Elektrotehniški vestnik 85(4): 192-196, 2018 Izvirni znanstveni članek
Analitični izračun optične odbojnosti tankoplastne strukture s povprečenjem nekoherentnih plasti
Janez Puhan
Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko, Tržaška 25, 1000 Ljubljana, Slovenija E-pošta: janez.puhan@fe.uni-lj.si
Povzetek. Članek podaja nov postopek izračuna optične odbojnosti tankoplastne interferenčne strukture z eno ali več nekoherentnimi nosilnimi plastmi. Pri eni nosilni plasti se predlagani postopek izogne povprečenju rezultatov prek različnih debelin te plasti z analitično rešitvijo izračuna povprečne vrednosti, kar je mogoče naprej zaporedno razširiti na poljubno število nekoherentnih plasti. Za izračun optične odbojnosti je tako potreben le en koherenten izračšun. Predlagani postopek je preverjen z ekvivalentnim numeričšnim izračšunom oziroma s splošno metodo prenosnih matrik (angl. GTMM - General Transfer-Matrix Method) kot referenčno metodo.
Ključne besede: tankoplastno interferenčno optično sito, metoda prenosnih matrik, nekoherentna plast, povprečšenje
Analytičal reflečtanče čalčulation of a thin-film multilayer stručture with inčoherent layer averaging
The paper proposes a novel pročedure to obtain reflečtanče of a thin-film multilayer stručture with one or more inčoherent substrate layers. In čase of a single inčoherent layer, averaging over an interval of the inčoherent layer thičknesses is avoided by analytičal determination of the average. The pročedure čan iteratively be expanded to stručtures with multiple inčoherent layers. Only one čoherent čalčulation is required to obtain reflečtanče. The proposed pročedure is verified with an equivalent numeričal čalčulation or by the General Transfer-Matrix Method (GTMM) used as a referenče.
1 Uvod
Tankoplastne strukture, nanesene na nosilno plast, se uporabljajo kot premazi z visoko ali nizko optično odbojnostjo, oz. kot optična interferenčna sita, ki prepuščajo, oz. odbijajo svetlobo določenih valovnih dolzin. Za izračun odbojnosti tankoplastne strukture se uporablja metoda prenosnih matrik (angl. TMM -Transfer-Matrix Method) [1], [2] ali iz nje izpeljana metoda karakterističnih matrik [3], [4]. Obe matrični metodi predvidevata izotropne, homogene, optičšno ravne in vzporedne tanke plasti, katerih debelina ne presega velikostnega razreda valovne dolzšine svetlobe. Lomni količniki plasti so zato konstantni, razširjanje svetlobe pa koherentno. Za izračun odbojnosti zadostuje enodimenzionalni model prereza strukture.
Predpostavka koherentnosti odpove v nosilni plasti, ki je občutno debelejša od tankih plasti oz. od valovne dolzine svetlobe. Tehnologija izdelave debelih plasti ne omogočša popolne ravnosti in vzporednosti, zato je
Prejet 10. april, 2018 Odobren 10. julij, 2018
razširjanje svetlobe v debeli nosilni plasti nekoheren-tno. Izračun odbojnosti z matričnimi metodami je tako nepravilen (gl. sliko 3), ozka nihanja v odbojnostnem spektru niso realna in so posledica napačne predpostavke o koherentnem razširjanju svetlobe v nosilni plasti.
Pravilno odbojnost je mogoče izračunati s povprečenjem koherentnih izračunov prek intervala različnih debelin nosilne plasti [5]. Ker je za izračun povprečne vrednosti potrebnih veliko koherentnih izračšunov, je bilo v preteklosti razvitih nekaj metod, ki poskušajo število koherentnih izračunov zmanjšati. Metodi naključnih faznih premikov [6] oz. naključnih debelin [7] opravita povprečenje nad naključno izbranim vzorčem. Po drugi strani metodi enakomernih faznih premikov [8] oz. enakomerno porazdeljenih debelin [9] opravita povprečenje nad enakomerno porazdeljenim vzorčem.
V članku je predstavljen nov postopek izračuna optičšne odbojnosti tankoplastne interferenčšne strukture z eno ali več nekoherentnimi nosilnimi plastmi. Za primer strukture z eno nekoherentno plastjo je namesto povprečenja prek velikega števila koherentnih izračunov podan analitičšni izraz za določšitev iskane povprečšne vrednosti. Postopek je nato razširjen na strukture s poljubnim sštevilom nekoherentnih plasti. Potreben je le en koherenten izračun. Rezultati, pridobljeni s predlaganim postopkom, so preverjeni s klasičšnim numeričšnim povprečenjem koherentnih rezultatov prek intervala debelin nosilne plasti oziroma z uporabo GTMM [10] kot referenčšne metode.
ANALITIČNI IZRAČUN OPTIČNE ODBOJNOSTI TANKOPLASTNE STRUKTURE S POVPRECENJEM NEKOHERENTNE PLASTI 193
2 Metoda prenosnih matrik
Tankoplastna interferencna struktura z eno nosilno plastjo je prikazana na sliki 1. Sestavlja jo n plasti, od tega m — 1 tankih plasti na levi in n —m tankih plasti na desni strani debele nosilne plasti. Nosilna plast je označena z indeksom m, vpadni in izstopni medij pa z indeksoma 0 in n +1.
tanke plasti
tanke plasti
E++
E'i+	E+	E2+	Em-	Em	E+	Em'++1 Em++1 m+1	Em+2	E+
E'r	Jr	EL	Em-1	Em	Em	Em+1 Em+1	EU	E-
E+
EL-, = 0
D j

D j+1
j+1 j-i
j =0,1, .. . n , (1)
D j
11
j -j
j = 0, 1,.. .n + 1
/ je kompleksna poševna valovna admitanca medija oz. j-te plasti. Za vertikalno polarizacijo velja nj = yj / cos ¿j, za horizontalno pa nj = ž/j cos ¿j, pri čemer je yj = y0Nj kompleksna valovna admitanca medija oz. j-te plasti, ¿j pa kompleksni lomni kot v j-ti plasti, ki sledi iz Snellovega lomnega zakona N0 sin ¿0 = Nj sin ¿Dj. Nj = nj — ikj je kompleksen lomni količnik medija oz. j-te plasti. N0 in ¿0 sta lomni kolicšnik brezizgubnega vpadnega medija in vpadni kot, y0 je valovna admitanca vakuuma.
Zvezo med amplitudami E na levi in desni strani j-te plasti podaja relacija
j j

j = 1, 2, .. .n
(2)
kjer P j pomeni kompleksno fazno matriko j-te plasti:
P j
eiSj 0
-iS j
j = 1, 2, .. .n
Celotna struktura s slike 1 je z uporabo enačb (1) in (2) popisana z
E+
pri čemer je T
■j/+
E,
n+1-
D-1
Tii Ti2
■
E:
n+1-
, (3)
n
i Dj Pj D-
D
n+1
kom-
pleksna prenosna matrika strukture. Iz enačbe (3) sledi odbojnost, ki je enaka
R
I ^c-!2
I ^o+I2
ITil2 ITTii!2
(4)
Slika 1: Tankoplastna interferencna struktura z nosilno plastjo
E oznacuje tangencialno komponento kompleksne amplitude elektricne poljske jakosti. Desno potujoci valovi nosijo znak plus ( + ), levo potujoci pa minus ( - ). Strešica (~) oznacuje kompleksno vrednost, crtica ( ' ) pa E na desni strani meje dveh plasti. Prestopne pogoje med dvema plastema podaja relacija
kjer Dj pomeni kompleksno dinamično matriko medija oz. j-te plasti:
3 Nekoherentno razširjanje
svetlobe v debeli plasti
Razdelek 2 matematično popisuje interferenco med desno in levo potujočimi valovi v tankoplastni strukturi s slike 1. Predpogoj za nastanek interference je koherentno valovanje.
Koherentno svetlobo je mogoče dobiti le z laserjem. Običajni viri svetlobe (sonce, svetilke ipd.) so neko-herentni. Svetloba je izsevana ob naključnih prehodih atomov med energijskimi nivoji. Celoten vir pravzaprav tvori mnoziča majhnih izvorov, ki ob naključnih časih za kratek čas zasvetijo z različnimi valovnimi dolzinami. Slika 2 simbolično prikazuje koherentno in nekoherentno valovanje ene valovne dolzine. L pomeni povprečno dolzino posameznega svetlobnega snopa in je za nekoherentne vire navadno v velikostnem razredu valovne dolzine svetlobe.

S j = 2nNj d j cos ¿j /A0 je kompleksni fazni premik v j -ti plasti. dj je debelina j-te plasti, A0 pa valovna dolzina v vakuumu.
Slika 2: Svetlobno valovanje iz koherentnega (zgoraj) in ne-koherentnega (spodaj) vira
Ce je debelina tankoplastne strukture veliko manjša od L, so posamezni snopi kljub nekoherentnemu svetlobnemu viru dovolj dolgi za nastanek interference med napredujocimi (desno potujocimi) in odbitimi (levo potujocimi) valovi. Debelina nosilne plasti pa je veliko vecja od L. Posamezni snop ni dovolj dolg za interferenco med valoma, odbitima na prednji in zadnji strani. Informacija o fazi se v debeli nosilni plasti izgubi oziroma enacba (2) v njej ne velja. Mavricne barve milnih mehurckov in enakomerna odbojnost/prosojnost okenskega stekla sta vsakdanja primera interference pri odboju od tanke plasti in nekoherentntnega razširjanja svetlobe v debeli plasti.
Vendar pa debele plasti izkazujejo svojo nekoherentno naravo tudi pri povsem koherentnem laserskem zarku, ceprav je v tem primeru L veliko vecji od debeline
1
L co
L
j
0
e
194
PUHAN
debele plasti. Razlog je v natačnosti izdelave debele plasti. Za nastanek interference bi morali biti površini na obeh straneh povsem gladki in vzporedni oziroma debelina plasti bi morala biti konstantna. Vendar se debelina nosilne plasti v praksi spreminja tudi do nekaj valovnih dolzin opazovane svetlobe, zato se val, odbit na zadnji strani, vrne z naključno fazo, to je odvisno od debeline, na katero posamezni snop naleti. Potrebna bi bila bistveno večja natančnost izdelave, kar pa je izjemno tezko doseči. Na drugi strani se za izdelavo tankih plasti uporablja naparevanje, kar omogoča enakomeren nanos materiala in s tem boljši nadzor nad debelino plasti.
4 Povprečna vrednost
Izračun odbojnosti z metodo prenosnih matrik (4) predvideva koherentno razširjanje svetlobe v vseh plasteh interferenčne strukture, zato je rezultat napačen. Pravilno vrednost odbojnosti je mogoče dobiti s povprečenjem prek intervala debelin nosilne plasti dm, ki ustreza eni periodi faznega zamika Sm nosilne plasti, in je enak 2Ac(Re2NVm - No2 sin2 tfo)-1.
Kot alternativa povprečenju je v tem razdelku predstavljena analitična pot do pravilnega rezultata. V strukturo na sliki 1 naj bo med nosilno plast m in prvo tanko plast na desni strani m +1 dodana nova plast A. Lomni količšnik nove plasti naj bo enak realnemu delu kompleksnega lomnega količnika nosilne plasti NA = nm oz. nova plast je iz enakega materiala kot nosilna plast, le da je brez izgub. Odbojnost nove strukture z dodano plastjo A je
R(Sa) =
1721^11^ + T22iT2ide-iS* |2 ITiiiTiide^ + rTi2irT2ide-i&* |2
pri čemer sta Tl in Td kompleksni prenosni matriki plasti na levi in desni stani plasti A:
d=
T11l	ri2l
7211	T221
T11d	T12d
T21d	7T22d
D
1
n
j=1D jp jD
1
D
a
D A1
n
j=m+1 j j
D, P, D -
D
n+1
— 1 fn
R =-/ R (SA)dSA . n J o
(5)
Integral v enačbi (5) je analitično rešljiv. Tako je za R mogočše izpeljati izraz:
R = l721l|2 + Rd|722l|2 + Re(T11lTr2l721l7722l)
|rT11i|2 - Rd|7T12l|2
|7r11l7T12l |2
1
|rT11l|2 + Rd|7T12l |2
|7T1u|2 - Rd|7T12l |2
(6)
SA = 2nNAdA cos $a/A0 pa je njen fazni zamik. Ker je plast A brez izgub, je njen fazni zamik za NA > No realen.
Odbojnost R (SA) je periodična funkčija faznega zamika SA s periodo n. Do pravilne vrednosti odbojnosti tankoplastne interferenčšne strukture z nekoherentno nosilno plastjo m s slike 1 je mogočše priti z izračšunom provprečne vrednoti funkčije R (SA):
pri čemer je Rd = |7r21d|2/|7r11d|2 odbojnost tankih plasti na desni strani plasti A. Zvezdiča ( * ) označuje konjugirano kompleksno vrednost.
Izraz (6) je mogoče zaporedno uporabiti tudi pri več debelih nekoherentnih plasteh v interferenčšni strukturi. Določitev končne odbojnosti zahteva toliko iteračij, kolikor je nekoherentnih plasti. Ce za prvo nekoherentno plast označšimo tisto, ki je najblizše vpadnemu mediju, za zadnjo pa tisto, ki je najblizše izstopnemu mediju, je v prvi iteračiji izračunana odbojnost od predzadnje neko-herentne plasti do izstopnega medija. Vlogo vpadnega medija v prvi iteračiji prevzame predzadnja nekoheren-tna plast brez izgub. Izračšunana odbojnost je odbojnost desne strani Rd v drugi iteračiji, ko je upoštevana predzadnja nekoherentna plast. Vlogo vpadnega medija tokrat prevzame predpredzadnja nekoherentna plast. Postopek se zaporedno nadaljuje do prve nekoherentne plasti.
Postopek iz prejšnjega odstavka nakazuje, da v primeru večš kot ene nekoherentne plasti odbojnosti ni mogoče izračunati s povprečenjem funkčije R (SA1,SA2,...). Končna skupna odbojnost ni pov-prečšna vrednost prek faznih zamikov vseh nekoherentnih plasti, kar je v nasprotju s trditvami v [6], [7] in [8].
5 Testna primera
V potrditev pravilnosti predlaganega postopka sta v tem razdelku predstavljena dva primera interferenčšnih struktur. Prva struktura ima eno debelo nekoherentno nosilno plast, druga pa tri. Analitično izračunani poteki odbojnosti prek izbranega intervala valovnih dolzin so primerjani z rezultati, pridobljenimi s klasičšnim nu-meričnim povprečenjem. Pri večih nekoherentnih plasteh rezultat, izračšunan s klasičšnim povprečšenjem, ni pravilen, zato je dodan še referenčni rezultat, pridobljen z GTMM.
5.1 Interferenčno sito z eno nekoherentno plastjo
Interferenčno sito je sestavljeno iz tankih plasti SiO2 in TiO2, ki so nanesene na zgornjo in spodnjo stran debele steklene nekoherentne nosilne plasti. Vseh plasti je 21 (n = 21), vpadni in izstopni medij pa je zrak (No = N22 = 1). Interferenčna struktura je naslednja: - 10 tankih plasti: SiO2 (vpadna plast) / TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2 / TiO2,
1
ANALITIČNI IZRAČUN OPTIČNE ODBOJNOSTI TANKOPLASTNE STRUKTURE S POVPREČENJEM NEKOHERENTNE PLASTI 195
-	nosilna plast iz stekla Schott tipa N-FK58 in
-	10 tankih plasti: TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2 (izstopna plast).
Debelina vseh SiO2 plasti je 50 nm, plasti TiO2 pa 47 nm. Debelina steklene nosilne plasti je 0.5 mm. Vrednosti kompleksnih lomnih količnikov v odvisnosti od valovne dolZine svetlobe so za uporabljene materiale na voljo v [11] za SiO2, [12] za TiO2 in [13] za steklo Schott tipa N-FK58.
R(A„) 1.0
-	nekoherentna plast iz stekla Schott tipa N-FK58 in
-	štiri tanke plasti: TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2 (izstopna plast).
Enako kot v primeru 5.1 je debelina vseh SiO2 plasti 50 nm, plasti TiO2 pa 47 nm. Debelina vseh nekoheren-tnih steklenih plasti je 0.5 mm. Vrednosti kompleksnih lomnih količnikov so na voljo v [11], [12] in [13].
^IMMO*
^IMM45*lior
^IWM45*Yer
--^dim 45* »er
•	• ^rredO*
•	O Rj,ed45*tor
•	• Rped&Kr
400	600	800	1000	1200	1400 A0|nm]
Slika 3: Spekter odbojnosti R (A0) interferenčnega sita, izračunan z metodo prenosnih matrik, z numeričnim pov-prečenjem in po predlaganem postopku. Spekter je prikazan pri vpadnih kotih $0 = 0° in $0 = 45° za vertikalno in horizontalno polarizačijo.
Spekter odbojnosti R (A0) interferenčnega sita je prikazan na sliki 3. Slika kaze, da se analitično izračunane odbojnosti po enačbi (6) povsem ujemajo z vrednostmi, pridobljenimi z numeričnim povprečenjem. Pri tem je bilo numerično povprečenje izvedeno na sto koherentnih rezultatih, enakomerno porazdeljenih prek ene periode faznega zamika nosilne plasti. Oziroma, izrazeno s spremembo debeline nosilne plasti, prek intervala debelin [dn - ^, dn + ^], pri čemer je Adn = 1 Ao(Re2NVn - N02 sin2 tfo)-1. Indeks 11 je za dani primer interferenčšne strukture zaporedni indeks neko-herentne nosilne plasti.
Na sliki 3 so dodani tudi poteki odbojnosti R (A0), če je nosilna plast obravnavana kot povsem koherentna plast. V spektru so dobro vidna ozka nefizikalna nihanja odbojnosti.
5.2 Interferencna struktura z več nekoherentnimi plastmi
Struktura je sestavljena iz treh debelih steklenih ne-koherentnih plasti, med katerimi so tanke plasti SiO2 in TiO2. Vseh plasti je 19 (n = 19), vpadni in izstopni medij pa je zrak (N0 = N20 = 1). Interferenčna struktura je naslednja:
-	sštiri tanke plasti: SiO2 (vpadna plast) / TiO2 / SiO2 / TiO2,
-	nekoherentna plast iz stekla Sčhott tipa N-FK58,
-	štiri tanke plasti: TiO2 / SiO2 / TiO2 / SiO2,
-	nekoherentna plast iz stekla Sčhott tipa LASF35,
-	štiri tanke plasti: SiO2 / TiO2 / SiO2 / TiO2,
400 nm	0°	45° hor	45°	89° hor	89° ver	errmax
1	99.4	97.0	93.8	100.0	99.5	15.2
2	84.3	89.8	79.8	99.4	97.6	2.8
5	89.2	93.0	85.1	99.8	95.8	4.5
10	90.3	94.4	85.4	99.4	96.3	4.9
20	90.4	94.2	85.4	99.6	96.2	4.8
50	90.4	94.2	85.4	99.5	96.2	4.8
100	90.4	94.2	85.4	99.5	96.2	4.8
pred	86.7	90.7	81.5	99.3	95.5	0.0
GTMM	86.7	90.7	81.5	99.3	95.5	
800 nm	0°	45° hor	45°	89° hor	89° ver	errmax
1	86.8	13.5	0.1	99.9	81.0	98.9
2	12.1	27.4	10.1	98.6	96.3	3.9
5	12.0	26.7	9.8	97.4	94.5	1.9
10	12.0	26.7	9.8	97.4	92.8	0.8
20	12.0	26.7	9.8	97.8	92.8	0.8
50	12.0	26.7	9.8	97.8	92.8	0.8
100	12.0	26.7	9.8	97.8	92.8	0.8
pred	11.9	26.5	9.8	97.5	92.7	0.0
GTMM	11.9	26.5	9.8	97.5	92.7	
Tabela 1: Vrednosti odbojnosti R (A0) interferenčne strukture s tremi nekoherentnimi plastmi pri valovni dolžini svetlobe A0 = 400 nm in 800 nm. Odbojnosti so izračunane ž numeričnim povprečenjem, s predlaganim postopkom in ž GTMM pri vpadnih kotih tfo = 0°, 45° in 89° za vertikalno in horizontalno polarizacijo. Pri rezultatih, izračunanih ž numeričnim povprečenjem, prvi stolpeč podaja število enakomerno porazdeljenih faznih zamikov posamezne nekoheren-tne plasti, uporabljenih za izračun povprečja. Vse odbojnosti so podane v odstotkih. Zadnji stolpeč podaja največje relativno odstopanje od vrednosti GTMM. Pri tem je errmax = max ,poi)-RGTMM| 100%, tfo G {0°, 45°, 89°}, pol e
{ho
r}.
Analitično izračunane odbojnosti po enačbi (6), tj. vr-stiči pred v tabeli 1, se povsem ujemajo z referenčnimi vrednostmi GTMM. Povprečenje prek ene periode faznega zamika po posameznih nekoherentnih plasteh tokrat ne da pravilnega rezultata, kot v primeru 5.1 z eno nosilno plastjo. Napaka se z večanjem števila enakomerno porazdeljenih faznih zamikov sičer zmanjšuje, vendar tudi ob zelo velikem sštevilu nekoherentnih izračunov ne pade na nič. Oziroma, za splošni primer z l nekoherentnimi plastmi z indeksi mi,m2,... m; lahko sklepamo, da velja

gtmm = err +
Ad,
1
Admi . . . A^mi
fdmi +
2
Cdmr +
Ad,
l*mi 1 2 Adm
R ddmi . . . ddmj
0.8
o.e
0.4
0.2
0.0
2
2
196
PUHAN
pri čemer je sprememba debeline mo-te nekoherentne plasti, ki se izrazi v eni periodi faznega zamika, enaka
A dm =
Ao
= 1,2,...l
2\/Re2N„
- N' sin2

napaka err pa je na splošno različna od nič.
V obravnavani interferenčni strukturi s tremi nekohe-rentnimi plastmi (l = 3) so zaporedni indeksi debelih steklenih plasti enaki mi = 5, m2 = 10 in m3 = 15.
6 Sklep
V čšlanku je izpeljan nov postopek izračšuna optičšne odbojnosti tankoplastne interferenčšne strukture z eno ali več debelimi nekoherentnimi plastmi. Predlagana metoda temelji na metodi prenosnih matrik. Klasično modeliranje nekoherentnih plasti s povprečjem koherentnih rezultatov je nadomeščeno s povprečenjem prek dodatnih brezizgubnih plasti.
Z dodajanjem enakovrednih brezizgubnih plasti za nekoherentnimi plastmi postane povprečšenje analitičšno rešljiv problem. To pomeni, da je za izračun končne odbojnosti potreben le en koherenten izračšun. Pravilnost postopka je preverjena na dveh primerih z eno in s tremi nekoherentnimi plastmi. Primerjava rezultatov z referenčnimi vrednostmi GTMM v čeloti potrdi verodostojnost predlaganega postopka, medtem ko se izkaze, da klasično povprečenje v primerih z več kot eno neko-herentno plastjo odpove.
[9]	K. Kang, S. Lee, J. Kim, S. Kim, Y. Han, S. Baek, A Simple Numerical Modeling of the Effect of the Incoherent Thick Substrate in Thin-Film Solar Cells Based on the Equispaced Thickness Method, IEEE Photonics Journal, vol. 8, no. 5, pp. 1-12, 2016.
[10]	C. C. Katsidis, D.I. Siapkas, General transfer-matrix method for optical multilayer systems with coherent, partially coherent and incoherent interference, Applied Optics, vol. 41, no. 19, pp. 3978-3987, 2002.
[11]	L. Gao, F. Lemarchand, M. Lequime, Refractive index determination of SiO2 layer in the UV/Vis/NIR range: spectrophotometry reverse engineering on single and bi-layer designs, Journal of the European Optical Society Rapid Publications, vol. 8, pp. 1990-2573, 2013.
[12]	T. Siefke, S. Kroker, K. Pfeiffer, O. Puffky, K. Dietrich, D. Franta, I. Ohlidal, A. Szeghalmi, E.B. Kley, A. Tiinnermann, Materials Pushing the Application Limits of Wire Grid Polarizers further into the Deep Ultraviolet Spectral Range, Advanced Optical Materials, vol. 4, no. 11, pp. 1780-1786, 2016.
[13]	Schott Optical Glass Data Sheet, Schott AG, http://www.schott. com, 2015.
Janez Puhan je leta 2000 doktoriral s področja elektrotehnike na Univerzi v Ljubljani. Je asistent na Fakulteti za elektrotehniko. Njegovo področje raziskovanja obsega modeliranje, simulačijo in optimizačijske postopke.
Zahvala
Raziskavo je omogočilo Ministrstvo za visoko šolstvo, znanost in tehnologijo Republike Slovenije v okviru programa P2-0246 - Algoritmi in optimizacijski postopki v telekomunikacijah.
Literatura
[1]	Z. Knittl, Optics of Thin Films (An Optical Multilayer Theory), John Willey & Sons, 1976.
[2]	M. Born, E. Wolf, Principles of Optics (Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light), Cambridge University Press, 2002.
[3]	H. A. Macleod, Thin-Film Optical Filters, CRC Press, Taylor & Francis Group, 2010.
[4]	S. Larouche, L. Martinu, OpenFilters: open-source software for the design, optimization, and synthesis of optical filters, Applied Optics, vol. 47, no. 13, pp. C219-C230, 2008.
[5]	S. J. Orfanidis, Electromagnetic Waves and Antennas, Rutgers University, 2010.
[6]	M. C. Troparevsky, A.S. Sabau, A.R. Lupini, Z. Zhang, Transfermatrix formalism for the calculation of optical response in multilayer systems: from coherent to incoherent interference, Optics Express, vol. 18, no. 24, pp. 24715-24721, 2010.
[7]	J. S. C. Prentice, Coherent, partially coherent and incoherent light absorption in thin-film multilayer structures, Journal of Physics D: Applied Physics, vol. 33, no. 24, pp. 3139-3145, 2000.
[8]	R. Santbergen, A. H. M. Smets, M. Zeman, Optical model for multilayer structures with coherent, partly coherent and incoherent layers, Optics Express, vol. 21, no. S2, pp. A262-A267, 2013.