i
i
“444-Rojko” — 2010/5/26 — 8:01 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 7 (1979/1980)
Številka 4
Strani 214–223
Roman Rojko:
TRIKOTNA ŠTEVILA
Ključne besede: matematika, teorija števil, trikotna števila.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/7/444-Rojko.pdf
c© 1980 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
TRI KOT NA šTEVILA
(Preda vanje na 17 . seminar ju DMFA SRS 1980 - Zanimi va mat ematika)
1. MNOGO KOTNA š TEVI LA
Vzemimo aritmetična zapo red ja s prvim členom 1 in razlikami 1 ,
2 , 3, . .. :
zače tek zapore dja sp l ošni čle n raz l ika
(1 ) 1 , 2, 3, 4 , 5, 6, oo . n 1
(2 ) 1, 3 , 5, 7 , 9,1 1, .. . 2n - l 2
(3 ) 1 , 4 , 7,1 0 , 13 ,1 6 , .. . 3 n- 2 3
(4) 1 , 5, 9, 13, 17,2 1, .. . 4n-3 4
in tako naprej.
Defi nicija :
n- t o de l no vs ot o p (n , r +2) r -tega za por ed j a imenujemo
r +2 - kot no š te v ilo .
Ta ko s mo d ob i l i :
( 1) tri k o t n a števil a
1, 3,6, 10,15 ,21 , .. . p (n , 3 )
(2) šti ri ko t na ( kvad r a t n a ) š t ev il a
1 , 4,9,1 6 , 25 , 36 , .. . p (n , 4 )
( 3) petkotna šte vi la
1 , 5 , 12 , 22 , 3 5 ,51 , ... p (n , 5 )
in tako na pr ej.
n (3n - l ) / 2
Spomnimo se obrazca n ( 2a l +r (n - l )) /2 za vs ot o pr vih n č l eno v
a r i t m eti čn e ga zaporedja s sp lošn i m č le nom an = a l +r (n - l ) .
Upora b i mo t o na zgo r nj i h za poredj i h in d ob imo sp lo š no f ormul o
za mnogoko tna štev i la :
p (n , r ) = n ( 2 + ( n -l )( r -2) ) /2
Ta ko so p ( n , 3 ) = t n t r ikot na štev i la, p (n , 4 )
dratna (š t irikotna) števila i n tako nap r ej .
214
k n so kva -
Poja snimo še izvor imen a mn ogokotnih št ev i l . Do njih lahk o nam
reč prid em o tudi geometri j s ko:
( 1)
•
1 = 3 1+2 6 1+2+3 10 1+2+3+4
( 2 )
•
4 1+3 9 1+3+5 16 1+3+5+7
( 3 )
•
5 1+4 12 1+4+7 22 1+4+7+1 0
in tako naprej .
Naloga 1 : Preiz kusi defini cijo š e na š es t ko t n i h š t ev i l i h .
215
2 . TRI KOTNA š TE VI LA
Tr ikotn a šte v i la smo de f i nirali s
Spomni mo se , kako je def in ira n Pas c al ov t ri kot ni k: sesta vlje n
j e iz na r avn i h štev i l : na krak i h l e ži jo e nic e , vs e os ta le vr ed
nos ti pa so en ake vs oti dv eh nad njo ležeč i h vr ed nos t i.
Oglej mo s i, kak o l ežij o tr ik ot na š te v i la v Pascalo ve m tri kot ni
ku:
enoj ke
nara vna š tev ila
t r iko t na štev i la 2
in tako nap rej.
7
4
5
6 15
2 1 35 35
5
6
2~ 7
še na en n a čin lah ko defi nir am o t r iko tna šte vi la, n amr e č z r e-
ku rzi vn o enačbo :
Na l og a 2 : Ka ko bi defini r ali t e tr a ed r s ka i n kubna š te v i la?
Oglejmo si nekaj za nimi vost i med trikotnimi š t ev i l i :
t 3 = 6, t 3 3 56 1 , t 3 3 3 = 556 1 1
sp loš no : t33333 5555 6 1111
'-.---' ~ '---v---/
n n - l n - l
t 6 21 , t6 6 2 2 1 1 , t6 6 6 2221 1 1
sp lošno : t6 6 6 6 6 22222 11111
'--..---' ~ '-....---"n n n
t 9 45, t 9 9 4950, t 9 9 9 499500
sp lošno : t9 9999 4 9999 5~
'----v---' '--v--'
n n - 1 n - l
216
2415, t 66 9 = 224 115
s plošno : t~9 222 2 4 1111 5'----y---" '-y----'
n n n
5050, t I ooo = 500500
splošno: t 10 00 0 5 000 5 000
~
" -y j '-- . .,....-
n n - 1 n - 1
5151 , t I oo1 501501
sp lo šno : t l OOOI 5 OO 15 OO 1
'----v---'
' . ~ 0, ., ~ ' --or'
n n - 1 n - 1
877 8 , t l 3 3 2 887778
sp lo šno: tl333 2 88 8 7777 8
'--...-' '--v---' '---v--"
n n n + 1
če bi bi li vztrajni, bi našli še kaj takega.
3. KVADRATNA TRIKOTNA šTEVILA
Med trikotnimi števili so tudi taka, ki so hkrati kvadr atna .
Za taka števila seveda velja zveza t n = km oziroma enačba
n (n + 1 ) = 2m2. Prvo kvadra tno trikotno število dobimo takoj;
za m = n = 1 namre č dobimo tI = kI = 1 . Naštejmo jih š e ne
kaj :
Sedaj pa se bomo potr ud ili do splo šne formule za računanje kva
dratnih trikotnih števil.
Trdite v 1 .
če za dvoje naravnih števi l u in v velja t u
tudi t3 u +4 V+ I = ( 2u+3v+1) 2
v 2 , tedaj velj a
( 3u+4v+1) (3 u+4v+ 2) /2
(9u 2+16v 2+ 24 u v +9 u+12v+ 2) / 2
9u(u+ 1)/2 + 8v 2 + 6v(2u+1) + 1
217
upošteva mo : u (u + l ) /2 t u v 2 , 9 tu = 9v 2 = V 2 + 8v 2
v 2 + 8 t u = v 2 + 4u (u+l )
v 2 + 4u( u+ l) + 8v 2 + 6v(2u+l ) +
9v 2 + ( 2u +l ) 2 + 6v(2u+l) = ( 2u + 3v + 1) 2
če še e nkr a t pogl ed am o t rd it ev 1, opa z i mo, da t a trdi t ev do lo
ča neko zapo redje števi l, ki so hkr a t i kvadrat na in trikotna.
Začnemo seveda z u = 1 , kar pomeni v = , naprej imamo
t3U + 4V+ I = ta = 36 = kG . Dobili s mo nova u in v , namreč 8 i n
6. Sedaj mi r no nada lj ujemo postopek, dok l er s e ne na v e ličamo .
Nalog a 3 : I zr a ču na j pr vi h 8 pa ro v u i n v iz zapo redja v t rd it
vi 1.
Doka ž i mo se daj še eno trdite v !
Trd itev 2 .
Za por ed j e t u ' t3U +4 V+ I
ratna t rikotna š tev i la.
iz trditve 1 vse buje vsa kvad -
Dok a z :
Re c imo , da
Naj bo tu
zapo redja,
x = 3u -4v+l
t x y2 .
obs t aja kva dra t no štev i lo izve n zgo r nje ga zapore d ja.
= v 2 na j ma nj š e t a ko š tev ilo . Ker je t I že e lement
mora biti u> 1 . Dokazal i bomo, da s ta števil i
in y = 3v -2u - l pozitivn i in ve l j a x < u in
t u v 2, u (u+l ) = 2v 2 , u 2 < 2v 2 , U < v l2 , 2u < 212 v < 3v
v > 1, 3v = 4v-v < 4v - 1 , 2u < 4v -l, 2u - ( 4v - 1) < O , torej
x = 3u -4v+ l = u + 2u - ( 4v - l ) < u , do kazal i smo x < u
Vzemi mo x ~ O, v = lu {u + 1 )7 2 , x = 3u - 4 I u{ u+ l )/2 +
x ~ O , 3u+ l ~ 41UTU+TT72 , 9u 2 + 6u + ~ 8u 2 + 8u , poe nos ta -
vimo, u 2 - 2u + 1 ~ O , ( u - l) 2 < O , to da u = 1 ; to je v
pro tislovju spredpost avko u > • Od tod sk lep : x > O
Vzem imo y ~ O , y = 3 I u{ u+1) 72 - 2u - 1 ~ O , podobno,
9u(u+ l) ~ 2(2 u+ l) 2, u 2+u ~ 2 ; to je v pr o t i sl ovju z u > 1 ,
za to velj a y > O .
2 18
upoštevamo :
pa dobimo
( 3u - 4v+1 ) ( 3u - 4v+2 ) / 2
9 (u 2+u)/2 - 12uv + 8v 2 - 6v +
t u = V 2 , 9( u 2+u)/2 » . V 2 + 4u (u+1),
t x 9v
2 + 4u 2 + 4u - 12uv - 6v + 1
( 3v - 2u - 1) 2 y 2 , dokaz je k o n č a n .
Las tn os t x < u zatrjuje, da t u ni na jma nj š e t r ikotno kvad-
ratno štev i lo iz ven zgornjega zapored ja. S tem protislo vjem je
trditev 2 do kazana .
Mis limo s i kvadratna tr ikotna š t ev i l a razvrš čena v naraščajo­
če m zaporedju . Na j bo n - t o štev ilo v t em zapo red j u hkr a ti
x n - t o tr ikotno š tev i lo t Xn in Yn - t o kvadr atna štev i lo kYn :
Iz obeh trditev vid imo:
X l = YI
xn+l 3xn + 4Yn + Yn+l = 2x n + 3Yn + 1
Obrazca za x n in Yn nam dajeta naslednji i zre k
Izrek .
Kvadratna trikotna š tevila s o zbrana v zaporedju, ki ga dol oč~
jo formu le:
Yn
~ (( 12 + 1) n - (IZ - 1) n) 2
1 ((3 + 2/Z) n - (3 -212 )n )
41Z
Dokaz :
Upo ra bi li
l j a , saj
izre k za
bomo p op o l.no indukcijo . Za n = 1 i z r e k goto vo ve-
i ma mo tedaj t I = 12 Do ka zati moramo še, da ve lja
n+1 , če velja za n
Xn"+l = 3x n + 4Yn + 1 , 4x n+1 = 3( ( 1Z + 1) n - ( IZ - 1}n)4
+ 21Z (( 12 + 1) 2n - (12 - 1) 2n) + 4
up ošte va li smo: ( IZ + 1) 2 = 3 + 212, (12 - 1) 2 = 3 - 212
21 9
upošte va li pa bomo še : (12 - ))(12 + 1)
t e nco ) . Po kr ajš em r a č u n u dobi mo :
(na pol j ubno po-
1 ((/2 + 1 ) n +1 - (IZ - 1) n+ l ) 2; na t o izr a ču n amox n + l "4
+ 1 ((12 + 1 ) n+ 1 + ( IZ - 1) n+ 1 ) 2 , upoštevamox n + l "4 osno vno
enačbo : 2 t Xn + 1
= Xn +1 ( Xn+ 1
+ 1) 12 =Yn +1
(_1_ ( 3 + 2/2 ) n+
1 1 ( 3 - 2/2) n+l) 2
412 4/2
Tako smo iz r ek doka zal i. Zan imi vost t eh f ormul je med drugi m
t udi v tem , da s o števi la x n i n Y n zmeraj nar avna, čeprav na-
stopajo v izrazih ulomki in koreni .
Naloga 4 : Izračuna j nekaj vr ed nos t i Xn i n Yn i n ji h primerjaj
z vr edn os tmi iz na loge 3 .
Nal oga 5 : Dokaži, da s ta štev i l i 480 24 900 i n 16314 3 28 81 t ri-
kotna kvadrata .
Omenimo še , da so pri sodem n štev i la
t i, pri l i hem n pa so Xn i n ( x n + 1)/2
4 . RELA CIJE MED TRI KOTNIMI š TEVI LI
x n l2 i n
kvad rati .
kvadra -
1) Nikomahova identiteta :
dve zap oredni tri kotni števi 1i sestav -
ljata kvadrat :
t n + t n +1 = ( n + 1 ) 2
O t em se z l a hka p repričamo tudi a l ge -
brajsko . Pr i mer: t 3 + t 4 = 4 2
22 0
2 ) PZutarhova identiteta
8t n + 1 ( 2n + 1) 2
Pri mer:
Na Zoga 6 : S pomocJo de fini ci je za tri kot na š t ev i l a do kaži Ni -
komahovo in Pl utarh ovo ide ntite to .
3) PospZo ši t ve Nikomaho ve i d en t ite t e :
zaht ev a j o sa mo ma lo v e č de la. Pokaž i mo sa mo z a čet ek :
2 (n+1) (n+2 )+1
vz amemo en ačb i t + t = (n+1 ) 2n n+1
t +2t +t = n 2+2n+1+n 2+4n+4
n n+ I n+2
t n+t n+2 = 4t n+1- 2t n+1+ 1 = 2 t n+1 +
in t + tn+I n+2 (n+2 ) 2
4 t + 1n+1
Na prej ne bomo rač una li . Zap išimo sa mo rez ultat:
(n + k ) 2 + 2 t
k
_
1
Ce v teh ena čb ah vst a v imo n
t 2k - 1 = k
2 + 2 t k _1
t 2k = k
2 + 2 t k
o , dob i mo zna no l a stn os t:
Vsa ko trik otn o š te v i l o s e da t or e j iz raz i ti kot vs ot a kvadra ta
i n dvakra t nika ne kega trikotn ega š te v i l a . Sl ika bo t o še l ep -
š e pokazal a :
22 1
_ t s
Če vzam emo v Nikomahov i ide ntiteti bol j sp lo šne č le ne, do bimo
pra vokotniško obl iko teh ena č b:
Pokaž i mo t o na s l i ki: •
Le t a 1836 j e Casin e l li izpeljal identiteti :
t n+k +1 = t n + t k + (n+l) ( k+ 1)
t n - k = t n + tk - k (n +l )
4) Identite te z ob l iko t a + t b = t e
Sierpinski je pokaza l, da obs t a j a neskončno mnogo par ov tr ik o!
nih štev il, ki i ma j o trikotno vs oto. Doka z je pr av prepro st .
V enačbo tk = k + t k - 1 vsta vimo t n na me s to i nde ks a k , pa do -
bimo:
222
5 . PA LI NDROMNA TRI KOT NA š TEV ILA
Pa l in dromna števil a so ta ka, da se na prej ber e j o enako kot na-
zaj . Med pr v i mi 151340 t ri ko t ni mi števi li je 27 pa lind romnih .
Leta 1973 j ih j e v r eviji J ourn al of t he Recrea t ion a l Mathe-
mat i cs r azkaza l Tr ig g. Skor aj za nes l j i vo j i h je do bi l z ra č u ­
nalni kovo p om o čj o. Ogle jmo s i jih še mi !
n t n t n tn n n
1 1 109 5995 3185 5073705
2 3 132 877 8 3369 5676765
3 6 173 15051 3548 6295926
10 55 363 66066 8382 35133153
11 66 1111 6177 16 11088 61477416
18 17 1 1287 828828 1890 6 178727871
34 595 1593 1269621 57 166 1634004361
36 666 1833 1680861 102849 5289009 825
77 3003 2662 3544453 111111 617288 2716
š te vila t l o 9 ' t l l l l , t2662 i n tS 7 166 imajo enako štev i l
s ko vsoto, namreč 28 . Trem števi lom pripada l a s tn os t , da imajo
enaka mes t a : 55, 66,666. Edi ni dvojn i pa lindrom j e 828828.
Tr i števi la s o pa l i ndro mi z vrh om (mesta mono t ono n a r a š č a j o do
nekega me st a, na t o monot ono pada jo ) : 171, 595 , 1269621. Tri
š te v i la so valov i t a ( za por ed n i mesti sta ve č ji in manj ši od s o
s ed nji h): 15O51, 5O737 O5, 6295926.
števi la t j> t 2 , t I O ' t l 8 ' t3 4 ' t l 0 9 ' t 8382 i ma j o sama lih a
mesta. š tevi la t 3 , t l I ' t 3 6 ' t 3 6 3 ' t 1 28 7 imajo s ama so da me -
sta. Pr i številih t l32 ' t 3 3 6 9 i n t2 6 6 2 so r a zli č n a sosed -
nja mesta tu di sose dn ja naravna števi la.
Roman Roj ko
223
REŠiTVE NALOG
TRIKOT NA š TEVI LA - rešitve na log s str. 214
1) A r itmet ično zap oredje, iz kat e r ega dobi mo šestkotna š te vi la ,
je že napisa no v točki (4) v uvod u č l a n k a . števi la p (n , 6 )
so de fi nira na t a kol e:
p (n , 6 ) = n ( 4n - 2 ) /2
zaporedje š est kotni h š te v i l pa se zač n e z
1,6,1 5 , 28 ,4 5 , 66,91 ,1 20 , .. .
2) Tet r aedrsko število do bi mo tako , da se š t e jem o prvih nekaj
tr iko t ni h š te v i l . Pred s t avlja jmo si srednje ve š ke to povs ke
kro gle zl ožene v t ri s t r an o pir amid o. V nje j j e r avno za te-
t ra ed r s ko števi lo kro ge l . Ogle jmo s i nekaj te h š te v i l :
1 , 4 = 1+ 3 , 10
20 = 1 + 3 + 6 + 10 ,
1 + 3 + 6
35 + 3 + 6 + 10 + 15
n- t o kubno š tev i lo pa dob i mo t a ko , da n- t o kvadra tna štev i-
lo n- kr a t se štej emo. Tako je n 3 spl oše n obraz ec za kubna
šte vi la .
3), 4) i n 5 )
u 8 49 288 168 1 9800 57121 3329 28 x n
v 6 35 204 1189 6930 40391 23541 6 Yn
6 ) t n (n +l ) / 2 , t n+1 (n+l)( n+2) / 2n
252
8t + 1
n
(n 2 + n + n 2 + 3n + 2 ) /2
n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2
4n( n+l) + 1
4n 2 + 4n + 1
(2n + 1) 2
( 2n 2 + 4n + 2 )/2
Roman Rojko