54 Didakta | april 2013 Matematika Matematika Subitizacija Dr. Alenka Lipovec in Darja Antolin Pedagoška fakulteta Maribor Ameriška razisk o valca st a v de v etdesetih letih v re vi ji Science obja vila presenetljiv re zu lt a t. Do jen čk i v po vprečni st arosti 22 t edno v so bili zmožni razlik o vati št e vila 1, 2 in 3, ki so bila predstavljena z raz- poreditvami pik na kartonu (Starkey in Cooper 1 980). Že prej je bilo znano, da dveletni otroci razlikujejo med števili do 3, ki so prikazana s pikami ne glede na razporedit e v (Be v er , Mehler , Epst ein 1 968), vendar ni bilo jasno ali si pri konzervaciji morda ne pomagajo s štetjem. Uvod Zdi se torej, da otroci spontano upora- blja jo sposobnost prepozna vanja in loče- vanja ma jhnega št e vila predmeto v , kljub t emu pa nekat eri prv ošolčki ne zmorejo takoj poimenovati števila pik, ki je padlo na ig ralni k oc ki in jih želi jo prešt eti. V nadaljevanju bomo poskušali odgovori- ti na nekaj vprašanj. Kako poimenovati to sposobnost? Kdaj in kako se razvije? Se jo moramo naučiti? Razisk o valci so sposobnosti direktnega prepoznavanja kardinalnosti množice brez št etja poi- meno vali subitizaci ja. Beseda izha ja iz latinsk e besede s pomenom ‘suddenly’ (nenadoma). T udi nekat ere nižje razvit e živalsk e vrst e ima jo zazna vne št e vilčne zmožnosti, ki sega jo do št e vila 4, v endar pa so do sedaj samo ptice in primati po- kazali zmožnost po v eza v e subitiziranega števila z napisanim znakom ali kontrolno etik eto (Da vis in P er usse 1 988). Glede na to, da so subitizaci je zmožne živali, je su- bitizacija morda nizkorazredni proces? N e, pra v nasprotno. Obst a ja prepričanje, da otrok s štetjem ne demonstrira razu- mevanja števil, sposobnost subitizacije po drugi strani pa naj bi nakazovala koncep- tualno razumevanje števila. Medtem ko je merjenje k oličin osredotočeno na celoto in št etje na enoto, se subitizaci ja osredotoči na oboje, na celoto in enot e, pri čemer je bolj nat ančna k ot št etje in ima v ečji učinek v abstraktnih situaci jah. Za živali se v erjame, da uporablja jo meha- nizme t. i. perceptualne subitizacije, pri čemer g re za prepozna vanje št e vila brez uporabe mat ematičnih proceso v . S percep- tualno subitizacijo razlagajo sposobnost subitiziranja pri dojenčkih in živalih. Že sposobnost perceptualne subitizaci je zah- t e va zazna vanje enot e. Čepra v se zdi t a zmožnost nara vna, pa je ‘izrezo vanje’ k ošč- k o v izkušnje, n pr . zazna vanje posameznih listov na grmu, osnova sposobnosti štetja. Ko otroci npr. štejejo svoje prstke, morajo miselno ‘izrezati’ en del rok e (prst ek) od drugega, da ustvarijo enote. Konceptualna subitizacija Drug tip subitizacije, ki nas bo v nadalje- vanju bolj zanimal, pa je t. i. konceptual- na subitizacija, kjer pri takojšnjem uvidu kardinalnosti množice uporabljamo mat e- matične odnose. Predst a vljamo si jo lahk o na primeru domin. Ljudje npr. preprosto vedo število pik na domini 4+4, ker pre- pozna jo vzorec pik na podlagi sest a vnih delov in celote. Vsako stran domine vidijo k ot sest a vni del štirih posamičnih točk in k ot ‘štiri’.Vidi jo domino k ot sest a vni del dv eh skupin po štiri, torej k ot osem (S t ef f e in Cobb 1 988). Izdelava in uporaba vzorcev skozi koncep- tualno subitizacijo, pomaga otrokom raz- viti pojem št e vila in aritmetične strat egi je (Clements 1 999). Otroci uporablja jo zmo- žnost perceptualne subitizaci je v po v eza vi z relacijami med delom in delom znotraj celote za razvoj konceptualne subitizacije. T a bolj napredna sposobnost hitrega g r u- piranja in določe vanja št e vila, pomaga pri razv oju občutka za št e vila in aritmetičnih zmožnostih. Prv ošolec, ki vidi razporedit e v pik v polju 3x3, t ak oj reče “de v et”, t er pojasni: Ko sem bil star približno 4 leta, sem bil v vrtcu. Vse, kar sem znal, je bilo štetje. In tako sem npr. štel: 1,2, ... 9, kar sem znal. Tako sem počel tudi, ko sem bil star 5 let. Potem pa sem naenkrat poznal devet na pamet in bilo je točno takšno (pokaže na 3x3 razporeditev).« (Ginsberg 1 977 : 1 6) V ečje k ot je št e vilo, bolj učink o vito po- magalo je k onceptualna subitizaci ja. Če pri manjših št e vilih lahk o računamo na perceptualno subitizaci jo, pa pri v ečjih št e vilih nujno potrebujemo moč mat ema- tik e. Razen št e vila pik, pa na zaht e vnost subitizacijske naloge vpliva tudi prostorska razvrstitev pik. Otroci so uspešnejši s pra- vokotnimi razvrstitvami kot z linearnimi, krožnimi in naključnimi ureditvami. Otro- ci delajo manj napak v prepoznavanju 10 pik v domini 5+5 k ot v domini za 8 pik v vzorcu 5+3. Za predšolsk e otrok e se v eda nobena od t eh razvrstit e v ni enost a vna. Učenci se v šolskih letih lahk o nauči jo subitizirati k onceptualno, čepra v je ome- jit e v za subitizaci jo pri prv ošolčkih, kar se tiče naključnih razvrstit e v , do 4 oz. 5 predmeto v (Da wson 1 953, po vzeto po Clements, 1 999). Predloge za subitizacijske aktivnosti Učbeniki pogosto predst a vlja jo razvrstitv e, ki o vira jo subitizaci jo. N a slikah je v elik o o vira jočih deja vnik o v n pr . namesto pik so predstavljeni raznoliki predmeti, razpore- ditv e so naključne, včasih celo nesimetrič- ne. Takšna zapletenost ovira konceptualno subitizaci jo, po v ečuje napak e in spodbuja št etje ‘ena po ena’. Skupine elemento v za subitiziranje, bi morale ustrezati nasle- dnjim napotk om (Clements 1 999):  Skupine ne smejo biti vstavljene v sli- kovni kontekst;  Preprost e oblik e, k ot so homog ene sku- pine krogov ali kvadratov, so boljše kot zaplet enejše oblik e (n pr . zv ezdice);  Poudarjene naj bodo pravilne razvr- stitv e, v ečina na j vsebuje simetri jo;  Za predšolske otroke poudarjamo line- ar ne razvrstitv e do 7 , za st arejše učence poudarjamo pravokotne razvrstitve;  U porabimo primeren k ontrast. Obst a ja jo različne aktivnosti, ki lahk o pospešijo konceptualno subitizacijo. Še posebej bogat a deja vnost je ig ra ‘hitre slik e’. Kadar se ig ramo ig ro z otroki, po- stavim po dva otroka vsakega na svojo stran grafoskopa. Pozorni smo na to, da nobenemu izmed njih luč ne sv eti nara v- nost v oči, stojit a na j torej le v o in desno. 55 Didakta | april 2013 Matematika Številske karte izdelamo iz tršega kartona v v elik osti g raf osk opsk e plošče. L uknje na j ima jo premer 1 cm. Možne razporeditv e so prikazane na sliki 1. Eden izmed otrok drži subitizaci jsk e kar t e s preluknjanimi pikami in jih polaga na g raf osk op, dr ugi otrok jih jemlje s plošče, kak or hitro more. Nato z ostalimi v razredu tekmujemo, kdo bo hitreje razg lasil št e vilo pik. N a jprej upo- rabljamo lažje razvrstitv e, ki so prikazane v prvi vrstici, kasneje vključujemo tudi t ežje, tudi naključne razvrstitv e, ki so pri- kazane v drugi vrstici. Slika 1 (Vir: Clements 1 999) Pri aktivnostih subitizaci je je razen kar t p r i r o č e n p r i p o m o č e k t u d i z b i r k a t . i . k r o- žnik o v s pikami. N aredimo jih iz običa jnih okrog lih papir natih krožnik o v , na kat ere narišemo pike. Zaradi okrogle oblike je t a pripomoček ustreznejši od pra v ok otnih kar tic s pikami, sa j omogoča, da jih poljub- no obračamo. Pri izdela vi »zaht e vnejših« krožnik o v s pikami uporabimo dv e barvi, in tako spodbujamo otrokovo razvijanje miselnih operaci j, ki so osno va za sešt e- vanje (slika 2). Slika 2: Krožniki s pikami (Vir: V an de W alle 2004) Pri vr tče vskih otrocih lahk o na mizo post a- vimo krožnik s pikami, na vsak o stran pa še po en prazen papir nat krožnik. Otrok na j na vsak ega izmed krožnik o v položi enako število predmetov, kot je število pik na osrednjem krožniku, v endar na j bodo predmeti različni (na en krožnik polaga n pr . zamašk e, na dr ugi krožnik pa k oc k e). Nato primerjamo števili predmetov na obeh krožnikih in št e vilo pik. Aktivnost lahk o nadg radimo s prvimi odnosi med števili tj. z odnosoma za ena več/za ena manj. Otroci na j tokrat na le vi krožnik položi jo za ena manj predmeto v k ot je pik, na desni krožnik pa za ena v eč predmeto v . Obe aktivnosti lahk o naknadno izv edemo z uporabo kartic s števili. K o so otroci v ečji, se lahk o ig ramo tudi »hitre slik e«, ki vključujejo ocenje vanje. Učencem prikažemo razvrstitv e, ki so pre- v elik e, da bi jih lahk o točno subitizirali. Spodbudimo jih, da uporabi jo subitizira- nje v okvir u lastnih ocenje valnih strat egi j npr. Razvrščene so nekako po štiri na vsa- kem mestu. V mislih naredim skupine po 4 in nato preštejem, koliko je skupin. Teh je šest. Pik je zato približno 24. N at ančneje je o strat egi jah ocenje vanja pisala Antolin (20 1 2). P oudarimo, da je cilj aktivnosti uporaba dobrih strat egi j in »biti blizu«, ne pa točno št e vilo. K onceptualno subitizaci jo lahk o učink o vi- to uporabimo za razvoj sposobnosti sešte- vanja in odšt e vanja (Flex er 1 989). Različne post a vitv e pik predst a vlja jo različne raz- dr užitv e št e vil. N a sliki 3 vidimo različne razdr užitv e št e vila 5 in sicer 4+1 , 2+1+2 t er 2+3. Domine ponuja jo še dr ugačne prostorsk e razporeditv e za št e vilo 5. Slika 3: Različne posta vitv e za k onceptualno subitizaci jo št e vila 5 (Vir: Clements 1 999). Učenci lahk o uporablja jo 1 0-okvir (slika 4) za vizualizacijo strategije dopolnjevanja do desetice, ki jo v slo v enskih šolah poučuje- mo k ot v odilno strat egi jo pri prehodu čez desetico. P o posodobljenem učnem načr tu se učenci pričnejo seznanjati s prehodom prek o desetice na k onkretnem niv oju že v 1 . razredu (Učni načr t za mat ematik o 20 1 1). P o zaključenih raznolikih aktivno- stih s k onkretnim mat erialom (škatle za jajca, Jakopetka, 10-okvirji in zamaški, vr- vice s po 1 0 raznobarvnimi perlicami) je čas za k onceptualno subitizaci jo z uporabo razporeditev, ki simulirajo 10-okvir. Ob pri- kazu dv eh delno polnih 1 0-okvirje v , ki n pr . modelirat a 8+5, možgani sami ustvari jo »celoto« in dopolni jo prvi okvir pri čemer nastane vizualna slika vsote kot 10+3. V nadaljevanju navajamo še nekaj aktivnosti, ki razvijajo sposobnosti subitizacije in v našem šolskem prostoru morda še niso dovolj uveljavljene. Slika 4 Konceptualna subitizacija in sešte- vanje s prehodom (Vir: Clements 1 999). Aktivnost: Poišči par P otrebujemo k om plet 24 subitizaci jskih kar t s št e vili od 1 do 6 (slika 5). Kar t e položimo na mizo t ak o, da so obr njene s hrbtno stranjo na vzgor . Vsak ig ralec obr ne dv e kar ti. Če kar ti predst a vljat a isto število, sta karti njegovi. V naspro- tnem primer u ju položi naza j in na vrsti je drugi igralec. Slika 5: Aktivnost P oišči par Aktivnost: Od vsiljivca do klasifikacije in seriacije Otrokom pripravimo kartice s pikami, ki vse razen ene prikazujejo enako šte- vilo pik. Otrok mora med ponujenimi karticami odkriti tisto, ki ne sodi zraven. 56 Didakta | april 2013 Matematika Aktivnost lahk o nadg radimo v klasifika- cijsko ali seriacijsko aktivnost. V prvem primer u otroci da jejo na kupček tist e kar- tice, ki imajo enako število pik, v drugem primeru pa urejajo kartice tako, da število pik narašča oz. pada. Aktivnost: Igra Vojna Ig ra pot eka v dv ojicah. Vsak otrok dobi po en set kar tic s pikami, ki jih zloži v kupček. Oba vzamet a po eno kar tico z vrha kupčka in prepoznata število pik na svoji kartici. Otrok, ki ima kar tico z v ečjim št e vilom pik, dobi obe kartici. V primeru, da imata karti enak e vrednosti, položit a dr ugi kar ti zakriti 90 stopinj na prvi par kar t. N a vrh zno va odpreta par kart. Zmaga tisti, ki ima sedaj kar to v ečje vrednosti in pobere vseh šest kar t. Ig ra se k onča, k o enemu izmed soi- g ralce v zmanjka kar t. Ig ro lahk o ig ramo tudi t ak o, da otrok, ki ima kar tico z v ečjim številom pik, dobi toliko zamaškov, koliko je razlika med njunima številoma. Igre je konec, ko zmanjka zamaškov. Zmaga tisti, ki ima v eč zamašk o v . Aktivnost: Kombiniranje kartic s pikami Za aktivnost potrebujemo komplet kartic s pikami. Otroku pokažemo izbrano kar tico s pikami. Otrokova naloga je, da najde dve kar tici, kat erih skupno št e vilo pik, bo enak o št e vilu pik na vzgojit elje vi/učit elje vi kar tici. P odobno lahk o aktivnost izv edemo s št e vil- skimi kar ticami (t ak o da pokažemo št e vil- sk o kar tico ali po v emo določeno št e vilo), otroci pa poiščejo dv e kar tici, kat erih sku- pno število pik bo enako danemu številu. Aktivnost lahk o tudi nadg radimo, in sicer t ak o, da otrok e spodbujamo, da na jdejo v eč možnih paro v oz. k ombinaci j. Aktivnost: Igra Enako Ig ra pot eka v parih. Vsak ig ralec preje- me en komplet kart in iz svojega kupa kar t vzame zgor njo kar to. Če je št e vilo pik, na njunih kar t ah enak o, je potrebno vzklikniti »enako«. Otrok, ki prvi vzklikne »enako«, prejme obe karti. Učenci s posebnimi potrebami V aktivnosti subitizaci je vključujemo tudi otroke s posebnimi potrebami. Le nekaj v eč k ot polo vica sedemletnih otrok s po- sebnimi potrebami lahk o brez pomoči subitizira post a vitv e treh ali štirih pred- meto v . Učenci s posebnimi potrebami zato potrebujejo posebno pozornost. Ker je konceptualna subitizacija pogosto odvisna od učink o vite spretnosti pre- št e vanja manjših k oličin, bi učit elji že zgodaj morali odpraviti pomanjkljivosti v štetju. Posebej otroci s posebnimi potre- bami na j bodo čim v ečkrat izpost a vljeni pravilnim postavitvam pik skozi igranje iger s kockami ali dominami. Pomembno je, da pri otrocih s posebnimi potrebami ne jemljemo osno vnih sposobnosti, k ot je subitizacija, za same po sebi umevne (Baroody 1 986). Zaključek Subitizaci ja je osno vna v eščina v razv oju razume vanja št e vil (Baroody , 1 987 : 1 1 1). Učenci lahk o uporabi jo subitizaci jo t ak o za odkrivanje bistv enih lastnosti št e vil (k on- zervaci ja, št etje naprej, zdr uže vanje in razdr uže vanje št e vil) k ot za razv oj aritme- tičnih in mestno vrednostnih k oncepto v . Subitizaci ja je pomembna mat ematična v eščina, zato iščemo načine, kak o jo po- uče vati znotra j vr tče vsk ega oz. šolsk ega ok olja in izv en njega. Spodbudit e učence, da izdelajo lastne subitizacijske karte ali krožnik e. N anje lahk o pritrdi jo n pr . tolik o ščipalk, k olik or je pik. Motivira jt e jih, da bodo predstavljene igre igrali tudi doma. Pri ig rah s k oc k o n pr . pri Člo v ek ne jezi se, na j otrok vrže k oc k o ali dv e, prepozna št e vilo pik, ki je padlo, in pa poišče kar tico z enakim številom pik ter šele nato na- daljuje z ig ro (premik ig ralne figure za prikazano št e vilo). Literatura Antolin, D. (20 1 2) Razvi janje spretnosti oce- njevanja pri pouku matematike - iskanje približk o v V : C OTIČ, Mara. (Ur .) KUPM 2012 : zbornik prispevkov = conference proceedings. str . 88-96. Ljubljana: Za v od RS za šolstv o. Baroody , A. J. (1 986). Counting Ability of Mode- rat ely and Mildly Handicapped Children. Education and Training of the Mentally Re- tarded 2 289-300. Be v er , T . G., Mehler , J., & Epst ein, J. (1 968). What c hildren do in spit e of what t he y kno w , Science 162, 92 1-924. Clements, D. H. (1 999). Subitizing: What is it? Wh y T eac h it?, Teaching Children Mathema- tics 5, 400–405. Da vis. H. & P er usse. R. (1 988). N umerical com- pet ence in animals: Definitional issues. cur- rent e vidence, and a ne w researc h ag enda. Behavioral and Brain Sciences 11, 561-615. Flex er , R. J. (1 989). Conceptualizing A ddition. Teaching Exceptional Children 21, 2 1-25. Ginsburg, H. (1 977). Children’s Arithmetic. Au- stin, T ex.: Pro-ed, 1 977 . S t ark e y , P ., & Cooper , R. G. (1 980). P erception of N umbers b y Human Infants, Science 210, 1 033–1 035. S t ef f e, L. P ., & Cobb, P . (1 988). Construction of Arithmetical Meanings and Strategies. New Y ork: Spring er - V erlag. Učni načrt za matematiko (20 1 1). Za v od R epu- blik e Slo v eni je za šolstv o: Ljubljana. V an de W alle, J. A. (2004). Elementary and Middle School Mathematics. P earson: Boston.