OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
OBZORNIK MAT. FIZ.    LJUBLJANA    LETNIK 59    ŠT. 3    STR. 81–120   MAJ  2012
C  KM Y 
2012
Letnik 59
3
i
i
“kolofon” — 2012/7/26 — 10:39 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, MAJ 2012, letnik 59, številka 3, strani 81–120
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino
40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za knjigo Repu-
blike Slovenije.
c© 2012 DMFA Slovenije – 1875 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Konvalinka” — 2012/7/26 — 10:24 — page 81 — #1 i
i
i
i
i
i
RAZPOREDITVE HIPERRAVNIN
MATJAŽ KONVALINKA
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 52C35
Razporeditev hiperravnin je končna množica hiperravnin (afinih podprostorov ko-
dimenzije 1) v evklidskem prostoru Rn. V tem preglednem članku definiramo osnovni
algebrski strukturi, povezani z razporeditvami: delno urejeno množico presekov in karak-
teristični polinom. Videli bomo, kako uporabiti karakteristični polinom za izračun števila
območij, na katera razporeditev razkosa prostor, in pokazali nekaj metod za iskanje ka-
rakterističnega polinoma.
HYPERPLANE ARRANGEMENTS
A hyperplane arrangement is a finite set of hyperplanes (affine subspaces of codimen-
sion 1) in the Euclidean space Rn. In this survey we define two basic structures: the
intersection poset and the characteristic polynomial. We see how to use the characteristic
polynomial to compute the number of regions created by the hyperplanes, and show some
methods for finding the characteristic polynomial.
Osnovne definicije in primeri
Iz srednješolske matematike vsi poznamo premico v ravnini in ravnino v
prostoru. Vemo, da ima vsaka premica enačbo oblike
ax+ by = c,
kjer so a, b, c poljubna realna števila; pri tem ne sme veljati a = b = 0.
Premica gre skozi izhodǐsče natanko tedaj, ko je c = 0. Podobno ima ravnina
v prostoru enačbo
ax+ by + cz = d,
kjer so a, b, c, d poljubna realna števila, za katera ne velja a = b = c = 0.
Ravnina gre skozi izhodǐsče natanko tedaj, ko je d = 0.
Posplošitev premice v ravnini in ravnine v prostoru je hiperravnina:
množica točk (x1, . . . , xn) ∈ Rn, za katere velja
a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,
kjer je (a1, . . . , an) ∈ Rn \ {0} in b ∈ R. Hiperravnina je afin podprostor
vektorskega prostora Rn (premaknjen linearni podprostor) dimenzije n− 1
in gre skozi izhodǐsče natanko tedaj, ko je b = 0.
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3 81
i
i
“Konvalinka” — 2012/7/26 — 10:24 — page 82 — #2 i
i
i
i
i
i
Matjaž Konvalinka
Zanimale nas bodo končne razporeditve hiperravnin v Rn (angl. hyper-
plane arrangements), se pravi končne množice hiperravnin v Rn. Naš glavni
vir in izvrsten uvod v široko področje kombinatorike razporeditev je [3].
Tam lahko bralec najde tiste dokaze, ki so v našem pregledu izpuščeni. Za
nekatere lastnosti razporeditev, ki jih tu ne bomo obravnavali, denimo ma-
ksimalno število incidenc, največja možna kombinatorna obsežnost itd., glej
[1]. Za razporeditve hiperravnin bomo uporabljali pisane velike črke, torej
A,B itd. V nadaljevanju bomo končnim razporeditvam hiperravnin rekli
preprosto razporeditve. Na sliki 1 je primer razporeditve (premic) v R2.
Slika 1. Primer razporeditve v R2.
Na prvi pogled je očitno, da razporeditev razdeli prostor Rn na več ob-
močij. Na primer, razporeditev na sliki 1 razdeli ravnino na 10 območij.
Prav tako je očitno, da je število območij lahko občutljivo za majhne spre-
membe: če malo premaknemo eno od treh premic, ki se sekajo v isti točki,
bo število območij naraslo na 11.
Strogo definiramo območje razporeditve A kot povezano komponento
prostora
Rn \
⋃
H∈A
H.
Ni težko videti, da je območij končno mnogo, da je vsako od njih odprta
konveksna množica in zato homeomorfno notranjosti krogle. Število območij
označimo z r(A).
Primer 1. Denimo, da imamo razporeditev Am v ravnini, ki vsebuje m
premic v splošni legi: to pomeni, da se vsaki dve premici sekata v natanko
eni točki in da nobene tri premice nimajo skupne točke. Trdimo, da je
r(Am) = (m2 + m + 2)/2. To je očitno res, če je m = 0: imamo samo
eno območje (celo ravnino). Predpostavimo, da trditev velja za m − 1,
torej da ima razporeditev Am−1 natanko (m2−m+ 2)/2 območij. Dodamo
novo premico; predstavljamo si, da potujemo po njej od enega konca do
drugega. Vsakič, ko presekamo drugo premico, se ustvari novo območje;
eno območje pa se ustvari še na koncu. Ker nova premica po predpostavki
seka vsako od starih premic v drugi točki, smo dodali m območij, tako da
je r(Am) = r(Am−1) +m = (m2 −m+ 2)/2 +m = (m2 +m+ 2)/2. ♦
82 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Konvalinka” — 2012/7/26 — 10:24 — page 83 — #3 i
i
i
i
i
i
Razporeditve hiperravnin
Primer 2. Oglejmo si koordinatno razporeditev Kn, ki je definirana s koor-
dinatnimi hiperravninami xi = 0, i = 1, . . . , n. Območja za n = 2 ustrezajo
kvadrantom, za n = 3 pa oktantom. Za splošen n je območij 2n: da je točka
(x1, . . . , xn) ∈ Rn \
⋃
H∈Kn H, mora veljati xi 6= 0 za vsak i; lahko je videti,
da je območje določeno z izborom xi > 0 ali xi < 0 za vsak i, možnosti je
očitno 2n. ♦
Opazimo še, da ima družina vseh hiperravnin koordinatne razporeditve
neprazen presek. Takim razporeditvam rečemo centralne; se pravi, razpo-
reditev A je centralna, če velja
⋂
H∈AH 6= ∅.
Primer 3. Kitkasta razporeditev (angl. braid arrangement) Bn je definirana
z
(
n
2
)
hiperravninami xi − xj = 0 za 1 ≤ i < j ≤ n. Območje je določeno
s tem, da izberemo, ali velja xi < xj ali xi > xj za vsaka i, j, i < j.
To pomeni, da je območje določeno s tem, da določimo, kateri od xi-jev
je najmanǰsi, kateri je drugi najmanǰsi itd., se pravi z neko permutacijo
koordinat x1, x2, . . . , xn. Zatorej velja r(Bn) = n!. Na primer, razporeditev
B3, prikazana na sliki 2, razdeli prostor na šest območij, določenih z x1 <
x2 < x3, x1 < x3 < x2, x2 < x1 < x3, x2 < x3 < x1, x3 < x1 < x2 in
x3 < x2 < x1.
Opazimo, da je tudi kitkasta razporeditev centralna: presek je premica
x1 = x2 = . . . = xn. ♦
Slika 2. Kitkasta razporeditev B3, presekana z ravnino x1 + x2 + x3 = 0.
Kitkasta razporeditev ima kar nekaj zanimivih
”
deformacij“, na primer
naslednje tri.
Primer 4. Denimo, da imamo dan graf G = (V,E), kjer je množica vozlǐsč
V = {1, . . . , n}. Definirajmo grafično razporeditev AG s hiperravninami
xi − xj = 0 za ij ∈ E. Kitkasta razporeditev ustreza polnemu grafu Kn.
Enostavno se da dokazati, da je število območij enako številu acikličnih
usmeritev grafa G, se pravi številu takih izbir usmeritev vseh povezav grafa,
za katere dobljeni usmerjeni graf nima ciklov.
Shijevo razporeditev Sn definirajo hiperravnine xi − xj = 0, 1 za i < j.
Catalanovo razporeditev Cn definirajo hiperravnine xi − xj = −1, 0, 1 za
i < j. Kasneje bomo videli, da je r(Sn) = (n+ 1)n−1 in r(Cn) = (2n)!/(n+
81–93 83
i
i
“Konvalinka” — 2012/7/26 — 10:24 — page 84 — #4 i
i
i
i
i
i
Matjaž Konvalinka
1)! = (n + 2)(n + 3) · · · (2n). Obe števili sta zanimivi s kombinatoričnega
stalǐsča: število (n+ 1)n−1 je (med drugim) enako številu označenih dreves
na n + 1 točkah (se pravi številu povezanih grafov na {1, 2, . . . , n + 1} z
n povezavami), drugo pa je enako n!Cn, kjer je Cn =
1
n+1
(
2n
n
)
Catalanovo
število. Catalanova števila so izjemno pomembna v enumerativni kombina-
toriki, štejejo na primer:
• triangulacije (n+ 2)-kotnika;
• pravilne postavitve n oklepajev in n zaklepajev;
• poti od (0, 0) do (2n, 0) z dovoljenima korakoma (1, 1) in (1,−1), ki se
ne spustijo pod os x.
Slika 3 prikazuje razporeditev S3. ♦
Slika 3. Shijeva razporeditev S3, presekana z ravnino x1 + x2 + x3 = 0.
Delno urejena množica presekov, Möbiusova funkcija in
karakteristični polinom
Izkaže se, da lahko veliko pomembnih lastnosti razporeditve razberemo iz
presekov hiperravnin. V tem razdelku bomo definirali dva ključna objekta:
delno urejeno množico presekov in njen karakteristični polinom. V zadnjem
razdelku bomo potem spoznali različne načine računanja karakterističnega
polinoma. Veliko rezultatov bomo navedli brez dokaza ali pa bomo dokaz
samo skicirali.
Spomnimo se, da je množica P z dvomestno relacijo ≤ delno urejena, če
velja:
1. refleksivnost: za vsak x ∈ P je x ≤ x;
2. antisimetričnost: če velja x ≤ y in y ≤ x, je x = y;
3. tranzitivnost: če velja x ≤ y in y ≤ z, je tudi x ≤ z.
Če je x ≤ y in x 6= y, pǐsemo x < y. Če velja x < y, ne obstaja pa z,
za katerega bi veljalo x < z < y, pravimo, da y pokriva x. Delno urejena
84 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Konvalinka” — 2012/7/26 — 10:24 — page 85 — #5 i
i
i
i
i
i
Razporeditve hiperravnin
množica P je stopničasta, če obstaja funkcija rang : P → N, za katero velja
rang(y) = rang(x) + 1, kadar y pokriva x.
Spomnimo se, da (končne) delno urejene množice pogosto predstavimo
s Hassejevim diagramom: grafom, katerega točke so elementi množice P ,
povezani pa so tisti pari (x, y), za katere y pokriva x. Hassejev diagram
običajno narǐsemo tako, da je x pod y, če je x < y. Če je delno urejena
množica stopničasta, vse elemente z istim rangom narǐsemo na isti vǐsini.
Definicija 1. Naj bo A razporeditev hiperravnin v Rn. Označimo z L(A)
množico vseh nepraznih presekov hiperravnin iz A, vključno s prostorom
Rn (ki je presek prazne družine hiperravnin). V L(A) uvedemo dvomestno
relacijo ≤ obratne vsebovanosti : definirajmo, da je x ≤ y, če je x ⊇ y. To je
relacija delne urejenosti, množici L(A) z relacijo ≤ pravimo delno urejena
množica presekov (angl. intersection poset).
Primer 5. Oglejmo si delno urejeno množico presekov za kitkasto razpo-
reditev B3. Prazni presek R3 je manǰsi od vseh preostalih (to se pravi:
vsebuje vse preostale preseke kot podmnožice). Takoj nad R3 v Hassejevem
diagramu pridejo preseki enoelementnih družin hiperravnin, se pravi hiper-
ravnine same. Ker se vse tri hiperravnine sekajo v premici x1 = x2 = x3,
je v L(B3) samo še en element, ki je večji od vseh preostalih (se pravi: je
vsebovan v vseh preostalih presekih). Glej sliko 4, levo. Vzemimo še dve
vzporedni premici v R2. Imamo najmanǰsi element in dva elementa (pre-
mici), ki ga pokrivata. Ker se premici ne sekata, drugih elementov ni. Glej
sliko 4, desno. ♦
Slika 4. Hassejev diagram delno urejene množice presekov za kitkasto razporeditev B3
in razporeditev dveh vzporednih premic.
Takoj opazimo, da velja naslednje: L(A) ima vedno minimalni element
(torej element 0̂, za katerega velja 0̂ ≤ x za vse x ∈ L(A)); to je Rn, presek
prazne družine hiperravnin. Elementi, ki pokrivajo 0̂, so kar hiperravnine
same. Velja še, da ima L(A) maksimalni element (torej element 1̂, za kate-
rega velja x ≤ 1̂ za vse x ∈ L(A)) natanko tedaj, kadar je A centralna raz-
poreditev: maksimalni element je v tem primeru kar
⋂
H∈AH 6= ∅. Delno
urejena množica presekov je stopničasta: preveriti se da, da je primerna
funkcija
rang(x) = n− dimx,
81–93 85
i
i
“Konvalinka” — 2012/7/26 — 10:24 — page 86 — #6 i
i
i
i
i
i
Matjaž Konvalinka
kjer je x običajna (afina) dimenzija elementa x (ki je presek hiperravnin in
zato premaknjen vektorski podprostor). Na primer, za kitkasto razporeditev
B3 imamo ves prostor R3 z rangom 3−3 = 0, tri ravnine z rangom 3−2 = 1
in premico x1 = x2 = x3 z rangom 3 − 1 = 2. Rang se res poveča za 1, ko
se premaknemo navzgor po Hassejevem diagramu.
V teoriji delno urejenih množic ima pomembno mesto Möbiusova funk-
cija. Tu bomo predstavili njeno nekoliko poenostavljeno različico. Predpo-
stavimo, da je P končna delno urejena množica z minimalnim elementom
0̂. Potem definiramo Möbiusovo funkcijo µP : P → Z takole: definiramo
µP (0̂) = 1, za x > 0̂ pa potem vzamemo
µP (x) = −
∑
y<x
µP (y).
Definicijo lahko zapǐsemo še drugače: velja∑
y≤x
µP (y) =
{
1 : x = 0̂
0 : x 6= 0̂ .
Kadar je jasno, o kateri delno urejeni množici govorimo, pǐsemo namesto
µP samo µ.
Primer 6. Vzemimo naravno število n in definirajmo Dn kot množico vseh
deliteljev števila n, urejeno z relacijo | (deli). Lahko je preveriti, da je (Dn, |)
delno urejena množica. Preveriti se da, da je
µ(d) =
{
0 : d je deljiv s kvadratom nekega praštevila,
(−1)k : d = p1p2 · · · pk, kjer so p1, p2, . . . , pk različna praštevila
Möbiusova funkcija v Dn. Tej funkciji pravimo tudi klasična Möbiusova
funkcija, ki je pomembna v teoriji števil, glej [2]. Hassejev diagram D24,
skupaj z vrednostmi µ(d), je na sliki 5, levo. Slika 5, desno, prikazuje
Möbiusovo funkcijo za L(B3). ♦
Izkaže se, da lahko večino pomembnih lastnosti delno urejene množice
presekov in s tem razporeditve hiperravnin preberemo iz polinoma, ki izhaja
neposredno iz Möbiusove funkcije delno urejene množice presekov.
Definicija 2. Naj bo A razporeditev. Vemo, da je njena delno urejena
množica presekov L(A) končna in ima minimalen element, zato imamo na
voljo Möbiusovo funkcijo µ. Definiramo karakteristični polinom delno ure-
jene množice presekov s formulo
χA(t) =
∑
x∈L(A)
µ(x)tdimx.
86 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Konvalinka” — 2012/7/26 — 10:24 — page 87 — #7 i
i
i
i
i
i
Razporeditve hiperravnin
1
2 3
4 6
8 12
24
1
−1 −1
0 1
0 0
0
1
−1 −1 −1
2
Slika 5. Hassejev diagram in vrednosti Möbiusove funkcije za D24 in za L(B3).
Primer 7. Za kitkasto razporeditev B3 imamo (glej sliko 5, desno)
χB3(t) = t
3 − 3t2 + 2t = t(t− 1)(t− 2).
V naslednjem razdelku bomo dokazali, da velja splošna formula
χBn(t) = t(t− 1)(t− 2) · · · (t− n+ 1). ♦
Element 0̂ = Rn ∈ L(A) ima dimenzijo n. Za vsako hiperravnino imamo
en element x dimenzije n−1, ki pokriva 0̂ in ima zato µ(x) = −1. To pomeni,
da velja
χA(t) = t
n − |A|tn−1 + . . .
Tu |A| označuje moč množice A, se pravi število hiperravnin v razporeditvi
A.
Pomembnost karakterističnega polinoma najlepše predstavi naslednji iz-
rek, ki ga bomo navedli brez dokaza.
Izrek 1 (Zaslavsky, 1975). Za poljubno razporeditev A v Rn velja r(A) =
(−1)nχA(−1).
Na primer, za kitkasto razporeditev Bn po izreku Zaslavskega in prej-
šnjem primeru dobimo
r(Bn) = (−1)n(−1)(−1− 1)(−1− 2) · · · (−1− n+ 1) = n!,
kar se ujema z našim direktnim izračunom.
”
Naivna“ metoda za izračun karakterističnega polinoma je, da na roko
izračunamo vse neprazne preseke hiperravnin, narǐsemo Hassejev diagram
delno urejene množice, z rekurzivno zvezo izračunamo vrednost Möbiusove
81–93 87
i
i
“Konvalinka” — 2012/7/26 — 10:24 — page 88 — #8 i
i
i
i
i
i
Matjaž Konvalinka
funkcije za vse njene elemente in zapǐsemo karakteristični polinom. Za raz-
poreditve z veliko elementi in za neskončne družine razporeditev (npr. za
kitkasto razporeditev, Catalanovo razporeditev) ta metoda običajno ni smi-
selna. V zadnjem razdelku bomo predstavili nekaj neočitnih metod za izra-
čun karakterističnega polinoma.
Računanje karakterističnega polinoma
Whitneyjev izrek
Spomnimo, da je razporeditev A centralna, če je
⋂
H∈AH 6= ∅. Za centralno
razporeditev A lahko definiramo dimA = dim
⋂
H∈AH.
Če je razporeditev A centralna, je centralna tudi vsaka njena podrazpo-
reditev B ⊆ A (vključno s prazno podrazporeditvijo), saj je⋂
H∈B
H ⊇
⋂
H∈A
H.
Če razporeditev ni centralna, so nekatere podrazporeditve centralne, ne-
katere pa ne. Označimo s C(A) množico vseh centralnih podrazporeditev
razporeditve A.
Primer 8. Razporeditev premic A v ravnini na sliki 6 ni centralna, saj se
premice ne sekajo v isti točki. So pa centralne vse njene podrazporeditve,
ki ne vsebujejo vseh treh premic. Tako ima C(A) sedem elementov. ♦
Slika 6. Necentralna razporeditev s sedmimi centralnimi podrazporeditvami.
Izrek 2 (Whitneyjev izrek, 1932). Za razporeditev A v Rn velja
χA(t) =
∑
B∈C(A)
(−1)|B|tdimB.
Izreka ne bomo dokazovali. Omenimo samo, da dokaz uporabi po-
membno dejstvo, da je delno urejena množica presekov polmreža za stik
(angl. meet-semilattice), torej da imata vsaka dva elementa stik (največjo
skupno spodnjo mejo), ter da je mreža (angl. lattice), torej da imata vsaka
88 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Konvalinka” — 2012/7/26 — 10:24 — page 89 — #9 i
i
i
i
i
i
Razporeditve hiperravnin
dva elementa spoj (najmanǰso skupno zgornjo mejo), natanko tedaj, ko je
razporeditev centralna. V mreži pa imamo za računanje Möbiusove funkcije
posebno formulo, ki se pri razporeditvah poenostavi v Whitneyjev izrek.
Primer 9. Izračunajmo karakteristični polinom koordinatne razporeditve.
Ker je koordinatna razporeditev centralna, je centralna tudi vsaka njena
podrazporeditev. Za vsako podmnožico I množice {1, 2, . . . , n} je presek
ravnin xi = 0, i ∈ I, podprostor dimenzije n− |I|. Po Whitneyjevem izreku
je torej
χKn(t) =
∑
I⊆{1,2,...,n}
(−1)|I|tn−|I| =
n∑
k=0
(
n
k
)
(−1)ktn−k = (t− 1)n.
Tu smo uporabili dve dejstvi: prvič, da je število podmnožic moči k množice
z n elementi enako binomskemu koeficientu
(
n
k
)
= n!k!(n−k)! , in drugič, da
velja binomski izrek (x + y)n =
∑
k
(
n
k
)
xn−kyk. Velja tudi r(Kn) = (−1)n
(−1− 1)n = 2n, kar smo že izračunali neposredno iz definicije. ♦
Rekurzivna zveza
Dana je razporeditev A. Izberimo poljubno hiperravnino H0 ∈ A. Ozna-
čimo z A′ podrazporeditev A \ {H0}, se pravi razporeditev A, ki ji odstra-
nimo hiperravnino H0. Označimo z A′′ razporeditev, ki jo dobimo, če vse
hiperravnine v A′, ki imajo neprazen presek s H0, presekamo s H0. Natanč-
neje,
A′′ = {x ∩H0 : x ∈ A, x 6= H0, x ∩H0 6= ∅}.
Primer 10. Na sliki 7, levo zgoraj, je prikazana razporeditev A premic v
ravnini; premica H0 je odebeljena. Desno zgoraj je razporeditev A′, se pravi
A brez H0. Spodaj je prikazana razporeditev A′′ (v R) presekov s H0. ♦
Slika 7. Razporeditve A, A′ in A′′.
Opazimo, da sta A′ in A′′
”
manǰsi“ razporeditvi kot A; obe imata manǰse
število elementov, A′′ pa je poleg tega tudi razporeditev v manǰsi dimenziji.
81–93 89
i
i
“Konvalinka” — 2012/7/26 — 10:24 — page 90 — #10 i
i
i
i
i
i
Matjaž Konvalinka
Izrek 3. Naj bodo A,A′,A′′ kot zgoraj. Potem velja
χA(t) = χA′(t)− χA′′(t).
Izrek je dokaj enostavna posledica Whitneyjevega izreka (ima pa tudi
druge neodvisne dokaze).
Primer 11. Naj bo G = (V,E) graf (brez zank). Barvanje grafa G s t bar-
vami je izbira ene od t barv za vsako vozlǐsče, tako da povezani vozlǐsči nista
pobarvani z isto barvo. Se pravi, barvanje je preslikava c : V → {1, . . . , t},
za katero velja ij ∈ E ⇒ c(i) 6= c(j). Definirajmo PG(t) kot število barvanj
grafa G s t barvanji. Izkaže se, da je PG(t) polinom stopnje |V |, imenujemo
ga kromatični polinom grafa G. Na primer, če je G = Kn (poln graf na n
vozlǐsčih), imamo za prvo vozlǐsče na voljo t barv, za drugo samo še t − 1
barv itd. Torej je PKn(t) = t(t− 1) · · · (t− n+ 1).
Kromatični polinom ustreza preprosti rekurzivni zvezi. Izberimo po-
ljubno povezavo e = ij grafa G in označimo z G′ graf G brez povezave e,
z G′′ pa graf, kjer vozlǐsči i in j identificiramo, se pravi, ju nadomestimo
z novim vozlǐsčem, ki je povezano z vsemi vozlǐsči grafa G \ {i, j}, ki so v
grafu G povezana z i ali j. Izberimo poljubno barvanje c grafa G′. Če sta
vozlǐsči i in j pobarvani z različnima barvama, je c tudi barvanje grafa G.
Če pa sta pobarvani z istima barvama, potem ju identificiramo in dobimo
barvanje c′′ grafa G′′. Dokazali smo
PG(t) = PG′(t)− PG′′(t).
Ta formula nas spominja na rekurzivno formulo za karakteristični polinom
razporeditve. Dokažimo, da je za grafično razporeditev AG karakteristični
polinom kar kromatični polinom grafa G, torej da velja χAG(t) = PG(t).
Trditev očitno velja za prazni graf na n vozlǐsčih, saj sta oba polinoma enaka
tn. Predpostavimo, da trditev velja za vse grafe z manj kot m povezavami,
in naj bo |E(G)| = m. Izberimo povezavo e = ij grafa G in označimo
hiperravnino xi = xj s H0. Če odstranimo H0, očitno dobimo razporeditev,
ki pripada grafu G′; se pravi, velja (AG)′ = AG′ . Po indukciji je χ(AG)′(t) =
PG′(t). Če pa vsako hiperravnino presekamo s hiperravnino xi = xj , je
učinek isti, kot če bi identificirali vozlǐsči i in j v grafu G; se pravi, velja
(AG)′′ = AG′′ . Po indukciji je χ(AG)′′(t) = PG′′(t). Torej je
χAG(t) = χ(AG)′(t)− χ(AG)′′(t) = PG′(t)− PG′′(t) = PG(t).
V posebnem je za kitkasto razporeditev
χBn(t) = PKn(t) = t(t− 1) · · · (t− n+ 1). ♦
90 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Konvalinka” — 2012/7/26 — 10:24 — page 91 — #11 i
i
i
i
i
i
Razporeditve hiperravnin
Metoda končnih obsegov
V tem podrazdelku bomo predstavili morda najbolj presenetljivo me-
todo za računanje karakterističnega polinoma, ki jo je v tej obliki zapisal
Athanasiadis. Spomnimo se najprej, da obstaja končni obseg velikosti q
natanko tedaj, ko je q = pk potenca praštevila. Vsi obsegi iste moči so
izomorfni; označimo s Fq (do izomorfizma določeni) obseg moči q. Karakte-
ristika obsega Fq je p: to pomeni, da v Fq velja p = 0. Za q = p je Fp = Zp,
obseg ostankov pri deljenju s p.
Predpostavimo, da so vse hiperravnine podane nad obsegom racional-
nih števil. Če vse enačbe pomnožimo s skupnim večkratnikom imenovalcev,
dobimo enačbe s celimi koeficienti. Če vse koeficiente vzamemo po prašte-
vilskem modulu p, dobimo enačbo nad končnim obsegom Fq za q = pk za
vsak k. Označimo dobljeno razporeditev nad obsegom Fq z Aq.
Lahko se zgodi, da je nova razporeditev bistveno drugačna od prvotne.
Na primer, če začnemo s premicama x = 0 in x = 2y, ima L(A) štiri
elemente: R2, obe premici in njun presek (izhodǐsče). Če pa vzamemo vse
koeficiente modulo 2, dobimo samo eno premico x = 0, zato ima L(A2k)
samo dva elementa.
Ni pa težko dokazati, da velja L(A) ∼= L(Apk) (se pravi, A in Apk
imata – do izomorfizma – isto delno urejeno množico presekov) za vse razen
za končno mnogo praštevil p. Glavna prednost nove razporeditve je, da
so vse hiperravnine zdaj končne množice (kot podmnožice končne množice
Fnq ), zato lahko računamo z njihovimi močmi. Naslednji izrek je tako dokaj
preprost (uporabi samo neko osnovno lastnost Möbiusove funkcije, ki je
v tem pregledu nismo omenili). Spomnimo, da HC pomeni komplement
množice H.
Izrek 4 (Athanasiadis, 1996). Naj bo A razporeditev v Qn in naj velja
L(A) ∼= L(Aq) za q, ki je potenca praštevila. Potem je
χA(q) = q
n −
∣∣∣∣ ⋃
H∈Aq
H
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ ⋂
H∈Aq
HC
∣∣∣∣.
Primer 12. Oglejmo si, kako preprosto je z metodo končnih obsegov izra-
čunati karakteristični polinom grafične razporeditve. Pǐsimo A = AG. Naj
bo p dovolj velik, da je L(A) ∼= L(Aq) za q = pk. Če je H v A podana
z xi = xj , je H
C v Aq množica točk (α1, . . . , αn) ∈ Fnq , za katere velja
αi 6= αj . Potem je
χA(q) =
∣∣∣∣ ⋂
H∈Aq
HC
∣∣∣∣
=
∣∣{(α1, . . . , αn) ∈ Fnq : αi 6= αj za vsako povezavo ij ∈ E(G)}∣∣.
81–93 91
i
i
“Konvalinka” — 2012/7/26 — 10:24 — page 92 — #12 i
i
i
i
i
i
Matjaž Konvalinka
Zadnji izraz pa je po definiciji enak PG(q). Torej sta χA(t) in PG(t) poli-
noma, ki imata enako vrednost za neskončno mnogo vrednosti t, kar pomeni,
da sta enaka. ♦
Primer 13. Oglejmo si Shijevo razporeditev Sn, ki je podana z xi − xj =
0, 1 za i < j. Za dovolj veliko praštevilo p velja
χSn(p) =
∣∣{(α1, . . . , αn) ∈ Znp : i < j ⇒ αi 6= αj in αi 6= αj + 1}∣∣ .
Denimo, da imamo tako n-terico (α1, . . . , αn). Narǐsimo 0, 1, . . . , p − 1 kot
točke na krožnici, ki naraščajo v smeri urinega kazalca. Označimo točko
α1 z 1, točko α2 z 2 itd. Ker je αi 6= αj za i 6= j, ima vsaka točka
največ eno oznako. Ker iz αi = αj + 1 sledi i > j, so zaporedne (v
smeri urinega kazalca) oznake naraščajoče. Glej sliko 8 za p = 11, n = 6
in (α1, α2, α3, α4, α5, α6) = (6, 1, 2, 7, 9, 3). Naj bo B1 množica zapore-
dnih oznak, ki se začnejo z 1; v našem primeru je to {1, 4}. Preskočimo
eno točko in vzemimo za B2 (lahko prazno) množico zaporednih oznak,
ki se začnejo v naslednji točki; nadaljujemo. V našem primeru dobimo
B1 = {1, 4}, B2 = {5}, B3 = ∅, B4 = {2, 3, 6}, B5 = ∅. Ker vsaki množici Bi
pripada natanko ena neoznačena točka, smo dobili p−n disjunktnih množic
(B1, B2, . . . , Bp−n), 1 ∈ B1, katerih unija je {1, 2, . . . , n}. Konstrukcija se da
tudi obrniti: za dane disjunktne množice (B1, B2, . . . , Bp−n), 1 ∈ B1, kate-
rih unija je {1, 2, . . . , n}, in izbrani α1 ∈ Zp naredimo naslednje. Označimo
točko α1 z 1, naslednje točke označimo s preostalimi elementi B1. Presko-
čimo eno točko, označimo točke z elementi B2; nadaljujemo. Za αi potem
vzamemo točko, katere oznaka je i.
Torej je χSn(p) enak številu izbir α1 in disjunktnih množic (B1, B2, . . . ,
Bp−n), 1 ∈ B1, katerih unija je {1, 2, . . . , n}. Ker lahko α1 izberemo na p
načinov in ker imamo za 2, . . . , n na voljo p− n množic Bi, kamor jih lahko
damo, je možnosti p(p− n)n−1. Torej je
χSn(t) = t(t− n)n−1.
Iz tega takoj sledi, da je r(Sn) = (−1)nχSn(−1) = (n+ 1)n−1. ♦
Primer 14. Izračun za Catalanovo razporeditev Cn, podano z xi − xj =
0, 1,−1 za i < j, je zelo podoben. Za dovolj velik p velja
χCn(p) =
∣∣{(α1, . . . , αn) ∈ Znp : i 6= j ⇒ αi 6= αj in αi 6= αj ± 1}∣∣ .
Torej imamo enak preštevalni problem kot v preǰsnjem primeru, le da zdaj
dve sosednji točki ne smeta biti označeni. To pomeni, da bodo množice
B1, . . . , Bp−n, definirane kot zgoraj, imele največ en element. Za α1 imamo
92 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Konvalinka” — 2012/7/26 — 10:24 — page 93 — #13 i
i
i
i
i
i
0
1
23
4
5
6
7
8 9
10
2
3
6
1
4
5
Slika 8. Računanje karakterističnega polinoma Shijeve razporeditve z metodo končnih
obsegov.
spet p izbir, potem imamo p−n− 1 izbir, v katero od množic B2, . . . , Bp−n
damo element 2, p− n− 2 izbir, kam damo element 3, itd. Dobimo torej
χCn(t) = t(t− n− 1)(t− n− 2) · · · (t− 2n+ 1)
in r(Cn) = n!Cn. ♦
LITERATURA
[1] M. Juvan, Kombinatorne lastnosti razporeditev, magistrsko delo, 105 strani, Ljubljana,
1993
[2] E. Weisstein, Möbius function, MathWorld, dostopno na
http://mathworld.wolfram.com/MoebiusFunction.html
[3] R. Stanley, An introduction to hyperplane arrangements, Geometric combinatorics,
389–496, IAS/Park City Math. Ser., 13, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007
VESTI
STROKOVNO SREČANJE IN 64. OBČNI ZBOR DMFA
SLOVENIJE – VABILO K SODELOVANJU
Spoštovani člani DMFA Slovenije, učitelji, raziskovalci in vsi ljubitelji mate-
matike, fizike in astronomije. Vljudno vas vabimo k sodelovanju na našem
vsakoletnem srečanju, ki bo tokrat potekalo v Rimskih Toplicah 19. in
20. oktobra 2012. Tam bomo predstavili sedanjo dejavnost društva, k
pripravi predavanj povabili nekaj uglednih slovenskih matematikov in fizi-
kov, prisluhnili različnim strokovnim prispevkom naših članov in pripravili
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3 93
i
i
“Konvalinka” — 2012/7/26 — 10:24 — page 94 — #14 i
i
i
i
i
i
Vesti
nekaj razprav, delavnic in drugih aktivnosti. Vzporedno bo potekala tudi
konferenca fizikov v osnovnih raziskavah. Vodilni temi strokovnega dela sre-
čanja za učitelje bosta Algoritmi pri pouku matematike in Preprosti
fizikalni poskusi, zaželeni pa so tudi prispevki o drugih aktualnih stro-
kovnih temah s področja matematike, fizike ali astronomije. Za predavanja
bodo na voljo konferenčni prostori (internet, projekcijsko platno, projek-
tor), dobrodošli pa so tudi plakati, delavnice ali druge oblike predstavitev
(po predhodnem dogovoru).
Prijava prispevkov za strokovno srečanje
Svoj prispevek prijavite tako, da izpolnite spletni obrazec na spletni strani
http://www.dmfa.si/ObcniZbor.html. Rok za prijavo prispevkov je 15.
september 2012. Dokončen izbor prispevkov bo opravila in razvrstila po
sekcijah posebna komisija, ki jo bo imenoval upravni odbor DMFA Slove-
nije. Povzetki bodo objavljeni v biltenu občnega zbora. Kontaktni osebi
sta dr. Boštjan Kuzman, bostjan.kuzman@pef.uni-lj.si (matematika), in
mag. Nada Razpet, nada.razpet@pef.uni-lj.si (fizika).
Registracija za udeležbo
Predvidena kotizacija za udeležbo je 70 EUR (49 EUR za člane DMFA Slo-
venije); vanjo so vračunani bilten s povzetki, odmori s kavo in potrdilo o
udeležbi na 16-urnem strokovnem srečanju. Registrirate se preko Infoser-
verja DMFA. Rok za prijavo je 30. september 2012. Morebitne hotelske
storitve si udeleženci rezervirajo sami; natančneǰse informacije o možnostih
hotelske namestitve bomo objavili pozneje na spletnih straneh.
Predlogi za društvena priznanja
Vabimo vas, da pisne predloge za letošnja društvena priznanja pošljete do
15. septembra 2012 na naslov DMFA Slovenije, Komisija za društvena
priznanja, Jadranska ulica 19, 1000 Ljubljana. Predlog mora ustrezati Pra-
vilniku o podeljevanju društvenih priznanj, ki je objavljen na spletni strani
http://www.dmfa.si/Pravilniki, njegova utemeljitev pa vsebovati dovolj
podatkov, da bo komisiji omogočena vsestranska presoja in tehtna odlo-
čitev.
Predsednik DMFA Slovenije
prof. dr. Sandi Klavžar
http://www.obzornik.si/
94 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Strnad” — 2012/7/19 — 10:08 — page 95 — #1 i
i
i
i
i
i
SISTEM ENOT NA POTI DO SPREMEMB
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 06.20.fa, 06.30.Dr
Kopičijo se razlogi za večje spremembe v Mednarodnem sistemu enot SI. Odbori, v
katerih o spremembah razpravljajo, priporočajo, naj bo javnost o predlogih čim bolje
obveščena.
THE SYSTEM OF UNITS ON THE WAY TO CHANGES
Arguments for substantial changes of the International System of Units SI accumulate.
Committees, within which the possible changes are discussed, recommend that the public
should be maximally informed of the proposals.
Resolucija
Lanskega oktobra je bilo na sedežu Mednarodnega urada za uteži in mere
BIPM v Sèvresu blizu Pariza 24. zasedanje Generalne konference za uteži
in mere CGPM. Na njem so sprejeli Resolucijo 1 O mogoči prihodnji spre-
membi Mednarodnega sistema enot SI [1]. Nekateri razglašajo predloge za
”
največje spremembe sistema enot po francoski revoluciji“. Mednarodni od-
bor za uteži in mere CIPM, Posvetovalni odbor za enote CCU in sam BIPM
priporočajo, da naj bosta o novih zamislih čim bolje obveščeni
”
znanstvena
in uporabnǐska skupnost, da bi lahko ob pravem času upoštevali odzive in
poglede“ na podlagi široke razprave.
Za bralce Obzornika povzemimo glavne misli iz premǐsljeno sestavljene
resolucije, ki jo je na spletu vredno prebrati. Za uspešen zgled velja dogovor
o metru iz leta 1983, ki je meter opredelil prek določene vrednosti za hitrost
svetlobe v praznem prostoru. Največjo skrb povzroča dogovor o kilogramu,
ki še edini sloni na izdelku človeških rok. Kaže, da se masa prakilograma,
uradno Mednarodnega prototipskega kilograma IPK, ki ga v Sèvresu hranijo
v kleti pod tremi povezniki in uporabijo
”
neposredno po čǐsčenju in umivanju
na predpisan način“, s časom spreminja (slika 1). Tudi kilogram bi kazalo
povezati s katero od
”
invariant narave – z osnovno fizikalno konstanto ali
lastnostjo atomov“. Dogovor o kilogramu vpliva tudi na dogovore o amperu,
molu in kandeli.
Že na 21. zasedanju Generalne konference leta 1999 so priporočili dr-
žavnim metrološkim laboratorijem,
”
naj nadaljujejo prizadevanje, da bi po-
skusi, ki povezujejo enoto za maso z osnovnimi ali atomskimi konstantami,
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3 95
i
i
“Strnad” — 2012/7/19 — 10:08 — page 96 — #2 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
postali natančneǰsi in bi bilo v prihodnosti mogoče spremeniti dogovor o
kilogramu“. Odtlej so po vmesnih korakih prǐsli do osnutkov za predloge o
novih dogovorih, ki jih razčlenjuje Resolucija.
• Enota za maso je kilogram, katerega velikost je povezana z določeno
vrednostjo Planckove konstante h = 6,626 06X · 10−34 Js.
• Enota za tok je amper, katerega velikost je povezana z določeno vre-
dnostjo osnovnega naboja e0 = 1,602 17X · 10−19 As.
• Enota za temperaturo je kelvin, katerega velikost je povezana z določeno
vrednostjo Boltzmannove konstante k = 1,380 6X · 10−23 J/K.
• Enota za množino snovi je mol, katerega velikost je povezana z določeno
vrednostjo Avogadrove konstante NA = 6,022 14X · 1023 /mol.
Pri tem X na zadnjem mestu zaznamuje
”
mesto ali dve, ki ju bodo
dodali najnoveǰsi podatki CODATA“.1 Tako se v dogovoru o kelvinu ne bi
bilo več treba sklicevati na lastnosti vode.
Dogovori za preostale tri enote ostanejo v bistvu nespremenjeni.
Enota za čas je sekunda, katere velikost je določena kot 9 192 631 770
nihajnih časov elektromagnetnega valovanja pri prehodu med stanjema, na
kateri je razcepljeno osnovno stanje atoma cezija 133 v mirovanju pri tem-
peraturi 0 K. Enota za svetilnost v dani smeri je kandela, katere velikost je
povezana z določeno vrednostjo razmerja med fiziološko in fizikalno enoto
za svetilnost 683 lm/W za enobarvno sevanje s frekvenco 540 · 1012 s−1.
Če bi bili ti dogovori sprejeti, nekateri podatki ne bi bili več natančni.
Kilogram bi bil po novem določen enako natančno kot Planckova konstanta.
Magnetna konstanta (indukcijska konstanta) µ0 bi bila določena enako na-
tančno kot konstanta fine strukture α = e20/(4πε0c~) s ~ = h/(2π).
Molska masa ogljika 12C bi bila določena enako natančno kot produkt
NA h.
1Delovna skupina za osnovne konstante CODATA od leta 1973 objavlja preglednice
priporočenih vrednosti osnovnih fizikalnih konstant, v zadnjem času v Reviews of Modern
Physics. Zadnja preglednica je izšla leta 2008 in je zajela merjenja do leta 2006. Konec
marca 2012 so P. J. Mohr, B. N. Taylor in D. N. Newell poslali v tisk dolg članek CODATA
recommended values of the fundamental physical constants 2010. Podatke zanj so zbirali
od začetka leta 2007 do konca leta 2010. Za zdaj ga je mogoče prebrati na spletnem naslovu
arXiv:1203.5425v1. Članek vsebuje za navedene konstante naslednje vrednosti: Planck-
ova konstanta 6,62606957(20)·10−34 Js, osnovni naboj 1,602176565(35)·10−19 As, Boltz-
mannova konstanta 1,3806488(13)·10−23 J/K, Avogadrova konstanta 6,02214129(27)·1023
/mol. Navada je, da pri osnovnih konstantah v oklepaju navedejo negotovost na zadnjih
dveh mestih.
96 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Strnad” — 2012/7/19 — 10:08 — page 97 — #3 i
i
i
i
i
i
Sistem enot na poti do sprememb
Kilogram proti kilogramu
Za dogovor o kilogramu tekmujeta elektronski kilogram in Avogadrov kilo-
gram. Kot kaže, Resolucija stavi na prvega, ki je določen preko Planckove
konstante. Uresničili bi ga z vatsko tehtnico. Večje tehtnice te vrste delujejo
v amerǐskem Državnem inštitutu za standarde in tehnologijo NIST, v angle-
škem Državnem fizikalnem laboratoriju NPL, v švicarskem Zveznem uradu
za metrologijo in akreditacijo METAS, v Mednarodnem uradu za uteži in
mere BIPM in v francoskem Državnem laboratoriju za metrologijo in stan-
darde LNE. Zamisel izhaja iz Ampèrove tehtnice, na kateri je nekdaj temeljil
dogovor o amperu. Na raven vodnik s tokom I in dolžino l deluje pravo-
kotno magnetno polje z gostoto B s silo F = IlB. V resnici tehtnice nista
sestavljala vzporedna ravna vodnika, ampak tuljavi s skupno geometrijsko
osjo. Težavno je bilo natančno ugotoviti velikost tuljav in njuno razdaljo.
Težavo je obšel Bryan P. Kibble s predlogom leta 1975. V prvem ko-
raku s tokom v danem magnetnem polju uravnovesijo težo kilogramske uteži
Slika 1. Skupaj s prakilogramom so izdelali več enakih prototipov. Mase nekaterih od
teh so ob treh priložnostih primerjali z maso prakilograma. Ta je po dogovoru natanko
en kilogram in se ne spreminja (K– K). Po spremembah mase drugih etalonov, ki so za-
znamovani z zaporednimi številkami, pa je mogoče sklepati, da se tudi masa prakilograma
spreminja. Mase vseh prototipov ob izdelavi leta 1889 so vzeli za enake.
Vir: http://en.wikipedia.org/wiki/Kilogram.
95–99 97
i
i
“Strnad” — 2012/7/19 — 10:08 — page 98 — #4 i
i
i
i
i
i
Janez Strnad
mg = IlB. V drugem koraku se vodnik po tem magnetnem polju premika
s hitrostjo v in izmerijo inducirano napetost U = lvB. Iz obeh enačb sledi
zveza m = UI/(gv). Produkt UI ima enoto watt, kar je tehtnici dalo
ime. Tok in napetost izmerijo prek kvantnega Hallovega pojava s von Kli-
tzingovo konstanto RK = h/e
2
0 in prek Josephsonovega pojava z Joseph-
sonovo konstanto KJ = 2e0/h. Obe konstanti dasta Planckovo konstanto
h = 4/(K2JRK).
Za zdaj je najnatančneǰsa tehtnica v NIST [2]. Naprava je v dvonad-
stropni stavbi iz lesa brez kovinskih delov, da se izognejo elektromagnet-
nim motnjam. Tehtnica je tako občutljiva, da je treba upoštevati vpliv
plimovanja. Uporabljajo superprevodni magnet. Tuljava se giblje v va-
kuumu, da se izognejo zračnemu uporu. Izmerili so Planckovo konstanto
h = 6,62606901(34) · 10−34 Js z relativno negotovostjo 5 · 10−8 [2].
Na drugi strani pri Avogadrovem načrtu sodeluje osem velikih metrolo-
ških laboratorijev in še druge ustanove z vsega sveta [3]. Izbrali so silicij, ki
ga je mogoče dobiti zelo čistega. Naravni silicij sestavljajo trije izotopi 28
(92,2 %), 29 (4,7 %) in 30 (3,1 %). Zaradi težave z izotopsko sestavo so se od-
ločili za obogatitev. V prečǐsčenem silicijevem hidridu so povečali delež naj-
lažjega izotopa na 99,985 %. Iz njega so pridobili trden silicij in vzgojili velik
monokristal. Iz kristala so izrezali dve krogli z maso po 1 kg in premerom
9,37 cm. Krogli so podrobno premerili in preverili njuno izotopsko sestavo
in kristalno zgradbo. Pri merjenju so tako dobili dve vrsti podatkov, ki so
jih lahko primerjali med seboj. Z rentgensko svetlobo so ugotovili razdaljo
med sosednjima atomoma v kristalu. S tem so izračunali število silicijevih
atomov v kroglah. Kristalizacija je delovala kot
”
ojačevalnik z majhnimi
motnjami“ tako, da so se izognili neposrednemu štetju atomov. Nazadnje
so dobili za Avogadrovo konstanto NA = 6,022 140 78(18) · 1023/mol, ki ji
ustreza relativna negotovost 3,0·10−8. Pri merjenjih z vatsko tehtnico naj bi
na NIST dosegli že relativno negotovost 3,6 · 10−8. Po dogovoru Generalna
konferenca ne namerava predlagati dokončnih sprememb, preden relativne
negotovosti ne bodo zmanǰsali pod 2 · 10−8.
Po pričakovanju sta se oblikovali dve skupini. Tisti, ki stavijo na elek-
trična merjenja, se zavzemajo za
”
elektronski“ dogovor, tisti, ki mislijo na
število atomov, pa za
”
Avogadrovega“ [4]. CIPM je priporočil:
”
Ker je
pomembno, da o osnovah našega sistema enot poučujemo v šolah in na
univerzah, je zaželeno, da so definicije osnovnih enot razumljive za študente
vseh strok, kolikor to dopušča sodobno naravoslovje.“ Nekateri zagotavljajo,
da je
”
elektronski“ dogovor zapleten in številni šolarji ne poznajo Planckove
konstante. Zato predlagajo dogovor: kilogram je 8444668893 · 1000 atomov
ogljika 12, ki niso vezani in mirujejo v osnovnem stanju [5]. Tak dogovor s
celim številom atomov naj bi šolarji laže razumeli. Zagotovo bo razprava še
98 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Strnad” — 2012/7/19 — 10:08 — page 99 — #5 i
i
i
i
i
i
vroča. Že zdaj v strokovnih revijah številni članki zagovarjajo eno ali drugo
možnost. Generalna konferenca se ponavadi sestaja na štiri leta, naslednji
sestanek pa načrtujejo že leta 2014. Tedaj lahko pričakujemo prve sklepe.
LITERATURA
[1] Resolution 1 of the 24th of the CGPM (2001)
http://www1.bipm.org/en/CGPM/db/24/1/.
[2] R. L. Steiner, E. R. Williams, D. B. Newell, R. Liu, Towards an electronic kilogram:
an improved measurement of the Planck constant and electronic mass, Metrologia 42
(2005), 431–441.
[3] B. Andreas in drugi, An accurate determination of the Avogadro constant by counting
the atoms in a 28Si crystal, Phys. Rev. Lett. 106 (2011) 030801.
[4] R. P. Crease, Metrology in the balance, Physics World 24 (2011), 39–45 (3).
[5] T. P. Hill, J. Miller, A. C. Cesullo, Towards a better definition of the kilogram, Me-
trologia 48 (2011), 83–86.
VESTI
STROKOVNA EKSKURZIJA
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira v soboto,
22. septembra 2012, strokovno ekskurzijo na Avstrijsko Koroško. Ta bo
vključevala tudi nekaj kulturnega programa. Avtobusni prevoz bo sponzo-
riralo DMFA.
Če želite prejemati nadaljnja obvestila, prosim, da to sporočite čim prej
na naslov: Mitja.Rosina@ijs.si. Obenem se lahko tudi preliminarno (neob-
vezujoče) prijavite; prijave bodo možne tudi pozneje.
Okvirni program:
• hǐsa eksperimentov (fizika na igrǐsču) v Kočuhi pri Borovlju
• Planetarij v Celovcu,
• Goršetova galerija v Svečah,
• Kraigherjeva galerija v Bistrici v Rožu,
• (morda tudi Minimundus in živalski vrt plazilcev v Celovcu).
Prisrčno vabljeni!
Mitja Rosina
http://www.obzornik.si/
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3 99
i
i
“Ambrozic” — 2012/7/28 — 9:09 — page 100 — #1 i
i
i
i
i
i
ŠOLA
VIZUALIZACIJA VEKTORSKIH POLJ V FIZIKI Z
UPORABO BARVNIH KOMBINACIJ
MILAN AMBROŽIČ IN MARKO GOSAK
Fakulteta za naravoslovje in matematiko
Univerza v Mariboru
PACS: 41.20 Gz, 41.20 Cv, 47.10 A-, 61.30 Cz
Razumevanje številnih fizikalnih pojavov je pogojeno z njihovo dobro predstavljivostjo
v treh dimenzijah. Mednje spadajo deformacija trdnih teles, pretakanje tekočin, električni
in magnetni pojavi, orientacija molekul v anizotropni mehki snovi itd. Številne od teh
pojavov nazorno opisujemo z raznimi vektorskimi polji, na primer polji sil, ki se razprosti-
rajo v tridimenzionalnem prostoru. Za vizualizacijo vektorskih polj je uveljavljenih veliko
načinov, kot so prikaz usmerjenih daljic (puščic), silnic ali ekvipotencialnih ploskev, in
vsak izmed njih uporablja bodisi prikaz v tridimenzionalni perspektivi bodisi izris karak-
terističnih presečnih ravnin. V tem prispevku predstavljamo zanimiv in do neke mere
izviren način vizualizacije smeri vektorskih polj, in sicer z uporabo RGB (R = red =
rdeča, G = green = zelena, B = blue = modra) barvnega sistema. Te tri barve priredimo
osem kartezičnega koordinatnega sistema: rdečo za smer x, zeleno za smer y in modro
za smer z. Z ustreznim mešanjem posameznih barv lahko tako v vsaki točki ponazorimo
usmerjenost vektorja. Kot zgled pokažemo različne strukture električnih in magnetnih
polj, hitrostno polje zračnih tokov okoli sredǐsča tornada ter nekatere nematične tekoče-
kristalne strukture. Izkaže se, da uporaba takšnega barvnega ozadja, na katero so dodane
še kratke daljice, poda nazorno informacijo o strukturi in lastnostih fizikalnega sistema.
VISUALIZATION OF VECTOR FIELDS IN PHYSICS WITH THE USE
OF COLOUR COMPOSITIONS
A good imagination in three dimensions is crucial for a proper understanding of
various physical phenomena. Examples include deformation of solids, fluid dynamics,
electric and magnetic phenomena, orientational order in soft matter systems etc. Many
of these phenomena are well described by various vector fields (e.g., force fields) in three-
dimensional space. In order to effectively visualize vector fields, various methods have
been established, such as drawing of field lines, arrows or equipotential lines. In all those
cases the vector fields are presented either in three-dimensional perspective or in cross-
section planes. Nevertheless, here we provide a novel way for the visualization of the
directions of the vector fields with the RGB color system. The three axes of Cartesian
coordinate system are assigned with three colors (R = red for x-axis, G = green for y-axis
and B = blue for z-axis). The direction of a vector in each point can then be characterized
with a proportional mixing of these colors. As a representative example we show various
setups of electric and magnetic fields, the tornado’s velocity field and some nematic liquid
crystal structures. It turns out that using this technique, the structure and characteristics
of a physical system can be visualized clearly, particularly when sticks are added to the
colored background.
100 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Ambrozic” — 2012/7/28 — 9:09 — page 101 — #2 i
i
i
i
i
i
Vizualizacija vektorskih polj v fiziki z uporabo barvnih kombinacij
Uvod
Meteorologija, dinamika tekočin in elektromagnetizem je le nekaj področij,
pri katerih se srečujemo z vektorskimi polji. Naše razumevanje posameznih
pojavov pa je pogojeno z njihovo dobro predstavljivostjo, in to še zlasti, ko se
polje razprostira v treh dimenzijah. Ključnega pomena pri tem je dobra vi-
zualizacija, ki so ji strokovnjaki najrazličneǰsih panog v preteklosti namenili
že veliko pozornosti [1]. Tradicionalne metode predstavitve vektorskih polj
so prikaz usmerjenih daljic (puščic), silnic in ekvipotencialnih ploskev, ki
lahko pri ponazoritvah bolj zapletenih struktur v treh dimenzijah postanejo
neučinkovite. Za bolǰso 3D predstavljivost so bile razvite tudi napredneǰse
metode, ki vključujejo uporabo tekstur, prosojnosti ali obarvanosti puščic.
Na primer, za oris strukture paličastih tekočih kristalov v relativno enostav-
nih geometrijah radi posamezne podolgovate molekule ponazorijo s pobar-
vanimi elipsoidi, kjer barve ustrezajo določeni lokalni usmerjenosti molekul
[2]. Takšen prikaz je lahko pomanjkljiv v zelo kompleksnih geometrijah, ki
vsebujejo domene in defekte [3], saj bi potrebovali res ogromno elipsoidov
za ustrezno simulacijo strukture, s tem pa se preglednost izgubi.
V tem prispevku predstavimo do neke mere inovativen in relativno pre-
prost način vizualizacije vektorskih polj. Naši prikazi temeljijo na izrisu
dvodimenzionalnih presečnih ravnin, na katerih opazujemo projekcije vek-
torskih polj na izbrano ravnino. Popolneǰso sliko o smereh polja v treh
dimenzijah dobimo potem z izrisom snopov vzporednih ravnin v različnih
smereh. Pri prikazu smeri na dani ravnini uporabimo barvne kombinacije,
vendar pri tem ne obarvamo posameznih daljic ali puščic, temveč celotno
ravnino, pri čemer barva posamezne točke ponazarja lokalno smer vektor-
skega polja. Za podkrepitev slike obarvano ozadje dopolnimo še s paličicami.
Prikazali bomo nekaj primerov vektorskih polj (samo smeri in ne veliko-
sti): električno polje dipola in kvadrupola, magnetno polje okoli tuljave,
hitrostno polje vetra v okolici tornada ter dve tekočekristalni strukturi, kjer
barve ponazarjajo usmerjenost molekul tekočega kristala. Pripravili smo
tudi prikaz in animacije za številne druge sisteme, kot so električno polje
okoli dveh ali štirih enakih nabojev in okoli naelektrene zanke, električnega
oktopola, magnetno polje okoli vodnika in zanke, po katerih teče električni
tok, ter različnih tekočekristalnih struktur. Vsi primeri so v obliki Power-
Point predstavitev objavljeni na spletu in prosto dostopni na spletni strani:
http://kompetence.uni-mb.si/gradiva.html .
Prikaz smeri vektorjev z barvami
Za izris barvnega ozadja uporabimo znani RGB sistem za mešanje barv, ki je
neposredno povezan tako z osnovnimi mehanizmi zaznavanja barv v našem
100–108 101
i
i
“Ambrozic” — 2012/7/28 — 9:09 — page 102 — #3 i
i
i
i
i
i
Milan Ambrožič in Marko Gosak
očesu kakor tudi z delovanjem barvnih monitorjev in televizorjev [4–6]. V
očesu imamo tri vrste čutnih celic za barve (čepnice), ki so vsaka zase najbolj
občutljive za rdečo, zeleno in modro svetlobo. Te tri barve so opredeljene
kot osnovne ali primarne barve, vse druge pa lahko dobimo z ustreznim
seštevalnim mešanjem teh treh barvnih svetlob. Zastopanost posamezne
osnovne barve je največkrat določena s celo-̌stevilčno vrednostjo med 0 in
255. V praksi to pomeni, da je v RGB zapisu rdeča barva definirana kot
(255,0,0), zelena kot (0,255,0) in modra kot (0,0,255). Preostale spektralne
barve dobimo z različno zastopanostjo posameznih barv. Na primer: zapis
(255,255,0) pomeni rumeno barvo, medtem ko zapis (180,180,0) ponazarja
odtenek rjave barve. Več o tovrstnem mešanju barv v navezavi z delovanjem
barvnih monitorjev lahko zainteresiran bralec najde v [5, 6].
Naša osnovna ideja pri ponazoritvi smeri vektorjev z RGB barvnim prin-
cipom je, da tri osnovne barve priredimo osem kartezičnega koordinatnega
sistema: rdečo za smer x, zeleno za smer y in modro za smer z. Naj ima
enotski vektor n (dobimo ga z normiranjem nekega fizikalnega vektorja,
npr. n = E/E za električno polje) komponente n = (nx, ny, nz). Tedaj
lahko deleže RGB barv pri obarvanju točke, kjer se ta vektor nahaja, dolo-
čimo takole: R = n2x, G = n
2
y, B = n
2
z, tako da velja R+G+B = 1. Potem
lahko uporabimo kak računalnǐski program, kot je Mathematica, ki omogoča
poljubno mešanje RGB barv za grafične objekte. Namesto tega bi lahko de-
lež barv podali v skali celih števil od 0 do 255, vendar pa uporabljena skala
ne vpliva na končno sliko. Vsi prikazi so seveda dvodimenzionalni (2D), kar
pomeni, da opazujemo na eni sliki le smeri 3D vektorskih polj na izbrani
ravnini. Če je to na primer ravnina xy, pomeni to dvoje: 1) gledamo lokalno
3D polje v točkah te ravnine, 2) s paličicami vidimo samo pravokotno pro-
jekcijo polja na to ravnino, torej ne vidimo komponente nz. Da dobimo 3D
vtis, vzamemo snop vzporednih ravnin v določeni smeri, potem pa še snop
vzporednih ravnin v neki drugi smeri. Paličice, ki jih dodamo na barvno
ozadje, nimajo puščice na ustreznem koncu, zato je potrebno nekaj previ-
dnosti, saj lahko isti prikaz ponazori dve geometriji z nasprotno usmerjenimi
vektorji, na primer: pri električnih poljih odvisno od izbranih predznakov
nabojev.
Električno polje električnega dipola
Električni dipol ponazorimo s parom nasprotno enakih točkastih nabojev
±e, njuno medsebojno razdaljo d pa normiramo na d = 1. Zaradi prak-
tičnih razlogov naboja postavimo na os z, v točki (0, 0,±1/2). Električno
polje v poljubni točki prostora preprosto izračunamo kot vektorsko vsoto
posameznih polj zaradi obeh nabojev, pri čemer pazimo na predznaka na-
bojev. Ponazoritev smeri električnega polja je prikazana v zgornji vrstici
102 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Ambrozic” — 2012/7/28 — 9:09 — page 103 — #4 i
i
i
i
i
i
Vizualizacija vektorskih polj v fiziki z uporabo barvnih kombinacij
slike na strani XI (notranja stran ovitka). Koordinata z na levi sliki nam
pove, za koliko je opazovana ravnina oddaljena od simetrijske ravnine xy
med nabojema. Podobno pomeni koordinata y na desni sliki oddaljenost
opazovane ravnine od ravnine xz, v kateri ležita oba naboja.
Električno polje kvadrupola
Dva pozitivna in dva negativna naboja (dva antiparalelna dipola drug ob
drugem) imenujemo električni kvadrupol. Vse štiri naboje postavimo v xy
ravnino, v točke (±1/2,±1/2, 0). Podobno kot pri izračunu električnega
polja okoli dipola tudi tukaj smer polja v poljubni točki določimo kot su-
perpozicijo prispevkov vseh štirih nabojev. Oblika električnega polja je
prikazana v drugi vrstici slike na strani XI. Bolǰso tridimenzionalno pred-
stavo električnega polja kvadrupola lahko bralec pridobi ob pogledu na sliko
na naslovni strani revije, kjer so prikazane po tri vzporedne ravnine v dveh
smereh.
Magnetno polje ravne tuljave
Tuljavo oblikuje N enakih spiralnih zavojev žice na valju z dolžino l in
polmerom Rtul. Če po žici teče električni tok, se okoli tuljave vzpostavi
magnetno polje, ki ga v dani točki izračunamo numerično z integriranjem
vektorskih prispevkov po vseh krožnih zankah, kot veleva Biot-Savartov
zakon [7]. Predpostavili smo, da ne naredimo velike napake v izračunu polja,
če spiralne zavoje nadomestimo z vzporednimi krožnicami. V našem primeru
smo za geometrijsko os tuljave izbrali os z, sredǐsče pa ima v izhodǐsču.
Tuljava ima polmer Rtul = 1 in je sestavljena iz N = 15 ovojev, pri čemer je
razdalja med sosednjima ovojema δz = 0.2, tako da sega tuljava od z = −1.4
do z = 1.4. Iz tretje vrstice na sliki na strani XI je razvidno, da je polje
znotraj tuljave zelo homogeno in usmerjeno vzdolž simetrijske osi, medtem
ko je v bližini krajǐsč in v zunanjosti nehomogeno.
Hitrostno polje vetra v tornadu
Vsako leto urbana območja v različnih predelih sveta prizadenejo močni ne-
vihtni vetrovi v obliki lijakastih zračnih vrtincev. Tak silovito vrteči se stolp
zraka, ki se spusti iz nevihtnega oblaka in se dotika tal, imenujemo tornado.
Njegov značilni premer je nekaj deset metrov, hitrosti vetrov v njem pa
lahko dosegajo tudi več sto kilometrov na uro. Omeniti je treba, da vidni
del vrtečega se stolpca zraka zajema le približno devetino celotnega območja
vrtenja tornada, vendar hitrost vetra z oddaljenostjo od sredǐsča slabi [8].
Uničujoča narava tega sicer impresivnega pojava kakor tudi nepoznavanje
100–108 103
i
i
“Ambrozic” — 2012/7/28 — 9:09 — page 104 — #5 i
i
i
i
i
i
Milan Ambrožič in Marko Gosak
vseh mehanizmov, ki vodijo do njegovega nastanka, sta spodbudila številne
raziskave na tem področju. Na področju mehanike tekočin so bili izdelani
številni matematični modeli, od katerih si raziskovalci obetajo poglobljen
vpogled v nastanek in delovanje tornadov. Tukaj predstavimo preprost sta-
tični model, imenovan Burgers-Rottov vrtinec [9], ki opisuje hitrostno polje
vetrov v tornadu in predstavlja eksaktno rešitev Navier-Stokesove enačbe.
Kljub svoji relativni preprostosti dokaj realno opǐse razmere v tornadu. V
izvirnem in našem prirejenem brezdimenzijskem zapisu ima naslednjo obliko:
v′r = −αr′ → vr = −kr ,
v′ϕ =
Γ
2πr′
· (1− e
−αr′2
2γ )→ vϕ =
1− e−r2
r
, (1)
v′z = 2αz
′ → vz = 2kz ,
pri čemer so vr, vϕ in vz komponente hitrosti v cilindričnem koordinatnem
sistemu. Tako se radialna komponenta vr nanaša na komponento hitrosti v
radialni smeri (vlek navznoter), azimutalna komponenta vϕ ima smer tan-
gente na krožnico, komponenta vz pa ponazarja hitrost v navpični smeri. V
izvirni obliki so komponente hitrosti ter radij r in koordinata z seveda zapi-
sani v pravih dimenzijah. Kot je razvidno iz enačb (1), smo renormalizirali
radij takole: αr′2/2γ → r2, in skladno s tem tudi koordinato z. Hitro-
stno komponento vϕ smo renormalizirali takole: 2πv
′
ϕ/Γ→ vϕ, in skladno s
tem tudi drugi dve komponenti. Parameter k je zdaj edini prosti parame-
ter, za vrednost katerega smo izbrali k = 0.002. To vrednost smo dobili iz
značilnih podatkov za dimenzije in hitrosti tornada iz literature (če k prej
izrazimo z dimenzijskimi parametri α, Γ in γ). Račun pokaže, da je največja
vrednost azimutalne komponente hitrosti tornada dosežena pri brezdimen-
zijskem Rtor = 1.12, kar lahko razumemo kot premer jedra tornada. Pred
barvno ponazoritvijo smeri vetra moramo seveda zapis enačb (1) pretvoriti
iz cilindričnih v kartezične koordinate. V četrti vrstici slike na strani XI je
prikazana usmerjenost vetrov do razdalje r = 25 ≈ 22Rtor. Območje notra-
njosti tornada je ponazorjeno z belo krožnico (ravnina xy) oziroma z belima
črtama (ravnina xz). Vidimo, da se v okolici tornada vetrovi vrtinčijo in da
z vǐsino narašča komponenta vetra v smeri koordinate z (proti nevihtnim
oblakom), radialna komponenta hitrosti pa na velikih vǐsinah postaja vse
bolj zanemarljiva.
Polje nematskega direktorja v tekočih kristalih
Tekoči kristali so snovi, ki po eni strani kažejo lastnosti tekočin, po drugi pa
je zanje značilna mikroskopska urejenost in optična anizotropija, s katerima
104 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Ambrozic” — 2012/7/28 — 9:09 — page 105 — #6 i
i
i
i
i
i
Vizualizacija vektorskih polj v fiziki z uporabo barvnih kombinacij
se srečujemo pri trdnih kristalih. Molekule, ki jih sestavljajo, so podolgo-
vate (obstajajo tudi tekoči kristali s ploščatimi molekulami, a teh ne bomo
obravnavali). Zaradi velike občutljivosti in odzivnosti na zunanje motnje
kakor tudi zaradi zanimivih optičnih lastnosti so tekoči kristali dandanes
osnova za delovanje številnih modernih tehnoloških naprav [10]. Optične
lastnosti namreč niso odvisne samo od vrste tekočega kristala, ampak tudi
od njegove strukture, to je notranje razporeditve leg in smeri molekul. Na
primer: pri nematskih tekočih kristalih (NTK), ki jih največ uporabljamo, je
najpomembneǰsa razporeditev smeri podolgovatih molekul. Njihovo usme-
ritev opǐsemo z lokalnim direktorjem ~n, ki ponazarja lokalno usmerjenost
molekul tekočega kristala v volumenskem elementu. Omejili se bomo na
raziskave struktur v omejeni geometriji, na primer med tankimi stenami ali
steklenimi kapilarami, kjer prihaja do interakcij med NTK in površino, kar
lahko vodi tudi do defektov. Nastale strukture so lahko precej zapletene,
zaradi česar je še posebej pomembno, da jih znamo dobro in nazorno pri-
kazati. Na tem mestu bomo prikazali dve različni strukturi NTK, ki je ujet
v cilindrično poro [11], in sicer valjno pobeglo radialno strukturo ter valjno
radialno zvito strukturo.
Valjna pobegla radialna struktura NTK nastane pri določenih pogojih
v cilindrični pori [11]. Le-ta mora biti dovolj ozka, stene pa morajo mole-
kulam ob njih vsiljevati smer, ki je pravokotna na rob. Simetrijsko os valja
postavimo na os z, tako da je usmeritev molekul neodvisna od koordinate
z. V spodnji vrstici slike na strani XI (prvi in tretji prikaz) je prikazano,
kako so v notranjosti molekule poravnane vzporedno s simetrijsko osjo valja,
medtem ko so z oddaljevanjem od te osi vedno bolj zasukane in so na robu
pravokotne tako na površino kot na simetrijsko os.
Tudi pri valjni radialni zviti strukturi imamo molekule NTK ujete v
tanki cevi, katere simetrijska os leži na osi z, tako da je usmerjenost molekul
neodvisna od te koordinate. Čeprav so tudi v tem primeru z oddaljevanjem
od simetrijske osi molekule vedno bolj zasukane, pa je s slike na strani XI
(spodnja vrstica, drugi in četrti prikaz) razvidno, da je sukanje drugačno
kot pri valjni pobegli radialni strukturi. Tukaj se molekule sukajo okrog
ustreznih radialnih osi (od tod ime strukturi), tako da so ob površju valja
vzporedne s površino in ne pravokotne kot pri preǰsnjem primeru. Takšno
strukturo najlažje dobimo, če uporabimo vijačni NTK, ki ima sam po sebi
težnjo po sukanju molekul v določeno smer.
Možnosti nadgradnje prikazov
Poudariti moramo še eno stvar o prikazu smeri polj s paličicami. Opazujmo
spet projekcijo lokalnega polja v ravnini xy, kot smo omenili v uvodu. Spo-
mnimo se, da gre pri našem prikazu za enotske vektorje, na primer n = E/E.
100–108 105
i
i
“Ambrozic” — 2012/7/28 — 9:09 — page 106 — #7 i
i
i
i
i
i
Milan Ambrožič in Marko Gosak
Čeprav v tej projekciji ne
”
vidimo“ smeri z, pa vseeno lahko sklepamo o
komponenti nz iz doľzin paličic. Kraǰse paličice v ravnini xy pomenijo večjo
komponento nz; če se paličica na nekem mestu izrodi v pičico, pomeni to
n = (0, 0,±1), na to nas opozori tudi čista modra barva ozadja. Če bi hoteli
poleg smeri vektorjev v prostoru prikazati tudi njihove velikosti, bi si morali
pomagati drugače, ne z dolžino paličic (morda z njihovo debelino, česar še
nismo poskusili).
Še vedno pa obstaja neka nedoločenost glede smeri polja, najsi ga prika-
žemo s paličicami (pa naj imajo te usmerjevalno puščico na enem koncu ali
ne) ali z RGB ozadjem ali kombinirano. Za razlago problema vzemimo pre-
prost primer v projekciji v ravnini xy, ko lokalno polje nima komponente ny,
torej je paličica vzporedna z osjo x. Recimo, da iz njene dolžine sklepamo,
da sta komponenti nx in nz enako veliki, torej nam iz normalizacije vektorja
ostanejo le štiri možnosti: n = (±1/21/2, 0,±1/21/2). Za popolneǰso infor-
macijo vzemimo še, da je paličica usmerjena s puščico na desni strani, kar
pomeni, da je komponenta nx zagotovo pozitivna. Še vedno pa ne moremo
poznati predznaka komponente nz. Ne vemo, ali štrli desni (opuščičeni) ko-
nec paličke nad ravnino xy ali pod njo. Gre za dve različni smeri lokalnega
vektorja, to pa je precej slabše, kot če bi nam bilo neznano samo to, ali kaže
vektor v eno smer ali vzporedno nasprotno smer. V nekaterih simetričnih
strukturah nas delno pomanjkanje informacije o smeri polja ne moti, po-
sebno če se nam smer popolnoma razkrije v drugih projekcijskih ravninah,
na primer ravnini xz. Pri opisanem gradivu se zato s tem problemom nismo
ukvarjali. Lahko pa uporabimo razne preproste trike: npr. na tisti strani
paličice, ki gleda nad dano projekcijsko ravnino, dodamo na konec majhno
bunkico (pozor: to ni isto, kot če paličici dodamo vektorsko puščico!). Za
zgled si oglejmo sliko helične tekočekristalne strukture desnosučnega vijač-
nega NTK v projekciji xy (slika 1). Sučna os je os y: smer vektorjev se
spreminja samo v tej smeri, ni pa odvisna od koordinat x in z. To pomeni,
da je v vsaki ravnini, pravokotni na os y, polje homogeno. V katero smer se
molekule vrtijo pri sprehajanju v smeri y, je glede na pomen bunkic bralcu
takoj jasno in ne potrebuje še projekcije na ravnino xz.
Testiranje v šoli in sklep
Opisana vizualizacija je lahko zanimiva poživitev pouka fizike v srednjih
in visokih šolah, uporabili pa bi jo lahko tudi na drugih področjih, kjer
bi želeli na relativno preprost način prikazati zapletene tridimenzionalne
strukture: v inženirstvu, osnovni in aplikativni znanosti (predvsem na njenih
naravoslovnih in tehničnih področjih, pa tudi v zvezi z nekaterimi športnimi
dejavnostmi), pri popularizaciji znanosti, itd.
Da bi preverili uporabnost in učinkovitost zamǐsljenega RGB prikaza
106 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Ambrozic” — 2012/7/28 — 9:09 — page 107 — #8 i
i
i
i
i
i
Vizualizacija vektorskih polj v fiziki z uporabo barvnih kombinacij
Slika 1. Ponazoritev smeri molekul vijačnega NTK z dodatno uporabo
”
bunkic“ na
paličicah (ravnina xy). Zaradi črno-belega izpisa so smeri ponazorjene s sivinami name-
sto z barvami: svetlo-siva predstavlja usmerjenost vzdolž osi x, temno-siva vzdolž osi z
(pravokotno na ravnino papirja), y komponenta pa na prikazu ni prisotna.
smeri vektorskih polj, smo pripravili tudi ustrezno gradivo z nekaterimi od
naštetih fizikalnih sistemov za izvedbo v eni šolski uri in ga testirali pri dija-
kih (en oddelek maturitetnega četrtega letnika) in študentih fizike. Pri dija-
kih smo gradivo testirali v okviru projekta Razvoj naravoslovnih kompetenc
[11–13]. Delež pravilnih odgovorov na različna vprašanja o tekočekristalnih
strukturah se je gibal med 30 % in 80 %, študentje pa so bili pri testiranju
nekoliko uspešneǰsi od dijakov v četrtem letniku. Velike so bile tudi razlike
v uspešnosti odgovarjanja med posameznimi osebami, kar priča o tem, da
so nekateri zelo dobro in hitro ujeli idejo prikaza smeri vektorskih polj z
barvnimi kombinacijami, drugim pa v sicer relativno kratkem času to ni
uspelo. V neformalnih pogovorih, ki smo jih izvajali po testiranju, so nam
100–108 107
i
i
“Ambrozic” — 2012/7/28 — 9:09 — page 108 — #9 i
i
i
i
i
i
Milan Ambrožič in Marko Gosak
študentje zaupali, da se jim način prikaza z RGB barvnim principom zdi
dober, vendar se mora človek nanj navaditi. Bolj oprijemljivih sklepov nam
rezultati ne morejo podati, saj je bil vzorec testiranih oseb dokaj skromen,
rezultati pa so lahko odvisni tudi od tega, ali je predavatelj dijakom oziroma
študentom dajal kake sugestije med predvajanjem PowerPoint prosojnic. Če
povzamemo, dijaki in študentje so bili sposobni dokaj hitro usvojiti spre-
tnost vizualizacije prostorskih smeri z barvami. Omenimo še, da je takšen
način obarvanja presečnih ravnin še posebej koristen tam, kjer paličke ali
puščice same po sebi ne zadostujejo za enoličen prikaz smeri vektorskega
polja, kar se dogaja v bolj zapletenih sistemih [11].
LITERATURA
[1] F. H. Post, J. J. van Wijk, Visual representation of vector fields: Recent developments
and research directions, Scientific Visualization: Advances and challenges, Academic
Press, 1994, Waltham, ZDA.
[2] A. Sazonovas, S. Orlandi, M. Ricci, C. Zannoni in E. Gorecka, A computer simulation
study of the ordered phases of some mesogenic fullerene derivatives, Chem. Phys.
Lett., 2006, 430, str. 297.
[3] P. G. De Gennes in J. Prost, The Physics of Liquid Crystals, Oxford University Press,
1993, Oxford.
[4] C. G. Mueler, Svetloba in vid, Mladinska knjiga, 1970, Ljubljana.
[5] V. Grubelnik in M. Marhl, Kako delujejo barvni monitorji? Fizika v šoli 12, 2006,
str. 10.
[6] Dodatek k članku [5]: Kako delujejo barvni monitorji? ; dostopno na:
http://www.grubelnik.com/zaznavanje_barv/
[7] J. Strnad, Fizika, 2. del, DMFA – založnǐstvo, 1995, Ljubljana.
[8] M. Demšar, Tornado, 2004, pridobljeno iz svetovnega spleta na; http://www.
kvarkadabra.net/article.php/2004042718192588
[9] P. Markowski in Y. Richardson, Mesoscale Meteorology in Midlatitudes, John Wiley
& Sons Ltd., 2010, Chicester, UK.
[10] M. Vilfan in I. Muševič, Tekoči kristali, DMFA – založnǐstvo, 2002, Ljubljana.
[11] M. Milfelner, M. Ambrožič, M. Krašna, M. Cvetko, A. Zidanšek in R. Repnik, Visua-
lization of nematic director field with the RGB color system, Mol. Cryst. Liq. Cryst.,
2012, 553, str. 50.
[12] Razvoj naravoslovnih kompetenc; pridobljeno 28. 12. 2011 z: http://kompetence.
uni-mb.si/
[13] V. Grubelnik (ur.), Opredelitev naravoslovnih kompetenc (znanstvena monografija
projekta RNK), Fakulteta za naravoslovje in matematiko, 2010, Maribor.
108 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Mohoric” — 2012/7/19 — 10:20 — page 109 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Stephen Hawking in Leonard Mlodinow: Veliki načrt, Novi od-
govori na zadnja vprašanja o življenju, DMFA – založnǐstvo, Lju-
bljana 2011, 164 str.
Naslov, ki veliko obeta . . .
Avtorja, ki ju ni treba pose-
bej predstavljati . . . No, dru-
gega mogoče. Mlodinow je te-
oretik, matematični fizik, ki je
(bil) dejaven na polju kvantne
mehanike, zdaj pa je njegov in-
teres raztresen na široko, najbolj
pa po popularni in poljudni zna-
nosti, dela pa na Caltechu.
Naj se zdaj vrnem h knjigi.
Njen podnaslov je
”
Novi odgo-
vori na zadnja vprašanja o ži-
vljenju“. Avtorja že uvodoma
ugotovita, da je filozofija mrtva
in da le še znanost lahko od-
govori na večna vprašanja člo-
veštva, kot so
”
Zakaj je nekaj,
ne nič?“,
”
Zakaj obstajamo?“ ter
”
Zakaj ta niz zakonov in ne drug?“
Kot rečeno, knjiga veliko obeta. Vprašanje je, ali to tudi ponudi. Sam
mislim, da ne. Je pa vsekakor vredna branja. Če drugega ne, ponuja zani-
mive iskrice, zglede in mogoče bo poznavalcu tematike dala misliti, kakšen
je nivo, na katerem je treba komunicirati s splošno populacijo. Avtorja
dokazujeta, da za svet, kot ga dojemamo, Bog ni potreben. Ta debata je
zelo razširjena na Zahodu, pri nas pa bo mogoče nerazumljena in se nam
bo morda zdela celo nepotrebna. V delu zaznamo namig, da Velika enotna
teorija (GUT) ne drži, avtorja sta bolj naklonjena teoriji M in zgodovini
mnogoterih vesolij. Po mojem mnenju nekoliko pristransko, saj avtorja
sama priznavata, da je naš opis narave bolj ali manj le model tega, kar
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3 109
i
i
“Mohoric” — 2012/7/19 — 10:20 — page 110 — #2 i
i
i
i
i
i
dojemamo, in velikega uspeha standardnega modela pri opisu rezultatov
poskusov ne bi smela enačiti z modeli, za katere si težko predstavljamo,
kako bi jih s poskusi pravzaprav podprli. Pohvalil bi zgodovinski pregled
znanja o vesolju, ki je verjetno ravno dovolj obsežen in zanimiv za nekoga,
ki bo o tem prvič bral. Delo je bilo v tujini prodajna uspešnica, za kar sta
bila verjetno dovolj že zvezdnǐska avtorja in provokativen naslov, doživelo
pa je mešane odzive. Kritičnih celo več kot pozitivnih. Knjigo je prevedel
Janez Strnad, v okviru Knjižnice Sigma pa jo je izdalo DMFA – založnǐstvo.
Obsega 164 strani (ravno prav za na plažo) in jo dobite po članski ceni 14,95
EUR.
Aleš Mohorič
Janez Strnad: Svet nihanj in valovanj, DMFA – založnǐstvo, Lju-
bljana 2010, 200 str.
Knjiga
”
Svet nihanj in valovanj“
avtorja Janeza Strnada, izdana
pri založbi DMFA – založnǐstvo,
opisuje pojav nihanja in valo-
vanja čez vse veje fizike. Ni-
hanja in valovanja so zelo po-
membna pri raziskovanju v fiziki
in v vsakdanjem življenju ter se-
gajo v veliko vej fizike. Zavest o
vezeh med vejami fizike prispeva
k razumevanju zakonov fizike in
zaupanju vanje. Razlaga z opi-
som enega pojava se razlikuje od
običajnega poučevanja, pri kate-
rem postopno pridejo na vrsto
vse veje fizike. Ta postopek je
nekoliko nenavaden, a zanimiv
in inovativen ter poživi pogled
na fiziko. Tak način sicer ne
more nadomestiti poučevanja, a je smiseln za tiste, ki bi radi poglobili svoje
znanje.
110 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Mohoric” — 2012/7/19 — 10:20 — page 111 — #3 i
i
i
i
i
i
Svet nihanj in valovanj
Knjiga je razdeljena na dve poglavji – svetova: Svet nihanj in Svet va-
lovanj. Razdelitev je smiselna, čeprav je v nekaterih primerih težko ločiti
med pojavoma, a avtor se tem zagatam uspešno izogne in rdeča nit pripo-
vedi lepo teče skozi celotno delo. Svet nihanj je razdeljen na podpoglavja
Prema nihanja, kjer so sistematično in pregledno razloženi pojmi, ki kasneje
služijo razlagi drugih pojavov, Sučna nihanja ter Električna nihanja. Svet
valovanj je razdeljen na podpoglavja Valovanja v mehaniki, Elektromagne-
tno valovanje ter Gravitacijsko valovanje.
Poglavja so odlično grafično podprta, spremljajo jih zanimivi zgledi iz
zgodovine in zgledi uporabni za učitelje in pouk fizike v srednjih ter viso-
kih šolah. Razlago avtor zgradi sistematično, kar v obširni in razdrobljeni
literaturi pogrešamo, in besedilo lahko služi kot referenca učiteljem oz. raz-
lagalcem pojavov pri nihanju in valovanju. Nekatere razlage so po matema-
tični strani zahtevneǰse, vendar je besedilo sestavljeno tako, da se ta mesta
lahko brez škode preskoči. Navedeno je precej virov, ki opozarjajo tako na
preprosteǰso kot tudi na podrobneǰso obravnavo. Avtor pozornost posveča
pojavom in razlagam, ki povzročajo dijakom in študentom v prvih letnikih
težave. To velja na primer za spektre, ki jih srečajo že v srednji šoli. Prav
odstavek o njih je eden od matematično najzahtevneǰsih. Poleg tega je v
besedilo vključena snov, ki se ji pri poučevanju v srednji šoli in v prvih
letnikih na univerzi navadno izognejo, na primer potresno in gravitacijsko
valovanje.
Izdaja besedila v okviru Knjižnice Sigma je prikladna za učence, dijake
ali študente, ki se posebej zanimajo za fiziko, veliko zanimivega pa bodo v
delu našli tudi učitelji fizike in bralci, ki želijo okrepiti splošno znanje.
Naročite jo lahko pri DMFA – založnǐstvo po članski ceni 15,99 EUR.
Aleš Mohorič
http://www.obzornik.si/
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3 111
i
i
“Oblak” — 2012/7/24 — 11:37 — page 112 — #1 i
i
i
i
i
i
Fred Watson: Zakaj je Uran prekucnjen? Kar bi radi vedeli o
astronomiji, pa niste nikoli vprašali, DMFA – založnǐstvo, Lju-
bljana 2010, 250 str.
Avtor poljudne knjige o astro-
nomiji, ki se je rodil leta 1944
na Škotskem, dokončal študij
matematike in fizike v Edin-
burghu in tam leta 1987 tudi
doktoriral, še največ pove o
sebi sam v prvem poglavju.
Kot mlad astronom Kralje-
vega observatorija v Edinbur-
ghu je leta 1978 odpotoval v
Avstralijo ves navdušen, da
bo lahko uporabljal velikan-
ski novi Anglo-avstralski te-
leskop v Coonabarabranu, ki
je bil takrat eden največjih
teleskopov na svetu. Žal mu
jo je prvič zagodlo slabo vre-
me, vendar ni odnehal in se
je odpravil tja spet naslednje
leto. A že pri prvem obisku v
Avstraliji je spoznal tri astronome, ki so, kakor pravi sam,
”
prekipevali od
idej in navdušenja. Med obiskom sem srečal vse tri in zanetili so ogenj v
meni . . . Tisto, kar je pri teh možeh naredilo največji vtis name, pa je bila
lahkotnost, s katero so svoje zanimanje in navdušenje posredovali komurkoli,
pa naj je bil to profesor astronomije ali taksist. Vsi trije so znali čudovito
razlagati stvari, kar je bila posledica temeljitega znanja in ljubezni do stroke,
pa tudi zdravorazumske presoje, kaj bi zanimalo druge. Predvsem so imeli
radi ljudi. Vsi trije so bili rojeni posredovalci znanosti in napravili so name
globok vtis. Zahrepenel sem po tem, da bi jim bil podoben.“
Želja, da bi posredoval svoje znanje iz astronomije vsem ljudem, ki bi
jih to zanimalo, se mu je uresničila. Že aprila 1982 so ga povabili, da
112 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Oblak” — 2012/7/24 — 11:37 — page 113 — #2 i
i
i
i
i
i
Zakaj je Uran prekucnjen?
v intervjuju na škotskem radiu komentira znamenito odkritje kvazarja, a
zjutraj so njegovo prvo oddajo na angleškem radiu izpodrinile novice o vojni
za Falklandske otoke. Uspelo mu je šele deset let pozneje, ko ga je kot
odgovornega astronoma avstralskega astronomskega observatorija avstralski
radio povabil, da sodeluje v tedenski seriji zgodnjih jutranjih telefonskih
pogovorov o astronomiji.
”
Moji načečkani zapisi vprašanj poslušalcev v obdobju desetih let – sku-
paj z nekaj elektronskimi pismi – predstavljajo hrbtenico te knjige. Vsako
od kakih 150 vprašanj, ki so tu obdelana, mi je poslala kaka živahna in
razmǐsljujoča glava, in odgovoriti sem skušal podobno kot v radijski oddaji.
Natisnjeno besedilo seveda omogoča večje podrobnosti. A nekaj posebnega
so vprašanja sama, ker zadevajo tiste reči, ki bi jih ljudje res radi vedeli –
in ne le tisto, kar znanstveniki mislijo, da bi ljudje radi vedeli.
Nemara bo knjiga bralca nekoliko presenetila. Tako je na primer v njej
veliko več o Zemljini atmosferi, o človekovih junaških podvigih v vesolju in
o vidnih pojavih na Luni, kot bi našel v standardni začetnǐski astronomski
knjigi. Po drugi strani je le malo opisov posameznih planetov – brez dvoma
zato, ker so ljudje o tem dovolj obveščeni iz drugih virov. Z leti se mi je
nabrala tudi peščica vprašanj, ki bi bila primerneǰsa za prvi letnik univerze
kakor za lahkotno radijsko oddajo. Nisem se obotavljal vreči jih ven –
potem ko sem poiskal odgovore in se prepričal, da sem po radiu pravilno
odgovoril . . .“
Res je, kar pravi avtor: knjiga nikakor ni zasnovana kot poljuden pri-
ročnik o astronomiji, ki ga napǐse strokovnjak. Ta namreč besedilo že v
osnovi postavi na teoretična izhodǐsča, medtem ko laiki samo postavljajo
vprašanja, ki se jim porodijo ob pogledu na nebo. In prav njihova vpra-
šanja, natanko taka, kot so mu jih zastavljali poslušalci, je avtor smiselno
povezal v dalǰsa vsebinsko zaokrožena poglavja.
Drugo poglavje Zvezdogledi: astronomija, teleskopi in observatoriji naj-
prej v podpoglavju Opazovanje neba daje bralcu praktične nasvete, nanizane
po vprašanjih poslušalcev. Takšna vprašanja so na primer: Kako najlaže
določimo ozvezdja, vidna ob posameznem času? Kateri teleskop je najbo-
lje kupiti ipd. V podpoglavju Astronomsko orodje odgovarja na vprašanja,
kakor so: Zakaj teleskope raje postavljate na vrhovih gora kot v ravnin-
skih puščavah? Ali je kaka možnost, da bi zgradili večji observatorij na
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3 113
i
i
“Oblak” — 2012/7/24 — 11:37 — page 114 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Antarktiki? Ali je mogoče zgraditi teleskope s tekočimi zrcali? V tretjem
podpoglavju so npr. odgovori na vprašanja: Kako dobivajo imena astro-
nomski objekti? Kako v vesolju merimo razdalje? pa tudi: Kako se lahko
zaposlim v astronomiji? Kakšno je v astronomiji razmerje med ženskami in
moškimi? in končno: Kaj počno astronomi ob oblačnih nočeh?
Tretje poglavje govori o Zemlji. Vprašanja v podpoglavju Merila časa:
vrtenje Zemlje so npr.: Kako nastanejo slike krožnih sledi zvezd? Kako
določamo čas s sončno uro? Ali je mogoče, da letalo leti skupaj z zoro?
Podpoglavje Kroženje zemlje: Zemljina tirnica in štirje letni časi obravnava
vprašanja: Zakaj se datumi enakonočij in Sončevih obratov spreminjajo iz
leta v leto? Zakaj se smer Sončevega vzhoda ali zahoda med letom spremi-
nja? in podpoglavje Dve Zemljini privlačni sili: gravitacija in magnetizem
odgovarja na vprašanja: Kaj bi se zgodilo, če bi lahko spustil kamen v lu-
knjo skozi Zemljo? Zakaj sta vsak dan po dve plimi? Ali se bo magnetno
polje Zemlje obrnilo? Zakaj Zemlji pravimo
”
Zemlja“?
Četrto poglavje govori o svetlobi in atmosferi in obravnava vprašanja,
kot so npr.: Zakaj je nebo modro? Ali je podnevi mogoče videti zvezde?
Zakaj včasih iz letala vidimo krožno mavrico? Ali lahko vidimo mavrico
v mesečini? Ali mavrice nastajajo v megli? Zakaj imata Sonce ali Luna
včasih okrog sebe kolobar? Zakaj zvezde migotajo? Videl sem zvezdo, ki se
je bliskala rdeče, zeleno in modro – kaj je bilo to?
V petem poglavju Vesoljski potniki so odgovori na vprašanja, kot so npr.:
Kako sateliti ostajajo nad Zemljo? Kako raketni pogon lahko spremeni smer
vesoljskega plovila, če ni zraka, skozi katerega bi ga potiskal? Kako vidimo
satelite? Videl sem, kako se je bleščeč, zvezdi podoben objekt prikazal za
nekaj sekund – kaj je bilo to? Na kateri minimalni razdalji od Zemlje bi
videli celotno ploskev planeta? Ali bi lahko odlagali jedrske odpadke na
Sonce? Kdo je lastnik vesoljskih odpadkov?
Šesto poglavje je namenjeno Luni. Nekaj vprašanj: Zakaj se smer Luni-
nega vzhoda in zahoda na obzorju spreminja od noči do noči? Ali je Luna
videti drugačna, če jo gledamo s severne ali južne poloble? Zakaj se Luna
zdi tako velika, kadar je nizko na nebu? Zakaj se zdi, da osvetljeni del Lu-
ninega krajca kaže nekam nad Sonce? Ali se z Lune da videti kitajski zid?
Kako dolg je dan na Luni? Kaj razumemo s pojmom
”
temna stran Meseca“?
Zakaj se zdi, da je Luna na nebu enako velika kot Sonce?
114 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“Oblak” — 2012/7/24 — 11:37 — page 115 — #4 i
i
i
i
i
i
Zakaj je Uran prekucnjen?
Sedmo poglavje govori o Osončju. Nekaj vprašanj: Kako Sonce gori brez
kisika? Kdaj bo Sonce nehalo goreti? Kako je nastalo Osončje? Zakaj se
vsi planeti vrtijo in se ne upočasnijo? Zakaj ležijo planeti bolj ali manj v
isti ravnini? Ali ima to, če se planeti postavijo v vrsto, kake učinke? Ali
imajo drugi planeti magnetna polja? Zakaj je Uran prekucnjen?
Osmo poglavje obravnava našo Galaksijo: Koliko zvezd lahko vidimo s
prostim očesom? Ali lahko kakšne zvezde vidimo vse leto? Kaj so dvojne
zvezde? Kakšna je povprečna razdalja med zvezdami? Iz česa so nevtronske
zvezde? In kaj so pulzarji? Kje je najbližja črna luknja? Ali bi naše Osončje
lahko imelo dvojčka?
Deveto poglavje je namenjeno vesolju: Ali je res, da je zvezd več kakor
zrn peska na vseh peščenih obalah na Zemlji? Kako svetloba pri teh mili-
jonih galaksij prodira skozi vesolje? Kako vemo, da obstaja temna snov?
Kako merimo čas v preteklost?
Deseto poglavje se ukvarja s fizikalnimi osnovami kozmologije in z zgo-
dovino vesolja: Ali lahko kaj potuje z večjo hitrostjo od svetlobne? Kaj
pomeni E = mc2? Ali gravitacija ukrivi prostor? Kaj je bilo pred veli-
kim pokom? Kaj je zunaj vesolja? Kaj je temna energija? Ali obstajajo še
druga vesolja? Od kod je prǐsla energija velikega poka? Zakaj bi se ukvarjali
s kozmologijo – ali ni to samo ugibanje?
Zadnje, enajsto poglavje odgovarja na
”
zares zanimiva“ vprašanja, kakor
pravi avtor: Zakaj naj bi vlade trošile denar za astronomijo in raziskovanje
vesolja, ko pa je toliko drugih potreb? Kaj pa astrologija? Ali astronomi
verjamejo v Boga?
Že iz vprašanj, ki so hkrati naslovi v besedilu, je mogoče razbrati, da
razlage nikakor niso strokovno zapletene. Nikjer ne najdemo nobene enačbe,
razen seveda
”
najslavneǰse“ E = mc2, ki pa je razložena s preprostimi be-
sedami. V zvezi z naslovom knjige npr. izvemo, kaj sploh pomeni to, da
je Uran prekucnjen, pa tudi, zakaj je prekucnjen – ker se je najbrž zaletel
vanj kak protoplanet, podobno velik kot Zemlja. Kar zadeva astrologijo, jo
avtor sprejema kot zabavo, s katero pa se je ukvarjal marsikateri astronom,
npr. Tycho Brahe. Pove tudi, da vera, ki je človeštvo spodbudila k nekaterim
najveličastneǰsim umetnǐskim stvaritvam, nima nič opraviti z astronomijo,
saj sam pozna med astronomi tako ateiste kot prepričane vernike.
Marsikatere odgovore poživljajo tudi anekdote. Avtor pripoveduje, kako
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3 115
i
i
“Oblak” — 2012/7/24 — 11:37 — page 116 — #5 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
je na prvem potovanju v Avstralijo ponoči zagledal skozi okno lunin prvi
krajec – D – torej naj bi se luna debelila in bila čez sedem dni polna, se
pravi, da nočno nebo ne bo primerno za opazovanje! Pomislil je, da se je
grozljivo zmotil in osmešil – in trajalo je celih deset minut, da je prepričal
samega sebe, da D na južni polobli pomeni zadnji krajec.
Naj kot prevajalka še dodam, da prevajanje take poljudne knjige pri-
naša marsikatere dvome. V knjigi, ki je namenjena širokemu krogu bralcev,
sicer še pǐsemo Sončev mrk, težko pa pǐsemo Sončev zahod, Sončeva sve-
tloba itd. Slavisti imajo za to preprosto navodilo: če govorimo o strokovnih
astronomskih pojmih, se Sonce in Luna pǐseta z veliko začetnico, če gre za
pogovorni jezik in vsakdanje pojme, ju pǐsemo z malo. Npr. jutri bo sijalo
sonce, sončni zahod, danes je luna visoko na nebu, in po drugi strani: astro-
navti so šli na Luno, s satelitom opazujemo Sonce. To se slǐsi v redu, a v
tej knjigi se strokovni in vsakdanji pojmi mešajo, npr. “sprememba smeri
Luninega vzhoda in zahoda je v eni noči spektakularno večja kot pri Son-
čevem vzhodu in zahodu“ in
”
ob polni luni Luna vzhaja na nebu približno
takrat, ko Sonce zahaja“. Sicer pa sem se po možnosti izogibala temu, da
bi v istem stavku pisala Sonce ali Luno z veliko in malo začetnico.
Prav tako dela preglavice pridevnik
”
zemeljski“ oziroma
”
Zemljin“. Po
premisleku sem marsikje obdržala
”
zemeljski“, npr. zemeljsko magnetno po-
lje, zemeljsko površje itd. Sem pa pisala Zemljin, kjer sem presodila, da je
nujno: Zemljina tirnica, Zemljina os itd. Mislim, da bi širokemu krogu bral-
cev, ki jim je knjiga namenjena, pretirana raba strokovnih izrazov zbudila
odpor, to pa ne bi bilo v skladu z avtorjevimi željami.
Mislim, da je to knjiga, ki bi jo namesto lahkotnih zgodb za oddih morali
vzeti v roko povprečno razgledani bralci, še posebej če imajo priložnost
opazovati nebo. Lahko jo berejo po vrsti, lahko pa tudi poǐsčejo vprašanje,
ki jih trenutno zanima, saj so vsa vprašanja v obliki podnaslovov navedena
v kazalu. Žal ima knjiga premalo reklame v dnevnem tisku, zato bi jo
člani DMFA, ki zbirko Sigma poznamo, lahko dajali kot darilo prijateljem
in znancem, ki se sicer ne marajo ukvarjati z matematiko in fiziko, jih pa
zanimajo preprosta vprašanja o nebu in vesolju.
Knjigo je v okviru Knjižnice Sigma izdalo DMFA – založnǐstvo. Obsega
250 strani in jo dobite po članski ceni 17,91 EUR.
Seta Oblak
116 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“naloga” — 2012/8/1 — 13:40 — page 117 — #1 i
i
i
i
i
i
VPRAŠANJA IN ODGOVORI
Naloga 1. Koti med osmi rotacije
Dvajseterec lahko analitično konstruiramo tako, da vzamemo tri pravoko-
tnike, ki imajo razmerje med stranicama zlato število. Te postavimo v
koordinatne ravnine s sredǐsči v izhodǐsču. Oglǐsča pravokotnikov so oglǐsča
dvajseterca.
A
B
C
D
Vzemimo točke A(1, 0, τ), B(0, τ , 1), C(−1, 0, τ) in D(0, −τ , 1), kjer je τ
zlato število. Izračunaj kot med osema peterne simetrije, to je na primer α =
∠AOB, kjer je O izhodǐsče, kot β med osema trojne simetrije, to je kot med
poltrakoma, ki gresta iz izhodǐsča skozi sredǐsči trikotnikov ABC in ACD,
ter kot γ med osema peterne in trojne simetrije. Kote izrazi kot arctan(a),
kjer je a poenostavljen izraz. Pri poenostavljanju izrazov upoštevaj lastnosti
(potenc) zlatega števila (in na koncu še njegovo vrednost).
Naloga 2. Trideseterec
Trideseterec je polieder, katerega mejne ploskve so rombi, pri katerih je
razmerje diagonal zlato število. To telo je leta 1611 odkril Johannes Kepler
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3 117
i
i
“naloga” — 2012/8/1 — 13:40 — page 118 — #2 i
i
i
i
i
i
Vprašanja in odgovori
(1571–1630). Izračunaj prostornino tega telesa kot funkcijo dalǰse diagonale
mejne ploskve. Pomagaj si z dejstvom, da lahko trideseterec razdelimo na 6
polovic rombskega dvanajsterca 2. vrste (glej nalogo v Obzornik mat. fiz. 59
(2012) 1 oziroma rešitev spodaj) in kocko, katere rob je dalǰsa diagonala
romba.
Naloga 3. Mreža dveh poliedrov
V peti številki Obzornika 58 (2011) smo objavili verzijo te naloge, vendar
je takrat pomotoma izpadla slika mreže poliedra, zato nalogo objavljamo še
enkrat.
Mreža poliedra sestoji iz štirih enakostraničnih trikotnikov in štirih ena-
kokrakih trikotnikov z osnovnico dolžine 1 in krakoma dolžine
√
2. Izračunaj
prostornino poliedra. (Opozorilo: naloga ima dve rešitvi.)
Dve rešitvi prve naloge iz 1. številke OMF, letnik 59 (2012)
Naloga sprašuje po prostornini rombskega dvanajsterca 2. vrste. Objav-
ljamo dve rešitvi, ki temeljita na različnih razrezih telesa. Prvo je pripravil
avtor naloge Izidor Hafner, drugo pa nam je poslal Franc Savnik.
1) Telo lahko razdelimo na štiri skladne poševne tristrane prizme, kjer je
osnova polovica romba in vǐsina polovica večje diagonale, ter eno pokončno
118 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“naloga” — 2012/8/2 — 9:07 — page 119 — #3 i
i
i
i
i
i
Vprašanja in odgovori
prizmo z rombsko osnovo, katere vǐsina je manǰsa diagonala. Naj bo d dalǰsa
diagonala, potem je kraǰsa diagonala d/σ, če je σ = (1 +
√
5)/2. Skup-
na prostornina poševnih prizem je d3/(2σ), prostornina rombske prizme je
d3/(2σ2). Skupaj: (d3/(2σ))(1 + σ)/σ = d3/2, saj je σ2 = 1 + σ.
2) Mejne ploskve rombskega dvanajsterca 2. vrste so zlati rombi. Dolžino
njihove dalǰse diagonale označimo z e, dolžino kraǰse s f . Potem je f = es ,
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3 119
i
i
“naloga” — 2012/8/1 — 13:40 — page 120 — #4 i
i
i
i
i
i
Vprašanja in odgovori
Slika 1. Dvanajsterec razdelimo na štiri romboedre. Leva dva imata vǐsino e
2
, desna dva
vǐsino f
2
.
Slika 2. Dvanajsterec presekamo z ravnino, ki vsebuje dalǰsi diagonali osnovnih ploskev.
V njej leži tudi najdalǰsa telesna diagonala.
Dvanajsterec razdelimo na dva debela in dva tanka romboedra, kot kaže
slika 1. Debeli ima ploščino osnovne ploskve e
2
2s in vǐsino
e
2 . Tanki rombo-
eder ima enako osnovno ploskev in vǐsino f2 . Dani dvanajsterec ima zato
prostornino e
3
2 .
Zanimiva je tudi izražava prostornine danega dvanajsterca z dolžino nje-
gove najdalǰse telesne diagonale. Označimo to dolžino z d in upoštevajmo
(slika 2), da je d = e+f , pri čemer sta števili e in f v zlatem razmerju. Zato
je d : e = e : f = s in od tod e = ds . Dani rombski dvanajsterec 2. vrste
ima prostornino 12(
d
s )
3.
Urednǐstvo
120 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3
i
i
“StranXI” — 2012/7/24 — 19:01 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
Slika k članku na strani 100
Slika k članku na strani 100. Smer električnega polja okoli dipola in kvadrupola, smer
magnetnega polja okoli tuljave, hitrostno polje vetra v okolici tornada ter smer nematskega
direktorja tekočega kristala v cilindrični pori.
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 3 XI
i
i
“kolofon” — 2012/7/26 — 10:39 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, MAJ 2012
Letnik 59, številka 3
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Razporeditve hiperravnin (Matjaž Konvalinka) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81–93
Sistem enot na poti do sprememb (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95–99
Šola
Vizualizacija vektorskih polj v fiziki z uporabo barvnih kombinacij
(Milan Ambrožič in Marko Gosak) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100–108
Slika k članku (Milan Ambrožič in Marko Gosak) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
Vesti
Strokovno srečanje in 64. občni zbor DMFA Slovenije – vabilo
k sodelovanju (Sandi Klavžar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93–94
Strokovna ekskurzija (Mitja Rosina) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Nove knjige
Stephen Hawking in Leonard Mlodinow: Veliki načrt, Novi odgovori
na zadnja vprašanja o življenju (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109–110
Janez Strnad: Svet nihanj in valovanj (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . 110–111
Fred Watson: Zakaj je Uran prekucnjen? Kar bi radi vedeli o
astronomiji, pa niste nikoli vprašali (Seta Oblak) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112–116
Vprašanja in odgovori
Naloge in rešitev (Uredništvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117–120
CONTENTS
Articles Pages
Hyperplane arrangements (Matjaž Konvalinka) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81–93
The system of units on the way to changes (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . 95–99
Visualization of vector fields in physics with the use of colour
compositions (Milan Ambrožič and Marko Gosak) . . . . . . . . . . . . . . . . . 100–108
School . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100–1008, XI
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93–94, 99
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109–116
Questions and Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117–120
Na naslovnici je RGB prikaz električnega polja kvadrupola za tri vzporedne rav-
nine v dveh smereh (glej članek na strani 100).