ISSN 0351-6652 Letnik 25 (1997/1998) Številka 4 Strani 210-214
Janez Strnad:
FIZIKA, MATEMATIKA IN MURPHYJEV ZAKON
Ključne besede: fizika, matematična statistika, Murphyjev zakon, Edward Murphy.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/25/1340-Strnad.pdf
© 1998 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
FIZIKA, MATEMATIKA IN MURPHY.IEV ZAKON
Kapetan Edward Murphy je leta 1949 sodeloval pri poskusih ameriškega vojnega letalstva, pri katerih so raziskovali vpliv nenadnega zaviranja na letalce. Prostovoljci so sedli na nekakšne sani, ki so jih pognale rakete in ki so jih potem na hitro zaustavili. Odziv na pojemek ob zaustavljanju so merili s senzorji na delih telesa. Žice s priključki za pisalnike so speljali v čelado, za katero je načrt naredil kapetan Murphy. Nekega dne, ko se je zdelo, da so izvedli niz poskusov brez napak, pisalne naprave niso nič zapisale. Presenetljivi izid je kapetan Murphy pojasnil s tem, da so bile žice v čeladi napačno zvezane. Tedaj je izjavil: "Ce obstaja več možnosti, da nekaj naredimo, in ena od njih pripelje do neželenega izida, jo bo nekdo izbral." Na tiskovni konferenci so izjavo omenili kot dobro izhodišče za razprave o varnosti. Pozneje so ji dali bolj megleno obliko: "Če kaj lahko gre narobe, bo šlo narobe." Ta izjava naj bi veljala tudi v vsakdanjem življenju. Iz nje je nastalo veliko izpeljank, tudi šaljivih. Ali bi lahko nekatere iznied njih imele oporo v zakonih narave ali matematike in tako ne bi bile zgolj razpoloženjske oziroma posledica dejstva, da se neprijetni dogodki bolj vtisnejo v spomin kot drugi? Vsaj za tri oblike Murphyjevega zakona je odgovor na vprašanje pritrdilen.
Opečeni kruh. Že v prejšnjem stoletju je pesnik potožil, "da opečeni kruh vselej pade na stran z maslom". Vzemimo namesto kruha poljubno togo telo v obliki ploske pravokotne prizme, na primer ploščo ali knjigo. Ce ni pri roki nič drugega, je dobra tudi številka Preseka. Ploščo položimo na vodoravno mizo, tako daje ena izmed stranic osnovne ploskve vzporedna z robom mize. Ploščo počasi potiskamo v smeri druge stranice. Ko težišče plošče pogleda dovolj čez rob mize, se plošča začne vrteti okoli roba mize (slika 1). Potem plošča zdrsne in drsi po robu mize, ki deluje nanjo v nasprotni smeri gibanja s silo trenja. Naposled plošča zgubi stik z mizo in se odtlej enakomerno vrti okoli težiščne osi, ko se težišče giblje po paraboli.
* F,
Slika 1. Plošča na ni i k i pred gibanjem iti med njim.
Iz dokaj zapletenih računov izhaja, da plošča pade na vrhnjo stran, če leži rob mize tia intervalu od nekaj manj kot 21 do nekaj več kot 30/ nad tlemi (slika 2). (i je stranica osnovne ploskve, pravokotna na rob mize.) Pri višini mize 70 cm in stranici plošče 10 cm je rob mize 71 nad tlemi. Računali smo z izmerjenima podatkoma za opečeni kruh: s koeficientom trenja k — 0,25 in z začetno ročico 0,0075(. S trenjem so povezane težave, posebno še pri drsenju po robu mize. Kruh lahko pade z mize, ko stranica ni pravokotna na rob mize. Poleg tega ima lahko tudi začetno hitrost proti robu mize, čeprav to ne vpliva bistveno na izid, dokler hitrost znatno ne preseže 1 m/s. Svoje prispeva tudi zračni upor. ki ga nismo upoštevali. Zato je rezultat zgolj ocena. Toda ocenjeni interval višin je tako velik, da lahko s precejšnjo gotovostjo napovemo, da bo opečeni kruh pri običajnih padcih z navadnih miz zaradi zakonov gibanja padel na namazano stran.
4,37
Slika 2. Gibanje plošče, potem ko je zgubila stik z mizo. Račun velja za koeficient trenja k = 0,25 in začetno ročico ro = 0,UG75i, ki so ju dala merjenja na opečeni kruh. Razdalje merimo v enotah i, čas pa v enotah (l/g)1/2. V časovnem intervalu od 0 do 2,33 se plošča enakomerno pospešeno vrti okoli roba mize, v časovnem intervalu, od 2.33 do 4,37 drsi (glej sliko 3), potem pa pada težišče po paraboli in plošča se enakomerno vrti okoli težiščne osi. Globina težišča je navedena v oklepajih na levi, čas pa na desni. Za naš primer velja: iz = 0,22, zi = -0,44, ±2 = 0,13, zi = -0,92, ipi = 1,11, <p2 ~ 0,50.
(1,75)
5,31
(12,7)„
8,48
(33, Ci).
11,7
Na ploščo, nagnjeno proti vodoravnici za kot tp, delujeta Zemlja s težo mg navpično navzdol v težišču sredi plošče in miza s silo v točki, v kateri se je dotika. Silo mize razstavimo na komponento v smeri plošče Fr in na komponento Ft v smeri pravokotno na ploščo. Tudi pospešek težišča razstavimo na ustrezni komponenti at in ar. Izrek o gibanju težišča da
mg cos ip — Ft = mat i mg sin <P ~~ Fr = mar.
Uporabimo še izrek o vrtilni količini, ki velja za težiščuo os, četudi se ta pospešeno giblje:
JCp = rFt .
J = -¡¿ml2 je vztrajnost ni moment plošče okoli težišč ne osi. Najprej se plošča vrti okoli roba mize kot. nepremične osi pri razdalji rt) od težišča, ne da bi drsela po mizi. Tedaj ne potrebujemo prvih dveh enačb, iz tretje pa izhaja, daje vrtenje enakomerno pospešeno s kotnim pospeškom Tog/t1, če je ru začetna ročica m zanemarimo v primeri z l2. Plošča začne drseti, ko kot preseže ipi = aretan k. Tedaj je treba v smeri plošče upoštevati silo trenja, za katero velja Fr = kFt . Enačba se zaplete, ko izrazimo tangentno in radialno komponento pospeška težišča z r in ip in z njunimi odvodi, Z izrekom o vrtilni količini dobimo sistem dveh navadnih diferencialnih enačb, ki ga rešimo z Mathematico za poseben primer (slika 3). Izračunamo lego težišča {x2,Z2), njegovo hitrost (±2, z2) in kotno hitrost (f>i pri vrtenju okoli težiščne osi v trenutku, ko plošča zgubi stik z mizo. Os x je vodoravna in os z navpična. Dalje gre brez težav: x — + ¿af, z — z^ ¿at ■+ \gt2 ter ip — ip2 + <pit.
Slika 3. Kot <p in razdalja težišča od roba mize v odvisnosti od časa med drsenjem plošče po mizi za naš primer (slika 2). Z Matfie-matrco smo rešili sistem diferencialnih enačb: tp" — 12r(cos ip — - 2ip'r')/(l2r2 + 1), r" = sin ip + + tfi''2r-k(cosip-2<p'r')/(12r2 + + 1). Enota za razdaljo je i in enota za čas (i/g
Ne dežuje, ko na sprehod vzamemo dežnik. Ena izmed oblik Mur-phyjevega zakona, trdi, da ne dežuje, ko na podlagi vremenske napovedi vzamemo na sprehod dežnik. Kako je s to trditvijo? Vremenske napo-
vedi angleških meteorologov od sto primerov zadenejo 83-krat in zgrešijo 17-krat. Na drugi strani je po podatkih iz istega vira dež na enournih sprehodih podnevi precej redek, na sto sprehodih samo na 8-ili dežuje, na 92-ih pa ne. Za desettisoč enournih sprehodov ugotovimo, da dežuje na 8 ■ 83 = 664 sprehodih, ko je bil dež napovedan, in na 8 - 17 = 136 sprehodih, ko dež ni bil napovedan. Ne dežuje na 92 ■ 83 — 7636 sprehodili, ko dež ni bil napovedan, in na 92 ■ 17 = 1564 sprehodih, ko je bil dež napovedan. Od sprehodov ob napovedih dežja je delež sprehodov brez dežja 1564/2228 = 0,70 več kot dvakrat večji kot delež sprehodov z dežjem 661/2228 = 0,30. Zares pogosto na sprehodu nismo mokri, ko vzamemo s seboj dežnik, če je napovedan dež. Statistika torej podpira Murphvjev zakon v tej obliki. Najbolje je, če se ne oziramo na vremensko napoved, ko se odločamo, ali bomo vzeli na enourni sprehod dežnik ali ne. Sklep velja za nekoga, ki se odloča samo po vremenski napovedi, in ne za nekoga, ki s pogledom skozi okno ugotovi, kdaj kaže na. sprehod vzeti dežnik.
Psihologi vedo povedati, da pri podobnih vprašanjih pogosto pride do napačnih odločitev. Včasih navedejo kot zgled vprašanje: V mestu z dvema podjetjema laksijev je delež zelenih taksijev 0,85 in delež modrih 0,15. Prometno nesrečo, po kateri je voznik pobegnil, je po izjavi očividca povzročil modri taksi. Očividci v 80 primerih od stotih zadenejo barvo taksija, v 20 pa se zmotijo. Kolikšna je verjetnost, da je nesrečo povzročil modri taksi?
Očividec z verjetnostjo 0,85 ■ 0,20 — 0,17 zeleni taksi proglasi za modrega in z verjetnostjo 0,15*0,80 = 0,12 pravilno ugotovi modrega. Verjetnost, da je nesrečo povzročil inodri taksi, je le 0.12/(0,17 + 0,12) = 0,41. Marsikdo pri odgovoru spregleda osnovni podatek o deležu modrih in zelenih taksijev in pripiše preveliko težo izjavi očividca. Pojavu pravijo napaka osnovnih podatkov.
Nogavice brez para. Ena od oblik Murphyjevega zakona pravi: Če se lahko pojavijo nogavice brez para, se bodo pojavile. Raziščirno trditev. Vzemimo, da imamo v predalu n med seboj različnih parov nogavic. Izgubimo 2s nogavic, naključno izbranih izmed 2n nogavic v predalu, ne da bi nas zanimalo, kako je prišlo do izgube. Obdelajmo na začetku najpreprostejši zgled, pri katerem od 2 parov izgubimo 2 nogavici. Nogavice zaznamujemo po vrsti z 1, 2. 3 m 4 in z oklepaji nakažemo pare. Možnosti so:
(1,2) 2,3 (3,4) 1,3 2,4 1,4.
Od 6 primerov sta pri dveh nogavici v para in se pri štirih pojavita nogavici, ki nista par. Razmerje med številom primerov z nogavicama v paru in številom primerov z nogavicama, ki nista par, je 2/4 = 1/2. Računa ni težko posplošiti na primer, ko imamo n parov in na koncu ostane samo en par. V tem primeru zapišemo možnosti preostalega para podobno kot prej in ugotovimo, daje vseh primerov n(2n— 1). primerov z nogavicama v paru je n in primerov z nogavicama brez para 2n(n — 1). Razmerje obojih je potemtakem 1/2(n — 1). Pri desetih parih je razmerje 1/18 = = 0.056. Sklepi so uporabni tudi v primeru, če od n parov izgubimo samo dve nogavici, le da je pri tem med preostalimi nogavicami n — 1 ali n — 2 parov.
Bolj zapleten je račun z vmesnim številom zgubljenih nogavic. Zanimata nas le skrajna primera, v katerih je največ in najmanj nogavic brez para. V prvem primeru je vsaka od izgubljenih nogavic iz drugega para, v drugem pa izgubimo same pare. Vzemimo, da od desetih parov (n = = 10) izgubimo 6 nogavic (2s = 6). Delež primerov z največjim številom preostalih nogavic brez para, to je 6, je (16 ■ T)/(17 ■ 19) = 11*2/323 = 0,35, delež primerov s tremi zgubljenimi pari pa le 1/(17-19) = 1/323 — 0,0031. Statistika podpira tudi to obliko Murphyjevega zakona. Povedano velja samo za primer, da so vsi pari nogavic med seboj različni, in zgubi pomen, če so vsi pari med seboj enaki. Težavam se lahko v precejšnji meri izognemo, če imamo veliko parov nogavic dveh ali treh vrst,
V splošnem sta deleža najneugodnejših in najugodnejših primerov
Binomski simbol (") = (n"s) pove, na koliko načinov lahko iz množice z n elementi izberemo podmnožico z s elementi.
Z navedenimi vprašanji se je podrobno ukvarjal Robert Matthews, fizik, ki piše o znanosti v angleškem časniku in raziskuje v računalništvu. Oprli smo se na njegove članke: Tumbling toast. Murphy's law and the fundamental constants. European Journal of Physics 16 (1995) 172, Odd fiocks: a conibinatoric example of Murphy's law. Mathematics Today 32 (1996) 39, Base-rate errors and raining forecasts, Nature 382 (1996) 766 in The science of Murphy's law. Scientific American 276 (1997) (4) 72.
Janez Str nad