i i “1593-Semrl-Linearne” — 2010/8/31 — 11:10 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 32 (2004/2005) Številka 4 Strani 9–12 Peter Šemrl: LINEARNE PRESLIKAVE RAVNINE IN 2 x 2 MATRIKE Ključne besede: matematika, linearna algebra, matrike, preslikave ravnine. Elektronska verzija: http://www.presek.si/32/1593-Semrl.pdf c© 2005 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez po- prejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. 9 MATEMATIKA Linearne preslikave ravnine in 2 2 matrike \ Uvod Ta sestavek je namenjen dijakom srednjih šol, ki že pozna- jo vektorje. Ob reševanju uporabne matematične naloge se bomo seznanili z osnovnimi idejami linearne algebre. Denimo, da ravnino, opremljeno s pravokotnim koordinat- nim sistemom, najprej zavrtimo okoli izhodišča za kot 30° v pozitivni smeri, jo nato pravokotno projiciramo na premico y = 2x, potem jo prezrcalimo čez simetralo drugega in četr- tega kvadranta ter jo na koncu še zasukamo okoli izhodišča za pravi kot v negativni smeri. Kje konča točka (x,y), ko opravimo vse štiri opisane transformacije? Zakaj bi sploh reševali tako zapletene naloge? Pri računal- niških igricah je pogosto potrebno zarotirati sliko na zaslonu okoli neke središčne točke ali pa jo prezrcaliti preko pre- mice, ki poteka skozi to središčno točko. Včasih nam koristi tudi projiciranje prostora (ki je na zaslonu predstavljen rav- ninsko) na kakšno steno (ki je na sliki predstavljena z daljico, ta daljica pa seveda določa premico). In seveda je pogosto potrebno izvesti več takih transformacij zaporedoma. Kaj se potem zgodi s sliko na zaslonu? Pri iskanju odgovora na tako vprašanje nam pomaga, če vemo, kaj se zgodi z vsako točko na zaslonu. To pa pomeni, da moramo rešiti nalogo, podobno zgoraj zastavljenemu problemu. S sorodnimi ma- tematičnimi problemi se srečujejo sestavljalci programske opreme, namenjene arhitektom, oblikovalcem, prodajnim salonom pohištva. Tako kot pri vsaki zahtevnejši matematični nalogi bomo tudi svoj uvodni problem razbili v manjše, lažje obvladljive nalo- ge. Vprašali se bomo, kaj se zgodi s poljubno točko (x,y) pri rotaciji ravnine okoli izhodišča za kot {, kaj se zgodi s točko pri zrcaljenju preko premice, ki poteka skozi izhodišče, in še kam se preslika točka (x,y) pri pravokotnem projiciranju na premico skozi izhodišče koordinatnega sistema. Pri tem bomo opazili nekatere podobnosti med navedenimi različni- mi problemi in te podobnosti izkoristili pri njihovem reševa- nju. To nas bo pripeljalo do osnovnih idej linearne algebre. Končali bomo z nekaj opombami o možnih posplošitvah na trorazsežni prostor in višje dimenzije. \ Matrike V tem poglavju si bomo pripravili orodje, ki bo poenostavilo računanje pri reševanju zastavljenega problema. Matrika je tabela števil. Oglejmo si najprej nekaj primerov: 0 1 0 1 1 3 1 2 , 0 0 1 1 , 7 3 . π 0 –1 2 2 1 1 0 0 1 1 Prva matrika ima dve vrstici in tri stolpce, druga štiri vrsti- ce in štiri stolpce, zadnja pa eno samo vrstico in dva stolpca. Rečemo, da je velikost prve matrike 2 × 3, drugi matriki rečemo 4 × 4 matrika, zadnji pa 1 × 2 matrika. V tem članku bomo večinoma potrebovali 2 × 2 in 2 × 1 matrike. Matrika velikosti 2 × 2 je tabela štirih števil, raz- porejenih v dve vrstici in dva stolpca: a11 a12 . a21 a22 Število aij imenujemo (i, j )-ti člen matrike. Prvi indeks pove, v kateri vrstici leži ta člen, drugi pa v katerem stolpcu. Matrika x y Presek 4-n6.indd 9 2/9/2005 14:19:43 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 10 Slika 2. Slika 3. Slika 4. 0 r 2r R{(2r ) 0 2R{r R{r { r je 2 × 1 matrika s členoma x in y. Taki matriki bomo rekli tudi matrični stolpec. \ Linearne preslikave ravnine Naj bo ravnina R opremljena s pravokotnim koordinatnim sistemom. Potem vsaki točki T v ravnini pripada urejen par koordinat (x,y). V okviru tega sestavka bomo namesto obi- čajnega zapisa (x,y) koordinati točke T vedno pisali v ma- tričnem stolpcu x y . Vektor r z začetno točko v izhodišču koordinatnega sistema in končno točko T imenujemo kra- jevni vektor točke T. Koordinati tega vektorja sta xy (glej sliko 1). Slika 1. Najprej obravnavajmo rotacijo ravnine za kot { okoli koordi- natnega izhodišča. Pri tej rotaciji se točka T s koordinatama x y transformira v točko T ’ s koordinatama x' y' . Ponavadi si ravnino predstavljamo kot množico točk. Mi pa jo raje obra- vnavajmo kot množico ustreznih krajevnih vektorjev. Potem je rotacija ravnine za kot { okoli koordinatnega izhodišča trans- formacija, ki vsak krajevni vektor zasuka za kot { (slika 2). Označimo to rotacijo z R { . Potem pišemo R { r = r ' ali R { x y = x' y' . Vektor r najprej podaljšamo s faktorjem 2 in ga potem zavrtimo za kot { (slika 3). Dobimo enak rezultat kot v primeru, ko vektor r najprej za- vrtimo za kot { in ga potem podaljšamo s faktorjem 2 (slika 4). V prvem primeru smo najprej vektor r transformirali v vek- tor 2r in potem po zasuku dobili vektor R { (2r ). r T(x,y) 0 0 r r ' T T ' { MATEMATIKA Presek 4-n6.indd 10 2/9/2005 14:19:44 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 11 domestimo z nasprotnim vektorjem (slika 6). Zato velja R{ (–r ) = –R{r za vsak vektor r . Za vsak vektor r pa je res tudi R { (0r )=0=0R { r . S tem smo dognali, da formula (1) velja za vsako realno število t in vsak vektor r . V naslednjem koraku pa premislimo, kako rotacija deluje na vsoto vektorjev r + s . Vektorja r in s naj- prej seštejemo in potem njuno vsoto zavrtimo okoli izhodišča za kot { (slika 7). Slika 7. Slika 8. V drugem primeru pa smo v prvem koraku prišli do vektorja R { r in tega potem podaljšali do vektorja 2R { r . Ker smo obakrat dobili isto, velja R{ (2r ) = 2R{r . Namesto s skalarjem 2 bi lahko vektor pomnožili s katerimkoli pozitivnim skalarjem t in z enakim raz- mislekom ugotovili, da velja R{ (tr ) = t (R{r ). (1) Vektor r najprej nadomestimo z nasprotnim vektor- jem in potem tega zavrtimo za kot { (slika 5). Slika 5. Slika 6. Dobimo enak rezultat kot v primeru, ko vektor r naj- prej zavrtimo za kot { in potem dobljeni vektor na- 0 R{r r –R{r 0 { r –r R{(–r ) 0 r { r+s s R{(r +s) 0 R{r r s R{r+R{s R{s MATEMATIKA { Presek 4-n6.indd 11 2/9/2005 14:19:45 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC 12 Slika 10. Slika 11. Slika 12. Dobimo enak rezultat kot v primeru, ko najprej za- vrtimo vektorja r in s in potem zavrtena vektorja seštejemo (slika 8). Ugotovili smo, da za poljubna vektorja r in s velja R { (r +s )=R { r +R { s . Transformacijo A : R R imenujemo linearna presli- kava, če za vsako realno število t in vsak par vektor- jev r in s velja A(t r )= t (Ar ) in A(r +s )=Ar + As Pravkar smo ugotovili, da je rotacija za kot { okoli izhodišča linearna preslikava. Naj bo dana premica p, ki poteka skozi izhodišče koordinatnega sistema. Označimo z Zp transformacijo ravnine, ki vsako točko prezrcali preko premice p. Slika 9 in slika 10 nas pre- pričata, da je tudi Zp : R R linearna preslikava. Slika 9. In končno naj bo Pp : R R transformacija, ki vsa- ko točko ravnine pravokotno projicira na premico p. Tudi to je linearna transformacija ravnine (slika 11 in slika 12). Peter Šemrl MATEMATIKA r Zpr s r+s Zps Zpr+Zps=Zp(r+s) p 0 0 tr r p Ppr tPpr=Pp(r+s ) 0 r+s r s Ppr +Pps =Pp(r+s ) p 0 tr r p Zpr tZpr =Zp(tr) Presek 4-n6.indd 12 2/9/2005 14:19:46 Process Cyan Process Magenta Process Yellow Process Black PANTONE Process Magenta CVC PANTONE 312 CVC