raziskave in razvoj
UDK: 72.013
Pregledni znanstveni ~lanek (A Review)
Zlati rez
The Golden Mean
avtor Domen KU[AR, asist. univ. dipl. in`. arh., Fakulteta za arhitekturo, 1000 Ljubljana, Zoisova 12.
Izvleček/Abstract
Zlati rez je pojem, ki ‘e tiso~letja zaposluje znanstvenike razli~nih podro~ij. Johannes Kepler pi{e, da ima geometrija dva velika bisera. Prvi je Pitagorov izrek in drugi je zlati rez. Prvega lahko primerjamo s ~istim zlatom, drugega pa z draguljem neprecenljive vrednosti.
Kljub temu da se da vrednost zlatega reza numeri~no izraziti le v pribli‘kih, podobno kot velja za {tevilo ∏, je vsestransko zaznaven na vseh podro~jih ~love{kega ustvarjanja. V umetnosti je simbol urejenosti ter pomeni skladnost merske kompozicije likovne stvaritve. Zlati rez pomeni proporcijski klju~ zasnove kompozicije v arhitekturi od antike naprej in je aktualen {e danes. Matematiki se z njim ukvarjajo ‘e tiso~letja in je osrednji problem ustvarjanja v geometriji.
V dana{njem ~asu imamo na razpolago ogromno znanja, ki pa je razpr{eno po razli~nih podro~jih ~lovekovega ustvarjanja in po razli~nih znanstvenih disciplinah. To onemogo~a vpogled v celoto, znanstvene ugotovitve in informacije pa ostajajo znotraj ozko do-lo~enih strokovnih krogov. K tej zaprtosti prispevajo {e razli~ni izrazni pomeni v znanstveni oziroma umetni{ki terminologiji. V sklop prizadevanj po skupnem povezovanju znanja in po sodelovanju med razli~nimi, na prvi pogled zelo oddaljenimi strokovnimi
podro~ji, sodi tudi razprava o zlatem rezu. S to razpravo se udejanja prete-kanje znanj in sodelovanje med umetniki, arhitekti in in‘enirji lesarji.
The golden mean (or golden section) is a concept, which has occupied scientists in different fields for thousands of years. Johannes Kepler claims that geometry has two big pearls. The first one is the Pythagoras’ theorem and the other one is the golden mean. The former may be compared to pure gold and the latter to an invaluable precious stone.
In spite of this the value of the golden mean may be numerically expressed only in approximations, similar to those for the number pi (∏), and yet it is universally present in all areas of human creativeness. In art it is the symbol of order and it represents the harmony of composition of measurement in fine arts. The golden mean is the proportional key of compositional design in architecture since ancient times and is a timely topic even today. Mathematicians dealt with it for thousands of years and it is the dominant problem of creativeness in geometry.
Today we have available enormous knowledge, however it is dissipated over various areas of human creative-ness and over various scientific disciplines. This way it makes it impossible
to achieve an insight into the whole, and scientific discoveries and information remain inside narrow determined professional circles. Different meanings of expression in scientific and art terminology, respectively contribute to this unavailability. Discussion on the golden mean is also associated with the efforts to the mutual interconnection of knowledge and cooperation between various professional areas that seem very distant at first sight. With this discussion, the flow or the knowledge and cooperation between artists-architect and lumber engineers is realised.
Klju~ne besede: matematika, lesen nosilec, narava, umetnost
Keywords: art, mathematics, nature, wooden girder


ijaLeS 53(2001) 7-8
raziskave in razvoj
M	m	B
	it	i
AB/AS = AS/SB = d>		
a/M = M/m^O	C a - m + M)	
(m + M) m = Ms /; m3		
M/m + 1 = (M/m)*		
(M/m)* - M/m -1=0		
M/m = (l±V5)/2	(M in m sla pozitivni vrednosti)	
M/m = (I +^S)I2		
M/m = 0		
a/M = *		
a/m = <D + I		
Slika 1. Matemati~ni izra~un ena~be zlatega reza
0          i		2          i				0	1             2           J           1			
i	1					1	^^■^^■^^H			34 37 £0 97 137 411
i						1				
■■					» 7* 322					
4	£y;-"\ 'T.-	1				9	1 ■			
li	rr_- ■ j ■									
						13 1 hO p	■			
18		a:					■			
19 Al 7i 113										
							IfVr. 1 "			
	4-----■—1---------					!>■  H	_Zf			
	1					I57l 25<i|	■			
1«							■			
		•■■					*			
Slika 2. Razmerje sosednjih {tevil drugega in tretjega Fibonacci-jevega zaporedja
1. Zlati rez v matematiki
Matematično vzeto je zlati rez razmerje med delom in celoto. Označujemo ga na čast grškemu matematiku Fidiji z grško črko phi (O), četudi nekateri matematiki še vedno uporabljajo črko tau (T). Razmerje zlatega reza (O) bi najlažje ponazorili z daljico a = AB, na kateri sta odseka M = AS in m = SB. Če predpostavimo, da je razmeje med AB : AS enako razmerju AS : SB, nastane razmerje zlatega reza, katerega vrednosti dobimo, ko rešimo kvadratno enačbo (slika 1).
Število Oje iracionalno in ga tudi z veliko decimalk ne moremo v popolnosti izraziti, ampak se njegovi vrednosti lahko le približujemo. Tako je tudi za število O izračunan približek. Za ilustracijo naj bo naveden le na prvih 20 decimalk (O = 1D 61803 39887 49894 84820...).
Racionalno aproksimacijo zlatega reza (O) dobimo po drugi poti. Namreč z aditivnim zaporedjem, ki ga poznamo pod imenom Fibonaccijevo zaporedje. Lastnost aditivnih zaporedij je, da vsota dveh sosednjih členov tvori naslednjega. Tako se prvo Fibonaccijevo zaporedje začne z naslednjimi števili:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...
(1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5,...),
drugo Fibonaccijevo zaporedje z:
1, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47,...,
in tretje z:
1, 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37,...
Če primerjamo razmerje med sosednjimi števili prvega Fibonaccijevega zaporedja, vidimo, da se vrednosti čedalje bolj približujejo vrednostim zlatega reza (O).
ijaLes 53(2001) 7-

raziskave in razvoj
1/1= 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.6153846
Tudi pri drugem in tretjem Fibonac-cijevem zaporedju se vrednosti razmerja sosednjih {tevil pribli‘ujejo vrednostim (Φ), kar ka‘e preglednica (slika 2).
2. ZLATI REZ V GEOMETRIJI
Zlati rez ima v geometriji morda celo ve~jo veljavo kot v numeri~ni matematiki (algebri). Prvenstveno gre za delitev dolo~enega odseka na del, ki je v razmerju zlatega reza. Zlati rez pa se skriva {e v mnogih drugih geometri~nih konstrukcijah. Nekatere si bomo ogledali.
2.1. Osnovna konstrukcija zlatega reza
Delitev daljice AB v razmerju zlatega reza. Spodnja konstrukcija (slika 3) prikazuje delitev odseka AB na odsek AS in SB v razmerju zlatega reza. Naj bo AB = a. Iz to~ke B nari{emo pravokotnico dol‘ine a/2 (BC). Dobimo pravokotnik ABC s hipotenuzo AC. Dol‘ina hipotenuze je a√5/2.
AS = AD = AC - CD = a√5/2 - a/2 = a(√5-1 )/2 = a/Φ
AB/AS = a/(a/Φ) = Φ
Dol‘ini AB in AS ter AS in SB so v razmerju zlatega reza.
Te j konstrukciji je podobna naslednja (slika 4). Prav tako gre za trikotnik ABC. Nari{emo krog s sredi{~em v to~ki C ter radijem CB. Daljico CA podalj{amo, da seka kro‘nico (dobimo to~ko D). ^e nato nari{emo kro‘nico z radijem AD, ta kro‘nica seka daljico AB v to~ki S. Dol‘ini AB/AS sta v razmerju zlatega reza. Prav tako pa tudi AS in SB.

2.2. Zlati rez v pravilnem petin desetkotniku
Pravilni petkotnik je eden zahtevnej-{ih pravilnih geometrijskih likov, ki se jih da narisati samo z ravnilom in {estilom. Je prava zakladnica zlatega reza oziroma je najpomembnej{i
geometrijski lik zlatega reza. Prikazani primeri ka‘ejo konstrukcije zlatega reza. V razmerju zlatega reza se sekata diagonali, ki nimata skupnega ogli{~a. ^e namre~ pove‘emo to~ki 1 in 3 (diagonala 1-3) ter to~ki 2 in 5 (diagonala 2-5), se obe diagonali
ijaLeS 53(2001) 7-8
sekata v to~ki S. To~ka S razpolavlja diagonalo v razmerju zlatega reza (slika 5). V razmerju zlatega reza sta tudi dol‘ina diagonale in stranice pravilnega petkotnika (slika 6). Ta re{itev pomaga pri konstrukciji zla-
Slika 9. Konstrukcija zlatega pravokotnika
Slika 10. Delitev zlatega pravokotnika
Slika 11. Zlati rez sekajo~ih se daljic zlatega pravokotnika
ijaLeS 53(2001) 7-8
tega trikotnika. To je v bistvu ena-kokrak trikotnik, ki je v~rtan petkot-niku, tako da je kraj{a stranica enaka stranici petkotnika, dalj{i dve pa sta enake dol‘ine kot diagonali. Vrh trikotnika je v ogli{~u petkotnika nad
Slika 12. Konstrukcija zlatega reza z enakostrani~-nim trikotnikom in krogom
Slika 13. Konstrukcija zlatega reza v kompoziciji kvadrata, enakokrakega trikotnika in kroga
Slika 14. Razmerje zlatega reza pri ikozaedru
Vir: Beutelspracher, A., Petri, B., 1996: Der Goldene Schnitt. Spektrum Akademischer Verlag GmbH, Heidelberg str. 52
raziskave in razvoj
kraj{o stranico (slika 7).
Podobno kot v pravilnem petkotniku lahko tudi v njemu bli‘njem pravilnem desetkotniku dobimo razmerja zlatega reza. Ena od definicij zlatega reza pravi, da je zlati rez odnos med stranico pravilnega deset-kotnika in radijem temu liku o~rta-nega kroga (Bon~a, 2000;152) (slika 8).
2.3. Zlati pravokotnik
Konstrukcijo pravokotnika, ki ima dol‘ine stranic v razmerju zlatega reza, lahko nari{emo na ve~ na~inov. Prvi je ‘e ve~krat omenjena delitev daljice v razmerju zlatega reza z razli~nimi postopki. Tako dobimo dva dela, ki sta si v ‘elenem razmeju in tvorita stranice pravokotnika. Druga mo‘nost je izhajanje iz kvadrata ABCD. Temu razpolovimo stranico AB (dobimo to~ko M). Nato s {estilom nari{emo lok s sredi{~em v to~ki M ter radijem MC. Kjer lok seka podalj{ek stranice AB, dobimo to~ko E. Pravokotno nad njo je na razdalji AD to~ka F. To~ki E in F sta novi ogli{~i zlatega pravokotnika AEFD (slika 9).
Vendar to {e ni vse. Zlati pravokot-nik skriva {e nekaj zanimivih geometrijskih konstrukcij. Namre~, ~e zlatemu pravokotniku vri{emo kvadrat, dobimo ostanek, ki je podoben osnovnemu pravokotniku - torej so njegove stranice v razmeju zlatega reza. Ta postopek lahko ponavljamo do neskon~nosti, a vedno bomo dobili kvadrat ter zlati pravokotnik (slika 10). ^e pove‘emo ogli{~a teh novih manj{ih zlatih pravokotnikov, vidimo, da se daljice sekajo v natan~-no dolo~eni to~ki O. Pri tem so si daljice paroma pravokotne (AE(CG in BF(DH) (slika 11). Naslednji zanimiv odnos je med sekajo~ima se daljicama AE in CG. Kot je bilo ‘e
243
raziskave in razvoj
povedano, se obe daljici sekata v to~ki O. Pri tem sta si dela daljic v naslednjem odnosu:
CO = Φ-1AO
in
DO = Φ-1BO.
2.3. Druge konstrukcije zlatega reza
Poleg ‘e omenjenega zlatega trikotnika, v~rtanega pravilnemu petkot-niku, najdemo razmerje zlatega reza tudi v kompoziciji enakostrani~nega trikotnika ter njemu o~rtanega kroga. ^e namre~ stranici trikotnika 1,2,3 razpolovimo, dobimo to~ki A in S, tako da je 1A = A3 = 2S = S3. Nato daljico AS podalj{amo do kro‘-nice in dobimo to~ko B. Primerjava daljic AS in SB poka‘e, da sta dol‘ini daljic v razmerju zlatega reza (slika 12).
Geometrijsko konstrukcijo zlatega reza lahko nari{emo tudi v kompoziciji, sestavljeni iz kvadrata, ki mu je v~rtan enakokrak trikotnik, trikotniku pa je v~rtan krog. Razmerje zlatega reza je med stranico BC (kvadrata oziroma trikotnika) in radijem trikotniku v~rtanega kroga (slika 13).
Razmerje zlatega reza je mo~ najti pri ikozaedru. Ikozaeder je eden od petih, tako imenovanih platonskih teles. Dvanajst ogli{~ telesa tvori dvanajst to~k treh enakih zlatih pra-vokotnikov, ki so si medsebojno pravokotni in se sekajo v eni to~ki (slika 14).
3. ZLATI REZ V NARAVI
Narava nas s svojo pestrostjo nenehno presene~a. Raznovrstnost oblik in barv bi nas lahko napeljala na misel, da tu ne moremo najti ni~ urejenega. Vendar to ni res. S podrobnim pre-
u~evanjem lahko hitro najdemo red in razmerja, ki vladajo v naravi. Verjetno najbolj znana podoba urejenosti je ~ebelji sat, kjer imajo celice
obliko pravilnega {estkotnika. [e ve~ pravilnih oblik bi na{li v ne‘ivi naravi, kjer jih v kristalih kar mrgoli. Kristali so ve~inoma pravilnih geo-

ijaLeS 53(2001) 7-8
raziskave in razvoj
metrijskih oblik. Poznamo kristale, v obliki kocke, oktaedra in {e bi jih lahko na{tevali.
Tudi v ‘ivi naravi najdemo pravilne geometrijske like, ki ka‘ejo urejenost v naravi. Najbolj raz{irjen je krog. Kro‘nih oblik v naravi kar mrgoli. Razlog za to je morda prav v dejstvu, da je prav krog tisti lik, ki ima ob enakem obsegu najve~jo povr{ino. Ta lastnost pa je marsikateri vrsti omo-go~ala pre‘iveti boj za obstanek. Vendar najdemo v naravi tudi druge like, ki jih ne bi pri~akovali, recimo
trikotnik in petkotnik. Oba se velikokrat pojavljata pri cvetovih in sa-de‘ih. Izmed sade‘ev naj navedem kot primer ‘ir (trikotnik), jabolko, eksoti~na karambola (petkotnik). [e ve~ petkotnih oblik je med ‘ivalmi, zlasti med morskimi zvezdami.
Zlati rez slovi kot najlep{e propor-cijsko razmerje. Neufert navaja naslednje utemeljitve za to trditev. Proporcijska analiza ~love{kega telesa ka‘e, da posamezni deli ~love{kega telesa nastopajo v razmerju zlatega reza. Proporcijske analize rastlin-
ijaLes 53(2001) 7-
skega in ‘ivalskega sveta ka‘ejo, da strukture sestavnih delov nastopajo v razmerju zlatega reza (slika 15). Fechnerjeve psiholo{ke raziskave za ugotovitev “najlep{ega pravokot-nika” so pokazale, da se dobra tretjina anketirancev odlo~i za pravo-kotnik v razmerju zlatega reza.
Poleg neposrednega razmerja zlatega reza ga v naravi dostikrat najdemo tudi posredno. ^e opazujemo steblo ali vejico rastline, lahko opazimo, da pri nekaterih vrstah listi rastejo v spirali okoli stebla. ^e sledimo listom, vidimo, da po nekaj obratih spirale list raste natan~no nad spodnjim. Vmes pa je na spirali dolo~eno {te-vilo drugih. Primerjava {tevila obratov okoli osi s {tevilom listov, ki rastejo vmes, da vrednosti 1,2,3,5,8... Ta {tevila pa so enaka {tevilom Fibo-naccijevega zaporedja. Zanj pa vemo, da se razmerja med dvema sosednjima {teviloma pribli‘uje vrednostim zlatega reza.
4. ZLATI REZ V GLASBI
Zlati rez ima v glasbi dve vlogi. Prva pomeni razmerje med razli~nimi toni oziroma njihovimi frekvencami. Razmerje tonov se da namre~ izraziti z razmerjem med malimi celimi {tevili. Tako so {tevil~na razmerja oktavi naslednja: prima 1:1, sekunda 8:9, terca 4:5 (mala terca 5:6), kvarta 3:4, kvinta 2:3, seksta 3:5 (mala seksta 5:8), septima 4:7 in oktava 1:2. Razmerju zlatega reza se najbolj pribli‘a mala seksta (5:8 = 0.625) (slika 16). Razpored tonov v glasbeni kompoziciji se ravna po zakonitostih glasbene kompozicije. Ta je izrazljiva tudi v matemati~nem jeziku.
Drugo podro~je zlatega reza v glasbi je odnos dela kompozicije do celote. V ~asu po renesansi zasledimo zlati rez v kompoziciji zgolj naklju~no.

raziskave in razvoj
Sicer se ve~krat zgodi, da odkrijejo zlati rez v skladbah Bacha, Haydna, Bethovna ali Mozarta. Tako je mo~ najti zlati rez v delitvi Mozartove Sonate {t. 1 v C duru. Ta se deli na del z 38 in del z 62 enotami. Med {tevili do 100 pa se prav razmerje 38 : 62 (0,6129032) najbolj pribli‘uje vrednostim zlatega reza (0,61803). Kljub vsemu pa moramo razna odkritja zlatega reza v razli~nih skladbah jemati z dobr{no mero previdnosti. Pogosto namre~ velike aproksimacije zlatega reza enostavno kar razglasijo za zlati rez. Kljub temu pa tudi iz tistega ~asa dolo~ene skladbe vsebujejo zlati rez v ~isti obliki, na primer: Johan Josef Fux (1660-1741) v svojem delu Te Deum K 270 (Beutelspacher, 1996; 169).
5. ZLATI REZ V LIKOVNI UMETNOSTI
Zlati rez velja po estetskih merilih za pojem lepega. Na to je morda vplivalo tudi dejstvo, da naj bi imelo vidno polje na{ega o~esa razmerje zlatega reza (Rozman, 1981; 69). Analiza proporcij likovnih del ka‘e, da razporeditev elementov na sliki ali reliefu navadno ni naklju~na. Pozicija je odvisna od vloge oziroma vrednosti, ki jo ima del do celote. Kako pojasniti vlogo ter podrejenost ali nadrejenost posameznega dela proti celoti? Umetniki poznajo ve~ sredstev za dosego tega cilja. Pomembnost elementa je poudarjena z druga~no barvo, tonom, velikostjo ali pa s pozicijo, ki jo ima na sliki. Z geometrijsko analizo lahko pridemo do proporcij-skega klju~a, po katerem so razporejeni elementi v umetnini in kak{no vlogo imajo. Proporcijski klju~ zlatega reza da dolo~ene to~ke ali linije. Pomen teh to~k in ~rt dobimo, ~e jih projiciramo na sliko ali relief. Vidimo, da so pomembnej{e osebe ali detajli pogosto narisani prav na teh
Slika 17. Proporcija zlatega reza Stele kralja ka~e
Vir: Pejakovi}, M., 1998: Zlatni rez (V: KoG, Znanstveno-stru~no-informativni ~asopis Hrvatskog dru{tva za konstruktivnu geometriju i kompjutersku grafiku, str. 60
Slika 19. Proporcijska analiza Dürerjevega avtoportreta
Vir: Beutelspracher, A., Petri, B., 1996: Der Goldene Schnitt. Spektrum Akademischer Verlag GmbH, Heidelberg, str. 15 8

lika 18. Proporcijska analiza zlatega reza {tudije ~love{kega telesa Leonarda da Vincija
Vir: Pejakovi}, M., 1998: Zlatni rez. KoG, Znanstveno-stru~no-informativni ~asopis Hrvatskog dru{tva za konstruktivnu geometriju i kompjutersku grafiku, Zagreb, str. 62

ijaLeS 53(2001) 7-8
raziskave in razvoj
~rtah oziroma to~kah oziroma je celotna umetnina narejena v tej proporciji.
Kompozicijo zlatega reza sre~amo ‘e zelo zgodaj v reliefih Starega vzhoda. Relief Stele kralja ka~e (stele of the king serpent), ki ga hranijo v Louvru, je narejen po proporciji zlatega reza. Poleg glavnega reliefa se delitev v zlatem rezu ka‘e tudi v delu, kjer je prikazana ka~a ter utrdba (slika 17).
V srednjem veku je najbolj poznana proporcijska {tudija delov ~love{ke-ga telesa v zlatem rezu, ki jo je napravil vodilni um renesanse Leonardo da Vinci (slika 18).
Analizo zlatega reza lahko naredimo tudi za Dürerjev münchenski avtoportret iz leta 1500 (slika 19). Za Dürerja je sploh zna~ilno, da se je zanimal tudi za matematiko. Z njo, zlasti pa z geometrijo, se je za~el ukvarjati okoli leta 1500. Temu je bilo namenjeno tudi njegovo drugo potovanje v Italijo. Bolj kot {tudij umetnosti v Italiji je ‘elel spoznati skrivnosti matematike in geometrije ter njune vloge v umetnosti. Tudi kas-nej{a leta se je veliko predajal matematiki. Svoje {tudije je objavil v {tirih knjigah z naslovom Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit, ki so iz{le leta 1525 in so bile prve matemati~ne knjige, napisane v nem{~ini.
6. ZLATI REZ V ARHITEKTURI
Dimenzije in razmerja med dol‘ino, {irino in vi{ino ter med posameznimi deli-elementi pomenijo enega od bistvenih vpra{anj arhitekture, ki se je pojavilo ‘e zelo zgodaj in je {e danes aktualno.
Prvotno je morala zgradba zadostiti predvsem naslednjima kriterijema:
ijaLeS 53(2001) 7-8
trdnosti in varnosti. Hi{a (zgradba) je morala biti dovolj trdna, da se ni poru{ila. Hkrati pa je morala {~ititi prebivalce pred raznimi, predvsem vremenskimi nev{e~nostmi. Velikost zgradbe je bila odvisna od potrebe in zmo‘nosti investitorja, {e bolj pa od spretnosti graditeljev, razvitosti tehnologije ter razpolo‘ljivega gradbenega materiala. Z razvojem tehnologije so lahko nastajale vedno ve~je zgradbe. Namesto spretnosti graditeljev in razvitosti tehnologije je igrala ~edalje ve~jo vlogo mo~ investitorja. Dose~i veliko, zlasti pa visoko zgradbo (vsekakor pa ve~jo od predhodnika ali soseda), je bila ‘elja investitorja, ki je s tem ‘elel pokazati svojo mo~ in veljavo.
Kak{en je bil odnos med dol‘ino, {irino in vi{ino take stavbe? Geometrijske analize ka‘ejo, da so se graditelji vedno dr‘ali dolo~enih vzorcev, po katerih so gradili. Osnova so jim bili manj{i gradniki ter ~love{ko telo. Slednje je bilo pomembno kot merilo za dimenzije (velikot dlani, stopala, koraka...), kot gradbeni “stroj” (doseg rok, mo~ za prena{a-nje bremen...) ali kot uporabnik (velikost prostorov, vi{ina stropa, se-de‘ev...). Arhitekturni elementi so bili izdelani v principih velikosti ~lo-ve{kega telesa. Med gradnjo so se ti elementi ponavljali, oziroma so z njimi gradili do ‘elene dimenzije. Pri tem pa ‘e lahko govorimo o razmerju med merami zgradbe in njenih delov, torej o proporciji.
Matemati~no oziroma geometrijsko analizo proporcij je smiselno delati pri arhitekturi, ki je nastala v obdobju, ko sta bili matematika in geometrija ‘e tako razvita, da sta omo-go~ili ljudem, da so se zavestno odlo-~ali za dolo~ene proporcijske klju~e. @e stari Grki so bili namre~ prepri-~ani, da lepota sloni na matemati~nih
odnosih, racionalnih in iracionalnih, in da so simetrija in ritem osnovni merili za lepoto in idealna razmerja (Petrovi}, 1972; 57).
Egiptovske piramide so grajene v tlorisni proporciji 1:1. Bolj zanimiva je primerjava med osnovnico in vi{i-no. Osnovnica Keopsove piramide meri 440 komolcev, vi{ina piramide je 280 komolcev. Razmerje med vi{ino in osnovnico je 11:7, kar je aproksimacija zlatega reza (slika 20) (Kurent, 1962-63; 532).
Slika 20. Merska analiza Keopsove piramide
Slika 21. Proporcija zlatega reza Partenona
Vir: Petrovi}, \., 1972: Kompozicija arhitektonskih oblika. Nau~na knjiga, Beograd, str. 65
Slika 22. Proporcija zlatega reza Konstantinovega slavoloka v Rimu

raziskave in razvoj
^e pogledamo anti~no arhitekturo, vidimo, da je med proporcijami le nekaj takih, ki ustvarjajo razmerje celih {tevil. Taka razmerja so na primer 1:1 ali 1:2. Ve~ina arhitekturnih proporcij nastane iz razmerji med racionalnimi {tevili. Taka razmerja so na primer razmerje ∏, √2 , √3 in druga. Nastala so lahko zaradi razvoja geometrije, ki je ‘e doseglo tako stopnjo, da je omogo~alo konstrukcije takih vrednosti oziroma njihovih pribli‘kov. Med temi vrednostmi je ve~krat uporabljena konstrukcija zlatega reza (slika 21-22).
Za projektiranje v zlatem rezu so poznali tako imenovana propor-cijska {estila. To je bilo dvokrako {estilo. Razdalje med konicami enega in drugega kraka so bila v razmerju zlatega reza. Poleg {estil z razmerjem zlatega reza so poznali tudi {estila z drugimi proporcijami (1:2, 9:5).
Proporcije romanskih in gotskih katedral niso v razmerjih zlatega reza. Bolj se uveljavijo proporcije 1:1, 1:2, 1:3, √2 in √3 . Te proporcije prevladujejo tudi kasneje. Zanimanje za zlati rez in ~love{ko merilo je budil Leonardo da Vinci s {tudijo ~love{-kega telesa. V novej{em ~asu sta na podro~ju ~love{kih mer v arhitekturi bolj znana Neufert in Le Corbusier. Prvi zaradi svoje {tudije ~love{kih mer v odnosu do arhitekture in notranje opreme, kar pomeni “biblijo” mladih arhitektov na za~etku njihove ustvarjalne poti in tudi med njo.
Produkt ve~letnih proporcijskih {tu-dij Le Corbusiera je tako imenovani Modulor (slika 23). Gre za merski sistem dveh krivulj, ki je nastal s pro-porcijami zlatega reza. Ena krivulja (rde~a linija) se vije od vi{ine temena pokon~nega mo‘a (183 cm), druga (modra linija) pa izhaja iz stoje~e

Slika 23. Le Corbusierova {tudija proporcij ~love{kega telesa (Modulor)
Vir: Boesiger, Girsberger, 1960: Le Corbusier 1910 - 60. Editions Girsberger, Zurich, str. 265
postave z dvignjenimi rokami (226 cm), prekri‘ana pa je s polovi~no vrednostjo ve~je enote (113 cm). Po Corbusierju je namre~ osnovna enota vsega, kar se gradi, ~love{ko telo. Za enote rabijo mere ~love{kega telesa in njegovi gibi (Mu{i~ III, 309).
Dana{nji metrski merski sistem ni naklonjen zlatemu rezu. Za projektiranje namre~ niso ugodne proporcije, ki dajo dimenzije, ki niso cela {tevila. Tudi pri projektnih mre‘ah raje uporabljamo ve~kratnike {tevila 10, 60 ali 80. Zato se tudi druge podobne proporcije, kot so ∏, √2 in √3 , ne uporabljajo mnogo.
7. ZLATI REZ V PREREZIH LESENIH TRAMOV
Teza o konstrukcijskem pravzroku proporcije zlatega reza zveni nenavadno, saj v zvezi z umetnostjo, v kateri dominira pojem zlatega reza, nismo vajeni uporabljati besednjaka logike, fizike in matematike. Postane pa veliko bolj razumljiva in sprejemljiva, ker jo potrjujejo in‘enirski po-
gledi, izpeljani iz temeljnih tehnoloških in statičnih prvin.
V prispevku “Konstrukcijski vidik izbire optimalnega prereza lesenega nosilca - verjetni izvor v arhitekturi (“zlati rez”)”, podanem na 21. Zborovanju gradbenih konstrukterjev na Bledu (oktober 1999) je bila postavljena teza, da so antični graditelji svoje eksperimentalno dobljene ugotovitve o določenih najugodnejših prerezih lesenih tesanih tramov prevedli v enostavne geometrijske modele proporcijskega razmerja. Z naslonitvijo na zgodovinske in tehnološke ugotovitve o obdelavi, dimenzioniranju, transportu in vgrajevanju lesenih tramov ter z uporabo modernih statičnih formul in matematičnih postopkov se prikazuje nov, doslej v likovni teoriji nepoznan statično konstrukcijski vidik uporabnosti, in s tem pokaže na pravzrok uporabe proporcije zlatega reza. Pomembnost teh trditev je predvsem v statično matematični dokazljivosti.
Pri teh trditvah izhajamo iz splošno opredeljene zahteve, da se mora iz debla iztesati tak prerez trama, ki bo optimalno zadovoljil posamezne posebne obremenitvene pogoje.
Največjo upogibno nosilnost in najmanjši poveš pravokotnega trama se izrazi na naslednji način:
•  največjo nosilnost pravokotnega prereza trama dobimo, kadar ima izrezan pravokotni izrez največji W,
•  najmanjši poveš pravokotnega prereza trama pa dobimo, kadar imamo največji I.
Z izpeljavo programa vrednotenja posameznih specifičnih statičnih količin prerezov tramov se potrjuje veljavnost teze, hkrati pa se z dia-gramskimi shemami produkta izko-
Les 53(2001) 7-8
raziskave in razvoj
																	
									■n								
									\								
																	
	ćc% — »*-■a * —			I					\								
					■=	1				■■							
										■							
										\							
				te----A 1 i i i 11							\						
								i				V	-	-			
																	
		;		1 M l 1					y„a	"■					'	i	
	Slika 24. Diagram produkta izkoristkov (W, J) v odstotkih Vir: Ku{ar, J., 1999: Konstrukcijski vidik izbire optimalnega prereza lesenega nosilca - verjetni izvor nastanka proporcij v arhitekturi (“zlati rez”) (v: Zbornik 21. Zborovanja gradbenih konstruktorjev Slovenije; 75-86). Slovensko dru{tvo gradbenih konstruktorjev, Bled, str. 82																
ristkov maksimalne upogibne nosilnosti in minimalnega povesa poka‘e, da obema kriterijema najbolj ustreza izrez trama v proporciji zlatega reza (slika 24).
Dobljeni rezultat je bil preverjen tudi s funkcijo ekstrema, ki od prave vrednosti razmerja proporcije ϕ odstopa za 2,33 %. Razliko med vrednostjo funkcije ekstrema in produkta izkoristkov nosilnosti in povesa je mogo~e pripisati razlikam med dejanskimi napetostnimi diagrami pri dopustnih upogibnih napetostih in pri poru{nih napetostih, kjer se skriva zaradi reolo{kih lastnosti lesa. Ta razlika je dodatna minimalna rezerva, ki jo je nekdanji graditelj (raziskovalec) ugotovil in upo{teval pri dolo~itvi proporcije zlatega reza.
8. SKLEP
Iz arheolo{kih izkopavanj in zgodovinskih raziskav vemo, da je bilo znanje matematike in geometrije ter poznavanje eksperimentiranja v antiki ‘e tako razvito, da so izvedbe enostavnih obremenilnih poizkusov, merjenja in primerjanja rezultatov
ter formuliranje teh spoznanj bile popolnoma mogo~e. Enako lahko predvidevamo, da so znali tehni~na spoznanja, pridobljena s poizkusi, strniti v prakti~no uporabnost pro-porcij pravokotnih geometrijskih likov.
Zato domneva, da izhaja izraz “zlati rez” iz spoznanj o optimalni dimenziji lesenega nosilca, pridobljenega s tesanjem (rezanjem), zveni popolnoma mogo~e. Stati~no konstrukcijski vidik razlaganja izvora proporcij je utemeljen predvsem v matemati~ni dokazljivosti takega razmi{ljanja.
Najbolj{i rez - zlati rez- so kot teh-nolo{ki “know how” oblikovali v enostavne matemati~ne formule, ki pa so se v tiso~letjih iz ~isto tehni~-nega pomena prekrile s plastjo raz-li~nih drugih razlag.
Literatura
1.   Beutelspracher, A., Petri, B., 1996: Der Goldene Schnitt. Spektrum Akademischer Verlag GmbH, Heidelberg
2.   Boesiger, Girsberger, 1960: Le Corbusier 1910 -60. Editions Girsberger, Zurich
3.   Bon~a, J., 2000: Zlati rez (v: Kaj je likovna teorija, Zbornik referatov simpozija v po~astitev spomina na profesorja Milana Butino; 149-154). Visoka strokovna {ola slikarstva v Ljubljani, Ljubljana
4.   Kurent, T., 1967: Osnovni zakon modularne kompozicije. Univerza v Ljubljani, FAGG, Ljubljana
5.   Ku{ar, J., 1999: Konstrukcijski vidik izbire optimalnega prereza lesenega nosilca - verjetni izvor nastanka proporcij v arhitekturi (“zlati rez”) (v: Zbornik 21. Zborovanja gradbenih konstruktorjev Slovenije; 75-86). Slovensko dru{tvo gradbenih konstruktorjev, Bled
6.   Ku{ar, J., 2000: Stati~no-konstrukcijski vidik izvora proporcij v arhitekturi (v: Kaj je likovna teorija, Zbornik referatov simpozija v po~astitev spomina na profesorja Milana Butino; 138-148). Visoka strokovna {ola slikarstva v Ljubljani, Ljubljana
7.    Mu{i~, M, 1968: Veliki arhitekti III. Zalo‘ba Obzorja Maribor
8.   Neufert, E., 1943: Bauordnungslehre. Bauverlag GmbH, Berlin
9.   Pejakovi}, M., 1998: Zlatni rez (V: KoG, Znanstveno-stru~no-informativni ~asopis Hrvatskog dru{tva za konstruktivnu geometriju i kompjutersku grafiku, str. 60-62), Zagreb
10.  Petrovi}, D., 1972: Kompozicija arhitektonskih oblika. Nau~na knjiga, Beograd
11.   Rozman, V., 1981: Osnove oblikovanja. Srednja lesarska {ola v Ljubljani, Ljubljana
vijaLes 53(2001) 7-8