i i “Zerovnik” — 2017/5/29 — 11:02 — page 20 — #1 i i i i i i ŠOLA RAČUNANJE KVARTILOV V ELEMENTARNI STATISTIKI JANEZ ŽEROVNIK Fakulteta za strojnǐstvo, Univerza v Ljubljani Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko Uvod Definicija kvartilov se v teoriji verjetnosti nanaša na pojem porazdelitve verjetnosti, v statistiki pa se seveda hitro vprašamo, kdaj in kako lahko iz vzorca ocenimo kvartile porazdelitve. Pri vpeljavi osnovnih pojmov sta- tistike na ravni osnovne in srednje šole abstraktnega pojma porazdelitve seveda ne moremo vpeljati, uporabljamo pa elementarne definicije za po- sebne primere, kar je eden od razlogov za nejasnosti, saj je končno množico vrednosti mogoče razumeti na različne načine: na primer kot diskretno po- razdelitev z natanko temi danimi vrednostmi in enakimi verjetnostmi ali pa kot vzorec neke splošne in neznane porazdelitve. Naprej, iz končno mnogo podatkov lahko v nekaterih praktičnih primerih sklepamo, da gre za vzo- rec, ki smo ga dobili z nekaj realizacijami zvezne slučajne spremenljivke, v drugih primerih lahko verjamemo, da slučajna spremenljivka zavzame samo končno mnogo vrednosti, morda celo samo tiste, ki so že v dani množici podatkov, če omenimo samo dva primera. Verjetno ni treba posebej utemeljevati, da morajo kvartili imeti naslednji dve lastnosti: 1. kvartili razdelijo elemente na štiri približno enake dele; 2. prvi in tretji kvartil sta mediani spodnje in zgornje polovice. Seveda je treba tudi mediano nedvoumno definirati, prav tako je treba po- jasniti pojem »polovic«, še zlasti pri lihem številu elementov. Pri definiciji kvartilov sta gotovo zaželeni vsaj še naslednji dve lastnosti: 20 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 1 i i “Zerovnik” — 2017/5/29 — 11:02 — page 21 — #2 i i i i i i Računanje kvartilov v elementarni statistiki 3. vrednosti kvartilov so enake na podvojenih podatkih (če vsak element podvojimo in dobimo množico z 2n elementi, so vrednosti novih kvar- tilov enake preǰsnjim); 4. definicija za končne množice podatkov in definicija za zvezne porazdeli- tve sta posebna primera splošne definicije (če je končna množica vzorec neke splošne porazdelitve, potem so kvartili na vzorcu dobri približki za kvartile te porazdelitve pri predpostavki, da je vzorec nastal kot re- alizacija neodvisnih enako porazdeljenih slučajnih spremenljivk in da kvartil res obstaja ter je enolično določen). Kvartili so poseben primer centilov (ali percentilov) in oboji poseben pri- mer kvantilov [2, 11]. Čeprav je prava definicija kvantilov in s tem centilov za diskretno porazdelitev (in enaka definicija za končno množico podatkov) jasna [2] in je na prvi pogled edino smiselno definirati kvartile z ustreznimi kvantili, v literaturi in praksi pri metodah za računanje kvartilov vlada preceǰsnja zmešnjava.1 Statistiki uporabljajo različne metode za računanje kvartilov. Videti je, da te približne metode računanja nekateri razumejo kot definicije. Nejasnost se na žalost prenaša tudi na vpeljavo teh osnovnih pojmov v elementarni statistiki [10, 4, 3]. Zadrega je precej huǰsa, kot je videti na prvi pogled in kot večina misli. (Ali, kot pravi Langford [4]: »The situation is, I believe, far worse than most realize.«) Langford v članku [4] navaja sedem različnih metod in še nekaj na videz drugih, ki so ekvivalentne kateri od prvih sedem. Implementacije v splošno uporabljanih kalkulatorjih in programju (MINITAB, SAS, Mathematica, JMP, Microsoft Excel) do- dajo še pet dodatnih metod. Različne metode dajejo na majhnih primerih različne rezultate in ker, kot zapisano, nekateri te metode razumejo kot de- finicije kvartilov, je zmešnjava popolna. Langford si predstavlja študenta, ki s svojim računalom, na fakulteti priporočenim statističnim programskim orodjem, in z računanjem »peš« dobi vsakič drugačen rezultat! V Sloveniji so bili osnovni pojmi statistike vpeljani v osnovne in srednje šole ob uvedbi devetletne osnovne šole in s tem povezani prenovi učnih načrtov [6, 5]. Na žalost v veljavnih učbenikih [1, 8, 9] najdemo različne metode za računanje 1Definicija (enačba 29.1 na strani 195 v [2]) kvantilov ne določa enolično, od koder deloma izhaja zmeda, o kateri govori ta članek. 20–31 21 i i “Zerovnik” — 2017/5/29 — 11:02 — page 22 — #3 i i i i i i Janez Žerovnik kvartilov in ker manjkajo formalne definicije, je videti, kot da so te približne metode eksaktne, s čimer sta implicitno vpeljani vsaj dve problematični (da ne uporabimo besede napačni) definiciji kvartilov [1, 8, 9]. Na maturitetni komisiji smo nedavno dobili vprašanje zaskrbljene matere dvojčic, ki sta v osnovni šoli in na gimnaziji opazili različne metode z različnimi rezultati. Kaj je pravilno? V nadaljevanju bomo definirali kvartile, najprej za splošno in potem še za diskretne porazdelitve s končno zalogo vrednosti. V primeru enakomerne diskretne porazdelitve s končno zalogo vrednosti lahko enakovredno govo- rimo o kvantilih končne množice, torej o nalogi, ki se obravnava v srednji in osnovni šoli. Potem bomo opisali dve metodi iz naših učbenikov in podobno metodo, ki računa prave vrednosti. Ker je zadnja metoda malenkost bolj zapletena kot prvi dve, v nadaljevanju opǐsemo še tri ekvivalentne metode, ki računajo prave vrednosti kvartilov in so morda primerne za vpeljavo v osnovni šoli, zagotovo pa niso preveč zahtevne za obravnavo v srednji šoli. Definicija kvartilov Definicija kvartilov (in kvantilov) za porazdelitve s porazdelitveno funkcijo je nesporna. q-ti kvantil je enolično določen, če ima enačba F (xq) = q natanko eno rešitev. V primeru, ko je slučajna spremenljivka zvezna in ima gostoto p, lahko enačbo zapǐsemo v obliki F (xq) = xq∫ −∞ p(t)dt = q in lahko se zgodi, da enačba nima enolične rešitve. Če je slučajna spremenljivka diskretna, potem je F stopničasta in enačba F (xq) = q praviloma ne bo enolično rešljiva. Kvantili torej v nekaterih primerih niso enolično določeni, ali drugače zapisano, obstaja več vrednosti, ki ustrezajo definiciji takega kvantila. Ker želimo obravnavo ohraniti na ravni elementarne matematike, se bomo namesto splošnih kvantilov tu omejili na kvartile in centile. Zato zapǐsimo, da je i-ti centil vsako število Pi, za katero velja Pi∫ −∞ p(x)dx = i/100. (Torej centili niso nujno enolično določeni.) Kvartili so seveda 25., 50. in 75. centil, torej prvi kvartil Q1 = P25, drugi kvartil Q2 = P50, tretji kvartil Q3 = P75. 22 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 1 i i “Zerovnik” — 2017/5/29 — 11:02 — page 23 — #4 i i i i i i Računanje kvartilov v elementarni statistiki Zapisana definicija temelji na porazdelitveni funkciji F (x) = ∫ x −∞ p(t)dt, ki jo lahko definiramo tudi za diskretne porazdelitve. Zato lahko uporabimo isto definicijo tudi na diskretnih porazdelitvah. A ker, kot že prej omenjeno, pri tem v praksi vlada kar precej zmede, bomo tu posebej zapisali, kako lahko enakovredno definicijo centilov v primeru diskretne porazdelitve, ki ima končno mnogo vrednosti, zapǐsemo v preprosteǰsem jeziku. Dana je končna množica elementov (podatkov, meritev) V = {v1, v2, v3, . . . , vn}. Predpostavimo, da je urejena v nepadajoče zaporedje vk, k = 1, 2, . . . , n, torej da velja v1 ≤ v2 ≤ v3 ≤ · · · ≤ vn. Naj bo i ∈ {0, 1, 2, . . . , 100}. i- ti centil Pi je vrednost, za katero velja, da je vsaj i odstotkov elementov manǰsih ali enakih Pi in da je vsaj 100 − i odstotkov elementov večjih ali enakih Pi. (Torej vrednost Pi ni nujno enaka enemu od elementov iz množice V = {v1, v2, v3, . . . , vn}.) Očitno velja naslednje: če i n100 ni celo število, potem za neki k, 1 ≤ k ≤ n, lahko zapǐsemo bi n100c = k − 1 < i n 100 < di n 100e = k, tako da je k − 1 manj, k pa več kot i odstotkov od n. (In seveda, n − k je manj, n − k + 1 pa več kot 100 − i odstotkov od n.) V tem primeru je v skladu z zgornjo definicijo Pi = vk. Če je k = i n100 naravno število, potem je v množici prvih k elementov natanko i odstotkov elementov množice. (In seveda, n−k je natanko 100−i odstotkov od n.) Vsako število med vk in vk+1 torej ustreza definiciji Pi. V drugem primeru je smiselna naslednja definicija: Kanonična vre- dnost centila je P̄i = vk+vk+1 2 . V posebnih primerih je morda mogoče zagovarjati drugačno izbiro vrednosti med vk < vk+1, torej ni nujno, da za centil vedno vzamemo njegovo kanonično vrednost. Kvartili so posebni primeri centilov, zato kot prej definiramo: Q1 = P25, Q2 = P50, Q3 = P75. Pri definiciji mediane ni dvoma, v vseh znanih virih je mediana defini- rana kot kanonična vrednost petdesetega centila (ali, enakovredno, drugega kvartila): za n = 2k + 1 je M = P50 = vk+1, za n = 2k pa M = P50 = vk+vk+1 2 . Zgledi: Po definiciji izračunajmo kvartile za naslednje štiri množice ve- likosti n = 9, 10, 11, 12 in jih poimenujmo Zgled 1–4. Vrednosti kvartilov so 20–31 23 i i “Zerovnik” — 2017/5/29 — 11:02 — page 24 — #5 i i i i i i Janez Žerovnik zapisane krepko. V primeru, ko je kvartil na sredini med dvema elementoma, sta krepko zapisani obe vrednosti. 1. n = 9: 12, 15, 22 , 23, 25 , 44, 46 , 51, 59 Q1 = 22, Q2 = M = 25, Q3 = 46. 2. n = 10: 12, 15, 22 , 23, 25, 26 , 44, 46 , 51, 59 Q1 = 22, Q2 = M = 25,5, Q3 = 46. 3. n = 11: 12, 15, 22 , 23, 24, 25 , 26, 44, 46 , 51, 59 Q1 = 22, Q2 = M = 25, Q3 = 46. 4. n = 12: 12, 15, 22, 23 , 24, 25, 26 , 44, 46, 51 , 59, 88 Q1 = 22,5, Q2 = M = 25,5, Q3 = 48,5. Metode v naših učbenikih in Langfordova metoda V tem razdelku bomo opisali tri metode za računanje kvartilov, ki delujejo tako, da izračunamo mediani na polovici podatkov. Prvi dve metodi sta med najpogosteje uporabljanimi, tretjo pa je predlagal Langford [4] zato, ker prvi dve, tako kot še nekatere druge zgoraj omenjene, ne dajejo pravilnih rezultatov na majhnih množicah podatkov. Vse tri metode (tu jih bomo imenovali M1, M2 in M3) so si zelo podobne, razlikujejo se samo v koraku 2(b), a bomo zaradi nedvoumnosti vse tri postopke zapisali v celoti. Metoda 1 (M1) je uporabljena v učbeniku [9], sodeč po zgledu na strani 172. Prej je na strani 166 [9] samo zapisano, da je prvi kvartil mediana prve polovice podatkov, tretji kvartil pa mediana druge polovice podatkov, kaj je prva in kaj druga polovica podatkov v primeru lihega števila, ni nikjer definirano. Podobno tudi vir [1] ne pove, kako obravnavati primer z liho mnogo podatki, na zgledu z 11 elementi mediana (pravilno) ni upoštevana, drugega primera z liho mnogo podatki ni. 24 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 1 i i “Zerovnik” — 2017/5/29 — 11:02 — page 25 — #6 i i i i i i Računanje kvartilov v elementarni statistiki Metoda M1 1. Izračunamo mediano. 2. Razdelimo podatke na dve podmnožici, v prvi so vsi elementi, ki so manǰsi od mediane, v drugi polovici so vsi elementi, ki so večji od mediane, natančneje: (a) če je n = 2k, potem je M = vk+vk+1 2 in V1 = {v1, v2, . . . , vk}, V2 = {vk+1, vk+2, . . . , vn}. (b) če je n = 2k + 1, potem je M = vk in V1 = {v1, v2, . . . , vk−1}, V2 = {vk+1, vk+2, . . . , vn}, torej mediane ne štejemo k nobeni od polovic. 3. Prvi kvartil je mediana spodnje, tretji kvartil pa mediana zgornje polovice podatkov. Metoda 2 (M2) je uporabljena v učbeniku [8], kjer je zapisano, da medi- ano moramo šteti k obema polovicama podatkov. Enako je v priporočilu [6], kjer je v opombi celo navedeno, da je opis kvartilov iz didaktičnih razlogov nekoliko poenostavljen. Metoda M2 1. Izračunamo mediano. 2. Razdelimo podatke na dve podmnožici, v prvi so vsi elementi, ki so manǰsi od mediane, v drugi polovici so vsi elementi, ki so večji od mediane, natančneje: (a) če je n = 2k, potem je M = vk+vk+1 2 in V1 = {v1, v2, . . . , vk}, V2 = {vk+1, vk+2, . . . , vn}. (b) če je n = 2k + 1, potem je M = vk in V1 = {v1, v2, . . . , vk}, V2 = {vk, vk+1, vk+2, . . . , vn}, torej mediano dodamo k obema polovicama. 3. Prvi kvartil je mediana spodnje, tretji kvartil pa mediana zgornje polovice podatkov. 20–31 25 i i “Zerovnik” — 2017/5/29 — 11:02 — page 26 — #7 i i i i i i Janez Žerovnik Metodo M3, ki je podobna zgornjima in da pravilen rezultat v vseh primerih, je predlagal Langford [4]. Metoda M3 [Langford] 1. Izračunamo mediano. 2. Razdelimo podatke na dve podmnožici, v prvi so vsi elementi, ki so manǰsi od mediane, v drugi polovici so vsi elementi, ki so večji od mediane, natančneje: (a) če je n = 2k, potem je M = vk+vk+1 2 in V1 = {v1, v2, . . . , vk}, V2 = {vk+1, vk+2, . . . , vn}. (b) če je n = 2k + 1, potem je M = vk in ločimo dva primera: i. če je k liho število, potem je V1 = {v1, v2, . . . , vk}, V2 = {vk, vk+1, vk+2, . . . , vn}, torej mediano dodamo k obema polovicama. ii. če je k sodo število, potem je V1 = {v1, v2, . . . , vk−1}, V2 = {vk+1, vk+2, . . . , vn}, torej mediane ne štejemo k nobeni od polovic. 3. Prvi kvartil je mediana spodnje, tretji kvartil pa mediana zgornje polovice podatkov. V tabeli so prvi in tretji kvartili izračunani po definiciji in po metodah M1, M2 in M3, izračunani so za zglede iz preǰsnjega razdelka (z 9, 10, 11 in 12 elementi). Krepko so označene vrednosti, ki se ne ujemajo z definicijo. Q1 Q3 Def M1 M2 M3 Def M1 M2 M3 Zgled 1 22 18,5 22 22 46 48,5 46 46 Zgled 2 22 22 22 22 46 46 46 46 Zgled 3 22 22 22,5 22 46 46 45 46 Zgled 4 22,5 22,5 22,5 22,5 48,5 48,5 48,5 48,5 Vidimo, da metodi M1 in M2 ne izračunata pravilnih vrednosti v vseh primerih. Ni težko videti, da za primere, ko je n = 4r + 1, metoda M1 ne deluje pravilno, za n = 4r + 3 pa se od definicije razlikuje rezultat, dobljen po metodi M2. Metoda M3 v vseh primerih pravilno izračuna kvartile, česar ni težko formalno dokazati. 26 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 1 i i “Zerovnik” — 2017/5/29 — 11:02 — page 27 — #8 i i i i i i Računanje kvartilov v elementarni statistiki Možna obravnava v šoli Langford [4] ob predlogu metode pove, da je ni preizkusil v praksi. Čeprav M3 ni pretirano zapletena, v tem razdelku vpeljemo kvartile še na tri druge načine, ki so verjetno primerni za obravnavo v srednji šoli, morda celo v osnovni šoli. Poudarimo, da so v vseh primerih rezultati enaki in ustrezajo pravi definiciji, zato lahko kvartile brez škode tudi »definiramo« s katerim koli od spodnjih postopkov. Vpeljava kvartilov s pomočjo elementarne geometrije Množico podatkov uredimo in si predstavljajmo, da vsak element pokrije po en interval dolžine ena, tako da dobimo daljico dolžine n. Kvartile in tudi centile dobimo (in definiramo) tako, da daljico dolžine n razdelimo v primernem razmerju. Če je delilna točka na intervalu, potem je vrednost centila (kvartila, mediane) vrednost elementa na tem intervalu, če pa de- lilna točka pade natanko na mejo med dva intervala, potem za (kanonično) vrednost centila vzamemo aritmetično sredino. Na zgledih velikosti n = 9, 10, 11 in 12 metoda da naslednje rezultate. 1 2 3 4 12 15 22 23 25 44 46 51 59 1 2 3 4 12 15 22 23 25 26 44 46 51 59 25.5 20–31 27 i i “Zerovnik” — 2017/5/29 — 11:02 — page 28 — #9 i i i i i i Janez Žerovnik 1 2 3 4 12 15 22 23 24 25 26 44 46 51 59 1 2 3 4 12 15 22 23 24 25 26 44 46 51 59 88 22.5 25.5 48.5 Na ta način brez težav vpeljemo in določamo tudi centile, na primer 33. centil in 60. centil (kanonično vrednost) na zgledu 2 dobimo takole: 100 12 15 22 23 25 26 44 46 51 59 35 60 33 Vpeljava kvartilov s pomočjo osnovnega izreka o deljenju Zapǐsemo n = 4r + o in kvartile definiramo takole: če je o = 1, potem je Q1 = vr+1, Q2 = v2r+1 in Q3 = v3r+1. če je o = 2, potem je Q1 = vr+1, Q2 = v2r+1+v2r+2 2 in Q3 = v3r+2. če je o = 3, potem je Q1 = vr+1, Q2 = v2r+2 in Q3 = v3r+3. če je o = 0, potem je Q1 = vr+vr+1 2 , Q2 = v2r+v2r+1 2 in Q3 = v3r+v3r+1 2 . 28 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 1 i i “Zerovnik” — 2017/5/29 — 11:02 — page 29 — #10 i i i i i i Računanje kvartilov v elementarni statistiki Utemeljitev, ki je hkrati tudi formalen dokaz pravilnosti, je preprosta, le obravnavati je treba vsakega od primerov posebej. • Če je o = 1, potem je Q1 = vr+1, ker veljajo neenakosti: r 4r + 1 < 1 4 < r + 1 4r + 1 , 3r 4r + 1 < 3 4 < 3r + 1 4r + 1 . Podobno pokažemo, da je Q3 = v3r+1, na primer z uporabo očitne simetrije. • Če je o = 2, potem je Q1 = vr+1: r 4r + 2 < 1 4 < r + 1 4r + 2 , 3r + 1 4r + 2 < 3 4 < 3r + 2 4r + 2 . Podobno vidimo, da je Q3 = v3r+2. • Če je o = 3, potem je Q1 = vr+1: r 4r + 3 < 1 4 < r + 1 4r + 3 , 3r + 2 4r + 3 < 3 4 < 3r + 3 4r + 3 . Podobno vidimo, da je Q3 = v3r+3. • Če je o = 0, potem lahko množico razdelimo na štiri enako velike četrtine s po r elementi, torej je Q1 = vr+vr+1 2 in Q3 = v3r+v3r+1 2 . Morda lahko namesto za dijake ne ravno zanimive formalne izpeljave za intuitivno razumevanje zadošča spodnja slika: r r r r1 1 1 r r1 r r1 r r r r r r-1 r-1 r11 1 20–31 29 i i “Zerovnik” — 2017/5/29 — 11:02 — page 30 — #11 i i i i i i Janez Žerovnik Podvojitev vzorca V primeru, ko je število elementov liho, je mediana enaka vrednosti ele- menta vk+1 in če hočemo kvartile računati kot mediane polovic, se pojavi vprašanje, kaj narediti s tem srednjim elementom. Ideja, ki se ponuja in jo je mogoče tudi formalno utemeljiti, je podvojitev: če vsakega od elementov podvojimo, tako da dobimo 2n elementov, je delitev na enako veliki pod- množici dobro definirana. Podvojeni srednji element tako prispeva po en element v vsako od polovic. Kvartil Q1 lahko potem izračunamo (in defi- niramo) kot mediano spodnje polovice, kvartil Q3 pa kot mediano zgornje polovice podvojene osnovne množice. Ni težko preveriti, da tako dobimo prave vrednosti kvartilov. Zaključek V Sloveniji so bili osnovni pojmi statistike vpeljani v učne načrte osnovne šole in srednjih šol pred slabimi dvajsetimi leti ob uvedbi devetletke. Na žalost v veljavnih učbenikih najdemo različne metode za računanje kvar- tilov in ob izostanku formalne definicije ali opozorila, da gre za približne metode, je mogoče razumeti, da so te približne metode eksaktne, s čimer sta implicitno vpeljani vsaj dve problematični definiciji kvartilov [1, 8, 9]. Če so razlike v uporabni statistiki zaradi narave različnih aplikacij morda do neke mere razumljive, je nejasnost osnovnih pojmov v elementarni statistiki najmanj neprijetna, če ne celo nesprejemljiva. Če učenci v osnovni in sre- dnji šoli srečajo dve nasprotujoči si definiciji preprostih osnovnih pojmov, upravičeno lahko podvomijo v konsistentnost predavane snovi in z malo po- sploševanja razširijo ugotovitev na nekonsistentnost celega predmeta, v tem primeru matematike. Zato je v tem in podobnih primerih nujna uskladitev med učnimi gradivi po vertikali in horizontali. Enako pomembna je seveda korektna vpeljava osnovnih pojmov in če gre za prezahtevne pojme, morajo biti razlogi za obravnavo zelo močni, sicer je obravnavo pametneje opustiti ali preložiti na kasneǰse obdobje. Spomnimo se samo razvpitega primera vpeljave teorije množic pred desetletji. Na srečo je tu obravnavani primer precej preprost. Vpeljavo osnovnih pojmov statistike, vključno s kvartili, je vsaj v srednji šoli škoda okrniti, saj za to ni nobene potrebe. Malo bolj vprašljiva je seveda smiselnost obrav- 30 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 1 i i “Zerovnik” — 2017/5/29 — 11:02 — page 31 — #12 i i i i i i Računanje kvartilov v elementarni statistiki nave v devetletki, vsekakor je treba razloge za in proti dobro pretehtati [7]. Kvartili so uporabni na primer pri predstavitvi podatkov, kjer razpršenost podatkov lepo prikažemo s tako imenovano »škatlo z brki«. Torej, k sedaj uporabljanim metodam za računanje kvartilov je nujno treba pripomniti, da gre za približne metode, ki za velike množice podat- kov v statistiki delujejo dovolj dobro. Ali, in seveda precej bolǰse, kvartile vpeljati korektno, na primer z enim od tu nakazanih elementarnih pristopov. Zahvala Anonimnemu recenzentu se zahvaljujem za konstruktivne pripombe in pre- dlagane popravke, ki so veliko prispevali k jasnosti in matematični korek- tnosti besedila. Zahvaljujem se tudi kolegom, članom maturitetne komisije za matematiko za splošno maturo, ki so mi pred pisanjem prispevka opisali svoje izkušnje pri obravnavi teh pojmov in uporabo statističnih programov v šolski praksi, in nenazadnje uredniku, ki je v zadnji različici pred tiskom opozoril še na nekaj napak v besedilu. LITERATURA [1] M. Bon Klajnšček, B. Dvoržak in D. Felda, Matematika 1, učbenik za gimna- zije, DZS, 2009. [2] R. Jamnik, Verjetnostni račun, Mladinska knjiga, Ljubljana, 1971. [3] A. H. Joarder in M. Firozzaman, Quartiles for Discrete Data, Teaching Stati- stics 3, 86–89. [4] E. Langford, Quartiles in Elementary Statistics, Journal of Statistics Educa- tion 14 (2006) 16 strani, dostopno na: ww2.amstat.org/publications/jse/ v14n3/langford.html, ogled: 22. 5. 2017. [5] Z. Magajna in A. Žakelj, Obdelava podatkov pri pouku matematike 6–9, Mate- matika v šoli 7 (1999) 249–252. [6] Z. Magajna in A. Žakelj, Obdelava podatkov pri pouku matematike 6–9, Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana, 2000. [7] Z. Magajna in A. Žakelj, Ali sodi obdelava podatkov k pouku matematike?, Obzornik mat. fiz. 46 (1999) 113–119. [8] A. Mohorčič in drugi, Vega 1, i-učbenik za matematiko v gimnazijah, Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana, 2013. [9] G. Pavlič, D. Kavka, M. Rugelj in J. Šparovec, Linea nova, matematika za gimnazije, Modrijan, Ljubljana, 2011. [10] Ask Dr. Math, dostopno na: mathforum.org/library/drmath/view/60969. html, ogled: 24. 12. 2016. [11] Statistični terminološki slovar, Statistično društvo Slovenije, SAZU, 2001. 20–31 31