so heißt der erhaltene Deci- malbruch ein endlicher. Dieser Fall tritt nur ein, wenn der Nenner des 88 gemeinen Bruches 2 oder 5, oder ein Product ist, das keinen von 2 und 5 verschiedenen Factor enthält, da mau nnr in diesem Falle den Bruch derart erweitern kann, dass sein neuer Nenner eine höhere Rangzahl wird. In jedem andern Falle geht die Division nicht ohne Rest auf und heißt dann der Decimalbruch ein unendlicher. Z. B. 8^:11 ^ 0 7272.., ^^97:15^6'466.. 30 70 80 100 30 100 8 10. Wenn die Division nicht ohne Rest ausgeht, so muss bei fort¬ gesetzter Rechnung, da der Rest stets kleiner sein muss, als der Divisor, einer der schon einmal übrig gebliebenen Reste nothwendig wieder er¬ scheinen und es werden daher auch im Quotienten Ziffern, die schon einmal dagcwcscn sind, in derselben Reihenfolge wiederkehren. Ein Decimalbruch, in welchem eine Ziffer oder eine Reihe von Ziffern immer wiederkehrt, heißt ein periodischer, und die Reihe der Ziffern, welche sich wiederholen, die Periode. Jeder unendliche Decimalbruch, der ans einem ge¬ meinen Bruch entsteht, ist ein periodischer. Man pflegt die Periode nur einmal anzuschreiben, jedoch die erste und die letzte Ziffer derselben mit je einem darüber gesetzten Punkte zu bezeichnen. Es ist demnach: -^0'72; f^6'46. Je nachdem die Periode mit der ersten Decimalstelle oder erst mit einer späteren Stelle anfängt, heißt der periodische Decimalbruch reiu- periodisch oder gemischtperiodisch. Ein reinperiodischer Decimalbruch entsteht aus eiuem gemeiueu Bruche, dessen Neuner weder 2 noch 5 als Factor enthält; ein gemischtperiodischer aus eiuem ge¬ meinen Bruche, dessen Nenner 2 oder 5 und auch andere Primfactoren enthält. Aufgaben. Verwandle folgende gemeine Brüche in Decimalbrüche: 1 1 3 7 19 25 101 29 73 37 1/ 's'/ 4/ 1?/ T' / 1 H/ l'fs/ ^?s/ §4' O 2 5 7 40 20 31 602 5 il ^/ 9> H/ "§?/ 7^/ ?7> HI/ ^/ H 5 14 25 217 49 25 216 5 1 1 07 O- ss, -P5, "s?, ^/ -Z-6> -7-7-8-, -F-^, T-gl- 4. Ein Zwanzig-Kronenstück wiegt 6^§y- verwandle den gemeinen Bruch in einen Decimalbruch. 89 8- 61. Verwandlung eines Decimalbruches in einen gemeinen Bruch. 1. Um einen endlichen Decimalbrnch in einen gemeinen Bruch zu verwandeln, stellt man ihn mit Ausschreibung seines Nenners dar. Z. B. 0'75 — — H; 0'048 — 2. Es sei der reinperiodische Decimalbrnch 0'37 in einen gemeinen Bruch zu verwandeln. Die Periode hat zwei Ziffern. Multi- pliciert man daher den ohne Ende fortlaufenden Decimalbrnch 0 373737.. mit 100 und subtrahiert davon den gegebenen Bruch, so fallen in der Differenz die Decimalen weg; man hat 100 facher Bruch 37 - 3737. . l Ifachcr Bruch e 0 3737. . l subtrahiert 99facher Bruch — 37, daher der Bruch selbst — zz; somit 0-37 - ^z. Nach demselben Vorgänge erhält man: 0'6^2, '0'23^^; 0'401-^z. Welches Gesetz herrscht in den erhaltenen gemeinen Brüchen? 3. Ist ein gemischtperiodischer Decimalbrnch in einen gemeinen Bruch zu verwandeln, so multipliciert man ihn, je nachdem der Periode 1, 2, 3,. . Decünalzahlen vornngehen, mit 10, 100, 1000.., wodurch man einen reinperiodischen Decimalbrnch erhält; man darf dann nur diesen in einen gemeinen Bruch verwandeln und den letzteren noch bezüglich durch 10, 100, 1000,.. dividieren. Z. B. 0-52 --5'2 : 10^ 5z : 10-- zz. 0-067 ^6-7 :100— 6z : 100 0-8126 81-26 :100 8izz: 100 z°-zz. Aufgaben. Verwandle folgende Decimalbrüche in gemeine Brüche. 1. 0-4, 0-63, 6-48, 0 15, 0'025, 0 064, 3'1225. 2. 0-5, 0-3, 0 72, 3-42, 0'06, 8'98, O'öOI. 3. 0-42S, 2-936, 0 423, 0'6439, 7-ö230. 4. 0-58, 0-83, 2-48 , 0-08Z, 0-426, 9'826. 5. 0-196, 0'306, 0'5727, 5 5226, 0 15296. 90 VIII. Verhältnisse und Proportionen. 1. Verüättmffe. 8- 62. Durch die Division zweier Zahlen im Sinne des Messens (tz. 22) wird untersucht, wie oft die zweite Zahl in der ersten enthalten ist. Der Quotient der beiden Zahlen heißt in diesem Falle auch das Ver¬ hältnis der ersten Zahl zur zweiten. Ist z. B. 15 durch 5 im Sinne des Messens zu dividieren, d. i. zu bestimmen, wie oft 5 in 15 enthalten ist, so drückt der Quotient 15 : 5 das Verhältnis von 15 zu 5 aus und wird als solches gelesen: 15 verhält sich zu 5, oder- kürzer: 15 zu 5. Der Dividend 15 heißt das Vorderglied, der Divisor 5 das Hinterglied, und der ausgerechnete Quotient 3 der Exponent des Verhältnisses. Die Glieder eines Verhältnisses sind beide unbenannt oder beide benannt; im zweiten Falle müssen sie gleichartig sein, also gleichnamig gemacht werden können. Ein Verhältnis, dessen Glieder unbenannte Zahlen sind, heißt ein Zahlen Verhältnis; ein Verhältnis, dessen Glieder benannte Zahlen sind, ein Größenverhältnis. Aus den vorstehenden Erklärungen folgt: 1. Der Exponent eines Verhältnisses ist gleich dem Vorder- gliede dividiert durch das Hinterglied. 2. Das Vorderglied eines Verhältnisses ist gleich dem Hinter- gliede multipliciert mit dem Exponenten. 3. Das Hintcrglied eines Verhältnisses ist gleich dem Vorder- glicde dividiert durch den Exponenten. 8- 63. Verhältnisse, welche denselben Exponenten haben, heißen gleich. Jedes Größenverhältnis lässt sich als ein Zahlenver¬ hältnis darstellen. So ist das Verhältnis 10 st. : 5 st. gleichbedeutend mit dem Verhältnisse 10 : 5, weil beide den Exponenten 2 haben. Ein Verhältnis bleibt so lange unverändert, als der Exponent desselben sich nicht ändert. Ein Verhältnis wird daher nicht geändert, wenn man beide Glieder mit derselben Zahl multipliciert oder durch dieselbe Zahl dividiert, weil in beiden Fällen der Exponent un¬ verändert bleibt. 91 / i) Die Formveränderung eines Verhältnisses dnrch die Aiuttiplication seiner Glieder dient dazu, um ein Verhältnis, dessen Glieder Brüche enthalten, durch ganze Zahlen darzustellen. Z. B. 5 : z — 5.3 : z.3 — 15 : 2, z : - — -.15 : ^.15 — 10 : 9, 2z: iz^.6: -^.6 ^14: 11. Mittelst der Formveränderung eines Verhältnisses dnrch die Di¬ vision kann man jedes Verhältnis, dessen Glieder dnrch dieselbe Zahl theilbar sind, ab kürz en. Z. B. 20:8^5:2, 12:6^2:1, 100:48 ^25:12. Aufgaben. 1. Suche die Exponenten folgender Verhältnisse: 18 : 12, 12 : 18, 35 : 28, 28 : 35, 140 : 360, 1024 : 36. 2. Bestimme das Vorderglied eines Verhältnisses, dessen Hinterglied a) 3, b) 8, o) 5V?, und dessen Exponent 3 ist. 3. Suche das Hinterglied eines Verhältnisses, dessen Vorderglied a) 10, b) 22, o) 8°/z, und dessen Exponent 5 ist. Stelle folgende Verhältnisse mit ganzen Zahlen dar: sl7, : 2-/, : 3V„ 7'/, : 2-/,^ 19V„ : 27^2- 5. Wie verhalten sich zwei Brüche von gleichen Nennern? 6. Kürze folgende Verhältnisse ab: 16 : 36, 57 : 18, 50 : 65, 72 : 56, 375 : 90. 7. Folgende Verhältnisse sollen auf die einfache Form gebracht, d. i. in ganzen Zahlen dargestcllt und dann, wenn es angeht, ab¬ gekürzt werden: ->) 4:6V« d)17V«:8V7 °) 3^ 5V, : 7'/» 11V« : 2'/, 1^6^ ^V8^ ^257D5^ 8. Wie verhalten sich 5 m zu 2ckm? 9. Wie verhält sich die Geschwindigkeit des Minutenzeigers einer Uhr zu der des Stundenzeigers? 10. Eine Kanonenkugel legt in einer Secunde 228 m zurück, der Schall 333 wie verhalten sich diese Geschwindigkeiten zu einander? 11. Von zwei Locomotiven legt die eine in jeder Minute 500 m, die andere 550 m zurück; wie verhalten sich ihre Geschwindigkeiten? 12. Von zwei Locomotiven legt die eine den Weg von 1 Lm in 2 Mi¬ nuten, die andere in 2'/? Minuten zurück; wie verhält sich die Geschwindigkeit der ersten Locomotive zu jener der zweiten? 13. geht in 3 Stunden so weit als L in 4 Stunden; wie verhaften sich ihre Geschwindigkeiten? . 92 14. Eine Straße erhebt sich auf Im um 3 6/»; wie groß ist das Vem hältnis der Steigung? 15. 100 geogr. Meilen — 742 Lm; wie verhält sich 1 geogr. Meile zu 1/em? 16. Ein ck»? Gold wiegt 19^^^, ein ck-r? Silber lO'/z^A; wie verhalten sich diese Gewichte zu einander? 17. 1 Li/ Gold wird zu 3280 Kronen, 1 /ey- Silber zu 180 Kronen gerechnet: wie verhält sich der Wert des Goldes zu dem des Silbers? 18. Ein Kreis, dessen Durchmesser Im ist, hat 3^/? m Umfang; welches Verhältnis findet zwischen dem Durchmesser und dem Um¬ fange statt? 19. Ein Vater ist 36, sein Sohn 9 Jahre alt. Wie verhält sich das Alter des Vaters zu dem des Sohnes; in welchem Verhältnisse stand es vor 6 Jahren? 20. Ein /-/, Weizen kostet 13 20 k; ein Gerste 9 60 /r; wie verhält sich der Preis des Weizens zu dem der Gerste? 21. Die Summe von 350 fl. wurde unter zwei Personen so getheilt, dass 210 fl., L den Rest erhielt; nach welchem Verhältnisse fand die Theilung statt? 22. Ein Wasserbehälter kann durch zwei Röhren gefüllt werden, und zwar durch die erste in 2 Stunden 24 Minuten, durch die zweite in 3 Stunden 18 Minuten; wie verhalten sich die Wassermengen, welche in derselben Zeit aus jeder der beiden Röhren fließen? 23. Ein frei fallender Körper legt in einer Secunde 4'9 m, in zwei Secnnden 19'6 m, in drei Secunden 44'1 m zurück; wie verhält sich die erste dieser Strecken zur zweiten, und wie zur dritten? 2. Proportionen. 8- 64. Die Gleichstellung zweier gleicher Verhältnisse heißt eine Propor¬ tion. Z. B. 10 : 5 — 12 : 6 ist eine Proportion, und wird gelesen: 10 verhält sich zu 5, so wie sich 12 zu 6 verhält, oder kürzer: 10 zu 5 wie 12 zu 6; 10 ist das erste, 5 das zweite, 12 das dritte und 6 das vierte Glied der Proportion. Das erste und vierte Glied nennt man die äußeren, das zweite und dritte die inneren Glieder. Eine Proportion, in welcher das zweite und dritte Glied gleich sind, heißt eine stetige Proportion, und jedes der inneren Glieder die nnttl^^^eo^estrflsck^_^P^spuu^flcuiale oder das geo- 93 metrische Mittel zwischen den beiden äußeren. Z. B. 24 : 12 — 12 : 6 ist eine stetige Proportion, 12 das geometrische Mittel zwischen 24 und 6. In einer Proportion können auch benannte Zahlen Vorkommen, nur müssen die beiden Glieder eines jeden Verhältnisses gleichnamig plication sein; z. B. 12 m : 4 rn — 30 L : 10 Li Eine solche Proportion heißt eine Größenproportion, zum Unterschiede von einer Zahlen pro-, /> Portion, deren Glieder unbemannte Zahlen sind. So wie jedes Größenverhältnis als Zahlenvcrhältnis, kann auch jede Größenproportion als Zahlenproportion dargcstellt werden.^^^/X, . Zur leichteren Übersicht der hier abzuleitenden Grundgesetze der" Proportionen soll das erste Glied mit a, das zweite mit i>, das dritte niit o, das vierte mit cl und der Exponent der beiden gleichen Ver¬ hältnisse mit o bezeichnet werden, so dass n : b — o: ä eine Proportion darstellt, in welcher a : U — s und o: ci — o ist. z. W. ' lUDa n — b X s und ä — ist, so erhält man durch MultU sr a X ä — d X s X oder a X 4 — l) X e, d. h. In jeder Zahlenproportion ist das Product der «äußeren Glieder gleich dem Producte der inneren Glieder. 10 : 5 12 : 6; 10 X 6 5 X 12. X In einer stetigen Proportion 9 : 6 — 6 : 4 muss hiernach das geometrische Mittel mit sich selbst multipliciert das Product der beiden anderen Zahlen geben, also 6 X 6 — 9 X 4 sein. Das arithmetische Mittel zweier Zahlen (Z. 2a, Aufg. 4) muss zu sich -selbst addiert die Summe dieser Zahlen geben. 2. Umgekehrt. Aus zwei gleichen Producten, deren jedes zwei Factoren enthält, kann man immer eine Pro¬ portion bilden, indem man die Factoren des einen Pro- dnctes zu äußeren, die des anderen Productes zu inneren Gliedern macht. Ist a X ä — b X o, so ergibt sich, wenn man auf beiden Seiten durch ä X b dividiert, nXcl dXo„a o äH " ^x^' d 4' °der g. : U — o : ä. , Aus 12 X 4 — 6 X 8 folgt die Proportioll 12:6 — 8:4. Das Kennzeichen für die Richtigkeit einer Proportion ist demnach nicht nur die Gleichheit der Exponenten beider Verhältnisse, 94 sondern auch die Gleichheit der Producte aus deu äußeren und aus den inneren Gliedern. 3. Aus a X 4 - d Xv erhält man, wenn auf beiden Seiten einmal durch 6, dann durch a dividiert wird, - Jedes äußere Glied einer Proportion ist gleich dem Producte der inneren Glieder dividiert durch das andere äußere Glied. Z. B. In einer Proportion 10 : 15 — 2 : 3 ist 4. Aus d X o — a X ci ergibt sich, wenn man aus beiden Seiten zuerst durch o, dann durch 5 dividiert, a X ä a X ä ,d. h. Jedes innere Glied einer Proportion ist gleich dem Producte der äußeren Glieder dividiert durch das andere innere Glied. Z. B. In der Proportion 6 : 2 — 15 : 5 ist 8- 66. Proportion kann verschiedenen F o rm v e r ä n d er u n g e n werden, ohne dass sie aufhört richtig zu sein, wenn nur bei diesen Veränderungen der ExponM der beiden Verhältnisse ungeändert oder das Product der äußören Glieder dem Producte der inneren Eine unterworfen Glieder gleich bleibt. Hieraus folgt: 1. Wenn man in einer Proportion gleichartiger oder uubenaunter Zahlen 1. die äußeren Glieder untereinan¬ der, oder 2^dic innchcen'Glieder untereinander, oder 3. die äußeren Glieder mit den inneren Gliedern verwechselt, so erhält man durch jede solche Verwechslung wieder eine Proportion. Aus der Proportion 1) u: i> - o: ä ergeben sich demnach die Proportionen: 2) a : o — i> : ä, 5) lo : u — ä: o, 3) ci : 6 — o: a, 6) o : a — ä : d, 4) ä : o — i> : u, ' 7) b : cl — u : o, 8) o : cl — a : i>. 95 Die Vertauschung der äußerest Glieder mit den inneren ist allge¬ mein für jede Proportion zuläUgst^ 2. Wenn man in irgend einer Proportion ein äußeres und ein inneres Glied mit derselben Zahl multipliciert, so erhält man wieder eine Proportion. Mit Hilfe der Multiplication eines äußeren und eines inneren Gliedes kann man jede Proportion, in welcher Brüche vorkommen, mit ganzen Zahlen dar stellen; mit Hilfe der Division kann jede Pro¬ portion, in welcher ein inneres und ein äußeres Glied ein gemeinsames Blaß haben, durch dieses abgekürzt werden. 3. Multipliciert man in zwei Zahlenproportionen die gleichstelligen Glieder mit einander, so bilden die Producte wieder eine Proportion. Ist : L — 0 : D, und a: st — o : ä, so kann man statt dessen auch -- — und setzen. Dann Ist aber auch D oder ^.Xa:LXl> — 6Xo:OXä, da Gleiches mit Gleichem, multipliciert, Gleiches geben muß. Man sagt, die letzte Proportion ist ans den gegebenen zwei Pro¬ portionen zusammengesetzt. So geben die Proportionen 6 : 3 — 8 : 4 und 2 : 5 — 6 : 15 die zusammengesetzte Proportion 6 X2:3X5—8X6:4X15, ., oder 12 : 15 — 48 : 60. 4. Ist a: st — o: ci eine Proportion mit dem Exponenten o, so ist st in a smal, in a -st st also (o -st 1)mal enthalten. Es ist somit (a -st st) : st — (o -st 6) : 6, oder wenn man die inneren Glieder vertauscht, (a -st st) : (o -st ä) — st: st. Aus a: st — o: ä folgt aber a : o — st : ä; sonnt ist auch / (g. -st st) : (o -st ä) — a: o. In jeder Proportion gleichartiger oder unbenannter Zahlen verhält sich die Summe der zwei ersten Glieder zur Summe der zwei letzten Glieder, wie das erste Glied zum dritten, oder wie das zweite zum vierten. Z. B. Aus der Proportion 24 : 8 — 18 : 6 folgt auch (24 -st 8) : (18 -st 6) 24 : 18 und ^8:6. 5. Durch ähnliche Schlüsse ergibt sich der Satz: In jeder Proportion gleichartiger oder unbenannter Zahlen verhält sich die Differenz der zwei ersten Glieder 96 zur Differenz der zwei letzten Glieder, wie das erste Glied zum dritten, oder wie das zweite zum vierten. Z. B. Aus der Proportion 24 : 8 — 18 : 6 folgt auch (24 — 8): (18 — 6) 24 : 18 und ^8:6. 8- 67. Aus einer Proportion, in welcher drei Glieder bekannt sind, daS unbekannte Glied finden, heißt die Proportion auflösen. Das um bekannte Glied wird mit einem der Buchstaben x, 2 bezeichnet. Eine Proportion wird aufgelöst, indem man a) den Exponenten des bekannten Verhältnisses sucht und mittelst desselben daS unbekannte Glied des andern Verhältnisses bestimmt, oder bei Zahlen Proportionen noch einfacher d) nach den Sätzen 6. und 4. im tz. 6b. Z. B. Für die Proportion x : 3 — 30 : 5 findet man: a) 30 : 5 — 6, x — 3 X 6 — 18; oder , . 3 X 30 1 o v c. 0) x — — - — 18; daher ifi 18 : 3 — 30 : b die vollständige Proportion. Am besten erscheint es hier, aus der Proportion, ohne sie früher auf eine einfachere Form zu bringen, unmittelbar das unbekannte Glied zu suchen. Aufgaben. Aus den folgenden gleichen Producten sollen Proportionen gebildet und ans diesen durch Vertauschung der Glieder neue Proportionen ab¬ geleitet werden. 1. 2 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. a) 12 X 4 6 X 8. 0) 10 X V- — 5 X l'/s- a) 4'/2 X 17- -- 3 X 2. 6) 3^ X V. - 47, X 7-- Drücke folgende Proportionen durch die kleinsten ganzen Zahlen aus: a) x: 18 — 24 : 21. b) x : 15 8 : 6. n) 5'/, - 67« -- 18 : x. d) 7, : 7. 7« - -- a) x : 13"/„ - 277„ : 5) 17,0 : x 47, : 57,- Löse folgende Proportionen auf: u) 3 : 4 — 5 : x. a) 63 : 21 45 : x. b) a) 88 : x — 72 : 63. l>) 77, : 27o -- x : 57«. 3 : x — 6 : 36. 77 : 56 — x : 15. x : 15 — 165 : 66. - I7-.X 5°/s - 39.45.6 — , 20s —5.8.13.— u) 57, : 77,-. X:27g.' u) 14 : 4^ - x : 574. u) 17, - x 3'7-, : 47,- 3) x : 79 — 37b : 5. b) x : 1072 47, : 97s- 6) 177, : 12744 - 147g : X. 97 13. a) 10"/,,:x^13"/»-18'7-°.d) 9"/,« : 10Vo--27°/« : x. 14. a) 243-/^:317^4 ^x:55^-^ 4-35 : x 3'18 : 2'31. 15. a) 2-5 : 0-5 ^x: 0-4. b) x : 0'45 16-625 : 9'5. 3. Einfache Kegeldetri. 8- 68. ^Zwei Größen heißen von einander abhängig, wenn eine Änderung der einen Größe auch eine Änderung der andern zur Folge Hal. 1. Hängen zwei Arten von Zahlen so von einander ab, dass einer 2-, 3-, 4mal so großen Zahl der einen Art auch immer eine 2-, 3-, 4mal so große Zahl der andern Art entspricht, so sagt man: die beiden Arten von Zahlen sind gerade proportioniert, oder sie stehen in einem geraden Verhältnisse, / So sind Ware und Preis gerade proportioniert; denn 2mal so viel von der¬ selben Ware kostet auch 2mal so viel Geld, 3mal so viel Ware kostet auch 3mal so viel Geld, 4rnal so viel Ware kostet 4mal so viel Geld. In einem geraden Verhältnisse stehen auch: die Zeit der Arbeit und der Lohn, der Lohn und die Zahl der Arbeiter; die Zeit und der zurückgelegte Weg bei einer gleichförmigen Bewegung; Capital und Zins, Zeit und Zins; Einlage bei einer Unter¬ nehmung und Gewinn; u. dgl. m. Kostet z. B. 1 LA einer Ware 7 7i7, so kosten 6 LA derselben Ware 42 Ll und 4 L? 4567 gibt zu 1^ den lOOsten Theil von 4567 — 45'67, „ 5A »mal so viel, also 45'67 X 5 — 228'35. m Grundwert Procentantheil —-1O(X Procent. Mit Hilfe der Proportion hatte man: 100 Grundwert 5 Antheil x : 5 — 4567 : 100 Aufgaben. 1. Wie viel ist 1A von folgenden Zahlen: 200, 300, 800, 1700, 650, 1280, 2542, 392'8? 2. Berechne 2^, 3^, 5^, 8^, 12A von: 5. Welche Zahl ist a) um 6^ größer als 200, als 900, 1560, 867'5? Io) nm 5^2^ kleiner als 340, als 750, 2148, 39'36? 6. Eine Stadt zählt 6360 Einwohner; wie viel sind 15 U davon? 7. Jemand hat ein jährliches Einkommen von 1842 L, wovon 4H Einkommensteuer zu zahlen sind; wie viel beträgt diese Steuer? 8. Jemand soll 345 Steuer zahlen, wobei ihm 3^ Nachlass bewilligt werden; wie viel hat er zu entrichten? 9. Wie viel muss inan für 516 sl. Steuer sammt einem Zuschläge von 23Zahlen? 108 10. Ein Arbeiter verdiente täglich 2 /r 50 7r; wie groß wird der Tag¬ lohn, wenn der Arbeiter täglich 8A mehr verdient? 11. Zu einem Baue hat mau 64800 Ziegelsteine nöthig; wie viel Stück müssen geliefert werden, wenn man für Bruch und Verlust 8^/2 A dazu rechnet? 12. Eine Straßenstrecke von 6350 m hat eine Steigung von 1'8A; wie viel m beträgt die Steigung? 13. Von 410 35jährigen Menschen sterben 40 A bis zum 60sten Jahre; wie viel erreichen demnach das 60ste Jahr? 14. Ein Capital von 2060 L' trägt jährlich 5A Zinsen; wie viel betragen die Zinsen? 15. Welche» reinen Zinsertrag wirft ein Haus im Werte von 24800 ab, wenn es 4^.,^ trägt? 16. Ein Schuldner vergleicht sich nut seinem Gläubiger dahin, dass er dessen Forderung von 2680 fl. mit 78 A bezahlen wolle; wie viel wird dieser erhalten? 17. Jemand kauft um 928 X Waren ein und gewinnt bei deren Ver¬ kaufe 12A, d. h. er nimmt für je 100 X, die er beim Einkäufe auslegt, dein: Verkaufe 112 L" ein; wie viel beträgt a) der ganze Gewinn, k) die Verkaufssumme? 18. Wie theuer wurde eine Ware bei 6A Gewinn verkauft, wenn der Einkaufspreis 795 L' betrug? 19. Wenn das m Tuch im Einkäufe 3 fl. 20 kr. kostet, wie hoch muss es im Verkaufspreise gesetzt werden, wenn man 12 A gewinnen will? 20. Jemand kauft das m Tuch zu 8 /0 50 L und sieht sich genöthigt, das Tuch mit 4^ Verlust zu verkaufen; wie theuer verkauft er Im? 21. Ein Getreidehändler kaufte um 2430 /C Gerste und verkaufte bei 12 A Gewinn das zu 10?/^ Ti7; wie viel ZiZ hatte er gekauft? 22. Wie groß ist der Gewinn ä 16 bei einer für 1860 /r verkauften Ware? Für 100 L" Einkaufspreis ist bei 16^ Gewinn 116 der Verkaufspreis, d. i. auf 116 Verkaufspreis sind 16 L Gewinn zu rechnen; auf 1860 L Verkaufswert entfallen also sovielmal l6 Li Gewinn, wie oft 116 in 1860 ent¬ halten ist, somit 6- x 16 — 256'55 Gewinn. 116 23. Eine Ware kommt mit 12A Spesen auf 3500 L' zu stehen; wie viel betragen die Spesen? 24. Für eine mit 3A Verlust verkaufte Ware werden 1040 7r gelöst; wie groß ist der Einkaufspreis? 10^0 . X lyg — 1072-16 Einkaufspreis, 109 25. Ein Kaufmann kann das Kaffee für 1 fl. 60 kr. verkaufen; wie theuer darf er das einkaufcn, wenn er beim Verkaufe 15 A gewinnen will? 26. Den Arbeitern einer Fabrik wurde eine Lohnerhöhung von 16 zugestanden; dann erhielten 80 Arbeiter zusammen täglich 269 12 Wie groß war der tägliche Lohn eines Arbeiters vor der Lohnerhöhung? 27. Die Bevölkerung einer Stadt, welche im Jahre 1837 15860 Ein¬ wohner zählte, hat bis zum Jahre 1890 um 25^ zugenommen; wie groß war die Bevölkerung dieser Stadt im Jahre 1890? 28. Das Bruttogewicht einer Ware beträgt 2350 die Tara 8A; wie groß ist a) die Tara, b) das Nettogewicht?*) a) 23'50 X 8 d) Bruttogew. 2350 K'A 188 K'A Tara Tara 8X 188 Nettogewicht 2162 L'A 29. Wie viel beträgt die Tara von 4500 kA ä 2A, 5^, 8A, 10A? 30. Eine Ware wiegt Brutto 3780 wie groß ist das Nettogewicht bei 3A, 5'/gA, 8A, 12A, 20A Tara? 31. Berechne das Nettogewicht a) von 3420 Brutto bei 7A Tara; b) „ 885 /-A „ 12^ „ ; o) „ 2019 „ 9^ „ . 32. Wie viel kosten 6 Ballen Baumwolle Brutto 1180Tara 7A, zu 207^ L" per Centner Netto? 33. Eine Sendung Feigen wiegt Brutto 735 wie viel kosten die Feigen zu 66 /C per Centner Netto, wenn die Tara zu 13 A gerechnet wird? 34. Eine Ware, welche 4192 L'A Brutto wog, wurde mit 880 L" be¬ zahlt; wie theuer kommt der Centner Netto, wenn man 16?/g^ Tara rechnet? 35. Wie viel beträgt die Provision zu 2H' von einem Warenbetrage von 500 fl.?**) Das Gewicht einer Ware mir Inbegriff der Umhüllung oder des Behält¬ nisses, worin sie verpackt ist, nennt man das Bruttogewicht, das Gewicht der Ware allein das Nettogewicht. DaS Gewicht des Behältnisses, oder vielmehr der Abzug, der wegen dieses Gewichtes vom Bruttogewichte gemacht wird, heißt Tara. 2*) Wenn jemand die Vollziehung eines Geschäftes, z. B. den Einkauf oder Verkauf von Waren, einem andern aufträgt, so heißt die Person, welche diesen Auf¬ trag erhält und vollzieht, der Lommissionär, die Vergütung aber, welche der Commissionär für seine Bemühung erhält, Provision. 110 36. Wie viel beträgt die Provision vvn 8037'36 fl. zu 7-A, ^8^' 1-/,^, 2S, 2'/,A? 37. Für eine um 348 ZZ gekaufte Ware wird die Prvviswn zu IZ/^o gerechnet: wie viel kostet die Ware? 38. Jemand besorgt den Verkauf einer Ware im Betrage von 2085 fl. 25 kr.; wie viel verblieb dem Verkäufer nach Abschlag der Pro¬ vision ä 1?/«^? 39. Für einen Prager Kaufmann werden um 2813'78 ZZ Waren ver¬ kaufst die Spesen betragen 68'37 Zst die Provision 2,^; wie groß ist der reine Ertrag? 40. Eine Ware kommt sammt 2§^ Einkaufs-Provision auf 3207 L 90 /r; a) wie viel beträgt die Provision? st) wie groß ist der reine Warenpreis? 41. Wie viel beträgt die Sensarie bei einem Warenbetrage von 2640 ZZ ü 42. Wie groß ist die Sensarie L 7s a) von 618 A? st) von 506 ZZ 58 /r? o) von 2068 fl.? 43. Ein Warensensal unterhandelt eine Partie Waren im Betrage von 2181 fl. 7 kr. und berechnet die Sensarie, welche zur Hälfte vom Verkäufer, zur Hälfte vom Käufer gezahlt wird, zu 17^; a) wie viel hat der Käufer für die Ware zu bezahlen, st) wie viel erhält der Verkäufer? 44. Ein Kaufmann besorgt den Verkauf einer Ware im Betrage von 3518 ZZ, zahlt dem Sensalen 7s und berechnet für sich 1?/^ Provision; wie viel erhält der Verkäufer? 45. Wie groß ist die Versicherungsprämie von 5380 7Z ä 2A?**) 46. Wie groß ist die Versicherungsprämie für einen Wert von 5388 ZZ a) zu 2^, st) zu l^tz,, v) zu 7.A, ä) zu 7^? 47. Bei einer Feuer-Assecuranz-Gesellschaft wird ein auf 17800 fl. geschätztes Haus zu 7io^ versichert; wie viel beträgt die Asse- curanzprämie? Zur Abschließung von Geschäften zwischen Kaufleuten desselben Ortes gibt es beeidete Personen, welche Sensale oder Mäkler heißen. Die Vergütung für ihre Mühe wird Sensarie genannt. Gesellschaften, welche gegen eine bestimmte Gebür den Schadenersatz für Unfälle und Verluste übernehmen, die durch den natürlichen Lauf der Dinge oder durch außerordentliche Ereignisse herbeigeführt werden, nennt man Assecuranz- Gesellschaften; die Gebür aber, welche ihnen für die Übernahme der Schadenver¬ gütung vorausbezahlt wird, heißt die Versicherungsprämie. 111 48. Jemand versichert seine Möbel auf 3600 /0; wie viel hat er an Prämie zu zu zahlen? Berechnung des Grundwertes. 8- 74. 5-6 einer Zahl betragen 634; welches ist die Zahl? 634 1A, d. i. Vioo der Zahl beträgt , also ist die Zahl selbst lOOmal sv groß, somit E- X 100 — 12680. . Procentantheil Grundwert — -—-X— X 100. Procent Aufgaben. 1. Der Procentantheil einer Zahl zu 8-6 ist 31'2; wie groß ist die Zahl? 2. Bestimine den Grundwert, dessen Procentantheil u) zu 4A 78, d) zu 5*/^ 63'84, 0) zu 12-6 169'2 ist. 3. Ein Haus trägt jährlich rein 948 /r; wie groß ist der Wert des¬ selben, wenn es sich zu 5-6 verzinset? 4. Wie groß ist die Bevölkerung eines Ortes, wenn 22-6 derselben 572 betragen? 5. Die Bevölkerung einer Stadt hat während eines bestimmten Zeit¬ raumes um 8-6, d. i. nm 1716 zugenommen; wie groß war die Bevölkerung ani Anfänge dieses Zeitraumes? 6. Man nimmt an, dass aus Runkelrüben 5-6 Rohzucker gewonnen wird; wie viel LA Runkelrüben find erforderlich, um daraus 4720 Rohzucker zu gewinnen? 7. Ein Geschäft führt einen Verlust von 24-6 herbei; mit welcher Summe war derjenige betheiligt, der dabei 528 fl. verliert? 8. Beim Verkaufe einer Ware beträgt der 15-6ige Gewinn 36 7r; wie theuer war die Ware u) im Einkäufe, d) im Verkaufe? 9. Wenn der bei einem Verkaufe erlittene Verlust a 8-6 188 /r be¬ trägt, wie groß ist die Einkanfssumme? 10. Ein HanS wurde ^6A unter dem Einkaufspreise verkauft; wie groß war dieser, wenn der Verlust 1470 beträgt? 11. Bei einer Ware betragen die 3-6igen Spesen 69 X 12 L; wie groß ist der Einkaufspreis? 112 12. Der Mietzins für eine Wohnung wurde uni 16S gesteigert und beträgt jetzt 406 Lst wie viel zahlte man früher? X 100 — 350 L früherer Mietzins. 13. Der Weizen ist um I5A im Preise gefallen und kostet jetzt 17 L" 68 /r pr. wie theuer war er früher? igo — 20-8 früherer Preis. 14. Für eine Steuer snmmt 32^ Umlage werden 125 7i7 40 /r gezahlt; wie groß ist die ursprüngliche Steuer? 15. Wenn man eine Ware für 150 /c verkauft, so verliert man'10^; wie theeier inuss man sie verkaufen, um 5A zu gewinnen? Berechnung des Procentes. 8- 75. Wie viel von 2480 ist 111'6? 1A von 2480 ist VVW somit ist 111'6 so viel von 2480, wie oft VW m 111'6 enthalten ist, also m r- 2480- 111'6 X 1 100 - 2480 Mit Hilfe der Proportion hätte man 2480 Grundwert 111'6 Procentantheil x 100 „x „x . Procentantheil X 100 Grundwert Ausgaben. 1. Wie viel A von 100 sind folgende Zahlen: 25, 50, 20, 10, 5, 15, 60, 45, 70, 12V., 16V-, 33 Vz? 2. Zur Deckung der Landesbedürfnisfe werden auf jede Steuerkrone 34 umgelegt; wie viel A beträgt diese Umlage? 3. Wie viel A sind a) 40 /t von 5 X? d) 4^ von 105 L? 75 7ti von 1250 7r? 39 fl. 27 kr. von 748 sl.? 4. An einem Gymnasium, welches 348 Schüler zählt, haben 261 Schüler einen guten Fortgang gemacht; wie viel A sind es? 5. Von 523 Menschen, welche 12 Jahre alt sind, erreichen- im Durch¬ schnitt 471 das 24ste Lebensjahr; wie viel A sterben hiernach im Alter von 12 bis 24 Jahren? : 111-6 — 100 .- 2480 - H1'6 X 100 6 - 113 6. Von 160 L«? Kalkstein erhält man 81^ L q- gebrannten Kalk; wie viel A beträgt der Verlust? 7. Bei einen: Concnrse erhält jemand für seine Forderung von 1152 st. nur 768 st.; wie viel A beträgt der Verlust? 8. Die Einnahmen einer Eisenbahn betragen im Monate Mai 80368 ZZ, im Monate Juni 107435 Lj nm wie viel A im letzteren mehr? 9. Böhmen zählte iin Jahre 1780 2561794, im Jahre 1890 6607816 Einwohner; um wie viel A hat die Bevölkerung Böhmens in dieser Zeit zugenommeu? 10. Steiermark hat einen Flächcnranm von 22354'75 Lm", Mähren einen Flächcnranm von 22323'85 a) nm wie viel H ist Steiermark größer als Mähren, d) nm wie viel A ist Mähren kleiner als Steiermark? 11. Eine Ware wurde nm 4250 ZZ eingekanft und mit einem Gewinne von 340 ZZ verkauft; wie viel A betrug der Gewinn? 12. Wie viel A werden gewonnen g.) bei 136 Ze Einkaufspreis und 170 Ze Verkaufspreis? b) „ 275 „ „ „ 308 „ <-) „ 1224 „ „ „ 1444 „ 32 „ 13. Jemand kaufte 168 m Tuch um 630 fl. und verkaufte das m zu 4Z/20 fl. viel gewann er s.) im ganzen, d) nach Procenten? 14. Ein Kaufmann hat zwei Stuck Tuch von verschiedener Güte ein gekauft, 36 m ä 7'5 Ze und 30m ü 8'4 L; beim Verkaufe deö ersten Stückes gewinnt er 16^; wie viel S gewinnt er an dem zweiten Stücke, wenn er beim Verkaufe beider Stücke zusammen 603 ZZ cinnimmt? 15. Wie viel beträgt die Tara, wenn man a) von 1625 7eA Brutto 1565 /cc/ Netto d) „ 2160 „ „ 1836 ,, „ o) „ 948 „ „ 900'4 „ „ rechnet? 16. Ein Commissionär erhält 22 ZZ 74 als Provision für besorgte Ware im Betrage von 936 L; wie viel beträgt die Provision? 17. Von einem Warenbetrage von 1480 fl. zahlte man dem Sensal 9 fl. 25 kr.; zu wie viel A wurde die Sensarie berechnet? 18. Der Verkaufspreis eiuer Ware von 1590 ZZ enthält einen Gewinn von 90 L; wie viel A beträgt dieser? 19. Beim Verkauf einer Ware zu 462 ZZ gewinnt man 16?/.^; wie viel gewinnt man, wenn sie für 420 ZZ verkauft wird? 8 Movnil, Arithmetik, I. Abth. 114 X. Einfache Zinsrechnung. 8- 76. Eine Geldsumme, welche mau jemandem unter der Bedingung leiht, dass er für die Benützung einen bestimmten Geldbetrag entrichtet, endlich aber die Geldsumme znrückzuzahlen verpflichtet ist, wird Capital genannt. Das Geld, welches für die Benützung des Capitals entrichtet wird, heißt Zins oder Interesse; es wird nach Proccnten bestimmt, welche sich, wenn nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt wird, auf ein Jahr beziehen; z. B. ein Capital ist zu 5A angelegt, heißt: von je 100 L Capital erhält man in einem Jahre 5 Zins. Die Zinsrechnung ist demnach eine Procentrechnung, in welcher außer den bei dieser zusammentreteuden Größen noch eine weitere Größe, die Zeit, in Berücksichtigung kommt. Das Jahr wird dabei im all¬ gemeinen zu 360 Tagen, der Monat zu 30 Tagen angenommen. Sind von den vier Größen Capital, Zeit, Procent und Zinsen drei gegeben, so kann aus denselben die vierte bestimmt werden. Bleibt das Capital während der ganzen Verzinsnngszeit unver¬ ändert, so heißen die davon entfallenden Zinsen einfache Zinsen; werden aber am Ende eines jeden Jahres oder Halbjahres die Zinsen zum Capitalc geschlagen und selbst wieder verzinst, so heißen die Zinsen zusammengesetzte oder Zinseszinsen. Hier soll nur von den einfachen Zinsen die Rede sein. Berechnung der Zinsen. 8- 77. Ein Capital von 3457 /C ist zu 5-b angelegt; wie viel Zinsen lrägt es in 3 Jahren? 3457 /C Capital geben zu IH, in 1 Jahre den lOOsten Thcil. . 34'57 7r Zins. „5^ „1 „ 5mal so viel 34'57 X 5 „ „ 5H „ 3 Jahren 3mal so viel 34'57 X 5 X 3 — 518'55 „ „ 115 Durch Anwendung derselben Schlüsse werden auch die unken folgenden Ans- gaben gelöst. Es ergib! sich dabei allgemein: Zinsen — X Procent X Zeit in Jahren. Ist die Zeit als mchraamige Zahl gegeben, sv geschieht die Auf¬ lösung am einfachsten mittelst Zerfällung, indem man nämlich die Mvnate in passende Theile eines JahreS nnd die Tage in passende Theilc eines Monates zerlegt und als solche berechnet. Aufgaben. (Nach der Schlussrechnung aufzulösen.) 1. Berechne die einjährigen Zinsen a.) von 3124 L zu 5-6 d) von 4181 L zu 4)6 zu IS...31H 167- 24 /C „ 5S.. 156-20 Li 2. Wie viel Ziusen erhält man jährlich ich von 300 L, 500 L, 800 L, 1200 L zu 5-6? Ich von 200 L, 700 L, 1000 L, 2500 L zu 4H? 3. Wie viel betragen die jährlichen Zinsen ich von 1834 L L 5A ich von 3307 L ü 6H? e) von 2095 L 50 /» ü 5chzA? 3) von 9126 L ä 4°ch^? 4. Wie viel Zins geben ich 2183 L zu 4A in 3 Jahren? b) 14788 L zu 4ch.-6 in 2 Jahren? seit 1. März.) Berechnung des Capitals. 8- 79. Welches Capital gibt zu 4A iu 3 Jahren 154'7, Zinsen? Die Zinsen für 1 Jahr zu 4A, d. i. ^4^ des Capitals . ^7 also 154'7 . . " . x Z somit 1510 X 100 das Capital selbst . — >285 7C 4Xo 5. 1 1242 Wie 100 viel Zinsen geben 1242 /C zu in 360 Tagen 5 .. 216 Tagen -u/ „ 1242 X 216 " 7200 " -- 37-26 L 118 Man kann auch sv schließen: Das Capital enthält so vielmal 100 ZZ, als die Zinsen von 100 ZZ in den gegebenen Zinsen enthalten sind. 100 Z5 geben zu 4^ iu 3 Jahren 4 X 3 ZZ Zinsen; also Capital — 100 ZZ X wie oben. 4 Xo Capital _ Zinsen X WO Procent X Zeit in Jahren Aufgaben. 1. Wie groß ist das Capital, welches zu 5'/, jährlich 202 L 40 /r Zinsen abwirft? 2. Ein Haus gibt im Durchschnitte jährlich 1172 X reinen Ertrag; welchen Kaufpreis wird mau dafür ansetzcn, wenn mau es zu 5A verkaufen, d. i. für jede 5 ZZ Reinertrag 100 ZZ Kaufschilliug oder Capital haben will? 3. Jemand bezieht in 3 Jahren 558 sl. Zinsen; wie groß ist das Capital bei 6A Verzinsung? 4. Wie groß muss ein Capital sein, damit es zu 4'/^^ in 2'/z Jahren 735 ZZ Zins bringt? 5. Welches Capital gibt a) zu 4A in 2'/^ Jahren 213'4 ZZ Zins? b) zu 4V-A in 1 Jahr 8 Mon. 417 ZZ Zins? 0) zu 4?/zA in 2 Jahren 6 Mon. 15 Tagen 579'5 ZZ Zins? 6. Welches Capital gibt zu 4S in 108 Tagen 108 fl. Zins? 7. Ein Capital bringt zu 4?/^ jährlich 18 /Z Zins; wie viel jähr¬ lichen Zins bringt ein um 300 L" größeres Capital zu 5A? 8. Zwei Capitalien bringen jährlich 250 ZZ Zinsen; das eine beträgt 2400 ZZ nnd ist zu 4'/, H angelegt, das andere ist zu 5A nus- gcliehen; wie groß ist das letztere? 9. Welches Capital bringt zu 6A in 4 Jahren ebenso viel Zinsen wie ein Capital von 4560 ZZ zn 5A in 2'/? Jahren? Berechnung der Zeit. 8- 80. Wie lange ist ein Capital von 2480 ZZ zu 4A angelegt, damit es 496 ZZ Zinsen einbringt? Man schließt: Das Capital ist sv viele Jahre angelegt, wie oft die jährlichen Zinsen in den gegebenen Zinsen enthalten sind. 119 Die Zinsen von 2480 L' 2480 X 4 100 L"; also ist zn 4 A für 1 Jahr betragen Anzahl Jahre — 496 : 2480 X 4 — 496 X 100 100 - 2480 X 4 "O- Anzahl Jahre — Zinsen X W0 Capital X Procent' Aufgaben. 1. In wie viel Jahren geben 225 /7 Capital zu 4A 45 /7 Zinsen? 2. 900 fl. Capital gaben zn 5A 112 /7 50 7» Zinsen; wie lange sind dieselben ansgeliehen worden? 3. In wie viel Zeit geben 3855 /7 zu 4^ 424 05 77 Zins? 4. In welcher Zeit erhält inan von 9420 /7 zu 4'/, 1413 /7 Zinsen? 5. In wie viel Zeit geben u) 4715 L Capital zn 4^ 377'2 X Zins? 6) 5210 /c Capital zu 5'/, 916 /e' 96 7» Zins? o) 9822V, 77 Capital zu 5'/,^ 1129'62 77 Zins? 6. Wie lange muss ein Capital von 2800 fl. zn 5'/?^ aus« stehen, damit es mit Einrechnung der Zinsen ans 3185 fl. an« wachse? 7. Wie lange mnss ein Capital angelegt bleiben, damit die Zinsen a) zu 4S, b) zu 5A, o) zu 6^ ebenso viel betragen, als das Capital? 8. Am 1. Mai wurden 1550 /7 zu 4^ ausgeliehen; als die Rück erstnttung erfolgte, betrug daö Capital mit den Zinsen 1588V, 77; wann ist das Capital zurückgezahlt worden? 9. Wie lange muss eiu Capital von 1863 ^7 zu 5^ anliegen, damit es so viel Zins bringe wie 8280 77 zn 4'/, in 9 Monaten? Berechnung der Procente. 8- 81. Zu wie viel Procent muss eiu Capital von 3445 L" angelegt werden, um in 4 Jahren 689 77 Zinsen zn geben? Hier ist zu bestimmen, wie viel Zins 100 X Capital in 1 Jahre geben. Man schließt: 120 1 /v Cap. gibt in 4 Jahre» , .. 76 Zinsen ,, ,, „ 1 Jnh^e r i 689 X 100 . 100 „ „ geben „ 1 „ X 4 Z"6en- Das Capital ist also zu 5^ angelegt. „ Zinsen X 100' Pro cent — _ . — - -- . Capital X Zeit in Jakren Aufgaben. 1. 800 76 Capital bringen in 1 Jahre 32 L' Zinsen; zu wie viel ist das Capital ansgeliehen? 2. Ein Capital von 5500 gibt jährlich 330 76 Zins; zu wie viel A verzinset es sich? 3. Jemand leihet 16000 76 aus; wie viel A muss er verlangen, um davon ein jährliches Einkommen von 900 zu gemeßen? 4. Ein Kaufmann hat in seinem Geschäfte ein Capital von 18356 am Schlüsse des Jahres stellt sich ein reiner Gewinn von 1376 76 70 7 heraus; wie viel A hat ihm das Capital eingebracht? 5. Ein Capital, das bei 4H jährlich 218 st. Zinsen trägt, soll künftighin jährlich um 81^ st- Zinsen mehr tragen; wie groß ist das Capital und zu wie viel A muss es angelegt werden? 6. Zu wie viel A geben a.) 1648 Cap. in 2'/» Jahren 185'4 76 Zinsen? 6) 1080 76 Cap. in 3 Jahren 4 Mon. 144 76 Zinsen? o) 3150 76 Cap. in 8 Monaten 73^ 76 Zinsen? 7. Zu wie viel A muss man 9110 76 anlegen, damit sie vom 2. Mai bis 15. October 206 76 24 7. Zins bringen? 8. Jemand kauft Staatspapiere, welche 44/, Zins tragen, zum Curse 96, d. i. er kauft je 100 st. des Papieres für 96 fl.; zu wie viel A verzinset sich das Capital? 9. Jemand lieh 460 /6 auf ein Jahr zu 5A, musste sich aber die Zinsen gleich beim Empfang des Capitals abziehen lassen; um wie viel wurde er dabei übervortheilt und wie viel A wurden eigent¬ lich gerechnet? 10. Ein Capital bringt in 3 Jahren zu 47/^ 607^ 76 Zins, ein um 150 76 größeres Capital bringt in derselben Zeit 90 76 Zins; zu wie viel A ist das letztere verzinst? 121 11. Ein Haus wurde für 28500 fl. gekauft; der jährliche Mietzins- ertrag ist 1980 fl.; zu wie viel A verzinset sich das Capital, wenn für Reparaturen 147 fl. in Abschlag gebracht werden und wenn die Hauszinssteuer sammt Zuschlägen 35 A beträgt? 12. Bei wie viel A würde man von einem Capital« in 5 Jahren 1022 /7 Zinsen erhalten, wenn dasselbe Capital bei 5A in 4 Jahren 985'/» /7 Zinsen bringt? Berechnung des Eudwertes eines Capitals. 8- 82. Der Wert, zu welchem ein Capital nach einer bestimmten Zeit mit Zurechnung der Zinsen anwächst, heißt der Endwert des Capitals im Gegensätze zu dem Aufangswerte, d. i. dem Werte desselben im Anfänge dieser Zeit. Um den End wert eines Capitals nach einer bestimmten Zeit zu berechnen, darf man nur zu dem Anfangscapitale die Zinsen für diese Zeit addieren. Z. B. Ein Capital von 3640 ist zu 5^ angelegt; wie groß ist dessen Endwert nach 2^ Jahren? Anfangswert 3640 L' Zinsen ä 5A für 2Vz Ja hr 455 „ Endwert 4095 7i7 Die Lösung könnte auch unmittelbar so geschehen: 100 wachsen mit den Zinsen zu 5K> nach 2'^ Jahren auf 112'5 7i5 an, somit ist Endwert von 1 L'. . . . . . . 1'125 L, also „ „3610,, 3640 X 1'125 - 4095 /c. Der Endwert eines Capitals ist demnach gleich dem Producte aus dem Anfangswerte desselben und dem End¬ werte einer Krone. Aufgaben. 1. Jemand nimmt 2480 zu 5Ä ans 3 Jahre auf; wie viel wird er nach dieser Zeit an Capital und Zinsen zu zahlen haben? 2. Jemand hat 750 L nach 6 Monaten sammt den Zinsen zu 4A zu berichtigen; wie viel hat er zu zahlen? 3. Für eine nach 3 Jahren fällige Schuld werden sogleich 360 §7 gezahlt; wie groß war dieselbe, wenn die Zinsen mit 5A in Abzug gebracht wurden? 122 4. Wenn 3050 fl. durch 2 Jahre 4 Monate zu 5^/,^ ausstanden, wie viel muss nach dieser Zeit an Capital und Zins zurückgezahlt werden? 5. Ein Capital von 4840 ist zu 4^ angelegt; wie groß ist sein Endwert nach 2^ Jahren? 6. Welchen Endwert haben u) 3216 bei 4?/^ Zins nach 4 Jahren? b) 3580 L" „ 5'/^ „ „ 2 Jahren 8 Mon.? e) 4050 L" „ 6^ „ „3 Jahren 9 Mon. 15 Tagen? 7. Für ein Haus bietet 19500 bar, 8 19540 7i' nach 9 Monaten zahlbar; wenn nun der Verkäufer das Geld zu 5S ausleihen kann, welches Anbot ist für ihn vortheilhafter? 8. Jemand ist seit 6. März 1547 L" schuldig, die er zu 5'/^ ver¬ zinset; wie viel beträgt seine Schuld am 30. Juni? 9. Jemand nimmt 2345 L auf 42 Tage zu 7^ auf Zins; wie viel wird er nach Verlauf dieser Zeit zurückzuzahlen haben? 10. Ein Kaufmann, der am 18. Sept. 3550 /r und am 5. Nov. 1749 zu zahlen hat, bezahlt beide Beträge sammt 5A Zinsen am 31. Dec.; wie viel zahlt er da zusammen?