Acta hydrotechnica 33/59 (2020), Ljubljana                                                                                       Open Access Journal 
ISSN 1581-0267                       Odprtodostopna revija 
97 
UDK/UDC: 519.673:626.882(497.4) Prejeto/Received: 13.11.2020 
Izvirni znanstveni članek – Original scientific paper Sprejeto/Accepted: 30.11.2020 
 
MATEMATIČNO MODELIRANJE TOKA V RIBJIH STEZAH Z VERTIKALNIMI REŽAMI  
 MATHEMATICAL MODELING OF FLOW IN VERTICAL SLOT FISHWAYS 
Martin Bombač
 1
, Gašper Rak
 2
, Gorazd Novak 
2
 
1
 Inštitut za hidravlične raziskave, Hajdrihova 28, Ljubljana, Slovenija 
2
 Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Univerza v Ljubljani, Jamova 2, Ljubljana, Slovenija 
 
Izvleček 
Izgradnja rečnih pregrad pomeni prekinitev nujno potrebnih migracijskih poti za ribe in druge vodne 
organizme za ohranitev populacij vzdolž vodotokov. Eden izmed omilitvenih ukrepov ob takšnih posegih v 
rečno telo je izgradnja ribje steze, po kateri vodni organizmi predvsem ob času drsti migrirajo ob sami pregradi. 
V članku so podrobno prikazani numerični parametri matematičnega modela PCFLOW2D, ki se je ob 
ustreznih nastavitvah izkazal kot ustrezno orodje za projektiranje ribjih stez z vertikalnimi režami. Prikazana 
je analiza vpliva geometrijskih in numeričnih parametrov na izračun tokovne slike. Podrobno so prikazane 
meritve toka v že zgrajeni ribji stezi ob hidroelektrarni Arto-Blanca, na podlagi katerih je bil matematični 
model validiran. Prikazani so rezultati izračunov za različne vzdolžne padce ribje steze. Poleg največjih hitrosti 
in pretoka so bili analizirani še drugi pomembni hidravlični parametri, ki vplivajo na prehodnost ribje steze, 
kot sta hitrostno polje in porazdelitev disipacije turbulentne kinetične energije znotraj posameznega prekata 
ribje steze. 
 
Ključne besede: matematično modeliranje, ribja steza z vertikalnimi režami, turbulenca, hitrostno polje, 
disipacija turbulentne kinetične energije 
Abstract 
River dams interrupt essential migration routes of fish and other aquatic organisms. One of the most important 
mitigation measures that enable aquatic fauna to migrate, especially during spawning, are fishways. The paper 
presents all the main results of the numerical model PCFLOW2D, which proved to be a useful tool in designing 
a vertical slot fishway (VSF). The presented analysis includes the quantification of the effect of various 
numerical and geometrical parameters. Extensive field measurements of flow characteristics in the operating 
fishway at the hydro power plant Arto-Blanca, which are employed for the model's validation, are discussed 
as well. The results of simulations for various longitudinal slopes of the VSF are presented. In addition to 
                                                 
1
 Stik / Correspondence: martin.bombac@hidroinstitut.si  
© Bombač M. et al.: Vsebina tega članka se sme uporabljati v skladu s pogoji licence Creative Commons Priznanje avtorstva – 
Nekomercialno – Deljenje pod enakimi pogoji 4.0.  
© Bombač M. et al.: This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution – NonCommercial 
– ShareAlike 4.0 Licence. 
https://doi.org/10.15292/acta.hydro.2020.07  

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
98 
maximum flow velocities and discharge, other important hydraulic parameters affecting fishway efficiency 
were analyzed, such as velocity field and distribution of turbulent kinetic energy dissipation. 
Keywords: mathematical modeling, vertical slot fishway, turbulence, velocity field, turbulent kinetic energy 
dissipation 
 
1. Uvod 
Z izgradnjo rečnih pregrad in zajezitvijo reke se 
prekinejo migracijske poti vodnih organizmov. 
Tekom življenja vodni organizmi potrebujejo 
različna življenjska okolja za drst, prehranjevanje in 
prezimovanje, zato so selitve proces, ki jim 
omogoča preživetje. Eden od ukrepov, ki omogoča 
selitev iz enega habitata v drugega in s tem 
ohranjanje vzdolžne biološke – ihtiološke 
povezanosti in biotske raznovrstnosti vodotoka, je 
izgradnja ribje steze (Ciuha et al., 2017). Ohranjanje 
biotske raznovrstnosti je tudi eden poglavitnih 
ciljev Okvirne vodne direktive (Water Framework 
Directive; RL 2000/60/EC).  
Prvi zapisi o gradnji ribjih stez segajo v 17. stoletje 
v Francijo (Katopodis in Rajaratnam, 1983). To so 
bile enostavne ribje steze, zgrajene v obliki strmih, 
širokih kanalov, katerih dno je bilo dodatno 
hrapljano z vejami, povezanimi v snope. Večje 
potrebe po gradnji ribjih stez so se pojavile v drugi 
polovici 19. stoletja s pričetkom gradnje jezov za 
potrebe izkoriščanja hidroenergije (Kamula, 2001). 
Razvili so se različni tipi ribjih stez, od tistih bolj 
tehničnih do sonaravno urejenih obtočnih kanalov. 
V raziskavi smo se osredotočili na tehnični tip ribje 
steze z vertikalnimi režami, kar se je v več primerih 
izkazalo za zelo primerno rešitev nadomestne 
prehodnosti za ribe (Bermúdez et al., 2010; 
Marriner et al., 2016; Puertas et al., 2012; Rodriguez 
et al., 2006; Silva et al., 2020). Za ribje steze z 
vertikalnimi režami je značilno, da so zgrajene kot 
betonski kanal z vzdolžnim padcem I 0, z 
vertikalnimi stenami (rebri) pa je kanal razdeljen na 
več prekatov. Prekatni steni tvorita vertikalno režo 
po vsej višini prekata, na območju katere pride do 
padca gladine med sosednjima prekatoma Δh. 
Prekatne stene imajo funkcijo hidravličnega upora, 
v območju katerih se kompenzira višinska razlika 
med nivojem gladine v akumulaciji in vodostajem 
vodotoka pod pregrado. Na sliki 1 je prikazan 
primer ribje steze z vertikalnimi režami na fizičnem 
modelu v pomanjšanem merilu. 
 
Slika 1: Primer ribje steze z vertikalnimi režami. 
Fizični model v pomanjšanem merilu 1 : 4,4. 
Figure 1: Example of a vertical slot fishway. 
Physical model on a scale of 1 : 4.4 
V preteklosti so bile izvedene številne raziskave 
tako na fizičnih hidravličnih modelih (Rajaratnam 
et al., 1986, 1992; Tan et al., 2018; Tarrade et al., 
2011), z 2D matematičnimi modeli (Bermúdez et 
al., 2010; Bombač et al., 2017; Cea et al., 2007, 
Chorda et al., 2010; Violeau, 2012), kot tudi s 3D 
matematičnimi modeli (Duguay et al., 2017; Novak 
et al., 2019; Sanagiotto et al., 2019). Z meritvami na 
fizičnih hidravličnih modelih in na prototipih 
(Bombač et al., 2015) je bilo dokazano, da je tok v 
ribjih stezah z vertikalnimi režami praktično 
dvodimenzionalen. V svojih raziskavah so že 
Puertas et al., 2004 in Rajaratnam et al., 1992 

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
 
99 
pokazali, da je hitrostna slika toka v ribjih stezah z 
vertikalnimi režami odvisna predvsem od 
geometrijskih karakteristik prekata in ne toliko od 
pretoka Q oziroma globine vode h v njej. 
Pomembne značilnosti toka, ki vplivajo na 
prehodnost ribje steze, so maksimalna hitrost vode 
v ribji stezi v max, višinska razlika med posameznimi 
prekati Δh, globina vode h ter turbulentna kinetična 
energija k in njena disipacija ε (Clay, 1995; Powers 
et al., 1984; Enders et al., 2003).  
V članku je prikazana podrobna analiza vpliva 
posameznih parametrov matematičnega modela 
PCFLOW2D, ki vplivajo na pravilnost izračunov. 
Prikazane so detajlne meritve hitrostnega polja na 
prototipu HE Arto-Blanca, ki so služile za validacijo 
uporabljenega matematičnega modela. S 
preizkušenim in validiranim matematičnim 
modelom so bili v nadaljevanju raziskave izvedeni 
izračuni za različne vzdolžne padce ribje steze. 
 
2. Matematični model 
Za izračun hidravličnih značilnosti toka v ribji stezi 
je bil uporabljen matematični hidravlični model 
PCFLOW2D, ki rešuje Reynoldsove časovno 
povprečene Navier-Stokesove enačbe za globinsko 
povprečen tok (Četina, 1988). Reynoldsove 
globinsko povprečene Navier-Stokesove enačbe se 
v konservativni obliki zapiše:
( ) ( )
0
∂
∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
y
x
hv
hv h
t x y
 (1) 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
4
3
x x y x x y
x b x x
g t t
hv hv v v v v
hv z v v h
gh gh ghn h h
t x y x x x x y y
h
ν ν
∂ ∂ +
∂   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  
+ + =− − − + +
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
 
(2) 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
4/3
y y x y y x y y y
b
g t t
hv hv hv v v v v v v
z h
gh gh ghn h h
t x y y y h x x y y
ν ν
∂ ∂ ∂ + ∂ ∂     ∂ ∂ ∂ ∂
+ + = − − − + +
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
 
(3) 
Kjer je h globina vode, v x in v y globinsko povprečeni 
komponenti hitrosti v smeri x in y, g gravitacijski 
pospešek, z b kota dna, n g Manningov koeficient 
hrapavosti in ν t kinematični koeficient turbulentne 
viskoznosti. 
Osnovna geometrija ribje steze je bila povzeta po 
načrtih že zgrajene ribje steze ob HE Arto-Blanca 
(Josipovič in Ciuha, 2009). Ribja steza je zgrajena v 
enakomernem vzdolžnem padcu I 0 = 1,67 %, kar na 
razdalji enega prekata daje višinsko razliko Δh = 
0,05 m. Takšna je tudi višinska razlika v gladini 
med sosednjima prekatoma.  
Obseg matematičnega modela je prikazan na sliki 2. 
Modeliranih je bilo devet prekatov širine W = 
2,20 m in dolžine L = 3,00 m, ki so med seboj ločeni 
z vertikalnimi rebri, ki tvorijo režo svetle odprtine 
b 0 = 0,59 m (slika 3). Za zagotovitev ustreznih 
natočnih razmer je bil na gorvodnem delu dodan 
odsek dolžine 1,5 m (0,5 × L), na dolvodnem delu 
pa izlivni odsek dolžine 9,5 m (3,2 × L). Skupna 
dolžina hidravličnega modela je tako znašala 
38,00 m. Izbrani obseg modela je zagotavljal, da so 
tokovne razmere v srednjem prekatu neodvisne od 
tokovne slike na dotoku in iztoku iz modela 
(hitrostna slika v srednjih prekatih je praktično 
enaka). Vsi rezultati, prikazani v nadaljevanju, so 
izvrednoteni v srednjem prekatu. 
V fazi testnih izračunov je bil kot najprimernejši 
izbran časovni korak računa Δt = 0,1 s, ki zagotavlja 
numerično stabilnost in konvergenco. Največje 
Courantovo število je za izbrani časovni korak 
znašalo približno 10. Vse simulacije so se izvedle v 
trajanju 3600 s, ko se v ribji stezi že vzpostavijo 
stacionarne razmere. 
 

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
 
100 
 
Slika 2: Tlorisni pogled matematičnega modela ribje steze  
Figure 2: Plan view of a numerical model of the fishway 
Zgornji robni pogoj je predstavljal po prečnem 
prerezu enakomerno porazdeljen konstanten pretok 
(enakomerna vzdolžna hitrost v x ter prečna hitrost v y 
= 0). Spodnji robni pogoj, ki je v programu podan 
kot pretočna krivulja, je bil določen iteracijsko, in 
sicer tako, da je bila dosežena enaka globina vode v 
srednjih treh prekatih ribje steze. S tem so bile 
zagotovljene tudi enakomerne tokovne razmere v 
opazovanih prekatih. 
 
Slika 3: Skica prekata modelirane ribje steze Arto-
Blanca 
Figure 3: Details of a pool of the modeled Arto-
Blanca VSF 
 
Vpliv preostalih numeričnih parametrov 
matematičnega modela, kot so velikost numerične 
mreže, Manningov koeficient hrapavosti in model 
turbulence, je podrobneje analiziran v nadaljevanju. 
 
3. Občutljivostna analiza numeričnih 
parametrov matematičnega modela 
V tem poglavju so prikazani rezultati občutljivostne 
analize numeričnih parametrov, ki jih je treba 
poznati in ustrezno upoštevati pri aplikaciji 
matematičnih modelov za izračun toka v ribjih 
stezah z vertikalnimi režami. Občutljivostna analiza 
je bila izvedena za primer pretoka Q = 0,6 m
3
/s. Ob 
tem je treba povedati, da je tokovna slika v ribji stezi 
z vertikalnimi režami praktično neodvisna od 
pretoka oziroma globine vode (Cea et al., 2007). 
 
3.1 Vpliv velikosti numerične mreže 
Da bi zagotovili rezultate, ki so neodvisni od 
velikosti numerične mreže, smo uporabili tri 
različno goste numerične mreže: 5,0 × 5,0 cm, 
2,5 × 2,5 cm in 1,0 × 1,0 cm. Opravili smo 
občutljivostno analizo rezultatov na gostoto 
numerične mreže. Gostejša numerična mreža daje 
točnejše rezultate, vendar se s tem bistveno 
podaljšajo računski časi. Na izbiro velikosti 
numerične mreže močno vpliva numerična difuzija, 
ki jo v določenih točkah generira uporabljena 
numerična shema gorvodnih razlik (UPWIND), ki 
je del vgrajene hibridne sheme v programu 
PCFLOW2D. Pri vgrajeni hibridni shemi gre 
namreč za kombinacijo centralno-diferenčne sheme 
in sheme UPWIND (shema gorvodnih razlik) 
(Četina, 1988). Po kateri shemi bo hibridna shema 
formulirala konvekcijske in difuzijske člene, je 
odvisno od razmerja med konvekcijskim in 
difuzijskim transportom, t. i. Pecletovega števila. 
Numerična difuzija ni fizikalna veličina in 
predstavlja napako sheme prvega reda, ki pa se 
računsko obnaša kot difuzija. Predstavlja določen 
pribitek h koeficientu efektivne turbulentne 
viskoznosti, zato se gibalna količina ali onesnažilo 
(oz. koncentracija) širi hitreje, kot je fizikalno 
realno. Numerična difuzija je tem večja, čim bolj 
groba je uporabljena numerična mreža (Bombač, 
2014). Približna ocena numerične difuzije je podana 
z empiričnim izrazom (Patankar, 1980): 
( )
3 3
sin 2
4 sin cos
num
V x y
y x
α
ν
α α
Δ Δ
=
Δ +Δ
 
         (4) 

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
 
101 
kjer V predstavlja velikost vektorja hitrosti v 
določeni točki, α kot, ki ga vektor hitrosti oklepa z 
vzdolžno osjo x, Δx in Δy pa dimenzije celice v 
smeri x in y. 
Natančnost rezultatov lahko izboljšamo z 
zgoščevanjem numerične mreže ali z uporabo 
numeričnih shem višjega reda točnosti. Iz enačbe 4 
izhaja, da ima izbira velikosti mreže velik vpliv na 
numerično difuzijo. Vpliv, ki ga ima numerična 
difuzija na rezultate, lahko ocenimo z vpeljavo 
razmerja med numerično difuzijo in koeficientom 
turbulentne viskoznosti ν t. V programu 
PCFLOW2D je to razmerje označeno z VISRAZ. V 
primerih, ko je vrednost VISRAZ > 1, velja, da 
lahko vpliv numerične difuzije prevlada nad 
vplivom koeficienta turbulentne viskoznosti. Na 
sliki 4 je prikazano razmerje med numerično 
difuzijo in turbulentno viskoznostjo VISRAZ za 
izračune s k-ε modelom turbulence za vse tri 
uporabljene numerične mreže. 
 
 
Slika 4: Razmerje numerične difuzije in turbulentne viskoznosti VISRAZ pri uporabi modela turbulence. (a) 
mreža 5,0 × 5,0 cm, (b) mreža 2,5 × 2,5 cm, (c) mreža 1,0 × 1,0 cm 
Figure 4: Values of the ratio between numerical diffusion and eddy viscosity coefficient ν t for the turbulence 
model (i.e. VISRAZ values); (a) 5.0 × 5.0 cm cells, (b) 2.5 × 2.5 cm cells, (c) 1.0 × 1.0 cm cells 
 
 
 
Slika 5: Tokovnice v srednjem prekatu ribje steze, izračunane s k-ε modelom turbulence ob uporabi različnih 
velikosti numeričnih mrež; (a) mreža 5,0 × 5,0 cm, (b) mreža 2,5 × 2,5 cm, (c) mreža 1,0 × 1,0 cm 
Figure 5: Streamlines, calculated with the k-ε turbulence model for various cell sizes; (a) 5.0 × 5.0 cm cells, 
(b) 2.5 × 2.5 cm cells, (c) 1.0 × 1.0 cm cells 
 
Iz slike 4 je razvidno, da je vpliv numerične difuzije 
zadovoljivo majhen šele ob uporabi najfinejše 
uporabljene numerične mreže M3. V primerih, ko je 
vpliv turbulentne viskoznosti pomemben (kot na 
primer pri simulaciji toka v ribji stezi), je vsekakor 
treba določiti vpliv numerične difuzije in ga 
zmanjšati na ustrezno raven. 
0
1
2
1 2 3 0
0
1
2
1 2 3 0
0
1
2
1 2 3 0
x [m]
y [m]
(a) (b) (c)
x [m]
y [m]
x [m]
y [m]

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
 
102 
Na sliki 5 so prikazane tokovnice, izračunane s k-ε 
modelom turbulence ob uporabi različnih 
numeričnih mrež. Največja razlika v tokovni sliki 
nastane v spodnjem levem delu prekata, kjer ob 
uporabi grobe mreže skoraj ne dobimo recirkulacije, 
z zgoščevanjem mreže pa se ta povečuje. Ta razlika 
v rezultatih je posledica numerične difuzije, ki je pri 
fini mreži bistveno manjša kot pri grobi numerični 
mreži. 
 
3.2 Vpliv modela turbulence 
Analize, izvedene v sklopu doktorske disertacije 
(Bombač, 2014), so pokazale, da je za modeliranje 
toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami nujno 
uporabiti ustrezen model turbulence, ki pravilno 
izračuna velikost in porazdelitev koeficienta 
turbulentne viskoznosti. Ugotovljeno je bilo, da je 
izmed vgrajenih modelov turbulence v 
PCFLOW2D najprimernejši k-ε model turbulence 
(Bombač, 2014). Zato so vsi v tem članku prikazani 
rezultati izračunov izvedeni z uporabo globinsko 
povprečenega k – ε modela turbulence (Rastogi in 
Rodi, 1978), ki dobro opiše turbulentno gibanje 
delcev tekočine v prekatih ribje steze (Bombač, 
2014, Bombač et al., 2014). Izračunane vrednosti 
koeficienta turbulentne viskoznosti ν t se bistveno 
spreminjajo po prostoru. V območju večjih hitrosti, 
tj. v območju vertikalnih rež, so te vrednosti 
približno 10-krat večje kot v preostalem delu 
prekata (slika 6). 
 
 
 
Slika 6: Vrednost koeficienta turbulentne viskoznosti ν t, pomnožena s 1000, izračunana s k-ε modelom 
turbulence. Mreža 1 × 1 cm; Δt = 0,1 s 
Figure 6: Values of eddy viscosity ν t, calculated with the k-ε turbulence model and multiplied by 1000; mesh 
1 × 1 cm; Δt = 0.1 s 
 
3.3 Vpliv koeficienta hrapavosti 
Za določitev vpliva Manningovega koeficienta 
hrapavosti n g na izračunano tokovno sliko so bili 
izvedeni izračuni za vrednosti n g = 0,010, 0,020 in 
0,030 sm
-1/3
. Primerjava rezultatov (slika 7) je 
potrdila izsledke drugih raziskovalcev, da trenje ob 
dnu nima večjega vpliva na tokovno sliko pri toku v 
ribjih stezah z vertikalnimi režami (Cea et al., 2007; 
Chorda et al., 2010). Do manjših razlik pride v 
matici toka, kjer so maksimalne hitrosti v primeru 
n g = 0,020 oz. 0,030 sm
-1/3
 za 2 do 3 % oz. 4 do 7 % 
nižje od tistih pri n g = 0,010 sm
-1/3
. 
 
3.4 Teoretični izračun vpliva posameznih 
členov v dinamični enačbi 
Za predhodno analizirana numerična parametra 
(koeficient turbulentne viskoznosti ν t in Manningov 
koeficient hrapavosti n g)   
 
 
Slika 7: Izračunana vzdolžna komponenta hitrosti 
v x (m/s) v prečnem prerezu x = 2,3 m za različne 
vrednosti n g 
Figure 7: Calculated longitudinal velocity v x (m/s) 
at cross section x = 2.3 m for various values of n g 
 
v nadaljevanju prikazujemo njun delež, ki ga 
predstavljata v dinamični enačbi (2). Glede na 
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
y (m)
v
x
(m/s)
PCFLOW2D;      ng = 0.01
PCFLOW2D;      ng = 0.02
PCFLOW2D;      ng = 0.03

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
 
103 
predhodne rezultate smo pričakovali, da bo vpliv 
člena, ki opisuje trenje ob dnu, majhen, vpliv 
turbulentnih sil zaradi notranjega trenja v tekočini 
pa znaten.  
Podrobno analizo posameznih členov dinamičnih 
enačb smo opravili na konkretnem primeru izračuna 
z najfinejšo uporabljeno numerično mrežo M3 (1 × 
1 cm) ob uporabi k – ε modela turbulence. 
Analizirane so bile razmere po 1 uri simulacije, ko 
se že vzpostavijo stacionarne razmere. 
Diskretizacija posameznih členov dinamičnih enačb 
v smeri x in y je podrobno opisana v Bombač 
(2014), zato je tu ne navajamo. V doktorski 
disertaciji Bombač (2014) so podrobno prikazani 
deleži vseh členov dinamične enačbe tako za smer x 
kot tudi za smer y, na tem mestu pa prikazujemo 
zgolj deleže členov v smeri x, ki opisujejo vpliv 
hrapavosti ob dnu (šesti člen dinamične enačbe (2)) 
in vpliv turbulentnih sil zaradi notranjega trenja 
tekočine (sedmi in osmi člen dinamične enačbe). 
Rezultati za smer y so podobni. Deleži posameznih 
členov so določeni kot razmerje vrednosti 
posameznega člena in vsote absolutnih vrednosti 
vseh členov dinamične enačbe. Deleži posameznih 
členov v reprezentativnem srednjem prekatu ribje 
steze so grafično prikazani na sliki 8. Šesti člen v 
dinamični enačbi predstavlja vpliv sile zaradi upora. 
Kot je pokazala že v poglavju 3.3 opisana analiza 
vpliva koeficienta hrapavosti, je vpliv sil zaradi 
trenja ob dnu pri obravnavanem toku v ribji stezi z 
vertikalnimi režami zanemarljivo majhen. 
Povprečni vplivni delež tega člena znaša zgolj 
0,1 %. Šesti člen ima največji vplivni delež v 
območju toka med obema vertikalnima režama (1,4 
m < y < 1,9 m), kjer so hitrosti vodnega toka 
največje, pa še to le do 1,0 %. Velikost tega člena je 
namreč kvadratno odvisna od hitrosti. 
Vpliv turbulentnih sil zaradi notranjega trenja v 
tekočini, ki jih opisujeta sedmi in osmi člen 
dinamične enačbe, je v primeru obravnavanega toka 
v ribji stezi za nekaj velikostnih razredov večji. 
Povprečni vplivni delež sedmega člena znaša kar 
9,0 %, osmega člena pa 2,6 %. Sedmi in osmi člen 
imata največji vplivni delež ob ovirah in predvsem 
za ovirami v toku, tj. ob vertikalnih rebrih, ter na 
območjih, kjer prihaja do mešanja in interakcije 
osnovnega toka z veliko hitrostjo in 
recirkulacijskega vrtinca (pas okrog vrednosti y = 
1,4 m). Rezultati izračunov s k-ε modelom 
turbulence nakazujejo, da je vpliv turbulentnih sil 
znaten.
 
 
Slika 8: Prispevek posameznih členov v dinamični enačbi (smer x) v reprezentativnem srednjem prekatu 
ribje steze po 1 uri simulacije 
Figure 8: Contribution of individual terms in the dynamic equation (direction x) in the characteristic central 
pool of a VSF after one hour of simulation 
 
 

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
104 
4. Meritve hidravličnih količin na ribji 
stezi ob HE Arto-Blanca 
Navkljub obsežni občutljivostni analizi, ki je 
opisana v prejšnjem poglavju, je treba vsak 
matematični model pred njegovo aplikacijo 
verificirati. Za ta namen so bile na delujoči ribji 
stezi ob HE Arto-Blanca izvedene meritve 
hidravličnih količin v srednjem prekatu zgornjega 
tehničnega kraka (7. prekat). Izvedene meritve so 
podrobno prikazane v članku Bombač et al. (2015), 
na tem mestu pa povzemamo zgolj bistvene 
podatke.  
Na prototipu so bile v srednjem prekatu tehničnega 
odseka izvedene detajlne meritve hitrosti in gladin 
(slika 9). Meritve hitrosti so bile izvedene s 3D 
ADV ultrazvočno hitrostno sondo proizvajalca 
SonTek, pri frekvenci 50 Hz. Maksimalno 
odstopanje meritev od točne vrednosti znaša po 
zagotovilih proizvajalca 1 % merilnega območja. 
Meritve gladin so bile izvedene z ostnim merilom. 
Ocenjena merilna negotovost izmerjenih gladin 
znaša ±1 mm. 
 
Slika 9: Meritve hitrosti vodnega toka v srednjem 
prekatu tehničnega dela ribje steze ob HE Arto-
Blanca s 3D ADV sondo 
Figure 9: Measurements of water flow velocity in 
the central pool of VSF at HPP Arto-Blanca with a 
3D ADV probe 
 
V času izvajanja meritev so bile v ribji stezi 
zagotovljene stacionarne razmere, kar je bilo 
zagotovljeno s konstantno polno koto gladine v 
akumulaciji in popolnoma odprto zapornico na 
vtoku v ribjo stezo.  
V prvi fazi so se izvedle preliminarne meritve 
hitrosti v več vertikalah, na podlagi katerih je bil 
kasneje izdelan načrt preostalih detajlnih meritev. 
Pozicija izvedenih meritev je prikazana na sliki 10. 
 
 
Slika 10: Lokacija izvedenih meritev hitrosti na 
ribji stezi HE Arto-Blanca 
Figure 10: Locations of flow velocity 
measurements 
 
4.1 Meritve gladin 
Z ostnim merilom je bila v 4 prečnih profilih v 
skupno 27 točkah izmerjena relativna globina dna 
opazovanega prekata. Gladina vode je bila v finejši 
resoluciji (103 točke) izmerjena v istih prečnih 
prerezih. Primerjava obeh meritev je dala 
povprečno globino vode h = 1,3 m. 
 
4.2 Preliminarne meritve hitrosti 
Preliminarne meritve hitrosti so bile izvedene na 
več globinah z v štirih vertikalah, prikazanih na sliki 
10. Meritve so pokazale, da je tok v tehničnem delu 
ribje steze praktično dvodimenzionalen, kar 
pomeni, da so hitrosti na različnih globinah vodnega 
toka podobne in je vertikalna komponenta hitrosti 
majhna v primerjavi s preostalima horizontalnima 
komponentama (slika 11). To je omogočilo 
racionalizacijo kasnejših detajlnih meritev 
hitrostnega polja, ki so bile izvedene v eni 
horizontalni ravnini. 
S preliminarnimi meritvami je bil določen tudi 
potrebni čas trajanja meritve v posamezni točki. 
Izkazalo se je, da izmerjene povprečne vrednosti 
hitrosti po 120 s ne odstopajo za več kot ±2 % od 

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
 
105 
končne, točne vrednosti (povprečna vrednost 
izvrednotena iz 15 minut trajajočih meritev) (slika 
12). 
 
Slika 11: Izmerjene hitrosti na več globinah 
potrjujejo dvodimenzionalno naravo toka   
Figure 11: Measured velocities prove the two-
dimensional nature of the VSF flow 
 
 
Slika 12: Konvergenca izmerjenih vrednosti 
vzdolžne komponente hitrosti v x in turbulentne 
kinetične energije k' na lokacijah V1–V4 
Figure 12: The convergence of the measured 
longitudinal velocity component v x and turbulent 
kinetic energy per unit mass k′, both at locations 
V1–V4 
 
4.3 Detajlne meritve hitrostnega polja 
Detajlne meritve hitrostnega polja so bile izvedene 
v eni horizontalni ravnini na relativni globini z/h = 
0,4. Meritve so bile izvedene v 254 točkah, 
prikazanih na sliki 10, posamezna meritev je trajala 
120 s. Na sliki 13 je prikazano izmerjeno hitrostno 
polje v reprezentativnem prekatu ribje steze ob HE 
Arto-Blanca. 
 
Slika 13: Izmerjeno hitrostno polje v 
reprezentativnem prekatu ribje steze ob HE Arto-
Blanca na relativni globini z/h = 0,4 
Figure 13: Measured velocity vectors in the 
central pool of VSF Arto-Blanca at z/h= 0.4 
 
Meritve so pokazale, da maksimalne hitrosti, ki se 
pojavijo v reži med obema vertikalnima stenama, 
presegajo 1,5 m/s, kar je bistveno več od predhodno 
analitično določene maksimalne hitrosti v max = 1,0 
m/s. Tudi povprečna hitrost v reži je bistveno večja 
od predpostavljene v max = 1,0 m/s, pravzaprav so 
največje hitrosti v celotnem zgornjem pasu prekata 
med režama večje od te vrednosti. 
Analitična enačba za izračun maksimalne hitrosti se 
glasi: 
v max = (2gΔh)
1/2
          (5) 
Enačba se uporablja v številnih priročnikih za 
dimenzioniranje ribjih stez z vertikalnimi režami 
(npr. Larinier, 2002; Maddock et al., 2013), vendar 
ne more veljati v vseh primerih, saj ne upošteva 
začetne hitrosti vodnega toka pred vstopom v režo, 
temveč zgolj razliko v potencialni energiji vode 
med sosednjima prekatoma. 
Meritve na prototipu so pokazale, da zgolj z 
analitičnimi enačbami iz priročnikov ni mogoče 
dovolj natančno določiti hidravličnih značilnosti 
toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami; še več, 
odstopanja med izračunanimi in dejanskimi 
vrednostmi so lahko zelo velika (v opisanem 
primeru so največje izmerjene hitrosti višje za 50 %, 
za podoben delež je večji tudi dejanski pretok v ribji 
stezi). 
Rezultati teh meritev potrjujejo pomembnost 
natančnega hidravličnega modeliranja toka v ribjih 
stezah z vertikalnimi režami. 
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
z/h
v (ms
-1
)
Vx
V y
Vz
vertikala V1
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600
konvergenca (%)
t (s)
avg. Vx ;        V1
avg. Vx ;        V2
avg. Vx ;        V4
avg. k' ;          V1
avg. k' ;          V2
avg. k' ;          V4
+2 %
-2 %
0
1
2
1 2 3 0
x [m]
y [m]
merilo hitrosti 1 m/s

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
 
106 
5. Rezultati matematičnih izračunov 
V tem poglavju so najprej prikazani rezultati 
validacije matematičnega modela z meritvami na 
prototipu, v nadaljevanju pa je prikazana ena od 
možnosti optimizacije ribje steze s spreminjanjem 
vzdolžnega padca ribje steze I 0. Vsi v nadaljevanju 
prikazani izračuni so bili izvedeni z optimizirano 
numerično mrežo dimenzij 1 × 2 cm, ki ob ustrezno 
majhni numerični difuziji še zagotavlja zadostno 
točnost rezultatov (Bombač et al., 2015). Stalni 
pretok vode v ribji stezi je bil določen iteracijsko, 
tako da je znašala globina vode v prekatih 1,30 m, 
enako kot na prototipu. Gladina na spodnjem robu 
matematičnega modela je bila prav tako določena 
iteracijsko, tako da se je v srednjih prekatih ribje 
steze vzpostavil normalni tok (enaka globina vode v 
opazovanih srednjih prekatih ribje steze). Z ozirom 
na prodnati material na dnu ribje steze je bil izbran 
Manningov koeficient hrapavosti n g = 0,030 sm
-1/3
. 
 
5.1 Validacija matematičnega modela 
Izvedli smo izračune toka v ribji stezi z enakimi 
hidravličnimi parametri, kot so bili izmerjeni na 
prototipu (povprečna globina vode v prekatih h = 
1,30 m). Pretok je znašal 1,000 m
3
/s, globina vode 
na spodnjem robu modela je bila nastavljena na 
1,48 m. Na sliki 14 je prikazana prostorska 
primerjava izmerjenih in izračunanih hitrosti v 
srednjem prekatu ribje steze. Podrobnejša 
primerjava izračunanih in izmerjenih hitrosti je v 
obliki prečnih hitrostnih prerezov prikazana na sliki 
15. 
Ujemanje meritev in izračunov hitrostnega polja je 
dobro, kar dokazuje, da je matematični model 
PCFLOW2D, ob ustrezno določenih parametrih, 
lahko učinkovito orodje za optimizacijo takšnega 
tipa ribjih stez. Povprečna odstopanja izračunanih 
vzdolžnih komponent hitrosti v x od izmerjenih 
znašajo 
x
v Δ = 0,07 m/s za prereza x = 0,4 m in x = 
1,4 m ter 
x
v Δ = 0,01 m/s za prerez x = 2,4 m. Tako 
meritve na prototipu kot tudi izračuni so potrdili, da 
so največje hitrosti v reži med sosednjima 
prekatoma bistveno višje od predhodno analitično 
določenih (za kar 50 %). Hitrosti, ki so višje od 
projektiranih, pomenijo slabšo prehodnost ribje 
steze za vodne organizme, ki so slabši plavalci. 
Poleg tega je večji pretok v ribji stezi 
neekonomičen, pa tudi drugi elementi ribje steze 
(vtok, sonaravni odsek ribje steze, iztok) posledično 
niso optimalno dimenzionirani. 
 
 
 
Slika 14: Izotahe, izdelane iz točkovnih meritev na prototipu (levo); izračunane izotahe (desno) 
Figure 14: Measured isovels (left); calculated isovels (right)
 

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
 
107 
 
 
 
 
 
 
Slika 15: Primerjava izmerjenih in izračunanih komponent vektorja hitrosti vodnega toka v sredinskem 
prekatu ribje steze ob HE Arto-Blanca 
Figure 15: Comparison of measured and calculated velocity components of the water flow in the central 
pool of the VSF at HPP Arto-Blanca 
 
5.2 Izračuni za različne vzdolžne padce ribjih 
stez 
Vzdolžni padec ribje steze in s tem višinska razlika 
v gladini vode med sosednjima prekatoma je eden 
od parametrov, ki najbolj vplivajo na hidravlične 
značilnosti toka. Vzdolžni padec predhodno 
analizirane ribje steze ob HE Arto–Blanca je 
relativno majhen, zato so hitrosti v ribji stezi 
majhne, kar omogoča prehod tudi organizmom s 
slabšimi plavalnimi sposobnostmi. V praksi so 
precej pogoste tudi ribje steze z večjim vzdolžnim 
padcem, saj je v takšnem primeru ob enaki višinski 
razliki med koto zgornje vode in koto spodnje vode 
pregrade treba zgraditi manj prekatov oziroma 
krajšo ribjo stezo, kar seveda pomeni nižje stroške 
izgradnje. Izvedli smo izračune za štiri različne 
vzdolžne padce oziroma višinske razlike Δh med 
sosednjimi prekati, in sicer za Δh = 0,05, 0,10, 0,15 
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
y (m)
v
x
(ms
-1
)
izračun PCFLOW 2D
meritve ADV
x = 0.4 m
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
y (m)
v
y
(ms
-1
)
izračun PCFLOW 2D
meritve ADV
x = 0.4 m
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
y (m)
v
x
(ms
-1
)
izračun PCFLOW 2D
meritve ADV
x = 1.4 m
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
y (m)
v
y
(ms
-1
)
izračun PCFLOW 2D
meritve ADV
x = 1.4 m
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
y (m)
v
x
(ms
-1
)
izračun PCFLOW 2D
meritve ADV
x = 2.4 m
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
y (m)
v
y
(ms
-1
)
izračun PCFLOW 2D
meritve ADV
x = 2.4 m

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
 
108 
in 0,20 m, ter pokazali vpliv, ki ga ima vzdolžni 
padec ribje steze na tokovno sliko. Geometrijske 
karakteristike in glavni rezultati izračunov so 
prikazani v preglednici 1. 
Na sliki 16 je prikazana odvisnost pretoka v ribji 
stezi od vzdolžnega padca. Ob enaki globini vode v 
ribji stezi (h = 1,30 m) je pretok v primeru Δh = 0,20 
m višji od referenčnega pri Δh = 0,05 m za 76,5 %. 
Enaka razmerja veljajo za povprečno hitrost v režah 
avgv max, saj je zveza med pretokom Q in avgv max 
linearna (Q = avg_v max*h*b 0). 
Vpliv vzdolžnega padca ribje steze na točkovno 
največje hitrosti je še večji (slika 17). Pri Δh = 
0,20 m so največje hitrosti višje od referenčnih pri 
Δh = 0,05 m za kar 98,6 %.
 
  
Slika 16: Pretok pri globini vode h = 1,30 m in Δh = 
0,05, 0,10, 0,15 in 0,20 m 
Figure 16: Discharge at h = 1.30 m for Δh = 0.05, 0.10, 
0.15, and 0.20 m 
Slika 17: Največje hitrosti v max pri globini vode h = 1,30 
m in Δh = 0,05, 0,10, 0,15 in 0,20 m 
Figure 17: Maximum velocities v max at h = 1.30 m for Δh 
= 0.05, 0.10, 0.15, and 0.20 m 
Na sliki 18 so prikazane izračunane izotahe za 
različne vzdolžne padce ribje steze. Večji vzdolžni 
padec povzroči bistveno večje hitrosti v zgornjem 
pasu prekata med obema režama. Hitrostna slika 
med večjima rebroma, tj. v spodnjem delu prekata, 
se ne spremeni bistveno. To je predvsem posledica 
analizirane geometrije prekata ribje steze z relativno 
veliko režo in majhnim manjšim rebrom, zaradi 
česar glavni tok teče precej neovirano v ravni liniji 
med režama in posledično ne pride do večjega 
mešanja glavnega vodnega toka z vodno maso v 
samem prekatu. 
 
Slika 18: Izračunane izotahe v srednjem prekatu obravnavane ribje steze pri globini vode h = 1,30 m in Δh 
= 0,05, 0,10, 0,15 in 0,20 m 
Figure 18: Calculated isovels in the central pool of the tested VSF at h = 1.30 m for Δh = 0.05, 0.10, 0.15, 
and 0.20 m 
y = 0.5447ln(x) + 2.6363
R² = 0.9982
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
Q (m
3
s
-1
)
Δh (m)
h = 1.30 m
izračun PCFLOW 2D
trendna linija
y = 1.035ln(x) + 4.5352
R² = 0.9887
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
v
max
(ms
-1
)
Δh (m)
h = 1.30 m
izračun PCFLOW 2D
trendna linija

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
109 
Preglednica 1: Geometrijske karakteristike in 
izračunane vrednosti glavnih hidravličnih 
parametrov za različne vzdolžne padce ribje steze 
Table 1: Geometrical characteristics and 
calculated values of the main hydraulic parameters 
for different slopes of VSF 
Δh  
(m) 
I 0 
Q  
(m
3
/s) 
največja 
povprečna 
hitrost v 
reži 
avg_v max 
(m/s) 
točkovna 
največja 
hitrost 
v max 
(m/s) 
E ε ρ = ⋅ 
(W/m
3
) 
0,05 0,01667 1,000 1,30 1,48 64 
0,10 0,03333 1,398 1,82 2,08 177 
0,15 0,05000 1,586 2,07 2,53 316 
0,20 0,06667 1,765 2,30 2,94 471 
 
Pri načrtovanju ribjih stez je treba paziti na ustrezno 
majhne vrednosti disipacije turbulentne kinetične 
energije ε, saj se ribe izogibajo območjem z izrazito 
turbulenco. Usmeritve iz strokovne literature 
(Larinier, 2002) omejujejo z gostoto vode 
pomnoženo povprečno vrednost disipacije 
turbulentne kinetične energije na vrednost največ E 
= 150 W/m
3
, ki se jo izračuna po naslednji formuli: 
Δ
=
p
gQ h
E
V
ρ
 
         (6) 
kjer je E z gostoto vode ρ pomnožena povprečna 
vrednost disipacije turbulentne kinetične energije, g 
gravitacijski pospešek, Q pretok, Δh višinska razlika 
med gladinama v sosednjih prekatih in V p volumen 
vode v prekatu ribje steze. Matematični model 
omogoča detajlnejši prikaz prostorske razporeditve 
disipacije turbulentne kinetične energije ε. 
Prostorski integral izračunanih vrednosti ε, 
izvrednoten z matematičnim modelom in pomnožen 
z gostoto vode ρ, daje kot rezultat povprečno 
vrednost disipacije turbulentne kinetične energije, 
pomnožene z gostoto vode E . Na sliki 19 je 
prikazana prostorska razporeditev disipacije 
turbulentne kinetične energije ε za različne Δh. Iz 
rezultatov lahko vidimo, da za konkretno 
konfiguracijo prekata ribje steze povečanje 
vzdolžnega padca pomeni bistveno 
 
 
Slika 19: Izračunana prostorska razporeditev disipacije turbulentne kinetične energije ε v srednjem prekatu 
obravnavane ribje steze pri globini vode h = 1,30 m in Δh = 0,05, 0,10, 0,15 in 0,20 m 
Figure 19: Calculated spatial distribution of turbulent kinetic energy dissipation in the central pool of the 
tested VSF at h = 1.30 m for Δh = 0.05, 0.10, 0.15, and 0.20 m 
 
povečanje disipacije turbulentne kinetične energije 
ε. Dvakrat večji vzdolžni padec povzroči skoraj 
trikrat večjo disipacijo turbulentne kinetične 
energije. Že pri višinski razliki med sosednjimi 
prekati Δh = 0,10 m z gostoto vode pomnožena 
povprečna vrednost disipacije turbulentne kinetične 
energije E presega priporočene vrednosti iz 
strokovne literature. 
 
 

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
 
110 
6. Zaključki 
Ustrezne tokovne razmere so pogoj, da je ribja steza 
učinkovita. V raziskavi so prikazane analize vpliva 
numeričnih parametrov, ki jih je treba poznati, da 
lahko z matematičnim modelom uspešno 
modeliramo tok v ribjih stezah. Pri dimenzioniranju 
ribjih stez je veliko geometrijskih parametrov, ki jih 
lahko variiramo oziroma optimiziramo: oblika reže 
(velikost reže b 0, kot med rebroma α in pozicija 
reže), oblika in pozicija vertikalnih reber, dolžina in 
širina prekata itd. Ob tem se je treba zavedati, da 
variiranje geometrije lahko bistveno vpliva na 
hidravlične značilnosti toka v ribji stezi in s tem na 
zmožnost prehajanja rib. V članku je prikazana 
analiza enega od pomembnejših geometrijskih 
parametrov v ribjih stezah z vertikalnimi režami, in 
sicer vpliv vzdolžnega padca dna na tokovno sliko. 
Glavne ugotovitve raziskave lahko strnemo v 
naslednjih točkah: 
1) Analitični izračuni hidravličnih značilnosti toka 
v ribjih stezah, predlagani v strokovni literaturi, 
ne zadoščajo. Na konkretnem primeru je bilo z 
meritvami in izračuni pokazano, da so 
odstopanja lahko velika. 
2) Ob uporabi matematičnega modela za določitev 
hidravličnih značilnosti toka v ribjih stezah je 
treba detajlno poznati vpliv posameznih 
numeričnih parametrov in jih pri izračunih 
ustrezno upoštevati. 
3) V primerih toka v ribjih stezah prihaja do 
izrazitega mešanja in vrtinčenja toka v prekatih, 
zato je treba uporabiti ustrezen model 
turbulence, ki ta vpliv pravilno opiše. Rezultati 
simulacij s k – ε modelom turbulence se dobro 
ujemajo z meritvami na prototipu. To nakazuje, 
da je ob ustrezni uporabi 2D matematični model 
PCFLOW2D primerno orodje za 
dimenzioniranje ribjih stez z vertikalnimi 
režami. 
4) Izvedene simulacije za primere ribje steze z 
različnimi vzdolžnimi padci so pokazale, da je to 
eden ključnih parametrov pri dimenzioniranju 
ribjih stez. 
 
 
Viri 
Bermúdez, M., Puertas, J., Cea, L., Pena, L., Balairón, L. 
(2010). Influence of pool geometry on the biological 
efficiency of vertical slot fishways. Ecological 
Engineering 36(10), 1355–1364. 
http://dx.doi.org/10.1016/j.ecoleng.2010.06.013.  
Bombač, M., Novak, G., Rodič, P., Četina, M. (2014). 
Numerical and physical model study of a vertical slot 
fishway. Journal of Hydrology and Hydromechanics 
62(2), 1–10. https://doi.org/10.2478/johh-2014-0013.  
Bombač, M. (2014). Matematično in fizično modeliranje 
toka v rekah s poplavnimi področji. Doktorska 
disertacija. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za 
gradbeništvo in geodezijo: 109 str. (in Slovenian) 
Bombač, M., Novak, G., Mlačnik, J., Četina, M. (2015). 
Extensive field measurements of flow in vertical slot 
fishway as data for validation of numerical simulations. 
Ecological Engineering 84, 476–484. 
https://doi.org/10.1016/j.ecoleng.2015.09.030.  
Bombač, M., Četina, M., Novak, G. (2017). Study on 
flow characteristics in vertical slot fishways regarding 
slot optimization. Ecological Engineering 107, 126–136. 
https://doi.org/10.1016/j.ecoleng.2017.07.008  
Cea, L., Pena, L., Puertas, J., Vazquez-Cendon, M. E., 
Pena, E. (2007). Application of several depth-averaged 
turbulence models to simulate flow in vertical slot 
fishways. Journal of Hydraulic Engineering 133(2), 
160–172. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-
9429(2007)133:2(160).  
Ciuha, D., Bombač, M., Povž, M., Kvaternik, K., 
Mlačnik, J. (2017). Zasnova, hidravlična optimizacija, 
projekt in izvedba prehoda za vodne organizme HE 
Brežice. Zbornik referatov, 28. Mišičev vodarski dan 
2017, Maribor, 133–146. (in Slovenian) 
Chorda, J., Maubourguet, M. M., Roux, H., George, J., 
Larinier, M., Tarrade, L., David, L. (2010). Two-
dimensional free surface flow numerical model for 
vertical slot fishways. Journal of Hydraulic Research 48 
(2), 141–151. 
https://doi.org/10.1080/00221681003703956. 
Clay, C. H. (1995). Design of fishways and other fish 
facilities. Ottawa, Dept. of Fisheries of Canada, 248 str. 
Četina, M. (1988). Matematično modeliranje 
dvodimenzionalnih turbulentnih tokov. Magistrsko delo. 
Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za 
gradbeništvo in geodezijo, 105 str. (in Slovenian) 

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
 
111 
Duguay, L., Lacey, R., Gaucher, J. (2017). A case study 
of a pool and weir fishway modeled with OpenFOAM 
and FLOW-3D. Ecological Engineering 103, 31–42. 
https://doi.org/10.1016/j.ecoleng.2017.01.042  
Enders, E. C., Boisclair, D., Roy, A. G. (2003). The effect 
of turbulence on the cost of swimming for juvenile 
Atlantic salmon. Canadian Journal of Fisheries and 
Aquatic 60(9), 1149–1160. https://doi.org/10.1139/f03-
101. 
Josipovič, Z., Ciuha, D. (2009). Prehod za vodne 
organizme HE Blanca. Projekt izvedenih del. Ljubljana, 
IBE, d.d. (in Slovenian) 
Kamula, R. (2001). Flow Over Weirs with Application to 
Fish Passage Facilities. Academic Dissertation. Oulu, 
University of Oulu, Faculty of Technology, 90 str. 
Katopodis, C., Rajaratnam, N. (1983). A review and 
laboratory study of the hydraulics of Denil fishways. 
Canadian Technical Report of Fisheries and Aquatic 
Science. 1145: vii+181 str. 
Larinier, M., Travade, F., Porcher, J. P. (Eds.) (2002). 
Fishways: biological basis, design criteria and 
monitoring, 364 str. 
Maddock, I. P., Harby, A., Kemp, P., Wood, P. (eds.) 
(2013). Ecohydraulics: An Integrated Approach. Wiley-
Blackwell, 446 str. 
Marriner, B. A., Baki, A. B. M., Zhu, D. Z., Cooke, S. J., 
Katopodis, C. (2016). The hydraulics of a vertical slot 
fishway: A case study on the multi-species Vianney-
Legendre fishway in Quebec. Ecological Engineering 90, 
190–202. https://doi.org/10.1016/j.ecoleng.2016.01.032.  
Novak, G., Tafuni, A., Domínguez, J. M., Četina, M., 
Žagar, D. (2019). A Numerical Study of Fluid Flow in a 
Vertical Slot Fishway with the Smoothed Particle 
Method. Water 11, 1928. 
https://doi.org/10.3390/w11091928.     
Patankar, S. V. (1980). Numerical heat transfer and fluid 
flow. New York, McGraw-Hill Book Company, 197 str. 
Powers, P., Orsborn, J. (1984). New concepts in fish 
ladder design: Analysis of barriers to upstream fish 
migration. Volume IV of IV: Investigation of the 
physical and biological conditions affecting fish passage 
success at culverts and waterfalls. Final Rep. 1982–1984. 
BPA Rep. DOE/BP-36523-1 Project No. 198201400, 
Bonneville Power Administration. 
Puertas, J., Pena, L., Teijeiro, T. (2004). Experimental 
approach to the hydraulics of vertical slot fishways. 
Journal of Hydraulic Engineering 130 (1), 10–23. 
http://dx.doi.org/10.1061/(ASCE)0733-
9429(2004)130:1(10).  
Puertas, J., Cea, L., Bermúdez, M., Pena, L., Rodríguez, 
A., Rabuñal, J.R., Balairón, L., Lara, Á., Aramburu, E. 
(2012). Computer application for the analysis and design 
of vertical slot fishways in accordance with the 
requirements of the target species. Ecological 
Engineering 48, 51–61. 
https://doi.org/10.1016/j.ecoleng.2011.05.009. 
Rajaratnam, N., Van der Vinne, G., Katopodis, C. (1986). 
Hydraulics of vertical slot fishways. Journal of 
Hydraulic Engineering 112 (10), 909–927. 
http://dx.doi.org/10.1061/(ASCE)0733-
9429(1986)112:10(909).  
Rajaratnam, N., Katopodis, C., Solanki, S. (1992). New 
designs for vertical slot fishways. Canadian Journal of 
Civil Engineering 19(3), 402–414. 
https://doi.org/10.1139/l92-049.  
Rastogi, A. K., Rodi, W. (1978). Predictions of heat and 
mass transfer in open channels. Journal of the Hydraulics 
Division 104(3), 397–420. 
Rodriguez, T.T., Agudo, J. P., Mosquera, L. P., 
Gonzalez, E.P. (2006). Evaluating vertical-slot fishway 
designs in terms of fish swimming capabilities. 
Ecological Engineering 27, 37–48. 
https://doi.org/10.1016/j.ecoleng.2005.09.015.  
Sanagiotto, D. G., Rossi, J. B., Bravo, J. M. (2019). 
Applications of Computational Fluid Dynamics in The 
Design and Rehabilitation of Nonstandard Vertical Slot 
Fishways, Water 11, 199. 
https://doi.org/10.3390/w11020199.  
Silva, A. T., Bermúdez, M., Santos, J. M., Rabuñal, J. R., 
Puertas, J. (2020). Pool-type fishway design for a 
Potamodromous Cyprinid in the Iberian Peninsula: The 
Iberian Barbel-synthesis and future directions. 
Sustainability 12, 3387. 
https://doi.org/10.3390/su12083387.  
Tan, J., Tao, L., Gao, Z., Dai, H., Shi, X. (2018). 
Modeling Fish Movement Trajectories in Relation to 
Hydraulic Response Relationships in an Experimental 
Fishway, Water 10, 1511. https://doi.org/ 
10.3390/w10111511 
Tarrade, L., Pineau, G., Calluaud, D., Texier, A., David, 
L., Larinier, M. (2011). Detailed experimental study of 
hydrodynamic turbulent flows generated in vertical slot 
fishways. Environmental Fluid Mechanics 11, 1–21. 
https://doi.org/10.1007/s10652-010-9198-4.  
Violeau, D. (2012). Fluid Mechanics and the SPH 
Method: Theory and Applications. First Edition, Oxford, 
United Kingdom. 

Bombač M. et al.: Matematično modeliranja toka v ribjih stezah z vertikalnimi režami – Mathematical modeling of 
flow in vertical slot fishways 
Acta hydrotechnica 33/59 (2020), 97–112, Ljubljana 
 
112 
Water Framework Directive, 2000/60/EC. Dosegljivo na 
spletnem naslovu: http://eur-lex.europa.eu/legal-
content/EN/TXT/?uri=CELEX:32000L0060.