i
i
“Zitko” — 2017/6/30 — 13:13 — page 54 — #1 i
i
i
i
i
i
NOBELOVA NAGRADA ZA FIZIKO 2016
ROK ŽITKO
Institut Jožef Stefan
Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
PACS: 02.40.-k, 75.70.-i, 73.43.-f, 75.10.Pq
Nobelova nagrada za fiziko je bila podeljena trem teoretičnim fizikom, ki so s koncepti
in orodji iz topologije kot prvi ugotovili, da se lahko različne faze snovi med seboj razli-
kujejo ne le po svojih simetrijskih lastnostih, temveč tudi po topološkem redu. Razložili
so, kako pride do faznih prehodov brez zloma simetrije v dvodimenzionalnih sistemih, v
katerih kot možne vzbuditve nastopajo vrtinci, kako kvantizirana prevodnost v kvantnem
Hallovem pojavu prikaže topologijo pasu zasedenih stanj ter v čem se razlikujejo spinske
verige s celoštevilskim in polceloštevilskim spinom.
THE NOBEL PRIZE IN PHYSICS 2016
The Nobel prize in physics 2016 was awarded to three theoretical physicists who were
the first to apply the concepts and tools from topology to demonstrate that different
phases of matter may be distinguished not only by their symmetry properties, but also
through their topological order. They have explained how there can be phase transitions
without any symmetry breaking in two-dimensional systems hosting vortex excitations,
how the quantized conductance in quantum Hall systems reflects the topology of the
occupied states, and how differ spin chains with integer and half-integer spin.
Nobelova nagrada za fiziko je bila leta 2016 podeljena trem teoretičnim
fizikom, ki so v sedemdesetih in osemdesetih letih preǰsnjega stoletja med
prvimi začeli uporabljati koncepte in orodja iz matematične veje topologije
za razlago osnovnih lastnosti različnih faz kondenzirane snovi ter faznih pre-
hodov med njimi [15]. Polovico nagrade je dobil David Thouless, preostali
četrtini pa sta si delila Duncan Haldane in Michael Kosterlitz. Vsi trije so v
času podelitve nagrade živeli in delali v Združenih državah Amerike, so pa
sicer iz Velike Britanije (Haldanova mama je, mimogrede, slovenskega rodu).
V delih, za katera so nagrajeni, so uporabili sicer zelo preproste topološke
pojme (prva homotopska grupa krožnice oz. ovojno število, prvi Chernov
razred in Chernovo število, druga homotopska grupa krogelne lupine), so pa
s tem odprli povsem nove raziskovalne smeri v teoretični fiziki večdelčnih
sistemov, ki so se naglo razvile in začele črpati tudi bolj napredna spoznanja
iz topologije [22, 2]. Danes sta pojem »topoloških kvantnih števil« in razvr-
ščanje faz snovi v različne topološke razrede postala v fiziki že kar domača,
področje pa se je še dodatno razživelo po letu 2008 z odkritjem topoloških
izolatorjev, to je snovi, ki so pasovni izolatorji in torej neprevodne v no-
tranjosti, imajo pa kovinska mejna stanja in lahko zato prevajajo električni
54 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
i
i
“Zitko” — 2017/6/30 — 13:13 — page 55 — #2 i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada za fiziko 2016
tok po svoji površini, kar je zaradi velike potencialne uporabne vrednosti
vzbudilo veliko zanimanje.
Fazni prehodi brez zloma simetrije
David Thouless je v začetku 70. let delal kot profesor matematične fizike
na Univerzi v Birminghamu, kjer se mu je kot podoktorski sodelavec pri-
družil Michael Kosterlitz, ki se je sicer pred tem ukvarjal s fiziko delcev, a
je želel poskusiti še kaj drugega. Začela sta sodelovati pri vprašanju faznih
prehodov v nizkodimenzionalnih sistemih ter pri vlogi topoloških defektov.
Topološki defekti so vzbuditve sistema, ki so homotopsko različne od njego-
vega osnovnega stanja in jih torej ni mogoče odstraniti na »gladek« način
z zveznimi spremembami stanja. Primer so vrtinci v superfluidnem 4He,
domenske stene v magnetih ter dislokacije v kristalih. Thouless je ugotovil,
da ima enodimenzionalni Isingov model magneta z interakcijami dolgega
dosega, ki padajo kot 1/r2, fazni prehod pri končni temperaturi Tc, medtem
ko Isingov model z interakcijami kratkega dosega ne more biti urejen pri
od nič različnih temperaturah. Kosterlitz se je po svojem prihodu lotil re-
levantne literature, med drugim člankov Phila Andersona in sodelavcev na
temo Kondovega modela nečistoče, ki se preslika na Isingov model z 1/r2
interakcijo, za katerega je Anderson razvil metodo reševanja, ki je bila prav-
zaprav predhodnica renormalizacijske grupe, s katero se je kasneje proslavil
Kenneth Wilson. Obravnava z renormalizacijsko grupo je tudi odigrala po-
membno vlogo pri nadaljnjih raziskavah Kosterlitza in Thoulessa. Lotila sta
se zagonetnega vprašanja urejenih faz v tako zelo tankih plasteh materialov,
da jih lahko obravnavamo kot dvodimenzionalne (2D) snovi. Šlo je pred-
vsem za tankoplastne magnete, katerih magnetizacija leži v ravnini, tanke
plasti 4He ter dvodimenzionalne kristale. Tedaj je bilo splošno sprejeto, da
ne more biti prehodov v urejeno stanje pri končnih temperaturah v 2D sis-
temih z zvezno simetrijo in z interakcijami kratkega dosega, za kar so bili
na voljo strogi dokazi, ki so jih bili prispevali Mermin, Wagner, Wegner in
Hohenberg [14, 21]. Malo manj je bilo znano, da ti izreki pravzaprav prepo-
vedujejo le pravi red dolgega dosega. Eksperimenti (numerični z računalni-
škimi simulacijami in laboratorijski na pravih efektivno dvodimenzionalnih
materialih) so že tedaj namigovali na obstoj nekakšnih prehodov med raz-
ličnimi fazami. Thoulessov in Kosterlitzev poglavitni dosežek je bil dokaz,
da so vendarle mogoči termični fazni prehodi pri končni temperaturi tudi v
dveh dimenzijah, le da nizkotemperaturna faza ne more imeti pravega reda
dolgega dosega, temveč korelacije zelo počasi (potenčno) padajo z razdaljo
proti nič [12]. V seriji člankov sta postavila na čvrste temelje natančno ma-
54–64 55
i
i
“Zitko” — 2017/6/30 — 13:13 — page 56 — #3 i
i
i
i
i
i
Rok Žitko
Slika 1. Levo: spinski val. Desno: vrtinec. Puščice ponazarjajo smer magnetnega
momenta v ravnini, θ.
tematično teorijo tovrstnih prehodov [13]. Do nekaterih podobnih spoznanj
je neodvisno in približno sočasno prǐsel tudi ruski fizik Vadim Berezinski.
Thouless in Kosterlitz sta med drugim obravnavala 2D magnet, pri ka-
terem magnetni momenti ležijo v ravnini in jih lahko opǐsemo s kotom rav-
ninskega zasuka θ(r), kjer je r položaj izbrane magnetnice. Ta sistem se
imenuje tudi model XY. Ima zvezno simetrijo U(1), saj lahko vse magne-
tnice hkrati zasukamo za enak kot, ne da bi se ob tem spremenila energija
sistema. Nizkoenergijske vzbuditve, spinske valove (slika 1, levo), opisuje
Hamiltonov operator
H ∝
∫
d2r[∇θ(r)]2. (1)
Spinski valovi imajo energijo, ki je obratno sorazmerna s kvadratom njihove
valovne dolžine in je torej v termodinamski limiti lahko poljubno majhna.
Ker pa je Hamiltonov operator periodičen za operacijo θ(r) → θ(r) + 2π,
kot možne rešitve obstajajo tudi vrtinci (slika 1, desno). To so topološke
vzbuditve z visoko energijo in jih je torej malo, kljub temu pa so pomembne,
ker dodatno rušijo ureditev sistema. Vsak vrtinec nosi »topološki naboj«,
definiran kot ovojno število n: ∮
C
dθ = 2πn, (2)
kjer je C zaključena pot okoli sredice vrtinca. Ovojno število meri, koli-
kokrat se zasuka vektor magnetizacije okoli navpične osi vzdolž poljubne
56 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
i
i
“Zitko” — 2017/6/30 — 13:13 — page 57 — #4 i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada za fiziko 2016
krivulje C, in je celo število, pozitivno ali negativno. Največ je vrtincev z
n = 1 in antivrtincev z n = −1. Posamični vrtinci imajo visoko energijo,
ki narašča logaritemsko z velikostjo sistema, kar je posebnost 2D sistemov.
Hkrati pa je tudi prispevek k entropiji posameznega vrtinca sorazmeren
z logaritmom ploščine celotnega sistema, saj je možnih mest, kjer je lahko
vrtinec, približno enako P/P0, kjer je P ploščina sistema in P0 efektivna plo-
ščina enega vrtinca. Pri končnih temperaturah je stanje sistema določeno
preko proste energije F = E − TS. Odvisno od temperature lahko pro-
sti vrtinci prispevajo močno pozitivno ali močno negativno k celotni prosti
energiji. To pomeni, da pod neko kritično temperaturo Tc prostih vrtincev
sploh ni, nad njo pa se takoj začnejo pojavljati. To si lahko predstavljamo
tudi tako: pod Tc so pari vrtinca z n = 1 in antivrtinca n = −1 vezani,
nad Tc pa se pari razvežejo in nastanejo prosti vrtinci in antivrtinci: nered
se tedaj poveča. Posledično ima pod Tc magnet kvazired dolgega dosega s
potenčno upadajočimi korelacijami med vektorji magnetizacije, nad Tc pa
je sistem povsem neurejen z eksponentno upadajočimi korelacijami. Fazni
prehod je zvezen in zelo blag (»neskončnega reda«); anomalija v specifični
toploti je tako šibka, da sploh ni merljiva. Podobni zaključki veljajo tudi
za tanke plasti 4He in za 2D kristale. Pri prvih obstajajo vrtinci v fazi
ureditvenega parametra za superfluidno stanje, ki je kompleksno število, pri
kristalih pa igrajo vlogo topoloških defektov dislokacije (linijske napake v
kristalu).
Kaj te ugotovitve pomenijo, denimo, za kristale v 2D, ki naj ne bi ob-
stajali zaradi strogega dokaza, da v dveh dimenzijah kristalni red dolgega
dosega sploh ne more obstajati? Pravzaprav ni nobenega navzkrižja. V
nizkotemperaturni fazi dejansko obstaja samo kvazired, ne pa pravi red:
korelacijska funkcija na velikih razdaljah pade proti nič, sicer počasi – po-
tenčno – a vendarle. Bistveno pa je, da ima kvaziurejena kristalna faza
končen prožnostni modul, kar pričakujemo za snov v trdnem stanju. Ter-
mične fluktuacije sicer porušijo pravi red dolgega dosega, elastičnost pa kljub
temu ostane končna. To se posploši tudi na vse druge primere iz te družine:
pri nizkih temperaturah se vzpostavi rigidnost sistema na zunanje motnje,
značilna za urejeno fazo, ne da bi obstajal pravi red dolgega dosega. V dveh
dimenzijah ob faznem prehodu pride torej do (nezvezne) spremembe v rigi-
dnosti, spontanega zloma simetrije pa ni. Urejena faza torej ni definirana
preko kristalne rešetke, temveč preko odziva kristala na strižno obremeni-
tev: kristal se odzove elastično in se reverzibilno deformira, medtem ko ima
tekočina strižni modul enak nič in steče. Ta ključna ugotovitev pomeni, da
obstajajo fazni prehodi, ki se jih ne da opisati v Landauovi paradigmi, ki
temelji na razmisleku o simetrijah Hamiltonovega operatorja in Taylorjevem
54–64 57
i
i
“Zitko” — 2017/6/30 — 13:13 — page 58 — #5 i
i
i
i
i
i
Rok Žitko
razvoju proste energije po parametru reda, ki opredeljuje zlom simetrije v
urejeni fazi.
Meritve dvodimenzionalnih superfluidov (tanke plasti 4He) so bile oprav-
ljene še pred razvojem teorije Kosterlitza in Thoulessa (KT). Opazili so
nezvezni skok v gostoti superfluida, ne da bi opazili nezveznost v specifični
toploti. To se ni skladalo s faznim prehodom prvega reda, je pa v skladu s
teorijo KT, ki napoveduje tudi, da je velikost skoka univerzalna [16].
Kosterlitz-Thoulessov prehod v 2D superfluidno stanje so leta 2006 za-
znali tudi v plinu ohlajenih atomov 87Rb v ravninski optični pasti [7]. To ni
enako kot Bose-Einsteinova kondenzacija in omenjena prehoda se zgodita pri
različnih temperaturah. Pod prehodom KT so opazili potenčne korelacije,
nad prehodom pa proste vrtince.
Teorija KT je pomembna tudi v fiziki enodimenzionalnih kvantnih siste-
mov in kvantnih nečistoč, saj med temi problemi najdemo takšne, ki imajo
povsem enake enačbe renormalizacijske grupe kot klasični dvodimenzionalni
model XY. Primer je kar paradigmatski model Kondove nečistoče, ki opi-
suje en sam kvantnomehanski lokalni moment, sklopljen s kontinuumom
elektronskih stanj v kovini. Če se spremeni predznak Kondove izmenjalne
interakcije JK iz antiferomagnetne v feromagnetno, pride do kvantnega fa-
znega prehoda iz zasenčene v nezasenčeno fazo, ki je v istem univerzalno-
stnem razredu kot prehod KT.
Kvantizirana prevodnost odraža topologijo pasu zasedenih stanj
Do Hallovega pojava pride, če postavimo ploščat (efektivno dvodimenzio-
nalen) prevodni trak v magnetno polje, usmerjeno pravokotno na ravnino
traku: opazimo, da se prečno na električni tok in na magnetno polje vzpo-
stavi električno polje, ki ravno uravnovesi magnetno Lorentzevo silo, ki de-
luje na prevodnǐske elektrone in ukrivlja njihovo pot proti robu vzorca.
Nastalo električno polje je sorazmerno s tokom in z magnetnim poljem, so-
razmernostni koeficient (Hallov koeficient RH) pa je obratno sorazmeren
z nabojem in številsko gostoto nosilcev naboja v prevodniku. V močnem
magnetnem polju (reda 10 T) in pri nizkih temperaturah (pod 1 K) pa se
elektroni začnejo obnašati povsem drugače. Kot je pokazal Landau, se elek-
troni v močnem polju v kvaziklasičnem opisu gibajo po krožnih tirnicah
in elektronski nivoji postanejo kvantizirani kot n = (n + 1/2)~ωc, kjer je
ωc = eB/m ciklotronska frekvenca. Ti Landauovi nivoji so makroskopsko
zasedeni. Namesto linearne odvisnosti od magnetnega polja je Klaus von
Klitzing s sodelavci v čistih vzorcih opazil stopničast potek Hallovega koe-
ficienta z univerzalnimi vrednostmi, ki so odvisne le od osnovnih fizikalnih
58 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
i
i
“Zitko” — 2017/6/30 — 13:13 — page 59 — #6 i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada za fiziko 2016
Slika 2. Odvisnost Hallove upornosti od magnetnega polja. Po viru [17].
konstant [11]:
RH =
1
n
h
e20
, (3)
kjer je h Planckova konstanta, e0 osnovni naboj, n pa celo število, glej sliko 2.
Kasneje so v najčisteǰsih vzorcih opazili stopnice tudi pri vrednostih n, ki
so ulomki z nizkim števcem in imenovalcem. Pojav kvantizacije pri celih
n danes imenujemo celoštevilski kvantni Hallov pojav, pri racionalnih n pa
racionalni kvantni Hallov pojav [5].
Številni teoretiki so prispevali k bolǰsemu razumevanju celoštevilskega
kvantnega Hallovega pojava: nekateri so poudarili umeritveno invarianco,
drugi robna stanja in nelokalni transport, pomembno vlogo nečistoč in ne-
reda, tu pa nas bo najbolj zanimala topološka razlaga [20, 18], ki so jo
prispevali David Thouless, Mahito Kohmoto, Peter Nightingale in Marcel
den Nijs (TKNN) leta 1982. TKNN so v okviru teorije linearnega odziva
zapisali izraz za prevodnost sistema, ki vsebuje prispevke vseh zasedenih
stanj v Landauovem nivoju, ter pokazali, da je končni rezultat kvantiziran
na celoštevilski mnogokratnik e20/h. Pasovno strukturo snovi namreč lahko
opǐsemo z lastnimi energijami n in lastnimi funkcijami (Blochovimi stanji)
ψn Hamiltonovega operatorja v odvisnosti od točke k v Brillouinovi coni
recipročnega prostora, ki je tu dvodimenzionalen. Izraz, ki so ga izpeljali
TKNN, pravzaprav meri, kako se »ukrivljajo« valovne funkcije v odvisnosti
od k. To je izraženo preko Berryjeve zveze
Aj(k) = −i
〈
ψk
∣∣∣ ∂
∂kj
∣∣∣ψk〉 (4)
54–64 59
i
i
“Zitko” — 2017/6/30 — 13:13 — page 60 — #7 i
i
i
i
i
i
Rok Žitko
Slika 3. Levo: cilindrični trak. Desno: Möbiusov trak.
ter Berryjeve ukrivljenosti
Fxy =
∂Ax
∂ky
− ∂Ay
∂kx
. (5)
Integral F po Brillouinovi coni, ki je svitek (torus) T2 zaradi periodičnih
robnih pogojev v obeh smereh, je matematično gledano topološka invarianta,
imenovana prvo Chernovo število:
C = − 1
2π
∫
T2
d2k F, C ∈ Z. (6)
Različne pasovne strukture namreč lahko topološko klasificiramo tako, da
se vprašamo, katere Hamiltonove operatorje lahko gladko preoblikujemo
v druge, pod pogojem, da ima snov ves čas končno energijsko režo med
zasedenimi in nezasedenimi stanji. Ekvivalenčni razredi se ločijo ravno po
vrednosti C. Rečemo tudi, da je snov lahko v različnih topoloških fazah. Te
se razlikujejo podobno, kot se med seboj razlikujeta cilindrični in Möbiusov
trak (slika 3).
Med topološko različnimi osnovnimi stanji lahko pride do topoloških
faznih prehodov. Ker ti potekajo pri absolutni ničli (temperaturi T = 0), gre
za posebno vrsto kvantnih faznih prehodov, torej za drugačen tip prehoda
kot v teoriji Kosterlitza in Thoulessa, ki opisuje termične fazne prehode pri
končni temperaturi.
Zaradi topološkega izvora je število n = C celo število na devet decimalk
natančno. Kvantni Hallov pojav torej omogoča določiti izjemno natančen
standard za upornost: od leta 1990 je zato mednarodni standard za elek-
trično upornost definiran ravno preko kvanta prevodnosti e20/h. Notranjost
traku je izolatorska, tokovi pa tečejo po robovih brez disipacije, saj stanja,
ki bi omogočila, da se elektroni na nečistočah odbijejo nazaj, sploh ne obsta-
jajo. Danes takšnim stanjem snovi rečemo topološki izolatorji. Od običajnih
60 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
i
i
“Zitko” — 2017/6/30 — 13:13 — page 61 — #8 i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada za fiziko 2016
pasovnih izolatorjev se ločijo prav po od nič različnem Chernovem številu
C, ki z vidika fizikalnih posledic ravno šteje, koliko prevodnih robnih stanj
obstaja na meji sicer neprevodnega vzorca.
Pomembno je na področju fizike Hallovega pojava prispeval tudi Duncan
Haldane. Leta 1988 je pokazal, da lahko do podobnih pojavov pride tudi
v odsotnosti zunanjega magnetnega polja [9]. Predlagal je model za grafen
s periodičnim magnetnim fluksom skozi šesterokotnike. To je dosegel tako,
da je v model vključil matrične elemente za preskoke med drugimi najbliž-
jimi sosednjimi mesti, ki so kompleksne količine. Takšnega sistema v tistem
času niso znali realizirati v laboratoriju. Je pa Haldane s tem delom zase-
jal seme, iz katerega je v zadnjem desetletju zraslo celotno področje fizike
topoloških izolatorjev. Model za kvantne spinske Hallove sisteme, ki se jih
danes intenzivno proučuje, se da, denimo, približno razumeti kot dve kopiji
Haldenovega modela, pri čemer imata spin gor in spin dol obratni vrednosti
Chernovega števila. Nedavno, leta 2013, pa so tudi neposredno proučili fazo
snovi, kot jo je predlagal Haldane, v tankih plasteh s kromom dopiranega
(Bi,Sb)2Te3 v odsotnosti zunanjega magnetnega polja.
Spinske verige in topološki člen θ
Spinske verige so dolge enodimenzionalne verige magnetnih momentov, ki
so med seboj sklopljeni preko izmenjalne interakcije. Primer je, denimo,
Heisenbergov model:
H =
∑
i
JSi · Si+1, (7)
kjer je Si spinski operator za i-to mesto verige v izbrani reprezentaciji za
spin S = 1/2, 1, 3/2, . . ., J > 0 pa je antiferomagnetna Heisenbergova izme-
njalna konstanta. Prava Néelova antiferomagnetna ureditev v eni dimenziji
ni mogoča zaradi močnih fluktuacij. Najbolj raziskan je primer S = 1/2, ki
je točno rešljiv z Bethejevim nastavkom. Za ta model je že dolgo znano, da
ima kvaziurejeno osnovno stanje s potenčno upadajočimi korelacijami med
magnetnimi momenti, vzbuditve pa so brez energijske reže, kar pomeni, da
za dosti dolgo verigo obstajajo vzbujena stanja s poljubno majhno dodatno
energijo [6]. Duncan Haldane se je v svojem delu iz leta 1983 vprašal [8], ali
nemara obstaja kakšna fundamentalna razlika med verigami s polceloštevil-
skim spinom 1/2, 3/2, . . . in tistimi s celoštevilskim spinom 1, 2, . . . Na to ga
je navedel zapis nizkoenergijske efektivne kvantne teorije polja, ki se imenuje
nelinearni model sigma s simetrijo O(3) in ki terja dodatni topološki člen
θ v akciji. Slednji izvira iz potrebe po uvedbi Berryjeve faze, ko se spinske
prostostne stopnje zapǐse s koherentnimi stanji pri konstrukciji teorije polja
54–64 61
i
i
“Zitko” — 2017/6/30 — 13:13 — page 62 — #9 i
i
i
i
i
i
Rok Žitko
Slika 4. Levo: konfiguracija vektorjev v dvodimenzionalnem prostoru-času (x, t) z ovoj-
nim številom Q = 1. Desno: prerez ob konstantnem času t = 0.
v formalizmu integrala po poteh. Oba dela akcije lahko zapǐsemo kot
SNLS =
1
2g
∫
dt dx
[
1
v
(
∂n
∂t
)2
− v
(
∂n
∂x
)2]
, (8)
Stop = i
θ
4π
∫
d2xn ·
(
∂n
∂x1
× ∂n
∂x2
)
, (9)
kjer je n(x, t) enotski vektor, ki opisuje počasno spreminjanje medmrežnega
spinskega polja, v je hitrost spinskih valov, g = 2/S sklopitvena konstanta,
θ = 2πS in uporabljene so evklidske koordinate (x1, x2) = (it, x). V izrazu
za topološki del akcije Stop je možno razbrati ovojno število Q krogelne
lupine na krogelno lupino, π2(S
2), glej sliko 4. Različne spinske konfiguracije
k statistični vsoti prispevajo s predfaktorjem ei2πSQ. Za celoštevilske S je
ta faktor vedno 1, za polceloštevilske S pa je enak (−1)Q in obravnava
postane veliko bolj zapletena. Kombinacija močnih kvantnih fluktuacij v
eni dimenziji in možnost izničevanja različnih prispevkov zaradi topološkega
člena za polceloštevilske spine vodi k velikim razlikam v obnašanju. Veljalo
naj bi, da imajo celoštevilske verige končno energijsko režo in eksponentno
upadanje spinskih korelacij, polceloštevilske pa so brez reže in korelacije
padajo potenčno. V končno dolgih verigah s S ≥ 1 naj bi na obeh koncih
verige obstajala robna stanja s spinom S − 1/2. To je še zlasti pomembno
v verigah s celoštevilskim spinom, saj so to edine vzbuditve pri zelo nizkih
energijskih skalah.
Ker je Haldane do svojih sklepov prǐsel v limiti velikega spina, S →∞,
se je postavilo vprašanje o njegovi splošnosti in veljavnosti za majhen spin.
Haldanova domneva je bila zato sprva sprejeta z veliko mero skepticizma.
Splošno sprejeta slika je namreč bila, da se spinske verige z različnim spinom
62 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
i
i
“Zitko” — 2017/6/30 — 13:13 — page 63 — #10 i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada za fiziko 2016
ne razlikujejo bistveno. Kmalu pa so se pojavili prvi posredni dokazi preko
numeričnih simulacij ter tudi analitični argumenti. Ian Affleck, Tom Ken-
nedy, Elliott Lieb in Hal Tasaki (AKLT) so predlagali točno rešljiv model
za S = 1 [1]:
HAKLT =
∑
i
J
[
Si · Si+1 +
1
3
(Si · Si+1)2
]
. (10)
Dokazali so, da ima ta rahlo modificirani Heisenbergov model končno ener-
gijsko režo, eksponentno upadanje korelacij ter da obstajajo robna stanja
s spinom 1/2 (kar je lep primer frakcionalizacije kvantnih števil, saj imajo
osnovne vzbuditve sicer spin 1), vse torej v skladu s Haldanovo domnevo.
Kasneje so napovedana robna stanja v celoštevilskih spinskih verigah zaznali
tudi v eksperimentih na CsNiCl3 [10].
Sklep: topologija v sodobni statistični fiziki
Nobelovi nagrajenci za fiziko v letu 2016 so kot prvi pokazali, da lahko sta-
nja snovi razvrščamo ne zgolj po njihovih simetrijskih lastnostih, temveč
tudi po topoloških. S tem so odprli nov pogled na razlikovanje med fazami
in na prehode med njimi. V zadnjih letih se veliko pozornosti posveča topo-
loškim izolatorjem in superprevodnikom [4, 3]. Med slednje se uvršča model
verige Kitaeva, ki je ob ustrezni izbiri parametrov topološki superprevodnik
s simetrijo p, za katerega je znano, da ima na svojih robovih robni stanji,
ki se obnašata kot Majoranova fermiona. Oba skupaj se obnašata kot dvo-
nivojski sistem, v katerega lahko shranimo en kubit podatkov. Ker pa sta
Majoranova fermiona lokalizirana vsak na svojem koncu verige, sta imuna
na motnje iz bližnje okolice. Zaradi tega se pričakuje, da lahko v takšnih
sistemih na robusten način hranimo kvantno informacijo in da jo bomo v
prihodnje morda lahko celo obdelovali. To bi bila lahko osnova za topološko
kvantno računalnǐstvo [19].
LITERATURA
[1] I. Affleck, T. Kennedy, E. H. Lieb in H. Tasaki, Rigorous results on valence-bond
ground states in antiferromagnets, Phys. Rev. Lett. 59 (1987), 79.
[2] A. Altland in B. Simons, Condensed matter field theory, Oxford University Press,
2010.
[3] J. K. Asbóth, L. Oroszlány in A. Pályi, A short course on topological insulators,
Springer, 2016.
54–64 63
i
i
“Zitko” — 2017/6/30 — 13:13 — page 64 — #11 i
i
i
i
i
i
Rok Žitko
[4] B. A. Bernevig, Topological insulators and topological superconductors, Princeton Uni-
versity Press, 2013.
[5] Z. F. Ezawa, Quantum Hall effects, World Scientific, 2008.
[6] T. Giamarchi, Quantum physics in one dimension, Oxford University Press, 2003.
[7] Z. Hadzibabic, P. Krüger, M. Cheneau, B. Battelier in J. Dalibard, Berezin-
skii–Kosterlitz–Thouless crossover in a trapped atomic gas, Nature, 441 (2006), 1118.
[8] F. D. M. Haldane, Nonlinear field theory of large-spin Heisenberg antiferromagnets:
Semiclassically quantized solitons of the one-dimensional easy-axis neel state, Phys.
Rev. Lett. 50 (1983), 1153.
[9] F. D. M. Haldane, Model for a quantum Hall effect without Landau levels: Condensed-
matter realization of the »parity anomaly«, Phys. Rev. Lett. 61 (1988), 2015.
[10] M. Kenzelmann, R. A. Cowley, W. J. L. Buyers, Z. Tun, R. Coldea in M. Enderle,
Properties of Haldane excitations and multiparticle states in the antiferromagnetic
spin-1 chain compound CsNiCl3, Phys. Rev. Lett. 66 (2002), 024407.
[11] K. von Klitzing, G. Dorda in M. Pepper, New method for high-accuracy determination
of the fine-structure constant based on quantum Hall resistance, Phys. Rev. Lett. 45
(1980), 494.
[12] J. M. Kosterlitz in D. J. Thouless, Ordering, metastability and phase transitions in
two-dimensional systems, J. Phys. C: Solid State Physics 6 (1973), 1181.
[13] J. M. Kosterlitz, The critical properties of the two-dimensional XY model, J. Phys.
C: Solid State Physics 7 (1974), 1046.
[14] N. D. Mermin in H. Wagner, Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in
one- or two-dimensional isotropic Heisenberg models, Phys. Rev. Lett. 17 (1966),
1133.
[15] M. Nakahara, Geometry, topology and physics, Taylor and Francis, 2003.
[16] D. R. Nelson in J. M. Kosterlitz, Universal jump in the superfluid density of two-
dimensional superfluids, Phys. Rev. Lett. 39 (1977), 1201.
[17] M. Paalanen, D. Tsui in A. Gossard, Quantized Hall effect at low temperatures, Phys.
Rev. B 25 (1982), 5566.
[18] Q. Niu, D. J. Thouless in Y.-S. Wu, Quantized Hall conductance as a topological
invariant, Phys. Rev. B 31 (1985), 3372.
[19] J. K. Pachos, Introduction to topological quantum computation, Cambridge University
Press, 2012.
[20] D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale in M. den Nijs, Quantized Hall
conductance in a two-dimensional periodic potential, Phys. Rev. Lett. 49 (1982), 405.
[21] F. Wegner, Spin-ordering in a planar classical Heisenberg model, Z. für Physik 206
(1967), 465.
[22] X.-G. Wen, Quantum field theory of many-body systems, Oxford University Press,
2004.
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
64 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2