ISSN 0351-6652 Letnik 22 (1994/1995) Številka 2 Strani 104-109 Jože Grasselli: ZANIMIVA LASTNOST NARAVNIH ŠTEVIL Ključne besede: matematika, teorija števil, naravna števila. Elektronska verzija: http://www.presek.si/22/1216-Grasselli.pdf © 1994 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo ZANIMIVA LASTNOST NARAVNIH ŠTEVIL Pavle obišče sošolca Petra. Reče mu: "Daj mi kakšno knjigo, pokazal ti bom nekaj zanimivega!" Peter pripravlja domaČo nalogo o ljudskem pesništvu. Na mizi mu leži knjiga Ljudske pesmi, ki je izšla leta 1972 v zbirki Naša beseda. Izroči jo Pavletu, ki jo na hitro prelista. Ko jo vrne, reče: " Nisem vedel za to knjigo. Dobra bo, začriiva z igro! Vzemi si list papirja in svinčnik in skrij pred mano, kar boš pisal!" Pavle naroča Petru korake: a) Zapiši trimestno Število, v katerem se prva in zadnja števka razlikujeta vsaj za dve. b) V številu iz a) zamenjaj med seboj prvo in zadnjo Števko. c) Manjše od števil iz a) in b) odštej od večjega. Č) V razliki iz c) zamenjaj med seboj prvo in zadnjo števko. d) Seštej števili iz c) in č), e) V Številu iz d) postavi pred zadnjo števko decimalno vejico. Ko Peter vse to naredi, ga Pavle vpraša, koliko je dobil. Odgovor: "108,9." Po kratkem premisleku Pavle izjavi: "V knjigi, ki si mi jo dal, je na strani 108 kot deveta natisnjena beseda je." Peter pogleda v knjigo in vidi, da je res tako V Ljudskih pesmih se stran 108 namreč začenja z verzi: na stran je pustil krajnega, udari ravno srednjega. Je njemu pravo glavo vzel ..., ki so iz pesmi o Pegamu in Lambergarju. Peter je nekoliko začuden. A Pavle že nadaljuje. Namesto koraka a) naroča: a') Zapisi trimestno število, v njem naj se prva in zadnja števka razlikujeta za ena. Drugi napotki so isti kot zgoraj. Peter je sedaj prišel do Števila 19,8 in Pavle pove, da je v Ljudskih pesmih na strani 19 osma beseda gorah Peter ugotovi, da tudi to drži. Igro bi Peter Še rad nadaljeval, a Pavle nima niti trenutka časa več in se poslovi Petru ne da miru misel, kako je mogel Pavle uganiti obe besedi Odloči se podrobneje preiskati Pavletovo navodilo. Sledimo Petrovi razčlembi. Takole razmišlja: Po a) in a') izhajam iz trimestnega števila, v katerem prva in zadnja števka nista enaki. Po b) in c) zamenjam prvo in zadnjo števko in od večjega števila odštejem manjše; zato smem vzeti, da je Že v prvotnem številu prva števka večja od zadnje Imam tedaj število (s + h) ■ 102 + b ■ 10 + a. (1) Tu je b vzet izmed Števk 0,1,2.....9, za a so možnosti 0,1.2.....8 in b je tako pozitivno celo število, da je 1 < b < 9. Ko zamenjam prvo in zadnjo števko v (1) (korak b)}, dobim število a-102 + t-10+(3+/i) (2) in razlika med (l) in (2) (korak c)) je h- 102 + (-/j). (3) Kadar je b > 2, se v (1) prva in zadnja števka razlikujeta vsaj za dve. Ker je 102 = 9-10+10, se da (3) v tem primeru pisati (/,_!). 102 + 9 ■ 10 +(10- h). (4) Zamenjam prvo in zadnjo števko v (4) (korak č)) in pridem do števila (10 — /)) ■ 102 + 9 ■ 10 + (h — 1), (5) Vsota za (4) in (5) (korak d)) je 9 • 102 + 18 ■ 10 + 9 = 103 + 8 -10 + 9 = 1089. Kadar je h = 1, ima (3) vrednost 99, ko zamenjam števki je spet 99 in 99 + 99 = 198. Stvar je jasna! Trimestnih števil z različno prvo in zadnjo števko je 810. (Trimestnih števil je 900, takih, ki se začenjajo tn končujejo z isto števko pa 90.) Pri vsakem teh Števil računanje po Pavletovem navodilu pripelje ali do števila 1089 ali do števila 198 in potem do 108,9 ali do 19,8. Tu je razlog, da je Pavle igro prekinil. In kako je uganil besedi? Ko je listal po knjigi, ju je neopazno poiskal. Vidimo Če uporabimo Pavletovo navodilo (brez koraka e)) ob trimestno Število z različnima pivo in zadnjo števko, ne najdemo drugačnih števil kot 1089 in 198. Pustimo zdaj Pavleta in Petra in se vprašajmo: Kaj pa če izhajamo iz števila, ki ima več kot tri mesta? Zamenjava prve in zadnje števke v trimestnem številu se ujema z zrcaljenjem števk glede na srednjo števko. Pri številu z več kot tremi mesti je zmeraj mogoče zrcaliti števke glede na sredino števila. Pri tem npr. iz 5164 dobimo 4615, iz 41537 pa 73514. Nadomestimo v Pavletovem navodilu trimestno število s številom, ki ima več ko tri mesta, zamenjavo prve in zadnje števke pa z zrcaljenjem Števk glede na sredino števila Do kakšnih vrednosti pripelje to navodilo? Imejmo najprej število z liho mnogo števkami: a7j ■ 102j' + «2/-1' lO'^"1 + ... + aj ■ + • • • + 3i • 10 + so, j> 2. (6) Števke so izmed števil D, 1.... , 9 in 32j 0, V sredini števila stoji števka aj. Omejimo se še na primer, ko števke V (6) izpolnjujejo pogoje 32j = 30 + ^0, a2j-\ = ai + hi . . . . , aj+2 = aj+i - ay„i + fij_i hQ > 1, hi > 3_____/jj_2 > K hj-i > 1. (7) Imamo torej število (ao+/'o}-102j+.. .+(3J_1+/iJ_1)-l(V+l + aJ ■10i+aj^v10'-1+. . ,+a0 (8) in po zrcaljenju število (9) Razlika med (8) in (9) je h0 ■ 102j + h ■ lO^'*1 + ■ ■ ■ + hj_j ■ 1CV+1 + (-/ij_i) ■ ltJJ-1 + . . . + + .. +(~/>i)10 + (-/)O). (10) Da se znebimo negativnih vrednosti, upoštevamo, da je = 9 • 10>' + 9 • icy'"1 + - ■ ■ + 9 ■ 10 + 10 (11) in število (10) potem zapišemo bo 102j+.. hj■ 10'+2+(^i-1 ~ 1)■ 107+1 + 9■ 1 IV +(9-x) . .+ + ... + (9- /ii)- 10 + (10 -h0). (12) Od tod pridemo po zrcaljenju števk do števila {10 - ha) ■ 10y + (9 - fti) ■ 102j'_1 + ... + (9 - hj_i) ■ + 9 ■ 10J + +(/jj_i - 1) ■ lev'"1 + /ij„2 ■ l^"2 + ■ ■ ■ + /n • 10 + V (13) Vsota števil (12) in (13) je 102j+1 + 9 ■ 102j_1 + .. . + 9- icy+2 + 8 • l(y+1 + 18 ■ lO* + 8 ■ 10>~*+ +9 icy-2 +... + 9 10+10. (14) Ker je is - icy = ify+1 + 8 ■ icy in podobno kot v (11) velja 9 ■ lO^-2 + 9 ■ lty-3 + ... + 910 + 10= lQJ-1, dobi število (14) zapis 102j+i + 9 ■ 102j'-1 + .. . + 9 ■ + 8 ■ 10> + 9 • lO^1 (15) ali na kratko 10 9_^_9 89 0_^_0. (16) j-1 j-1 Stevki 9 in 0 se na naznaČenih mestih ponovita (j — l)-krat. Pri petmestnem številu (7) je j = 2 in (16) se glasi 109890. Naj bo sedaj v številu sodo mnogo števk a2j+1 • 102j+1 + a2j ■ 102j'+ . .,+ ■ 10+ a0p j>l ¡n števke naj ustrezajo pogoju a2j+l — 3q + ho, a2j — 3i + h\.....3j_j_i = a j + hj. h0> 1. ht>l.....hj > 1. (17) Podobno kot zgoraj ugotovimo, da sedaj navodilo pripelje do števila 102j+2 + 9 • 102j' + ... + 9 • W+2 + 8 • liy+1 + 9 ■ ll:hi>l_____hj a > 1 (20) Prav tako je izid (19), če izhajamo iz števila, pri katerem za števke namesto pogoja (17) drži pogoj 30 = ¡>2>+] + ho, ai = 32; + h\.....aj = + h}, h0>l, hi>l.....hj > 1. (21) Povzemimo: Naj bo a naravno število, pri katerem so vse števke do sredine števila večje ali vse te števke manjše od zrcalnih števk. Ko izvršimo navodilo, najdemo število J-l i-l kadar a premore 2j + 1 števk, j = 2,3,,.. in število 109. 9890. .0 kadar v a nastopa 2j + 2 J = 1,2, , števk. če v številu nekatere Števke izpolnjujejo pogoj (7), nekatere pa pogoj (20), navodilo ne daje vrednosti (16). Prav tako ne dobimo (19), Če za nekaj števk velja (17), za nekaj pa (21). Izidov, do katerih navodilo pripelje, je tukaj več. Njihov seznam je že pri Šestmestnih Številih precej obsežen. Naloge. 1. Do katerih vrednosti prideš, Če uporabiš navodilo na Številih 624312, 624542, 624512, 663721? 2. Izhajaj iz štirimestnega števila a ■ 103 -f b • 102 + c • 10 + dt za njegove števke naj velja 3 — d -f h, c — b + kt h > 1, k > 1. Takih števil je 2025. Pokaži, da navodilo pripelje le do tehle deset vrednosti: 1818,1737,1656,1575,1494.1413,1332,1251,1170. 9999. 3. Če uporabiš navodilo na taka petmestna števila, pri katerih nobeni zrcalni števki nista enaki» prideš razen na 109890 le še na deset drugih vrednosti. Poišči jih? 4. Kaj dobiš, ce na /—mestno število uporabiš Pavletovo navodilo? (Zamenjavaš v posameznih korakih med seboj le prvo in zadnjo števko, vmesne števke ostanejo na svojih mestih.) Jože Grasselti