DEFORMACIJSKA ANALIZA PO POSTOPKU HANNOVER dr. Tomaž Ambrožič * Izvleček KLJUČNE BESEDE: deformacijska analiza, postopek Hannover, računski primer, računalniški program V članku je opisan postopek Hannover, ki je eden izmed postopkov deformacijske analize. Z uporabo statističnih metod in na osnovi geodetskih opazovanj določimo nastale prostorske premike točk opazovanega objekta. Podani so rezultati testnega primera, izračunanega z računalniškim programom. Abstract 38 KEYWORDS: deformation analysis, Hannover approach, numerical example, computer program Deformation analysis after the Hannover approach Hannover approach, which is one of the methods of the deformation analysis, is presented in the article. Based on geodetic observations, space displacements of the surface are determined by statistical methods. A numerical example, computed with computer program, shows the effectiveness of the presented method. 1. UVOD Deformacijska analiza je postopek, ki na osnovi geodetskih opazovanj odkrije in določi nastale prostorske premike točk fizične površine Zemlje z metodami statistične analize. Postopek Hannover je razvil H. Pelzer na Geodetskem inštitutu Univerze Hannover v Zvezni republiki Nemčiji (Dupraz et al., 1979). 2. POSTOPEK HANNOVER Bistvo postopka Hannover je ugotavljanje stabilnosti točk v geodetski mreži, ki jo izračunamo na osnovi srednjega neujemanja med dvema neodvisnima izmerama. Na podlagi srednjega neujemanja določimo morebitne premike točk mreže. Geodetski vestnik 45 / 2001 - 1& 2 FGG - Oddelek za geodezijo, Ljubljana Postopek lahko razdelimo na šest korakov: • izravnava opazovanj posameznih izmer z analizo natančnosti, odkrivanje morebitnih grobih pogreškov med opazovanji in transformacija izravnanih koordinat posamezne izmere v identičen datum, • testiranje homogenosti natančnosti opazovanj v dveh izmerah, • globalni test stabilnosti točk mreže v dveh izmerah, • testiranje stabilnosti osnovnih točk, • postopek določitve nestabilnih osnovnih točk in • testiranje premikov točk na objektu. Pri opisovanju postopka uporabljamo v matematičnih izrazih enake oznake, kot jih je uporabil avtor postopka. 2.1 Izravnava opazovanj posameznih izmer z analizo natančnosti, odkrivanje morebitnih grobih pogreškov med opazovanji in transformacija izravnanih koordinat posamezne izmere v identičen datum V prvem koraku moramo opazovanja izravnati v prosti mreži za vsako izmero posebej in izračunati analizo natančnosti. Predpostaviti moramo, da opazovanja med izmerama niso korelirana. Ugotoviti moramo prisotnost morebitnih grobih pogreškov med opazovanji in jih odstraniti. Če v izmerah nimamo samo identičnih točk, moramo transformirati izravnane koordinate posamezne izmere v datum, ki ga definirajo identične točke. 39 Opazovanja v posamezni izmeri izravnamo v prosti mreži. To pomeni, da mora biti poleg minimalne vsote kvadratov popravkov opazovanj v T = min. minimalna tudi vsota kvadratov popravkov približnih vrednosti neznank XXJx^ = min . Indeks i označuje posamezno izmero. Postopek odkrivanja grobih pogreškov med opazovanji temelji na posredni izravnavi opazovanj v geodetski mreži. Grobo pogrešeno opazovanje lahko določimo po Baardovi, Popovi, danski ali ustrezni drugi metodi (Caspary, 1988). Eliminacijo koordinatnih neznank neidentičnih točk pa lahko opravimo s transformacijo S (Mierlo, 1978). Geodetski vestnik Rezultat prvega koraka sta torej ocenjena vektorja koordinatnih neznank identičnih točk xx^ in a posteriori referenčna varianca enote uteži SS za posamezno izmero. 2.2 Testiranje homogenosti natančnosti opazovanj v dveh izmerah Na osnovi rezultatov izravnave opazovanj v posamezni izmeri izračunamo a posteriori referenčni varianci enote uteži. Pri ugotavljanju homogenosti natančnosti opazovanj v dveh izmerah uporabimo testiranje naslednje hipoteze (Ašanin, 1986, Dupraz et al., 1979, Mihailovič et al., 1994, Niemeier, 1985): H0: £(ct2,) = ) = 022 homogenost natančnosti opazovanj v dveh izmerah in (1) H^^^ al nehomogenost natančnosti opazovanj v dveh izmerah. (2) Tvorimo testno statistiko r = -^zaČTo>ao oziroma (3) 40 T =- (3a) ki se porazdeljuje po porazdelitvi F s f, in f2 prostostnimi stopnjami, kjer je: f, = n, - f, ... število nadštevilnih opazovanj v posamezni izmeri, Uj... število opazovanj v posamezni izmeri, r^ = rang A, = u, - d^, ui... število koordinatnih neznank (orientacijske neznanke smo odstranili z redukcijo enačb popravkov!) v posamezni izmeri, d, ... defekt datuma = defekt ranga matrike N, v posamezni izmeri. Če je testna statistika manjša ali enaka kot kritična vrednost pri izbrani stopnji značilnosti testa a potem ne moremo zavrniti ničelne hipoteze (1), ki pravi, da sta natančnosti opazovanj v dveh izmerah homogeni. Če je testna statistika večja od kritične vrednosti pri izbrani stopnji značilnosti testa a Geodetski vestnik 0 potem zavrnemo ničelno hipotezo (1). To pomeni, da natančnosti opazovanj v dveh izmerah nista homogeni. Če ne zavrnemo ničelne hipoteze (1), izračunamo boljšo oceno za a posteriori referenčno varianco enote uteži, ki predstavlja homogenost natančnosti opazovanj dveh izmer, po naslednji enačbi .2 _ vTPll. V1 + vTPll2 v2 _ + f2'S02 v + v P v / ir^. + ^ ITT. (4) r r f. + f0 f _ f. + f0... skupno število nadštevilnih opazovanj v obeh izmerah. Ta ocena vsebuje informacijo o natančnosti opazovanj v obeh izmerah. Če ničelno hipotezo (1) zavrnemo, ne izračunamo ocene za a posteriori referenčno varianco enote uteži (4) in deformacijsko analizo prekinemo. 2.3 Globalni test stabilnosti točk mreže v dveh izmerah 41 Ta korak bi lahko imenovali tudi testiranje skladnosti geodetske mreže (Ašanin, 1986, Dupraz et al., 1979, Mihailovič et al., 1994, Niemeier, 1985). Stabilne točke so tiste, ki niso spremenile svojega položaja v časovnem intervalu med dvema izmerama. Koordinate stabilnih točk dveh izmer se lahko razlikujejo med seboj le za vrednosti, ki so manjše od natančnosti določitve koordinat. Stabilnost točk določimo s testiranjem naslednje hipoteze: H0: ^(x.) _ £(x0) koordinate točk se med dvema izmerama niso spremenile in (5) Hl: E(xl) ^ E(^o) koordinate točk so se med dvema izmerama spremenile (6) oziroma H0: E(d) _ 0 in (5a) H.: E(d) ^ 0, (6a) kjer je: XX;... vektor ocenjenih koordinat posamezne izmere in Geodetski vestnik 42 d = Xj - Xj... vektor koordinatnih razlik. Matriko kofaktorjev koordinatnih razlik izračunamo z naslednjo enačbo: Qdd = Qi,i, + Qi2 = (AjF„j Aj)+ + (AT p„ 2 A2)+ , kjer je: Qx,x, = (AJPj^A; )+... psevdoinverzija matrike normalnih enačb posamezne izmere. Oceno za a priori referenčno varianco enote uteži s2 , ki jo označimo s 0 2 , lahko izračunamo iz vektorja koordinatnih razlik in pripadajoče matrike kofaktorjev. Ta ocena vsebuje informacijo o premikih točk. 0 2 je neodvisna od cj;; , ki jo izračunamo z enačbo (4). Oceno 0 2 imenujemo srednje neujemanje in jo izračunamo z naslednjo enačbo: 02 = d^, (7) kjer je: Q+d... psevdoinverzija matrike kofaktorjev koordinatnih razlik in h = rang Qdd = rang (Qxixj + Qx2x2) = rang Qxixj = rang Qx2x2 = «- d = r, saj imamo identično obliko mreže v obeh izmerah (število linearno neodvisnih vektorjev matrike Qdd ). Tvorimo testno statistiko 02 (8) T ^TT , cJo ki se porazdeljuje po porazdelitvi F s h in f prostostnimi stopnjami. Če je testna statistika manjša ali enaka kot kritična vrednost pri izbrani stopnji značilnosti testa a T < Fh,f,j-a , potem ne moremo zavrniti ničelne hipoteze (5), ki pravi, da se koordinate točk med dvema izmerama niso spremenile. Če je testna statistika večja od kritične vrednosti pri izbrani stopnji značilnosti testa a T > Fh,f,1-a , potem zavrnemo ničelno hipotezo (5). To pomeni, da so se koordinate točk med dvema izmerama spremenile, v mreži imamo tudi nestabilne točke. Geodetski vestnik Rečemo lahko, da mreži nista kongruentni (skladni). Premike točk ne moremo razložiti kot slučajna odstopanja zaradi pogreškov opazovanj, ampak kažejo na to, da imamo opraviti s statistično značilnimi premiki točke, dela mreže ali cele mreže. 2.4 Testiranje stabilnosti osnovnih točk Če zavrnemo ničelno hipotezo (5), pomeni, da imamo v mreži tudi nestabilne točke. Te točke moramo določiti (Ašanin, 1986, Dupraz et al., 1979, Mihailovič et al., 1994). Razdelimo vektor koordinatnih razlik d na dva dela: na vektor koordinatnih razlik osnovnih točk d^ in vektor koordinatnih razlik točk na objektu d«: d = (9) Na enak način razdelimo pripadajočo matriko kofaktorjev koordinatnih razlik: Q+d = Pdd P P ss so PP os oo Tvorimo kvadratno formo dTQ+dd z izrazoma (9) in (10): dTPddd = dT (10) (11) "Pss Pso ds Pos Poo _ _do _ Pomnožimo vektorja in matriko med seboj dTR,,d = |dT P + dTP dTP + dTP in d'R„d = d'P d + d'P d + d'P d + d'P d dd s ss s o os s s so o o oo o 43 Dobljeno enačbo preuredimo tako, da upoštevamo PTs = Pso. d Pddd = dTPssds + 2dTPsodo + dTPoodo . (12) Kvadratno formo (11) pa lahko razcepimo na dva statistično neodvisna dela: (13) dTPddd = dTPssds + dTPoodo , Geodetski vestnik o o kjerje: do = do + PoOPosds in (14) Pss = Pss - PsoPoO'Pos (15) Dokažimo, da sta kvadratni formi (12) in (13) enaki. Vstavimo v enačbo (13) izraza (14) in (15) dTR„d = dT(P - P P-1P )d + (d + P-1P d )TP (d + P-1P d ) Transponirajmo člene v oklepaju zadnjega seštevanca in upoštevajmo, da je zaradi simetričnosti (P^-^l)^ = P,-) ter Pos = Pso: dTPddd = dT (Pss - PsoPoo'Pos)ds + (dT + dTPsoP;:)Poo(do + Poo'Posds) . Pomnožimo člene med seboj dTPddd = dTPssds - dTPsoP^o'Posds + 44 + d'P d + d'P P-lP d + d'P P-lP d + d'P P-lP P-lP d o oo o o oo oo os s s so oo oo o s so oo oo oo os s in upoštevajmo, da je PooPo-' = Po"o'Poo = E : dTPddd = dTPssds - dTPsoPoo'Posds + dTPoodo + dTPosds + dTPsodo + dTPsoPo-'Posds . Drugi in šesti seštevanec se odštejeta in peti seštevanec je enak četrtemu. Tako dobimo enačbo dTPddd = dT Pssds + dTPoodo + 2dT Psodo, ki je enaka enačbi (12). S tem je dokaz o enakosti (12) in (13) zaključen. Razcepljena kvadratna forma (13) je sestavljena iz dveh delov. Prvi del predstavlja neujemanje osnovnih točk, drugi del pa neujemanje točk na objektu. Srednje neujemanje samo za osnovne točke izračunamo, podobno kot (7), z naslednjo enačbo: 2 dTP d (16) A^ _ s^s ^ ' s ^s kjer je: h^ = rang Pss. Tvorimo testno statistiko T = , Fhs f,i-a , potem zavrnemo ničelno hipotezo (5), kar pomeni, da so se koordinate osnovnih točk med dvema izmerama spremenile. V tem koraku še nismo mogli določiti, katera osnovna točka ni stabilna. To naredimo v naslednjem koraku. 2.5 Postopek določitve nestabilnih osnovnih točk Ko v prejšnjem koraku zaključimo, da imamo med osnovnimi točkami tudi take, ki so se premaknile, moramo te točke določiti. Pomagamo si tako, da razdelimo vektor koordinatnih razlik osnovnih točk ds na dva dela (Ašanin, 1986, Dupraz et al., 1979, Mihailovic et al., 1994, Niemeier, 1985): ds = d F d . (18) kjer je: dF... vektor koordinatnih razlik osnovnih točk, za katere predpostavimo, da so stabilne in dß ... vektor koordinatnih razlik osnovne točke, za katero preverjamo, ali se je premaknila. Na enak način razdelimo pripadajočo matriko kofaktorjev koordinatnih razlik osnovnih točk: Pss = PFF PFB PBF PBB (19) Tvorimo kvadratno formo dT Pssds 45 Geodetski vestnik in jo razcepimo na dva statistično neodvisna dela, podobno kot smo storili pri (13): dT "Pssds = d ^ + dTp,,d,, (20) kjer je: dß = d^ + P^^^P^fd^ in PFF = PFF PFBPBBPBF ■ Razcepljena kvadratna forma (20) je sestavljena iz dveh delov. Prvi del predstavlja neujemanje osnovnih točk, za katere smo predpostavili, da so stabilne. Drugi del pa predstavlja neujemanje osnovne točke, za katero preverjamo, ali se je premaknila. 46 Srednje neujemanje izračunamo za vsako osnovno točko, za katero preverjamo, ali se je premaknila, podobno kot (7), z naslednjo enačbo: dB, PBB, dBj i (J = 1,2,K ,k), (21) kjer je: hB, = rang Vbb. = m, m... število koordinat točke J (za enorazsežno mrežo je m=1, za dvorazsežno mrežo je m=2) in k ... število osnovnih točk, za katere smo predpostavili, da so se premaknile. Določitev nestabilnih točk opravimo po naslednjem postopku. • V prvem izračunu 0 2 (21) postavimo koordinatni razliki prve osnovne točke, za katero preverjamo, ali se je premaknila, v vektor dB. Koordinatne razlike vseh drugih k - 1 osnovnih točk postavimo v vektor dF. • Izračun srednjega neujemanja (21) ponovimo še k - 1-krat. • Poiščemo največje srednje neujemanje q^ax = max 02 (J = 1,2,K ,k) in za točko, na katero se to neujemanje nanaša, privzamemo, da je nestabilna. To točko prestavimo iz seznama osnovnih točk, za katere smo predpostavili, da so stabilne, v seznam nestabilnih točk oziroma točk na objektu. • Izračunamo še srednje neujemanje, podobno kot (7), z naslednjo enačbo: 02 _ dFPff d F (22) Geodetski vestnik h B, Rest h F kjer je: hp _ rang PFF _ h - m. »Tvorimo testno statistiko T _ qRest ki se porazdeljuje po porazdelitvi P s hpin fprostostnimi stopnjami. Če je testna statistika manjša ali enaka kot kritična vrednost pri izbrani stopnji značilnosti testa a T < P T - Php, f.1-a , potem ne moremo zavrniti ničelne hipoteze (5), ki pravi, da se koordinate vseh ostalih k - . osnovnih točk med dvema izmerama niso spremenile. Postopek določitve nestabilnih točk torej prekinemo. Če je testna statistika večja od kritične vrednosti pri izbrani stopnji značilnosti testa a T > P hp. f ..-a ' potem zavrnemo ničelno hipotezo (5), kar pomeni, da je med k - . osnovnimi točkami, za katere smo predpostavili, da so stabilne, vsaj še ena nestabilna. Postopek določitve nestabilnih točk moramo torej še najmanj enkrat ponoviti. 47 2.6 Testiranje premikov točk na objektu Testiranje premikov točk na objektu opravimo tako, da razdelimo vektor koordinatnih razlik d na dva dela. Prvi del je vektor koordinatnih razlik osnovnih točk dP, ki smo jih v prejšnjem koraku določili kot stabilne. Drugi del pa je vektor koordinatnih razlik točk na objektu in tistih, ki smo jih v prejšnjem koraku določili kot nestabilne do (Ašanin, 1986, Dupraz et al., 1979, Mihailovič et al., 1994): d _ d. (24) Na enak način razdelimo pripadajočo matriko kofaktorjev koordinatnih razlik: Q+d _ Pdd PPP PPo ^op Poo. (25) Srednje neujemanje samo za točke na objektu izračunamo, podobno kot (7), z naslednjo enačbo: Geodetski vestnik 0 d p a2 _ dJP00dO qo _-0-, kjer je: do _ do + POOPofdF in h0 _ rang P00 ... število elementov vektorja d^. (26) (27) 48 Tvorimo testno statistiko T _ (28) ki se porazdeljuje po porazdelitvi F s ho in f prostostnimi stopnjami. Testna statistika bi morala biti vedno večja od kritične vrednosti, saj testiramo nestabilne točke in točke na objektu. Če je torej testna statistika večja od kritične vrednosti pri izbrani stopnji značilnosti testa a T > F h0, f.l-a ' potem zavrnemo ničelno hipotezo (5), kar pomeni, da so se koordinate nestabilnih točk in točk na objektu med dvema izmerama spremenile. 3. PRIBLIŽNI POSTOPEK DOLOČITVE NESTABILNIH OSNOVNIH TOČK Če so premiki točk na objektu veliki glede na natančnost določitve točk, potem ni potrebno opraviti detajlne analize premikov točk na objektu z globalnim testom stabilnosti točk mreže med dvema izmerama in postopkom določitve nestabilnih osnovnih točk (Ašanin, 1986, Dupraz et al., 1979). V tem primeru je dovolj, če uporabimo primeren približni postopek. Tak postopek je "razmerje signal - šum". Uporabimo ga kot mero za statistično značilne_premike točk. Določiti moramo standardno odstopanje vsakega elementa d0 , vektorja d0 : (29) in kjer je: 'jj ... pripadajoči element matrike P0-0 . Če je d0 petkrat večji kot pripadajoče standardno odstopanje (29), privzameim o, da se je koordinata točke statistično značilno premaknila. Geodetski vestnik s2 0 0 4. RAČUNSKI PRIMER Uporabo postopka Hannover želimo prikazati na primeru. Uporabimo primer iz literature (Mihailovič et al., 1994). Skico mreže prikazujemo na sliki 1. V ta namen smo pripravili računalniški program DAH (Deformacijska Analiza Hannover). MERILO MREŽE 0 200 400 m MERILO HORIZ. PREMIKOV 1_I_I Slika 1: Skica mreže Izravnavo opazovanj v posameznih izmerah z analizo natančnosti, odkrivanje grobih pogreškov med opazovanji in transformacijo izravnanih koordinat posamezne izmere v identičen datum in tako pripravo vhodnih podatkov za deformacijsko analizo po postopku Hannover s programom DAH izvedemo s programom ViM (Ambrožič et al., 1999) ali RaM (Ambrožič et al., 1997) ter Str (Ambrožič, 1999). S programom DAH pa opravimo testiranje homogenosti natančnosti opazovanj v dveh izmerah, globalni test stabilnosti točk mreže v dveh izmerah, testiranje stabilnosti osnovnih točk, izvedemo postopek določitve nestabilnih osnovnih točk in nazadnje opravimo testiranje premikov točk na objektu. 49 Vhodne podatke za izravnavo s programom RaM podajamo v preglednici 1. Točka y[m] x[m] 1 1000,0 1000,0 2 2000,0 1000,0 3 2600,0 1900,0 4 2200,0 2500,0 5 1200,0 2600,0 6 400,0 1600,0 7 1500,0 1800,0 Preglednica 1a: Seznam približnih koordinat točk mreže Geodetski vestnik Preglednica 1b: Seznam opazovanih smeri in dolžin obeh izmer 50 Točka 1. izmera 2. izmera Od do Opazovana smer Dolžina Opazovana smer Dolžina 0 ' [m] 0 ' [m] 1 6 314 59 58,6 848,5203 315 0 8,3 848,5437 1 7 32 0 18,4 943,4058 32 0 18,0 943,4930 1 2 90 0 0,6 1000,0017 89 59 40,2 999,9867 2 1 269 59 58,1 1000,0077 269 59 41,6 999,9797 2 7 327 59 41,6 943,3963 327 59 50,4 943,3690 2 3 33 41 24,9 1081,6692 33 41 43,8 1081,6196 3 2 213 41 23,2 1081,6572 213 41 43,6 1081,6252 3 7 264 48 19,6 1104,5400 264 48 36,1 1104,5261 3 4 326 18 35,0 721,1132 326 18 35,9 721,1641 4 3 146 18 33,4 721,1152 146 18 35,7 721,1602 4 7 224 59 59,9 989,9525 225 0 0,3 989,9073 4 5 275 42 39,1 1004,9917 275 42 37,1 1004,9992 5 4 95 42 37,9 1004,9861 95 42 36,1 1004,9865 5 7 159 26 39,7 854,4009 159 26 29,0 854,3696 5 6 218 39 36,1 1280,6231 218 39 35,9 1280,6217 6 5 38 39 35,0 1280,6242 38 39 34,6 1280,6267 6 7 79 41 43,7 1118,0403 79 41 36,3 1118,0745 6 1 134 59 59,5 848,5338 135 0 10,4 848,5325 6 259 41 42,2 1118,0366 259 41 36,6 1118,0680 5 339 26 38,3 854,4000 339 26 28,6 854,3591 4 45 0 0,9 989,9507 45 0 3,6 989,8993 3 84 48 21,1 1104,5387 84 48 37,2 1104,5244 2 147 59 40,6 943,3984 147 59 50,3 943,3528 1 212 0 19,3 943,3992 212 0 15,7 943,4907 A priori standardni odklon enote uteži za smeri je 1", a priori standardni odklon enote uteži za dolžine pa 5 mm. V preglednici 2 podajamo z izravnavo ocenjene koordinate točk 1. in 2. izmere. Izračunali smo jih s programom RaM in so vhodni podatki za program DAH. Matrike kofaktorjev koordinatnih razlik zaradi velikosti ne prikazujemo (bralec jo lahko izračuna sam, zato pa smo podali vse vhodne podatke za izravnavo). Geodetski vestnik Točka 1. izmera 2. izmera Koord. razlike % [m] Xi [m] % [nn] X2 [m] d. [m] d, [m] 1 999,9988 999,9995 999,9880 999,9554 -0,0108 -0,0441 2 2000,0013 1000,0012 1999,9718 1000,0530 -0,0295 0,0518 3 2600,0037 1899,9984 2600,0257 1899,9626 0,0220 -0,0358 4 2200,0004 2500,0000 2199,9964 2500,0051 -0,0040 0,0051 5 1199,9988 2600,0007 1199,9924 2599,9936 -0,0064 -0,0071 6 399,9973 1599,9989 400,0006 1599,9883 0,0033 -0,0106 7 1499,9997 1800,0013 1500,0252 1800,0421 0,0255 0,0408 Preglednica 2: Seznam izravnanih koordinat točk 1. in 2. izmere ter koordinatnih razlik Izračunan a posteriori standardni odklon enote uteži v izravnavi 1. izmere je 0,96990, po izravnavi 2. izmere pa 1,15618. Število nadštevilnih opazovanj v posamezni izmeri je 30. Defekt datuma posamezne izmere je 3. Navedeni podatki so tudi vhodni podatki za program DAH. Pri vseh testih smo izbrali stopnjo značilnosti testa 0,05. Najprej program DAH izvede testiranje homogenosti natančnosti opazovanj v dveh izmerah. Izračunana testna statistika po enačbi (3) je 1,42. Ker je testna statistika manjša od kritične vrednosti pri izbrani stopnji značilnosti testa (F3o,3o,o.975 = 2,07), ne moremo zavrniti ničelne hipoteze (1), ki pravi, da je natančnost dveh izmer homogena. 51 Nato program DAH izračuna globalni test stabilnosti točk mreže v dveh izmerah. Izračunana testna statistika po enačbi (7) je 141,29. Ker je testna statistika večja od kritične vrednosti pri izbrani stopnji značilnosti testa (F11,60,o.95 = 1,95), zavrnemo ničelno hipotezo (5), kar pomeni, da so se koordinate točk med dvema izmerama spremenile. Ker je izračunana testna statistika bistveno večja od kritične vrednosti, je dejansko tveganje, da storimo napako, ko zavrnemo ničelno hipotezo, praktično enako nič. Ker smo ničelno hipotezo (5) zavrnili, pomeni, da imamo v mreži tudi nestabilne točke. Zato v naslednjem koraku program DAH določi nestabilne točke. V vsakem iteracijskem koraku izračuna za vsako točko srednje neujemanje po enačbi (21), poišče največje srednje neujemanje (v preglednici 3 je podčrtano) in tvori testno statistiko po enačbi (23), ki jo primerja s kritično vrednostjo pri izbrani stopnji značilnosti testa. Iteracijski proces ponavlja toliko časa, dokler je testna statistika manjša, kot je kritična vrednost pri izbrani stopnji značilnosti testa. V tem primeru ne moremo zavrniti ničelne hipoteze, ki pravi, da se koordinate ostalih k - 1 točk med dvema izmerama niso spremenile. Rezultate postopka določitve nestabilnih točk podajamo v preglednici 3. Geodetski vestnik Preglednica 3: Rezultati postopka določitve nestabilnih točk 52 Preglednica 4: Seznam premikov vseh točk Točka 1. iteracija 2. iteracija 3. iteracija 4. iteracija 1 377,1 2 280,7 160,3 252,4 3 207,2 173,7 197,1 72,9 4 47,2 49,4 26,3 37,9 5 33,9 37,8 8,6 1,9 6 4,5 47,9 25,8 0,3 7 332,3 181,8 T (enačba 23) 99,09 81,78 25,82 0,37 K 9 7 5 3 2,04 2,17 2,37 2,76 Na koncu program DAH izvede testiranje premikov točk na objektu. Izračunana testna statistika po enačbi (28) je 194,14. Ker je testna statistika večja od kritične vrednosti pri izbrani stopnji značilnosti testa (F8,6o,o.95 = 2,10), zavrnemo ničelno hipotezo, kar pomeni, da so se koordinate točk na objektu med dvema izmerama spremenile. To je seveda pričakovan rezultat. Program DAH izpiše izračunane premike točk na objektu po enačbi (27), ki jih podajamo v preglednici 4. "Premiki" stabilnih točk so koordinatne razlike po izravnavi - glej preglednico 2. Točl