KAKO PREDSTAVITI CASIMIRJEV TLAK? ANDREJ LIKAR Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 04.80.-y V prispevku predlagamo izpeljavo Casimirjevega tlaka, ki ga lahko predstavimo pri predavanju iz osnov kvantne elektrodinamike. Najprej predstavimo osnovne prijeme pri enodimenzionalnem primeru, potem pa brez posebnih zapletov pridemo do slavne Casi-mirjeve enačbe. Namesto da bi računali gostoto energije, se raje takoj osredotočimo na tlak, kar eliminira razpravo v zvezi s polarizacijo nekaterih stoječih valov. Pokazemo tudi, da regularizacijska funkcija ne sme ostro odsekati področja z visokimi frekvencami, kot je to predlagano v nekaterih učbenikih. HOW TO PRESENT CASIMIR PRESSURE The article introduces simple derivation of Casimir pressure which could be presented in a course on basics of quantum electrodynamics. One dimensional case is introduced first which allows smooth transition to famous Casimir equation for pressure between two metal plates. We avoid calculation of energy density but start from the beginning with pressure, therefore eliminating discussion of polarization of certain standing waves. We show that regularizing function with sharp cut of high frequency region should not be used, as suggested in some textbooks. Osnovno stanje elektromagnetnega polja v kvantni elektrodinamiki je stanje, kjer nimamo fotonov. To pa ne pomeni, da v tem stanju tudi polja ni. Kvantna elektrodinamika uci, daje energija v osnovnem stanju povezana s frekvenco tega stanja, in sicer znasa za dano polarizacijo . Obravnava valovanja v prostoru je bolj zapletena kot v tankem koaksialnem kablu. Zato si najprej oglejmo slednji primer. Stoječe valove tu opredelimo podobno, kot to storimo na struni z dolzino l, vpeti na dveh konceh. Stoječi valovi so tedaj podani z jakostjo električnega polja: E(x, t) = E0 sin(wt) sin(kx), kjer mora valovno število k zadoščati pogoju: k = ^ c in cn kl = nin, = —ni, kjer je ni poljubno naravno število. Vsak ni določi način nihanja in vsak način nihanja nosi energijo -T . V klasični fiziki je lahko stoječi val prazen, 153 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 4 Andrej Likar ga ni, preprosto predpostavimo, da je amplituda E0 enaka nič. V kvantni elektrodinamiki pa ni tako. Vsak način nihanja nosi hoceS noceS energijo hr in z njo fluktuacije elektromagnetnega polja. Ker je različnih načinov nihanja neskončno, je neskončna tudi energija vakuuma. TeZko verjetno, verjetno tudi napačno. Načini nihanja pri zelo visokih frekvencah gotovo ne prispevajo toliko, da bi energija vakuuma divergirala. A kje je meja, danes se ne vemo. Sedaj pa si po Casimirju zamislimo zelo dolg kabel, ki je na sredi pre-deljen z dvema tankima kovinskima stenama K1, K2, na katerih mora biti jakost električnega polja enaka nič. Razdalja med stenama Ki in K2 naj bo D. Casimir trdi, da na steni sedaj deluje sila, ki ju skusa zblizati. To presenetljivo ugotovitev bomo sedaj utemeljili. Oglejmo si torej levo prevodno steno K1 in si mislimo, da je levo od nje se zaključen kabel z dolzino l (glej sliko 1). Dolzino l bomo v računih na primernem mestu raztegnili preko vseh meja. V tem delu kabla imamo načine nihanja, ki smo jih pravkar opredelili. Med stenama K1 in K2 pa imamo kos kabla z dolzino D, zato so načini nihanja tu podani prav tako kot zgoraj, le da moramo namesto l pisati D. Seveda se spekter načinov nihanja spremeni, postane redkejsi, kot je razvidno iz: cn ud = ~DnD • Tako levi kot desni del kabla deluje na steno K1 s silo. Vsak način nihanja prispeva svoj delez, ki ga brez tezav določimo tako, da nekoliko premaknemo steno, denimo, da razdaljo l malo zmanjsamo. Zaradi tega premika se energija izbranega načina nihanja z ni poveča, ker se poveča frekvenca tega načina. Torej je delo zunanje sile Flz, ki zelo počasi premakne steno K1 proti levi, enako spremembi energije izbranega načina nihanja: h dAi = Fiz dl = 2 dui • Tako sila Flz kot dl sta tu negativna, če privzamemo pozitivno smer sile proti desni. Torej je sila polja samega: F, = — hdui hnc 2 dl 2l2 K K i K2 K l D l Slika 1. Tanek koaksialni kabel s prevodnima stenama K 1 in K2, kjer je vozel jakosti električnega polja. Na levi strani od K1 in na desni od K2 je dolZina kabla l, med stenama pa D. 154 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 4 Kako predstaviti Casimirjev tlak? Podobno je sila na steno z desne zaradi načinov nihanja tam: Fd (nD) = - nD. Rezultanta teh sil je: AF = Fi + Fd = ^ 2D2 sr^ ni 12 \ni = 1 £ nD = 1 Vsaka vsota zase divergira, razlika pa ne bi smela. Robnemu pogoju za jakost električnega polja na steni pač ne moremo povsem zadostiti, se posebno če imamo v mislih zelo visoke frekvence, denimo tiste, ki pripadajo sevanju gama. Padajoči sili FD se torej z narasčajočo frekvenco vse bolj pridruzuje sila F| na račun prepusčenega valovanja, pri zelo visokih frekvenčah se obeh meja ne čuti več in namesto FD ostane le sila Fi. Vsoto po nD moramo zato z narasčajočo frekvenčo zmanj sevati in ji ustrezno vse bolj dodajati del vsote po ni. Vpeljemo padajočo odrezno funkčijo f (—), ki od 1 pri nizkih frekvenčah mehko in monotono prehaja proti nič pri visokih, denimo s f (—) = exp (-e—) s primerno izbranim pozitivnim e. Rezultanto potem zapisemo takole: AF hnc £ ni = 1 ni l2 ED2 f ("d ) + £ n (i - f (-i)) nD =1 ni = 1 l2 ali pregledneje: AF hnc E nf (-i) - E D2f (-D) ni = 1 nD =1 D2 Vidimo, da sedaj posamezni vsoti pri vsakem pozitivnem e konvergirata in lahko rezultanto brez tez av izračunamo. V literaturi zasledimo trditve, da vpeljemo odrezno funkčijo le zato, da lahko sploh kaj izračunamo in se ji potem odrečemo (pri nas z limitiranjem e proti nič ), in da je to le eden od moz nih predpisov za odpravo singularnosti. Tako razmi s ljanje pa privede do protislovja, saj lahko z različnimi predpisi pridemo do različnih rezultatov. Videli bomo, da izbira odrezne fukčije pri nas ni kritična, zadosča ze vsaka dovolj hitro padajoča funkčija frekvenče, ki uposteva, da se snovi pri zelo visokih frekvenčah ne razlikujejo od vakuuma. Preden se lotimo računanja vsot, uvidimo, da lahko vsoto po ni zapi-semo z integralom, ker je vsak člen vsote z nara s čajo čim l vse bolj podoben Cnr exp(-e—i)A(Cnr), ki za Ani = 1 in z narasčajočim l pada proti nič. Torej: lim V ni exp(-e—i) = / ■ exp (—e—i)d—i. 153-159 155 Andrej Likar Končno zapišemo rezultanto tako, da je povezava med integralom in vsoto vidna na prvi pogled: AF = ( / v exp (-e^v^dv - Y1 nD exp ) ' V° nD =0 / kjer smo vpeljali v = Dui/cn. V limiti, ko gre e proti nič, lahko dobimo rezultanto v zaključeni obliki, saj si lahko v tem primeru pomagamo z Euler-Maclaurinovo sumacijsko formulo, prirejeno za nas primer: fb b 1 1 F(x)dx - £ F(n) = - -(F(a) + F(b)) - -(F'(b) - F'(a)) + R, ■'a n=a kjer za ostanek velja: i rb |R| < ^ Ja |F'''(x)|dx. (1) Pri nas je torej r 0, ny > 0 in nz > 0, od katerih sme biti le eno enako nič [2]. Iz valovne enačbe dobimo frekvenčo u danega načina nihanja, in sičer v kočki n.\2 iUy\2 /nz -=a^T> n f) n T v prizmi pa 'J® n.\2 /%\2 /nz -d=^/(DJ n-t) n T 2 2 156 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 4 Kako predstaviti Casimirjev tlak? Slika 2. Originalna Casimirjeva naloga - v prostoru sta veliki vzporedni prevodni plošči. Na levo ploščo deluje na levi strani tlak zaradi ničelnih kolebanj v veliki kocki z robom l, na desni pa tlak v prizmi z robovi (D, l, l). Isčemo razliko teh tlakov Sp. Na sliki je prikazan eden od uporabljenih koordinatnih sistemov. V kvantni elektrodinamiki vsak nacin nihanja z dano polarizacijo nosi ničelno energijo • Ce kocko vzdolz osi x pocasi malo stisnemo, se frekvenca nihanja poveca in s tem tudi nicelna energija. Delo, ki smo ga pri stiskanju opravili, je enako spremembi te energije, torej dA = Fiz dx = ■ Naprej sklepamo enako kot v enodimenzionalnem primeru in za tlak dobimo —cn /nx\z 1 ^ y/(t")2 + (X)2 + (t)2' V prizmi, kjer malo premaknemo eno od plosc tako, da s tem spremenimo razdaljo D, pa imamo —cn / nx \ 2 1 PD- 2l2D UJ ^d)2 + (ny)2 + (nz)2' Razliko teh tlakov sedaj izracunamo po enodimenzionalnem zgledu. Seste-vanje po ny in nz opravimo z integracijo, kjer namesto n^ + n2z pisemo n2 in vsoti v limiti l ^ to zamenjamo z integralom: ^ny nz ^ | J 2nndn• Faktor 4 uposteva, da sta nx in ny lahko le nenegativni celi ¡števili. Tako dobimo za razliko tlakov . nz—c Ap = pi - p d = ' r