“639-Bezek-Stevilska” — 2010/3/29 — 9:16 — page 1 — #1
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 11 (1983/1984)
Številka 1
Strani 26–28
Danijel Bezek:
ŠTEVILSKA VETRNICA
Ključne besede: matematika, razvedrilo.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/11/639-Bezek.pdf
c© 1983 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
v
MATEMATICNO
RAZVEDRILO
STEVILSKA VETRNICA
Številsko vetrnico sestavljata več ji in man jši krog . Oba iz rezes IZ karto-
na in spneš v sred išču , tako da sta vrt ljiva okoli skupne os i. V smeri
vrtenja urnega kazalca na pribl ižno enakih razd aljah po obodu zapi ši
cif re iz števila 1 4 2 8 5 7 . Paz i, da bodo cifre na enem in d rugem
krogu zapisane ta ko, da bodo p ri vrtenju podpisane ena pod drugo ozi-
roma ena nad drugo.
26
Prva zanimivost:
Z vrtenjem krogov lah ko dobimo pod pisane razli čne cifre. Na primer:
2 8 5 7 1 4
t t t t t t
5 7 1 4 2 8
Vzem imo, da sta to dve šestmestni števil i in ju seštejmo ! Čudno! Vso-
ta je spet šestmestno števi lo , sestavljeno natanko iz ist ih
285714 + 571428 = 857142
cifer, ki nastopajo v obeh seštevancih : (1,2 ,4,5, 7 in 8) .
Na/oga: Z vrtenjem vetrni ce po išči še vse d ruge pare šestmestnih števi 1,
ki imajo lastnost, da je njuna vsota spet šestmestno število, sestavljeno
iz cifer: 1,2, 4,5,7 in 8.
Druga zani mivost : V prejšnji nalogi si pri iskanju parov morda ugotovil ,
da v posebnih primerih kot vsoto dveh šestmestnih št evi l s cifram i 1, 2,
4,5,7 in 8 dobimo spet šestmestno števi lo 999999. Na pr imer:
142857 + 857142 = 999999.
Druga na/oga: Poišč i vse druge pare šestmestnih števil , katerih vsota je
šest mest no število 999999 . Pomagaj si s števi lsko vet rn ico !
Tretja zanimivost: Pri množenju št evi la 142857 s številom 7 dobimo
število 999999 . Ugotovitev zapišemo kot enačbo 142578 ' 7 = 999999
in to enačbo preobliku jemo v sorazmerje 142578/999999 = 117 . Iz za-
pisanega sorazmerja se vidi, da je števi lo 142578 per ioda desetiške števil -
ke, s katero zapišemo ulomek 117 = 0 ,142857. Tvegamo še korak dalje
in poiščemo periodo desetiške števiIke, s katero zapišemo ulome k 217
(217 = 0,285714) . Preseneča nas, da periodo sestavljajo že znane cifre
1, 2, 4, 5,7 in 8. Isto velja tud i za ' periode decimalnih števil , s katerimi
zapišemo ulom ke 317, 417, 517 in 6 17 . Z drugimi besedami lahko to
zanimi vost povemo ta kol e: Če število 142857 pomnožimo z 1,2,3,4,5
in 6, dob imo vsakič kot p rodukt šestmestno število, ki ga sestavljajo cifre
1, 2,4,5, 7 in 8 (namreč 117'2 = 217 = 0,2857 14! ).
Tretja na/oga: Pokaži , da lastnost, ki jo ima števils ka vetrn ica za sešte-
vanje, velja v določenih primerih tudi za od št ev a nje . Po i šč i vse pare ta-
kih šestmestnih števi l , kat erih razli ka je spet šestmestno število s ciframi
1, 2, 4, 5, 7 in 8.
Četrta na/oga: Premisli, ali bi lah ko sestavil številsko vetrnico s trem i
krogi, tako da bi bi la vsota tre h že znanih šestmestn ih števil spet šest-
mest no število s cif rami 1, 2, 4, 5,7 in 8.
27
Četrta zanimivost : Prej smo pokazali , kako z množenjem števil a 142857
po vrsti z 1,2,3,4,5 in 6 dob imo produkte:
111 4 2118 5 711 11 5 7 1114 2 811
112 8 5117 411 11 7 4112 8 511
114 2 8115 7 1 il 11 8 5 7111 4 2 11
Vsako od teh šest mest nih števi l lahko razpolovimo, tako kot kaže zgor-
nji pr imer, in tako dobimo iz vsakega števila dve trimestn i št evi l i . Če ju
sešte jerno, dobimo vselej vsoto 999.
Peta zanimivost: Številska vetrnica, ki smo jo sestav il i s številom
142857, je le ena od pr imerov številskih vetrn ic. Obstajajo še druge. Šte-
vi lo , ki ga je treba v vetrnico vpisat i, je vselej perioda v dec imaini šte-
vilki, s katero zapišemo ulomek 1/a , pri čemer je imenovalec a prašte-
vilo. V periodi pa mora nastopati (a - 1) decimalnih mest.
Peta naloga: Poišči ulomek, ki se da zapisati z decimaino števil ko, ka-
terega perioda bo imela zgoraj op isano lastnost. Za to število naredi šte-
vilsko vetrnico in preizkusi kako od zanimivosti !
Re š itve:
Prva naloga: (142857,285714), (142857,428571), (142857,571428),
(142857, 714285), (285714,428571), (285714,571428)
Druga naloga: (142857,857142), (285714,714285), (428571,57 1428)
Tretja naloga: (285714,142857) , (428571,285714), (428571, 142857) ,
(571428,428571) , (571428,285714), (571428,142857),
(7 14285, 571428), (714285,428571) , (714285,285714) ,
(7 14285,142857), (857142,571428), (857142 , 428571) , (857142,714285) ,
(857142,285714). (857142,142857) .
Četrta naloga: Razlago zanimivosti opremo na raču na nj e z ulomki :
1/7 + 2/7 + 3/7 = 6/7 in od tod : 142857 + 285714 + 428571 = 857142!
Peta naloga: 1/17 0,0588235294117647
1/29 = 0,0344827586206896551724137931
L ite ratura:
Stanko Prvanovi č: Zb irka matematičkih zadataka, Tehnič ka kn jiga, Beo-
grad 1966.
Danijel Bezek
28