OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
SEPTEMBER 2021 STR 81-120 ŠT. 3 LETNIK 68 LJUBLJANA OBZORNIK MAT. FIZ.
C  K M Y 
2021
Letnik 68
3

i
i
“kolofon” — 2021/10/25 — 11:05 — page 1 — #1
i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, SEPTEMBER 2021, letnik 68, številka 3, strani 81–120
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
raˇ cun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovšˇ cina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohoriˇ c (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Paveši´ c, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehniˇ cni urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Raˇ cunalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
ˇ
Clani društva prejemajo Obzornik brezplaˇ cno. Celoletna ˇ clanarina znaša 24 EUR, za druge
družinske ˇ clane in študente pa 12 EUR. Naroˇ cnina za ustanove je 30 EUR, za tujino 35 EUR.
Posamezna številka za ˇ clane stane 6,00 EUR, stare številke 3,00 EUR.
DMFA je vˇ clanjeno v Evropsko matematiˇ cno društvo (EMS), v Mednarodno matematiˇ cno
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za ˇ cisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o reciproˇ cnosti z Ameriškim matematiˇ c-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak tretji mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proraˇ cuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domaˇ cih znanstvenih periodiˇ cnih publikacij.
© 2021 DMFA Slovenije – 2144 Poštnina plaˇ cana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne ˇ clanke iz mate-
matike, fizike in astronomije, vˇ casih tudi kak prevod. Poleg ˇ clankov objavlja prikaze novih knjig
s teh podroˇ cij, poroˇ cila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
ˇ
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ˇ cek v slovenskem jeziku, naslov in izvleˇ cek v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilˇ cene, morajo imeti dovolj izˇ crpen opis, da jih
lahko veˇ cinoma razumemo tudi loˇ ceno od besedila. Avtorji ˇ clankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v raˇ cunalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost ˇ crk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak ˇ clanek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natanˇ cno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematiˇ cnih ˇ clankih splošnost) rezultatov.
ˇ
Ce je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne raˇ cunalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih razliˇ cic urejevalnikov T
E
X oziroma L
A
T
E
X, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo ˇ clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.

GEOMETRIJA TRIKOTNIKA, OROSLAN IN RAVELLO
BOJAN HVALA
Fakulteta za naravoslovje in matematiko
Univerza v Mariboru
Math. Subj. Class. (2010): 51M04, 51M15, 51N20
V ˇ clanku predstavimo Seebachov izrek iz geometrije trikotnika. Dogajanje, podobno
kot pri vodenih ogledih filmov, poteka na dveh kanalih. Na enem poteka matematiˇ cna
predstavitev tematike, na drugem pa klepet o moˇ znostih, dilemah in ozadjih.
TRIANGLE GEOMETRY, OROSLAN AND RAVELLO
In this article, we present Seebach’s theorem, which is a topic in triangle geometry.
The events, as during guided online film screenings, take place on two channels. On
one, there is a mathematical presentation of the topic, and on the other, a chat about
possibilities, dilemmas, and backgrounds.
Uvod
Pred kratkim sem si ogledal slovenski film Oroslan reˇ ziserja Matjaˇ za Iva-
niˇ sina. Film kot medij za prenaˇ sanje sporoˇ cil spremljam z velikim zani-
manjem. Posebej rad imam evropski avtorski film. Oroslan mi je vzbudil
zanimanje ˇ ze ob pripravah na snemanje. Zgodbo Zdravka Duˇ se, ki se je
dogajala na Tolminskem, so avtorji prenesli v Porabje. Sledimo dolgim
meditativnim posnetkom in dogajanju pripenjamo nabor lastnih asociacij.
Film teˇ ce poˇ casi, ˇ casa za osebni prispevek je dovolj. Pozneje sem na spletu
zasledilmoˇ znostvodenegaogledafilma. Filmteˇ ce,vzporednopasemodera-
tor in avtor pogovarjata o ozadjih, idejah in moˇ znostih. Ogled se je izkazal
za dragocenega. Pogosto je potrdil ustreznost lastne percepcije filma in jo
razˇ siril v ˇ stevilne, prej neslutene smeri.
Od tod ideja o podobni eksperimentalni predstavitvi, tokrat matema-
tiˇ cne teme. Nivoja se loˇ cita po pisavi. Matematiˇ cni nivo je pisan v obiˇ cajni
pisavi, nivo klepeta v ozadju pa boste prepoznali po zapisu v taki pisavi.
***
Geometrija trikotnika je veja matematika, ki se ukvarja s fiksnim trikot-
nikom ABC in z njim povezanimi znaˇ cilnimi toˇ ckami, premicami, kroˇ zni-
cami in drugimi objekti. Nekatere teme iz geometrije trikotnika so bile v
Obzorniku ˇ ze prisotne. Tako je bil v ˇ clanku [7] predstavljen pojem znaˇ cilne
toˇ cke trikotnika, v [12] pa kubiˇ cne krivulje trikotnika.
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3 81

Bojan Hvala
Izvrstna vstopna toˇ cka v geometrijo trikotnika je spletna stran ameri-
ˇ skega matematika Clarka Kimberlinga [1], ki med drugim prinaˇ sa seznam
znaˇ cilnih toˇ ck trikotnika z vsemi enciklopediˇ cno zbranimi podrobnostmi.
V tem ˇ clanku bomo uporabljali tam nastopajoˇ ce oznake, ki so v geome-
triji trikotnika standardne. Tako bomo notranje kote trikotnika oznaˇ cevali
z ∠A,∠B,∠C, njihove velikosti pa kar z A,B,C. Povod za to izbiro je
dejstvo, da bomo grˇ ske ˇ crke potrebovali za druge namene. Kimberling v
svojih pojasnilih tudi ugotavlja, da je ta zapis praktiˇ cen in da sega nazaj
vse do Eulerja. Na ta naˇ cin res z isto ˇ crko oznaˇ cimo dve stvari, ogliˇ sˇ ce
trikotnika in velikost notranjega kota, a je verjetnost, da bi pri tem priˇ slo
do nesporazuma, zelo majhna.
Seebachov izrek
Definicija 1. Naj boABC trikotnik v ravnini inP toˇ cka znotraj trikotnika.
Poltraki AP,BP in CP sekajo stranice a,b,c trikotnika ABC v toˇ ckah
A
P
,B
P
in C
P
. Trikotnik A
P
B
P
C
P
imenujemo Cevov trikotnik trikotnika
ABC glede na toˇ cko P.
Slika 1. Levo: Cevov trikotnik glede na toˇ ckoP. Desno: srediˇ sˇ cni in antikomplementarni
trikotnik.
V problemski rubriki revije American Mathematical Monthly je bil leta
1995 objavljen problem, ki je spraˇ seval, ali znotraj trikotnika obstaja toˇ cka
P, glede na katero bi bil Cevov trikotnik enakostraniˇ cen. Odgovor je pozi-
tiven, reˇ sitev je bila objavljena leta 1997 v [3]. Pozneje se je izkazalo, da
je veliko sploˇ snejˇ si rezultat v ˇ clanku [11] ˇ ze deset let prej objavil nemˇ ski
matematik Karl Seebach. Rezultatu reˇ cemo Seebachov izrek.
Izrek 2. Naj boA
1
B
1
C
1
poljuben trikotnik. Potem obstaja natanko ena taka
toˇ cka P znotraj trikotnika ABC, da je Cevov trikotnik A
P
B
P
C
P
trikotnika
ABC glede na toˇ cko P direktno podoben trikotniku A
1
B
1
C
1
.
82 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
Direktna podobnost (oznaka A
P
B
P
C
P
≈ A
1
B
1
C
1
) pomeni, da sta tri-
kotnika podobna na naˇ cin, da za ustrezne kote velja A
P
=A
1
, B
P
=B
1
in
C
P
=C
1
.
Iz izreka seveda takoj sledi, da je znotraj trikotnika natanko ena toˇ cka,
katere Cevovov trikotnik je enakostraniˇ cen. Ta toˇ cka sodi med znaˇ cilne
toˇ cke trikotnika. V zgoraj omenjeni Kimberlingovi Enciklopediji znaˇ cilnih
toˇ ck trikotnika [1] nosi oznako X
370
.
Na sliki 1 desno so razpoloviˇ sˇ ca stranic trikotnika ABC oznaˇ cena z
A
′
,B
′
,C
′
, teˇ ziˇ sˇ ce pa z G. Trikotniku A
′
B
′
C
′
reˇ cemo srediˇ sˇ cni trikotnik
trikotnika ABC. Znano dejstvo je, da velja A
′
B
′
C
′
≈ ABC. Seveda je
A
′
B
′
C
′
Cevov trikotnik trikotnikaABC glede na toˇ ckoG. Iz Seebachovega
izreka torej izhaja, da je teˇ ziˇ sˇ ce G edina toˇ cka znotraj trikotnika, katere
Cevov trikotnik je podoben osnovnemu trikotniku ABC.
***
Znani so primeri pomembnih matematikov, ki so poleg svojih glavnih podroˇ cij z velikim
veseljem gojili tudi geometrijo. Taka sta bila recimo Euler in Plemelj. Nekateri drugi mate-
matiki pa geometriji niso naklonjeni. Geometrijske rezultate doživljajo nekako takole: Imamo
neko družino geometrijskih objektov in potem dokažemo, da je lega neke toˇ cke glede na te
objekte nekaj ˇ cisto posebnega.
To je vˇ casih celo res. Seebachov izrek nam recimo sporoˇ ca informacijo o izjemnosti toˇ cke
X
370
. Sporoˇ ca nam tudi dodatno informacijo o izjemnosti težišˇ ca. Vendar pa, ˇ ce pogledamo
napravi naˇ cin, lahko v teh ugotovitvahpogosto zaznamo zelo lepe in globokerezultate.
NarišimoslikovGeoGebriinpremikajmotoˇ ckoP. (Bralcaprijaznovabim,datodejansko
naredi!) Rišejosenamrazliˇ cniCevovitrikotniki. IzSeebachovegaizrekasledi,danatanaˇ cin
dobimogalerijopravvsehmožnihobliktrikotnikov. Vsakioblikipripadatoˇ cnodoloˇ cenatoˇ cka
P. Znotrajpoljubnegatrikotnikajetorejnapreprostnaˇ cinzakodiranainformacijaopravvseh
oblikah trikotnikov.
***
Geometrija je nazorna in vizualno predstavljiva. To pomeni, da za raz-
liko od nekaterih drugih vej matematike problem lahko hitro razumemo in
ga sorazmerno zlahka predstavimo tudi nespecialistu. Izziv je zdaj, kako
ta problem reˇ siti. Vˇ casih se izkaˇ ze, da kljub preprosti formulaciji dokaz
niti pribliˇ zno ni lahek. To se zgodi tudi v primeru Seebachovega izreka.
Originalni dokaz je dolg, nepregleden in kar kliˇ ce po izboljˇ savah.
***
81–99 83

Bojan Hvala
Vˇ casih se v matematiˇ cnih raziskavah podajamo v zelo abstraktne daljne svetove, vendar
pa potem tam niti ne poˇ cnemo kaj zares ekstremnega. Kot bi poslali vozilo na Mars in se
potem veselili vsakega drobnega premika po njem. Seveda je, na primer, prvi marsovski polet
z dronom velik dosežek. Sploh ob misli na možnost opazovanja in snemanja površja. A tako
velikiprebojisoredki. PodrugistranipaimatudigibanjepostaridobriZemljisvojeprednosti.
Vzaˇ cetkumordaekspedicijanividetitakospektakularna,zatopanamomogoˇ ca,daopravimo
res izdaten sprehod do neznanih ˇ cudes bližnjih grebenov, sotesk in jam, z izjemnimi razgledi
in z inovativno izbranimi prehodi.
***
Kot reˇ ceno je originalni dokaz Seebachovega izreka raˇ cunski, dolgotra-
jen in nepregleden. Velik napredek v smeri preglednosti je leta 2006 napra-
vil jordanski matematik M. Hajja, ki je v ˇ clanku [4] predstavil nov dokaz.
Osnovna ideja je naslednja.
Slika 2. Dokaz M. Hajje, konstrukcija vˇ crtanega trikotnika.
Imamo trikotnik A
1
B
1
C
1
in se spraˇ sujemo po toˇ cki P, da bo veljalo
A
P
B
P
C
P
≈ A
1
B
1
C
1
. Izberimo neki kot ϕ in trikotniku ABC vˇ crtajmo
trikotnik A
2
B
2
C
2
tako, da bo A
2
B
2
C
2
≈ A
1
B
1
C
1
in bo kot ∠BC
2
A
2
=
ϕ (slika 2). To naredimo tako, da najprej izberemo neko toˇ cko C
′
2
∈ c,
odmerimo kot ϕ, dobimo toˇ cko A
′
2
∈a, nato pa od daljice C
′
2
A
′
2
odmerimo
kota A
1
in C
1
ter dobimo toˇ cko B
′
2
. Tako je A
′
2
B
′
2
C
′
2
≈ A
1
B
1
C
1
. Zdaj
pa naredimo razteg s srediˇ sˇ cem v toˇ cki B, ki trikotnik A
′
2
B
′
2
C
′
2
preslika v
podoben trikotnik A
2
B
2
C
2
tako, da toˇ cka B
2
leˇ zi na stranici b. Namesto
uporabe raztega si lahko mislimo tudi, da izbrano toˇ cko C
′
2
premikamo po
stranici c toliko ˇ casa, da ustrezna toˇ cka B
′
2
pade na stranico b.
84 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
Na ta naˇ cin, s spreminjanjem kota ϕ, dobimo druˇ zino vseh v trikotnik
ABC vˇ crtanih trikotnikov, ki so podobni trikotniku A
1
B
1
C
1
. Zdaj pa mo-
ramo dokazati le ˇ se, da se samo pri enem trikotniku iz te druˇ zine daljice
AA
2
,BB
2
inCC
2
sekajo v neki skupni toˇ ckiP, kar pomeni, da je to Cevov
trikotnik glede na neko toˇ ckoP (slika 3). Pri tem se opremo na Cevov izrek
[14], ki pravi, da se daljiceAA
2
,BB
2
in CC
2
sekajo v skupni toˇ cki natanko
tedaj, ko velja
SBA
2
S
SA
2
CS
⋅
SCB
2
S
SB
2
AS
⋅
SAC
2
S
SC
2
BS
=1.
Avtor je nato izraˇ cunal levo stran zgornjega izraza kot funkcijo f spremen-
ljivke ϕ, premislil, na katerem intervalu se giblje kot ϕ, in dokazal, da je f
na tem intervalu monotono naraˇ sˇ cajoˇ ca funkcija, ki zavzame vse pozitivne
vrednosti. Zato vrednost 1 zavzame natanko enkrat. Med vsemi v trikotnik
ABC vˇ crtanimi trikotniki A
2
B
2
C
2
≈ A
1
B
1
C
1
je torej natanko en Cevov
trikotnik glede na neko toˇ cko P.
***
Ena od prednosti geometrije je, da nam nudi možnost vizualizacije. Vsebino lahko pribli-
žamo s sliko. Še posebej uˇ cinkovito to lahko storimo z raˇ cunalniškimi programi za dinamiˇ cno
geometrijo,kisosepojavilipredkakimi30letiinsogeometrijidalimoˇ candodatnizagon. Zelo
pomemben pri tem je pridevnik dinamiˇ cni, kar pomeni, da lahko že narisane objekte interak-
tivno premikamo, ob tem pa dinamiˇ cno spremljamo spreminjajoˇ co se sliko. Med prvimi takimi
programi sta bila Geometer’s Sketchpad in Cabri Geometry, v naših razmišljanjih pa smo že
nekajkrat omenili GeoGebro. V nadaljevanjujo bomo ševeˇ ckrat.
***
ObravnavaniHajjovdokazlahkospomoˇ cjoGeoGebreuˇ cinkovitoilustri-
ramo, ob tem pa premislimo tudi nekatere detajle.
Najprej na podlagi slike 2 premislimo, kako iz trikotnika A
′
2
B
′
2
C
′
2
do-
bimo trikotnik A
2
B
2
C
2
. Zagrabimo toˇ cko C
′
2
in jo pomikamo na levo (oz.
na desno), dokler toˇ ckaB
′
2
ne zadene straniceb. Ker si to premikanje lahko
predstavljamo kot delovanje raztegov s srediˇ sˇ cem v toˇ cki B in z razliˇ cnimi
koeficienti, je jasno, da pri tem postopku toˇ cka B
′
2
teˇ ce po poltraku z iz-
hodiˇ sˇ cem v toˇ cki B. Zato je konˇ cna toˇ cka B
2
kar preseˇ ciˇ sˇ ce tega poltraka
s stranico b. Argument z raztegi nam da tudi, da so stranice nastopajoˇ cih
trikotnikov pri premikanju vzporedne. Zato je stranica B
2
A
2
vzporedna
stranici B
′
2
A
′
2
. Pri narisanem trikotniku A
′
2
B
′
2
C
′
2
torej v prvem koraku do-
bimo toˇ cko B
2
, z nadaljnjima dvema vzporednicama pa ˇ se toˇ cki A
2
in C
2
.
81–99 85

Bojan Hvala
Slika 3. Dokaz M. Hajje, funkcija f je naraˇ sˇ cajoˇ ca.
VGeoGebrilahkotudioznaˇ cimodaljiceizizraza
SBA
2
S
SA
2
CS
⋅
SCB
2
S
SB
2
AS
⋅
SAC
2
S
SC
2
BS
inpri
danem kotu ϕ izpiˇ semo vrednost tega izraza, torej f(ϕ) (slika 3). Potem
na drsniku spreminjamo kot ϕ in eksperimentalno doˇ zivimo dejstvo, da je
funkcija f monotono naraˇ sˇ cajoˇ ca. Pri kotu ϕ, kjer funkcija f zavzame
vrednost 1, tudi nazorno vidimo, da se ustrezne tri daljice sekajo v skupni
toˇ cki. To je tistaedinatoˇ cka, ki jo trikotnikuA
1
B
1
C
1
zagotavljaSeebachov
izrek.
Slika v GeoGebri nam tudi omogoˇ ci premisliti in testirati drobne detajle
v dokazu, kot je recimo interval, na katerem lahko pri danih podatkih izbi-
ramo kotϕ. Upoˇ stevajoˇ c trikotnikC
′
2
BA
′
2
mora veljatiϕ<180
○
−B.
ˇ
Ce to
velja, lahko nariˇ semo daljico C
′
2
A
′
2
. V nadaljevanju od nje odmerimo kota
C
1
in A
1
.
ˇ
Ce naj bo toˇ cka B
′
2
znotraj kota ∠B, mora na spodnji strani ve-
ljatiϕ+C
1
<180
○
. Podoben razmislek na zgornji strani nam daϕ>A
1
−B.
Potegnemo poltrak in dobimo toˇ cko B
2
∈ b. Zdaj nam manjkata le ˇ se dve
vzporednici.
ˇ
Ce ˇ zelimo, da bo toˇ ckaC
2
leˇ zala na stranicic in ne na njenem
podaljˇ sku, morabitiϕ+C
1
zunanjikottrikotnikaAC
2
B
2
inzatoveˇ cjiodA.
Odtodslediϕ >A−C
1
. Podobnopriobravnavitoˇ ckeA
2
dobimoϕ<A+A
1
.
Veljati mora torej: ϕ ∈(m,M), kjer je
m=max{0,A
1
−B,A−C
1
} in M =min{180
○
−B,180
○
−C
1
,A+A
1
}.
Mnoˇ zica (m,M) ni prazna, saj je vsak od elementov iz mnoˇ zice na levi
manjˇ si od vsakega elementa mnoˇ zice na desni.
Posploˇ seni Seebachov izrek
Kljub velikemu napredku pri dokazu M. Hajje je ˇ se vedno ostal vtis, da bi
bilo k dokazu mogoˇ ce pristopitiˇ se bolj neposredno. Okvirna ideja je nasle-
dnja. Imamo trikotnikA
1
B
1
C
1
in iˇ sˇ cemo toˇ ckoP, za katero boA
P
B
P
C
P
≈
A
1
B
1
C
1
. Kaj ˇ ce bi ˇ sli postopoma in bi najprej poiskali toˇ cke P, pri kate-
rih je v trikotniku A
P
B
P
C
P
ustrezen en kot, na primer C
P
=C
1
. Izberimo
86 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
toˇ ckoZ ∈cinsioglejmoCevovetrikotniketoˇ ckP zdaljiceZC (slika4). Ko
toˇ cko P premikamo od Z proti C, koti ∠A
P
C
P
B
P
teˇ cejo od 180
○
proti 0
○
.
Zato na tej daljici obstaja natanko ena toˇ cka, imenujmo joP
Z
, za katero bo
ta kot meril C
1
.
ˇ
Ce izriˇ semo vse toˇ cke P
Z
, ko Z preteˇ ce stranico c, dobimo
neko krivuljo, recimo ji Γ
C
(slika 4). Na njej so toˇ cke P, ki imajo Cevove
trikotnike z ustreznim kotom pri ogliˇ sˇ cu C
P
. Podobno obstajata analogni
krivulji Γ
B
in Γ
A
s toˇ ckami, katerih Cevovi trikotniki imajo ustrezni kot pri
ogliˇ sˇ cihB
P
oz.A
P
. Iskane toˇ cke z vsemi tremi ustreznimi koti so preseˇ ciˇ sˇ ca
teh treh krivulj.
Slika 4. Krivulja toˇ ck z enim ustreznim kotom.
Preseˇ ciˇ sˇ cedvehodtehkrivuljjetoˇ cka,katereCevovtrikotnikimaustre-
zen kot pri dveh ogliˇ sˇ cih. Torej ga ima tudi pri tretjem. Skozi preseˇ ciˇ sˇ ce
dveh krivulj tako zagotovo poteka tudi tretja.
Naˇ crt je torej naslednji: poiskati je treba enaˇ cbe krivulj Γ
A
,Γ
B
in Γ
C
in reˇ siti dobljeni sistem enaˇ cb. Videli bomo, da je ta pristop mogoˇ c in da
prinaˇ sa ˇ se dodatne prednosti. Doslej smo namreˇ c toˇ cke P izbirali samo
znotraj trikotnika. Koncept zlahka posploˇ simo tudi na (skoraj vse) toˇ cke
zunaj njega.
Definicija 3. Naj bo ABC trikotnik v ravnini. Nosilke stranic trikotnika
oznaˇ cimo z n
a
,n
b
,n
c
. Vzporednico premici n
a
skozi ogliˇ sˇ ce A oznaˇ cimo s
q
a
, analogno definiramo premiciq
b
inq
c
. Mnoˇ zico vseh toˇ ck v ravnini, ki ne
leˇ zijo na nobeni od premic n
a
,n
b
,n
c
,q
a
,q
b
,q
c
, oznaˇ cimo z E.
Izberimo toˇ cko P ∈ E. Premice AP,BP in CP sekajo nosilke stranic
n
a
,n
b
,n
c
v toˇ ckah A
P
,B
P
,C
P
. Tudi v tem primeru trikotnik A
P
B
P
C
P
imenujemo Cevov trikotnik trikotnika ABC glede na toˇ cko P.
81–99 87

Bojan Hvala
Slika 5. Cevov trikotnik glede na toˇ cko P zunaj trikotnika ABC.
Mnoˇ zica E je predstavljena na sliki 1 desno. To je ravnina brez ˇ sestih
premic. Premice q
a
,q
b
,q
c
se paroma sekajo v toˇ ckah
˜
A,
˜
B,
˜
C, ki so ogliˇ sˇ ca
takoimenovanegaantikomplementarnega trikotnika
˜
A
˜
B
˜
C. Imeizhajaizdej-
stva, da sliko neke toˇ ckeT z raztegomδ
G,−1~2
imenujemo komplement toˇ cke
T, sliko z inverzno transformacijo, torej raztegomδ
G,−2
, pa antikomplement
toˇ cke T. Razteg δ
G,−2
premice n
a
,n
b
,n
c
zaporedoma preslika v njim vzpo-
redne premice skozi toˇ cke A,B in C, torej v premice q
a
,q
b
,q
c
. Ker toˇ cka A
leˇ zi nan
b
inn
c
, bo njena slika leˇ zala naq
b
inq
c
. Zato je
˜
A antikomplement
toˇ cke A. Analogno velja za
˜
B in
˜
C.
V definiciji 3 smo se bili prisiljeni odreˇ ci toˇ ckam z omenjenih ˇ sestih
premic. V primeru P ∈ n
a
premici AP in n
a
sovpadata, kar pomeni, da
preseˇ ciˇ sˇ ce A
P
v tem primeru ni definirano. V primeru P ∈ q
a
je zadeva
podobna, a manj kritiˇ cna. PremiciAP inn
a
sta zdaj vzporedni, zato prese-
ˇ ciˇ sˇ ceA
P
vklasiˇ cnemsmisluneobstaja. Obstajapa,ˇ cenekolikospremenimo
perspektivo in se preselimo v projektivno ravnino.
Priˇ sli smo do toˇ cke, ko se bomo morali za nadaljevanje zgodbe nekoliko
tehniˇ cno podkovati. Brez ustreznih orodij od tu naprej ne gre veˇ c.
***
Ob misli na ustvarjanje novih orodij se mi v spomin vraˇ ca prizor iz mesteca Ravello na
italijanski Amalfijski obali. Nad obalo se dvigajo strme vzpetine, pejsaži so presunljivo lepi,
a prostora za bivališˇ ca in obdelovanje zemlje je malo. Toda ljudje so se znašli. V strme hribe
so vrezali terase in tam posadili oljke in limonovce. Ob bregove so stisnili bivališˇ ca in ob njih
uredili vrtove. Poti so posuli z belim peskom ter dodali slikovite ograje in kipe. Naravo so
88 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
zaˇ cinili z osupljivo lepo arhitekturo. Ob neki vili so izdelali teraso in nanjo postavili oder za
simfoniˇ cniorkester. Ob poletnihveˇ cerih tam potekajo koncerti.
Skratka, moˇ c ˇ cloveške domišljije je navdušujoˇ ca. Vˇ casih smo ob pogledu na našo civiliza-
cijo pesimistiˇ cni in upraviˇ ceno kritiˇ cni. Marsikaj je v zgodovini res šlo narobe in še vedno gre.
Vendar ob tem vseeno ne smemo pozabiti, koliko ˇ cudovitega smo kot ˇ cloveška vrsta ustvarili.
Ravello je sinonim za ta ponos. V ta kontekst kot pomemben dejavnik sodi tudi matematika.
ˇ
Ce se kot ˇ clani ˇ cloveške vrste ˇ cutimo ponosne ob pogledu na ˇ cudesa Ravella, smo lahko upra-
viˇ ceno ponosni tudi na to, kako smo v teku stoletij iz niˇ c ustvarili najrazliˇ cnejše matematiˇ cne
objekte in teorijeter kako smo jih napresenetljivenaˇ cineuspeli povezati in preplesti.
***
Slika 6. Levo: Ravello, vila Rufolo. Desno: Ravello, detajl.
Ko so teˇ zave s tem, da se dve premici v ravnini vˇ casih sekata, vˇ casih pa
ne, postale nadleˇ zne, se je nekdo spomnil, da bi za vsak snop vzporednih
premic tam nekje v neskonˇ cnostidodal eno dodatno toˇ cko. V njej se zdaj te
premice sekajo. Tako dobimo druˇ zino dodatnih toˇ ck, ki ji reˇ cemo premica
v neskonˇ cnosti. Ravnini s pridruˇ zenimi toˇ ckami na premici v neskonˇ cnosti
potem reˇ cemo projektivna ravnina [8, str. 5–6]. V projektivni ravnini se
torej poljubni dve premici sekata.
ˇ
Ce se zgodi, da preseˇ ciˇ sˇ ce leˇ zi na premici
v neskonˇ cnosti, to pomeni, da sta premici v klasiˇ cnem smislu vzporedni.
Kot smo v ravnino uvedli karteziˇ cne koordinate, lahko uvedemo ustrezne
koordinate tudi v projektivno ravnino. Z njimi enakovredno obravnavamo
obiˇ cajne toˇ cke kot tudi toˇ cke v neskonˇ cnosti. Ena od moˇ znih uvedb ko-
ordinat v projektivno ravnino so trilinearne koordinate.
ˇ
Ce so karteziˇ cne
koordinate definirane glede na dve pravokotni koordinatni osi, so trilinearne
koordinate definirane glede na neki trikotnik. Izkaˇ ze se, da so te koordinate
izjemno primerne za delo v razmerah, ko imamo vseskozi v obravnavi en
fiksen trikotnik. Kot smo omenili ˇ ze v uvodu, tej veji matematike reˇ cemo
geometrija trikotnika.
81–99 89

Bojan Hvala
Trilinearnekoordinatesmo v Obzornikuˇ ze sreˇ cali, in sicer vˇ clanku [12].
Natemmestupovejmole,datoˇ ckeopisujemovoblikiT =α ∶β ∶γ,priˇ cemer
sotorazmerjapredznaˇ cenihoddaljenostitoˇ ckeT odnosilkstranictrikotnika
ABC. Pri tem je predznak koordinate α pozitiven, ˇ ce toˇ cka leˇ zi na istem
bregu nosilke stranicea kot trikotnikABC, in negativen sicer. Analogno to
velja za preostali koordinati. Delo s trilinearnimi koordinatami je omogo-
ˇ cilo nesluten razvoj geometrije trikotnika. S tem orodjem zlahka preverimo
dejstva, za dokaz katerih bi sicer pogosto potrebovali precej inovativnosti.
Poznavanje podrobnosti teh tehniˇ cnih orodij za spremljanje nadaljevanja
naˇ se zgodbe ni nujno potrebno. Radovednemu bralcu pa priporoˇ cam vire
[1, 9, 10, 15].
***
ˇ
Clovekova zmožnost, da na strma poboˇ cja vreže terase, zasadi vrtnice, postavi kipe in
zgradi amfiteater za simfoniˇ cni orkester, je navdušujoˇ ca. Prav tako pa je navdušujoˇ ca tudi
zmožnost matematikov, da v trenutku, ko se stvari zapletajo, ustvarijo inovativna orodja,
prilagojenasituaciji,ki omogoˇ cajoizvrsten vpogled in udobno delo.
***
Slika 7. Prva krivulja ˇ cetrtega reda, Γ
C
.
Vrnimo se k naˇ semu problemu. Pri danem trikotniku A
1
B
1
C
1
iˇ sˇ cemo
toˇ cke P ∈E, da velja A
P
B
P
C
P
≈A
1
B
1
C
1
. Kot smo zastavili naˇ so zgodbo,
pot do reˇ sitve vodi preko krivulj Γ
A
,Γ
B
in Γ
C
. V ravnino uvedemo trili-
nearne koordinate glede na osnovni trikotnik ABC. Oznaˇ cimo k
a
=cotA
1
,
k
b
= cotB
1
in k
c
= cotC
1
. Z uporabo analitiˇ cne geometrije v trilinearnih
90 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
koordinatah brez veˇ cjih teˇ zav izpeljemo [5] enaˇ cbe zgoraj omenjenih krivulj
Γ
A
,Γ
B
in Γ
C
:
α
2
γ
2
−β
2
γ
2
+α
2
β
2
= 2αβγ(−αcosA+k
a
βsinB +k
a
γsinC)
−α
2
γ
2
+β
2
γ
2
+α
2
β
2
= 2αβγ(k
b
αsinA−βcosB+k
b
γsinC)
α
2
γ
2
+β
2
γ
2
−α
2
β
2
= 2αβγ(k
c
αsinA+k
c
βsinB−γcosC).
Gre za krivulje ˇ cetrte stopnje, zapisane v trilinearnih koordinatah. Ker
se pri pretvorbi v karteziˇ cne koordinate stopnja krivulj ohranja, gre za kri-
vulje ˇ cetrte stopnje v obiˇ cajnem smislu.
***
Komatematikiizpeljemonoveenaˇ cbe,jihnajprejpremerimoskritiˇ cnimpogledom. Jevsev
redu? Pri pravkar zapisanih enaˇ cbah najprej opazimo elegantno simetriˇ cno strukturo, kot pri
kaki snežinki. Kot pravi H. G. Hardy: »Lepota je prvi test, na svetu ni trajnega prostora za
grdomatematiko.«Sevedapaelegancašenizagotovilozato,dasozapisaneenaˇ cbebrezhibne
in da bo njihovauporaba uˇ cinkovita.
Za potrditev se zateˇ cemo k eksperimentu z GeoGebro. Ta omogoˇ ca risanje krivulj v kar-
teziˇ cnih koordinatah, v trilinearnih pa ne. Lotimo se torej pretvorbe danih enaˇ cb v karteziˇ cne
koordinateinnatoizrisakrivulj. Spomnimsevznemirjenja,kojebilodeloopravljenoinjebilo
treba pritisnitile šezakljuˇ cni Enter. Rezultat jenasliki 7.
Narišimo še vse tri krivulje hkrati, to je slika 8. Takoj opazimo, da se glavna poanta na
slikipotrdi. Znotrajtrikotnikasekrivuljesekajovnatankoeniskupnitoˇ cki. Nadaljeopazimo,
dasmodogajanjeiznotranjostitrikotnikauspešnopreneslitudinavzven. Naslednjipogledpa
prinese preseneˇ cenje. Priˇ cakovali smo, da bo skozi vsako preseˇ cišˇ ce dveh krivulj potekala tudi
tretja. Na sliki ni vedno videti tako. A nekaj na sliko dodanih elementov razblini dvome.
Nepriˇ cakovana preseˇ cišˇ ca dveh krivulj, skozi katera ne poteka tudi tretja, so bodisi oglišˇ ca
trikotnika ABC bodisi oglišˇ ca antikomplementarnega trikotnika
˜
A
˜
B
˜
C, torej toˇ cke zunaj
množiceE, znotraj katere rešujemoproblem.
Zdajselahkoprepustimonaslednjemuvzgibuobpogledunazgornjeenaˇ cbe. Dabinamreˇ c
enaˇ cbepreoblikovali,jihustreznosešteliterpridobiliekvivalenteninmordapreprostejšisistem
enaˇ cb.
***
Ogliˇ sˇ ca trikotnika imajo trilinearne koordinate A =1 ∶0 ∶0, B =0 ∶1 ∶0
in C = 0 ∶ 0 ∶ 1. Seˇ stejmo po dve zgornji enaˇ cbi in izpostavimo skupne fak-
torje. Zlahka opazimo, da toˇ cka P ∉ {A,B,C} zadoˇ sˇ ca zgornjemu sistemu
81–99 91

Bojan Hvala
Slika 8. Vse tri krivulje: Γ
A
,Γ
B
in Γ
C
.
natanko tedaj, ko zadoˇ sˇ ca sistemu
βγ = α (m
A
α+n
c,B
β +n
b,C
γ)
αγ = β (n
c,A
α+m
B
β +n
a,C
γ)
αβ = γ (n
b,A
α+n
a,B
β +m
C
γ),
kjer je m
A
= (k
c
+k
b
)sinA, n
c,B
= (k
c
sinB −cosB) in so ostali koeficienti
definirani analogno.
Tokrat imamo sistem treh enaˇ cb drugega reda. Toˇ cka P je torej pre-
seˇ ciˇ sˇ ce treh stoˇ znic, oznaˇ cimo jih S
A
,S
B
,S
C
. Premislimo, da ima lahko ta
sistem najveˇ c tri reˇ sitve. Poleg ˇ ze znane reˇ sitve znotraj trikotnika lahko
torej priˇ cakujemoˇ se najveˇ c dve reˇ sitvi zunaj.
Stoˇ znici S
A
in S
B
se lahko sekata najveˇ c v ˇ stirih toˇ ckah. Ob tem prva
oˇ citno poteka skozi toˇ cki B in C, druga pa skozi toˇ cki A in C. Eno od
potencialnih ˇ stirih preseˇ ciˇ sˇ c je torej toˇ cka C, ki pa ne leˇ zi v mnoˇ zici E in
za naˇ s namen ni zanimiva. Tako smo priˇ sli do dodatne informacije glede
Cevovih trikotnikov toˇ ck zunaj trikotnika ABC.
Izrek 4. Naj boA
1
B
1
C
1
poljuben trikotnik. Potem obstajajo najveˇ c tri toˇ cke
P v ravnini, da velja A
P
B
P
C
P
≈A
1
B
1
C
1
.
Dotoˇ cksedokopljemozreˇ sevanjemzgornjegasistema. Dobimokubiˇ cno
enaˇ cbo ene spremenljivke, ki ima lahko tri ali pa samo eno realno reˇ sitev.
Tako se dejansko zgodi, da imamo vˇ casih tri reˇ sitve, vˇ casih pa eno samo.
Na sliki 9 vidimo primer, ko se ustrezne stoˇ znice pri danih trikotnikihABC
in A
1
B
1
C
1
sekajo v treh toˇ ckah.
92 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
Slika 9. Tri stoˇ znice: S
A
,S
B
in S
C
.
Obravnavanipostopekimapredpredhodnimikarnekajprednosti. Omo-
goˇ ca nam obravnavo toˇ ck P zunaj trikotnika. Poleg tega nam ne sporoˇ ca
samoˇ stevilaustreznihtoˇ ckP, paˇ cpatudiomogoˇ ci,daprekozgornjihenaˇ cb
izraˇ cunamo njihove trilinearne koordinate. Na ta naˇ cin je toˇ cko vˇ casih mo-
ˇ zno neposredno prepoznati, ali pa recimo dokazati, da je ne moremo kon-
struirati samo s ˇ sestilom in ravnilom. V ˇ clanku [5] je tako na primer do-
kazano, da v sploˇ snem toˇ cke X
370
samo z ravnilom in ˇ sestilom ni mogoˇ ce
konstruirati.
Cevianske sestre in sestriˇ cne
V tem razdelku bomo spoznali nekaj uporab pravkar predstavljenega pri-
stopa. Opravili bomo kratek informativni sprehod po okolici.
Definicija 5. Naj bo ABC trikotnik v ravnini in P ∈ E poljubna toˇ cka.
Toˇ cka Q ∈ E, Q ~ = P je cevianska sestra toˇ cke P, ˇ ce sta njuna Cevova
trikotnika direktno podobna. Toˇ ckaQ je cevianska sestriˇ cna toˇ ckeP,ˇ ce sta
njuna Cevova trikotnika podobna, a nista direktno podobna.
Recimo, da bi pripravili obrazec, v katerem bi zbirali podatke o doloˇ ceni
toˇ cki P v ravnini. Med drugim bi vanj vpisali njene trilinearne koordinate
glede na osnovni trikotnik ABC, pa oddaljenosti od ogliˇ sˇ c tega trikotnika
itd. Na toˇ cno doloˇ ceno mesto v tem obrazcu bi vpisali podatke o velikosti
kotov Cevovega trikotnika trikotnika ABC glede na toˇ cko P, torej trojico
(A
P
,B
P
,C
P
). Celotnemu obrazcu bi potem lahko rekli genom toˇ cke P,
omenjeni trojici pa cevianska sekvenca tega genoma. Toˇ ckiP inQ sta torej
81–99 93

Bojan Hvala
cevianski sestri, ˇ ce imata identiˇ cno ceviansko sekvenco genoma. Toˇ cki sta
cevianski sestriˇ cni, ˇ ce cevianski sekvenci nista identiˇ cni, vsebujeta pa iste
tri kote.
Premislimo zdaj, kaj nam o cevianskih sestrah in sestriˇ cnah poljubne
toˇ cke P ∈ E sporoˇ cata izreka 2 in 4. Za toˇ cko P znotraj trikotnika iz
izreka 4 sledi, da ima najveˇ c dve cevianski sestri. Obe se nahajata zunaj
trikotnika. Lahko pa se zgodi, da toˇ cka P cevianske sestre sploh nima.
Toˇ cka P ∈ E zunaj trikotnika pa ima natanko dve cevianski sestri. Po
izreku 2 ima namreˇ c znotraj trikotnika natanko eno ceviansko sestro, kar
pomeni, da ima kubiˇ cni polinom iz argumentacije izreka 4 dve realni niˇ cli,
potem pa je realna tudi tretja.
Pri cevianskih sestriˇ cnah se bomo omejili samo na toˇ cke znotraj trikot-
nika. Iz definicije izhaja, da je mnoˇ zica kotov Cevovega trikotnika cevi-
anske sestriˇ cne Q enaka mnoˇ zici kotov Cevovega trikotnika toˇ cke P, torej
{A
P
,B
P
,C
P
}. Denimo,dasototrijerazliˇ cnikoti. Kersesekvencinesmeta
povsem ujemati, imamo na voljo pet permutacij teh treh kotov, vsaka od
njih pa nam znotraj trikotnika zagotavlja natanko eno ceviansko sestriˇ cno.
ˇ
Ce torejtoˇ ckaP leˇ ziznotrajtrikotnikain je njen Cevov trikotnikraznostra-
niˇ cen, ima znotraj trikotnika natanko pet sestriˇ cen.
Na sploˇ sno je obravnava te tematike sorazmerno zapletena, zato se ome-
jimo samo na dva posebej lepa primera: P =X
370
in P =G.
Cevov trikotnik toˇ ckeP =X
370
je enakostraniˇ cen, zato toˇ cka nima cevi-
anskih sestriˇ cen. Vˇ clanku [5] obravnavamo njene cevianske sestre in ugoto-
vimo, dateobstajajosamo,ˇ cejeosnovnitrikotnikABC izrazitotopokoten.
Videli smo ˇ ze, da je teˇ ziˇ sˇ ce G edina toˇ cka znotraj trikotnika, katere
Cevov trikotnik je direktno podoben osnovnemu trikotnikuABC. Vˇ clanku
[5] obravnavamo moˇ zne cevianske sestre toˇ ckeG. Izkaˇ ze se, da te obstajajo
natanko tedaj, ko je trikotnik ABC topokoten. Dokaˇ zemo tudi, da sta v
tem primeru ustrezni cevianski sestri preseˇ ciˇ sˇ ci oˇ crtane kroˇ znice trikotnika
ABC z oˇ crtano kroˇ znico antikomplementarnega trikotnika
˜
A
˜
B
˜
C. Bralca
vabim, da nariˇ se sliko v GeoGebri in to preveri.
V ˇ clanku [6] obravnavamo cevianske sestriˇ cne toˇ cke G. Najprej doka-
ˇ zemo, da nobene od petih cevianskih sestriˇ cen znotraj trikotnika na sploˇ sno
ne moremo konstruirati samo s ˇ sestilom in ravnilom. Nadaljevanje zgodbe
odkrije dodatni skriti potencial pristopa, opisanega v poglavju 3.
***
ŽestariGrkisoseukvarjalisproblemom,kakonekiobjektkonstruiratisamosšestilomin
ravnilom. Od tod zgodba o trisekciji kota, podvojitvi kocke in kvadraturi kroga. Kljuˇ cna pri
kasnejši razrešitvi tovrstnih problemov je teorija razširitev polj. S tem sredstvom dokažemo,
94 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
da nobena od treh naštetih konstrukcij v splošnem ni mogoˇ ca. Isti argumenti so tudi v jedru
dokaza,davsplošnemsšestilominravnilomnimogoˇ cekonstruiraticevianskihsestriˇ centoˇ cke
G.
Obtemsenamzastavivprašanje,alibibilokateroodkonstrukcij,kinisoizvedljivesamo
s šestilom in ravnilom, mogoˇ ce izvesti, ˇ ce bi imeli na voljo še kako dodatno sredstvo? Katero
bitododatnosredstvolahkobilo? Znanojenpr.,dajetrisekcijokotamožnoizvesti,ˇ ceimamo
dodatno na voljo orodje, imenovano tomahavk [2]. Ob tem se vprašamo, ali je to res najbolj
naravna izbira. Da bi se namreˇ c matematik po ravnilu in šestilu najprej oborožil ravno s
tomahavkom?
Razmišljajmo v naslednji smeri.
ˇ
Ce imamo na voljo ravnilo, skozi obstojeˇ ce toˇ cke neke
konstrukcije lahko potegnemo premice.
ˇ
Ce dodatno v uporabo dobimo šestilo, lahko rišemo
krožnice. Takonpr.sšestilominravnilomlahkonarišemokrožnicoskozidanetritoˇ cke,triko-
tniku lahko oˇ crtamo krožnico. Nove toˇ cke pridobivamo kot preseˇ cišˇ ca tako narisanih premic
in krožnic.
Takšnesonašemožnosti,ˇ ceimamonavoljoravniloinšestilo. Kajbibilnaslednjinaravni
korak? Da bi poleg risanjapremicin krožnic imelina voljo možnostrisanjanaslednjihnajpre-
prostejših krivulj, to je stožnic. Gre torej za orodje, ki bi skozi danih pet toˇ ck v ustrezni legi
narisalo edino stožnico, ki poteka tam skozi. V GeoGebri je tako orodje na voljo, in to pod
gumbom,namenjenimstožnicam.
***
Cevov trikotnik glede na toˇ cko G je torej podoben osnovnemu trikot-
niku, zato ima v cevianski sekvenci genoma zapisane kote tega trikotnika
(A,B,C). Nakaˇ zimo, kakobizuporabododatnegaorodjazarisanjestoˇ znic
skozi danih pet toˇ ck konstruiralisestriˇ cnoM
C
toˇ ckeG s ceviansko sekvenco
genoma (B,A,C).
Naˇ sa metoda iz 3. poglavja nam je ustrezne toˇ cke dala kot preseˇ ciˇ sˇ ca
trehstoˇ znic(slika9).
ˇ
Cebiznalinarisatidveodnjih,bikotedinopreseˇ ciˇ sˇ ce
znotraj trikotnika dobili toˇ cko M
C
.
Premislimo najprej, kaj na sploˇ sno vemo o omenjenih treh stoˇ znicah.
Stoˇ znicaS
A
negledenavhodnepodatke(torejkoteA
1
,B
1
,C
1
)vednopoteka
skozi toˇ cki B in C, kar je jasno razvidno iz njene enaˇ cbe. Poleg tega smo
krivuljo S
A
dobili s seˇ stevanjem enaˇ cb za krivulji Γ
B
in Γ
C
, za kateri smo
svoj ˇ cas preseneˇ ceni ugotovili, da se sekata v toˇ cki
˜
A. Koordinate toˇ cke
˜
A
torej zadoˇ sˇ cajo enaˇ cbam za Γ
B
in Γ
C
, po seˇ stevanju pa tudi enaˇ cbi za S
A
.
Tako vidimo, da vse krivuljeS
A
potekajo skozi toˇ ckeB,C in
˜
A.
ˇ
Ce uspemo
konstruirati ˇ se dve toˇ cki na tej stoˇ znici, lahko uporabimo orodje za risanje
stoˇ znic skozi pet toˇ ck in stoˇ znico nariˇ semo.
Ti dodatni dve toˇ cki bosta seveda odvisni od vhodnih podatkov. V
naˇ sem primeru upoˇ stevamo enakost kotov A
1
= B,B
1
= A,C
1
= C in izra-
81–99 95

Bojan Hvala
Slika 10. Toˇ cka M
C
s ceviansko sekvenco (B,A,C).
ˇ cunamo ustrezne koeficiente iz enaˇ cbe stoˇ znice S
A
, torej: m
A
=
b
c
, n
c,B
=
b
2
−c
2
ac
, n
b,C
=
c
2
−a
2
ab
. Tako dobimo enaˇ cbo te stoˇ znice:
abcβγ =ab
2
α
2
+b(b
2
−c
2
)αβ +c(c
2
−a
2
)αγ.
Oblika te enaˇ cbe nas takoj napelje k zamenjavi trilinearnih koordinat α ∶
β ∶γ s ploˇ sˇ cinskimi koordinatami X ∶Y ∶Z, ki so s trilinearnimi povezane
takole X = aα,Y = bβ in Z = cγ. V ploˇ sˇ cinskih koordinatah se enaˇ cba
stoˇ znice S
A
glasi:
a
2
YZ =b
2
X
2
+(b
2
−c
2
)XY +(c
2
−a
2
)XZ.
Izraˇ cunajmoploˇ sˇ cinskekoordinatepreseˇ ciˇ sˇ cU inV stoˇ zniceS
A
znosilkama
stranicb inc, torej s premicamaY =0 inZ =0. DobimoU =(a
2
−c
2
)∶0∶b
2
in V = (c
2
−b
2
) ∶b
2
∶0. Za ilustracijo si oglejmo, kako bi konstruirali toˇ cko
V.
***
Matematiko vˇ casih primerjajo z alpinizmom. Turo zaˇ cnemo v izhodišˇ cu in zakljuˇ cimo na
doloˇ cenem cilju. Pogosto se zgodi, da so zares zahtevni le kratki odseki poti, preostanek je ne-
problematiˇ cen.
ˇ
Ce je kritiˇ cna toˇ cka ena sama, je pot iz izhodišˇ ca do zaˇ cetka kritiˇ cnega odseka
jasna, prav tako pot od konca kritiˇ cnega odseka do cilja. Prednost matematike je v možnosti
predhodne obravnave teh neproblematiˇ cnih odsekov. Od izhodišˇ ca napredujemo, dokler gre, iz
cilja se pomikamo nazaj, spet dokler gre in na ta naˇ cin osamimo kljuˇ cni problematiˇ cni odsek.
Temu se potem lahko posvetimo s polno pozornostjoin z vsemi moˇ cmi.
***
96 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
Naˇ s cilj je toˇ cka s ploˇ sˇ cinskimi koordinatami V = (c
2
−b
2
) ∶ b
2
∶ 0. Ni
teˇ zko uganiti, da bo izhodiˇ sˇ ce toˇ cka L = a
2
∶ b
2
∶ c
2
. To je Lemoinova
toˇ cka trikotnika z oznako X
6
v Kimberlingovi Enciklopediji znaˇ cilnih toˇ ck
trikotnika[1]. Konstruiramojotako,davtrikotnikuABC nosilkoteˇ ziˇ sˇ cnice
na stranico a prezrcalimo preko simetrale notranjega kota pri ogliˇ sˇ cu A.
Analogno storimo z nosilkama teˇ ziˇ sˇ cnic na preostali dve stranici. Dobljene
tri premice se sekajo v toˇ cki L.
Naˇ s vzpon bo torej potekal od toˇ cke L do toˇ cke V. Za uspeˇ sno pot
potrebujemo nekaj preprostih sploˇ snih informacij.
Najprej sta tu koncepta Cevovega in anticevovega trikotnika. Pojem
Cevovega trikotnikaˇ ze poznamo. Anticevov trikotniktrikotnikaABC glede
na toˇ ckoP je tak trikotnik
˜
A
P
˜
B
P
˜
C
P
, da je trikotnikABC Cevov trikotnik
tegatrikotnikagledenatoˇ ckoP. Zailustracijosilahkopomagamokarssliko
1, saj je antikomplementarni trikotnik
˜
A
˜
B
˜
C anticevov trikotnik trikotnika
ABC glede na teˇ ziˇ sˇ ce G.
Z osnovnimi metodami analitiˇ cne geometrije v ploˇ sˇ cinskih koordinatah
izpeljemo koordinate ogliˇ sˇ c Cevovega trikotnika glede na toˇ cko P = X
P
∶
Y
P
∶Z
P
:
A
P
=0∶Y
P
∶Z
P
B
P
=X
P
∶0∶Z
P
C
P
=X
P
∶Y
P
∶0.
Pri obravnavi koordinat anticevovega trikotnika zaˇ cnemo z neznanimi deve-
timi koordinatami toˇ ck
˜
A
P
,
˜
B
P
,
˜
C
P
in zapiˇ semo zahteve iz definicije: toˇ cka
A leˇ zi na nosilkah daljic
˜
B
P
˜
C
P
in
˜
A
P
P, analogno zaB inC. Reˇ simo sistem
in dobimo:
˜
A
P
=−X
P
∶Y
P
∶Z
P
˜
B
P
=X
P
∶−Y
P
∶Z
P
˜
C
P
=X
P
∶Y
P
∶−Z
P
.
Ogliˇ sˇ ca anticevovega trikotnika pri dani toˇ cki P so torej enoliˇ cno doloˇ cena.
Za njihovo konstruktibilnost je kljuˇ cno dejstvo, da je toˇ cka
˜
A
P
harmoniˇ cna
konjugiranka toˇ ckeP glede na toˇ ckiA inA
P
[13]. Od tod sledi, da jo lahko
konstruiramo celo samo z ravnilom [15, str. 3].
Od nujnih informacij zdaj potrebujemo leˇ se enaˇ cbo premice v neskonˇ c-
nosti. V trilinearnih koordinatah se ta glasi aα+bβ +cγ = 0, v ploˇ sˇ cinskih
pa X +Y +Z =0.
Zdaj za osnovo vzamemo Lemoinovo toˇ ckoL =a
2
∶b
2
∶c
2
in se napotimo
proti toˇ cki V = (c
2
−b
2
) ∶b
2
∶ 0. Do toˇ cke
˜
C
L
=a
2
∶b
2
∶ −c
2
ˇ ze znamo priti.
Nadaljujmo na drugem koncu poti, pri toˇ cki V. Ta je C−toˇ cka Cevovega
trikotnikagledenatoˇ ckoW
Z
=(c
2
−b
2
)∶b
2
∶Z intonegledenaizbiroˇ stevila
Z. Doloˇ cimo Z tako, da bo toˇ cka W
Z
leˇ zala na premici v neskonˇ cnosti, ki
ima enaˇ cbo X +Y +Z = 0. To doseˇ zemo z izbiro Z = −c
2
. Naj bo torej
W = (c
2
−b
2
) ∶ b
2
∶ −c
2
. Premica CW seka nosilko stranice c v toˇ cki V
81–99 97

Bojan Hvala
in zato toˇ cka W leˇ zi na premici CV. Vendar pa glede na svoje koordinate
toˇ cka W oˇ citno leˇ zi tudi na premici s preprosto enaˇ cbo c
2
Y +b
2
Z = 0. Na
tej premici pa leˇ zita tudi toˇ cki A=1∶0∶0 in
˜
C
L
=a
2
∶b
2
∶−c
2
.
Toˇ ckaW torejleˇ zinapremicivneskonˇ cnostiinjepreseˇ ciˇ sˇ cepremicA
˜
C
L
inCV. Ker se ti dve premici sekata na premici v neskonˇ cnosti, sta dejansko
vzporedni. Od tod sledi, da je toˇ cka V preseˇ ciˇ sˇ ce vzporednice premiciA
˜
C
L
skozi toˇ cko C in nosilke stranice c.
Ilustrirali smo pot do konstrukcije toˇ cke V. Podobna, a morda ˇ se malo
zahtevnejˇ sa je pot do toˇ cke U, zato ta detajl tokrat izpustimo. Omenimo
le, da je konstrukcija toˇ ck U in V najbolj inovativni del celotne zgodbe.
***
Ta odsek poti je posebej zanimiv, ker znotraj geometrijske teme kjuˇ cno vlogo odigra žon-
gliranje s simboli, ki je sicer bolj znaˇ cilno za algebro. Matematiˇ cne teorije in koncepti se na
nenavadne naˇ cineprepletajo in oplajajo.
***
Ko enkrat imamo toˇ cki U in V, skozi toˇ cke B,C,
˜
A,U in V z dodatnim
orodjem za risanje stoˇ znic skozi danih pet toˇ ck nariˇ semo stoˇ znico S
A
. Po-
dobno nariˇ semo stoˇ znico S
B
. Njuno edino preseˇ ciˇ sˇ ce znotraj trikotnika je
toˇ cka M
C
.
Na podoben naˇ cin, a z drugaˇ cnimi reˇ sitvami v inovativnem vloˇ zku, kon-
struiramo tudi preostale ˇ stiri sestriˇ cne teˇ ziˇ sˇ ca G.
Zakljuˇ cek
Ameriˇ ski matematik John E. Wetzel, zasluˇ zni profesor na University of Illi-
noys v Urbani-Champaign, je izjavil:
Geometrija trikotnika ima veˇ c ˇ cudeˇ zev na kvadratni meter kot katera koli
druga veja matematike.
To pogosto citirano izjavo lahko zasledimo na primer v uvodu h knjigi
[9, str. 1] ali med zahvalami spletne strani [1]. Izjavo je seveda treba obrav-
navati dobronamerno in z doloˇ ceno mero smisla za humor. Vsekakor pa je
v njej dobro povzeto bistvo fascinacije z geometrijo trikotnika. Gre za ob-
ˇ cutek oˇ caranosti nad preseneˇ cenji, ki se tu pojavljajo nenavadno pogosto.
Zatosiˇ zelim, dabisegeometrijatrikotnikaobdrˇ zalavˇ studijskihprogramih
matematike in da bi k tej tematiki (vsaj obˇ casno) pristopalo veˇ c radovednih
98 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 3

Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello
raziskovalcev. To ˇ zelim tudi ˇ stevilnim drugim ˇ zivopisnim vejam matema-
tike. Bojim se namreˇ c, da se s ˇ casom matematiˇ cna diverziteta vse bolj
krˇ ci in siromaˇ si. Povedano v jeziku biologov pozivam k ohranjanjuˇ sirokega
spektra raznovrstne matematiˇ cne flore in favne.
***
Natanaˇ cinsmospoznaliSeebachovizrek,temoizgeometrijetrikotnika. Kajpavnaslovu
poˇ cneta Oroslan in Ravello?
Oroslan na eni strani simbolizira eksperiment obravnave tematike na dveh kanalih. Prvi
se skuša držati vseh pravil pisanja matematiˇ cnega teksta, drugi pa ta pravila krši, a vsebino
nadgrajujezinformacijami,kibizabralcautegnilebitizanimive. Preklopnadrugikanalzato
pomeni drugaˇ cen pristop k branju in evalvaciji teksta. Ima pa Oroslan tudi doloˇ cene simbolne
podtone. Oroslan je nekdo, ki je onstran. V tem smislu simbolizira brezˇ casen, nepretenciozen
pogled narazmere.
Ravello je kraj, kjer cvetita narava in ustvarjalnost, vsaka zase in v povezavi druga z
drugo. Simbolizira lepoto stvarstva v iskreni, izvorni, v ˇ casu preverjeni obliki. Ne gre za
šopirjenje ali razstavo preraˇ cunljivosti, paˇ c pa za razmah ˇ cloveškega duha, ki s svojo svežino
razveseljujevse okrog sebe.
LITERATURA
[1] Encyclopedia of Triangle centers, dostopno na faculty.evansville.edu/ck6/
encyclopedia/ETC.html, ogled 4. 4. 2021.
[2] M. Barile, Tomahawk, dostopno na mathworld.wolfram.com/Tomahawk.html, ogled
9. 4. 2021.
[3] D. Goering, Solution to Problem 10358, Amer. Math. Monthly 104 (1997), 567–570.
[4] M.Hajja, The arbitrariness of the Cevian triangle, Amer.Math.Monthly 113(2006),
443–447.
[5] B.Hvala, A generalized Seebach’s theorem, Beitr.AlgebraGeom. 55(2014), 471–478.
[6] B. Hvala, Cevian cousins of a triangle centroid, J. Geom. Graph. 19 (2015), 211–218.
[7] B. Hvala, Znaˇ cilne toˇ cke trikotnika kot funkcije, Obzornik Mat. Fiz. 61 (2014), 1–14.
[8] R. A. Johnson, Advanced Euclidean geometry, Dover Publications, 2007.
[9] C. Kimberling, Triangle centers and central triangles, Congr. Numerantium 129
(1998).
[10] G. Leversha, The geometry of the triangle, United Kingdom Mathematics Trust,
2013.
[11] K. Seebach, Ceva-Dreiecke, Elem. Math. 42 (1987), 132–139.
[12] T. Veber, Kubiˇ cne krivulje trikotnika, Obzornik Mat. Fiz. 59 (2012), 50–62.
[13] E. W. Weisstein, Anticevian triangle, dostopno na mathworld.wolfram.com/
AnticevianTriangle.html, ogled 1. 6. 2021.
[14] E. W. Weisstein, Ceva’s Theorem, dostopno na mathworld.wolfram.com/
CevasTheorem.html, ogled 31. 5. 2021.
[15] P. Yiu, Introduction to the Geometry of the triangle, dostopno na math.fau.edu/
Yiu/YIUIntroductionToTriangleGeometry121226.pdf, ogled 3. 5. 2021.
81–99 99

i
i
\Fabjan" | 2021/10/29 | 17:46 | page 100 | #1
i
i
i
i
i
i
NOBELOVA NAGRADA ZA RAZVOJ FIZIKALNE
KOZMOLOGIJE
DUNJA FABJAN
Fakulteta za matematiko in ziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 11.11.Aa
Dobitnik polovice Nobelove nagrade za ziko leta 2019 za pomemben doprinos k
razvoju teoreti cnega okvira kozmologije je bil James Peebles iz Univerze v Princetonu, ki
si je nagrado delil z odkriteljema prvega planeta okrog Soncu podobne zvezde. V  clanku je
predstavljen zgodovinski okvir delovanja Nobelovega nagrajenca. Zaradi  sirokega obsega
znanstvenega delovanja nagrajenca se v  clanku omejimo le na izbrane teme, pri katerih je
doprinos Peeblesovih raziskav predstavljal preskok k uveljavitvi zikalne kozmologije kot
celostne vede.
NOBEL PRIZE FOR THE DEVELOPMENT OF PHYSICAL COSMOLOGY
Half of the Nobel Prize in Physics 2019 was awarded to James Peebles, professor at
University of Princeton, for »theoretical discoveries in physical cosmology«, who shared
the award with the discoverers of the rst planet observed around a Solar-type star. This
article presents the historical frame where the Nobel Laureate developed his research.
Since he tackled a number of dierent research topics I decided to emphasise selected
themes, where contributions of his research represented a breakthrough and established
the basis for the development of physical cosmology.
Eno izmed temeljnih vpra sanj, ki si jih postavlja  clove stvo, je, kako je
nastalo in se razvijalo na se vesolje ter kak sno je na se mesto v njem. V
ta okvir spada Nobelova nagrada za ziko za leto 2019, saj so nagrajenci
zaslu zni za pomemben »doprinos k razumevanju razvoja vesolja in mesta,
ki ga zaseda Zemlja v njem« [17, 16]. V iskanju odgovorov na ta vpra sanja
se je  clovekov pogled na vesolje v stoletjih spreminjal: postopoma smo se iz
geocentri cnega sistema premestili v heliocentri cni sistem in kasneje odkrili,
da se na se Oson cje nahaja v spiralnih rokavih na se Galaksije, ki ni ni c kaj
posebnega glede na druge galaksije, ki zapolnjujejo vesolje. Kozmologija, ki
se ukvarja z vesoljem kot celoto, pa je v zadnjem stoletju razkrila zgodovino
in razvoj vesolja ter njegovih sestavin, med katerimi sta najbolj nenavadni
temna snov in temna energija.
James Peebles, nagrajen leta 2019 s polovico Nobelove nagrade za ziko,
je vsestranski kozmolog in Albert Einstein Professor Emeritus of Science na
Univerzi v Princetonu (ZDA). Rodil se je leta 1935 v Winnipegu (Manitoba,
Kanada) in se po kon cani diplomi iz znanosti na Univerzi v Manitobi od tam
100 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3

i
i
\Fabjan" | 2021/10/29 | 17:46 | page 101 | #2
i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada za razvoj fizikalne kozmologije
odselil. Leta 1958 je  studij nadaljeval na Univerzi v Princetonu, kjer se je
na za cetku zanimal za ziko delcev in se nato preusmeril v kozmologijo po
zaslugi uveljavljenega zika Roberta Dickeja. Dicke je v Princetonu vodil
skupino za raziskovanje gravitacije, bil je vsestranski zik, ki je s svojimi
raziskavami prispeval na ve c podro cjih, od gravitacije in atomske zike do
astrozike in kozmologije. Peebles se je skupini pridru zil in opravil doktorsko
disertacijo pod Dickejevim mentorstvom. V njej je raziskoval spremembo
konstante ne strukture  v dalj sih geolo skih dobah. Iz radioaktivnega
razpadnega  casa zemeljskih kamnin in meteoritov je ocenil relativno spre-
membo konstante  na manj kot tiso cinko v zadnjih 4,5 milijarde letih [8].
Kmalu za tem je Dicke mlademu Peeblesu predlagal, naj razi s ce teoreti cno
ozadje ob morebitni detekciji prasevanja z radiometrom, ki sta ga medtem
sestavljala sodelavca Peter Roll in Dave Wilkinson. Pomembna kozmolo ska
odkritja so bila za vogalom.
Zgodovinski za cetki in osnove kozmologije
Osnove moderne kozmologije, vede, ki se ukvarja z nastankom in razvojem
vesolja kot celote, segajo v za cetek 20. stoletja, ko je Albert Einstein izo-
blikoval splo sno teorijo relativnosti. Re sitve Einsteinovih ena cb polja za
razli cna vesolja je med prvimi raziskal ruski matematik in kozmolog Ale-
xander Friedmann in jih danes poznamo kot Friedmannovi modeli vesolja.
V istem obdobju se je pozornost astronomov usmerila v odkrivanje in
prou cevanje izvengalakti cnih objektov. Od meritve oddaljenosti
1
Androme-
dine galaksije dalje so astronomi odkrili, da so nekatere od tako imenovanih
meglic v resnici galaksije podobne na si, ter za celi z zbiranjem prvih spektro-
skopskih podatkov o galaksijah. Take podatke je uporabil belgijski mate-
matik George Lema^ tre (izg. l@m et @r), ki je  ze leta 1927 v  clanku upo steval
primer vesolja, ki se  siri, ter objavil zvezo med oddaljenostjo in hitrostjo
oddaljevanja galaksij. Dve leti kasneje je na osnovi novih in natan cnej sih
podatkov isto zvezo objavil tudi ameri ski astronom Edwin Hubble.
2
Zakonu
1
Henrietta Swan Leavitt (1868{1921), ki je delala na Harvardskem observatoriju, je
leta 1912 objavila odkritje povezave med povpre cnim izsevom in periodo za spremenljive
zvezde tipa kefeid. S pomo cjo te umeritve je Hubble dolo cil razdaljo bli znjim galaksijam.
2
 Ceprav je Lema^ tre  ze leta 1927 opisal  sirjenje vesolja, njegov  clanek v franco s cini ni
bil znan raziskovalni skupnosti. Zakon o  sirjenju vesolja je zato dobil ime po Hubblu. Leta
1931 je bil Lema^ trov  clanek preveden v angle s cino, vendar brez odstavka z opisom  sirjenja
vesolja. Pred desetimi leti je Mario Livio v korespondenci med Lema^ trom in urednikom
revije Monthly Notices odkril, da je sam Lema^ tre odlo cil, da izra cuna s podatki ne objavi,
ker so bili Hubblovi natan cnej si [6]. Na tej podlagi je leta 2018 Mednarodna astronomska
zveza volila za preimenovanje zakona v Hubble-Lema^ trov zakon.
100–111 101

i
i
\Fabjan" | 2021/10/29 | 17:46 | page 102 | #3
i
i
i
i
i
i
Dunja Fabjan
pravimo Hubble-Lema^ trov zakon [3] in ga zapi semo kot
z =
H
c
d; (1)
kjer jez kozmolo ski rde ci premik spektralnih  crt opazovane galaksije, c sve-
tlobna hitrost, d oddaljenost galaksije ter H Hubblov parameter. V tej
obliki je zakon veljaven do z 0;2 (kar ustreza pribli zno 2 ;5 10
9
svetlob-
nim letom). Premo sorazmernost kozmolo skega rde cega premika galaksij in
njihove oddaljenosti ni posledica hitrosti oddaljevanja posami cnih galaksij,
marve c  sirjenja vesolja samega.
Friedmannove osnovne ena cbe, ki opisujejo  sirjenje vesolja, lahko uve-
demo tudi brez uporabe splo sne teorije relativnosti. Predpostavimo homo-
geno vesolje in si oglejmo razvoj sfernega volumna z radijem R, ki se  siri
zaradi  sirjenja vesolja. Za objekt z maso m na razdalji R od sredi s ca sfere,
ki se od sredi s ca oddaljuje s hitrostjo
_
R = dR=dt zaradi  sirjenja prostora,
lahko zapi semo polno energijo kot:
E =
m
_
R
2
2
 GMm
R
; (2)
kjer je M masa znotraj volumna, ki ga omejuje radij R.
 Ce upo stevamo
homogeno porazdelitev mase M =  (t)
4
3
R (t)
3
, lahko zgornjo ena cbo pre-
uredimo v prvo Friedmannovo ena cbo
H(t)
2
=
8G
3
 (t) kc
2
R(t)
2
; (3)
kjer smo zapisali Hubblov parameter H(t) v obliki H(t) =
_
R
R(t)
,  clen 2 E=m
na desni strani ena cbe pa zamenjali z  kc
2
, kjer jek parameter ukrivljenosti
prostora, ki ima vrednost 1, 0 ali 1 za primer odprtega, ravnega ali zapr-
tega vesolja. Ker se vesolje  siri pospe seno, moramo na desno stran ena cbe
(3) dodati + c
2
=3, kjer nastopa kozmolo ska konstanta , ki upo steva u cinek
 se neznane temne energije [5].
Izmerjene vrednosti Hubblovega parametra se danes trenutno gibljejo
med 67 in 73 km/s/Mpc. Novej se raziskave so pokazale, da se vrednosti
Hubblovega parametra, izmerjene na podlagi podatkov zgodnjega vesolja ter
na podlagi podatkov lokalnega vesolja, ne skladajo znotraj nezanesljivosti.
Razlog neskladja je trenutno  se neznan [12].
Iz prej zapisane Friedmannove ena cbe lahko izpeljemo tudi kriti cno go-
stoto  c
(t) =
3H(t)
2
8G
, ki predstavlja povpre cno gostoto snovi v vesolju, ki bi
102 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3

i
i
\Fabjan" | 2021/10/29 | 17:46 | page 103 | #4
i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada za razvoj fizikalne kozmologije
zaustavila  sirjenje ravnega vesolja. Dana snja vrednost kriti cne gostote je
 cr;0
= 2;78 10
11
M
 =h (Mpc/h)
 3
, kar ustreza povpre cni masi galaksije
v volumnu, ki ga dolo ca povpre cna razdalja med galaksijami
3
oz. pribli zno
petim atomarnim vodikom v kubi cnem metru. Kriti cno gostoto uporabimo
pri vpeljavi parametra gostote, ki ga izrazimo kot razmerje med gostoto in
kriti cno gostoto, tj. ( t) =  (t)=
cr
(t). Vesolje sestavljajo razli cne sesta-
vine, katerih gostota se razli cno spreminja s  sirjenjem vesolja in jih opi semo
s posami cnimi parametri gostote. V primeru ravnega vesolja je njihov se ste-
vek  = 1, vrednosti za posami cne komponente pa merijo danes  m
 5 %,
 dm
 25 % in    70 % za navadno snov, temno snov in temno energijo.
Slika 1. Levo: relativna zastopanost la zjih elementov v odvisnosti od  casa po velikem
poku (model vesolja s  sirjenjem in prevlado sevanja), ki sta ga objavila Alpher in Herman.
Koncentracija nukleonov je 10
21
cm
 3
pri 1 sekundi. Relativna zastopanost je izra cunana
kot razmerje med  stevilsko gostoto izbranih nukleonov in  stevilsko gostoto vseh nukleonov.
Poleg kon cnih produktov modela (
1
H,
2
H,
3
He in
4
He) so prikazani tudi tritij in nevtroni,
ker imajo dalj si razpolovni  cas od 2000 sekund (12 ;46 let in 10;25 minut). Povzeto po [1].
Desno: razvoj temperature, gostote snovi ( m) in sevanja ( r) v odvisnosti od starosti
oz. radija vesolja. Na sliki so spodaj ozna ceni mejniki (z leve proti desni): prisotnost
relativisti cnih elektronov, nastanek helija, prehod med vesoljem, v katerem prevladuje
sevanje, v vesolje s prevladujo co snovjo, rekombinacija (obdobje nastanka prasevanja) in
sedanji  cas.
 Crtasti navpi cni  crti ozna cujeta zadnji dve opisani obdobji. Povzeto po [2].
3
V kozmologiji se pogosto v enotah pojavi brezdimenzijski Hubblov parameter h, kjer
je H =h 100 km/s/Mpc. Mpc je 10
6
parsekov, kjer je parsek (pc) 3;09 10
16
m.
100–111 103

i
i
\Fabjan" | 2021/10/29 | 17:46 | page 104 | #5
i
i
i
i
i
i
Dunja Fabjan
Odkritje kozmi cnega prasevanja
Naslednji preskok v zgodovini kozmologije je sledil po drugi svetovni vojni,
ko je teoretski zik in kozmolog George Gamow po namigu Lema^ tra raz-
iskoval nastanek kemi cnih elementov v procesu prvinske nukleosinteze.
 Ce
se vesolje  siri, je moralo biti v preteklosti veliko manj se, snov in sevanje v
njem pa imeti veliko vi sjo gostoto in temperaturo, ki bi omogo cala nastanek
elementov.
4
Podlaga takemu razmisleku so bila opazovanja enakomerne za-
stopanosti elementov v zvezdah, ki jih je opravila Cecilia Payne Gaposchkin,
kot tudi takratno (sicer zmotno) prepri canje, da zvezde v svojih sredi s cih
ne dosegajo dovolj visokih temperatur, ki bi omogo cale jedrsko zlitje te zjih
elementov. V kratki  casovni skali  siritve zgodnjega vesolja pa ni bilo mo-
 zno sintetizirati elementov te zjih od helija. V petdesetih letih prej snjega
stoletja so znanstveniki odkrili trojni alfa proces, pri katerem lahko iz treh
jeder helija nastane jedro ogljika, in sklepali, da lahko v zvezdah nastanejo
te zji kemijski elementi. Toda opazovanih visokih koli cin helija (  24 % v
masnem dele zu) zvezde v svoji  zivljenjski dobi ne bi bile zmo zne proizvesti,
zato se je izvor helija iskalo v prvinski nukleosintezi. Okrog petdesetih let
sta Ralph Alpher in Robert Herman sicer pokazala, da lahko v vesolju, ki se
 siri, nastanejo elementi devterij, tritij in helij v dovolj velikih koli cinah (slika
1 levo), raziskala sta pa tudi termi cno zgodovino vesolja in predvidela, da
naj bi iz  casa rekombinacije
5
obstajalo difuzno ozadje sevanja  crnega telesa
s temperaturo okrog 5 K [1, 7].
V obdobju po drugi svetovni vojni so postajali radijski sprejemniki ob-
 cutljivej si za valovne dol zine okrog centimetra. V dru zbi Bell Telephone
Laboratories so ob koncu petdesetih let preizku sali komunikacijo v mikro-
valovih in pri testiranju sprejemnikov ugotavljali, da se jim nikakor ne uspe
znebiti sevanja, ki ustreza temperaturi 2 K. Po nekaj letih sta izvor te ano-
malije za cela prou cevati Bellova in zenirja Arnold Penzias in Robert Wilson.
Nedale c stran, borih 35 km od Holmdelove antene, s katero sta se in zenirja
ukvarjala, se je Dickejeva skupina lotevala iskanja sledov prasevanja.
 Se
med drugo svetovno vojno je Dicke na Massachusetts Institute of Techno-
4
Po drugi svetovni vojni sta se uveljavili dve teoriji vesolja. Prva je bila teorija o
stabilnem stanju vesolja, ki se  siri, vendar ohranja iste lastnosti v  casu. V takem modelu
bi morala snov v vesolju ves  cas nastajati. Druga teorija je bila teorija prapoka, ki so
jo podpirali George Gamow in sodelavci, po kateri naj bi vesolje nastalo ob enkratnem
dogodku pred pribli zno 13,8 milijarde let.
5
Doba rekombinacije je mejnik  380000 let po nastanku vesolja, ko so iz prostih
elektronov in jeder nastali nevtralni elementi, sevanje pa se je  se zadnji c sipalo. Iz tega
obdobja, ko je snov v vesolju imelaT  3000 K, izhaja sevanje ozadja (ali prasevanje), ki
ga danes opazujemo v mikrovalovih.
104 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3

i
i
\Fabjan" | 2021/10/29 | 17:46 | page 105 | #6
i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada za razvoj fizikalne kozmologije
logy (MIT) izumil radiometer za mikrovalovno obmo cje, ki ga je kasneje
uporabil za meritve mikrovalovnega sevanja Sonca in Lune ter pokazal, da
lahko zelo malo sevanja (ki ustreza temperaturam < 20 K) pri valovnih
dol zinah med 1 in 1 ;5 cm pripi se preostali snovi v vesolju [8]. Leta 1964
je zato Dicke predlagal sodelavcema Petru Rollu in Daveju Wilkinsonu, da
predelata Dickejev radiometer za meritve morebitnega prasevanja, Peeblesu
pa predlagal, da razi s ce teoreti cno ozadje.
Spomladi 1965 sta obe skupini, ki sta slu cajno izvedeli druga za drugo,
objavili v reviji The Astrophysical Journal Letters lo cena  clanka [2, 11] o
teoreti cni razlagi meritev sevanja ozadja v mikrovalovih, h kateri je prispeval
Peebles, ter meritve prasevanja s Holmdelovo anteno, ki je odkriteljema
Penziasu in Wilsonu prinesla Nobelovo nagrado za ziko leta 1978.
Dickejeva skupina ni bila prva, ki je predpostavila obstoj ostankov seva-
nja iz za cetka vesolja (desni graf na sliki 1). V istem  clanku [2] so poudarili,
da tudi opazovanja helija narekujejo zgornjo mejo za gostoto snovi v vesolju:
v gostej sem vesolju bi s prvinsko nukleosintezo nastalo ve c helija. Obenem
je opazovana temperatura prasevanja omejevala koli cino navadne, barionske
snovi v vesolju na 3 10
 32
g/cm
3
, kar se sicer ni skladalo z ve cjo koli cino
snovi iz takratnih astronomskih opazovanj in namigovalo na prisotnost ek-
soti cne komponente snovi.
V sedemdesetih letih sta Vera Rubin in Kent Ford objavila opazova-
nja rotacijskih krivulj bli znjih spiralnih galaksij. Ugotavljala sta, da hitrost
kro zenja zvezd ne pada z razdaljo po obi cajnem zakonu v(r) =
q
GM
r
(kjer
je M masa znotraj radija r), marve c ostaja konstantna z ve canjem odda-
ljenosti od sredi s ca. To pa pomeni, da se masa ve ca z radijem, in ker je
opazno manj vidne snovi prisotne na takih razdaljah, sta sklepala, da je
prisotna nevidna temna snov.
 Ze 40 let prej je posredni u cinek temne snovi
ugotavljal tudi  svicarsko-ameri ski astronom Fritz Zwicky, ko je za gravita-
cijsko vezane sisteme galaksij ugotavljal neskladje med njihovo dinami cno
maso iz virialnega teorema in maso vidnih galaksij, ki je bila veliko manj sa.
Tudi Nobelov nagrajenec Peebles se je lotil problema temne snovi, vendar
z vidika stabilnosti galakti cnega diska. Z Jeremiahom Ostrikerjem sta leta
1973 uporabila numeri cne simulacije spiralnih galaksij in pokazala, da je za
stabilnost diska potrebna prisotnost sfernega haloja temne snovi.
Odkritje temne snovi pa je vplivalo tudi na kozmolo ske modele vesolja.
Peebles je v svojem  clanku leta 1982 prvi upo steval u cinek, ki ga ima na
nastanek struktur (od nastanka prvih zvezd do galaksij in ve cjih sistemov)
nerelativisti cna (torej hladna) temna snov. Ocenil je, da bi morala biti za
prisotnost take temne snovi lokalna odstopanja temperature prasevanja na
100–111 105

i
i
\Fabjan" | 2021/10/29 | 17:46 | page 106 | #7
i
i
i
i
i
i
Dunja Fabjan
ravniT=T  3;5 10
 6
. COBE (COsmic Background Explorer), prvi sate-
lit, ki je bil namenjen meritvi prasevanja in ugotavljanju njegovega spektra,
je bil izstreljen leta 1989. Njegovi rezultati, objavljeni leta 1992, so pokazali,
da je prasevanje skladno s spektrom  crnega telesa s temperaturo 2 ;725 K.
Isto casno pa so izmerili temperaturne anizotropije, odmike od temperature
omenjenega spektra, ki so bili reda velikosti  T=T 10
 5
, podobni Peeble-
sovi oceni. Za to prelomno opazovanje prasevanja in njegovih anizotropij sta
leta 2006 Nobelovo nagrado prejela vodja projekta John Maters in glavni
vodja instrumenta za opazovanje anizotropij, George Smoot.
Fizikalna kozmologija
Za cetni opis vesolja temelji na kozmolo skem principu, osnovni predpostavki
o homogenosti in izotropnosti vesolja. Taka predpostavka sicer velja na
dovolj velikih prostorskih skalah, toda  ze sam pogled v no cno nebo nam
razkrije, da je vesolje na manj sih skalah nehomogeno. Vesoljsko strukturo,
katere osnovni gradniki so galaksije, sestavljajo manj sa zdru zenja (skupine
galaksij) ter ve cje gravitacijsko vezane strukture (jate galaksij), nadjate,
podolgovati lamenti, kot tudi praznine (angl. voids).
Za vzpostavitev zikalne kozmologije sta zaslu zna predvsem Peebles in
ruski kozmolog Jakov Zeldovi c, ki sta v  sestdesetih letih v kozmolo skem
kontekstu raziskovala nastanek in razvoj struktur v vesolju. Peebles je leta
1971 izdal svojo prvo knjigo ravno z naslovom Physical cosmology in v go-
voru ob prejetju Nobelove nagrade razlo zil izbiro naslova, saj je »nameraval
raziskati zikalne procese, ki so ali bi lahko delovali v vesolju, ki se  siri, in
raziskati, kako bi teorijo oblikoval na podlagi opazovanj«.
Kvantitativni opis nehomogenega vesolja temelji na raziskovanju koz-
molo skih modelov, ki imajo iste statisti cne lastnosti kot na se vesolje. V ta
namen je treba opisati nehomogenosti oz. prej omenjeno vesoljsko struk-
turo. Za opis grozdenja (tj. zdru zevanja) galaksij na ve cjih kotnih skalah se
uporablja dvo-to ckovno korelacijsko funkcijo . Opi semo jo s porazdelitvijo
galaksij na nebu ali v obliki prostorske dvo-to ckovne korelacijske funkcije v
treh dimenzijah  (r), in sicer
N(r)dV =N
0
[1 + (r)]dV ; (4)
kjer je N(r)dV  stevilo galaksij v volumnu dV na razdalji r od posami cne
galaksije, N
0
pa povpre cna gostota galaksij.  (r) opisuje prese zek  stevila
galaksij na razdaljir od izbrane galaksije glede na povpre cje. V opazovanjih
funkcijo (r) dolo camo tako, da povpre cimo produkte gostote galaksij za ve-
liko  stevilo parov to ck na razdalji r. Meritve primerjamo s poten cno funkcijo
106 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3

i
i
\Fabjan" | 2021/10/29 | 17:46 | page 107 | #8
i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada za razvoj fizikalne kozmologije
Slika 2. Levo: porazdelitev galaksij na severni polobli iz kataloga Lick [14] (inverzne barve).
Temni kvadratki predstavljajo del neba velikosti kvadratne stopinje, njihova velikost je
premo sorazmerna s  stevilom pre stetih galaksj pod 19 magnitudo na posami cnem obmo cju.
Obmo cja so razporejena po deklinaciji in rektascenziji. Svetli galakti cni sestav v spodnjem
delu slike je jata galaksij Berenikini kodri. Zemljevid pripravila J. A. Peebles in P. J. E.
Peebles. Desno: spekter mo ci P (k) za snov v vesolju v odvisnosti od valovnega  stevila k.
Z razli cnimi simboli so prikazani podatki za prasevanje satelita COBE, galaksije pregleda
neba SDSS,  stevilnost jat galaksij,  sibko gravitacijsko le cenje galaksij in gozd Lyman-  .
Povzeto po [15].
 (r) =
 r
r
0
   , kjer jer
0
korelacijska razdalja. Dana snja opazovanja ka zejo,
da tak opis velja na razdaljah od 2 do nekaj 10 Mpc/h, in da je korelacijska
razdalja r
0
= 5 Mpc/h, eksponent  pa ima vrednosti v obmo cju 1 ;7 1;8.
Na razdaljah, ki so ve cje od 10 Mpc/ h, korelacija pada hitreje od poten cne
funkcije, kar pomeni, da je na ve cjih zi cnih skalah vesolje izotropno [7, 13].
Med prvimi, ki so opravili podobno analizo, in sicer z uporabo kotne
korelacijske funkcije med galaksijami iz razli cnih katalogov, je bil ravno Pe-
ebles. Leta 1977 sta v  clanku [4] z Edwardom Grothom izra cunala dvo- in
tri-to ckovno korelacijsko funkcijo z uporabo Zwickyjevega kataloga galaksij,
Lickovega  stetja galaksij (na sliki 2 levo) in galaksij iz Jagiellonskega globo-
kega polja. Ugotavljala sta, kako se v lokalnem vesolju galaksije zdru zujejo
v ve cje sestave in nista opazila znakov prisotnosti lamentarnih struktur.
Alternativni (ekvivalentni) opis statisti cnih lastnosti naklju cnega polja
uktuacij in torej strukture vesolja je poten cni spekter P (k). Poten cni spek-
ter in korelacijska funkcija sta povezana s Fourierjevo transformacijo:
P (k) = 2 Z
1
0
r
2
sin(kr)
kr
 (r)dr; (5)
100–111 107

i
i
\Fabjan" | 2021/10/29 | 17:46 | page 108 | #9
i
i
i
i
i
i
Dunja Fabjan
kjer je k valovno  stevilo. Spekter mo ci v grobem opisuje koli cino strukture
v odvisnosti od velikostne skale. Vi sji poten cni spekter pomeni vi sjo am-
plitudo uktuacij gostote na velikostni skali 2 =k . Primer spektra mo ci za
uktuacije gostote najdemo na sliki 2 (desno), kjer so predstavljeni rezul-
tati za zelo razli cna opazovanja vesoljskih objektov, ki zaobjamejo  stiri rede
velikosti v vesoljskih skalah. V grobem ta spekter opi semo s P (k)/ k na
ve cjih skalah in P (k)/k
 3
na manj sih skalah.
Omenili smo, da kozmolo ski modeli slonijo na predpostavki enakomerne
porazdelitve snovi, vendar je dana snje vesolje dale c od enakomernega. Kmalu
po odkritju prasevanja sta Rainer Sachs in Arthur Wolfe prva napovedala
anizotropije v prasevanju. Raziskala sta, kako spremembe gravitacijskega
potenciala (zaradi uktuacij v gostoti) u cinkujejo na temperaturo prase-
vanja. U cinek Sachs-Wolfe, ki sta ga opisala, temelji na kombinaciji dveh
procesov: rahle zgostitve, ki so prisotne na za cetku vesolja, bodo spremenile
temperaturo prasevanja: fotoni bodo za izhod iz potencialne jame izgubili
del svoje energije (gravitacijski rde ci premik) in isto casno se bodo fotoni
v zgostitvi sipali nekoliko prej, torej pri vi sji temperaturi (gravitacijski  ca-
sovni zamik). Efekt Sachs-Wolfe je povezan z anizotropijami prasevanja na
velikih skalah.
V zgodnjem vesolju se zaradi za cetnih uktuacij v gostoti v plazmi iz
fotonov in barionov pojavijo tudi akusti cni valovi, ki zamrznejo ob nastanku
prasevanja, ko se fotoni  se zadnji c sipljejo od atomov in za cnejo prosto po-
tovati po vesolju. Akusti cne valove opazujemo v spektru mo ci anizotropij
prasevanja (slika 3 spodaj) in so povezani z geometrijo vesolja (prvi vrh), ko-
li cino navadne snovi (drugi vrh) ter temno snovjo (tretji vrh) [17]. Fizikalno
sta akusti cne vrhove razlo zila Rashid Sunyaev in Jakov Zeldovi c, medtem
ko sta Peebles in njegov magistrski  student Jer Yu pora cunala gostotne
uktuacije za razli cne kozmolo ske parametre (primer na sliki 3 zgoraj) in
postavila svoje delo v kontekst opazovanj [10].
Kozmolo ska konstanta in usklajeni model vesolja
Omenili smo prispevek nobelovca Peeblesa k povezovanju opazovanj struk-
tur v vesolju in teorije, ki bi te strukture znala napovedati. Peebles je,
kot smo  ze zapisali, prvi uporabil hladno temno snov, da bi izra cunal njen
u cinek na nastanek struktur v vesolju. V istih letih se je razvila teorija
inacije, po kateri naj bi bilo vesolje ravno ( = 1). Toda opazovanja
astronomov so ugotavljala bistveno ni zji prispevek navadne in temne snovi
k parametru gostote . Da bi lahko pojasnil tako nastanek struktur kot
tudi vklju cil inacijo, je Peebles pri izra cunih v svojem  clanku leta 1984
108 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3

i
i
\Fabjan" | 2021/10/29 | 17:46 | page 109 | #10
i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada za razvoj fizikalne kozmologije
Slika 3. Zgoraj: spekter mo ci perturbacij za model ravnega vesolja, ki sta ga v svojem
 clanku pora cunala Peebles in Yu. Spekter je normaliziran na 1. Maksimalno amplitudo
dose ze tak model pri kriti cni masi  5 10
16
M . Povzeto po [10]. Spodaj: kotni spekter
mo ci uktuacij temperature v prasevanju v odvisnosti od kotne velikosti uktuacij (spo-
dnja skala) oz. multipolni moment (zgornja skala). Med momentom l in kotno velikostjo
 v grobem velja   180
 =l. Na sliki so prikazani podatki vesoljskega satelita Planck,
v zasen cenem delu in s polno  crto pa je predstavljeno obmo cje, ki ga zajema trenutno
uveljavljeni model, ki opisuje vesolje, tj. standardni model vesolja (avtorstvo: ESA in
Kolaboracija Planck).
100–111 109

i
i
\Fabjan" | 2021/10/29 | 17:46 | page 110 | #11
i
i
i
i
i
i
Dunja Fabjan
uporabil kozmolo sko konstanto, ki je bila do takrat opu s cena. Z leti pa je
postalo jasno, da je kozmolo ska konstanta potrebna in leta 1995 so se ve-
 cji deli sestavljanke kon cno sestavili v sliko vesolja, ki mu danes pravimo
usklajeni model vesolja (angl. concordance cosmology), ki upo steva zelo raz-
li cna in komplementarna opazovanja. Le nekaj let kasneje so opazovanja
oddaljenih eksplozij supernov tipa Ia potrdila pospe seno  sirjenje vesolja, za
kar je odgovorna  se neznana temna energija. Vodilnim znanstvenikom pri
teh meritvah pospe sitve  sirjenja vesolja je bila leta 2011 podeljena Nobelova
nagrada (glej  clanek v Obzorniku [5]).
Zaklju cek
Nobelov nagrajenec James Peebles je  se vedno aktiven na podro cju zikalne
kozmologije, na katerem se ukvarja z znanstvenimi vpra sanji, ki so pod-
cenjena in kot sam trdi, je takih vpra sanj veliko. Zanimajo ga predvsem
nenavadne lastnosti galaksij v kozmolo skem kontekstu [18]. Naj navedemo
tri posebne primere, s katerimi se ukvarja. Prvi primer predstavljajo izoli-
rane galaksije, ki so odmaknjene od drugih, zato bi pri cakovali, da je bila
njihova rast konstantna, posledi cno pa njihova oblika aksialno simetri cna,
kar pa ne dr zi.
Drug problem je povezan z nastankom razli cnih generacij zvezd v ga-
laksijah. Iz novej sih opazovanj je razvidno, da je pribli zno polovica ve cjih
bli znjih galaksij sestavljena samo iz zvezdnega diska, v katerem so prete zno
zvezde poznej sih generacij. Prve generacije zvezd naj bi sestavile sredi s cno
odebelitev, ki pa v teh galaksijah ni prisotna. Odgovor na vpra sanje, kje so
prve generacije zvezd v takih galaksijah, i s cejo z uporabo simulacij nastanka
struktur na velikih skalah, s katerimi sledijo zvezdam in njihovi razporeditvi
znotraj galaksij.
Tudi raziskovanje gibanja in preteklih orbit bli znjih galaksij je izredno
zanimivo. Z analizo 23 najbli zjih znanih galaksij je pred kratkim Peebles
ocenil, da je 21 manj sih galaksij Lokalne skupine nastalo v dveh skupkih.
Ena izmed teh galaksij naj bi neko c bila bli zje na si Galaksiji, vendar to-
kovi plina, ki nastanejo ob takih bli znjih sre canjih, niso jasno razvidni v
opazovalnih podatkih in velja temu posvetiti dodatna opazovanja.
Zakaj naj bi se Nobelov nagrajenec ukvarjal z znanstvenimi vpra sanji,
ki niso trenutno med najbolj pribljubljenimi ali aktualnimi? Taka vpra sanja
nam, po besedah nobelovca, »pomagajo preveriti sprejete ideje, kar je vedno
dobro, in  se vedno obstaja mo znost, da je Narava pripravila za nas  se kako
presene cenje. «
110 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3

i
i
\Fabjan" | 2021/10/29 | 17:46 | page 111 | #12
i
i
i
i
i
i
Nobelova nagrada za razvoj fizikalne kozmologije
LITERATURA
[1] R. A. Alpher in R. C. Herman, Theory of the Origin and Relative Abundance Dis-
tribution of the Elements, Rev. Mod. Phys. 22 (1950), 153.
[2] R. H. Dicke, P. J. E. Peebles, P. G. Roll in D. T. Wilkinson, Cosmic Black-Body
Radiation, Astroph. Journal 142 (1965), 414.
[3] E. Gibney, Belgian priest recognized in Hubble-law name change, Nature, 30. oktober
2018.
[4] E. J. Groth in P. J. E. Peebles, Statistical analysis of catalogs of extragalactic
objects. VII. Two- and three-point correlation functions for the ghig-resolution Shane-
Wirtanen catalog of galaxies, ApJ 217 (1977), 385.
[5] V. Ir si c in A. Slosar, Nobelova nagrada za ziko 2011 { temna energija , Obzornik
mat. z. 58 (2011), 221{231.
[6] M. Livio, Mystery of the missing text solved, Nature 479 (2011), 171{173.
[7] M. S. Longair, Galaxy formation, Springer, Berlin, Heidelberg, 2008.
[8] P. J. E. Peebles, Seeing Cosmology Grow, Annual Review Astr. Astrophys. 50 (2012),
1{12.
[9] P. J. E. Peebles, Cosmology’s early days, Nat. Astron. 3 (2019), 1055{1057.
[10] P. J. E. Peebles in J. T. Yu, Primeval Adiabatic Perturbation in an Expanding Uni-
verse ApJ, 162 (1970), 815.
[11] A. A. Penzias in R. W. Wilson, A Measurement of Excess Antenna Temperature at
4080 Mc/s, Astroph. Journal 142 (1965), 419.
[12] A. G. Riess, The expansion of the Universe is faster than expected, Nat. Rev. Phys 2
(2020), 10{12.
[13] P. Schneider, Extragalactic Astronomy and Cosmology, Springer, Berlin, Heidelberg,
2006.
[14] C. D. Shane in C. A. Wirtanen, The distribution of extragalactic nebulae, Astron.
Journal 59 (1954), 285.
[15] M. Tegmark, M. R. Blanton, M. A. Strauss, F. Hoyle, D. Schlegel, R. Scoccimarro,
M. S. Vogeley, et al., The Three-Dimensional Power Spectrum of Galaxies from the
Sloan Digital Sky Survey, ApJ 606 (2004), 702.
[16] T. Zwitter, Nobelova nagrada odkriteljema planetov drugih zvezd, Obzornik mat. z.
66 (2019), 132{145.
[17] The Nobel Prize in Physics 2019, NobelPrize.org, Nobel Media AB 2020, dostopno
na www.nobelprize.org/prizes/physics/2019/summary/, ogled 25. 10. 2021.
[18] P. James Peebles, dostopno naphy.princeton.edu/people/p-james-peebles, ogled
25. 10. 2021.
100–111 111

i
i
\Klanecek" | 2021/10/29 | 8:09 | page 112 | #1
i
i
i
i
i
i
VESTI
Dr zavno tekmovanje v razvoju novih analitskih metod v medicini { RIS
Aprila in maja 2021 je potekalo prvo dr zavno tekmovanje v razvoju novih
analitskih metod v medicini { poimenovano RIS { v organizaciji Dru stva
matematikov, zikov in astronomov Slovenije (DMFA) ter raziskovalne sku-
pine Medicinska zika, ki deluje v okviru Univerze v Ljubljani, Fakultete
za matematiko in ziko, Instituta Jo zef Stefan, Univerzitetnega klini cnega
centra Ljubljana in Onkolo skega in stituta. Tekmovanje je bilo namenjeno
vsem  studentom in dijakom z zanimanjem za podro cje naprednih ra cunskih
metod na sti ci s cu medicine, zike in ra cunalni stva.
Tekmovalci so se soo cili z izzivom na temo diagnoze in prognoze oku zbe s
COVID-19. Natan cnej se napovedi obse znosti oku zbe s COVID-19 v plju cih
Slika 1. Drugouvr s cena ekipa Night foxes. Od leve proti desni: Filip Cvetko (Medicinska
fakulteta, Univerza v Ljubljani), Tim Cvetko (Gimnazija Bre zice) in tajnik tekmovanja
RIS doc. dr. Urban Simon ci c (Fakulteta za matematiko in ziko, Univerza v Ljubljani).
Zaradi epidemije se vsem tekmovalcem podelitve ni uspelo udele ziti.
112 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3

i
i
\Klanecek" | 2021/10/29 | 8:09 | page 113 | #2
i
i
i
i
i
i
Državno tekmovanje v razvoju novih analitskih metod v medicini – RIS
Slika 2. Tekmovanje v razvoju novih analitskih metod v medicini { RIS.
lahko pomagajo pri odlo citvah o hospitalizaciji in zdravljenju. Tekmovalci
so sestavljali avtomatizirano re sitev, ki bi iz CT-slik prsnega ko sa omogo cila
 cim zanesljivej so napoved obse znosti oku zbe s COVID-19 v plju cih.
Namen tekmovanja je bil popularizacija sodobnih metod analize podat-
kov v medicini, zato je bilo tekmovanje zastavljeno tudi kot u cna prilo znost.
Na uvodnem predavanju je bilo predstavljeno medicinsko ozadje problema,
slikanje s CT in statisti cne ter ra cunske metode, ki se trenutno uporabljajo
v znanosti za klasikacijo podatkov. Pri tem je bil najve cji poudarek na
najsodobnej sih metodah strojnega u cenja { umetni inteligenci.
Tekmovanje je potekalo v dveh krogih. V prvem krogu tekmovanja so
morali tekmovalci ustvariti avtomatiziran model, ki bi iz CT-slik prepoznal
blago in zelo obse zno oku zbo s COVID-19 (binarna klasikacija). V drugem
krogu so tekmovalci dobili nekoliko bolj zapleten problem: njihov model
je moral na CT-slikah prepoznati blago, zmerno in zelo obse zno oku zbo s
COVID-19 (ve crazredna klasikacija).
Na tekmovanje se je prijavilo 15 ekip s skupno 35 tekmovalci. Ve cina
 studentov je obiskovala Univerzo v Ljubljani, nekaj  studentov pa je pri slo z
Univerze v Mariboru. Zastopane so bile skoraj vse fakultete s poudarkom
na naravoslovju: Fakulteta za matematiko in ziko (FMF), Medicinska fa-
kulteta (MF), Fakulteta za ra cunalni stvo in informatiko (FRI), Fakulteta
za elektrotehniko (FE), Biotehni ska fakulteta (BF), Fakulteta za strojni stvo
(FS) in Fakulteta za naravoslovje in matematiko (FNM). Tekmovanja se je
Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3 113

i
i
\Klanecek" | 2021/10/29 | 8:09 | page 114 | #3
i
i
i
i
i
i
Vesti
udele zil tudi en dijak iz Gimnazije Bre zice (GB). V prvem krogu je svoje re-
 sitve pravo casno oddalo 13 ekip, od katerih se jih je v drugi krog tekmovanja
uvrstilo  sest najbolj sih. Nagradni sklad 1.500 EUR je bil na podlagi uspe-
 snosti klasikacijskega algoritma razdeljen vsem  sestim ekipam iz drugega
kroga. Zmagovalno ekipo so sestavljali Luka Leban (MF), Tim Po stuvan
(FRI) in Sara Veber (FRI), drugouvr s ceno pa brata Tim Cvetko (MF) in
Filip Cvetko (GB). Preostale  stiri ekipe nalnega kroga so si razdelile tretje
mesto.
Tekmovalci so pri re sevanju problemov v obeh krogih tekmovanja upora-
bljali predvsem metode strojnega u cenja. Najuspe snej se ekipe so za klasi-
kacijo CT-slik uporabile konvolucijske nevronske mre ze. Zmagovalna ekipa,
ki je v zadnjem krogu tekmovanja dosegla prepri cljivo zmago, je pri svoji
re sitvi veliko poudarka namenila pazljivi izbiri hiperparametrov za u cenje
nevronske mre ze ter augmentaciji  ze razpolo zljivih podatkov. Pomembno
se je izkazalo tudi upo stevanje neuravnote zenosti razredov, saj je bila ve-
 cina slik v u cni mno zici iz razreda z blago oku zbo. Zmagovalci so pri izbiri
ogrodja za svojo re sitev uporabili ltre  ze nau cene konvolucijske nevron-
ske mre ze ResNet-34. Dobre re sitve tekmovalcev bodo neposredno koristile
 sir sim raziskavam na podro cju analize medicinskih slik, predvsem v okviru
medicinsko-zikalnih raziskav. Z izzivi klasikacije se raziskovalci sre cujejo
pri vsakodnevnem raziskovalnem delu. Rezultati teh raziskav pa po casi,
vendar bistveno spreminjajo klini cno prakso.
Tekmovanje RIS je tako udele zencem pribli zalo zahtevne in aktualne
izzive, s katerimi se sre cuje medicina. V prvi vrsti tiste povezane z razvo-
jem in aplikacijo naprednih analitskih metod, zasnovanih na osnovi umetne
inteligence. Hkrati pa so tekmovalci spoznali izzive in prednosti interdisci-
plinarnega dela. Prvo dr zavno tekmovanje v razvoju novih analitskih metod
v medicini je bilo v celoti izredno uspe sno, z odli cno udele zbo in zanima-
njem tekmovalcev. Nekatere ekipe so se na svojih fakultetah odlo cile tudi
za objavo  clanka in konferen cnih prispevkov.
Programska skupina Medicinska zika
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
114 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3

i
i
\Vabilo" | 2021/10/29 | 8:56 | page 115 | #1
i
i
i
i
i
i
Vabilo na Obˇ cni zbor DMFA Slovenije
Vabilo na Ob cni zbor DMFA Slovenije
Spo stovane  clanice in  clani DMFA Slovenije. Vljudno vabljeni na znanstveno
popoldne in 74. ob cni zbor dru stva, ki bo v petek, 19. novembra 2021, od
17-ih dalje. Ob cni zbor bo potekal na daljavo preko spletne aplikacije Zoom,
povezava za udele zbo bo 3 dni pred sejo poslana vsem  clanom na njihove
elektronske naslove.
17:00 Znanstveno popoldne
Kraj si poljudni predavanji o svojem delu in aktualnih odkritjih na podro-
 cjih matematike in zike bosta pripravila zik prof. dr. Samo Kralj , UM
FNM, prejemnik Zoisovega priznanja 2020 in dr zavne nagrade za  solstvo
2021, ter matematik prof. dr. Bojan Mohar, UL FMF in Simon Frasier
University, Kanada, prejemnik mednarodne nagrade John L. Synge (2018),
nedavno izvoljen med  castne  clane American Mathematical Society (2020)
in v akademijo znanosti pri Royal Society of Canada (2020). Ve c informacij
o predavanjih bo objavljenih na spletni strani www.dmfa.si.
18:30 Ob cni zbor DMFA Slovenije
Predlog dnevnega reda:
1. Otvoritev
Med  cakanjem na sklep cnost bo kratko predavanje Barbare Japelj Pa-
ve si c s Pedago skega in stituta o slovenskem matemati cnem in zikalnem
izobra zevanju v lu ci mednarodnih primerjav.
2. Izvolitev delovnega predsedstva
3. Spremembe statuta DMFA Slovenije
1
4. Izvolitev  castnih  clanov
5. Podelitev dru stvenih priznanj
6. Poro cila o delu dru stva
7. Ra cunovodsko in poslovno poro cilo DMFA
2
8. Vpra sanja in pobude
3
9. Razno
Ne zka Mramor Kosta, predsednica DMFA Slovenije
1
Predlog spremenjenega statuta je objavljen na spletni strani www.dmfa.si.
2
Vpogled v dokumentacijo je mo zen od 15. do 18. 11. po dogovoru (ga. Simona Puncer,
racunovodstvo@dmfa.si).
3
Vpra sanja in pobude lahko  clani po sljejo vnaprej po elektronski po sti do 18. 11. na
naslov tajnik@dmfa.si.
Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3 115

i
i
\Razpet" | 2021/10/29 | 8:50 | page 116 | #1
i
i
i
i
i
i
Vesti
Martini Koman v spomin (1931{2021)
V enaindevetdesetem letu  zivljenja nas
je 9. julija 2021 zapustila  castna  clanica,
nekdanja predsednica in dolgoletna pod-
predsednica DMFA Slovenije, Martina
Koman.
Martina Koman se je rodila 2. 1. 1931
v Ljubljani. Prva znanja je prejela na
II. dr zavni me sani osnovni  soli Valentina
Vodnika v Zgornji
 Si ski. Med vojno je
obiskovala ni zjo gimnazijo, po vojni pa
 zensko realno gimnazijo v Ljubljani, saj
so nekaj  casa po vojni  se lo cevali  zenske
in mo ske oddelke. Diplomirala je na ma-
temati cnem oddelku Prirodoslovno ma-
temati cne fakultete v Ljubljani. Eden iz-
med njenih profesorjev je bil tudi dr. Jo-
sip Plemelj.
Najprej je  se pred diplomo pou cevala na Gimnaziji Ptuj, po diplomi
leta 1954 pa je od sla na Jesenice, kjer je na takrat  se osemletni gimnaziji
pou cevala matematiko in ziko. Po vzpostavitvi osemletne osnovne  sole pa
je pou cevala na O
 S Pre zihov Voranc na Jesenicah, kjer je bila nekaj  casa
tudi pomo cnica ravnatelja. Od septembra 1968 je delala na gimnaziji v
Postojni, kjer je bila vse do upokojitve 1988. Tudi v Postojni je bila ve c let
pomo cnica ravnatelja, pa tudi vodja aktiva. Sodelavci so jo zelo cenili, saj
je vsakomur rada prisko cila na pomo c in se lotila vsakega dela, ne glede na
to, ali je zanj prejela pla cilo ali ne. Njen odnos do dela se ka ze tudi v tem,
da se je zaradi pomanjkanja profesorjev zike leta 1989 znova zaposlila na
tej gimnaziji in za eno leto prekinila upokojitev.
V  casu pou cevanja v Postojni je skupaj s kolegi v letih 1975 in 1985
organizirala tekmovanje srednje solcev v znanju matematike, leta 1986 pa
27. zvezno tekmovanje srednje solcev v znanju matematike.
Bila je priljubljena tudi med dijaki, saj je s svojim optimisti cnim po-
gledom na svet in preudarnim odnosom do mladih znala vzbuditi njihovo
zanimanje za matematiko in ziko. Njena nekdanja dijakinja Eva
 Ce c je
zapisala: Njena posebno mehka pedago ska du sa je zmogla tudi s tistimi, ki
sta jim zika in matematika povzro cali te zave. Takoj si vedel,  ce si ustrelil
mimo: »A pejte no!« in prizadevanja za uspe sen odgovor si usmeril dru-
gam. . . .
Za svoje pedago sko delo je  ze leta 1970 prejela ob cinsko priznanje Te-
meljne izobra zevalne skupnosti Postojne.
116 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3

i
i
\Razpet" | 2021/10/29 | 8:50 | page 117 | #2
i
i
i
i
i
i
Martini Koman v spomin (1931–2021)
Martina je bila ve c kot 30 let ena najbolj aktivnih  clanic DMFA Slo-
venije.
 Clanica Komisije za pedago sko dejavnost je postala leta 1971, dve
leti pozneje pa sekretarka te komisije in hkrati  clanica UO dru stva. Kot
sekretarka je organizirala ve c dvodnevnih in enodnevnih kraj sih seminarjev
za u citelje matematike in zike. Njena poro cila o delu dru stva so  se danes
pomemben vir informacij za prou cevanje zgodovine DMFA Slovenije. Med
35. in 36. ob cnim zborom (1982{1983) je bila predsednica dru stva, nato pa
od 1984{1991 podpredsednica. Ves ta  cas je skrbela za strokovna sre canja
in organizacijo ob cnih zborov in re sevala nan cne te zave dru stva. Zadnja
leta aktivnega delovanja v DMFA Slovenije je bila sekretarka Komisije za
informiranje. Zbirala in objavljala je podatke o novih  clanih dru stva, o
diplomantih in doktorandih iz matematike in zike. V UO dru stva je sode-
lovala vse do leta 1999.
Ob 30-letnici DMFA Slovenije je leta 1978 prejela posebno dru stveno
priznanje za dolgoletno delo v dru stvu, na 40. ob cnem zboru 1988 pa ju-
bilejno priznanje za delo sekretarke Komisije za pedago sko dejavnost in za
delo podpredsednice dru stva . Leta 2000 je postala  castna  clanica DMFA
Slovenije.
Zadnja leta je Martina pre zivela v domu upokojencev v Postojni. Ko
smo jo ob neki prilo znosti obiskali in vpra sali, ali kaj pogre sa, je v smehu
odgovorila: Tukaj je zaposlenih ve c mojih nekdanjih dijakinj in lepo skrbijo
zame. V casih pa  se kak sne njihove potomce malo poin struiram, pa  cas
hitro mine. Tudi v domu je bila aktivna. Nekaj  casa je bila v svetu doma,
pisala je v lokalne  casopise o dogodkih v domu in se vklju cevala v razli cne
programe, bila je tudi prostovoljka. Nekateri otroci gotovo poznajo njen
glas, saj je sodelovala v projektu Lahkono cnice , v katerem so prebivalci
nekaterih domov brali in pripovedovali otrokom zgodbe za lahko no c.
Rada je klepetala s stanovalci doma in razpravljala o razli cnih nepravil-
nostih v dru zbi. Lansko jesen se je  se jezila nad kolesarji po Ljubljani, ki
so se lepo dru zili, medtem ko so bili stanovalci v domovih prakti cno zaprti
v svoje sobe. Vedno je trdno stala za svojimi stali s ci in jih tudi zavzeto
zagovarjala.
Veliko let je kot prostovoljka delala za Karitas. Dru stvo katoli skih pe-
dagogov Slovenije ji je leta 2019 podelilo Slom skovo priznanje.
Zadnji c sva govorili po telefonu, ko smo zbirali spomine  se  zive cih  stu-
dentov na prof. Plemlja. V njenem glasu ni bilo ve c  cutiti tiste zna cilne
rado zivosti, tudi pogovor ni ve c tekel gladko.
Martina Koman je s svojim delom v DMFA Slovenije pustila neizbrisen
pe cat.
Nada Razpet
Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3 117

i
i
\Marc" | 2021/10/29 | 8:52 | page 118 | #1
i
i
i
i
i
i
NOVEKNJIGE
A. M. Hinz, S. Klav zar in C. Petr, The Tower of Hanoi { Myths and Maths,
With a foreword by Ian Stewart, 2nd edition, Birkhauser, Cham, 2018, 458
strani.
Hanojski stolp
Problem Hanojskega stolpa je mitolo sko
obarvana igra, dobro poznana tako lju-
biteljem razvedrilne matematike kot  stu-
dentom matematike in ra cunalni skega
programiranja. Navidez preprosta ugan-
ka z elegantno re sitvijo skriva ve c vari-
acij in posplo sitev, katerih analiza pre-
sega lahkotno igranje in razkrije zani-
mive matemati cne strukture in povezave.
Dovolj, da so avtorji Andreas M. Hinz,
Sandi Klav zar, Uro s Milutinovi c
1
in Ciril
Petr izdali knjigo»The Tower of Hanoi {
Myths and Maths« o matemati cnih izzi-
vih, re sitvah in odprtih problemih te igre
ter jo obarvali z zanimivimi miti in zgo-
dovinskim ozadjem. Ob nedavnem izi-
du druge izdaje knjige bralcem predsta-
vimo nekaj zanimivih obravnavanih pro-
blemov.
V klasi cni igri Hanojski stolp imamo tri palice in n2N diskov, razvr-
 s cenih po velikosti na eni izmed palic, kot lahko vidimo na sliki 1. Cilj je
premakniti vse diske na eno izmed preostalih palic z upo stevanjem bo zan-
skih pravil: vrhnji disk lahko premaknemo na drugo palico le,  ce ne polo zimo
ve cjega diska na manj sega.
Ena izmed re sitev zgornjega problema je klasi cen primer rekurzije, ne-
 stetokrat uporabljen za predstavitev mo ci rekurzivnega programiranja.
 Ce
 zelimo premakniti n> 1 diskov s prve palice na drugo, najprej premaknemo
n 1 diskov s prve na tretjo (ob upo stevanju pravil), nato premaknemo naj-
ve cji disk na drugo palico ter zaklju cimo s premikom n 1 diskov s tretje na
drugo palico. Tak algoritem lahko implementiramo v nekaj vrsticah kode in
nam vrne re sitev z 2
n
 1 potezami, kar je optimalna re sitev.
Vendar naj nas enostavnost re sitve in formulacije problema ne zavede,
saj ga  ze majhne spremembe lahko zelo ote zijo. Imenujmo postavitev diskov
1
Sodeloval samo pri prvi izdaji.
118 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3

i
i
\Marc" | 2021/10/29 | 8:52 | page 119 | #2
i
i
i
i
i
i
The Tower of Hanoi – Myths and Maths
Slika 1. Za cetna postavitev, popolno stanje.
na tri palice, v kateri ni noben disk polo zen na manj sega, regularno stanje.
 Ce so vsi diski na eni palici, stanju re cemo, da je popolno. Takoj smo so-
o ceni z izzivom, kako (optimalno) preiti iz poljubnega regularnega stanja
v popolno stanje. Lahko bi  zeleli premakniti diske iz izbranega stanja
2
v
poljubno regularno stanje. Kaj  ce je palic ve c kot tri? Kaj se zgodi,  ce na-
klju cno prehajamo med stanji? Problemi, povezani s hanojskimi stolpi, so v
zadnjih desetletjih navdahnili veliko matemati cnih znanstvenih prispevkov,
ki igro pove zejo s teorijo grafov, razvojem ra cunalni skih algoritmov, teo-
rijo  stevil in drugimi znanstvenimi podro cji. Avtorji »The Tower of Hanoi {
Myths and Maths« so zbrali zanimive in pomembne prispevke v knjigo, ki je
primerna tako za ljubitelja razvedrilne matematike kot tudi za raziskovalca,
ki  zeli spoznati podro cje. Vsebuje tako uvod v vse potrebno znanje za ma-
temati cno analizo problema, dokaze rezultatov, kot tudi vaje za utrjevanje
in razmislek o prebranem.
V nadaljevanju si oglejmo nekaj zanimivih smeri raziskovanja hanojskih
stolpov v upanju, da bralca navdahnemo k branju predstavljene knjige.
Hanojski gra, trikotnik Sierpi nskega in
466
885
Vsako regularno stanje lahko predstavimo s preprostim kodnim zapisom.
Naj bo T mno zica palic: v igri s tremi palicami lahko torej ozna cimo T =
f1; 2; 3g. Vsako regularno stanje lahko opi semo tako, da za vsakega izmed
n diskov povemo, na katero palico je polo zen. Ker so diski na vsaki palici v
regularnih stanjih urejeni po velikosti, nam tak opis enoli cno dolo ci stanje.
Torej lahko regularna stanja predstavimo z elementi iz T
n
= T T .
Ker poljuben elementT
n
kodira neko regularno stanje, vidimo, da lahkoT
n
ena cimo z mno zico vseh regularnih stanj in da je takih stanj natanko 3
n
.
Dodajmo  se relacije med regularnimi stanji in ustvarimo graf. Hanojski
2
Denicija dovoljenih premikov nam celo dovoljuje za ceti v stanjih, ki niso regularna.
Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3 119

i
i
\Marc" | 2021/10/29 | 8:52 | page 120 | #3
i
i
i
i
i
i
Nove knjige
graf H
n
3
je graf, katerega vozli s ca so regularna stanja, dve stanji pa sta
povezani,  ce lahko z dovoljenim premikom preidemo iz enega v drugo. Kot
lahko vidimo na sliki 2, dobimo grafe zanimivih oblik. Z grafa lahko opazimo
rekurzivno strukturo hanojskih stolpov: H
n
3
je sestavljen iz treh H
n 1
3
, ter
treh povezav med njimi. Slika H
n
3
, ko n pove cujemo, postaja vedno bolj
podobna trikotniku Sierpi nskega, fraktalni mno zici v ravnini. Pogled na
igro Hanojski stolp kot gibanje po grafu H
n
3
nam da nov vpogled, hkrati pa
odpre nova vpra sanja, ki se pogosto pojavljajo v teoriji grafov: vpra sanja o
simetrijah, metri cnih lastnostih, invariantah itd.
(a)H
2
3
(b)H
3
3
(c) Trikotnik Sierpi nskega
Slika 2. Hanojski gra in trikotnik Sierpi nskega.
Omenimo vpra sanje, katerega odgovor je presenetljiv, dokaz pa  zal pre-
sega ta prispevek.
 Ce imamo graf H
n
3
za n dovolj velik, bo tak graf imel
3
n
vozli s c in nekateri pari vozli s c bodo precej oddaljeni med seboj. Na
najve cji razdalji 2
n
 1 bosta poljubni dve popolni stanji (na sliki 2 so to
vozli s ca, ki ustrezajo ogli s cem zunanjega trikotnika). Ve cji kot bo n, ve cja
bo tudi povpre cna razdalja med vozli s ci, vendar v kak snem razmerju sta
povpre cna in najve cja razdalja v H
n
3
? Izka ze se, da to razmerje konvergira
k nenavadnemu  stevilu
466
885
, kon pove cujemo. Rezultat implicira, da je tudi
v trikotniku Sierpi nskega z zunanjo stranico dol zine 1 povpre cna razdalja
med to ckami
466
885
. To presenetljivo racionalno  stevilo je bilo po ca s ceno z
izborom med neverjetna  stevila [2].
Frame-Stewartova domneva in druge variacije
Nepri cakovano te zek zasuk osnovnega problema igre Hanojski stolp, tj. pre-
hoda iz popolnega stanja v drugo popolno stanje s  cim manj koraki, se zgodi,
120 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3

i
i
\Marc" | 2021/10/29 | 8:52 | page 121 | #4
i
i
i
i
i
i
The Tower of Hanoi – Myths and Maths
 ce dodamo  se  cetrto palico. Nova palica, imenovana tudi hudi ceva palica,
nalogo prehajanja med popolnimi stanji seveda olaj sa, saj jo lahko prepro-
sto ignoriramo. Vendar taka re sitev ni ve c optimalna, saj lahko hudi cevo
palico uporabimo za re sitev z manj premiki.
Imejmo n2N diskov polo zenih na prvo palico, ki jih  zelimo premakniti
na drugo. Strategija je naslednja: najprej m diskov, kjer je 0 m < n
premaknemo na hudi cevo palico s  cim manj premiki, nato preostalih n m
diskov premaknemo na drugo palico brez uporabe hudi ceve palice in zaklju-
 cimo s premikom m diskov iz hudi ceve palice na drugo palico. Strategija
motivira denicijo Frame-Stewartovih  stevil :
Denicija 1. Frame-Stewartova  stevila FS
n
4
, za vsak n2 N
0
, so denirana
rekurzivno
FS
0
4
=0
FS
n
4
= minf2FS
m
4
+ FS
n m
3
j 0 m<ng;
kjer je FS
n
3
= 2
n
 1 optimalno  stevilo premikov v igri Hanojski stolp s tremi
palicami in n diski.
Po zgoraj opisani strategiji velja, da lahko v igri Hanojski stolp s  sti-
rimi palicami preidemo s FS
n
4
premiki iz popolnega stanja v poljubno drugo
popolno stanje. Frame-Stewartova domneva, matemati cen problem, ki je
 cakal na re sitev celih 73 let, trdi, da je taka strategija optimalna. Po  ste-
vilnih poskusih re sevanja ter preverjanjih z ra cunalnikih za vrednost vse do
n 30 je Thierry Bousch uspel leta 2014 dokazati [1], da domneva dr zi.
Knjiga »The Tower of Hanoi { Myths and Maths« med drugim vsebuje prvi
angle ski opis njegove re sitve
3
.
O  se drugih posplo sitvah igre Hanojski stolp, grah Sierpi nskega, Stock-
meyerjevi domnevi in podobnih problemih lahko bralec ve c prebere v pred-
stavljeni knjigi.
LITERATURA
[1] T. Bousch, La quatri eme tour de Hano  , Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 21
(2014), 895{912.
[2] I. Stewart, Professor Stewart’s incredible numbers, Basic Books, New York, 2015.
Tilen Marc
3
Bouscheva re sitev je bila objavljena v franco s cini in je zato manj dosegljiva povpre c-
nemu bralcu.
Obzornik mat. fiz.68 (2021) 3 XI

i
i
“kolofon” — 2021/10/25 — 11:05 — page 2 — #2
i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, SEPTEMBER 2021
Letnik 68, številka 3
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
ˇ
Clanki Strani
Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello (Bojan Hvala) . . . . . . . . . . . . . . . 81–99
Nobelova nagrada za razvoj fizikalne kozmologije (Dunja Fabjan) . . . . . 100–111
Vesti
Državno tekmovanje v razvoju novih analitskih metod v medicini – RIS
(Programska skupina Medicinska fizika) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112–114
Vabilo na Obˇ cni zbor DMFA Slovenije (Nežka Mramor Kosta) . . . . . . . . . 115
Martini Koman v spomin (1931–2021) (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . 116–117
Nove knjige Strani
A. M. Hinz, S. Klavžar in C. Petr, The Tower of Hanoi – Myths and Maths
(Tilen Marc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118–XI
CONTENTS
Articles Pages
Triangle geometry, Oroslan and Ravello (Bojan Hvala) . . . . . . . . . . . . . . . . 81–99
Nobel Prize for the development of physical cosmology
(Dunja Fabjan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100–111
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112–117
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118–XI
Na naslovnici: Koncertni oder v parku vile Rufolo v mestecu Ravello nad Amal-
fijsko obalo (glej ˇ clanek na straneh 81–99). Foto: Bojan Hvala.