JOSIP PLEMELJ IN PRAVILNI SEDEMKOTNIK
MILAN HLADNIK
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 12F05, 97G40
Plemljev pristop h konstrukciji (stranice) pravilnega sedemkotnika zahteva nekaj predhodne matematične razlage. Ogledali si bomo tudi rahlo dopolnitev in dve novejsi varianti Plemljeve ideje.
JOSIP PLEMELJ AND REGULAR HEPTAGON
Plemelj's approach to the construction of (the side of) the regular heptagon requires some preliminary mathematical explanations. Also a slight addition and two recent variations of Plemelj's idea will be given.
Leta 1892 je devetnajstletni Josip Plemelj, čigar okroglo obletnico (sto štirideset let) praznujemo letos, odkril preprosto konstrukcijo pravilnega sedemkotnika, temelječo na tretjinjenju kota. Objavil jo je sicer sele pred dobrimi sto leti, leta 1912, v nemscini v časopisu Monatshefte für Mathematik und Physik [7], leta 1954 pa so jo v slovenskem prevodu Nika Prijatelja v Obzorniku [8] lahko spoznali tudi slovenski bralci. Njegova metoda se danes velja za eno najbolj elegantnih in najbolj pogosto citiranih konstrukcij tega lika (glej npr. [1, 3, 4, 5, 6]).
V tem sestavku si bomo ogledali Plemljev pristop k problemu razdelitve kroznice na sedem enakih delov. Privoscili si bomo majhno dopolnitev Plemljeve resitve, da bomo poleg stranice dobili tudi obe sedemkotnikovi diagonali. Spoznali bomo tudi dve novejsi, na Plemljevi ideji sloneci sorodni konstrukciji (oglisc) pravilnega sedemkotnika (prvo je prispeval Andrew M. Gleason, drugo John H. Conway). Na kratko bomo predstavili sirsi teoreticni okvir o moznih konstrukcijah pravilnih veckotnikov.
Najprej na kratko ponovimo nekaj znanih dejstev o geometrijskih konstrukcijah z evklidskim (in izpopolnjenim) orodjem, posebej o konstrukcijah pravilnih veckotnikov. Pri tem je pomembno, katere realne korene kubicnih enacb z racionalnimi koeficienti znamo konstruirati z izbranim orodjem.
Splošno o konstrukciji z ravnilom in sestilom
Znano je, da lahko tocko (x, y) v koordinatnem sistemu konstruiramo z (ne-oznacenim) ravnilom in sestilom natanko takrat, ko se dasta njeni koordinati x in y, izhajajoc iz enote 1, izracunati s stirimi osnovnimi racunskimi operacijami in z (veckratno) uporabo kvadratnega korena (glej npr. [10]). Bolj
učeno to izrazimo z zahtevo, da morata pripadati koordinati x, y večkratni kvadratni razširitvi obsega racionalnih števil =
ki jo dobimo postopoma z zaporednimi enostavnimi kvadratnimi razširitvami Q = Fo C Fl C F2 C ... C Fk, tako da za vsak i = 1,2,..., k obsegu Fi-i dodamo kvadratni koren iz nekega pozitivnega nekvadratnega elementa di € Fi-1, torej Fi = Fi-1^^/di); vsak element v Fi je oblike 'P + ^Vddi s V,q € Fi-1 (glej npr. [6], pogl. 1, ali [9], razdelek 5.6). Ravninski kot pa lahko konstruiramo, kadar zmoremo konstruirati njegov kosinus (ali sinus).
Naslednja trditev opisuje prepreko za konstrukcijo korenov kubičnih enačb samo z ravnilom in sestilom.
Trditev 1. Ce kubična enačba z racionalnimi koeficienti nima racionalnega korena, nobenega njenega korena ne moremo konstruirati samo z ravnilom in čestilom.
Dokaz. Denimo, da so a,b,c € Q in da enačba x3 + ax2 + bx + c = 0 nima racionalnih korenov (da je torej, kot rečemo, nerazcepna nad obsegom racionalnih stevil Q), ima pa koren, ki ga je mogoče konstruirati z ravnilom in sestilom. Kot prej označimo Fo = Q in Fk =	. ..^^/dk), pri
čemer naj bo Fk najmanjsa večkratna kvadratna razsiritev obsega račional-nih stevil, ki vsebuje tak konstruktibilen koren. Ta koren je torej oblike P + ^\/dk, kjer je p,q € Fk-1 in q = 0, sicer bi bil koren ze v Fk-1. Ce vstavimo koren p + ^y/dk v enačbo in poračunamo, dobimo
(p3 + 3pq2dk + ap2 + aq2 dk + bp + c) + (3p2q + q3dk + 2apq + bq)^dk = 0.
Od tod vidimo, da morata biti oba oklepaja enaka nič. Ce vstavimo tudi p — ^Vdk, dobimo podoben izraz, le da je med obema oklepajema minus. To pa pomeni, da je tudi p — ^^/dk koren iste enačbe (različen od p + ^^/dk zaradi q = 0). Naj bo r tretji koren iste kubične enačbe, tako da imamo razčep
x3 + ax2 + bx + c = (x — r)(x — p — ^\/dk)(x — p + ^\/dk) = (x — r)(x2 — 2px + p2 — q2 dk).
S primerjavo koeficientov pri potenci x2 ugotovimo, da mora biti a = —r—2p oziroma r = —a — 2p. Koren r, ki po predpostavki ni racionalen, lezi torej v Fk-1, zato ga lahko konstruiramo z ravnilom in sestilom. To pa je v nasprotju s privzetkom, da je Fk najmanjsa kvadratna razsiritev obsega Q, v kateri tak koren obstaja.	■
Zgled 1. Ker se z uporabo formule za trojni kot lahko takoj prepričamo, da je en koren enacbe — 3x — 1 = 0, ki ocitno ne premore nobene racionalne reSitve, enak 2 cos(n/9) (druga dva sta 2 cos(5n/9) in 2 cos(7n/9)), iz trditve 1 vidimo, da z ravnilom in sestilom ne moremo načrtati stevila 2cos(n/9), torej tudi ne tretjiniti kota n/3. Prav tako ne moremo z ravnilom in sestilom načrtati , ki zadosča enačbi — 2 = 0 brez racionalnih korenov.
Zgled 2. Podobno lahko pokazemo, da tudi konstrukčija pravilnega sedem-kotnika z evklidskim orodjem ni mozna. Ce namreč lezijo oglisča pravilnega sedemkotnika na enotski krozniči s sredisčem v koordinatnem izhodi-sču, jih lahko predstavimo v kompleksnem kot resitve enačbe z7 — 1 = 0. Ena od resitev je 1, druge pa zadosčajo simetrični enačbi seste stopnje z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0. Takoj lahko preverimo naslednje: če kompleksno stevilo z resi to enačbo, potem realno stevilo x = z + 1/z resi enačbo tretje stopnje x3 + x2 — 2x — 1 = 0, ki nima račionalnih resitev. Zato nobenega njenega korena ne moremo konstruirati samo z ravnilom in sestilom, tudi ne stevila x = 2čos(2n/7), ki določa točki (1,0) najblizje oglisče pravilnega sedemkotnika (v prvem kvadrantu) oziroma kompleksni koren z = e2ni/7 prvotne enačbe z7 — 1 = 0 z realnim delom x/2.
Kot dopolnilo zadnjemu zgledu povejmo, da je problem konstrukčije pravilnih večkotnikov z ravnilom in sestilom ze zelo dolgo resen. Osnovni izrek s tem v zvezi pravi (primerjaj npr. [6]):
Izrek 2 (Gauss-Wantzel). Pravilni n-kotnik lahko konstruiramo z ravnilom in .sestilom (tj. z evklidskim orodjem) natanko takrat, ko je naravno stevilo n oblike n = 2mpip2 ...ph, kjer je m,, k > 0 (pri k = 0 mora biti m > 2) in so pi, i = 1, 2,..., k, različna Fermatova prastevila, tj. prastevila, ki so za ena večja od potence stevila 2.
Zadostnost je ugotovil Carl Friedričh Gauss (1777-1855) v svoji razpravi Disquisitiones Arithmeticae leta 1801. V njej je tudi navedel, da enaka konstrukčija drugih pravilnih večkotnikov ni mozna, korekten dokaz tega dejstva pa je leta 1837 objavil frančoski matematik Pierre Laurent Wantzel (18141848). Wantzel je tudi prvi dokazal, da tretjinjenje poljubnega kota in podvojitev kočke iz zgleda 1 nista mozna. Ker (za zdaj) poznamo samo pet Fermatovih prastevil, namreč 3, 5,17, 257 in 65537, lahko (za zdaj) z evklid-skim orodjem konstruiramo samo pet pravilnih večkotnikov s prastevilsko straničo, od vseh n-kotnikov pa npr. tiste, kjer je n = 3, 4, 5, 6, 8,10,12,15, 16,17,20,24,30,32,34, 40,48, 51 itd. Vidimo, da pravilnega sedemkotnika ni med njimi.
Geometrijsko reševanje kubične enačbe
Potem ko smo v trditvi 1 spoznali, da z evklidskim orodjem uspemo le v zelo posebnih primerih, si oglejmo, kako bi sploh lahko geometrijsko konstruirali realno resitev enačbe tretje stopnje z racionalnimi koeficienti.
Splosno kubično enačbo ax3 + bx2 + cx + d = 0, kjer je a = 0, lahko s substitucijo x = t — b/(3a) vedno prevedemo v obliko
t3 — 3pt + 2q = 0.	(1)
Izrek 3 (Cardano). Vse tri rešitve enacbe t3 — 3pt + 2q = 0, p,q € R, lahko zapišemo v obliki
to = V —q + v —q ^Vd,	(2)
ti = w y —q ^Vd + w2 y —q ^ VD, t2 = w2 y —q ^ VD + w y —q ^ VD,
(3)
kjer je D = q2 — p3 in w = e2ni/3 tretji koren enote1. Pri tem moramo tretja korena, ki nastopata v zgornjih formulah, izbrati tako, da je njun produkt enak p.
Kadar je D > 0, je resitev (2) realna (t0 = t0), resitvi (3) pa konjugirano kompleksni (t1 = t2). Pri D = 0 in p, q = 0 imamo enojni koren —2q/p in dvojni koren q/p, saj lahko zapisemo
t3 — 3pt + 2q = (t + 2q/p)(t — q/p)2.
Pri D = 0in p = q = 0 obstaja seveda en sam trojni koren, ki je enak nič.
Najbolj zanimiva je situacija, ko je D < 0 (in mora zato biti p > 0). Tedaj ima enacba t3 — 3pt + 2q = 0 tri realne resitve, ki pa se po Carda-novih formulah izrazajo s tretjimi koreni iz kompleksnih stevil —q ± W—D. Kadar enacba (1) nima racionalnih korenov, se kompleksnim stevilom ne moremo izogniti in izvesti vse racune samo v realnem, zato tako situacijo tradicionalno imenujemo (po latinsko) casus irreducibilis, ceprav je enacba (1) seveda razcepna nad R. Da dobimo tretji koren iz kompleksnega stevila, pa je treba izracunati (realni) tretji koren iz njegove absolutne vrednosti,
v danem primeru torej y | — q ± ^—D| = ^q2 — D = 6'p3 = ^p, in tre-tjiniti njegov argument. Iz tega vidimo, da je nerazcepni primer kubicne enacbe nujno povezan s tretjinjenjem kota.
^lzra^ —108D, ki je enak (to — ti)2(to	t2)2, imenujemo determinanta enacbe
(1).
V nerazcepnem primeru lahko v enačbi (1) neznanko izrazimo s kosinu-som nekega kota: t = cos 6 in dobimo p^p(4cos3 6 — 3 cos 6) + q = 0 oziroma cos 36 = —q/(p^/p)- Tu je namrec zaradi zahteve D = q2 — p3 < 0 desna stran po absolutni vrednosti pod 1, zato tak kot 36 obstaja. Ce ga znamo tretjiniti, dobimo 6 in s tem eno resitev to = 2^/pcos 6; drugi dve dobimo, ce kotu 6 pristejemo ali odstejemo 2n/3.
Denimo zdaj, da so koeficienti a,b,c,d prvotne kubicne enacbe racionalni. Potem sta racionalna tudi koeficienta p in q izpeljane enacbe (1) in ju znamo konstruirati z ravnilom in sestilom, kakor hitro izberemo enoto. Predpostavimo, da je D = q2 — p3 < 0. Resitve lahko v tem primeru dobimo geometrijsko, vendar moramo, kot smo videli, poleg ravnila in sestila uporabiti tudi eno od naprav za tretjinjenje kota (na kratko kotni trisek-tor), saj samo z evklidskim orodjem konstrukcija v splosnem ni mozna (glej trditev 1).
Naj ob tem pripomnimo, da ta metoda deluje samo tedaj, ko ima kubicna enacba (1) vse tri korene realne. Vedno namrec dobimo tri kote, ce ze najdemo enega. Ce bi npr. hoteli izracunati kot pri podvojitvi kocke, nam uvedba trigonometricne funkcije ne bi pomagala, ker ima enacba x3 — 2 = 0 le en realni koren. Povzemimo:
Trditev 4. Kubično enačbo z racionalnimi koeficienti lahko rešimo geometrijsko z uporabo ravnila, čestila in kotnega trisektorja natanko takrat, ko ima vse tri korene realne.
Pri enacbi (1) je torej to res natanko takrat, ko je D = q2 — p3 < 0 oziroma p3 > q2. Za geometrijsko konstrukcijo tretjega korena iz realnega stevila ali, bolj splosno, korena kubicne enacbe (1) tedaj, ko je D > 0, je treba uporabiti druge metode.
Plemljeva konstrukcija pravilnega sedemkotnika
Vprasajmo se, ali lahko konstruiramo stranico pravilnega sedemkotnika s = 2sin(n/7), ce poleg ravnila in sestila kot legitimno metodo dopustimo tudi tretjinjenje kota. Odgovor je pritrdilen.
Trditev 5. Stranica pravilnega sedemkotnika je enaka s0 = 1/t0, kjer je to = (2^^/3)cos 6 in cos 36 =	oziroma tg36 = 1/(^\/3). Poleg
tega sta mala in velika diagonala, si in S2, enaki si = —1/ti, S2 = —1/t2, kjer je ti = (2^V3)cos(6 + 2n/3) in t2 = (2^V3)cos(6 — 2n/3).
Dokaz. Spoznali smo ze, da stevilo x = 2cos(2n/7) resi kubicno enacbo
x3 + x2 — 2x — 1 = 0.	(4)
Ker je x = 2(1 — 2sin2(n/7)) = 2 — s2, vidimo, da stranica pravilnega sedemkotnika zadosca enacbi (2 — y2)3 + (2 — y2)2 — 2(2 — y2) — 1 = 0 oziroma enaCbi y6 — 7y4 + 14y2 — 7 = 0. To enaCbo seste stopnje lahko zapisemo tudi v obliki y6 — 7(y2 — 1)2 = 0, zato razpade v dve kubiCni enaCbi: y3 ^ V7(y2 — 1) = 0 in y3 ^ V7(y2 — 1) = 0. S substitucijo t = 1/y in odpravo ulomkov dobimo lepsi enacbi tretjega reda: t3 — t — 1^\/7 = 0 in t3 — t + 1^\/7 = 0. Dovolj je obravnavati samo prvo enacbo, saj dobimo drugo iz nje z zamenjavo t ^ —t.
	J	
	0	f Is 0 '
	v y	
Slika 1. Graf funkcije f (t) = t3 — t — l^v'7 z označenimi ničlami.
Kot pokaze enostavna analiza (glej sliko 1), ima enacba
t3 — t — 1/^7 = 0
(5)
en pozitiven koren, enak ravno reciprocni vrednosti stranice pravilnega sedemkotnika, tj. to = 1/so, in dva negativna korena, enaka ti = —1/si in t2 = —1/s2, kjer je s1 = 2sin(2n/7) in s2 = 2sin(3n/7) = 2sin(4n/7), kar spoznamo enako kot za s0. Iz slike 2 vidimo, da pomeni s1 krajso in s2 daljso diagonalo sedemkotnika.
1	0	1	Po
Slika 2. Zgornja polovica v enotski krog vCrtanega pravilnega sedemkotnika.
Vsekakor ima enacba t3 — t — 1^\/7 = 0 vse tri korene realne in je tudi oblike t3 — 3pt + 2q = 0, ki smo jo obravnavali v drugem razdelku. V nasem
P
primeru je p = 1/3 in q = -1/{2V7), tako da je D = q2-p3 = 1/28 -1/27 = -1/(28■ 27) < 0. Ce torej pišemo t = (2^\/3) cos 9, dobimo enakost cos 30 = ^ a/27/28 oziroma tg39 = 1/(^\/3). Ko iz ene od zadnjih dveh enaCb izraCunamo kot 9 med 0 in n/2, dobimo z njim izraZeno tudi stranico pravilnega sedemkotnika: so = 1/to ^ \/3/(2cos 9). Preostala dva (negativna) korena enacbe (5) dobimo seveda v obliki ti = (2^\/3) cos(9 + 2n/3) oziroma t2 = (2^V3) cos(9 - 2n/3), od koder brez tezav izrazimo s kotom 9 tudi diagonali s1 in s2.	■
Mimogrede: kot 9 je majhen, enak priblizno 3°37'52''; stranica sedemkotnika, vcrtanega v enotski krog, znasa priblizno 0,8677675, krajsa diagonala 1,5636630 in daljsa 1,9498558.
Plemelj je na tem dejstvu zgradil svojo elegantno resitev [8] (glej sliko 3):
Izrek 6 (Plemelj). V enakostranicnem trikotniku ABC naj tocka D raz-polavlja, točka E pa tretjini stranico AB. Nadalje naj bo točka F na daljici DE taka, daje kot ZDCF enak tretjini kota ZDCE. Potem je C F stranica pravilnega sedemkotnika, ki je včrtan enotski kročnici.
C
Slika 3. Plemljeva konstrukcija stranice pravilnega sedemkotnika.
Dokaz. Stranica osnovnega enakostranicnega trikotnika △ABC naj bo dol-zine 1, tako da ima pravokotni trikotnik △CDE eno kateto, CD, enako visini enakostranicnega trikotnika, torej dolzin^ \/3/2, drugo, DE, ki lezi na stranici AB, pa dolzine 1/2 - 1/3 = 1/6. Kot pri C v tem trikotniku oznacimo s 39 in takoj ugotovimo, da je tg39 = 1/(^\/3). Poleg tega je dolzina hipotenuze C F v novem trikotniku ACDF enak^ \/3/(2 cos 9), torej ravno stranica pravilnega sedemkotnika, ki ga lahko vcrtamo v krog s polmerom 1 (glej trditev 5).	■
A
B
To je Plemljeva eksaktna konstrukcija (stranice) pravilnega sedemko-tnika. Pri njej ocitno potrebujemo tretjinjenje nekega kota (od prej vemo, da zgolj evklidsko orodje ne zadosca), namrec kota ZDCE.
Plemelj je v originalnem clanku [7] (glej npr. slovenski prevod [8]) navedel tudi priblizno resitev, ko namesto tretjinjenja kota pri C v pravokotnem trikotniku CDE tretjinimo kar kateto DE. Tedaj dobimo nekoliko vecjo vrednost za stranico pravilnega sedemkotnika; napaka pri tem priblizku je (pri krogu s polmerom 1 m) samo 0,038 mm. Se bolj preprosto priblizno resitev pa dobimo, ce za stranico pravilnega sedemkotnika namesto hipo-tenuze pravokotnega trikotnika CDF izberemo kar njegovo kateto CD, tj. visino prvotnega enakostranicnega trikotnika ABC. Ta priblizek, imenovan tudi indijski, je ze v 1. stoletju nasega stetja poznal Heron iz Aleksandrije
10-70), za njim pa v 10. stoletju Abul Wafa (940-998), poslednji veliki bagdadski matematik in astronom; slednjega mimogrede omenja tudi Plemelj v svojem clanku. Konec 15. in v zacetku 16. stoletja sta enak priblizek uporabljala npr. Leonardo da Vinci (1452-1519) in Albrecht Dürer (1471-1528) v svojih studijah o upodabljanju pravilnih likov.
Dopolnitve in sorodne konstrukcije
Ko ze poznamo daljico, ki predstavlja stranico v enotski krog vcrtanega pravilnega sedemkotnika, jo seveda lahko nanesemo na ustrezno kroznico, in dobimo se druga oglisca sedemkotnika. Zanimivo pa je, da lahko s preprosto dopolnitvijo Plemljeve konstrukcije najdemo tudi dolzini obeh sedemkotni-kovih diagonal. To je ugotovil in leta 1988 objavil znani ameriski matematik Andrew M. Gleason2 (1921-2008). Oglejmo si njegov prispevek [3].
Gleasonova dopolnitev Plemljeve konstrukcije
Najprej s preprostim racunom iz enakosti 1/si = —ti = —(2^\/3) cos(0 + 2n/3) = (2^\/3) sin(n/6 + 9) ugotovimo, da velja si sin(n/6 + 6) ^ ^/3/2. Iz enakosti 1/s2 = —12 = —(2^V3) cos(0 — 2n/3) = (2^v'3) sin(n/6 — 6) pa dobimo podobno s2 sin(n/6 — 6) ^ \/3/2.
Dopolnimo zdaj Plemljevo konstrukcijo tako, da osnovnemu enakostra-nicnemu trikotniku ABC dodamo se tri skladne enakostranicne trikotnike
2Gleason je celo svojo akademsko kariero preZivel kot profesor matematike in naravne filozofije na Harvardu, ceprav ni nikoli formalno doktoriral. Ukvarjal se je s funkcionalno analizo, kvantno mehaniko, kombinatoriko in s teorijo in prakso kodiranja ter k tem podrocjem veliko prispeval. Slaven je postal, ko je leta 1952 dokazal, da je vsaka lokalno evklidska topoloska grupa Liejeva (in s tem delno resil peti Hilbertov problem). Zanimal se je tudi za pouk matematike, pisal ucbenike in sodeloval pri reformi matematicnega izobrazevanja v ZDA.
^ ^ e
sß / 2
ß
Slika 4. Dopolnjena Plemljeva konstrukcija stranice in obeh diagonal pravilnega sedem-kotnika.
AC'B, A'BC' in A'C'B', ki imajo po eno stranico skupno, tako kot kaze slika 4.
S podaljsanjem daljic CD in CE pridemo do tock C' oziroma B', pri cemer je CC' = 2CD in CB' = 3CE. Podaljsajmo se daljico C F, tako da seka stranico B 'C' v tocki S in stranico BC' v tocki T. Obenem naj bo P pravokotna projekcija tocke C na podaljsek daljice AC' in Q pravokotna projekcija tocke C na podaljsek daljice BC'. Potem se lahko hitro prepri-camo, da je v pravokotnem trikotniku AC P S kot pri S enak n/6 — 9 in v pravokotnem trikotniku ACTQ kot pri T enak n/6 + 9. Ker je dolzina stranic CP in CQ enak^ \/3/2 (visina enakostranicnega trikotnika), spoznamo iz primerjave s prej dobljenima enacbama, da je s1 = CT in s2 = CS.
Gleasonova konstrukcija pravilnega sedemkotnika
Za primerjavo predstavimo se konkretno konstrukcijo pravilnega sedemkotnika, ki jo navaja Gleason v [3]. Pravzaprav bomo zaradi preglednosti narisali le polovico njegove risbe, sestkrat zmanjsali skalo, da bomo dobili enotsko kroznico, in spremenili oznake oglisc, da bodo bolj podobne tistim na sliki 2.
Zacnimo s polkroznico polmera 1, ki ima sredisce O v koordinatnem izhodiscu. Naj bo A = (—1/2,0), B = (1/2,0) in P = (1,0) (glej sliko 5). Potem je tocka C = (0^ \/3/2) tretje oglisce enakostranicnega trikotnika AABC. Konstruirajmo se krozni lok s srediscem v tocki D = (—1/6, 0) od tocke C do presecisca E z daljico OP in na njem izberimo tocko F tako,
P
C
da je kot ZPDF ravno tretjina kota ZPDC. Navpičnica skozi F potem seka prvotno polkroZnico v točki Pi, ki je točki P = Po najbliZje ogliSCe pravilnega sedemkotnika. Njegova stranica je daljica P0Pl.
E P=P0
Slika 5. Gleasonova konstrukcija pravilnega sedemkotnika s tretjinjenjem kota.
DokaZimo, da je ta konstrukcija pravilna. Oznacimo kot ZPDF s crko tako da je potem ZPDC = 30 in zato cos 30 = 1/(^\/7) oziroma 4cos3 0 - 3cos0 = 1/(^\/7). Poleg tega naj pomeni x/2 razdaljo od tocke O do navpicnice skozi F, tako da je cos 0 = (1/6 + x/2)/(^\/7/6) = (1 + 3x)/(^\/7), kar nam omogoca, da iz prejsnje enacbe izlocimo kot 0. Z racunom preverimo, da zadosca x enacbi (4), se pravi, daje x = 2 cos(2n/7), kar je edina pozitivna resitev enacbe (4).
Primerjajmo trikotnik AC DO na sliki 5 s Plemljevim trikotnikom AC DE na sliki 3, pa vidimo, daje 30 = n/2 - 30. Bralcu prepuscamo, da se sam od-loci, cigava konstrukcija, Plemljeva ali Gleasonova, je bolj elegantna. Prva nam da stranico, druga pa celo oglisca pravilnega sedemkotnika.
Conwayeva konstrukcija pravilnega sedemkotnika
Plemljev trikotnik je uporabil tudi John H. Conway3 pri svoji konstrukciji pravilnega sedemkotnika, ki jo povzemamo po [2].
Dva skladna enakostranicna trikotnika s stranico 1 staknimo skupaj v ogliscu O tako, kot kaze slika 6, in ju razpolovimo z navpicnico skozi stici-sce. Razpolovisce leve stranice zgornjega trikotnika oznacimo z A, navpic-nica skozi A naj seka spodnjo osnovnico v tocki B, razpolovisce osnovnice
3John Horton Conway (rojen leta 1937) je znameniti angleski in ameriski matematik (od leta 1986 je profesor na univerzi v Princetonu, prej pa je bil profesor v angleskem Cambridgeu). Deluje na razliCnih podroCjih algebre, geometrije, teorije stevil, diskretne in razvedrilne matematike. Odkril je stevilne nove matematiCne koncepte, uvedel nove algoritme in igre, najveCjo popularnost pa je pridobil z iznajdbo celiCnega avtomata, imenovanega Igra 'življenja.
Slika 6. Conwayeva konstrukcija pravilnega sedemkotnika.
spodnjega trikotnika pa naj bo C. Potem je trikotnik △ABC podoben Ple-mljevemu trikotniku △CDE na sliki 3 (povečan je s faktorjem 3/2) s kotom ABAC = 39, saj je tg30 = 1/(^\/3). Tretjino tega kota v smeri od B proti C, tj. Plemljev kot 9, naj poleg navpičnice omejuje daljica AD. Od daljiče AD odmerimo na vsako stran kot velikosti n/3 z vrhom v A. Oba nova kraka naj sekata vodoravnico skozi O v točkah E in F. Potem navpičnice skozi točke D, E, F sekajo enotsko kroznico s sredisčem v O v oglisčih pravilnega sedemkotnika (glej sliko 6).
Dokaz pravilnosti te konstrukcije je računski. Ce označimo z x/2 razdaljo OE, vidimo, da je x/2 + 1/4 = ^\/3/4)tg(9 + n/3). Z adičijskim izrekom za tangens dobimo od to^ \/3tg9 = (x — 1)/(x + 1). Po drugi strani iz formule za tangens trojnega kota in dejstva, da je tg 39 = 1/(^\/3), najdemo enakost 1 — 3tg2 9 = ^\/3(3tg 9 — tg3 9). Izrazimo tangens z x, pa dobimo po preureditvi zvezo x3 + x2 — 2x — 1 = 0, torej spet znano enačbo (4). Od tod vidimo, daje x = 2čos(2n/7).
Podobno kot Gleasonova nam tudi Conwayeva metoda da oglisča v enot-ski krog včrtanega pravilnega sedemkotnika.
Splosna teorija konstrukcij pravilnih veckotnikov s tretjinjenjem kota
Za konec omenimo, da velja podobno kot za konstrukcijo z evklidskim orodjem bolj splosna teorija tudi za konstrukcijo poljubnega pravilnega večko-tnika z uporabo ravnila, sestila in trisektorja. Ustrezni izrek je ze leta 1895
v casopisu Bulletin of the American Mathematical Society prispeval ame-riski matematik James Pierpont4 (1866-1938), profesor na univerzi Yale. Dokaz je podoben dokazu izreka 2 in prav tako poteka z uporabo Galoisove teorije obsegov (glej [3]). Pravzaprav je Pierpont namesto kotnega trisek-torja uporabil metodo stoznic, vendar je Gleason dokazal ekvivalenco obeh orodij za namen konstrukcije pravilnega veckotnika, zato Pierpontov izrek formulirajmo kar v Gleasonovi obliki (s tretjinjenjem kota).
Izrek 7 (Pierpont-Gleason). Pravilni n-kotnik lahko konstruiramo z ravnilom, čsestilom in kotnim trisektorjem natanko takrat, ko je n = 2r3spip2 ...pk, kjerso r,s,k > 0 (pri k = 0 je n = 2r3s in r/2 + s > 1) in so pi > 3, i = 1,2,..., k, različna pračtevila oblike p = 2u3v + 1, u,v > 0.
Prastevila zgornje oblike imenujemo Pierpontova pračtevila (Gleasonova domneva, da jih je neskoncno mnogo, se ni dokazana). Mednje spadajo (poleg Fermatovih prastevil) prastevila 7, 13, 19, 37, 73, 97 itd., ne pa npr. 11, 23, 29, 31, 41, 43 ali 47. Vidimo, da pravilni sedemkotnik zadosca Pierpontovemu pogoju (7 = 2-3 + 1), enako trinajstkotnik (13 = 22-3 + 1), ne pa npr. pravilni enajstkotnik. Slednjega torej ni mogoce konstruirati samo z ravnilom, sestilom in trisektorjem. Pogojem izreka 7 pa zadoscajo (poleg tistih, omenjenih ze v zvezi z izrekom 2) npr. tudi naslednja sestavljena stevila: 9, 14, 18, 20, 21, 26, 28, 35, 36, 38, 39, 42, 45, 52 itd.
LITERATURA
[1]	L. Bieberbach, Theorie der geometrischen Konstruktionen, Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe, bd. 13, Verlag Birkhäuser, Basel 1952.
[2]	J. H. Conway, R. K. Guy, Numbers, Copernicus Springer-Verlag, New York 1996.
[3]	A. M. Gleason, Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon, Amer. Math. Monthly 95 (1988), 185-194.
[4]	R. Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond,, Springer 2000.
[5]	R. Hartshorne, Viete's construction of the regular heptagon, spletna stran: http://www.math.berkeley.edu/~robin/Viete/construction.html
[6]	G. E. Martin, Geometric Constructions, UTM, Springer 1998.
[7]	J. Plemelj, Die Siebenteilung des Kreises, Monatshefte fur Mathematik und Physik 23 (1912), 309-311.
[8]	J. Plemelj, Pravilni sedmerokotnik, Obzornik mat. fiz. 5-6 (1954), 134-135.
[9]	J. Stillwell, Elements of Algebra: Geometry, Numbers, Equations, Springer Verlag 1994.
[10] 1. Vidav, Rešeni in nerešeni problemi matematike, KnjiZnica Sigma, Mladinska knjiga, Ljubljana 1972.
4Pierpont je doktoriral na dunajski univerzi leta 1894 pri Leopoldu Gegenbauerju in Gustavu von Escherichu. Pri slednjem je leta 1898 doktoriral tudi sedem let mlajsi Plemelj.