     
P 49 (2021/2022) 3 11
Oblika vulkanov
A L
Osamljeni vulkani imajo značilno obliko. Ni jih
mogoče zamenjati z gorami, ki so nastale z guba-
njem zemeljskega plašča.
Na sliki 1 vidimo obris še delujočega vulkana
Mayon na otoku Luzonu na Filipinih. Oblika je pov-
sem krožno simetrična, kot plašč stožca, le da je po-
bočje pri vrhu strmo, potem pa strmina z oddalje-
nostjo od kraterja počasi pada. Evropska Etna (glej
sliko 2), nima tako pravilnega obrisa, je pa še vedno
povsem jasno, da gre za vulkan. Tudi Vezuv ne more
skriti vulkanskega porekla, izdaja ga desno pobočje
(glej sliko 3). Pravilno, skoraj parabolično obliko po-
bočja vidimo tudi pri Nanosu, o čemer smo v Preseku
že poročali [1]. Tam smo privzeli, da se kamenje po-
bočja giblje tem hitreje, čim večja je njegova strmina.
Kaj, ko bi poskusili s tem privzetkom opisati pobočje
vulkanov?
Iz kraterja na vrhu delujočega vulkana prihajajo
na dan lava in kamni vseh mogočih oblik ter veliko-
SLIKA 1.
Vulkan Mayon na filipinskem otoku Luzonu (vir: Wikipedija)
SLIKA 2.
Vulkan Etna (vir: Wikipedija)
SLIKA 3.
Vulkan Vezuv (vir: Wikipedija)
sti. Valeč se po pobočju gradijo vulkan. Spet bomo
privzeli, da je ploskovna gostota masnega toka va-
lečih se kamnov j, to je masa kamnov, ki v sekundi
preidejo skozi dan okvir s ploščino S, sorazmerna s
strmino pobočja, torej naj za
j = m
tS
velja
j = αy ′ .
Strmino smo označili z y ′, da lažje računamo, naj
strmina pomeni padec višine pobočja ∆y na vodo-
ravni razdalji enega metra:
y ′ = ∆y∆x .
     
P 49 (2021/2022) 312
Pri nevelikih strminah je taka definicija smiselna, le
pri zelo velikih strminah, kjer bi se nagib bližal 90°,
bi kazalo strmino definirati kot sinus nagiba. A pri
vulkanih tako velikega nagiba ni. Sorazmernostnega
faktorja α sicer ne poznamo, a ga bomo določili na
podlagi slik pobočij.
Privzetek o masnem toku spominja na ploskovno
gostoto toplotnega toka, ki je prav tako sorazmerna
s temperaturnim gradientom, torej s kvocientom
temperaturne razlike ∆T in debeline plasti d, skozi
katero teče ta tok.
SLIKA 4.
K izpeljavi enačbe za določanje oblike pobočja
Strmina se z oddaljenostjo od žrela vulkana zman-
jšuje, pa tudi izbruhana snov zavzema vse večji pro-
stor, zmanjšuje se tudi masni tok j. Dokler vul-
kan raste, se del izbruhane mase nalaga na pobočju.
Tako vulkan raste v višino in tudi v širino.
Koliko je tega nalaganja, izvemo s pomočjo slike
4. Na njej je prikazan del pobočja, kamor priteka
snov s tokom j1 skozi ploskev S1, odteka pa skozi
ploskev S2 s tokom j2. Zaradi ohranitve mase mora
torej veljati
(j1S1 − j2S2)∆t ∝ ∆ty .
Z ∆ty označimo prirastek vulkana v višino na da-
nem mestu x v času ∆t. Privzeli smo, da dotoka
snovi z bokov ni ali pa se izravna z odtokom. Ker je
navpični prerez skozi sredino vulkana neodvisen od
tega, kje ga prerežemo, je S2 > S1. Ploskovna gostota
masnega toka se torej manjša zaradi nalaganja snovi
na pobočje in zaradi širitve na vse večji prostor. Če
bi na robu vulkana snov po vsem obsegu primerno
odstranjevali, bi se oblika vulkana ustalila.
Enačbo naraščanja vulkana torej imamo, pri raču-
nanju moramo le še poskrbeti za dotok mase iz kra-
terja in določiti sorazmernostno konstanto tako, da
kar najbolje ujamemo dejansko obliko vulkana. Na
sliki 5 smo kar dobro ujeli obliko vulkana Mayona.
Ko vulkan ugasne, se njegova oblika še naprej
spreminja, le da s kraterja ni dotoka snovi. Naj-
bolj opazno je zaobljanje na vrhu, kar vidimo na
sliki 6 nekega ugaslega vulkana. Zaobljenje pa opa-
zimo tudi pri nevulkanskih vzpetinah, ko je ta po-
sledica erozijskih dejavnikov, kot so veter, dež, zmr-
zali. Tudi obdelovanje zemlje lahko v precejšnji meri
pripomore k oblikovanju vzpetin. Lep primer naj-
demo na Cerkljanskem, kjer je holmec z domačim
imenom Kouk presenetljivo zaobljen (glej sliko 7).
SLIKA 5.
Primerjava izračunanega obrisa vulkana Mayon (modra krivulja)
z dejansko
Na slikah 8, 9 in 10 vidimo postopno zaobljanje
vulkana skozi daljša časovna obdobja. Vulkani, ki so
ugasnili pred več sto miljoni let, so danes po obliki
komaj razpoznavni.
Za konec naredimo še vulkanski poskus. Ne bomo
se trudili z nasipavanjem peska, pač pa bomo nare-
dili poskus z računalnikom. Kroglice bomo spuščali
z določene višine na ravna vodoravna tla. Spuščene
     
P 49 (2021/2022) 3 13
SLIKA 6.
Izračunani obris nedavno ugaslega vulkana (modra krivulja) –
vrh postaja zaobljen
SLIKA 7.
Grǐc Kouk na Cerkljanskem je zaobljen zaradi kmetijske dejav-
nosti. (Foto M. Razpet)
kroglice naj se neelastično odbijajo od tistih že na
tleh. Opazovali bomo, kako raste kup, in njegovo
obliko primerjali z obliko vulkana. Eden od kupov je
prikazan na sliki 11. Vidimo, da oblika spominja na
obliko vulkanov. Od tod sklepamo, da se kroglice pri
neelastičnem odboju gibljejo tako, kot smo privzeli
zgoraj.
Še besedo o neelastičnem trku med kroglicami.
Elastični trk smo v Preseku že obravnavali, bralci se
morda še spomnijo te vsebine. Kroglici sta ravno v
stiku, enotski vektor, ki povezuje njuni središči, je ~e.
Po elastičnem ali neelastičnem trku se obema krogli-
cama spremeni gibalna količina, prvi za −G~e, drugi
pa za G~e. Da določimo velikost G gibalne količine
G~e, upoštevamo, da se skupna kinetična energija pri
SLIKA 8.
Obris delujočega vulkana
SLIKA 9.
Po daljšem času neaktivnosti je vulkan vidno zaobljen
SLIKA 10.
Pred kakimi stotimi milijoni let ugasli vulkan izgubi značilno
vulkansko obliko
     
P 49 (2021/2022) 314
SLIKA 11.
Kup, ki se nabere ob spuščanju kroglic na ravna vodoravna tla.
Oblika kupa je zelo podobna obliki vulkanov.
elastičnem trku ohrani, pri neelastičnem pa se nekaj
začetne kinetične energije izgubi na račun segreva-
nja kroglici, torej
1
2
mv21 +
1
2
mv22 =
1
2
m( ~v1 −
G
m
~e)2 + 1
2
m( ~v2 +
G
m
~e)2 +Q.
Na levi strani smo zapisali kinetično energijo ploščic
pred trkom, na desni pa po njem. S primerno izbiro
izgubljene kinetične energije Q izračunamo G in iz
tega hitrosti kroglic po trku. Izgubljena energija Q
je odvisna od trka. Pri centralnem trku, ki ga največ-
krat obravnavajo, je Q največja, pri robnem trku, ko
se kroglici le bežno dotakneta, pa je zanemarljiva.
Da pridemo do smiselnih vrednosti za Q, najprej iz-
računamo G pri elastičnem trku:
G
m
= ~e · ( ~v1 − ~v2) ,
nato pa ga za določen del zmanjšamo. Če ga zmanj-
šamo na polovico, dobimo povsem neelastični trk.
Pri centralnem trku bi se tedaj kroglici sprijeli in
potovali dalje z enako hitrostjo. Pri našem računu
oblike kupa smo privzeli povsem neelastične trke.
Če dodamo nekaj elastičnosti, dobimo nekoliko bolj
razpršene kupe.
Literatura
[1] A. Likar, Pobočje Nanosa, Presek 30 (2002/2003)
4, str. 196.
×××
Barvni sudoku
V 8× 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna
števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem
stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2×
4) nastopalo vseh osem števil.
8 4 5
2 8 3
4 1
3 7
5 7
1 8
1 5
1 2 7
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b


̌















63847251
25178436
54783162
31625874
86251347
47316528
78432615
12564783
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
×××