i
i
“Grabec” — 2017/5/29 — 11:02 — page 10 — #1 i
i
i
i
i
i
NAKLJUČNO GIBANJE DELCEV NA NIHAJOČI
MEMBRANI V CHLADNIJEVEM POSKUSU
IGOR GRABEC
Amanova d. o. o.
Tehnološki park, Ljubljana
PACS: 02.50.Ey, 02.60.-x, 05.40.Fb
V prispevku je statistično okarakterizirano naključno poskakovanje kremenčevih ka-
menčkov na nihajoči membrani v Chladnijevem poizkusu. Posnetki trajektorij kažejo,
da so skoki krožno porazdeljeni in naključni. Povprečna dolžina horizontalnega premika
v skoku je približno sorazmerna amplitudi nihanja nad kritičnim nivojem in znaša okoli
eno četrtino ustrezne vǐsine skoka. Horizontalno premikanje delcev je opisano z modelom
naključnega gibanja, ki ga poganjajo nihanja podlage. Numerični primeri kažejo dobro
ujemanje med eksperimentalnimi in simuliranimi podatki.
RANDOM WALK OF PARTICLES ON A VIBRATING MEMBRANE OF
CHLADNI EXPERIMENT
Bouncing of marble sand particles on a vibrating membrane of a Chladni experiment
is statistically characterized in the article. Records of trajectories reveal that bounces
are circularly distributed and random. The mean length of their horizontal displacement
is approximately proportional to the vibration amplitude above the critical level and
amounts about one fourth of the corresponding jump height. The horizontal drifting of
particles is described by a model of vibration driven random walk. Numerically simulated
examples yield a good agreement with experimental data.
Uvod
Nastajanje vzorcev zaradi gibanja peščenih delcev na nihajočih površinah
je prvi omenil Robert Hook že leta 1680, vendar je preteklo celo stoletje,
preden je Ernst Chladni (1756–1827) ta pojav uporabil za prikazovanje ni-
hanja glasbenih inštrumentov [1, 2]. Njegove inovacije so nato pospešile
razvoj znanosti o nihanjih in akustiki. Čeprav se Chladnijevo prikazovanje
nihanj še vedno uporablja v proizvodnji in karakterizaciji glasbenih inštru-
mentov [2], sam pojav nastanka vzorca doslej še ni bil fizikalno zadovoljivo
opisan. To je še posebej presenetljivo, ker je bilo poskakovanje delcev pogo-
sto predmet raziskav kaotične dinamike in gibanja zrnatih snovi [3]. Zato je
osnovni namen tega članka s poskusi in statistično analizo lastnosti gibanja
delcev v Chladnijevem poskusu zapolniti to vrzel.
10 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 1
i
i
“Grabec” — 2017/5/29 — 11:02 — page 11 — #2 i
i
i
i
i
i
Naključno gibanje delcev na nihajoči membrani v Chladnijevem poskusu
Slika 1. Nastanek Chladnijevega vzorca na nihajoči plošči. Povzeto iz: en.wikipedia.
org/wiki/Ernst_Chladni.
Osnovne značilnosti Chladnijevega poskusa
Nepopolnost fizikalnega opisa gibanja delcev v Chladnijevem poskusu je
posledica kompleksnosti njegove dinamike, ki zahteva upoštevanje kaotičnih
pojavov, naključnih lastnosti oblike delcev, trkov z drugimi delci, izgublja-
nje energije zaradi trenja itd. Kljub temu pa lahko sklepamo, da se delci
gibljejo v zaporednih skokih iz področij močnih nihanj v področja vozelnih
linij, kjer je amplituda nihanja zanemarljiva [2]. Namen članka je podati ar-
gumente za to sklepanje na osnovi statistične karakterizacije poskakovanja,
zato so tukaj raziskane in opisane lastnosti gibanja delcev na krožni nihajoči
membrani. Naš končni cilj je opredelitev enostavnega modela za opis na-
stanka Chladnijevega vzorca. Zaradi poenostavitve obravnavamo primere z
majhno gostoto delcev, pri katerih je dovolj, da razǐsčemo lastnosti gibanja
posameznih delcev.
Slika 1 kaže oblikovanje Chladnijevega vzorca na nihajoči plošči, posuti
s tanko plastjo peska. Chladni je vzbujal nihanje z drgnjenjem violinskega
loka ob rob plošče, dandanes pa se za to uporablja predvsem električno
vzbujanje, na primer z zvočnikom.
Chladnijevi poskusi so običajno izvedeni s peščenimi delci naključnih
oblik. Zato je razvoj Chladnijevega vzorca naključen proces in v skladu s
tem najprej opǐsemo njegove lastnosti statistično z eksperimentalnimi po-
datki. Poskakovanje splošno vključuje vertikalne in horizontalne premike.
Slednji so pomembni za oblikovanje Chladnijevega vzorca, zato v nadalje-
vanju razǐsčemo samo njihove lastnosti.
10–19 11
i
i
“Grabec” — 2017/5/29 — 11:02 — page 12 — #3 i
i
i
i
i
i
Igor Grabec
Dinamika poskakovanja vključuje metanje delcev z nihajoče površine z
vertikalnim pospeškom a(r) = ω2z(r), kakor tudi prosto padanje s pospe-
škom g. Pri tem je ω krožna frekvenca in z(r) amplituda nihanj na položaju
s krajevnim vektorjem r. Poskakovanje se dogaja nad kritično amplitudo
zc = g/ω
2, kjer pospešek a(r) preseže gravitacijskega. Zato uporabimo za
opis poskakovanja relativno amplitudo pospeška: A(r) = [a(r)− g]/g, ki je
enaka relativni amplitudi nihanja nad zc : A(r) = z(r)/zc−1. Poskakovanje
obstaja, če je A > 0. Ob vozelnih linijah je A < 0 in poskakovanje, vzbujeno
v območju z A > 0, tam preneha.
Poskusi in analiza
Sistem za izvedbo poskusov je prikazan na sliki 2. Poskakovanje delcev pov-
zroča nihanje krožne membrane s polmerom ro = 152 mm, debelino 1 mm,
gostoto 1134 kg/m3 in horizontalno napetostjo 0,194 N/mm. Membrana je
vpeta horizontalno v okvir, pritrjen na ohǐsje zvočnika. Njen prvi osnovni
način nihanja s frekvenco f = 36,8 Hz vzbuja zračni tlak iz zvočnika, ki
ga poganja sinusna napetost iz signalnega generatorja. Radialno odvisnost
amplitude nihanj opǐsemo z izrazom z(r) = zoJo(2,4r/ro), pri čemer je zo
amplituda pri r = 0 in Jo Besselova funkcija s prvo ničlo pri 2,4. Amplituda
napetosti generatorja je nastavljena tako, da je kritična amplituda odmika
membrane zc = 0,18 mm pri kritičnem radiju rc = 95 mm. V tem primeru
Slika 2. Shema eksperimentalnega sistema. SG – signalni generator, Z – zvočnik, M –
membrana, D – delec, K – kamera.
12 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 1
i
i
“Grabec” — 2017/5/29 — 11:02 — page 13 — #4 i
i
i
i
i
i
Naključno gibanje delcev na nihajoči membrani v Chladnijevem poskusu
je zo = 2zc in območje relativne amplitude −1 ≤ A ≤ 1.
Testno množico delcev tvori N = 30 kremenčevih kamenčkov z obliko
podobno tetraedru. Porazdelitev vǐsine χ je približno normalna s srednjo
vrednostjo 〈χ〉 = 1,55 mm in standardno deviacijo ∆χ = 0,38 mm. V po-
skusih opazujemo poskakovanje posameznih delcev, ki jih položimo v center
mirujoče membrane in nato vzbudimo nihanje. Trajektorije delcev posna-
memo s fotografsko kamero v časovnih razmikih δt = 1/3 s. Celotni posnetek
trajektorije tvori 45 slik, posnetih v času 15 s. Iz vzorčne množice posnetkov
vektorjev horizontalnega položaja {rn(τ); 1 ≤ n ≤ 30, 1 ≤ τ ≤ 45} dolo-
čimo ustrezne relativne radije Rn(τ) = rn(τ)/rc, amplitude An(τ), premike
sn(τ) = rn(τ + 1) − rn(τ) pri t = (τ − 1)δt in vektorje normaliziranega
premika Sn(τ) = sn(τ)/rc. Srednje vrednosti 〈. . .〉 =
∑
n (. . .)/N in stan-
dardne deviacije ∆(. . .) = [Var(. . .)]1/2 [4, 5] spremenljivk R, A ter S so
osnovne karakteristike pojava poskakovanja delcev.
Slika 3 levo kaže štiri vzorce trajektorij od r = 0 k rc, slika 3 desno
pa časovno odvisnost ustreznega relativnega radija R = r/rc. Obe sliki
nakazujeta naključnost in trend poskakovanja.
Slika 4 levo kaže porazdelitev vseh izmerjenih vrednosti normaliziranega
premika S ob različnih časih, slika 4 desno pa časovno odvisnost njegove
x-komponente Sx vzorcev iz slike 3 levo. Osnovne lastnosti Sx so prikazane
na sliki 5. Slika 5 levo nakazuje, da so vrednosti Sx približno simetrično
porazdeljene okoli 0 pri dani vrednosti amplitude A, širina porazdelitve pa
narašča z A. Povezavo med standardno deviacijo ∆Sx in srednjo vrednostjo
〈A〉 vseh delcev kaže slika 5 desno. Ustrezna regresijska premica ∆Sx =
κ〈A〉 s κ ≈ 0,16 nakazuje, da je širina porazdelitve približno sorazmerna s
Slika 3. Levo: Štirje vzorci posnetkov trajektorij delcev; črtkani krog ima radij rc. Desno:
Časovna odvisnost relativnega radija R(t) = r/rc trajektorij iz slike 3 levo.
10–19 13
i
i
“Grabec” — 2017/5/29 — 11:02 — page 14 — #5 i
i
i
i
i
i
Igor Grabec
Slika 4. Levo: Porazdelitev vseh izmerjenih normaliziranih vektorjev premika Sn =
sn/rc. Desno: Časovna odvisnost komponente Sx, določena iz vzorcev trajektorij na sliki
3 levo.
Slika 5. Levo: Povezava med izmerjenimi Sx in relativno amplitudo A = z/zc − 1
na mestu skoka. Desno: Povezava standardne deviacije ∆Sx s srednjo vrednostjo 〈A〉;
ustrezna regresijska premica je prikazana črtkano.
povprečno amplitudo 〈A〉 [5].
Gostota porazdelitve verjetnosti (GPV), določena s Parzenovo cenilko
[4, str. 99; 5, str. 31] iz podatkov Sn na sliki 4 levo, je prikazana na sliki
6 levo. Normalna porazdelitev, centrirana na merskih podatkih, je upora-
bljena kot jedro cenilke; njena širina je podana s σ = 2∆S/[N ]1/2, kjer je
∆S standardna deviacija absolutnih vrednosti Sn = |Sn(τ)|. Porazdelitev
na sliki 6 levo je centralno simetrična in odvisna samo od absolutne vredno-
14 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 1
i
i
“Grabec” — 2017/5/29 — 11:02 — page 15 — #6 i
i
i
i
i
i
Naključno gibanje delcev na nihajoči membrani v Chladnijevem poskusu
sti S. Prikazana GPV ni normalna, ker je izračunana iz celotne množice
vzorcev premika, v kateri so prevladujoči majhni premiki blizu kritičnega
radija. Če ocenimo GPV samo iz vzorcev v območjih s približno enako am-
plitudo A, pa dobimo normalno porazdelitev. Polna črta na sliki 6 desno
kaže GPV spremenljivke Sx, določene iz vzorcev, posnetih v času od 2 s
do 6 s, medtem ko kaže črtkana linija normalno (Gaussovo) porazdelitev [4,
str. 99; 5, str. 186], določeno z ustrezno srednjo vrednostjo in standardno
deviacijo Sx.
Za karakterizacijo trajektorij je smiselno izraziti premik S med dvema
zaporednima posnetkoma glede na kritični radij rc kot S = s/rc, za opis
poskakovanja pa ga je bolje izraziti glede na kritično amplitudo zc in pre-
mik, ki se zgodi med enim nihajem. Zato vektor s delimo s številom nihajev
med dvema posnetkoma δN = fδt = 12,3 in zc, da dobimo J = s/(δNzc).
Ta vektor pomeni skoke delcev med posameznimi nihaji relativno glede na
zc. Ker je vektor J sorazmeren S, sovpadajo lastnosti njegove GPV s ti-
stimi, ki so prikazane na sliki 6. Nadalje razǐsčemo še vpliv amplitude A na
absolutno vrednost normaliziranega premika J = |J|. Dodatne podatke o la-
stnostih poskakovanja dobimo tako, da obravnavamo točko membrane, kjer
vertikalni premik z(r, t) = z(r) sin(ωt) preide kritično vrednost zc in vrže
delec. Iz ustreznega faznega kota φ = arcsin[zc/z(r)] = arcsin[1/(1 + A)]
in vertikalne hitrosti v = ωz(r) cos(φ) dobimo za relativno vǐsino skoka
H = (zc + v
2/2g)/zc, nato izraz H = [1 + (1 + A)
2]/2, ki opisuje vpliv
relativne amplitude nihanja A na poskakovanje. S to formulo in podatki na
sliki 7 levo določimo 〈H〉, 〈J〉, in 〈J〉/〈H〉 kot funkcije časa, ki so prikazane
Slika 6. Levo: Gostota porazdelitve verjetnosti (GPV) vektorja S, določena iz vzorcev
na sliki 4 levo. Desno: GPV komponente Sx, določena iz vzorcev v časovnem intervalu
od 2 s do 6 s (polna črta), in normala porazdelitev z ustrezno 〈Sx〉 in ∆Sx (črtkano).
10–19 15
i
i
“Grabec” — 2017/5/29 — 11:02 — page 16 — #7 i
i
i
i
i
i
Igor Grabec
na sliki 8. Na sliki 8 desno označuje črtkana linija povprečno vrednost raz-
merja 〈J〉/〈H〉 glede na čas; njena vrednost ≈ 0,24 pa kaže, da poskakovanje
poteka pretežno v vertikalni smeri, kakor je opredeljeno z vǐsino skoka 〈H〉,
medtem ko je horizontalni premik 〈J〉 v primerjavi z njo sorazmerno maj-
hen in zato pomeni šibko naključno komponento skoka z normalno GPV. Ta
lastnost nas v nadaljevanju vodi do poenostavljenega opisa razvoja Chla-
dnijevega vzorca z modelom naključnega gibanja.
Slika 7. Levo: Odvisnost srednjih vrednosti 〈R〉, 〈J〉 in 〈A〉 od časa t. Desno: Povezava
med 〈J〉 in 〈A〉 (krožci) ter regresijska premica 〈J〉 = 0,83 〈A〉− 0,05 (črtkano). Tri točke
pri 〈A〉 ≈ 1 ustrezajo začetni vzbuditvi in niso vključene v oceno regresijske premice.
Model in numerična simulacija
Pri opisu modela obravnavamo poskakovanje delcev na nihajoči membrani
in privzamemo, da je absolutna vrednost horizontalnega premika normalno
porazdeljena s povprečno vrednostjo 〈J〉 = K〈A〉. Tu je naklonski koefi-
cient K edini parameter, s katerim prilagodimo model k eksperimentalnim
podatkom. Komponenti premika x in y sta numerično simulirani z normal-
nim (Gaussovim) generatorjem naključnih števil ob uporabi iste vrednosti
[2/π]1/2〈J〉 za obe standardni deviaciji ∆Jx in ∆Jy. Rezultati numerične
simulacije so prikazani na slikah 9, 10 in 11, ki ustrezajo slikam 3, 4 in
7. Statistične karakteristike simuliranih spremenljivk se ujemajo z eksperi-
mentalno določenimi do vrednosti razlik, ki so odvisne od začetne vrednosti
generatorja naključnih števil. Dokaj dobro ujemanje med eksperimentalnimi
in numeričnimi podatki kaže, da so glavne značilnosti oblikovanja Chladnije-
vega vzorca precej izčrpno opisane s tukaj vpeljanim modelom naključnega
gibanja delcev, povzročenega z nihanjem membrane.
16 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 1
i
i
“Grabec” — 2017/5/29 — 11:02 — page 17 — #8 i
i
i
i
i
i
Naključno gibanje delcev na nihajoči membrani v Chladnijevem poskusu
Slika 8. Levo: Povprečna relativna vǐsina skoka 〈H〉 in povprečni normalizirani hori-
zontalni premik v enem nihaju 〈J〉 v odvisnosti od časa t. Desno: Odvisnost razmerja
〈J〉/〈H〉 od časa t; črtkana linija kaže povprečno vrednost razmerja 〈J〉/〈H〉 ≈ 0,24.
Slika 9. Levo: Štirje vzorci simuliranih trajektorij. Desno: Časovna odvisnost relativnega
radija R = r/rc.
Za konec
Dokaj dobro ujemanje med karakteristikami eksperimentalnih in numerično
simuliranih podatkov kaže, da je poskakovanje delcev med oblikovanjem
Chladnijevega vzorca možno obravnavati kot primer Markovskega procesa,
za katerega je značilno, da je verjetnost prehoda v naslednje stanje odvisna
samo od trenutnega stanja in z njim povezanega položaja.
Opisana analiza je osnovana na ponovljenih opazovanjih gibanja posa-
10–19 17
i
i
“Grabec” — 2017/5/29 — 11:02 — page 18 — #9 i
i
i
i
i
i
Igor Grabec
Slika 10. Levo: Porazdelitev simuliranih normaliziranih vektorjev premika Sn = sn/rc.
Desno: Časovna odvisnost komponente Sx, določena iz vzorcev na sliki 9 levo.
meznih delcev, vendar je za opis razvoja Chladnijevega vzorca zelo primerno
tudi obravnavanje gostote mnogo prisotnih delcev. Za ta namen je možno
izvesti prehod od naključnega gibanja k difuzijskemu procesu, pri katerem
je difuzijski koeficient odvisen od amplitude nihanja oziroma položaja.
Kljub našim ugodnim rezultatom numeričnega simuliranja gibanja del-
cev je izvor naključja v Chladnijevem eksperimentu ostal neopredeljen, če-
prav ga je možno simulirati z generatorjem naključnih števil. V zvezi s tem
Slika 11. Levo: Polne črte – karakteristike simuliranega procesa: odvisnost 〈R〉, 〈J〉 in
〈A〉 od časa t. Črtkane linije – karakteristike eksperimentalnega procesa. Desno: Povezava
med 〈J〉 in 〈A〉 pri numerično simuliranem procesu (krogci) in ustrezna regresijska premica
(črtkano). Tri točke pri 〈A〉 ≈ 1 ob vzbuditvi poskakovanja niso upoštevane pri oceni
regresijske premice.
18 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 1
i
i
“Grabec” — 2017/5/29 — 11:02 — page 19 — #10 i
i
i
i
i
i
Naključno gibanje delcev na nihajoči membrani v Chladnijevem poskusu
omenimo, da je možno kaotične lastnosti poskakovanja kroglic v nekaterih
primerih teoretično pojasniti z nelinearno dinamiko [3]. Naš dodatni ekspe-
riment s kovinskimi kroglicami premera nad 2 mm je pokazal, da kroglice
poskakujejo pretežno vertikalno na istem mestu, medtem ko se izrazito ho-
rizontalno premikanje opazi predvsem pri kroglicah s premerom ≈ 1 mm.
Ali je horizontalno gibanje takšnih majhnih kroglic posledica valov, ki jih
kroglice same vzbujajo na membrani, je še vedno neznano. Neodvisno od
te nejasnosti pa lahko domnevamo, da je v našem primeru naključni značaj
poskakovanja predvsem posledica neregularne oblike delcev. Noveǰse razi-
skave poskakovanja neokroglih delcev so pokazale [6], da je pri njih opazno
več načinov kaotičnega gibanja v vertikalni, kakor tudi v horizontalni smeri.
Razni načini, kot na primer kotaljenje, obračanje in drsenje, so bili tudi
opaženi v naših poskusih pri kritičnem radiju, vendar niso bistveno vplivali
na karakteristike poskakovanja [7].
Glede na navedene lastnosti poskakovanja delcev na nihajočih površinah
in neopredeljenost izvora naključja je dokaj presenetljivo, da lahko s tukaj
opisanim preprostim modelom naključnega gibanja, ki vključuje en sam pri-
lagodljiv parameter K, tako dobro opǐsemo premikanje poskakujočih delcev
med oblikovanjem Chladnijevega vzorca.
Zahvala
Avtor se zahvaljuje Matjažu Mikliču in Tomažu Klincu za sodelovanje pri
pripravi tega članka.
LITERATURA
[1] E. F. F. Chladni, Entdeckungen über die Theorie des Klanges, Leipzig, 1787, dostopno
na: en.wikipedia.org/wiki/Ernst_Chladni, ogled: 11. 4. 2017.
[2] U. Smilansky in H.-J. Stöckmann, Nodal Patterns in Physics and Mathematics – From
Chladni’s Seminal Work to Modern Applications – A Historic-Scientific Perspective,
EU Phys. J. ST, 2007, str. 145.
[3] A. J. Lichtenberg in M. A. Lieberman, Regular and Stochastic Motion, Springer, New
York, 1983.
[4] I. Grabec in W. Sachse, Synergetics of Measurements, Prediction and Control, Sprin-
ger, Berlin, 1997.
[5] I. Grabec in J. Gradǐsek, Opis naključnih pojavov, UL Fakulteta za strojnǐstvo, Lju-
bljana, 2014.
[6] S. Dorbolo, D. Volfson, L. Tsimring in A. Kudrolli, Dynamics of a Bouncing Dimer,
Phys. Rev. Lett., 95, 2005, 044101.
[7] I. Grabec, Vibration driven random walk in a Chladni experiment, Physics Letters A,
381, 59–64, 2017.
10–19 19